Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dpmul1000 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dpmul1000 32865
Description: Multiply by 1000 a decimal expansion. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Dec-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
dpmul1000.a 𝐴 ∈ ℕ0
dpmul1000.b 𝐵 ∈ ℕ0
dpmul1000.c 𝐶 ∈ ℕ0
dpmul1000.d 𝐷 ∈ ℝ
Assertion
Ref Expression
dpmul1000 ((𝐴.𝐵𝐶𝐷) · 1000) = 𝐴𝐵𝐶𝐷

Proof of Theorem dpmul1000
StepHypRef Expression
1 dpmul1000.a . . . . . 6 𝐴 ∈ ℕ0
2 dpmul1000.b . . . . . . . 8 𝐵 ∈ ℕ0
32nn0rei 12534 . . . . . . 7 𝐵 ∈ ℝ
4 dpmul1000.c . . . . . . . . 9 𝐶 ∈ ℕ0
54nn0rei 12534 . . . . . . . 8 𝐶 ∈ ℝ
6 dpmul1000.d . . . . . . . 8 𝐷 ∈ ℝ
7 dp2cl 32846 . . . . . . . 8 ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ) → 𝐶𝐷 ∈ ℝ)
85, 6, 7mp2an 692 . . . . . . 7 𝐶𝐷 ∈ ℝ
9 dp2cl 32846 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶𝐷 ∈ ℝ) → 𝐵𝐶𝐷 ∈ ℝ)
103, 8, 9mp2an 692 . . . . . 6 𝐵𝐶𝐷 ∈ ℝ
11 dpcl 32857 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵𝐶𝐷 ∈ ℝ) → (𝐴.𝐵𝐶𝐷) ∈ ℝ)
121, 10, 11mp2an 692 . . . . 5 (𝐴.𝐵𝐶𝐷) ∈ ℝ
1312recni 11272 . . . 4 (𝐴.𝐵𝐶𝐷) ∈ ℂ
14 10nn0 12748 . . . . . 6 10 ∈ ℕ0
15 0nn0 12538 . . . . . 6 0 ∈ ℕ0
1614, 15deccl 12745 . . . . 5 100 ∈ ℕ0
1716nn0cni 12535 . . . 4 100 ∈ ℂ
1814nn0cni 12535 . . . 4 10 ∈ ℂ
1913, 17, 18mulassi 11269 . . 3 (((𝐴.𝐵𝐶𝐷) · 100) · 10) = ((𝐴.𝐵𝐶𝐷) · (100 · 10))
201, 2, 8dpmul100 32863 . . . 4 ((𝐴.𝐵𝐶𝐷) · 100) = 𝐴𝐵𝐶𝐷
2120oveq1i 7440 . . 3 (((𝐴.𝐵𝐶𝐷) · 100) · 10) = (𝐴𝐵𝐶𝐷 · 10)
2216dec0u 12751 . . . . 5 (10 · 100) = 1000
2318, 17, 22mulcomli 11267 . . . 4 (100 · 10) = 1000
2423oveq2i 7441 . . 3 ((𝐴.𝐵𝐶𝐷) · (100 · 10)) = ((𝐴.𝐵𝐶𝐷) · 1000)
2519, 21, 243eqtr3i 2770 . 2 (𝐴𝐵𝐶𝐷 · 10) = ((𝐴.𝐵𝐶𝐷) · 1000)
26 dfdec10 12733 . . . 4 𝐴𝐵𝐶𝐷 = ((10 · 𝐴𝐵) + 𝐶𝐷)
2726oveq1i 7440 . . 3 (𝐴𝐵𝐶𝐷 · 10) = (((10 · 𝐴𝐵) + 𝐶𝐷) · 10)
281, 2deccl 12745 . . . . . 6 𝐴𝐵 ∈ ℕ0
2928nn0cni 12535 . . . . 5 𝐴𝐵 ∈ ℂ
3018, 29mulcli 11265 . . . 4 (10 · 𝐴𝐵) ∈ ℂ
318recni 11272 . . . 4 𝐶𝐷 ∈ ℂ
3230, 31, 18adddiri 11271 . . 3 (((10 · 𝐴𝐵) + 𝐶𝐷) · 10) = (((10 · 𝐴𝐵) · 10) + (𝐶𝐷 · 10))
3328, 4, 6dfdec100 32836 . . . 4 𝐴𝐵𝐶𝐷 = ((100 · 𝐴𝐵) + 𝐶𝐷)
3414dec0u 12751 . . . . . . 7 (10 · 10) = 100
3534oveq1i 7440 . . . . . 6 ((10 · 10) · 𝐴𝐵) = (100 · 𝐴𝐵)
3618, 18, 29mul32i 11454 . . . . . 6 ((10 · 10) · 𝐴𝐵) = ((10 · 𝐴𝐵) · 10)
3735, 36eqtr3i 2764 . . . . 5 (100 · 𝐴𝐵) = ((10 · 𝐴𝐵) · 10)
384, 6dpmul10 32861 . . . . . 6 ((𝐶.𝐷) · 10) = 𝐶𝐷
39 dpval 32856 . . . . . . . 8 ((𝐶 ∈ ℕ0𝐷 ∈ ℝ) → (𝐶.𝐷) = 𝐶𝐷)
404, 6, 39mp2an 692 . . . . . . 7 (𝐶.𝐷) = 𝐶𝐷
4140oveq1i 7440 . . . . . 6 ((𝐶.𝐷) · 10) = (𝐶𝐷 · 10)
4238, 41eqtr3i 2764 . . . . 5 𝐶𝐷 = (𝐶𝐷 · 10)
4337, 42oveq12i 7442 . . . 4 ((100 · 𝐴𝐵) + 𝐶𝐷) = (((10 · 𝐴𝐵) · 10) + (𝐶𝐷 · 10))
4433, 43eqtr2i 2763 . . 3 (((10 · 𝐴𝐵) · 10) + (𝐶𝐷 · 10)) = 𝐴𝐵𝐶𝐷
4527, 32, 443eqtri 2766 . 2 (𝐴𝐵𝐶𝐷 · 10) = 𝐴𝐵𝐶𝐷
4625, 45eqtr3i 2764 1 ((𝐴.𝐵𝐶𝐷) · 1000) = 𝐴𝐵𝐶𝐷
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1536  wcel 2105  (class class class)co 7430  cr 11151  0cc0 11152  1c1 11153   + caddc 11155   · cmul 11157  0cn0 12523  cdc 12730  cdp2 32837  .cdp 32854
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7887  df-2nd 8013  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-er 8743  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-div 11918  df-nn 12264  df-2 12326  df-3 12327  df-4 12328  df-5 12329  df-6 12330  df-7 12331  df-8 12332  df-9 12333  df-n0 12524  df-dec 12731  df-dp2 32838  df-dp 32855
This theorem is referenced by:  dpmul4  32880
  Copyright terms: Public domain W3C validator