Theorem 8th4div3 12482

Description: An eighth of four thirds is a sixth. (Contributed by Paul Chapman, 24-Nov-2007.)

Assertion

Ref	Expression
8th4div3	⊢ ((1 / 8) · (4 / 3)) = (1 / 6)

Proof of Theorem 8th4div3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-1cn 11176	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℂ
2		8cn 12356	. . . 4 ⊢ 8 ∈ ℂ
3		4cn 12344	. . . 4 ⊢ 4 ∈ ℂ
4		3cn 12340	. . . 4 ⊢ 3 ∈ ℂ
5		8re 12355	. . . . 5 ⊢ 8 ∈ ℝ
6		8pos 12374	. . . . 5 ⊢ 0 < 8
7	5, 6	gt0ne0ii 11768	. . . 4 ⊢ 8 ≠ 0
8		3ne0 12368	. . . 4 ⊢ 3 ≠ 0
9	1, 2, 3, 4, 7, 8	divmuldivi 11993	. . 3 ⊢ ((1 / 8) · (4 / 3)) = ((1 · 4) / (8 · 3))
10	1, 3	mulcomi 11235	. . . 4 ⊢ (1 · 4) = (4 · 1)
11		2cn 12334	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℂ
12	3, 11, 4	mulassi 11238	. . . . 5 ⊢ ((4 · 2) · 3) = (4 · (2 · 3))
13		4t2e8 12427	. . . . . 6 ⊢ (4 · 2) = 8
14	13	oveq1i 7433	. . . . 5 ⊢ ((4 · 2) · 3) = (8 · 3)
15		2t3e6 12425	. . . . . 6 ⊢ (2 · 3) = 6
16	15	oveq2i 7434	. . . . 5 ⊢ (4 · (2 · 3)) = (4 · 6)
17	12, 14, 16	3eqtr3i 2797	. . . 4 ⊢ (8 · 3) = (4 · 6)
18	10, 17	oveq12i 7435	. . 3 ⊢ ((1 · 4) / (8 · 3)) = ((4 · 1) / (4 · 6))
19	9, 18	eqtri 2789	. 2 ⊢ ((1 / 8) · (4 / 3)) = ((4 · 1) / (4 · 6))
20		6cn 12350	. . 3 ⊢ 6 ∈ ℂ
21		6re 12349	. . . 4 ⊢ 6 ∈ ℝ
22		6pos 12372	. . . 4 ⊢ 0 < 6
23	21, 22	gt0ne0ii 11768	. . 3 ⊢ 6 ≠ 0
24		4ne0 12370	. . 3 ⊢ 4 ≠ 0
25		divcan5 11935	. . . 4 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ (6 ∈ ℂ ∧ 6 ≠ 0) ∧ (4 ∈ ℂ ∧ 4 ≠ 0)) → ((4 · 1) / (4 · 6)) = (1 / 6))
26	1, 25	mp3an1 1477	. . 3 ⊢ (((6 ∈ ℂ ∧ 6 ≠ 0) ∧ (4 ∈ ℂ ∧ 4 ≠ 0)) → ((4 · 1) / (4 · 6)) = (1 / 6))
27	20, 23, 3, 24, 26	mp4an 706	. 2 ⊢ ((4 · 1) / (4 · 6)) = (1 / 6)
28	19, 27	eqtri 2789	1 ⊢ ((1 / 8) · (4 / 3)) = (1 / 6)

This proof depends on syntax axioms:   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2961  (class class class)co 7423  ℂcc 11116  0cc0 11118  1c1 11119   · cmul 11123   / cdiv 11889  2c2 12313  3c3 12314  4c4 12315  6c6 12317  8c8 12319

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5341  ax-pr 5409  ax-un 7745  ax-resscn 11175  ax-1cn 11176  ax-icn 11177  ax-addcl 11178  ax-addrcl 11179  ax-mulcl 11180  ax-mulrcl 11181  ax-mulcom 11182  ax-addass 11183  ax-mulass 11184  ax-distr 11185  ax-i2m1 11186  ax-1ne0 11187  ax-1rid 11188  ax-rnegex 11189  ax-rrecex 11190  ax-cnre 11191  ax-pre-lttri 11192  ax-pre-lttrn 11193  ax-pre-ltadd 11194  ax-pre-mulgt0 11195

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3083  df-rex 3093  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3928  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4878  df-iun 4963  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-tr 5224  df-id 5561  df-eprel 5566  df-po 5574  df-so 5575  df-fr 5619  df-we 5621  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6309  df-ord 6370  df-on 6371  df-lim 6372  df-suc 6373  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7380  df-ov 7426  df-oprab 7427  df-mpo 7428  df-om 7872  df-2nd 7996  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8703  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-pnf 11263  df-mnf 11264  df-xr 11265  df-ltxr 11266  df-le 11267  df-sub 11461  df-neg 11462  df-div 11890  df-nn 12252  df-2 12321  df-3 12322  df-4 12323  df-5 12324  df-6 12325  df-7 12326  df-8 12327

This theorem is used by: (None)