Theorem dpmul100 31073

Description: Multiply by 100 a decimal expansion. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Dec-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
dp3mul10.a	⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
dp3mul10.b	⊢ 𝐵 ∈ ℕ0
dp3mul10.c	⊢ 𝐶 ∈ ℝ

Assertion

Ref	Expression
dpmul100	⊢ ((𝐴._𝐵𝐶) · ;;100) = ;;𝐴𝐵𝐶

Proof of Theorem dpmul100

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dp3mul10.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
2		dp3mul10.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 ∈ ℕ0
3	2	nn0rei 12174	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 ∈ ℝ
4		dp3mul10.c	. . . . . 6 ⊢ 𝐶 ∈ ℝ
5		dp2cl 31056	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → _𝐵𝐶 ∈ ℝ)
6	3, 4, 5	mp2an 688	. . . . 5 ⊢ _𝐵𝐶 ∈ ℝ
7	1, 6	dpval2 31069	. . . 4 ⊢ (𝐴._𝐵𝐶) = (𝐴 + (_𝐵𝐶 / ;10))
8	1	nn0cni 12175	. . . . 5 ⊢ 𝐴 ∈ ℂ
9	6	recni 10920	. . . . . 6 ⊢ _𝐵𝐶 ∈ ℂ
10		10nn0 12384	. . . . . . 7 ⊢ ;10 ∈ ℕ0
11	10	nn0cni 12175	. . . . . 6 ⊢ ;10 ∈ ℂ
12		10nn 12382	. . . . . . 7 ⊢ ;10 ∈ ℕ
13	12	nnne0i 11943	. . . . . 6 ⊢ ;10 ≠ 0
14	9, 11, 13	divcli 11647	. . . . 5 ⊢ (_𝐵𝐶 / ;10) ∈ ℂ
15	8, 14	addcli 10912	. . . 4 ⊢ (𝐴 + (_𝐵𝐶 / ;10)) ∈ ℂ
16	7, 15	eqeltri 2835	. . 3 ⊢ (𝐴._𝐵𝐶) ∈ ℂ
17	16, 11, 11	mulassi 10917	. 2 ⊢ (((𝐴._𝐵𝐶) · ;10) · ;10) = ((𝐴._𝐵𝐶) · (;10 · ;10))
18	1, 2, 4	dfdec100 31046	. . 3 ⊢ ;;𝐴𝐵𝐶 = ((;;100 · 𝐴) + ;𝐵𝐶)
19	11, 8, 11	mul32i 11101	. . . . 5 ⊢ ((;10 · 𝐴) · ;10) = ((;10 · ;10) · 𝐴)
20	10	dec0u 12387	. . . . . 6 ⊢ (;10 · ;10) = ;;100
21	20	oveq1i 7265	. . . . 5 ⊢ ((;10 · ;10) · 𝐴) = (;;100 · 𝐴)
22	19, 21	eqtri 2766	. . . 4 ⊢ ((;10 · 𝐴) · ;10) = (;;100 · 𝐴)
23	2, 4	dpval3 31070	. . . . . 6 ⊢ (𝐵.𝐶) = _𝐵𝐶
24	23	oveq1i 7265	. . . . 5 ⊢ ((𝐵.𝐶) · ;10) = (_𝐵𝐶 · ;10)
25	2, 4	dpmul10 31071	. . . . 5 ⊢ ((𝐵.𝐶) · ;10) = ;𝐵𝐶
26	24, 25	eqtr3i 2768	. . . 4 ⊢ (_𝐵𝐶 · ;10) = ;𝐵𝐶
27	22, 26	oveq12i 7267	. . 3 ⊢ (((;10 · 𝐴) · ;10) + (_𝐵𝐶 · ;10)) = ((;;100 · 𝐴) + ;𝐵𝐶)
28	1, 6	dpmul10 31071	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴._𝐵𝐶) · ;10) = ;𝐴_𝐵𝐶
29		dfdec10 12369	. . . . . 6 ⊢ ;𝐴_𝐵𝐶 = ((;10 · 𝐴) + _𝐵𝐶)
30	28, 29	eqtri 2766	. . . . 5 ⊢ ((𝐴._𝐵𝐶) · ;10) = ((;10 · 𝐴) + _𝐵𝐶)
31	30	oveq1i 7265	. . . 4 ⊢ (((𝐴._𝐵𝐶) · ;10) · ;10) = (((;10 · 𝐴) + _𝐵𝐶) · ;10)
32	11, 8	mulcli 10913	. . . . 5 ⊢ (;10 · 𝐴) ∈ ℂ
33	32, 9, 11	adddiri 10919	. . . 4 ⊢ (((;10 · 𝐴) + _𝐵𝐶) · ;10) = (((;10 · 𝐴) · ;10) + (_𝐵𝐶 · ;10))
34	31, 33	eqtr2i 2767	. . 3 ⊢ (((;10 · 𝐴) · ;10) + (_𝐵𝐶 · ;10)) = (((𝐴._𝐵𝐶) · ;10) · ;10)
35	18, 27, 34	3eqtr2ri 2773	. 2 ⊢ (((𝐴._𝐵𝐶) · ;10) · ;10) = ;;𝐴𝐵𝐶
36	20	oveq2i 7266	. 2 ⊢ ((𝐴._𝐵𝐶) · (;10 · ;10)) = ((𝐴._𝐵𝐶) · ;;100)
37	17, 35, 36	3eqtr3ri 2775	1 ⊢ ((𝐴._𝐵𝐶) · ;;100) = ;;𝐴𝐵𝐶

Syntax hints:   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  (class class class)co 7255  ℂcc 10800  ℝcr 10801  0cc0 10802  1c1 10803   + caddc 10805   · cmul 10807   / cdiv 11562  ℕ₀cn0 12163  ;cdc 12366  _cdp2 31047  .cdp 31064

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-div 11563  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-4 11968  df-5 11969  df-6 11970  df-7 11971  df-8 11972  df-9 11973  df-n0 12164  df-dec 12367  df-dp2 31048  df-dp 31065

This theorem is referenced by:  dpmul1000  31075  dpadd3  31088  dpmul  31089  dpmul4  31090