Theorem dpmul1000 32570

Description: Multiply by 1000 a decimal expansion. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Dec-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
dpmul1000.a	⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
dpmul1000.b	⊢ 𝐵 ∈ ℕ0
dpmul1000.c	⊢ 𝐶 ∈ ℕ0
dpmul1000.d	⊢ 𝐷 ∈ ℝ

Assertion

Ref	Expression
dpmul1000	⊢ ((𝐴._𝐵_𝐶𝐷) · ;;;1000) = ;;;𝐴𝐵𝐶𝐷

Proof of Theorem dpmul1000

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dpmul1000.a	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
2		dpmul1000.b	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 ∈ ℕ0
3	2	nn0rei 12487	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 ∈ ℝ
4		dpmul1000.c	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐶 ∈ ℕ0
5	4	nn0rei 12487	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐶 ∈ ℝ
6		dpmul1000.d	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐷 ∈ ℝ
7		dp2cl 32551	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ) → _𝐶𝐷 ∈ ℝ)
8	5, 6, 7	mp2an 689	. . . . . . 7 ⊢ _𝐶𝐷 ∈ ℝ
9		dp2cl 32551	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ _𝐶𝐷 ∈ ℝ) → _𝐵_𝐶𝐷 ∈ ℝ)
10	3, 8, 9	mp2an 689	. . . . . 6 ⊢ _𝐵_𝐶𝐷 ∈ ℝ
11		dpcl 32562	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ _𝐵_𝐶𝐷 ∈ ℝ) → (𝐴._𝐵_𝐶𝐷) ∈ ℝ)
12	1, 10, 11	mp2an 689	. . . . 5 ⊢ (𝐴._𝐵_𝐶𝐷) ∈ ℝ
13	12	recni 11232	. . . 4 ⊢ (𝐴._𝐵_𝐶𝐷) ∈ ℂ
14		10nn0 12699	. . . . . 6 ⊢ ;10 ∈ ℕ0
15		0nn0 12491	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℕ0
16	14, 15	deccl 12696	. . . . 5 ⊢ ;;100 ∈ ℕ0
17	16	nn0cni 12488	. . . 4 ⊢ ;;100 ∈ ℂ
18	14	nn0cni 12488	. . . 4 ⊢ ;10 ∈ ℂ
19	13, 17, 18	mulassi 11229	. . 3 ⊢ (((𝐴._𝐵_𝐶𝐷) · ;;100) · ;10) = ((𝐴._𝐵_𝐶𝐷) · (;;100 · ;10))
20	1, 2, 8	dpmul100 32568	. . . 4 ⊢ ((𝐴._𝐵_𝐶𝐷) · ;;100) = ;;𝐴𝐵_𝐶𝐷
21	20	oveq1i 7415	. . 3 ⊢ (((𝐴._𝐵_𝐶𝐷) · ;;100) · ;10) = (;;𝐴𝐵_𝐶𝐷 · ;10)
22	16	dec0u 12702	. . . . 5 ⊢ (;10 · ;;100) = ;;;1000
23	18, 17, 22	mulcomli 11227	. . . 4 ⊢ (;;100 · ;10) = ;;;1000
24	23	oveq2i 7416	. . 3 ⊢ ((𝐴._𝐵_𝐶𝐷) · (;;100 · ;10)) = ((𝐴._𝐵_𝐶𝐷) · ;;;1000)
25	19, 21, 24	3eqtr3i 2762	. 2 ⊢ (;;𝐴𝐵_𝐶𝐷 · ;10) = ((𝐴._𝐵_𝐶𝐷) · ;;;1000)
26		dfdec10 12684	. . . 4 ⊢ ;;𝐴𝐵_𝐶𝐷 = ((;10 · ;𝐴𝐵) + _𝐶𝐷)
27	26	oveq1i 7415	. . 3 ⊢ (;;𝐴𝐵_𝐶𝐷 · ;10) = (((;10 · ;𝐴𝐵) + _𝐶𝐷) · ;10)
28	1, 2	deccl 12696	. . . . . 6 ⊢ ;𝐴𝐵 ∈ ℕ0
29	28	nn0cni 12488	. . . . 5 ⊢ ;𝐴𝐵 ∈ ℂ
30	18, 29	mulcli 11225	. . . 4 ⊢ (;10 · ;𝐴𝐵) ∈ ℂ
31	8	recni 11232	. . . 4 ⊢ _𝐶𝐷 ∈ ℂ
32	30, 31, 18	adddiri 11231	. . 3 ⊢ (((;10 · ;𝐴𝐵) + _𝐶𝐷) · ;10) = (((;10 · ;𝐴𝐵) · ;10) + (_𝐶𝐷 · ;10))
33	28, 4, 6	dfdec100 32541	. . . 4 ⊢ ;;;𝐴𝐵𝐶𝐷 = ((;;100 · ;𝐴𝐵) + ;𝐶𝐷)
34	14	dec0u 12702	. . . . . . 7 ⊢ (;10 · ;10) = ;;100
35	34	oveq1i 7415	. . . . . 6 ⊢ ((;10 · ;10) · ;𝐴𝐵) = (;;100 · ;𝐴𝐵)
36	18, 18, 29	mul32i 11414	. . . . . 6 ⊢ ((;10 · ;10) · ;𝐴𝐵) = ((;10 · ;𝐴𝐵) · ;10)
37	35, 36	eqtr3i 2756	. . . . 5 ⊢ (;;100 · ;𝐴𝐵) = ((;10 · ;𝐴𝐵) · ;10)
38	4, 6	dpmul10 32566	. . . . . 6 ⊢ ((𝐶.𝐷) · ;10) = ;𝐶𝐷
39		dpval 32561	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐶 ∈ ℕ0 ∧ 𝐷 ∈ ℝ) → (𝐶.𝐷) = _𝐶𝐷)
40	4, 6, 39	mp2an 689	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶.𝐷) = _𝐶𝐷
41	40	oveq1i 7415	. . . . . 6 ⊢ ((𝐶.𝐷) · ;10) = (_𝐶𝐷 · ;10)
42	38, 41	eqtr3i 2756	. . . . 5 ⊢ ;𝐶𝐷 = (_𝐶𝐷 · ;10)
43	37, 42	oveq12i 7417	. . . 4 ⊢ ((;;100 · ;𝐴𝐵) + ;𝐶𝐷) = (((;10 · ;𝐴𝐵) · ;10) + (_𝐶𝐷 · ;10))
44	33, 43	eqtr2i 2755	. . 3 ⊢ (((;10 · ;𝐴𝐵) · ;10) + (_𝐶𝐷 · ;10)) = ;;;𝐴𝐵𝐶𝐷
45	27, 32, 44	3eqtri 2758	. 2 ⊢ (;;𝐴𝐵_𝐶𝐷 · ;10) = ;;;𝐴𝐵𝐶𝐷
46	25, 45	eqtr3i 2756	1 ⊢ ((𝐴._𝐵_𝐶𝐷) · ;;;1000) = ;;;𝐴𝐵𝐶𝐷

Syntax hints:   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  (class class class)co 7405  ℝcr 11111  0cc0 11112  1c1 11113   + caddc 11115   · cmul 11117  ℕ₀cn0 12476  ;cdc 12681  _cdp2 32542  .cdp 32559

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-dec 12682  df-dp2 32543  df-dp 32560

This theorem is referenced by:  dpmul4  32585