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Theorem karatsuba 16409
Description: The Karatsuba multiplication algorithm. If 𝑋 and 𝑌 are decomposed into two groups of digits of length 𝑀 (only the lower group is known to be this size but the algorithm is most efficient when the partition is chosen near the middle of the digit string), then 𝑋𝑌 can be written in three groups of digits, where each group needs only one multiplication. Thus, we can halve both inputs with only three multiplications on the smaller operands, yielding an asymptotic improvement of n^(log2 3) instead of n^2 for the "naive" algorithm decmul1c 12151. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Jul-2015.) (Revised by AV, 9-Sep-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
karatsuba.a 𝐴 ∈ ℕ0
karatsuba.b 𝐵 ∈ ℕ0
karatsuba.c 𝐶 ∈ ℕ0
karatsuba.d 𝐷 ∈ ℕ0
karatsuba.s 𝑆 ∈ ℕ0
karatsuba.m 𝑀 ∈ ℕ0
karatsuba.r (𝐴 · 𝐶) = 𝑅
karatsuba.t (𝐵 · 𝐷) = 𝑇
karatsuba.e ((𝐴 + 𝐵) · (𝐶 + 𝐷)) = ((𝑅 + 𝑆) + 𝑇)
karatsuba.x ((𝐴 · (10↑𝑀)) + 𝐵) = 𝑋
karatsuba.y ((𝐶 · (10↑𝑀)) + 𝐷) = 𝑌
karatsuba.w ((𝑅 · (10↑𝑀)) + 𝑆) = 𝑊
karatsuba.z ((𝑊 · (10↑𝑀)) + 𝑇) = 𝑍
Assertion
Ref Expression
karatsuba (𝑋 · 𝑌) = 𝑍

Proof of Theorem karatsuba
StepHypRef Expression
1 karatsuba.a . . . . . 6 𝐴 ∈ ℕ0
21nn0cni 11897 . . . . 5 𝐴 ∈ ℂ
3 10nn0 12104 . . . . . . 7 10 ∈ ℕ0
43nn0cni 11897 . . . . . 6 10 ∈ ℂ
5 karatsuba.m . . . . . 6 𝑀 ∈ ℕ0
6 expcl 13443 . . . . . 6 ((10 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (10↑𝑀) ∈ ℂ)
74, 5, 6mp2an 691 . . . . 5 (10↑𝑀) ∈ ℂ
82, 7mulcli 10637 . . . 4 (𝐴 · (10↑𝑀)) ∈ ℂ
9 karatsuba.b . . . . 5 𝐵 ∈ ℕ0
109nn0cni 11897 . . . 4 𝐵 ∈ ℂ
11 karatsuba.c . . . . . 6 𝐶 ∈ ℕ0
1211nn0cni 11897 . . . . 5 𝐶 ∈ ℂ
1312, 7mulcli 10637 . . . 4 (𝐶 · (10↑𝑀)) ∈ ℂ
14 karatsuba.d . . . . 5 𝐷 ∈ ℕ0
1514nn0cni 11897 . . . 4 𝐷 ∈ ℂ
168, 10, 13, 15muladdi 11080 . . 3 (((𝐴 · (10↑𝑀)) + 𝐵) · ((𝐶 · (10↑𝑀)) + 𝐷)) = ((((𝐴 · (10↑𝑀)) · (𝐶 · (10↑𝑀))) + (𝐷 · 𝐵)) + (((𝐴 · (10↑𝑀)) · 𝐷) + ((𝐶 · (10↑𝑀)) · 𝐵)))
178, 13mulcli 10637 . . . 4 ((𝐴 · (10↑𝑀)) · (𝐶 · (10↑𝑀))) ∈ ℂ
1815, 10mulcli 10637 . . . 4 (𝐷 · 𝐵) ∈ ℂ
198, 15mulcli 10637 . . . . 5 ((𝐴 · (10↑𝑀)) · 𝐷) ∈ ℂ
2013, 10mulcli 10637 . . . . 5 ((𝐶 · (10↑𝑀)) · 𝐵) ∈ ℂ
2119, 20addcli 10636 . . . 4 (((𝐴 · (10↑𝑀)) · 𝐷) + ((𝐶 · (10↑𝑀)) · 𝐵)) ∈ ℂ
2217, 18, 21add32i 10852 . . 3 ((((𝐴 · (10↑𝑀)) · (𝐶 · (10↑𝑀))) + (𝐷 · 𝐵)) + (((𝐴 · (10↑𝑀)) · 𝐷) + ((𝐶 · (10↑𝑀)) · 𝐵))) = ((((𝐴 · (10↑𝑀)) · (𝐶 · (10↑𝑀))) + (((𝐴 · (10↑𝑀)) · 𝐷) + ((𝐶 · (10↑𝑀)) · 𝐵))) + (𝐷 · 𝐵))
238, 12mulcli 10637 . . . . . 6 ((𝐴 · (10↑𝑀)) · 𝐶) ∈ ℂ
24 karatsuba.s . . . . . . 7 𝑆 ∈ ℕ0
2524nn0cni 11897 . . . . . 6 𝑆 ∈ ℂ
2623, 25, 7adddiri 10643 . . . . 5 ((((𝐴 · (10↑𝑀)) · 𝐶) + 𝑆) · (10↑𝑀)) = ((((𝐴 · (10↑𝑀)) · 𝐶) · (10↑𝑀)) + (𝑆 · (10↑𝑀)))
272, 7, 12mul32i 10825 . . . . . . . . 9 ((𝐴 · (10↑𝑀)) · 𝐶) = ((𝐴 · 𝐶) · (10↑𝑀))
28 karatsuba.r . . . . . . . . . 10 (𝐴 · 𝐶) = 𝑅
2928oveq1i 7150 . . . . . . . . 9 ((𝐴 · 𝐶) · (10↑𝑀)) = (𝑅 · (10↑𝑀))
3027, 29eqtri 2845 . . . . . . . 8 ((𝐴 · (10↑𝑀)) · 𝐶) = (𝑅 · (10↑𝑀))
3130oveq1i 7150 . . . . . . 7 (((𝐴 · (10↑𝑀)) · 𝐶) + 𝑆) = ((𝑅 · (10↑𝑀)) + 𝑆)
32 karatsuba.w . . . . . . 7 ((𝑅 · (10↑𝑀)) + 𝑆) = 𝑊
3331, 32eqtri 2845 . . . . . 6 (((𝐴 · (10↑𝑀)) · 𝐶) + 𝑆) = 𝑊
3433oveq1i 7150 . . . . 5 ((((𝐴 · (10↑𝑀)) · 𝐶) + 𝑆) · (10↑𝑀)) = (𝑊 · (10↑𝑀))
358, 12, 7mulassi 10641 . . . . . 6 (((𝐴 · (10↑𝑀)) · 𝐶) · (10↑𝑀)) = ((𝐴 · (10↑𝑀)) · (𝐶 · (10↑𝑀)))
362, 12mulcli 10637 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 · 𝐶) ∈ ℂ
3736, 18, 25add32i 10852 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 · 𝐶) + (𝐷 · 𝐵)) + 𝑆) = (((𝐴 · 𝐶) + 𝑆) + (𝐷 · 𝐵))
3828oveq1i 7150 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 · 𝐶) + 𝑆) = (𝑅 + 𝑆)
39 karatsuba.t . . . . . . . . . . . . 13 (𝐵 · 𝐷) = 𝑇
4010, 15, 39mulcomli 10639 . . . . . . . . . . . 12 (𝐷 · 𝐵) = 𝑇
4138, 40oveq12i 7152 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 · 𝐶) + 𝑆) + (𝐷 · 𝐵)) = ((𝑅 + 𝑆) + 𝑇)
4237, 41eqtri 2845 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 · 𝐶) + (𝐷 · 𝐵)) + 𝑆) = ((𝑅 + 𝑆) + 𝑇)
43 karatsuba.e . . . . . . . . . 10 ((𝐴 + 𝐵) · (𝐶 + 𝐷)) = ((𝑅 + 𝑆) + 𝑇)
442, 10, 12, 15muladdi 11080 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 + 𝐵) · (𝐶 + 𝐷)) = (((𝐴 · 𝐶) + (𝐷 · 𝐵)) + ((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵)))
4542, 43, 443eqtr2i 2851 . . . . . . . . 9 (((𝐴 · 𝐶) + (𝐷 · 𝐵)) + 𝑆) = (((𝐴 · 𝐶) + (𝐷 · 𝐵)) + ((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵)))
4636, 18addcli 10636 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 · 𝐶) + (𝐷 · 𝐵)) ∈ ℂ
472, 15mulcli 10637 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 · 𝐷) ∈ ℂ
4812, 10mulcli 10637 . . . . . . . . . . 11 (𝐶 · 𝐵) ∈ ℂ
4947, 48addcli 10636 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵)) ∈ ℂ
5046, 25, 49addcani 10822 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 · 𝐶) + (𝐷 · 𝐵)) + 𝑆) = (((𝐴 · 𝐶) + (𝐷 · 𝐵)) + ((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))) ↔ 𝑆 = ((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵)))
5145, 50mpbi 233 . . . . . . . 8 𝑆 = ((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))
5251oveq1i 7150 . . . . . . 7 (𝑆 · (10↑𝑀)) = (((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵)) · (10↑𝑀))
5347, 48, 7adddiri 10643 . . . . . . 7 (((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵)) · (10↑𝑀)) = (((𝐴 · 𝐷) · (10↑𝑀)) + ((𝐶 · 𝐵) · (10↑𝑀)))
542, 15, 7mul32i 10825 . . . . . . . 8 ((𝐴 · 𝐷) · (10↑𝑀)) = ((𝐴 · (10↑𝑀)) · 𝐷)
5512, 10, 7mul32i 10825 . . . . . . . 8 ((𝐶 · 𝐵) · (10↑𝑀)) = ((𝐶 · (10↑𝑀)) · 𝐵)
5654, 55oveq12i 7152 . . . . . . 7 (((𝐴 · 𝐷) · (10↑𝑀)) + ((𝐶 · 𝐵) · (10↑𝑀))) = (((𝐴 · (10↑𝑀)) · 𝐷) + ((𝐶 · (10↑𝑀)) · 𝐵))
5752, 53, 563eqtri 2849 . . . . . 6 (𝑆 · (10↑𝑀)) = (((𝐴 · (10↑𝑀)) · 𝐷) + ((𝐶 · (10↑𝑀)) · 𝐵))
5835, 57oveq12i 7152 . . . . 5 ((((𝐴 · (10↑𝑀)) · 𝐶) · (10↑𝑀)) + (𝑆 · (10↑𝑀))) = (((𝐴 · (10↑𝑀)) · (𝐶 · (10↑𝑀))) + (((𝐴 · (10↑𝑀)) · 𝐷) + ((𝐶 · (10↑𝑀)) · 𝐵)))
5926, 34, 583eqtr3ri 2854 . . . 4 (((𝐴 · (10↑𝑀)) · (𝐶 · (10↑𝑀))) + (((𝐴 · (10↑𝑀)) · 𝐷) + ((𝐶 · (10↑𝑀)) · 𝐵))) = (𝑊 · (10↑𝑀))
6059, 40oveq12i 7152 . . 3 ((((𝐴 · (10↑𝑀)) · (𝐶 · (10↑𝑀))) + (((𝐴 · (10↑𝑀)) · 𝐷) + ((𝐶 · (10↑𝑀)) · 𝐵))) + (𝐷 · 𝐵)) = ((𝑊 · (10↑𝑀)) + 𝑇)
6116, 22, 603eqtri 2849 . 2 (((𝐴 · (10↑𝑀)) + 𝐵) · ((𝐶 · (10↑𝑀)) + 𝐷)) = ((𝑊 · (10↑𝑀)) + 𝑇)
62 karatsuba.x . . 3 ((𝐴 · (10↑𝑀)) + 𝐵) = 𝑋
63 karatsuba.y . . 3 ((𝐶 · (10↑𝑀)) + 𝐷) = 𝑌
6462, 63oveq12i 7152 . 2 (((𝐴 · (10↑𝑀)) + 𝐵) · ((𝐶 · (10↑𝑀)) + 𝐷)) = (𝑋 · 𝑌)
65 karatsuba.z . 2 ((𝑊 · (10↑𝑀)) + 𝑇) = 𝑍
6661, 64, 653eqtr3i 2853 1 (𝑋 · 𝑌) = 𝑍
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1538  wcel 2114  (class class class)co 7140  cc 10524  0cc0 10526  1c1 10527   + caddc 10529   · cmul 10531  0cn0 11885  cdc 12086  cexp 13425
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2794  ax-sep 5179  ax-nul 5186  ax-pow 5243  ax-pr 5307  ax-un 7446  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2801  df-cleq 2815  df-clel 2894  df-nfc 2962  df-ne 3012  df-nel 3116  df-ral 3135  df-rex 3136  df-reu 3137  df-rab 3139  df-v 3471  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4266  df-if 4440  df-pw 4513  df-sn 4540  df-pr 4542  df-tp 4544  df-op 4546  df-uni 4814  df-iun 4896  df-br 5043  df-opab 5105  df-mpt 5123  df-tr 5149  df-id 5437  df-eprel 5442  df-po 5451  df-so 5452  df-fr 5491  df-we 5493  df-xp 5538  df-rel 5539  df-cnv 5540  df-co 5541  df-dm 5542  df-rn 5543  df-res 5544  df-ima 5545  df-pred 6126  df-ord 6172  df-on 6173  df-lim 6174  df-suc 6175  df-iota 6293  df-fun 6336  df-fn 6337  df-f 6338  df-f1 6339  df-fo 6340  df-f1o 6341  df-fv 6342  df-riota 7098  df-ov 7143  df-oprab 7144  df-mpo 7145  df-om 7566  df-2nd 7676  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-er 8276  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-nn 11626  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-7 11693  df-8 11694  df-9 11695  df-n0 11886  df-z 11970  df-dec 12087  df-uz 12232  df-seq 13365  df-exp 13426
This theorem is referenced by:  dpmul4  30600
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