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Theorem log2ub 26899
Description: log2 is less than 253 / 365. If written in decimal, this is because log2 = 0.693147... is less than 253/365 = 0.693151... , so this is a very tight bound, at five decimal places. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Apr-2015.) (Proof shortened by AV, 16-Sep-2021.)
Assertion
Ref Expression
log2ub (log‘2) < (253 / 365)

Proof of Theorem log2ub
StepHypRef Expression
1 4m1e3 12377 . . . . . . . . 9 (4 − 1) = 3
21oveq2i 7435 . . . . . . . 8 (0...(4 − 1)) = (0...3)
32sumeq1i 15682 . . . . . . 7 Σ𝑛 ∈ (0...(4 − 1))(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛))) = Σ𝑛 ∈ (0...3)(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛)))
43oveq2i 7435 . . . . . 6 ((log‘2) − Σ𝑛 ∈ (0...(4 − 1))(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛)))) = ((log‘2) − Σ𝑛 ∈ (0...3)(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛))))
5 4nn0 12527 . . . . . . 7 4 ∈ ℕ0
6 log2tlbnd 26895 . . . . . . 7 (4 ∈ ℕ0 → ((log‘2) − Σ𝑛 ∈ (0...(4 − 1))(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛)))) ∈ (0[,](3 / ((4 · ((2 · 4) + 1)) · (9↑4)))))
75, 6ax-mp 5 . . . . . 6 ((log‘2) − Σ𝑛 ∈ (0...(4 − 1))(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛)))) ∈ (0[,](3 / ((4 · ((2 · 4) + 1)) · (9↑4))))
84, 7eqeltrri 2825 . . . . 5 ((log‘2) − Σ𝑛 ∈ (0...3)(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛)))) ∈ (0[,](3 / ((4 · ((2 · 4) + 1)) · (9↑4))))
9 0re 11252 . . . . . 6 0 ∈ ℝ
10 3re 12328 . . . . . . 7 3 ∈ ℝ
11 4nn 12331 . . . . . . . . 9 4 ∈ ℕ
12 2nn0 12525 . . . . . . . . . 10 2 ∈ ℕ0
13 1nn 12259 . . . . . . . . . 10 1 ∈ ℕ
1412, 5, 13numnncl 12723 . . . . . . . . 9 ((2 · 4) + 1) ∈ ℕ
1511, 14nnmulcli 12273 . . . . . . . 8 (4 · ((2 · 4) + 1)) ∈ ℕ
16 9nn 12346 . . . . . . . . 9 9 ∈ ℕ
17 nnexpcl 14077 . . . . . . . . 9 ((9 ∈ ℕ ∧ 4 ∈ ℕ0) → (9↑4) ∈ ℕ)
1816, 5, 17mp2an 690 . . . . . . . 8 (9↑4) ∈ ℕ
1915, 18nnmulcli 12273 . . . . . . 7 ((4 · ((2 · 4) + 1)) · (9↑4)) ∈ ℕ
20 nndivre 12289 . . . . . . 7 ((3 ∈ ℝ ∧ ((4 · ((2 · 4) + 1)) · (9↑4)) ∈ ℕ) → (3 / ((4 · ((2 · 4) + 1)) · (9↑4))) ∈ ℝ)
2110, 19, 20mp2an 690 . . . . . 6 (3 / ((4 · ((2 · 4) + 1)) · (9↑4))) ∈ ℝ
229, 21elicc2i 13428 . . . . 5 (((log‘2) − Σ𝑛 ∈ (0...3)(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛)))) ∈ (0[,](3 / ((4 · ((2 · 4) + 1)) · (9↑4)))) ↔ (((log‘2) − Σ𝑛 ∈ (0...3)(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛)))) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ((log‘2) − Σ𝑛 ∈ (0...3)(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛)))) ∧ ((log‘2) − Σ𝑛 ∈ (0...3)(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛)))) ≤ (3 / ((4 · ((2 · 4) + 1)) · (9↑4)))))
238, 22mpbi 229 . . . 4 (((log‘2) − Σ𝑛 ∈ (0...3)(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛)))) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ((log‘2) − Σ𝑛 ∈ (0...3)(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛)))) ∧ ((log‘2) − Σ𝑛 ∈ (0...3)(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛)))) ≤ (3 / ((4 · ((2 · 4) + 1)) · (9↑4))))
2423simp3i 1138 . . 3 ((log‘2) − Σ𝑛 ∈ (0...3)(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛)))) ≤ (3 / ((4 · ((2 · 4) + 1)) · (9↑4)))
25 2rp 13017 . . . . 5 2 ∈ ℝ+
26 relogcl 26527 . . . . 5 (2 ∈ ℝ+ → (log‘2) ∈ ℝ)
2725, 26ax-mp 5 . . . 4 (log‘2) ∈ ℝ
28 fzfid 13976 . . . . . 6 (⊤ → (0...3) ∈ Fin)
29 2re 12322 . . . . . . 7 2 ∈ ℝ
30 3nn 12327 . . . . . . . . 9 3 ∈ ℕ
31 elfznn0 13632 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ (0...3) → 𝑛 ∈ ℕ0)
3231adantl 480 . . . . . . . . . . 11 ((⊤ ∧ 𝑛 ∈ (0...3)) → 𝑛 ∈ ℕ0)
33 nn0mulcl 12544 . . . . . . . . . . 11 ((2 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0) → (2 · 𝑛) ∈ ℕ0)
3412, 32, 33sylancr 585 . . . . . . . . . 10 ((⊤ ∧ 𝑛 ∈ (0...3)) → (2 · 𝑛) ∈ ℕ0)
35 nn0p1nn 12547 . . . . . . . . . 10 ((2 · 𝑛) ∈ ℕ0 → ((2 · 𝑛) + 1) ∈ ℕ)
3634, 35syl 17 . . . . . . . . 9 ((⊤ ∧ 𝑛 ∈ (0...3)) → ((2 · 𝑛) + 1) ∈ ℕ)
37 nnmulcl 12272 . . . . . . . . 9 ((3 ∈ ℕ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) ∈ ℕ) → (3 · ((2 · 𝑛) + 1)) ∈ ℕ)
3830, 36, 37sylancr 585 . . . . . . . 8 ((⊤ ∧ 𝑛 ∈ (0...3)) → (3 · ((2 · 𝑛) + 1)) ∈ ℕ)
39 nnexpcl 14077 . . . . . . . . 9 ((9 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (9↑𝑛) ∈ ℕ)
4016, 32, 39sylancr 585 . . . . . . . 8 ((⊤ ∧ 𝑛 ∈ (0...3)) → (9↑𝑛) ∈ ℕ)
4138, 40nnmulcld 12301 . . . . . . 7 ((⊤ ∧ 𝑛 ∈ (0...3)) → ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛)) ∈ ℕ)
42 nndivre 12289 . . . . . . 7 ((2 ∈ ℝ ∧ ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛)) ∈ ℕ) → (2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛))) ∈ ℝ)
4329, 41, 42sylancr 585 . . . . . 6 ((⊤ ∧ 𝑛 ∈ (0...3)) → (2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛))) ∈ ℝ)
4428, 43fsumrecl 15718 . . . . 5 (⊤ → Σ𝑛 ∈ (0...3)(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛))) ∈ ℝ)
4544mptru 1540 . . . 4 Σ𝑛 ∈ (0...3)(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛))) ∈ ℝ
4627, 45, 21lesubadd2i 11810 . . 3 (((log‘2) − Σ𝑛 ∈ (0...3)(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛)))) ≤ (3 / ((4 · ((2 · 4) + 1)) · (9↑4))) ↔ (log‘2) ≤ (Σ𝑛 ∈ (0...3)(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛))) + (3 / ((4 · ((2 · 4) + 1)) · (9↑4)))))
4724, 46mpbi 229 . 2 (log‘2) ≤ (Σ𝑛 ∈ (0...3)(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛))) + (3 / ((4 · ((2 · 4) + 1)) · (9↑4))))
48 log2ublem3 26898 . . . . 5 (((3↑7) · (5 · 7)) · Σ𝑛 ∈ (0...3)(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛)))) ≤ 53056
49 3nn0 12526 . . . . 5 3 ∈ ℕ0
50 5nn0 12528 . . . . . . . . 9 5 ∈ ℕ0
5150, 49deccl 12728 . . . . . . . 8 53 ∈ ℕ0
52 0nn0 12523 . . . . . . . 8 0 ∈ ℕ0
5351, 52deccl 12728 . . . . . . 7 530 ∈ ℕ0
5453, 50deccl 12728 . . . . . 6 5305 ∈ ℕ0
55 6nn0 12529 . . . . . 6 6 ∈ ℕ0
5654, 55deccl 12728 . . . . 5 53056 ∈ ℕ0
57 1nn0 12524 . . . . 5 1 ∈ ℕ0
58 eqid 2727 . . . . 5 𝑛 ∈ (0...3)(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛))) + (3 / ((4 · ((2 · 4) + 1)) · (9↑4)))) = (Σ𝑛 ∈ (0...3)(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛))) + (3 / ((4 · ((2 · 4) + 1)) · (9↑4))))
59 6p1e7 12396 . . . . . 6 (6 + 1) = 7
60 eqid 2727 . . . . . 6 53056 = 53056
6154, 55, 59, 60decsuc 12744 . . . . 5 (53056 + 1) = 53057
62 5nn 12334 . . . . . . . . . 10 5 ∈ ℕ
63 7nn 12340 . . . . . . . . . 10 7 ∈ ℕ
6462, 63nnmulcli 12273 . . . . . . . . 9 (5 · 7) ∈ ℕ
6564nnrei 12257 . . . . . . . 8 (5 · 7) ∈ ℝ
6615nnrei 12257 . . . . . . . 8 (4 · ((2 · 4) + 1)) ∈ ℝ
67 6nn 12337 . . . . . . . . . 10 6 ∈ ℕ
68 5lt6 12429 . . . . . . . . . 10 5 < 6
6949, 50, 67, 68declt 12741 . . . . . . . . 9 35 < 36
70 7cn 12342 . . . . . . . . . 10 7 ∈ ℂ
71 5cn 12336 . . . . . . . . . 10 5 ∈ ℂ
72 7t5e35 12825 . . . . . . . . . 10 (7 · 5) = 35
7370, 71, 72mulcomli 11259 . . . . . . . . 9 (5 · 7) = 35
74 4cn 12333 . . . . . . . . . . . . . 14 4 ∈ ℂ
75 2cn 12323 . . . . . . . . . . . . . 14 2 ∈ ℂ
76 4t2e8 12416 . . . . . . . . . . . . . 14 (4 · 2) = 8
7774, 75, 76mulcomli 11259 . . . . . . . . . . . . 13 (2 · 4) = 8
7877oveq1i 7434 . . . . . . . . . . . 12 ((2 · 4) + 1) = (8 + 1)
79 8p1e9 12398 . . . . . . . . . . . 12 (8 + 1) = 9
8078, 79eqtri 2755 . . . . . . . . . . 11 ((2 · 4) + 1) = 9
8180oveq2i 7435 . . . . . . . . . 10 (4 · ((2 · 4) + 1)) = (4 · 9)
82 9cn 12348 . . . . . . . . . . 11 9 ∈ ℂ
83 9t4e36 12837 . . . . . . . . . . 11 (9 · 4) = 36
8482, 74, 83mulcomli 11259 . . . . . . . . . 10 (4 · 9) = 36
8581, 84eqtri 2755 . . . . . . . . 9 (4 · ((2 · 4) + 1)) = 36
8669, 73, 853brtr4i 5180 . . . . . . . 8 (5 · 7) < (4 · ((2 · 4) + 1))
8765, 66, 86ltleii 11373 . . . . . . 7 (5 · 7) ≤ (4 · ((2 · 4) + 1))
8818nngt0i 12287 . . . . . . . 8 0 < (9↑4)
8918nnrei 12257 . . . . . . . . 9 (9↑4) ∈ ℝ
9065, 66, 89lemul2i 12173 . . . . . . . 8 (0 < (9↑4) → ((5 · 7) ≤ (4 · ((2 · 4) + 1)) ↔ ((9↑4) · (5 · 7)) ≤ ((9↑4) · (4 · ((2 · 4) + 1)))))
9188, 90ax-mp 5 . . . . . . 7 ((5 · 7) ≤ (4 · ((2 · 4) + 1)) ↔ ((9↑4) · (5 · 7)) ≤ ((9↑4) · (4 · ((2 · 4) + 1))))
9287, 91mpbi 229 . . . . . 6 ((9↑4) · (5 · 7)) ≤ ((9↑4) · (4 · ((2 · 4) + 1)))
93 7nn0 12530 . . . . . . . . . 10 7 ∈ ℕ0
94 nnexpcl 14077 . . . . . . . . . 10 ((3 ∈ ℕ ∧ 7 ∈ ℕ0) → (3↑7) ∈ ℕ)
9530, 93, 94mp2an 690 . . . . . . . . 9 (3↑7) ∈ ℕ
9695nncni 12258 . . . . . . . 8 (3↑7) ∈ ℂ
9764nncni 12258 . . . . . . . 8 (5 · 7) ∈ ℂ
98 3cn 12329 . . . . . . . 8 3 ∈ ℂ
9996, 97, 98mul32i 11446 . . . . . . 7 (((3↑7) · (5 · 7)) · 3) = (((3↑7) · 3) · (5 · 7))
10074, 75mulcomi 11258 . . . . . . . . . . . 12 (4 · 2) = (2 · 4)
101 df-8 12317 . . . . . . . . . . . 12 8 = (7 + 1)
10276, 100, 1013eqtr3i 2763 . . . . . . . . . . 11 (2 · 4) = (7 + 1)
103102oveq2i 7435 . . . . . . . . . 10 (3↑(2 · 4)) = (3↑(7 + 1))
104 expmul 14110 . . . . . . . . . . 11 ((3 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℕ0 ∧ 4 ∈ ℕ0) → (3↑(2 · 4)) = ((3↑2)↑4))
10598, 12, 5, 104mp3an 1457 . . . . . . . . . 10 (3↑(2 · 4)) = ((3↑2)↑4)
106103, 105eqtr3i 2757 . . . . . . . . 9 (3↑(7 + 1)) = ((3↑2)↑4)
107 expp1 14071 . . . . . . . . . 10 ((3 ∈ ℂ ∧ 7 ∈ ℕ0) → (3↑(7 + 1)) = ((3↑7) · 3))
10898, 93, 107mp2an 690 . . . . . . . . 9 (3↑(7 + 1)) = ((3↑7) · 3)
109 sq3 14199 . . . . . . . . . 10 (3↑2) = 9
110109oveq1i 7434 . . . . . . . . 9 ((3↑2)↑4) = (9↑4)
111106, 108, 1103eqtr3i 2763 . . . . . . . 8 ((3↑7) · 3) = (9↑4)
112111oveq1i 7434 . . . . . . 7 (((3↑7) · 3) · (5 · 7)) = ((9↑4) · (5 · 7))
11399, 112eqtri 2755 . . . . . 6 (((3↑7) · (5 · 7)) · 3) = ((9↑4) · (5 · 7))
11415nncni 12258 . . . . . . . . 9 (4 · ((2 · 4) + 1)) ∈ ℂ
11518nncni 12258 . . . . . . . . 9 (9↑4) ∈ ℂ
116114, 115mulcomi 11258 . . . . . . . 8 ((4 · ((2 · 4) + 1)) · (9↑4)) = ((9↑4) · (4 · ((2 · 4) + 1)))
117116oveq1i 7434 . . . . . . 7 (((4 · ((2 · 4) + 1)) · (9↑4)) · 1) = (((9↑4) · (4 · ((2 · 4) + 1))) · 1)
118115, 114mulcli 11257 . . . . . . . 8 ((9↑4) · (4 · ((2 · 4) + 1))) ∈ ℂ
119118mulridi 11254 . . . . . . 7 (((9↑4) · (4 · ((2 · 4) + 1))) · 1) = ((9↑4) · (4 · ((2 · 4) + 1)))
120117, 119eqtri 2755 . . . . . 6 (((4 · ((2 · 4) + 1)) · (9↑4)) · 1) = ((9↑4) · (4 · ((2 · 4) + 1)))
12192, 113, 1203brtr4i 5180 . . . . 5 (((3↑7) · (5 · 7)) · 3) ≤ (((4 · ((2 · 4) + 1)) · (9↑4)) · 1)
12248, 45, 49, 19, 56, 57, 58, 61, 121log2ublem1 26896 . . . 4 (((3↑7) · (5 · 7)) · (Σ𝑛 ∈ (0...3)(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛))) + (3 / ((4 · ((2 · 4) + 1)) · (9↑4))))) ≤ 53057
12345, 21readdcli 11265 . . . . 5 𝑛 ∈ (0...3)(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛))) + (3 / ((4 · ((2 · 4) + 1)) · (9↑4)))) ∈ ℝ
12454, 93deccl 12728 . . . . . 6 53057 ∈ ℕ0
125124nn0rei 12519 . . . . 5 53057 ∈ ℝ
12695, 64nnmulcli 12273 . . . . . . 7 ((3↑7) · (5 · 7)) ∈ ℕ
127126nnrei 12257 . . . . . 6 ((3↑7) · (5 · 7)) ∈ ℝ
128126nngt0i 12287 . . . . . 6 0 < ((3↑7) · (5 · 7))
129127, 128pm3.2i 469 . . . . 5 (((3↑7) · (5 · 7)) ∈ ℝ ∧ 0 < ((3↑7) · (5 · 7)))
130 lemuldiv2 12131 . . . . 5 (((Σ𝑛 ∈ (0...3)(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛))) + (3 / ((4 · ((2 · 4) + 1)) · (9↑4)))) ∈ ℝ ∧ 53057 ∈ ℝ ∧ (((3↑7) · (5 · 7)) ∈ ℝ ∧ 0 < ((3↑7) · (5 · 7)))) → ((((3↑7) · (5 · 7)) · (Σ𝑛 ∈ (0...3)(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛))) + (3 / ((4 · ((2 · 4) + 1)) · (9↑4))))) ≤ 53057 ↔ (Σ𝑛 ∈ (0...3)(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛))) + (3 / ((4 · ((2 · 4) + 1)) · (9↑4)))) ≤ (53057 / ((3↑7) · (5 · 7)))))
131123, 125, 129, 130mp3an 1457 . . . 4 ((((3↑7) · (5 · 7)) · (Σ𝑛 ∈ (0...3)(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛))) + (3 / ((4 · ((2 · 4) + 1)) · (9↑4))))) ≤ 53057 ↔ (Σ𝑛 ∈ (0...3)(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛))) + (3 / ((4 · ((2 · 4) + 1)) · (9↑4)))) ≤ (53057 / ((3↑7) · (5 · 7))))
132122, 131mpbi 229 . . 3 𝑛 ∈ (0...3)(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛))) + (3 / ((4 · ((2 · 4) + 1)) · (9↑4)))) ≤ (53057 / ((3↑7) · (5 · 7)))
133 8nn0 12531 . . . . . . . . . . . . 13 8 ∈ ℕ0
13449, 133deccl 12728 . . . . . . . . . . . 12 38 ∈ ℕ0
135134, 93deccl 12728 . . . . . . . . . . 11 387 ∈ ℕ0
136135, 49deccl 12728 . . . . . . . . . 10 3873 ∈ ℕ0
137136, 57deccl 12728 . . . . . . . . 9 38731 ∈ ℕ0
138137, 55deccl 12728 . . . . . . . 8 387316 ∈ ℕ0
139137, 93deccl 12728 . . . . . . . 8 387317 ∈ ℕ0
140 1lt10 12852 . . . . . . . 8 1 < 10
141 6lt7 12434 . . . . . . . . 9 6 < 7
142137, 55, 63, 141declt 12741 . . . . . . . 8 387316 < 387317
143138, 139, 57, 93, 140, 142decltc 12742 . . . . . . 7 3873161 < 3873177
144 eqid 2727 . . . . . . . 8 73 = 73
14557, 50deccl 12728 . . . . . . . . . . 11 15 ∈ ℕ0
146 9nn0 12532 . . . . . . . . . . 11 9 ∈ ℕ0
147145, 146deccl 12728 . . . . . . . . . 10 159 ∈ ℕ0
148147, 57deccl 12728 . . . . . . . . 9 1591 ∈ ℕ0
149148, 93deccl 12728 . . . . . . . 8 15917 ∈ ℕ0
150 eqid 2727 . . . . . . . . 9 53057 = 53057
151 eqid 2727 . . . . . . . . 9 15917 = 15917
152 eqid 2727 . . . . . . . . . 10 5305 = 5305
153 eqid 2727 . . . . . . . . . . 11 1591 = 1591
154 ax-1cn 11202 . . . . . . . . . . . 12 1 ∈ ℂ
155 5p1e6 12395 . . . . . . . . . . . 12 (5 + 1) = 6
15671, 154, 155addcomli 11442 . . . . . . . . . . 11 (1 + 5) = 6
157147, 57, 50, 153, 156decaddi 12773 . . . . . . . . . 10 (1591 + 5) = 1596
15857, 55deccl 12728 . . . . . . . . . . 11 16 ∈ ℕ0
159 eqid 2727 . . . . . . . . . . 11 530 = 530
160 eqid 2727 . . . . . . . . . . . 12 159 = 159
161 eqid 2727 . . . . . . . . . . . . 13 15 = 15
16257, 50, 155, 161decsuc 12744 . . . . . . . . . . . 12 (15 + 1) = 16
163 9p4e13 12802 . . . . . . . . . . . 12 (9 + 4) = 13
164145, 146, 5, 160, 162, 49, 163decaddci 12774 . . . . . . . . . . 11 (159 + 4) = 163
165 eqid 2727 . . . . . . . . . . . 12 53 = 53
166158nn0cni 12520 . . . . . . . . . . . . 13 16 ∈ ℂ
167166addridi 11437 . . . . . . . . . . . 12 (16 + 0) = 16
168 1p2e3 12391 . . . . . . . . . . . . . 14 (1 + 2) = 3
169168oveq2i 7435 . . . . . . . . . . . . 13 ((5 · 7) + (1 + 2)) = ((5 · 7) + 3)
170 5p3e8 12405 . . . . . . . . . . . . . 14 (5 + 3) = 8
17149, 50, 49, 73, 170decaddi 12773 . . . . . . . . . . . . 13 ((5 · 7) + 3) = 38
172169, 171eqtri 2755 . . . . . . . . . . . 12 ((5 · 7) + (1 + 2)) = 38
173 7t3e21 12823 . . . . . . . . . . . . . 14 (7 · 3) = 21
17470, 98, 173mulcomli 11259 . . . . . . . . . . . . 13 (3 · 7) = 21
175 6cn 12339 . . . . . . . . . . . . . 14 6 ∈ ℂ
176175, 154, 59addcomli 11442 . . . . . . . . . . . . 13 (1 + 6) = 7
17712, 57, 55, 174, 176decaddi 12773 . . . . . . . . . . . 12 ((3 · 7) + 6) = 27
17850, 49, 57, 55, 165, 167, 93, 93, 12, 172, 177decmac 12765 . . . . . . . . . . 11 ((53 · 7) + (16 + 0)) = 387
17970mul02i 11439 . . . . . . . . . . . . 13 (0 · 7) = 0
180179oveq1i 7434 . . . . . . . . . . . 12 ((0 · 7) + 3) = (0 + 3)
18198addlidi 11438 . . . . . . . . . . . . 13 (0 + 3) = 3
18249dec0h 12735 . . . . . . . . . . . . 13 3 = 03
183181, 182eqtri 2755 . . . . . . . . . . . 12 (0 + 3) = 03
184180, 183eqtri 2755 . . . . . . . . . . 11 ((0 · 7) + 3) = 03
18551, 52, 158, 49, 159, 164, 93, 49, 52, 178, 184decmac 12765 . . . . . . . . . 10 ((530 · 7) + (159 + 4)) = 3873
186 3p1e4 12393 . . . . . . . . . . 11 (3 + 1) = 4
187 6p5e11 12786 . . . . . . . . . . . 12 (6 + 5) = 11
188175, 71, 187addcomli 11442 . . . . . . . . . . 11 (5 + 6) = 11
18949, 50, 55, 73, 186, 57, 188decaddci 12774 . . . . . . . . . 10 ((5 · 7) + 6) = 41
19053, 50, 147, 55, 152, 157, 93, 57, 5, 185, 189decmac 12765 . . . . . . . . 9 ((5305 · 7) + (1591 + 5)) = 38731
191 7t7e49 12827 . . . . . . . . . 10 (7 · 7) = 49
192 4p1e5 12394 . . . . . . . . . 10 (4 + 1) = 5
193 9p7e16 12805 . . . . . . . . . 10 (9 + 7) = 16
1945, 146, 93, 191, 192, 55, 193decaddci 12774 . . . . . . . . 9 ((7 · 7) + 7) = 56
19554, 93, 148, 93, 150, 151, 93, 55, 50, 190, 194decmac 12765 . . . . . . . 8 ((53057 · 7) + 15917) = 387316
19612dec0h 12735 . . . . . . . . . 10 2 = 02
197154addlidi 11438 . . . . . . . . . . . 12 (0 + 1) = 1
19857dec0h 12735 . . . . . . . . . . . 12 1 = 01
199197, 198eqtri 2755 . . . . . . . . . . 11 (0 + 1) = 01
200 00id 11425 . . . . . . . . . . . . 13 (0 + 0) = 0
20152dec0h 12735 . . . . . . . . . . . . 13 0 = 00
202200, 201eqtri 2755 . . . . . . . . . . . 12 (0 + 0) = 00
203 5t3e15 12814 . . . . . . . . . . . . . 14 (5 · 3) = 15
204203oveq1i 7434 . . . . . . . . . . . . 13 ((5 · 3) + 0) = (15 + 0)
205145nn0cni 12520 . . . . . . . . . . . . . 14 15 ∈ ℂ
206205addridi 11437 . . . . . . . . . . . . 13 (15 + 0) = 15
207204, 206eqtri 2755 . . . . . . . . . . . 12 ((5 · 3) + 0) = 15
208 3t3e9 12415 . . . . . . . . . . . . . 14 (3 · 3) = 9
209208oveq1i 7434 . . . . . . . . . . . . 13 ((3 · 3) + 0) = (9 + 0)
21082addridi 11437 . . . . . . . . . . . . 13 (9 + 0) = 9
211209, 210eqtri 2755 . . . . . . . . . . . 12 ((3 · 3) + 0) = 9
21250, 49, 52, 52, 165, 202, 49, 207, 211decma 12764 . . . . . . . . . . 11 ((53 · 3) + (0 + 0)) = 159
21398mul02i 11439 . . . . . . . . . . . . 13 (0 · 3) = 0
214213oveq1i 7434 . . . . . . . . . . . 12 ((0 · 3) + 1) = (0 + 1)
215214, 199eqtri 2755 . . . . . . . . . . 11 ((0 · 3) + 1) = 01
21651, 52, 52, 57, 159, 199, 49, 57, 52, 212, 215decmac 12765 . . . . . . . . . 10 ((530 · 3) + (0 + 1)) = 1591
217 5p2e7 12404 . . . . . . . . . . 11 (5 + 2) = 7
21857, 50, 12, 203, 217decaddi 12773 . . . . . . . . . 10 ((5 · 3) + 2) = 17
21953, 50, 52, 12, 152, 196, 49, 93, 57, 216, 218decmac 12765 . . . . . . . . 9 ((5305 · 3) + 2) = 15917
22049, 54, 93, 150, 57, 12, 219, 173decmul1c 12778 . . . . . . . 8 (53057 · 3) = 159171
221124, 93, 49, 144, 57, 149, 195, 220decmul2c 12779 . . . . . . 7 (53057 · 73) = 3873161
22250, 50deccl 12728 . . . . . . . . . . 11 55 ∈ ℕ0
223222, 49deccl 12728 . . . . . . . . . 10 553 ∈ ℕ0
224223, 49deccl 12728 . . . . . . . . 9 5533 ∈ ℕ0
225224, 57deccl 12728 . . . . . . . 8 55331 ∈ ℕ0
22612, 50deccl 12728 . . . . . . . . . 10 25 ∈ ℕ0
227226, 49deccl 12728 . . . . . . . . 9 253 ∈ ℕ0
22812, 57deccl 12728 . . . . . . . . . 10 21 ∈ ℕ0
229228, 133deccl 12728 . . . . . . . . 9 218 ∈ ℕ0
23093, 12deccl 12728 . . . . . . . . . . 11 72 ∈ ℕ0
231 3t2e6 12414 . . . . . . . . . . . . 13 (3 · 2) = 6
23298, 75, 231mulcomli 11259 . . . . . . . . . . . 12 (2 · 3) = 6
233 3exp3 17066 . . . . . . . . . . . 12 (3↑3) = 27
23412, 93deccl 12728 . . . . . . . . . . . . 13 27 ∈ ℕ0
235 eqid 2727 . . . . . . . . . . . . 13 27 = 27
23657, 133deccl 12728 . . . . . . . . . . . . 13 18 ∈ ℕ0
237 eqid 2727 . . . . . . . . . . . . . 14 18 = 18
238 2t2e4 12412 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (2 · 2) = 4
239238, 168oveq12i 7436 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((2 · 2) + (1 + 2)) = (4 + 3)
240 4p3e7 12402 . . . . . . . . . . . . . . 15 (4 + 3) = 7
241239, 240eqtri 2755 . . . . . . . . . . . . . 14 ((2 · 2) + (1 + 2)) = 7
242 7t2e14 12822 . . . . . . . . . . . . . . 15 (7 · 2) = 14
243 1p1e2 12373 . . . . . . . . . . . . . . 15 (1 + 1) = 2
244 8cn 12345 . . . . . . . . . . . . . . . 16 8 ∈ ℂ
245 8p4e12 12795 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (8 + 4) = 12
246244, 74, 245addcomli 11442 . . . . . . . . . . . . . . 15 (4 + 8) = 12
24757, 5, 133, 242, 243, 12, 246decaddci 12774 . . . . . . . . . . . . . 14 ((7 · 2) + 8) = 22
24812, 93, 57, 133, 235, 237, 12, 12, 12, 241, 247decmac 12765 . . . . . . . . . . . . 13 ((27 · 2) + 18) = 72
24970, 75, 242mulcomli 11259 . . . . . . . . . . . . . . 15 (2 · 7) = 14
250 4p4e8 12403 . . . . . . . . . . . . . . 15 (4 + 4) = 8
25157, 5, 5, 249, 250decaddi 12773 . . . . . . . . . . . . . 14 ((2 · 7) + 4) = 18
25293, 12, 93, 235, 146, 5, 251, 191decmul1c 12778 . . . . . . . . . . . . 13 (27 · 7) = 189
253234, 12, 93, 235, 146, 236, 248, 252decmul2c 12779 . . . . . . . . . . . 12 (27 · 27) = 729
25449, 49, 232, 233, 253numexp2x 17053 . . . . . . . . . . 11 (3↑6) = 729
255 eqid 2727 . . . . . . . . . . . 12 72 = 72
256232oveq1i 7434 . . . . . . . . . . . . 13 ((2 · 3) + 2) = (6 + 2)
257 6p2e8 12407 . . . . . . . . . . . . 13 (6 + 2) = 8
258256, 257eqtri 2755 . . . . . . . . . . . 12 ((2 · 3) + 2) = 8
25993, 12, 12, 255, 49, 173, 258decrmanc 12770 . . . . . . . . . . 11 ((72 · 3) + 2) = 218
260 9t3e27 12836 . . . . . . . . . . 11 (9 · 3) = 27
26149, 230, 146, 254, 93, 12, 259, 260decmul1c 12778 . . . . . . . . . 10 ((3↑6) · 3) = 2187
26249, 55, 59, 261numexpp1 17052 . . . . . . . . 9 (3↑7) = 2187
26357, 93deccl 12728 . . . . . . . . . 10 17 ∈ ℕ0
264263, 93deccl 12728 . . . . . . . . 9 177 ∈ ℕ0
265 eqid 2727 . . . . . . . . . 10 218 = 218
266 eqid 2727 . . . . . . . . . 10 177 = 177
26712, 52deccl 12728 . . . . . . . . . . 11 20 ∈ ℕ0
268267, 49deccl 12728 . . . . . . . . . 10 203 ∈ ℕ0
26912, 12deccl 12728 . . . . . . . . . . 11 22 ∈ ℕ0
270 eqid 2727 . . . . . . . . . . 11 21 = 21
271 eqid 2727 . . . . . . . . . . . 12 17 = 17
272 eqid 2727 . . . . . . . . . . . 12 203 = 203
273 eqid 2727 . . . . . . . . . . . . . 14 20 = 20
27475addlidi 11438 . . . . . . . . . . . . . 14 (0 + 2) = 2
275154addridi 11437 . . . . . . . . . . . . . 14 (1 + 0) = 1
27652, 57, 12, 52, 198, 273, 274, 275decadd 12767 . . . . . . . . . . . . 13 (1 + 20) = 21
27712, 57, 243, 276decsuc 12744 . . . . . . . . . . . 12 ((1 + 20) + 1) = 22
278 7p3e10 12788 . . . . . . . . . . . 12 (7 + 3) = 10
27957, 93, 267, 49, 271, 272, 277, 278decaddc2 12769 . . . . . . . . . . 11 (17 + 203) = 220
280 eqid 2727 . . . . . . . . . . . 12 253 = 253
281 eqid 2727 . . . . . . . . . . . . 13 22 = 22
282 eqid 2727 . . . . . . . . . . . . 13 25 = 25
283 2p2e4 12383 . . . . . . . . . . . . 13 (2 + 2) = 4
28471, 75, 217addcomli 11442 . . . . . . . . . . . . 13 (2 + 5) = 7
28512, 12, 12, 50, 281, 282, 283, 284decadd 12767 . . . . . . . . . . . 12 (22 + 25) = 47
28650dec0h 12735 . . . . . . . . . . . . . 14 5 = 05
287192, 286eqtri 2755 . . . . . . . . . . . . 13 (4 + 1) = 05
288238, 197oveq12i 7436 . . . . . . . . . . . . . 14 ((2 · 2) + (0 + 1)) = (4 + 1)
289288, 192eqtri 2755 . . . . . . . . . . . . 13 ((2 · 2) + (0 + 1)) = 5
290 5t2e10 12813 . . . . . . . . . . . . . 14 (5 · 2) = 10
29171addlidi 11438 . . . . . . . . . . . . . 14 (0 + 5) = 5
29257, 52, 50, 290, 291decaddi 12773 . . . . . . . . . . . . 13 ((5 · 2) + 5) = 15
29312, 50, 52, 50, 282, 287, 12, 50, 57, 289, 292decmac 12765 . . . . . . . . . . . 12 ((25 · 2) + (4 + 1)) = 55
294231oveq1i 7434 . . . . . . . . . . . . 13 ((3 · 2) + 7) = (6 + 7)
295 7p6e13 12791 . . . . . . . . . . . . . 14 (7 + 6) = 13
29670, 175, 295addcomli 11442 . . . . . . . . . . . . 13 (6 + 7) = 13
297294, 296eqtri 2755 . . . . . . . . . . . 12 ((3 · 2) + 7) = 13
298226, 49, 5, 93, 280, 285, 12, 49, 57, 293, 297decmac 12765 . . . . . . . . . . 11 ((253 · 2) + (22 + 25)) = 553
299227nn0cni 12520 . . . . . . . . . . . . . 14 253 ∈ ℂ
300299mulridi 11254 . . . . . . . . . . . . 13 (253 · 1) = 253
301300oveq1i 7434 . . . . . . . . . . . 12 ((253 · 1) + 0) = (253 + 0)
302299addridi 11437 . . . . . . . . . . . 12 (253 + 0) = 253
303301, 302eqtri 2755 . . . . . . . . . . 11 ((253 · 1) + 0) = 253
30412, 57, 269, 52, 270, 279, 227, 49, 226, 298, 303decma2c 12766 . . . . . . . . . 10 ((253 · 21) + (17 + 203)) = 5533
30593dec0h 12735 . . . . . . . . . . 11 7 = 07
30674addlidi 11438 . . . . . . . . . . . . . 14 (0 + 4) = 4
307306oveq2i 7435 . . . . . . . . . . . . 13 ((2 · 8) + (0 + 4)) = ((2 · 8) + 4)
308 8t2e16 12828 . . . . . . . . . . . . . . 15 (8 · 2) = 16
309244, 75, 308mulcomli 11259 . . . . . . . . . . . . . 14 (2 · 8) = 16
310 6p4e10 12785 . . . . . . . . . . . . . 14 (6 + 4) = 10
31157, 55, 5, 309, 243, 310decaddci2 12775 . . . . . . . . . . . . 13 ((2 · 8) + 4) = 20
312307, 311eqtri 2755 . . . . . . . . . . . 12 ((2 · 8) + (0 + 4)) = 20
313 8t5e40 12831 . . . . . . . . . . . . . 14 (8 · 5) = 40
314244, 71, 313mulcomli 11259 . . . . . . . . . . . . 13 (5 · 8) = 40
3155, 52, 49, 314, 181decaddi 12773 . . . . . . . . . . . 12 ((5 · 8) + 3) = 43
31612, 50, 52, 49, 282, 183, 133, 49, 5, 312, 315decmac 12765 . . . . . . . . . . 11 ((25 · 8) + (0 + 3)) = 203
317 8t3e24 12829 . . . . . . . . . . . . 13 (8 · 3) = 24
318244, 98, 317mulcomli 11259 . . . . . . . . . . . 12 (3 · 8) = 24
319 2p1e3 12390 . . . . . . . . . . . 12 (2 + 1) = 3
320 7p4e11 12789 . . . . . . . . . . . . 13 (7 + 4) = 11
32170, 74, 320addcomli 11442 . . . . . . . . . . . 12 (4 + 7) = 11
32212, 5, 93, 318, 319, 57, 321decaddci 12774 . . . . . . . . . . 11 ((3 · 8) + 7) = 31
323226, 49, 52, 93, 280, 305, 133, 57, 49, 316, 322decmac 12765 . . . . . . . . . 10 ((253 · 8) + 7) = 2031
324228, 133, 263, 93, 265, 266, 227, 57, 268, 304, 323decma2c 12766 . . . . . . . . 9 ((253 · 218) + 177) = 55331
32557, 5, 49, 249, 240decaddi 12773 . . . . . . . . . . 11 ((2 · 7) + 3) = 17
32649, 50, 12, 73, 217decaddi 12773 . . . . . . . . . . 11 ((5 · 7) + 2) = 37
32712, 50, 12, 282, 93, 93, 49, 325, 326decrmac 12771 . . . . . . . . . 10 ((25 · 7) + 2) = 177
32893, 226, 49, 280, 57, 12, 327, 174decmul1c 12778 . . . . . . . . 9 (253 · 7) = 1771
329227, 229, 93, 262, 57, 264, 324, 328decmul2c 12779 . . . . . . . 8 (253 · (3↑7)) = 553311
330 eqid 2727 . . . . . . . . 9 55331 = 55331
331 eqid 2727 . . . . . . . . . 10 5533 = 5533
332 eqid 2727 . . . . . . . . . . 11 553 = 553
333 eqid 2727 . . . . . . . . . . . 12 55 = 55
334274, 196eqtri 2755 . . . . . . . . . . . 12 (0 + 2) = 02
335181oveq2i 7435 . . . . . . . . . . . . 13 ((5 · 7) + (0 + 3)) = ((5 · 7) + 3)
336335, 171eqtri 2755 . . . . . . . . . . . 12 ((5 · 7) + (0 + 3)) = 38
33750, 50, 52, 12, 333, 334, 93, 93, 49, 336, 326decmac 12765 . . . . . . . . . . 11 ((55 · 7) + (0 + 2)) = 387
33812, 57, 12, 174, 168decaddi 12773 . . . . . . . . . . 11 ((3 · 7) + 2) = 23
339222, 49, 52, 12, 332, 196, 93, 49, 12, 337, 338decmac 12765 . . . . . . . . . 10 ((553 · 7) + 2) = 3873
34093, 223, 49, 331, 57, 12, 339, 174decmul1c 12778 . . . . . . . . 9 (5533 · 7) = 38731
34170mullidi 11255 . . . . . . . . 9 (1 · 7) = 7
34293, 224, 57, 330, 340, 341decmul1 12777 . . . . . . . 8 (55331 · 7) = 387317
34393, 225, 57, 329, 342, 341decmul1 12777 . . . . . . 7 ((253 · (3↑7)) · 7) = 3873177
344143, 221, 3433brtr4i 5180 . . . . . 6 (53057 · 73) < ((253 · (3↑7)) · 7)
34593, 49deccl 12728 . . . . . . . . 9 73 ∈ ℕ0
346124, 345nn0mulcli 12546 . . . . . . . 8 (53057 · 73) ∈ ℕ0
347346nn0rei 12519 . . . . . . 7 (53057 · 73) ∈ ℝ
34849, 93nn0expcli 14091 . . . . . . . . . 10 (3↑7) ∈ ℕ0
349227, 348nn0mulcli 12546 . . . . . . . . 9 (253 · (3↑7)) ∈ ℕ0
350349, 93nn0mulcli 12546 . . . . . . . 8 ((253 · (3↑7)) · 7) ∈ ℕ0
351350nn0rei 12519 . . . . . . 7 ((253 · (3↑7)) · 7) ∈ ℝ
35262nnrei 12257 . . . . . . 7 5 ∈ ℝ
35362nngt0i 12287 . . . . . . 7 0 < 5
354347, 351, 352, 353ltmul1ii 12178 . . . . . 6 ((53057 · 73) < ((253 · (3↑7)) · 7) ↔ ((53057 · 73) · 5) < (((253 · (3↑7)) · 7) · 5))
355344, 354mpbi 229 . . . . 5 ((53057 · 73) · 5) < (((253 · (3↑7)) · 7) · 5)
356124nn0cni 12520 . . . . . . 7 53057 ∈ ℂ
357345nn0cni 12520 . . . . . . 7 73 ∈ ℂ
358356, 357, 71mulassi 11261 . . . . . 6 ((53057 · 73) · 5) = (53057 · (73 · 5))
35949, 50, 155, 72decsuc 12744 . . . . . . . 8 ((7 · 5) + 1) = 36
36071, 98, 203mulcomli 11259 . . . . . . . 8 (3 · 5) = 15
36150, 93, 49, 144, 50, 57, 359, 360decmul1c 12778 . . . . . . 7 (73 · 5) = 365
362361oveq2i 7435 . . . . . 6 (53057 · (73 · 5)) = (53057 · 365)
363358, 362eqtri 2755 . . . . 5 ((53057 · 73) · 5) = (53057 · 365)
364299, 96mulcli 11257 . . . . . . 7 (253 · (3↑7)) ∈ ℂ
365364, 70, 71mulassi 11261 . . . . . 6 (((253 · (3↑7)) · 7) · 5) = ((253 · (3↑7)) · (7 · 5))
36670, 71mulcomi 11258 . . . . . . . 8 (7 · 5) = (5 · 7)
367366oveq2i 7435 . . . . . . 7 ((253 · (3↑7)) · (7 · 5)) = ((253 · (3↑7)) · (5 · 7))
368299, 96, 97mulassi 11261 . . . . . . 7 ((253 · (3↑7)) · (5 · 7)) = (253 · ((3↑7) · (5 · 7)))
369367, 368eqtri 2755 . . . . . 6 ((253 · (3↑7)) · (7 · 5)) = (253 · ((3↑7) · (5 · 7)))
370365, 369eqtri 2755 . . . . 5 (((253 · (3↑7)) · 7) · 5) = (253 · ((3↑7) · (5 · 7)))
371355, 363, 3703brtr3i 5179 . . . 4 (53057 · 365) < (253 · ((3↑7) · (5 · 7)))
37249, 55deccl 12728 . . . . . . . 8 36 ∈ ℕ0
373372, 62decnncl 12733 . . . . . . 7 365 ∈ ℕ
374373nnrei 12257 . . . . . 6 365 ∈ ℝ
375373nngt0i 12287 . . . . . 6 0 < 365
376374, 375pm3.2i 469 . . . . 5 (365 ∈ ℝ ∧ 0 < 365)
377227nn0rei 12519 . . . . 5 253 ∈ ℝ
378 lt2mul2div 12128 . . . . 5 (((53057 ∈ ℝ ∧ (365 ∈ ℝ ∧ 0 < 365)) ∧ (253 ∈ ℝ ∧ (((3↑7) · (5 · 7)) ∈ ℝ ∧ 0 < ((3↑7) · (5 · 7))))) → ((53057 · 365) < (253 · ((3↑7) · (5 · 7))) ↔ (53057 / ((3↑7) · (5 · 7))) < (253 / 365)))
379125, 376, 377, 129, 378mp4an 691 . . . 4 ((53057 · 365) < (253 · ((3↑7) · (5 · 7))) ↔ (53057 / ((3↑7) · (5 · 7))) < (253 / 365))
380371, 379mpbi 229 . . 3 (53057 / ((3↑7) · (5 · 7))) < (253 / 365)
381 nndivre 12289 . . . . 5 ((53057 ∈ ℝ ∧ ((3↑7) · (5 · 7)) ∈ ℕ) → (53057 / ((3↑7) · (5 · 7))) ∈ ℝ)
382125, 126, 381mp2an 690 . . . 4 (53057 / ((3↑7) · (5 · 7))) ∈ ℝ
383 nndivre 12289 . . . . 5 ((253 ∈ ℝ ∧ 365 ∈ ℕ) → (253 / 365) ∈ ℝ)
384377, 373, 383mp2an 690 . . . 4 (253 / 365) ∈ ℝ
385123, 382, 384lelttri 11377 . . 3 (((Σ𝑛 ∈ (0...3)(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛))) + (3 / ((4 · ((2 · 4) + 1)) · (9↑4)))) ≤ (53057 / ((3↑7) · (5 · 7))) ∧ (53057 / ((3↑7) · (5 · 7))) < (253 / 365)) → (Σ𝑛 ∈ (0...3)(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛))) + (3 / ((4 · ((2 · 4) + 1)) · (9↑4)))) < (253 / 365))
386132, 380, 385mp2an 690 . 2 𝑛 ∈ (0...3)(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛))) + (3 / ((4 · ((2 · 4) + 1)) · (9↑4)))) < (253 / 365)
38727, 123, 384lelttri 11377 . 2 (((log‘2) ≤ (Σ𝑛 ∈ (0...3)(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛))) + (3 / ((4 · ((2 · 4) + 1)) · (9↑4)))) ∧ (Σ𝑛 ∈ (0...3)(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛))) + (3 / ((4 · ((2 · 4) + 1)) · (9↑4)))) < (253 / 365)) → (log‘2) < (253 / 365))
38847, 386, 387mp2an 690 1 (log‘2) < (253 / 365)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 205  wa 394  w3a 1084   = wceq 1533  wtru 1534  wcel 2098   class class class wbr 5150  cfv 6551  (class class class)co 7424  cc 11142  cr 11143  0cc0 11144  1c1 11145   + caddc 11147   · cmul 11149   < clt 11284  cle 11285  cmin 11480   / cdiv 11907  cn 12248  2c2 12303  3c3 12304  4c4 12305  5c5 12306  6c6 12307  7c7 12308  8c8 12309  9c9 12310  0cn0 12508  cdc 12713  +crp 13012  [,]cicc 13365  ...cfz 13522  cexp 14064  Σcsu 15670  logclog 26506
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2698  ax-rep 5287  ax-sep 5301  ax-nul 5308  ax-pow 5367  ax-pr 5431  ax-un 7744  ax-inf2 9670  ax-cnex 11200  ax-resscn 11201  ax-1cn 11202  ax-icn 11203  ax-addcl 11204  ax-addrcl 11205  ax-mulcl 11206  ax-mulrcl 11207  ax-mulcom 11208  ax-addass 11209  ax-mulass 11210  ax-distr 11211  ax-i2m1 11212  ax-1ne0 11213  ax-1rid 11214  ax-rnegex 11215  ax-rrecex 11216  ax-cnre 11217  ax-pre-lttri 11218  ax-pre-lttrn 11219  ax-pre-ltadd 11220  ax-pre-mulgt0 11221  ax-pre-sup 11222  ax-addf 11223
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2937  df-nel 3043  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4325  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-tp 4635  df-op 4637  df-uni 4911  df-int 4952  df-iun 5000  df-iin 5001  df-br 5151  df-opab 5213  df-mpt 5234  df-tr 5268  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5635  df-se 5636  df-we 5637  df-xp 5686  df-rel 5687  df-cnv 5688  df-co 5689  df-dm 5690  df-rn 5691  df-res 5692  df-ima 5693  df-pred 6308  df-ord 6375  df-on 6376  df-lim 6377  df-suc 6378  df-iota 6503  df-fun 6553  df-fn 6554  df-f 6555  df-f1 6556  df-fo 6557  df-f1o 6558  df-fv 6559  df-isom 6560  df-riota 7380  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-of 7689  df-om 7875  df-1st 7997  df-2nd 7998  df-supp 8170  df-frecs 8291  df-wrecs 8322  df-recs 8396  df-rdg 8435  df-1o 8491  df-2o 8492  df-oadd 8495  df-er 8729  df-map 8851  df-pm 8852  df-ixp 8921  df-en 8969  df-dom 8970  df-sdom 8971  df-fin 8972  df-fsupp 9392  df-fi 9440  df-sup 9471  df-inf 9472  df-oi 9539  df-card 9968  df-pnf 11286  df-mnf 11287  df-xr 11288  df-ltxr 11289  df-le 11290  df-sub 11482  df-neg 11483  df-div 11908  df-nn 12249  df-2 12311  df-3 12312  df-4 12313  df-5 12314  df-6 12315  df-7 12316  df-8 12317  df-9 12318  df-n0 12509  df-xnn0 12581  df-z 12595  df-dec 12714  df-uz 12859  df-q 12969  df-rp 13013  df-xneg 13130  df-xadd 13131  df-xmul 13132  df-ioo 13366  df-ioc 13367  df-ico 13368  df-icc 13369  df-fz 13523  df-fzo 13666  df-fl 13795  df-mod 13873  df-seq 14005  df-exp 14065  df-fac 14271  df-bc 14300  df-hash 14328  df-shft 15052  df-cj 15084  df-re 15085  df-im 15086  df-sqrt 15220  df-abs 15221  df-limsup 15453  df-clim 15470  df-rlim 15471  df-sum 15671  df-ef 16049  df-sin 16051  df-cos 16052  df-tan 16053  df-pi 16054  df-dvds 16237  df-struct 17121  df-sets 17138  df-slot 17156  df-ndx 17168  df-base 17186  df-ress 17215  df-plusg 17251  df-mulr 17252  df-starv 17253  df-sca 17254  df-vsca 17255  df-ip 17256  df-tset 17257  df-ple 17258  df-ds 17260  df-unif 17261  df-hom 17262  df-cco 17263  df-rest 17409  df-topn 17410  df-0g 17428  df-gsum 17429  df-topgen 17430  df-pt 17431  df-prds 17434  df-xrs 17489  df-qtop 17494  df-imas 17495  df-xps 17497  df-mre 17571  df-mrc 17572  df-acs 17574  df-mgm 18605  df-sgrp 18684  df-mnd 18700  df-submnd 18746  df-mulg 19029  df-cntz 19273  df-cmn 19742  df-psmet 21276  df-xmet 21277  df-met 21278  df-bl 21279  df-mopn 21280  df-fbas 21281  df-fg 21282  df-cnfld 21285  df-top 22814  df-topon 22831  df-topsp 22853  df-bases 22867  df-cld 22941  df-ntr 22942  df-cls 22943  df-nei 23020  df-lp 23058  df-perf 23059  df-cn 23149  df-cnp 23150  df-haus 23237  df-cmp 23309  df-tx 23484  df-hmeo 23677  df-fil 23768  df-fm 23860  df-flim 23861  df-flf 23862  df-xms 24244  df-ms 24245  df-tms 24246  df-cncf 24816  df-limc 25813  df-dv 25814  df-ulm 26331  df-log 26508  df-atan 26817
This theorem is referenced by:  log2le1  26900  birthday  26904
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