Theorem dpmul100 32063

Description: Multiply by 100 a decimal expansion. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Dec-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
dp3mul10.a	⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
dp3mul10.b	⊢ 𝐵 ∈ ℕ0
dp3mul10.c	⊢ 𝐶 ∈ ℝ

Assertion

Ref	Expression
dpmul100	⊢ ((𝐴._𝐵𝐶) · ;;100) = ;;𝐴𝐵𝐶

Proof of Theorem dpmul100

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dp3mul10.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
2		dp3mul10.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 ∈ ℕ0
3	2	nn0rei 12483	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 ∈ ℝ
4		dp3mul10.c	. . . . . 6 ⊢ 𝐶 ∈ ℝ
5		dp2cl 32046	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → _𝐵𝐶 ∈ ℝ)
6	3, 4, 5	mp2an 691	. . . . 5 ⊢ _𝐵𝐶 ∈ ℝ
7	1, 6	dpval2 32059	. . . 4 ⊢ (𝐴._𝐵𝐶) = (𝐴 + (_𝐵𝐶 / ;10))
8	1	nn0cni 12484	. . . . 5 ⊢ 𝐴 ∈ ℂ
9	6	recni 11228	. . . . . 6 ⊢ _𝐵𝐶 ∈ ℂ
10		10nn0 12695	. . . . . . 7 ⊢ ;10 ∈ ℕ0
11	10	nn0cni 12484	. . . . . 6 ⊢ ;10 ∈ ℂ
12		10nn 12693	. . . . . . 7 ⊢ ;10 ∈ ℕ
13	12	nnne0i 12252	. . . . . 6 ⊢ ;10 ≠ 0
14	9, 11, 13	divcli 11956	. . . . 5 ⊢ (_𝐵𝐶 / ;10) ∈ ℂ
15	8, 14	addcli 11220	. . . 4 ⊢ (𝐴 + (_𝐵𝐶 / ;10)) ∈ ℂ
16	7, 15	eqeltri 2830	. . 3 ⊢ (𝐴._𝐵𝐶) ∈ ℂ
17	16, 11, 11	mulassi 11225	. 2 ⊢ (((𝐴._𝐵𝐶) · ;10) · ;10) = ((𝐴._𝐵𝐶) · (;10 · ;10))
18	1, 2, 4	dfdec100 32036	. . 3 ⊢ ;;𝐴𝐵𝐶 = ((;;100 · 𝐴) + ;𝐵𝐶)
19	11, 8, 11	mul32i 11410	. . . . 5 ⊢ ((;10 · 𝐴) · ;10) = ((;10 · ;10) · 𝐴)
20	10	dec0u 12698	. . . . . 6 ⊢ (;10 · ;10) = ;;100
21	20	oveq1i 7419	. . . . 5 ⊢ ((;10 · ;10) · 𝐴) = (;;100 · 𝐴)
22	19, 21	eqtri 2761	. . . 4 ⊢ ((;10 · 𝐴) · ;10) = (;;100 · 𝐴)
23	2, 4	dpval3 32060	. . . . . 6 ⊢ (𝐵.𝐶) = _𝐵𝐶
24	23	oveq1i 7419	. . . . 5 ⊢ ((𝐵.𝐶) · ;10) = (_𝐵𝐶 · ;10)
25	2, 4	dpmul10 32061	. . . . 5 ⊢ ((𝐵.𝐶) · ;10) = ;𝐵𝐶
26	24, 25	eqtr3i 2763	. . . 4 ⊢ (_𝐵𝐶 · ;10) = ;𝐵𝐶
27	22, 26	oveq12i 7421	. . 3 ⊢ (((;10 · 𝐴) · ;10) + (_𝐵𝐶 · ;10)) = ((;;100 · 𝐴) + ;𝐵𝐶)
28	1, 6	dpmul10 32061	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴._𝐵𝐶) · ;10) = ;𝐴_𝐵𝐶
29		dfdec10 12680	. . . . . 6 ⊢ ;𝐴_𝐵𝐶 = ((;10 · 𝐴) + _𝐵𝐶)
30	28, 29	eqtri 2761	. . . . 5 ⊢ ((𝐴._𝐵𝐶) · ;10) = ((;10 · 𝐴) + _𝐵𝐶)
31	30	oveq1i 7419	. . . 4 ⊢ (((𝐴._𝐵𝐶) · ;10) · ;10) = (((;10 · 𝐴) + _𝐵𝐶) · ;10)
32	11, 8	mulcli 11221	. . . . 5 ⊢ (;10 · 𝐴) ∈ ℂ
33	32, 9, 11	adddiri 11227	. . . 4 ⊢ (((;10 · 𝐴) + _𝐵𝐶) · ;10) = (((;10 · 𝐴) · ;10) + (_𝐵𝐶 · ;10))
34	31, 33	eqtr2i 2762	. . 3 ⊢ (((;10 · 𝐴) · ;10) + (_𝐵𝐶 · ;10)) = (((𝐴._𝐵𝐶) · ;10) · ;10)
35	18, 27, 34	3eqtr2ri 2768	. 2 ⊢ (((𝐴._𝐵𝐶) · ;10) · ;10) = ;;𝐴𝐵𝐶
36	20	oveq2i 7420	. 2 ⊢ ((𝐴._𝐵𝐶) · (;10 · ;10)) = ((𝐴._𝐵𝐶) · ;;100)
37	17, 35, 36	3eqtr3ri 2770	1 ⊢ ((𝐴._𝐵𝐶) · ;;100) = ;;𝐴𝐵𝐶

Syntax hints:   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  (class class class)co 7409  ℂcc 11108  ℝcr 11109  0cc0 11110  1c1 11111   + caddc 11113   · cmul 11115   / cdiv 11871  ℕ₀cn0 12472  ;cdc 12677  _cdp2 32037  .cdp 32054

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-5 12278  df-6 12279  df-7 12280  df-8 12281  df-9 12282  df-n0 12473  df-dec 12678  df-dp2 32038  df-dp 32055

This theorem is referenced by:  dpmul1000  32065  dpadd3  32078  dpmul  32079  dpmul4  32080