Proof of Theorem normlem3
| Step | Hyp | Ref | Expression | 
|---|
| 1 |  | normlem3.6 | . . 3
⊢ 𝐶 = (𝐹 ·ih 𝐹) | 
| 2 |  | normlem3.5 | . . . . . . 7
⊢ 𝐴 = (𝐺 ·ih 𝐺) | 
| 3 |  | normlem1.3 | . . . . . . . 8
⊢ 𝐺 ∈ ℋ | 
| 4 | 3, 3 | hicli 31101 | . . . . . . 7
⊢ (𝐺
·ih 𝐺) ∈ ℂ | 
| 5 | 2, 4 | eqeltri 2836 | . . . . . 6
⊢ 𝐴 ∈ ℂ | 
| 6 |  | normlem3.7 | . . . . . . . 8
⊢ 𝑅 ∈ ℝ | 
| 7 | 6 | recni 11276 | . . . . . . 7
⊢ 𝑅 ∈ ℂ | 
| 8 | 7 | sqcli 14221 | . . . . . 6
⊢ (𝑅↑2) ∈
ℂ | 
| 9 | 5, 8 | mulcli 11269 | . . . . 5
⊢ (𝐴 · (𝑅↑2)) ∈ ℂ | 
| 10 |  | normlem1.1 | . . . . . . . 8
⊢ 𝑆 ∈ ℂ | 
| 11 |  | normlem1.2 | . . . . . . . 8
⊢ 𝐹 ∈ ℋ | 
| 12 |  | normlem2.4 | . . . . . . . 8
⊢ 𝐵 = -(((∗‘𝑆) · (𝐹 ·ih 𝐺)) + (𝑆 · (𝐺 ·ih 𝐹))) | 
| 13 | 10, 11, 3, 12 | normlem2 31131 | . . . . . . 7
⊢ 𝐵 ∈ ℝ | 
| 14 | 13 | recni 11276 | . . . . . 6
⊢ 𝐵 ∈ ℂ | 
| 15 | 14, 7 | mulcli 11269 | . . . . 5
⊢ (𝐵 · 𝑅) ∈ ℂ | 
| 16 | 9, 15 | addcomi 11453 | . . . 4
⊢ ((𝐴 · (𝑅↑2)) + (𝐵 · 𝑅)) = ((𝐵 · 𝑅) + (𝐴 · (𝑅↑2))) | 
| 17 | 10 | cjcli 15209 | . . . . . . . . . 10
⊢
(∗‘𝑆)
∈ ℂ | 
| 18 | 11, 3 | hicli 31101 | . . . . . . . . . 10
⊢ (𝐹
·ih 𝐺) ∈ ℂ | 
| 19 | 17, 18 | mulcli 11269 | . . . . . . . . 9
⊢
((∗‘𝑆)
· (𝐹
·ih 𝐺)) ∈ ℂ | 
| 20 | 3, 11 | hicli 31101 | . . . . . . . . . 10
⊢ (𝐺
·ih 𝐹) ∈ ℂ | 
| 21 | 10, 20 | mulcli 11269 | . . . . . . . . 9
⊢ (𝑆 · (𝐺 ·ih 𝐹)) ∈
ℂ | 
| 22 | 19, 21 | addcli 11268 | . . . . . . . 8
⊢
(((∗‘𝑆)
· (𝐹
·ih 𝐺)) + (𝑆 · (𝐺 ·ih 𝐹))) ∈
ℂ | 
| 23 | 22, 7 | mulneg1i 11710 | . . . . . . 7
⊢
(-(((∗‘𝑆) · (𝐹 ·ih 𝐺)) + (𝑆 · (𝐺 ·ih 𝐹))) · 𝑅) = -((((∗‘𝑆) · (𝐹 ·ih 𝐺)) + (𝑆 · (𝐺 ·ih 𝐹))) · 𝑅) | 
| 24 | 12 | oveq1i 7442 | . . . . . . 7
⊢ (𝐵 · 𝑅) = (-(((∗‘𝑆) · (𝐹 ·ih 𝐺)) + (𝑆 · (𝐺 ·ih 𝐹))) · 𝑅) | 
| 25 | 22, 7 | mulneg2i 11711 | . . . . . . 7
⊢
((((∗‘𝑆) · (𝐹 ·ih 𝐺)) + (𝑆 · (𝐺 ·ih 𝐹))) · -𝑅) = -((((∗‘𝑆) · (𝐹 ·ih 𝐺)) + (𝑆 · (𝐺 ·ih 𝐹))) · 𝑅) | 
| 26 | 23, 24, 25 | 3eqtr4i 2774 | . . . . . 6
⊢ (𝐵 · 𝑅) = ((((∗‘𝑆) · (𝐹 ·ih 𝐺)) + (𝑆 · (𝐺 ·ih 𝐹))) · -𝑅) | 
| 27 | 7 | negcli 11578 | . . . . . . 7
⊢ -𝑅 ∈ ℂ | 
| 28 | 19, 21, 27 | adddiri 11275 | . . . . . 6
⊢
((((∗‘𝑆) · (𝐹 ·ih 𝐺)) + (𝑆 · (𝐺 ·ih 𝐹))) · -𝑅) = ((((∗‘𝑆) · (𝐹 ·ih 𝐺)) · -𝑅) + ((𝑆 · (𝐺 ·ih 𝐹)) · -𝑅)) | 
| 29 | 17, 18, 27 | mul32i 11458 | . . . . . . 7
⊢
(((∗‘𝑆)
· (𝐹
·ih 𝐺)) · -𝑅) = (((∗‘𝑆) · -𝑅) · (𝐹 ·ih 𝐺)) | 
| 30 | 10, 20, 27 | mul32i 11458 | . . . . . . 7
⊢ ((𝑆 · (𝐺 ·ih 𝐹)) · -𝑅) = ((𝑆 · -𝑅) · (𝐺 ·ih 𝐹)) | 
| 31 | 29, 30 | oveq12i 7444 | . . . . . 6
⊢
((((∗‘𝑆) · (𝐹 ·ih 𝐺)) · -𝑅) + ((𝑆 · (𝐺 ·ih 𝐹)) · -𝑅)) = ((((∗‘𝑆) · -𝑅) · (𝐹 ·ih 𝐺)) + ((𝑆 · -𝑅) · (𝐺 ·ih 𝐹))) | 
| 32 | 26, 28, 31 | 3eqtri 2768 | . . . . 5
⊢ (𝐵 · 𝑅) = ((((∗‘𝑆) · -𝑅) · (𝐹 ·ih 𝐺)) + ((𝑆 · -𝑅) · (𝐺 ·ih 𝐹))) | 
| 33 | 2 | oveq2i 7443 | . . . . . 6
⊢ ((𝑅↑2) · 𝐴) = ((𝑅↑2) · (𝐺 ·ih 𝐺)) | 
| 34 | 8, 5, 33 | mulcomli 11271 | . . . . 5
⊢ (𝐴 · (𝑅↑2)) = ((𝑅↑2) · (𝐺 ·ih 𝐺)) | 
| 35 | 32, 34 | oveq12i 7444 | . . . 4
⊢ ((𝐵 · 𝑅) + (𝐴 · (𝑅↑2))) = (((((∗‘𝑆) · -𝑅) · (𝐹 ·ih 𝐺)) + ((𝑆 · -𝑅) · (𝐺 ·ih 𝐹))) + ((𝑅↑2) · (𝐺 ·ih 𝐺))) | 
| 36 | 17, 27 | mulcli 11269 | . . . . . 6
⊢
((∗‘𝑆)
· -𝑅) ∈
ℂ | 
| 37 | 36, 18 | mulcli 11269 | . . . . 5
⊢
(((∗‘𝑆)
· -𝑅) ·
(𝐹
·ih 𝐺)) ∈ ℂ | 
| 38 | 10, 27 | mulcli 11269 | . . . . . 6
⊢ (𝑆 · -𝑅) ∈ ℂ | 
| 39 | 38, 20 | mulcli 11269 | . . . . 5
⊢ ((𝑆 · -𝑅) · (𝐺 ·ih 𝐹)) ∈
ℂ | 
| 40 | 8, 4 | mulcli 11269 | . . . . 5
⊢ ((𝑅↑2) · (𝐺
·ih 𝐺)) ∈ ℂ | 
| 41 | 37, 39, 40 | addassi 11272 | . . . 4
⊢
(((((∗‘𝑆) · -𝑅) · (𝐹 ·ih 𝐺)) + ((𝑆 · -𝑅) · (𝐺 ·ih 𝐹))) + ((𝑅↑2) · (𝐺 ·ih 𝐺))) = ((((∗‘𝑆) · -𝑅) · (𝐹 ·ih 𝐺)) + (((𝑆 · -𝑅) · (𝐺 ·ih 𝐹)) + ((𝑅↑2) · (𝐺 ·ih 𝐺)))) | 
| 42 | 16, 35, 41 | 3eqtri 2768 | . . 3
⊢ ((𝐴 · (𝑅↑2)) + (𝐵 · 𝑅)) = ((((∗‘𝑆) · -𝑅) · (𝐹 ·ih 𝐺)) + (((𝑆 · -𝑅) · (𝐺 ·ih 𝐹)) + ((𝑅↑2) · (𝐺 ·ih 𝐺)))) | 
| 43 | 1, 42 | oveq12i 7444 | . 2
⊢ (𝐶 + ((𝐴 · (𝑅↑2)) + (𝐵 · 𝑅))) = ((𝐹 ·ih 𝐹) + ((((∗‘𝑆) · -𝑅) · (𝐹 ·ih 𝐺)) + (((𝑆 · -𝑅) · (𝐺 ·ih 𝐹)) + ((𝑅↑2) · (𝐺 ·ih 𝐺))))) | 
| 44 | 9, 15 | addcli 11268 | . . 3
⊢ ((𝐴 · (𝑅↑2)) + (𝐵 · 𝑅)) ∈ ℂ | 
| 45 | 11, 11 | hicli 31101 | . . . 4
⊢ (𝐹
·ih 𝐹) ∈ ℂ | 
| 46 | 1, 45 | eqeltri 2836 | . . 3
⊢ 𝐶 ∈ ℂ | 
| 47 | 44, 46 | addcomi 11453 | . 2
⊢ (((𝐴 · (𝑅↑2)) + (𝐵 · 𝑅)) + 𝐶) = (𝐶 + ((𝐴 · (𝑅↑2)) + (𝐵 · 𝑅))) | 
| 48 | 39, 40 | addcli 11268 | . . 3
⊢ (((𝑆 · -𝑅) · (𝐺 ·ih 𝐹)) + ((𝑅↑2) · (𝐺 ·ih 𝐺))) ∈
ℂ | 
| 49 | 45, 37, 48 | addassi 11272 | . 2
⊢ (((𝐹
·ih 𝐹) + (((∗‘𝑆) · -𝑅) · (𝐹 ·ih 𝐺))) + (((𝑆 · -𝑅) · (𝐺 ·ih 𝐹)) + ((𝑅↑2) · (𝐺 ·ih 𝐺)))) = ((𝐹 ·ih 𝐹) + ((((∗‘𝑆) · -𝑅) · (𝐹 ·ih 𝐺)) + (((𝑆 · -𝑅) · (𝐺 ·ih 𝐹)) + ((𝑅↑2) · (𝐺 ·ih 𝐺))))) | 
| 50 | 43, 47, 49 | 3eqtr4i 2774 | 1
⊢ (((𝐴 · (𝑅↑2)) + (𝐵 · 𝑅)) + 𝐶) = (((𝐹 ·ih 𝐹) + (((∗‘𝑆) · -𝑅) · (𝐹 ·ih 𝐺))) + (((𝑆 · -𝑅) · (𝐺 ·ih 𝐹)) + ((𝑅↑2) · (𝐺 ·ih 𝐺)))) |