normlem3 - Hilbert Space Explorer

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Theorem normlem3 31014

Description: Lemma used to derive properties of norm. Part of Theorem 3.3(ii) of [Beran] p. 97. (Contributed by NM, 21-Aug-1999.) (New usage is discouraged.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
normlem1.1	⊢ 𝑆 ∈ ℂ
normlem1.2	⊢ 𝐹 ∈ ℋ
normlem1.3	⊢ 𝐺 ∈ ℋ
normlem2.4	⊢ 𝐵 = -(((∗‘𝑆) · (𝐹 ·_ih 𝐺)) + (𝑆 · (𝐺 ·_ih 𝐹)))
normlem3.5	⊢ 𝐴 = (𝐺 ·_ih 𝐺)
normlem3.6	⊢ 𝐶 = (𝐹 ·_ih 𝐹)
normlem3.7	⊢ 𝑅 ∈ ℝ

**Assertion**
Ref	Expression
normlem3	⊢ (((𝐴 · (𝑅↑2)) + (𝐵 · 𝑅)) + 𝐶) = (((𝐹 ·_ih 𝐹) + (((∗‘𝑆) · -𝑅) · (𝐹 ·_ih 𝐺))) + (((𝑆 · -𝑅) · (𝐺 ·_ih 𝐹)) + ((𝑅↑2) · (𝐺 ·_ih 𝐺))))

**Proof of Theorem normlem3**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		normlem3.6	. . 3 ⊢ 𝐶 = (𝐹 ·_ih 𝐹)
2		normlem3.5	. . . . . . 7 ⊢ 𝐴 = (𝐺 ·_ih 𝐺)
3		normlem1.3	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐺 ∈ ℋ
4	3, 3	hicli 30983	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ·_ih 𝐺) ∈ ℂ
5	2, 4	eqeltri 2824	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 ∈ ℂ
6		normlem3.7	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑅 ∈ ℝ
7	6	recni 11164	. . . . . . 7 ⊢ 𝑅 ∈ ℂ
8	7	sqcli 14122	. . . . . 6 ⊢ (𝑅↑2) ∈ ℂ
9	5, 8	mulcli 11157	. . . . 5 ⊢ (𝐴 · (𝑅↑2)) ∈ ℂ
10		normlem1.1	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑆 ∈ ℂ
11		normlem1.2	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐹 ∈ ℋ
12		normlem2.4	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 = -(((∗‘𝑆) · (𝐹 ·_ih 𝐺)) + (𝑆 · (𝐺 ·_ih 𝐹)))
13	10, 11, 3, 12	normlem2 31013	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 ∈ ℝ
14	13	recni 11164	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 ∈ ℂ
15	14, 7	mulcli 11157	. . . . 5 ⊢ (𝐵 · 𝑅) ∈ ℂ
16	9, 15	addcomi 11341	. . . 4 ⊢ ((𝐴 · (𝑅↑2)) + (𝐵 · 𝑅)) = ((𝐵 · 𝑅) + (𝐴 · (𝑅↑2)))
17	10	cjcli 15111	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∗‘𝑆) ∈ ℂ
18	11, 3	hicli 30983	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹 ·_ih 𝐺) ∈ ℂ
19	17, 18	mulcli 11157	. . . . . . . . 9 ⊢ ((∗‘𝑆) · (𝐹 ·_ih 𝐺)) ∈ ℂ
20	3, 11	hicli 30983	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐺 ·_ih 𝐹) ∈ ℂ
21	10, 20	mulcli 11157	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑆 · (𝐺 ·_ih 𝐹)) ∈ ℂ
22	19, 21	addcli 11156	. . . . . . . 8 ⊢ (((∗‘𝑆) · (𝐹 ·_ih 𝐺)) + (𝑆 · (𝐺 ·_ih 𝐹))) ∈ ℂ
23	22, 7	mulneg1i 11600	. . . . . . 7 ⊢ (-(((∗‘𝑆) · (𝐹 ·_ih 𝐺)) + (𝑆 · (𝐺 ·_ih 𝐹))) · 𝑅) = -((((∗‘𝑆) · (𝐹 ·_ih 𝐺)) + (𝑆 · (𝐺 ·_ih 𝐹))) · 𝑅)
24	12	oveq1i 7379	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 · 𝑅) = (-(((∗‘𝑆) · (𝐹 ·_ih 𝐺)) + (𝑆 · (𝐺 ·_ih 𝐹))) · 𝑅)
25	22, 7	mulneg2i 11601	. . . . . . 7 ⊢ ((((∗‘𝑆) · (𝐹 ·_ih 𝐺)) + (𝑆 · (𝐺 ·_ih 𝐹))) · -𝑅) = -((((∗‘𝑆) · (𝐹 ·_ih 𝐺)) + (𝑆 · (𝐺 ·_ih 𝐹))) · 𝑅)
26	23, 24, 25	3eqtr4i 2762	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 · 𝑅) = ((((∗‘𝑆) · (𝐹 ·_ih 𝐺)) + (𝑆 · (𝐺 ·_ih 𝐹))) · -𝑅)
27	7	negcli 11466	. . . . . . 7 ⊢ -𝑅 ∈ ℂ
28	19, 21, 27	adddiri 11163	. . . . . 6 ⊢ ((((∗‘𝑆) · (𝐹 ·_ih 𝐺)) + (𝑆 · (𝐺 ·_ih 𝐹))) · -𝑅) = ((((∗‘𝑆) · (𝐹 ·_ih 𝐺)) · -𝑅) + ((𝑆 · (𝐺 ·_ih 𝐹)) · -𝑅))
29	17, 18, 27	mul32i 11346	. . . . . . 7 ⊢ (((∗‘𝑆) · (𝐹 ·_ih 𝐺)) · -𝑅) = (((∗‘𝑆) · -𝑅) · (𝐹 ·_ih 𝐺))
30	10, 20, 27	mul32i 11346	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆 · (𝐺 ·_ih 𝐹)) · -𝑅) = ((𝑆 · -𝑅) · (𝐺 ·_ih 𝐹))
31	29, 30	oveq12i 7381	. . . . . 6 ⊢ ((((∗‘𝑆) · (𝐹 ·_ih 𝐺)) · -𝑅) + ((𝑆 · (𝐺 ·_ih 𝐹)) · -𝑅)) = ((((∗‘𝑆) · -𝑅) · (𝐹 ·_ih 𝐺)) + ((𝑆 · -𝑅) · (𝐺 ·_ih 𝐹)))
32	26, 28, 31	3eqtri 2756	. . . . 5 ⊢ (𝐵 · 𝑅) = ((((∗‘𝑆) · -𝑅) · (𝐹 ·_ih 𝐺)) + ((𝑆 · -𝑅) · (𝐺 ·_ih 𝐹)))
33	2	oveq2i 7380	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅↑2) · 𝐴) = ((𝑅↑2) · (𝐺 ·_ih 𝐺))
34	8, 5, 33	mulcomli 11159	. . . . 5 ⊢ (𝐴 · (𝑅↑2)) = ((𝑅↑2) · (𝐺 ·_ih 𝐺))
35	32, 34	oveq12i 7381	. . . 4 ⊢ ((𝐵 · 𝑅) + (𝐴 · (𝑅↑2))) = (((((∗‘𝑆) · -𝑅) · (𝐹 ·_ih 𝐺)) + ((𝑆 · -𝑅) · (𝐺 ·_ih 𝐹))) + ((𝑅↑2) · (𝐺 ·_ih 𝐺)))
36	17, 27	mulcli 11157	. . . . . 6 ⊢ ((∗‘𝑆) · -𝑅) ∈ ℂ
37	36, 18	mulcli 11157	. . . . 5 ⊢ (((∗‘𝑆) · -𝑅) · (𝐹 ·_ih 𝐺)) ∈ ℂ
38	10, 27	mulcli 11157	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 · -𝑅) ∈ ℂ
39	38, 20	mulcli 11157	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 · -𝑅) · (𝐺 ·_ih 𝐹)) ∈ ℂ
40	8, 4	mulcli 11157	. . . . 5 ⊢ ((𝑅↑2) · (𝐺 ·_ih 𝐺)) ∈ ℂ
41	37, 39, 40	addassi 11160	. . . 4 ⊢ (((((∗‘𝑆) · -𝑅) · (𝐹 ·_ih 𝐺)) + ((𝑆 · -𝑅) · (𝐺 ·_ih 𝐹))) + ((𝑅↑2) · (𝐺 ·_ih 𝐺))) = ((((∗‘𝑆) · -𝑅) · (𝐹 ·_ih 𝐺)) + (((𝑆 · -𝑅) · (𝐺 ·_ih 𝐹)) + ((𝑅↑2) · (𝐺 ·_ih 𝐺))))
42	16, 35, 41	3eqtri 2756	. . 3 ⊢ ((𝐴 · (𝑅↑2)) + (𝐵 · 𝑅)) = ((((∗‘𝑆) · -𝑅) · (𝐹 ·_ih 𝐺)) + (((𝑆 · -𝑅) · (𝐺 ·_ih 𝐹)) + ((𝑅↑2) · (𝐺 ·_ih 𝐺))))
43	1, 42	oveq12i 7381	. 2 ⊢ (𝐶 + ((𝐴 · (𝑅↑2)) + (𝐵 · 𝑅))) = ((𝐹 ·_ih 𝐹) + ((((∗‘𝑆) · -𝑅) · (𝐹 ·_ih 𝐺)) + (((𝑆 · -𝑅) · (𝐺 ·_ih 𝐹)) + ((𝑅↑2) · (𝐺 ·_ih 𝐺)))))
44	9, 15	addcli 11156	. . 3 ⊢ ((𝐴 · (𝑅↑2)) + (𝐵 · 𝑅)) ∈ ℂ
45	11, 11	hicli 30983	. . . 4 ⊢ (𝐹 ·_ih 𝐹) ∈ ℂ
46	1, 45	eqeltri 2824	. . 3 ⊢ 𝐶 ∈ ℂ
47	44, 46	addcomi 11341	. 2 ⊢ (((𝐴 · (𝑅↑2)) + (𝐵 · 𝑅)) + 𝐶) = (𝐶 + ((𝐴 · (𝑅↑2)) + (𝐵 · 𝑅)))
48	39, 40	addcli 11156	. . 3 ⊢ (((𝑆 · -𝑅) · (𝐺 ·_ih 𝐹)) + ((𝑅↑2) · (𝐺 ·_ih 𝐺))) ∈ ℂ
49	45, 37, 48	addassi 11160	. 2 ⊢ (((𝐹 ·_ih 𝐹) + (((∗‘𝑆) · -𝑅) · (𝐹 ·_ih 𝐺))) + (((𝑆 · -𝑅) · (𝐺 ·_ih 𝐹)) + ((𝑅↑2) · (𝐺 ·_ih 𝐺)))) = ((𝐹 ·_ih 𝐹) + ((((∗‘𝑆) · -𝑅) · (𝐹 ·_ih 𝐺)) + (((𝑆 · -𝑅) · (𝐺 ·_ih 𝐹)) + ((𝑅↑2) · (𝐺 ·_ih 𝐺)))))
50	43, 47, 49	3eqtr4i 2762	1 ⊢ (((𝐴 · (𝑅↑2)) + (𝐵 · 𝑅)) + 𝐶) = (((𝐹 ·_ih 𝐹) + (((∗‘𝑆) · -𝑅) · (𝐹 ·_ih 𝐺))) + (((𝑆 · -𝑅) · (𝐺 ·_ih 𝐹)) + ((𝑅↑2) · (𝐺 ·_ih 𝐺))))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: = wceq 1540 ∈ wcel 2109 ‘cfv 6499 (class class class)co 7369 ℂcc 11042 ℝcr 11043 + caddc 11047 · cmul 11049 -cneg 11382 2c2 12217 ↑cexp 14002 ∗ccj 15038 ℋchba 30821 ·_ih csp 30824

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1795 ax-4 1809 ax-5 1910 ax-6 1967 ax-7 2008 ax-8 2111 ax-9 2119 ax-10 2142 ax-11 2158 ax-12 2178 ax-ext 2701 ax-sep 5246 ax-nul 5256 ax-pow 5315 ax-pr 5382 ax-un 7691 ax-cnex 11100 ax-resscn 11101 ax-1cn 11102 ax-icn 11103 ax-addcl 11104 ax-addrcl 11105 ax-mulcl 11106 ax-mulrcl 11107 ax-mulcom 11108 ax-addass 11109 ax-mulass 11110 ax-distr 11111 ax-i2m1 11112 ax-1ne0 11113 ax-1rid 11114 ax-rnegex 11115 ax-rrecex 11116 ax-cnre 11117 ax-pre-lttri 11118 ax-pre-lttrn 11119 ax-pre-ltadd 11120 ax-pre-mulgt0 11121 ax-hfi 30981 ax-his1 30984

This theorem depends on definitions: df-bi 207 df-an 396 df-or 848 df-3or 1087 df-3an 1088 df-tru 1543 df-fal 1553 df-ex 1780 df-nf 1784 df-sb 2066 df-mo 2533 df-eu 2562 df-clab 2708 df-cleq 2721 df-clel 2803 df-nfc 2878 df-ne 2926 df-nel 3030 df-ral 3045 df-rex 3054 df-rmo 3351 df-reu 3352 df-rab 3403 df-v 3446 df-sbc 3751 df-csb 3860 df-dif 3914 df-un 3916 df-in 3918 df-ss 3928 df-pss 3931 df-nul 4293 df-if 4485 df-pw 4561 df-sn 4586 df-pr 4588 df-op 4592 df-uni 4868 df-iun 4953 df-br 5103 df-opab 5165 df-mpt 5184 df-tr 5210 df-id 5526 df-eprel 5531 df-po 5539 df-so 5540 df-fr 5584 df-we 5586 df-xp 5637 df-rel 5638 df-cnv 5639 df-co 5640 df-dm 5641 df-rn 5642 df-res 5643 df-ima 5644 df-pred 6262 df-ord 6323 df-on 6324 df-lim 6325 df-suc 6326 df-iota 6452 df-fun 6501 df-fn 6502 df-f 6503 df-f1 6504 df-fo 6505 df-f1o 6506 df-fv 6507 df-riota 7326 df-ov 7372 df-oprab 7373 df-mpo 7374 df-om 7823 df-2nd 7948 df-frecs 8237 df-wrecs 8268 df-recs 8317 df-rdg 8355 df-er 8648 df-en 8896 df-dom 8897 df-sdom 8898 df-pnf 11186 df-mnf 11187 df-xr 11188 df-ltxr 11189 df-le 11190 df-sub 11383 df-neg 11384 df-div 11812 df-nn 12163 df-2 12225 df-n0 12419 df-z 12506 df-uz 12770 df-seq 13943 df-exp 14003 df-cj 15041 df-re 15042 df-im 15043

This theorem is referenced by: normlem4 31015

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