Theorem dpmul100 32824

Description: Multiply by 100 a decimal expansion. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Dec-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
dp3mul10.a	⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
dp3mul10.b	⊢ 𝐵 ∈ ℕ0
dp3mul10.c	⊢ 𝐶 ∈ ℝ

Assertion

Ref	Expression
dpmul100	⊢ ((𝐴._𝐵𝐶) · ;;100) = ;;𝐴𝐵𝐶

Proof of Theorem dpmul100

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dp3mul10.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
2		dp3mul10.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 ∈ ℕ0
3	2	nn0rei 12460	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 ∈ ℝ
4		dp3mul10.c	. . . . . 6 ⊢ 𝐶 ∈ ℝ
5		dp2cl 32807	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → _𝐵𝐶 ∈ ℝ)
6	3, 4, 5	mp2an 692	. . . . 5 ⊢ _𝐵𝐶 ∈ ℝ
7	1, 6	dpval2 32820	. . . 4 ⊢ (𝐴._𝐵𝐶) = (𝐴 + (_𝐵𝐶 / ;10))
8	1	nn0cni 12461	. . . . 5 ⊢ 𝐴 ∈ ℂ
9	6	recni 11195	. . . . . 6 ⊢ _𝐵𝐶 ∈ ℂ
10		10nn0 12674	. . . . . . 7 ⊢ ;10 ∈ ℕ0
11	10	nn0cni 12461	. . . . . 6 ⊢ ;10 ∈ ℂ
12		10nn 12672	. . . . . . 7 ⊢ ;10 ∈ ℕ
13	12	nnne0i 12233	. . . . . 6 ⊢ ;10 ≠ 0
14	9, 11, 13	divcli 11931	. . . . 5 ⊢ (_𝐵𝐶 / ;10) ∈ ℂ
15	8, 14	addcli 11187	. . . 4 ⊢ (𝐴 + (_𝐵𝐶 / ;10)) ∈ ℂ
16	7, 15	eqeltri 2825	. . 3 ⊢ (𝐴._𝐵𝐶) ∈ ℂ
17	16, 11, 11	mulassi 11192	. 2 ⊢ (((𝐴._𝐵𝐶) · ;10) · ;10) = ((𝐴._𝐵𝐶) · (;10 · ;10))
18	1, 2, 4	dfdec100 32762	. . 3 ⊢ ;;𝐴𝐵𝐶 = ((;;100 · 𝐴) + ;𝐵𝐶)
19	11, 8, 11	mul32i 11377	. . . . 5 ⊢ ((;10 · 𝐴) · ;10) = ((;10 · ;10) · 𝐴)
20	10	dec0u 12677	. . . . . 6 ⊢ (;10 · ;10) = ;;100
21	20	oveq1i 7400	. . . . 5 ⊢ ((;10 · ;10) · 𝐴) = (;;100 · 𝐴)
22	19, 21	eqtri 2753	. . . 4 ⊢ ((;10 · 𝐴) · ;10) = (;;100 · 𝐴)
23	2, 4	dpval3 32821	. . . . . 6 ⊢ (𝐵.𝐶) = _𝐵𝐶
24	23	oveq1i 7400	. . . . 5 ⊢ ((𝐵.𝐶) · ;10) = (_𝐵𝐶 · ;10)
25	2, 4	dpmul10 32822	. . . . 5 ⊢ ((𝐵.𝐶) · ;10) = ;𝐵𝐶
26	24, 25	eqtr3i 2755	. . . 4 ⊢ (_𝐵𝐶 · ;10) = ;𝐵𝐶
27	22, 26	oveq12i 7402	. . 3 ⊢ (((;10 · 𝐴) · ;10) + (_𝐵𝐶 · ;10)) = ((;;100 · 𝐴) + ;𝐵𝐶)
28	1, 6	dpmul10 32822	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴._𝐵𝐶) · ;10) = ;𝐴_𝐵𝐶
29		dfdec10 12659	. . . . . 6 ⊢ ;𝐴_𝐵𝐶 = ((;10 · 𝐴) + _𝐵𝐶)
30	28, 29	eqtri 2753	. . . . 5 ⊢ ((𝐴._𝐵𝐶) · ;10) = ((;10 · 𝐴) + _𝐵𝐶)
31	30	oveq1i 7400	. . . 4 ⊢ (((𝐴._𝐵𝐶) · ;10) · ;10) = (((;10 · 𝐴) + _𝐵𝐶) · ;10)
32	11, 8	mulcli 11188	. . . . 5 ⊢ (;10 · 𝐴) ∈ ℂ
33	32, 9, 11	adddiri 11194	. . . 4 ⊢ (((;10 · 𝐴) + _𝐵𝐶) · ;10) = (((;10 · 𝐴) · ;10) + (_𝐵𝐶 · ;10))
34	31, 33	eqtr2i 2754	. . 3 ⊢ (((;10 · 𝐴) · ;10) + (_𝐵𝐶 · ;10)) = (((𝐴._𝐵𝐶) · ;10) · ;10)
35	18, 27, 34	3eqtr2ri 2760	. 2 ⊢ (((𝐴._𝐵𝐶) · ;10) · ;10) = ;;𝐴𝐵𝐶
36	20	oveq2i 7401	. 2 ⊢ ((𝐴._𝐵𝐶) · (;10 · ;10)) = ((𝐴._𝐵𝐶) · ;;100)
37	17, 35, 36	3eqtr3ri 2762	1 ⊢ ((𝐴._𝐵𝐶) · ;;100) = ;;𝐴𝐵𝐶

Syntax hints:   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  (class class class)co 7390  ℂcc 11073  ℝcr 11074  0cc0 11075  1c1 11076   + caddc 11078   · cmul 11080   / cdiv 11842  ℕ₀cn0 12449  ;cdc 12656  _cdp2 32798  .cdp 32815

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7846  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-er 8674  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-div 11843  df-nn 12194  df-2 12256  df-3 12257  df-4 12258  df-5 12259  df-6 12260  df-7 12261  df-8 12262  df-9 12263  df-n0 12450  df-dec 12657  df-dp2 32799  df-dp 32816

This theorem is referenced by:  dpmul1000  32826  dpadd3  32839  dpmul  32840  dpmul4  32841