Theorem dpmul100 33288

Description: Multiply by 100 a decimal expansion. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Dec-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
dp3mul10.a	⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
dp3mul10.b	⊢ 𝐵 ∈ ℕ0
dp3mul10.c	⊢ 𝐶 ∈ ℝ

Assertion

Ref	Expression
dpmul100	⊢ ((𝐴._𝐵𝐶) · ;;100) = ;;𝐴𝐵𝐶

Proof of Theorem dpmul100

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dp3mul10.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
2		dp3mul10.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 ∈ ℕ0
3	2	nn0rei 12532	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 ∈ ℝ
4		dp3mul10.c	. . . . . 6 ⊢ 𝐶 ∈ ℝ
5		dp2cl 33271	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → _𝐵𝐶 ∈ ℝ)
6	3, 4, 5	mp2an 705	. . . . 5 ⊢ _𝐵𝐶 ∈ ℝ
7	1, 6	dpval2 33284	. . . 4 ⊢ (𝐴._𝐵𝐶) = (𝐴 + (_𝐵𝐶 / ;10))
8	1	nn0cni 12533	. . . . 5 ⊢ 𝐴 ∈ ℂ
9	6	recni 11240	. . . . . 6 ⊢ _𝐵𝐶 ∈ ℂ
10		10nn0 12751	. . . . . . 7 ⊢ ;10 ∈ ℕ0
11	10	nn0cni 12533	. . . . . 6 ⊢ ;10 ∈ ℂ
12		10nn 12749	. . . . . . 7 ⊢ ;10 ∈ ℕ
13	12	nnne0i 12293	. . . . . 6 ⊢ ;10 ≠ 0
14	9, 11, 13	divcli 11974	. . . . 5 ⊢ (_𝐵𝐶 / ;10) ∈ ℂ
15	8, 14	addcli 11232	. . . 4 ⊢ (𝐴 + (_𝐵𝐶 / ;10)) ∈ ℂ
16	7, 15	eqeltri 2861	. . 3 ⊢ (𝐴._𝐵𝐶) ∈ ℂ
17	16, 11, 11	mulassi 11237	. 2 ⊢ (((𝐴._𝐵𝐶) · ;10) · ;10) = ((𝐴._𝐵𝐶) · (;10 · ;10))
18	1, 2, 4	dfdec100 33246	. . 3 ⊢ ;;𝐴𝐵𝐶 = ((;;100 · 𝐴) + ;𝐵𝐶)
19	11, 8, 11	mul32i 11423	. . . . 5 ⊢ ((;10 · 𝐴) · ;10) = ((;10 · ;10) · 𝐴)
20	10	dec0u 12755	. . . . . 6 ⊢ (;10 · ;10) = ;;100
21	20	oveq1i 7429	. . . . 5 ⊢ ((;10 · ;10) · 𝐴) = (;;100 · 𝐴)
22	19, 21	eqtri 2788	. . . 4 ⊢ ((;10 · 𝐴) · ;10) = (;;100 · 𝐴)
23	2, 4	dpval3 33285	. . . . . 6 ⊢ (𝐵.𝐶) = _𝐵𝐶
24	23	oveq1i 7429	. . . . 5 ⊢ ((𝐵.𝐶) · ;10) = (_𝐵𝐶 · ;10)
25	2, 4	dpmul10 33286	. . . . 5 ⊢ ((𝐵.𝐶) · ;10) = ;𝐵𝐶
26	24, 25	eqtr3i 2790	. . . 4 ⊢ (_𝐵𝐶 · ;10) = ;𝐵𝐶
27	22, 26	oveq12i 7431	. . 3 ⊢ (((;10 · 𝐴) · ;10) + (_𝐵𝐶 · ;10)) = ((;;100 · 𝐴) + ;𝐵𝐶)
28	1, 6	dpmul10 33286	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴._𝐵𝐶) · ;10) = ;𝐴_𝐵𝐶
29		dfdec10 12732	. . . . . 6 ⊢ ;𝐴_𝐵𝐶 = ((;10 · 𝐴) + _𝐵𝐶)
30	28, 29	eqtri 2788	. . . . 5 ⊢ ((𝐴._𝐵𝐶) · ;10) = ((;10 · 𝐴) + _𝐵𝐶)
31	30	oveq1i 7429	. . . 4 ⊢ (((𝐴._𝐵𝐶) · ;10) · ;10) = (((;10 · 𝐴) + _𝐵𝐶) · ;10)
32	11, 8	mulcli 11233	. . . . 5 ⊢ (;10 · 𝐴) ∈ ℂ
33	32, 9, 11	adddiri 11239	. . . 4 ⊢ (((;10 · 𝐴) + _𝐵𝐶) · ;10) = (((;10 · 𝐴) · ;10) + (_𝐵𝐶 · ;10))
34	31, 33	eqtr2i 2789	. . 3 ⊢ (((;10 · 𝐴) · ;10) + (_𝐵𝐶 · ;10)) = (((𝐴._𝐵𝐶) · ;10) · ;10)
35	18, 27, 34	3eqtr2ri 2795	. 2 ⊢ (((𝐴._𝐵𝐶) · ;10) · ;10) = ;;𝐴𝐵𝐶
36	20	oveq2i 7430	. 2 ⊢ ((𝐴._𝐵𝐶) · (;10 · ;10)) = ((𝐴._𝐵𝐶) · ;;100)
37	17, 35, 36	3eqtr3ri 2797	1 ⊢ ((𝐴._𝐵𝐶) · ;;100) = ;;𝐴𝐵𝐶

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  (class class class)co 7419  ℂcc 11115  ℝcr 11116  0cc0 11117  1c1 11118   + caddc 11120   · cmul 11122   / cdiv 11888  ℕ₀cn0 12521  ;cdc 12729  _cdp2 33262  .cdp 33279

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-resscn 11174  ax-1cn 11175  ax-icn 11176  ax-addcl 11177  ax-addrcl 11178  ax-mulcl 11179  ax-mulrcl 11180  ax-mulcom 11181  ax-addass 11182  ax-mulass 11183  ax-distr 11184  ax-i2m1 11185  ax-1ne0 11186  ax-1rid 11187  ax-rnegex 11188  ax-rrecex 11189  ax-cnre 11190  ax-pre-lttri 11191  ax-pre-lttrn 11192  ax-pre-ltadd 11193  ax-pre-mulgt0 11194

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7376  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7869  df-2nd 7993  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-er 8700  df-en 8950  df-dom 8951  df-sdom 8952  df-pnf 11262  df-mnf 11263  df-xr 11264  df-ltxr 11265  df-le 11266  df-sub 11460  df-neg 11461  df-div 11889  df-nn 12251  df-2 12320  df-3 12321  df-4 12322  df-5 12323  df-6 12324  df-7 12325  df-8 12326  df-9 12327  df-n0 12522  df-dec 12730  df-dp2 33263  df-dp 33280

This theorem is used by:  dpmul1000  33290  dpadd3  33303  dpmul  33304  dpmul4  33305