Theorem 8th4div3 12338

Description: An eighth of four thirds is a sixth. (Contributed by Paul Chapman, 24-Nov-2007.)

Assertion

Ref	Expression
8th4div3	⊢ ((1 / 8) · (4 / 3)) = (1 / 6)

Proof of Theorem 8th4div3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-1cn 11061	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℂ
2		8re 12218	. . . . 5 ⊢ 8 ∈ ℝ
3	2	recni 11123	. . . 4 ⊢ 8 ∈ ℂ
4		4cn 12207	. . . 4 ⊢ 4 ∈ ℂ
5		3cn 12203	. . . 4 ⊢ 3 ∈ ℂ
6		8pos 12234	. . . . 5 ⊢ 0 < 8
7	2, 6	gt0ne0ii 11650	. . . 4 ⊢ 8 ≠ 0
8		3ne0 12228	. . . 4 ⊢ 3 ≠ 0
9	1, 3, 4, 5, 7, 8	divmuldivi 11878	. . 3 ⊢ ((1 / 8) · (4 / 3)) = ((1 · 4) / (8 · 3))
10	1, 4	mulcomi 11117	. . . 4 ⊢ (1 · 4) = (4 · 1)
11		2cn 12197	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℂ
12	4, 11, 5	mul32i 11306	. . . . . . 7 ⊢ ((4 · 2) · 3) = ((4 · 3) · 2)
13		4t2e8 12285	. . . . . . . 8 ⊢ (4 · 2) = 8
14	13	oveq1i 7356	. . . . . . 7 ⊢ ((4 · 2) · 3) = (8 · 3)
15	12, 14	eqtr3i 2756	. . . . . 6 ⊢ ((4 · 3) · 2) = (8 · 3)
16	4, 5, 11	mulassi 11120	. . . . . 6 ⊢ ((4 · 3) · 2) = (4 · (3 · 2))
17	15, 16	eqtr3i 2756	. . . . 5 ⊢ (8 · 3) = (4 · (3 · 2))
18		3t2e6 12283	. . . . . 6 ⊢ (3 · 2) = 6
19	18	oveq2i 7357	. . . . 5 ⊢ (4 · (3 · 2)) = (4 · 6)
20	17, 19	eqtri 2754	. . . 4 ⊢ (8 · 3) = (4 · 6)
21	10, 20	oveq12i 7358	. . 3 ⊢ ((1 · 4) / (8 · 3)) = ((4 · 1) / (4 · 6))
22	9, 21	eqtri 2754	. 2 ⊢ ((1 / 8) · (4 / 3)) = ((4 · 1) / (4 · 6))
23		6re 12212	. . . 4 ⊢ 6 ∈ ℝ
24	23	recni 11123	. . 3 ⊢ 6 ∈ ℂ
25		6pos 12232	. . . 4 ⊢ 0 < 6
26	23, 25	gt0ne0ii 11650	. . 3 ⊢ 6 ≠ 0
27		4ne0 12230	. . 3 ⊢ 4 ≠ 0
28		divcan5 11820	. . . 4 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ (6 ∈ ℂ ∧ 6 ≠ 0) ∧ (4 ∈ ℂ ∧ 4 ≠ 0)) → ((4 · 1) / (4 · 6)) = (1 / 6))
29	1, 28	mp3an1 1450	. . 3 ⊢ (((6 ∈ ℂ ∧ 6 ≠ 0) ∧ (4 ∈ ℂ ∧ 4 ≠ 0)) → ((4 · 1) / (4 · 6)) = (1 / 6))
30	24, 26, 4, 27, 29	mp4an 693	. 2 ⊢ ((4 · 1) / (4 · 6)) = (1 / 6)
31	22, 30	eqtri 2754	1 ⊢ ((1 / 8) · (4 / 3)) = (1 / 6)

Syntax hints:   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2928  (class class class)co 7346  ℂcc 11001  0cc0 11003  1c1 11004   · cmul 11008   / cdiv 11771  2c2 12177  3c3 12178  4c4 12179  6c6 12181  8c8 12183

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5234  ax-nul 5244  ax-pow 5303  ax-pr 5370  ax-un 7668  ax-resscn 11060  ax-1cn 11061  ax-icn 11062  ax-addcl 11063  ax-addrcl 11064  ax-mulcl 11065  ax-mulrcl 11066  ax-mulcom 11067  ax-addass 11068  ax-mulass 11069  ax-distr 11070  ax-i2m1 11071  ax-1ne0 11072  ax-1rid 11073  ax-rnegex 11074  ax-rrecex 11075  ax-cnre 11076  ax-pre-lttri 11077  ax-pre-lttrn 11078  ax-pre-ltadd 11079  ax-pre-mulgt0 11080

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4476  df-pw 4552  df-sn 4577  df-pr 4579  df-op 4583  df-uni 4860  df-iun 4943  df-br 5092  df-opab 5154  df-mpt 5173  df-tr 5199  df-id 5511  df-eprel 5516  df-po 5524  df-so 5525  df-fr 5569  df-we 5571  df-xp 5622  df-rel 5623  df-cnv 5624  df-co 5625  df-dm 5626  df-rn 5627  df-res 5628  df-ima 5629  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-er 8622  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-pnf 11145  df-mnf 11146  df-xr 11147  df-ltxr 11148  df-le 11149  df-sub 11343  df-neg 11344  df-div 11772  df-nn 12123  df-2 12185  df-3 12186  df-4 12187  df-5 12188  df-6 12189  df-7 12190  df-8 12191

This theorem is referenced by: (None)