Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dpmul1000 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dpmul1000 31797
Description: Multiply by 1000 a decimal expansion. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Dec-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
dpmul1000.a ๐ด โˆˆ โ„•0
dpmul1000.b ๐ต โˆˆ โ„•0
dpmul1000.c ๐ถ โˆˆ โ„•0
dpmul1000.d ๐ท โˆˆ โ„
Assertion
Ref Expression
dpmul1000 ((๐ด.๐ต๐ถ๐ท) ยท 1000) = ๐ด๐ต๐ถ๐ท

Proof of Theorem dpmul1000
StepHypRef Expression
1 dpmul1000.a . . . . . 6 ๐ด โˆˆ โ„•0
2 dpmul1000.b . . . . . . . 8 ๐ต โˆˆ โ„•0
32nn0rei 12431 . . . . . . 7 ๐ต โˆˆ โ„
4 dpmul1000.c . . . . . . . . 9 ๐ถ โˆˆ โ„•0
54nn0rei 12431 . . . . . . . 8 ๐ถ โˆˆ โ„
6 dpmul1000.d . . . . . . . 8 ๐ท โˆˆ โ„
7 dp2cl 31778 . . . . . . . 8 ((๐ถ โˆˆ โ„ โˆง ๐ท โˆˆ โ„) โ†’ ๐ถ๐ท โˆˆ โ„)
85, 6, 7mp2an 691 . . . . . . 7 ๐ถ๐ท โˆˆ โ„
9 dp2cl 31778 . . . . . . 7 ((๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ๐ท โˆˆ โ„) โ†’ ๐ต๐ถ๐ท โˆˆ โ„)
103, 8, 9mp2an 691 . . . . . 6 ๐ต๐ถ๐ท โˆˆ โ„
11 dpcl 31789 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต๐ถ๐ท โˆˆ โ„) โ†’ (๐ด.๐ต๐ถ๐ท) โˆˆ โ„)
121, 10, 11mp2an 691 . . . . 5 (๐ด.๐ต๐ถ๐ท) โˆˆ โ„
1312recni 11176 . . . 4 (๐ด.๐ต๐ถ๐ท) โˆˆ โ„‚
14 10nn0 12643 . . . . . 6 10 โˆˆ โ„•0
15 0nn0 12435 . . . . . 6 0 โˆˆ โ„•0
1614, 15deccl 12640 . . . . 5 100 โˆˆ โ„•0
1716nn0cni 12432 . . . 4 100 โˆˆ โ„‚
1814nn0cni 12432 . . . 4 10 โˆˆ โ„‚
1913, 17, 18mulassi 11173 . . 3 (((๐ด.๐ต๐ถ๐ท) ยท 100) ยท 10) = ((๐ด.๐ต๐ถ๐ท) ยท (100 ยท 10))
201, 2, 8dpmul100 31795 . . . 4 ((๐ด.๐ต๐ถ๐ท) ยท 100) = ๐ด๐ต๐ถ๐ท
2120oveq1i 7372 . . 3 (((๐ด.๐ต๐ถ๐ท) ยท 100) ยท 10) = (๐ด๐ต๐ถ๐ท ยท 10)
2216dec0u 12646 . . . . 5 (10 ยท 100) = 1000
2318, 17, 22mulcomli 11171 . . . 4 (100 ยท 10) = 1000
2423oveq2i 7373 . . 3 ((๐ด.๐ต๐ถ๐ท) ยท (100 ยท 10)) = ((๐ด.๐ต๐ถ๐ท) ยท 1000)
2519, 21, 243eqtr3i 2773 . 2 (๐ด๐ต๐ถ๐ท ยท 10) = ((๐ด.๐ต๐ถ๐ท) ยท 1000)
26 dfdec10 12628 . . . 4 ๐ด๐ต๐ถ๐ท = ((10 ยท ๐ด๐ต) + ๐ถ๐ท)
2726oveq1i 7372 . . 3 (๐ด๐ต๐ถ๐ท ยท 10) = (((10 ยท ๐ด๐ต) + ๐ถ๐ท) ยท 10)
281, 2deccl 12640 . . . . . 6 ๐ด๐ต โˆˆ โ„•0
2928nn0cni 12432 . . . . 5 ๐ด๐ต โˆˆ โ„‚
3018, 29mulcli 11169 . . . 4 (10 ยท ๐ด๐ต) โˆˆ โ„‚
318recni 11176 . . . 4 ๐ถ๐ท โˆˆ โ„‚
3230, 31, 18adddiri 11175 . . 3 (((10 ยท ๐ด๐ต) + ๐ถ๐ท) ยท 10) = (((10 ยท ๐ด๐ต) ยท 10) + (๐ถ๐ท ยท 10))
3328, 4, 6dfdec100 31768 . . . 4 ๐ด๐ต๐ถ๐ท = ((100 ยท ๐ด๐ต) + ๐ถ๐ท)
3414dec0u 12646 . . . . . . 7 (10 ยท 10) = 100
3534oveq1i 7372 . . . . . 6 ((10 ยท 10) ยท ๐ด๐ต) = (100 ยท ๐ด๐ต)
3618, 18, 29mul32i 11358 . . . . . 6 ((10 ยท 10) ยท ๐ด๐ต) = ((10 ยท ๐ด๐ต) ยท 10)
3735, 36eqtr3i 2767 . . . . 5 (100 ยท ๐ด๐ต) = ((10 ยท ๐ด๐ต) ยท 10)
384, 6dpmul10 31793 . . . . . 6 ((๐ถ.๐ท) ยท 10) = ๐ถ๐ท
39 dpval 31788 . . . . . . . 8 ((๐ถ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ท โˆˆ โ„) โ†’ (๐ถ.๐ท) = ๐ถ๐ท)
404, 6, 39mp2an 691 . . . . . . 7 (๐ถ.๐ท) = ๐ถ๐ท
4140oveq1i 7372 . . . . . 6 ((๐ถ.๐ท) ยท 10) = (๐ถ๐ท ยท 10)
4238, 41eqtr3i 2767 . . . . 5 ๐ถ๐ท = (๐ถ๐ท ยท 10)
4337, 42oveq12i 7374 . . . 4 ((100 ยท ๐ด๐ต) + ๐ถ๐ท) = (((10 ยท ๐ด๐ต) ยท 10) + (๐ถ๐ท ยท 10))
4433, 43eqtr2i 2766 . . 3 (((10 ยท ๐ด๐ต) ยท 10) + (๐ถ๐ท ยท 10)) = ๐ด๐ต๐ถ๐ท
4527, 32, 443eqtri 2769 . 2 (๐ด๐ต๐ถ๐ท ยท 10) = ๐ด๐ต๐ถ๐ท
4625, 45eqtr3i 2767 1 ((๐ด.๐ต๐ถ๐ท) ยท 1000) = ๐ด๐ต๐ถ๐ท
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107  (class class class)co 7362  โ„cr 11057  0cc0 11058  1c1 11059   + caddc 11061   ยท cmul 11063  โ„•0cn0 12420  cdc 12625  cdp2 31769  .cdp 31786
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-er 8655  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-div 11820  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-4 12225  df-5 12226  df-6 12227  df-7 12228  df-8 12229  df-9 12230  df-n0 12421  df-dec 12626  df-dp2 31770  df-dp 31787
This theorem is referenced by:  dpmul4  31812
  Copyright terms: Public domain W3C validator