MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  8th4div3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 8th4div3 11454
Description: An eighth of four thirds is a sixth. (Contributed by Paul Chapman, 24-Nov-2007.)
Assertion
Ref Expression
8th4div3 ((1 / 8) · (4 / 3)) = (1 / 6)

Proof of Theorem 8th4div3
StepHypRef Expression
1 ax-1cn 10196 . . . 4 1 ∈ ℂ
2 8re 11307 . . . . 5 8 ∈ ℝ
32recni 10254 . . . 4 8 ∈ ℂ
4 4cn 11300 . . . 4 4 ∈ ℂ
5 3cn 11297 . . . 4 3 ∈ ℂ
6 8pos 11323 . . . . 5 0 < 8
72, 6gt0ne0ii 10766 . . . 4 8 ≠ 0
8 3ne0 11317 . . . 4 3 ≠ 0
91, 3, 4, 5, 7, 8divmuldivi 10987 . . 3 ((1 / 8) · (4 / 3)) = ((1 · 4) / (8 · 3))
101, 4mulcomi 10248 . . . 4 (1 · 4) = (4 · 1)
11 2cn 11293 . . . . . . . 8 2 ∈ ℂ
124, 11, 5mul32i 10434 . . . . . . 7 ((4 · 2) · 3) = ((4 · 3) · 2)
13 4t2e8 11383 . . . . . . . 8 (4 · 2) = 8
1413oveq1i 6803 . . . . . . 7 ((4 · 2) · 3) = (8 · 3)
1512, 14eqtr3i 2795 . . . . . 6 ((4 · 3) · 2) = (8 · 3)
164, 5, 11mulassi 10251 . . . . . 6 ((4 · 3) · 2) = (4 · (3 · 2))
1715, 16eqtr3i 2795 . . . . 5 (8 · 3) = (4 · (3 · 2))
18 3t2e6 11381 . . . . . 6 (3 · 2) = 6
1918oveq2i 6804 . . . . 5 (4 · (3 · 2)) = (4 · 6)
2017, 19eqtri 2793 . . . 4 (8 · 3) = (4 · 6)
2110, 20oveq12i 6805 . . 3 ((1 · 4) / (8 · 3)) = ((4 · 1) / (4 · 6))
229, 21eqtri 2793 . 2 ((1 / 8) · (4 / 3)) = ((4 · 1) / (4 · 6))
23 6re 11303 . . . 4 6 ∈ ℝ
2423recni 10254 . . 3 6 ∈ ℂ
25 6pos 11321 . . . 4 0 < 6
2623, 25gt0ne0ii 10766 . . 3 6 ≠ 0
27 4ne0 11319 . . 3 4 ≠ 0
28 divcan5 10929 . . . 4 ((1 ∈ ℂ ∧ (6 ∈ ℂ ∧ 6 ≠ 0) ∧ (4 ∈ ℂ ∧ 4 ≠ 0)) → ((4 · 1) / (4 · 6)) = (1 / 6))
291, 28mp3an1 1559 . . 3 (((6 ∈ ℂ ∧ 6 ≠ 0) ∧ (4 ∈ ℂ ∧ 4 ≠ 0)) → ((4 · 1) / (4 · 6)) = (1 / 6))
3024, 26, 4, 27, 29mp4an 673 . 2 ((4 · 1) / (4 · 6)) = (1 / 6)
3122, 30eqtri 2793 1 ((1 / 8) · (4 / 3)) = (1 / 6)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wa 382   = wceq 1631  wcel 2145  wne 2943  (class class class)co 6793  cc 10136  0cc0 10138  1c1 10139   · cmul 10143   / cdiv 10886  2c2 11272  3c3 11273  4c4 11274  6c6 11276  8c8 11278
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-resscn 10195  ax-1cn 10196  ax-icn 10197  ax-addcl 10198  ax-addrcl 10199  ax-mulcl 10200  ax-mulrcl 10201  ax-mulcom 10202  ax-addass 10203  ax-mulass 10204  ax-distr 10205  ax-i2m1 10206  ax-1ne0 10207  ax-1rid 10208  ax-rnegex 10209  ax-rrecex 10210  ax-cnre 10211  ax-pre-lttri 10212  ax-pre-lttrn 10213  ax-pre-ltadd 10214  ax-pre-mulgt0 10215
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 835  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-op 4323  df-uni 4575  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-id 5157  df-po 5170  df-so 5171  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6754  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-er 7896  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-pnf 10278  df-mnf 10279  df-xr 10280  df-ltxr 10281  df-le 10282  df-sub 10470  df-neg 10471  df-div 10887  df-2 11281  df-3 11282  df-4 11283  df-5 11284  df-6 11285  df-7 11286  df-8 11287
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator