MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  bpoly4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem bpoly4 15405
Description: The Bernoulli polynomials at four. (Contributed by Scott Fenton, 8-Jul-2015.)
Assertion
Ref Expression
bpoly4 (𝑋 ∈ ℂ → (4 BernPoly 𝑋) = ((((𝑋↑4) − (2 · (𝑋↑3))) + (𝑋↑2)) − (1 / 30)))

Proof of Theorem bpoly4
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 4nn0 11908 . . 3 4 ∈ ℕ0
2 bpolyval 15395 . . 3 ((4 ∈ ℕ0𝑋 ∈ ℂ) → (4 BernPoly 𝑋) = ((𝑋↑4) − Σ𝑘 ∈ (0...(4 − 1))((4C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((4 − 𝑘) + 1)))))
31, 2mpan 686 . 2 (𝑋 ∈ ℂ → (4 BernPoly 𝑋) = ((𝑋↑4) − Σ𝑘 ∈ (0...(4 − 1))((4C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((4 − 𝑘) + 1)))))
4 4m1e3 11758 . . . . . . 7 (4 − 1) = 3
5 df-3 11693 . . . . . . 7 3 = (2 + 1)
64, 5eqtri 2848 . . . . . 6 (4 − 1) = (2 + 1)
76oveq2i 7162 . . . . 5 (0...(4 − 1)) = (0...(2 + 1))
87sumeq1i 15047 . . . 4 Σ𝑘 ∈ (0...(4 − 1))((4C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((4 − 𝑘) + 1))) = Σ𝑘 ∈ (0...(2 + 1))((4C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((4 − 𝑘) + 1)))
9 2eluzge0 12285 . . . . . . 7 2 ∈ (ℤ‘0)
109a1i 11 . . . . . 6 (𝑋 ∈ ℂ → 2 ∈ (ℤ‘0))
11 elfzelz 12901 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ (0...(2 + 1)) → 𝑘 ∈ ℤ)
12 bccl 13675 . . . . . . . . . 10 ((4 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℤ) → (4C𝑘) ∈ ℕ0)
131, 11, 12sylancr 587 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ (0...(2 + 1)) → (4C𝑘) ∈ ℕ0)
1413nn0cnd 11949 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ (0...(2 + 1)) → (4C𝑘) ∈ ℂ)
1514adantl 482 . . . . . . 7 ((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (0...(2 + 1))) → (4C𝑘) ∈ ℂ)
16 elfznn0 12993 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ (0...(2 + 1)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
17 bpolycl 15398 . . . . . . . . . 10 ((𝑘 ∈ ℕ0𝑋 ∈ ℂ) → (𝑘 BernPoly 𝑋) ∈ ℂ)
1816, 17sylan 580 . . . . . . . . 9 ((𝑘 ∈ (0...(2 + 1)) ∧ 𝑋 ∈ ℂ) → (𝑘 BernPoly 𝑋) ∈ ℂ)
1918ancoms 459 . . . . . . . 8 ((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (0...(2 + 1))) → (𝑘 BernPoly 𝑋) ∈ ℂ)
20 4re 11713 . . . . . . . . . . . . 13 4 ∈ ℝ
2120a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ (0...(2 + 1)) → 4 ∈ ℝ)
2211zred 12079 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ (0...(2 + 1)) → 𝑘 ∈ ℝ)
2321, 22resubcld 11060 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ (0...(2 + 1)) → (4 − 𝑘) ∈ ℝ)
24 peano2re 10805 . . . . . . . . . . 11 ((4 − 𝑘) ∈ ℝ → ((4 − 𝑘) + 1) ∈ ℝ)
2523, 24syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ (0...(2 + 1)) → ((4 − 𝑘) + 1) ∈ ℝ)
2625recnd 10661 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ (0...(2 + 1)) → ((4 − 𝑘) + 1) ∈ ℂ)
2726adantl 482 . . . . . . . 8 ((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (0...(2 + 1))) → ((4 − 𝑘) + 1) ∈ ℂ)
28 1red 10634 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ (0...(2 + 1)) → 1 ∈ ℝ)
295oveq2i 7162 . . . . . . . . . . . . . 14 (0...3) = (0...(2 + 1))
3029eleq2i 2908 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 ∈ (0...3) ↔ 𝑘 ∈ (0...(2 + 1)))
31 elfzelz 12901 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 ∈ (0...3) → 𝑘 ∈ ℤ)
3231zred 12079 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 ∈ (0...3) → 𝑘 ∈ ℝ)
33 3re 11709 . . . . . . . . . . . . . . 15 3 ∈ ℝ
3433a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 ∈ (0...3) → 3 ∈ ℝ)
3520a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 ∈ (0...3) → 4 ∈ ℝ)
36 elfzle2 12904 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 ∈ (0...3) → 𝑘 ≤ 3)
37 3lt4 11803 . . . . . . . . . . . . . . 15 3 < 4
3837a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 ∈ (0...3) → 3 < 4)
3932, 34, 35, 36, 38lelttrd 10790 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 ∈ (0...3) → 𝑘 < 4)
4030, 39sylbir 236 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ (0...(2 + 1)) → 𝑘 < 4)
4122, 21posdifd 11219 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ (0...(2 + 1)) → (𝑘 < 4 ↔ 0 < (4 − 𝑘)))
4240, 41mpbid 233 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ (0...(2 + 1)) → 0 < (4 − 𝑘))
43 0lt1 11154 . . . . . . . . . . . 12 0 < 1
4443a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ (0...(2 + 1)) → 0 < 1)
4523, 28, 42, 44addgt0d 11207 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ (0...(2 + 1)) → 0 < ((4 − 𝑘) + 1))
4645gt0ne0d 11196 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ (0...(2 + 1)) → ((4 − 𝑘) + 1) ≠ 0)
4746adantl 482 . . . . . . . 8 ((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (0...(2 + 1))) → ((4 − 𝑘) + 1) ≠ 0)
4819, 27, 47divcld 11408 . . . . . . 7 ((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (0...(2 + 1))) → ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((4 − 𝑘) + 1)) ∈ ℂ)
4915, 48mulcld 10653 . . . . . 6 ((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (0...(2 + 1))) → ((4C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((4 − 𝑘) + 1))) ∈ ℂ)
505eqeq2i 2837 . . . . . . 7 (𝑘 = 3 ↔ 𝑘 = (2 + 1))
51 oveq2 7159 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 3 → (4C𝑘) = (4C3))
52 4bc3eq4 13681 . . . . . . . . 9 (4C3) = 4
5351, 52syl6eq 2876 . . . . . . . 8 (𝑘 = 3 → (4C𝑘) = 4)
54 oveq1 7158 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 3 → (𝑘 BernPoly 𝑋) = (3 BernPoly 𝑋))
55 oveq2 7159 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = 3 → (4 − 𝑘) = (4 − 3))
5655oveq1d 7166 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 3 → ((4 − 𝑘) + 1) = ((4 − 3) + 1))
57 4cn 11714 . . . . . . . . . . . . 13 4 ∈ ℂ
58 3cn 11710 . . . . . . . . . . . . 13 3 ∈ ℂ
59 ax-1cn 10587 . . . . . . . . . . . . 13 1 ∈ ℂ
60 3p1e4 11774 . . . . . . . . . . . . 13 (3 + 1) = 4
6157, 58, 59, 60subaddrii 10967 . . . . . . . . . . . 12 (4 − 3) = 1
6261oveq1i 7161 . . . . . . . . . . 11 ((4 − 3) + 1) = (1 + 1)
63 df-2 11692 . . . . . . . . . . 11 2 = (1 + 1)
6462, 63eqtr4i 2851 . . . . . . . . . 10 ((4 − 3) + 1) = 2
6556, 64syl6eq 2876 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 3 → ((4 − 𝑘) + 1) = 2)
6654, 65oveq12d 7169 . . . . . . . 8 (𝑘 = 3 → ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((4 − 𝑘) + 1)) = ((3 BernPoly 𝑋) / 2))
6753, 66oveq12d 7169 . . . . . . 7 (𝑘 = 3 → ((4C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((4 − 𝑘) + 1))) = (4 · ((3 BernPoly 𝑋) / 2)))
6850, 67sylbir 236 . . . . . 6 (𝑘 = (2 + 1) → ((4C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((4 − 𝑘) + 1))) = (4 · ((3 BernPoly 𝑋) / 2)))
6910, 49, 68fsump1 15103 . . . . 5 (𝑋 ∈ ℂ → Σ𝑘 ∈ (0...(2 + 1))((4C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((4 − 𝑘) + 1))) = (Σ𝑘 ∈ (0...2)((4C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((4 − 𝑘) + 1))) + (4 · ((3 BernPoly 𝑋) / 2))))
7063oveq2i 7162 . . . . . . . 8 (0...2) = (0...(1 + 1))
7170sumeq1i 15047 . . . . . . 7 Σ𝑘 ∈ (0...2)((4C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((4 − 𝑘) + 1))) = Σ𝑘 ∈ (0...(1 + 1))((4C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((4 − 𝑘) + 1)))
72 1eluzge0 12284 . . . . . . . . . 10 1 ∈ (ℤ‘0)
7372a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝑋 ∈ ℂ → 1 ∈ (ℤ‘0))
74 fzssp1 12943 . . . . . . . . . . . 12 (0...(1 + 1)) ⊆ (0...((1 + 1) + 1))
7563oveq1i 7161 . . . . . . . . . . . . 13 (2 + 1) = ((1 + 1) + 1)
7675oveq2i 7162 . . . . . . . . . . . 12 (0...(2 + 1)) = (0...((1 + 1) + 1))
7774, 76sseqtrri 4007 . . . . . . . . . . 11 (0...(1 + 1)) ⊆ (0...(2 + 1))
7877sseli 3966 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ (0...(1 + 1)) → 𝑘 ∈ (0...(2 + 1)))
7978, 49sylan2 592 . . . . . . . . 9 ((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (0...(1 + 1))) → ((4C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((4 − 𝑘) + 1))) ∈ ℂ)
8063eqeq2i 2837 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 2 ↔ 𝑘 = (1 + 1))
81 oveq2 7159 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = 2 → (4C𝑘) = (4C2))
82 4bc2eq6 13682 . . . . . . . . . . . 12 (4C2) = 6
8381, 82syl6eq 2876 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = 2 → (4C𝑘) = 6)
84 oveq1 7158 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = 2 → (𝑘 BernPoly 𝑋) = (2 BernPoly 𝑋))
85 oveq2 7159 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 = 2 → (4 − 𝑘) = (4 − 2))
8685oveq1d 7166 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 = 2 → ((4 − 𝑘) + 1) = ((4 − 2) + 1))
87 2cn 11704 . . . . . . . . . . . . . . . 16 2 ∈ ℂ
88 2p2e4 11764 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (2 + 2) = 4
8957, 87, 87, 88subaddrii 10967 . . . . . . . . . . . . . . 15 (4 − 2) = 2
9089oveq1i 7161 . . . . . . . . . . . . . 14 ((4 − 2) + 1) = (2 + 1)
9190, 5eqtr4i 2851 . . . . . . . . . . . . 13 ((4 − 2) + 1) = 3
9286, 91syl6eq 2876 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = 2 → ((4 − 𝑘) + 1) = 3)
9384, 92oveq12d 7169 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = 2 → ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((4 − 𝑘) + 1)) = ((2 BernPoly 𝑋) / 3))
9483, 93oveq12d 7169 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 2 → ((4C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((4 − 𝑘) + 1))) = (6 · ((2 BernPoly 𝑋) / 3)))
9580, 94sylbir 236 . . . . . . . . 9 (𝑘 = (1 + 1) → ((4C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((4 − 𝑘) + 1))) = (6 · ((2 BernPoly 𝑋) / 3)))
9673, 79, 95fsump1 15103 . . . . . . . 8 (𝑋 ∈ ℂ → Σ𝑘 ∈ (0...(1 + 1))((4C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((4 − 𝑘) + 1))) = (Σ𝑘 ∈ (0...1)((4C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((4 − 𝑘) + 1))) + (6 · ((2 BernPoly 𝑋) / 3))))
97 0p1e1 11751 . . . . . . . . . . . 12 (0 + 1) = 1
9897oveq2i 7162 . . . . . . . . . . 11 (0...(0 + 1)) = (0...1)
9998sumeq1i 15047 . . . . . . . . . 10 Σ𝑘 ∈ (0...(0 + 1))((4C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((4 − 𝑘) + 1))) = Σ𝑘 ∈ (0...1)((4C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((4 − 𝑘) + 1)))
100 0nn0 11904 . . . . . . . . . . . . . 14 0 ∈ ℕ0
101 nn0uz 12272 . . . . . . . . . . . . . 14 0 = (ℤ‘0)
102100, 101eleqtri 2915 . . . . . . . . . . . . 13 0 ∈ (ℤ‘0)
103102a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝑋 ∈ ℂ → 0 ∈ (ℤ‘0))
104 3nn 11708 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 3 ∈ ℕ
105 nnuz 12273 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ℕ = (ℤ‘1)
106104, 105eleqtri 2915 . . . . . . . . . . . . . . . 16 3 ∈ (ℤ‘1)
107 fzss2 12940 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (3 ∈ (ℤ‘1) → (0...1) ⊆ (0...3))
108106, 107ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . 15 (0...1) ⊆ (0...3)
109 2p1e3 11771 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (2 + 1) = 3
110109oveq2i 7162 . . . . . . . . . . . . . . 15 (0...(2 + 1)) = (0...3)
111108, 98, 1103sstr4i 4013 . . . . . . . . . . . . . 14 (0...(0 + 1)) ⊆ (0...(2 + 1))
112111sseli 3966 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 ∈ (0...(0 + 1)) → 𝑘 ∈ (0...(2 + 1)))
113112, 49sylan2 592 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (0...(0 + 1))) → ((4C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((4 − 𝑘) + 1))) ∈ ℂ)
11497eqeq2i 2837 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 = (0 + 1) ↔ 𝑘 = 1)
115 oveq2 7159 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 = 1 → (4C𝑘) = (4C1))
116 bcn1 13666 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (4 ∈ ℕ0 → (4C1) = 4)
1171, 116ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . 15 (4C1) = 4
118115, 117syl6eq 2876 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 = 1 → (4C𝑘) = 4)
119 oveq1 7158 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 = 1 → (𝑘 BernPoly 𝑋) = (1 BernPoly 𝑋))
120 oveq2 7159 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑘 = 1 → (4 − 𝑘) = (4 − 1))
121120oveq1d 7166 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 = 1 → ((4 − 𝑘) + 1) = ((4 − 1) + 1))
1224oveq1i 7161 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((4 − 1) + 1) = (3 + 1)
123 df-4 11694 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 4 = (3 + 1)
124122, 123eqtr4i 2851 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((4 − 1) + 1) = 4
125121, 124syl6eq 2876 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 = 1 → ((4 − 𝑘) + 1) = 4)
126119, 125oveq12d 7169 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 = 1 → ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((4 − 𝑘) + 1)) = ((1 BernPoly 𝑋) / 4))
127118, 126oveq12d 7169 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 = 1 → ((4C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((4 − 𝑘) + 1))) = (4 · ((1 BernPoly 𝑋) / 4)))
128114, 127sylbi 218 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = (0 + 1) → ((4C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((4 − 𝑘) + 1))) = (4 · ((1 BernPoly 𝑋) / 4)))
129103, 113, 128fsump1 15103 . . . . . . . . . . 11 (𝑋 ∈ ℂ → Σ𝑘 ∈ (0...(0 + 1))((4C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((4 − 𝑘) + 1))) = (Σ𝑘 ∈ (0...0)((4C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((4 − 𝑘) + 1))) + (4 · ((1 BernPoly 𝑋) / 4))))
130 0z 11984 . . . . . . . . . . . . . 14 0 ∈ ℤ
13159a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑋 ∈ ℂ → 1 ∈ ℂ)
132 bpolycl 15398 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((0 ∈ ℕ0𝑋 ∈ ℂ) → (0 BernPoly 𝑋) ∈ ℂ)
133100, 132mpan 686 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑋 ∈ ℂ → (0 BernPoly 𝑋) ∈ ℂ)
134 5cn 11717 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 5 ∈ ℂ
135134a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑋 ∈ ℂ → 5 ∈ ℂ)
136 0re 10635 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 0 ∈ ℝ
137 5pos 11738 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 0 < 5
138136, 137gtneii 10744 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 5 ≠ 0
139138a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑋 ∈ ℂ → 5 ≠ 0)
140133, 135, 139divcld 11408 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑋 ∈ ℂ → ((0 BernPoly 𝑋) / 5) ∈ ℂ)
141131, 140mulcld 10653 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑋 ∈ ℂ → (1 · ((0 BernPoly 𝑋) / 5)) ∈ ℂ)
142 oveq2 7159 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑘 = 0 → (4C𝑘) = (4C0))
143 bcn0 13663 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (4 ∈ ℕ0 → (4C0) = 1)
1441, 143ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (4C0) = 1
145142, 144syl6eq 2876 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 = 0 → (4C𝑘) = 1)
146 oveq1 7158 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑘 = 0 → (𝑘 BernPoly 𝑋) = (0 BernPoly 𝑋))
147 oveq2 7159 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑘 = 0 → (4 − 𝑘) = (4 − 0))
148147oveq1d 7166 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑘 = 0 → ((4 − 𝑘) + 1) = ((4 − 0) + 1))
14957subid1i 10950 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (4 − 0) = 4
150149oveq1i 7161 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((4 − 0) + 1) = (4 + 1)
151 4p1e5 11775 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (4 + 1) = 5
152150, 151eqtri 2848 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((4 − 0) + 1) = 5
153148, 152syl6eq 2876 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑘 = 0 → ((4 − 𝑘) + 1) = 5)
154146, 153oveq12d 7169 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 = 0 → ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((4 − 𝑘) + 1)) = ((0 BernPoly 𝑋) / 5))
155145, 154oveq12d 7169 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 = 0 → ((4C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((4 − 𝑘) + 1))) = (1 · ((0 BernPoly 𝑋) / 5)))
156155fsum1 15094 . . . . . . . . . . . . . 14 ((0 ∈ ℤ ∧ (1 · ((0 BernPoly 𝑋) / 5)) ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ (0...0)((4C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((4 − 𝑘) + 1))) = (1 · ((0 BernPoly 𝑋) / 5)))
157130, 141, 156sylancr 587 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑋 ∈ ℂ → Σ𝑘 ∈ (0...0)((4C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((4 − 𝑘) + 1))) = (1 · ((0 BernPoly 𝑋) / 5)))
158 bpoly0 15396 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑋 ∈ ℂ → (0 BernPoly 𝑋) = 1)
159158oveq1d 7166 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑋 ∈ ℂ → ((0 BernPoly 𝑋) / 5) = (1 / 5))
160159oveq2d 7167 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑋 ∈ ℂ → (1 · ((0 BernPoly 𝑋) / 5)) = (1 · (1 / 5)))
161134, 138reccli 11362 . . . . . . . . . . . . . . 15 (1 / 5) ∈ ℂ
162161mulid2i 10638 . . . . . . . . . . . . . 14 (1 · (1 / 5)) = (1 / 5)
163160, 162syl6eq 2876 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑋 ∈ ℂ → (1 · ((0 BernPoly 𝑋) / 5)) = (1 / 5))
164157, 163eqtrd 2860 . . . . . . . . . . . 12 (𝑋 ∈ ℂ → Σ𝑘 ∈ (0...0)((4C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((4 − 𝑘) + 1))) = (1 / 5))
165 1nn0 11905 . . . . . . . . . . . . . . 15 1 ∈ ℕ0
166 bpolycl 15398 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((1 ∈ ℕ0𝑋 ∈ ℂ) → (1 BernPoly 𝑋) ∈ ℂ)
167165, 166mpan 686 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑋 ∈ ℂ → (1 BernPoly 𝑋) ∈ ℂ)
168 nn0cn 11899 . . . . . . . . . . . . . . 15 (4 ∈ ℕ0 → 4 ∈ ℂ)
1691, 168mp1i 13 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑋 ∈ ℂ → 4 ∈ ℂ)
170 4ne0 11737 . . . . . . . . . . . . . . 15 4 ≠ 0
171170a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑋 ∈ ℂ → 4 ≠ 0)
172167, 169, 171divcan2d 11410 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑋 ∈ ℂ → (4 · ((1 BernPoly 𝑋) / 4)) = (1 BernPoly 𝑋))
173 bpoly1 15397 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑋 ∈ ℂ → (1 BernPoly 𝑋) = (𝑋 − (1 / 2)))
174172, 173eqtrd 2860 . . . . . . . . . . . 12 (𝑋 ∈ ℂ → (4 · ((1 BernPoly 𝑋) / 4)) = (𝑋 − (1 / 2)))
175164, 174oveq12d 7169 . . . . . . . . . . 11 (𝑋 ∈ ℂ → (Σ𝑘 ∈ (0...0)((4C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((4 − 𝑘) + 1))) + (4 · ((1 BernPoly 𝑋) / 4))) = ((1 / 5) + (𝑋 − (1 / 2))))
176129, 175eqtrd 2860 . . . . . . . . . 10 (𝑋 ∈ ℂ → Σ𝑘 ∈ (0...(0 + 1))((4C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((4 − 𝑘) + 1))) = ((1 / 5) + (𝑋 − (1 / 2))))
17799, 176syl5eqr 2874 . . . . . . . . 9 (𝑋 ∈ ℂ → Σ𝑘 ∈ (0...1)((4C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((4 − 𝑘) + 1))) = ((1 / 5) + (𝑋 − (1 / 2))))
178 6cn 11720 . . . . . . . . . . . 12 6 ∈ ℂ
179178a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝑋 ∈ ℂ → 6 ∈ ℂ)
180 2nn0 11906 . . . . . . . . . . . 12 2 ∈ ℕ0
181 bpolycl 15398 . . . . . . . . . . . 12 ((2 ∈ ℕ0𝑋 ∈ ℂ) → (2 BernPoly 𝑋) ∈ ℂ)
182180, 181mpan 686 . . . . . . . . . . 11 (𝑋 ∈ ℂ → (2 BernPoly 𝑋) ∈ ℂ)
18358a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝑋 ∈ ℂ → 3 ∈ ℂ)
184 3ne0 11735 . . . . . . . . . . . 12 3 ≠ 0
185184a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝑋 ∈ ℂ → 3 ≠ 0)
186179, 182, 183, 185div12d 11444 . . . . . . . . . 10 (𝑋 ∈ ℂ → (6 · ((2 BernPoly 𝑋) / 3)) = ((2 BernPoly 𝑋) · (6 / 3)))
187 3t2e6 11795 . . . . . . . . . . . . 13 (3 · 2) = 6
188178, 58, 87, 184divmuli 11386 . . . . . . . . . . . . 13 ((6 / 3) = 2 ↔ (3 · 2) = 6)
189187, 188mpbir 232 . . . . . . . . . . . 12 (6 / 3) = 2
190189oveq2i 7162 . . . . . . . . . . 11 ((2 BernPoly 𝑋) · (6 / 3)) = ((2 BernPoly 𝑋) · 2)
19187a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑋 ∈ ℂ → 2 ∈ ℂ)
192182, 191mulcomd 10654 . . . . . . . . . . . 12 (𝑋 ∈ ℂ → ((2 BernPoly 𝑋) · 2) = (2 · (2 BernPoly 𝑋)))
193 bpoly2 15403 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑋 ∈ ℂ → (2 BernPoly 𝑋) = (((𝑋↑2) − 𝑋) + (1 / 6)))
194193oveq2d 7167 . . . . . . . . . . . 12 (𝑋 ∈ ℂ → (2 · (2 BernPoly 𝑋)) = (2 · (((𝑋↑2) − 𝑋) + (1 / 6))))
195192, 194eqtrd 2860 . . . . . . . . . . 11 (𝑋 ∈ ℂ → ((2 BernPoly 𝑋) · 2) = (2 · (((𝑋↑2) − 𝑋) + (1 / 6))))
196190, 195syl5eq 2872 . . . . . . . . . 10 (𝑋 ∈ ℂ → ((2 BernPoly 𝑋) · (6 / 3)) = (2 · (((𝑋↑2) − 𝑋) + (1 / 6))))
197186, 196eqtrd 2860 . . . . . . . . 9 (𝑋 ∈ ℂ → (6 · ((2 BernPoly 𝑋) / 3)) = (2 · (((𝑋↑2) − 𝑋) + (1 / 6))))
198177, 197oveq12d 7169 . . . . . . . 8 (𝑋 ∈ ℂ → (Σ𝑘 ∈ (0...1)((4C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((4 − 𝑘) + 1))) + (6 · ((2 BernPoly 𝑋) / 3))) = (((1 / 5) + (𝑋 − (1 / 2))) + (2 · (((𝑋↑2) − 𝑋) + (1 / 6)))))
19996, 198eqtrd 2860 . . . . . . 7 (𝑋 ∈ ℂ → Σ𝑘 ∈ (0...(1 + 1))((4C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((4 − 𝑘) + 1))) = (((1 / 5) + (𝑋 − (1 / 2))) + (2 · (((𝑋↑2) − 𝑋) + (1 / 6)))))
20071, 199syl5eq 2872 . . . . . 6 (𝑋 ∈ ℂ → Σ𝑘 ∈ (0...2)((4C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((4 − 𝑘) + 1))) = (((1 / 5) + (𝑋 − (1 / 2))) + (2 · (((𝑋↑2) − 𝑋) + (1 / 6)))))
201 3nn0 11907 . . . . . . . . 9 3 ∈ ℕ0
202 bpolycl 15398 . . . . . . . . 9 ((3 ∈ ℕ0𝑋 ∈ ℂ) → (3 BernPoly 𝑋) ∈ ℂ)
203201, 202mpan 686 . . . . . . . 8 (𝑋 ∈ ℂ → (3 BernPoly 𝑋) ∈ ℂ)
204 2ne0 11733 . . . . . . . . 9 2 ≠ 0
205204a1i 11 . . . . . . . 8 (𝑋 ∈ ℂ → 2 ≠ 0)
206169, 203, 191, 205div12d 11444 . . . . . . 7 (𝑋 ∈ ℂ → (4 · ((3 BernPoly 𝑋) / 2)) = ((3 BernPoly 𝑋) · (4 / 2)))
207 4d2e2 11799 . . . . . . . . 9 (4 / 2) = 2
208207oveq2i 7162 . . . . . . . 8 ((3 BernPoly 𝑋) · (4 / 2)) = ((3 BernPoly 𝑋) · 2)
209203, 191mulcomd 10654 . . . . . . . . 9 (𝑋 ∈ ℂ → ((3 BernPoly 𝑋) · 2) = (2 · (3 BernPoly 𝑋)))
210 bpoly3 15404 . . . . . . . . . 10 (𝑋 ∈ ℂ → (3 BernPoly 𝑋) = (((𝑋↑3) − ((3 / 2) · (𝑋↑2))) + ((1 / 2) · 𝑋)))
211210oveq2d 7167 . . . . . . . . 9 (𝑋 ∈ ℂ → (2 · (3 BernPoly 𝑋)) = (2 · (((𝑋↑3) − ((3 / 2) · (𝑋↑2))) + ((1 / 2) · 𝑋))))
212209, 211eqtrd 2860 . . . . . . . 8 (𝑋 ∈ ℂ → ((3 BernPoly 𝑋) · 2) = (2 · (((𝑋↑3) − ((3 / 2) · (𝑋↑2))) + ((1 / 2) · 𝑋))))
213208, 212syl5eq 2872 . . . . . . 7 (𝑋 ∈ ℂ → ((3 BernPoly 𝑋) · (4 / 2)) = (2 · (((𝑋↑3) − ((3 / 2) · (𝑋↑2))) + ((1 / 2) · 𝑋))))
214206, 213eqtrd 2860 . . . . . 6 (𝑋 ∈ ℂ → (4 · ((3 BernPoly 𝑋) / 2)) = (2 · (((𝑋↑3) − ((3 / 2) · (𝑋↑2))) + ((1 / 2) · 𝑋))))
215200, 214oveq12d 7169 . . . . 5 (𝑋 ∈ ℂ → (Σ𝑘 ∈ (0...2)((4C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((4 − 𝑘) + 1))) + (4 · ((3 BernPoly 𝑋) / 2))) = ((((1 / 5) + (𝑋 − (1 / 2))) + (2 · (((𝑋↑2) − 𝑋) + (1 / 6)))) + (2 · (((𝑋↑3) − ((3 / 2) · (𝑋↑2))) + ((1 / 2) · 𝑋)))))
21669, 215eqtrd 2860 . . . 4 (𝑋 ∈ ℂ → Σ𝑘 ∈ (0...(2 + 1))((4C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((4 − 𝑘) + 1))) = ((((1 / 5) + (𝑋 − (1 / 2))) + (2 · (((𝑋↑2) − 𝑋) + (1 / 6)))) + (2 · (((𝑋↑3) − ((3 / 2) · (𝑋↑2))) + ((1 / 2) · 𝑋)))))
2178, 216syl5eq 2872 . . 3 (𝑋 ∈ ℂ → Σ𝑘 ∈ (0...(4 − 1))((4C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((4 − 𝑘) + 1))) = ((((1 / 5) + (𝑋 − (1 / 2))) + (2 · (((𝑋↑2) − 𝑋) + (1 / 6)))) + (2 · (((𝑋↑3) − ((3 / 2) · (𝑋↑2))) + ((1 / 2) · 𝑋)))))
218217oveq2d 7167 . 2 (𝑋 ∈ ℂ → ((𝑋↑4) − Σ𝑘 ∈ (0...(4 − 1))((4C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((4 − 𝑘) + 1)))) = ((𝑋↑4) − ((((1 / 5) + (𝑋 − (1 / 2))) + (2 · (((𝑋↑2) − 𝑋) + (1 / 6)))) + (2 · (((𝑋↑3) − ((3 / 2) · (𝑋↑2))) + ((1 / 2) · 𝑋))))))
219 expcl 13440 . . . . 5 ((𝑋 ∈ ℂ ∧ 4 ∈ ℕ0) → (𝑋↑4) ∈ ℂ)
2201, 219mpan2 687 . . . 4 (𝑋 ∈ ℂ → (𝑋↑4) ∈ ℂ)
221 expcl 13440 . . . . . 6 ((𝑋 ∈ ℂ ∧ 3 ∈ ℕ0) → (𝑋↑3) ∈ ℂ)
222201, 221mpan2 687 . . . . 5 (𝑋 ∈ ℂ → (𝑋↑3) ∈ ℂ)
223191, 222mulcld 10653 . . . 4 (𝑋 ∈ ℂ → (2 · (𝑋↑3)) ∈ ℂ)
224 sqcl 13477 . . . . 5 (𝑋 ∈ ℂ → (𝑋↑2) ∈ ℂ)
225201, 100deccl 12105 . . . . . . . 8 30 ∈ ℕ0
226225nn0cni 11901 . . . . . . 7 30 ∈ ℂ
227 dfdec10 12093 . . . . . . . . 9 30 = ((10 · 3) + 0)
228 10re 12109 . . . . . . . . . . . 12 10 ∈ ℝ
229228recni 10647 . . . . . . . . . . 11 10 ∈ ℂ
230229, 58mulcli 10640 . . . . . . . . . 10 (10 · 3) ∈ ℂ
231230addid1i 10819 . . . . . . . . 9 ((10 · 3) + 0) = (10 · 3)
232227, 231eqtri 2848 . . . . . . . 8 30 = (10 · 3)
233 10pos 12107 . . . . . . . . . 10 0 < 10
234136, 233gtneii 10744 . . . . . . . . 9 10 ≠ 0
235229, 58, 234, 184mulne0i 11275 . . . . . . . 8 (10 · 3) ≠ 0
236232, 235eqnetri 3090 . . . . . . 7 30 ≠ 0
237226, 236reccli 11362 . . . . . 6 (1 / 30) ∈ ℂ
238237a1i 11 . . . . 5 (𝑋 ∈ ℂ → (1 / 30) ∈ ℂ)
239224, 238subcld 10989 . . . 4 (𝑋 ∈ ℂ → ((𝑋↑2) − (1 / 30)) ∈ ℂ)
240220, 223, 239subsubd 11017 . . 3 (𝑋 ∈ ℂ → ((𝑋↑4) − ((2 · (𝑋↑3)) − ((𝑋↑2) − (1 / 30)))) = (((𝑋↑4) − (2 · (𝑋↑3))) + ((𝑋↑2) − (1 / 30))))
241161a1i 11 . . . . . . . 8 (𝑋 ∈ ℂ → (1 / 5) ∈ ℂ)
242 id 22 . . . . . . . . 9 (𝑋 ∈ ℂ → 𝑋 ∈ ℂ)
24387, 204reccli 11362 . . . . . . . . . 10 (1 / 2) ∈ ℂ
244243a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝑋 ∈ ℂ → (1 / 2) ∈ ℂ)
245242, 244subcld 10989 . . . . . . . 8 (𝑋 ∈ ℂ → (𝑋 − (1 / 2)) ∈ ℂ)
246241, 245addcld 10652 . . . . . . 7 (𝑋 ∈ ℂ → ((1 / 5) + (𝑋 − (1 / 2))) ∈ ℂ)
247224, 242subcld 10989 . . . . . . . . 9 (𝑋 ∈ ℂ → ((𝑋↑2) − 𝑋) ∈ ℂ)
248 6pos 11739 . . . . . . . . . . . 12 0 < 6
249136, 248gtneii 10744 . . . . . . . . . . 11 6 ≠ 0
250178, 249reccli 11362 . . . . . . . . . 10 (1 / 6) ∈ ℂ
251250a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝑋 ∈ ℂ → (1 / 6) ∈ ℂ)
252247, 251addcld 10652 . . . . . . . 8 (𝑋 ∈ ℂ → (((𝑋↑2) − 𝑋) + (1 / 6)) ∈ ℂ)
253191, 252mulcld 10653 . . . . . . 7 (𝑋 ∈ ℂ → (2 · (((𝑋↑2) − 𝑋) + (1 / 6))) ∈ ℂ)
254246, 253addcld 10652 . . . . . 6 (𝑋 ∈ ℂ → (((1 / 5) + (𝑋 − (1 / 2))) + (2 · (((𝑋↑2) − 𝑋) + (1 / 6)))) ∈ ℂ)
25558, 87, 204divcli 11374 . . . . . . . . . . 11 (3 / 2) ∈ ℂ
256255a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝑋 ∈ ℂ → (3 / 2) ∈ ℂ)
257256, 224mulcld 10653 . . . . . . . . 9 (𝑋 ∈ ℂ → ((3 / 2) · (𝑋↑2)) ∈ ℂ)
258222, 257subcld 10989 . . . . . . . 8 (𝑋 ∈ ℂ → ((𝑋↑3) − ((3 / 2) · (𝑋↑2))) ∈ ℂ)
259244, 242mulcld 10653 . . . . . . . 8 (𝑋 ∈ ℂ → ((1 / 2) · 𝑋) ∈ ℂ)
260258, 259addcld 10652 . . . . . . 7 (𝑋 ∈ ℂ → (((𝑋↑3) − ((3 / 2) · (𝑋↑2))) + ((1 / 2) · 𝑋)) ∈ ℂ)
261191, 260mulcld 10653 . . . . . 6 (𝑋 ∈ ℂ → (2 · (((𝑋↑3) − ((3 / 2) · (𝑋↑2))) + ((1 / 2) · 𝑋))) ∈ ℂ)
262254, 261addcomd 10834 . . . . 5 (𝑋 ∈ ℂ → ((((1 / 5) + (𝑋 − (1 / 2))) + (2 · (((𝑋↑2) − 𝑋) + (1 / 6)))) + (2 · (((𝑋↑3) − ((3 / 2) · (𝑋↑2))) + ((1 / 2) · 𝑋)))) = ((2 · (((𝑋↑3) − ((3 / 2) · (𝑋↑2))) + ((1 / 2) · 𝑋))) + (((1 / 5) + (𝑋 − (1 / 2))) + (2 · (((𝑋↑2) − 𝑋) + (1 / 6))))))
263191, 258, 259adddid 10657 . . . . . . 7 (𝑋 ∈ ℂ → (2 · (((𝑋↑3) − ((3 / 2) · (𝑋↑2))) + ((1 / 2) · 𝑋))) = ((2 · ((𝑋↑3) − ((3 / 2) · (𝑋↑2)))) + (2 · ((1 / 2) · 𝑋))))
264191, 222, 257subdid 11088 . . . . . . . 8 (𝑋 ∈ ℂ → (2 · ((𝑋↑3) − ((3 / 2) · (𝑋↑2)))) = ((2 · (𝑋↑3)) − (2 · ((3 / 2) · (𝑋↑2)))))
26587, 204recidi 11363 . . . . . . . . . 10 (2 · (1 / 2)) = 1
266265oveq1i 7161 . . . . . . . . 9 ((2 · (1 / 2)) · 𝑋) = (1 · 𝑋)
267191, 244, 242mulassd 10656 . . . . . . . . 9 (𝑋 ∈ ℂ → ((2 · (1 / 2)) · 𝑋) = (2 · ((1 / 2) · 𝑋)))
268 mulid2 10632 . . . . . . . . 9 (𝑋 ∈ ℂ → (1 · 𝑋) = 𝑋)
269266, 267, 2683eqtr3a 2884 . . . . . . . 8 (𝑋 ∈ ℂ → (2 · ((1 / 2) · 𝑋)) = 𝑋)
270264, 269oveq12d 7169 . . . . . . 7 (𝑋 ∈ ℂ → ((2 · ((𝑋↑3) − ((3 / 2) · (𝑋↑2)))) + (2 · ((1 / 2) · 𝑋))) = (((2 · (𝑋↑3)) − (2 · ((3 / 2) · (𝑋↑2)))) + 𝑋))
271263, 270eqtrd 2860 . . . . . 6 (𝑋 ∈ ℂ → (2 · (((𝑋↑3) − ((3 / 2) · (𝑋↑2))) + ((1 / 2) · 𝑋))) = (((2 · (𝑋↑3)) − (2 · ((3 / 2) · (𝑋↑2)))) + 𝑋))
272271oveq1d 7166 . . . . 5 (𝑋 ∈ ℂ → ((2 · (((𝑋↑3) − ((3 / 2) · (𝑋↑2))) + ((1 / 2) · 𝑋))) + (((1 / 5) + (𝑋 − (1 / 2))) + (2 · (((𝑋↑2) − 𝑋) + (1 / 6))))) = ((((2 · (𝑋↑3)) − (2 · ((3 / 2) · (𝑋↑2)))) + 𝑋) + (((1 / 5) + (𝑋 − (1 / 2))) + (2 · (((𝑋↑2) − 𝑋) + (1 / 6))))))
273191, 257mulcld 10653 . . . . . . . 8 (𝑋 ∈ ℂ → (2 · ((3 / 2) · (𝑋↑2))) ∈ ℂ)
274223, 273subcld 10989 . . . . . . 7 (𝑋 ∈ ℂ → ((2 · (𝑋↑3)) − (2 · ((3 / 2) · (𝑋↑2)))) ∈ ℂ)
275274, 242, 254addassd 10655 . . . . . 6 (𝑋 ∈ ℂ → ((((2 · (𝑋↑3)) − (2 · ((3 / 2) · (𝑋↑2)))) + 𝑋) + (((1 / 5) + (𝑋 − (1 / 2))) + (2 · (((𝑋↑2) − 𝑋) + (1 / 6))))) = (((2 · (𝑋↑3)) − (2 · ((3 / 2) · (𝑋↑2)))) + (𝑋 + (((1 / 5) + (𝑋 − (1 / 2))) + (2 · (((𝑋↑2) − 𝑋) + (1 / 6)))))))
276242, 254addcld 10652 . . . . . . 7 (𝑋 ∈ ℂ → (𝑋 + (((1 / 5) + (𝑋 − (1 / 2))) + (2 · (((𝑋↑2) − 𝑋) + (1 / 6))))) ∈ ℂ)
277223, 273, 276subsubd 11017 . . . . . 6 (𝑋 ∈ ℂ → ((2 · (𝑋↑3)) − ((2 · ((3 / 2) · (𝑋↑2))) − (𝑋 + (((1 / 5) + (𝑋 − (1 / 2))) + (2 · (((𝑋↑2) − 𝑋) + (1 / 6))))))) = (((2 · (𝑋↑3)) − (2 · ((3 / 2) · (𝑋↑2)))) + (𝑋 + (((1 / 5) + (𝑋 − (1 / 2))) + (2 · (((𝑋↑2) − 𝑋) + (1 / 6)))))))
27858, 87, 204divcan2i 11375 . . . . . . . . . . 11 (2 · (3 / 2)) = 3
279278oveq1i 7161 . . . . . . . . . 10 ((2 · (3 / 2)) · (𝑋↑2)) = (3 · (𝑋↑2))
280191, 256, 224mulassd 10656 . . . . . . . . . 10 (𝑋 ∈ ℂ → ((2 · (3 / 2)) · (𝑋↑2)) = (2 · ((3 / 2) · (𝑋↑2))))
281279, 280syl5reqr 2875 . . . . . . . . 9 (𝑋 ∈ ℂ → (2 · ((3 / 2) · (𝑋↑2))) = (3 · (𝑋↑2)))
282281oveq1d 7166 . . . . . . . 8 (𝑋 ∈ ℂ → ((2 · ((3 / 2) · (𝑋↑2))) − (𝑋 + (((1 / 5) + (𝑋 − (1 / 2))) + (2 · (((𝑋↑2) − 𝑋) + (1 / 6)))))) = ((3 · (𝑋↑2)) − (𝑋 + (((1 / 5) + (𝑋 − (1 / 2))) + (2 · (((𝑋↑2) − 𝑋) + (1 / 6)))))))
283242, 246, 253add12d 10858 . . . . . . . . . 10 (𝑋 ∈ ℂ → (𝑋 + (((1 / 5) + (𝑋 − (1 / 2))) + (2 · (((𝑋↑2) − 𝑋) + (1 / 6))))) = (((1 / 5) + (𝑋 − (1 / 2))) + (𝑋 + (2 · (((𝑋↑2) − 𝑋) + (1 / 6))))))
284191, 247, 251adddid 10657 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑋 ∈ ℂ → (2 · (((𝑋↑2) − 𝑋) + (1 / 6))) = ((2 · ((𝑋↑2) − 𝑋)) + (2 · (1 / 6))))
285191, 224, 242subdid 11088 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑋 ∈ ℂ → (2 · ((𝑋↑2) − 𝑋)) = ((2 · (𝑋↑2)) − (2 · 𝑋)))
286187oveq2i 7162 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (2 / (3 · 2)) = (2 / 6)
28758, 184reccli 11362 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (1 / 3) ∈ ℂ
28858, 87, 287mul32i 10828 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((3 · 2) · (1 / 3)) = ((3 · (1 / 3)) · 2)
28958, 184recidi 11363 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (3 · (1 / 3)) = 1
290289oveq1i 7161 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((3 · (1 / 3)) · 2) = (1 · 2)
29187mulid2i 10638 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (1 · 2) = 2
292290, 291eqtri 2848 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((3 · (1 / 3)) · 2) = 2
293288, 292eqtri 2848 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((3 · 2) · (1 / 3)) = 2
294187, 178eqeltri 2913 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (3 · 2) ∈ ℂ
295187, 249eqnetri 3090 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (3 · 2) ≠ 0
29687, 294, 287, 295divmuli 11386 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((2 / (3 · 2)) = (1 / 3) ↔ ((3 · 2) · (1 / 3)) = 2)
297293, 296mpbir 232 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (2 / (3 · 2)) = (1 / 3)
29887, 178, 249divreci 11377 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (2 / 6) = (2 · (1 / 6))
299286, 297, 2983eqtr3ri 2857 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (2 · (1 / 6)) = (1 / 3)
300299a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑋 ∈ ℂ → (2 · (1 / 6)) = (1 / 3))
301285, 300oveq12d 7169 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑋 ∈ ℂ → ((2 · ((𝑋↑2) − 𝑋)) + (2 · (1 / 6))) = (((2 · (𝑋↑2)) − (2 · 𝑋)) + (1 / 3)))
302284, 301eqtrd 2860 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑋 ∈ ℂ → (2 · (((𝑋↑2) − 𝑋) + (1 / 6))) = (((2 · (𝑋↑2)) − (2 · 𝑋)) + (1 / 3)))
303302oveq2d 7167 . . . . . . . . . . . 12 (𝑋 ∈ ℂ → (𝑋 + (2 · (((𝑋↑2) − 𝑋) + (1 / 6)))) = (𝑋 + (((2 · (𝑋↑2)) − (2 · 𝑋)) + (1 / 3))))
304191, 224mulcld 10653 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑋 ∈ ℂ → (2 · (𝑋↑2)) ∈ ℂ)
305191, 242mulcld 10653 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑋 ∈ ℂ → (2 · 𝑋) ∈ ℂ)
306304, 305subcld 10989 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑋 ∈ ℂ → ((2 · (𝑋↑2)) − (2 · 𝑋)) ∈ ℂ)
307287a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑋 ∈ ℂ → (1 / 3) ∈ ℂ)
308242, 306, 307addassd 10655 . . . . . . . . . . . 12 (𝑋 ∈ ℂ → ((𝑋 + ((2 · (𝑋↑2)) − (2 · 𝑋))) + (1 / 3)) = (𝑋 + (((2 · (𝑋↑2)) − (2 · 𝑋)) + (1 / 3))))
309242, 304, 305addsub12d 11012 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑋 ∈ ℂ → (𝑋 + ((2 · (𝑋↑2)) − (2 · 𝑋))) = ((2 · (𝑋↑2)) + (𝑋 − (2 · 𝑋))))
310309oveq1d 7166 . . . . . . . . . . . 12 (𝑋 ∈ ℂ → ((𝑋 + ((2 · (𝑋↑2)) − (2 · 𝑋))) + (1 / 3)) = (((2 · (𝑋↑2)) + (𝑋 − (2 · 𝑋))) + (1 / 3)))
311303, 308, 3103eqtr2d 2866 . . . . . . . . . . 11 (𝑋 ∈ ℂ → (𝑋 + (2 · (((𝑋↑2) − 𝑋) + (1 / 6)))) = (((2 · (𝑋↑2)) + (𝑋 − (2 · 𝑋))) + (1 / 3)))
312311oveq2d 7167 . . . . . . . . . 10 (𝑋 ∈ ℂ → (((1 / 5) + (𝑋 − (1 / 2))) + (𝑋 + (2 · (((𝑋↑2) − 𝑋) + (1 / 6))))) = (((1 / 5) + (𝑋 − (1 / 2))) + (((2 · (𝑋↑2)) + (𝑋 − (2 · 𝑋))) + (1 / 3))))
313283, 312eqtrd 2860 . . . . . . . . 9 (𝑋 ∈ ℂ → (𝑋 + (((1 / 5) + (𝑋 − (1 / 2))) + (2 · (((𝑋↑2) − 𝑋) + (1 / 6))))) = (((1 / 5) + (𝑋 − (1 / 2))) + (((2 · (𝑋↑2)) + (𝑋 − (2 · 𝑋))) + (1 / 3))))
314313oveq2d 7167 . . . . . . . 8 (𝑋 ∈ ℂ → ((3 · (𝑋↑2)) − (𝑋 + (((1 / 5) + (𝑋 − (1 / 2))) + (2 · (((𝑋↑2) − 𝑋) + (1 / 6)))))) = ((3 · (𝑋↑2)) − (((1 / 5) + (𝑋 − (1 / 2))) + (((2 · (𝑋↑2)) + (𝑋 − (2 · 𝑋))) + (1 / 3)))))
315242, 305subcld 10989 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑋 ∈ ℂ → (𝑋 − (2 · 𝑋)) ∈ ℂ)
316304, 315addcld 10652 . . . . . . . . . . . 12 (𝑋 ∈ ℂ → ((2 · (𝑋↑2)) + (𝑋 − (2 · 𝑋))) ∈ ℂ)
317241, 245, 316, 307add4d 10860 . . . . . . . . . . 11 (𝑋 ∈ ℂ → (((1 / 5) + (𝑋 − (1 / 2))) + (((2 · (𝑋↑2)) + (𝑋 − (2 · 𝑋))) + (1 / 3))) = (((1 / 5) + ((2 · (𝑋↑2)) + (𝑋 − (2 · 𝑋)))) + ((𝑋 − (1 / 2)) + (1 / 3))))
318241, 304, 315add12d 10858 . . . . . . . . . . . 12 (𝑋 ∈ ℂ → ((1 / 5) + ((2 · (𝑋↑2)) + (𝑋 − (2 · 𝑋)))) = ((2 · (𝑋↑2)) + ((1 / 5) + (𝑋 − (2 · 𝑋)))))
319318oveq1d 7166 . . . . . . . . . . 11 (𝑋 ∈ ℂ → (((1 / 5) + ((2 · (𝑋↑2)) + (𝑋 − (2 · 𝑋)))) + ((𝑋 − (1 / 2)) + (1 / 3))) = (((2 · (𝑋↑2)) + ((1 / 5) + (𝑋 − (2 · 𝑋)))) + ((𝑋 − (1 / 2)) + (1 / 3))))
320241, 315addcld 10652 . . . . . . . . . . . 12 (𝑋 ∈ ℂ → ((1 / 5) + (𝑋 − (2 · 𝑋))) ∈ ℂ)
321245, 307addcld 10652 . . . . . . . . . . . 12 (𝑋 ∈ ℂ → ((𝑋 − (1 / 2)) + (1 / 3)) ∈ ℂ)
322304, 320, 321addassd 10655 . . . . . . . . . . 11 (𝑋 ∈ ℂ → (((2 · (𝑋↑2)) + ((1 / 5) + (𝑋 − (2 · 𝑋)))) + ((𝑋 − (1 / 2)) + (1 / 3))) = ((2 · (𝑋↑2)) + (((1 / 5) + (𝑋 − (2 · 𝑋))) + ((𝑋 − (1 / 2)) + (1 / 3)))))
323317, 319, 3223eqtrd 2864 . . . . . . . . . 10 (𝑋 ∈ ℂ → (((1 / 5) + (𝑋 − (1 / 2))) + (((2 · (𝑋↑2)) + (𝑋 − (2 · 𝑋))) + (1 / 3))) = ((2 · (𝑋↑2)) + (((1 / 5) + (𝑋 − (2 · 𝑋))) + ((𝑋 − (1 / 2)) + (1 / 3)))))
324323oveq2d 7167 . . . . . . . . 9 (𝑋 ∈ ℂ → ((3 · (𝑋↑2)) − (((1 / 5) + (𝑋 − (1 / 2))) + (((2 · (𝑋↑2)) + (𝑋 − (2 · 𝑋))) + (1 / 3)))) = ((3 · (𝑋↑2)) − ((2 · (𝑋↑2)) + (((1 / 5) + (𝑋 − (2 · 𝑋))) + ((𝑋 − (1 / 2)) + (1 / 3))))))
325183, 224mulcld 10653 . . . . . . . . . 10 (𝑋 ∈ ℂ → (3 · (𝑋↑2)) ∈ ℂ)
326320, 321addcld 10652 . . . . . . . . . 10 (𝑋 ∈ ℂ → (((1 / 5) + (𝑋 − (2 · 𝑋))) + ((𝑋 − (1 / 2)) + (1 / 3))) ∈ ℂ)
327325, 304, 326subsub4d 11020 . . . . . . . . 9 (𝑋 ∈ ℂ → (((3 · (𝑋↑2)) − (2 · (𝑋↑2))) − (((1 / 5) + (𝑋 − (2 · 𝑋))) + ((𝑋 − (1 / 2)) + (1 / 3)))) = ((3 · (𝑋↑2)) − ((2 · (𝑋↑2)) + (((1 / 5) + (𝑋 − (2 · 𝑋))) + ((𝑋 − (1 / 2)) + (1 / 3))))))
32858, 87, 59, 109subaddrii 10967 . . . . . . . . . . . 12 (3 − 2) = 1
329328oveq1i 7161 . . . . . . . . . . 11 ((3 − 2) · (𝑋↑2)) = (1 · (𝑋↑2))
330183, 191, 224subdird 11089 . . . . . . . . . . 11 (𝑋 ∈ ℂ → ((3 − 2) · (𝑋↑2)) = ((3 · (𝑋↑2)) − (2 · (𝑋↑2))))
331224mulid2d 10651 . . . . . . . . . . 11 (𝑋 ∈ ℂ → (1 · (𝑋↑2)) = (𝑋↑2))
332329, 330, 3313eqtr3a 2884 . . . . . . . . . 10 (𝑋 ∈ ℂ → ((3 · (𝑋↑2)) − (2 · (𝑋↑2))) = (𝑋↑2))
333241, 305, 242subsubd 11017 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑋 ∈ ℂ → ((1 / 5) − ((2 · 𝑋) − 𝑋)) = (((1 / 5) − (2 · 𝑋)) + 𝑋))
334 2txmxeqx 11769 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑋 ∈ ℂ → ((2 · 𝑋) − 𝑋) = 𝑋)
335334oveq2d 7167 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑋 ∈ ℂ → ((1 / 5) − ((2 · 𝑋) − 𝑋)) = ((1 / 5) − 𝑋))
336241, 305, 242subadd23d 11011 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑋 ∈ ℂ → (((1 / 5) − (2 · 𝑋)) + 𝑋) = ((1 / 5) + (𝑋 − (2 · 𝑋))))
337333, 335, 3363eqtr3d 2868 . . . . . . . . . . . 12 (𝑋 ∈ ℂ → ((1 / 5) − 𝑋) = ((1 / 5) + (𝑋 − (2 · 𝑋))))
338242, 244, 307subsubd 11017 . . . . . . . . . . . 12 (𝑋 ∈ ℂ → (𝑋 − ((1 / 2) − (1 / 3))) = ((𝑋 − (1 / 2)) + (1 / 3)))
339337, 338oveq12d 7169 . . . . . . . . . . 11 (𝑋 ∈ ℂ → (((1 / 5) − 𝑋) + (𝑋 − ((1 / 2) − (1 / 3)))) = (((1 / 5) + (𝑋 − (2 · 𝑋))) + ((𝑋 − (1 / 2)) + (1 / 3))))
340243, 287subcli 10954 . . . . . . . . . . . . . 14 ((1 / 2) − (1 / 3)) ∈ ℂ
341340a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑋 ∈ ℂ → ((1 / 2) − (1 / 3)) ∈ ℂ)
342241, 242, 341npncand 11013 . . . . . . . . . . . 12 (𝑋 ∈ ℂ → (((1 / 5) − 𝑋) + (𝑋 − ((1 / 2) − (1 / 3)))) = ((1 / 5) − ((1 / 2) − (1 / 3))))
343 halfthird 12233 . . . . . . . . . . . . . 14 ((1 / 2) − (1 / 3)) = (1 / 6)
344343oveq2i 7162 . . . . . . . . . . . . 13 ((1 / 5) − ((1 / 2) − (1 / 3))) = ((1 / 5) − (1 / 6))
345 5recm6rec 12234 . . . . . . . . . . . . 13 ((1 / 5) − (1 / 6)) = (1 / 30)
346344, 345eqtri 2848 . . . . . . . . . . . 12 ((1 / 5) − ((1 / 2) − (1 / 3))) = (1 / 30)
347342, 346syl6eq 2876 . . . . . . . . . . 11 (𝑋 ∈ ℂ → (((1 / 5) − 𝑋) + (𝑋 − ((1 / 2) − (1 / 3)))) = (1 / 30))
348339, 347eqtr3d 2862 . . . . . . . . . 10 (𝑋 ∈ ℂ → (((1 / 5) + (𝑋 − (2 · 𝑋))) + ((𝑋 − (1 / 2)) + (1 / 3))) = (1 / 30))
349332, 348oveq12d 7169 . . . . . . . . 9 (𝑋 ∈ ℂ → (((3 · (𝑋↑2)) − (2 · (𝑋↑2))) − (((1 / 5) + (𝑋 − (2 · 𝑋))) + ((𝑋 − (1 / 2)) + (1 / 3)))) = ((𝑋↑2) − (1 / 30)))
350324, 327, 3493eqtr2d 2866 . . . . . . . 8 (𝑋 ∈ ℂ → ((3 · (𝑋↑2)) − (((1 / 5) + (𝑋 − (1 / 2))) + (((2 · (𝑋↑2)) + (𝑋 − (2 · 𝑋))) + (1 / 3)))) = ((𝑋↑2) − (1 / 30)))
351282, 314, 3503eqtrd 2864 . . . . . . 7 (𝑋 ∈ ℂ → ((2 · ((3 / 2) · (𝑋↑2))) − (𝑋 + (((1 / 5) + (𝑋 − (1 / 2))) + (2 · (((𝑋↑2) − 𝑋) + (1 / 6)))))) = ((𝑋↑2) − (1 / 30)))
352351oveq2d 7167 . . . . . 6 (𝑋 ∈ ℂ → ((2 · (𝑋↑3)) − ((2 · ((3 / 2) · (𝑋↑2))) − (𝑋 + (((1 / 5) + (𝑋 − (1 / 2))) + (2 · (((𝑋↑2) − 𝑋) + (1 / 6))))))) = ((2 · (𝑋↑3)) − ((𝑋↑2) − (1 / 30))))
353275, 277, 3523eqtr2d 2866 . . . . 5 (𝑋 ∈ ℂ → ((((2 · (𝑋↑3)) − (2 · ((3 / 2) · (𝑋↑2)))) + 𝑋) + (((1 / 5) + (𝑋 − (1 / 2))) + (2 · (((𝑋↑2) − 𝑋) + (1 / 6))))) = ((2 · (𝑋↑3)) − ((𝑋↑2) − (1 / 30))))
354262, 272, 3533eqtrd 2864 . . . 4 (𝑋 ∈ ℂ → ((((1 / 5) + (𝑋 − (1 / 2))) + (2 · (((𝑋↑2) − 𝑋) + (1 / 6)))) + (2 · (((𝑋↑3) − ((3 / 2) · (𝑋↑2))) + ((1 / 2) · 𝑋)))) = ((2 · (𝑋↑3)) − ((𝑋↑2) − (1 / 30))))
355354oveq2d 7167 . . 3 (𝑋 ∈ ℂ → ((𝑋↑4) − ((((1 / 5) + (𝑋 − (1 / 2))) + (2 · (((𝑋↑2) − 𝑋) + (1 / 6)))) + (2 · (((𝑋↑3) − ((3 / 2) · (𝑋↑2))) + ((1 / 2) · 𝑋))))) = ((𝑋↑4) − ((2 · (𝑋↑3)) − ((𝑋↑2) − (1 / 30)))))
356220, 223subcld 10989 . . . 4 (𝑋 ∈ ℂ → ((𝑋↑4) − (2 · (𝑋↑3))) ∈ ℂ)
357356, 224, 238addsubassd 11009 . . 3 (𝑋 ∈ ℂ → ((((𝑋↑4) − (2 · (𝑋↑3))) + (𝑋↑2)) − (1 / 30)) = (((𝑋↑4) − (2 · (𝑋↑3))) + ((𝑋↑2) − (1 / 30))))
358240, 355, 3573eqtr4d 2870 . 2 (𝑋 ∈ ℂ → ((𝑋↑4) − ((((1 / 5) + (𝑋 − (1 / 2))) + (2 · (((𝑋↑2) − 𝑋) + (1 / 6)))) + (2 · (((𝑋↑3) − ((3 / 2) · (𝑋↑2))) + ((1 / 2) · 𝑋))))) = ((((𝑋↑4) − (2 · (𝑋↑3))) + (𝑋↑2)) − (1 / 30)))
3593, 218, 3583eqtrd 2864 1 (𝑋 ∈ ℂ → (4 BernPoly 𝑋) = ((((𝑋↑4) − (2 · (𝑋↑3))) + (𝑋↑2)) − (1 / 30)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1530  wcel 2106  wne 3020  wss 3939   class class class wbr 5062  cfv 6351  (class class class)co 7151  cc 10527  cr 10528  0cc0 10529  1c1 10530   + caddc 10532   · cmul 10534   < clt 10667  cmin 10862   / cdiv 11289  cn 11630  2c2 11684  3c3 11685  4c4 11686  5c5 11687  6c6 11688  0cn0 11889  cz 11973  cdc 12090  cuz 12235  ...cfz 12885  cexp 13422  Ccbc 13655  Σcsu 15035   BernPoly cbp 15392
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2152  ax-12 2167  ax-ext 2796  ax-rep 5186  ax-sep 5199  ax-nul 5206  ax-pow 5262  ax-pr 5325  ax-un 7454  ax-inf2 9096  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606  ax-pre-sup 10607
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-fal 1543  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2615  df-eu 2649  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2897  df-nfc 2967  df-ne 3021  df-nel 3128  df-ral 3147  df-rex 3148  df-reu 3149  df-rmo 3150  df-rab 3151  df-v 3501  df-sbc 3776  df-csb 3887  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3955  df-pss 3957  df-nul 4295  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4564  df-pr 4566  df-tp 4568  df-op 4570  df-uni 4837  df-int 4874  df-iun 4918  df-br 5063  df-opab 5125  df-mpt 5143  df-tr 5169  df-id 5458  df-eprel 5463  df-po 5472  df-so 5473  df-fr 5512  df-se 5513  df-we 5514  df-xp 5559  df-rel 5560  df-cnv 5561  df-co 5562  df-dm 5563  df-rn 5564  df-res 5565  df-ima 5566  df-pred 6145  df-ord 6191  df-on 6192  df-lim 6193  df-suc 6194  df-iota 6311  df-fun 6353  df-fn 6354  df-f 6355  df-f1 6356  df-fo 6357  df-f1o 6358  df-fv 6359  df-isom 6360  df-riota 7109  df-ov 7154  df-oprab 7155  df-mpo 7156  df-om 7572  df-1st 7683  df-2nd 7684  df-wrecs 7941  df-recs 8002  df-rdg 8040  df-1o 8096  df-oadd 8100  df-er 8282  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-fin 8505  df-sup 8898  df-oi 8966  df-card 9360  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-div 11290  df-nn 11631  df-2 11692  df-3 11693  df-4 11694  df-5 11695  df-6 11696  df-7 11697  df-8 11698  df-9 11699  df-n0 11890  df-z 11974  df-dec 12091  df-uz 12236  df-rp 12383  df-fz 12886  df-fzo 13027  df-seq 13363  df-exp 13423  df-fac 13627  df-bc 13656  df-hash 13684  df-cj 14451  df-re 14452  df-im 14453  df-sqrt 14587  df-abs 14588  df-clim 14838  df-sum 15036  df-bpoly 15393
This theorem is referenced by:  fsumcube  15406
  Copyright terms: Public domain W3C validator