Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dpmul1000 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dpmul1000 32667
Description: Multiply by 1000 a decimal expansion. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Dec-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
dpmul1000.a ๐ด โˆˆ โ„•0
dpmul1000.b ๐ต โˆˆ โ„•0
dpmul1000.c ๐ถ โˆˆ โ„•0
dpmul1000.d ๐ท โˆˆ โ„
Assertion
Ref Expression
dpmul1000 ((๐ด.๐ต๐ถ๐ท) ยท 1000) = ๐ด๐ต๐ถ๐ท

Proof of Theorem dpmul1000
StepHypRef Expression
1 dpmul1000.a . . . . . 6 ๐ด โˆˆ โ„•0
2 dpmul1000.b . . . . . . . 8 ๐ต โˆˆ โ„•0
32nn0rei 12513 . . . . . . 7 ๐ต โˆˆ โ„
4 dpmul1000.c . . . . . . . . 9 ๐ถ โˆˆ โ„•0
54nn0rei 12513 . . . . . . . 8 ๐ถ โˆˆ โ„
6 dpmul1000.d . . . . . . . 8 ๐ท โˆˆ โ„
7 dp2cl 32648 . . . . . . . 8 ((๐ถ โˆˆ โ„ โˆง ๐ท โˆˆ โ„) โ†’ ๐ถ๐ท โˆˆ โ„)
85, 6, 7mp2an 690 . . . . . . 7 ๐ถ๐ท โˆˆ โ„
9 dp2cl 32648 . . . . . . 7 ((๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ๐ท โˆˆ โ„) โ†’ ๐ต๐ถ๐ท โˆˆ โ„)
103, 8, 9mp2an 690 . . . . . 6 ๐ต๐ถ๐ท โˆˆ โ„
11 dpcl 32659 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต๐ถ๐ท โˆˆ โ„) โ†’ (๐ด.๐ต๐ถ๐ท) โˆˆ โ„)
121, 10, 11mp2an 690 . . . . 5 (๐ด.๐ต๐ถ๐ท) โˆˆ โ„
1312recni 11258 . . . 4 (๐ด.๐ต๐ถ๐ท) โˆˆ โ„‚
14 10nn0 12725 . . . . . 6 10 โˆˆ โ„•0
15 0nn0 12517 . . . . . 6 0 โˆˆ โ„•0
1614, 15deccl 12722 . . . . 5 100 โˆˆ โ„•0
1716nn0cni 12514 . . . 4 100 โˆˆ โ„‚
1814nn0cni 12514 . . . 4 10 โˆˆ โ„‚
1913, 17, 18mulassi 11255 . . 3 (((๐ด.๐ต๐ถ๐ท) ยท 100) ยท 10) = ((๐ด.๐ต๐ถ๐ท) ยท (100 ยท 10))
201, 2, 8dpmul100 32665 . . . 4 ((๐ด.๐ต๐ถ๐ท) ยท 100) = ๐ด๐ต๐ถ๐ท
2120oveq1i 7426 . . 3 (((๐ด.๐ต๐ถ๐ท) ยท 100) ยท 10) = (๐ด๐ต๐ถ๐ท ยท 10)
2216dec0u 12728 . . . . 5 (10 ยท 100) = 1000
2318, 17, 22mulcomli 11253 . . . 4 (100 ยท 10) = 1000
2423oveq2i 7427 . . 3 ((๐ด.๐ต๐ถ๐ท) ยท (100 ยท 10)) = ((๐ด.๐ต๐ถ๐ท) ยท 1000)
2519, 21, 243eqtr3i 2761 . 2 (๐ด๐ต๐ถ๐ท ยท 10) = ((๐ด.๐ต๐ถ๐ท) ยท 1000)
26 dfdec10 12710 . . . 4 ๐ด๐ต๐ถ๐ท = ((10 ยท ๐ด๐ต) + ๐ถ๐ท)
2726oveq1i 7426 . . 3 (๐ด๐ต๐ถ๐ท ยท 10) = (((10 ยท ๐ด๐ต) + ๐ถ๐ท) ยท 10)
281, 2deccl 12722 . . . . . 6 ๐ด๐ต โˆˆ โ„•0
2928nn0cni 12514 . . . . 5 ๐ด๐ต โˆˆ โ„‚
3018, 29mulcli 11251 . . . 4 (10 ยท ๐ด๐ต) โˆˆ โ„‚
318recni 11258 . . . 4 ๐ถ๐ท โˆˆ โ„‚
3230, 31, 18adddiri 11257 . . 3 (((10 ยท ๐ด๐ต) + ๐ถ๐ท) ยท 10) = (((10 ยท ๐ด๐ต) ยท 10) + (๐ถ๐ท ยท 10))
3328, 4, 6dfdec100 32638 . . . 4 ๐ด๐ต๐ถ๐ท = ((100 ยท ๐ด๐ต) + ๐ถ๐ท)
3414dec0u 12728 . . . . . . 7 (10 ยท 10) = 100
3534oveq1i 7426 . . . . . 6 ((10 ยท 10) ยท ๐ด๐ต) = (100 ยท ๐ด๐ต)
3618, 18, 29mul32i 11440 . . . . . 6 ((10 ยท 10) ยท ๐ด๐ต) = ((10 ยท ๐ด๐ต) ยท 10)
3735, 36eqtr3i 2755 . . . . 5 (100 ยท ๐ด๐ต) = ((10 ยท ๐ด๐ต) ยท 10)
384, 6dpmul10 32663 . . . . . 6 ((๐ถ.๐ท) ยท 10) = ๐ถ๐ท
39 dpval 32658 . . . . . . . 8 ((๐ถ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ท โˆˆ โ„) โ†’ (๐ถ.๐ท) = ๐ถ๐ท)
404, 6, 39mp2an 690 . . . . . . 7 (๐ถ.๐ท) = ๐ถ๐ท
4140oveq1i 7426 . . . . . 6 ((๐ถ.๐ท) ยท 10) = (๐ถ๐ท ยท 10)
4238, 41eqtr3i 2755 . . . . 5 ๐ถ๐ท = (๐ถ๐ท ยท 10)
4337, 42oveq12i 7428 . . . 4 ((100 ยท ๐ด๐ต) + ๐ถ๐ท) = (((10 ยท ๐ด๐ต) ยท 10) + (๐ถ๐ท ยท 10))
4433, 43eqtr2i 2754 . . 3 (((10 ยท ๐ด๐ต) ยท 10) + (๐ถ๐ท ยท 10)) = ๐ด๐ต๐ถ๐ท
4527, 32, 443eqtri 2757 . 2 (๐ด๐ต๐ถ๐ท ยท 10) = ๐ด๐ต๐ถ๐ท
4625, 45eqtr3i 2755 1 ((๐ด.๐ต๐ถ๐ท) ยท 1000) = ๐ด๐ต๐ถ๐ท
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098  (class class class)co 7416  โ„cr 11137  0cc0 11138  1c1 11139   + caddc 11141   ยท cmul 11143  โ„•0cn0 12502  cdc 12707  cdp2 32639  .cdp 32656
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7738  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-pss 3959  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7869  df-2nd 7992  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-er 8723  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-div 11902  df-nn 12243  df-2 12305  df-3 12306  df-4 12307  df-5 12308  df-6 12309  df-7 12310  df-8 12311  df-9 12312  df-n0 12503  df-dec 12708  df-dp2 32640  df-dp 32657
This theorem is referenced by:  dpmul4  32682
  Copyright terms: Public domain W3C validator