normlem3 - Hilbert Space Explorer

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Theorem normlem3 31714

Description: Lemma used to derive properties of norm. Part of Theorem 3.3(ii) of [Beran] p. 97. (Contributed by NM, 21-Aug-1999.) (New usage is discouraged.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
normlem1.1	⊢ 𝑆 ∈ ℂ
normlem1.2	⊢ 𝐹 ∈ ℋ
normlem1.3	⊢ 𝐺 ∈ ℋ
normlem2.4	⊢ 𝐵 = -(((∗‘𝑆) · (𝐹 ·_ih 𝐺)) + (𝑆 · (𝐺 ·_ih 𝐹)))
normlem3.5	⊢ 𝐴 = (𝐺 ·_ih 𝐺)
normlem3.6	⊢ 𝐶 = (𝐹 ·_ih 𝐹)
normlem3.7	⊢ 𝑅 ∈ ℝ

**Assertion**
Ref	Expression
normlem3	⊢ (((𝐴 · (𝑅↑2)) + (𝐵 · 𝑅)) + 𝐶) = (((𝐹 ·_ih 𝐹) + (((∗‘𝑆) · -𝑅) · (𝐹 ·_ih 𝐺))) + (((𝑆 · -𝑅) · (𝐺 ·_ih 𝐹)) + ((𝑅↑2) · (𝐺 ·_ih 𝐺))))

**Proof of Theorem normlem3**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		normlem3.6	. . 3 ⊢ 𝐶 = (𝐹 ·_ih 𝐹)
2		normlem3.5	. . . . . . 7 ⊢ 𝐴 = (𝐺 ·_ih 𝐺)
3		normlem1.3	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐺 ∈ ℋ
4	3, 3	hicli 31683	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ·_ih 𝐺) ∈ ℂ
5	2, 4	eqeltri 2857	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 ∈ ℂ
6		normlem3.7	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑅 ∈ ℝ
7	6	recni 11323	. . . . . . 7 ⊢ 𝑅 ∈ ℂ
8	7	sqcli 14324	. . . . . 6 ⊢ (𝑅↑2) ∈ ℂ
9	5, 8	mulcli 11316	. . . . 5 ⊢ (𝐴 · (𝑅↑2)) ∈ ℂ
10		normlem1.1	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑆 ∈ ℂ
11		normlem1.2	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐹 ∈ ℋ
12		normlem2.4	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 = -(((∗‘𝑆) · (𝐹 ·_ih 𝐺)) + (𝑆 · (𝐺 ·_ih 𝐹)))
13	10, 11, 3, 12	normlem2 31713	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 ∈ ℝ
14	13	recni 11323	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 ∈ ℂ
15	14, 7	mulcli 11316	. . . . 5 ⊢ (𝐵 · 𝑅) ∈ ℂ
16	9, 15	addcomi 11501	. . . 4 ⊢ ((𝐴 · (𝑅↑2)) + (𝐵 · 𝑅)) = ((𝐵 · 𝑅) + (𝐴 · (𝑅↑2)))
17	10	cjcli 15336	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∗‘𝑆) ∈ ℂ
18	11, 3	hicli 31683	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹 ·_ih 𝐺) ∈ ℂ
19	17, 18	mulcli 11316	. . . . . . . . 9 ⊢ ((∗‘𝑆) · (𝐹 ·_ih 𝐺)) ∈ ℂ
20	3, 11	hicli 31683	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐺 ·_ih 𝐹) ∈ ℂ
21	10, 20	mulcli 11316	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑆 · (𝐺 ·_ih 𝐹)) ∈ ℂ
22	19, 21	addcli 11315	. . . . . . . 8 ⊢ (((∗‘𝑆) · (𝐹 ·_ih 𝐺)) + (𝑆 · (𝐺 ·_ih 𝐹))) ∈ ℂ
23	22, 7	mulneg1i 11762	. . . . . . 7 ⊢ ( -(((∗‘𝑆) · (𝐹 ·_ih 𝐺)) + (𝑆 · (𝐺 ·_ih 𝐹))) · 𝑅) = -((((∗‘𝑆) · (𝐹 ·_ih 𝐺)) + (𝑆 · (𝐺 ·_ih 𝐹))) · 𝑅)
24	12	oveq1i 7430	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 · 𝑅) = ( -(((∗‘𝑆) · (𝐹 ·_ih 𝐺)) + (𝑆 · (𝐺 ·_ih 𝐹))) · 𝑅)
25	22, 7	mulneg2i 11763	. . . . . . 7 ⊢ ((((∗‘𝑆) · (𝐹 ·_ih 𝐺)) + (𝑆 · (𝐺 ·_ih 𝐹))) · -𝑅) = -((((∗‘𝑆) · (𝐹 ·_ih 𝐺)) + (𝑆 · (𝐺 ·_ih 𝐹))) · 𝑅)
26	23, 24, 25	3eqtr4i 2794	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 · 𝑅) = ((((∗‘𝑆) · (𝐹 ·_ih 𝐺)) + (𝑆 · (𝐺 ·_ih 𝐹))) · -𝑅)
27	7	negcli 11626	. . . . . . 7 ⊢ -𝑅 ∈ ℂ
28	19, 21, 27	adddiri 11322	. . . . . 6 ⊢ ((((∗‘𝑆) · (𝐹 ·_ih 𝐺)) + (𝑆 · (𝐺 ·_ih 𝐹))) · -𝑅) = ((((∗‘𝑆) · (𝐹 ·_ih 𝐺)) · -𝑅) + ((𝑆 · (𝐺 ·_ih 𝐹)) · -𝑅))
29	17, 18, 27	mul32i 11506	. . . . . . 7 ⊢ (((∗‘𝑆) · (𝐹 ·_ih 𝐺)) · -𝑅) = (((∗‘𝑆) · -𝑅) · (𝐹 ·_ih 𝐺))
30	10, 20, 27	mul32i 11506	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆 · (𝐺 ·_ih 𝐹)) · -𝑅) = ((𝑆 · -𝑅) · (𝐺 ·_ih 𝐹))
31	29, 30	oveq12i 7432	. . . . . 6 ⊢ ((((∗‘𝑆) · (𝐹 ·_ih 𝐺)) · -𝑅) + ((𝑆 · (𝐺 ·_ih 𝐹)) · -𝑅)) = ((((∗‘𝑆) · -𝑅) · (𝐹 ·_ih 𝐺)) + ((𝑆 · -𝑅) · (𝐺 ·_ih 𝐹)))
32	26, 28, 31	3eqtri 2788	. . . . 5 ⊢ (𝐵 · 𝑅) = ((((∗‘𝑆) · -𝑅) · (𝐹 ·_ih 𝐺)) + ((𝑆 · -𝑅) · (𝐺 ·_ih 𝐹)))
33	2	oveq2i 7431	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅↑2) · 𝐴) = ((𝑅↑2) · (𝐺 ·_ih 𝐺))
34	8, 5, 33	mulcomli 11318	. . . . 5 ⊢ (𝐴 · (𝑅↑2)) = ((𝑅↑2) · (𝐺 ·_ih 𝐺))
35	32, 34	oveq12i 7432	. . . 4 ⊢ ((𝐵 · 𝑅) + (𝐴 · (𝑅↑2))) = (((((∗‘𝑆) · -𝑅) · (𝐹 ·_ih 𝐺)) + ((𝑆 · -𝑅) · (𝐺 ·_ih 𝐹))) + ((𝑅↑2) · (𝐺 ·_ih 𝐺)))
36	17, 27	mulcli 11316	. . . . . 6 ⊢ ((∗‘𝑆) · -𝑅) ∈ ℂ
37	36, 18	mulcli 11316	. . . . 5 ⊢ (((∗‘𝑆) · -𝑅) · (𝐹 ·_ih 𝐺)) ∈ ℂ
38	10, 27	mulcli 11316	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 · -𝑅) ∈ ℂ
39	38, 20	mulcli 11316	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 · -𝑅) · (𝐺 ·_ih 𝐹)) ∈ ℂ
40	8, 4	mulcli 11316	. . . . 5 ⊢ ((𝑅↑2) · (𝐺 ·_ih 𝐺)) ∈ ℂ
41	37, 39, 40	addassi 11319	. . . 4 ⊢ (((((∗‘𝑆) · -𝑅) · (𝐹 ·_ih 𝐺)) + ((𝑆 · -𝑅) · (𝐺 ·_ih 𝐹))) + ((𝑅↑2) · (𝐺 ·_ih 𝐺))) = ((((∗‘𝑆) · -𝑅) · (𝐹 ·_ih 𝐺)) + (((𝑆 · -𝑅) · (𝐺 ·_ih 𝐹)) + ((𝑅↑2) · (𝐺 ·_ih 𝐺))))
42	16, 35, 41	3eqtri 2788	. . 3 ⊢ ((𝐴 · (𝑅↑2)) + (𝐵 · 𝑅)) = ((((∗‘𝑆) · -𝑅) · (𝐹 ·_ih 𝐺)) + (((𝑆 · -𝑅) · (𝐺 ·_ih 𝐹)) + ((𝑅↑2) · (𝐺 ·_ih 𝐺))))
43	1, 42	oveq12i 7432	. 2 ⊢ (𝐶 + ((𝐴 · (𝑅↑2)) + (𝐵 · 𝑅))) = ((𝐹 ·_ih 𝐹) + ((((∗‘𝑆) · -𝑅) · (𝐹 ·_ih 𝐺)) + (((𝑆 · -𝑅) · (𝐺 ·_ih 𝐹)) + ((𝑅↑2) · (𝐺 ·_ih 𝐺)))))
44	9, 15	addcli 11315	. . 3 ⊢ ((𝐴 · (𝑅↑2)) + (𝐵 · 𝑅)) ∈ ℂ
45	11, 11	hicli 31683	. . . 4 ⊢ (𝐹 ·_ih 𝐹) ∈ ℂ
46	1, 45	eqeltri 2857	. . 3 ⊢ 𝐶 ∈ ℂ
47	44, 46	addcomi 11501	. 2 ⊢ (((𝐴 · (𝑅↑2)) + (𝐵 · 𝑅)) + 𝐶) = (𝐶 + ((𝐴 · (𝑅↑2)) + (𝐵 · 𝑅)))
48	39, 40	addcli 11315	. . 3 ⊢ (((𝑆 · -𝑅) · (𝐺 ·_ih 𝐹)) + ((𝑅↑2) · (𝐺 ·_ih 𝐺))) ∈ ℂ
49	45, 37, 48	addassi 11319	. 2 ⊢ (((𝐹 ·_ih 𝐹) + (((∗‘𝑆) · -𝑅) · (𝐹 ·_ih 𝐺))) + (((𝑆 · -𝑅) · (𝐺 ·_ih 𝐹)) + ((𝑅↑2) · (𝐺 ·_ih 𝐺)))) = ((𝐹 ·_ih 𝐹) + ((((∗‘𝑆) · -𝑅) · (𝐹 ·_ih 𝐺)) + (((𝑆 · -𝑅) · (𝐺 ·_ih 𝐹)) + ((𝑅↑2) · (𝐺 ·_ih 𝐺)))))
50	43, 47, 49	3eqtr4i 2794	1 ⊢ (((𝐴 · (𝑅↑2)) + (𝐵 · 𝑅)) + 𝐶) = (((𝐹 ·_ih 𝐹) + (((∗‘𝑆) · -𝑅) · (𝐹 ·_ih 𝐺))) + (((𝑆 · -𝑅) · (𝐺 ·_ih 𝐹)) + ((𝑅↑2) · (𝐺 ·_ih 𝐺))))

Colors of variables: wff setvar class

This proof depends on syntax axioms: = wceq 1570 ∈ wcel 2145 ‘cfv 6538 (class class class)co 7420 ℂcc 11198 ℝcr 11199 + caddc 11203 · cmul 11205 -cneg 11542 2c2 12397 ↑cexp 14204 ∗ccj 15263 ℋchba 31521 ·_ih csp 31524

This proof depends on axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1828 ax-4 1842 ax-5 1943 ax-6 2000 ax-7 2041 ax-8 2147 ax-9 2155 ax-10 2178 ax-11 2194 ax-12 2213 ax-ext 2733 ax-sep 5249 ax-nul 5260 ax-pow 5327 ax-pr 5391 ax-un 7751 ax-cnex 11256 ax-resscn 11257 ax-1cn 11258 ax-icn 11259 ax-addcl 11260 ax-addrcl 11261 ax-mulcl 11262 ax-mulrcl 11263 ax-mulcom 11264 ax-addass 11265 ax-mulass 11266 ax-distr 11267 ax-i2m1 11268 ax-1ne0 11269 ax-1rid 11270 ax-rnegex 11271 ax-rrecex 11272 ax-cnre 11273 ax-pre-lttri 11274 ax-pre-lttrn 11275 ax-pre-ltadd 11276 ax-pre-mulgt0 11277 ax-hfi 31681 ax-his1 31684

This proof depends on definitions: df-bi 210 df-an 402 df-or 862 df-3or 1104 df-3an 1105 df-tru 1573 df-fal 1583 df-ex 1813 df-nf 1817 df-sb 2100 df-mo 2565 df-eu 2595 df-clab 2740 df-cleq 2753 df-clel 2836 df-nfc 2910 df-ne 2957 df-nel 3063 df-ral 3078 df-rex 3088 df-rmo 3366 df-reu 3367 df-rab 3414 df-v 3453 df-sbc 3740 df-csb 3848 df-dif 3902 df-un 3904 df-in 3906 df-ss 3916 df-pss 3919 df-nul 4280 df-if 4483 df-pw 4559 df-sn 4585 df-pr 4587 df-op 4591 df-uni 4868 df-iun 4953 df-br 5104 df-opab 5168 df-mpt 5187 df-tr 5213 df-id 5546 df-eprel 5551 df-po 5559 df-so 5560 df-fr 5604 df-we 5606 df-xp 5657 df-rel 5658 df-cnv 5659 df-co 5660 df-dm 5661 df-rn 5662 df-res 5663 df-ima 5664 df-pred 6304 df-ord 6365 df-on 6366 df-lim 6367 df-suc 6368 df-iota 6494 df-fun 6540 df-fn 6541 df-f 6542 df-f1 6543 df-fo 6544 df-f1o 6545 df-fv 6546 df-riota 7377 df-ov 7423 df-oprab 7424 df-mpo 7425 df-om 7878 df-2nd 8002 df-frecs 8299 df-wrecs 8330 df-recs 8379 df-rdg 8418 df-er 8717 df-en 8974 df-dom 8975 df-sdom 8976 df-pnf 11345 df-mnf 11346 df-xr 11347 df-ltxr 11348 df-le 11349 df-sub 11543 df-neg 11544 df-div 11974 df-nn 12336 df-2 12405 df-n0 12607 df-z 12694 df-uz 12966 df-seq 14145 df-exp 14205 df-cj 15266 df-re 15267 df-im 15268

This theorem is used by: normlem4 31715

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