Theorem log2ub 26299

Description: log2 is less than 253 / 365. If written in decimal, this is because log2 = 0.693147... is less than 253/365 = 0.693151... , so this is a very tight bound, at five decimal places. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Apr-2015.) (Proof shortened by AV, 16-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
log2ub	⊢ (log‘2) < (;;253 / ;;365)

Proof of Theorem log2ub

Step	Hyp	Ref	Expression
1		4m1e3 12282	. . . . . . . . 9 ⊢ (4 − 1) = 3
2	1	oveq2i 7368	. . . . . . . 8 ⊢ (0...(4 − 1)) = (0...3)
3	2	sumeq1i 15583	. . . . . . 7 ⊢ Σ𝑛 ∈ (0...(4 − 1))(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛))) = Σ𝑛 ∈ (0...3)(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛)))
4	3	oveq2i 7368	. . . . . 6 ⊢ ((log‘2) − Σ𝑛 ∈ (0...(4 − 1))(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛)))) = ((log‘2) − Σ𝑛 ∈ (0...3)(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛))))
5		4nn0 12432	. . . . . . 7 ⊢ 4 ∈ ℕ0
6		log2tlbnd 26295	. . . . . . 7 ⊢ (4 ∈ ℕ0 → ((log‘2) − Σ𝑛 ∈ (0...(4 − 1))(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛)))) ∈ (0[,](3 / ((4 · ((2 · 4) + 1)) · (9↑4)))))
7	5, 6	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ ((log‘2) − Σ𝑛 ∈ (0...(4 − 1))(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛)))) ∈ (0[,](3 / ((4 · ((2 · 4) + 1)) · (9↑4))))
8	4, 7	eqeltrri 2835	. . . . 5 ⊢ ((log‘2) − Σ𝑛 ∈ (0...3)(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛)))) ∈ (0[,](3 / ((4 · ((2 · 4) + 1)) · (9↑4))))
9		0re 11157	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℝ
10		3re 12233	. . . . . . 7 ⊢ 3 ∈ ℝ
11		4nn 12236	. . . . . . . . 9 ⊢ 4 ∈ ℕ
12		2nn0 12430	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℕ0
13		1nn 12164	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ∈ ℕ
14	12, 5, 13	numnncl 12628	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2 · 4) + 1) ∈ ℕ
15	11, 14	nnmulcli 12178	. . . . . . . 8 ⊢ (4 · ((2 · 4) + 1)) ∈ ℕ
16		9nn 12251	. . . . . . . . 9 ⊢ 9 ∈ ℕ
17		nnexpcl 13980	. . . . . . . . 9 ⊢ ((9 ∈ ℕ ∧ 4 ∈ ℕ0) → (9↑4) ∈ ℕ)
18	16, 5, 17	mp2an 690	. . . . . . . 8 ⊢ (9↑4) ∈ ℕ
19	15, 18	nnmulcli 12178	. . . . . . 7 ⊢ ((4 · ((2 · 4) + 1)) · (9↑4)) ∈ ℕ
20		nndivre 12194	. . . . . . 7 ⊢ ((3 ∈ ℝ ∧ ((4 · ((2 · 4) + 1)) · (9↑4)) ∈ ℕ) → (3 / ((4 · ((2 · 4) + 1)) · (9↑4))) ∈ ℝ)
21	10, 19, 20	mp2an 690	. . . . . 6 ⊢ (3 / ((4 · ((2 · 4) + 1)) · (9↑4))) ∈ ℝ
22	9, 21	elicc2i 13330	. . . . 5 ⊢ (((log‘2) − Σ𝑛 ∈ (0...3)(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛)))) ∈ (0[,](3 / ((4 · ((2 · 4) + 1)) · (9↑4)))) ↔ (((log‘2) − Σ𝑛 ∈ (0...3)(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛)))) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ((log‘2) − Σ𝑛 ∈ (0...3)(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛)))) ∧ ((log‘2) − Σ𝑛 ∈ (0...3)(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛)))) ≤ (3 / ((4 · ((2 · 4) + 1)) · (9↑4)))))
23	8, 22	mpbi 229	. . . 4 ⊢ (((log‘2) − Σ𝑛 ∈ (0...3)(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛)))) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ((log‘2) − Σ𝑛 ∈ (0...3)(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛)))) ∧ ((log‘2) − Σ𝑛 ∈ (0...3)(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛)))) ≤ (3 / ((4 · ((2 · 4) + 1)) · (9↑4))))
24	23	simp3i 1141	. . 3 ⊢ ((log‘2) − Σ𝑛 ∈ (0...3)(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛)))) ≤ (3 / ((4 · ((2 · 4) + 1)) · (9↑4)))
25		2rp 12920	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℝ+
26		relogcl 25931	. . . . 5 ⊢ (2 ∈ ℝ+ → (log‘2) ∈ ℝ)
27	25, 26	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (log‘2) ∈ ℝ
28		fzfid 13878	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → (0...3) ∈ Fin)
29		2re 12227	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℝ
30		3nn 12232	. . . . . . . . 9 ⊢ 3 ∈ ℕ
31		elfznn0 13534	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 ∈ (0...3) → 𝑛 ∈ ℕ0)
32	31	adantl 482	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑛 ∈ (0...3)) → 𝑛 ∈ ℕ0)
33		nn0mulcl 12449	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((2 ∈ ℕ0 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (2 · 𝑛) ∈ ℕ0)
34	12, 32, 33	sylancr 587	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑛 ∈ (0...3)) → (2 · 𝑛) ∈ ℕ0)
35		nn0p1nn 12452	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((2 · 𝑛) ∈ ℕ0 → ((2 · 𝑛) + 1) ∈ ℕ)
36	34, 35	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑛 ∈ (0...3)) → ((2 · 𝑛) + 1) ∈ ℕ)
37		nnmulcl 12177	. . . . . . . . 9 ⊢ ((3 ∈ ℕ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) ∈ ℕ) → (3 · ((2 · 𝑛) + 1)) ∈ ℕ)
38	30, 36, 37	sylancr 587	. . . . . . . 8 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑛 ∈ (0...3)) → (3 · ((2 · 𝑛) + 1)) ∈ ℕ)
39		nnexpcl 13980	. . . . . . . . 9 ⊢ ((9 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (9↑𝑛) ∈ ℕ)
40	16, 32, 39	sylancr 587	. . . . . . . 8 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑛 ∈ (0...3)) → (9↑𝑛) ∈ ℕ)
41	38, 40	nnmulcld 12206	. . . . . . 7 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑛 ∈ (0...3)) → ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛)) ∈ ℕ)
42		nndivre 12194	. . . . . . 7 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛)) ∈ ℕ) → (2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛))) ∈ ℝ)
43	29, 41, 42	sylancr 587	. . . . . 6 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑛 ∈ (0...3)) → (2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛))) ∈ ℝ)
44	28, 43	fsumrecl 15619	. . . . 5 ⊢ (⊤ → Σ𝑛 ∈ (0...3)(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛))) ∈ ℝ)
45	44	mptru 1548	. . . 4 ⊢ Σ𝑛 ∈ (0...3)(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛))) ∈ ℝ
46	27, 45, 21	lesubadd2i 11715	. . 3 ⊢ (((log‘2) − Σ𝑛 ∈ (0...3)(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛)))) ≤ (3 / ((4 · ((2 · 4) + 1)) · (9↑4))) ↔ (log‘2) ≤ (Σ𝑛 ∈ (0...3)(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛))) + (3 / ((4 · ((2 · 4) + 1)) · (9↑4)))))
47	24, 46	mpbi 229	. 2 ⊢ (log‘2) ≤ (Σ𝑛 ∈ (0...3)(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛))) + (3 / ((4 · ((2 · 4) + 1)) · (9↑4))))
48		log2ublem3 26298	. . . . 5 ⊢ (((3↑7) · (5 · 7)) · Σ𝑛 ∈ (0...3)(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛)))) ≤ ;;;;53056
49		3nn0 12431	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℕ0
50		5nn0 12433	. . . . . . . . 9 ⊢ 5 ∈ ℕ0
51	50, 49	deccl 12633	. . . . . . . 8 ⊢ ;53 ∈ ℕ0
52		0nn0 12428	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℕ0
53	51, 52	deccl 12633	. . . . . . 7 ⊢ ;;530 ∈ ℕ0
54	53, 50	deccl 12633	. . . . . 6 ⊢ ;;;5305 ∈ ℕ0
55		6nn0 12434	. . . . . 6 ⊢ 6 ∈ ℕ0
56	54, 55	deccl 12633	. . . . 5 ⊢ ;;;;53056 ∈ ℕ0
57		1nn0 12429	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℕ0
58		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ (Σ𝑛 ∈ (0...3)(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛))) + (3 / ((4 · ((2 · 4) + 1)) · (9↑4)))) = (Σ𝑛 ∈ (0...3)(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛))) + (3 / ((4 · ((2 · 4) + 1)) · (9↑4))))
59		6p1e7 12301	. . . . . 6 ⊢ (6 + 1) = 7
60		eqid 2736	. . . . . 6 ⊢ ;;;;53056 = ;;;;53056
61	54, 55, 59, 60	decsuc 12649	. . . . 5 ⊢ (;;;;53056 + 1) = ;;;;53057
62		5nn 12239	. . . . . . . . . 10 ⊢ 5 ∈ ℕ
63		7nn 12245	. . . . . . . . . 10 ⊢ 7 ∈ ℕ
64	62, 63	nnmulcli 12178	. . . . . . . . 9 ⊢ (5 · 7) ∈ ℕ
65	64	nnrei 12162	. . . . . . . 8 ⊢ (5 · 7) ∈ ℝ
66	15	nnrei 12162	. . . . . . . 8 ⊢ (4 · ((2 · 4) + 1)) ∈ ℝ
67		6nn 12242	. . . . . . . . . 10 ⊢ 6 ∈ ℕ
68		5lt6 12334	. . . . . . . . . 10 ⊢ 5 < 6
69	49, 50, 67, 68	declt 12646	. . . . . . . . 9 ⊢ ;35 < ;36
70		7cn 12247	. . . . . . . . . 10 ⊢ 7 ∈ ℂ
71		5cn 12241	. . . . . . . . . 10 ⊢ 5 ∈ ℂ
72		7t5e35 12730	. . . . . . . . . 10 ⊢ (7 · 5) = ;35
73	70, 71, 72	mulcomli 11164	. . . . . . . . 9 ⊢ (5 · 7) = ;35
74		4cn 12238	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 4 ∈ ℂ
75		2cn 12228	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 2 ∈ ℂ
76		4t2e8 12321	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (4 · 2) = 8
77	74, 75, 76	mulcomli 11164	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (2 · 4) = 8
78	77	oveq1i 7367	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((2 · 4) + 1) = (8 + 1)
79		8p1e9 12303	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (8 + 1) = 9
80	78, 79	eqtri 2764	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((2 · 4) + 1) = 9
81	80	oveq2i 7368	. . . . . . . . . 10 ⊢ (4 · ((2 · 4) + 1)) = (4 · 9)
82		9cn 12253	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 9 ∈ ℂ
83		9t4e36 12742	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (9 · 4) = ;36
84	82, 74, 83	mulcomli 11164	. . . . . . . . . 10 ⊢ (4 · 9) = ;36
85	81, 84	eqtri 2764	. . . . . . . . 9 ⊢ (4 · ((2 · 4) + 1)) = ;36
86	69, 73, 85	3brtr4i 5135	. . . . . . . 8 ⊢ (5 · 7) < (4 · ((2 · 4) + 1))
87	65, 66, 86	ltleii 11278	. . . . . . 7 ⊢ (5 · 7) ≤ (4 · ((2 · 4) + 1))
88	18	nngt0i 12192	. . . . . . . 8 ⊢ 0 < (9↑4)
89	18	nnrei 12162	. . . . . . . . 9 ⊢ (9↑4) ∈ ℝ
90	65, 66, 89	lemul2i 12078	. . . . . . . 8 ⊢ (0 < (9↑4) → ((5 · 7) ≤ (4 · ((2 · 4) + 1)) ↔ ((9↑4) · (5 · 7)) ≤ ((9↑4) · (4 · ((2 · 4) + 1)))))
91	88, 90	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ ((5 · 7) ≤ (4 · ((2 · 4) + 1)) ↔ ((9↑4) · (5 · 7)) ≤ ((9↑4) · (4 · ((2 · 4) + 1))))
92	87, 91	mpbi 229	. . . . . 6 ⊢ ((9↑4) · (5 · 7)) ≤ ((9↑4) · (4 · ((2 · 4) + 1)))
93		7nn0 12435	. . . . . . . . . 10 ⊢ 7 ∈ ℕ0
94		nnexpcl 13980	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((3 ∈ ℕ ∧ 7 ∈ ℕ0) → (3↑7) ∈ ℕ)
95	30, 93, 94	mp2an 690	. . . . . . . . 9 ⊢ (3↑7) ∈ ℕ
96	95	nncni 12163	. . . . . . . 8 ⊢ (3↑7) ∈ ℂ
97	64	nncni 12163	. . . . . . . 8 ⊢ (5 · 7) ∈ ℂ
98		3cn 12234	. . . . . . . 8 ⊢ 3 ∈ ℂ
99	96, 97, 98	mul32i 11351	. . . . . . 7 ⊢ (((3↑7) · (5 · 7)) · 3) = (((3↑7) · 3) · (5 · 7))
100	74, 75	mulcomi 11163	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (4 · 2) = (2 · 4)
101		df-8 12222	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 8 = (7 + 1)
102	76, 100, 101	3eqtr3i 2772	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (2 · 4) = (7 + 1)
103	102	oveq2i 7368	. . . . . . . . . 10 ⊢ (3↑(2 · 4)) = (3↑(7 + 1))
104		expmul 14013	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((3 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℕ0 ∧ 4 ∈ ℕ0) → (3↑(2 · 4)) = ((3↑2)↑4))
105	98, 12, 5, 104	mp3an 1461	. . . . . . . . . 10 ⊢ (3↑(2 · 4)) = ((3↑2)↑4)
106	103, 105	eqtr3i 2766	. . . . . . . . 9 ⊢ (3↑(7 + 1)) = ((3↑2)↑4)
107		expp1 13974	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((3 ∈ ℂ ∧ 7 ∈ ℕ0) → (3↑(7 + 1)) = ((3↑7) · 3))
108	98, 93, 107	mp2an 690	. . . . . . . . 9 ⊢ (3↑(7 + 1)) = ((3↑7) · 3)
109		sq3 14102	. . . . . . . . . 10 ⊢ (3↑2) = 9
110	109	oveq1i 7367	. . . . . . . . 9 ⊢ ((3↑2)↑4) = (9↑4)
111	106, 108, 110	3eqtr3i 2772	. . . . . . . 8 ⊢ ((3↑7) · 3) = (9↑4)
112	111	oveq1i 7367	. . . . . . 7 ⊢ (((3↑7) · 3) · (5 · 7)) = ((9↑4) · (5 · 7))
113	99, 112	eqtri 2764	. . . . . 6 ⊢ (((3↑7) · (5 · 7)) · 3) = ((9↑4) · (5 · 7))
114	15	nncni 12163	. . . . . . . . 9 ⊢ (4 · ((2 · 4) + 1)) ∈ ℂ
115	18	nncni 12163	. . . . . . . . 9 ⊢ (9↑4) ∈ ℂ
116	114, 115	mulcomi 11163	. . . . . . . 8 ⊢ ((4 · ((2 · 4) + 1)) · (9↑4)) = ((9↑4) · (4 · ((2 · 4) + 1)))
117	116	oveq1i 7367	. . . . . . 7 ⊢ (((4 · ((2 · 4) + 1)) · (9↑4)) · 1) = (((9↑4) · (4 · ((2 · 4) + 1))) · 1)
118	115, 114	mulcli 11162	. . . . . . . 8 ⊢ ((9↑4) · (4 · ((2 · 4) + 1))) ∈ ℂ
119	118	mulid1i 11159	. . . . . . 7 ⊢ (((9↑4) · (4 · ((2 · 4) + 1))) · 1) = ((9↑4) · (4 · ((2 · 4) + 1)))
120	117, 119	eqtri 2764	. . . . . 6 ⊢ (((4 · ((2 · 4) + 1)) · (9↑4)) · 1) = ((9↑4) · (4 · ((2 · 4) + 1)))
121	92, 113, 120	3brtr4i 5135	. . . . 5 ⊢ (((3↑7) · (5 · 7)) · 3) ≤ (((4 · ((2 · 4) + 1)) · (9↑4)) · 1)
122	48, 45, 49, 19, 56, 57, 58, 61, 121	log2ublem1 26296	. . . 4 ⊢ (((3↑7) · (5 · 7)) · (Σ𝑛 ∈ (0...3)(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛))) + (3 / ((4 · ((2 · 4) + 1)) · (9↑4))))) ≤ ;;;;53057
123	45, 21	readdcli 11170	. . . . 5 ⊢ (Σ𝑛 ∈ (0...3)(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛))) + (3 / ((4 · ((2 · 4) + 1)) · (9↑4)))) ∈ ℝ
124	54, 93	deccl 12633	. . . . . 6 ⊢ ;;;;53057 ∈ ℕ0
125	124	nn0rei 12424	. . . . 5 ⊢ ;;;;53057 ∈ ℝ
126	95, 64	nnmulcli 12178	. . . . . . 7 ⊢ ((3↑7) · (5 · 7)) ∈ ℕ
127	126	nnrei 12162	. . . . . 6 ⊢ ((3↑7) · (5 · 7)) ∈ ℝ
128	126	nngt0i 12192	. . . . . 6 ⊢ 0 < ((3↑7) · (5 · 7))
129	127, 128	pm3.2i 471	. . . . 5 ⊢ (((3↑7) · (5 · 7)) ∈ ℝ ∧ 0 < ((3↑7) · (5 · 7)))
130		lemuldiv2 12036	. . . . 5 ⊢ (((Σ𝑛 ∈ (0...3)(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛))) + (3 / ((4 · ((2 · 4) + 1)) · (9↑4)))) ∈ ℝ ∧ ;;;;53057 ∈ ℝ ∧ (((3↑7) · (5 · 7)) ∈ ℝ ∧ 0 < ((3↑7) · (5 · 7)))) → ((((3↑7) · (5 · 7)) · (Σ𝑛 ∈ (0...3)(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛))) + (3 / ((4 · ((2 · 4) + 1)) · (9↑4))))) ≤ ;;;;53057 ↔ (Σ𝑛 ∈ (0...3)(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛))) + (3 / ((4 · ((2 · 4) + 1)) · (9↑4)))) ≤ (;;;;53057 / ((3↑7) · (5 · 7)))))
131	123, 125, 129, 130	mp3an 1461	. . . 4 ⊢ ((((3↑7) · (5 · 7)) · (Σ𝑛 ∈ (0...3)(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛))) + (3 / ((4 · ((2 · 4) + 1)) · (9↑4))))) ≤ ;;;;53057 ↔ (Σ𝑛 ∈ (0...3)(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛))) + (3 / ((4 · ((2 · 4) + 1)) · (9↑4)))) ≤ (;;;;53057 / ((3↑7) · (5 · 7))))
132	122, 131	mpbi 229	. . 3 ⊢ (Σ𝑛 ∈ (0...3)(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛))) + (3 / ((4 · ((2 · 4) + 1)) · (9↑4)))) ≤ (;;;;53057 / ((3↑7) · (5 · 7)))
133		8nn0 12436	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 8 ∈ ℕ0
134	49, 133	deccl 12633	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ;38 ∈ ℕ0
135	134, 93	deccl 12633	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ;;387 ∈ ℕ0
136	135, 49	deccl 12633	. . . . . . . . . 10 ⊢ ;;;3873 ∈ ℕ0
137	136, 57	deccl 12633	. . . . . . . . 9 ⊢ ;;;;38731 ∈ ℕ0
138	137, 55	deccl 12633	. . . . . . . 8 ⊢ ;;;;;387316 ∈ ℕ0
139	137, 93	deccl 12633	. . . . . . . 8 ⊢ ;;;;;387317 ∈ ℕ0
140		1lt10 12757	. . . . . . . 8 ⊢ 1 < ;10
141		6lt7 12339	. . . . . . . . 9 ⊢ 6 < 7
142	137, 55, 63, 141	declt 12646	. . . . . . . 8 ⊢ ;;;;;387316 < ;;;;;387317
143	138, 139, 57, 93, 140, 142	decltc 12647	. . . . . . 7 ⊢ ;;;;;;3873161 < ;;;;;;3873177
144		eqid 2736	. . . . . . . 8 ⊢ ;73 = ;73
145	57, 50	deccl 12633	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ;15 ∈ ℕ0
146		9nn0 12437	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 9 ∈ ℕ0
147	145, 146	deccl 12633	. . . . . . . . . 10 ⊢ ;;159 ∈ ℕ0
148	147, 57	deccl 12633	. . . . . . . . 9 ⊢ ;;;1591 ∈ ℕ0
149	148, 93	deccl 12633	. . . . . . . 8 ⊢ ;;;;15917 ∈ ℕ0
150		eqid 2736	. . . . . . . . 9 ⊢ ;;;;53057 = ;;;;53057
151		eqid 2736	. . . . . . . . 9 ⊢ ;;;;15917 = ;;;;15917
152		eqid 2736	. . . . . . . . . 10 ⊢ ;;;5305 = ;;;5305
153		eqid 2736	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ;;;1591 = ;;;1591
154		ax-1cn 11109	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 1 ∈ ℂ
155		5p1e6 12300	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (5 + 1) = 6
156	71, 154, 155	addcomli 11347	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1 + 5) = 6
157	147, 57, 50, 153, 156	decaddi 12678	. . . . . . . . . 10 ⊢ (;;;1591 + 5) = ;;;1596
158	57, 55	deccl 12633	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ;16 ∈ ℕ0
159		eqid 2736	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ;;530 = ;;530
160		eqid 2736	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ;;159 = ;;159
161		eqid 2736	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ;15 = ;15
162	57, 50, 155, 161	decsuc 12649	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (;15 + 1) = ;16
163		9p4e13 12707	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (9 + 4) = ;13
164	145, 146, 5, 160, 162, 49, 163	decaddci 12679	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (;;159 + 4) = ;;163
165		eqid 2736	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ;53 = ;53
166	158	nn0cni 12425	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ;16 ∈ ℂ
167	166	addid1i 11342	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (;16 + 0) = ;16
168		1p2e3 12296	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (1 + 2) = 3
169	168	oveq2i 7368	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((5 · 7) + (1 + 2)) = ((5 · 7) + 3)
170		5p3e8 12310	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (5 + 3) = 8
171	49, 50, 49, 73, 170	decaddi 12678	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((5 · 7) + 3) = ;38
172	169, 171	eqtri 2764	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((5 · 7) + (1 + 2)) = ;38
173		7t3e21 12728	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (7 · 3) = ;21
174	70, 98, 173	mulcomli 11164	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (3 · 7) = ;21
175		6cn 12244	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 6 ∈ ℂ
176	175, 154, 59	addcomli 11347	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (1 + 6) = 7
177	12, 57, 55, 174, 176	decaddi 12678	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((3 · 7) + 6) = ;27
178	50, 49, 57, 55, 165, 167, 93, 93, 12, 172, 177	decmac 12670	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((;53 · 7) + (;16 + 0)) = ;;387
179	70	mul02i 11344	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (0 · 7) = 0
180	179	oveq1i 7367	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((0 · 7) + 3) = (0 + 3)
181	98	addid2i 11343	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (0 + 3) = 3
182	49	dec0h 12640	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 3 = ;03
183	181, 182	eqtri 2764	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (0 + 3) = ;03
184	180, 183	eqtri 2764	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((0 · 7) + 3) = ;03
185	51, 52, 158, 49, 159, 164, 93, 49, 52, 178, 184	decmac 12670	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((;;530 · 7) + (;;159 + 4)) = ;;;3873
186		3p1e4 12298	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (3 + 1) = 4
187		6p5e11 12691	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (6 + 5) = ;11
188	175, 71, 187	addcomli 11347	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (5 + 6) = ;11
189	49, 50, 55, 73, 186, 57, 188	decaddci 12679	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((5 · 7) + 6) = ;41
190	53, 50, 147, 55, 152, 157, 93, 57, 5, 185, 189	decmac 12670	. . . . . . . . 9 ⊢ ((;;;5305 · 7) + (;;;1591 + 5)) = ;;;;38731
191		7t7e49 12732	. . . . . . . . . 10 ⊢ (7 · 7) = ;49
192		4p1e5 12299	. . . . . . . . . 10 ⊢ (4 + 1) = 5
193		9p7e16 12710	. . . . . . . . . 10 ⊢ (9 + 7) = ;16
194	5, 146, 93, 191, 192, 55, 193	decaddci 12679	. . . . . . . . 9 ⊢ ((7 · 7) + 7) = ;56
195	54, 93, 148, 93, 150, 151, 93, 55, 50, 190, 194	decmac 12670	. . . . . . . 8 ⊢ ((;;;;53057 · 7) + ;;;;15917) = ;;;;;387316
196	12	dec0h 12640	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 = ;02
197	154	addid2i 11343	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (0 + 1) = 1
198	57	dec0h 12640	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 1 = ;01
199	197, 198	eqtri 2764	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0 + 1) = ;01
200		00id 11330	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (0 + 0) = 0
201	52	dec0h 12640	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 0 = ;00
202	200, 201	eqtri 2764	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (0 + 0) = ;00
203		5t3e15 12719	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (5 · 3) = ;15
204	203	oveq1i 7367	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((5 · 3) + 0) = (;15 + 0)
205	145	nn0cni 12425	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ;15 ∈ ℂ
206	205	addid1i 11342	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (;15 + 0) = ;15
207	204, 206	eqtri 2764	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((5 · 3) + 0) = ;15
208		3t3e9 12320	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (3 · 3) = 9
209	208	oveq1i 7367	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((3 · 3) + 0) = (9 + 0)
210	82	addid1i 11342	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (9 + 0) = 9
211	209, 210	eqtri 2764	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((3 · 3) + 0) = 9
212	50, 49, 52, 52, 165, 202, 49, 207, 211	decma 12669	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((;53 · 3) + (0 + 0)) = ;;159
213	98	mul02i 11344	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (0 · 3) = 0
214	213	oveq1i 7367	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((0 · 3) + 1) = (0 + 1)
215	214, 199	eqtri 2764	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((0 · 3) + 1) = ;01
216	51, 52, 52, 57, 159, 199, 49, 57, 52, 212, 215	decmac 12670	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((;;530 · 3) + (0 + 1)) = ;;;1591
217		5p2e7 12309	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (5 + 2) = 7
218	57, 50, 12, 203, 217	decaddi 12678	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((5 · 3) + 2) = ;17
219	53, 50, 52, 12, 152, 196, 49, 93, 57, 216, 218	decmac 12670	. . . . . . . . 9 ⊢ ((;;;5305 · 3) + 2) = ;;;;15917
220	49, 54, 93, 150, 57, 12, 219, 173	decmul1c 12683	. . . . . . . 8 ⊢ (;;;;53057 · 3) = ;;;;;159171
221	124, 93, 49, 144, 57, 149, 195, 220	decmul2c 12684	. . . . . . 7 ⊢ (;;;;53057 · ;73) = ;;;;;;3873161
222	50, 50	deccl 12633	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ;55 ∈ ℕ0
223	222, 49	deccl 12633	. . . . . . . . . 10 ⊢ ;;553 ∈ ℕ0
224	223, 49	deccl 12633	. . . . . . . . 9 ⊢ ;;;5533 ∈ ℕ0
225	224, 57	deccl 12633	. . . . . . . 8 ⊢ ;;;;55331 ∈ ℕ0
226	12, 50	deccl 12633	. . . . . . . . . 10 ⊢ ;25 ∈ ℕ0
227	226, 49	deccl 12633	. . . . . . . . 9 ⊢ ;;253 ∈ ℕ0
228	12, 57	deccl 12633	. . . . . . . . . 10 ⊢ ;21 ∈ ℕ0
229	228, 133	deccl 12633	. . . . . . . . 9 ⊢ ;;218 ∈ ℕ0
230	93, 12	deccl 12633	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ;72 ∈ ℕ0
231		3t2e6 12319	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (3 · 2) = 6
232	98, 75, 231	mulcomli 11164	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (2 · 3) = 6
233		3exp3 16964	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (3↑3) = ;27
234	12, 93	deccl 12633	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ;27 ∈ ℕ0
235		eqid 2736	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ;27 = ;27
236	57, 133	deccl 12633	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ;18 ∈ ℕ0
237		eqid 2736	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ;18 = ;18
238		2t2e4 12317	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (2 · 2) = 4
239	238, 168	oveq12i 7369	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((2 · 2) + (1 + 2)) = (4 + 3)
240		4p3e7 12307	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (4 + 3) = 7
241	239, 240	eqtri 2764	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((2 · 2) + (1 + 2)) = 7
242		7t2e14 12727	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (7 · 2) = ;14
243		1p1e2 12278	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (1 + 1) = 2
244		8cn 12250	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 8 ∈ ℂ
245		8p4e12 12700	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (8 + 4) = ;12
246	244, 74, 245	addcomli 11347	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (4 + 8) = ;12
247	57, 5, 133, 242, 243, 12, 246	decaddci 12679	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((7 · 2) + 8) = ;22
248	12, 93, 57, 133, 235, 237, 12, 12, 12, 241, 247	decmac 12670	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((;27 · 2) + ;18) = ;72
249	70, 75, 242	mulcomli 11164	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (2 · 7) = ;14
250		4p4e8 12308	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (4 + 4) = 8
251	57, 5, 5, 249, 250	decaddi 12678	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((2 · 7) + 4) = ;18
252	93, 12, 93, 235, 146, 5, 251, 191	decmul1c 12683	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (;27 · 7) = ;;189
253	234, 12, 93, 235, 146, 236, 248, 252	decmul2c 12684	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (;27 · ;27) = ;;729
254	49, 49, 232, 233, 253	numexp2x 16951	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (3↑6) = ;;729
255		eqid 2736	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ;72 = ;72
256	232	oveq1i 7367	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((2 · 3) + 2) = (6 + 2)
257		6p2e8 12312	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (6 + 2) = 8
258	256, 257	eqtri 2764	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((2 · 3) + 2) = 8
259	93, 12, 12, 255, 49, 173, 258	decrmanc 12675	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((;72 · 3) + 2) = ;;218
260		9t3e27 12741	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (9 · 3) = ;27
261	49, 230, 146, 254, 93, 12, 259, 260	decmul1c 12683	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((3↑6) · 3) = ;;;2187
262	49, 55, 59, 261	numexpp1 16950	. . . . . . . . 9 ⊢ (3↑7) = ;;;2187
263	57, 93	deccl 12633	. . . . . . . . . 10 ⊢ ;17 ∈ ℕ0
264	263, 93	deccl 12633	. . . . . . . . 9 ⊢ ;;177 ∈ ℕ0
265		eqid 2736	. . . . . . . . . 10 ⊢ ;;218 = ;;218
266		eqid 2736	. . . . . . . . . 10 ⊢ ;;177 = ;;177
267	12, 52	deccl 12633	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ;20 ∈ ℕ0
268	267, 49	deccl 12633	. . . . . . . . . 10 ⊢ ;;203 ∈ ℕ0
269	12, 12	deccl 12633	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ;22 ∈ ℕ0
270		eqid 2736	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ;21 = ;21
271		eqid 2736	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ;17 = ;17
272		eqid 2736	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ;;203 = ;;203
273		eqid 2736	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ;20 = ;20
274	75	addid2i 11343	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (0 + 2) = 2
275	154	addid1i 11342	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (1 + 0) = 1
276	52, 57, 12, 52, 198, 273, 274, 275	decadd 12672	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (1 + ;20) = ;21
277	12, 57, 243, 276	decsuc 12649	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((1 + ;20) + 1) = ;22
278		7p3e10 12693	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (7 + 3) = ;10
279	57, 93, 267, 49, 271, 272, 277, 278	decaddc2 12674	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (;17 + ;;203) = ;;220
280		eqid 2736	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ;;253 = ;;253
281		eqid 2736	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ;22 = ;22
282		eqid 2736	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ;25 = ;25
283		2p2e4 12288	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (2 + 2) = 4
284	71, 75, 217	addcomli 11347	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (2 + 5) = 7
285	12, 12, 12, 50, 281, 282, 283, 284	decadd 12672	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (;22 + ;25) = ;47
286	50	dec0h 12640	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 5 = ;05
287	192, 286	eqtri 2764	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (4 + 1) = ;05
288	238, 197	oveq12i 7369	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((2 · 2) + (0 + 1)) = (4 + 1)
289	288, 192	eqtri 2764	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((2 · 2) + (0 + 1)) = 5
290		5t2e10 12718	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (5 · 2) = ;10
291	71	addid2i 11343	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (0 + 5) = 5
292	57, 52, 50, 290, 291	decaddi 12678	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((5 · 2) + 5) = ;15
293	12, 50, 52, 50, 282, 287, 12, 50, 57, 289, 292	decmac 12670	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((;25 · 2) + (4 + 1)) = ;55
294	231	oveq1i 7367	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((3 · 2) + 7) = (6 + 7)
295		7p6e13 12696	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (7 + 6) = ;13
296	70, 175, 295	addcomli 11347	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (6 + 7) = ;13
297	294, 296	eqtri 2764	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((3 · 2) + 7) = ;13
298	226, 49, 5, 93, 280, 285, 12, 49, 57, 293, 297	decmac 12670	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((;;253 · 2) + (;22 + ;25)) = ;;553
299	227	nn0cni 12425	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ;;253 ∈ ℂ
300	299	mulid1i 11159	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (;;253 · 1) = ;;253
301	300	oveq1i 7367	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((;;253 · 1) + 0) = (;;253 + 0)
302	299	addid1i 11342	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (;;253 + 0) = ;;253
303	301, 302	eqtri 2764	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((;;253 · 1) + 0) = ;;253
304	12, 57, 269, 52, 270, 279, 227, 49, 226, 298, 303	decma2c 12671	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((;;253 · ;21) + (;17 + ;;203)) = ;;;5533
305	93	dec0h 12640	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 7 = ;07
306	74	addid2i 11343	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (0 + 4) = 4
307	306	oveq2i 7368	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((2 · 8) + (0 + 4)) = ((2 · 8) + 4)
308		8t2e16 12733	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (8 · 2) = ;16
309	244, 75, 308	mulcomli 11164	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (2 · 8) = ;16
310		6p4e10 12690	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (6 + 4) = ;10
311	57, 55, 5, 309, 243, 310	decaddci2 12680	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((2 · 8) + 4) = ;20
312	307, 311	eqtri 2764	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((2 · 8) + (0 + 4)) = ;20
313		8t5e40 12736	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (8 · 5) = ;40
314	244, 71, 313	mulcomli 11164	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (5 · 8) = ;40
315	5, 52, 49, 314, 181	decaddi 12678	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((5 · 8) + 3) = ;43
316	12, 50, 52, 49, 282, 183, 133, 49, 5, 312, 315	decmac 12670	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((;25 · 8) + (0 + 3)) = ;;203
317		8t3e24 12734	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (8 · 3) = ;24
318	244, 98, 317	mulcomli 11164	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (3 · 8) = ;24
319		2p1e3 12295	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (2 + 1) = 3
320		7p4e11 12694	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (7 + 4) = ;11
321	70, 74, 320	addcomli 11347	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (4 + 7) = ;11
322	12, 5, 93, 318, 319, 57, 321	decaddci 12679	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((3 · 8) + 7) = ;31
323	226, 49, 52, 93, 280, 305, 133, 57, 49, 316, 322	decmac 12670	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((;;253 · 8) + 7) = ;;;2031
324	228, 133, 263, 93, 265, 266, 227, 57, 268, 304, 323	decma2c 12671	. . . . . . . . 9 ⊢ ((;;253 · ;;218) + ;;177) = ;;;;55331
325	57, 5, 49, 249, 240	decaddi 12678	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((2 · 7) + 3) = ;17
326	49, 50, 12, 73, 217	decaddi 12678	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((5 · 7) + 2) = ;37
327	12, 50, 12, 282, 93, 93, 49, 325, 326	decrmac 12676	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((;25 · 7) + 2) = ;;177
328	93, 226, 49, 280, 57, 12, 327, 174	decmul1c 12683	. . . . . . . . 9 ⊢ (;;253 · 7) = ;;;1771
329	227, 229, 93, 262, 57, 264, 324, 328	decmul2c 12684	. . . . . . . 8 ⊢ (;;253 · (3↑7)) = ;;;;;553311
330		eqid 2736	. . . . . . . . 9 ⊢ ;;;;55331 = ;;;;55331
331		eqid 2736	. . . . . . . . . 10 ⊢ ;;;5533 = ;;;5533
332		eqid 2736	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ;;553 = ;;553
333		eqid 2736	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ;55 = ;55
334	274, 196	eqtri 2764	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (0 + 2) = ;02
335	181	oveq2i 7368	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((5 · 7) + (0 + 3)) = ((5 · 7) + 3)
336	335, 171	eqtri 2764	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((5 · 7) + (0 + 3)) = ;38
337	50, 50, 52, 12, 333, 334, 93, 93, 49, 336, 326	decmac 12670	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((;55 · 7) + (0 + 2)) = ;;387
338	12, 57, 12, 174, 168	decaddi 12678	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((3 · 7) + 2) = ;23
339	222, 49, 52, 12, 332, 196, 93, 49, 12, 337, 338	decmac 12670	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((;;553 · 7) + 2) = ;;;3873
340	93, 223, 49, 331, 57, 12, 339, 174	decmul1c 12683	. . . . . . . . 9 ⊢ (;;;5533 · 7) = ;;;;38731
341	70	mulid2i 11160	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 · 7) = 7
342	93, 224, 57, 330, 340, 341	decmul1 12682	. . . . . . . 8 ⊢ (;;;;55331 · 7) = ;;;;;387317
343	93, 225, 57, 329, 342, 341	decmul1 12682	. . . . . . 7 ⊢ ((;;253 · (3↑7)) · 7) = ;;;;;;3873177
344	143, 221, 343	3brtr4i 5135	. . . . . 6 ⊢ (;;;;53057 · ;73) < ((;;253 · (3↑7)) · 7)
345	93, 49	deccl 12633	. . . . . . . . 9 ⊢ ;73 ∈ ℕ0
346	124, 345	nn0mulcli 12451	. . . . . . . 8 ⊢ (;;;;53057 · ;73) ∈ ℕ0
347	346	nn0rei 12424	. . . . . . 7 ⊢ (;;;;53057 · ;73) ∈ ℝ
348	49, 93	nn0expcli 13994	. . . . . . . . . 10 ⊢ (3↑7) ∈ ℕ0
349	227, 348	nn0mulcli 12451	. . . . . . . . 9 ⊢ (;;253 · (3↑7)) ∈ ℕ0
350	349, 93	nn0mulcli 12451	. . . . . . . 8 ⊢ ((;;253 · (3↑7)) · 7) ∈ ℕ0
351	350	nn0rei 12424	. . . . . . 7 ⊢ ((;;253 · (3↑7)) · 7) ∈ ℝ
352	62	nnrei 12162	. . . . . . 7 ⊢ 5 ∈ ℝ
353	62	nngt0i 12192	. . . . . . 7 ⊢ 0 < 5
354	347, 351, 352, 353	ltmul1ii 12083	. . . . . 6 ⊢ ((;;;;53057 · ;73) < ((;;253 · (3↑7)) · 7) ↔ ((;;;;53057 · ;73) · 5) < (((;;253 · (3↑7)) · 7) · 5))
355	344, 354	mpbi 229	. . . . 5 ⊢ ((;;;;53057 · ;73) · 5) < (((;;253 · (3↑7)) · 7) · 5)
356	124	nn0cni 12425	. . . . . . 7 ⊢ ;;;;53057 ∈ ℂ
357	345	nn0cni 12425	. . . . . . 7 ⊢ ;73 ∈ ℂ
358	356, 357, 71	mulassi 11166	. . . . . 6 ⊢ ((;;;;53057 · ;73) · 5) = (;;;;53057 · (;73 · 5))
359	49, 50, 155, 72	decsuc 12649	. . . . . . . 8 ⊢ ((7 · 5) + 1) = ;36
360	71, 98, 203	mulcomli 11164	. . . . . . . 8 ⊢ (3 · 5) = ;15
361	50, 93, 49, 144, 50, 57, 359, 360	decmul1c 12683	. . . . . . 7 ⊢ (;73 · 5) = ;;365
362	361	oveq2i 7368	. . . . . 6 ⊢ (;;;;53057 · (;73 · 5)) = (;;;;53057 · ;;365)
363	358, 362	eqtri 2764	. . . . 5 ⊢ ((;;;;53057 · ;73) · 5) = (;;;;53057 · ;;365)
364	299, 96	mulcli 11162	. . . . . . 7 ⊢ (;;253 · (3↑7)) ∈ ℂ
365	364, 70, 71	mulassi 11166	. . . . . 6 ⊢ (((;;253 · (3↑7)) · 7) · 5) = ((;;253 · (3↑7)) · (7 · 5))
366	70, 71	mulcomi 11163	. . . . . . . 8 ⊢ (7 · 5) = (5 · 7)
367	366	oveq2i 7368	. . . . . . 7 ⊢ ((;;253 · (3↑7)) · (7 · 5)) = ((;;253 · (3↑7)) · (5 · 7))
368	299, 96, 97	mulassi 11166	. . . . . . 7 ⊢ ((;;253 · (3↑7)) · (5 · 7)) = (;;253 · ((3↑7) · (5 · 7)))
369	367, 368	eqtri 2764	. . . . . 6 ⊢ ((;;253 · (3↑7)) · (7 · 5)) = (;;253 · ((3↑7) · (5 · 7)))
370	365, 369	eqtri 2764	. . . . 5 ⊢ (((;;253 · (3↑7)) · 7) · 5) = (;;253 · ((3↑7) · (5 · 7)))
371	355, 363, 370	3brtr3i 5134	. . . 4 ⊢ (;;;;53057 · ;;365) < (;;253 · ((3↑7) · (5 · 7)))
372	49, 55	deccl 12633	. . . . . . . 8 ⊢ ;36 ∈ ℕ0
373	372, 62	decnncl 12638	. . . . . . 7 ⊢ ;;365 ∈ ℕ
374	373	nnrei 12162	. . . . . 6 ⊢ ;;365 ∈ ℝ
375	373	nngt0i 12192	. . . . . 6 ⊢ 0 < ;;365
376	374, 375	pm3.2i 471	. . . . 5 ⊢ (;;365 ∈ ℝ ∧ 0 < ;;365)
377	227	nn0rei 12424	. . . . 5 ⊢ ;;253 ∈ ℝ
378		lt2mul2div 12033	. . . . 5 ⊢ (((;;;;53057 ∈ ℝ ∧ (;;365 ∈ ℝ ∧ 0 < ;;365)) ∧ (;;253 ∈ ℝ ∧ (((3↑7) · (5 · 7)) ∈ ℝ ∧ 0 < ((3↑7) · (5 · 7))))) → ((;;;;53057 · ;;365) < (;;253 · ((3↑7) · (5 · 7))) ↔ (;;;;53057 / ((3↑7) · (5 · 7))) < (;;253 / ;;365)))
379	125, 376, 377, 129, 378	mp4an 691	. . . 4 ⊢ ((;;;;53057 · ;;365) < (;;253 · ((3↑7) · (5 · 7))) ↔ (;;;;53057 / ((3↑7) · (5 · 7))) < (;;253 / ;;365))
380	371, 379	mpbi 229	. . 3 ⊢ (;;;;53057 / ((3↑7) · (5 · 7))) < (;;253 / ;;365)
381		nndivre 12194	. . . . 5 ⊢ ((;;;;53057 ∈ ℝ ∧ ((3↑7) · (5 · 7)) ∈ ℕ) → (;;;;53057 / ((3↑7) · (5 · 7))) ∈ ℝ)
382	125, 126, 381	mp2an 690	. . . 4 ⊢ (;;;;53057 / ((3↑7) · (5 · 7))) ∈ ℝ
383		nndivre 12194	. . . . 5 ⊢ ((;;253 ∈ ℝ ∧ ;;365 ∈ ℕ) → (;;253 / ;;365) ∈ ℝ)
384	377, 373, 383	mp2an 690	. . . 4 ⊢ (;;253 / ;;365) ∈ ℝ
385	123, 382, 384	lelttri 11282	. . 3 ⊢ (((Σ𝑛 ∈ (0...3)(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛))) + (3 / ((4 · ((2 · 4) + 1)) · (9↑4)))) ≤ (;;;;53057 / ((3↑7) · (5 · 7))) ∧ (;;;;53057 / ((3↑7) · (5 · 7))) < (;;253 / ;;365)) → (Σ𝑛 ∈ (0...3)(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛))) + (3 / ((4 · ((2 · 4) + 1)) · (9↑4)))) < (;;253 / ;;365))
386	132, 380, 385	mp2an 690	. 2 ⊢ (Σ𝑛 ∈ (0...3)(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛))) + (3 / ((4 · ((2 · 4) + 1)) · (9↑4)))) < (;;253 / ;;365)
387	27, 123, 384	lelttri 11282	. 2 ⊢ (((log‘2) ≤ (Σ𝑛 ∈ (0...3)(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛))) + (3 / ((4 · ((2 · 4) + 1)) · (9↑4)))) ∧ (Σ𝑛 ∈ (0...3)(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛))) + (3 / ((4 · ((2 · 4) + 1)) · (9↑4)))) < (;;253 / ;;365)) → (log‘2) < (;;253 / ;;365))
388	47, 386, 387	mp2an 690	1 ⊢ (log‘2) < (;;253 / ;;365)

Syntax hints:   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541  ⊤wtru 1542   ∈ wcel 2106   class class class wbr 5105  ‘cfv 6496  (class class class)co 7357  ℂcc 11049  ℝcr 11050  0cc0 11051  1c1 11052   + caddc 11054   · cmul 11056   < clt 11189   ≤ cle 11190   − cmin 11385   / cdiv 11812  ℕcn 12153  2c2 12208  3c3 12209  4c4 12210  5c5 12211  6c6 12212  7c7 12213  8c8 12214  9c9 12215  ℕ₀cn0 12413  ;cdc 12618  ℝ⁺crp 12915  [,]cicc 13267  ...cfz 13424  ↑cexp 13967  Σcsu 15570  logclog 25910

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-inf2 9577  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129  ax-addf 11130  ax-mulf 11131

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-tp 4591  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-se 5589  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-isom 6505  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-of 7617  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-supp 8093  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-2o 8413  df-oadd 8416  df-er 8648  df-map 8767  df-pm 8768  df-ixp 8836  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fsupp 9306  df-fi 9347  df-sup 9378  df-inf 9379  df-oi 9446  df-card 9875  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-4 12218  df-5 12219  df-6 12220  df-7 12221  df-8 12222  df-9 12223  df-n0 12414  df-xnn0 12486  df-z 12500  df-dec 12619  df-uz 12764  df-q 12874  df-rp 12916  df-xneg 13033  df-xadd 13034  df-xmul 13035  df-ioo 13268  df-ioc 13269  df-ico 13270  df-icc 13271  df-fz 13425  df-fzo 13568  df-fl 13697  df-mod 13775  df-seq 13907  df-exp 13968  df-fac 14174  df-bc 14203  df-hash 14231  df-shft 14952  df-cj 14984  df-re 14985  df-im 14986  df-sqrt 15120  df-abs 15121  df-limsup 15353  df-clim 15370  df-rlim 15371  df-sum 15571  df-ef 15950  df-sin 15952  df-cos 15953  df-tan 15954  df-pi 15955  df-dvds 16137  df-struct 17019  df-sets 17036  df-slot 17054  df-ndx 17066  df-base 17084  df-ress 17113  df-plusg 17146  df-mulr 17147  df-starv 17148  df-sca 17149  df-vsca 17150  df-ip 17151  df-tset 17152  df-ple 17153  df-ds 17155  df-unif 17156  df-hom 17157  df-cco 17158  df-rest 17304  df-topn 17305  df-0g 17323  df-gsum 17324  df-topgen 17325  df-pt 17326  df-prds 17329  df-xrs 17384  df-qtop 17389  df-imas 17390  df-xps 17392  df-mre 17466  df-mrc 17467  df-acs 17469  df-mgm 18497  df-sgrp 18546  df-mnd 18557  df-submnd 18602  df-mulg 18873  df-cntz 19097  df-cmn 19564  df-psmet 20788  df-xmet 20789  df-met 20790  df-bl 20791  df-mopn 20792  df-fbas 20793  df-fg 20794  df-cnfld 20797  df-top 22243  df-topon 22260  df-topsp 22282  df-bases 22296  df-cld 22370  df-ntr 22371  df-cls 22372  df-nei 22449  df-lp 22487  df-perf 22488  df-cn 22578  df-cnp 22579  df-haus 22666  df-cmp 22738  df-tx 22913  df-hmeo 23106  df-fil 23197  df-fm 23289  df-flim 23290  df-flf 23291  df-xms 23673  df-ms 23674  df-tms 23675  df-cncf 24241  df-limc 25230  df-dv 25231  df-ulm 25736  df-log 25912  df-atan 26217

This theorem is referenced by:  log2le1  26300  birthday  26304