MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  8th4div3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 8th4div3 11849
Description: An eighth of four thirds is a sixth. (Contributed by Paul Chapman, 24-Nov-2007.)
Assertion
Ref Expression
8th4div3 ((1 / 8) · (4 / 3)) = (1 / 6)

Proof of Theorem 8th4div3
StepHypRef Expression
1 ax-1cn 10587 . . . 4 1 ∈ ℂ
2 8re 11725 . . . . 5 8 ∈ ℝ
32recni 10647 . . . 4 8 ∈ ℂ
4 4cn 11714 . . . 4 4 ∈ ℂ
5 3cn 11710 . . . 4 3 ∈ ℂ
6 8pos 11741 . . . . 5 0 < 8
72, 6gt0ne0ii 11168 . . . 4 8 ≠ 0
8 3ne0 11735 . . . 4 3 ≠ 0
91, 3, 4, 5, 7, 8divmuldivi 11392 . . 3 ((1 / 8) · (4 / 3)) = ((1 · 4) / (8 · 3))
101, 4mulcomi 10641 . . . 4 (1 · 4) = (4 · 1)
11 2cn 11704 . . . . . . . 8 2 ∈ ℂ
124, 11, 5mul32i 10828 . . . . . . 7 ((4 · 2) · 3) = ((4 · 3) · 2)
13 4t2e8 11797 . . . . . . . 8 (4 · 2) = 8
1413oveq1i 7158 . . . . . . 7 ((4 · 2) · 3) = (8 · 3)
1512, 14eqtr3i 2844 . . . . . 6 ((4 · 3) · 2) = (8 · 3)
164, 5, 11mulassi 10644 . . . . . 6 ((4 · 3) · 2) = (4 · (3 · 2))
1715, 16eqtr3i 2844 . . . . 5 (8 · 3) = (4 · (3 · 2))
18 3t2e6 11795 . . . . . 6 (3 · 2) = 6
1918oveq2i 7159 . . . . 5 (4 · (3 · 2)) = (4 · 6)
2017, 19eqtri 2842 . . . 4 (8 · 3) = (4 · 6)
2110, 20oveq12i 7160 . . 3 ((1 · 4) / (8 · 3)) = ((4 · 1) / (4 · 6))
229, 21eqtri 2842 . 2 ((1 / 8) · (4 / 3)) = ((4 · 1) / (4 · 6))
23 6re 11719 . . . 4 6 ∈ ℝ
2423recni 10647 . . 3 6 ∈ ℂ
25 6pos 11739 . . . 4 0 < 6
2623, 25gt0ne0ii 11168 . . 3 6 ≠ 0
27 4ne0 11737 . . 3 4 ≠ 0
28 divcan5 11334 . . . 4 ((1 ∈ ℂ ∧ (6 ∈ ℂ ∧ 6 ≠ 0) ∧ (4 ∈ ℂ ∧ 4 ≠ 0)) → ((4 · 1) / (4 · 6)) = (1 / 6))
291, 28mp3an1 1441 . . 3 (((6 ∈ ℂ ∧ 6 ≠ 0) ∧ (4 ∈ ℂ ∧ 4 ≠ 0)) → ((4 · 1) / (4 · 6)) = (1 / 6))
3024, 26, 4, 27, 29mp4an 691 . 2 ((4 · 1) / (4 · 6)) = (1 / 6)
3122, 30eqtri 2842 1 ((1 / 8) · (4 / 3)) = (1 / 6)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wa 398   = wceq 1530  wcel 2107  wne 3014  (class class class)co 7148  cc 10527  0cc0 10529  1c1 10530   · cmul 10534   / cdiv 11289  2c2 11684  3c3 11685  4c4 11686  6c6 11688  8c8 11690
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2791  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7453  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2616  df-eu 2648  df-clab 2798  df-cleq 2812  df-clel 2891  df-nfc 2961  df-ne 3015  df-nel 3122  df-ral 3141  df-rex 3142  df-reu 3143  df-rmo 3144  df-rab 3145  df-v 3495  df-sbc 3771  df-csb 3882  df-dif 3937  df-un 3939  df-in 3941  df-ss 3950  df-nul 4290  df-if 4466  df-pw 4539  df-sn 4560  df-pr 4562  df-op 4566  df-uni 4831  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-id 5453  df-po 5467  df-so 5468  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7106  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-er 8281  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-div 11290  df-2 11692  df-3 11693  df-4 11694  df-5 11695  df-6 11696  df-7 11697  df-8 11698
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator