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Theorem bpoly4 15982

Description: The Bernoulli polynomials at four. (Contributed by Scott Fenton, 8-Jul-2015.)

**Assertion**
Ref	Expression
bpoly4	⊢ (𝑋 ∈ ℂ → (4 BernPoly 𝑋) = ((((𝑋↑4) − (2 · (𝑋↑3))) + (𝑋↑2)) − (1 / ;30)))

Proof of Theorem bpoly4 Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		4nn0 12420	. . 3 ⊢ 4 ∈ ℕ₀
2		bpolyval 15972	. . 3 ⊢ ((4 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑋 ∈ ℂ) → (4 BernPoly 𝑋) = ((𝑋↑4) − Σ𝑘 ∈ (0...(4 − 1))((4C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((4 − 𝑘) + 1)))))
3	1, 2	mpan 690	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ ℂ → (4 BernPoly 𝑋) = ((𝑋↑4) − Σ𝑘 ∈ (0...(4 − 1))((4C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((4 − 𝑘) + 1)))))
4		4m1e3 12269	. . . . . . 7 ⊢ (4 − 1) = 3
5		df-3 12209	. . . . . . 7 ⊢ 3 = (2 + 1)
6	4, 5	eqtri 2759	. . . . . 6 ⊢ (4 − 1) = (2 + 1)
7	6	oveq2i 7369	. . . . 5 ⊢ (0...(4 − 1)) = (0...(2 + 1))
8	7	sumeq1i 15620	. . . 4 ⊢ Σ𝑘 ∈ (0...(4 − 1))((4C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((4 − 𝑘) + 1))) = Σ𝑘 ∈ (0...(2 + 1))((4C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((4 − 𝑘) + 1)))
9		2eluzge0 12794	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ (ℤ_≥‘0)
10	9	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ ℂ → 2 ∈ (ℤ_≥‘0))
11		elfzelz 13440	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ (0...(2 + 1)) → 𝑘 ∈ ℤ)
12		bccl 14245	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((4 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (4C𝑘) ∈ ℕ₀)
13	1, 11, 12	sylancr 587	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ (0...(2 + 1)) → (4C𝑘) ∈ ℕ₀)
14	13	nn0cnd 12464	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ (0...(2 + 1)) → (4C𝑘) ∈ ℂ)
15	14	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (0...(2 + 1))) → (4C𝑘) ∈ ℂ)
16		elfznn0 13536	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ (0...(2 + 1)) → 𝑘 ∈ ℕ₀)
17		bpolycl 15975	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑋 ∈ ℂ) → (𝑘 BernPoly 𝑋) ∈ ℂ)
18	16, 17	sylan 580	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑘 ∈ (0...(2 + 1)) ∧ 𝑋 ∈ ℂ) → (𝑘 BernPoly 𝑋) ∈ ℂ)
19	18	ancoms 458	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (0...(2 + 1))) → (𝑘 BernPoly 𝑋) ∈ ℂ)
20		4re 12229	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 4 ∈ ℝ
21	20	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ (0...(2 + 1)) → 4 ∈ ℝ)
22	11	zred 12596	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ (0...(2 + 1)) → 𝑘 ∈ ℝ)
23	21, 22	resubcld 11565	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ (0...(2 + 1)) → (4 − 𝑘) ∈ ℝ)
24		peano2re 11306	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((4 − 𝑘) ∈ ℝ → ((4 − 𝑘) + 1) ∈ ℝ)
25	23, 24	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ (0...(2 + 1)) → ((4 − 𝑘) + 1) ∈ ℝ)
26	25	recnd 11160	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ (0...(2 + 1)) → ((4 − 𝑘) + 1) ∈ ℂ)
27	26	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (0...(2 + 1))) → ((4 − 𝑘) + 1) ∈ ℂ)
28		1red 11133	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ (0...(2 + 1)) → 1 ∈ ℝ)
29	5	oveq2i 7369	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (0...3) = (0...(2 + 1))
30	29	eleq2i 2828	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 ∈ (0...3) ↔ 𝑘 ∈ (0...(2 + 1)))
31		elfzelz 13440	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑘 ∈ (0...3) → 𝑘 ∈ ℤ)
32	31	zred 12596	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 ∈ (0...3) → 𝑘 ∈ ℝ)
33		3re 12225	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 3 ∈ ℝ
34	33	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 ∈ (0...3) → 3 ∈ ℝ)
35	20	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 ∈ (0...3) → 4 ∈ ℝ)
36		elfzle2 13444	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 ∈ (0...3) → 𝑘 ≤ 3)
37		3lt4 12314	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 3 < 4
38	37	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 ∈ (0...3) → 3 < 4)
39	32, 34, 35, 36, 38	lelttrd 11291	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 ∈ (0...3) → 𝑘 < 4)
40	30, 39	sylbir 235	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ (0...(2 + 1)) → 𝑘 < 4)
41	22, 21	posdifd 11724	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ (0...(2 + 1)) → (𝑘 < 4 ↔ 0 < (4 − 𝑘)))
42	40, 41	mpbid 232	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ (0...(2 + 1)) → 0 < (4 − 𝑘))
43		0lt1 11659	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 < 1
44	43	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ (0...(2 + 1)) → 0 < 1)
45	23, 28, 42, 44	addgt0d 11712	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ (0...(2 + 1)) → 0 < ((4 − 𝑘) + 1))
46	45	gt0ne0d 11701	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ (0...(2 + 1)) → ((4 − 𝑘) + 1) ≠ 0)
47	46	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (0...(2 + 1))) → ((4 − 𝑘) + 1) ≠ 0)
48	19, 27, 47	divcld 11917	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (0...(2 + 1))) → ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((4 − 𝑘) + 1)) ∈ ℂ)
49	15, 48	mulcld 11152	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (0...(2 + 1))) → ((4C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((4 − 𝑘) + 1))) ∈ ℂ)
50	5	eqeq2i 2749	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 3 ↔ 𝑘 = (2 + 1))
51		oveq2 7366	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 3 → (4C𝑘) = (4C3))
52		4bc3eq4 14251	. . . . . . . . 9 ⊢ (4C3) = 4
53	51, 52	eqtrdi 2787	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 3 → (4C𝑘) = 4)
54		oveq1 7365	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 3 → (𝑘 BernPoly 𝑋) = (3 BernPoly 𝑋))
55		oveq2 7366	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 = 3 → (4 − 𝑘) = (4 − 3))
56	55	oveq1d 7373	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = 3 → ((4 − 𝑘) + 1) = ((4 − 3) + 1))
57		4cn 12230	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 4 ∈ ℂ
58		3cn 12226	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 3 ∈ ℂ
59		ax-1cn 11084	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 1 ∈ ℂ
60		3p1e4 12285	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (3 + 1) = 4
61	57, 58, 59, 60	subaddrii 11470	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (4 − 3) = 1
62	61	oveq1i 7368	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((4 − 3) + 1) = (1 + 1)
63		df-2 12208	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 = (1 + 1)
64	62, 63	eqtr4i 2762	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((4 − 3) + 1) = 2
65	56, 64	eqtrdi 2787	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 3 → ((4 − 𝑘) + 1) = 2)
66	54, 65	oveq12d 7376	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 3 → ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((4 − 𝑘) + 1)) = ((3 BernPoly 𝑋) / 2))
67	53, 66	oveq12d 7376	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 3 → ((4C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((4 − 𝑘) + 1))) = (4 · ((3 BernPoly 𝑋) / 2)))
68	50, 67	sylbir 235	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = (2 + 1) → ((4C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((4 − 𝑘) + 1))) = (4 · ((3 BernPoly 𝑋) / 2)))
69	10, 49, 68	fsump1 15679	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ ℂ → Σ𝑘 ∈ (0...(2 + 1))((4C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((4 − 𝑘) + 1))) = (Σ𝑘 ∈ (0...2)((4C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((4 − 𝑘) + 1))) + (4 · ((3 BernPoly 𝑋) / 2))))
70	63	oveq2i 7369	. . . . . . . 8 ⊢ (0...2) = (0...(1 + 1))
71	70	sumeq1i 15620	. . . . . . 7 ⊢ Σ𝑘 ∈ (0...2)((4C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((4 − 𝑘) + 1))) = Σ𝑘 ∈ (0...(1 + 1))((4C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((4 − 𝑘) + 1)))
72		1eluzge0 12793	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ∈ (ℤ_≥‘0)
73	72	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑋 ∈ ℂ → 1 ∈ (ℤ_≥‘0))
74		fzssp1 13483	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (0...(1 + 1)) ⊆ (0...((1 + 1) + 1))
75	63	oveq1i 7368	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (2 + 1) = ((1 + 1) + 1)
76	75	oveq2i 7369	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (0...(2 + 1)) = (0...((1 + 1) + 1))
77	74, 76	sseqtrri 3983	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0...(1 + 1)) ⊆ (0...(2 + 1))
78	77	sseli 3929	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ (0...(1 + 1)) → 𝑘 ∈ (0...(2 + 1)))
79	78, 49	sylan2 593	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (0...(1 + 1))) → ((4C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((4 − 𝑘) + 1))) ∈ ℂ)
80	63	eqeq2i 2749	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = 2 ↔ 𝑘 = (1 + 1))
81		oveq2 7366	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 = 2 → (4C𝑘) = (4C2))
82		4bc2eq6 14252	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (4C2) = 6
83	81, 82	eqtrdi 2787	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 = 2 → (4C𝑘) = 6)
84		oveq1 7365	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 = 2 → (𝑘 BernPoly 𝑋) = (2 BernPoly 𝑋))
85		oveq2 7366	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 = 2 → (4 − 𝑘) = (4 − 2))
86	85	oveq1d 7373	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 = 2 → ((4 − 𝑘) + 1) = ((4 − 2) + 1))
87		2cn 12220	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 2 ∈ ℂ
88		2p2e4 12275	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (2 + 2) = 4
89	57, 87, 87, 88	subaddrii 11470	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (4 − 2) = 2
90	89	oveq1i 7368	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((4 − 2) + 1) = (2 + 1)
91	90, 5	eqtr4i 2762	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((4 − 2) + 1) = 3
92	86, 91	eqtrdi 2787	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 = 2 → ((4 − 𝑘) + 1) = 3)
93	84, 92	oveq12d 7376	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 = 2 → ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((4 − 𝑘) + 1)) = ((2 BernPoly 𝑋) / 3))
94	83, 93	oveq12d 7376	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = 2 → ((4C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((4 − 𝑘) + 1))) = (6 · ((2 BernPoly 𝑋) / 3)))
95	80, 94	sylbir 235	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = (1 + 1) → ((4C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((4 − 𝑘) + 1))) = (6 · ((2 BernPoly 𝑋) / 3)))
96	73, 79, 95	fsump1 15679	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 ∈ ℂ → Σ𝑘 ∈ (0...(1 + 1))((4C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((4 − 𝑘) + 1))) = (Σ𝑘 ∈ (0...1)((4C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((4 − 𝑘) + 1))) + (6 · ((2 BernPoly 𝑋) / 3))))
97		0p1e1 12262	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (0 + 1) = 1
98	97	oveq2i 7369	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0...(0 + 1)) = (0...1)
99	98	sumeq1i 15620	. . . . . . . . . 10 ⊢ Σ𝑘 ∈ (0...(0 + 1))((4C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((4 − 𝑘) + 1))) = Σ𝑘 ∈ (0...1)((4C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((4 − 𝑘) + 1)))
100		0nn0 12416	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 0 ∈ ℕ₀
101		nn0uz 12789	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ℕ₀ = (ℤ_≥‘0)
102	100, 101	eleqtri 2834	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 0 ∈ (ℤ_≥‘0)
103	102	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑋 ∈ ℂ → 0 ∈ (ℤ_≥‘0))
104		3nn 12224	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 3 ∈ ℕ
105		nnuz 12790	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ℕ = (ℤ_≥‘1)
106	104, 105	eleqtri 2834	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 3 ∈ (ℤ_≥‘1)
107		fzss2 13480	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (3 ∈ (ℤ_≥‘1) → (0...1) ⊆ (0...3))
108	106, 107	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (0...1) ⊆ (0...3)
109		2p1e3 12282	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (2 + 1) = 3
110	109	oveq2i 7369	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (0...(2 + 1)) = (0...3)
111	108, 98, 110	3sstr4i 3985	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (0...(0 + 1)) ⊆ (0...(2 + 1))
112	111	sseli 3929	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 ∈ (0...(0 + 1)) → 𝑘 ∈ (0...(2 + 1)))
113	112, 49	sylan2 593	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (0...(0 + 1))) → ((4C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((4 − 𝑘) + 1))) ∈ ℂ)
114	97	eqeq2i 2749	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 = (0 + 1) ↔ 𝑘 = 1)
115		oveq2 7366	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑘 = 1 → (4C𝑘) = (4C1))
116		bcn1 14236	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (4 ∈ ℕ₀ → (4C1) = 4)
117	1, 116	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (4C1) = 4
118	115, 117	eqtrdi 2787	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 = 1 → (4C𝑘) = 4)
119		oveq1 7365	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑘 = 1 → (𝑘 BernPoly 𝑋) = (1 BernPoly 𝑋))
120		oveq2 7366	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑘 = 1 → (4 − 𝑘) = (4 − 1))
121	120	oveq1d 7373	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 = 1 → ((4 − 𝑘) + 1) = ((4 − 1) + 1))
122	4	oveq1i 7368	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((4 − 1) + 1) = (3 + 1)
123		df-4 12210	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 4 = (3 + 1)
124	122, 123	eqtr4i 2762	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((4 − 1) + 1) = 4
125	121, 124	eqtrdi 2787	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑘 = 1 → ((4 − 𝑘) + 1) = 4)
126	119, 125	oveq12d 7376	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 = 1 → ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((4 − 𝑘) + 1)) = ((1 BernPoly 𝑋) / 4))
127	118, 126	oveq12d 7376	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 = 1 → ((4C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((4 − 𝑘) + 1))) = (4 · ((1 BernPoly 𝑋) / 4)))
128	114, 127	sylbi 217	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 = (0 + 1) → ((4C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((4 − 𝑘) + 1))) = (4 · ((1 BernPoly 𝑋) / 4)))
129	103, 113, 128	fsump1 15679	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑋 ∈ ℂ → Σ𝑘 ∈ (0...(0 + 1))((4C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((4 − 𝑘) + 1))) = (Σ𝑘 ∈ (0...0)((4C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((4 − 𝑘) + 1))) + (4 · ((1 BernPoly 𝑋) / 4))))
130		0z 12499	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 0 ∈ ℤ
131	59	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑋 ∈ ℂ → 1 ∈ ℂ)
132		bpolycl 15975	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((0 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑋 ∈ ℂ) → (0 BernPoly 𝑋) ∈ ℂ)
133	100, 132	mpan 690	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑋 ∈ ℂ → (0 BernPoly 𝑋) ∈ ℂ)
134		5cn 12233	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 5 ∈ ℂ
135	134	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑋 ∈ ℂ → 5 ∈ ℂ)
136		0re 11134	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 0 ∈ ℝ
137		5pos 12254	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 0 < 5
138	136, 137	gtneii 11245	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 5 ≠ 0
139	138	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑋 ∈ ℂ → 5 ≠ 0)
140	133, 135, 139	divcld 11917	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑋 ∈ ℂ → ((0 BernPoly 𝑋) / 5) ∈ ℂ)
141	131, 140	mulcld 11152	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑋 ∈ ℂ → (1 · ((0 BernPoly 𝑋) / 5)) ∈ ℂ)
142		oveq2 7366	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑘 = 0 → (4C𝑘) = (4C0))
143		bcn0 14233	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (4 ∈ ℕ₀ → (4C0) = 1)
144	1, 143	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (4C0) = 1
145	142, 144	eqtrdi 2787	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 = 0 → (4C𝑘) = 1)
146		oveq1 7365	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑘 = 0 → (𝑘 BernPoly 𝑋) = (0 BernPoly 𝑋))
147		oveq2 7366	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑘 = 0 → (4 − 𝑘) = (4 − 0))
148	147	oveq1d 7373	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑘 = 0 → ((4 − 𝑘) + 1) = ((4 − 0) + 1))
149	57	subid1i 11453	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (4 − 0) = 4
150	149	oveq1i 7368	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((4 − 0) + 1) = (4 + 1)
151		4p1e5 12286	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (4 + 1) = 5
152	150, 151	eqtri 2759	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((4 − 0) + 1) = 5
153	148, 152	eqtrdi 2787	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑘 = 0 → ((4 − 𝑘) + 1) = 5)
154	146, 153	oveq12d 7376	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 = 0 → ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((4 − 𝑘) + 1)) = ((0 BernPoly 𝑋) / 5))
155	145, 154	oveq12d 7376	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑘 = 0 → ((4C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((4 − 𝑘) + 1))) = (1 · ((0 BernPoly 𝑋) / 5)))
156	155	fsum1 15670	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ (1 · ((0 BernPoly 𝑋) / 5)) ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ (0...0)((4C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((4 − 𝑘) + 1))) = (1 · ((0 BernPoly 𝑋) / 5)))
157	130, 141, 156	sylancr 587	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑋 ∈ ℂ → Σ𝑘 ∈ (0...0)((4C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((4 − 𝑘) + 1))) = (1 · ((0 BernPoly 𝑋) / 5)))
158		bpoly0 15973	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑋 ∈ ℂ → (0 BernPoly 𝑋) = 1)
159	158	oveq1d 7373	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑋 ∈ ℂ → ((0 BernPoly 𝑋) / 5) = (1 / 5))
160	159	oveq2d 7374	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑋 ∈ ℂ → (1 · ((0 BernPoly 𝑋) / 5)) = (1 · (1 / 5)))
161	134, 138	reccli 11871	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (1 / 5) ∈ ℂ
162	161	mullidi 11137	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (1 · (1 / 5)) = (1 / 5)
163	160, 162	eqtrdi 2787	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑋 ∈ ℂ → (1 · ((0 BernPoly 𝑋) / 5)) = (1 / 5))
164	157, 163	eqtrd 2771	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑋 ∈ ℂ → Σ𝑘 ∈ (0...0)((4C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((4 − 𝑘) + 1))) = (1 / 5))
165		1nn0 12417	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 1 ∈ ℕ₀
166		bpolycl 15975	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((1 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑋 ∈ ℂ) → (1 BernPoly 𝑋) ∈ ℂ)
167	165, 166	mpan 690	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑋 ∈ ℂ → (1 BernPoly 𝑋) ∈ ℂ)
168		nn0cn 12411	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (4 ∈ ℕ₀ → 4 ∈ ℂ)
169	1, 168	mp1i 13	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑋 ∈ ℂ → 4 ∈ ℂ)
170		4ne0 12253	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 4 ≠ 0
171	170	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑋 ∈ ℂ → 4 ≠ 0)
172	167, 169, 171	divcan2d 11919	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑋 ∈ ℂ → (4 · ((1 BernPoly 𝑋) / 4)) = (1 BernPoly 𝑋))
173		bpoly1 15974	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑋 ∈ ℂ → (1 BernPoly 𝑋) = (𝑋 − (1 / 2)))
174	172, 173	eqtrd 2771	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑋 ∈ ℂ → (4 · ((1 BernPoly 𝑋) / 4)) = (𝑋 − (1 / 2)))
175	164, 174	oveq12d 7376	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑋 ∈ ℂ → (Σ𝑘 ∈ (0...0)((4C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((4 − 𝑘) + 1))) + (4 · ((1 BernPoly 𝑋) / 4))) = ((1 / 5) + (𝑋 − (1 / 2))))
176	129, 175	eqtrd 2771	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑋 ∈ ℂ → Σ𝑘 ∈ (0...(0 + 1))((4C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((4 − 𝑘) + 1))) = ((1 / 5) + (𝑋 − (1 / 2))))
177	99, 176	eqtr3id 2785	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑋 ∈ ℂ → Σ𝑘 ∈ (0...1)((4C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((4 − 𝑘) + 1))) = ((1 / 5) + (𝑋 − (1 / 2))))
178		6cn 12236	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 6 ∈ ℂ
179	178	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑋 ∈ ℂ → 6 ∈ ℂ)
180		2nn0 12418	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ∈ ℕ₀
181		bpolycl 15975	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((2 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑋 ∈ ℂ) → (2 BernPoly 𝑋) ∈ ℂ)
182	180, 181	mpan 690	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑋 ∈ ℂ → (2 BernPoly 𝑋) ∈ ℂ)
183	58	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑋 ∈ ℂ → 3 ∈ ℂ)
184		3ne0 12251	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 3 ≠ 0
185	184	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑋 ∈ ℂ → 3 ≠ 0)
186	179, 182, 183, 185	div12d 11953	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑋 ∈ ℂ → (6 · ((2 BernPoly 𝑋) / 3)) = ((2 BernPoly 𝑋) · (6 / 3)))
187		3t2e6 12306	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (3 · 2) = 6
188	178, 58, 87, 184	divmuli 11895	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((6 / 3) = 2 ↔ (3 · 2) = 6)
189	187, 188	mpbir 231	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (6 / 3) = 2
190	189	oveq2i 7369	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((2 BernPoly 𝑋) · (6 / 3)) = ((2 BernPoly 𝑋) · 2)
191	87	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑋 ∈ ℂ → 2 ∈ ℂ)
192	182, 191	mulcomd 11153	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑋 ∈ ℂ → ((2 BernPoly 𝑋) · 2) = (2 · (2 BernPoly 𝑋)))
193		bpoly2 15980	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑋 ∈ ℂ → (2 BernPoly 𝑋) = (((𝑋↑2) − 𝑋) + (1 / 6)))
194	193	oveq2d 7374	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑋 ∈ ℂ → (2 · (2 BernPoly 𝑋)) = (2 · (((𝑋↑2) − 𝑋) + (1 / 6))))
195	192, 194	eqtrd 2771	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑋 ∈ ℂ → ((2 BernPoly 𝑋) · 2) = (2 · (((𝑋↑2) − 𝑋) + (1 / 6))))
196	190, 195	eqtrid 2783	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑋 ∈ ℂ → ((2 BernPoly 𝑋) · (6 / 3)) = (2 · (((𝑋↑2) − 𝑋) + (1 / 6))))
197	186, 196	eqtrd 2771	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑋 ∈ ℂ → (6 · ((2 BernPoly 𝑋) / 3)) = (2 · (((𝑋↑2) − 𝑋) + (1 / 6))))
198	177, 197	oveq12d 7376	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 ∈ ℂ → (Σ𝑘 ∈ (0...1)((4C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((4 − 𝑘) + 1))) + (6 · ((2 BernPoly 𝑋) / 3))) = (((1 / 5) + (𝑋 − (1 / 2))) + (2 · (((𝑋↑2) − 𝑋) + (1 / 6)))))
199	96, 198	eqtrd 2771	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 ∈ ℂ → Σ𝑘 ∈ (0...(1 + 1))((4C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((4 − 𝑘) + 1))) = (((1 / 5) + (𝑋 − (1 / 2))) + (2 · (((𝑋↑2) − 𝑋) + (1 / 6)))))
200	71, 199	eqtrid 2783	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ ℂ → Σ𝑘 ∈ (0...2)((4C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((4 − 𝑘) + 1))) = (((1 / 5) + (𝑋 − (1 / 2))) + (2 · (((𝑋↑2) − 𝑋) + (1 / 6)))))
201		3nn0 12419	. . . . . . . . 9 ⊢ 3 ∈ ℕ₀
202		bpolycl 15975	. . . . . . . . 9 ⊢ ((3 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑋 ∈ ℂ) → (3 BernPoly 𝑋) ∈ ℂ)
203	201, 202	mpan 690	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 ∈ ℂ → (3 BernPoly 𝑋) ∈ ℂ)
204		2ne0 12249	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ≠ 0
205	204	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 ∈ ℂ → 2 ≠ 0)
206	169, 203, 191, 205	div12d 11953	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 ∈ ℂ → (4 · ((3 BernPoly 𝑋) / 2)) = ((3 BernPoly 𝑋) · (4 / 2)))
207		4div2e2 12310	. . . . . . . . 9 ⊢ (4 / 2) = 2
208	207	oveq2i 7369	. . . . . . . 8 ⊢ ((3 BernPoly 𝑋) · (4 / 2)) = ((3 BernPoly 𝑋) · 2)
209	203, 191	mulcomd 11153	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑋 ∈ ℂ → ((3 BernPoly 𝑋) · 2) = (2 · (3 BernPoly 𝑋)))
210		bpoly3 15981	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑋 ∈ ℂ → (3 BernPoly 𝑋) = (((𝑋↑3) − ((3 / 2) · (𝑋↑2))) + ((1 / 2) · 𝑋)))
211	210	oveq2d 7374	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑋 ∈ ℂ → (2 · (3 BernPoly 𝑋)) = (2 · (((𝑋↑3) − ((3 / 2) · (𝑋↑2))) + ((1 / 2) · 𝑋))))
212	209, 211	eqtrd 2771	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 ∈ ℂ → ((3 BernPoly 𝑋) · 2) = (2 · (((𝑋↑3) − ((3 / 2) · (𝑋↑2))) + ((1 / 2) · 𝑋))))
213	208, 212	eqtrid 2783	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 ∈ ℂ → ((3 BernPoly 𝑋) · (4 / 2)) = (2 · (((𝑋↑3) − ((3 / 2) · (𝑋↑2))) + ((1 / 2) · 𝑋))))
214	206, 213	eqtrd 2771	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ ℂ → (4 · ((3 BernPoly 𝑋) / 2)) = (2 · (((𝑋↑3) − ((3 / 2) · (𝑋↑2))) + ((1 / 2) · 𝑋))))
215	200, 214	oveq12d 7376	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ ℂ → (Σ𝑘 ∈ (0...2)((4C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((4 − 𝑘) + 1))) + (4 · ((3 BernPoly 𝑋) / 2))) = ((((1 / 5) + (𝑋 − (1 / 2))) + (2 · (((𝑋↑2) − 𝑋) + (1 / 6)))) + (2 · (((𝑋↑3) − ((3 / 2) · (𝑋↑2))) + ((1 / 2) · 𝑋)))))
216	69, 215	eqtrd 2771	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ ℂ → Σ𝑘 ∈ (0...(2 + 1))((4C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((4 − 𝑘) + 1))) = ((((1 / 5) + (𝑋 − (1 / 2))) + (2 · (((𝑋↑2) − 𝑋) + (1 / 6)))) + (2 · (((𝑋↑3) − ((3 / 2) · (𝑋↑2))) + ((1 / 2) · 𝑋)))))
217	8, 216	eqtrid 2783	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ ℂ → Σ𝑘 ∈ (0...(4 − 1))((4C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((4 − 𝑘) + 1))) = ((((1 / 5) + (𝑋 − (1 / 2))) + (2 · (((𝑋↑2) − 𝑋) + (1 / 6)))) + (2 · (((𝑋↑3) − ((3 / 2) · (𝑋↑2))) + ((1 / 2) · 𝑋)))))
218	217	oveq2d 7374	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ ℂ → ((𝑋↑4) − Σ𝑘 ∈ (0...(4 − 1))((4C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((4 − 𝑘) + 1)))) = ((𝑋↑4) − ((((1 / 5) + (𝑋 − (1 / 2))) + (2 · (((𝑋↑2) − 𝑋) + (1 / 6)))) + (2 · (((𝑋↑3) − ((3 / 2) · (𝑋↑2))) + ((1 / 2) · 𝑋))))))
219		expcl 14002	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ ℂ ∧ 4 ∈ ℕ₀) → (𝑋↑4) ∈ ℂ)
220	1, 219	mpan2 691	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ ℂ → (𝑋↑4) ∈ ℂ)
221		expcl 14002	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ ℂ ∧ 3 ∈ ℕ₀) → (𝑋↑3) ∈ ℂ)
222	201, 221	mpan2 691	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ ℂ → (𝑋↑3) ∈ ℂ)
223	191, 222	mulcld 11152	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ ℂ → (2 · (𝑋↑3)) ∈ ℂ)
224		sqcl 14041	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ ℂ → (𝑋↑2) ∈ ℂ)
225	201, 100	deccl 12622	. . . . . . . 8 ⊢ ;30 ∈ ℕ₀
226	225	nn0cni 12413	. . . . . . 7 ⊢ ;30 ∈ ℂ
227		dfdec10 12610	. . . . . . . . 9 ⊢ ;30 = ((;10 · 3) + 0)
228		10re 12626	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ;10 ∈ ℝ
229	228	recni 11146	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ;10 ∈ ℂ
230	229, 58	mulcli 11139	. . . . . . . . . 10 ⊢ (;10 · 3) ∈ ℂ
231	230	addridi 11320	. . . . . . . . 9 ⊢ ((;10 · 3) + 0) = (;10 · 3)
232	227, 231	eqtri 2759	. . . . . . . 8 ⊢ ;30 = (;10 · 3)
233		10pos 12624	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 < ;10
234	136, 233	gtneii 11245	. . . . . . . . 9 ⊢ ;10 ≠ 0
235	229, 58, 234, 184	mulne0i 11780	. . . . . . . 8 ⊢ (;10 · 3) ≠ 0
236	232, 235	eqnetri 3002	. . . . . . 7 ⊢ ;30 ≠ 0
237	226, 236	reccli 11871	. . . . . 6 ⊢ (1 / ;30) ∈ ℂ
238	237	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ ℂ → (1 / ;30) ∈ ℂ)
239	224, 238	subcld 11492	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ ℂ → ((𝑋↑2) − (1 / ;30)) ∈ ℂ)
240	220, 223, 239	subsubd 11520	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ ℂ → ((𝑋↑4) − ((2 · (𝑋↑3)) − ((𝑋↑2) − (1 / ;30)))) = (((𝑋↑4) − (2 · (𝑋↑3))) + ((𝑋↑2) − (1 / ;30))))
241	161	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 ∈ ℂ → (1 / 5) ∈ ℂ)
242		id 22	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑋 ∈ ℂ → 𝑋 ∈ ℂ)
243	87, 204	reccli 11871	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 / 2) ∈ ℂ
244	243	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑋 ∈ ℂ → (1 / 2) ∈ ℂ)
245	242, 244	subcld 11492	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 ∈ ℂ → (𝑋 − (1 / 2)) ∈ ℂ)
246	241, 245	addcld 11151	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 ∈ ℂ → ((1 / 5) + (𝑋 − (1 / 2))) ∈ ℂ)
247	224, 242	subcld 11492	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑋 ∈ ℂ → ((𝑋↑2) − 𝑋) ∈ ℂ)
248		6pos 12255	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 < 6
249	136, 248	gtneii 11245	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 6 ≠ 0
250	178, 249	reccli 11871	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 / 6) ∈ ℂ
251	250	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑋 ∈ ℂ → (1 / 6) ∈ ℂ)
252	247, 251	addcld 11151	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 ∈ ℂ → (((𝑋↑2) − 𝑋) + (1 / 6)) ∈ ℂ)
253	191, 252	mulcld 11152	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 ∈ ℂ → (2 · (((𝑋↑2) − 𝑋) + (1 / 6))) ∈ ℂ)
254	246, 253	addcld 11151	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ ℂ → (((1 / 5) + (𝑋 − (1 / 2))) + (2 · (((𝑋↑2) − 𝑋) + (1 / 6)))) ∈ ℂ)
255	58, 87, 204	divcli 11883	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (3 / 2) ∈ ℂ
256	255	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑋 ∈ ℂ → (3 / 2) ∈ ℂ)
257	256, 224	mulcld 11152	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑋 ∈ ℂ → ((3 / 2) · (𝑋↑2)) ∈ ℂ)
258	222, 257	subcld 11492	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 ∈ ℂ → ((𝑋↑3) − ((3 / 2) · (𝑋↑2))) ∈ ℂ)
259	244, 242	mulcld 11152	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 ∈ ℂ → ((1 / 2) · 𝑋) ∈ ℂ)
260	258, 259	addcld 11151	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 ∈ ℂ → (((𝑋↑3) − ((3 / 2) · (𝑋↑2))) + ((1 / 2) · 𝑋)) ∈ ℂ)
261	191, 260	mulcld 11152	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ ℂ → (2 · (((𝑋↑3) − ((3 / 2) · (𝑋↑2))) + ((1 / 2) · 𝑋))) ∈ ℂ)
262	254, 261	addcomd 11335	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ ℂ → ((((1 / 5) + (𝑋 − (1 / 2))) + (2 · (((𝑋↑2) − 𝑋) + (1 / 6)))) + (2 · (((𝑋↑3) − ((3 / 2) · (𝑋↑2))) + ((1 / 2) · 𝑋)))) = ((2 · (((𝑋↑3) − ((3 / 2) · (𝑋↑2))) + ((1 / 2) · 𝑋))) + (((1 / 5) + (𝑋 − (1 / 2))) + (2 · (((𝑋↑2) − 𝑋) + (1 / 6))))))
263	191, 258, 259	adddid 11156	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 ∈ ℂ → (2 · (((𝑋↑3) − ((3 / 2) · (𝑋↑2))) + ((1 / 2) · 𝑋))) = ((2 · ((𝑋↑3) − ((3 / 2) · (𝑋↑2)))) + (2 · ((1 / 2) · 𝑋))))
264	191, 222, 257	subdid 11593	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 ∈ ℂ → (2 · ((𝑋↑3) − ((3 / 2) · (𝑋↑2)))) = ((2 · (𝑋↑3)) − (2 · ((3 / 2) · (𝑋↑2)))))
265	87, 204	recidi 11872	. . . . . . . . . 10 ⊢ (2 · (1 / 2)) = 1
266	265	oveq1i 7368	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2 · (1 / 2)) · 𝑋) = (1 · 𝑋)
267	191, 244, 242	mulassd 11155	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑋 ∈ ℂ → ((2 · (1 / 2)) · 𝑋) = (2 · ((1 / 2) · 𝑋)))
268		mullid 11131	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑋 ∈ ℂ → (1 · 𝑋) = 𝑋)
269	266, 267, 268	3eqtr3a 2795	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 ∈ ℂ → (2 · ((1 / 2) · 𝑋)) = 𝑋)
270	264, 269	oveq12d 7376	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 ∈ ℂ → ((2 · ((𝑋↑3) − ((3 / 2) · (𝑋↑2)))) + (2 · ((1 / 2) · 𝑋))) = (((2 · (𝑋↑3)) − (2 · ((3 / 2) · (𝑋↑2)))) + 𝑋))
271	263, 270	eqtrd 2771	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ ℂ → (2 · (((𝑋↑3) − ((3 / 2) · (𝑋↑2))) + ((1 / 2) · 𝑋))) = (((2 · (𝑋↑3)) − (2 · ((3 / 2) · (𝑋↑2)))) + 𝑋))
272	271	oveq1d 7373	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ ℂ → ((2 · (((𝑋↑3) − ((3 / 2) · (𝑋↑2))) + ((1 / 2) · 𝑋))) + (((1 / 5) + (𝑋 − (1 / 2))) + (2 · (((𝑋↑2) − 𝑋) + (1 / 6))))) = ((((2 · (𝑋↑3)) − (2 · ((3 / 2) · (𝑋↑2)))) + 𝑋) + (((1 / 5) + (𝑋 − (1 / 2))) + (2 · (((𝑋↑2) − 𝑋) + (1 / 6))))))
273	191, 257	mulcld 11152	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 ∈ ℂ → (2 · ((3 / 2) · (𝑋↑2))) ∈ ℂ)
274	223, 273	subcld 11492	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 ∈ ℂ → ((2 · (𝑋↑3)) − (2 · ((3 / 2) · (𝑋↑2)))) ∈ ℂ)
275	274, 242, 254	addassd 11154	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ ℂ → ((((2 · (𝑋↑3)) − (2 · ((3 / 2) · (𝑋↑2)))) + 𝑋) + (((1 / 5) + (𝑋 − (1 / 2))) + (2 · (((𝑋↑2) − 𝑋) + (1 / 6))))) = (((2 · (𝑋↑3)) − (2 · ((3 / 2) · (𝑋↑2)))) + (𝑋 + (((1 / 5) + (𝑋 − (1 / 2))) + (2 · (((𝑋↑2) − 𝑋) + (1 / 6)))))))
276	242, 254	addcld 11151	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 ∈ ℂ → (𝑋 + (((1 / 5) + (𝑋 − (1 / 2))) + (2 · (((𝑋↑2) − 𝑋) + (1 / 6))))) ∈ ℂ)
277	223, 273, 276	subsubd 11520	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ ℂ → ((2 · (𝑋↑3)) − ((2 · ((3 / 2) · (𝑋↑2))) − (𝑋 + (((1 / 5) + (𝑋 − (1 / 2))) + (2 · (((𝑋↑2) − 𝑋) + (1 / 6))))))) = (((2 · (𝑋↑3)) − (2 · ((3 / 2) · (𝑋↑2)))) + (𝑋 + (((1 / 5) + (𝑋 − (1 / 2))) + (2 · (((𝑋↑2) − 𝑋) + (1 / 6)))))))
278	191, 256, 224	mulassd 11155	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑋 ∈ ℂ → ((2 · (3 / 2)) · (𝑋↑2)) = (2 · ((3 / 2) · (𝑋↑2))))
279	58, 87, 204	divcan2i 11884	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (2 · (3 / 2)) = 3
280	279	oveq1i 7368	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((2 · (3 / 2)) · (𝑋↑2)) = (3 · (𝑋↑2))
281	278, 280	eqtr3di 2786	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑋 ∈ ℂ → (2 · ((3 / 2) · (𝑋↑2))) = (3 · (𝑋↑2)))
282	281	oveq1d 7373	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 ∈ ℂ → ((2 · ((3 / 2) · (𝑋↑2))) − (𝑋 + (((1 / 5) + (𝑋 − (1 / 2))) + (2 · (((𝑋↑2) − 𝑋) + (1 / 6)))))) = ((3 · (𝑋↑2)) − (𝑋 + (((1 / 5) + (𝑋 − (1 / 2))) + (2 · (((𝑋↑2) − 𝑋) + (1 / 6)))))))
283	242, 246, 253	add12d 11360	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑋 ∈ ℂ → (𝑋 + (((1 / 5) + (𝑋 − (1 / 2))) + (2 · (((𝑋↑2) − 𝑋) + (1 / 6))))) = (((1 / 5) + (𝑋 − (1 / 2))) + (𝑋 + (2 · (((𝑋↑2) − 𝑋) + (1 / 6))))))
284	191, 247, 251	adddid 11156	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑋 ∈ ℂ → (2 · (((𝑋↑2) − 𝑋) + (1 / 6))) = ((2 · ((𝑋↑2) − 𝑋)) + (2 · (1 / 6))))
285	191, 224, 242	subdid 11593	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑋 ∈ ℂ → (2 · ((𝑋↑2) − 𝑋)) = ((2 · (𝑋↑2)) − (2 · 𝑋)))
286	187	oveq2i 7369	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (2 / (3 · 2)) = (2 / 6)
287	58, 184	reccli 11871	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (1 / 3) ∈ ℂ
288	58, 87, 287	mul32i 11329	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((3 · 2) · (1 / 3)) = ((3 · (1 / 3)) · 2)
289	58, 184	recidi 11872	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (3 · (1 / 3)) = 1
290	289	oveq1i 7368	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((3 · (1 / 3)) · 2) = (1 · 2)
291	87	mullidi 11137	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (1 · 2) = 2
292	290, 291	eqtri 2759	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((3 · (1 / 3)) · 2) = 2
293	288, 292	eqtri 2759	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((3 · 2) · (1 / 3)) = 2
294	187, 178	eqeltri 2832	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (3 · 2) ∈ ℂ
295	187, 249	eqnetri 3002	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (3 · 2) ≠ 0
296	87, 294, 287, 295	divmuli 11895	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((2 / (3 · 2)) = (1 / 3) ↔ ((3 · 2) · (1 / 3)) = 2)
297	293, 296	mpbir 231	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (2 / (3 · 2)) = (1 / 3)
298	87, 178, 249	divreci 11886	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (2 / 6) = (2 · (1 / 6))
299	286, 297, 298	3eqtr3ri 2768	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (2 · (1 / 6)) = (1 / 3)
300	299	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑋 ∈ ℂ → (2 · (1 / 6)) = (1 / 3))
301	285, 300	oveq12d 7376	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑋 ∈ ℂ → ((2 · ((𝑋↑2) − 𝑋)) + (2 · (1 / 6))) = (((2 · (𝑋↑2)) − (2 · 𝑋)) + (1 / 3)))
302	284, 301	eqtrd 2771	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑋 ∈ ℂ → (2 · (((𝑋↑2) − 𝑋) + (1 / 6))) = (((2 · (𝑋↑2)) − (2 · 𝑋)) + (1 / 3)))
303	302	oveq2d 7374	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑋 ∈ ℂ → (𝑋 + (2 · (((𝑋↑2) − 𝑋) + (1 / 6)))) = (𝑋 + (((2 · (𝑋↑2)) − (2 · 𝑋)) + (1 / 3))))
304	191, 224	mulcld 11152	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑋 ∈ ℂ → (2 · (𝑋↑2)) ∈ ℂ)
305	191, 242	mulcld 11152	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑋 ∈ ℂ → (2 · 𝑋) ∈ ℂ)
306	304, 305	subcld 11492	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑋 ∈ ℂ → ((2 · (𝑋↑2)) − (2 · 𝑋)) ∈ ℂ)
307	287	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑋 ∈ ℂ → (1 / 3) ∈ ℂ)
308	242, 306, 307	addassd 11154	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑋 ∈ ℂ → ((𝑋 + ((2 · (𝑋↑2)) − (2 · 𝑋))) + (1 / 3)) = (𝑋 + (((2 · (𝑋↑2)) − (2 · 𝑋)) + (1 / 3))))
309	242, 304, 305	addsub12d 11515	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑋 ∈ ℂ → (𝑋 + ((2 · (𝑋↑2)) − (2 · 𝑋))) = ((2 · (𝑋↑2)) + (𝑋 − (2 · 𝑋))))
310	309	oveq1d 7373	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑋 ∈ ℂ → ((𝑋 + ((2 · (𝑋↑2)) − (2 · 𝑋))) + (1 / 3)) = (((2 · (𝑋↑2)) + (𝑋 − (2 · 𝑋))) + (1 / 3)))
311	303, 308, 310	3eqtr2d 2777	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑋 ∈ ℂ → (𝑋 + (2 · (((𝑋↑2) − 𝑋) + (1 / 6)))) = (((2 · (𝑋↑2)) + (𝑋 − (2 · 𝑋))) + (1 / 3)))
312	311	oveq2d 7374	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑋 ∈ ℂ → (((1 / 5) + (𝑋 − (1 / 2))) + (𝑋 + (2 · (((𝑋↑2) − 𝑋) + (1 / 6))))) = (((1 / 5) + (𝑋 − (1 / 2))) + (((2 · (𝑋↑2)) + (𝑋 − (2 · 𝑋))) + (1 / 3))))
313	283, 312	eqtrd 2771	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑋 ∈ ℂ → (𝑋 + (((1 / 5) + (𝑋 − (1 / 2))) + (2 · (((𝑋↑2) − 𝑋) + (1 / 6))))) = (((1 / 5) + (𝑋 − (1 / 2))) + (((2 · (𝑋↑2)) + (𝑋 − (2 · 𝑋))) + (1 / 3))))
314	313	oveq2d 7374	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 ∈ ℂ → ((3 · (𝑋↑2)) − (𝑋 + (((1 / 5) + (𝑋 − (1 / 2))) + (2 · (((𝑋↑2) − 𝑋) + (1 / 6)))))) = ((3 · (𝑋↑2)) − (((1 / 5) + (𝑋 − (1 / 2))) + (((2 · (𝑋↑2)) + (𝑋 − (2 · 𝑋))) + (1 / 3)))))
315	242, 305	subcld 11492	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑋 ∈ ℂ → (𝑋 − (2 · 𝑋)) ∈ ℂ)
316	304, 315	addcld 11151	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑋 ∈ ℂ → ((2 · (𝑋↑2)) + (𝑋 − (2 · 𝑋))) ∈ ℂ)
317	241, 245, 316, 307	add4d 11362	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑋 ∈ ℂ → (((1 / 5) + (𝑋 − (1 / 2))) + (((2 · (𝑋↑2)) + (𝑋 − (2 · 𝑋))) + (1 / 3))) = (((1 / 5) + ((2 · (𝑋↑2)) + (𝑋 − (2 · 𝑋)))) + ((𝑋 − (1 / 2)) + (1 / 3))))
318	241, 304, 315	add12d 11360	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑋 ∈ ℂ → ((1 / 5) + ((2 · (𝑋↑2)) + (𝑋 − (2 · 𝑋)))) = ((2 · (𝑋↑2)) + ((1 / 5) + (𝑋 − (2 · 𝑋)))))
319	318	oveq1d 7373	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑋 ∈ ℂ → (((1 / 5) + ((2 · (𝑋↑2)) + (𝑋 − (2 · 𝑋)))) + ((𝑋 − (1 / 2)) + (1 / 3))) = (((2 · (𝑋↑2)) + ((1 / 5) + (𝑋 − (2 · 𝑋)))) + ((𝑋 − (1 / 2)) + (1 / 3))))
320	241, 315	addcld 11151	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑋 ∈ ℂ → ((1 / 5) + (𝑋 − (2 · 𝑋))) ∈ ℂ)
321	245, 307	addcld 11151	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑋 ∈ ℂ → ((𝑋 − (1 / 2)) + (1 / 3)) ∈ ℂ)
322	304, 320, 321	addassd 11154	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑋 ∈ ℂ → (((2 · (𝑋↑2)) + ((1 / 5) + (𝑋 − (2 · 𝑋)))) + ((𝑋 − (1 / 2)) + (1 / 3))) = ((2 · (𝑋↑2)) + (((1 / 5) + (𝑋 − (2 · 𝑋))) + ((𝑋 − (1 / 2)) + (1 / 3)))))
323	317, 319, 322	3eqtrd 2775	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑋 ∈ ℂ → (((1 / 5) + (𝑋 − (1 / 2))) + (((2 · (𝑋↑2)) + (𝑋 − (2 · 𝑋))) + (1 / 3))) = ((2 · (𝑋↑2)) + (((1 / 5) + (𝑋 − (2 · 𝑋))) + ((𝑋 − (1 / 2)) + (1 / 3)))))
324	323	oveq2d 7374	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑋 ∈ ℂ → ((3 · (𝑋↑2)) − (((1 / 5) + (𝑋 − (1 / 2))) + (((2 · (𝑋↑2)) + (𝑋 − (2 · 𝑋))) + (1 / 3)))) = ((3 · (𝑋↑2)) − ((2 · (𝑋↑2)) + (((1 / 5) + (𝑋 − (2 · 𝑋))) + ((𝑋 − (1 / 2)) + (1 / 3))))))
325	183, 224	mulcld 11152	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑋 ∈ ℂ → (3 · (𝑋↑2)) ∈ ℂ)
326	320, 321	addcld 11151	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑋 ∈ ℂ → (((1 / 5) + (𝑋 − (2 · 𝑋))) + ((𝑋 − (1 / 2)) + (1 / 3))) ∈ ℂ)
327	325, 304, 326	subsub4d 11523	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑋 ∈ ℂ → (((3 · (𝑋↑2)) − (2 · (𝑋↑2))) − (((1 / 5) + (𝑋 − (2 · 𝑋))) + ((𝑋 − (1 / 2)) + (1 / 3)))) = ((3 · (𝑋↑2)) − ((2 · (𝑋↑2)) + (((1 / 5) + (𝑋 − (2 · 𝑋))) + ((𝑋 − (1 / 2)) + (1 / 3))))))
328	58, 87, 59, 109	subaddrii 11470	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (3 − 2) = 1
329	328	oveq1i 7368	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((3 − 2) · (𝑋↑2)) = (1 · (𝑋↑2))
330	183, 191, 224	subdird 11594	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑋 ∈ ℂ → ((3 − 2) · (𝑋↑2)) = ((3 · (𝑋↑2)) − (2 · (𝑋↑2))))
331	224	mullidd 11150	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑋 ∈ ℂ → (1 · (𝑋↑2)) = (𝑋↑2))
332	329, 330, 331	3eqtr3a 2795	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑋 ∈ ℂ → ((3 · (𝑋↑2)) − (2 · (𝑋↑2))) = (𝑋↑2))
333	241, 305, 242	subsubd 11520	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑋 ∈ ℂ → ((1 / 5) − ((2 · 𝑋) − 𝑋)) = (((1 / 5) − (2 · 𝑋)) + 𝑋))
334		2txmxeqx 12280	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑋 ∈ ℂ → ((2 · 𝑋) − 𝑋) = 𝑋)
335	334	oveq2d 7374	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑋 ∈ ℂ → ((1 / 5) − ((2 · 𝑋) − 𝑋)) = ((1 / 5) − 𝑋))
336	241, 305, 242	subadd23d 11514	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑋 ∈ ℂ → (((1 / 5) − (2 · 𝑋)) + 𝑋) = ((1 / 5) + (𝑋 − (2 · 𝑋))))
337	333, 335, 336	3eqtr3d 2779	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑋 ∈ ℂ → ((1 / 5) − 𝑋) = ((1 / 5) + (𝑋 − (2 · 𝑋))))
338	242, 244, 307	subsubd 11520	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑋 ∈ ℂ → (𝑋 − ((1 / 2) − (1 / 3))) = ((𝑋 − (1 / 2)) + (1 / 3)))
339	337, 338	oveq12d 7376	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑋 ∈ ℂ → (((1 / 5) − 𝑋) + (𝑋 − ((1 / 2) − (1 / 3)))) = (((1 / 5) + (𝑋 − (2 · 𝑋))) + ((𝑋 − (1 / 2)) + (1 / 3))))
340	243, 287	subcli 11457	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((1 / 2) − (1 / 3)) ∈ ℂ
341	340	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑋 ∈ ℂ → ((1 / 2) − (1 / 3)) ∈ ℂ)
342	241, 242, 341	npncand 11516	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑋 ∈ ℂ → (((1 / 5) − 𝑋) + (𝑋 − ((1 / 2) − (1 / 3)))) = ((1 / 5) − ((1 / 2) − (1 / 3))))
343		halfthird 12362	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((1 / 2) − (1 / 3)) = (1 / 6)
344	343	oveq2i 7369	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((1 / 5) − ((1 / 2) − (1 / 3))) = ((1 / 5) − (1 / 6))
345		5recm6rec 12750	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((1 / 5) − (1 / 6)) = (1 / ;30)
346	344, 345	eqtri 2759	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((1 / 5) − ((1 / 2) − (1 / 3))) = (1 / ;30)
347	342, 346	eqtrdi 2787	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑋 ∈ ℂ → (((1 / 5) − 𝑋) + (𝑋 − ((1 / 2) − (1 / 3)))) = (1 / ;30))
348	339, 347	eqtr3d 2773	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑋 ∈ ℂ → (((1 / 5) + (𝑋 − (2 · 𝑋))) + ((𝑋 − (1 / 2)) + (1 / 3))) = (1 / ;30))
349	332, 348	oveq12d 7376	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑋 ∈ ℂ → (((3 · (𝑋↑2)) − (2 · (𝑋↑2))) − (((1 / 5) + (𝑋 − (2 · 𝑋))) + ((𝑋 − (1 / 2)) + (1 / 3)))) = ((𝑋↑2) − (1 / ;30)))
350	324, 327, 349	3eqtr2d 2777	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 ∈ ℂ → ((3 · (𝑋↑2)) − (((1 / 5) + (𝑋 − (1 / 2))) + (((2 · (𝑋↑2)) + (𝑋 − (2 · 𝑋))) + (1 / 3)))) = ((𝑋↑2) − (1 / ;30)))
351	282, 314, 350	3eqtrd 2775	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 ∈ ℂ → ((2 · ((3 / 2) · (𝑋↑2))) − (𝑋 + (((1 / 5) + (𝑋 − (1 / 2))) + (2 · (((𝑋↑2) − 𝑋) + (1 / 6)))))) = ((𝑋↑2) − (1 / ;30)))
352	351	oveq2d 7374	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ ℂ → ((2 · (𝑋↑3)) − ((2 · ((3 / 2) · (𝑋↑2))) − (𝑋 + (((1 / 5) + (𝑋 − (1 / 2))) + (2 · (((𝑋↑2) − 𝑋) + (1 / 6))))))) = ((2 · (𝑋↑3)) − ((𝑋↑2) − (1 / ;30))))
353	275, 277, 352	3eqtr2d 2777	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ ℂ → ((((2 · (𝑋↑3)) − (2 · ((3 / 2) · (𝑋↑2)))) + 𝑋) + (((1 / 5) + (𝑋 − (1 / 2))) + (2 · (((𝑋↑2) − 𝑋) + (1 / 6))))) = ((2 · (𝑋↑3)) − ((𝑋↑2) − (1 / ;30))))
354	262, 272, 353	3eqtrd 2775	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ ℂ → ((((1 / 5) + (𝑋 − (1 / 2))) + (2 · (((𝑋↑2) − 𝑋) + (1 / 6)))) + (2 · (((𝑋↑3) − ((3 / 2) · (𝑋↑2))) + ((1 / 2) · 𝑋)))) = ((2 · (𝑋↑3)) − ((𝑋↑2) − (1 / ;30))))
355	354	oveq2d 7374	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ ℂ → ((𝑋↑4) − ((((1 / 5) + (𝑋 − (1 / 2))) + (2 · (((𝑋↑2) − 𝑋) + (1 / 6)))) + (2 · (((𝑋↑3) − ((3 / 2) · (𝑋↑2))) + ((1 / 2) · 𝑋))))) = ((𝑋↑4) − ((2 · (𝑋↑3)) − ((𝑋↑2) − (1 / ;30)))))
356	220, 223	subcld 11492	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ ℂ → ((𝑋↑4) − (2 · (𝑋↑3))) ∈ ℂ)
357	356, 224, 238	addsubassd 11512	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ ℂ → ((((𝑋↑4) − (2 · (𝑋↑3))) + (𝑋↑2)) − (1 / ;30)) = (((𝑋↑4) − (2 · (𝑋↑3))) + ((𝑋↑2) − (1 / ;30))))
358	240, 355, 357	3eqtr4d 2781	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ ℂ → ((𝑋↑4) − ((((1 / 5) + (𝑋 − (1 / 2))) + (2 · (((𝑋↑2) − 𝑋) + (1 / 6)))) + (2 · (((𝑋↑3) − ((3 / 2) · (𝑋↑2))) + ((1 / 2) · 𝑋))))) = ((((𝑋↑4) − (2 · (𝑋↑3))) + (𝑋↑2)) − (1 / ;30)))
359	3, 218, 358	3eqtrd 2775	1 ⊢ (𝑋 ∈ ℂ → (4 BernPoly 𝑋) = ((((𝑋↑4) − (2 · (𝑋↑3))) + (𝑋↑2)) − (1 / ;30)))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: → wi 4 ∧ wa 395 = wceq 1541 ∈ wcel 2113 ≠ wne 2932 ⊆ wss 3901 class class class wbr 5098 ‘cfv 6492 (class class class)co 7358 ℂcc 11024 ℝcr 11025 0cc0 11026 1c1 11027 + caddc 11029 · cmul 11031 < clt 11166 − cmin 11364 / cdiv 11794 ℕcn 12145 2c2 12200 3c3 12201 4c4 12202 5c5 12203 6c6 12204 ℕ₀cn0 12401 ℤcz 12488 cdc 12607 ℤ_≥cuz 12751 ...cfz 13423 ↑cexp 13984 Ccbc 14225 Σcsu 15609 BernPoly cbp 15969

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1796 ax-4 1810 ax-5 1911 ax-6 1968 ax-7 2009 ax-8 2115 ax-9 2123 ax-10 2146 ax-11 2162 ax-12 2184 ax-ext 2708 ax-rep 5224 ax-sep 5241 ax-nul 5251 ax-pow 5310 ax-pr 5377 ax-un 7680 ax-inf2 9550 ax-cnex 11082 ax-resscn 11083 ax-1cn 11084 ax-icn 11085 ax-addcl 11086 ax-addrcl 11087 ax-mulcl 11088 ax-mulrcl 11089 ax-mulcom 11090 ax-addass 11091 ax-mulass 11092 ax-distr 11093 ax-i2m1 11094 ax-1ne0 11095 ax-1rid 11096 ax-rnegex 11097 ax-rrecex 11098 ax-cnre 11099 ax-pre-lttri 11100 ax-pre-lttrn 11101 ax-pre-ltadd 11102 ax-pre-mulgt0 11103 ax-pre-sup 11104

This theorem depends on definitions: df-bi 207 df-an 396 df-or 848 df-3or 1087 df-3an 1088 df-tru 1544 df-fal 1554 df-ex 1781 df-nf 1785 df-sb 2068 df-mo 2539 df-eu 2569 df-clab 2715 df-cleq 2728 df-clel 2811 df-nfc 2885 df-ne 2933 df-nel 3037 df-ral 3052 df-rex 3061 df-rmo 3350 df-reu 3351 df-rab 3400 df-v 3442 df-sbc 3741 df-csb 3850 df-dif 3904 df-un 3906 df-in 3908 df-ss 3918 df-pss 3921 df-nul 4286 df-if 4480 df-pw 4556 df-sn 4581 df-pr 4583 df-tp 4585 df-op 4587 df-uni 4864 df-int 4903 df-iun 4948 df-br 5099 df-opab 5161 df-mpt 5180 df-tr 5206 df-id 5519 df-eprel 5524 df-po 5532 df-so 5533 df-fr 5577 df-se 5578 df-we 5579 df-xp 5630 df-rel 5631 df-cnv 5632 df-co 5633 df-dm 5634 df-rn 5635 df-res 5636 df-ima 5637 df-pred 6259 df-ord 6320 df-on 6321 df-lim 6322 df-suc 6323 df-iota 6448 df-fun 6494 df-fn 6495 df-f 6496 df-f1 6497 df-fo 6498 df-f1o 6499 df-fv 6500 df-isom 6501 df-riota 7315 df-ov 7361 df-oprab 7362 df-mpo 7363 df-om 7809 df-1st 7933 df-2nd 7934 df-frecs 8223 df-wrecs 8254 df-recs 8303 df-rdg 8341 df-1o 8397 df-er 8635 df-en 8884 df-dom 8885 df-sdom 8886 df-fin 8887 df-sup 9345 df-oi 9415 df-card 9851 df-pnf 11168 df-mnf 11169 df-xr 11170 df-ltxr 11171 df-le 11172 df-sub 11366 df-neg 11367 df-div 11795 df-nn 12146 df-2 12208 df-3 12209 df-4 12210 df-5 12211 df-6 12212 df-7 12213 df-8 12214 df-9 12215 df-n0 12402 df-z 12489 df-dec 12608 df-uz 12752 df-rp 12906 df-fz 13424 df-fzo 13571 df-seq 13925 df-exp 13985 df-fac 14197 df-bc 14226 df-hash 14254 df-cj 15022 df-re 15023 df-im 15024 df-sqrt 15158 df-abs 15159 df-clim 15411 df-sum 15610 df-bpoly 15970

This theorem is referenced by: fsumcube 15983

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