MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dec2nprm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dec2nprm 17101
Description: Divisibility by two is obvious in base 10. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
dec5nprm.1 𝐴 ∈ ℕ
dec2nprm.2 𝐵 ∈ ℕ0
dec2nprm.3 (𝐵 · 2) = 𝐶
Assertion
Ref Expression
dec2nprm ¬ 𝐴𝐶 ∈ ℙ

Proof of Theorem dec2nprm
StepHypRef Expression
1 5nn 12350 . . . 4 5 ∈ ℕ
2 dec5nprm.1 . . . 4 𝐴 ∈ ℕ
31, 2nnmulcli 12289 . . 3 (5 · 𝐴) ∈ ℕ
4 dec2nprm.2 . . 3 𝐵 ∈ ℕ0
5 nnnn0addcl 12554 . . 3 (((5 · 𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → ((5 · 𝐴) + 𝐵) ∈ ℕ)
63, 4, 5mp2an 692 . 2 ((5 · 𝐴) + 𝐵) ∈ ℕ
7 2nn 12337 . 2 2 ∈ ℕ
8 1nn0 12540 . . 3 1 ∈ ℕ0
9 1lt5 12444 . . 3 1 < 5
101, 2, 4, 8, 9numlti 12768 . 2 1 < ((5 · 𝐴) + 𝐵)
11 1lt2 12435 . 2 1 < 2
121nncni 12274 . . . . . 6 5 ∈ ℂ
132nncni 12274 . . . . . 6 𝐴 ∈ ℂ
14 2cn 12339 . . . . . 6 2 ∈ ℂ
1512, 13, 14mul32i 11455 . . . . 5 ((5 · 𝐴) · 2) = ((5 · 2) · 𝐴)
16 5t2e10 12831 . . . . . 6 (5 · 2) = 10
1716oveq1i 7441 . . . . 5 ((5 · 2) · 𝐴) = (10 · 𝐴)
1815, 17eqtri 2763 . . . 4 ((5 · 𝐴) · 2) = (10 · 𝐴)
19 dec2nprm.3 . . . 4 (𝐵 · 2) = 𝐶
2018, 19oveq12i 7443 . . 3 (((5 · 𝐴) · 2) + (𝐵 · 2)) = ((10 · 𝐴) + 𝐶)
213nncni 12274 . . . 4 (5 · 𝐴) ∈ ℂ
224nn0cni 12536 . . . 4 𝐵 ∈ ℂ
2321, 22, 14adddiri 11272 . . 3 (((5 · 𝐴) + 𝐵) · 2) = (((5 · 𝐴) · 2) + (𝐵 · 2))
24 dfdec10 12734 . . 3 𝐴𝐶 = ((10 · 𝐴) + 𝐶)
2520, 23, 243eqtr4i 2773 . 2 (((5 · 𝐴) + 𝐵) · 2) = 𝐴𝐶
266, 7, 10, 11, 25nprmi 16723 1 ¬ 𝐴𝐶 ∈ ℙ
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3   = wceq 1537  wcel 2106  (class class class)co 7431  0cc0 11153  1c1 11154   + caddc 11156   · cmul 11158  cn 12264  2c2 12319  5c5 12322  0cn0 12524  cdc 12731  cprime 16705
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-2o 8506  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-sup 9480  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-z 12612  df-dec 12732  df-uz 12877  df-rp 13033  df-seq 14040  df-exp 14100  df-cj 15135  df-re 15136  df-im 15137  df-sqrt 15271  df-abs 15272  df-dvds 16288  df-prm 16706
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator