Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dpmul100 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dpmul100 32649
Description: Multiply by 100 a decimal expansion. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Dec-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
dp3mul10.a ๐ด โˆˆ โ„•0
dp3mul10.b ๐ต โˆˆ โ„•0
dp3mul10.c ๐ถ โˆˆ โ„
Assertion
Ref Expression
dpmul100 ((๐ด.๐ต๐ถ) ยท 100) = ๐ด๐ต๐ถ

Proof of Theorem dpmul100
StepHypRef Expression
1 dp3mul10.a . . . . 5 ๐ด โˆˆ โ„•0
2 dp3mul10.b . . . . . . 7 ๐ต โˆˆ โ„•0
32nn0rei 12523 . . . . . 6 ๐ต โˆˆ โ„
4 dp3mul10.c . . . . . 6 ๐ถ โˆˆ โ„
5 dp2cl 32632 . . . . . 6 ((๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โ†’ ๐ต๐ถ โˆˆ โ„)
63, 4, 5mp2an 690 . . . . 5 ๐ต๐ถ โˆˆ โ„
71, 6dpval2 32645 . . . 4 (๐ด.๐ต๐ถ) = (๐ด + (๐ต๐ถ / 10))
81nn0cni 12524 . . . . 5 ๐ด โˆˆ โ„‚
96recni 11268 . . . . . 6 ๐ต๐ถ โˆˆ โ„‚
10 10nn0 12735 . . . . . . 7 10 โˆˆ โ„•0
1110nn0cni 12524 . . . . . 6 10 โˆˆ โ„‚
12 10nn 12733 . . . . . . 7 10 โˆˆ โ„•
1312nnne0i 12292 . . . . . 6 10 โ‰  0
149, 11, 13divcli 11996 . . . . 5 (๐ต๐ถ / 10) โˆˆ โ„‚
158, 14addcli 11260 . . . 4 (๐ด + (๐ต๐ถ / 10)) โˆˆ โ„‚
167, 15eqeltri 2825 . . 3 (๐ด.๐ต๐ถ) โˆˆ โ„‚
1716, 11, 11mulassi 11265 . 2 (((๐ด.๐ต๐ถ) ยท 10) ยท 10) = ((๐ด.๐ต๐ถ) ยท (10 ยท 10))
181, 2, 4dfdec100 32622 . . 3 ๐ด๐ต๐ถ = ((100 ยท ๐ด) + ๐ต๐ถ)
1911, 8, 11mul32i 11450 . . . . 5 ((10 ยท ๐ด) ยท 10) = ((10 ยท 10) ยท ๐ด)
2010dec0u 12738 . . . . . 6 (10 ยท 10) = 100
2120oveq1i 7436 . . . . 5 ((10 ยท 10) ยท ๐ด) = (100 ยท ๐ด)
2219, 21eqtri 2756 . . . 4 ((10 ยท ๐ด) ยท 10) = (100 ยท ๐ด)
232, 4dpval3 32646 . . . . . 6 (๐ต.๐ถ) = ๐ต๐ถ
2423oveq1i 7436 . . . . 5 ((๐ต.๐ถ) ยท 10) = (๐ต๐ถ ยท 10)
252, 4dpmul10 32647 . . . . 5 ((๐ต.๐ถ) ยท 10) = ๐ต๐ถ
2624, 25eqtr3i 2758 . . . 4 (๐ต๐ถ ยท 10) = ๐ต๐ถ
2722, 26oveq12i 7438 . . 3 (((10 ยท ๐ด) ยท 10) + (๐ต๐ถ ยท 10)) = ((100 ยท ๐ด) + ๐ต๐ถ)
281, 6dpmul10 32647 . . . . . 6 ((๐ด.๐ต๐ถ) ยท 10) = ๐ด๐ต๐ถ
29 dfdec10 12720 . . . . . 6 ๐ด๐ต๐ถ = ((10 ยท ๐ด) + ๐ต๐ถ)
3028, 29eqtri 2756 . . . . 5 ((๐ด.๐ต๐ถ) ยท 10) = ((10 ยท ๐ด) + ๐ต๐ถ)
3130oveq1i 7436 . . . 4 (((๐ด.๐ต๐ถ) ยท 10) ยท 10) = (((10 ยท ๐ด) + ๐ต๐ถ) ยท 10)
3211, 8mulcli 11261 . . . . 5 (10 ยท ๐ด) โˆˆ โ„‚
3332, 9, 11adddiri 11267 . . . 4 (((10 ยท ๐ด) + ๐ต๐ถ) ยท 10) = (((10 ยท ๐ด) ยท 10) + (๐ต๐ถ ยท 10))
3431, 33eqtr2i 2757 . . 3 (((10 ยท ๐ด) ยท 10) + (๐ต๐ถ ยท 10)) = (((๐ด.๐ต๐ถ) ยท 10) ยท 10)
3518, 27, 343eqtr2ri 2763 . 2 (((๐ด.๐ต๐ถ) ยท 10) ยท 10) = ๐ด๐ต๐ถ
3620oveq2i 7437 . 2 ((๐ด.๐ต๐ถ) ยท (10 ยท 10)) = ((๐ด.๐ต๐ถ) ยท 100)
3717, 35, 363eqtr3ri 2765 1 ((๐ด.๐ต๐ถ) ยท 100) = ๐ด๐ต๐ถ
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098  (class class class)co 7426  โ„‚cc 11146  โ„cr 11147  0cc0 11148  1c1 11149   + caddc 11151   ยท cmul 11153   / cdiv 11911  โ„•0cn0 12512  cdc 12717  cdp2 32623  .cdp 32640
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7748  ax-resscn 11205  ax-1cn 11206  ax-icn 11207  ax-addcl 11208  ax-addrcl 11209  ax-mulcl 11210  ax-mulrcl 11211  ax-mulcom 11212  ax-addass 11213  ax-mulass 11214  ax-distr 11215  ax-i2m1 11216  ax-1ne0 11217  ax-1rid 11218  ax-rnegex 11219  ax-rrecex 11220  ax-cnre 11221  ax-pre-lttri 11222  ax-pre-lttrn 11223  ax-pre-ltadd 11224  ax-pre-mulgt0 11225
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7879  df-2nd 8002  df-frecs 8295  df-wrecs 8326  df-recs 8400  df-rdg 8439  df-er 8733  df-en 8973  df-dom 8974  df-sdom 8975  df-pnf 11290  df-mnf 11291  df-xr 11292  df-ltxr 11293  df-le 11294  df-sub 11486  df-neg 11487  df-div 11912  df-nn 12253  df-2 12315  df-3 12316  df-4 12317  df-5 12318  df-6 12319  df-7 12320  df-8 12321  df-9 12322  df-n0 12513  df-dec 12718  df-dp2 32624  df-dp 32641
This theorem is referenced by:  dpmul1000  32651  dpadd3  32664  dpmul  32665  dpmul4  32666
  Copyright terms: Public domain W3C validator