Theorem 8th4div3 12488

Description: An eighth of four thirds is a sixth. (Contributed by Paul Chapman, 24-Nov-2007.)

Assertion

Ref	Expression
8th4div3	⊢ ((1 / 8) · (4 / 3)) = (1 / 6)

Proof of Theorem 8th4div3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-1cn 11182	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℂ
2		8cn 12362	. . . 4 ⊢ 8 ∈ ℂ
3		4cn 12350	. . . 4 ⊢ 4 ∈ ℂ
4		3cn 12346	. . . 4 ⊢ 3 ∈ ℂ
5		8re 12361	. . . . 5 ⊢ 8 ∈ ℝ
6		8pos 12380	. . . . 5 ⊢ 0 < 8
7	5, 6	gt0ne0ii 11774	. . . 4 ⊢ 8 ≠ 0
8		3ne0 12374	. . . 4 ⊢ 3 ≠ 0
9	1, 2, 3, 4, 7, 8	divmuldivi 11999	. . 3 ⊢ ((1 / 8) · (4 / 3)) = ((1 · 4) / (8 · 3))
10	1, 3	mulcomi 11241	. . . 4 ⊢ (1 · 4) = (4 · 1)
11		2cn 12340	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℂ
12	3, 11, 4	mulassi 11244	. . . . 5 ⊢ ((4 · 2) · 3) = (4 · (2 · 3))
13		4t2e8 12433	. . . . . 6 ⊢ (4 · 2) = 8
14	13	oveq1i 7423	. . . . 5 ⊢ ((4 · 2) · 3) = (8 · 3)
15		2t3e6 12431	. . . . . 6 ⊢ (2 · 3) = 6
16	15	oveq2i 7424	. . . . 5 ⊢ (4 · (2 · 3)) = (4 · 6)
17	12, 14, 16	3eqtr3i 2791	. . . 4 ⊢ (8 · 3) = (4 · 6)
18	10, 17	oveq12i 7425	. . 3 ⊢ ((1 · 4) / (8 · 3)) = ((4 · 1) / (4 · 6))
19	9, 18	eqtri 2783	. 2 ⊢ ((1 / 8) · (4 / 3)) = ((4 · 1) / (4 · 6))
20		6cn 12356	. . 3 ⊢ 6 ∈ ℂ
21		6re 12355	. . . 4 ⊢ 6 ∈ ℝ
22		6pos 12378	. . . 4 ⊢ 0 < 6
23	21, 22	gt0ne0ii 11774	. . 3 ⊢ 6 ≠ 0
24		4ne0 12376	. . 3 ⊢ 4 ≠ 0
25		divcan5 11941	. . . 4 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ (6 ∈ ℂ ∧ 6 ≠ 0) ∧ (4 ∈ ℂ ∧ 4 ≠ 0)) → ((4 · 1) / (4 · 6)) = (1 / 6))
26	1, 25	mp3an1 1477	. . 3 ⊢ (((6 ∈ ℂ ∧ 6 ≠ 0) ∧ (4 ∈ ℂ ∧ 4 ≠ 0)) → ((4 · 1) / (4 · 6)) = (1 / 6))
27	20, 23, 3, 24, 26	mp4an 706	. 2 ⊢ ((4 · 1) / (4 · 6)) = (1 / 6)
28	19, 27	eqtri 2783	1 ⊢ ((1 / 8) · (4 / 3)) = (1 / 6)

This proof depends on syntax axioms:   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2955  (class class class)co 7413  ℂcc 11122  0cc0 11124  1c1 11125   · cmul 11129   / cdiv 11895  2c2 12319  3c3 12320  4c4 12321  6c6 12323  8c8 12325

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7736  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7863  df-2nd 7987  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-er 8696  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-xr 11271  df-ltxr 11272  df-le 11273  df-sub 11467  df-neg 11468  df-div 11896  df-nn 12258  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333

This theorem is used by: (None)