normlem3 - Hilbert Space Explorer

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Theorem normlem3 31405

Description: Lemma used to derive properties of norm. Part of Theorem 3.3(ii) of [Beran] p. 97. (Contributed by NM, 21-Aug-1999.) (New usage is discouraged.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
normlem1.1	⊢ 𝑆 ∈ ℂ
normlem1.2	⊢ 𝐹 ∈ ℋ
normlem1.3	⊢ 𝐺 ∈ ℋ
normlem2.4	⊢ 𝐵 = -(((∗‘𝑆) · (𝐹 ·_ih 𝐺)) + (𝑆 · (𝐺 ·_ih 𝐹)))
normlem3.5	⊢ 𝐴 = (𝐺 ·_ih 𝐺)
normlem3.6	⊢ 𝐶 = (𝐹 ·_ih 𝐹)
normlem3.7	⊢ 𝑅 ∈ ℝ

**Assertion**
Ref	Expression
normlem3	⊢ (((𝐴 · (𝑅↑2)) + (𝐵 · 𝑅)) + 𝐶) = (((𝐹 ·_ih 𝐹) + (((∗‘𝑆) · -𝑅) · (𝐹 ·_ih 𝐺))) + (((𝑆 · -𝑅) · (𝐺 ·_ih 𝐹)) + ((𝑅↑2) · (𝐺 ·_ih 𝐺))))

**Proof of Theorem normlem3**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		normlem3.6	. . 3 ⊢ 𝐶 = (𝐹 ·_ih 𝐹)
2		normlem3.5	. . . . . . 7 ⊢ 𝐴 = (𝐺 ·_ih 𝐺)
3		normlem1.3	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐺 ∈ ℋ
4	3, 3	hicli 31374	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ·_ih 𝐺) ∈ ℂ
5	2, 4	eqeltri 2865	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 ∈ ℂ
6		normlem3.7	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑅 ∈ ℝ
7	6	recni 11223	. . . . . . 7 ⊢ 𝑅 ∈ ℂ
8	7	sqcli 14217	. . . . . 6 ⊢ (𝑅↑2) ∈ ℂ
9	5, 8	mulcli 11216	. . . . 5 ⊢ (𝐴 · (𝑅↑2)) ∈ ℂ
10		normlem1.1	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑆 ∈ ℂ
11		normlem1.2	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐹 ∈ ℋ
12		normlem2.4	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 = -(((∗‘𝑆) · (𝐹 ·_ih 𝐺)) + (𝑆 · (𝐺 ·_ih 𝐹)))
13	10, 11, 3, 12	normlem2 31404	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 ∈ ℝ
14	13	recni 11223	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 ∈ ℂ
15	14, 7	mulcli 11216	. . . . 5 ⊢ (𝐵 · 𝑅) ∈ ℂ
16	9, 15	addcomi 11401	. . . 4 ⊢ ((𝐴 · (𝑅↑2)) + (𝐵 · 𝑅)) = ((𝐵 · 𝑅) + (𝐴 · (𝑅↑2)))
17	10	cjcli 15220	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∗‘𝑆) ∈ ℂ
18	11, 3	hicli 31374	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹 ·_ih 𝐺) ∈ ℂ
19	17, 18	mulcli 11216	. . . . . . . . 9 ⊢ ((∗‘𝑆) · (𝐹 ·_ih 𝐺)) ∈ ℂ
20	3, 11	hicli 31374	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐺 ·_ih 𝐹) ∈ ℂ
21	10, 20	mulcli 11216	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑆 · (𝐺 ·_ih 𝐹)) ∈ ℂ
22	19, 21	addcli 11215	. . . . . . . 8 ⊢ (((∗‘𝑆) · (𝐹 ·_ih 𝐺)) + (𝑆 · (𝐺 ·_ih 𝐹))) ∈ ℂ
23	22, 7	mulneg1i 11660	. . . . . . 7 ⊢ (-(((∗‘𝑆) · (𝐹 ·_ih 𝐺)) + (𝑆 · (𝐺 ·_ih 𝐹))) · 𝑅) = -((((∗‘𝑆) · (𝐹 ·_ih 𝐺)) + (𝑆 · (𝐺 ·_ih 𝐹))) · 𝑅)
24	12	oveq1i 7421	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 · 𝑅) = (-(((∗‘𝑆) · (𝐹 ·_ih 𝐺)) + (𝑆 · (𝐺 ·_ih 𝐹))) · 𝑅)
25	22, 7	mulneg2i 11661	. . . . . . 7 ⊢ ((((∗‘𝑆) · (𝐹 ·_ih 𝐺)) + (𝑆 · (𝐺 ·_ih 𝐹))) · -𝑅) = -((((∗‘𝑆) · (𝐹 ·_ih 𝐺)) + (𝑆 · (𝐺 ·_ih 𝐹))) · 𝑅)
26	23, 24, 25	3eqtr4i 2802	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 · 𝑅) = ((((∗‘𝑆) · (𝐹 ·_ih 𝐺)) + (𝑆 · (𝐺 ·_ih 𝐹))) · -𝑅)
27	7	negcli 11526	. . . . . . 7 ⊢ -𝑅 ∈ ℂ
28	19, 21, 27	adddiri 11222	. . . . . 6 ⊢ ((((∗‘𝑆) · (𝐹 ·_ih 𝐺)) + (𝑆 · (𝐺 ·_ih 𝐹))) · -𝑅) = ((((∗‘𝑆) · (𝐹 ·_ih 𝐺)) · -𝑅) + ((𝑆 · (𝐺 ·_ih 𝐹)) · -𝑅))
29	17, 18, 27	mul32i 11406	. . . . . . 7 ⊢ (((∗‘𝑆) · (𝐹 ·_ih 𝐺)) · -𝑅) = (((∗‘𝑆) · -𝑅) · (𝐹 ·_ih 𝐺))
30	10, 20, 27	mul32i 11406	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆 · (𝐺 ·_ih 𝐹)) · -𝑅) = ((𝑆 · -𝑅) · (𝐺 ·_ih 𝐹))
31	29, 30	oveq12i 7423	. . . . . 6 ⊢ ((((∗‘𝑆) · (𝐹 ·_ih 𝐺)) · -𝑅) + ((𝑆 · (𝐺 ·_ih 𝐹)) · -𝑅)) = ((((∗‘𝑆) · -𝑅) · (𝐹 ·_ih 𝐺)) + ((𝑆 · -𝑅) · (𝐺 ·_ih 𝐹)))
32	26, 28, 31	3eqtri 2796	. . . . 5 ⊢ (𝐵 · 𝑅) = ((((∗‘𝑆) · -𝑅) · (𝐹 ·_ih 𝐺)) + ((𝑆 · -𝑅) · (𝐺 ·_ih 𝐹)))
33	2	oveq2i 7422	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅↑2) · 𝐴) = ((𝑅↑2) · (𝐺 ·_ih 𝐺))
34	8, 5, 33	mulcomli 11218	. . . . 5 ⊢ (𝐴 · (𝑅↑2)) = ((𝑅↑2) · (𝐺 ·_ih 𝐺))
35	32, 34	oveq12i 7423	. . . 4 ⊢ ((𝐵 · 𝑅) + (𝐴 · (𝑅↑2))) = (((((∗‘𝑆) · -𝑅) · (𝐹 ·_ih 𝐺)) + ((𝑆 · -𝑅) · (𝐺 ·_ih 𝐹))) + ((𝑅↑2) · (𝐺 ·_ih 𝐺)))
36	17, 27	mulcli 11216	. . . . . 6 ⊢ ((∗‘𝑆) · -𝑅) ∈ ℂ
37	36, 18	mulcli 11216	. . . . 5 ⊢ (((∗‘𝑆) · -𝑅) · (𝐹 ·_ih 𝐺)) ∈ ℂ
38	10, 27	mulcli 11216	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 · -𝑅) ∈ ℂ
39	38, 20	mulcli 11216	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 · -𝑅) · (𝐺 ·_ih 𝐹)) ∈ ℂ
40	8, 4	mulcli 11216	. . . . 5 ⊢ ((𝑅↑2) · (𝐺 ·_ih 𝐺)) ∈ ℂ
41	37, 39, 40	addassi 11219	. . . 4 ⊢ (((((∗‘𝑆) · -𝑅) · (𝐹 ·_ih 𝐺)) + ((𝑆 · -𝑅) · (𝐺 ·_ih 𝐹))) + ((𝑅↑2) · (𝐺 ·_ih 𝐺))) = ((((∗‘𝑆) · -𝑅) · (𝐹 ·_ih 𝐺)) + (((𝑆 · -𝑅) · (𝐺 ·_ih 𝐹)) + ((𝑅↑2) · (𝐺 ·_ih 𝐺))))
42	16, 35, 41	3eqtri 2796	. . 3 ⊢ ((𝐴 · (𝑅↑2)) + (𝐵 · 𝑅)) = ((((∗‘𝑆) · -𝑅) · (𝐹 ·_ih 𝐺)) + (((𝑆 · -𝑅) · (𝐺 ·_ih 𝐹)) + ((𝑅↑2) · (𝐺 ·_ih 𝐺))))
43	1, 42	oveq12i 7423	. 2 ⊢ (𝐶 + ((𝐴 · (𝑅↑2)) + (𝐵 · 𝑅))) = ((𝐹 ·_ih 𝐹) + ((((∗‘𝑆) · -𝑅) · (𝐹 ·_ih 𝐺)) + (((𝑆 · -𝑅) · (𝐺 ·_ih 𝐹)) + ((𝑅↑2) · (𝐺 ·_ih 𝐺)))))
44	9, 15	addcli 11215	. . 3 ⊢ ((𝐴 · (𝑅↑2)) + (𝐵 · 𝑅)) ∈ ℂ
45	11, 11	hicli 31374	. . . 4 ⊢ (𝐹 ·_ih 𝐹) ∈ ℂ
46	1, 45	eqeltri 2865	. . 3 ⊢ 𝐶 ∈ ℂ
47	44, 46	addcomi 11401	. 2 ⊢ (((𝐴 · (𝑅↑2)) + (𝐵 · 𝑅)) + 𝐶) = (𝐶 + ((𝐴 · (𝑅↑2)) + (𝐵 · 𝑅)))
48	39, 40	addcli 11215	. . 3 ⊢ (((𝑆 · -𝑅) · (𝐺 ·_ih 𝐹)) + ((𝑅↑2) · (𝐺 ·_ih 𝐺))) ∈ ℂ
49	45, 37, 48	addassi 11219	. 2 ⊢ (((𝐹 ·_ih 𝐹) + (((∗‘𝑆) · -𝑅) · (𝐹 ·_ih 𝐺))) + (((𝑆 · -𝑅) · (𝐺 ·_ih 𝐹)) + ((𝑅↑2) · (𝐺 ·_ih 𝐺)))) = ((𝐹 ·_ih 𝐹) + ((((∗‘𝑆) · -𝑅) · (𝐹 ·_ih 𝐺)) + (((𝑆 · -𝑅) · (𝐺 ·_ih 𝐹)) + ((𝑅↑2) · (𝐺 ·_ih 𝐺)))))
50	43, 47, 49	3eqtr4i 2802	1 ⊢ (((𝐴 · (𝑅↑2)) + (𝐵 · 𝑅)) + 𝐶) = (((𝐹 ·_ih 𝐹) + (((∗‘𝑆) · -𝑅) · (𝐹 ·_ih 𝐺))) + (((𝑆 · -𝑅) · (𝐺 ·_ih 𝐹)) + ((𝑅↑2) · (𝐺 ·_ih 𝐺))))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: = wceq 1567 ∈ wcel 2149 ‘cfv 6537 (class class class)co 7411 ℂcc 11098 ℝcr 11099 + caddc 11103 · cmul 11105 -cneg 11442 2c2 12295 ↑cexp 14097 ∗ccj 15147 ℋchba 31212 ·_ih csp 31215

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1822 ax-4 1836 ax-5 1937 ax-6 1994 ax-7 2035 ax-8 2151 ax-9 2159 ax-10 2182 ax-11 2198 ax-12 2219 ax-ext 2741 ax-sep 5261 ax-nul 5271 ax-pow 5337 ax-pr 5405 ax-un 7733 ax-cnex 11156 ax-resscn 11157 ax-1cn 11158 ax-icn 11159 ax-addcl 11160 ax-addrcl 11161 ax-mulcl 11162 ax-mulrcl 11163 ax-mulcom 11164 ax-addass 11165 ax-mulass 11166 ax-distr 11167 ax-i2m1 11168 ax-1ne0 11169 ax-1rid 11170 ax-rnegex 11171 ax-rrecex 11172 ax-cnre 11173 ax-pre-lttri 11174 ax-pre-lttrn 11175 ax-pre-ltadd 11176 ax-pre-mulgt0 11177 ax-hfi 31372 ax-his1 31375

This theorem depends on definitions: df-bi 210 df-an 401 df-or 861 df-3or 1102 df-3an 1103 df-tru 1570 df-fal 1580 df-ex 1807 df-nf 1811 df-sb 2098 df-mo 2573 df-eu 2603 df-clab 2748 df-cleq 2761 df-clel 2844 df-nfc 2918 df-ne 2965 df-nel 3071 df-ral 3086 df-rex 3096 df-rmo 3376 df-reu 3377 df-rab 3424 df-v 3465 df-sbc 3754 df-csb 3862 df-dif 3916 df-un 3918 df-in 3920 df-ss 3930 df-pss 3933 df-nul 4295 df-if 4493 df-pw 4569 df-sn 4595 df-pr 4597 df-op 4601 df-uni 4877 df-iun 4962 df-br 5114 df-opab 5178 df-mpt 5197 df-tr 5223 df-id 5557 df-eprel 5562 df-po 5570 df-so 5571 df-fr 5615 df-we 5617 df-xp 5668 df-rel 5669 df-cnv 5670 df-co 5671 df-dm 5672 df-rn 5673 df-res 5674 df-ima 5675 df-pred 6303 df-ord 6364 df-on 6365 df-lim 6366 df-suc 6367 df-iota 6493 df-fun 6539 df-fn 6540 df-f 6541 df-f1 6542 df-fo 6543 df-f1o 6544 df-fv 6545 df-riota 7368 df-ov 7414 df-oprab 7415 df-mpo 7416 df-om 7863 df-2nd 7987 df-frecs 8278 df-wrecs 8309 df-recs 8358 df-rdg 8397 df-er 8694 df-en 8944 df-dom 8945 df-sdom 8946 df-pnf 11245 df-mnf 11246 df-xr 11247 df-ltxr 11248 df-le 11249 df-sub 11443 df-neg 11444 df-div 11872 df-nn 12234 df-2 12303 df-n0 12505 df-z 12592 df-uz 12863 df-seq 14038 df-exp 14098 df-cj 15150 df-re 15151 df-im 15152

This theorem is referenced by: normlem4 31406

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