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Theorem normlem3 29899
Description: Lemma used to derive properties of norm. Part of Theorem 3.3(ii) of [Beran] p. 97. (Contributed by NM, 21-Aug-1999.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
normlem1.1 𝑆 ∈ ℂ
normlem1.2 𝐹 ∈ ℋ
normlem1.3 𝐺 ∈ ℋ
normlem2.4 𝐵 = -(((∗‘𝑆) · (𝐹 ·ih 𝐺)) + (𝑆 · (𝐺 ·ih 𝐹)))
normlem3.5 𝐴 = (𝐺 ·ih 𝐺)
normlem3.6 𝐶 = (𝐹 ·ih 𝐹)
normlem3.7 𝑅 ∈ ℝ
Assertion
Ref Expression
normlem3 (((𝐴 · (𝑅↑2)) + (𝐵 · 𝑅)) + 𝐶) = (((𝐹 ·ih 𝐹) + (((∗‘𝑆) · -𝑅) · (𝐹 ·ih 𝐺))) + (((𝑆 · -𝑅) · (𝐺 ·ih 𝐹)) + ((𝑅↑2) · (𝐺 ·ih 𝐺))))

Proof of Theorem normlem3
StepHypRef Expression
1 normlem3.6 . . 3 𝐶 = (𝐹 ·ih 𝐹)
2 normlem3.5 . . . . . . 7 𝐴 = (𝐺 ·ih 𝐺)
3 normlem1.3 . . . . . . . 8 𝐺 ∈ ℋ
43, 3hicli 29868 . . . . . . 7 (𝐺 ·ih 𝐺) ∈ ℂ
52, 4eqeltri 2834 . . . . . 6 𝐴 ∈ ℂ
6 normlem3.7 . . . . . . . 8 𝑅 ∈ ℝ
76recni 11127 . . . . . . 7 𝑅 ∈ ℂ
87sqcli 14039 . . . . . 6 (𝑅↑2) ∈ ℂ
95, 8mulcli 11120 . . . . 5 (𝐴 · (𝑅↑2)) ∈ ℂ
10 normlem1.1 . . . . . . . 8 𝑆 ∈ ℂ
11 normlem1.2 . . . . . . . 8 𝐹 ∈ ℋ
12 normlem2.4 . . . . . . . 8 𝐵 = -(((∗‘𝑆) · (𝐹 ·ih 𝐺)) + (𝑆 · (𝐺 ·ih 𝐹)))
1310, 11, 3, 12normlem2 29898 . . . . . . 7 𝐵 ∈ ℝ
1413recni 11127 . . . . . 6 𝐵 ∈ ℂ
1514, 7mulcli 11120 . . . . 5 (𝐵 · 𝑅) ∈ ℂ
169, 15addcomi 11304 . . . 4 ((𝐴 · (𝑅↑2)) + (𝐵 · 𝑅)) = ((𝐵 · 𝑅) + (𝐴 · (𝑅↑2)))
1710cjcli 15008 . . . . . . . . . 10 (∗‘𝑆) ∈ ℂ
1811, 3hicli 29868 . . . . . . . . . 10 (𝐹 ·ih 𝐺) ∈ ℂ
1917, 18mulcli 11120 . . . . . . . . 9 ((∗‘𝑆) · (𝐹 ·ih 𝐺)) ∈ ℂ
203, 11hicli 29868 . . . . . . . . . 10 (𝐺 ·ih 𝐹) ∈ ℂ
2110, 20mulcli 11120 . . . . . . . . 9 (𝑆 · (𝐺 ·ih 𝐹)) ∈ ℂ
2219, 21addcli 11119 . . . . . . . 8 (((∗‘𝑆) · (𝐹 ·ih 𝐺)) + (𝑆 · (𝐺 ·ih 𝐹))) ∈ ℂ
2322, 7mulneg1i 11559 . . . . . . 7 (-(((∗‘𝑆) · (𝐹 ·ih 𝐺)) + (𝑆 · (𝐺 ·ih 𝐹))) · 𝑅) = -((((∗‘𝑆) · (𝐹 ·ih 𝐺)) + (𝑆 · (𝐺 ·ih 𝐹))) · 𝑅)
2412oveq1i 7361 . . . . . . 7 (𝐵 · 𝑅) = (-(((∗‘𝑆) · (𝐹 ·ih 𝐺)) + (𝑆 · (𝐺 ·ih 𝐹))) · 𝑅)
2522, 7mulneg2i 11560 . . . . . . 7 ((((∗‘𝑆) · (𝐹 ·ih 𝐺)) + (𝑆 · (𝐺 ·ih 𝐹))) · -𝑅) = -((((∗‘𝑆) · (𝐹 ·ih 𝐺)) + (𝑆 · (𝐺 ·ih 𝐹))) · 𝑅)
2623, 24, 253eqtr4i 2774 . . . . . 6 (𝐵 · 𝑅) = ((((∗‘𝑆) · (𝐹 ·ih 𝐺)) + (𝑆 · (𝐺 ·ih 𝐹))) · -𝑅)
277negcli 11427 . . . . . . 7 -𝑅 ∈ ℂ
2819, 21, 27adddiri 11126 . . . . . 6 ((((∗‘𝑆) · (𝐹 ·ih 𝐺)) + (𝑆 · (𝐺 ·ih 𝐹))) · -𝑅) = ((((∗‘𝑆) · (𝐹 ·ih 𝐺)) · -𝑅) + ((𝑆 · (𝐺 ·ih 𝐹)) · -𝑅))
2917, 18, 27mul32i 11309 . . . . . . 7 (((∗‘𝑆) · (𝐹 ·ih 𝐺)) · -𝑅) = (((∗‘𝑆) · -𝑅) · (𝐹 ·ih 𝐺))
3010, 20, 27mul32i 11309 . . . . . . 7 ((𝑆 · (𝐺 ·ih 𝐹)) · -𝑅) = ((𝑆 · -𝑅) · (𝐺 ·ih 𝐹))
3129, 30oveq12i 7363 . . . . . 6 ((((∗‘𝑆) · (𝐹 ·ih 𝐺)) · -𝑅) + ((𝑆 · (𝐺 ·ih 𝐹)) · -𝑅)) = ((((∗‘𝑆) · -𝑅) · (𝐹 ·ih 𝐺)) + ((𝑆 · -𝑅) · (𝐺 ·ih 𝐹)))
3226, 28, 313eqtri 2768 . . . . 5 (𝐵 · 𝑅) = ((((∗‘𝑆) · -𝑅) · (𝐹 ·ih 𝐺)) + ((𝑆 · -𝑅) · (𝐺 ·ih 𝐹)))
332oveq2i 7362 . . . . . 6 ((𝑅↑2) · 𝐴) = ((𝑅↑2) · (𝐺 ·ih 𝐺))
348, 5, 33mulcomli 11122 . . . . 5 (𝐴 · (𝑅↑2)) = ((𝑅↑2) · (𝐺 ·ih 𝐺))
3532, 34oveq12i 7363 . . . 4 ((𝐵 · 𝑅) + (𝐴 · (𝑅↑2))) = (((((∗‘𝑆) · -𝑅) · (𝐹 ·ih 𝐺)) + ((𝑆 · -𝑅) · (𝐺 ·ih 𝐹))) + ((𝑅↑2) · (𝐺 ·ih 𝐺)))
3617, 27mulcli 11120 . . . . . 6 ((∗‘𝑆) · -𝑅) ∈ ℂ
3736, 18mulcli 11120 . . . . 5 (((∗‘𝑆) · -𝑅) · (𝐹 ·ih 𝐺)) ∈ ℂ
3810, 27mulcli 11120 . . . . . 6 (𝑆 · -𝑅) ∈ ℂ
3938, 20mulcli 11120 . . . . 5 ((𝑆 · -𝑅) · (𝐺 ·ih 𝐹)) ∈ ℂ
408, 4mulcli 11120 . . . . 5 ((𝑅↑2) · (𝐺 ·ih 𝐺)) ∈ ℂ
4137, 39, 40addassi 11123 . . . 4 (((((∗‘𝑆) · -𝑅) · (𝐹 ·ih 𝐺)) + ((𝑆 · -𝑅) · (𝐺 ·ih 𝐹))) + ((𝑅↑2) · (𝐺 ·ih 𝐺))) = ((((∗‘𝑆) · -𝑅) · (𝐹 ·ih 𝐺)) + (((𝑆 · -𝑅) · (𝐺 ·ih 𝐹)) + ((𝑅↑2) · (𝐺 ·ih 𝐺))))
4216, 35, 413eqtri 2768 . . 3 ((𝐴 · (𝑅↑2)) + (𝐵 · 𝑅)) = ((((∗‘𝑆) · -𝑅) · (𝐹 ·ih 𝐺)) + (((𝑆 · -𝑅) · (𝐺 ·ih 𝐹)) + ((𝑅↑2) · (𝐺 ·ih 𝐺))))
431, 42oveq12i 7363 . 2 (𝐶 + ((𝐴 · (𝑅↑2)) + (𝐵 · 𝑅))) = ((𝐹 ·ih 𝐹) + ((((∗‘𝑆) · -𝑅) · (𝐹 ·ih 𝐺)) + (((𝑆 · -𝑅) · (𝐺 ·ih 𝐹)) + ((𝑅↑2) · (𝐺 ·ih 𝐺)))))
449, 15addcli 11119 . . 3 ((𝐴 · (𝑅↑2)) + (𝐵 · 𝑅)) ∈ ℂ
4511, 11hicli 29868 . . . 4 (𝐹 ·ih 𝐹) ∈ ℂ
461, 45eqeltri 2834 . . 3 𝐶 ∈ ℂ
4744, 46addcomi 11304 . 2 (((𝐴 · (𝑅↑2)) + (𝐵 · 𝑅)) + 𝐶) = (𝐶 + ((𝐴 · (𝑅↑2)) + (𝐵 · 𝑅)))
4839, 40addcli 11119 . . 3 (((𝑆 · -𝑅) · (𝐺 ·ih 𝐹)) + ((𝑅↑2) · (𝐺 ·ih 𝐺))) ∈ ℂ
4945, 37, 48addassi 11123 . 2 (((𝐹 ·ih 𝐹) + (((∗‘𝑆) · -𝑅) · (𝐹 ·ih 𝐺))) + (((𝑆 · -𝑅) · (𝐺 ·ih 𝐹)) + ((𝑅↑2) · (𝐺 ·ih 𝐺)))) = ((𝐹 ·ih 𝐹) + ((((∗‘𝑆) · -𝑅) · (𝐹 ·ih 𝐺)) + (((𝑆 · -𝑅) · (𝐺 ·ih 𝐹)) + ((𝑅↑2) · (𝐺 ·ih 𝐺)))))
5043, 47, 493eqtr4i 2774 1 (((𝐴 · (𝑅↑2)) + (𝐵 · 𝑅)) + 𝐶) = (((𝐹 ·ih 𝐹) + (((∗‘𝑆) · -𝑅) · (𝐹 ·ih 𝐺))) + (((𝑆 · -𝑅) · (𝐺 ·ih 𝐹)) + ((𝑅↑2) · (𝐺 ·ih 𝐺))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1541  wcel 2106  cfv 6493  (class class class)co 7351  cc 11007  cr 11008   + caddc 11012   · cmul 11014  -cneg 11344  2c2 12166  cexp 13921  ccj 14935  chba 29706   ·ih csp 29709
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-sep 5254  ax-nul 5261  ax-pow 5318  ax-pr 5382  ax-un 7664  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086  ax-hfi 29866  ax-his1 29869
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3445  df-sbc 3738  df-csb 3854  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4560  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4864  df-iun 4954  df-br 5104  df-opab 5166  df-mpt 5187  df-tr 5221  df-id 5529  df-eprel 5535  df-po 5543  df-so 5544  df-fr 5586  df-we 5588  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6251  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6445  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7307  df-ov 7354  df-oprab 7355  df-mpo 7356  df-om 7795  df-2nd 7914  df-frecs 8204  df-wrecs 8235  df-recs 8309  df-rdg 8348  df-er 8606  df-en 8842  df-dom 8843  df-sdom 8844  df-pnf 11149  df-mnf 11150  df-xr 11151  df-ltxr 11152  df-le 11153  df-sub 11345  df-neg 11346  df-div 11771  df-nn 12112  df-2 12174  df-n0 12372  df-z 12458  df-uz 12722  df-seq 13861  df-exp 13922  df-cj 14938  df-re 14939  df-im 14940
This theorem is referenced by:  normlem4  29900
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