Theorem 8th4div3 12570

Description: An eighth of four thirds is a sixth. (Contributed by Paul Chapman, 24-Nov-2007.)

Assertion

Ref	Expression
8th4div3	⊢ ((1 / 8) · (4 / 3)) = (1 / 6)

Proof of Theorem 8th4div3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-1cn 11262	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℂ
2		8cn 12444	. . . 4 ⊢ 8 ∈ ℂ
3		4cn 12432	. . . 4 ⊢ 4 ∈ ℂ
4		3cn 12428	. . . 4 ⊢ 3 ∈ ℂ
5		8re 12443	. . . . 5 ⊢ 8 ∈ ℝ
6		8pos 12462	. . . . 5 ⊢ 0 < 8
7	5, 6	gt0ne0ii 11856	. . . 4 ⊢ 8 ≠ 0
8		3ne0 12456	. . . 4 ⊢ 3 ≠ 0
9	1, 2, 3, 4, 7, 8	divmuldivi 12081	. . 3 ⊢ ((1 / 8) · (4 / 3)) = ((1 · 4) / (8 · 3))
10	1, 3	mulcomi 11321	. . . 4 ⊢ (1 · 4) = (4 · 1)
11		2cn 12422	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℂ
12	3, 11, 4	mulassi 11324	. . . . 5 ⊢ ((4 · 2) · 3) = (4 · (2 · 3))
13		4t2e8 12515	. . . . . 6 ⊢ (4 · 2) = 8
14	13	oveq1i 7431	. . . . 5 ⊢ ((4 · 2) · 3) = (8 · 3)
15		2t3e6 12513	. . . . . 6 ⊢ (2 · 3) = 6
16	15	oveq2i 7432	. . . . 5 ⊢ (4 · (2 · 3)) = (4 · 6)
17	12, 14, 16	3eqtr3i 2791	. . . 4 ⊢ (8 · 3) = (4 · 6)
18	10, 17	oveq12i 7433	. . 3 ⊢ ((1 · 4) / (8 · 3)) = ((4 · 1) / (4 · 6))
19	9, 18	eqtri 2783	. 2 ⊢ ((1 / 8) · (4 / 3)) = ((4 · 1) / (4 · 6))
20		6cn 12438	. . 3 ⊢ 6 ∈ ℂ
21		6re 12437	. . . 4 ⊢ 6 ∈ ℝ
22		6pos 12460	. . . 4 ⊢ 0 < 6
23	21, 22	gt0ne0ii 11856	. . 3 ⊢ 6 ≠ 0
24		4ne0 12458	. . 3 ⊢ 4 ≠ 0
25		divcan5 12023	. . . 4 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ (6 ∈ ℂ ∧ 6 ≠ 0) ∧ (4 ∈ ℂ ∧ 4 ≠ 0)) → ((4 · 1) / (4 · 6)) = (1 / 6))
26	1, 25	mp3an1 1477	. . 3 ⊢ (((6 ∈ ℂ ∧ 6 ≠ 0) ∧ (4 ∈ ℂ ∧ 4 ≠ 0)) → ((4 · 1) / (4 · 6)) = (1 / 6))
27	20, 23, 3, 24, 26	mp4an 706	. 2 ⊢ ((4 · 1) / (4 · 6)) = (1 / 6)
28	19, 27	eqtri 2783	1 ⊢ ((1 / 8) · (4 / 3)) = (1 / 6)

This proof depends on syntax axioms:   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2955  (class class class)co 7421  ℂcc 11202  0cc0 11204  1c1 11205   · cmul 11209   / cdiv 11977  2c2 12401  3c3 12402  4c4 12403  6c6 12405  8c8 12407

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7752  ax-resscn 11261  ax-1cn 11262  ax-icn 11263  ax-addcl 11264  ax-addrcl 11265  ax-mulcl 11266  ax-mulrcl 11267  ax-mulcom 11268  ax-addass 11269  ax-mulass 11270  ax-distr 11271  ax-i2m1 11272  ax-1ne0 11273  ax-1rid 11274  ax-rnegex 11275  ax-rrecex 11276  ax-cnre 11277  ax-pre-lttri 11278  ax-pre-lttrn 11279  ax-pre-ltadd 11280  ax-pre-mulgt0 11281

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-riota 7378  df-ov 7424  df-oprab 7425  df-mpo 7426  df-om 7879  df-2nd 8003  df-frecs 8303  df-wrecs 8334  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-er 8721  df-en 8978  df-dom 8979  df-sdom 8980  df-pnf 11349  df-mnf 11350  df-xr 11351  df-ltxr 11352  df-le 11353  df-sub 11547  df-neg 11548  df-div 11978  df-nn 12340  df-2 12409  df-3 12410  df-4 12411  df-5 12412  df-6 12413  df-7 12414  df-8 12415

This theorem is used by: (None)