Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dpmul1000 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dpmul1000 31650
Description: Multiply by 1000 a decimal expansion. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Dec-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
dpmul1000.a 𝐴 ∈ ℕ0
dpmul1000.b 𝐵 ∈ ℕ0
dpmul1000.c 𝐶 ∈ ℕ0
dpmul1000.d 𝐷 ∈ ℝ
Assertion
Ref Expression
dpmul1000 ((𝐴.𝐵𝐶𝐷) · 1000) = 𝐴𝐵𝐶𝐷

Proof of Theorem dpmul1000
StepHypRef Expression
1 dpmul1000.a . . . . . 6 𝐴 ∈ ℕ0
2 dpmul1000.b . . . . . . . 8 𝐵 ∈ ℕ0
32nn0rei 12421 . . . . . . 7 𝐵 ∈ ℝ
4 dpmul1000.c . . . . . . . . 9 𝐶 ∈ ℕ0
54nn0rei 12421 . . . . . . . 8 𝐶 ∈ ℝ
6 dpmul1000.d . . . . . . . 8 𝐷 ∈ ℝ
7 dp2cl 31631 . . . . . . . 8 ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ) → 𝐶𝐷 ∈ ℝ)
85, 6, 7mp2an 690 . . . . . . 7 𝐶𝐷 ∈ ℝ
9 dp2cl 31631 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶𝐷 ∈ ℝ) → 𝐵𝐶𝐷 ∈ ℝ)
103, 8, 9mp2an 690 . . . . . 6 𝐵𝐶𝐷 ∈ ℝ
11 dpcl 31642 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵𝐶𝐷 ∈ ℝ) → (𝐴.𝐵𝐶𝐷) ∈ ℝ)
121, 10, 11mp2an 690 . . . . 5 (𝐴.𝐵𝐶𝐷) ∈ ℝ
1312recni 11166 . . . 4 (𝐴.𝐵𝐶𝐷) ∈ ℂ
14 10nn0 12633 . . . . . 6 10 ∈ ℕ0
15 0nn0 12425 . . . . . 6 0 ∈ ℕ0
1614, 15deccl 12630 . . . . 5 100 ∈ ℕ0
1716nn0cni 12422 . . . 4 100 ∈ ℂ
1814nn0cni 12422 . . . 4 10 ∈ ℂ
1913, 17, 18mulassi 11163 . . 3 (((𝐴.𝐵𝐶𝐷) · 100) · 10) = ((𝐴.𝐵𝐶𝐷) · (100 · 10))
201, 2, 8dpmul100 31648 . . . 4 ((𝐴.𝐵𝐶𝐷) · 100) = 𝐴𝐵𝐶𝐷
2120oveq1i 7364 . . 3 (((𝐴.𝐵𝐶𝐷) · 100) · 10) = (𝐴𝐵𝐶𝐷 · 10)
2216dec0u 12636 . . . . 5 (10 · 100) = 1000
2318, 17, 22mulcomli 11161 . . . 4 (100 · 10) = 1000
2423oveq2i 7365 . . 3 ((𝐴.𝐵𝐶𝐷) · (100 · 10)) = ((𝐴.𝐵𝐶𝐷) · 1000)
2519, 21, 243eqtr3i 2772 . 2 (𝐴𝐵𝐶𝐷 · 10) = ((𝐴.𝐵𝐶𝐷) · 1000)
26 dfdec10 12618 . . . 4 𝐴𝐵𝐶𝐷 = ((10 · 𝐴𝐵) + 𝐶𝐷)
2726oveq1i 7364 . . 3 (𝐴𝐵𝐶𝐷 · 10) = (((10 · 𝐴𝐵) + 𝐶𝐷) · 10)
281, 2deccl 12630 . . . . . 6 𝐴𝐵 ∈ ℕ0
2928nn0cni 12422 . . . . 5 𝐴𝐵 ∈ ℂ
3018, 29mulcli 11159 . . . 4 (10 · 𝐴𝐵) ∈ ℂ
318recni 11166 . . . 4 𝐶𝐷 ∈ ℂ
3230, 31, 18adddiri 11165 . . 3 (((10 · 𝐴𝐵) + 𝐶𝐷) · 10) = (((10 · 𝐴𝐵) · 10) + (𝐶𝐷 · 10))
3328, 4, 6dfdec100 31621 . . . 4 𝐴𝐵𝐶𝐷 = ((100 · 𝐴𝐵) + 𝐶𝐷)
3414dec0u 12636 . . . . . . 7 (10 · 10) = 100
3534oveq1i 7364 . . . . . 6 ((10 · 10) · 𝐴𝐵) = (100 · 𝐴𝐵)
3618, 18, 29mul32i 11348 . . . . . 6 ((10 · 10) · 𝐴𝐵) = ((10 · 𝐴𝐵) · 10)
3735, 36eqtr3i 2766 . . . . 5 (100 · 𝐴𝐵) = ((10 · 𝐴𝐵) · 10)
384, 6dpmul10 31646 . . . . . 6 ((𝐶.𝐷) · 10) = 𝐶𝐷
39 dpval 31641 . . . . . . . 8 ((𝐶 ∈ ℕ0𝐷 ∈ ℝ) → (𝐶.𝐷) = 𝐶𝐷)
404, 6, 39mp2an 690 . . . . . . 7 (𝐶.𝐷) = 𝐶𝐷
4140oveq1i 7364 . . . . . 6 ((𝐶.𝐷) · 10) = (𝐶𝐷 · 10)
4238, 41eqtr3i 2766 . . . . 5 𝐶𝐷 = (𝐶𝐷 · 10)
4337, 42oveq12i 7366 . . . 4 ((100 · 𝐴𝐵) + 𝐶𝐷) = (((10 · 𝐴𝐵) · 10) + (𝐶𝐷 · 10))
4433, 43eqtr2i 2765 . . 3 (((10 · 𝐴𝐵) · 10) + (𝐶𝐷 · 10)) = 𝐴𝐵𝐶𝐷
4527, 32, 443eqtri 2768 . 2 (𝐴𝐵𝐶𝐷 · 10) = 𝐴𝐵𝐶𝐷
4625, 45eqtr3i 2766 1 ((𝐴.𝐵𝐶𝐷) · 1000) = 𝐴𝐵𝐶𝐷
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1541  wcel 2106  (class class class)co 7354  cr 11047  0cc0 11048  1c1 11049   + caddc 11051   · cmul 11053  0cn0 12410  cdc 12615  cdp2 31622  .cdp 31639
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-sep 5255  ax-nul 5262  ax-pow 5319  ax-pr 5383  ax-un 7669  ax-resscn 11105  ax-1cn 11106  ax-icn 11107  ax-addcl 11108  ax-addrcl 11109  ax-mulcl 11110  ax-mulrcl 11111  ax-mulcom 11112  ax-addass 11113  ax-mulass 11114  ax-distr 11115  ax-i2m1 11116  ax-1ne0 11117  ax-1rid 11118  ax-rnegex 11119  ax-rrecex 11120  ax-cnre 11121  ax-pre-lttri 11122  ax-pre-lttrn 11123  ax-pre-ltadd 11124  ax-pre-mulgt0 11125
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3064  df-rex 3073  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3739  df-csb 3855  df-dif 3912  df-un 3914  df-in 3916  df-ss 3926  df-pss 3928  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4865  df-iun 4955  df-br 5105  df-opab 5167  df-mpt 5188  df-tr 5222  df-id 5530  df-eprel 5536  df-po 5544  df-so 5545  df-fr 5587  df-we 5589  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6252  df-ord 6319  df-on 6320  df-lim 6321  df-suc 6322  df-iota 6446  df-fun 6496  df-fn 6497  df-f 6498  df-f1 6499  df-fo 6500  df-f1o 6501  df-fv 6502  df-riota 7310  df-ov 7357  df-oprab 7358  df-mpo 7359  df-om 7800  df-2nd 7919  df-frecs 8209  df-wrecs 8240  df-recs 8314  df-rdg 8353  df-er 8645  df-en 8881  df-dom 8882  df-sdom 8883  df-pnf 11188  df-mnf 11189  df-xr 11190  df-ltxr 11191  df-le 11192  df-sub 11384  df-neg 11385  df-div 11810  df-nn 12151  df-2 12213  df-3 12214  df-4 12215  df-5 12216  df-6 12217  df-7 12218  df-8 12219  df-9 12220  df-n0 12411  df-dec 12616  df-dp2 31623  df-dp 31640
This theorem is referenced by:  dpmul4  31665
  Copyright terms: Public domain W3C validator