![]() |
Mathbox for Thierry Arnoux |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > Mathboxes > dpmul100 | Structured version Visualization version GIF version |
Description: Multiply by 100 a decimal expansion. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Dec-2021.) |
Ref | Expression |
---|---|
dp3mul10.a | โข ๐ด โ โ0 |
dp3mul10.b | โข ๐ต โ โ0 |
dp3mul10.c | โข ๐ถ โ โ |
Ref | Expression |
---|---|
dpmul100 | โข ((๐ด._๐ต๐ถ) ยท ;;100) = ;;๐ด๐ต๐ถ |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | dp3mul10.a | . . . . 5 โข ๐ด โ โ0 | |
2 | dp3mul10.b | . . . . . . 7 โข ๐ต โ โ0 | |
3 | 2 | nn0rei 12487 | . . . . . 6 โข ๐ต โ โ |
4 | dp3mul10.c | . . . . . 6 โข ๐ถ โ โ | |
5 | dp2cl 32551 | . . . . . 6 โข ((๐ต โ โ โง ๐ถ โ โ) โ _๐ต๐ถ โ โ) | |
6 | 3, 4, 5 | mp2an 689 | . . . . 5 โข _๐ต๐ถ โ โ |
7 | 1, 6 | dpval2 32564 | . . . 4 โข (๐ด._๐ต๐ถ) = (๐ด + (_๐ต๐ถ / ;10)) |
8 | 1 | nn0cni 12488 | . . . . 5 โข ๐ด โ โ |
9 | 6 | recni 11232 | . . . . . 6 โข _๐ต๐ถ โ โ |
10 | 10nn0 12699 | . . . . . . 7 โข ;10 โ โ0 | |
11 | 10 | nn0cni 12488 | . . . . . 6 โข ;10 โ โ |
12 | 10nn 12697 | . . . . . . 7 โข ;10 โ โ | |
13 | 12 | nnne0i 12256 | . . . . . 6 โข ;10 โ 0 |
14 | 9, 11, 13 | divcli 11960 | . . . . 5 โข (_๐ต๐ถ / ;10) โ โ |
15 | 8, 14 | addcli 11224 | . . . 4 โข (๐ด + (_๐ต๐ถ / ;10)) โ โ |
16 | 7, 15 | eqeltri 2823 | . . 3 โข (๐ด._๐ต๐ถ) โ โ |
17 | 16, 11, 11 | mulassi 11229 | . 2 โข (((๐ด._๐ต๐ถ) ยท ;10) ยท ;10) = ((๐ด._๐ต๐ถ) ยท (;10 ยท ;10)) |
18 | 1, 2, 4 | dfdec100 32541 | . . 3 โข ;;๐ด๐ต๐ถ = ((;;100 ยท ๐ด) + ;๐ต๐ถ) |
19 | 11, 8, 11 | mul32i 11414 | . . . . 5 โข ((;10 ยท ๐ด) ยท ;10) = ((;10 ยท ;10) ยท ๐ด) |
20 | 10 | dec0u 12702 | . . . . . 6 โข (;10 ยท ;10) = ;;100 |
21 | 20 | oveq1i 7415 | . . . . 5 โข ((;10 ยท ;10) ยท ๐ด) = (;;100 ยท ๐ด) |
22 | 19, 21 | eqtri 2754 | . . . 4 โข ((;10 ยท ๐ด) ยท ;10) = (;;100 ยท ๐ด) |
23 | 2, 4 | dpval3 32565 | . . . . . 6 โข (๐ต.๐ถ) = _๐ต๐ถ |
24 | 23 | oveq1i 7415 | . . . . 5 โข ((๐ต.๐ถ) ยท ;10) = (_๐ต๐ถ ยท ;10) |
25 | 2, 4 | dpmul10 32566 | . . . . 5 โข ((๐ต.๐ถ) ยท ;10) = ;๐ต๐ถ |
26 | 24, 25 | eqtr3i 2756 | . . . 4 โข (_๐ต๐ถ ยท ;10) = ;๐ต๐ถ |
27 | 22, 26 | oveq12i 7417 | . . 3 โข (((;10 ยท ๐ด) ยท ;10) + (_๐ต๐ถ ยท ;10)) = ((;;100 ยท ๐ด) + ;๐ต๐ถ) |
28 | 1, 6 | dpmul10 32566 | . . . . . 6 โข ((๐ด._๐ต๐ถ) ยท ;10) = ;๐ด_๐ต๐ถ |
29 | dfdec10 12684 | . . . . . 6 โข ;๐ด_๐ต๐ถ = ((;10 ยท ๐ด) + _๐ต๐ถ) | |
30 | 28, 29 | eqtri 2754 | . . . . 5 โข ((๐ด._๐ต๐ถ) ยท ;10) = ((;10 ยท ๐ด) + _๐ต๐ถ) |
31 | 30 | oveq1i 7415 | . . . 4 โข (((๐ด._๐ต๐ถ) ยท ;10) ยท ;10) = (((;10 ยท ๐ด) + _๐ต๐ถ) ยท ;10) |
32 | 11, 8 | mulcli 11225 | . . . . 5 โข (;10 ยท ๐ด) โ โ |
33 | 32, 9, 11 | adddiri 11231 | . . . 4 โข (((;10 ยท ๐ด) + _๐ต๐ถ) ยท ;10) = (((;10 ยท ๐ด) ยท ;10) + (_๐ต๐ถ ยท ;10)) |
34 | 31, 33 | eqtr2i 2755 | . . 3 โข (((;10 ยท ๐ด) ยท ;10) + (_๐ต๐ถ ยท ;10)) = (((๐ด._๐ต๐ถ) ยท ;10) ยท ;10) |
35 | 18, 27, 34 | 3eqtr2ri 2761 | . 2 โข (((๐ด._๐ต๐ถ) ยท ;10) ยท ;10) = ;;๐ด๐ต๐ถ |
36 | 20 | oveq2i 7416 | . 2 โข ((๐ด._๐ต๐ถ) ยท (;10 ยท ;10)) = ((๐ด._๐ต๐ถ) ยท ;;100) |
37 | 17, 35, 36 | 3eqtr3ri 2763 | 1 โข ((๐ด._๐ต๐ถ) ยท ;;100) = ;;๐ด๐ต๐ถ |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: = wceq 1533 โ wcel 2098 (class class class)co 7405 โcc 11110 โcr 11111 0cc0 11112 1c1 11113 + caddc 11115 ยท cmul 11117 / cdiv 11875 โ0cn0 12476 ;cdc 12681 _cdp2 32542 .cdp 32559 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1789 ax-4 1803 ax-5 1905 ax-6 1963 ax-7 2003 ax-8 2100 ax-9 2108 ax-10 2129 ax-11 2146 ax-12 2163 ax-ext 2697 ax-sep 5292 ax-nul 5299 ax-pow 5356 ax-pr 5420 ax-un 7722 ax-resscn 11169 ax-1cn 11170 ax-icn 11171 ax-addcl 11172 ax-addrcl 11173 ax-mulcl 11174 ax-mulrcl 11175 ax-mulcom 11176 ax-addass 11177 ax-mulass 11178 ax-distr 11179 ax-i2m1 11180 ax-1ne0 11181 ax-1rid 11182 ax-rnegex 11183 ax-rrecex 11184 ax-cnre 11185 ax-pre-lttri 11186 ax-pre-lttrn 11187 ax-pre-ltadd 11188 ax-pre-mulgt0 11189 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 396 df-or 845 df-3or 1085 df-3an 1086 df-tru 1536 df-fal 1546 df-ex 1774 df-nf 1778 df-sb 2060 df-mo 2528 df-eu 2557 df-clab 2704 df-cleq 2718 df-clel 2804 df-nfc 2879 df-ne 2935 df-nel 3041 df-ral 3056 df-rex 3065 df-rmo 3370 df-reu 3371 df-rab 3427 df-v 3470 df-sbc 3773 df-csb 3889 df-dif 3946 df-un 3948 df-in 3950 df-ss 3960 df-pss 3962 df-nul 4318 df-if 4524 df-pw 4599 df-sn 4624 df-pr 4626 df-op 4630 df-uni 4903 df-iun 4992 df-br 5142 df-opab 5204 df-mpt 5225 df-tr 5259 df-id 5567 df-eprel 5573 df-po 5581 df-so 5582 df-fr 5624 df-we 5626 df-xp 5675 df-rel 5676 df-cnv 5677 df-co 5678 df-dm 5679 df-rn 5680 df-res 5681 df-ima 5682 df-pred 6294 df-ord 6361 df-on 6362 df-lim 6363 df-suc 6364 df-iota 6489 df-fun 6539 df-fn 6540 df-f 6541 df-f1 6542 df-fo 6543 df-f1o 6544 df-fv 6545 df-riota 7361 df-ov 7408 df-oprab 7409 df-mpo 7410 df-om 7853 df-2nd 7975 df-frecs 8267 df-wrecs 8298 df-recs 8372 df-rdg 8411 df-er 8705 df-en 8942 df-dom 8943 df-sdom 8944 df-pnf 11254 df-mnf 11255 df-xr 11256 df-ltxr 11257 df-le 11258 df-sub 11450 df-neg 11451 df-div 11876 df-nn 12217 df-2 12279 df-3 12280 df-4 12281 df-5 12282 df-6 12283 df-7 12284 df-8 12285 df-9 12286 df-n0 12477 df-dec 12682 df-dp2 32543 df-dp 32560 |
This theorem is referenced by: dpmul1000 32570 dpadd3 32583 dpmul 32584 dpmul4 32585 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |