Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dpmul1000 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dpmul1000 30259
Description: Multiply by 1000 a decimal expansion. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Dec-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
dpmul1000.a 𝐴 ∈ ℕ0
dpmul1000.b 𝐵 ∈ ℕ0
dpmul1000.c 𝐶 ∈ ℕ0
dpmul1000.d 𝐷 ∈ ℝ
Assertion
Ref Expression
dpmul1000 ((𝐴.𝐵𝐶𝐷) · 1000) = 𝐴𝐵𝐶𝐷

Proof of Theorem dpmul1000
StepHypRef Expression
1 dpmul1000.a . . . . . 6 𝐴 ∈ ℕ0
2 dpmul1000.b . . . . . . . 8 𝐵 ∈ ℕ0
32nn0rei 11756 . . . . . . 7 𝐵 ∈ ℝ
4 dpmul1000.c . . . . . . . . 9 𝐶 ∈ ℕ0
54nn0rei 11756 . . . . . . . 8 𝐶 ∈ ℝ
6 dpmul1000.d . . . . . . . 8 𝐷 ∈ ℝ
7 dp2cl 30240 . . . . . . . 8 ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ) → 𝐶𝐷 ∈ ℝ)
85, 6, 7mp2an 688 . . . . . . 7 𝐶𝐷 ∈ ℝ
9 dp2cl 30240 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶𝐷 ∈ ℝ) → 𝐵𝐶𝐷 ∈ ℝ)
103, 8, 9mp2an 688 . . . . . 6 𝐵𝐶𝐷 ∈ ℝ
11 dpcl 30251 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵𝐶𝐷 ∈ ℝ) → (𝐴.𝐵𝐶𝐷) ∈ ℝ)
121, 10, 11mp2an 688 . . . . 5 (𝐴.𝐵𝐶𝐷) ∈ ℝ
1312recni 10501 . . . 4 (𝐴.𝐵𝐶𝐷) ∈ ℂ
14 10nn0 11965 . . . . . 6 10 ∈ ℕ0
15 0nn0 11760 . . . . . 6 0 ∈ ℕ0
1614, 15deccl 11962 . . . . 5 100 ∈ ℕ0
1716nn0cni 11757 . . . 4 100 ∈ ℂ
1814nn0cni 11757 . . . 4 10 ∈ ℂ
1913, 17, 18mulassi 10498 . . 3 (((𝐴.𝐵𝐶𝐷) · 100) · 10) = ((𝐴.𝐵𝐶𝐷) · (100 · 10))
201, 2, 8dpmul100 30257 . . . 4 ((𝐴.𝐵𝐶𝐷) · 100) = 𝐴𝐵𝐶𝐷
2120oveq1i 7026 . . 3 (((𝐴.𝐵𝐶𝐷) · 100) · 10) = (𝐴𝐵𝐶𝐷 · 10)
2216dec0u 11968 . . . . 5 (10 · 100) = 1000
2318, 17, 22mulcomli 10496 . . . 4 (100 · 10) = 1000
2423oveq2i 7027 . . 3 ((𝐴.𝐵𝐶𝐷) · (100 · 10)) = ((𝐴.𝐵𝐶𝐷) · 1000)
2519, 21, 243eqtr3i 2827 . 2 (𝐴𝐵𝐶𝐷 · 10) = ((𝐴.𝐵𝐶𝐷) · 1000)
26 dfdec10 11950 . . . 4 𝐴𝐵𝐶𝐷 = ((10 · 𝐴𝐵) + 𝐶𝐷)
2726oveq1i 7026 . . 3 (𝐴𝐵𝐶𝐷 · 10) = (((10 · 𝐴𝐵) + 𝐶𝐷) · 10)
281, 2deccl 11962 . . . . . 6 𝐴𝐵 ∈ ℕ0
2928nn0cni 11757 . . . . 5 𝐴𝐵 ∈ ℂ
3018, 29mulcli 10494 . . . 4 (10 · 𝐴𝐵) ∈ ℂ
318recni 10501 . . . 4 𝐶𝐷 ∈ ℂ
3230, 31, 18adddiri 10500 . . 3 (((10 · 𝐴𝐵) + 𝐶𝐷) · 10) = (((10 · 𝐴𝐵) · 10) + (𝐶𝐷 · 10))
3328, 4, 6dfdec100 30230 . . . 4 𝐴𝐵𝐶𝐷 = ((100 · 𝐴𝐵) + 𝐶𝐷)
3414dec0u 11968 . . . . . . 7 (10 · 10) = 100
3534oveq1i 7026 . . . . . 6 ((10 · 10) · 𝐴𝐵) = (100 · 𝐴𝐵)
3618, 18, 29mul32i 10683 . . . . . 6 ((10 · 10) · 𝐴𝐵) = ((10 · 𝐴𝐵) · 10)
3735, 36eqtr3i 2821 . . . . 5 (100 · 𝐴𝐵) = ((10 · 𝐴𝐵) · 10)
384, 6dpmul10 30255 . . . . . 6 ((𝐶.𝐷) · 10) = 𝐶𝐷
39 dpval 30250 . . . . . . . 8 ((𝐶 ∈ ℕ0𝐷 ∈ ℝ) → (𝐶.𝐷) = 𝐶𝐷)
404, 6, 39mp2an 688 . . . . . . 7 (𝐶.𝐷) = 𝐶𝐷
4140oveq1i 7026 . . . . . 6 ((𝐶.𝐷) · 10) = (𝐶𝐷 · 10)
4238, 41eqtr3i 2821 . . . . 5 𝐶𝐷 = (𝐶𝐷 · 10)
4337, 42oveq12i 7028 . . . 4 ((100 · 𝐴𝐵) + 𝐶𝐷) = (((10 · 𝐴𝐵) · 10) + (𝐶𝐷 · 10))
4433, 43eqtr2i 2820 . . 3 (((10 · 𝐴𝐵) · 10) + (𝐶𝐷 · 10)) = 𝐴𝐵𝐶𝐷
4527, 32, 443eqtri 2823 . 2 (𝐴𝐵𝐶𝐷 · 10) = 𝐴𝐵𝐶𝐷
4625, 45eqtr3i 2821 1 ((𝐴.𝐵𝐶𝐷) · 1000) = 𝐴𝐵𝐶𝐷
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1522  wcel 2081  (class class class)co 7016  cr 10382  0cc0 10383  1c1 10384   + caddc 10386   · cmul 10388  0cn0 11745  cdc 11947  cdp2 30231  .cdp 30248
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1777  ax-4 1791  ax-5 1888  ax-6 1947  ax-7 1992  ax-8 2083  ax-9 2091  ax-10 2112  ax-11 2126  ax-12 2141  ax-13 2344  ax-ext 2769  ax-sep 5094  ax-nul 5101  ax-pow 5157  ax-pr 5221  ax-un 7319  ax-resscn 10440  ax-1cn 10441  ax-icn 10442  ax-addcl 10443  ax-addrcl 10444  ax-mulcl 10445  ax-mulrcl 10446  ax-mulcom 10447  ax-addass 10448  ax-mulass 10449  ax-distr 10450  ax-i2m1 10451  ax-1ne0 10452  ax-1rid 10453  ax-rnegex 10454  ax-rrecex 10455  ax-cnre 10456  ax-pre-lttri 10457  ax-pre-lttrn 10458  ax-pre-ltadd 10459  ax-pre-mulgt0 10460
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1081  df-3an 1082  df-tru 1525  df-ex 1762  df-nf 1766  df-sb 2043  df-mo 2576  df-eu 2612  df-clab 2776  df-cleq 2788  df-clel 2863  df-nfc 2935  df-ne 2985  df-nel 3091  df-ral 3110  df-rex 3111  df-reu 3112  df-rmo 3113  df-rab 3114  df-v 3439  df-sbc 3707  df-csb 3812  df-dif 3862  df-un 3864  df-in 3866  df-ss 3874  df-pss 3876  df-nul 4212  df-if 4382  df-pw 4455  df-sn 4473  df-pr 4475  df-tp 4477  df-op 4479  df-uni 4746  df-iun 4827  df-br 4963  df-opab 5025  df-mpt 5042  df-tr 5064  df-id 5348  df-eprel 5353  df-po 5362  df-so 5363  df-fr 5402  df-we 5404  df-xp 5449  df-rel 5450  df-cnv 5451  df-co 5452  df-dm 5453  df-rn 5454  df-res 5455  df-ima 5456  df-pred 6023  df-ord 6069  df-on 6070  df-lim 6071  df-suc 6072  df-iota 6189  df-fun 6227  df-fn 6228  df-f 6229  df-f1 6230  df-fo 6231  df-f1o 6232  df-fv 6233  df-riota 6977  df-ov 7019  df-oprab 7020  df-mpo 7021  df-om 7437  df-wrecs 7798  df-recs 7860  df-rdg 7898  df-er 8139  df-en 8358  df-dom 8359  df-sdom 8360  df-pnf 10523  df-mnf 10524  df-xr 10525  df-ltxr 10526  df-le 10527  df-sub 10719  df-neg 10720  df-div 11146  df-nn 11487  df-2 11548  df-3 11549  df-4 11550  df-5 11551  df-6 11552  df-7 11553  df-8 11554  df-9 11555  df-n0 11746  df-dec 11948  df-dp2 30232  df-dp 30249
This theorem is referenced by:  dpmul4  30274
  Copyright terms: Public domain W3C validator