MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  8th4div3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 8th4div3 12486
Description: An eighth of four thirds is a sixth. (Contributed by Paul Chapman, 24-Nov-2007.)
Assertion
Ref Expression
8th4div3 ((1 / 8) · (4 / 3)) = (1 / 6)

Proof of Theorem 8th4div3
StepHypRef Expression
1 ax-1cn 11213 . . . 4 1 ∈ ℂ
2 8re 12362 . . . . 5 8 ∈ ℝ
32recni 11275 . . . 4 8 ∈ ℂ
4 4cn 12351 . . . 4 4 ∈ ℂ
5 3cn 12347 . . . 4 3 ∈ ℂ
6 8pos 12378 . . . . 5 0 < 8
72, 6gt0ne0ii 11799 . . . 4 8 ≠ 0
8 3ne0 12372 . . . 4 3 ≠ 0
91, 3, 4, 5, 7, 8divmuldivi 12027 . . 3 ((1 / 8) · (4 / 3)) = ((1 · 4) / (8 · 3))
101, 4mulcomi 11269 . . . 4 (1 · 4) = (4 · 1)
11 2cn 12341 . . . . . . . 8 2 ∈ ℂ
124, 11, 5mul32i 11457 . . . . . . 7 ((4 · 2) · 3) = ((4 · 3) · 2)
13 4t2e8 12434 . . . . . . . 8 (4 · 2) = 8
1413oveq1i 7441 . . . . . . 7 ((4 · 2) · 3) = (8 · 3)
1512, 14eqtr3i 2767 . . . . . 6 ((4 · 3) · 2) = (8 · 3)
164, 5, 11mulassi 11272 . . . . . 6 ((4 · 3) · 2) = (4 · (3 · 2))
1715, 16eqtr3i 2767 . . . . 5 (8 · 3) = (4 · (3 · 2))
18 3t2e6 12432 . . . . . 6 (3 · 2) = 6
1918oveq2i 7442 . . . . 5 (4 · (3 · 2)) = (4 · 6)
2017, 19eqtri 2765 . . . 4 (8 · 3) = (4 · 6)
2110, 20oveq12i 7443 . . 3 ((1 · 4) / (8 · 3)) = ((4 · 1) / (4 · 6))
229, 21eqtri 2765 . 2 ((1 / 8) · (4 / 3)) = ((4 · 1) / (4 · 6))
23 6re 12356 . . . 4 6 ∈ ℝ
2423recni 11275 . . 3 6 ∈ ℂ
25 6pos 12376 . . . 4 0 < 6
2623, 25gt0ne0ii 11799 . . 3 6 ≠ 0
27 4ne0 12374 . . 3 4 ≠ 0
28 divcan5 11969 . . . 4 ((1 ∈ ℂ ∧ (6 ∈ ℂ ∧ 6 ≠ 0) ∧ (4 ∈ ℂ ∧ 4 ≠ 0)) → ((4 · 1) / (4 · 6)) = (1 / 6))
291, 28mp3an1 1450 . . 3 (((6 ∈ ℂ ∧ 6 ≠ 0) ∧ (4 ∈ ℂ ∧ 4 ≠ 0)) → ((4 · 1) / (4 · 6)) = (1 / 6))
3024, 26, 4, 27, 29mp4an 693 . 2 ((4 · 1) / (4 · 6)) = (1 / 6)
3122, 30eqtri 2765 1 ((1 / 8) · (4 / 3)) = (1 / 6)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wa 395   = wceq 1540  wcel 2108  wne 2940  (class class class)co 7431  cc 11153  0cc0 11155  1c1 11156   · cmul 11160   / cdiv 11920  2c2 12321  3c3 12322  4c4 12323  6c6 12325  8c8 12327
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-po 5592  df-so 5593  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator