Theorem log2ub 26004

Description: log2 is less than 253 / 365. If written in decimal, this is because log2 = 0.693147... is less than 253/365 = 0.693151... , so this is a very tight bound, at five decimal places. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Apr-2015.) (Proof shortened by AV, 16-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
log2ub	⊢ (log‘2) < (;;253 / ;;365)

Proof of Theorem log2ub

Step	Hyp	Ref	Expression
1		4m1e3 12032	. . . . . . . . 9 ⊢ (4 − 1) = 3
2	1	oveq2i 7266	. . . . . . . 8 ⊢ (0...(4 − 1)) = (0...3)
3	2	sumeq1i 15338	. . . . . . 7 ⊢ Σ𝑛 ∈ (0...(4 − 1))(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛))) = Σ𝑛 ∈ (0...3)(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛)))
4	3	oveq2i 7266	. . . . . 6 ⊢ ((log‘2) − Σ𝑛 ∈ (0...(4 − 1))(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛)))) = ((log‘2) − Σ𝑛 ∈ (0...3)(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛))))
5		4nn0 12182	. . . . . . 7 ⊢ 4 ∈ ℕ0
6		log2tlbnd 26000	. . . . . . 7 ⊢ (4 ∈ ℕ0 → ((log‘2) − Σ𝑛 ∈ (0...(4 − 1))(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛)))) ∈ (0[,](3 / ((4 · ((2 · 4) + 1)) · (9↑4)))))
7	5, 6	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ ((log‘2) − Σ𝑛 ∈ (0...(4 − 1))(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛)))) ∈ (0[,](3 / ((4 · ((2 · 4) + 1)) · (9↑4))))
8	4, 7	eqeltrri 2836	. . . . 5 ⊢ ((log‘2) − Σ𝑛 ∈ (0...3)(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛)))) ∈ (0[,](3 / ((4 · ((2 · 4) + 1)) · (9↑4))))
9		0re 10908	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℝ
10		3re 11983	. . . . . . 7 ⊢ 3 ∈ ℝ
11		4nn 11986	. . . . . . . . 9 ⊢ 4 ∈ ℕ
12		2nn0 12180	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℕ0
13		1nn 11914	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ∈ ℕ
14	12, 5, 13	numnncl 12376	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2 · 4) + 1) ∈ ℕ
15	11, 14	nnmulcli 11928	. . . . . . . 8 ⊢ (4 · ((2 · 4) + 1)) ∈ ℕ
16		9nn 12001	. . . . . . . . 9 ⊢ 9 ∈ ℕ
17		nnexpcl 13723	. . . . . . . . 9 ⊢ ((9 ∈ ℕ ∧ 4 ∈ ℕ0) → (9↑4) ∈ ℕ)
18	16, 5, 17	mp2an 688	. . . . . . . 8 ⊢ (9↑4) ∈ ℕ
19	15, 18	nnmulcli 11928	. . . . . . 7 ⊢ ((4 · ((2 · 4) + 1)) · (9↑4)) ∈ ℕ
20		nndivre 11944	. . . . . . 7 ⊢ ((3 ∈ ℝ ∧ ((4 · ((2 · 4) + 1)) · (9↑4)) ∈ ℕ) → (3 / ((4 · ((2 · 4) + 1)) · (9↑4))) ∈ ℝ)
21	10, 19, 20	mp2an 688	. . . . . 6 ⊢ (3 / ((4 · ((2 · 4) + 1)) · (9↑4))) ∈ ℝ
22	9, 21	elicc2i 13074	. . . . 5 ⊢ (((log‘2) − Σ𝑛 ∈ (0...3)(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛)))) ∈ (0[,](3 / ((4 · ((2 · 4) + 1)) · (9↑4)))) ↔ (((log‘2) − Σ𝑛 ∈ (0...3)(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛)))) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ((log‘2) − Σ𝑛 ∈ (0...3)(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛)))) ∧ ((log‘2) − Σ𝑛 ∈ (0...3)(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛)))) ≤ (3 / ((4 · ((2 · 4) + 1)) · (9↑4)))))
23	8, 22	mpbi 229	. . . 4 ⊢ (((log‘2) − Σ𝑛 ∈ (0...3)(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛)))) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ((log‘2) − Σ𝑛 ∈ (0...3)(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛)))) ∧ ((log‘2) − Σ𝑛 ∈ (0...3)(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛)))) ≤ (3 / ((4 · ((2 · 4) + 1)) · (9↑4))))
24	23	simp3i 1139	. . 3 ⊢ ((log‘2) − Σ𝑛 ∈ (0...3)(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛)))) ≤ (3 / ((4 · ((2 · 4) + 1)) · (9↑4)))
25		2rp 12664	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℝ+
26		relogcl 25636	. . . . 5 ⊢ (2 ∈ ℝ+ → (log‘2) ∈ ℝ)
27	25, 26	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (log‘2) ∈ ℝ
28		fzfid 13621	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → (0...3) ∈ Fin)
29		2re 11977	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℝ
30		3nn 11982	. . . . . . . . 9 ⊢ 3 ∈ ℕ
31		elfznn0 13278	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 ∈ (0...3) → 𝑛 ∈ ℕ0)
32	31	adantl 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑛 ∈ (0...3)) → 𝑛 ∈ ℕ0)
33		nn0mulcl 12199	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((2 ∈ ℕ0 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (2 · 𝑛) ∈ ℕ0)
34	12, 32, 33	sylancr 586	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑛 ∈ (0...3)) → (2 · 𝑛) ∈ ℕ0)
35		nn0p1nn 12202	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((2 · 𝑛) ∈ ℕ0 → ((2 · 𝑛) + 1) ∈ ℕ)
36	34, 35	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑛 ∈ (0...3)) → ((2 · 𝑛) + 1) ∈ ℕ)
37		nnmulcl 11927	. . . . . . . . 9 ⊢ ((3 ∈ ℕ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) ∈ ℕ) → (3 · ((2 · 𝑛) + 1)) ∈ ℕ)
38	30, 36, 37	sylancr 586	. . . . . . . 8 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑛 ∈ (0...3)) → (3 · ((2 · 𝑛) + 1)) ∈ ℕ)
39		nnexpcl 13723	. . . . . . . . 9 ⊢ ((9 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (9↑𝑛) ∈ ℕ)
40	16, 32, 39	sylancr 586	. . . . . . . 8 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑛 ∈ (0...3)) → (9↑𝑛) ∈ ℕ)
41	38, 40	nnmulcld 11956	. . . . . . 7 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑛 ∈ (0...3)) → ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛)) ∈ ℕ)
42		nndivre 11944	. . . . . . 7 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛)) ∈ ℕ) → (2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛))) ∈ ℝ)
43	29, 41, 42	sylancr 586	. . . . . 6 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑛 ∈ (0...3)) → (2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛))) ∈ ℝ)
44	28, 43	fsumrecl 15374	. . . . 5 ⊢ (⊤ → Σ𝑛 ∈ (0...3)(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛))) ∈ ℝ)
45	44	mptru 1546	. . . 4 ⊢ Σ𝑛 ∈ (0...3)(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛))) ∈ ℝ
46	27, 45, 21	lesubadd2i 11465	. . 3 ⊢ (((log‘2) − Σ𝑛 ∈ (0...3)(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛)))) ≤ (3 / ((4 · ((2 · 4) + 1)) · (9↑4))) ↔ (log‘2) ≤ (Σ𝑛 ∈ (0...3)(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛))) + (3 / ((4 · ((2 · 4) + 1)) · (9↑4)))))
47	24, 46	mpbi 229	. 2 ⊢ (log‘2) ≤ (Σ𝑛 ∈ (0...3)(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛))) + (3 / ((4 · ((2 · 4) + 1)) · (9↑4))))
48		log2ublem3 26003	. . . . 5 ⊢ (((3↑7) · (5 · 7)) · Σ𝑛 ∈ (0...3)(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛)))) ≤ ;;;;53056
49		3nn0 12181	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℕ0
50		5nn0 12183	. . . . . . . . 9 ⊢ 5 ∈ ℕ0
51	50, 49	deccl 12381	. . . . . . . 8 ⊢ ;53 ∈ ℕ0
52		0nn0 12178	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℕ0
53	51, 52	deccl 12381	. . . . . . 7 ⊢ ;;530 ∈ ℕ0
54	53, 50	deccl 12381	. . . . . 6 ⊢ ;;;5305 ∈ ℕ0
55		6nn0 12184	. . . . . 6 ⊢ 6 ∈ ℕ0
56	54, 55	deccl 12381	. . . . 5 ⊢ ;;;;53056 ∈ ℕ0
57		1nn0 12179	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℕ0
58		eqid 2738	. . . . 5 ⊢ (Σ𝑛 ∈ (0...3)(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛))) + (3 / ((4 · ((2 · 4) + 1)) · (9↑4)))) = (Σ𝑛 ∈ (0...3)(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛))) + (3 / ((4 · ((2 · 4) + 1)) · (9↑4))))
59		6p1e7 12051	. . . . . 6 ⊢ (6 + 1) = 7
60		eqid 2738	. . . . . 6 ⊢ ;;;;53056 = ;;;;53056
61	54, 55, 59, 60	decsuc 12397	. . . . 5 ⊢ (;;;;53056 + 1) = ;;;;53057
62		5nn 11989	. . . . . . . . . 10 ⊢ 5 ∈ ℕ
63		7nn 11995	. . . . . . . . . 10 ⊢ 7 ∈ ℕ
64	62, 63	nnmulcli 11928	. . . . . . . . 9 ⊢ (5 · 7) ∈ ℕ
65	64	nnrei 11912	. . . . . . . 8 ⊢ (5 · 7) ∈ ℝ
66	15	nnrei 11912	. . . . . . . 8 ⊢ (4 · ((2 · 4) + 1)) ∈ ℝ
67		6nn 11992	. . . . . . . . . 10 ⊢ 6 ∈ ℕ
68		5lt6 12084	. . . . . . . . . 10 ⊢ 5 < 6
69	49, 50, 67, 68	declt 12394	. . . . . . . . 9 ⊢ ;35 < ;36
70		7cn 11997	. . . . . . . . . 10 ⊢ 7 ∈ ℂ
71		5cn 11991	. . . . . . . . . 10 ⊢ 5 ∈ ℂ
72		7t5e35 12478	. . . . . . . . . 10 ⊢ (7 · 5) = ;35
73	70, 71, 72	mulcomli 10915	. . . . . . . . 9 ⊢ (5 · 7) = ;35
74		4cn 11988	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 4 ∈ ℂ
75		2cn 11978	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 2 ∈ ℂ
76		4t2e8 12071	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (4 · 2) = 8
77	74, 75, 76	mulcomli 10915	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (2 · 4) = 8
78	77	oveq1i 7265	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((2 · 4) + 1) = (8 + 1)
79		8p1e9 12053	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (8 + 1) = 9
80	78, 79	eqtri 2766	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((2 · 4) + 1) = 9
81	80	oveq2i 7266	. . . . . . . . . 10 ⊢ (4 · ((2 · 4) + 1)) = (4 · 9)
82		9cn 12003	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 9 ∈ ℂ
83		9t4e36 12490	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (9 · 4) = ;36
84	82, 74, 83	mulcomli 10915	. . . . . . . . . 10 ⊢ (4 · 9) = ;36
85	81, 84	eqtri 2766	. . . . . . . . 9 ⊢ (4 · ((2 · 4) + 1)) = ;36
86	69, 73, 85	3brtr4i 5100	. . . . . . . 8 ⊢ (5 · 7) < (4 · ((2 · 4) + 1))
87	65, 66, 86	ltleii 11028	. . . . . . 7 ⊢ (5 · 7) ≤ (4 · ((2 · 4) + 1))
88	18	nngt0i 11942	. . . . . . . 8 ⊢ 0 < (9↑4)
89	18	nnrei 11912	. . . . . . . . 9 ⊢ (9↑4) ∈ ℝ
90	65, 66, 89	lemul2i 11828	. . . . . . . 8 ⊢ (0 < (9↑4) → ((5 · 7) ≤ (4 · ((2 · 4) + 1)) ↔ ((9↑4) · (5 · 7)) ≤ ((9↑4) · (4 · ((2 · 4) + 1)))))
91	88, 90	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ ((5 · 7) ≤ (4 · ((2 · 4) + 1)) ↔ ((9↑4) · (5 · 7)) ≤ ((9↑4) · (4 · ((2 · 4) + 1))))
92	87, 91	mpbi 229	. . . . . 6 ⊢ ((9↑4) · (5 · 7)) ≤ ((9↑4) · (4 · ((2 · 4) + 1)))
93		7nn0 12185	. . . . . . . . . 10 ⊢ 7 ∈ ℕ0
94		nnexpcl 13723	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((3 ∈ ℕ ∧ 7 ∈ ℕ0) → (3↑7) ∈ ℕ)
95	30, 93, 94	mp2an 688	. . . . . . . . 9 ⊢ (3↑7) ∈ ℕ
96	95	nncni 11913	. . . . . . . 8 ⊢ (3↑7) ∈ ℂ
97	64	nncni 11913	. . . . . . . 8 ⊢ (5 · 7) ∈ ℂ
98		3cn 11984	. . . . . . . 8 ⊢ 3 ∈ ℂ
99	96, 97, 98	mul32i 11101	. . . . . . 7 ⊢ (((3↑7) · (5 · 7)) · 3) = (((3↑7) · 3) · (5 · 7))
100	74, 75	mulcomi 10914	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (4 · 2) = (2 · 4)
101		df-8 11972	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 8 = (7 + 1)
102	76, 100, 101	3eqtr3i 2774	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (2 · 4) = (7 + 1)
103	102	oveq2i 7266	. . . . . . . . . 10 ⊢ (3↑(2 · 4)) = (3↑(7 + 1))
104		expmul 13756	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((3 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℕ0 ∧ 4 ∈ ℕ0) → (3↑(2 · 4)) = ((3↑2)↑4))
105	98, 12, 5, 104	mp3an 1459	. . . . . . . . . 10 ⊢ (3↑(2 · 4)) = ((3↑2)↑4)
106	103, 105	eqtr3i 2768	. . . . . . . . 9 ⊢ (3↑(7 + 1)) = ((3↑2)↑4)
107		expp1 13717	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((3 ∈ ℂ ∧ 7 ∈ ℕ0) → (3↑(7 + 1)) = ((3↑7) · 3))
108	98, 93, 107	mp2an 688	. . . . . . . . 9 ⊢ (3↑(7 + 1)) = ((3↑7) · 3)
109		sq3 13843	. . . . . . . . . 10 ⊢ (3↑2) = 9
110	109	oveq1i 7265	. . . . . . . . 9 ⊢ ((3↑2)↑4) = (9↑4)
111	106, 108, 110	3eqtr3i 2774	. . . . . . . 8 ⊢ ((3↑7) · 3) = (9↑4)
112	111	oveq1i 7265	. . . . . . 7 ⊢ (((3↑7) · 3) · (5 · 7)) = ((9↑4) · (5 · 7))
113	99, 112	eqtri 2766	. . . . . 6 ⊢ (((3↑7) · (5 · 7)) · 3) = ((9↑4) · (5 · 7))
114	15	nncni 11913	. . . . . . . . 9 ⊢ (4 · ((2 · 4) + 1)) ∈ ℂ
115	18	nncni 11913	. . . . . . . . 9 ⊢ (9↑4) ∈ ℂ
116	114, 115	mulcomi 10914	. . . . . . . 8 ⊢ ((4 · ((2 · 4) + 1)) · (9↑4)) = ((9↑4) · (4 · ((2 · 4) + 1)))
117	116	oveq1i 7265	. . . . . . 7 ⊢ (((4 · ((2 · 4) + 1)) · (9↑4)) · 1) = (((9↑4) · (4 · ((2 · 4) + 1))) · 1)
118	115, 114	mulcli 10913	. . . . . . . 8 ⊢ ((9↑4) · (4 · ((2 · 4) + 1))) ∈ ℂ
119	118	mulid1i 10910	. . . . . . 7 ⊢ (((9↑4) · (4 · ((2 · 4) + 1))) · 1) = ((9↑4) · (4 · ((2 · 4) + 1)))
120	117, 119	eqtri 2766	. . . . . 6 ⊢ (((4 · ((2 · 4) + 1)) · (9↑4)) · 1) = ((9↑4) · (4 · ((2 · 4) + 1)))
121	92, 113, 120	3brtr4i 5100	. . . . 5 ⊢ (((3↑7) · (5 · 7)) · 3) ≤ (((4 · ((2 · 4) + 1)) · (9↑4)) · 1)
122	48, 45, 49, 19, 56, 57, 58, 61, 121	log2ublem1 26001	. . . 4 ⊢ (((3↑7) · (5 · 7)) · (Σ𝑛 ∈ (0...3)(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛))) + (3 / ((4 · ((2 · 4) + 1)) · (9↑4))))) ≤ ;;;;53057
123	45, 21	readdcli 10921	. . . . 5 ⊢ (Σ𝑛 ∈ (0...3)(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛))) + (3 / ((4 · ((2 · 4) + 1)) · (9↑4)))) ∈ ℝ
124	54, 93	deccl 12381	. . . . . 6 ⊢ ;;;;53057 ∈ ℕ0
125	124	nn0rei 12174	. . . . 5 ⊢ ;;;;53057 ∈ ℝ
126	95, 64	nnmulcli 11928	. . . . . . 7 ⊢ ((3↑7) · (5 · 7)) ∈ ℕ
127	126	nnrei 11912	. . . . . 6 ⊢ ((3↑7) · (5 · 7)) ∈ ℝ
128	126	nngt0i 11942	. . . . . 6 ⊢ 0 < ((3↑7) · (5 · 7))
129	127, 128	pm3.2i 470	. . . . 5 ⊢ (((3↑7) · (5 · 7)) ∈ ℝ ∧ 0 < ((3↑7) · (5 · 7)))
130		lemuldiv2 11786	. . . . 5 ⊢ (((Σ𝑛 ∈ (0...3)(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛))) + (3 / ((4 · ((2 · 4) + 1)) · (9↑4)))) ∈ ℝ ∧ ;;;;53057 ∈ ℝ ∧ (((3↑7) · (5 · 7)) ∈ ℝ ∧ 0 < ((3↑7) · (5 · 7)))) → ((((3↑7) · (5 · 7)) · (Σ𝑛 ∈ (0...3)(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛))) + (3 / ((4 · ((2 · 4) + 1)) · (9↑4))))) ≤ ;;;;53057 ↔ (Σ𝑛 ∈ (0...3)(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛))) + (3 / ((4 · ((2 · 4) + 1)) · (9↑4)))) ≤ (;;;;53057 / ((3↑7) · (5 · 7)))))
131	123, 125, 129, 130	mp3an 1459	. . . 4 ⊢ ((((3↑7) · (5 · 7)) · (Σ𝑛 ∈ (0...3)(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛))) + (3 / ((4 · ((2 · 4) + 1)) · (9↑4))))) ≤ ;;;;53057 ↔ (Σ𝑛 ∈ (0...3)(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛))) + (3 / ((4 · ((2 · 4) + 1)) · (9↑4)))) ≤ (;;;;53057 / ((3↑7) · (5 · 7))))
132	122, 131	mpbi 229	. . 3 ⊢ (Σ𝑛 ∈ (0...3)(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛))) + (3 / ((4 · ((2 · 4) + 1)) · (9↑4)))) ≤ (;;;;53057 / ((3↑7) · (5 · 7)))
133		8nn0 12186	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 8 ∈ ℕ0
134	49, 133	deccl 12381	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ;38 ∈ ℕ0
135	134, 93	deccl 12381	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ;;387 ∈ ℕ0
136	135, 49	deccl 12381	. . . . . . . . . 10 ⊢ ;;;3873 ∈ ℕ0
137	136, 57	deccl 12381	. . . . . . . . 9 ⊢ ;;;;38731 ∈ ℕ0
138	137, 55	deccl 12381	. . . . . . . 8 ⊢ ;;;;;387316 ∈ ℕ0
139	137, 93	deccl 12381	. . . . . . . 8 ⊢ ;;;;;387317 ∈ ℕ0
140		1lt10 12505	. . . . . . . 8 ⊢ 1 < ;10
141		6lt7 12089	. . . . . . . . 9 ⊢ 6 < 7
142	137, 55, 63, 141	declt 12394	. . . . . . . 8 ⊢ ;;;;;387316 < ;;;;;387317
143	138, 139, 57, 93, 140, 142	decltc 12395	. . . . . . 7 ⊢ ;;;;;;3873161 < ;;;;;;3873177
144		eqid 2738	. . . . . . . 8 ⊢ ;73 = ;73
145	57, 50	deccl 12381	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ;15 ∈ ℕ0
146		9nn0 12187	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 9 ∈ ℕ0
147	145, 146	deccl 12381	. . . . . . . . . 10 ⊢ ;;159 ∈ ℕ0
148	147, 57	deccl 12381	. . . . . . . . 9 ⊢ ;;;1591 ∈ ℕ0
149	148, 93	deccl 12381	. . . . . . . 8 ⊢ ;;;;15917 ∈ ℕ0
150		eqid 2738	. . . . . . . . 9 ⊢ ;;;;53057 = ;;;;53057
151		eqid 2738	. . . . . . . . 9 ⊢ ;;;;15917 = ;;;;15917
152		eqid 2738	. . . . . . . . . 10 ⊢ ;;;5305 = ;;;5305
153		eqid 2738	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ;;;1591 = ;;;1591
154		ax-1cn 10860	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 1 ∈ ℂ
155		5p1e6 12050	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (5 + 1) = 6
156	71, 154, 155	addcomli 11097	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1 + 5) = 6
157	147, 57, 50, 153, 156	decaddi 12426	. . . . . . . . . 10 ⊢ (;;;1591 + 5) = ;;;1596
158	57, 55	deccl 12381	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ;16 ∈ ℕ0
159		eqid 2738	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ;;530 = ;;530
160		eqid 2738	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ;;159 = ;;159
161		eqid 2738	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ;15 = ;15
162	57, 50, 155, 161	decsuc 12397	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (;15 + 1) = ;16
163		9p4e13 12455	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (9 + 4) = ;13
164	145, 146, 5, 160, 162, 49, 163	decaddci 12427	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (;;159 + 4) = ;;163
165		eqid 2738	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ;53 = ;53
166	158	nn0cni 12175	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ;16 ∈ ℂ
167	166	addid1i 11092	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (;16 + 0) = ;16
168		1p2e3 12046	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (1 + 2) = 3
169	168	oveq2i 7266	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((5 · 7) + (1 + 2)) = ((5 · 7) + 3)
170		5p3e8 12060	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (5 + 3) = 8
171	49, 50, 49, 73, 170	decaddi 12426	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((5 · 7) + 3) = ;38
172	169, 171	eqtri 2766	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((5 · 7) + (1 + 2)) = ;38
173		7t3e21 12476	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (7 · 3) = ;21
174	70, 98, 173	mulcomli 10915	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (3 · 7) = ;21
175		6cn 11994	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 6 ∈ ℂ
176	175, 154, 59	addcomli 11097	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (1 + 6) = 7
177	12, 57, 55, 174, 176	decaddi 12426	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((3 · 7) + 6) = ;27
178	50, 49, 57, 55, 165, 167, 93, 93, 12, 172, 177	decmac 12418	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((;53 · 7) + (;16 + 0)) = ;;387
179	70	mul02i 11094	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (0 · 7) = 0
180	179	oveq1i 7265	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((0 · 7) + 3) = (0 + 3)
181	98	addid2i 11093	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (0 + 3) = 3
182	49	dec0h 12388	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 3 = ;03
183	181, 182	eqtri 2766	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (0 + 3) = ;03
184	180, 183	eqtri 2766	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((0 · 7) + 3) = ;03
185	51, 52, 158, 49, 159, 164, 93, 49, 52, 178, 184	decmac 12418	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((;;530 · 7) + (;;159 + 4)) = ;;;3873
186		3p1e4 12048	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (3 + 1) = 4
187		6p5e11 12439	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (6 + 5) = ;11
188	175, 71, 187	addcomli 11097	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (5 + 6) = ;11
189	49, 50, 55, 73, 186, 57, 188	decaddci 12427	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((5 · 7) + 6) = ;41
190	53, 50, 147, 55, 152, 157, 93, 57, 5, 185, 189	decmac 12418	. . . . . . . . 9 ⊢ ((;;;5305 · 7) + (;;;1591 + 5)) = ;;;;38731
191		7t7e49 12480	. . . . . . . . . 10 ⊢ (7 · 7) = ;49
192		4p1e5 12049	. . . . . . . . . 10 ⊢ (4 + 1) = 5
193		9p7e16 12458	. . . . . . . . . 10 ⊢ (9 + 7) = ;16
194	5, 146, 93, 191, 192, 55, 193	decaddci 12427	. . . . . . . . 9 ⊢ ((7 · 7) + 7) = ;56
195	54, 93, 148, 93, 150, 151, 93, 55, 50, 190, 194	decmac 12418	. . . . . . . 8 ⊢ ((;;;;53057 · 7) + ;;;;15917) = ;;;;;387316
196	12	dec0h 12388	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 = ;02
197	154	addid2i 11093	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (0 + 1) = 1
198	57	dec0h 12388	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 1 = ;01
199	197, 198	eqtri 2766	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0 + 1) = ;01
200		00id 11080	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (0 + 0) = 0
201	52	dec0h 12388	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 0 = ;00
202	200, 201	eqtri 2766	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (0 + 0) = ;00
203		5t3e15 12467	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (5 · 3) = ;15
204	203	oveq1i 7265	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((5 · 3) + 0) = (;15 + 0)
205	145	nn0cni 12175	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ;15 ∈ ℂ
206	205	addid1i 11092	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (;15 + 0) = ;15
207	204, 206	eqtri 2766	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((5 · 3) + 0) = ;15
208		3t3e9 12070	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (3 · 3) = 9
209	208	oveq1i 7265	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((3 · 3) + 0) = (9 + 0)
210	82	addid1i 11092	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (9 + 0) = 9
211	209, 210	eqtri 2766	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((3 · 3) + 0) = 9
212	50, 49, 52, 52, 165, 202, 49, 207, 211	decma 12417	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((;53 · 3) + (0 + 0)) = ;;159
213	98	mul02i 11094	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (0 · 3) = 0
214	213	oveq1i 7265	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((0 · 3) + 1) = (0 + 1)
215	214, 199	eqtri 2766	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((0 · 3) + 1) = ;01
216	51, 52, 52, 57, 159, 199, 49, 57, 52, 212, 215	decmac 12418	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((;;530 · 3) + (0 + 1)) = ;;;1591
217		5p2e7 12059	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (5 + 2) = 7
218	57, 50, 12, 203, 217	decaddi 12426	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((5 · 3) + 2) = ;17
219	53, 50, 52, 12, 152, 196, 49, 93, 57, 216, 218	decmac 12418	. . . . . . . . 9 ⊢ ((;;;5305 · 3) + 2) = ;;;;15917
220	49, 54, 93, 150, 57, 12, 219, 173	decmul1c 12431	. . . . . . . 8 ⊢ (;;;;53057 · 3) = ;;;;;159171
221	124, 93, 49, 144, 57, 149, 195, 220	decmul2c 12432	. . . . . . 7 ⊢ (;;;;53057 · ;73) = ;;;;;;3873161
222	50, 50	deccl 12381	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ;55 ∈ ℕ0
223	222, 49	deccl 12381	. . . . . . . . . 10 ⊢ ;;553 ∈ ℕ0
224	223, 49	deccl 12381	. . . . . . . . 9 ⊢ ;;;5533 ∈ ℕ0
225	224, 57	deccl 12381	. . . . . . . 8 ⊢ ;;;;55331 ∈ ℕ0
226	12, 50	deccl 12381	. . . . . . . . . 10 ⊢ ;25 ∈ ℕ0
227	226, 49	deccl 12381	. . . . . . . . 9 ⊢ ;;253 ∈ ℕ0
228	12, 57	deccl 12381	. . . . . . . . . 10 ⊢ ;21 ∈ ℕ0
229	228, 133	deccl 12381	. . . . . . . . 9 ⊢ ;;218 ∈ ℕ0
230	93, 12	deccl 12381	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ;72 ∈ ℕ0
231		3t2e6 12069	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (3 · 2) = 6
232	98, 75, 231	mulcomli 10915	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (2 · 3) = 6
233		3exp3 16721	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (3↑3) = ;27
234	12, 93	deccl 12381	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ;27 ∈ ℕ0
235		eqid 2738	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ;27 = ;27
236	57, 133	deccl 12381	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ;18 ∈ ℕ0
237		eqid 2738	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ;18 = ;18
238		2t2e4 12067	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (2 · 2) = 4
239	238, 168	oveq12i 7267	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((2 · 2) + (1 + 2)) = (4 + 3)
240		4p3e7 12057	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (4 + 3) = 7
241	239, 240	eqtri 2766	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((2 · 2) + (1 + 2)) = 7
242		7t2e14 12475	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (7 · 2) = ;14
243		1p1e2 12028	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (1 + 1) = 2
244		8cn 12000	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 8 ∈ ℂ
245		8p4e12 12448	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (8 + 4) = ;12
246	244, 74, 245	addcomli 11097	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (4 + 8) = ;12
247	57, 5, 133, 242, 243, 12, 246	decaddci 12427	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((7 · 2) + 8) = ;22
248	12, 93, 57, 133, 235, 237, 12, 12, 12, 241, 247	decmac 12418	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((;27 · 2) + ;18) = ;72
249	70, 75, 242	mulcomli 10915	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (2 · 7) = ;14
250		4p4e8 12058	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (4 + 4) = 8
251	57, 5, 5, 249, 250	decaddi 12426	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((2 · 7) + 4) = ;18
252	93, 12, 93, 235, 146, 5, 251, 191	decmul1c 12431	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (;27 · 7) = ;;189
253	234, 12, 93, 235, 146, 236, 248, 252	decmul2c 12432	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (;27 · ;27) = ;;729
254	49, 49, 232, 233, 253	numexp2x 16708	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (3↑6) = ;;729
255		eqid 2738	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ;72 = ;72
256	232	oveq1i 7265	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((2 · 3) + 2) = (6 + 2)
257		6p2e8 12062	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (6 + 2) = 8
258	256, 257	eqtri 2766	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((2 · 3) + 2) = 8
259	93, 12, 12, 255, 49, 173, 258	decrmanc 12423	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((;72 · 3) + 2) = ;;218
260		9t3e27 12489	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (9 · 3) = ;27
261	49, 230, 146, 254, 93, 12, 259, 260	decmul1c 12431	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((3↑6) · 3) = ;;;2187
262	49, 55, 59, 261	numexpp1 16707	. . . . . . . . 9 ⊢ (3↑7) = ;;;2187
263	57, 93	deccl 12381	. . . . . . . . . 10 ⊢ ;17 ∈ ℕ0
264	263, 93	deccl 12381	. . . . . . . . 9 ⊢ ;;177 ∈ ℕ0
265		eqid 2738	. . . . . . . . . 10 ⊢ ;;218 = ;;218
266		eqid 2738	. . . . . . . . . 10 ⊢ ;;177 = ;;177
267	12, 52	deccl 12381	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ;20 ∈ ℕ0
268	267, 49	deccl 12381	. . . . . . . . . 10 ⊢ ;;203 ∈ ℕ0
269	12, 12	deccl 12381	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ;22 ∈ ℕ0
270		eqid 2738	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ;21 = ;21
271		eqid 2738	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ;17 = ;17
272		eqid 2738	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ;;203 = ;;203
273		eqid 2738	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ;20 = ;20
274	75	addid2i 11093	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (0 + 2) = 2
275	154	addid1i 11092	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (1 + 0) = 1
276	52, 57, 12, 52, 198, 273, 274, 275	decadd 12420	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (1 + ;20) = ;21
277	12, 57, 243, 276	decsuc 12397	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((1 + ;20) + 1) = ;22
278		7p3e10 12441	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (7 + 3) = ;10
279	57, 93, 267, 49, 271, 272, 277, 278	decaddc2 12422	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (;17 + ;;203) = ;;220
280		eqid 2738	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ;;253 = ;;253
281		eqid 2738	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ;22 = ;22
282		eqid 2738	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ;25 = ;25
283		2p2e4 12038	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (2 + 2) = 4
284	71, 75, 217	addcomli 11097	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (2 + 5) = 7
285	12, 12, 12, 50, 281, 282, 283, 284	decadd 12420	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (;22 + ;25) = ;47
286	50	dec0h 12388	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 5 = ;05
287	192, 286	eqtri 2766	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (4 + 1) = ;05
288	238, 197	oveq12i 7267	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((2 · 2) + (0 + 1)) = (4 + 1)
289	288, 192	eqtri 2766	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((2 · 2) + (0 + 1)) = 5
290		5t2e10 12466	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (5 · 2) = ;10
291	71	addid2i 11093	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (0 + 5) = 5
292	57, 52, 50, 290, 291	decaddi 12426	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((5 · 2) + 5) = ;15
293	12, 50, 52, 50, 282, 287, 12, 50, 57, 289, 292	decmac 12418	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((;25 · 2) + (4 + 1)) = ;55
294	231	oveq1i 7265	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((3 · 2) + 7) = (6 + 7)
295		7p6e13 12444	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (7 + 6) = ;13
296	70, 175, 295	addcomli 11097	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (6 + 7) = ;13
297	294, 296	eqtri 2766	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((3 · 2) + 7) = ;13
298	226, 49, 5, 93, 280, 285, 12, 49, 57, 293, 297	decmac 12418	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((;;253 · 2) + (;22 + ;25)) = ;;553
299	227	nn0cni 12175	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ;;253 ∈ ℂ
300	299	mulid1i 10910	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (;;253 · 1) = ;;253
301	300	oveq1i 7265	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((;;253 · 1) + 0) = (;;253 + 0)
302	299	addid1i 11092	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (;;253 + 0) = ;;253
303	301, 302	eqtri 2766	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((;;253 · 1) + 0) = ;;253
304	12, 57, 269, 52, 270, 279, 227, 49, 226, 298, 303	decma2c 12419	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((;;253 · ;21) + (;17 + ;;203)) = ;;;5533
305	93	dec0h 12388	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 7 = ;07
306	74	addid2i 11093	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (0 + 4) = 4
307	306	oveq2i 7266	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((2 · 8) + (0 + 4)) = ((2 · 8) + 4)
308		8t2e16 12481	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (8 · 2) = ;16
309	244, 75, 308	mulcomli 10915	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (2 · 8) = ;16
310		6p4e10 12438	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (6 + 4) = ;10
311	57, 55, 5, 309, 243, 310	decaddci2 12428	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((2 · 8) + 4) = ;20
312	307, 311	eqtri 2766	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((2 · 8) + (0 + 4)) = ;20
313		8t5e40 12484	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (8 · 5) = ;40
314	244, 71, 313	mulcomli 10915	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (5 · 8) = ;40
315	5, 52, 49, 314, 181	decaddi 12426	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((5 · 8) + 3) = ;43
316	12, 50, 52, 49, 282, 183, 133, 49, 5, 312, 315	decmac 12418	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((;25 · 8) + (0 + 3)) = ;;203
317		8t3e24 12482	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (8 · 3) = ;24
318	244, 98, 317	mulcomli 10915	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (3 · 8) = ;24
319		2p1e3 12045	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (2 + 1) = 3
320		7p4e11 12442	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (7 + 4) = ;11
321	70, 74, 320	addcomli 11097	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (4 + 7) = ;11
322	12, 5, 93, 318, 319, 57, 321	decaddci 12427	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((3 · 8) + 7) = ;31
323	226, 49, 52, 93, 280, 305, 133, 57, 49, 316, 322	decmac 12418	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((;;253 · 8) + 7) = ;;;2031
324	228, 133, 263, 93, 265, 266, 227, 57, 268, 304, 323	decma2c 12419	. . . . . . . . 9 ⊢ ((;;253 · ;;218) + ;;177) = ;;;;55331
325	57, 5, 49, 249, 240	decaddi 12426	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((2 · 7) + 3) = ;17
326	49, 50, 12, 73, 217	decaddi 12426	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((5 · 7) + 2) = ;37
327	12, 50, 12, 282, 93, 93, 49, 325, 326	decrmac 12424	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((;25 · 7) + 2) = ;;177
328	93, 226, 49, 280, 57, 12, 327, 174	decmul1c 12431	. . . . . . . . 9 ⊢ (;;253 · 7) = ;;;1771
329	227, 229, 93, 262, 57, 264, 324, 328	decmul2c 12432	. . . . . . . 8 ⊢ (;;253 · (3↑7)) = ;;;;;553311
330		eqid 2738	. . . . . . . . 9 ⊢ ;;;;55331 = ;;;;55331
331		eqid 2738	. . . . . . . . . 10 ⊢ ;;;5533 = ;;;5533
332		eqid 2738	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ;;553 = ;;553
333		eqid 2738	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ;55 = ;55
334	274, 196	eqtri 2766	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (0 + 2) = ;02
335	181	oveq2i 7266	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((5 · 7) + (0 + 3)) = ((5 · 7) + 3)
336	335, 171	eqtri 2766	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((5 · 7) + (0 + 3)) = ;38
337	50, 50, 52, 12, 333, 334, 93, 93, 49, 336, 326	decmac 12418	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((;55 · 7) + (0 + 2)) = ;;387
338	12, 57, 12, 174, 168	decaddi 12426	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((3 · 7) + 2) = ;23
339	222, 49, 52, 12, 332, 196, 93, 49, 12, 337, 338	decmac 12418	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((;;553 · 7) + 2) = ;;;3873
340	93, 223, 49, 331, 57, 12, 339, 174	decmul1c 12431	. . . . . . . . 9 ⊢ (;;;5533 · 7) = ;;;;38731
341	70	mulid2i 10911	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 · 7) = 7
342	93, 224, 57, 330, 340, 341	decmul1 12430	. . . . . . . 8 ⊢ (;;;;55331 · 7) = ;;;;;387317
343	93, 225, 57, 329, 342, 341	decmul1 12430	. . . . . . 7 ⊢ ((;;253 · (3↑7)) · 7) = ;;;;;;3873177
344	143, 221, 343	3brtr4i 5100	. . . . . 6 ⊢ (;;;;53057 · ;73) < ((;;253 · (3↑7)) · 7)
345	93, 49	deccl 12381	. . . . . . . . 9 ⊢ ;73 ∈ ℕ0
346	124, 345	nn0mulcli 12201	. . . . . . . 8 ⊢ (;;;;53057 · ;73) ∈ ℕ0
347	346	nn0rei 12174	. . . . . . 7 ⊢ (;;;;53057 · ;73) ∈ ℝ
348	49, 93	nn0expcli 13737	. . . . . . . . . 10 ⊢ (3↑7) ∈ ℕ0
349	227, 348	nn0mulcli 12201	. . . . . . . . 9 ⊢ (;;253 · (3↑7)) ∈ ℕ0
350	349, 93	nn0mulcli 12201	. . . . . . . 8 ⊢ ((;;253 · (3↑7)) · 7) ∈ ℕ0
351	350	nn0rei 12174	. . . . . . 7 ⊢ ((;;253 · (3↑7)) · 7) ∈ ℝ
352	62	nnrei 11912	. . . . . . 7 ⊢ 5 ∈ ℝ
353	62	nngt0i 11942	. . . . . . 7 ⊢ 0 < 5
354	347, 351, 352, 353	ltmul1ii 11833	. . . . . 6 ⊢ ((;;;;53057 · ;73) < ((;;253 · (3↑7)) · 7) ↔ ((;;;;53057 · ;73) · 5) < (((;;253 · (3↑7)) · 7) · 5))
355	344, 354	mpbi 229	. . . . 5 ⊢ ((;;;;53057 · ;73) · 5) < (((;;253 · (3↑7)) · 7) · 5)
356	124	nn0cni 12175	. . . . . . 7 ⊢ ;;;;53057 ∈ ℂ
357	345	nn0cni 12175	. . . . . . 7 ⊢ ;73 ∈ ℂ
358	356, 357, 71	mulassi 10917	. . . . . 6 ⊢ ((;;;;53057 · ;73) · 5) = (;;;;53057 · (;73 · 5))
359	49, 50, 155, 72	decsuc 12397	. . . . . . . 8 ⊢ ((7 · 5) + 1) = ;36
360	71, 98, 203	mulcomli 10915	. . . . . . . 8 ⊢ (3 · 5) = ;15
361	50, 93, 49, 144, 50, 57, 359, 360	decmul1c 12431	. . . . . . 7 ⊢ (;73 · 5) = ;;365
362	361	oveq2i 7266	. . . . . 6 ⊢ (;;;;53057 · (;73 · 5)) = (;;;;53057 · ;;365)
363	358, 362	eqtri 2766	. . . . 5 ⊢ ((;;;;53057 · ;73) · 5) = (;;;;53057 · ;;365)
364	299, 96	mulcli 10913	. . . . . . 7 ⊢ (;;253 · (3↑7)) ∈ ℂ
365	364, 70, 71	mulassi 10917	. . . . . 6 ⊢ (((;;253 · (3↑7)) · 7) · 5) = ((;;253 · (3↑7)) · (7 · 5))
366	70, 71	mulcomi 10914	. . . . . . . 8 ⊢ (7 · 5) = (5 · 7)
367	366	oveq2i 7266	. . . . . . 7 ⊢ ((;;253 · (3↑7)) · (7 · 5)) = ((;;253 · (3↑7)) · (5 · 7))
368	299, 96, 97	mulassi 10917	. . . . . . 7 ⊢ ((;;253 · (3↑7)) · (5 · 7)) = (;;253 · ((3↑7) · (5 · 7)))
369	367, 368	eqtri 2766	. . . . . 6 ⊢ ((;;253 · (3↑7)) · (7 · 5)) = (;;253 · ((3↑7) · (5 · 7)))
370	365, 369	eqtri 2766	. . . . 5 ⊢ (((;;253 · (3↑7)) · 7) · 5) = (;;253 · ((3↑7) · (5 · 7)))
371	355, 363, 370	3brtr3i 5099	. . . 4 ⊢ (;;;;53057 · ;;365) < (;;253 · ((3↑7) · (5 · 7)))
372	49, 55	deccl 12381	. . . . . . . 8 ⊢ ;36 ∈ ℕ0
373	372, 62	decnncl 12386	. . . . . . 7 ⊢ ;;365 ∈ ℕ
374	373	nnrei 11912	. . . . . 6 ⊢ ;;365 ∈ ℝ
375	373	nngt0i 11942	. . . . . 6 ⊢ 0 < ;;365
376	374, 375	pm3.2i 470	. . . . 5 ⊢ (;;365 ∈ ℝ ∧ 0 < ;;365)
377	227	nn0rei 12174	. . . . 5 ⊢ ;;253 ∈ ℝ
378		lt2mul2div 11783	. . . . 5 ⊢ (((;;;;53057 ∈ ℝ ∧ (;;365 ∈ ℝ ∧ 0 < ;;365)) ∧ (;;253 ∈ ℝ ∧ (((3↑7) · (5 · 7)) ∈ ℝ ∧ 0 < ((3↑7) · (5 · 7))))) → ((;;;;53057 · ;;365) < (;;253 · ((3↑7) · (5 · 7))) ↔ (;;;;53057 / ((3↑7) · (5 · 7))) < (;;253 / ;;365)))
379	125, 376, 377, 129, 378	mp4an 689	. . . 4 ⊢ ((;;;;53057 · ;;365) < (;;253 · ((3↑7) · (5 · 7))) ↔ (;;;;53057 / ((3↑7) · (5 · 7))) < (;;253 / ;;365))
380	371, 379	mpbi 229	. . 3 ⊢ (;;;;53057 / ((3↑7) · (5 · 7))) < (;;253 / ;;365)
381		nndivre 11944	. . . . 5 ⊢ ((;;;;53057 ∈ ℝ ∧ ((3↑7) · (5 · 7)) ∈ ℕ) → (;;;;53057 / ((3↑7) · (5 · 7))) ∈ ℝ)
382	125, 126, 381	mp2an 688	. . . 4 ⊢ (;;;;53057 / ((3↑7) · (5 · 7))) ∈ ℝ
383		nndivre 11944	. . . . 5 ⊢ ((;;253 ∈ ℝ ∧ ;;365 ∈ ℕ) → (;;253 / ;;365) ∈ ℝ)
384	377, 373, 383	mp2an 688	. . . 4 ⊢ (;;253 / ;;365) ∈ ℝ
385	123, 382, 384	lelttri 11032	. . 3 ⊢ (((Σ𝑛 ∈ (0...3)(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛))) + (3 / ((4 · ((2 · 4) + 1)) · (9↑4)))) ≤ (;;;;53057 / ((3↑7) · (5 · 7))) ∧ (;;;;53057 / ((3↑7) · (5 · 7))) < (;;253 / ;;365)) → (Σ𝑛 ∈ (0...3)(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛))) + (3 / ((4 · ((2 · 4) + 1)) · (9↑4)))) < (;;253 / ;;365))
386	132, 380, 385	mp2an 688	. 2 ⊢ (Σ𝑛 ∈ (0...3)(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛))) + (3 / ((4 · ((2 · 4) + 1)) · (9↑4)))) < (;;253 / ;;365)
387	27, 123, 384	lelttri 11032	. 2 ⊢ (((log‘2) ≤ (Σ𝑛 ∈ (0...3)(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛))) + (3 / ((4 · ((2 · 4) + 1)) · (9↑4)))) ∧ (Σ𝑛 ∈ (0...3)(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛))) + (3 / ((4 · ((2 · 4) + 1)) · (9↑4)))) < (;;253 / ;;365)) → (log‘2) < (;;253 / ;;365))
388	47, 386, 387	mp2an 688	1 ⊢ (log‘2) < (;;253 / ;;365)

Syntax hints:   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1539  ⊤wtru 1540   ∈ wcel 2108   class class class wbr 5070  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255  ℂcc 10800  ℝcr 10801  0cc0 10802  1c1 10803   + caddc 10805   · cmul 10807   < clt 10940   ≤ cle 10941   − cmin 11135   / cdiv 11562  ℕcn 11903  2c2 11958  3c3 11959  4c4 11960  5c5 11961  6c6 11962  7c7 11963  8c8 11964  9c9 11965  ℕ₀cn0 12163  ;cdc 12366  ℝ⁺crp 12659  [,]cicc 13011  ...cfz 13168  ↑cexp 13710  Σcsu 15325  logclog 25615

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-inf2 9329  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879  ax-pre-sup 10880  ax-addf 10881  ax-mulf 10882

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-int 4877  df-iun 4923  df-iin 4924  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-se 5536  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-isom 6427  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-of 7511  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-supp 7949  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-1o 8267  df-2o 8268  df-oadd 8271  df-er 8456  df-map 8575  df-pm 8576  df-ixp 8644  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-fin 8695  df-fsupp 9059  df-fi 9100  df-sup 9131  df-inf 9132  df-oi 9199  df-card 9628  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-div 11563  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-4 11968  df-5 11969  df-6 11970  df-7 11971  df-8 11972  df-9 11973  df-n0 12164  df-xnn0 12236  df-z 12250  df-dec 12367  df-uz 12512  df-q 12618  df-rp 12660  df-xneg 12777  df-xadd 12778  df-xmul 12779  df-ioo 13012  df-ioc 13013  df-ico 13014  df-icc 13015  df-fz 13169  df-fzo 13312  df-fl 13440  df-mod 13518  df-seq 13650  df-exp 13711  df-fac 13916  df-bc 13945  df-hash 13973  df-shft 14706  df-cj 14738  df-re 14739  df-im 14740  df-sqrt 14874  df-abs 14875  df-limsup 15108  df-clim 15125  df-rlim 15126  df-sum 15326  df-ef 15705  df-sin 15707  df-cos 15708  df-tan 15709  df-pi 15710  df-dvds 15892  df-struct 16776  df-sets 16793  df-slot 16811  df-ndx 16823  df-base 16841  df-ress 16868  df-plusg 16901  df-mulr 16902  df-starv 16903  df-sca 16904  df-vsca 16905  df-ip 16906  df-tset 16907  df-ple 16908  df-ds 16910  df-unif 16911  df-hom 16912  df-cco 16913  df-rest 17050  df-topn 17051  df-0g 17069  df-gsum 17070  df-topgen 17071  df-pt 17072  df-prds 17075  df-xrs 17130  df-qtop 17135  df-imas 17136  df-xps 17138  df-mre 17212  df-mrc 17213  df-acs 17215  df-mgm 18241  df-sgrp 18290  df-mnd 18301  df-submnd 18346  df-mulg 18616  df-cntz 18838  df-cmn 19303  df-psmet 20502  df-xmet 20503  df-met 20504  df-bl 20505  df-mopn 20506  df-fbas 20507  df-fg 20508  df-cnfld 20511  df-top 21951  df-topon 21968  df-topsp 21990  df-bases 22004  df-cld 22078  df-ntr 22079  df-cls 22080  df-nei 22157  df-lp 22195  df-perf 22196  df-cn 22286  df-cnp 22287  df-haus 22374  df-cmp 22446  df-tx 22621  df-hmeo 22814  df-fil 22905  df-fm 22997  df-flim 22998  df-flf 22999  df-xms 23381  df-ms 23382  df-tms 23383  df-cncf 23947  df-limc 24935  df-dv 24936  df-ulm 25441  df-log 25617  df-atan 25922

This theorem is referenced by:  log2le1  26005  birthday  26009