Theorem 8th4div3 12348

Description: An eighth of four thirds is a sixth. (Contributed by Paul Chapman, 24-Nov-2007.)

Assertion

Ref	Expression
8th4div3	⊢ ((1 / 8) · (4 / 3)) = (1 / 6)

Proof of Theorem 8th4div3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-1cn 11071	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℂ
2		8re 12228	. . . . 5 ⊢ 8 ∈ ℝ
3	2	recni 11133	. . . 4 ⊢ 8 ∈ ℂ
4		4cn 12217	. . . 4 ⊢ 4 ∈ ℂ
5		3cn 12213	. . . 4 ⊢ 3 ∈ ℂ
6		8pos 12244	. . . . 5 ⊢ 0 < 8
7	2, 6	gt0ne0ii 11660	. . . 4 ⊢ 8 ≠ 0
8		3ne0 12238	. . . 4 ⊢ 3 ≠ 0
9	1, 3, 4, 5, 7, 8	divmuldivi 11888	. . 3 ⊢ ((1 / 8) · (4 / 3)) = ((1 · 4) / (8 · 3))
10	1, 4	mulcomi 11127	. . . 4 ⊢ (1 · 4) = (4 · 1)
11		2cn 12207	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℂ
12	4, 11, 5	mul32i 11316	. . . . . . 7 ⊢ ((4 · 2) · 3) = ((4 · 3) · 2)
13		4t2e8 12295	. . . . . . . 8 ⊢ (4 · 2) = 8
14	13	oveq1i 7362	. . . . . . 7 ⊢ ((4 · 2) · 3) = (8 · 3)
15	12, 14	eqtr3i 2758	. . . . . 6 ⊢ ((4 · 3) · 2) = (8 · 3)
16	4, 5, 11	mulassi 11130	. . . . . 6 ⊢ ((4 · 3) · 2) = (4 · (3 · 2))
17	15, 16	eqtr3i 2758	. . . . 5 ⊢ (8 · 3) = (4 · (3 · 2))
18		3t2e6 12293	. . . . . 6 ⊢ (3 · 2) = 6
19	18	oveq2i 7363	. . . . 5 ⊢ (4 · (3 · 2)) = (4 · 6)
20	17, 19	eqtri 2756	. . . 4 ⊢ (8 · 3) = (4 · 6)
21	10, 20	oveq12i 7364	. . 3 ⊢ ((1 · 4) / (8 · 3)) = ((4 · 1) / (4 · 6))
22	9, 21	eqtri 2756	. 2 ⊢ ((1 / 8) · (4 / 3)) = ((4 · 1) / (4 · 6))
23		6re 12222	. . . 4 ⊢ 6 ∈ ℝ
24	23	recni 11133	. . 3 ⊢ 6 ∈ ℂ
25		6pos 12242	. . . 4 ⊢ 0 < 6
26	23, 25	gt0ne0ii 11660	. . 3 ⊢ 6 ≠ 0
27		4ne0 12240	. . 3 ⊢ 4 ≠ 0
28		divcan5 11830	. . . 4 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ (6 ∈ ℂ ∧ 6 ≠ 0) ∧ (4 ∈ ℂ ∧ 4 ≠ 0)) → ((4 · 1) / (4 · 6)) = (1 / 6))
29	1, 28	mp3an1 1450	. . 3 ⊢ (((6 ∈ ℂ ∧ 6 ≠ 0) ∧ (4 ∈ ℂ ∧ 4 ≠ 0)) → ((4 · 1) / (4 · 6)) = (1 / 6))
30	24, 26, 4, 27, 29	mp4an 693	. 2 ⊢ ((4 · 1) / (4 · 6)) = (1 / 6)
31	22, 30	eqtri 2756	1 ⊢ ((1 / 8) · (4 / 3)) = (1 / 6)

Syntax hints:   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2929  (class class class)co 7352  ℂcc 11011  0cc0 11013  1c1 11014   · cmul 11018   / cdiv 11781  2c2 12187  3c3 12188  4c4 12189  6c6 12191  8c8 12193

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5305  ax-pr 5372  ax-un 7674  ax-resscn 11070  ax-1cn 11071  ax-icn 11072  ax-addcl 11073  ax-addrcl 11074  ax-mulcl 11075  ax-mulrcl 11076  ax-mulcom 11077  ax-addass 11078  ax-mulass 11079  ax-distr 11080  ax-i2m1 11081  ax-1ne0 11082  ax-1rid 11083  ax-rnegex 11084  ax-rrecex 11085  ax-cnre 11086  ax-pre-lttri 11087  ax-pre-lttrn 11088  ax-pre-ltadd 11089  ax-pre-mulgt0 11090

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rmo 3347  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4576  df-pr 4578  df-op 4582  df-uni 4859  df-iun 4943  df-br 5094  df-opab 5156  df-mpt 5175  df-tr 5201  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7309  df-ov 7355  df-oprab 7356  df-mpo 7357  df-om 7803  df-2nd 7928  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8297  df-rdg 8335  df-er 8628  df-en 8876  df-dom 8877  df-sdom 8878  df-pnf 11155  df-mnf 11156  df-xr 11157  df-ltxr 11158  df-le 11159  df-sub 11353  df-neg 11354  df-div 11782  df-nn 12133  df-2 12195  df-3 12196  df-4 12197  df-5 12198  df-6 12199  df-7 12200  df-8 12201

This theorem is referenced by: (None)