Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dpmul100 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dpmul100 32705
Description: Multiply by 100 a decimal expansion. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Dec-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
dp3mul10.a 𝐴 ∈ ℕ0
dp3mul10.b 𝐵 ∈ ℕ0
dp3mul10.c 𝐶 ∈ ℝ
Assertion
Ref Expression
dpmul100 ((𝐴.𝐵𝐶) · 100) = 𝐴𝐵𝐶

Proof of Theorem dpmul100
StepHypRef Expression
1 dp3mul10.a . . . . 5 𝐴 ∈ ℕ0
2 dp3mul10.b . . . . . . 7 𝐵 ∈ ℕ0
32nn0rei 12516 . . . . . 6 𝐵 ∈ ℝ
4 dp3mul10.c . . . . . 6 𝐶 ∈ ℝ
5 dp2cl 32688 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 𝐵𝐶 ∈ ℝ)
63, 4, 5mp2an 690 . . . . 5 𝐵𝐶 ∈ ℝ
71, 6dpval2 32701 . . . 4 (𝐴.𝐵𝐶) = (𝐴 + (𝐵𝐶 / 10))
81nn0cni 12517 . . . . 5 𝐴 ∈ ℂ
96recni 11260 . . . . . 6 𝐵𝐶 ∈ ℂ
10 10nn0 12728 . . . . . . 7 10 ∈ ℕ0
1110nn0cni 12517 . . . . . 6 10 ∈ ℂ
12 10nn 12726 . . . . . . 7 10 ∈ ℕ
1312nnne0i 12285 . . . . . 6 10 ≠ 0
149, 11, 13divcli 11989 . . . . 5 (𝐵𝐶 / 10) ∈ ℂ
158, 14addcli 11252 . . . 4 (𝐴 + (𝐵𝐶 / 10)) ∈ ℂ
167, 15eqeltri 2821 . . 3 (𝐴.𝐵𝐶) ∈ ℂ
1716, 11, 11mulassi 11257 . 2 (((𝐴.𝐵𝐶) · 10) · 10) = ((𝐴.𝐵𝐶) · (10 · 10))
181, 2, 4dfdec100 32678 . . 3 𝐴𝐵𝐶 = ((100 · 𝐴) + 𝐵𝐶)
1911, 8, 11mul32i 11442 . . . . 5 ((10 · 𝐴) · 10) = ((10 · 10) · 𝐴)
2010dec0u 12731 . . . . . 6 (10 · 10) = 100
2120oveq1i 7429 . . . . 5 ((10 · 10) · 𝐴) = (100 · 𝐴)
2219, 21eqtri 2753 . . . 4 ((10 · 𝐴) · 10) = (100 · 𝐴)
232, 4dpval3 32702 . . . . . 6 (𝐵.𝐶) = 𝐵𝐶
2423oveq1i 7429 . . . . 5 ((𝐵.𝐶) · 10) = (𝐵𝐶 · 10)
252, 4dpmul10 32703 . . . . 5 ((𝐵.𝐶) · 10) = 𝐵𝐶
2624, 25eqtr3i 2755 . . . 4 (𝐵𝐶 · 10) = 𝐵𝐶
2722, 26oveq12i 7431 . . 3 (((10 · 𝐴) · 10) + (𝐵𝐶 · 10)) = ((100 · 𝐴) + 𝐵𝐶)
281, 6dpmul10 32703 . . . . . 6 ((𝐴.𝐵𝐶) · 10) = 𝐴𝐵𝐶
29 dfdec10 12713 . . . . . 6 𝐴𝐵𝐶 = ((10 · 𝐴) + 𝐵𝐶)
3028, 29eqtri 2753 . . . . 5 ((𝐴.𝐵𝐶) · 10) = ((10 · 𝐴) + 𝐵𝐶)
3130oveq1i 7429 . . . 4 (((𝐴.𝐵𝐶) · 10) · 10) = (((10 · 𝐴) + 𝐵𝐶) · 10)
3211, 8mulcli 11253 . . . . 5 (10 · 𝐴) ∈ ℂ
3332, 9, 11adddiri 11259 . . . 4 (((10 · 𝐴) + 𝐵𝐶) · 10) = (((10 · 𝐴) · 10) + (𝐵𝐶 · 10))
3431, 33eqtr2i 2754 . . 3 (((10 · 𝐴) · 10) + (𝐵𝐶 · 10)) = (((𝐴.𝐵𝐶) · 10) · 10)
3518, 27, 343eqtr2ri 2760 . 2 (((𝐴.𝐵𝐶) · 10) · 10) = 𝐴𝐵𝐶
3620oveq2i 7430 . 2 ((𝐴.𝐵𝐶) · (10 · 10)) = ((𝐴.𝐵𝐶) · 100)
3717, 35, 363eqtr3ri 2762 1 ((𝐴.𝐵𝐶) · 100) = 𝐴𝐵𝐶
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1533  wcel 2098  (class class class)co 7419  cc 11138  cr 11139  0cc0 11140  1c1 11141   + caddc 11143   · cmul 11145   / cdiv 11903  0cn0 12505  cdc 12710  cdp2 32679  .cdp 32696
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741  ax-resscn 11197  ax-1cn 11198  ax-icn 11199  ax-addcl 11200  ax-addrcl 11201  ax-mulcl 11202  ax-mulrcl 11203  ax-mulcom 11204  ax-addass 11205  ax-mulass 11206  ax-distr 11207  ax-i2m1 11208  ax-1ne0 11209  ax-1rid 11210  ax-rnegex 11211  ax-rrecex 11212  ax-cnre 11213  ax-pre-lttri 11214  ax-pre-lttrn 11215  ax-pre-ltadd 11216  ax-pre-mulgt0 11217
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3964  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4910  df-iun 4999  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6307  df-ord 6374  df-on 6375  df-lim 6376  df-suc 6377  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-riota 7375  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7872  df-2nd 7995  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-er 8725  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-pnf 11282  df-mnf 11283  df-xr 11284  df-ltxr 11285  df-le 11286  df-sub 11478  df-neg 11479  df-div 11904  df-nn 12246  df-2 12308  df-3 12309  df-4 12310  df-5 12311  df-6 12312  df-7 12313  df-8 12314  df-9 12315  df-n0 12506  df-dec 12711  df-dp2 32680  df-dp 32697
This theorem is referenced by:  dpmul1000  32707  dpadd3  32720  dpmul  32721  dpmul4  32722
  Copyright terms: Public domain W3C validator