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Theorem normlem3 31132
Description: Lemma used to derive properties of norm. Part of Theorem 3.3(ii) of [Beran] p. 97. (Contributed by NM, 21-Aug-1999.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
normlem1.1 𝑆 ∈ ℂ
normlem1.2 𝐹 ∈ ℋ
normlem1.3 𝐺 ∈ ℋ
normlem2.4 𝐵 = -(((∗‘𝑆) · (𝐹 ·ih 𝐺)) + (𝑆 · (𝐺 ·ih 𝐹)))
normlem3.5 𝐴 = (𝐺 ·ih 𝐺)
normlem3.6 𝐶 = (𝐹 ·ih 𝐹)
normlem3.7 𝑅 ∈ ℝ
Assertion
Ref Expression
normlem3 (((𝐴 · (𝑅↑2)) + (𝐵 · 𝑅)) + 𝐶) = (((𝐹 ·ih 𝐹) + (((∗‘𝑆) · -𝑅) · (𝐹 ·ih 𝐺))) + (((𝑆 · -𝑅) · (𝐺 ·ih 𝐹)) + ((𝑅↑2) · (𝐺 ·ih 𝐺))))

Proof of Theorem normlem3
StepHypRef Expression
1 normlem3.6 . . 3 𝐶 = (𝐹 ·ih 𝐹)
2 normlem3.5 . . . . . . 7 𝐴 = (𝐺 ·ih 𝐺)
3 normlem1.3 . . . . . . . 8 𝐺 ∈ ℋ
43, 3hicli 31101 . . . . . . 7 (𝐺 ·ih 𝐺) ∈ ℂ
52, 4eqeltri 2836 . . . . . 6 𝐴 ∈ ℂ
6 normlem3.7 . . . . . . . 8 𝑅 ∈ ℝ
76recni 11276 . . . . . . 7 𝑅 ∈ ℂ
87sqcli 14221 . . . . . 6 (𝑅↑2) ∈ ℂ
95, 8mulcli 11269 . . . . 5 (𝐴 · (𝑅↑2)) ∈ ℂ
10 normlem1.1 . . . . . . . 8 𝑆 ∈ ℂ
11 normlem1.2 . . . . . . . 8 𝐹 ∈ ℋ
12 normlem2.4 . . . . . . . 8 𝐵 = -(((∗‘𝑆) · (𝐹 ·ih 𝐺)) + (𝑆 · (𝐺 ·ih 𝐹)))
1310, 11, 3, 12normlem2 31131 . . . . . . 7 𝐵 ∈ ℝ
1413recni 11276 . . . . . 6 𝐵 ∈ ℂ
1514, 7mulcli 11269 . . . . 5 (𝐵 · 𝑅) ∈ ℂ
169, 15addcomi 11453 . . . 4 ((𝐴 · (𝑅↑2)) + (𝐵 · 𝑅)) = ((𝐵 · 𝑅) + (𝐴 · (𝑅↑2)))
1710cjcli 15209 . . . . . . . . . 10 (∗‘𝑆) ∈ ℂ
1811, 3hicli 31101 . . . . . . . . . 10 (𝐹 ·ih 𝐺) ∈ ℂ
1917, 18mulcli 11269 . . . . . . . . 9 ((∗‘𝑆) · (𝐹 ·ih 𝐺)) ∈ ℂ
203, 11hicli 31101 . . . . . . . . . 10 (𝐺 ·ih 𝐹) ∈ ℂ
2110, 20mulcli 11269 . . . . . . . . 9 (𝑆 · (𝐺 ·ih 𝐹)) ∈ ℂ
2219, 21addcli 11268 . . . . . . . 8 (((∗‘𝑆) · (𝐹 ·ih 𝐺)) + (𝑆 · (𝐺 ·ih 𝐹))) ∈ ℂ
2322, 7mulneg1i 11710 . . . . . . 7 (-(((∗‘𝑆) · (𝐹 ·ih 𝐺)) + (𝑆 · (𝐺 ·ih 𝐹))) · 𝑅) = -((((∗‘𝑆) · (𝐹 ·ih 𝐺)) + (𝑆 · (𝐺 ·ih 𝐹))) · 𝑅)
2412oveq1i 7442 . . . . . . 7 (𝐵 · 𝑅) = (-(((∗‘𝑆) · (𝐹 ·ih 𝐺)) + (𝑆 · (𝐺 ·ih 𝐹))) · 𝑅)
2522, 7mulneg2i 11711 . . . . . . 7 ((((∗‘𝑆) · (𝐹 ·ih 𝐺)) + (𝑆 · (𝐺 ·ih 𝐹))) · -𝑅) = -((((∗‘𝑆) · (𝐹 ·ih 𝐺)) + (𝑆 · (𝐺 ·ih 𝐹))) · 𝑅)
2623, 24, 253eqtr4i 2774 . . . . . 6 (𝐵 · 𝑅) = ((((∗‘𝑆) · (𝐹 ·ih 𝐺)) + (𝑆 · (𝐺 ·ih 𝐹))) · -𝑅)
277negcli 11578 . . . . . . 7 -𝑅 ∈ ℂ
2819, 21, 27adddiri 11275 . . . . . 6 ((((∗‘𝑆) · (𝐹 ·ih 𝐺)) + (𝑆 · (𝐺 ·ih 𝐹))) · -𝑅) = ((((∗‘𝑆) · (𝐹 ·ih 𝐺)) · -𝑅) + ((𝑆 · (𝐺 ·ih 𝐹)) · -𝑅))
2917, 18, 27mul32i 11458 . . . . . . 7 (((∗‘𝑆) · (𝐹 ·ih 𝐺)) · -𝑅) = (((∗‘𝑆) · -𝑅) · (𝐹 ·ih 𝐺))
3010, 20, 27mul32i 11458 . . . . . . 7 ((𝑆 · (𝐺 ·ih 𝐹)) · -𝑅) = ((𝑆 · -𝑅) · (𝐺 ·ih 𝐹))
3129, 30oveq12i 7444 . . . . . 6 ((((∗‘𝑆) · (𝐹 ·ih 𝐺)) · -𝑅) + ((𝑆 · (𝐺 ·ih 𝐹)) · -𝑅)) = ((((∗‘𝑆) · -𝑅) · (𝐹 ·ih 𝐺)) + ((𝑆 · -𝑅) · (𝐺 ·ih 𝐹)))
3226, 28, 313eqtri 2768 . . . . 5 (𝐵 · 𝑅) = ((((∗‘𝑆) · -𝑅) · (𝐹 ·ih 𝐺)) + ((𝑆 · -𝑅) · (𝐺 ·ih 𝐹)))
332oveq2i 7443 . . . . . 6 ((𝑅↑2) · 𝐴) = ((𝑅↑2) · (𝐺 ·ih 𝐺))
348, 5, 33mulcomli 11271 . . . . 5 (𝐴 · (𝑅↑2)) = ((𝑅↑2) · (𝐺 ·ih 𝐺))
3532, 34oveq12i 7444 . . . 4 ((𝐵 · 𝑅) + (𝐴 · (𝑅↑2))) = (((((∗‘𝑆) · -𝑅) · (𝐹 ·ih 𝐺)) + ((𝑆 · -𝑅) · (𝐺 ·ih 𝐹))) + ((𝑅↑2) · (𝐺 ·ih 𝐺)))
3617, 27mulcli 11269 . . . . . 6 ((∗‘𝑆) · -𝑅) ∈ ℂ
3736, 18mulcli 11269 . . . . 5 (((∗‘𝑆) · -𝑅) · (𝐹 ·ih 𝐺)) ∈ ℂ
3810, 27mulcli 11269 . . . . . 6 (𝑆 · -𝑅) ∈ ℂ
3938, 20mulcli 11269 . . . . 5 ((𝑆 · -𝑅) · (𝐺 ·ih 𝐹)) ∈ ℂ
408, 4mulcli 11269 . . . . 5 ((𝑅↑2) · (𝐺 ·ih 𝐺)) ∈ ℂ
4137, 39, 40addassi 11272 . . . 4 (((((∗‘𝑆) · -𝑅) · (𝐹 ·ih 𝐺)) + ((𝑆 · -𝑅) · (𝐺 ·ih 𝐹))) + ((𝑅↑2) · (𝐺 ·ih 𝐺))) = ((((∗‘𝑆) · -𝑅) · (𝐹 ·ih 𝐺)) + (((𝑆 · -𝑅) · (𝐺 ·ih 𝐹)) + ((𝑅↑2) · (𝐺 ·ih 𝐺))))
4216, 35, 413eqtri 2768 . . 3 ((𝐴 · (𝑅↑2)) + (𝐵 · 𝑅)) = ((((∗‘𝑆) · -𝑅) · (𝐹 ·ih 𝐺)) + (((𝑆 · -𝑅) · (𝐺 ·ih 𝐹)) + ((𝑅↑2) · (𝐺 ·ih 𝐺))))
431, 42oveq12i 7444 . 2 (𝐶 + ((𝐴 · (𝑅↑2)) + (𝐵 · 𝑅))) = ((𝐹 ·ih 𝐹) + ((((∗‘𝑆) · -𝑅) · (𝐹 ·ih 𝐺)) + (((𝑆 · -𝑅) · (𝐺 ·ih 𝐹)) + ((𝑅↑2) · (𝐺 ·ih 𝐺)))))
449, 15addcli 11268 . . 3 ((𝐴 · (𝑅↑2)) + (𝐵 · 𝑅)) ∈ ℂ
4511, 11hicli 31101 . . . 4 (𝐹 ·ih 𝐹) ∈ ℂ
461, 45eqeltri 2836 . . 3 𝐶 ∈ ℂ
4744, 46addcomi 11453 . 2 (((𝐴 · (𝑅↑2)) + (𝐵 · 𝑅)) + 𝐶) = (𝐶 + ((𝐴 · (𝑅↑2)) + (𝐵 · 𝑅)))
4839, 40addcli 11268 . . 3 (((𝑆 · -𝑅) · (𝐺 ·ih 𝐹)) + ((𝑅↑2) · (𝐺 ·ih 𝐺))) ∈ ℂ
4945, 37, 48addassi 11272 . 2 (((𝐹 ·ih 𝐹) + (((∗‘𝑆) · -𝑅) · (𝐹 ·ih 𝐺))) + (((𝑆 · -𝑅) · (𝐺 ·ih 𝐹)) + ((𝑅↑2) · (𝐺 ·ih 𝐺)))) = ((𝐹 ·ih 𝐹) + ((((∗‘𝑆) · -𝑅) · (𝐹 ·ih 𝐺)) + (((𝑆 · -𝑅) · (𝐺 ·ih 𝐹)) + ((𝑅↑2) · (𝐺 ·ih 𝐺)))))
5043, 47, 493eqtr4i 2774 1 (((𝐴 · (𝑅↑2)) + (𝐵 · 𝑅)) + 𝐶) = (((𝐹 ·ih 𝐹) + (((∗‘𝑆) · -𝑅) · (𝐹 ·ih 𝐺))) + (((𝑆 · -𝑅) · (𝐺 ·ih 𝐹)) + ((𝑅↑2) · (𝐺 ·ih 𝐺))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1539  wcel 2107  cfv 6560  (class class class)co 7432  cc 11154  cr 11155   + caddc 11159   · cmul 11161  -cneg 11494  2c2 12322  cexp 14103  ccj 15136  chba 30939   ·ih csp 30942
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-cnex 11212  ax-resscn 11213  ax-1cn 11214  ax-icn 11215  ax-addcl 11216  ax-addrcl 11217  ax-mulcl 11218  ax-mulrcl 11219  ax-mulcom 11220  ax-addass 11221  ax-mulass 11222  ax-distr 11223  ax-i2m1 11224  ax-1ne0 11225  ax-1rid 11226  ax-rnegex 11227  ax-rrecex 11228  ax-cnre 11229  ax-pre-lttri 11230  ax-pre-lttrn 11231  ax-pre-ltadd 11232  ax-pre-mulgt0 11233  ax-hfi 31099  ax-his1 31102
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3379  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-iun 4992  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6320  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-om 7889  df-2nd 8016  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8412  df-rdg 8451  df-er 8746  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-pnf 11298  df-mnf 11299  df-xr 11300  df-ltxr 11301  df-le 11302  df-sub 11495  df-neg 11496  df-div 11922  df-nn 12268  df-2 12330  df-n0 12529  df-z 12616  df-uz 12880  df-seq 14044  df-exp 14104  df-cj 15139  df-re 15140  df-im 15141
This theorem is referenced by:  normlem4  31133
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