![]() |
Mathbox for Thierry Arnoux |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > Mathboxes > dpmul100 | Structured version Visualization version GIF version |
Description: Multiply by 100 a decimal expansion. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Dec-2021.) |
Ref | Expression |
---|---|
dp3mul10.a | โข ๐ด โ โ0 |
dp3mul10.b | โข ๐ต โ โ0 |
dp3mul10.c | โข ๐ถ โ โ |
Ref | Expression |
---|---|
dpmul100 | โข ((๐ด._๐ต๐ถ) ยท ;;100) = ;;๐ด๐ต๐ถ |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | dp3mul10.a | . . . . 5 โข ๐ด โ โ0 | |
2 | dp3mul10.b | . . . . . . 7 โข ๐ต โ โ0 | |
3 | 2 | nn0rei 12523 | . . . . . 6 โข ๐ต โ โ |
4 | dp3mul10.c | . . . . . 6 โข ๐ถ โ โ | |
5 | dp2cl 32632 | . . . . . 6 โข ((๐ต โ โ โง ๐ถ โ โ) โ _๐ต๐ถ โ โ) | |
6 | 3, 4, 5 | mp2an 690 | . . . . 5 โข _๐ต๐ถ โ โ |
7 | 1, 6 | dpval2 32645 | . . . 4 โข (๐ด._๐ต๐ถ) = (๐ด + (_๐ต๐ถ / ;10)) |
8 | 1 | nn0cni 12524 | . . . . 5 โข ๐ด โ โ |
9 | 6 | recni 11268 | . . . . . 6 โข _๐ต๐ถ โ โ |
10 | 10nn0 12735 | . . . . . . 7 โข ;10 โ โ0 | |
11 | 10 | nn0cni 12524 | . . . . . 6 โข ;10 โ โ |
12 | 10nn 12733 | . . . . . . 7 โข ;10 โ โ | |
13 | 12 | nnne0i 12292 | . . . . . 6 โข ;10 โ 0 |
14 | 9, 11, 13 | divcli 11996 | . . . . 5 โข (_๐ต๐ถ / ;10) โ โ |
15 | 8, 14 | addcli 11260 | . . . 4 โข (๐ด + (_๐ต๐ถ / ;10)) โ โ |
16 | 7, 15 | eqeltri 2825 | . . 3 โข (๐ด._๐ต๐ถ) โ โ |
17 | 16, 11, 11 | mulassi 11265 | . 2 โข (((๐ด._๐ต๐ถ) ยท ;10) ยท ;10) = ((๐ด._๐ต๐ถ) ยท (;10 ยท ;10)) |
18 | 1, 2, 4 | dfdec100 32622 | . . 3 โข ;;๐ด๐ต๐ถ = ((;;100 ยท ๐ด) + ;๐ต๐ถ) |
19 | 11, 8, 11 | mul32i 11450 | . . . . 5 โข ((;10 ยท ๐ด) ยท ;10) = ((;10 ยท ;10) ยท ๐ด) |
20 | 10 | dec0u 12738 | . . . . . 6 โข (;10 ยท ;10) = ;;100 |
21 | 20 | oveq1i 7436 | . . . . 5 โข ((;10 ยท ;10) ยท ๐ด) = (;;100 ยท ๐ด) |
22 | 19, 21 | eqtri 2756 | . . . 4 โข ((;10 ยท ๐ด) ยท ;10) = (;;100 ยท ๐ด) |
23 | 2, 4 | dpval3 32646 | . . . . . 6 โข (๐ต.๐ถ) = _๐ต๐ถ |
24 | 23 | oveq1i 7436 | . . . . 5 โข ((๐ต.๐ถ) ยท ;10) = (_๐ต๐ถ ยท ;10) |
25 | 2, 4 | dpmul10 32647 | . . . . 5 โข ((๐ต.๐ถ) ยท ;10) = ;๐ต๐ถ |
26 | 24, 25 | eqtr3i 2758 | . . . 4 โข (_๐ต๐ถ ยท ;10) = ;๐ต๐ถ |
27 | 22, 26 | oveq12i 7438 | . . 3 โข (((;10 ยท ๐ด) ยท ;10) + (_๐ต๐ถ ยท ;10)) = ((;;100 ยท ๐ด) + ;๐ต๐ถ) |
28 | 1, 6 | dpmul10 32647 | . . . . . 6 โข ((๐ด._๐ต๐ถ) ยท ;10) = ;๐ด_๐ต๐ถ |
29 | dfdec10 12720 | . . . . . 6 โข ;๐ด_๐ต๐ถ = ((;10 ยท ๐ด) + _๐ต๐ถ) | |
30 | 28, 29 | eqtri 2756 | . . . . 5 โข ((๐ด._๐ต๐ถ) ยท ;10) = ((;10 ยท ๐ด) + _๐ต๐ถ) |
31 | 30 | oveq1i 7436 | . . . 4 โข (((๐ด._๐ต๐ถ) ยท ;10) ยท ;10) = (((;10 ยท ๐ด) + _๐ต๐ถ) ยท ;10) |
32 | 11, 8 | mulcli 11261 | . . . . 5 โข (;10 ยท ๐ด) โ โ |
33 | 32, 9, 11 | adddiri 11267 | . . . 4 โข (((;10 ยท ๐ด) + _๐ต๐ถ) ยท ;10) = (((;10 ยท ๐ด) ยท ;10) + (_๐ต๐ถ ยท ;10)) |
34 | 31, 33 | eqtr2i 2757 | . . 3 โข (((;10 ยท ๐ด) ยท ;10) + (_๐ต๐ถ ยท ;10)) = (((๐ด._๐ต๐ถ) ยท ;10) ยท ;10) |
35 | 18, 27, 34 | 3eqtr2ri 2763 | . 2 โข (((๐ด._๐ต๐ถ) ยท ;10) ยท ;10) = ;;๐ด๐ต๐ถ |
36 | 20 | oveq2i 7437 | . 2 โข ((๐ด._๐ต๐ถ) ยท (;10 ยท ;10)) = ((๐ด._๐ต๐ถ) ยท ;;100) |
37 | 17, 35, 36 | 3eqtr3ri 2765 | 1 โข ((๐ด._๐ต๐ถ) ยท ;;100) = ;;๐ด๐ต๐ถ |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: = wceq 1533 โ wcel 2098 (class class class)co 7426 โcc 11146 โcr 11147 0cc0 11148 1c1 11149 + caddc 11151 ยท cmul 11153 / cdiv 11911 โ0cn0 12512 ;cdc 12717 _cdp2 32623 .cdp 32640 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1789 ax-4 1803 ax-5 1905 ax-6 1963 ax-7 2003 ax-8 2100 ax-9 2108 ax-10 2129 ax-11 2146 ax-12 2166 ax-ext 2699 ax-sep 5303 ax-nul 5310 ax-pow 5369 ax-pr 5433 ax-un 7748 ax-resscn 11205 ax-1cn 11206 ax-icn 11207 ax-addcl 11208 ax-addrcl 11209 ax-mulcl 11210 ax-mulrcl 11211 ax-mulcom 11212 ax-addass 11213 ax-mulass 11214 ax-distr 11215 ax-i2m1 11216 ax-1ne0 11217 ax-1rid 11218 ax-rnegex 11219 ax-rrecex 11220 ax-cnre 11221 ax-pre-lttri 11222 ax-pre-lttrn 11223 ax-pre-ltadd 11224 ax-pre-mulgt0 11225 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 395 df-or 846 df-3or 1085 df-3an 1086 df-tru 1536 df-fal 1546 df-ex 1774 df-nf 1778 df-sb 2060 df-mo 2529 df-eu 2558 df-clab 2706 df-cleq 2720 df-clel 2806 df-nfc 2881 df-ne 2938 df-nel 3044 df-ral 3059 df-rex 3068 df-rmo 3374 df-reu 3375 df-rab 3431 df-v 3475 df-sbc 3779 df-csb 3895 df-dif 3952 df-un 3954 df-in 3956 df-ss 3966 df-pss 3968 df-nul 4327 df-if 4533 df-pw 4608 df-sn 4633 df-pr 4635 df-op 4639 df-uni 4913 df-iun 5002 df-br 5153 df-opab 5215 df-mpt 5236 df-tr 5270 df-id 5580 df-eprel 5586 df-po 5594 df-so 5595 df-fr 5637 df-we 5639 df-xp 5688 df-rel 5689 df-cnv 5690 df-co 5691 df-dm 5692 df-rn 5693 df-res 5694 df-ima 5695 df-pred 6310 df-ord 6377 df-on 6378 df-lim 6379 df-suc 6380 df-iota 6505 df-fun 6555 df-fn 6556 df-f 6557 df-f1 6558 df-fo 6559 df-f1o 6560 df-fv 6561 df-riota 7382 df-ov 7429 df-oprab 7430 df-mpo 7431 df-om 7879 df-2nd 8002 df-frecs 8295 df-wrecs 8326 df-recs 8400 df-rdg 8439 df-er 8733 df-en 8973 df-dom 8974 df-sdom 8975 df-pnf 11290 df-mnf 11291 df-xr 11292 df-ltxr 11293 df-le 11294 df-sub 11486 df-neg 11487 df-div 11912 df-nn 12253 df-2 12315 df-3 12316 df-4 12317 df-5 12318 df-6 12319 df-7 12320 df-8 12321 df-9 12322 df-n0 12513 df-dec 12718 df-dp2 32624 df-dp 32641 |
This theorem is referenced by: dpmul1000 32651 dpadd3 32664 dpmul 32665 dpmul4 32666 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |