Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dpmul100 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dpmul100 32568
Description: Multiply by 100 a decimal expansion. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Dec-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
dp3mul10.a ๐ด โˆˆ โ„•0
dp3mul10.b ๐ต โˆˆ โ„•0
dp3mul10.c ๐ถ โˆˆ โ„
Assertion
Ref Expression
dpmul100 ((๐ด.๐ต๐ถ) ยท 100) = ๐ด๐ต๐ถ

Proof of Theorem dpmul100
StepHypRef Expression
1 dp3mul10.a . . . . 5 ๐ด โˆˆ โ„•0
2 dp3mul10.b . . . . . . 7 ๐ต โˆˆ โ„•0
32nn0rei 12487 . . . . . 6 ๐ต โˆˆ โ„
4 dp3mul10.c . . . . . 6 ๐ถ โˆˆ โ„
5 dp2cl 32551 . . . . . 6 ((๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โ†’ ๐ต๐ถ โˆˆ โ„)
63, 4, 5mp2an 689 . . . . 5 ๐ต๐ถ โˆˆ โ„
71, 6dpval2 32564 . . . 4 (๐ด.๐ต๐ถ) = (๐ด + (๐ต๐ถ / 10))
81nn0cni 12488 . . . . 5 ๐ด โˆˆ โ„‚
96recni 11232 . . . . . 6 ๐ต๐ถ โˆˆ โ„‚
10 10nn0 12699 . . . . . . 7 10 โˆˆ โ„•0
1110nn0cni 12488 . . . . . 6 10 โˆˆ โ„‚
12 10nn 12697 . . . . . . 7 10 โˆˆ โ„•
1312nnne0i 12256 . . . . . 6 10 โ‰  0
149, 11, 13divcli 11960 . . . . 5 (๐ต๐ถ / 10) โˆˆ โ„‚
158, 14addcli 11224 . . . 4 (๐ด + (๐ต๐ถ / 10)) โˆˆ โ„‚
167, 15eqeltri 2823 . . 3 (๐ด.๐ต๐ถ) โˆˆ โ„‚
1716, 11, 11mulassi 11229 . 2 (((๐ด.๐ต๐ถ) ยท 10) ยท 10) = ((๐ด.๐ต๐ถ) ยท (10 ยท 10))
181, 2, 4dfdec100 32541 . . 3 ๐ด๐ต๐ถ = ((100 ยท ๐ด) + ๐ต๐ถ)
1911, 8, 11mul32i 11414 . . . . 5 ((10 ยท ๐ด) ยท 10) = ((10 ยท 10) ยท ๐ด)
2010dec0u 12702 . . . . . 6 (10 ยท 10) = 100
2120oveq1i 7415 . . . . 5 ((10 ยท 10) ยท ๐ด) = (100 ยท ๐ด)
2219, 21eqtri 2754 . . . 4 ((10 ยท ๐ด) ยท 10) = (100 ยท ๐ด)
232, 4dpval3 32565 . . . . . 6 (๐ต.๐ถ) = ๐ต๐ถ
2423oveq1i 7415 . . . . 5 ((๐ต.๐ถ) ยท 10) = (๐ต๐ถ ยท 10)
252, 4dpmul10 32566 . . . . 5 ((๐ต.๐ถ) ยท 10) = ๐ต๐ถ
2624, 25eqtr3i 2756 . . . 4 (๐ต๐ถ ยท 10) = ๐ต๐ถ
2722, 26oveq12i 7417 . . 3 (((10 ยท ๐ด) ยท 10) + (๐ต๐ถ ยท 10)) = ((100 ยท ๐ด) + ๐ต๐ถ)
281, 6dpmul10 32566 . . . . . 6 ((๐ด.๐ต๐ถ) ยท 10) = ๐ด๐ต๐ถ
29 dfdec10 12684 . . . . . 6 ๐ด๐ต๐ถ = ((10 ยท ๐ด) + ๐ต๐ถ)
3028, 29eqtri 2754 . . . . 5 ((๐ด.๐ต๐ถ) ยท 10) = ((10 ยท ๐ด) + ๐ต๐ถ)
3130oveq1i 7415 . . . 4 (((๐ด.๐ต๐ถ) ยท 10) ยท 10) = (((10 ยท ๐ด) + ๐ต๐ถ) ยท 10)
3211, 8mulcli 11225 . . . . 5 (10 ยท ๐ด) โˆˆ โ„‚
3332, 9, 11adddiri 11231 . . . 4 (((10 ยท ๐ด) + ๐ต๐ถ) ยท 10) = (((10 ยท ๐ด) ยท 10) + (๐ต๐ถ ยท 10))
3431, 33eqtr2i 2755 . . 3 (((10 ยท ๐ด) ยท 10) + (๐ต๐ถ ยท 10)) = (((๐ด.๐ต๐ถ) ยท 10) ยท 10)
3518, 27, 343eqtr2ri 2761 . 2 (((๐ด.๐ต๐ถ) ยท 10) ยท 10) = ๐ด๐ต๐ถ
3620oveq2i 7416 . 2 ((๐ด.๐ต๐ถ) ยท (10 ยท 10)) = ((๐ด.๐ต๐ถ) ยท 100)
3717, 35, 363eqtr3ri 2763 1 ((๐ด.๐ต๐ถ) ยท 100) = ๐ด๐ต๐ถ
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098  (class class class)co 7405  โ„‚cc 11110  โ„cr 11111  0cc0 11112  1c1 11113   + caddc 11115   ยท cmul 11117   / cdiv 11875  โ„•0cn0 12476  cdc 12681  cdp2 32542  .cdp 32559
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-dec 12682  df-dp2 32543  df-dp 32560
This theorem is referenced by:  dpmul1000  32570  dpadd3  32583  dpmul  32584  dpmul4  32585
  Copyright terms: Public domain W3C validator