HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  normlem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem normlem3 30403
Description: Lemma used to derive properties of norm. Part of Theorem 3.3(ii) of [Beran] p. 97. (Contributed by NM, 21-Aug-1999.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
normlem1.1 ๐‘† โˆˆ โ„‚
normlem1.2 ๐น โˆˆ โ„‹
normlem1.3 ๐บ โˆˆ โ„‹
normlem2.4 ๐ต = -(((โˆ—โ€˜๐‘†) ยท (๐น ยทih ๐บ)) + (๐‘† ยท (๐บ ยทih ๐น)))
normlem3.5 ๐ด = (๐บ ยทih ๐บ)
normlem3.6 ๐ถ = (๐น ยทih ๐น)
normlem3.7 ๐‘… โˆˆ โ„
Assertion
Ref Expression
normlem3 (((๐ด ยท (๐‘…โ†‘2)) + (๐ต ยท ๐‘…)) + ๐ถ) = (((๐น ยทih ๐น) + (((โˆ—โ€˜๐‘†) ยท -๐‘…) ยท (๐น ยทih ๐บ))) + (((๐‘† ยท -๐‘…) ยท (๐บ ยทih ๐น)) + ((๐‘…โ†‘2) ยท (๐บ ยทih ๐บ))))

Proof of Theorem normlem3
StepHypRef Expression
1 normlem3.6 . . 3 ๐ถ = (๐น ยทih ๐น)
2 normlem3.5 . . . . . . 7 ๐ด = (๐บ ยทih ๐บ)
3 normlem1.3 . . . . . . . 8 ๐บ โˆˆ โ„‹
43, 3hicli 30372 . . . . . . 7 (๐บ ยทih ๐บ) โˆˆ โ„‚
52, 4eqeltri 2829 . . . . . 6 ๐ด โˆˆ โ„‚
6 normlem3.7 . . . . . . . 8 ๐‘… โˆˆ โ„
76recni 11230 . . . . . . 7 ๐‘… โˆˆ โ„‚
87sqcli 14147 . . . . . 6 (๐‘…โ†‘2) โˆˆ โ„‚
95, 8mulcli 11223 . . . . 5 (๐ด ยท (๐‘…โ†‘2)) โˆˆ โ„‚
10 normlem1.1 . . . . . . . 8 ๐‘† โˆˆ โ„‚
11 normlem1.2 . . . . . . . 8 ๐น โˆˆ โ„‹
12 normlem2.4 . . . . . . . 8 ๐ต = -(((โˆ—โ€˜๐‘†) ยท (๐น ยทih ๐บ)) + (๐‘† ยท (๐บ ยทih ๐น)))
1310, 11, 3, 12normlem2 30402 . . . . . . 7 ๐ต โˆˆ โ„
1413recni 11230 . . . . . 6 ๐ต โˆˆ โ„‚
1514, 7mulcli 11223 . . . . 5 (๐ต ยท ๐‘…) โˆˆ โ„‚
169, 15addcomi 11407 . . . 4 ((๐ด ยท (๐‘…โ†‘2)) + (๐ต ยท ๐‘…)) = ((๐ต ยท ๐‘…) + (๐ด ยท (๐‘…โ†‘2)))
1710cjcli 15118 . . . . . . . . . 10 (โˆ—โ€˜๐‘†) โˆˆ โ„‚
1811, 3hicli 30372 . . . . . . . . . 10 (๐น ยทih ๐บ) โˆˆ โ„‚
1917, 18mulcli 11223 . . . . . . . . 9 ((โˆ—โ€˜๐‘†) ยท (๐น ยทih ๐บ)) โˆˆ โ„‚
203, 11hicli 30372 . . . . . . . . . 10 (๐บ ยทih ๐น) โˆˆ โ„‚
2110, 20mulcli 11223 . . . . . . . . 9 (๐‘† ยท (๐บ ยทih ๐น)) โˆˆ โ„‚
2219, 21addcli 11222 . . . . . . . 8 (((โˆ—โ€˜๐‘†) ยท (๐น ยทih ๐บ)) + (๐‘† ยท (๐บ ยทih ๐น))) โˆˆ โ„‚
2322, 7mulneg1i 11662 . . . . . . 7 (-(((โˆ—โ€˜๐‘†) ยท (๐น ยทih ๐บ)) + (๐‘† ยท (๐บ ยทih ๐น))) ยท ๐‘…) = -((((โˆ—โ€˜๐‘†) ยท (๐น ยทih ๐บ)) + (๐‘† ยท (๐บ ยทih ๐น))) ยท ๐‘…)
2412oveq1i 7421 . . . . . . 7 (๐ต ยท ๐‘…) = (-(((โˆ—โ€˜๐‘†) ยท (๐น ยทih ๐บ)) + (๐‘† ยท (๐บ ยทih ๐น))) ยท ๐‘…)
2522, 7mulneg2i 11663 . . . . . . 7 ((((โˆ—โ€˜๐‘†) ยท (๐น ยทih ๐บ)) + (๐‘† ยท (๐บ ยทih ๐น))) ยท -๐‘…) = -((((โˆ—โ€˜๐‘†) ยท (๐น ยทih ๐บ)) + (๐‘† ยท (๐บ ยทih ๐น))) ยท ๐‘…)
2623, 24, 253eqtr4i 2770 . . . . . 6 (๐ต ยท ๐‘…) = ((((โˆ—โ€˜๐‘†) ยท (๐น ยทih ๐บ)) + (๐‘† ยท (๐บ ยทih ๐น))) ยท -๐‘…)
277negcli 11530 . . . . . . 7 -๐‘… โˆˆ โ„‚
2819, 21, 27adddiri 11229 . . . . . 6 ((((โˆ—โ€˜๐‘†) ยท (๐น ยทih ๐บ)) + (๐‘† ยท (๐บ ยทih ๐น))) ยท -๐‘…) = ((((โˆ—โ€˜๐‘†) ยท (๐น ยทih ๐บ)) ยท -๐‘…) + ((๐‘† ยท (๐บ ยทih ๐น)) ยท -๐‘…))
2917, 18, 27mul32i 11412 . . . . . . 7 (((โˆ—โ€˜๐‘†) ยท (๐น ยทih ๐บ)) ยท -๐‘…) = (((โˆ—โ€˜๐‘†) ยท -๐‘…) ยท (๐น ยทih ๐บ))
3010, 20, 27mul32i 11412 . . . . . . 7 ((๐‘† ยท (๐บ ยทih ๐น)) ยท -๐‘…) = ((๐‘† ยท -๐‘…) ยท (๐บ ยทih ๐น))
3129, 30oveq12i 7423 . . . . . 6 ((((โˆ—โ€˜๐‘†) ยท (๐น ยทih ๐บ)) ยท -๐‘…) + ((๐‘† ยท (๐บ ยทih ๐น)) ยท -๐‘…)) = ((((โˆ—โ€˜๐‘†) ยท -๐‘…) ยท (๐น ยทih ๐บ)) + ((๐‘† ยท -๐‘…) ยท (๐บ ยทih ๐น)))
3226, 28, 313eqtri 2764 . . . . 5 (๐ต ยท ๐‘…) = ((((โˆ—โ€˜๐‘†) ยท -๐‘…) ยท (๐น ยทih ๐บ)) + ((๐‘† ยท -๐‘…) ยท (๐บ ยทih ๐น)))
332oveq2i 7422 . . . . . 6 ((๐‘…โ†‘2) ยท ๐ด) = ((๐‘…โ†‘2) ยท (๐บ ยทih ๐บ))
348, 5, 33mulcomli 11225 . . . . 5 (๐ด ยท (๐‘…โ†‘2)) = ((๐‘…โ†‘2) ยท (๐บ ยทih ๐บ))
3532, 34oveq12i 7423 . . . 4 ((๐ต ยท ๐‘…) + (๐ด ยท (๐‘…โ†‘2))) = (((((โˆ—โ€˜๐‘†) ยท -๐‘…) ยท (๐น ยทih ๐บ)) + ((๐‘† ยท -๐‘…) ยท (๐บ ยทih ๐น))) + ((๐‘…โ†‘2) ยท (๐บ ยทih ๐บ)))
3617, 27mulcli 11223 . . . . . 6 ((โˆ—โ€˜๐‘†) ยท -๐‘…) โˆˆ โ„‚
3736, 18mulcli 11223 . . . . 5 (((โˆ—โ€˜๐‘†) ยท -๐‘…) ยท (๐น ยทih ๐บ)) โˆˆ โ„‚
3810, 27mulcli 11223 . . . . . 6 (๐‘† ยท -๐‘…) โˆˆ โ„‚
3938, 20mulcli 11223 . . . . 5 ((๐‘† ยท -๐‘…) ยท (๐บ ยทih ๐น)) โˆˆ โ„‚
408, 4mulcli 11223 . . . . 5 ((๐‘…โ†‘2) ยท (๐บ ยทih ๐บ)) โˆˆ โ„‚
4137, 39, 40addassi 11226 . . . 4 (((((โˆ—โ€˜๐‘†) ยท -๐‘…) ยท (๐น ยทih ๐บ)) + ((๐‘† ยท -๐‘…) ยท (๐บ ยทih ๐น))) + ((๐‘…โ†‘2) ยท (๐บ ยทih ๐บ))) = ((((โˆ—โ€˜๐‘†) ยท -๐‘…) ยท (๐น ยทih ๐บ)) + (((๐‘† ยท -๐‘…) ยท (๐บ ยทih ๐น)) + ((๐‘…โ†‘2) ยท (๐บ ยทih ๐บ))))
4216, 35, 413eqtri 2764 . . 3 ((๐ด ยท (๐‘…โ†‘2)) + (๐ต ยท ๐‘…)) = ((((โˆ—โ€˜๐‘†) ยท -๐‘…) ยท (๐น ยทih ๐บ)) + (((๐‘† ยท -๐‘…) ยท (๐บ ยทih ๐น)) + ((๐‘…โ†‘2) ยท (๐บ ยทih ๐บ))))
431, 42oveq12i 7423 . 2 (๐ถ + ((๐ด ยท (๐‘…โ†‘2)) + (๐ต ยท ๐‘…))) = ((๐น ยทih ๐น) + ((((โˆ—โ€˜๐‘†) ยท -๐‘…) ยท (๐น ยทih ๐บ)) + (((๐‘† ยท -๐‘…) ยท (๐บ ยทih ๐น)) + ((๐‘…โ†‘2) ยท (๐บ ยทih ๐บ)))))
449, 15addcli 11222 . . 3 ((๐ด ยท (๐‘…โ†‘2)) + (๐ต ยท ๐‘…)) โˆˆ โ„‚
4511, 11hicli 30372 . . . 4 (๐น ยทih ๐น) โˆˆ โ„‚
461, 45eqeltri 2829 . . 3 ๐ถ โˆˆ โ„‚
4744, 46addcomi 11407 . 2 (((๐ด ยท (๐‘…โ†‘2)) + (๐ต ยท ๐‘…)) + ๐ถ) = (๐ถ + ((๐ด ยท (๐‘…โ†‘2)) + (๐ต ยท ๐‘…)))
4839, 40addcli 11222 . . 3 (((๐‘† ยท -๐‘…) ยท (๐บ ยทih ๐น)) + ((๐‘…โ†‘2) ยท (๐บ ยทih ๐บ))) โˆˆ โ„‚
4945, 37, 48addassi 11226 . 2 (((๐น ยทih ๐น) + (((โˆ—โ€˜๐‘†) ยท -๐‘…) ยท (๐น ยทih ๐บ))) + (((๐‘† ยท -๐‘…) ยท (๐บ ยทih ๐น)) + ((๐‘…โ†‘2) ยท (๐บ ยทih ๐บ)))) = ((๐น ยทih ๐น) + ((((โˆ—โ€˜๐‘†) ยท -๐‘…) ยท (๐น ยทih ๐บ)) + (((๐‘† ยท -๐‘…) ยท (๐บ ยทih ๐น)) + ((๐‘…โ†‘2) ยท (๐บ ยทih ๐บ)))))
5043, 47, 493eqtr4i 2770 1 (((๐ด ยท (๐‘…โ†‘2)) + (๐ต ยท ๐‘…)) + ๐ถ) = (((๐น ยทih ๐น) + (((โˆ—โ€˜๐‘†) ยท -๐‘…) ยท (๐น ยทih ๐บ))) + (((๐‘† ยท -๐‘…) ยท (๐บ ยทih ๐น)) + ((๐‘…โ†‘2) ยท (๐บ ยทih ๐บ))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1541   โˆˆ wcel 2106  โ€˜cfv 6543  (class class class)co 7411  โ„‚cc 11110  โ„cr 11111   + caddc 11115   ยท cmul 11117  -cneg 11447  2c2 12269  โ†‘cexp 14029  โˆ—ccj 15045   โ„‹chba 30210   ยทih csp 30213
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-hfi 30370  ax-his1 30373
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11252  df-mnf 11253  df-xr 11254  df-ltxr 11255  df-le 11256  df-sub 11448  df-neg 11449  df-div 11874  df-nn 12215  df-2 12277  df-n0 12475  df-z 12561  df-uz 12825  df-seq 13969  df-exp 14030  df-cj 15048  df-re 15049  df-im 15050
This theorem is referenced by:  normlem4  30404
  Copyright terms: Public domain W3C validator