Theorem dec2nprm 16995

Description: A decimal number greater than 10 and ending with an even digit is not a prime number. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Apr-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
dec5nprm.1	⊢ 𝐴 ∈ ℕ
dec2nprm.2	⊢ 𝐵 ∈ ℕ0
dec2nprm.3	⊢ (𝐵 · 2) = 𝐶

Assertion

Ref	Expression
dec2nprm	⊢ ¬ ;𝐴𝐶 ∈ ℙ

Proof of Theorem dec2nprm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		5nn 12231	. . . 4 ⊢ 5 ∈ ℕ
2		dec5nprm.1	. . . 4 ⊢ 𝐴 ∈ ℕ
3	1, 2	nnmulcli 12170	. . 3 ⊢ (5 · 𝐴) ∈ ℕ
4		dec2nprm.2	. . 3 ⊢ 𝐵 ∈ ℕ0
5		nnnn0addcl 12431	. . 3 ⊢ (((5 · 𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → ((5 · 𝐴) + 𝐵) ∈ ℕ)
6	3, 4, 5	mp2an 692	. 2 ⊢ ((5 · 𝐴) + 𝐵) ∈ ℕ
7		2nn 12218	. 2 ⊢ 2 ∈ ℕ
8		1nn0 12417	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℕ0
9		1lt5 12320	. . 3 ⊢ 1 < 5
10	1, 2, 4, 8, 9	numlti 12644	. 2 ⊢ 1 < ((5 · 𝐴) + 𝐵)
11		1lt2 12311	. 2 ⊢ 1 < 2
12	1	nncni 12155	. . . . . 6 ⊢ 5 ∈ ℂ
13	2	nncni 12155	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 ∈ ℂ
14		2cn 12220	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℂ
15	12, 13, 14	mul32i 11329	. . . . 5 ⊢ ((5 · 𝐴) · 2) = ((5 · 2) · 𝐴)
16		5t2e10 12707	. . . . . 6 ⊢ (5 · 2) = ;10
17	16	oveq1i 7368	. . . . 5 ⊢ ((5 · 2) · 𝐴) = (;10 · 𝐴)
18	15, 17	eqtri 2759	. . . 4 ⊢ ((5 · 𝐴) · 2) = (;10 · 𝐴)
19		dec2nprm.3	. . . 4 ⊢ (𝐵 · 2) = 𝐶
20	18, 19	oveq12i 7370	. . 3 ⊢ (((5 · 𝐴) · 2) + (𝐵 · 2)) = ((;10 · 𝐴) + 𝐶)
21	3	nncni 12155	. . . 4 ⊢ (5 · 𝐴) ∈ ℂ
22	4	nn0cni 12413	. . . 4 ⊢ 𝐵 ∈ ℂ
23	21, 22, 14	adddiri 11145	. . 3 ⊢ (((5 · 𝐴) + 𝐵) · 2) = (((5 · 𝐴) · 2) + (𝐵 · 2))
24		dfdec10 12610	. . 3 ⊢ ;𝐴𝐶 = ((;10 · 𝐴) + 𝐶)
25	20, 23, 24	3eqtr4i 2769	. 2 ⊢ (((5 · 𝐴) + 𝐵) · 2) = ;𝐴𝐶
26	6, 7, 10, 11, 25	nprmi 16616	1 ⊢ ¬ ;𝐴𝐶 ∈ ℙ

Syntax hints:  ¬ wn 3   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  (class class class)co 7358  0cc0 11026  1c1 11027   + caddc 11029   · cmul 11031  ℕcn 12145  2c2 12200  5c5 12203  ℕ₀cn0 12401  ;cdc 12607  ℙcprime 16598

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103  ax-pre-sup 11104

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-1o 8397  df-2o 8398  df-er 8635  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-sup 9345  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367  df-div 11795  df-nn 12146  df-2 12208  df-3 12209  df-4 12210  df-5 12211  df-6 12212  df-7 12213  df-8 12214  df-9 12215  df-n0 12402  df-z 12489  df-dec 12608  df-uz 12752  df-rp 12906  df-seq 13925  df-exp 13985  df-cj 15022  df-re 15023  df-im 15024  df-sqrt 15158  df-abs 15159  df-dvds 16180  df-prm 16599

This theorem is referenced by: (None)