MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  8th4div3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 8th4div3 12374
Description: An eighth of four thirds is a sixth. (Contributed by Paul Chapman, 24-Nov-2007.)
Assertion
Ref Expression
8th4div3 ((1 / 8) · (4 / 3)) = (1 / 6)

Proof of Theorem 8th4div3
StepHypRef Expression
1 ax-1cn 11110 . . . 4 1 ∈ ℂ
2 8re 12250 . . . . 5 8 ∈ ℝ
32recni 11170 . . . 4 8 ∈ ℂ
4 4cn 12239 . . . 4 4 ∈ ℂ
5 3cn 12235 . . . 4 3 ∈ ℂ
6 8pos 12266 . . . . 5 0 < 8
72, 6gt0ne0ii 11692 . . . 4 8 ≠ 0
8 3ne0 12260 . . . 4 3 ≠ 0
91, 3, 4, 5, 7, 8divmuldivi 11916 . . 3 ((1 / 8) · (4 / 3)) = ((1 · 4) / (8 · 3))
101, 4mulcomi 11164 . . . 4 (1 · 4) = (4 · 1)
11 2cn 12229 . . . . . . . 8 2 ∈ ℂ
124, 11, 5mul32i 11352 . . . . . . 7 ((4 · 2) · 3) = ((4 · 3) · 2)
13 4t2e8 12322 . . . . . . . 8 (4 · 2) = 8
1413oveq1i 7368 . . . . . . 7 ((4 · 2) · 3) = (8 · 3)
1512, 14eqtr3i 2767 . . . . . 6 ((4 · 3) · 2) = (8 · 3)
164, 5, 11mulassi 11167 . . . . . 6 ((4 · 3) · 2) = (4 · (3 · 2))
1715, 16eqtr3i 2767 . . . . 5 (8 · 3) = (4 · (3 · 2))
18 3t2e6 12320 . . . . . 6 (3 · 2) = 6
1918oveq2i 7369 . . . . 5 (4 · (3 · 2)) = (4 · 6)
2017, 19eqtri 2765 . . . 4 (8 · 3) = (4 · 6)
2110, 20oveq12i 7370 . . 3 ((1 · 4) / (8 · 3)) = ((4 · 1) / (4 · 6))
229, 21eqtri 2765 . 2 ((1 / 8) · (4 / 3)) = ((4 · 1) / (4 · 6))
23 6re 12244 . . . 4 6 ∈ ℝ
2423recni 11170 . . 3 6 ∈ ℂ
25 6pos 12264 . . . 4 0 < 6
2623, 25gt0ne0ii 11692 . . 3 6 ≠ 0
27 4ne0 12262 . . 3 4 ≠ 0
28 divcan5 11858 . . . 4 ((1 ∈ ℂ ∧ (6 ∈ ℂ ∧ 6 ≠ 0) ∧ (4 ∈ ℂ ∧ 4 ≠ 0)) → ((4 · 1) / (4 · 6)) = (1 / 6))
291, 28mp3an1 1449 . . 3 (((6 ∈ ℂ ∧ 6 ≠ 0) ∧ (4 ∈ ℂ ∧ 4 ≠ 0)) → ((4 · 1) / (4 · 6)) = (1 / 6))
3024, 26, 4, 27, 29mp4an 692 . 2 ((4 · 1) / (4 · 6)) = (1 / 6)
3122, 30eqtri 2765 1 ((1 / 8) · (4 / 3)) = (1 / 6)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wa 397   = wceq 1542  wcel 2107  wne 2944  (class class class)co 7358  cc 11050  0cc0 11052  1c1 11053   · cmul 11057   / cdiv 11813  2c2 12209  3c3 12210  4c4 12211  6c6 12213  8c8 12215
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-resscn 11109  ax-1cn 11110  ax-icn 11111  ax-addcl 11112  ax-addrcl 11113  ax-mulcl 11114  ax-mulrcl 11115  ax-mulcom 11116  ax-addass 11117  ax-mulass 11118  ax-distr 11119  ax-i2m1 11120  ax-1ne0 11121  ax-1rid 11122  ax-rnegex 11123  ax-rrecex 11124  ax-cnre 11125  ax-pre-lttri 11126  ax-pre-lttrn 11127  ax-pre-ltadd 11128  ax-pre-mulgt0 11129
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3409  df-v 3448  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-id 5532  df-po 5546  df-so 5547  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-er 8649  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-pnf 11192  df-mnf 11193  df-xr 11194  df-ltxr 11195  df-le 11196  df-sub 11388  df-neg 11389  df-div 11814  df-2 12217  df-3 12218  df-4 12219  df-5 12220  df-6 12221  df-7 12222  df-8 12223
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator