Theorem 8th4div3 12559

Description: An eighth of four thirds is a sixth. (Contributed by Paul Chapman, 24-Nov-2007.)

Assertion

Ref	Expression
8th4div3	⊢ ((1 / 8) · (4 / 3)) = (1 / 6)

Proof of Theorem 8th4div3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-1cn 11251	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℂ
2		8cn 12433	. . . 4 ⊢ 8 ∈ ℂ
3		4cn 12421	. . . 4 ⊢ 4 ∈ ℂ
4		3cn 12417	. . . 4 ⊢ 3 ∈ ℂ
5		8re 12432	. . . . 5 ⊢ 8 ∈ ℝ
6		8pos 12451	. . . . 5 ⊢ 0 < 8
7	5, 6	gt0ne0ii 11845	. . . 4 ⊢ 8 ≠ 0
8		3ne0 12445	. . . 4 ⊢ 3 ≠ 0
9	1, 2, 3, 4, 7, 8	divmuldivi 12070	. . 3 ⊢ ((1 / 8) · (4 / 3)) = ((1 · 4) / (8 · 3))
10	1, 3	mulcomi 11310	. . . 4 ⊢ (1 · 4) = (4 · 1)
11		2cn 12411	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℂ
12	3, 11, 4	mulassi 11313	. . . . 5 ⊢ ((4 · 2) · 3) = (4 · (2 · 3))
13		4t2e8 12504	. . . . . 6 ⊢ (4 · 2) = 8
14	13	oveq1i 7428	. . . . 5 ⊢ ((4 · 2) · 3) = (8 · 3)
15		2t3e6 12502	. . . . . 6 ⊢ (2 · 3) = 6
16	15	oveq2i 7429	. . . . 5 ⊢ (4 · (2 · 3)) = (4 · 6)
17	12, 14, 16	3eqtr3i 2792	. . . 4 ⊢ (8 · 3) = (4 · 6)
18	10, 17	oveq12i 7430	. . 3 ⊢ ((1 · 4) / (8 · 3)) = ((4 · 1) / (4 · 6))
19	9, 18	eqtri 2784	. 2 ⊢ ((1 / 8) · (4 / 3)) = ((4 · 1) / (4 · 6))
20		6cn 12427	. . 3 ⊢ 6 ∈ ℂ
21		6re 12426	. . . 4 ⊢ 6 ∈ ℝ
22		6pos 12449	. . . 4 ⊢ 0 < 6
23	21, 22	gt0ne0ii 11845	. . 3 ⊢ 6 ≠ 0
24		4ne0 12447	. . 3 ⊢ 4 ≠ 0
25		divcan5 12012	. . . 4 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ (6 ∈ ℂ ∧ 6 ≠ 0) ∧ (4 ∈ ℂ ∧ 4 ≠ 0)) → ((4 · 1) / (4 · 6)) = (1 / 6))
26	1, 25	mp3an1 1477	. . 3 ⊢ (((6 ∈ ℂ ∧ 6 ≠ 0) ∧ (4 ∈ ℂ ∧ 4 ≠ 0)) → ((4 · 1) / (4 · 6)) = (1 / 6))
27	20, 23, 3, 24, 26	mp4an 706	. 2 ⊢ ((4 · 1) / (4 · 6)) = (1 / 6)
28	19, 27	eqtri 2784	1 ⊢ ((1 / 8) · (4 / 3)) = (1 / 6)

This proof depends on syntax axioms:   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2956  (class class class)co 7418  ℂcc 11191  0cc0 11193  1c1 11194   · cmul 11198   / cdiv 11966  2c2 12390  3c3 12391  4c4 12392  6c6 12394  8c8 12396

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7749  ax-resscn 11250  ax-1cn 11251  ax-icn 11252  ax-addcl 11253  ax-addrcl 11254  ax-mulcl 11255  ax-mulrcl 11256  ax-mulcom 11257  ax-addass 11258  ax-mulass 11259  ax-distr 11260  ax-i2m1 11261  ax-1ne0 11262  ax-1rid 11263  ax-rnegex 11264  ax-rrecex 11265  ax-cnre 11266  ax-pre-lttri 11267  ax-pre-lttrn 11268  ax-pre-ltadd 11269  ax-pre-mulgt0 11270

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7375  df-ov 7421  df-oprab 7422  df-mpo 7423  df-om 7876  df-2nd 8000  df-frecs 8292  df-wrecs 8323  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-er 8710  df-en 8967  df-dom 8968  df-sdom 8969  df-pnf 11338  df-mnf 11339  df-xr 11340  df-ltxr 11341  df-le 11342  df-sub 11536  df-neg 11537  df-div 11967  df-nn 12329  df-2 12398  df-3 12399  df-4 12400  df-5 12401  df-6 12402  df-7 12403  df-8 12404

This theorem is used by: (None)