Theorem 8th4div3 12409

Description: An eighth of four thirds is a sixth. (Contributed by Paul Chapman, 24-Nov-2007.)

Assertion

Ref	Expression
8th4div3	⊢ ((1 / 8) · (4 / 3)) = (1 / 6)

Proof of Theorem 8th4div3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-1cn 11133	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℂ
2		8re 12289	. . . . 5 ⊢ 8 ∈ ℝ
3	2	recni 11195	. . . 4 ⊢ 8 ∈ ℂ
4		4cn 12278	. . . 4 ⊢ 4 ∈ ℂ
5		3cn 12274	. . . 4 ⊢ 3 ∈ ℂ
6		8pos 12305	. . . . 5 ⊢ 0 < 8
7	2, 6	gt0ne0ii 11721	. . . 4 ⊢ 8 ≠ 0
8		3ne0 12299	. . . 4 ⊢ 3 ≠ 0
9	1, 3, 4, 5, 7, 8	divmuldivi 11949	. . 3 ⊢ ((1 / 8) · (4 / 3)) = ((1 · 4) / (8 · 3))
10	1, 4	mulcomi 11189	. . . 4 ⊢ (1 · 4) = (4 · 1)
11		2cn 12268	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℂ
12	4, 11, 5	mul32i 11377	. . . . . . 7 ⊢ ((4 · 2) · 3) = ((4 · 3) · 2)
13		4t2e8 12356	. . . . . . . 8 ⊢ (4 · 2) = 8
14	13	oveq1i 7400	. . . . . . 7 ⊢ ((4 · 2) · 3) = (8 · 3)
15	12, 14	eqtr3i 2755	. . . . . 6 ⊢ ((4 · 3) · 2) = (8 · 3)
16	4, 5, 11	mulassi 11192	. . . . . 6 ⊢ ((4 · 3) · 2) = (4 · (3 · 2))
17	15, 16	eqtr3i 2755	. . . . 5 ⊢ (8 · 3) = (4 · (3 · 2))
18		3t2e6 12354	. . . . . 6 ⊢ (3 · 2) = 6
19	18	oveq2i 7401	. . . . 5 ⊢ (4 · (3 · 2)) = (4 · 6)
20	17, 19	eqtri 2753	. . . 4 ⊢ (8 · 3) = (4 · 6)
21	10, 20	oveq12i 7402	. . 3 ⊢ ((1 · 4) / (8 · 3)) = ((4 · 1) / (4 · 6))
22	9, 21	eqtri 2753	. 2 ⊢ ((1 / 8) · (4 / 3)) = ((4 · 1) / (4 · 6))
23		6re 12283	. . . 4 ⊢ 6 ∈ ℝ
24	23	recni 11195	. . 3 ⊢ 6 ∈ ℂ
25		6pos 12303	. . . 4 ⊢ 0 < 6
26	23, 25	gt0ne0ii 11721	. . 3 ⊢ 6 ≠ 0
27		4ne0 12301	. . 3 ⊢ 4 ≠ 0
28		divcan5 11891	. . . 4 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ (6 ∈ ℂ ∧ 6 ≠ 0) ∧ (4 ∈ ℂ ∧ 4 ≠ 0)) → ((4 · 1) / (4 · 6)) = (1 / 6))
29	1, 28	mp3an1 1450	. . 3 ⊢ (((6 ∈ ℂ ∧ 6 ≠ 0) ∧ (4 ∈ ℂ ∧ 4 ≠ 0)) → ((4 · 1) / (4 · 6)) = (1 / 6))
30	24, 26, 4, 27, 29	mp4an 693	. 2 ⊢ ((4 · 1) / (4 · 6)) = (1 / 6)
31	22, 30	eqtri 2753	1 ⊢ ((1 / 8) · (4 / 3)) = (1 / 6)

Syntax hints:   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2926  (class class class)co 7390  ℂcc 11073  0cc0 11075  1c1 11076   · cmul 11080   / cdiv 11842  2c2 12248  3c3 12249  4c4 12250  6c6 12252  8c8 12254

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7846  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-er 8674  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-div 11843  df-nn 12194  df-2 12256  df-3 12257  df-4 12258  df-5 12259  df-6 12260  df-7 12261  df-8 12262

This theorem is referenced by: (None)