Theorem log2ub 27092

Description: log2 is less than 253 / 365. If written in decimal, this is because log2 = 0.693147... is less than 253/365 = 0.693151... , so this is a very tight bound, at five decimal places. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Apr-2015.) (Proof shortened by AV, 16-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
log2ub	⊢ (log‘2) < (;;253 / ;;365)

Proof of Theorem log2ub

Step	Hyp	Ref	Expression
1		4m1e3 12370	. . . . . . . . 9 ⊢ (4 − 1) = 3
2	1	oveq2i 7423	. . . . . . . 8 ⊢ (0...(4 − 1)) = (0...3)
3	2	sumeq1i 15750	. . . . . . 7 ⊢ Σ𝑛 ∈ (0...(4 − 1))(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛))) = Σ𝑛 ∈ (0...3)(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛)))
4	3	oveq2i 7423	. . . . . 6 ⊢ ((log‘2) − Σ𝑛 ∈ (0...(4 − 1))(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛)))) = ((log‘2) − Σ𝑛 ∈ (0...3)(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛))))
5		4nn0 12524	. . . . . . 7 ⊢ 4 ∈ ℕ0
6		log2tlbnd 27088	. . . . . . 7 ⊢ (4 ∈ ℕ0 → ((log‘2) − Σ𝑛 ∈ (0...(4 − 1))(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛)))) ∈ (0[,](3 / ((4 · ((2 · 4) + 1)) · (9↑4)))))
7	5, 6	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ ((log‘2) − Σ𝑛 ∈ (0...(4 − 1))(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛)))) ∈ (0[,](3 / ((4 · ((2 · 4) + 1)) · (9↑4))))
8	4, 7	eqeltrri 2860	. . . . 5 ⊢ ((log‘2) − Σ𝑛 ∈ (0...3)(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛)))) ∈ (0[,](3 / ((4 · ((2 · 4) + 1)) · (9↑4))))
9		0re 11211	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℝ
10		3re 12322	. . . . . . 7 ⊢ 3 ∈ ℝ
11		4nn 12325	. . . . . . . . 9 ⊢ 4 ∈ ℕ
12		2nn0 12522	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℕ0
13		1nn 12245	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ∈ ℕ
14	12, 5, 13	numnncl 12722	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2 · 4) + 1) ∈ ℕ
15	11, 14	nnmulcli 12259	. . . . . . . 8 ⊢ (4 · ((2 · 4) + 1)) ∈ ℕ
16		9nn 12340	. . . . . . . . 9 ⊢ 9 ∈ ℕ
17		nnexpcl 14112	. . . . . . . . 9 ⊢ ((9 ∈ ℕ ∧ 4 ∈ ℕ0) → (9↑4) ∈ ℕ)
18	16, 5, 17	mp2an 704	. . . . . . . 8 ⊢ (9↑4) ∈ ℕ
19	15, 18	nnmulcli 12259	. . . . . . 7 ⊢ ((4 · ((2 · 4) + 1)) · (9↑4)) ∈ ℕ
20		nndivre 12278	. . . . . . 7 ⊢ ((3 ∈ ℝ ∧ ((4 · ((2 · 4) + 1)) · (9↑4)) ∈ ℕ) → (3 / ((4 · ((2 · 4) + 1)) · (9↑4))) ∈ ℝ)
21	10, 19, 20	mp2an 704	. . . . . 6 ⊢ (3 / ((4 · ((2 · 4) + 1)) · (9↑4))) ∈ ℝ
22	9, 21	elicc2i 13440	. . . . 5 ⊢ (((log‘2) − Σ𝑛 ∈ (0...3)(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛)))) ∈ (0[,](3 / ((4 · ((2 · 4) + 1)) · (9↑4)))) ↔ (((log‘2) − Σ𝑛 ∈ (0...3)(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛)))) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ((log‘2) − Σ𝑛 ∈ (0...3)(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛)))) ∧ ((log‘2) − Σ𝑛 ∈ (0...3)(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛)))) ≤ (3 / ((4 · ((2 · 4) + 1)) · (9↑4)))))
23	8, 22	mpbi 233	. . . 4 ⊢ (((log‘2) − Σ𝑛 ∈ (0...3)(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛)))) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ((log‘2) − Σ𝑛 ∈ (0...3)(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛)))) ∧ ((log‘2) − Σ𝑛 ∈ (0...3)(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛)))) ≤ (3 / ((4 · ((2 · 4) + 1)) · (9↑4))))
24	23	simp3i 1159	. . 3 ⊢ ((log‘2) − Σ𝑛 ∈ (0...3)(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛)))) ≤ (3 / ((4 · ((2 · 4) + 1)) · (9↑4)))
25		2rp 13022	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℝ+
26		relogcl 26718	. . . . 5 ⊢ (2 ∈ ℝ+ → (log‘2) ∈ ℝ)
27	25, 26	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (log‘2) ∈ ℝ
28		fzfid 14011	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → (0...3) ∈ Fin)
29		2re 12316	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℝ
30		3nn 12321	. . . . . . . . 9 ⊢ 3 ∈ ℕ
31		elfznn0 13650	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 ∈ (0...3) → 𝑛 ∈ ℕ0)
32	31	adantl 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑛 ∈ (0...3)) → 𝑛 ∈ ℕ0)
33		nn0mulcl 12541	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((2 ∈ ℕ0 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (2 · 𝑛) ∈ ℕ0)
34	12, 32, 33	sylancr 598	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑛 ∈ (0...3)) → (2 · 𝑛) ∈ ℕ0)
35		nn0p1nn 12544	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((2 · 𝑛) ∈ ℕ0 → ((2 · 𝑛) + 1) ∈ ℕ)
36	34, 35	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑛 ∈ (0...3)) → ((2 · 𝑛) + 1) ∈ ℕ)
37		nnmulcl 12258	. . . . . . . . 9 ⊢ ((3 ∈ ℕ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) ∈ ℕ) → (3 · ((2 · 𝑛) + 1)) ∈ ℕ)
38	30, 36, 37	sylancr 598	. . . . . . . 8 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑛 ∈ (0...3)) → (3 · ((2 · 𝑛) + 1)) ∈ ℕ)
39		nnexpcl 14112	. . . . . . . . 9 ⊢ ((9 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (9↑𝑛) ∈ ℕ)
40	16, 32, 39	sylancr 598	. . . . . . . 8 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑛 ∈ (0...3)) → (9↑𝑛) ∈ ℕ)
41	38, 40	nnmulcld 12290	. . . . . . 7 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑛 ∈ (0...3)) → ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛)) ∈ ℕ)
42		nndivre 12278	. . . . . . 7 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛)) ∈ ℕ) → (2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛))) ∈ ℝ)
43	29, 41, 42	sylancr 598	. . . . . 6 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑛 ∈ (0...3)) → (2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛))) ∈ ℝ)
44	28, 43	fsumrecl 15787	. . . . 5 ⊢ (⊤ → Σ𝑛 ∈ (0...3)(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛))) ∈ ℝ)
45	44	mptru 1577	. . . 4 ⊢ Σ𝑛 ∈ (0...3)(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛))) ∈ ℝ
46	27, 45, 21	lesubadd2i 11775	. . 3 ⊢ (((log‘2) − Σ𝑛 ∈ (0...3)(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛)))) ≤ (3 / ((4 · ((2 · 4) + 1)) · (9↑4))) ↔ (log‘2) ≤ (Σ𝑛 ∈ (0...3)(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛))) + (3 / ((4 · ((2 · 4) + 1)) · (9↑4)))))
47	24, 46	mpbi 233	. 2 ⊢ (log‘2) ≤ (Σ𝑛 ∈ (0...3)(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛))) + (3 / ((4 · ((2 · 4) + 1)) · (9↑4))))
48		log2ublem3 27091	. . . . 5 ⊢ (((3↑7) · (5 · 7)) · Σ𝑛 ∈ (0...3)(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛)))) ≤ ;;;;53056
49		3nn0 12523	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℕ0
50		5nn0 12525	. . . . . . . . 9 ⊢ 5 ∈ ℕ0
51	50, 49	deccl 12727	. . . . . . . 8 ⊢ ;53 ∈ ℕ0
52		0nn0 12520	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℕ0
53	51, 52	deccl 12727	. . . . . . 7 ⊢ ;;530 ∈ ℕ0
54	53, 50	deccl 12727	. . . . . 6 ⊢ ;;;5305 ∈ ℕ0
55		6nn0 12526	. . . . . 6 ⊢ 6 ∈ ℕ0
56	54, 55	deccl 12727	. . . . 5 ⊢ ;;;;53056 ∈ ℕ0
57		1nn0 12521	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℕ0
58		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ (Σ𝑛 ∈ (0...3)(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛))) + (3 / ((4 · ((2 · 4) + 1)) · (9↑4)))) = (Σ𝑛 ∈ (0...3)(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛))) + (3 / ((4 · ((2 · 4) + 1)) · (9↑4))))
59		6p1e7 12389	. . . . . 6 ⊢ (6 + 1) = 7
60		eqid 2763	. . . . . 6 ⊢ ;;;;53056 = ;;;;53056
61	54, 55, 59, 60	decsuc 12748	. . . . 5 ⊢ (;;;;53056 + 1) = ;;;;53057
62		5nn 12328	. . . . . . . . . 10 ⊢ 5 ∈ ℕ
63		7nn 12334	. . . . . . . . . 10 ⊢ 7 ∈ ℕ
64	62, 63	nnmulcli 12259	. . . . . . . . 9 ⊢ (5 · 7) ∈ ℕ
65	64	nnrei 12243	. . . . . . . 8 ⊢ (5 · 7) ∈ ℝ
66	15	nnrei 12243	. . . . . . . 8 ⊢ (4 · ((2 · 4) + 1)) ∈ ℝ
67		6nn 12331	. . . . . . . . . 10 ⊢ 6 ∈ ℕ
68		5lt6 12425	. . . . . . . . . 10 ⊢ 5 < 6
69	49, 50, 67, 68	declt 12745	. . . . . . . . 9 ⊢ ;35 < ;36
70		7cn 12336	. . . . . . . . . 10 ⊢ 7 ∈ ℂ
71		5cn 12330	. . . . . . . . . 10 ⊢ 5 ∈ ℂ
72		7t5e35 12829	. . . . . . . . . 10 ⊢ (7 · 5) = ;35
73	70, 71, 72	mulcomli 11219	. . . . . . . . 9 ⊢ (5 · 7) = ;35
74		4cn 12327	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 4 ∈ ℂ
75		2cn 12317	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 2 ∈ ℂ
76		4t2e8 12410	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (4 · 2) = 8
77	74, 75, 76	mulcomli 11219	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (2 · 4) = 8
78	77	oveq1i 7422	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((2 · 4) + 1) = (8 + 1)
79		8p1e9 12391	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (8 + 1) = 9
80	78, 79	eqtri 2786	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((2 · 4) + 1) = 9
81	80	oveq2i 7423	. . . . . . . . . 10 ⊢ (4 · ((2 · 4) + 1)) = (4 · 9)
82		9cn 12342	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 9 ∈ ℂ
83		9t4e36 12841	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (9 · 4) = ;36
84	82, 74, 83	mulcomli 11219	. . . . . . . . . 10 ⊢ (4 · 9) = ;36
85	81, 84	eqtri 2786	. . . . . . . . 9 ⊢ (4 · ((2 · 4) + 1)) = ;36
86	69, 73, 85	3brtr4i 5142	. . . . . . . 8 ⊢ (5 · 7) < (4 · ((2 · 4) + 1))
87	65, 66, 86	ltleii 11334	. . . . . . 7 ⊢ (5 · 7) ≤ (4 · ((2 · 4) + 1))
88	18	nngt0i 12276	. . . . . . . 8 ⊢ 0 < (9↑4)
89	18	nnrei 12243	. . . . . . . . 9 ⊢ (9↑4) ∈ ℝ
90	65, 66, 89	lemul2i 12139	. . . . . . . 8 ⊢ (0 < (9↑4) → ((5 · 7) ≤ (4 · ((2 · 4) + 1)) ↔ ((9↑4) · (5 · 7)) ≤ ((9↑4) · (4 · ((2 · 4) + 1)))))
91	88, 90	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ ((5 · 7) ≤ (4 · ((2 · 4) + 1)) ↔ ((9↑4) · (5 · 7)) ≤ ((9↑4) · (4 · ((2 · 4) + 1))))
92	87, 91	mpbi 233	. . . . . 6 ⊢ ((9↑4) · (5 · 7)) ≤ ((9↑4) · (4 · ((2 · 4) + 1)))
93		7nn0 12527	. . . . . . . . . 10 ⊢ 7 ∈ ℕ0
94		nnexpcl 14112	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((3 ∈ ℕ ∧ 7 ∈ ℕ0) → (3↑7) ∈ ℕ)
95	30, 93, 94	mp2an 704	. . . . . . . . 9 ⊢ (3↑7) ∈ ℕ
96	95	nncni 12244	. . . . . . . 8 ⊢ (3↑7) ∈ ℂ
97	64	nncni 12244	. . . . . . . 8 ⊢ (5 · 7) ∈ ℂ
98		3cn 12323	. . . . . . . 8 ⊢ 3 ∈ ℂ
99	96, 97, 98	mul32i 11407	. . . . . . 7 ⊢ (((3↑7) · (5 · 7)) · 3) = (((3↑7) · 3) · (5 · 7))
100	74, 75	mulcomi 11218	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (4 · 2) = (2 · 4)
101		df-8 12310	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 8 = (7 + 1)
102	76, 100, 101	3eqtr3i 2794	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (2 · 4) = (7 + 1)
103	102	oveq2i 7423	. . . . . . . . . 10 ⊢ (3↑(2 · 4)) = (3↑(7 + 1))
104		expmul 14145	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((3 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℕ0 ∧ 4 ∈ ℕ0) → (3↑(2 · 4)) = ((3↑2)↑4))
105	98, 12, 5, 104	mp3an 1490	. . . . . . . . . 10 ⊢ (3↑(2 · 4)) = ((3↑2)↑4)
106	103, 105	eqtr3i 2788	. . . . . . . . 9 ⊢ (3↑(7 + 1)) = ((3↑2)↑4)
107		expp1 14106	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((3 ∈ ℂ ∧ 7 ∈ ℕ0) → (3↑(7 + 1)) = ((3↑7) · 3))
108	98, 93, 107	mp2an 704	. . . . . . . . 9 ⊢ (3↑(7 + 1)) = ((3↑7) · 3)
109		sq3 14236	. . . . . . . . . 10 ⊢ (3↑2) = 9
110	109	oveq1i 7422	. . . . . . . . 9 ⊢ ((3↑2)↑4) = (9↑4)
111	106, 108, 110	3eqtr3i 2794	. . . . . . . 8 ⊢ ((3↑7) · 3) = (9↑4)
112	111	oveq1i 7422	. . . . . . 7 ⊢ (((3↑7) · 3) · (5 · 7)) = ((9↑4) · (5 · 7))
113	99, 112	eqtri 2786	. . . . . 6 ⊢ (((3↑7) · (5 · 7)) · 3) = ((9↑4) · (5 · 7))
114	15	nncni 12244	. . . . . . . . 9 ⊢ (4 · ((2 · 4) + 1)) ∈ ℂ
115	18	nncni 12244	. . . . . . . . 9 ⊢ (9↑4) ∈ ℂ
116	114, 115	mulcomi 11218	. . . . . . . 8 ⊢ ((4 · ((2 · 4) + 1)) · (9↑4)) = ((9↑4) · (4 · ((2 · 4) + 1)))
117	116	oveq1i 7422	. . . . . . 7 ⊢ (((4 · ((2 · 4) + 1)) · (9↑4)) · 1) = (((9↑4) · (4 · ((2 · 4) + 1))) · 1)
118	115, 114	mulcli 11217	. . . . . . . 8 ⊢ ((9↑4) · (4 · ((2 · 4) + 1))) ∈ ℂ
119	118	mulridi 11214	. . . . . . 7 ⊢ (((9↑4) · (4 · ((2 · 4) + 1))) · 1) = ((9↑4) · (4 · ((2 · 4) + 1)))
120	117, 119	eqtri 2786	. . . . . 6 ⊢ (((4 · ((2 · 4) + 1)) · (9↑4)) · 1) = ((9↑4) · (4 · ((2 · 4) + 1)))
121	92, 113, 120	3brtr4i 5142	. . . . 5 ⊢ (((3↑7) · (5 · 7)) · 3) ≤ (((4 · ((2 · 4) + 1)) · (9↑4)) · 1)
122	48, 45, 49, 19, 56, 57, 58, 61, 121	log2ublem1 27089	. . . 4 ⊢ (((3↑7) · (5 · 7)) · (Σ𝑛 ∈ (0...3)(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛))) + (3 / ((4 · ((2 · 4) + 1)) · (9↑4))))) ≤ ;;;;53057
123	45, 21	readdcli 11225	. . . . 5 ⊢ (Σ𝑛 ∈ (0...3)(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛))) + (3 / ((4 · ((2 · 4) + 1)) · (9↑4)))) ∈ ℝ
124	54, 93	deccl 12727	. . . . . 6 ⊢ ;;;;53057 ∈ ℕ0
125	124	nn0rei 12516	. . . . 5 ⊢ ;;;;53057 ∈ ℝ
126	95, 64	nnmulcli 12259	. . . . . . 7 ⊢ ((3↑7) · (5 · 7)) ∈ ℕ
127	126	nnrei 12243	. . . . . 6 ⊢ ((3↑7) · (5 · 7)) ∈ ℝ
128	126	nngt0i 12276	. . . . . 6 ⊢ 0 < ((3↑7) · (5 · 7))
129	127, 128	pm3.2i 475	. . . . 5 ⊢ (((3↑7) · (5 · 7)) ∈ ℝ ∧ 0 < ((3↑7) · (5 · 7)))
130		lemuldiv2 12097	. . . . 5 ⊢ (((Σ𝑛 ∈ (0...3)(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛))) + (3 / ((4 · ((2 · 4) + 1)) · (9↑4)))) ∈ ℝ ∧ ;;;;53057 ∈ ℝ ∧ (((3↑7) · (5 · 7)) ∈ ℝ ∧ 0 < ((3↑7) · (5 · 7)))) → ((((3↑7) · (5 · 7)) · (Σ𝑛 ∈ (0...3)(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛))) + (3 / ((4 · ((2 · 4) + 1)) · (9↑4))))) ≤ ;;;;53057 ↔ (Σ𝑛 ∈ (0...3)(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛))) + (3 / ((4 · ((2 · 4) + 1)) · (9↑4)))) ≤ (;;;;53057 / ((3↑7) · (5 · 7)))))
131	123, 125, 129, 130	mp3an 1490	. . . 4 ⊢ ((((3↑7) · (5 · 7)) · (Σ𝑛 ∈ (0...3)(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛))) + (3 / ((4 · ((2 · 4) + 1)) · (9↑4))))) ≤ ;;;;53057 ↔ (Σ𝑛 ∈ (0...3)(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛))) + (3 / ((4 · ((2 · 4) + 1)) · (9↑4)))) ≤ (;;;;53057 / ((3↑7) · (5 · 7))))
132	122, 131	mpbi 233	. . 3 ⊢ (Σ𝑛 ∈ (0...3)(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛))) + (3 / ((4 · ((2 · 4) + 1)) · (9↑4)))) ≤ (;;;;53057 / ((3↑7) · (5 · 7)))
133		8nn0 12528	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 8 ∈ ℕ0
134	49, 133	deccl 12727	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ;38 ∈ ℕ0
135	134, 93	deccl 12727	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ;;387 ∈ ℕ0
136	135, 49	deccl 12727	. . . . . . . . . 10 ⊢ ;;;3873 ∈ ℕ0
137	136, 57	deccl 12727	. . . . . . . . 9 ⊢ ;;;;38731 ∈ ℕ0
138	137, 55	deccl 12727	. . . . . . . 8 ⊢ ;;;;;387316 ∈ ℕ0
139	137, 93	deccl 12727	. . . . . . . 8 ⊢ ;;;;;387317 ∈ ℕ0
140		1lt10 12857	. . . . . . . 8 ⊢ 1 < ;10
141		6lt7 12430	. . . . . . . . 9 ⊢ 6 < 7
142	137, 55, 63, 141	declt 12745	. . . . . . . 8 ⊢ ;;;;;387316 < ;;;;;387317
143	138, 139, 57, 93, 140, 142	decltc 12746	. . . . . . 7 ⊢ ;;;;;;3873161 < ;;;;;;3873177
144		eqid 2763	. . . . . . . 8 ⊢ ;73 = ;73
145	57, 50	deccl 12727	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ;15 ∈ ℕ0
146		9nn0 12529	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 9 ∈ ℕ0
147	145, 146	deccl 12727	. . . . . . . . . 10 ⊢ ;;159 ∈ ℕ0
148	147, 57	deccl 12727	. . . . . . . . 9 ⊢ ;;;1591 ∈ ℕ0
149	148, 93	deccl 12727	. . . . . . . 8 ⊢ ;;;;15917 ∈ ℕ0
150		eqid 2763	. . . . . . . . 9 ⊢ ;;;;53057 = ;;;;53057
151		eqid 2763	. . . . . . . . 9 ⊢ ;;;;15917 = ;;;;15917
152		eqid 2763	. . . . . . . . . 10 ⊢ ;;;5305 = ;;;5305
153		eqid 2763	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ;;;1591 = ;;;1591
154		ax-1cn 11159	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 1 ∈ ℂ
155		5p1e6 12388	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (5 + 1) = 6
156	71, 154, 155	addcomli 11403	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1 + 5) = 6
157	147, 57, 50, 153, 156	decaddi 12777	. . . . . . . . . 10 ⊢ (;;;1591 + 5) = ;;;1596
158	57, 55	deccl 12727	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ;16 ∈ ℕ0
159		eqid 2763	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ;;530 = ;;530
160		eqid 2763	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ;;159 = ;;159
161		eqid 2763	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ;15 = ;15
162	57, 50, 155, 161	decsuc 12748	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (;15 + 1) = ;16
163		9p4e13 12806	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (9 + 4) = ;13
164	145, 146, 5, 160, 162, 49, 163	decaddci 12778	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (;;159 + 4) = ;;163
165		eqid 2763	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ;53 = ;53
166	158	nn0cni 12517	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ;16 ∈ ℂ
167	166	addridi 11398	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (;16 + 0) = ;16
168		1p2e3 12384	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (1 + 2) = 3
169	168	oveq2i 7423	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((5 · 7) + (1 + 2)) = ((5 · 7) + 3)
170		5p3e8 12398	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (5 + 3) = 8
171	49, 50, 49, 73, 170	decaddi 12777	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((5 · 7) + 3) = ;38
172	169, 171	eqtri 2786	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((5 · 7) + (1 + 2)) = ;38
173		7t3e21 12827	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (7 · 3) = ;21
174	70, 98, 173	mulcomli 11219	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (3 · 7) = ;21
175		6cn 12333	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 6 ∈ ℂ
176	175, 154, 59	addcomli 11403	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (1 + 6) = 7
177	12, 57, 55, 174, 176	decaddi 12777	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((3 · 7) + 6) = ;27
178	50, 49, 57, 55, 165, 167, 93, 93, 12, 172, 177	decmac 12769	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((;53 · 7) + (;16 + 0)) = ;;387
179	70	mul02i 11400	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (0 · 7) = 0
180	179	oveq1i 7422	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((0 · 7) + 3) = (0 + 3)
181	98	addlidi 11399	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (0 + 3) = 3
182	49	dec0h 12739	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 3 = ;03
183	181, 182	eqtri 2786	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (0 + 3) = ;03
184	180, 183	eqtri 2786	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((0 · 7) + 3) = ;03
185	51, 52, 158, 49, 159, 164, 93, 49, 52, 178, 184	decmac 12769	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((;;530 · 7) + (;;159 + 4)) = ;;;3873
186		3p1e4 12386	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (3 + 1) = 4
187		6p5e11 12790	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (6 + 5) = ;11
188	175, 71, 187	addcomli 11403	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (5 + 6) = ;11
189	49, 50, 55, 73, 186, 57, 188	decaddci 12778	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((5 · 7) + 6) = ;41
190	53, 50, 147, 55, 152, 157, 93, 57, 5, 185, 189	decmac 12769	. . . . . . . . 9 ⊢ ((;;;5305 · 7) + (;;;1591 + 5)) = ;;;;38731
191		7t7e49 12831	. . . . . . . . . 10 ⊢ (7 · 7) = ;49
192		4p1e5 12387	. . . . . . . . . 10 ⊢ (4 + 1) = 5
193		9p7e16 12809	. . . . . . . . . 10 ⊢ (9 + 7) = ;16
194	5, 146, 93, 191, 192, 55, 193	decaddci 12778	. . . . . . . . 9 ⊢ ((7 · 7) + 7) = ;56
195	54, 93, 148, 93, 150, 151, 93, 55, 50, 190, 194	decmac 12769	. . . . . . . 8 ⊢ ((;;;;53057 · 7) + ;;;;15917) = ;;;;;387316
196	12	dec0h 12739	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 = ;02
197	154	addlidi 11399	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (0 + 1) = 1
198	57	dec0h 12739	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 1 = ;01
199	197, 198	eqtri 2786	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0 + 1) = ;01
200		00id 11386	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (0 + 0) = 0
201	52	dec0h 12739	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 0 = ;00
202	200, 201	eqtri 2786	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (0 + 0) = ;00
203		5t3e15 12818	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (5 · 3) = ;15
204	203	oveq1i 7422	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((5 · 3) + 0) = (;15 + 0)
205	145	nn0cni 12517	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ;15 ∈ ℂ
206	205	addridi 11398	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (;15 + 0) = ;15
207	204, 206	eqtri 2786	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((5 · 3) + 0) = ;15
208		3t3e9 12409	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (3 · 3) = 9
209	208	oveq1i 7422	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((3 · 3) + 0) = (9 + 0)
210	82	addridi 11398	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (9 + 0) = 9
211	209, 210	eqtri 2786	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((3 · 3) + 0) = 9
212	50, 49, 52, 52, 165, 202, 49, 207, 211	decma 12768	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((;53 · 3) + (0 + 0)) = ;;159
213	98	mul02i 11400	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (0 · 3) = 0
214	213	oveq1i 7422	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((0 · 3) + 1) = (0 + 1)
215	214, 199	eqtri 2786	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((0 · 3) + 1) = ;01
216	51, 52, 52, 57, 159, 199, 49, 57, 52, 212, 215	decmac 12769	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((;;530 · 3) + (0 + 1)) = ;;;1591
217		5p2e7 12397	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (5 + 2) = 7
218	57, 50, 12, 203, 217	decaddi 12777	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((5 · 3) + 2) = ;17
219	53, 50, 52, 12, 152, 196, 49, 93, 57, 216, 218	decmac 12769	. . . . . . . . 9 ⊢ ((;;;5305 · 3) + 2) = ;;;;15917
220	49, 54, 93, 150, 57, 12, 219, 173	decmul1c 12782	. . . . . . . 8 ⊢ (;;;;53057 · 3) = ;;;;;159171
221	124, 93, 49, 144, 57, 149, 195, 220	decmul2c 12783	. . . . . . 7 ⊢ (;;;;53057 · ;73) = ;;;;;;3873161
222	50, 50	deccl 12727	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ;55 ∈ ℕ0
223	222, 49	deccl 12727	. . . . . . . . . 10 ⊢ ;;553 ∈ ℕ0
224	223, 49	deccl 12727	. . . . . . . . 9 ⊢ ;;;5533 ∈ ℕ0
225	224, 57	deccl 12727	. . . . . . . 8 ⊢ ;;;;55331 ∈ ℕ0
226	12, 50	deccl 12727	. . . . . . . . . 10 ⊢ ;25 ∈ ℕ0
227	226, 49	deccl 12727	. . . . . . . . 9 ⊢ ;;253 ∈ ℕ0
228	12, 57	deccl 12727	. . . . . . . . . 10 ⊢ ;21 ∈ ℕ0
229	228, 133	deccl 12727	. . . . . . . . 9 ⊢ ;;218 ∈ ℕ0
230	93, 12	deccl 12727	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ;72 ∈ ℕ0
231		2t3e6 12408	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (2 · 3) = 6
232		3exp3 17152	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (3↑3) = ;27
233	12, 93	deccl 12727	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ;27 ∈ ℕ0
234		eqid 2763	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ;27 = ;27
235	57, 133	deccl 12727	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ;18 ∈ ℕ0
236		eqid 2763	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ;18 = ;18
237		2t2e4 12405	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (2 · 2) = 4
238	237, 168	oveq12i 7424	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((2 · 2) + (1 + 2)) = (4 + 3)
239		4p3e7 12395	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (4 + 3) = 7
240	238, 239	eqtri 2786	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((2 · 2) + (1 + 2)) = 7
241		7t2e14 12826	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (7 · 2) = ;14
242		1p1e2 12365	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (1 + 1) = 2
243		8cn 12339	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 8 ∈ ℂ
244		8p4e12 12799	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (8 + 4) = ;12
245	243, 74, 244	addcomli 11403	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (4 + 8) = ;12
246	57, 5, 133, 241, 242, 12, 245	decaddci 12778	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((7 · 2) + 8) = ;22
247	12, 93, 57, 133, 234, 236, 12, 12, 12, 240, 246	decmac 12769	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((;27 · 2) + ;18) = ;72
248	70, 75, 241	mulcomli 11219	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (2 · 7) = ;14
249		4p4e8 12396	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (4 + 4) = 8
250	57, 5, 5, 248, 249	decaddi 12777	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((2 · 7) + 4) = ;18
251	93, 12, 93, 234, 146, 5, 250, 191	decmul1c 12782	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (;27 · 7) = ;;189
252	233, 12, 93, 234, 146, 235, 247, 251	decmul2c 12783	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (;27 · ;27) = ;;729
253	49, 49, 231, 232, 252	numexp2x 17139	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (3↑6) = ;;729
254		eqid 2763	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ;72 = ;72
255	231	oveq1i 7422	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((2 · 3) + 2) = (6 + 2)
256		6p2e8 12400	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (6 + 2) = 8
257	255, 256	eqtri 2786	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((2 · 3) + 2) = 8
258	93, 12, 12, 254, 49, 173, 257	decrmanc 12774	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((;72 · 3) + 2) = ;;218
259		9t3e27 12840	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (9 · 3) = ;27
260	49, 230, 146, 253, 93, 12, 258, 259	decmul1c 12782	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((3↑6) · 3) = ;;;2187
261	49, 55, 59, 260	numexpp1 17138	. . . . . . . . 9 ⊢ (3↑7) = ;;;2187
262	57, 93	deccl 12727	. . . . . . . . . 10 ⊢ ;17 ∈ ℕ0
263	262, 93	deccl 12727	. . . . . . . . 9 ⊢ ;;177 ∈ ℕ0
264		eqid 2763	. . . . . . . . . 10 ⊢ ;;218 = ;;218
265		eqid 2763	. . . . . . . . . 10 ⊢ ;;177 = ;;177
266	12, 52	deccl 12727	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ;20 ∈ ℕ0
267	266, 49	deccl 12727	. . . . . . . . . 10 ⊢ ;;203 ∈ ℕ0
268	12, 12	deccl 12727	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ;22 ∈ ℕ0
269		eqid 2763	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ;21 = ;21
270		eqid 2763	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ;17 = ;17
271		eqid 2763	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ;;203 = ;;203
272		eqid 2763	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ;20 = ;20
273	75	addlidi 11399	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (0 + 2) = 2
274	154	addridi 11398	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (1 + 0) = 1
275	52, 57, 12, 52, 198, 272, 273, 274	decadd 12771	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (1 + ;20) = ;21
276	12, 57, 242, 275	decsuc 12748	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((1 + ;20) + 1) = ;22
277		7p3e10 12792	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (7 + 3) = ;10
278	57, 93, 266, 49, 270, 271, 276, 277	decaddc2 12773	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (;17 + ;;203) = ;;220
279		eqid 2763	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ;;253 = ;;253
280		eqid 2763	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ;22 = ;22
281		eqid 2763	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ;25 = ;25
282		2p2e4 12376	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (2 + 2) = 4
283	71, 75, 217	addcomli 11403	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (2 + 5) = 7
284	12, 12, 12, 50, 280, 281, 282, 283	decadd 12771	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (;22 + ;25) = ;47
285	50	dec0h 12739	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 5 = ;05
286	192, 285	eqtri 2786	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (4 + 1) = ;05
287	237, 197	oveq12i 7424	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((2 · 2) + (0 + 1)) = (4 + 1)
288	287, 192	eqtri 2786	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((2 · 2) + (0 + 1)) = 5
289		5t2e10 12817	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (5 · 2) = ;10
290	71	addlidi 11399	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (0 + 5) = 5
291	57, 52, 50, 289, 290	decaddi 12777	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((5 · 2) + 5) = ;15
292	12, 50, 52, 50, 281, 286, 12, 50, 57, 288, 291	decmac 12769	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((;25 · 2) + (4 + 1)) = ;55
293		3t2e6 12407	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (3 · 2) = 6
294	293	oveq1i 7422	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((3 · 2) + 7) = (6 + 7)
295		7p6e13 12795	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (7 + 6) = ;13
296	70, 175, 295	addcomli 11403	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (6 + 7) = ;13
297	294, 296	eqtri 2786	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((3 · 2) + 7) = ;13
298	226, 49, 5, 93, 279, 284, 12, 49, 57, 292, 297	decmac 12769	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((;;253 · 2) + (;22 + ;25)) = ;;553
299	227	nn0cni 12517	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ;;253 ∈ ℂ
300	299	mulridi 11214	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (;;253 · 1) = ;;253
301	300	oveq1i 7422	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((;;253 · 1) + 0) = (;;253 + 0)
302	299	addridi 11398	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (;;253 + 0) = ;;253
303	301, 302	eqtri 2786	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((;;253 · 1) + 0) = ;;253
304	12, 57, 268, 52, 269, 278, 227, 49, 226, 298, 303	decma2c 12770	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((;;253 · ;21) + (;17 + ;;203)) = ;;;5533
305	93	dec0h 12739	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 7 = ;07
306	74	addlidi 11399	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (0 + 4) = 4
307	306	oveq2i 7423	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((2 · 8) + (0 + 4)) = ((2 · 8) + 4)
308		8t2e16 12832	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (8 · 2) = ;16
309	243, 75, 308	mulcomli 11219	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (2 · 8) = ;16
310		6p4e10 12789	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (6 + 4) = ;10
311	57, 55, 5, 309, 242, 310	decaddci2 12779	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((2 · 8) + 4) = ;20
312	307, 311	eqtri 2786	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((2 · 8) + (0 + 4)) = ;20
313		8t5e40 12835	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (8 · 5) = ;40
314	243, 71, 313	mulcomli 11219	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (5 · 8) = ;40
315	5, 52, 49, 314, 181	decaddi 12777	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((5 · 8) + 3) = ;43
316	12, 50, 52, 49, 281, 183, 133, 49, 5, 312, 315	decmac 12769	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((;25 · 8) + (0 + 3)) = ;;203
317		8t3e24 12833	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (8 · 3) = ;24
318	243, 98, 317	mulcomli 11219	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (3 · 8) = ;24
319		2p1e3 12383	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (2 + 1) = 3
320		7p4e11 12793	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (7 + 4) = ;11
321	70, 74, 320	addcomli 11403	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (4 + 7) = ;11
322	12, 5, 93, 318, 319, 57, 321	decaddci 12778	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((3 · 8) + 7) = ;31
323	226, 49, 52, 93, 279, 305, 133, 57, 49, 316, 322	decmac 12769	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((;;253 · 8) + 7) = ;;;2031
324	228, 133, 262, 93, 264, 265, 227, 57, 267, 304, 323	decma2c 12770	. . . . . . . . 9 ⊢ ((;;253 · ;;218) + ;;177) = ;;;;55331
325	57, 5, 49, 248, 239	decaddi 12777	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((2 · 7) + 3) = ;17
326	49, 50, 12, 73, 217	decaddi 12777	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((5 · 7) + 2) = ;37
327	12, 50, 12, 281, 93, 93, 49, 325, 326	decrmac 12775	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((;25 · 7) + 2) = ;;177
328	93, 226, 49, 279, 57, 12, 327, 174	decmul1c 12782	. . . . . . . . 9 ⊢ (;;253 · 7) = ;;;1771
329	227, 229, 93, 261, 57, 263, 324, 328	decmul2c 12783	. . . . . . . 8 ⊢ (;;253 · (3↑7)) = ;;;;;553311
330		eqid 2763	. . . . . . . . 9 ⊢ ;;;;55331 = ;;;;55331
331		eqid 2763	. . . . . . . . . 10 ⊢ ;;;5533 = ;;;5533
332		eqid 2763	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ;;553 = ;;553
333		eqid 2763	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ;55 = ;55
334	273, 196	eqtri 2786	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (0 + 2) = ;02
335	181	oveq2i 7423	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((5 · 7) + (0 + 3)) = ((5 · 7) + 3)
336	335, 171	eqtri 2786	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((5 · 7) + (0 + 3)) = ;38
337	50, 50, 52, 12, 333, 334, 93, 93, 49, 336, 326	decmac 12769	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((;55 · 7) + (0 + 2)) = ;;387
338	12, 57, 12, 174, 168	decaddi 12777	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((3 · 7) + 2) = ;23
339	222, 49, 52, 12, 332, 196, 93, 49, 12, 337, 338	decmac 12769	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((;;553 · 7) + 2) = ;;;3873
340	93, 223, 49, 331, 57, 12, 339, 174	decmul1c 12782	. . . . . . . . 9 ⊢ (;;;5533 · 7) = ;;;;38731
341	70	mullidi 11215	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 · 7) = 7
342	93, 224, 57, 330, 340, 341	decmul1 12781	. . . . . . . 8 ⊢ (;;;;55331 · 7) = ;;;;;387317
343	93, 225, 57, 329, 342, 341	decmul1 12781	. . . . . . 7 ⊢ ((;;253 · (3↑7)) · 7) = ;;;;;;3873177
344	143, 221, 343	3brtr4i 5142	. . . . . 6 ⊢ (;;;;53057 · ;73) < ((;;253 · (3↑7)) · 7)
345	93, 49	deccl 12727	. . . . . . . . 9 ⊢ ;73 ∈ ℕ0
346	124, 345	nn0mulcli 12543	. . . . . . . 8 ⊢ (;;;;53057 · ;73) ∈ ℕ0
347	346	nn0rei 12516	. . . . . . 7 ⊢ (;;;;53057 · ;73) ∈ ℝ
348	49, 93	nn0expcli 14126	. . . . . . . . . 10 ⊢ (3↑7) ∈ ℕ0
349	227, 348	nn0mulcli 12543	. . . . . . . . 9 ⊢ (;;253 · (3↑7)) ∈ ℕ0
350	349, 93	nn0mulcli 12543	. . . . . . . 8 ⊢ ((;;253 · (3↑7)) · 7) ∈ ℕ0
351	350	nn0rei 12516	. . . . . . 7 ⊢ ((;;253 · (3↑7)) · 7) ∈ ℝ
352	62	nnrei 12243	. . . . . . 7 ⊢ 5 ∈ ℝ
353	62	nngt0i 12276	. . . . . . 7 ⊢ 0 < 5
354	347, 351, 352, 353	ltmul1ii 12144	. . . . . 6 ⊢ ((;;;;53057 · ;73) < ((;;253 · (3↑7)) · 7) ↔ ((;;;;53057 · ;73) · 5) < (((;;253 · (3↑7)) · 7) · 5))
355	344, 354	mpbi 233	. . . . 5 ⊢ ((;;;;53057 · ;73) · 5) < (((;;253 · (3↑7)) · 7) · 5)
356	124	nn0cni 12517	. . . . . . 7 ⊢ ;;;;53057 ∈ ℂ
357	345	nn0cni 12517	. . . . . . 7 ⊢ ;73 ∈ ℂ
358	356, 357, 71	mulassi 11221	. . . . . 6 ⊢ ((;;;;53057 · ;73) · 5) = (;;;;53057 · (;73 · 5))
359	49, 50, 155, 72	decsuc 12748	. . . . . . . 8 ⊢ ((7 · 5) + 1) = ;36
360	71, 98, 203	mulcomli 11219	. . . . . . . 8 ⊢ (3 · 5) = ;15
361	50, 93, 49, 144, 50, 57, 359, 360	decmul1c 12782	. . . . . . 7 ⊢ (;73 · 5) = ;;365
362	361	oveq2i 7423	. . . . . 6 ⊢ (;;;;53057 · (;73 · 5)) = (;;;;53057 · ;;365)
363	358, 362	eqtri 2786	. . . . 5 ⊢ ((;;;;53057 · ;73) · 5) = (;;;;53057 · ;;365)
364	299, 96	mulcli 11217	. . . . . . 7 ⊢ (;;253 · (3↑7)) ∈ ℂ
365	364, 70, 71	mulassi 11221	. . . . . 6 ⊢ (((;;253 · (3↑7)) · 7) · 5) = ((;;253 · (3↑7)) · (7 · 5))
366	70, 71	mulcomi 11218	. . . . . . . 8 ⊢ (7 · 5) = (5 · 7)
367	366	oveq2i 7423	. . . . . . 7 ⊢ ((;;253 · (3↑7)) · (7 · 5)) = ((;;253 · (3↑7)) · (5 · 7))
368	299, 96, 97	mulassi 11221	. . . . . . 7 ⊢ ((;;253 · (3↑7)) · (5 · 7)) = (;;253 · ((3↑7) · (5 · 7)))
369	367, 368	eqtri 2786	. . . . . 6 ⊢ ((;;253 · (3↑7)) · (7 · 5)) = (;;253 · ((3↑7) · (5 · 7)))
370	365, 369	eqtri 2786	. . . . 5 ⊢ (((;;253 · (3↑7)) · 7) · 5) = (;;253 · ((3↑7) · (5 · 7)))
371	355, 363, 370	3brtr3i 5141	. . . 4 ⊢ (;;;;53057 · ;;365) < (;;253 · ((3↑7) · (5 · 7)))
372	49, 55	deccl 12727	. . . . . . . 8 ⊢ ;36 ∈ ℕ0
373	372, 62	decnncl 12736	. . . . . . 7 ⊢ ;;365 ∈ ℕ
374	373	nnrei 12243	. . . . . 6 ⊢ ;;365 ∈ ℝ
375	373	nngt0i 12276	. . . . . 6 ⊢ 0 < ;;365
376	374, 375	pm3.2i 475	. . . . 5 ⊢ (;;365 ∈ ℝ ∧ 0 < ;;365)
377	227	nn0rei 12516	. . . . 5 ⊢ ;;253 ∈ ℝ
378		lt2mul2div 12094	. . . . 5 ⊢ (((;;;;53057 ∈ ℝ ∧ (;;365 ∈ ℝ ∧ 0 < ;;365)) ∧ (;;253 ∈ ℝ ∧ (((3↑7) · (5 · 7)) ∈ ℝ ∧ 0 < ((3↑7) · (5 · 7))))) → ((;;;;53057 · ;;365) < (;;253 · ((3↑7) · (5 · 7))) ↔ (;;;;53057 / ((3↑7) · (5 · 7))) < (;;253 / ;;365)))
379	125, 376, 377, 129, 378	mp4an 705	. . . 4 ⊢ ((;;;;53057 · ;;365) < (;;253 · ((3↑7) · (5 · 7))) ↔ (;;;;53057 / ((3↑7) · (5 · 7))) < (;;253 / ;;365))
380	371, 379	mpbi 233	. . 3 ⊢ (;;;;53057 / ((3↑7) · (5 · 7))) < (;;253 / ;;365)
381		nndivre 12278	. . . . 5 ⊢ ((;;;;53057 ∈ ℝ ∧ ((3↑7) · (5 · 7)) ∈ ℕ) → (;;;;53057 / ((3↑7) · (5 · 7))) ∈ ℝ)
382	125, 126, 381	mp2an 704	. . . 4 ⊢ (;;;;53057 / ((3↑7) · (5 · 7))) ∈ ℝ
383		nndivre 12278	. . . . 5 ⊢ ((;;253 ∈ ℝ ∧ ;;365 ∈ ℕ) → (;;253 / ;;365) ∈ ℝ)
384	377, 373, 383	mp2an 704	. . . 4 ⊢ (;;253 / ;;365) ∈ ℝ
385	123, 382, 384	lelttri 11338	. . 3 ⊢ (((Σ𝑛 ∈ (0...3)(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛))) + (3 / ((4 · ((2 · 4) + 1)) · (9↑4)))) ≤ (;;;;53057 / ((3↑7) · (5 · 7))) ∧ (;;;;53057 / ((3↑7) · (5 · 7))) < (;;253 / ;;365)) → (Σ𝑛 ∈ (0...3)(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛))) + (3 / ((4 · ((2 · 4) + 1)) · (9↑4)))) < (;;253 / ;;365))
386	132, 380, 385	mp2an 704	. 2 ⊢ (Σ𝑛 ∈ (0...3)(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛))) + (3 / ((4 · ((2 · 4) + 1)) · (9↑4)))) < (;;253 / ;;365)
387	27, 123, 384	lelttri 11338	. 2 ⊢ (((log‘2) ≤ (Σ𝑛 ∈ (0...3)(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛))) + (3 / ((4 · ((2 · 4) + 1)) · (9↑4)))) ∧ (Σ𝑛 ∈ (0...3)(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛))) + (3 / ((4 · ((2 · 4) + 1)) · (9↑4)))) < (;;253 / ;;365)) → (log‘2) < (;;253 / ;;365))
388	47, 386, 387	mp2an 704	1 ⊢ (log‘2) < (;;253 / ;;365)

Syntax hints:   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∧ w3a 1103   = wceq 1570  ⊤wtru 1571   ∈ wcel 2143   class class class wbr 5110  ‘cfv 6538  (class class class)co 7412  ℂcc 11099  ℝcr 11100  0cc0 11101  1c1 11102   + caddc 11104   · cmul 11106   < clt 11244   ≤ cle 11245   − cmin 11442   / cdiv 11872  ℕcn 12234  2c2 12296  3c3 12297  4c4 12298  5c5 12299  6c6 12300  7c7 12301  8c8 12302  9c9 12303  ℕ₀cn0 12505  ;cdc 12712  ℝ⁺crp 13017  [,]cicc 13376  ...cfz 13536  ↑cexp 14099  Σcsu 15739  logclog 26697

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5239  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7734  ax-inf2 9611  ax-cnex 11157  ax-resscn 11158  ax-1cn 11159  ax-icn 11160  ax-addcl 11161  ax-addrcl 11162  ax-mulcl 11163  ax-mulrcl 11164  ax-mulcom 11165  ax-addass 11166  ax-mulass 11167  ax-distr 11168  ax-i2m1 11169  ax-1ne0 11170  ax-1rid 11171  ax-rnegex 11172  ax-rrecex 11173  ax-cnre 11174  ax-pre-lttri 11175  ax-pre-lttrn 11176  ax-pre-ltadd 11177  ax-pre-mulgt0 11178  ax-pre-sup 11179  ax-addf 11180

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-tp 4595  df-op 4597  df-uni 4874  df-int 4914  df-iun 4959  df-iin 4960  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-se 5617  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-isom 6547  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-of 7676  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-supp 8158  df-frecs 8279  df-wrecs 8310  df-recs 8359  df-rdg 8398  df-1o 8454  df-2o 8455  df-oadd 8458  df-er 8695  df-map 8827  df-pm 8828  df-ixp 8897  df-en 8945  df-dom 8946  df-sdom 8947  df-fin 8948  df-fsupp 9323  df-fi 9372  df-sup 9403  df-inf 9404  df-oi 9473  df-card 9926  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11444  df-neg 11445  df-div 11873  df-nn 12235  df-2 12304  df-3 12305  df-4 12306  df-5 12307  df-6 12308  df-7 12309  df-8 12310  df-9 12311  df-n0 12506  df-xnn0 12579  df-z 12593  df-dec 12713  df-uz 12864  df-q 12974  df-rp 13018  df-xneg 13138  df-xadd 13139  df-xmul 13140  df-ioo 13377  df-ioc 13378  df-ico 13379  df-icc 13380  df-fz 13537  df-fzo 13685  df-fl 13827  df-mod 13905  df-seq 14040  df-exp 14100  df-fac 14312  df-bc 14341  df-hash 14369  df-shft 15106  df-cj 15152  df-re 15153  df-im 15154  df-sqrt 15288  df-abs 15289  df-limsup 15524  df-clim 15541  df-rlim 15542  df-sum 15740  df-ef 16122  df-sin 16124  df-cos 16125  df-tan 16126  df-pi 16127  df-dvds 16312  df-struct 17208  df-sets 17225  df-slot 17243  df-ndx 17255  df-base 17271  df-ress 17292  df-plusg 17324  df-mulr 17325  df-starv 17326  df-sca 17327  df-vsca 17328  df-ip 17329  df-tset 17330  df-ple 17331  df-ds 17333  df-unif 17334  df-hom 17335  df-cco 17336  df-rest 17476  df-topn 17477  df-0g 17495  df-gsum 17496  df-topgen 17497  df-pt 17498  df-prds 17501  df-xrs 17557  df-qtop 17562  df-imas 17563  df-xps 17565  df-mre 17639  df-mrc 17640  df-acs 17642  df-mgm 18699  df-sgrp 18778  df-mnd 18794  df-submnd 18843  df-mulg 19135  df-cntz 19388  df-cmn 19853  df-psmet 21495  df-xmet 21496  df-met 21497  df-bl 21498  df-mopn 21499  df-fbas 21500  df-fg 21501  df-cnfld 21504  df-top 23032  df-topon 23049  df-topsp 23071  df-bases 23084  df-cld 23157  df-ntr 23158  df-cls 23159  df-nei 23236  df-lp 23274  df-perf 23275  df-cn 23365  df-cnp 23366  df-haus 23453  df-cmp 23525  df-tx 23700  df-hmeo 23893  df-fil 23984  df-fm 24076  df-flim 24077  df-flf 24078  df-xms 24458  df-ms 24459  df-tms 24460  df-cncf 25018  df-limc 26006  df-dv 26007  df-ulm 26518  df-log 26699  df-atan 27010

This theorem is referenced by:  log2le1  27093  birthday  27097