Theorem 8th4div3 11851

Description: An eighth of four thirds is a sixth. (Contributed by Paul Chapman, 24-Nov-2007.)

Assertion

Ref	Expression
8th4div3	⊢ ((1 / 8) · (4 / 3)) = (1 / 6)

Proof of Theorem 8th4div3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-1cn 10589	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℂ
2		8re 11727	. . . . 5 ⊢ 8 ∈ ℝ
3	2	recni 10649	. . . 4 ⊢ 8 ∈ ℂ
4		4cn 11716	. . . 4 ⊢ 4 ∈ ℂ
5		3cn 11712	. . . 4 ⊢ 3 ∈ ℂ
6		8pos 11743	. . . . 5 ⊢ 0 < 8
7	2, 6	gt0ne0ii 11170	. . . 4 ⊢ 8 ≠ 0
8		3ne0 11737	. . . 4 ⊢ 3 ≠ 0
9	1, 3, 4, 5, 7, 8	divmuldivi 11394	. . 3 ⊢ ((1 / 8) · (4 / 3)) = ((1 · 4) / (8 · 3))
10	1, 4	mulcomi 10643	. . . 4 ⊢ (1 · 4) = (4 · 1)
11		2cn 11706	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℂ
12	4, 11, 5	mul32i 10830	. . . . . . 7 ⊢ ((4 · 2) · 3) = ((4 · 3) · 2)
13		4t2e8 11799	. . . . . . . 8 ⊢ (4 · 2) = 8
14	13	oveq1i 7160	. . . . . . 7 ⊢ ((4 · 2) · 3) = (8 · 3)
15	12, 14	eqtr3i 2846	. . . . . 6 ⊢ ((4 · 3) · 2) = (8 · 3)
16	4, 5, 11	mulassi 10646	. . . . . 6 ⊢ ((4 · 3) · 2) = (4 · (3 · 2))
17	15, 16	eqtr3i 2846	. . . . 5 ⊢ (8 · 3) = (4 · (3 · 2))
18		3t2e6 11797	. . . . . 6 ⊢ (3 · 2) = 6
19	18	oveq2i 7161	. . . . 5 ⊢ (4 · (3 · 2)) = (4 · 6)
20	17, 19	eqtri 2844	. . . 4 ⊢ (8 · 3) = (4 · 6)
21	10, 20	oveq12i 7162	. . 3 ⊢ ((1 · 4) / (8 · 3)) = ((4 · 1) / (4 · 6))
22	9, 21	eqtri 2844	. 2 ⊢ ((1 / 8) · (4 / 3)) = ((4 · 1) / (4 · 6))
23		6re 11721	. . . 4 ⊢ 6 ∈ ℝ
24	23	recni 10649	. . 3 ⊢ 6 ∈ ℂ
25		6pos 11741	. . . 4 ⊢ 0 < 6
26	23, 25	gt0ne0ii 11170	. . 3 ⊢ 6 ≠ 0
27		4ne0 11739	. . 3 ⊢ 4 ≠ 0
28		divcan5 11336	. . . 4 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ (6 ∈ ℂ ∧ 6 ≠ 0) ∧ (4 ∈ ℂ ∧ 4 ≠ 0)) → ((4 · 1) / (4 · 6)) = (1 / 6))
29	1, 28	mp3an1 1444	. . 3 ⊢ (((6 ∈ ℂ ∧ 6 ≠ 0) ∧ (4 ∈ ℂ ∧ 4 ≠ 0)) → ((4 · 1) / (4 · 6)) = (1 / 6))
30	24, 26, 4, 27, 29	mp4an 691	. 2 ⊢ ((4 · 1) / (4 · 6)) = (1 / 6)
31	22, 30	eqtri 2844	1 ⊢ ((1 / 8) · (4 / 3)) = (1 / 6)

Syntax hints:   ∧ wa 398   = wceq 1533   ∈ wcel 2110   ≠ wne 3016  (class class class)co 7150  ℂcc 10529  0cc0 10531  1c1 10532   · cmul 10536   / cdiv 11291  2c2 11686  3c3 11687  4c4 11688  6c6 11690  8c8 11692

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-sep 5195  ax-nul 5202  ax-pow 5258  ax-pr 5321  ax-un 7455  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4561  df-pr 4563  df-op 4567  df-uni 4832  df-br 5059  df-opab 5121  df-mpt 5139  df-id 5454  df-po 5468  df-so 5469  df-xp 5555  df-rel 5556  df-cnv 5557  df-co 5558  df-dm 5559  df-rn 5560  df-res 5561  df-ima 5562  df-iota 6308  df-fun 6351  df-fn 6352  df-f 6353  df-f1 6354  df-fo 6355  df-f1o 6356  df-fv 6357  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-er 8283  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867  df-div 11292  df-2 11694  df-3 11695  df-4 11696  df-5 11697  df-6 11698  df-7 11699  df-8 11700

This theorem is referenced by: (None)