Theorem karatsuba 17118

Description: The Karatsuba multiplication algorithm. If 𝑋 and 𝑌 are decomposed into two groups of digits of length 𝑀 (only the lower group is known to be this size but the algorithm is most efficient when the partition is chosen near the middle of the digit string), then 𝑋𝑌 can be written in three groups of digits, where each group needs only one multiplication. Thus, we can halve both inputs with only three multiplications on the smaller operands, yielding an asymptotic improvement of n^(log₂ 3) instead of n^2 for the "naive" algorithm decmul1c 12796. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Jul-2015.) (Revised by AV, 9-Sep-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
karatsuba.a	⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
karatsuba.b	⊢ 𝐵 ∈ ℕ0
karatsuba.c	⊢ 𝐶 ∈ ℕ0
karatsuba.d	⊢ 𝐷 ∈ ℕ0
karatsuba.s	⊢ 𝑆 ∈ ℕ0
karatsuba.m	⊢ 𝑀 ∈ ℕ0
karatsuba.r	⊢ (𝐴 · 𝐶) = 𝑅
karatsuba.t	⊢ (𝐵 · 𝐷) = 𝑇
karatsuba.e	⊢ ((𝐴 + 𝐵) · (𝐶 + 𝐷)) = ((𝑅 + 𝑆) + 𝑇)
karatsuba.x	⊢ ((𝐴 · (;10↑𝑀)) + 𝐵) = 𝑋
karatsuba.y	⊢ ((𝐶 · (;10↑𝑀)) + 𝐷) = 𝑌
karatsuba.w	⊢ ((𝑅 · (;10↑𝑀)) + 𝑆) = 𝑊
karatsuba.z	⊢ ((𝑊 · (;10↑𝑀)) + 𝑇) = 𝑍

Assertion

Ref	Expression
karatsuba	⊢ (𝑋 · 𝑌) = 𝑍

Proof of Theorem karatsuba

Step	Hyp	Ref	Expression
1		karatsuba.a	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
2	1	nn0cni 12536	. . . . 5 ⊢ 𝐴 ∈ ℂ
3		10nn0 12749	. . . . . . 7 ⊢ ;10 ∈ ℕ0
4	3	nn0cni 12536	. . . . . 6 ⊢ ;10 ∈ ℂ
5		karatsuba.m	. . . . . 6 ⊢ 𝑀 ∈ ℕ0
6		expcl 14117	. . . . . 6 ⊢ ((;10 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (;10↑𝑀) ∈ ℂ)
7	4, 5, 6	mp2an 692	. . . . 5 ⊢ (;10↑𝑀) ∈ ℂ
8	2, 7	mulcli 11266	. . . 4 ⊢ (𝐴 · (;10↑𝑀)) ∈ ℂ
9		karatsuba.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 ∈ ℕ0
10	9	nn0cni 12536	. . . 4 ⊢ 𝐵 ∈ ℂ
11		karatsuba.c	. . . . . 6 ⊢ 𝐶 ∈ ℕ0
12	11	nn0cni 12536	. . . . 5 ⊢ 𝐶 ∈ ℂ
13	12, 7	mulcli 11266	. . . 4 ⊢ (𝐶 · (;10↑𝑀)) ∈ ℂ
14		karatsuba.d	. . . . 5 ⊢ 𝐷 ∈ ℕ0
15	14	nn0cni 12536	. . . 4 ⊢ 𝐷 ∈ ℂ
16	8, 10, 13, 15	muladdi 11712	. . 3 ⊢ (((𝐴 · (;10↑𝑀)) + 𝐵) · ((𝐶 · (;10↑𝑀)) + 𝐷)) = ((((𝐴 · (;10↑𝑀)) · (𝐶 · (;10↑𝑀))) + (𝐷 · 𝐵)) + (((𝐴 · (;10↑𝑀)) · 𝐷) + ((𝐶 · (;10↑𝑀)) · 𝐵)))
17	8, 13	mulcli 11266	. . . 4 ⊢ ((𝐴 · (;10↑𝑀)) · (𝐶 · (;10↑𝑀))) ∈ ℂ
18	15, 10	mulcli 11266	. . . 4 ⊢ (𝐷 · 𝐵) ∈ ℂ
19	8, 15	mulcli 11266	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 · (;10↑𝑀)) · 𝐷) ∈ ℂ
20	13, 10	mulcli 11266	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 · (;10↑𝑀)) · 𝐵) ∈ ℂ
21	19, 20	addcli 11265	. . . 4 ⊢ (((𝐴 · (;10↑𝑀)) · 𝐷) + ((𝐶 · (;10↑𝑀)) · 𝐵)) ∈ ℂ
22	17, 18, 21	add32i 11483	. . 3 ⊢ ((((𝐴 · (;10↑𝑀)) · (𝐶 · (;10↑𝑀))) + (𝐷 · 𝐵)) + (((𝐴 · (;10↑𝑀)) · 𝐷) + ((𝐶 · (;10↑𝑀)) · 𝐵))) = ((((𝐴 · (;10↑𝑀)) · (𝐶 · (;10↑𝑀))) + (((𝐴 · (;10↑𝑀)) · 𝐷) + ((𝐶 · (;10↑𝑀)) · 𝐵))) + (𝐷 · 𝐵))
23	8, 12	mulcli 11266	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 · (;10↑𝑀)) · 𝐶) ∈ ℂ
24		karatsuba.s	. . . . . . 7 ⊢ 𝑆 ∈ ℕ0
25	24	nn0cni 12536	. . . . . 6 ⊢ 𝑆 ∈ ℂ
26	23, 25, 7	adddiri 11272	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 · (;10↑𝑀)) · 𝐶) + 𝑆) · (;10↑𝑀)) = ((((𝐴 · (;10↑𝑀)) · 𝐶) · (;10↑𝑀)) + (𝑆 · (;10↑𝑀)))
27	2, 7, 12	mul32i 11455	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 · (;10↑𝑀)) · 𝐶) = ((𝐴 · 𝐶) · (;10↑𝑀))
28		karatsuba.r	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 · 𝐶) = 𝑅
29	28	oveq1i 7441	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 · 𝐶) · (;10↑𝑀)) = (𝑅 · (;10↑𝑀))
30	27, 29	eqtri 2763	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 · (;10↑𝑀)) · 𝐶) = (𝑅 · (;10↑𝑀))
31	30	oveq1i 7441	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 · (;10↑𝑀)) · 𝐶) + 𝑆) = ((𝑅 · (;10↑𝑀)) + 𝑆)
32		karatsuba.w	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 · (;10↑𝑀)) + 𝑆) = 𝑊
33	31, 32	eqtri 2763	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 · (;10↑𝑀)) · 𝐶) + 𝑆) = 𝑊
34	33	oveq1i 7441	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 · (;10↑𝑀)) · 𝐶) + 𝑆) · (;10↑𝑀)) = (𝑊 · (;10↑𝑀))
35	8, 12, 7	mulassi 11270	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 · (;10↑𝑀)) · 𝐶) · (;10↑𝑀)) = ((𝐴 · (;10↑𝑀)) · (𝐶 · (;10↑𝑀)))
36	2, 12	mulcli 11266	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 · 𝐶) ∈ ℂ
37	36, 18, 25	add32i 11483	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 · 𝐶) + (𝐷 · 𝐵)) + 𝑆) = (((𝐴 · 𝐶) + 𝑆) + (𝐷 · 𝐵))
38	28	oveq1i 7441	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 · 𝐶) + 𝑆) = (𝑅 + 𝑆)
39		karatsuba.t	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐵 · 𝐷) = 𝑇
40	10, 15, 39	mulcomli 11268	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐷 · 𝐵) = 𝑇
41	38, 40	oveq12i 7443	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 · 𝐶) + 𝑆) + (𝐷 · 𝐵)) = ((𝑅 + 𝑆) + 𝑇)
42	37, 41	eqtri 2763	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 · 𝐶) + (𝐷 · 𝐵)) + 𝑆) = ((𝑅 + 𝑆) + 𝑇)
43		karatsuba.e	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 + 𝐵) · (𝐶 + 𝐷)) = ((𝑅 + 𝑆) + 𝑇)
44	2, 10, 12, 15	muladdi 11712	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 + 𝐵) · (𝐶 + 𝐷)) = (((𝐴 · 𝐶) + (𝐷 · 𝐵)) + ((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵)))
45	42, 43, 44	3eqtr2i 2769	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 · 𝐶) + (𝐷 · 𝐵)) + 𝑆) = (((𝐴 · 𝐶) + (𝐷 · 𝐵)) + ((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵)))
46	36, 18	addcli 11265	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 · 𝐶) + (𝐷 · 𝐵)) ∈ ℂ
47	2, 15	mulcli 11266	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 · 𝐷) ∈ ℂ
48	12, 10	mulcli 11266	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐶 · 𝐵) ∈ ℂ
49	47, 48	addcli 11265	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵)) ∈ ℂ
50	46, 25, 49	addcani 11452	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 · 𝐶) + (𝐷 · 𝐵)) + 𝑆) = (((𝐴 · 𝐶) + (𝐷 · 𝐵)) + ((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))) ↔ 𝑆 = ((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵)))
51	45, 50	mpbi 230	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑆 = ((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))
52	51	oveq1i 7441	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆 · (;10↑𝑀)) = (((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵)) · (;10↑𝑀))
53	47, 48, 7	adddiri 11272	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵)) · (;10↑𝑀)) = (((𝐴 · 𝐷) · (;10↑𝑀)) + ((𝐶 · 𝐵) · (;10↑𝑀)))
54	2, 15, 7	mul32i 11455	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 · 𝐷) · (;10↑𝑀)) = ((𝐴 · (;10↑𝑀)) · 𝐷)
55	12, 10, 7	mul32i 11455	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐶 · 𝐵) · (;10↑𝑀)) = ((𝐶 · (;10↑𝑀)) · 𝐵)
56	54, 55	oveq12i 7443	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 · 𝐷) · (;10↑𝑀)) + ((𝐶 · 𝐵) · (;10↑𝑀))) = (((𝐴 · (;10↑𝑀)) · 𝐷) + ((𝐶 · (;10↑𝑀)) · 𝐵))
57	52, 53, 56	3eqtri 2767	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 · (;10↑𝑀)) = (((𝐴 · (;10↑𝑀)) · 𝐷) + ((𝐶 · (;10↑𝑀)) · 𝐵))
58	35, 57	oveq12i 7443	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 · (;10↑𝑀)) · 𝐶) · (;10↑𝑀)) + (𝑆 · (;10↑𝑀))) = (((𝐴 · (;10↑𝑀)) · (𝐶 · (;10↑𝑀))) + (((𝐴 · (;10↑𝑀)) · 𝐷) + ((𝐶 · (;10↑𝑀)) · 𝐵)))
59	26, 34, 58	3eqtr3ri 2772	. . . 4 ⊢ (((𝐴 · (;10↑𝑀)) · (𝐶 · (;10↑𝑀))) + (((𝐴 · (;10↑𝑀)) · 𝐷) + ((𝐶 · (;10↑𝑀)) · 𝐵))) = (𝑊 · (;10↑𝑀))
60	59, 40	oveq12i 7443	. . 3 ⊢ ((((𝐴 · (;10↑𝑀)) · (𝐶 · (;10↑𝑀))) + (((𝐴 · (;10↑𝑀)) · 𝐷) + ((𝐶 · (;10↑𝑀)) · 𝐵))) + (𝐷 · 𝐵)) = ((𝑊 · (;10↑𝑀)) + 𝑇)
61	16, 22, 60	3eqtri 2767	. 2 ⊢ (((𝐴 · (;10↑𝑀)) + 𝐵) · ((𝐶 · (;10↑𝑀)) + 𝐷)) = ((𝑊 · (;10↑𝑀)) + 𝑇)
62		karatsuba.x	. . 3 ⊢ ((𝐴 · (;10↑𝑀)) + 𝐵) = 𝑋
63		karatsuba.y	. . 3 ⊢ ((𝐶 · (;10↑𝑀)) + 𝐷) = 𝑌
64	62, 63	oveq12i 7443	. 2 ⊢ (((𝐴 · (;10↑𝑀)) + 𝐵) · ((𝐶 · (;10↑𝑀)) + 𝐷)) = (𝑋 · 𝑌)
65		karatsuba.z	. 2 ⊢ ((𝑊 · (;10↑𝑀)) + 𝑇) = 𝑍
66	61, 64, 65	3eqtr3i 2771	1 ⊢ (𝑋 · 𝑌) = 𝑍

Syntax hints:   = wceq 1537   ∈ wcel 2106  (class class class)co 7431  ℂcc 11151  0cc0 11153  1c1 11154   + caddc 11156   · cmul 11158  ℕ₀cn0 12524  ;cdc 12731  ↑cexp 14099

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-z 12612  df-dec 12732  df-uz 12877  df-seq 14040  df-exp 14100

This theorem is referenced by:  dpmul4  32881