Theorem 8th4div3 12455

Description: An eighth of four thirds is a sixth. (Contributed by Paul Chapman, 24-Nov-2007.)

Assertion

Ref	Expression
8th4div3	⊢ ((1 / 8) · (4 / 3)) = (1 / 6)

Proof of Theorem 8th4div3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-1cn 11146	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℂ
2		8re 12328	. . . . 5 ⊢ 8 ∈ ℝ
3	2	recni 11211	. . . 4 ⊢ 8 ∈ ℂ
4		4cn 12317	. . . 4 ⊢ 4 ∈ ℂ
5		3cn 12313	. . . 4 ⊢ 3 ∈ ℂ
6		8pos 12347	. . . . 5 ⊢ 0 < 8
7	2, 6	gt0ne0ii 11738	. . . 4 ⊢ 8 ≠ 0
8		3ne0 12341	. . . 4 ⊢ 3 ≠ 0
9	1, 3, 4, 5, 7, 8	divmuldivi 11966	. . 3 ⊢ ((1 / 8) · (4 / 3)) = ((1 · 4) / (8 · 3))
10	1, 4	mulcomi 11205	. . . 4 ⊢ (1 · 4) = (4 · 1)
11		2cn 12307	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℂ
12	4, 11, 5	mul32i 11394	. . . . . . 7 ⊢ ((4 · 2) · 3) = ((4 · 3) · 2)
13		4t2e8 12400	. . . . . . . 8 ⊢ (4 · 2) = 8
14	13	oveq1i 7410	. . . . . . 7 ⊢ ((4 · 2) · 3) = (8 · 3)
15	12, 14	eqtr3i 2790	. . . . . 6 ⊢ ((4 · 3) · 2) = (8 · 3)
16	4, 5, 11	mulassi 11208	. . . . . 6 ⊢ ((4 · 3) · 2) = (4 · (3 · 2))
17	15, 16	eqtr3i 2790	. . . . 5 ⊢ (8 · 3) = (4 · (3 · 2))
18		3t2e6 12397	. . . . . 6 ⊢ (3 · 2) = 6
19	18	oveq2i 7411	. . . . 5 ⊢ (4 · (3 · 2)) = (4 · 6)
20	17, 19	eqtri 2788	. . . 4 ⊢ (8 · 3) = (4 · 6)
21	10, 20	oveq12i 7412	. . 3 ⊢ ((1 · 4) / (8 · 3)) = ((4 · 1) / (4 · 6))
22	9, 21	eqtri 2788	. 2 ⊢ ((1 / 8) · (4 / 3)) = ((4 · 1) / (4 · 6))
23		6re 12322	. . . 4 ⊢ 6 ∈ ℝ
24	23	recni 11211	. . 3 ⊢ 6 ∈ ℂ
25		6pos 12345	. . . 4 ⊢ 0 < 6
26	23, 25	gt0ne0ii 11738	. . 3 ⊢ 6 ≠ 0
27		4ne0 12343	. . 3 ⊢ 4 ≠ 0
28		divcan5 11908	. . . 4 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ (6 ∈ ℂ ∧ 6 ≠ 0) ∧ (4 ∈ ℂ ∧ 4 ≠ 0)) → ((4 · 1) / (4 · 6)) = (1 / 6))
29	1, 28	mp3an1 1472	. . 3 ⊢ (((6 ∈ ℂ ∧ 6 ≠ 0) ∧ (4 ∈ ℂ ∧ 4 ≠ 0)) → ((4 · 1) / (4 · 6)) = (1 / 6))
30	24, 26, 4, 27, 29	mp4an 705	. 2 ⊢ ((4 · 1) / (4 · 6)) = (1 / 6)
31	22, 30	eqtri 2788	1 ⊢ ((1 / 8) · (4 / 3)) = (1 / 6)

Syntax hints:   ∧ wa 400   = wceq 1563   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2960  (class class class)co 7400  ℂcc 11086  0cc0 11088  1c1 11089   · cmul 11093   / cdiv 11859  2c2 12286  3c3 12287  4c4 12288  6c6 12290  8c8 12292

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5327  ax-pr 5395  ax-un 7722  ax-resscn 11145  ax-1cn 11146  ax-icn 11147  ax-addcl 11148  ax-addrcl 11149  ax-mulcl 11150  ax-mulrcl 11151  ax-mulcom 11152  ax-addass 11153  ax-mulass 11154  ax-distr 11155  ax-i2m1 11156  ax-1ne0 11157  ax-1rid 11158  ax-rnegex 11159  ax-rrecex 11160  ax-cnre 11161  ax-pre-lttri 11162  ax-pre-lttrn 11163  ax-pre-ltadd 11164  ax-pre-mulgt0 11165

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-pss 3927  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4869  df-iun 4954  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5547  df-eprel 5552  df-po 5560  df-so 5561  df-fr 5605  df-we 5607  df-xp 5658  df-rel 5659  df-cnv 5660  df-co 5661  df-dm 5662  df-rn 5663  df-res 5664  df-ima 5665  df-pred 6292  df-ord 6353  df-on 6354  df-lim 6355  df-suc 6356  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-riota 7357  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-om 7851  df-2nd 7975  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8346  df-rdg 8385  df-er 8682  df-en 8932  df-dom 8933  df-sdom 8934  df-pnf 11233  df-mnf 11234  df-xr 11235  df-ltxr 11236  df-le 11237  df-sub 11431  df-neg 11432  df-div 11860  df-nn 12225  df-2 12294  df-3 12295  df-4 12296  df-5 12297  df-6 12298  df-7 12299  df-8 12300

This theorem is referenced by: (None)