Theorem normlem3 30620

Description: Lemma used to derive properties of norm. Part of Theorem 3.3(ii) of [Beran] p. 97. (Contributed by NM, 21-Aug-1999.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
normlem1.1	⊢ 𝑆 ∈ ℂ
normlem1.2	⊢ 𝐹 ∈ ℋ
normlem1.3	⊢ 𝐺 ∈ ℋ
normlem2.4	⊢ 𝐵 = -(((∗‘𝑆) · (𝐹 ·ih 𝐺)) + (𝑆 · (𝐺 ·ih 𝐹)))
normlem3.5	⊢ 𝐴 = (𝐺 ·ih 𝐺)
normlem3.6	⊢ 𝐶 = (𝐹 ·ih 𝐹)
normlem3.7	⊢ 𝑅 ∈ ℝ

Assertion

Ref	Expression
normlem3	⊢ (((𝐴 · (𝑅↑2)) + (𝐵 · 𝑅)) + 𝐶) = (((𝐹 ·ih 𝐹) + (((∗‘𝑆) · -𝑅) · (𝐹 ·ih 𝐺))) + (((𝑆 · -𝑅) · (𝐺 ·ih 𝐹)) + ((𝑅↑2) · (𝐺 ·ih 𝐺))))

Proof of Theorem normlem3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		normlem3.6	. . 3 ⊢ 𝐶 = (𝐹 ·ih 𝐹)
2		normlem3.5	. . . . . . 7 ⊢ 𝐴 = (𝐺 ·ih 𝐺)
3		normlem1.3	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐺 ∈ ℋ
4	3, 3	hicli 30589	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ·ih 𝐺) ∈ ℂ
5	2, 4	eqeltri 2829	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 ∈ ℂ
6		normlem3.7	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑅 ∈ ℝ
7	6	recni 11232	. . . . . . 7 ⊢ 𝑅 ∈ ℂ
8	7	sqcli 14149	. . . . . 6 ⊢ (𝑅↑2) ∈ ℂ
9	5, 8	mulcli 11225	. . . . 5 ⊢ (𝐴 · (𝑅↑2)) ∈ ℂ
10		normlem1.1	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑆 ∈ ℂ
11		normlem1.2	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐹 ∈ ℋ
12		normlem2.4	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 = -(((∗‘𝑆) · (𝐹 ·ih 𝐺)) + (𝑆 · (𝐺 ·ih 𝐹)))
13	10, 11, 3, 12	normlem2 30619	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 ∈ ℝ
14	13	recni 11232	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 ∈ ℂ
15	14, 7	mulcli 11225	. . . . 5 ⊢ (𝐵 · 𝑅) ∈ ℂ
16	9, 15	addcomi 11409	. . . 4 ⊢ ((𝐴 · (𝑅↑2)) + (𝐵 · 𝑅)) = ((𝐵 · 𝑅) + (𝐴 · (𝑅↑2)))
17	10	cjcli 15120	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∗‘𝑆) ∈ ℂ
18	11, 3	hicli 30589	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹 ·ih 𝐺) ∈ ℂ
19	17, 18	mulcli 11225	. . . . . . . . 9 ⊢ ((∗‘𝑆) · (𝐹 ·ih 𝐺)) ∈ ℂ
20	3, 11	hicli 30589	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐺 ·ih 𝐹) ∈ ℂ
21	10, 20	mulcli 11225	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑆 · (𝐺 ·ih 𝐹)) ∈ ℂ
22	19, 21	addcli 11224	. . . . . . . 8 ⊢ (((∗‘𝑆) · (𝐹 ·ih 𝐺)) + (𝑆 · (𝐺 ·ih 𝐹))) ∈ ℂ
23	22, 7	mulneg1i 11664	. . . . . . 7 ⊢ (-(((∗‘𝑆) · (𝐹 ·ih 𝐺)) + (𝑆 · (𝐺 ·ih 𝐹))) · 𝑅) = -((((∗‘𝑆) · (𝐹 ·ih 𝐺)) + (𝑆 · (𝐺 ·ih 𝐹))) · 𝑅)
24	12	oveq1i 7421	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 · 𝑅) = (-(((∗‘𝑆) · (𝐹 ·ih 𝐺)) + (𝑆 · (𝐺 ·ih 𝐹))) · 𝑅)
25	22, 7	mulneg2i 11665	. . . . . . 7 ⊢ ((((∗‘𝑆) · (𝐹 ·ih 𝐺)) + (𝑆 · (𝐺 ·ih 𝐹))) · -𝑅) = -((((∗‘𝑆) · (𝐹 ·ih 𝐺)) + (𝑆 · (𝐺 ·ih 𝐹))) · 𝑅)
26	23, 24, 25	3eqtr4i 2770	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 · 𝑅) = ((((∗‘𝑆) · (𝐹 ·ih 𝐺)) + (𝑆 · (𝐺 ·ih 𝐹))) · -𝑅)
27	7	negcli 11532	. . . . . . 7 ⊢ -𝑅 ∈ ℂ
28	19, 21, 27	adddiri 11231	. . . . . 6 ⊢ ((((∗‘𝑆) · (𝐹 ·ih 𝐺)) + (𝑆 · (𝐺 ·ih 𝐹))) · -𝑅) = ((((∗‘𝑆) · (𝐹 ·ih 𝐺)) · -𝑅) + ((𝑆 · (𝐺 ·ih 𝐹)) · -𝑅))
29	17, 18, 27	mul32i 11414	. . . . . . 7 ⊢ (((∗‘𝑆) · (𝐹 ·ih 𝐺)) · -𝑅) = (((∗‘𝑆) · -𝑅) · (𝐹 ·ih 𝐺))
30	10, 20, 27	mul32i 11414	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆 · (𝐺 ·ih 𝐹)) · -𝑅) = ((𝑆 · -𝑅) · (𝐺 ·ih 𝐹))
31	29, 30	oveq12i 7423	. . . . . 6 ⊢ ((((∗‘𝑆) · (𝐹 ·ih 𝐺)) · -𝑅) + ((𝑆 · (𝐺 ·ih 𝐹)) · -𝑅)) = ((((∗‘𝑆) · -𝑅) · (𝐹 ·ih 𝐺)) + ((𝑆 · -𝑅) · (𝐺 ·ih 𝐹)))
32	26, 28, 31	3eqtri 2764	. . . . 5 ⊢ (𝐵 · 𝑅) = ((((∗‘𝑆) · -𝑅) · (𝐹 ·ih 𝐺)) + ((𝑆 · -𝑅) · (𝐺 ·ih 𝐹)))
33	2	oveq2i 7422	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅↑2) · 𝐴) = ((𝑅↑2) · (𝐺 ·ih 𝐺))
34	8, 5, 33	mulcomli 11227	. . . . 5 ⊢ (𝐴 · (𝑅↑2)) = ((𝑅↑2) · (𝐺 ·ih 𝐺))
35	32, 34	oveq12i 7423	. . . 4 ⊢ ((𝐵 · 𝑅) + (𝐴 · (𝑅↑2))) = (((((∗‘𝑆) · -𝑅) · (𝐹 ·ih 𝐺)) + ((𝑆 · -𝑅) · (𝐺 ·ih 𝐹))) + ((𝑅↑2) · (𝐺 ·ih 𝐺)))
36	17, 27	mulcli 11225	. . . . . 6 ⊢ ((∗‘𝑆) · -𝑅) ∈ ℂ
37	36, 18	mulcli 11225	. . . . 5 ⊢ (((∗‘𝑆) · -𝑅) · (𝐹 ·ih 𝐺)) ∈ ℂ
38	10, 27	mulcli 11225	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 · -𝑅) ∈ ℂ
39	38, 20	mulcli 11225	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 · -𝑅) · (𝐺 ·ih 𝐹)) ∈ ℂ
40	8, 4	mulcli 11225	. . . . 5 ⊢ ((𝑅↑2) · (𝐺 ·ih 𝐺)) ∈ ℂ
41	37, 39, 40	addassi 11228	. . . 4 ⊢ (((((∗‘𝑆) · -𝑅) · (𝐹 ·ih 𝐺)) + ((𝑆 · -𝑅) · (𝐺 ·ih 𝐹))) + ((𝑅↑2) · (𝐺 ·ih 𝐺))) = ((((∗‘𝑆) · -𝑅) · (𝐹 ·ih 𝐺)) + (((𝑆 · -𝑅) · (𝐺 ·ih 𝐹)) + ((𝑅↑2) · (𝐺 ·ih 𝐺))))
42	16, 35, 41	3eqtri 2764	. . 3 ⊢ ((𝐴 · (𝑅↑2)) + (𝐵 · 𝑅)) = ((((∗‘𝑆) · -𝑅) · (𝐹 ·ih 𝐺)) + (((𝑆 · -𝑅) · (𝐺 ·ih 𝐹)) + ((𝑅↑2) · (𝐺 ·ih 𝐺))))
43	1, 42	oveq12i 7423	. 2 ⊢ (𝐶 + ((𝐴 · (𝑅↑2)) + (𝐵 · 𝑅))) = ((𝐹 ·ih 𝐹) + ((((∗‘𝑆) · -𝑅) · (𝐹 ·ih 𝐺)) + (((𝑆 · -𝑅) · (𝐺 ·ih 𝐹)) + ((𝑅↑2) · (𝐺 ·ih 𝐺)))))
44	9, 15	addcli 11224	. . 3 ⊢ ((𝐴 · (𝑅↑2)) + (𝐵 · 𝑅)) ∈ ℂ
45	11, 11	hicli 30589	. . . 4 ⊢ (𝐹 ·ih 𝐹) ∈ ℂ
46	1, 45	eqeltri 2829	. . 3 ⊢ 𝐶 ∈ ℂ
47	44, 46	addcomi 11409	. 2 ⊢ (((𝐴 · (𝑅↑2)) + (𝐵 · 𝑅)) + 𝐶) = (𝐶 + ((𝐴 · (𝑅↑2)) + (𝐵 · 𝑅)))
48	39, 40	addcli 11224	. . 3 ⊢ (((𝑆 · -𝑅) · (𝐺 ·ih 𝐹)) + ((𝑅↑2) · (𝐺 ·ih 𝐺))) ∈ ℂ
49	45, 37, 48	addassi 11228	. 2 ⊢ (((𝐹 ·ih 𝐹) + (((∗‘𝑆) · -𝑅) · (𝐹 ·ih 𝐺))) + (((𝑆 · -𝑅) · (𝐺 ·ih 𝐹)) + ((𝑅↑2) · (𝐺 ·ih 𝐺)))) = ((𝐹 ·ih 𝐹) + ((((∗‘𝑆) · -𝑅) · (𝐹 ·ih 𝐺)) + (((𝑆 · -𝑅) · (𝐺 ·ih 𝐹)) + ((𝑅↑2) · (𝐺 ·ih 𝐺)))))
50	43, 47, 49	3eqtr4i 2770	1 ⊢ (((𝐴 · (𝑅↑2)) + (𝐵 · 𝑅)) + 𝐶) = (((𝐹 ·ih 𝐹) + (((∗‘𝑆) · -𝑅) · (𝐹 ·ih 𝐺))) + (((𝑆 · -𝑅) · (𝐺 ·ih 𝐹)) + ((𝑅↑2) · (𝐺 ·ih 𝐺))))

Syntax hints:   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  ‘cfv 6543  (class class class)co 7411  ℂcc 11110  ℝcr 11111   + caddc 11115   · cmul 11117  -cneg 11449  2c2 12271  ↑cexp 14031  ∗ccj 15047   ℋchba 30427   ·_ih csp 30430

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-hfi 30587  ax-his1 30590

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-seq 13971  df-exp 14032  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052

This theorem is referenced by:  normlem4  30621