normlem3 - Hilbert Space Explorer

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Theorem normlem3 31187

Description: Lemma used to derive properties of norm. Part of Theorem 3.3(ii) of [Beran] p. 97. (Contributed by NM, 21-Aug-1999.) (New usage is discouraged.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
normlem1.1	⊢ 𝑆 ∈ ℂ
normlem1.2	⊢ 𝐹 ∈ ℋ
normlem1.3	⊢ 𝐺 ∈ ℋ
normlem2.4	⊢ 𝐵 = -(((∗‘𝑆) · (𝐹 ·_ih 𝐺)) + (𝑆 · (𝐺 ·_ih 𝐹)))
normlem3.5	⊢ 𝐴 = (𝐺 ·_ih 𝐺)
normlem3.6	⊢ 𝐶 = (𝐹 ·_ih 𝐹)
normlem3.7	⊢ 𝑅 ∈ ℝ

**Assertion**
Ref	Expression
normlem3	⊢ (((𝐴 · (𝑅↑2)) + (𝐵 · 𝑅)) + 𝐶) = (((𝐹 ·_ih 𝐹) + (((∗‘𝑆) · -𝑅) · (𝐹 ·_ih 𝐺))) + (((𝑆 · -𝑅) · (𝐺 ·_ih 𝐹)) + ((𝑅↑2) · (𝐺 ·_ih 𝐺))))

**Proof of Theorem normlem3**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		normlem3.6	. . 3 ⊢ 𝐶 = (𝐹 ·_ih 𝐹)
2		normlem3.5	. . . . . . 7 ⊢ 𝐴 = (𝐺 ·_ih 𝐺)
3		normlem1.3	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐺 ∈ ℋ
4	3, 3	hicli 31156	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ·_ih 𝐺) ∈ ℂ
5	2, 4	eqeltri 2832	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 ∈ ℂ
6		normlem3.7	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑅 ∈ ℝ
7	6	recni 11146	. . . . . . 7 ⊢ 𝑅 ∈ ℂ
8	7	sqcli 14104	. . . . . 6 ⊢ (𝑅↑2) ∈ ℂ
9	5, 8	mulcli 11139	. . . . 5 ⊢ (𝐴 · (𝑅↑2)) ∈ ℂ
10		normlem1.1	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑆 ∈ ℂ
11		normlem1.2	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐹 ∈ ℋ
12		normlem2.4	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 = -(((∗‘𝑆) · (𝐹 ·_ih 𝐺)) + (𝑆 · (𝐺 ·_ih 𝐹)))
13	10, 11, 3, 12	normlem2 31186	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 ∈ ℝ
14	13	recni 11146	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 ∈ ℂ
15	14, 7	mulcli 11139	. . . . 5 ⊢ (𝐵 · 𝑅) ∈ ℂ
16	9, 15	addcomi 11324	. . . 4 ⊢ ((𝐴 · (𝑅↑2)) + (𝐵 · 𝑅)) = ((𝐵 · 𝑅) + (𝐴 · (𝑅↑2)))
17	10	cjcli 15092	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∗‘𝑆) ∈ ℂ
18	11, 3	hicli 31156	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹 ·_ih 𝐺) ∈ ℂ
19	17, 18	mulcli 11139	. . . . . . . . 9 ⊢ ((∗‘𝑆) · (𝐹 ·_ih 𝐺)) ∈ ℂ
20	3, 11	hicli 31156	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐺 ·_ih 𝐹) ∈ ℂ
21	10, 20	mulcli 11139	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑆 · (𝐺 ·_ih 𝐹)) ∈ ℂ
22	19, 21	addcli 11138	. . . . . . . 8 ⊢ (((∗‘𝑆) · (𝐹 ·_ih 𝐺)) + (𝑆 · (𝐺 ·_ih 𝐹))) ∈ ℂ
23	22, 7	mulneg1i 11583	. . . . . . 7 ⊢ (-(((∗‘𝑆) · (𝐹 ·_ih 𝐺)) + (𝑆 · (𝐺 ·_ih 𝐹))) · 𝑅) = -((((∗‘𝑆) · (𝐹 ·_ih 𝐺)) + (𝑆 · (𝐺 ·_ih 𝐹))) · 𝑅)
24	12	oveq1i 7368	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 · 𝑅) = (-(((∗‘𝑆) · (𝐹 ·_ih 𝐺)) + (𝑆 · (𝐺 ·_ih 𝐹))) · 𝑅)
25	22, 7	mulneg2i 11584	. . . . . . 7 ⊢ ((((∗‘𝑆) · (𝐹 ·_ih 𝐺)) + (𝑆 · (𝐺 ·_ih 𝐹))) · -𝑅) = -((((∗‘𝑆) · (𝐹 ·_ih 𝐺)) + (𝑆 · (𝐺 ·_ih 𝐹))) · 𝑅)
26	23, 24, 25	3eqtr4i 2769	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 · 𝑅) = ((((∗‘𝑆) · (𝐹 ·_ih 𝐺)) + (𝑆 · (𝐺 ·_ih 𝐹))) · -𝑅)
27	7	negcli 11449	. . . . . . 7 ⊢ -𝑅 ∈ ℂ
28	19, 21, 27	adddiri 11145	. . . . . 6 ⊢ ((((∗‘𝑆) · (𝐹 ·_ih 𝐺)) + (𝑆 · (𝐺 ·_ih 𝐹))) · -𝑅) = ((((∗‘𝑆) · (𝐹 ·_ih 𝐺)) · -𝑅) + ((𝑆 · (𝐺 ·_ih 𝐹)) · -𝑅))
29	17, 18, 27	mul32i 11329	. . . . . . 7 ⊢ (((∗‘𝑆) · (𝐹 ·_ih 𝐺)) · -𝑅) = (((∗‘𝑆) · -𝑅) · (𝐹 ·_ih 𝐺))
30	10, 20, 27	mul32i 11329	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆 · (𝐺 ·_ih 𝐹)) · -𝑅) = ((𝑆 · -𝑅) · (𝐺 ·_ih 𝐹))
31	29, 30	oveq12i 7370	. . . . . 6 ⊢ ((((∗‘𝑆) · (𝐹 ·_ih 𝐺)) · -𝑅) + ((𝑆 · (𝐺 ·_ih 𝐹)) · -𝑅)) = ((((∗‘𝑆) · -𝑅) · (𝐹 ·_ih 𝐺)) + ((𝑆 · -𝑅) · (𝐺 ·_ih 𝐹)))
32	26, 28, 31	3eqtri 2763	. . . . 5 ⊢ (𝐵 · 𝑅) = ((((∗‘𝑆) · -𝑅) · (𝐹 ·_ih 𝐺)) + ((𝑆 · -𝑅) · (𝐺 ·_ih 𝐹)))
33	2	oveq2i 7369	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅↑2) · 𝐴) = ((𝑅↑2) · (𝐺 ·_ih 𝐺))
34	8, 5, 33	mulcomli 11141	. . . . 5 ⊢ (𝐴 · (𝑅↑2)) = ((𝑅↑2) · (𝐺 ·_ih 𝐺))
35	32, 34	oveq12i 7370	. . . 4 ⊢ ((𝐵 · 𝑅) + (𝐴 · (𝑅↑2))) = (((((∗‘𝑆) · -𝑅) · (𝐹 ·_ih 𝐺)) + ((𝑆 · -𝑅) · (𝐺 ·_ih 𝐹))) + ((𝑅↑2) · (𝐺 ·_ih 𝐺)))
36	17, 27	mulcli 11139	. . . . . 6 ⊢ ((∗‘𝑆) · -𝑅) ∈ ℂ
37	36, 18	mulcli 11139	. . . . 5 ⊢ (((∗‘𝑆) · -𝑅) · (𝐹 ·_ih 𝐺)) ∈ ℂ
38	10, 27	mulcli 11139	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 · -𝑅) ∈ ℂ
39	38, 20	mulcli 11139	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 · -𝑅) · (𝐺 ·_ih 𝐹)) ∈ ℂ
40	8, 4	mulcli 11139	. . . . 5 ⊢ ((𝑅↑2) · (𝐺 ·_ih 𝐺)) ∈ ℂ
41	37, 39, 40	addassi 11142	. . . 4 ⊢ (((((∗‘𝑆) · -𝑅) · (𝐹 ·_ih 𝐺)) + ((𝑆 · -𝑅) · (𝐺 ·_ih 𝐹))) + ((𝑅↑2) · (𝐺 ·_ih 𝐺))) = ((((∗‘𝑆) · -𝑅) · (𝐹 ·_ih 𝐺)) + (((𝑆 · -𝑅) · (𝐺 ·_ih 𝐹)) + ((𝑅↑2) · (𝐺 ·_ih 𝐺))))
42	16, 35, 41	3eqtri 2763	. . 3 ⊢ ((𝐴 · (𝑅↑2)) + (𝐵 · 𝑅)) = ((((∗‘𝑆) · -𝑅) · (𝐹 ·_ih 𝐺)) + (((𝑆 · -𝑅) · (𝐺 ·_ih 𝐹)) + ((𝑅↑2) · (𝐺 ·_ih 𝐺))))
43	1, 42	oveq12i 7370	. 2 ⊢ (𝐶 + ((𝐴 · (𝑅↑2)) + (𝐵 · 𝑅))) = ((𝐹 ·_ih 𝐹) + ((((∗‘𝑆) · -𝑅) · (𝐹 ·_ih 𝐺)) + (((𝑆 · -𝑅) · (𝐺 ·_ih 𝐹)) + ((𝑅↑2) · (𝐺 ·_ih 𝐺)))))
44	9, 15	addcli 11138	. . 3 ⊢ ((𝐴 · (𝑅↑2)) + (𝐵 · 𝑅)) ∈ ℂ
45	11, 11	hicli 31156	. . . 4 ⊢ (𝐹 ·_ih 𝐹) ∈ ℂ
46	1, 45	eqeltri 2832	. . 3 ⊢ 𝐶 ∈ ℂ
47	44, 46	addcomi 11324	. 2 ⊢ (((𝐴 · (𝑅↑2)) + (𝐵 · 𝑅)) + 𝐶) = (𝐶 + ((𝐴 · (𝑅↑2)) + (𝐵 · 𝑅)))
48	39, 40	addcli 11138	. . 3 ⊢ (((𝑆 · -𝑅) · (𝐺 ·_ih 𝐹)) + ((𝑅↑2) · (𝐺 ·_ih 𝐺))) ∈ ℂ
49	45, 37, 48	addassi 11142	. 2 ⊢ (((𝐹 ·_ih 𝐹) + (((∗‘𝑆) · -𝑅) · (𝐹 ·_ih 𝐺))) + (((𝑆 · -𝑅) · (𝐺 ·_ih 𝐹)) + ((𝑅↑2) · (𝐺 ·_ih 𝐺)))) = ((𝐹 ·_ih 𝐹) + ((((∗‘𝑆) · -𝑅) · (𝐹 ·_ih 𝐺)) + (((𝑆 · -𝑅) · (𝐺 ·_ih 𝐹)) + ((𝑅↑2) · (𝐺 ·_ih 𝐺)))))
50	43, 47, 49	3eqtr4i 2769	1 ⊢ (((𝐴 · (𝑅↑2)) + (𝐵 · 𝑅)) + 𝐶) = (((𝐹 ·_ih 𝐹) + (((∗‘𝑆) · -𝑅) · (𝐹 ·_ih 𝐺))) + (((𝑆 · -𝑅) · (𝐺 ·_ih 𝐹)) + ((𝑅↑2) · (𝐺 ·_ih 𝐺))))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: = wceq 1541 ∈ wcel 2113 ‘cfv 6492 (class class class)co 7358 ℂcc 11024 ℝcr 11025 + caddc 11029 · cmul 11031 -cneg 11365 2c2 12200 ↑cexp 13984 ∗ccj 15019 ℋchba 30994 ·_ih csp 30997

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1796 ax-4 1810 ax-5 1911 ax-6 1968 ax-7 2009 ax-8 2115 ax-9 2123 ax-10 2146 ax-11 2162 ax-12 2184 ax-ext 2708 ax-sep 5241 ax-nul 5251 ax-pow 5310 ax-pr 5377 ax-un 7680 ax-cnex 11082 ax-resscn 11083 ax-1cn 11084 ax-icn 11085 ax-addcl 11086 ax-addrcl 11087 ax-mulcl 11088 ax-mulrcl 11089 ax-mulcom 11090 ax-addass 11091 ax-mulass 11092 ax-distr 11093 ax-i2m1 11094 ax-1ne0 11095 ax-1rid 11096 ax-rnegex 11097 ax-rrecex 11098 ax-cnre 11099 ax-pre-lttri 11100 ax-pre-lttrn 11101 ax-pre-ltadd 11102 ax-pre-mulgt0 11103 ax-hfi 31154 ax-his1 31157

This theorem depends on definitions: df-bi 207 df-an 396 df-or 848 df-3or 1087 df-3an 1088 df-tru 1544 df-fal 1554 df-ex 1781 df-nf 1785 df-sb 2068 df-mo 2539 df-eu 2569 df-clab 2715 df-cleq 2728 df-clel 2811 df-nfc 2885 df-ne 2933 df-nel 3037 df-ral 3052 df-rex 3061 df-rmo 3350 df-reu 3351 df-rab 3400 df-v 3442 df-sbc 3741 df-csb 3850 df-dif 3904 df-un 3906 df-in 3908 df-ss 3918 df-pss 3921 df-nul 4286 df-if 4480 df-pw 4556 df-sn 4581 df-pr 4583 df-op 4587 df-uni 4864 df-iun 4948 df-br 5099 df-opab 5161 df-mpt 5180 df-tr 5206 df-id 5519 df-eprel 5524 df-po 5532 df-so 5533 df-fr 5577 df-we 5579 df-xp 5630 df-rel 5631 df-cnv 5632 df-co 5633 df-dm 5634 df-rn 5635 df-res 5636 df-ima 5637 df-pred 6259 df-ord 6320 df-on 6321 df-lim 6322 df-suc 6323 df-iota 6448 df-fun 6494 df-fn 6495 df-f 6496 df-f1 6497 df-fo 6498 df-f1o 6499 df-fv 6500 df-riota 7315 df-ov 7361 df-oprab 7362 df-mpo 7363 df-om 7809 df-2nd 7934 df-frecs 8223 df-wrecs 8254 df-recs 8303 df-rdg 8341 df-er 8635 df-en 8884 df-dom 8885 df-sdom 8886 df-pnf 11168 df-mnf 11169 df-xr 11170 df-ltxr 11171 df-le 11172 df-sub 11366 df-neg 11367 df-div 11795 df-nn 12146 df-2 12208 df-n0 12402 df-z 12489 df-uz 12752 df-seq 13925 df-exp 13985 df-cj 15022 df-re 15023 df-im 15024

This theorem is referenced by: normlem4 31188

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