Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dpmul100 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dpmul100 30228
Description: Multiply by 100 a decimal expansion. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Dec-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
dp3mul10.a 𝐴 ∈ ℕ0
dp3mul10.b 𝐵 ∈ ℕ0
dp3mul10.c 𝐶 ∈ ℝ
Assertion
Ref Expression
dpmul100 ((𝐴.𝐵𝐶) · 100) = 𝐴𝐵𝐶

Proof of Theorem dpmul100
StepHypRef Expression
1 dp3mul10.a . . . . 5 𝐴 ∈ ℕ0
2 dp3mul10.b . . . . . . 7 𝐵 ∈ ℕ0
32nn0rei 11745 . . . . . 6 𝐵 ∈ ℝ
4 dp3mul10.c . . . . . 6 𝐶 ∈ ℝ
5 dp2cl 30211 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 𝐵𝐶 ∈ ℝ)
63, 4, 5mp2an 688 . . . . 5 𝐵𝐶 ∈ ℝ
71, 6dpval2 30224 . . . 4 (𝐴.𝐵𝐶) = (𝐴 + (𝐵𝐶 / 10))
81nn0cni 11746 . . . . 5 𝐴 ∈ ℂ
96recni 10490 . . . . . 6 𝐵𝐶 ∈ ℂ
10 10nn0 11954 . . . . . . 7 10 ∈ ℕ0
1110nn0cni 11746 . . . . . 6 10 ∈ ℂ
12 10nn 11952 . . . . . . 7 10 ∈ ℕ
1312nnne0i 11514 . . . . . 6 10 ≠ 0
149, 11, 13divcli 11219 . . . . 5 (𝐵𝐶 / 10) ∈ ℂ
158, 14addcli 10482 . . . 4 (𝐴 + (𝐵𝐶 / 10)) ∈ ℂ
167, 15eqeltri 2877 . . 3 (𝐴.𝐵𝐶) ∈ ℂ
1716, 11, 11mulassi 10487 . 2 (((𝐴.𝐵𝐶) · 10) · 10) = ((𝐴.𝐵𝐶) · (10 · 10))
181, 2, 4dfdec100 30201 . . 3 𝐴𝐵𝐶 = ((100 · 𝐴) + 𝐵𝐶)
1911, 8, 11mul32i 10672 . . . . 5 ((10 · 𝐴) · 10) = ((10 · 10) · 𝐴)
2010dec0u 11957 . . . . . 6 (10 · 10) = 100
2120oveq1i 7017 . . . . 5 ((10 · 10) · 𝐴) = (100 · 𝐴)
2219, 21eqtri 2817 . . . 4 ((10 · 𝐴) · 10) = (100 · 𝐴)
232, 4dpval3 30225 . . . . . 6 (𝐵.𝐶) = 𝐵𝐶
2423oveq1i 7017 . . . . 5 ((𝐵.𝐶) · 10) = (𝐵𝐶 · 10)
252, 4dpmul10 30226 . . . . 5 ((𝐵.𝐶) · 10) = 𝐵𝐶
2624, 25eqtr3i 2819 . . . 4 (𝐵𝐶 · 10) = 𝐵𝐶
2722, 26oveq12i 7019 . . 3 (((10 · 𝐴) · 10) + (𝐵𝐶 · 10)) = ((100 · 𝐴) + 𝐵𝐶)
281, 6dpmul10 30226 . . . . . 6 ((𝐴.𝐵𝐶) · 10) = 𝐴𝐵𝐶
29 dfdec10 11939 . . . . . 6 𝐴𝐵𝐶 = ((10 · 𝐴) + 𝐵𝐶)
3028, 29eqtri 2817 . . . . 5 ((𝐴.𝐵𝐶) · 10) = ((10 · 𝐴) + 𝐵𝐶)
3130oveq1i 7017 . . . 4 (((𝐴.𝐵𝐶) · 10) · 10) = (((10 · 𝐴) + 𝐵𝐶) · 10)
3211, 8mulcli 10483 . . . . 5 (10 · 𝐴) ∈ ℂ
3332, 9, 11adddiri 10489 . . . 4 (((10 · 𝐴) + 𝐵𝐶) · 10) = (((10 · 𝐴) · 10) + (𝐵𝐶 · 10))
3431, 33eqtr2i 2818 . . 3 (((10 · 𝐴) · 10) + (𝐵𝐶 · 10)) = (((𝐴.𝐵𝐶) · 10) · 10)
3518, 27, 343eqtr2ri 2824 . 2 (((𝐴.𝐵𝐶) · 10) · 10) = 𝐴𝐵𝐶
3620oveq2i 7018 . 2 ((𝐴.𝐵𝐶) · (10 · 10)) = ((𝐴.𝐵𝐶) · 100)
3717, 35, 363eqtr3ri 2826 1 ((𝐴.𝐵𝐶) · 100) = 𝐴𝐵𝐶
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1520  wcel 2079  (class class class)co 7007  cc 10370  cr 10371  0cc0 10372  1c1 10373   + caddc 10375   · cmul 10377   / cdiv 11134  0cn0 11734  cdc 11936  cdp2 30202  .cdp 30219
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1775  ax-4 1789  ax-5 1886  ax-6 1945  ax-7 1990  ax-8 2081  ax-9 2089  ax-10 2110  ax-11 2124  ax-12 2139  ax-13 2342  ax-ext 2767  ax-sep 5088  ax-nul 5095  ax-pow 5150  ax-pr 5214  ax-un 7310  ax-resscn 10429  ax-1cn 10430  ax-icn 10431  ax-addcl 10432  ax-addrcl 10433  ax-mulcl 10434  ax-mulrcl 10435  ax-mulcom 10436  ax-addass 10437  ax-mulass 10438  ax-distr 10439  ax-i2m1 10440  ax-1ne0 10441  ax-1rid 10442  ax-rnegex 10443  ax-rrecex 10444  ax-cnre 10445  ax-pre-lttri 10446  ax-pre-lttrn 10447  ax-pre-ltadd 10448  ax-pre-mulgt0 10449
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1079  df-3an 1080  df-tru 1523  df-ex 1760  df-nf 1764  df-sb 2041  df-mo 2574  df-eu 2610  df-clab 2774  df-cleq 2786  df-clel 2861  df-nfc 2933  df-ne 2983  df-nel 3089  df-ral 3108  df-rex 3109  df-reu 3110  df-rmo 3111  df-rab 3112  df-v 3434  df-sbc 3702  df-csb 3807  df-dif 3857  df-un 3859  df-in 3861  df-ss 3869  df-pss 3871  df-nul 4207  df-if 4376  df-pw 4449  df-sn 4467  df-pr 4469  df-tp 4471  df-op 4473  df-uni 4740  df-iun 4821  df-br 4957  df-opab 5019  df-mpt 5036  df-tr 5058  df-id 5340  df-eprel 5345  df-po 5354  df-so 5355  df-fr 5394  df-we 5396  df-xp 5441  df-rel 5442  df-cnv 5443  df-co 5444  df-dm 5445  df-rn 5446  df-res 5447  df-ima 5448  df-pred 6015  df-ord 6061  df-on 6062  df-lim 6063  df-suc 6064  df-iota 6181  df-fun 6219  df-fn 6220  df-f 6221  df-f1 6222  df-fo 6223  df-f1o 6224  df-fv 6225  df-riota 6968  df-ov 7010  df-oprab 7011  df-mpo 7012  df-om 7428  df-wrecs 7789  df-recs 7851  df-rdg 7889  df-er 8130  df-en 8348  df-dom 8349  df-sdom 8350  df-pnf 10512  df-mnf 10513  df-xr 10514  df-ltxr 10515  df-le 10516  df-sub 10708  df-neg 10709  df-div 11135  df-nn 11476  df-2 11537  df-3 11538  df-4 11539  df-5 11540  df-6 11541  df-7 11542  df-8 11543  df-9 11544  df-n0 11735  df-dec 11937  df-dp2 30203  df-dp 30220
This theorem is referenced by:  dpmul1000  30230  dpadd3  30243  dpmul  30244  dpmul4  30245
  Copyright terms: Public domain W3C validator