Theorem dec2nprm 17030

Description: A decimal number greater than 10 and ending with an even digit is not a prime number. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Apr-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
dec5nprm.1	⊢ 𝐴 ∈ ℕ
dec2nprm.2	⊢ 𝐵 ∈ ℕ0
dec2nprm.3	⊢ (𝐵 · 2) = 𝐶

Assertion

Ref	Expression
dec2nprm	⊢ ¬ ;𝐴𝐶 ∈ ℙ

Proof of Theorem dec2nprm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		5nn 12259	. . . 4 ⊢ 5 ∈ ℕ
2		dec5nprm.1	. . . 4 ⊢ 𝐴 ∈ ℕ
3	1, 2	nnmulcli 12191	. . 3 ⊢ (5 · 𝐴) ∈ ℕ
4		dec2nprm.2	. . 3 ⊢ 𝐵 ∈ ℕ0
5		nnnn0addcl 12459	. . 3 ⊢ (((5 · 𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → ((5 · 𝐴) + 𝐵) ∈ ℕ)
6	3, 4, 5	mp2an 698	. 2 ⊢ ((5 · 𝐴) + 𝐵) ∈ ℕ
7		2nn 12246	. 2 ⊢ 2 ∈ ℕ
8		1nn0 12445	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℕ0
9		1lt5 12348	. . 3 ⊢ 1 < 5
10	1, 2, 4, 8, 9	numlti 12673	. 2 ⊢ 1 < ((5 · 𝐴) + 𝐵)
11		1lt2 12339	. 2 ⊢ 1 < 2
12	1	nncni 12176	. . . . . 6 ⊢ 5 ∈ ℂ
13	2	nncni 12176	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 ∈ ℂ
14		2cn 12248	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℂ
15	12, 13, 14	mul32i 11334	. . . . 5 ⊢ ((5 · 𝐴) · 2) = ((5 · 2) · 𝐴)
16		5t2e10 12736	. . . . . 6 ⊢ (5 · 2) = ;10
17	16	oveq1i 7367	. . . . 5 ⊢ ((5 · 2) · 𝐴) = (;10 · 𝐴)
18	15, 17	eqtri 2762	. . . 4 ⊢ ((5 · 𝐴) · 2) = (;10 · 𝐴)
19		dec2nprm.3	. . . 4 ⊢ (𝐵 · 2) = 𝐶
20	18, 19	oveq12i 7369	. . 3 ⊢ (((5 · 𝐴) · 2) + (𝐵 · 2)) = ((;10 · 𝐴) + 𝐶)
21	3	nncni 12176	. . . 4 ⊢ (5 · 𝐴) ∈ ℂ
22	4	nn0cni 12441	. . . 4 ⊢ 𝐵 ∈ ℂ
23	21, 22, 14	adddiri 11150	. . 3 ⊢ (((5 · 𝐴) + 𝐵) · 2) = (((5 · 𝐴) · 2) + (𝐵 · 2))
24		dfdec10 12639	. . 3 ⊢ ;𝐴𝐶 = ((;10 · 𝐴) + 𝐶)
25	20, 23, 24	3eqtr4i 2772	. 2 ⊢ (((5 · 𝐴) + 𝐵) · 2) = ;𝐴𝐶
26	6, 7, 10, 11, 25	nprmi 16650	1 ⊢ ¬ ;𝐴𝐶 ∈ ℙ

Syntax hints:  ¬ wn 3   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  (class class class)co 7357  0cc0 11030  1c1 11031   + caddc 11033   · cmul 11035  ℕcn 12166  2c2 12228  5c5 12231  ℕ₀cn0 12429  ;cdc 12636  ℙcprime 16632

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-sep 5219  ax-nul 5229  ax-pow 5295  ax-pr 5363  ax-un 7679  ax-cnex 11086  ax-resscn 11087  ax-1cn 11088  ax-icn 11089  ax-addcl 11090  ax-addrcl 11091  ax-mulcl 11092  ax-mulrcl 11093  ax-mulcom 11094  ax-addass 11095  ax-mulass 11096  ax-distr 11097  ax-i2m1 11098  ax-1ne0 11099  ax-1rid 11100  ax-rnegex 11101  ax-rrecex 11102  ax-cnre 11103  ax-pre-lttri 11104  ax-pre-lttrn 11105  ax-pre-ltadd 11106  ax-pre-mulgt0 11107  ax-pre-sup 11108

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rmo 3344  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4263  df-if 4456  df-pw 4532  df-sn 4557  df-pr 4559  df-op 4563  df-uni 4840  df-iun 4924  df-br 5074  df-opab 5136  df-mpt 5155  df-tr 5181  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7314  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7808  df-2nd 7933  df-frecs 8222  df-wrecs 8253  df-recs 8302  df-rdg 8340  df-1o 8396  df-2o 8397  df-er 8634  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-fin 8888  df-sup 9346  df-pnf 11173  df-mnf 11174  df-xr 11175  df-ltxr 11176  df-le 11177  df-sub 11371  df-neg 11372  df-div 11800  df-nn 12167  df-2 12236  df-3 12237  df-4 12238  df-5 12239  df-6 12240  df-7 12241  df-8 12242  df-9 12243  df-n0 12430  df-z 12517  df-dec 12637  df-uz 12781  df-rp 12935  df-seq 13956  df-exp 14016  df-cj 15053  df-re 15054  df-im 15055  df-sqrt 15189  df-abs 15190  df-dvds 16214  df-prm 16633

This theorem is referenced by: (None)