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Theorem log2ub 25526
 Description: log2 is less than 253 / 365. If written in decimal, this is because log2 = 0.693147... is less than 253/365 = 0.693151... , so this is a very tight bound, at five decimal places. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Apr-2015.) (Proof shortened by AV, 16-Sep-2021.)
Assertion
Ref Expression
log2ub (log‘2) < (253 / 365)

Proof of Theorem log2ub
StepHypRef Expression
1 4m1e3 11765 . . . . . . . . 9 (4 − 1) = 3
21oveq2i 7166 . . . . . . . 8 (0...(4 − 1)) = (0...3)
32sumeq1i 15054 . . . . . . 7 Σ𝑛 ∈ (0...(4 − 1))(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛))) = Σ𝑛 ∈ (0...3)(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛)))
43oveq2i 7166 . . . . . 6 ((log‘2) − Σ𝑛 ∈ (0...(4 − 1))(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛)))) = ((log‘2) − Σ𝑛 ∈ (0...3)(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛))))
5 4nn0 11915 . . . . . . 7 4 ∈ ℕ0
6 log2tlbnd 25522 . . . . . . 7 (4 ∈ ℕ0 → ((log‘2) − Σ𝑛 ∈ (0...(4 − 1))(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛)))) ∈ (0[,](3 / ((4 · ((2 · 4) + 1)) · (9↑4)))))
75, 6ax-mp 5 . . . . . 6 ((log‘2) − Σ𝑛 ∈ (0...(4 − 1))(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛)))) ∈ (0[,](3 / ((4 · ((2 · 4) + 1)) · (9↑4))))
84, 7eqeltrri 2910 . . . . 5 ((log‘2) − Σ𝑛 ∈ (0...3)(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛)))) ∈ (0[,](3 / ((4 · ((2 · 4) + 1)) · (9↑4))))
9 0re 10642 . . . . . 6 0 ∈ ℝ
10 3re 11716 . . . . . . 7 3 ∈ ℝ
11 4nn 11719 . . . . . . . . 9 4 ∈ ℕ
12 2nn0 11913 . . . . . . . . . 10 2 ∈ ℕ0
13 1nn 11648 . . . . . . . . . 10 1 ∈ ℕ
1412, 5, 13numnncl 12107 . . . . . . . . 9 ((2 · 4) + 1) ∈ ℕ
1511, 14nnmulcli 11661 . . . . . . . 8 (4 · ((2 · 4) + 1)) ∈ ℕ
16 9nn 11734 . . . . . . . . 9 9 ∈ ℕ
17 nnexpcl 13441 . . . . . . . . 9 ((9 ∈ ℕ ∧ 4 ∈ ℕ0) → (9↑4) ∈ ℕ)
1816, 5, 17mp2an 690 . . . . . . . 8 (9↑4) ∈ ℕ
1915, 18nnmulcli 11661 . . . . . . 7 ((4 · ((2 · 4) + 1)) · (9↑4)) ∈ ℕ
20 nndivre 11677 . . . . . . 7 ((3 ∈ ℝ ∧ ((4 · ((2 · 4) + 1)) · (9↑4)) ∈ ℕ) → (3 / ((4 · ((2 · 4) + 1)) · (9↑4))) ∈ ℝ)
2110, 19, 20mp2an 690 . . . . . 6 (3 / ((4 · ((2 · 4) + 1)) · (9↑4))) ∈ ℝ
229, 21elicc2i 12801 . . . . 5 (((log‘2) − Σ𝑛 ∈ (0...3)(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛)))) ∈ (0[,](3 / ((4 · ((2 · 4) + 1)) · (9↑4)))) ↔ (((log‘2) − Σ𝑛 ∈ (0...3)(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛)))) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ((log‘2) − Σ𝑛 ∈ (0...3)(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛)))) ∧ ((log‘2) − Σ𝑛 ∈ (0...3)(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛)))) ≤ (3 / ((4 · ((2 · 4) + 1)) · (9↑4)))))
238, 22mpbi 232 . . . 4 (((log‘2) − Σ𝑛 ∈ (0...3)(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛)))) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ((log‘2) − Σ𝑛 ∈ (0...3)(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛)))) ∧ ((log‘2) − Σ𝑛 ∈ (0...3)(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛)))) ≤ (3 / ((4 · ((2 · 4) + 1)) · (9↑4))))
2423simp3i 1137 . . 3 ((log‘2) − Σ𝑛 ∈ (0...3)(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛)))) ≤ (3 / ((4 · ((2 · 4) + 1)) · (9↑4)))
25 2rp 12393 . . . . 5 2 ∈ ℝ+
26 relogcl 25158 . . . . 5 (2 ∈ ℝ+ → (log‘2) ∈ ℝ)
2725, 26ax-mp 5 . . . 4 (log‘2) ∈ ℝ
28 fzfid 13340 . . . . . 6 (⊤ → (0...3) ∈ Fin)
29 2re 11710 . . . . . . 7 2 ∈ ℝ
30 3nn 11715 . . . . . . . . 9 3 ∈ ℕ
31 elfznn0 12999 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ (0...3) → 𝑛 ∈ ℕ0)
3231adantl 484 . . . . . . . . . . 11 ((⊤ ∧ 𝑛 ∈ (0...3)) → 𝑛 ∈ ℕ0)
33 nn0mulcl 11932 . . . . . . . . . . 11 ((2 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0) → (2 · 𝑛) ∈ ℕ0)
3412, 32, 33sylancr 589 . . . . . . . . . 10 ((⊤ ∧ 𝑛 ∈ (0...3)) → (2 · 𝑛) ∈ ℕ0)
35 nn0p1nn 11935 . . . . . . . . . 10 ((2 · 𝑛) ∈ ℕ0 → ((2 · 𝑛) + 1) ∈ ℕ)
3634, 35syl 17 . . . . . . . . 9 ((⊤ ∧ 𝑛 ∈ (0...3)) → ((2 · 𝑛) + 1) ∈ ℕ)
37 nnmulcl 11660 . . . . . . . . 9 ((3 ∈ ℕ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) ∈ ℕ) → (3 · ((2 · 𝑛) + 1)) ∈ ℕ)
3830, 36, 37sylancr 589 . . . . . . . 8 ((⊤ ∧ 𝑛 ∈ (0...3)) → (3 · ((2 · 𝑛) + 1)) ∈ ℕ)
39 nnexpcl 13441 . . . . . . . . 9 ((9 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (9↑𝑛) ∈ ℕ)
4016, 32, 39sylancr 589 . . . . . . . 8 ((⊤ ∧ 𝑛 ∈ (0...3)) → (9↑𝑛) ∈ ℕ)
4138, 40nnmulcld 11689 . . . . . . 7 ((⊤ ∧ 𝑛 ∈ (0...3)) → ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛)) ∈ ℕ)
42 nndivre 11677 . . . . . . 7 ((2 ∈ ℝ ∧ ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛)) ∈ ℕ) → (2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛))) ∈ ℝ)
4329, 41, 42sylancr 589 . . . . . 6 ((⊤ ∧ 𝑛 ∈ (0...3)) → (2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛))) ∈ ℝ)
4428, 43fsumrecl 15090 . . . . 5 (⊤ → Σ𝑛 ∈ (0...3)(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛))) ∈ ℝ)
4544mptru 1540 . . . 4 Σ𝑛 ∈ (0...3)(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛))) ∈ ℝ
4627, 45, 21lesubadd2i 11199 . . 3 (((log‘2) − Σ𝑛 ∈ (0...3)(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛)))) ≤ (3 / ((4 · ((2 · 4) + 1)) · (9↑4))) ↔ (log‘2) ≤ (Σ𝑛 ∈ (0...3)(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛))) + (3 / ((4 · ((2 · 4) + 1)) · (9↑4)))))
4724, 46mpbi 232 . 2 (log‘2) ≤ (Σ𝑛 ∈ (0...3)(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛))) + (3 / ((4 · ((2 · 4) + 1)) · (9↑4))))
48 log2ublem3 25525 . . . . 5 (((3↑7) · (5 · 7)) · Σ𝑛 ∈ (0...3)(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛)))) ≤ 53056
49 3nn0 11914 . . . . 5 3 ∈ ℕ0
50 5nn0 11916 . . . . . . . . 9 5 ∈ ℕ0
5150, 49deccl 12112 . . . . . . . 8 53 ∈ ℕ0
52 0nn0 11911 . . . . . . . 8 0 ∈ ℕ0
5351, 52deccl 12112 . . . . . . 7 530 ∈ ℕ0
5453, 50deccl 12112 . . . . . 6 5305 ∈ ℕ0
55 6nn0 11917 . . . . . 6 6 ∈ ℕ0
5654, 55deccl 12112 . . . . 5 53056 ∈ ℕ0
57 1nn0 11912 . . . . 5 1 ∈ ℕ0
58 eqid 2821 . . . . 5 𝑛 ∈ (0...3)(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛))) + (3 / ((4 · ((2 · 4) + 1)) · (9↑4)))) = (Σ𝑛 ∈ (0...3)(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛))) + (3 / ((4 · ((2 · 4) + 1)) · (9↑4))))
59 6p1e7 11784 . . . . . 6 (6 + 1) = 7
60 eqid 2821 . . . . . 6 53056 = 53056
6154, 55, 59, 60decsuc 12128 . . . . 5 (53056 + 1) = 53057
62 5nn 11722 . . . . . . . . . 10 5 ∈ ℕ
63 7nn 11728 . . . . . . . . . 10 7 ∈ ℕ
6462, 63nnmulcli 11661 . . . . . . . . 9 (5 · 7) ∈ ℕ
6564nnrei 11646 . . . . . . . 8 (5 · 7) ∈ ℝ
6615nnrei 11646 . . . . . . . 8 (4 · ((2 · 4) + 1)) ∈ ℝ
67 6nn 11725 . . . . . . . . . 10 6 ∈ ℕ
68 5lt6 11817 . . . . . . . . . 10 5 < 6
6949, 50, 67, 68declt 12125 . . . . . . . . 9 35 < 36
70 7cn 11730 . . . . . . . . . 10 7 ∈ ℂ
71 5cn 11724 . . . . . . . . . 10 5 ∈ ℂ
72 7t5e35 12209 . . . . . . . . . 10 (7 · 5) = 35
7370, 71, 72mulcomli 10649 . . . . . . . . 9 (5 · 7) = 35
74 4cn 11721 . . . . . . . . . . . . . 14 4 ∈ ℂ
75 2cn 11711 . . . . . . . . . . . . . 14 2 ∈ ℂ
76 4t2e8 11804 . . . . . . . . . . . . . 14 (4 · 2) = 8
7774, 75, 76mulcomli 10649 . . . . . . . . . . . . 13 (2 · 4) = 8
7877oveq1i 7165 . . . . . . . . . . . 12 ((2 · 4) + 1) = (8 + 1)
79 8p1e9 11786 . . . . . . . . . . . 12 (8 + 1) = 9
8078, 79eqtri 2844 . . . . . . . . . . 11 ((2 · 4) + 1) = 9
8180oveq2i 7166 . . . . . . . . . 10 (4 · ((2 · 4) + 1)) = (4 · 9)
82 9cn 11736 . . . . . . . . . . 11 9 ∈ ℂ
83 9t4e36 12221 . . . . . . . . . . 11 (9 · 4) = 36
8482, 74, 83mulcomli 10649 . . . . . . . . . 10 (4 · 9) = 36
8581, 84eqtri 2844 . . . . . . . . 9 (4 · ((2 · 4) + 1)) = 36
8669, 73, 853brtr4i 5095 . . . . . . . 8 (5 · 7) < (4 · ((2 · 4) + 1))
8765, 66, 86ltleii 10762 . . . . . . 7 (5 · 7) ≤ (4 · ((2 · 4) + 1))
8818nngt0i 11675 . . . . . . . 8 0 < (9↑4)
8918nnrei 11646 . . . . . . . . 9 (9↑4) ∈ ℝ
9065, 66, 89lemul2i 11562 . . . . . . . 8 (0 < (9↑4) → ((5 · 7) ≤ (4 · ((2 · 4) + 1)) ↔ ((9↑4) · (5 · 7)) ≤ ((9↑4) · (4 · ((2 · 4) + 1)))))
9188, 90ax-mp 5 . . . . . . 7 ((5 · 7) ≤ (4 · ((2 · 4) + 1)) ↔ ((9↑4) · (5 · 7)) ≤ ((9↑4) · (4 · ((2 · 4) + 1))))
9287, 91mpbi 232 . . . . . 6 ((9↑4) · (5 · 7)) ≤ ((9↑4) · (4 · ((2 · 4) + 1)))
93 7nn0 11918 . . . . . . . . . 10 7 ∈ ℕ0
94 nnexpcl 13441 . . . . . . . . . 10 ((3 ∈ ℕ ∧ 7 ∈ ℕ0) → (3↑7) ∈ ℕ)
9530, 93, 94mp2an 690 . . . . . . . . 9 (3↑7) ∈ ℕ
9695nncni 11647 . . . . . . . 8 (3↑7) ∈ ℂ
9764nncni 11647 . . . . . . . 8 (5 · 7) ∈ ℂ
98 3cn 11717 . . . . . . . 8 3 ∈ ℂ
9996, 97, 98mul32i 10835 . . . . . . 7 (((3↑7) · (5 · 7)) · 3) = (((3↑7) · 3) · (5 · 7))
10074, 75mulcomi 10648 . . . . . . . . . . . 12 (4 · 2) = (2 · 4)
101 df-8 11705 . . . . . . . . . . . 12 8 = (7 + 1)
10276, 100, 1013eqtr3i 2852 . . . . . . . . . . 11 (2 · 4) = (7 + 1)
103102oveq2i 7166 . . . . . . . . . 10 (3↑(2 · 4)) = (3↑(7 + 1))
104 expmul 13473 . . . . . . . . . . 11 ((3 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℕ0 ∧ 4 ∈ ℕ0) → (3↑(2 · 4)) = ((3↑2)↑4))
10598, 12, 5, 104mp3an 1457 . . . . . . . . . 10 (3↑(2 · 4)) = ((3↑2)↑4)
106103, 105eqtr3i 2846 . . . . . . . . 9 (3↑(7 + 1)) = ((3↑2)↑4)
107 expp1 13435 . . . . . . . . . 10 ((3 ∈ ℂ ∧ 7 ∈ ℕ0) → (3↑(7 + 1)) = ((3↑7) · 3))
10898, 93, 107mp2an 690 . . . . . . . . 9 (3↑(7 + 1)) = ((3↑7) · 3)
109 sq3 13560 . . . . . . . . . 10 (3↑2) = 9
110109oveq1i 7165 . . . . . . . . 9 ((3↑2)↑4) = (9↑4)
111106, 108, 1103eqtr3i 2852 . . . . . . . 8 ((3↑7) · 3) = (9↑4)
112111oveq1i 7165 . . . . . . 7 (((3↑7) · 3) · (5 · 7)) = ((9↑4) · (5 · 7))
11399, 112eqtri 2844 . . . . . 6 (((3↑7) · (5 · 7)) · 3) = ((9↑4) · (5 · 7))
11415nncni 11647 . . . . . . . . 9 (4 · ((2 · 4) + 1)) ∈ ℂ
11518nncni 11647 . . . . . . . . 9 (9↑4) ∈ ℂ
116114, 115mulcomi 10648 . . . . . . . 8 ((4 · ((2 · 4) + 1)) · (9↑4)) = ((9↑4) · (4 · ((2 · 4) + 1)))
117116oveq1i 7165 . . . . . . 7 (((4 · ((2 · 4) + 1)) · (9↑4)) · 1) = (((9↑4) · (4 · ((2 · 4) + 1))) · 1)
118115, 114mulcli 10647 . . . . . . . 8 ((9↑4) · (4 · ((2 · 4) + 1))) ∈ ℂ
119118mulid1i 10644 . . . . . . 7 (((9↑4) · (4 · ((2 · 4) + 1))) · 1) = ((9↑4) · (4 · ((2 · 4) + 1)))
120117, 119eqtri 2844 . . . . . 6 (((4 · ((2 · 4) + 1)) · (9↑4)) · 1) = ((9↑4) · (4 · ((2 · 4) + 1)))
12192, 113, 1203brtr4i 5095 . . . . 5 (((3↑7) · (5 · 7)) · 3) ≤ (((4 · ((2 · 4) + 1)) · (9↑4)) · 1)
12248, 45, 49, 19, 56, 57, 58, 61, 121log2ublem1 25523 . . . 4 (((3↑7) · (5 · 7)) · (Σ𝑛 ∈ (0...3)(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛))) + (3 / ((4 · ((2 · 4) + 1)) · (9↑4))))) ≤ 53057
12345, 21readdcli 10655 . . . . 5 𝑛 ∈ (0...3)(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛))) + (3 / ((4 · ((2 · 4) + 1)) · (9↑4)))) ∈ ℝ
12454, 93deccl 12112 . . . . . 6 53057 ∈ ℕ0
125124nn0rei 11907 . . . . 5 53057 ∈ ℝ
12695, 64nnmulcli 11661 . . . . . . 7 ((3↑7) · (5 · 7)) ∈ ℕ
127126nnrei 11646 . . . . . 6 ((3↑7) · (5 · 7)) ∈ ℝ
128126nngt0i 11675 . . . . . 6 0 < ((3↑7) · (5 · 7))
129127, 128pm3.2i 473 . . . . 5 (((3↑7) · (5 · 7)) ∈ ℝ ∧ 0 < ((3↑7) · (5 · 7)))
130 lemuldiv2 11520 . . . . 5 (((Σ𝑛 ∈ (0...3)(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛))) + (3 / ((4 · ((2 · 4) + 1)) · (9↑4)))) ∈ ℝ ∧ 53057 ∈ ℝ ∧ (((3↑7) · (5 · 7)) ∈ ℝ ∧ 0 < ((3↑7) · (5 · 7)))) → ((((3↑7) · (5 · 7)) · (Σ𝑛 ∈ (0...3)(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛))) + (3 / ((4 · ((2 · 4) + 1)) · (9↑4))))) ≤ 53057 ↔ (Σ𝑛 ∈ (0...3)(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛))) + (3 / ((4 · ((2 · 4) + 1)) · (9↑4)))) ≤ (53057 / ((3↑7) · (5 · 7)))))
131123, 125, 129, 130mp3an 1457 . . . 4 ((((3↑7) · (5 · 7)) · (Σ𝑛 ∈ (0...3)(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛))) + (3 / ((4 · ((2 · 4) + 1)) · (9↑4))))) ≤ 53057 ↔ (Σ𝑛 ∈ (0...3)(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛))) + (3 / ((4 · ((2 · 4) + 1)) · (9↑4)))) ≤ (53057 / ((3↑7) · (5 · 7))))
132122, 131mpbi 232 . . 3 𝑛 ∈ (0...3)(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛))) + (3 / ((4 · ((2 · 4) + 1)) · (9↑4)))) ≤ (53057 / ((3↑7) · (5 · 7)))
133 8nn0 11919 . . . . . . . . . . . . 13 8 ∈ ℕ0
13449, 133deccl 12112 . . . . . . . . . . . 12 38 ∈ ℕ0
135134, 93deccl 12112 . . . . . . . . . . 11 387 ∈ ℕ0
136135, 49deccl 12112 . . . . . . . . . 10 3873 ∈ ℕ0
137136, 57deccl 12112 . . . . . . . . 9 38731 ∈ ℕ0
138137, 55deccl 12112 . . . . . . . 8 387316 ∈ ℕ0
139137, 93deccl 12112 . . . . . . . 8 387317 ∈ ℕ0
140 1lt10 12236 . . . . . . . 8 1 < 10
141 6lt7 11822 . . . . . . . . 9 6 < 7
142137, 55, 63, 141declt 12125 . . . . . . . 8 387316 < 387317
143138, 139, 57, 93, 140, 142decltc 12126 . . . . . . 7 3873161 < 3873177
144 eqid 2821 . . . . . . . 8 73 = 73
14557, 50deccl 12112 . . . . . . . . . . 11 15 ∈ ℕ0
146 9nn0 11920 . . . . . . . . . . 11 9 ∈ ℕ0
147145, 146deccl 12112 . . . . . . . . . 10 159 ∈ ℕ0
148147, 57deccl 12112 . . . . . . . . 9 1591 ∈ ℕ0
149148, 93deccl 12112 . . . . . . . 8 15917 ∈ ℕ0
150 eqid 2821 . . . . . . . . 9 53057 = 53057
151 eqid 2821 . . . . . . . . 9 15917 = 15917
152 eqid 2821 . . . . . . . . . 10 5305 = 5305
153 eqid 2821 . . . . . . . . . . 11 1591 = 1591
154 ax-1cn 10594 . . . . . . . . . . . 12 1 ∈ ℂ
155 5p1e6 11783 . . . . . . . . . . . 12 (5 + 1) = 6
15671, 154, 155addcomli 10831 . . . . . . . . . . 11 (1 + 5) = 6
157147, 57, 50, 153, 156decaddi 12157 . . . . . . . . . 10 (1591 + 5) = 1596
15857, 55deccl 12112 . . . . . . . . . . 11 16 ∈ ℕ0
159 eqid 2821 . . . . . . . . . . 11 530 = 530
160 eqid 2821 . . . . . . . . . . . 12 159 = 159
161 eqid 2821 . . . . . . . . . . . . 13 15 = 15
16257, 50, 155, 161decsuc 12128 . . . . . . . . . . . 12 (15 + 1) = 16
163 9p4e13 12186 . . . . . . . . . . . 12 (9 + 4) = 13
164145, 146, 5, 160, 162, 49, 163decaddci 12158 . . . . . . . . . . 11 (159 + 4) = 163
165 eqid 2821 . . . . . . . . . . . 12 53 = 53
166158nn0cni 11908 . . . . . . . . . . . . 13 16 ∈ ℂ
167166addid1i 10826 . . . . . . . . . . . 12 (16 + 0) = 16
168 1p2e3 11779 . . . . . . . . . . . . . 14 (1 + 2) = 3
169168oveq2i 7166 . . . . . . . . . . . . 13 ((5 · 7) + (1 + 2)) = ((5 · 7) + 3)
170 5p3e8 11793 . . . . . . . . . . . . . 14 (5 + 3) = 8
17149, 50, 49, 73, 170decaddi 12157 . . . . . . . . . . . . 13 ((5 · 7) + 3) = 38
172169, 171eqtri 2844 . . . . . . . . . . . 12 ((5 · 7) + (1 + 2)) = 38
173 7t3e21 12207 . . . . . . . . . . . . . 14 (7 · 3) = 21
17470, 98, 173mulcomli 10649 . . . . . . . . . . . . 13 (3 · 7) = 21
175 6cn 11727 . . . . . . . . . . . . . 14 6 ∈ ℂ
176175, 154, 59addcomli 10831 . . . . . . . . . . . . 13 (1 + 6) = 7
17712, 57, 55, 174, 176decaddi 12157 . . . . . . . . . . . 12 ((3 · 7) + 6) = 27
17850, 49, 57, 55, 165, 167, 93, 93, 12, 172, 177decmac 12149 . . . . . . . . . . 11 ((53 · 7) + (16 + 0)) = 387
17970mul02i 10828 . . . . . . . . . . . . 13 (0 · 7) = 0
180179oveq1i 7165 . . . . . . . . . . . 12 ((0 · 7) + 3) = (0 + 3)
18198addid2i 10827 . . . . . . . . . . . . 13 (0 + 3) = 3
18249dec0h 12119 . . . . . . . . . . . . 13 3 = 03
183181, 182eqtri 2844 . . . . . . . . . . . 12 (0 + 3) = 03
184180, 183eqtri 2844 . . . . . . . . . . 11 ((0 · 7) + 3) = 03
18551, 52, 158, 49, 159, 164, 93, 49, 52, 178, 184decmac 12149 . . . . . . . . . 10 ((530 · 7) + (159 + 4)) = 3873
186 3p1e4 11781 . . . . . . . . . . 11 (3 + 1) = 4
187 6p5e11 12170 . . . . . . . . . . . 12 (6 + 5) = 11
188175, 71, 187addcomli 10831 . . . . . . . . . . 11 (5 + 6) = 11
18949, 50, 55, 73, 186, 57, 188decaddci 12158 . . . . . . . . . 10 ((5 · 7) + 6) = 41
19053, 50, 147, 55, 152, 157, 93, 57, 5, 185, 189decmac 12149 . . . . . . . . 9 ((5305 · 7) + (1591 + 5)) = 38731
191 7t7e49 12211 . . . . . . . . . 10 (7 · 7) = 49
192 4p1e5 11782 . . . . . . . . . 10 (4 + 1) = 5
193 9p7e16 12189 . . . . . . . . . 10 (9 + 7) = 16
1945, 146, 93, 191, 192, 55, 193decaddci 12158 . . . . . . . . 9 ((7 · 7) + 7) = 56
19554, 93, 148, 93, 150, 151, 93, 55, 50, 190, 194decmac 12149 . . . . . . . 8 ((53057 · 7) + 15917) = 387316
19612dec0h 12119 . . . . . . . . . 10 2 = 02
197154addid2i 10827 . . . . . . . . . . . 12 (0 + 1) = 1
19857dec0h 12119 . . . . . . . . . . . 12 1 = 01
199197, 198eqtri 2844 . . . . . . . . . . 11 (0 + 1) = 01
200 00id 10814 . . . . . . . . . . . . 13 (0 + 0) = 0
20152dec0h 12119 . . . . . . . . . . . . 13 0 = 00
202200, 201eqtri 2844 . . . . . . . . . . . 12 (0 + 0) = 00
203 5t3e15 12198 . . . . . . . . . . . . . 14 (5 · 3) = 15
204203oveq1i 7165 . . . . . . . . . . . . 13 ((5 · 3) + 0) = (15 + 0)
205145nn0cni 11908 . . . . . . . . . . . . . 14 15 ∈ ℂ
206205addid1i 10826 . . . . . . . . . . . . 13 (15 + 0) = 15
207204, 206eqtri 2844 . . . . . . . . . . . 12 ((5 · 3) + 0) = 15
208 3t3e9 11803 . . . . . . . . . . . . . 14 (3 · 3) = 9
209208oveq1i 7165 . . . . . . . . . . . . 13 ((3 · 3) + 0) = (9 + 0)
21082addid1i 10826 . . . . . . . . . . . . 13 (9 + 0) = 9
211209, 210eqtri 2844 . . . . . . . . . . . 12 ((3 · 3) + 0) = 9
21250, 49, 52, 52, 165, 202, 49, 207, 211decma 12148 . . . . . . . . . . 11 ((53 · 3) + (0 + 0)) = 159
21398mul02i 10828 . . . . . . . . . . . . 13 (0 · 3) = 0
214213oveq1i 7165 . . . . . . . . . . . 12 ((0 · 3) + 1) = (0 + 1)
215214, 199eqtri 2844 . . . . . . . . . . 11 ((0 · 3) + 1) = 01
21651, 52, 52, 57, 159, 199, 49, 57, 52, 212, 215decmac 12149 . . . . . . . . . 10 ((530 · 3) + (0 + 1)) = 1591
217 5p2e7 11792 . . . . . . . . . . 11 (5 + 2) = 7
21857, 50, 12, 203, 217decaddi 12157 . . . . . . . . . 10 ((5 · 3) + 2) = 17
21953, 50, 52, 12, 152, 196, 49, 93, 57, 216, 218decmac 12149 . . . . . . . . 9 ((5305 · 3) + 2) = 15917
22049, 54, 93, 150, 57, 12, 219, 173decmul1c 12162 . . . . . . . 8 (53057 · 3) = 159171
221124, 93, 49, 144, 57, 149, 195, 220decmul2c 12163 . . . . . . 7 (53057 · 73) = 3873161
22250, 50deccl 12112 . . . . . . . . . . 11 55 ∈ ℕ0
223222, 49deccl 12112 . . . . . . . . . 10 553 ∈ ℕ0
224223, 49deccl 12112 . . . . . . . . 9 5533 ∈ ℕ0
225224, 57deccl 12112 . . . . . . . 8 55331 ∈ ℕ0
22612, 50deccl 12112 . . . . . . . . . 10 25 ∈ ℕ0
227226, 49deccl 12112 . . . . . . . . 9 253 ∈ ℕ0
22812, 57deccl 12112 . . . . . . . . . 10 21 ∈ ℕ0
229228, 133deccl 12112 . . . . . . . . 9 218 ∈ ℕ0
23093, 12deccl 12112 . . . . . . . . . . 11 72 ∈ ℕ0
231 3t2e6 11802 . . . . . . . . . . . . 13 (3 · 2) = 6
23298, 75, 231mulcomli 10649 . . . . . . . . . . . 12 (2 · 3) = 6
233 3exp3 16424 . . . . . . . . . . . 12 (3↑3) = 27
23412, 93deccl 12112 . . . . . . . . . . . . 13 27 ∈ ℕ0
235 eqid 2821 . . . . . . . . . . . . 13 27 = 27
23657, 133deccl 12112 . . . . . . . . . . . . 13 18 ∈ ℕ0
237 eqid 2821 . . . . . . . . . . . . . 14 18 = 18
238 2t2e4 11800 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (2 · 2) = 4
239238, 168oveq12i 7167 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((2 · 2) + (1 + 2)) = (4 + 3)
240 4p3e7 11790 . . . . . . . . . . . . . . 15 (4 + 3) = 7
241239, 240eqtri 2844 . . . . . . . . . . . . . 14 ((2 · 2) + (1 + 2)) = 7
242 7t2e14 12206 . . . . . . . . . . . . . . 15 (7 · 2) = 14
243 1p1e2 11761 . . . . . . . . . . . . . . 15 (1 + 1) = 2
244 8cn 11733 . . . . . . . . . . . . . . . 16 8 ∈ ℂ
245 8p4e12 12179 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (8 + 4) = 12
246244, 74, 245addcomli 10831 . . . . . . . . . . . . . . 15 (4 + 8) = 12
24757, 5, 133, 242, 243, 12, 246decaddci 12158 . . . . . . . . . . . . . 14 ((7 · 2) + 8) = 22
24812, 93, 57, 133, 235, 237, 12, 12, 12, 241, 247decmac 12149 . . . . . . . . . . . . 13 ((27 · 2) + 18) = 72
24970, 75, 242mulcomli 10649 . . . . . . . . . . . . . . 15 (2 · 7) = 14
250 4p4e8 11791 . . . . . . . . . . . . . . 15 (4 + 4) = 8
25157, 5, 5, 249, 250decaddi 12157 . . . . . . . . . . . . . 14 ((2 · 7) + 4) = 18
25293, 12, 93, 235, 146, 5, 251, 191decmul1c 12162 . . . . . . . . . . . . 13 (27 · 7) = 189
253234, 12, 93, 235, 146, 236, 248, 252decmul2c 12163 . . . . . . . . . . . 12 (27 · 27) = 729
25449, 49, 232, 233, 253numexp2x 16414 . . . . . . . . . . 11 (3↑6) = 729
255 eqid 2821 . . . . . . . . . . . 12 72 = 72
256232oveq1i 7165 . . . . . . . . . . . . 13 ((2 · 3) + 2) = (6 + 2)
257 6p2e8 11795 . . . . . . . . . . . . 13 (6 + 2) = 8
258256, 257eqtri 2844 . . . . . . . . . . . 12 ((2 · 3) + 2) = 8
25993, 12, 12, 255, 49, 173, 258decrmanc 12154 . . . . . . . . . . 11 ((72 · 3) + 2) = 218
260 9t3e27 12220 . . . . . . . . . . 11 (9 · 3) = 27
26149, 230, 146, 254, 93, 12, 259, 260decmul1c 12162 . . . . . . . . . 10 ((3↑6) · 3) = 2187
26249, 55, 59, 261numexpp1 16413 . . . . . . . . 9 (3↑7) = 2187
26357, 93deccl 12112 . . . . . . . . . 10 17 ∈ ℕ0
264263, 93deccl 12112 . . . . . . . . 9 177 ∈ ℕ0
265 eqid 2821 . . . . . . . . . 10 218 = 218
266 eqid 2821 . . . . . . . . . 10 177 = 177
26712, 52deccl 12112 . . . . . . . . . . 11 20 ∈ ℕ0
268267, 49deccl 12112 . . . . . . . . . 10 203 ∈ ℕ0
26912, 12deccl 12112 . . . . . . . . . . 11 22 ∈ ℕ0
270 eqid 2821 . . . . . . . . . . 11 21 = 21
271 eqid 2821 . . . . . . . . . . . 12 17 = 17
272 eqid 2821 . . . . . . . . . . . 12 203 = 203
273 eqid 2821 . . . . . . . . . . . . . 14 20 = 20
27475addid2i 10827 . . . . . . . . . . . . . 14 (0 + 2) = 2
275154addid1i 10826 . . . . . . . . . . . . . 14 (1 + 0) = 1
27652, 57, 12, 52, 198, 273, 274, 275decadd 12151 . . . . . . . . . . . . 13 (1 + 20) = 21
27712, 57, 243, 276decsuc 12128 . . . . . . . . . . . 12 ((1 + 20) + 1) = 22
278 7p3e10 12172 . . . . . . . . . . . 12 (7 + 3) = 10
27957, 93, 267, 49, 271, 272, 277, 278decaddc2 12153 . . . . . . . . . . 11 (17 + 203) = 220
280 eqid 2821 . . . . . . . . . . . 12 253 = 253
281 eqid 2821 . . . . . . . . . . . . 13 22 = 22
282 eqid 2821 . . . . . . . . . . . . 13 25 = 25
283 2p2e4 11771 . . . . . . . . . . . . 13 (2 + 2) = 4
28471, 75, 217addcomli 10831 . . . . . . . . . . . . 13 (2 + 5) = 7
28512, 12, 12, 50, 281, 282, 283, 284decadd 12151 . . . . . . . . . . . 12 (22 + 25) = 47
28650dec0h 12119 . . . . . . . . . . . . . 14 5 = 05
287192, 286eqtri 2844 . . . . . . . . . . . . 13 (4 + 1) = 05
288238, 197oveq12i 7167 . . . . . . . . . . . . . 14 ((2 · 2) + (0 + 1)) = (4 + 1)
289288, 192eqtri 2844 . . . . . . . . . . . . 13 ((2 · 2) + (0 + 1)) = 5
290 5t2e10 12197 . . . . . . . . . . . . . 14 (5 · 2) = 10
29171addid2i 10827 . . . . . . . . . . . . . 14 (0 + 5) = 5
29257, 52, 50, 290, 291decaddi 12157 . . . . . . . . . . . . 13 ((5 · 2) + 5) = 15
29312, 50, 52, 50, 282, 287, 12, 50, 57, 289, 292decmac 12149 . . . . . . . . . . . 12 ((25 · 2) + (4 + 1)) = 55
294231oveq1i 7165 . . . . . . . . . . . . 13 ((3 · 2) + 7) = (6 + 7)
295 7p6e13 12175 . . . . . . . . . . . . . 14 (7 + 6) = 13
29670, 175, 295addcomli 10831 . . . . . . . . . . . . 13 (6 + 7) = 13
297294, 296eqtri 2844 . . . . . . . . . . . 12 ((3 · 2) + 7) = 13
298226, 49, 5, 93, 280, 285, 12, 49, 57, 293, 297decmac 12149 . . . . . . . . . . 11 ((253 · 2) + (22 + 25)) = 553
299227nn0cni 11908 . . . . . . . . . . . . . 14 253 ∈ ℂ
300299mulid1i 10644 . . . . . . . . . . . . 13 (253 · 1) = 253
301300oveq1i 7165 . . . . . . . . . . . 12 ((253 · 1) + 0) = (253 + 0)
302299addid1i 10826 . . . . . . . . . . . 12 (253 + 0) = 253
303301, 302eqtri 2844 . . . . . . . . . . 11 ((253 · 1) + 0) = 253
30412, 57, 269, 52, 270, 279, 227, 49, 226, 298, 303decma2c 12150 . . . . . . . . . 10 ((253 · 21) + (17 + 203)) = 5533
30593dec0h 12119 . . . . . . . . . . 11 7 = 07
30674addid2i 10827 . . . . . . . . . . . . . 14 (0 + 4) = 4
307306oveq2i 7166 . . . . . . . . . . . . 13 ((2 · 8) + (0 + 4)) = ((2 · 8) + 4)
308 8t2e16 12212 . . . . . . . . . . . . . . 15 (8 · 2) = 16
309244, 75, 308mulcomli 10649 . . . . . . . . . . . . . 14 (2 · 8) = 16
310 6p4e10 12169 . . . . . . . . . . . . . 14 (6 + 4) = 10
31157, 55, 5, 309, 243, 310decaddci2 12159 . . . . . . . . . . . . 13 ((2 · 8) + 4) = 20
312307, 311eqtri 2844 . . . . . . . . . . . 12 ((2 · 8) + (0 + 4)) = 20
313 8t5e40 12215 . . . . . . . . . . . . . 14 (8 · 5) = 40
314244, 71, 313mulcomli 10649 . . . . . . . . . . . . 13 (5 · 8) = 40
3155, 52, 49, 314, 181decaddi 12157 . . . . . . . . . . . 12 ((5 · 8) + 3) = 43
31612, 50, 52, 49, 282, 183, 133, 49, 5, 312, 315decmac 12149 . . . . . . . . . . 11 ((25 · 8) + (0 + 3)) = 203
317 8t3e24 12213 . . . . . . . . . . . . 13 (8 · 3) = 24
318244, 98, 317mulcomli 10649 . . . . . . . . . . . 12 (3 · 8) = 24
319 2p1e3 11778 . . . . . . . . . . . 12 (2 + 1) = 3
320 7p4e11 12173 . . . . . . . . . . . . 13 (7 + 4) = 11
32170, 74, 320addcomli 10831 . . . . . . . . . . . 12 (4 + 7) = 11
32212, 5, 93, 318, 319, 57, 321decaddci 12158 . . . . . . . . . . 11 ((3 · 8) + 7) = 31
323226, 49, 52, 93, 280, 305, 133, 57, 49, 316, 322decmac 12149 . . . . . . . . . 10 ((253 · 8) + 7) = 2031
324228, 133, 263, 93, 265, 266, 227, 57, 268, 304, 323decma2c 12150 . . . . . . . . 9 ((253 · 218) + 177) = 55331
32557, 5, 49, 249, 240decaddi 12157 . . . . . . . . . . 11 ((2 · 7) + 3) = 17
32649, 50, 12, 73, 217decaddi 12157 . . . . . . . . . . 11 ((5 · 7) + 2) = 37
32712, 50, 12, 282, 93, 93, 49, 325, 326decrmac 12155 . . . . . . . . . 10 ((25 · 7) + 2) = 177
32893, 226, 49, 280, 57, 12, 327, 174decmul1c 12162 . . . . . . . . 9 (253 · 7) = 1771
329227, 229, 93, 262, 57, 264, 324, 328decmul2c 12163 . . . . . . . 8 (253 · (3↑7)) = 553311
330 eqid 2821 . . . . . . . . 9 55331 = 55331
331 eqid 2821 . . . . . . . . . 10 5533 = 5533
332 eqid 2821 . . . . . . . . . . 11 553 = 553
333 eqid 2821 . . . . . . . . . . . 12 55 = 55
334274, 196eqtri 2844 . . . . . . . . . . . 12 (0 + 2) = 02
335181oveq2i 7166 . . . . . . . . . . . . 13 ((5 · 7) + (0 + 3)) = ((5 · 7) + 3)
336335, 171eqtri 2844 . . . . . . . . . . . 12 ((5 · 7) + (0 + 3)) = 38
33750, 50, 52, 12, 333, 334, 93, 93, 49, 336, 326decmac 12149 . . . . . . . . . . 11 ((55 · 7) + (0 + 2)) = 387
33812, 57, 12, 174, 168decaddi 12157 . . . . . . . . . . 11 ((3 · 7) + 2) = 23
339222, 49, 52, 12, 332, 196, 93, 49, 12, 337, 338decmac 12149 . . . . . . . . . 10 ((553 · 7) + 2) = 3873
34093, 223, 49, 331, 57, 12, 339, 174decmul1c 12162 . . . . . . . . 9 (5533 · 7) = 38731
34170mulid2i 10645 . . . . . . . . 9 (1 · 7) = 7
34293, 224, 57, 330, 340, 341decmul1 12161 . . . . . . . 8 (55331 · 7) = 387317
34393, 225, 57, 329, 342, 341decmul1 12161 . . . . . . 7 ((253 · (3↑7)) · 7) = 3873177
344143, 221, 3433brtr4i 5095 . . . . . 6 (53057 · 73) < ((253 · (3↑7)) · 7)
34593, 49deccl 12112 . . . . . . . . 9 73 ∈ ℕ0
346124, 345nn0mulcli 11934 . . . . . . . 8 (53057 · 73) ∈ ℕ0
347346nn0rei 11907 . . . . . . 7 (53057 · 73) ∈ ℝ
34849, 93nn0expcli 13454 . . . . . . . . . 10 (3↑7) ∈ ℕ0
349227, 348nn0mulcli 11934 . . . . . . . . 9 (253 · (3↑7)) ∈ ℕ0
350349, 93nn0mulcli 11934 . . . . . . . 8 ((253 · (3↑7)) · 7) ∈ ℕ0
351350nn0rei 11907 . . . . . . 7 ((253 · (3↑7)) · 7) ∈ ℝ
35262nnrei 11646 . . . . . . 7 5 ∈ ℝ
35362nngt0i 11675 . . . . . . 7 0 < 5
354347, 351, 352, 353ltmul1ii 11567 . . . . . 6 ((53057 · 73) < ((253 · (3↑7)) · 7) ↔ ((53057 · 73) · 5) < (((253 · (3↑7)) · 7) · 5))
355344, 354mpbi 232 . . . . 5 ((53057 · 73) · 5) < (((253 · (3↑7)) · 7) · 5)
356124nn0cni 11908 . . . . . . 7 53057 ∈ ℂ
357345nn0cni 11908 . . . . . . 7 73 ∈ ℂ
358356, 357, 71mulassi 10651 . . . . . 6 ((53057 · 73) · 5) = (53057 · (73 · 5))
35949, 50, 155, 72decsuc 12128 . . . . . . . 8 ((7 · 5) + 1) = 36
36071, 98, 203mulcomli 10649 . . . . . . . 8 (3 · 5) = 15
36150, 93, 49, 144, 50, 57, 359, 360decmul1c 12162 . . . . . . 7 (73 · 5) = 365
362361oveq2i 7166 . . . . . 6 (53057 · (73 · 5)) = (53057 · 365)
363358, 362eqtri 2844 . . . . 5 ((53057 · 73) · 5) = (53057 · 365)
364299, 96mulcli 10647 . . . . . . 7 (253 · (3↑7)) ∈ ℂ
365364, 70, 71mulassi 10651 . . . . . 6 (((253 · (3↑7)) · 7) · 5) = ((253 · (3↑7)) · (7 · 5))
36670, 71mulcomi 10648 . . . . . . . 8 (7 · 5) = (5 · 7)
367366oveq2i 7166 . . . . . . 7 ((253 · (3↑7)) · (7 · 5)) = ((253 · (3↑7)) · (5 · 7))
368299, 96, 97mulassi 10651 . . . . . . 7 ((253 · (3↑7)) · (5 · 7)) = (253 · ((3↑7) · (5 · 7)))
369367, 368eqtri 2844 . . . . . 6 ((253 · (3↑7)) · (7 · 5)) = (253 · ((3↑7) · (5 · 7)))
370365, 369eqtri 2844 . . . . 5 (((253 · (3↑7)) · 7) · 5) = (253 · ((3↑7) · (5 · 7)))
371355, 363, 3703brtr3i 5094 . . . 4 (53057 · 365) < (253 · ((3↑7) · (5 · 7)))
37249, 55deccl 12112 . . . . . . . 8 36 ∈ ℕ0
373372, 62decnncl 12117 . . . . . . 7 365 ∈ ℕ
374373nnrei 11646 . . . . . 6 365 ∈ ℝ
375373nngt0i 11675 . . . . . 6 0 < 365
376374, 375pm3.2i 473 . . . . 5 (365 ∈ ℝ ∧ 0 < 365)
377227nn0rei 11907 . . . . 5 253 ∈ ℝ
378 lt2mul2div 11517 . . . . 5 (((53057 ∈ ℝ ∧ (365 ∈ ℝ ∧ 0 < 365)) ∧ (253 ∈ ℝ ∧ (((3↑7) · (5 · 7)) ∈ ℝ ∧ 0 < ((3↑7) · (5 · 7))))) → ((53057 · 365) < (253 · ((3↑7) · (5 · 7))) ↔ (53057 / ((3↑7) · (5 · 7))) < (253 / 365)))
379125, 376, 377, 129, 378mp4an 691 . . . 4 ((53057 · 365) < (253 · ((3↑7) · (5 · 7))) ↔ (53057 / ((3↑7) · (5 · 7))) < (253 / 365))
380371, 379mpbi 232 . . 3 (53057 / ((3↑7) · (5 · 7))) < (253 / 365)
381 nndivre 11677 . . . . 5 ((53057 ∈ ℝ ∧ ((3↑7) · (5 · 7)) ∈ ℕ) → (53057 / ((3↑7) · (5 · 7))) ∈ ℝ)
382125, 126, 381mp2an 690 . . . 4 (53057 / ((3↑7) · (5 · 7))) ∈ ℝ
383 nndivre 11677 . . . . 5 ((253 ∈ ℝ ∧ 365 ∈ ℕ) → (253 / 365) ∈ ℝ)
384377, 373, 383mp2an 690 . . . 4 (253 / 365) ∈ ℝ
385123, 382, 384lelttri 10766 . . 3 (((Σ𝑛 ∈ (0...3)(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛))) + (3 / ((4 · ((2 · 4) + 1)) · (9↑4)))) ≤ (53057 / ((3↑7) · (5 · 7))) ∧ (53057 / ((3↑7) · (5 · 7))) < (253 / 365)) → (Σ𝑛 ∈ (0...3)(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛))) + (3 / ((4 · ((2 · 4) + 1)) · (9↑4)))) < (253 / 365))
386132, 380, 385mp2an 690 . 2 𝑛 ∈ (0...3)(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛))) + (3 / ((4 · ((2 · 4) + 1)) · (9↑4)))) < (253 / 365)
38727, 123, 384lelttri 10766 . 2 (((log‘2) ≤ (Σ𝑛 ∈ (0...3)(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛))) + (3 / ((4 · ((2 · 4) + 1)) · (9↑4)))) ∧ (Σ𝑛 ∈ (0...3)(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛))) + (3 / ((4 · ((2 · 4) + 1)) · (9↑4)))) < (253 / 365)) → (log‘2) < (253 / 365))
38847, 386, 387mp2an 690 1 (log‘2) < (253 / 365)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   ↔ wb 208   ∧ wa 398   ∧ w3a 1083   = wceq 1533  ⊤wtru 1534   ∈ wcel 2110   class class class wbr 5065  ‘cfv 6354  (class class class)co 7155  ℂcc 10534  ℝcr 10535  0cc0 10536  1c1 10537   + caddc 10539   · cmul 10541   < clt 10674   ≤ cle 10675   − cmin 10869   / cdiv 11296  ℕcn 11637  2c2 11691  3c3 11692  4c4 11693  5c5 11694  6c6 11695  7c7 11696  8c8 11697  9c9 11698  ℕ0cn0 11896  ;cdc 12097  ℝ+crp 12388  [,]cicc 12740  ...cfz 12891  ↑cexp 13428  Σcsu 15041  logclog 25137 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-rep 5189  ax-sep 5202  ax-nul 5209  ax-pow 5265  ax-pr 5329  ax-un 7460  ax-inf2 9103  ax-cnex 10592  ax-resscn 10593  ax-1cn 10594  ax-icn 10595  ax-addcl 10596  ax-addrcl 10597  ax-mulcl 10598  ax-mulrcl 10599  ax-mulcom 10600  ax-addass 10601  ax-mulass 10602  ax-distr 10603  ax-i2m1 10604  ax-1ne0 10605  ax-1rid 10606  ax-rnegex 10607  ax-rrecex 10608  ax-cnre 10609  ax-pre-lttri 10610  ax-pre-lttrn 10611  ax-pre-ltadd 10612  ax-pre-mulgt0 10613  ax-pre-sup 10614  ax-addf 10615  ax-mulf 10616 This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-pss 3953  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4567  df-pr 4569  df-tp 4571  df-op 4573  df-uni 4838  df-int 4876  df-iun 4920  df-iin 4921  df-br 5066  df-opab 5128  df-mpt 5146  df-tr 5172  df-id 5459  df-eprel 5464  df-po 5473  df-so 5474  df-fr 5513  df-se 5514  df-we 5515  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-pred 6147  df-ord 6193  df-on 6194  df-lim 6195  df-suc 6196  df-iota 6313  df-fun 6356  df-fn 6357  df-f 6358  df-f1 6359  df-fo 6360  df-f1o 6361  df-fv 6362  df-isom 6363  df-riota 7113  df-ov 7158  df-oprab 7159  df-mpo 7160  df-of 7408  df-om 7580  df-1st 7688  df-2nd 7689  df-supp 7830  df-wrecs 7946  df-recs 8007  df-rdg 8045  df-1o 8101  df-2o 8102  df-oadd 8105  df-er 8288  df-map 8407  df-pm 8408  df-ixp 8461  df-en 8509  df-dom 8510  df-sdom 8511  df-fin 8512  df-fsupp 8833  df-fi 8874  df-sup 8905  df-inf 8906  df-oi 8973  df-card 9367  df-pnf 10676  df-mnf 10677  df-xr 10678  df-ltxr 10679  df-le 10680  df-sub 10871  df-neg 10872  df-div 11297  df-nn 11638  df-2 11699  df-3 11700  df-4 11701  df-5 11702  df-6 11703  df-7 11704  df-8 11705  df-9 11706  df-n0 11897  df-xnn0 11967  df-z 11981  df-dec 12098  df-uz 12243  df-q 12348  df-rp 12389  df-xneg 12506  df-xadd 12507  df-xmul 12508  df-ioo 12741  df-ioc 12742  df-ico 12743  df-icc 12744  df-fz 12892  df-fzo 13033  df-fl 13161  df-mod 13237  df-seq 13369  df-exp 13429  df-fac 13633  df-bc 13662  df-hash 13690  df-shft 14425  df-cj 14457  df-re 14458  df-im 14459  df-sqrt 14593  df-abs 14594  df-limsup 14827  df-clim 14844  df-rlim 14845  df-sum 15042  df-ef 15420  df-sin 15422  df-cos 15423  df-tan 15424  df-pi 15425  df-dvds 15607  df-struct 16484  df-ndx 16485  df-slot 16486  df-base 16488  df-sets 16489  df-ress 16490  df-plusg 16577  df-mulr 16578  df-starv 16579  df-sca 16580  df-vsca 16581  df-ip 16582  df-tset 16583  df-ple 16584  df-ds 16586  df-unif 16587  df-hom 16588  df-cco 16589  df-rest 16695  df-topn 16696  df-0g 16714  df-gsum 16715  df-topgen 16716  df-pt 16717  df-prds 16720  df-xrs 16774  df-qtop 16779  df-imas 16780  df-xps 16782  df-mre 16856  df-mrc 16857  df-acs 16859  df-mgm 17851  df-sgrp 17900  df-mnd 17911  df-submnd 17956  df-mulg 18224  df-cntz 18446  df-cmn 18907  df-psmet 20536  df-xmet 20537  df-met 20538  df-bl 20539  df-mopn 20540  df-fbas 20541  df-fg 20542  df-cnfld 20545  df-top 21501  df-topon 21518  df-topsp 21540  df-bases 21553  df-cld 21626  df-ntr 21627  df-cls 21628  df-nei 21705  df-lp 21743  df-perf 21744  df-cn 21834  df-cnp 21835  df-haus 21922  df-cmp 21994  df-tx 22169  df-hmeo 22362  df-fil 22453  df-fm 22545  df-flim 22546  df-flf 22547  df-xms 22929  df-ms 22930  df-tms 22931  df-cncf 23485  df-limc 24463  df-dv 24464  df-ulm 24964  df-log 25139  df-atan 25444 This theorem is referenced by:  log2le1  25527  birthday  25531
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