Theorem 8th4div3 12606

Description: An eighth of four thirds is a sixth. (Contributed by Paul Chapman, 24-Nov-2007.)

Assertion

Ref	Expression
8th4div3	⊢ ((1 / 8) · (4 / 3)) = (1 / 6)

Proof of Theorem 8th4div3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-1cn 11297	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℂ
2		8cn 12480	. . . 4 ⊢ 8 ∈ ℂ
3		4cn 12468	. . . 4 ⊢ 4 ∈ ℂ
4		3cn 12464	. . . 4 ⊢ 3 ∈ ℂ
5		8re 12479	. . . . 5 ⊢ 8 ∈ ℝ
6		8pos 12498	. . . . 5 ⊢ 0 < 8
7	5, 6	gt0ne0ii 11892	. . . 4 ⊢ 8 ≠ 0
8		3ne0 12492	. . . 4 ⊢ 3 ≠ 0
9	1, 2, 3, 4, 7, 8	divmuldivi 12117	. . 3 ⊢ ((1 / 8) · (4 / 3)) = ((1 · 4) / (8 · 3))
10	1, 3	mulcomi 11356	. . . 4 ⊢ (1 · 4) = (4 · 1)
11		2cn 12458	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℂ
12	3, 11, 4	mulassi 11359	. . . . 5 ⊢ ((4 · 2) · 3) = (4 · (2 · 3))
13		4t2e8 12551	. . . . . 6 ⊢ (4 · 2) = 8
14	13	oveq1i 7461	. . . . 5 ⊢ ((4 · 2) · 3) = (8 · 3)
15		2t3e6 12549	. . . . . 6 ⊢ (2 · 3) = 6
16	15	oveq2i 7462	. . . . 5 ⊢ (4 · (2 · 3)) = (4 · 6)
17	12, 14, 16	3eqtr3i 2794	. . . 4 ⊢ (8 · 3) = (4 · 6)
18	10, 17	oveq12i 7463	. . 3 ⊢ ((1 · 4) / (8 · 3)) = ((4 · 1) / (4 · 6))
19	9, 18	eqtri 2786	. 2 ⊢ ((1 / 8) · (4 / 3)) = ((4 · 1) / (4 · 6))
20		6cn 12474	. . 3 ⊢ 6 ∈ ℂ
21		6re 12473	. . . 4 ⊢ 6 ∈ ℝ
22		6pos 12496	. . . 4 ⊢ 0 < 6
23	21, 22	gt0ne0ii 11892	. . 3 ⊢ 6 ≠ 0
24		4ne0 12494	. . 3 ⊢ 4 ≠ 0
25		divcan5 12059	. . . 4 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ (6 ∈ ℂ ∧ 6 ≠ 0) ∧ (4 ∈ ℂ ∧ 4 ≠ 0)) → ((4 · 1) / (4 · 6)) = (1 / 6))
26	1, 25	mp3an1 1478	. . 3 ⊢ (((6 ∈ ℂ ∧ 6 ≠ 0) ∧ (4 ∈ ℂ ∧ 4 ≠ 0)) → ((4 · 1) / (4 · 6)) = (1 / 6))
27	20, 23, 3, 24, 26	mp4an 706	. 2 ⊢ ((4 · 1) / (4 · 6)) = (1 / 6)
28	19, 27	eqtri 2786	1 ⊢ ((1 / 8) · (4 / 3)) = (1 / 6)

This proof depends on syntax axioms:   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ≠ wne 2959  (class class class)co 7451  ℂcc 11237  0cc0 11239  1c1 11240   · cmul 11244   / cdiv 12013  2c2 12437  3c3 12438  4c4 12439  6c6 12441  8c8 12443

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-resscn 11296  ax-1cn 11297  ax-icn 11298  ax-addcl 11299  ax-addrcl 11300  ax-mulcl 11301  ax-mulrcl 11302  ax-mulcom 11303  ax-addass 11304  ax-mulass 11305  ax-distr 11306  ax-i2m1 11307  ax-1ne0 11308  ax-1rid 11309  ax-rnegex 11310  ax-rrecex 11311  ax-cnre 11312  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314  ax-pre-ltadd 11315  ax-pre-mulgt0 11316

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-pred 6330  df-ord 6391  df-on 6392  df-lim 6393  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-om 7912  df-2nd 8036  df-frecs 8337  df-wrecs 8368  df-recs 8417  df-rdg 8456  df-er 8755  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-xr 11386  df-ltxr 11387  df-le 11388  df-sub 11582  df-neg 11583  df-div 12014  df-nn 12376  df-2 12445  df-3 12446  df-4 12447  df-5 12448  df-6 12449  df-7 12450  df-8 12451

This theorem is used by: (None)