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Theorem log2ub 26299
Description: log2 is less than 253 / 365. If written in decimal, this is because log2 = 0.693147... is less than 253/365 = 0.693151... , so this is a very tight bound, at five decimal places. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Apr-2015.) (Proof shortened by AV, 16-Sep-2021.)
Assertion
Ref Expression
log2ub (log‘2) < (253 / 365)

Proof of Theorem log2ub
StepHypRef Expression
1 4m1e3 12282 . . . . . . . . 9 (4 − 1) = 3
21oveq2i 7368 . . . . . . . 8 (0...(4 − 1)) = (0...3)
32sumeq1i 15583 . . . . . . 7 Σ𝑛 ∈ (0...(4 − 1))(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛))) = Σ𝑛 ∈ (0...3)(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛)))
43oveq2i 7368 . . . . . 6 ((log‘2) − Σ𝑛 ∈ (0...(4 − 1))(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛)))) = ((log‘2) − Σ𝑛 ∈ (0...3)(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛))))
5 4nn0 12432 . . . . . . 7 4 ∈ ℕ0
6 log2tlbnd 26295 . . . . . . 7 (4 ∈ ℕ0 → ((log‘2) − Σ𝑛 ∈ (0...(4 − 1))(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛)))) ∈ (0[,](3 / ((4 · ((2 · 4) + 1)) · (9↑4)))))
75, 6ax-mp 5 . . . . . 6 ((log‘2) − Σ𝑛 ∈ (0...(4 − 1))(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛)))) ∈ (0[,](3 / ((4 · ((2 · 4) + 1)) · (9↑4))))
84, 7eqeltrri 2835 . . . . 5 ((log‘2) − Σ𝑛 ∈ (0...3)(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛)))) ∈ (0[,](3 / ((4 · ((2 · 4) + 1)) · (9↑4))))
9 0re 11157 . . . . . 6 0 ∈ ℝ
10 3re 12233 . . . . . . 7 3 ∈ ℝ
11 4nn 12236 . . . . . . . . 9 4 ∈ ℕ
12 2nn0 12430 . . . . . . . . . 10 2 ∈ ℕ0
13 1nn 12164 . . . . . . . . . 10 1 ∈ ℕ
1412, 5, 13numnncl 12628 . . . . . . . . 9 ((2 · 4) + 1) ∈ ℕ
1511, 14nnmulcli 12178 . . . . . . . 8 (4 · ((2 · 4) + 1)) ∈ ℕ
16 9nn 12251 . . . . . . . . 9 9 ∈ ℕ
17 nnexpcl 13980 . . . . . . . . 9 ((9 ∈ ℕ ∧ 4 ∈ ℕ0) → (9↑4) ∈ ℕ)
1816, 5, 17mp2an 690 . . . . . . . 8 (9↑4) ∈ ℕ
1915, 18nnmulcli 12178 . . . . . . 7 ((4 · ((2 · 4) + 1)) · (9↑4)) ∈ ℕ
20 nndivre 12194 . . . . . . 7 ((3 ∈ ℝ ∧ ((4 · ((2 · 4) + 1)) · (9↑4)) ∈ ℕ) → (3 / ((4 · ((2 · 4) + 1)) · (9↑4))) ∈ ℝ)
2110, 19, 20mp2an 690 . . . . . 6 (3 / ((4 · ((2 · 4) + 1)) · (9↑4))) ∈ ℝ
229, 21elicc2i 13330 . . . . 5 (((log‘2) − Σ𝑛 ∈ (0...3)(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛)))) ∈ (0[,](3 / ((4 · ((2 · 4) + 1)) · (9↑4)))) ↔ (((log‘2) − Σ𝑛 ∈ (0...3)(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛)))) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ((log‘2) − Σ𝑛 ∈ (0...3)(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛)))) ∧ ((log‘2) − Σ𝑛 ∈ (0...3)(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛)))) ≤ (3 / ((4 · ((2 · 4) + 1)) · (9↑4)))))
238, 22mpbi 229 . . . 4 (((log‘2) − Σ𝑛 ∈ (0...3)(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛)))) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ((log‘2) − Σ𝑛 ∈ (0...3)(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛)))) ∧ ((log‘2) − Σ𝑛 ∈ (0...3)(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛)))) ≤ (3 / ((4 · ((2 · 4) + 1)) · (9↑4))))
2423simp3i 1141 . . 3 ((log‘2) − Σ𝑛 ∈ (0...3)(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛)))) ≤ (3 / ((4 · ((2 · 4) + 1)) · (9↑4)))
25 2rp 12920 . . . . 5 2 ∈ ℝ+
26 relogcl 25931 . . . . 5 (2 ∈ ℝ+ → (log‘2) ∈ ℝ)
2725, 26ax-mp 5 . . . 4 (log‘2) ∈ ℝ
28 fzfid 13878 . . . . . 6 (⊤ → (0...3) ∈ Fin)
29 2re 12227 . . . . . . 7 2 ∈ ℝ
30 3nn 12232 . . . . . . . . 9 3 ∈ ℕ
31 elfznn0 13534 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ (0...3) → 𝑛 ∈ ℕ0)
3231adantl 482 . . . . . . . . . . 11 ((⊤ ∧ 𝑛 ∈ (0...3)) → 𝑛 ∈ ℕ0)
33 nn0mulcl 12449 . . . . . . . . . . 11 ((2 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0) → (2 · 𝑛) ∈ ℕ0)
3412, 32, 33sylancr 587 . . . . . . . . . 10 ((⊤ ∧ 𝑛 ∈ (0...3)) → (2 · 𝑛) ∈ ℕ0)
35 nn0p1nn 12452 . . . . . . . . . 10 ((2 · 𝑛) ∈ ℕ0 → ((2 · 𝑛) + 1) ∈ ℕ)
3634, 35syl 17 . . . . . . . . 9 ((⊤ ∧ 𝑛 ∈ (0...3)) → ((2 · 𝑛) + 1) ∈ ℕ)
37 nnmulcl 12177 . . . . . . . . 9 ((3 ∈ ℕ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) ∈ ℕ) → (3 · ((2 · 𝑛) + 1)) ∈ ℕ)
3830, 36, 37sylancr 587 . . . . . . . 8 ((⊤ ∧ 𝑛 ∈ (0...3)) → (3 · ((2 · 𝑛) + 1)) ∈ ℕ)
39 nnexpcl 13980 . . . . . . . . 9 ((9 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (9↑𝑛) ∈ ℕ)
4016, 32, 39sylancr 587 . . . . . . . 8 ((⊤ ∧ 𝑛 ∈ (0...3)) → (9↑𝑛) ∈ ℕ)
4138, 40nnmulcld 12206 . . . . . . 7 ((⊤ ∧ 𝑛 ∈ (0...3)) → ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛)) ∈ ℕ)
42 nndivre 12194 . . . . . . 7 ((2 ∈ ℝ ∧ ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛)) ∈ ℕ) → (2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛))) ∈ ℝ)
4329, 41, 42sylancr 587 . . . . . 6 ((⊤ ∧ 𝑛 ∈ (0...3)) → (2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛))) ∈ ℝ)
4428, 43fsumrecl 15619 . . . . 5 (⊤ → Σ𝑛 ∈ (0...3)(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛))) ∈ ℝ)
4544mptru 1548 . . . 4 Σ𝑛 ∈ (0...3)(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛))) ∈ ℝ
4627, 45, 21lesubadd2i 11715 . . 3 (((log‘2) − Σ𝑛 ∈ (0...3)(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛)))) ≤ (3 / ((4 · ((2 · 4) + 1)) · (9↑4))) ↔ (log‘2) ≤ (Σ𝑛 ∈ (0...3)(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛))) + (3 / ((4 · ((2 · 4) + 1)) · (9↑4)))))
4724, 46mpbi 229 . 2 (log‘2) ≤ (Σ𝑛 ∈ (0...3)(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛))) + (3 / ((4 · ((2 · 4) + 1)) · (9↑4))))
48 log2ublem3 26298 . . . . 5 (((3↑7) · (5 · 7)) · Σ𝑛 ∈ (0...3)(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛)))) ≤ 53056
49 3nn0 12431 . . . . 5 3 ∈ ℕ0
50 5nn0 12433 . . . . . . . . 9 5 ∈ ℕ0
5150, 49deccl 12633 . . . . . . . 8 53 ∈ ℕ0
52 0nn0 12428 . . . . . . . 8 0 ∈ ℕ0
5351, 52deccl 12633 . . . . . . 7 530 ∈ ℕ0
5453, 50deccl 12633 . . . . . 6 5305 ∈ ℕ0
55 6nn0 12434 . . . . . 6 6 ∈ ℕ0
5654, 55deccl 12633 . . . . 5 53056 ∈ ℕ0
57 1nn0 12429 . . . . 5 1 ∈ ℕ0
58 eqid 2736 . . . . 5 𝑛 ∈ (0...3)(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛))) + (3 / ((4 · ((2 · 4) + 1)) · (9↑4)))) = (Σ𝑛 ∈ (0...3)(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛))) + (3 / ((4 · ((2 · 4) + 1)) · (9↑4))))
59 6p1e7 12301 . . . . . 6 (6 + 1) = 7
60 eqid 2736 . . . . . 6 53056 = 53056
6154, 55, 59, 60decsuc 12649 . . . . 5 (53056 + 1) = 53057
62 5nn 12239 . . . . . . . . . 10 5 ∈ ℕ
63 7nn 12245 . . . . . . . . . 10 7 ∈ ℕ
6462, 63nnmulcli 12178 . . . . . . . . 9 (5 · 7) ∈ ℕ
6564nnrei 12162 . . . . . . . 8 (5 · 7) ∈ ℝ
6615nnrei 12162 . . . . . . . 8 (4 · ((2 · 4) + 1)) ∈ ℝ
67 6nn 12242 . . . . . . . . . 10 6 ∈ ℕ
68 5lt6 12334 . . . . . . . . . 10 5 < 6
6949, 50, 67, 68declt 12646 . . . . . . . . 9 35 < 36
70 7cn 12247 . . . . . . . . . 10 7 ∈ ℂ
71 5cn 12241 . . . . . . . . . 10 5 ∈ ℂ
72 7t5e35 12730 . . . . . . . . . 10 (7 · 5) = 35
7370, 71, 72mulcomli 11164 . . . . . . . . 9 (5 · 7) = 35
74 4cn 12238 . . . . . . . . . . . . . 14 4 ∈ ℂ
75 2cn 12228 . . . . . . . . . . . . . 14 2 ∈ ℂ
76 4t2e8 12321 . . . . . . . . . . . . . 14 (4 · 2) = 8
7774, 75, 76mulcomli 11164 . . . . . . . . . . . . 13 (2 · 4) = 8
7877oveq1i 7367 . . . . . . . . . . . 12 ((2 · 4) + 1) = (8 + 1)
79 8p1e9 12303 . . . . . . . . . . . 12 (8 + 1) = 9
8078, 79eqtri 2764 . . . . . . . . . . 11 ((2 · 4) + 1) = 9
8180oveq2i 7368 . . . . . . . . . 10 (4 · ((2 · 4) + 1)) = (4 · 9)
82 9cn 12253 . . . . . . . . . . 11 9 ∈ ℂ
83 9t4e36 12742 . . . . . . . . . . 11 (9 · 4) = 36
8482, 74, 83mulcomli 11164 . . . . . . . . . 10 (4 · 9) = 36
8581, 84eqtri 2764 . . . . . . . . 9 (4 · ((2 · 4) + 1)) = 36
8669, 73, 853brtr4i 5135 . . . . . . . 8 (5 · 7) < (4 · ((2 · 4) + 1))
8765, 66, 86ltleii 11278 . . . . . . 7 (5 · 7) ≤ (4 · ((2 · 4) + 1))
8818nngt0i 12192 . . . . . . . 8 0 < (9↑4)
8918nnrei 12162 . . . . . . . . 9 (9↑4) ∈ ℝ
9065, 66, 89lemul2i 12078 . . . . . . . 8 (0 < (9↑4) → ((5 · 7) ≤ (4 · ((2 · 4) + 1)) ↔ ((9↑4) · (5 · 7)) ≤ ((9↑4) · (4 · ((2 · 4) + 1)))))
9188, 90ax-mp 5 . . . . . . 7 ((5 · 7) ≤ (4 · ((2 · 4) + 1)) ↔ ((9↑4) · (5 · 7)) ≤ ((9↑4) · (4 · ((2 · 4) + 1))))
9287, 91mpbi 229 . . . . . 6 ((9↑4) · (5 · 7)) ≤ ((9↑4) · (4 · ((2 · 4) + 1)))
93 7nn0 12435 . . . . . . . . . 10 7 ∈ ℕ0
94 nnexpcl 13980 . . . . . . . . . 10 ((3 ∈ ℕ ∧ 7 ∈ ℕ0) → (3↑7) ∈ ℕ)
9530, 93, 94mp2an 690 . . . . . . . . 9 (3↑7) ∈ ℕ
9695nncni 12163 . . . . . . . 8 (3↑7) ∈ ℂ
9764nncni 12163 . . . . . . . 8 (5 · 7) ∈ ℂ
98 3cn 12234 . . . . . . . 8 3 ∈ ℂ
9996, 97, 98mul32i 11351 . . . . . . 7 (((3↑7) · (5 · 7)) · 3) = (((3↑7) · 3) · (5 · 7))
10074, 75mulcomi 11163 . . . . . . . . . . . 12 (4 · 2) = (2 · 4)
101 df-8 12222 . . . . . . . . . . . 12 8 = (7 + 1)
10276, 100, 1013eqtr3i 2772 . . . . . . . . . . 11 (2 · 4) = (7 + 1)
103102oveq2i 7368 . . . . . . . . . 10 (3↑(2 · 4)) = (3↑(7 + 1))
104 expmul 14013 . . . . . . . . . . 11 ((3 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℕ0 ∧ 4 ∈ ℕ0) → (3↑(2 · 4)) = ((3↑2)↑4))
10598, 12, 5, 104mp3an 1461 . . . . . . . . . 10 (3↑(2 · 4)) = ((3↑2)↑4)
106103, 105eqtr3i 2766 . . . . . . . . 9 (3↑(7 + 1)) = ((3↑2)↑4)
107 expp1 13974 . . . . . . . . . 10 ((3 ∈ ℂ ∧ 7 ∈ ℕ0) → (3↑(7 + 1)) = ((3↑7) · 3))
10898, 93, 107mp2an 690 . . . . . . . . 9 (3↑(7 + 1)) = ((3↑7) · 3)
109 sq3 14102 . . . . . . . . . 10 (3↑2) = 9
110109oveq1i 7367 . . . . . . . . 9 ((3↑2)↑4) = (9↑4)
111106, 108, 1103eqtr3i 2772 . . . . . . . 8 ((3↑7) · 3) = (9↑4)
112111oveq1i 7367 . . . . . . 7 (((3↑7) · 3) · (5 · 7)) = ((9↑4) · (5 · 7))
11399, 112eqtri 2764 . . . . . 6 (((3↑7) · (5 · 7)) · 3) = ((9↑4) · (5 · 7))
11415nncni 12163 . . . . . . . . 9 (4 · ((2 · 4) + 1)) ∈ ℂ
11518nncni 12163 . . . . . . . . 9 (9↑4) ∈ ℂ
116114, 115mulcomi 11163 . . . . . . . 8 ((4 · ((2 · 4) + 1)) · (9↑4)) = ((9↑4) · (4 · ((2 · 4) + 1)))
117116oveq1i 7367 . . . . . . 7 (((4 · ((2 · 4) + 1)) · (9↑4)) · 1) = (((9↑4) · (4 · ((2 · 4) + 1))) · 1)
118115, 114mulcli 11162 . . . . . . . 8 ((9↑4) · (4 · ((2 · 4) + 1))) ∈ ℂ
119118mulid1i 11159 . . . . . . 7 (((9↑4) · (4 · ((2 · 4) + 1))) · 1) = ((9↑4) · (4 · ((2 · 4) + 1)))
120117, 119eqtri 2764 . . . . . 6 (((4 · ((2 · 4) + 1)) · (9↑4)) · 1) = ((9↑4) · (4 · ((2 · 4) + 1)))
12192, 113, 1203brtr4i 5135 . . . . 5 (((3↑7) · (5 · 7)) · 3) ≤ (((4 · ((2 · 4) + 1)) · (9↑4)) · 1)
12248, 45, 49, 19, 56, 57, 58, 61, 121log2ublem1 26296 . . . 4 (((3↑7) · (5 · 7)) · (Σ𝑛 ∈ (0...3)(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛))) + (3 / ((4 · ((2 · 4) + 1)) · (9↑4))))) ≤ 53057
12345, 21readdcli 11170 . . . . 5 𝑛 ∈ (0...3)(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛))) + (3 / ((4 · ((2 · 4) + 1)) · (9↑4)))) ∈ ℝ
12454, 93deccl 12633 . . . . . 6 53057 ∈ ℕ0
125124nn0rei 12424 . . . . 5 53057 ∈ ℝ
12695, 64nnmulcli 12178 . . . . . . 7 ((3↑7) · (5 · 7)) ∈ ℕ
127126nnrei 12162 . . . . . 6 ((3↑7) · (5 · 7)) ∈ ℝ
128126nngt0i 12192 . . . . . 6 0 < ((3↑7) · (5 · 7))
129127, 128pm3.2i 471 . . . . 5 (((3↑7) · (5 · 7)) ∈ ℝ ∧ 0 < ((3↑7) · (5 · 7)))
130 lemuldiv2 12036 . . . . 5 (((Σ𝑛 ∈ (0...3)(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛))) + (3 / ((4 · ((2 · 4) + 1)) · (9↑4)))) ∈ ℝ ∧ 53057 ∈ ℝ ∧ (((3↑7) · (5 · 7)) ∈ ℝ ∧ 0 < ((3↑7) · (5 · 7)))) → ((((3↑7) · (5 · 7)) · (Σ𝑛 ∈ (0...3)(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛))) + (3 / ((4 · ((2 · 4) + 1)) · (9↑4))))) ≤ 53057 ↔ (Σ𝑛 ∈ (0...3)(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛))) + (3 / ((4 · ((2 · 4) + 1)) · (9↑4)))) ≤ (53057 / ((3↑7) · (5 · 7)))))
131123, 125, 129, 130mp3an 1461 . . . 4 ((((3↑7) · (5 · 7)) · (Σ𝑛 ∈ (0...3)(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛))) + (3 / ((4 · ((2 · 4) + 1)) · (9↑4))))) ≤ 53057 ↔ (Σ𝑛 ∈ (0...3)(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛))) + (3 / ((4 · ((2 · 4) + 1)) · (9↑4)))) ≤ (53057 / ((3↑7) · (5 · 7))))
132122, 131mpbi 229 . . 3 𝑛 ∈ (0...3)(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛))) + (3 / ((4 · ((2 · 4) + 1)) · (9↑4)))) ≤ (53057 / ((3↑7) · (5 · 7)))
133 8nn0 12436 . . . . . . . . . . . . 13 8 ∈ ℕ0
13449, 133deccl 12633 . . . . . . . . . . . 12 38 ∈ ℕ0
135134, 93deccl 12633 . . . . . . . . . . 11 387 ∈ ℕ0
136135, 49deccl 12633 . . . . . . . . . 10 3873 ∈ ℕ0
137136, 57deccl 12633 . . . . . . . . 9 38731 ∈ ℕ0
138137, 55deccl 12633 . . . . . . . 8 387316 ∈ ℕ0
139137, 93deccl 12633 . . . . . . . 8 387317 ∈ ℕ0
140 1lt10 12757 . . . . . . . 8 1 < 10
141 6lt7 12339 . . . . . . . . 9 6 < 7
142137, 55, 63, 141declt 12646 . . . . . . . 8 387316 < 387317
143138, 139, 57, 93, 140, 142decltc 12647 . . . . . . 7 3873161 < 3873177
144 eqid 2736 . . . . . . . 8 73 = 73
14557, 50deccl 12633 . . . . . . . . . . 11 15 ∈ ℕ0
146 9nn0 12437 . . . . . . . . . . 11 9 ∈ ℕ0
147145, 146deccl 12633 . . . . . . . . . 10 159 ∈ ℕ0
148147, 57deccl 12633 . . . . . . . . 9 1591 ∈ ℕ0
149148, 93deccl 12633 . . . . . . . 8 15917 ∈ ℕ0
150 eqid 2736 . . . . . . . . 9 53057 = 53057
151 eqid 2736 . . . . . . . . 9 15917 = 15917
152 eqid 2736 . . . . . . . . . 10 5305 = 5305
153 eqid 2736 . . . . . . . . . . 11 1591 = 1591
154 ax-1cn 11109 . . . . . . . . . . . 12 1 ∈ ℂ
155 5p1e6 12300 . . . . . . . . . . . 12 (5 + 1) = 6
15671, 154, 155addcomli 11347 . . . . . . . . . . 11 (1 + 5) = 6
157147, 57, 50, 153, 156decaddi 12678 . . . . . . . . . 10 (1591 + 5) = 1596
15857, 55deccl 12633 . . . . . . . . . . 11 16 ∈ ℕ0
159 eqid 2736 . . . . . . . . . . 11 530 = 530
160 eqid 2736 . . . . . . . . . . . 12 159 = 159
161 eqid 2736 . . . . . . . . . . . . 13 15 = 15
16257, 50, 155, 161decsuc 12649 . . . . . . . . . . . 12 (15 + 1) = 16
163 9p4e13 12707 . . . . . . . . . . . 12 (9 + 4) = 13
164145, 146, 5, 160, 162, 49, 163decaddci 12679 . . . . . . . . . . 11 (159 + 4) = 163
165 eqid 2736 . . . . . . . . . . . 12 53 = 53
166158nn0cni 12425 . . . . . . . . . . . . 13 16 ∈ ℂ
167166addid1i 11342 . . . . . . . . . . . 12 (16 + 0) = 16
168 1p2e3 12296 . . . . . . . . . . . . . 14 (1 + 2) = 3
169168oveq2i 7368 . . . . . . . . . . . . 13 ((5 · 7) + (1 + 2)) = ((5 · 7) + 3)
170 5p3e8 12310 . . . . . . . . . . . . . 14 (5 + 3) = 8
17149, 50, 49, 73, 170decaddi 12678 . . . . . . . . . . . . 13 ((5 · 7) + 3) = 38
172169, 171eqtri 2764 . . . . . . . . . . . 12 ((5 · 7) + (1 + 2)) = 38
173 7t3e21 12728 . . . . . . . . . . . . . 14 (7 · 3) = 21
17470, 98, 173mulcomli 11164 . . . . . . . . . . . . 13 (3 · 7) = 21
175 6cn 12244 . . . . . . . . . . . . . 14 6 ∈ ℂ
176175, 154, 59addcomli 11347 . . . . . . . . . . . . 13 (1 + 6) = 7
17712, 57, 55, 174, 176decaddi 12678 . . . . . . . . . . . 12 ((3 · 7) + 6) = 27
17850, 49, 57, 55, 165, 167, 93, 93, 12, 172, 177decmac 12670 . . . . . . . . . . 11 ((53 · 7) + (16 + 0)) = 387
17970mul02i 11344 . . . . . . . . . . . . 13 (0 · 7) = 0
180179oveq1i 7367 . . . . . . . . . . . 12 ((0 · 7) + 3) = (0 + 3)
18198addid2i 11343 . . . . . . . . . . . . 13 (0 + 3) = 3
18249dec0h 12640 . . . . . . . . . . . . 13 3 = 03
183181, 182eqtri 2764 . . . . . . . . . . . 12 (0 + 3) = 03
184180, 183eqtri 2764 . . . . . . . . . . 11 ((0 · 7) + 3) = 03
18551, 52, 158, 49, 159, 164, 93, 49, 52, 178, 184decmac 12670 . . . . . . . . . 10 ((530 · 7) + (159 + 4)) = 3873
186 3p1e4 12298 . . . . . . . . . . 11 (3 + 1) = 4
187 6p5e11 12691 . . . . . . . . . . . 12 (6 + 5) = 11
188175, 71, 187addcomli 11347 . . . . . . . . . . 11 (5 + 6) = 11
18949, 50, 55, 73, 186, 57, 188decaddci 12679 . . . . . . . . . 10 ((5 · 7) + 6) = 41
19053, 50, 147, 55, 152, 157, 93, 57, 5, 185, 189decmac 12670 . . . . . . . . 9 ((5305 · 7) + (1591 + 5)) = 38731
191 7t7e49 12732 . . . . . . . . . 10 (7 · 7) = 49
192 4p1e5 12299 . . . . . . . . . 10 (4 + 1) = 5
193 9p7e16 12710 . . . . . . . . . 10 (9 + 7) = 16
1945, 146, 93, 191, 192, 55, 193decaddci 12679 . . . . . . . . 9 ((7 · 7) + 7) = 56
19554, 93, 148, 93, 150, 151, 93, 55, 50, 190, 194decmac 12670 . . . . . . . 8 ((53057 · 7) + 15917) = 387316
19612dec0h 12640 . . . . . . . . . 10 2 = 02
197154addid2i 11343 . . . . . . . . . . . 12 (0 + 1) = 1
19857dec0h 12640 . . . . . . . . . . . 12 1 = 01
199197, 198eqtri 2764 . . . . . . . . . . 11 (0 + 1) = 01
200 00id 11330 . . . . . . . . . . . . 13 (0 + 0) = 0
20152dec0h 12640 . . . . . . . . . . . . 13 0 = 00
202200, 201eqtri 2764 . . . . . . . . . . . 12 (0 + 0) = 00
203 5t3e15 12719 . . . . . . . . . . . . . 14 (5 · 3) = 15
204203oveq1i 7367 . . . . . . . . . . . . 13 ((5 · 3) + 0) = (15 + 0)
205145nn0cni 12425 . . . . . . . . . . . . . 14 15 ∈ ℂ
206205addid1i 11342 . . . . . . . . . . . . 13 (15 + 0) = 15
207204, 206eqtri 2764 . . . . . . . . . . . 12 ((5 · 3) + 0) = 15
208 3t3e9 12320 . . . . . . . . . . . . . 14 (3 · 3) = 9
209208oveq1i 7367 . . . . . . . . . . . . 13 ((3 · 3) + 0) = (9 + 0)
21082addid1i 11342 . . . . . . . . . . . . 13 (9 + 0) = 9
211209, 210eqtri 2764 . . . . . . . . . . . 12 ((3 · 3) + 0) = 9
21250, 49, 52, 52, 165, 202, 49, 207, 211decma 12669 . . . . . . . . . . 11 ((53 · 3) + (0 + 0)) = 159
21398mul02i 11344 . . . . . . . . . . . . 13 (0 · 3) = 0
214213oveq1i 7367 . . . . . . . . . . . 12 ((0 · 3) + 1) = (0 + 1)
215214, 199eqtri 2764 . . . . . . . . . . 11 ((0 · 3) + 1) = 01
21651, 52, 52, 57, 159, 199, 49, 57, 52, 212, 215decmac 12670 . . . . . . . . . 10 ((530 · 3) + (0 + 1)) = 1591
217 5p2e7 12309 . . . . . . . . . . 11 (5 + 2) = 7
21857, 50, 12, 203, 217decaddi 12678 . . . . . . . . . 10 ((5 · 3) + 2) = 17
21953, 50, 52, 12, 152, 196, 49, 93, 57, 216, 218decmac 12670 . . . . . . . . 9 ((5305 · 3) + 2) = 15917
22049, 54, 93, 150, 57, 12, 219, 173decmul1c 12683 . . . . . . . 8 (53057 · 3) = 159171
221124, 93, 49, 144, 57, 149, 195, 220decmul2c 12684 . . . . . . 7 (53057 · 73) = 3873161
22250, 50deccl 12633 . . . . . . . . . . 11 55 ∈ ℕ0
223222, 49deccl 12633 . . . . . . . . . 10 553 ∈ ℕ0
224223, 49deccl 12633 . . . . . . . . 9 5533 ∈ ℕ0
225224, 57deccl 12633 . . . . . . . 8 55331 ∈ ℕ0
22612, 50deccl 12633 . . . . . . . . . 10 25 ∈ ℕ0
227226, 49deccl 12633 . . . . . . . . 9 253 ∈ ℕ0
22812, 57deccl 12633 . . . . . . . . . 10 21 ∈ ℕ0
229228, 133deccl 12633 . . . . . . . . 9 218 ∈ ℕ0
23093, 12deccl 12633 . . . . . . . . . . 11 72 ∈ ℕ0
231 3t2e6 12319 . . . . . . . . . . . . 13 (3 · 2) = 6
23298, 75, 231mulcomli 11164 . . . . . . . . . . . 12 (2 · 3) = 6
233 3exp3 16964 . . . . . . . . . . . 12 (3↑3) = 27
23412, 93deccl 12633 . . . . . . . . . . . . 13 27 ∈ ℕ0
235 eqid 2736 . . . . . . . . . . . . 13 27 = 27
23657, 133deccl 12633 . . . . . . . . . . . . 13 18 ∈ ℕ0
237 eqid 2736 . . . . . . . . . . . . . 14 18 = 18
238 2t2e4 12317 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (2 · 2) = 4
239238, 168oveq12i 7369 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((2 · 2) + (1 + 2)) = (4 + 3)
240 4p3e7 12307 . . . . . . . . . . . . . . 15 (4 + 3) = 7
241239, 240eqtri 2764 . . . . . . . . . . . . . 14 ((2 · 2) + (1 + 2)) = 7
242 7t2e14 12727 . . . . . . . . . . . . . . 15 (7 · 2) = 14
243 1p1e2 12278 . . . . . . . . . . . . . . 15 (1 + 1) = 2
244 8cn 12250 . . . . . . . . . . . . . . . 16 8 ∈ ℂ
245 8p4e12 12700 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (8 + 4) = 12
246244, 74, 245addcomli 11347 . . . . . . . . . . . . . . 15 (4 + 8) = 12
24757, 5, 133, 242, 243, 12, 246decaddci 12679 . . . . . . . . . . . . . 14 ((7 · 2) + 8) = 22
24812, 93, 57, 133, 235, 237, 12, 12, 12, 241, 247decmac 12670 . . . . . . . . . . . . 13 ((27 · 2) + 18) = 72
24970, 75, 242mulcomli 11164 . . . . . . . . . . . . . . 15 (2 · 7) = 14
250 4p4e8 12308 . . . . . . . . . . . . . . 15 (4 + 4) = 8
25157, 5, 5, 249, 250decaddi 12678 . . . . . . . . . . . . . 14 ((2 · 7) + 4) = 18
25293, 12, 93, 235, 146, 5, 251, 191decmul1c 12683 . . . . . . . . . . . . 13 (27 · 7) = 189
253234, 12, 93, 235, 146, 236, 248, 252decmul2c 12684 . . . . . . . . . . . 12 (27 · 27) = 729
25449, 49, 232, 233, 253numexp2x 16951 . . . . . . . . . . 11 (3↑6) = 729
255 eqid 2736 . . . . . . . . . . . 12 72 = 72
256232oveq1i 7367 . . . . . . . . . . . . 13 ((2 · 3) + 2) = (6 + 2)
257 6p2e8 12312 . . . . . . . . . . . . 13 (6 + 2) = 8
258256, 257eqtri 2764 . . . . . . . . . . . 12 ((2 · 3) + 2) = 8
25993, 12, 12, 255, 49, 173, 258decrmanc 12675 . . . . . . . . . . 11 ((72 · 3) + 2) = 218
260 9t3e27 12741 . . . . . . . . . . 11 (9 · 3) = 27
26149, 230, 146, 254, 93, 12, 259, 260decmul1c 12683 . . . . . . . . . 10 ((3↑6) · 3) = 2187
26249, 55, 59, 261numexpp1 16950 . . . . . . . . 9 (3↑7) = 2187
26357, 93deccl 12633 . . . . . . . . . 10 17 ∈ ℕ0
264263, 93deccl 12633 . . . . . . . . 9 177 ∈ ℕ0
265 eqid 2736 . . . . . . . . . 10 218 = 218
266 eqid 2736 . . . . . . . . . 10 177 = 177
26712, 52deccl 12633 . . . . . . . . . . 11 20 ∈ ℕ0
268267, 49deccl 12633 . . . . . . . . . 10 203 ∈ ℕ0
26912, 12deccl 12633 . . . . . . . . . . 11 22 ∈ ℕ0
270 eqid 2736 . . . . . . . . . . 11 21 = 21
271 eqid 2736 . . . . . . . . . . . 12 17 = 17
272 eqid 2736 . . . . . . . . . . . 12 203 = 203
273 eqid 2736 . . . . . . . . . . . . . 14 20 = 20
27475addid2i 11343 . . . . . . . . . . . . . 14 (0 + 2) = 2
275154addid1i 11342 . . . . . . . . . . . . . 14 (1 + 0) = 1
27652, 57, 12, 52, 198, 273, 274, 275decadd 12672 . . . . . . . . . . . . 13 (1 + 20) = 21
27712, 57, 243, 276decsuc 12649 . . . . . . . . . . . 12 ((1 + 20) + 1) = 22
278 7p3e10 12693 . . . . . . . . . . . 12 (7 + 3) = 10
27957, 93, 267, 49, 271, 272, 277, 278decaddc2 12674 . . . . . . . . . . 11 (17 + 203) = 220
280 eqid 2736 . . . . . . . . . . . 12 253 = 253
281 eqid 2736 . . . . . . . . . . . . 13 22 = 22
282 eqid 2736 . . . . . . . . . . . . 13 25 = 25
283 2p2e4 12288 . . . . . . . . . . . . 13 (2 + 2) = 4
28471, 75, 217addcomli 11347 . . . . . . . . . . . . 13 (2 + 5) = 7
28512, 12, 12, 50, 281, 282, 283, 284decadd 12672 . . . . . . . . . . . 12 (22 + 25) = 47
28650dec0h 12640 . . . . . . . . . . . . . 14 5 = 05
287192, 286eqtri 2764 . . . . . . . . . . . . 13 (4 + 1) = 05
288238, 197oveq12i 7369 . . . . . . . . . . . . . 14 ((2 · 2) + (0 + 1)) = (4 + 1)
289288, 192eqtri 2764 . . . . . . . . . . . . 13 ((2 · 2) + (0 + 1)) = 5
290 5t2e10 12718 . . . . . . . . . . . . . 14 (5 · 2) = 10
29171addid2i 11343 . . . . . . . . . . . . . 14 (0 + 5) = 5
29257, 52, 50, 290, 291decaddi 12678 . . . . . . . . . . . . 13 ((5 · 2) + 5) = 15
29312, 50, 52, 50, 282, 287, 12, 50, 57, 289, 292decmac 12670 . . . . . . . . . . . 12 ((25 · 2) + (4 + 1)) = 55
294231oveq1i 7367 . . . . . . . . . . . . 13 ((3 · 2) + 7) = (6 + 7)
295 7p6e13 12696 . . . . . . . . . . . . . 14 (7 + 6) = 13
29670, 175, 295addcomli 11347 . . . . . . . . . . . . 13 (6 + 7) = 13
297294, 296eqtri 2764 . . . . . . . . . . . 12 ((3 · 2) + 7) = 13
298226, 49, 5, 93, 280, 285, 12, 49, 57, 293, 297decmac 12670 . . . . . . . . . . 11 ((253 · 2) + (22 + 25)) = 553
299227nn0cni 12425 . . . . . . . . . . . . . 14 253 ∈ ℂ
300299mulid1i 11159 . . . . . . . . . . . . 13 (253 · 1) = 253
301300oveq1i 7367 . . . . . . . . . . . 12 ((253 · 1) + 0) = (253 + 0)
302299addid1i 11342 . . . . . . . . . . . 12 (253 + 0) = 253
303301, 302eqtri 2764 . . . . . . . . . . 11 ((253 · 1) + 0) = 253
30412, 57, 269, 52, 270, 279, 227, 49, 226, 298, 303decma2c 12671 . . . . . . . . . 10 ((253 · 21) + (17 + 203)) = 5533
30593dec0h 12640 . . . . . . . . . . 11 7 = 07
30674addid2i 11343 . . . . . . . . . . . . . 14 (0 + 4) = 4
307306oveq2i 7368 . . . . . . . . . . . . 13 ((2 · 8) + (0 + 4)) = ((2 · 8) + 4)
308 8t2e16 12733 . . . . . . . . . . . . . . 15 (8 · 2) = 16
309244, 75, 308mulcomli 11164 . . . . . . . . . . . . . 14 (2 · 8) = 16
310 6p4e10 12690 . . . . . . . . . . . . . 14 (6 + 4) = 10
31157, 55, 5, 309, 243, 310decaddci2 12680 . . . . . . . . . . . . 13 ((2 · 8) + 4) = 20
312307, 311eqtri 2764 . . . . . . . . . . . 12 ((2 · 8) + (0 + 4)) = 20
313 8t5e40 12736 . . . . . . . . . . . . . 14 (8 · 5) = 40
314244, 71, 313mulcomli 11164 . . . . . . . . . . . . 13 (5 · 8) = 40
3155, 52, 49, 314, 181decaddi 12678 . . . . . . . . . . . 12 ((5 · 8) + 3) = 43
31612, 50, 52, 49, 282, 183, 133, 49, 5, 312, 315decmac 12670 . . . . . . . . . . 11 ((25 · 8) + (0 + 3)) = 203
317 8t3e24 12734 . . . . . . . . . . . . 13 (8 · 3) = 24
318244, 98, 317mulcomli 11164 . . . . . . . . . . . 12 (3 · 8) = 24
319 2p1e3 12295 . . . . . . . . . . . 12 (2 + 1) = 3
320 7p4e11 12694 . . . . . . . . . . . . 13 (7 + 4) = 11
32170, 74, 320addcomli 11347 . . . . . . . . . . . 12 (4 + 7) = 11
32212, 5, 93, 318, 319, 57, 321decaddci 12679 . . . . . . . . . . 11 ((3 · 8) + 7) = 31
323226, 49, 52, 93, 280, 305, 133, 57, 49, 316, 322decmac 12670 . . . . . . . . . 10 ((253 · 8) + 7) = 2031
324228, 133, 263, 93, 265, 266, 227, 57, 268, 304, 323decma2c 12671 . . . . . . . . 9 ((253 · 218) + 177) = 55331
32557, 5, 49, 249, 240decaddi 12678 . . . . . . . . . . 11 ((2 · 7) + 3) = 17
32649, 50, 12, 73, 217decaddi 12678 . . . . . . . . . . 11 ((5 · 7) + 2) = 37
32712, 50, 12, 282, 93, 93, 49, 325, 326decrmac 12676 . . . . . . . . . 10 ((25 · 7) + 2) = 177
32893, 226, 49, 280, 57, 12, 327, 174decmul1c 12683 . . . . . . . . 9 (253 · 7) = 1771
329227, 229, 93, 262, 57, 264, 324, 328decmul2c 12684 . . . . . . . 8 (253 · (3↑7)) = 553311
330 eqid 2736 . . . . . . . . 9 55331 = 55331
331 eqid 2736 . . . . . . . . . 10 5533 = 5533
332 eqid 2736 . . . . . . . . . . 11 553 = 553
333 eqid 2736 . . . . . . . . . . . 12 55 = 55
334274, 196eqtri 2764 . . . . . . . . . . . 12 (0 + 2) = 02
335181oveq2i 7368 . . . . . . . . . . . . 13 ((5 · 7) + (0 + 3)) = ((5 · 7) + 3)
336335, 171eqtri 2764 . . . . . . . . . . . 12 ((5 · 7) + (0 + 3)) = 38
33750, 50, 52, 12, 333, 334, 93, 93, 49, 336, 326decmac 12670 . . . . . . . . . . 11 ((55 · 7) + (0 + 2)) = 387
33812, 57, 12, 174, 168decaddi 12678 . . . . . . . . . . 11 ((3 · 7) + 2) = 23
339222, 49, 52, 12, 332, 196, 93, 49, 12, 337, 338decmac 12670 . . . . . . . . . 10 ((553 · 7) + 2) = 3873
34093, 223, 49, 331, 57, 12, 339, 174decmul1c 12683 . . . . . . . . 9 (5533 · 7) = 38731
34170mulid2i 11160 . . . . . . . . 9 (1 · 7) = 7
34293, 224, 57, 330, 340, 341decmul1 12682 . . . . . . . 8 (55331 · 7) = 387317
34393, 225, 57, 329, 342, 341decmul1 12682 . . . . . . 7 ((253 · (3↑7)) · 7) = 3873177
344143, 221, 3433brtr4i 5135 . . . . . 6 (53057 · 73) < ((253 · (3↑7)) · 7)
34593, 49deccl 12633 . . . . . . . . 9 73 ∈ ℕ0
346124, 345nn0mulcli 12451 . . . . . . . 8 (53057 · 73) ∈ ℕ0
347346nn0rei 12424 . . . . . . 7 (53057 · 73) ∈ ℝ
34849, 93nn0expcli 13994 . . . . . . . . . 10 (3↑7) ∈ ℕ0
349227, 348nn0mulcli 12451 . . . . . . . . 9 (253 · (3↑7)) ∈ ℕ0
350349, 93nn0mulcli 12451 . . . . . . . 8 ((253 · (3↑7)) · 7) ∈ ℕ0
351350nn0rei 12424 . . . . . . 7 ((253 · (3↑7)) · 7) ∈ ℝ
35262nnrei 12162 . . . . . . 7 5 ∈ ℝ
35362nngt0i 12192 . . . . . . 7 0 < 5
354347, 351, 352, 353ltmul1ii 12083 . . . . . 6 ((53057 · 73) < ((253 · (3↑7)) · 7) ↔ ((53057 · 73) · 5) < (((253 · (3↑7)) · 7) · 5))
355344, 354mpbi 229 . . . . 5 ((53057 · 73) · 5) < (((253 · (3↑7)) · 7) · 5)
356124nn0cni 12425 . . . . . . 7 53057 ∈ ℂ
357345nn0cni 12425 . . . . . . 7 73 ∈ ℂ
358356, 357, 71mulassi 11166 . . . . . 6 ((53057 · 73) · 5) = (53057 · (73 · 5))
35949, 50, 155, 72decsuc 12649 . . . . . . . 8 ((7 · 5) + 1) = 36
36071, 98, 203mulcomli 11164 . . . . . . . 8 (3 · 5) = 15
36150, 93, 49, 144, 50, 57, 359, 360decmul1c 12683 . . . . . . 7 (73 · 5) = 365
362361oveq2i 7368 . . . . . 6 (53057 · (73 · 5)) = (53057 · 365)
363358, 362eqtri 2764 . . . . 5 ((53057 · 73) · 5) = (53057 · 365)
364299, 96mulcli 11162 . . . . . . 7 (253 · (3↑7)) ∈ ℂ
365364, 70, 71mulassi 11166 . . . . . 6 (((253 · (3↑7)) · 7) · 5) = ((253 · (3↑7)) · (7 · 5))
36670, 71mulcomi 11163 . . . . . . . 8 (7 · 5) = (5 · 7)
367366oveq2i 7368 . . . . . . 7 ((253 · (3↑7)) · (7 · 5)) = ((253 · (3↑7)) · (5 · 7))
368299, 96, 97mulassi 11166 . . . . . . 7 ((253 · (3↑7)) · (5 · 7)) = (253 · ((3↑7) · (5 · 7)))
369367, 368eqtri 2764 . . . . . 6 ((253 · (3↑7)) · (7 · 5)) = (253 · ((3↑7) · (5 · 7)))
370365, 369eqtri 2764 . . . . 5 (((253 · (3↑7)) · 7) · 5) = (253 · ((3↑7) · (5 · 7)))
371355, 363, 3703brtr3i 5134 . . . 4 (53057 · 365) < (253 · ((3↑7) · (5 · 7)))
37249, 55deccl 12633 . . . . . . . 8 36 ∈ ℕ0
373372, 62decnncl 12638 . . . . . . 7 365 ∈ ℕ
374373nnrei 12162 . . . . . 6 365 ∈ ℝ
375373nngt0i 12192 . . . . . 6 0 < 365
376374, 375pm3.2i 471 . . . . 5 (365 ∈ ℝ ∧ 0 < 365)
377227nn0rei 12424 . . . . 5 253 ∈ ℝ
378 lt2mul2div 12033 . . . . 5 (((53057 ∈ ℝ ∧ (365 ∈ ℝ ∧ 0 < 365)) ∧ (253 ∈ ℝ ∧ (((3↑7) · (5 · 7)) ∈ ℝ ∧ 0 < ((3↑7) · (5 · 7))))) → ((53057 · 365) < (253 · ((3↑7) · (5 · 7))) ↔ (53057 / ((3↑7) · (5 · 7))) < (253 / 365)))
379125, 376, 377, 129, 378mp4an 691 . . . 4 ((53057 · 365) < (253 · ((3↑7) · (5 · 7))) ↔ (53057 / ((3↑7) · (5 · 7))) < (253 / 365))
380371, 379mpbi 229 . . 3 (53057 / ((3↑7) · (5 · 7))) < (253 / 365)
381 nndivre 12194 . . . . 5 ((53057 ∈ ℝ ∧ ((3↑7) · (5 · 7)) ∈ ℕ) → (53057 / ((3↑7) · (5 · 7))) ∈ ℝ)
382125, 126, 381mp2an 690 . . . 4 (53057 / ((3↑7) · (5 · 7))) ∈ ℝ
383 nndivre 12194 . . . . 5 ((253 ∈ ℝ ∧ 365 ∈ ℕ) → (253 / 365) ∈ ℝ)
384377, 373, 383mp2an 690 . . . 4 (253 / 365) ∈ ℝ
385123, 382, 384lelttri 11282 . . 3 (((Σ𝑛 ∈ (0...3)(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛))) + (3 / ((4 · ((2 · 4) + 1)) · (9↑4)))) ≤ (53057 / ((3↑7) · (5 · 7))) ∧ (53057 / ((3↑7) · (5 · 7))) < (253 / 365)) → (Σ𝑛 ∈ (0...3)(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛))) + (3 / ((4 · ((2 · 4) + 1)) · (9↑4)))) < (253 / 365))
386132, 380, 385mp2an 690 . 2 𝑛 ∈ (0...3)(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛))) + (3 / ((4 · ((2 · 4) + 1)) · (9↑4)))) < (253 / 365)
38727, 123, 384lelttri 11282 . 2 (((log‘2) ≤ (Σ𝑛 ∈ (0...3)(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛))) + (3 / ((4 · ((2 · 4) + 1)) · (9↑4)))) ∧ (Σ𝑛 ∈ (0...3)(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛))) + (3 / ((4 · ((2 · 4) + 1)) · (9↑4)))) < (253 / 365)) → (log‘2) < (253 / 365))
38847, 386, 387mp2an 690 1 (log‘2) < (253 / 365)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 205  wa 396  w3a 1087   = wceq 1541  wtru 1542  wcel 2106   class class class wbr 5105  cfv 6496  (class class class)co 7357  cc 11049  cr 11050  0cc0 11051  1c1 11052   + caddc 11054   · cmul 11056   < clt 11189  cle 11190  cmin 11385   / cdiv 11812  cn 12153  2c2 12208  3c3 12209  4c4 12210  5c5 12211  6c6 12212  7c7 12213  8c8 12214  9c9 12215  0cn0 12413  cdc 12618  +crp 12915  [,]cicc 13267  ...cfz 13424  cexp 13967  Σcsu 15570  logclog 25910
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-inf2 9577  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129  ax-addf 11130  ax-mulf 11131
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-tp 4591  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-se 5589  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-isom 6505  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-of 7617  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-supp 8093  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-2o 8413  df-oadd 8416  df-er 8648  df-map 8767  df-pm 8768  df-ixp 8836  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fsupp 9306  df-fi 9347  df-sup 9378  df-inf 9379  df-oi 9446  df-card 9875  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-4 12218  df-5 12219  df-6 12220  df-7 12221  df-8 12222  df-9 12223  df-n0 12414  df-xnn0 12486  df-z 12500  df-dec 12619  df-uz 12764  df-q 12874  df-rp 12916  df-xneg 13033  df-xadd 13034  df-xmul 13035  df-ioo 13268  df-ioc 13269  df-ico 13270  df-icc 13271  df-fz 13425  df-fzo 13568  df-fl 13697  df-mod 13775  df-seq 13907  df-exp 13968  df-fac 14174  df-bc 14203  df-hash 14231  df-shft 14952  df-cj 14984  df-re 14985  df-im 14986  df-sqrt 15120  df-abs 15121  df-limsup 15353  df-clim 15370  df-rlim 15371  df-sum 15571  df-ef 15950  df-sin 15952  df-cos 15953  df-tan 15954  df-pi 15955  df-dvds 16137  df-struct 17019  df-sets 17036  df-slot 17054  df-ndx 17066  df-base 17084  df-ress 17113  df-plusg 17146  df-mulr 17147  df-starv 17148  df-sca 17149  df-vsca 17150  df-ip 17151  df-tset 17152  df-ple 17153  df-ds 17155  df-unif 17156  df-hom 17157  df-cco 17158  df-rest 17304  df-topn 17305  df-0g 17323  df-gsum 17324  df-topgen 17325  df-pt 17326  df-prds 17329  df-xrs 17384  df-qtop 17389  df-imas 17390  df-xps 17392  df-mre 17466  df-mrc 17467  df-acs 17469  df-mgm 18497  df-sgrp 18546  df-mnd 18557  df-submnd 18602  df-mulg 18873  df-cntz 19097  df-cmn 19564  df-psmet 20788  df-xmet 20789  df-met 20790  df-bl 20791  df-mopn 20792  df-fbas 20793  df-fg 20794  df-cnfld 20797  df-top 22243  df-topon 22260  df-topsp 22282  df-bases 22296  df-cld 22370  df-ntr 22371  df-cls 22372  df-nei 22449  df-lp 22487  df-perf 22488  df-cn 22578  df-cnp 22579  df-haus 22666  df-cmp 22738  df-tx 22913  df-hmeo 23106  df-fil 23197  df-fm 23289  df-flim 23290  df-flf 23291  df-xms 23673  df-ms 23674  df-tms 23675  df-cncf 24241  df-limc 25230  df-dv 25231  df-ulm 25736  df-log 25912  df-atan 26217
This theorem is referenced by:  log2le1  26300  birthday  26304
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