Theorem karatsuba 16783

Description: The Karatsuba multiplication algorithm. If 𝑋 and 𝑌 are decomposed into two groups of digits of length 𝑀 (only the lower group is known to be this size but the algorithm is most efficient when the partition is chosen near the middle of the digit string), then 𝑋𝑌 can be written in three groups of digits, where each group needs only one multiplication. Thus, we can halve both inputs with only three multiplications on the smaller operands, yielding an asymptotic improvement of n^(log₂ 3) instead of n^2 for the "naive" algorithm decmul1c 12501. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Jul-2015.) (Revised by AV, 9-Sep-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
karatsuba.a	⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
karatsuba.b	⊢ 𝐵 ∈ ℕ0
karatsuba.c	⊢ 𝐶 ∈ ℕ0
karatsuba.d	⊢ 𝐷 ∈ ℕ0
karatsuba.s	⊢ 𝑆 ∈ ℕ0
karatsuba.m	⊢ 𝑀 ∈ ℕ0
karatsuba.r	⊢ (𝐴 · 𝐶) = 𝑅
karatsuba.t	⊢ (𝐵 · 𝐷) = 𝑇
karatsuba.e	⊢ ((𝐴 + 𝐵) · (𝐶 + 𝐷)) = ((𝑅 + 𝑆) + 𝑇)
karatsuba.x	⊢ ((𝐴 · (;10↑𝑀)) + 𝐵) = 𝑋
karatsuba.y	⊢ ((𝐶 · (;10↑𝑀)) + 𝐷) = 𝑌
karatsuba.w	⊢ ((𝑅 · (;10↑𝑀)) + 𝑆) = 𝑊
karatsuba.z	⊢ ((𝑊 · (;10↑𝑀)) + 𝑇) = 𝑍

Assertion

Ref	Expression
karatsuba	⊢ (𝑋 · 𝑌) = 𝑍

Proof of Theorem karatsuba

Step	Hyp	Ref	Expression
1		karatsuba.a	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
2	1	nn0cni 12245	. . . . 5 ⊢ 𝐴 ∈ ℂ
3		10nn0 12454	. . . . . . 7 ⊢ ;10 ∈ ℕ0
4	3	nn0cni 12245	. . . . . 6 ⊢ ;10 ∈ ℂ
5		karatsuba.m	. . . . . 6 ⊢ 𝑀 ∈ ℕ0
6		expcl 13798	. . . . . 6 ⊢ ((;10 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (;10↑𝑀) ∈ ℂ)
7	4, 5, 6	mp2an 689	. . . . 5 ⊢ (;10↑𝑀) ∈ ℂ
8	2, 7	mulcli 10983	. . . 4 ⊢ (𝐴 · (;10↑𝑀)) ∈ ℂ
9		karatsuba.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 ∈ ℕ0
10	9	nn0cni 12245	. . . 4 ⊢ 𝐵 ∈ ℂ
11		karatsuba.c	. . . . . 6 ⊢ 𝐶 ∈ ℕ0
12	11	nn0cni 12245	. . . . 5 ⊢ 𝐶 ∈ ℂ
13	12, 7	mulcli 10983	. . . 4 ⊢ (𝐶 · (;10↑𝑀)) ∈ ℂ
14		karatsuba.d	. . . . 5 ⊢ 𝐷 ∈ ℕ0
15	14	nn0cni 12245	. . . 4 ⊢ 𝐷 ∈ ℂ
16	8, 10, 13, 15	muladdi 11426	. . 3 ⊢ (((𝐴 · (;10↑𝑀)) + 𝐵) · ((𝐶 · (;10↑𝑀)) + 𝐷)) = ((((𝐴 · (;10↑𝑀)) · (𝐶 · (;10↑𝑀))) + (𝐷 · 𝐵)) + (((𝐴 · (;10↑𝑀)) · 𝐷) + ((𝐶 · (;10↑𝑀)) · 𝐵)))
17	8, 13	mulcli 10983	. . . 4 ⊢ ((𝐴 · (;10↑𝑀)) · (𝐶 · (;10↑𝑀))) ∈ ℂ
18	15, 10	mulcli 10983	. . . 4 ⊢ (𝐷 · 𝐵) ∈ ℂ
19	8, 15	mulcli 10983	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 · (;10↑𝑀)) · 𝐷) ∈ ℂ
20	13, 10	mulcli 10983	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 · (;10↑𝑀)) · 𝐵) ∈ ℂ
21	19, 20	addcli 10982	. . . 4 ⊢ (((𝐴 · (;10↑𝑀)) · 𝐷) + ((𝐶 · (;10↑𝑀)) · 𝐵)) ∈ ℂ
22	17, 18, 21	add32i 11198	. . 3 ⊢ ((((𝐴 · (;10↑𝑀)) · (𝐶 · (;10↑𝑀))) + (𝐷 · 𝐵)) + (((𝐴 · (;10↑𝑀)) · 𝐷) + ((𝐶 · (;10↑𝑀)) · 𝐵))) = ((((𝐴 · (;10↑𝑀)) · (𝐶 · (;10↑𝑀))) + (((𝐴 · (;10↑𝑀)) · 𝐷) + ((𝐶 · (;10↑𝑀)) · 𝐵))) + (𝐷 · 𝐵))
23	8, 12	mulcli 10983	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 · (;10↑𝑀)) · 𝐶) ∈ ℂ
24		karatsuba.s	. . . . . . 7 ⊢ 𝑆 ∈ ℕ0
25	24	nn0cni 12245	. . . . . 6 ⊢ 𝑆 ∈ ℂ
26	23, 25, 7	adddiri 10989	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 · (;10↑𝑀)) · 𝐶) + 𝑆) · (;10↑𝑀)) = ((((𝐴 · (;10↑𝑀)) · 𝐶) · (;10↑𝑀)) + (𝑆 · (;10↑𝑀)))
27	2, 7, 12	mul32i 11171	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 · (;10↑𝑀)) · 𝐶) = ((𝐴 · 𝐶) · (;10↑𝑀))
28		karatsuba.r	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 · 𝐶) = 𝑅
29	28	oveq1i 7281	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 · 𝐶) · (;10↑𝑀)) = (𝑅 · (;10↑𝑀))
30	27, 29	eqtri 2768	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 · (;10↑𝑀)) · 𝐶) = (𝑅 · (;10↑𝑀))
31	30	oveq1i 7281	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 · (;10↑𝑀)) · 𝐶) + 𝑆) = ((𝑅 · (;10↑𝑀)) + 𝑆)
32		karatsuba.w	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 · (;10↑𝑀)) + 𝑆) = 𝑊
33	31, 32	eqtri 2768	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 · (;10↑𝑀)) · 𝐶) + 𝑆) = 𝑊
34	33	oveq1i 7281	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 · (;10↑𝑀)) · 𝐶) + 𝑆) · (;10↑𝑀)) = (𝑊 · (;10↑𝑀))
35	8, 12, 7	mulassi 10987	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 · (;10↑𝑀)) · 𝐶) · (;10↑𝑀)) = ((𝐴 · (;10↑𝑀)) · (𝐶 · (;10↑𝑀)))
36	2, 12	mulcli 10983	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 · 𝐶) ∈ ℂ
37	36, 18, 25	add32i 11198	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 · 𝐶) + (𝐷 · 𝐵)) + 𝑆) = (((𝐴 · 𝐶) + 𝑆) + (𝐷 · 𝐵))
38	28	oveq1i 7281	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 · 𝐶) + 𝑆) = (𝑅 + 𝑆)
39		karatsuba.t	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐵 · 𝐷) = 𝑇
40	10, 15, 39	mulcomli 10985	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐷 · 𝐵) = 𝑇
41	38, 40	oveq12i 7283	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 · 𝐶) + 𝑆) + (𝐷 · 𝐵)) = ((𝑅 + 𝑆) + 𝑇)
42	37, 41	eqtri 2768	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 · 𝐶) + (𝐷 · 𝐵)) + 𝑆) = ((𝑅 + 𝑆) + 𝑇)
43		karatsuba.e	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 + 𝐵) · (𝐶 + 𝐷)) = ((𝑅 + 𝑆) + 𝑇)
44	2, 10, 12, 15	muladdi 11426	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 + 𝐵) · (𝐶 + 𝐷)) = (((𝐴 · 𝐶) + (𝐷 · 𝐵)) + ((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵)))
45	42, 43, 44	3eqtr2i 2774	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 · 𝐶) + (𝐷 · 𝐵)) + 𝑆) = (((𝐴 · 𝐶) + (𝐷 · 𝐵)) + ((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵)))
46	36, 18	addcli 10982	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 · 𝐶) + (𝐷 · 𝐵)) ∈ ℂ
47	2, 15	mulcli 10983	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 · 𝐷) ∈ ℂ
48	12, 10	mulcli 10983	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐶 · 𝐵) ∈ ℂ
49	47, 48	addcli 10982	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵)) ∈ ℂ
50	46, 25, 49	addcani 11168	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 · 𝐶) + (𝐷 · 𝐵)) + 𝑆) = (((𝐴 · 𝐶) + (𝐷 · 𝐵)) + ((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))) ↔ 𝑆 = ((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵)))
51	45, 50	mpbi 229	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑆 = ((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))
52	51	oveq1i 7281	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆 · (;10↑𝑀)) = (((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵)) · (;10↑𝑀))
53	47, 48, 7	adddiri 10989	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵)) · (;10↑𝑀)) = (((𝐴 · 𝐷) · (;10↑𝑀)) + ((𝐶 · 𝐵) · (;10↑𝑀)))
54	2, 15, 7	mul32i 11171	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 · 𝐷) · (;10↑𝑀)) = ((𝐴 · (;10↑𝑀)) · 𝐷)
55	12, 10, 7	mul32i 11171	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐶 · 𝐵) · (;10↑𝑀)) = ((𝐶 · (;10↑𝑀)) · 𝐵)
56	54, 55	oveq12i 7283	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 · 𝐷) · (;10↑𝑀)) + ((𝐶 · 𝐵) · (;10↑𝑀))) = (((𝐴 · (;10↑𝑀)) · 𝐷) + ((𝐶 · (;10↑𝑀)) · 𝐵))
57	52, 53, 56	3eqtri 2772	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 · (;10↑𝑀)) = (((𝐴 · (;10↑𝑀)) · 𝐷) + ((𝐶 · (;10↑𝑀)) · 𝐵))
58	35, 57	oveq12i 7283	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 · (;10↑𝑀)) · 𝐶) · (;10↑𝑀)) + (𝑆 · (;10↑𝑀))) = (((𝐴 · (;10↑𝑀)) · (𝐶 · (;10↑𝑀))) + (((𝐴 · (;10↑𝑀)) · 𝐷) + ((𝐶 · (;10↑𝑀)) · 𝐵)))
59	26, 34, 58	3eqtr3ri 2777	. . . 4 ⊢ (((𝐴 · (;10↑𝑀)) · (𝐶 · (;10↑𝑀))) + (((𝐴 · (;10↑𝑀)) · 𝐷) + ((𝐶 · (;10↑𝑀)) · 𝐵))) = (𝑊 · (;10↑𝑀))
60	59, 40	oveq12i 7283	. . 3 ⊢ ((((𝐴 · (;10↑𝑀)) · (𝐶 · (;10↑𝑀))) + (((𝐴 · (;10↑𝑀)) · 𝐷) + ((𝐶 · (;10↑𝑀)) · 𝐵))) + (𝐷 · 𝐵)) = ((𝑊 · (;10↑𝑀)) + 𝑇)
61	16, 22, 60	3eqtri 2772	. 2 ⊢ (((𝐴 · (;10↑𝑀)) + 𝐵) · ((𝐶 · (;10↑𝑀)) + 𝐷)) = ((𝑊 · (;10↑𝑀)) + 𝑇)
62		karatsuba.x	. . 3 ⊢ ((𝐴 · (;10↑𝑀)) + 𝐵) = 𝑋
63		karatsuba.y	. . 3 ⊢ ((𝐶 · (;10↑𝑀)) + 𝐷) = 𝑌
64	62, 63	oveq12i 7283	. 2 ⊢ (((𝐴 · (;10↑𝑀)) + 𝐵) · ((𝐶 · (;10↑𝑀)) + 𝐷)) = (𝑋 · 𝑌)
65		karatsuba.z	. 2 ⊢ ((𝑊 · (;10↑𝑀)) + 𝑇) = 𝑍
66	61, 64, 65	3eqtr3i 2776	1 ⊢ (𝑋 · 𝑌) = 𝑍

Syntax hints:   = wceq 1542   ∈ wcel 2110  (class class class)co 7271  ℂcc 10870  0cc0 10872  1c1 10873   + caddc 10875   · cmul 10877  ℕ₀cn0 12233  ;cdc 12436  ↑cexp 13780

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2015  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2711  ax-sep 5227  ax-nul 5234  ax-pow 5292  ax-pr 5356  ax-un 7582  ax-cnex 10928  ax-resscn 10929  ax-1cn 10930  ax-icn 10931  ax-addcl 10932  ax-addrcl 10933  ax-mulcl 10934  ax-mulrcl 10935  ax-mulcom 10936  ax-addass 10937  ax-mulass 10938  ax-distr 10939  ax-i2m1 10940  ax-1ne0 10941  ax-1rid 10942  ax-rnegex 10943  ax-rrecex 10944  ax-cnre 10945  ax-pre-lttri 10946  ax-pre-lttrn 10947  ax-pre-ltadd 10948  ax-pre-mulgt0 10949

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2072  df-mo 2542  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2818  df-nfc 2891  df-ne 2946  df-nel 3052  df-ral 3071  df-rex 3072  df-reu 3073  df-rab 3075  df-v 3433  df-sbc 3721  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-pss 3911  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4846  df-iun 4932  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5163  df-tr 5197  df-id 5490  df-eprel 5496  df-po 5504  df-so 5505  df-fr 5545  df-we 5547  df-xp 5596  df-rel 5597  df-cnv 5598  df-co 5599  df-dm 5600  df-rn 5601  df-res 5602  df-ima 5603  df-pred 6201  df-ord 6268  df-on 6269  df-lim 6270  df-suc 6271  df-iota 6390  df-fun 6434  df-fn 6435  df-f 6436  df-f1 6437  df-fo 6438  df-f1o 6439  df-fv 6440  df-riota 7228  df-ov 7274  df-oprab 7275  df-mpo 7276  df-om 7707  df-2nd 7825  df-frecs 8088  df-wrecs 8119  df-recs 8193  df-rdg 8232  df-er 8481  df-en 8717  df-dom 8718  df-sdom 8719  df-pnf 11012  df-mnf 11013  df-xr 11014  df-ltxr 11015  df-le 11016  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-4 12038  df-5 12039  df-6 12040  df-7 12041  df-8 12042  df-9 12043  df-n0 12234  df-z 12320  df-dec 12437  df-uz 12582  df-seq 13720  df-exp 13781

This theorem is referenced by:  dpmul4  31184