Theorem karatsuba 17103

Description: The Karatsuba multiplication algorithm. If 𝑋 and 𝑌 are decomposed into two groups of digits of length 𝑀 (only the lower group is known to be this size but the algorithm is most efficient when the partition is chosen near the middle of the digit string), then 𝑋𝑌 can be written in three groups of digits, where each group needs only one multiplication. Thus, we can halve both inputs with only three multiplications on the smaller operands, yielding an asymptotic improvement of n^(log₂ 3) instead of n^2 for the "naive" algorithm decmul1c 12773. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Jul-2015.) (Revised by AV, 9-Sep-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
karatsuba.a	⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
karatsuba.b	⊢ 𝐵 ∈ ℕ0
karatsuba.c	⊢ 𝐶 ∈ ℕ0
karatsuba.d	⊢ 𝐷 ∈ ℕ0
karatsuba.s	⊢ 𝑆 ∈ ℕ0
karatsuba.m	⊢ 𝑀 ∈ ℕ0
karatsuba.r	⊢ (𝐴 · 𝐶) = 𝑅
karatsuba.t	⊢ (𝐵 · 𝐷) = 𝑇
karatsuba.e	⊢ ((𝐴 + 𝐵) · (𝐶 + 𝐷)) = ((𝑅 + 𝑆) + 𝑇)
karatsuba.x	⊢ ((𝐴 · (;10↑𝑀)) + 𝐵) = 𝑋
karatsuba.y	⊢ ((𝐶 · (;10↑𝑀)) + 𝐷) = 𝑌
karatsuba.w	⊢ ((𝑅 · (;10↑𝑀)) + 𝑆) = 𝑊
karatsuba.z	⊢ ((𝑊 · (;10↑𝑀)) + 𝑇) = 𝑍

Assertion

Ref	Expression
karatsuba	⊢ (𝑋 · 𝑌) = 𝑍

Proof of Theorem karatsuba

Step	Hyp	Ref	Expression
1		karatsuba.a	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
2	1	nn0cni 12513	. . . . 5 ⊢ 𝐴 ∈ ℂ
3		10nn0 12726	. . . . . . 7 ⊢ ;10 ∈ ℕ0
4	3	nn0cni 12513	. . . . . 6 ⊢ ;10 ∈ ℂ
5		karatsuba.m	. . . . . 6 ⊢ 𝑀 ∈ ℕ0
6		expcl 14097	. . . . . 6 ⊢ ((;10 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (;10↑𝑀) ∈ ℂ)
7	4, 5, 6	mp2an 692	. . . . 5 ⊢ (;10↑𝑀) ∈ ℂ
8	2, 7	mulcli 11242	. . . 4 ⊢ (𝐴 · (;10↑𝑀)) ∈ ℂ
9		karatsuba.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 ∈ ℕ0
10	9	nn0cni 12513	. . . 4 ⊢ 𝐵 ∈ ℂ
11		karatsuba.c	. . . . . 6 ⊢ 𝐶 ∈ ℕ0
12	11	nn0cni 12513	. . . . 5 ⊢ 𝐶 ∈ ℂ
13	12, 7	mulcli 11242	. . . 4 ⊢ (𝐶 · (;10↑𝑀)) ∈ ℂ
14		karatsuba.d	. . . . 5 ⊢ 𝐷 ∈ ℕ0
15	14	nn0cni 12513	. . . 4 ⊢ 𝐷 ∈ ℂ
16	8, 10, 13, 15	muladdi 11688	. . 3 ⊢ (((𝐴 · (;10↑𝑀)) + 𝐵) · ((𝐶 · (;10↑𝑀)) + 𝐷)) = ((((𝐴 · (;10↑𝑀)) · (𝐶 · (;10↑𝑀))) + (𝐷 · 𝐵)) + (((𝐴 · (;10↑𝑀)) · 𝐷) + ((𝐶 · (;10↑𝑀)) · 𝐵)))
17	8, 13	mulcli 11242	. . . 4 ⊢ ((𝐴 · (;10↑𝑀)) · (𝐶 · (;10↑𝑀))) ∈ ℂ
18	15, 10	mulcli 11242	. . . 4 ⊢ (𝐷 · 𝐵) ∈ ℂ
19	8, 15	mulcli 11242	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 · (;10↑𝑀)) · 𝐷) ∈ ℂ
20	13, 10	mulcli 11242	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 · (;10↑𝑀)) · 𝐵) ∈ ℂ
21	19, 20	addcli 11241	. . . 4 ⊢ (((𝐴 · (;10↑𝑀)) · 𝐷) + ((𝐶 · (;10↑𝑀)) · 𝐵)) ∈ ℂ
22	17, 18, 21	add32i 11459	. . 3 ⊢ ((((𝐴 · (;10↑𝑀)) · (𝐶 · (;10↑𝑀))) + (𝐷 · 𝐵)) + (((𝐴 · (;10↑𝑀)) · 𝐷) + ((𝐶 · (;10↑𝑀)) · 𝐵))) = ((((𝐴 · (;10↑𝑀)) · (𝐶 · (;10↑𝑀))) + (((𝐴 · (;10↑𝑀)) · 𝐷) + ((𝐶 · (;10↑𝑀)) · 𝐵))) + (𝐷 · 𝐵))
23	8, 12	mulcli 11242	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 · (;10↑𝑀)) · 𝐶) ∈ ℂ
24		karatsuba.s	. . . . . . 7 ⊢ 𝑆 ∈ ℕ0
25	24	nn0cni 12513	. . . . . 6 ⊢ 𝑆 ∈ ℂ
26	23, 25, 7	adddiri 11248	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 · (;10↑𝑀)) · 𝐶) + 𝑆) · (;10↑𝑀)) = ((((𝐴 · (;10↑𝑀)) · 𝐶) · (;10↑𝑀)) + (𝑆 · (;10↑𝑀)))
27	2, 7, 12	mul32i 11431	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 · (;10↑𝑀)) · 𝐶) = ((𝐴 · 𝐶) · (;10↑𝑀))
28		karatsuba.r	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 · 𝐶) = 𝑅
29	28	oveq1i 7415	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 · 𝐶) · (;10↑𝑀)) = (𝑅 · (;10↑𝑀))
30	27, 29	eqtri 2758	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 · (;10↑𝑀)) · 𝐶) = (𝑅 · (;10↑𝑀))
31	30	oveq1i 7415	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 · (;10↑𝑀)) · 𝐶) + 𝑆) = ((𝑅 · (;10↑𝑀)) + 𝑆)
32		karatsuba.w	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 · (;10↑𝑀)) + 𝑆) = 𝑊
33	31, 32	eqtri 2758	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 · (;10↑𝑀)) · 𝐶) + 𝑆) = 𝑊
34	33	oveq1i 7415	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 · (;10↑𝑀)) · 𝐶) + 𝑆) · (;10↑𝑀)) = (𝑊 · (;10↑𝑀))
35	8, 12, 7	mulassi 11246	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 · (;10↑𝑀)) · 𝐶) · (;10↑𝑀)) = ((𝐴 · (;10↑𝑀)) · (𝐶 · (;10↑𝑀)))
36	2, 12	mulcli 11242	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 · 𝐶) ∈ ℂ
37	36, 18, 25	add32i 11459	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 · 𝐶) + (𝐷 · 𝐵)) + 𝑆) = (((𝐴 · 𝐶) + 𝑆) + (𝐷 · 𝐵))
38	28	oveq1i 7415	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 · 𝐶) + 𝑆) = (𝑅 + 𝑆)
39		karatsuba.t	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐵 · 𝐷) = 𝑇
40	10, 15, 39	mulcomli 11244	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐷 · 𝐵) = 𝑇
41	38, 40	oveq12i 7417	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 · 𝐶) + 𝑆) + (𝐷 · 𝐵)) = ((𝑅 + 𝑆) + 𝑇)
42	37, 41	eqtri 2758	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 · 𝐶) + (𝐷 · 𝐵)) + 𝑆) = ((𝑅 + 𝑆) + 𝑇)
43		karatsuba.e	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 + 𝐵) · (𝐶 + 𝐷)) = ((𝑅 + 𝑆) + 𝑇)
44	2, 10, 12, 15	muladdi 11688	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 + 𝐵) · (𝐶 + 𝐷)) = (((𝐴 · 𝐶) + (𝐷 · 𝐵)) + ((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵)))
45	42, 43, 44	3eqtr2i 2764	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 · 𝐶) + (𝐷 · 𝐵)) + 𝑆) = (((𝐴 · 𝐶) + (𝐷 · 𝐵)) + ((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵)))
46	36, 18	addcli 11241	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 · 𝐶) + (𝐷 · 𝐵)) ∈ ℂ
47	2, 15	mulcli 11242	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 · 𝐷) ∈ ℂ
48	12, 10	mulcli 11242	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐶 · 𝐵) ∈ ℂ
49	47, 48	addcli 11241	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵)) ∈ ℂ
50	46, 25, 49	addcani 11428	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 · 𝐶) + (𝐷 · 𝐵)) + 𝑆) = (((𝐴 · 𝐶) + (𝐷 · 𝐵)) + ((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))) ↔ 𝑆 = ((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵)))
51	45, 50	mpbi 230	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑆 = ((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))
52	51	oveq1i 7415	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆 · (;10↑𝑀)) = (((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵)) · (;10↑𝑀))
53	47, 48, 7	adddiri 11248	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵)) · (;10↑𝑀)) = (((𝐴 · 𝐷) · (;10↑𝑀)) + ((𝐶 · 𝐵) · (;10↑𝑀)))
54	2, 15, 7	mul32i 11431	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 · 𝐷) · (;10↑𝑀)) = ((𝐴 · (;10↑𝑀)) · 𝐷)
55	12, 10, 7	mul32i 11431	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐶 · 𝐵) · (;10↑𝑀)) = ((𝐶 · (;10↑𝑀)) · 𝐵)
56	54, 55	oveq12i 7417	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 · 𝐷) · (;10↑𝑀)) + ((𝐶 · 𝐵) · (;10↑𝑀))) = (((𝐴 · (;10↑𝑀)) · 𝐷) + ((𝐶 · (;10↑𝑀)) · 𝐵))
57	52, 53, 56	3eqtri 2762	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 · (;10↑𝑀)) = (((𝐴 · (;10↑𝑀)) · 𝐷) + ((𝐶 · (;10↑𝑀)) · 𝐵))
58	35, 57	oveq12i 7417	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 · (;10↑𝑀)) · 𝐶) · (;10↑𝑀)) + (𝑆 · (;10↑𝑀))) = (((𝐴 · (;10↑𝑀)) · (𝐶 · (;10↑𝑀))) + (((𝐴 · (;10↑𝑀)) · 𝐷) + ((𝐶 · (;10↑𝑀)) · 𝐵)))
59	26, 34, 58	3eqtr3ri 2767	. . . 4 ⊢ (((𝐴 · (;10↑𝑀)) · (𝐶 · (;10↑𝑀))) + (((𝐴 · (;10↑𝑀)) · 𝐷) + ((𝐶 · (;10↑𝑀)) · 𝐵))) = (𝑊 · (;10↑𝑀))
60	59, 40	oveq12i 7417	. . 3 ⊢ ((((𝐴 · (;10↑𝑀)) · (𝐶 · (;10↑𝑀))) + (((𝐴 · (;10↑𝑀)) · 𝐷) + ((𝐶 · (;10↑𝑀)) · 𝐵))) + (𝐷 · 𝐵)) = ((𝑊 · (;10↑𝑀)) + 𝑇)
61	16, 22, 60	3eqtri 2762	. 2 ⊢ (((𝐴 · (;10↑𝑀)) + 𝐵) · ((𝐶 · (;10↑𝑀)) + 𝐷)) = ((𝑊 · (;10↑𝑀)) + 𝑇)
62		karatsuba.x	. . 3 ⊢ ((𝐴 · (;10↑𝑀)) + 𝐵) = 𝑋
63		karatsuba.y	. . 3 ⊢ ((𝐶 · (;10↑𝑀)) + 𝐷) = 𝑌
64	62, 63	oveq12i 7417	. 2 ⊢ (((𝐴 · (;10↑𝑀)) + 𝐵) · ((𝐶 · (;10↑𝑀)) + 𝐷)) = (𝑋 · 𝑌)
65		karatsuba.z	. 2 ⊢ ((𝑊 · (;10↑𝑀)) + 𝑇) = 𝑍
66	61, 64, 65	3eqtr3i 2766	1 ⊢ (𝑋 · 𝑌) = 𝑍

Syntax hints:   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  (class class class)co 7405  ℂcc 11127  0cc0 11129  1c1 11130   + caddc 11132   · cmul 11134  ℕ₀cn0 12501  ;cdc 12708  ↑cexp 14079

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729  ax-cnex 11185  ax-resscn 11186  ax-1cn 11187  ax-icn 11188  ax-addcl 11189  ax-addrcl 11190  ax-mulcl 11191  ax-mulrcl 11192  ax-mulcom 11193  ax-addass 11194  ax-mulass 11195  ax-distr 11196  ax-i2m1 11197  ax-1ne0 11198  ax-1rid 11199  ax-rnegex 11200  ax-rrecex 11201  ax-cnre 11202  ax-pre-lttri 11203  ax-pre-lttrn 11204  ax-pre-ltadd 11205  ax-pre-mulgt0 11206

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7362  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7862  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-er 8719  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-pnf 11271  df-mnf 11272  df-xr 11273  df-ltxr 11274  df-le 11275  df-sub 11468  df-neg 11469  df-nn 12241  df-2 12303  df-3 12304  df-4 12305  df-5 12306  df-6 12307  df-7 12308  df-8 12309  df-9 12310  df-n0 12502  df-z 12589  df-dec 12709  df-uz 12853  df-seq 14020  df-exp 14080

This theorem is referenced by:  dpmul4  32888