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Theorem karatsuba 17056
Description: The Karatsuba multiplication algorithm. If 𝑋 and 𝑌 are decomposed into two groups of digits of length 𝑀 (only the lower group is known to be this size but the algorithm is most efficient when the partition is chosen near the middle of the digit string), then 𝑋𝑌 can be written in three groups of digits, where each group needs only one multiplication. Thus, we can halve both inputs with only three multiplications on the smaller operands, yielding an asymptotic improvement of n^(log2 3) instead of n^2 for the "naive" algorithm decmul1c 12775. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Jul-2015.) (Revised by AV, 9-Sep-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
karatsuba.a 𝐴 ∈ ℕ0
karatsuba.b 𝐵 ∈ ℕ0
karatsuba.c 𝐶 ∈ ℕ0
karatsuba.d 𝐷 ∈ ℕ0
karatsuba.s 𝑆 ∈ ℕ0
karatsuba.m 𝑀 ∈ ℕ0
karatsuba.r (𝐴 · 𝐶) = 𝑅
karatsuba.t (𝐵 · 𝐷) = 𝑇
karatsuba.e ((𝐴 + 𝐵) · (𝐶 + 𝐷)) = ((𝑅 + 𝑆) + 𝑇)
karatsuba.x ((𝐴 · (10↑𝑀)) + 𝐵) = 𝑋
karatsuba.y ((𝐶 · (10↑𝑀)) + 𝐷) = 𝑌
karatsuba.w ((𝑅 · (10↑𝑀)) + 𝑆) = 𝑊
karatsuba.z ((𝑊 · (10↑𝑀)) + 𝑇) = 𝑍
Assertion
Ref Expression
karatsuba (𝑋 · 𝑌) = 𝑍

Proof of Theorem karatsuba
StepHypRef Expression
1 karatsuba.a . . . . . 6 𝐴 ∈ ℕ0
21nn0cni 12517 . . . . 5 𝐴 ∈ ℂ
3 10nn0 12728 . . . . . . 7 10 ∈ ℕ0
43nn0cni 12517 . . . . . 6 10 ∈ ℂ
5 karatsuba.m . . . . . 6 𝑀 ∈ ℕ0
6 expcl 14080 . . . . . 6 ((10 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (10↑𝑀) ∈ ℂ)
74, 5, 6mp2an 690 . . . . 5 (10↑𝑀) ∈ ℂ
82, 7mulcli 11253 . . . 4 (𝐴 · (10↑𝑀)) ∈ ℂ
9 karatsuba.b . . . . 5 𝐵 ∈ ℕ0
109nn0cni 12517 . . . 4 𝐵 ∈ ℂ
11 karatsuba.c . . . . . 6 𝐶 ∈ ℕ0
1211nn0cni 12517 . . . . 5 𝐶 ∈ ℂ
1312, 7mulcli 11253 . . . 4 (𝐶 · (10↑𝑀)) ∈ ℂ
14 karatsuba.d . . . . 5 𝐷 ∈ ℕ0
1514nn0cni 12517 . . . 4 𝐷 ∈ ℂ
168, 10, 13, 15muladdi 11697 . . 3 (((𝐴 · (10↑𝑀)) + 𝐵) · ((𝐶 · (10↑𝑀)) + 𝐷)) = ((((𝐴 · (10↑𝑀)) · (𝐶 · (10↑𝑀))) + (𝐷 · 𝐵)) + (((𝐴 · (10↑𝑀)) · 𝐷) + ((𝐶 · (10↑𝑀)) · 𝐵)))
178, 13mulcli 11253 . . . 4 ((𝐴 · (10↑𝑀)) · (𝐶 · (10↑𝑀))) ∈ ℂ
1815, 10mulcli 11253 . . . 4 (𝐷 · 𝐵) ∈ ℂ
198, 15mulcli 11253 . . . . 5 ((𝐴 · (10↑𝑀)) · 𝐷) ∈ ℂ
2013, 10mulcli 11253 . . . . 5 ((𝐶 · (10↑𝑀)) · 𝐵) ∈ ℂ
2119, 20addcli 11252 . . . 4 (((𝐴 · (10↑𝑀)) · 𝐷) + ((𝐶 · (10↑𝑀)) · 𝐵)) ∈ ℂ
2217, 18, 21add32i 11469 . . 3 ((((𝐴 · (10↑𝑀)) · (𝐶 · (10↑𝑀))) + (𝐷 · 𝐵)) + (((𝐴 · (10↑𝑀)) · 𝐷) + ((𝐶 · (10↑𝑀)) · 𝐵))) = ((((𝐴 · (10↑𝑀)) · (𝐶 · (10↑𝑀))) + (((𝐴 · (10↑𝑀)) · 𝐷) + ((𝐶 · (10↑𝑀)) · 𝐵))) + (𝐷 · 𝐵))
238, 12mulcli 11253 . . . . . 6 ((𝐴 · (10↑𝑀)) · 𝐶) ∈ ℂ
24 karatsuba.s . . . . . . 7 𝑆 ∈ ℕ0
2524nn0cni 12517 . . . . . 6 𝑆 ∈ ℂ
2623, 25, 7adddiri 11259 . . . . 5 ((((𝐴 · (10↑𝑀)) · 𝐶) + 𝑆) · (10↑𝑀)) = ((((𝐴 · (10↑𝑀)) · 𝐶) · (10↑𝑀)) + (𝑆 · (10↑𝑀)))
272, 7, 12mul32i 11442 . . . . . . . . 9 ((𝐴 · (10↑𝑀)) · 𝐶) = ((𝐴 · 𝐶) · (10↑𝑀))
28 karatsuba.r . . . . . . . . . 10 (𝐴 · 𝐶) = 𝑅
2928oveq1i 7429 . . . . . . . . 9 ((𝐴 · 𝐶) · (10↑𝑀)) = (𝑅 · (10↑𝑀))
3027, 29eqtri 2753 . . . . . . . 8 ((𝐴 · (10↑𝑀)) · 𝐶) = (𝑅 · (10↑𝑀))
3130oveq1i 7429 . . . . . . 7 (((𝐴 · (10↑𝑀)) · 𝐶) + 𝑆) = ((𝑅 · (10↑𝑀)) + 𝑆)
32 karatsuba.w . . . . . . 7 ((𝑅 · (10↑𝑀)) + 𝑆) = 𝑊
3331, 32eqtri 2753 . . . . . 6 (((𝐴 · (10↑𝑀)) · 𝐶) + 𝑆) = 𝑊
3433oveq1i 7429 . . . . 5 ((((𝐴 · (10↑𝑀)) · 𝐶) + 𝑆) · (10↑𝑀)) = (𝑊 · (10↑𝑀))
358, 12, 7mulassi 11257 . . . . . 6 (((𝐴 · (10↑𝑀)) · 𝐶) · (10↑𝑀)) = ((𝐴 · (10↑𝑀)) · (𝐶 · (10↑𝑀)))
362, 12mulcli 11253 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 · 𝐶) ∈ ℂ
3736, 18, 25add32i 11469 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 · 𝐶) + (𝐷 · 𝐵)) + 𝑆) = (((𝐴 · 𝐶) + 𝑆) + (𝐷 · 𝐵))
3828oveq1i 7429 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 · 𝐶) + 𝑆) = (𝑅 + 𝑆)
39 karatsuba.t . . . . . . . . . . . . 13 (𝐵 · 𝐷) = 𝑇
4010, 15, 39mulcomli 11255 . . . . . . . . . . . 12 (𝐷 · 𝐵) = 𝑇
4138, 40oveq12i 7431 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 · 𝐶) + 𝑆) + (𝐷 · 𝐵)) = ((𝑅 + 𝑆) + 𝑇)
4237, 41eqtri 2753 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 · 𝐶) + (𝐷 · 𝐵)) + 𝑆) = ((𝑅 + 𝑆) + 𝑇)
43 karatsuba.e . . . . . . . . . 10 ((𝐴 + 𝐵) · (𝐶 + 𝐷)) = ((𝑅 + 𝑆) + 𝑇)
442, 10, 12, 15muladdi 11697 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 + 𝐵) · (𝐶 + 𝐷)) = (((𝐴 · 𝐶) + (𝐷 · 𝐵)) + ((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵)))
4542, 43, 443eqtr2i 2759 . . . . . . . . 9 (((𝐴 · 𝐶) + (𝐷 · 𝐵)) + 𝑆) = (((𝐴 · 𝐶) + (𝐷 · 𝐵)) + ((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵)))
4636, 18addcli 11252 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 · 𝐶) + (𝐷 · 𝐵)) ∈ ℂ
472, 15mulcli 11253 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 · 𝐷) ∈ ℂ
4812, 10mulcli 11253 . . . . . . . . . . 11 (𝐶 · 𝐵) ∈ ℂ
4947, 48addcli 11252 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵)) ∈ ℂ
5046, 25, 49addcani 11439 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 · 𝐶) + (𝐷 · 𝐵)) + 𝑆) = (((𝐴 · 𝐶) + (𝐷 · 𝐵)) + ((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))) ↔ 𝑆 = ((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵)))
5145, 50mpbi 229 . . . . . . . 8 𝑆 = ((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))
5251oveq1i 7429 . . . . . . 7 (𝑆 · (10↑𝑀)) = (((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵)) · (10↑𝑀))
5347, 48, 7adddiri 11259 . . . . . . 7 (((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵)) · (10↑𝑀)) = (((𝐴 · 𝐷) · (10↑𝑀)) + ((𝐶 · 𝐵) · (10↑𝑀)))
542, 15, 7mul32i 11442 . . . . . . . 8 ((𝐴 · 𝐷) · (10↑𝑀)) = ((𝐴 · (10↑𝑀)) · 𝐷)
5512, 10, 7mul32i 11442 . . . . . . . 8 ((𝐶 · 𝐵) · (10↑𝑀)) = ((𝐶 · (10↑𝑀)) · 𝐵)
5654, 55oveq12i 7431 . . . . . . 7 (((𝐴 · 𝐷) · (10↑𝑀)) + ((𝐶 · 𝐵) · (10↑𝑀))) = (((𝐴 · (10↑𝑀)) · 𝐷) + ((𝐶 · (10↑𝑀)) · 𝐵))
5752, 53, 563eqtri 2757 . . . . . 6 (𝑆 · (10↑𝑀)) = (((𝐴 · (10↑𝑀)) · 𝐷) + ((𝐶 · (10↑𝑀)) · 𝐵))
5835, 57oveq12i 7431 . . . . 5 ((((𝐴 · (10↑𝑀)) · 𝐶) · (10↑𝑀)) + (𝑆 · (10↑𝑀))) = (((𝐴 · (10↑𝑀)) · (𝐶 · (10↑𝑀))) + (((𝐴 · (10↑𝑀)) · 𝐷) + ((𝐶 · (10↑𝑀)) · 𝐵)))
5926, 34, 583eqtr3ri 2762 . . . 4 (((𝐴 · (10↑𝑀)) · (𝐶 · (10↑𝑀))) + (((𝐴 · (10↑𝑀)) · 𝐷) + ((𝐶 · (10↑𝑀)) · 𝐵))) = (𝑊 · (10↑𝑀))
6059, 40oveq12i 7431 . . 3 ((((𝐴 · (10↑𝑀)) · (𝐶 · (10↑𝑀))) + (((𝐴 · (10↑𝑀)) · 𝐷) + ((𝐶 · (10↑𝑀)) · 𝐵))) + (𝐷 · 𝐵)) = ((𝑊 · (10↑𝑀)) + 𝑇)
6116, 22, 603eqtri 2757 . 2 (((𝐴 · (10↑𝑀)) + 𝐵) · ((𝐶 · (10↑𝑀)) + 𝐷)) = ((𝑊 · (10↑𝑀)) + 𝑇)
62 karatsuba.x . . 3 ((𝐴 · (10↑𝑀)) + 𝐵) = 𝑋
63 karatsuba.y . . 3 ((𝐶 · (10↑𝑀)) + 𝐷) = 𝑌
6462, 63oveq12i 7431 . 2 (((𝐴 · (10↑𝑀)) + 𝐵) · ((𝐶 · (10↑𝑀)) + 𝐷)) = (𝑋 · 𝑌)
65 karatsuba.z . 2 ((𝑊 · (10↑𝑀)) + 𝑇) = 𝑍
6661, 64, 653eqtr3i 2761 1 (𝑋 · 𝑌) = 𝑍
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1533  wcel 2098  (class class class)co 7419  cc 11138  0cc0 11140  1c1 11141   + caddc 11143   · cmul 11145  0cn0 12505  cdc 12710  cexp 14062
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741  ax-cnex 11196  ax-resscn 11197  ax-1cn 11198  ax-icn 11199  ax-addcl 11200  ax-addrcl 11201  ax-mulcl 11202  ax-mulrcl 11203  ax-mulcom 11204  ax-addass 11205  ax-mulass 11206  ax-distr 11207  ax-i2m1 11208  ax-1ne0 11209  ax-1rid 11210  ax-rnegex 11211  ax-rrecex 11212  ax-cnre 11213  ax-pre-lttri 11214  ax-pre-lttrn 11215  ax-pre-ltadd 11216  ax-pre-mulgt0 11217
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3964  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4910  df-iun 4999  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6307  df-ord 6374  df-on 6375  df-lim 6376  df-suc 6377  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-riota 7375  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7872  df-2nd 7995  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-er 8725  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-pnf 11282  df-mnf 11283  df-xr 11284  df-ltxr 11285  df-le 11286  df-sub 11478  df-neg 11479  df-nn 12246  df-2 12308  df-3 12309  df-4 12310  df-5 12311  df-6 12312  df-7 12313  df-8 12314  df-9 12315  df-n0 12506  df-z 12592  df-dec 12711  df-uz 12856  df-seq 14003  df-exp 14063
This theorem is referenced by:  dpmul4  32722
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