Theorem dpmul100 32879

Description: Multiply by 100 a decimal expansion. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Dec-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
dp3mul10.a	⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
dp3mul10.b	⊢ 𝐵 ∈ ℕ0
dp3mul10.c	⊢ 𝐶 ∈ ℝ

Assertion

Ref	Expression
dpmul100	⊢ ((𝐴._𝐵𝐶) · ;;100) = ;;𝐴𝐵𝐶

Proof of Theorem dpmul100

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dp3mul10.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
2		dp3mul10.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 ∈ ℕ0
3	2	nn0rei 12537	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 ∈ ℝ
4		dp3mul10.c	. . . . . 6 ⊢ 𝐶 ∈ ℝ
5		dp2cl 32862	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → _𝐵𝐶 ∈ ℝ)
6	3, 4, 5	mp2an 692	. . . . 5 ⊢ _𝐵𝐶 ∈ ℝ
7	1, 6	dpval2 32875	. . . 4 ⊢ (𝐴._𝐵𝐶) = (𝐴 + (_𝐵𝐶 / ;10))
8	1	nn0cni 12538	. . . . 5 ⊢ 𝐴 ∈ ℂ
9	6	recni 11275	. . . . . 6 ⊢ _𝐵𝐶 ∈ ℂ
10		10nn0 12751	. . . . . . 7 ⊢ ;10 ∈ ℕ0
11	10	nn0cni 12538	. . . . . 6 ⊢ ;10 ∈ ℂ
12		10nn 12749	. . . . . . 7 ⊢ ;10 ∈ ℕ
13	12	nnne0i 12306	. . . . . 6 ⊢ ;10 ≠ 0
14	9, 11, 13	divcli 12009	. . . . 5 ⊢ (_𝐵𝐶 / ;10) ∈ ℂ
15	8, 14	addcli 11267	. . . 4 ⊢ (𝐴 + (_𝐵𝐶 / ;10)) ∈ ℂ
16	7, 15	eqeltri 2837	. . 3 ⊢ (𝐴._𝐵𝐶) ∈ ℂ
17	16, 11, 11	mulassi 11272	. 2 ⊢ (((𝐴._𝐵𝐶) · ;10) · ;10) = ((𝐴._𝐵𝐶) · (;10 · ;10))
18	1, 2, 4	dfdec100 32832	. . 3 ⊢ ;;𝐴𝐵𝐶 = ((;;100 · 𝐴) + ;𝐵𝐶)
19	11, 8, 11	mul32i 11457	. . . . 5 ⊢ ((;10 · 𝐴) · ;10) = ((;10 · ;10) · 𝐴)
20	10	dec0u 12754	. . . . . 6 ⊢ (;10 · ;10) = ;;100
21	20	oveq1i 7441	. . . . 5 ⊢ ((;10 · ;10) · 𝐴) = (;;100 · 𝐴)
22	19, 21	eqtri 2765	. . . 4 ⊢ ((;10 · 𝐴) · ;10) = (;;100 · 𝐴)
23	2, 4	dpval3 32876	. . . . . 6 ⊢ (𝐵.𝐶) = _𝐵𝐶
24	23	oveq1i 7441	. . . . 5 ⊢ ((𝐵.𝐶) · ;10) = (_𝐵𝐶 · ;10)
25	2, 4	dpmul10 32877	. . . . 5 ⊢ ((𝐵.𝐶) · ;10) = ;𝐵𝐶
26	24, 25	eqtr3i 2767	. . . 4 ⊢ (_𝐵𝐶 · ;10) = ;𝐵𝐶
27	22, 26	oveq12i 7443	. . 3 ⊢ (((;10 · 𝐴) · ;10) + (_𝐵𝐶 · ;10)) = ((;;100 · 𝐴) + ;𝐵𝐶)
28	1, 6	dpmul10 32877	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴._𝐵𝐶) · ;10) = ;𝐴_𝐵𝐶
29		dfdec10 12736	. . . . . 6 ⊢ ;𝐴_𝐵𝐶 = ((;10 · 𝐴) + _𝐵𝐶)
30	28, 29	eqtri 2765	. . . . 5 ⊢ ((𝐴._𝐵𝐶) · ;10) = ((;10 · 𝐴) + _𝐵𝐶)
31	30	oveq1i 7441	. . . 4 ⊢ (((𝐴._𝐵𝐶) · ;10) · ;10) = (((;10 · 𝐴) + _𝐵𝐶) · ;10)
32	11, 8	mulcli 11268	. . . . 5 ⊢ (;10 · 𝐴) ∈ ℂ
33	32, 9, 11	adddiri 11274	. . . 4 ⊢ (((;10 · 𝐴) + _𝐵𝐶) · ;10) = (((;10 · 𝐴) · ;10) + (_𝐵𝐶 · ;10))
34	31, 33	eqtr2i 2766	. . 3 ⊢ (((;10 · 𝐴) · ;10) + (_𝐵𝐶 · ;10)) = (((𝐴._𝐵𝐶) · ;10) · ;10)
35	18, 27, 34	3eqtr2ri 2772	. 2 ⊢ (((𝐴._𝐵𝐶) · ;10) · ;10) = ;;𝐴𝐵𝐶
36	20	oveq2i 7442	. 2 ⊢ ((𝐴._𝐵𝐶) · (;10 · ;10)) = ((𝐴._𝐵𝐶) · ;;100)
37	17, 35, 36	3eqtr3ri 2774	1 ⊢ ((𝐴._𝐵𝐶) · ;;100) = ;;𝐴𝐵𝐶

Syntax hints:   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  (class class class)co 7431  ℂcc 11153  ℝcr 11154  0cc0 11155  1c1 11156   + caddc 11158   · cmul 11160   / cdiv 11920  ℕ₀cn0 12526  ;cdc 12733  _cdp2 32853  .cdp 32870

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-dec 12734  df-dp2 32854  df-dp 32871

This theorem is referenced by:  dpmul1000  32881  dpadd3  32894  dpmul  32895  dpmul4  32896