Theorem quart1lem 26916

Description: Lemma for quart1 26917. (Contributed by Mario Carneiro, 6-May-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
quart1.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
quart1.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
quart1.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
quart1.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℂ)
quart1.p	⊢ (𝜑 → 𝑃 = (𝐵 − ((3 / 8) · (𝐴↑2))))
quart1.q	⊢ (𝜑 → 𝑄 = ((𝐶 − ((𝐴 · 𝐵) / 2)) + ((𝐴↑3) / 8)))
quart1.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 = ((𝐷 − ((𝐶 · 𝐴) / 4)) + ((((𝐴↑2) · 𝐵) / ;16) − ((3 / ;;256) · (𝐴↑4)))))
quart1.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℂ)
quart1.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 = (𝑋 + (𝐴 / 4)))

Assertion

Ref	Expression
quart1lem	⊢ (𝜑 → 𝐷 = ((((𝐴↑4) / ;;256) + (𝑃 · ((𝐴 / 4)↑2))) + ((𝑄 · (𝐴 / 4)) + 𝑅)))

Proof of Theorem quart1lem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		quart1.c	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
2		quart1.a	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
3		quart1.b	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
4	2, 3	mulcld 11310	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℂ)
5	4	halfcld 12538	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵) / 2) ∈ ℂ)
6	1, 5	subcld 11647	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐶 − ((𝐴 · 𝐵) / 2)) ∈ ℂ)
7		3nn0 12571	. . . . . . . . . 10 ⊢ 3 ∈ ℕ0
8		expcl 14130	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 3 ∈ ℕ0) → (𝐴↑3) ∈ ℂ)
9	2, 7, 8	sylancl 585	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑3) ∈ ℂ)
10		8cn 12390	. . . . . . . . . 10 ⊢ 8 ∈ ℂ
11	10	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 8 ∈ ℂ)
12		8nn 12388	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 8 ∈ ℕ
13	12	nnne0i 12333	. . . . . . . . . 10 ⊢ 8 ≠ 0
14	13	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 8 ≠ 0)
15	9, 11, 14	divcld 12070	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐴↑3) / 8) ∈ ℂ)
16		4cn 12378	. . . . . . . . . 10 ⊢ 4 ∈ ℂ
17	16	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 4 ∈ ℂ)
18		4ne0 12401	. . . . . . . . . 10 ⊢ 4 ≠ 0
19	18	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 4 ≠ 0)
20	2, 17, 19	divcld 12070	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐴 / 4) ∈ ℂ)
21	6, 15, 20	adddird 11315	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((𝐶 − ((𝐴 · 𝐵) / 2)) + ((𝐴↑3) / 8)) · (𝐴 / 4)) = (((𝐶 − ((𝐴 · 𝐵) / 2)) · (𝐴 / 4)) + (((𝐴↑3) / 8) · (𝐴 / 4))))
22		quart1.q	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑄 = ((𝐶 − ((𝐴 · 𝐵) / 2)) + ((𝐴↑3) / 8)))
23	22	oveq1d 7463	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑄 · (𝐴 / 4)) = (((𝐶 − ((𝐴 · 𝐵) / 2)) + ((𝐴↑3) / 8)) · (𝐴 / 4)))
24	1, 2, 17, 19	divassd 12105	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 · 𝐴) / 4) = (𝐶 · (𝐴 / 4)))
25	2	sqvald 14193	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑2) = (𝐴 · 𝐴))
26	25	oveq1d 7463	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ((𝐴↑2) · 𝐵) = ((𝐴 · 𝐴) · 𝐵))
27	2, 2, 3	mul32d 11500	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐴) · 𝐵) = ((𝐴 · 𝐵) · 𝐴))
28	26, 27	eqtrd 2780	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((𝐴↑2) · 𝐵) = ((𝐴 · 𝐵) · 𝐴))
29	28	oveq1d 7463	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (((𝐴↑2) · 𝐵) / 8) = (((𝐴 · 𝐵) · 𝐴) / 8))
30		2cn 12368	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 2 ∈ ℂ
31		4t2e8 12461	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (4 · 2) = 8
32	16, 30, 31	mulcomli 11299	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (2 · 4) = 8
33	32	oveq2i 7459	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 · 𝐵) · 𝐴) / (2 · 4)) = (((𝐴 · 𝐵) · 𝐴) / 8)
34	29, 33	eqtr4di 2798	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (((𝐴↑2) · 𝐵) / 8) = (((𝐴 · 𝐵) · 𝐴) / (2 · 4)))
35	30	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
36		2ne0 12397	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 2 ≠ 0
37	36	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 2 ≠ 0)
38	4, 35, 2, 17, 37, 19	divmuldivd 12111	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 · 𝐵) / 2) · (𝐴 / 4)) = (((𝐴 · 𝐵) · 𝐴) / (2 · 4)))
39	34, 38	eqtr4d 2783	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (((𝐴↑2) · 𝐵) / 8) = (((𝐴 · 𝐵) / 2) · (𝐴 / 4)))
40	24, 39	oveq12d 7466	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((𝐶 · 𝐴) / 4) − (((𝐴↑2) · 𝐵) / 8)) = ((𝐶 · (𝐴 / 4)) − (((𝐴 · 𝐵) / 2) · (𝐴 / 4))))
41	1, 5, 20	subdird 11747	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 − ((𝐴 · 𝐵) / 2)) · (𝐴 / 4)) = ((𝐶 · (𝐴 / 4)) − (((𝐴 · 𝐵) / 2) · (𝐴 / 4))))
42	40, 41	eqtr4d 2783	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((𝐶 · 𝐴) / 4) − (((𝐴↑2) · 𝐵) / 8)) = ((𝐶 − ((𝐴 · 𝐵) / 2)) · (𝐴 / 4)))
43		df-4 12358	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 4 = (3 + 1)
44	43	oveq2i 7459	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴↑4) = (𝐴↑(3 + 1))
45		expp1 14119	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 3 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(3 + 1)) = ((𝐴↑3) · 𝐴))
46	2, 7, 45	sylancl 585	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑(3 + 1)) = ((𝐴↑3) · 𝐴))
47	44, 46	eqtrid 2792	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑4) = ((𝐴↑3) · 𝐴))
48	47	oveq1d 7463	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝐴↑4) / 8) = (((𝐴↑3) · 𝐴) / 8))
49	9, 2, 11, 14	div23d 12107	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (((𝐴↑3) · 𝐴) / 8) = (((𝐴↑3) / 8) · 𝐴))
50	48, 49	eqtrd 2780	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝐴↑4) / 8) = (((𝐴↑3) / 8) · 𝐴))
51	50	oveq1d 7463	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((𝐴↑4) / 8) / 4) = ((((𝐴↑3) / 8) · 𝐴) / 4))
52	15, 2, 17, 19	divassd 12105	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((((𝐴↑3) / 8) · 𝐴) / 4) = (((𝐴↑3) / 8) · (𝐴 / 4)))
53	51, 52	eqtrd 2780	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((𝐴↑4) / 8) / 4) = (((𝐴↑3) / 8) · (𝐴 / 4)))
54	42, 53	oveq12d 7466	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((((𝐶 · 𝐴) / 4) − (((𝐴↑2) · 𝐵) / 8)) + (((𝐴↑4) / 8) / 4)) = (((𝐶 − ((𝐴 · 𝐵) / 2)) · (𝐴 / 4)) + (((𝐴↑3) / 8) · (𝐴 / 4))))
55	21, 23, 54	3eqtr4d 2790	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑄 · (𝐴 / 4)) = ((((𝐶 · 𝐴) / 4) − (((𝐴↑2) · 𝐵) / 8)) + (((𝐴↑4) / 8) / 4)))
56	1, 2	mulcld 11310	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐶 · 𝐴) ∈ ℂ)
57	56, 17, 19	divcld 12070	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 · 𝐴) / 4) ∈ ℂ)
58	2	sqcld 14194	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑2) ∈ ℂ)
59	58, 3	mulcld 11310	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐴↑2) · 𝐵) ∈ ℂ)
60	59, 11, 14	divcld 12070	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((𝐴↑2) · 𝐵) / 8) ∈ ℂ)
61		4nn0 12572	. . . . . . . . . 10 ⊢ 4 ∈ ℕ0
62		expcl 14130	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 4 ∈ ℕ0) → (𝐴↑4) ∈ ℂ)
63	2, 61, 62	sylancl 585	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑4) ∈ ℂ)
64	63, 11, 14	divcld 12070	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐴↑4) / 8) ∈ ℂ)
65	64, 17, 19	divcld 12070	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((𝐴↑4) / 8) / 4) ∈ ℂ)
66	57, 60, 65	subadd23d 11669	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((((𝐶 · 𝐴) / 4) − (((𝐴↑2) · 𝐵) / 8)) + (((𝐴↑4) / 8) / 4)) = (((𝐶 · 𝐴) / 4) + ((((𝐴↑4) / 8) / 4) − (((𝐴↑2) · 𝐵) / 8))))
67	65, 60	subcld 11647	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((((𝐴↑4) / 8) / 4) − (((𝐴↑2) · 𝐵) / 8)) ∈ ℂ)
68	57, 67	addcomd 11492	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((𝐶 · 𝐴) / 4) + ((((𝐴↑4) / 8) / 4) − (((𝐴↑2) · 𝐵) / 8))) = (((((𝐴↑4) / 8) / 4) − (((𝐴↑2) · 𝐵) / 8)) + ((𝐶 · 𝐴) / 4)))
69	55, 66, 68	3eqtrd 2784	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑄 · (𝐴 / 4)) = (((((𝐴↑4) / 8) / 4) − (((𝐴↑2) · 𝐵) / 8)) + ((𝐶 · 𝐴) / 4)))
70		quart1.r	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 = ((𝐷 − ((𝐶 · 𝐴) / 4)) + ((((𝐴↑2) · 𝐵) / ;16) − ((3 / ;;256) · (𝐴↑4)))))
71		quart1.d	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℂ)
72		1nn0 12569	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 1 ∈ ℕ0
73		6nn 12382	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 6 ∈ ℕ
74	72, 73	decnncl 12778	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ;16 ∈ ℕ
75	74	nncni 12303	. . . . . . . . . 10 ⊢ ;16 ∈ ℂ
76	75	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ;16 ∈ ℂ)
77	74	nnne0i 12333	. . . . . . . . . 10 ⊢ ;16 ≠ 0
78	77	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ;16 ≠ 0)
79	59, 76, 78	divcld 12070	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((𝐴↑2) · 𝐵) / ;16) ∈ ℂ)
80		3cn 12374	. . . . . . . . . 10 ⊢ 3 ∈ ℂ
81		2nn0 12570	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 2 ∈ ℕ0
82		5nn0 12573	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 5 ∈ ℕ0
83	81, 82	deccl 12773	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ;25 ∈ ℕ0
84	83, 73	decnncl 12778	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ;;256 ∈ ℕ
85	84	nncni 12303	. . . . . . . . . 10 ⊢ ;;256 ∈ ℂ
86	84	nnne0i 12333	. . . . . . . . . 10 ⊢ ;;256 ≠ 0
87	80, 85, 86	divcli 12036	. . . . . . . . 9 ⊢ (3 / ;;256) ∈ ℂ
88		mulcl 11268	. . . . . . . . 9 ⊢ (((3 / ;;256) ∈ ℂ ∧ (𝐴↑4) ∈ ℂ) → ((3 / ;;256) · (𝐴↑4)) ∈ ℂ)
89	87, 63, 88	sylancr 586	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((3 / ;;256) · (𝐴↑4)) ∈ ℂ)
90	79, 89	subcld 11647	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((((𝐴↑2) · 𝐵) / ;16) − ((3 / ;;256) · (𝐴↑4))) ∈ ℂ)
91	71, 90, 57	addsubd 11668	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐷 + ((((𝐴↑2) · 𝐵) / ;16) − ((3 / ;;256) · (𝐴↑4)))) − ((𝐶 · 𝐴) / 4)) = ((𝐷 − ((𝐶 · 𝐴) / 4)) + ((((𝐴↑2) · 𝐵) / ;16) − ((3 / ;;256) · (𝐴↑4)))))
92	70, 91	eqtr4d 2783	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 = ((𝐷 + ((((𝐴↑2) · 𝐵) / ;16) − ((3 / ;;256) · (𝐴↑4)))) − ((𝐶 · 𝐴) / 4)))
93	69, 92	oveq12d 7466	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑄 · (𝐴 / 4)) + 𝑅) = ((((((𝐴↑4) / 8) / 4) − (((𝐴↑2) · 𝐵) / 8)) + ((𝐶 · 𝐴) / 4)) + ((𝐷 + ((((𝐴↑2) · 𝐵) / ;16) − ((3 / ;;256) · (𝐴↑4)))) − ((𝐶 · 𝐴) / 4))))
94	71, 90	addcld 11309	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐷 + ((((𝐴↑2) · 𝐵) / ;16) − ((3 / ;;256) · (𝐴↑4)))) ∈ ℂ)
95	67, 57, 94	ppncand 11687	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((((((𝐴↑4) / 8) / 4) − (((𝐴↑2) · 𝐵) / 8)) + ((𝐶 · 𝐴) / 4)) + ((𝐷 + ((((𝐴↑2) · 𝐵) / ;16) − ((3 / ;;256) · (𝐴↑4)))) − ((𝐶 · 𝐴) / 4))) = (((((𝐴↑4) / 8) / 4) − (((𝐴↑2) · 𝐵) / 8)) + (𝐷 + ((((𝐴↑2) · 𝐵) / ;16) − ((3 / ;;256) · (𝐴↑4))))))
96	67, 71, 90	add12d 11516	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((((𝐴↑4) / 8) / 4) − (((𝐴↑2) · 𝐵) / 8)) + (𝐷 + ((((𝐴↑2) · 𝐵) / ;16) − ((3 / ;;256) · (𝐴↑4))))) = (𝐷 + (((((𝐴↑4) / 8) / 4) − (((𝐴↑2) · 𝐵) / 8)) + ((((𝐴↑2) · 𝐵) / ;16) − ((3 / ;;256) · (𝐴↑4))))))
97	60, 89	addcld 11309	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((((𝐴↑2) · 𝐵) / 8) + ((3 / ;;256) · (𝐴↑4))) ∈ ℂ)
98	65, 79	addcld 11309	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((((𝐴↑4) / 8) / 4) + (((𝐴↑2) · 𝐵) / ;16)) ∈ ℂ)
99	97, 98	negsubdi2d 11663	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → -(((((𝐴↑2) · 𝐵) / 8) + ((3 / ;;256) · (𝐴↑4))) − ((((𝐴↑4) / 8) / 4) + (((𝐴↑2) · 𝐵) / ;16))) = (((((𝐴↑4) / 8) / 4) + (((𝐴↑2) · 𝐵) / ;16)) − ((((𝐴↑2) · 𝐵) / 8) + ((3 / ;;256) · (𝐴↑4)))))
100	65, 79	addcomd 11492	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((((𝐴↑4) / 8) / 4) + (((𝐴↑2) · 𝐵) / ;16)) = ((((𝐴↑2) · 𝐵) / ;16) + (((𝐴↑4) / 8) / 4)))
101	100	oveq2d 7464	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((((𝐴↑2) · 𝐵) / 8) + ((3 / ;;256) · (𝐴↑4))) − ((((𝐴↑4) / 8) / 4) + (((𝐴↑2) · 𝐵) / ;16))) = (((((𝐴↑2) · 𝐵) / 8) + ((3 / ;;256) · (𝐴↑4))) − ((((𝐴↑2) · 𝐵) / ;16) + (((𝐴↑4) / 8) / 4))))
102	60, 89, 79, 65	addsub4d 11694	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((((𝐴↑2) · 𝐵) / 8) + ((3 / ;;256) · (𝐴↑4))) − ((((𝐴↑2) · 𝐵) / ;16) + (((𝐴↑4) / 8) / 4))) = (((((𝐴↑2) · 𝐵) / 8) − (((𝐴↑2) · 𝐵) / ;16)) + (((3 / ;;256) · (𝐴↑4)) − (((𝐴↑4) / 8) / 4))))
103	80	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 3 ∈ ℂ)
104	85	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → ;;256 ∈ ℂ)
105	86	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → ;;256 ≠ 0)
106	103, 63, 104, 105	divassd 12105	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ((3 · (𝐴↑4)) / ;;256) = (3 · ((𝐴↑4) / ;;256)))
107	103, 63, 104, 105	div23d 12107	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ((3 · (𝐴↑4)) / ;;256) = ((3 / ;;256) · (𝐴↑4)))
108		1p2e3 12436	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (1 + 2) = 3
109	108	oveq1i 7458	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((1 + 2) · ((𝐴↑4) / ;;256)) = (3 · ((𝐴↑4) / ;;256))
110		1cnd 11285	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
111	63, 104, 105	divcld 12070	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → ((𝐴↑4) / ;;256) ∈ ℂ)
112	110, 35, 111	adddird 11315	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → ((1 + 2) · ((𝐴↑4) / ;;256)) = ((1 · ((𝐴↑4) / ;;256)) + (2 · ((𝐴↑4) / ;;256))))
113	109, 112	eqtr3id 2794	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (3 · ((𝐴↑4) / ;;256)) = ((1 · ((𝐴↑4) / ;;256)) + (2 · ((𝐴↑4) / ;;256))))
114	111	mullidd 11308	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (1 · ((𝐴↑4) / ;;256)) = ((𝐴↑4) / ;;256))
115	114	oveq1d 7463	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → ((1 · ((𝐴↑4) / ;;256)) + (2 · ((𝐴↑4) / ;;256))) = (((𝐴↑4) / ;;256) + (2 · ((𝐴↑4) / ;;256))))
116	113, 115	eqtrd 2780	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (3 · ((𝐴↑4) / ;;256)) = (((𝐴↑4) / ;;256) + (2 · ((𝐴↑4) / ;;256))))
117	106, 107, 116	3eqtr3d 2788	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ((3 / ;;256) · (𝐴↑4)) = (((𝐴↑4) / ;;256) + (2 · ((𝐴↑4) / ;;256))))
118	43	oveq1i 7458	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (4 · ((((𝐴↑4) / 8) / 4) / 4)) = ((3 + 1) · ((((𝐴↑4) / 8) / 4) / 4))
119	65, 17, 19	divcld 12070	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → ((((𝐴↑4) / 8) / 4) / 4) ∈ ℂ)
120	103, 110, 119	adddird 11315	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → ((3 + 1) · ((((𝐴↑4) / 8) / 4) / 4)) = ((3 · ((((𝐴↑4) / 8) / 4) / 4)) + (1 · ((((𝐴↑4) / 8) / 4) / 4))))
121	118, 120	eqtrid 2792	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (4 · ((((𝐴↑4) / 8) / 4) / 4)) = ((3 · ((((𝐴↑4) / 8) / 4) / 4)) + (1 · ((((𝐴↑4) / 8) / 4) / 4))))
122	65, 17, 19	divcan2d 12072	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (4 · ((((𝐴↑4) / 8) / 4) / 4)) = (((𝐴↑4) / 8) / 4))
123	119	mullidd 11308	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (1 · ((((𝐴↑4) / 8) / 4) / 4)) = ((((𝐴↑4) / 8) / 4) / 4))
124	64, 17, 17, 19, 19	divdiv1d 12101	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → ((((𝐴↑4) / 8) / 4) / 4) = (((𝐴↑4) / 8) / (4 · 4)))
125		4t4e16 12857	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (4 · 4) = ;16
126	125	oveq2i 7459	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝐴↑4) / 8) / (4 · 4)) = (((𝐴↑4) / 8) / ;16)
127	124, 126	eqtrdi 2796	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → ((((𝐴↑4) / 8) / 4) / 4) = (((𝐴↑4) / 8) / ;16))
128	63, 11, 76, 14, 78	divdiv1d 12101	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → (((𝐴↑4) / 8) / ;16) = ((𝐴↑4) / (8 · ;16)))
129	10, 75	mulcli 11297	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (8 · ;16) ∈ ℂ
130	129	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → (8 · ;16) ∈ ℂ)
131	10, 75, 13, 77	mulne0i 11933	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (8 · ;16) ≠ 0
132	131	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → (8 · ;16) ≠ 0)
133	63, 130, 132	divcld 12070	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → ((𝐴↑4) / (8 · ;16)) ∈ ℂ)
134	133, 35, 37	divcan2d 12072	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → (2 · (((𝐴↑4) / (8 · ;16)) / 2)) = ((𝐴↑4) / (8 · ;16)))
135	63, 130, 35, 132, 37	divdiv1d 12101	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → (((𝐴↑4) / (8 · ;16)) / 2) = ((𝐴↑4) / ((8 · ;16) · 2)))
136	10, 75, 30	mul32i 11486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((8 · ;16) · 2) = ((8 · 2) · ;16)
137		2exp4 17132	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (2↑4) = ;16
138		8t2e16 12873	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (8 · 2) = ;16
139	137, 138	eqtr4i 2771	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (2↑4) = (8 · 2)
140	139, 137	oveq12i 7460	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((2↑4) · (2↑4)) = ((8 · 2) · ;16)
141		4p4e8 12448	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (4 + 4) = 8
142	141	oveq2i 7459	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (2↑(4 + 4)) = (2↑8)
143		expadd 14155	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ 4 ∈ ℕ0 ∧ 4 ∈ ℕ0) → (2↑(4 + 4)) = ((2↑4) · (2↑4)))
144	30, 61, 61, 143	mp3an 1461	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (2↑(4 + 4)) = ((2↑4) · (2↑4))
145		2exp8 17136	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (2↑8) = ;;256
146	142, 144, 145	3eqtr3i 2776	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((2↑4) · (2↑4)) = ;;256
147	136, 140, 146	3eqtr2i 2774	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((8 · ;16) · 2) = ;;256
148	147	oveq2i 7459	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝐴↑4) / ((8 · ;16) · 2)) = ((𝐴↑4) / ;;256)
149	135, 148	eqtrdi 2796	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → (((𝐴↑4) / (8 · ;16)) / 2) = ((𝐴↑4) / ;;256))
150	149	oveq2d 7464	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → (2 · (((𝐴↑4) / (8 · ;16)) / 2)) = (2 · ((𝐴↑4) / ;;256)))
151	128, 134, 150	3eqtr2d 2786	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (((𝐴↑4) / 8) / ;16) = (2 · ((𝐴↑4) / ;;256)))
152	123, 127, 151	3eqtrd 2784	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (1 · ((((𝐴↑4) / 8) / 4) / 4)) = (2 · ((𝐴↑4) / ;;256)))
153	152	oveq2d 7464	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ((3 · ((((𝐴↑4) / 8) / 4) / 4)) + (1 · ((((𝐴↑4) / 8) / 4) / 4))) = ((3 · ((((𝐴↑4) / 8) / 4) / 4)) + (2 · ((𝐴↑4) / ;;256))))
154	121, 122, 153	3eqtr3d 2788	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (((𝐴↑4) / 8) / 4) = ((3 · ((((𝐴↑4) / 8) / 4) / 4)) + (2 · ((𝐴↑4) / ;;256))))
155	117, 154	oveq12d 7466	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (((3 / ;;256) · (𝐴↑4)) − (((𝐴↑4) / 8) / 4)) = ((((𝐴↑4) / ;;256) + (2 · ((𝐴↑4) / ;;256))) − ((3 · ((((𝐴↑4) / 8) / 4) / 4)) + (2 · ((𝐴↑4) / ;;256)))))
156		mulcl 11268	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((3 ∈ ℂ ∧ ((((𝐴↑4) / 8) / 4) / 4) ∈ ℂ) → (3 · ((((𝐴↑4) / 8) / 4) / 4)) ∈ ℂ)
157	80, 119, 156	sylancr 586	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (3 · ((((𝐴↑4) / 8) / 4) / 4)) ∈ ℂ)
158		mulcl 11268	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ ((𝐴↑4) / ;;256) ∈ ℂ) → (2 · ((𝐴↑4) / ;;256)) ∈ ℂ)
159	30, 111, 158	sylancr 586	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (2 · ((𝐴↑4) / ;;256)) ∈ ℂ)
160	111, 157, 159	pnpcan2d 11685	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((((𝐴↑4) / ;;256) + (2 · ((𝐴↑4) / ;;256))) − ((3 · ((((𝐴↑4) / 8) / 4) / 4)) + (2 · ((𝐴↑4) / ;;256)))) = (((𝐴↑4) / ;;256) − (3 · ((((𝐴↑4) / 8) / 4) / 4))))
161	155, 160	eqtrd 2780	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (((3 / ;;256) · (𝐴↑4)) − (((𝐴↑4) / 8) / 4)) = (((𝐴↑4) / ;;256) − (3 · ((((𝐴↑4) / 8) / 4) / 4))))
162	161	oveq2d 7464	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((((𝐴↑2) · 𝐵) / ;16) + (((3 / ;;256) · (𝐴↑4)) − (((𝐴↑4) / 8) / 4))) = ((((𝐴↑2) · 𝐵) / ;16) + (((𝐴↑4) / ;;256) − (3 · ((((𝐴↑4) / 8) / 4) / 4)))))
163	79, 111, 157	addsub12d 11670	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((((𝐴↑2) · 𝐵) / ;16) + (((𝐴↑4) / ;;256) − (3 · ((((𝐴↑4) / 8) / 4) / 4)))) = (((𝐴↑4) / ;;256) + ((((𝐴↑2) · 𝐵) / ;16) − (3 · ((((𝐴↑4) / 8) / 4) / 4)))))
164	162, 163	eqtrd 2780	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((((𝐴↑2) · 𝐵) / ;16) + (((3 / ;;256) · (𝐴↑4)) − (((𝐴↑4) / 8) / 4))) = (((𝐴↑4) / ;;256) + ((((𝐴↑2) · 𝐵) / ;16) − (3 · ((((𝐴↑4) / 8) / 4) / 4)))))
165	59, 11, 35, 14, 37	divdiv1d 12101	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ((((𝐴↑2) · 𝐵) / 8) / 2) = (((𝐴↑2) · 𝐵) / (8 · 2)))
166	138	oveq2i 7459	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐴↑2) · 𝐵) / (8 · 2)) = (((𝐴↑2) · 𝐵) / ;16)
167	165, 166	eqtrdi 2796	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ((((𝐴↑2) · 𝐵) / 8) / 2) = (((𝐴↑2) · 𝐵) / ;16))
168	167	oveq2d 7464	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (2 · ((((𝐴↑2) · 𝐵) / 8) / 2)) = (2 · (((𝐴↑2) · 𝐵) / ;16)))
169	60, 35, 37	divcan2d 12072	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (2 · ((((𝐴↑2) · 𝐵) / 8) / 2)) = (((𝐴↑2) · 𝐵) / 8))
170	79	2timesd 12536	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (2 · (((𝐴↑2) · 𝐵) / ;16)) = ((((𝐴↑2) · 𝐵) / ;16) + (((𝐴↑2) · 𝐵) / ;16)))
171	168, 169, 170	3eqtr3d 2788	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (((𝐴↑2) · 𝐵) / 8) = ((((𝐴↑2) · 𝐵) / ;16) + (((𝐴↑2) · 𝐵) / ;16)))
172	79, 79, 171	mvrladdd 11703	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((((𝐴↑2) · 𝐵) / 8) − (((𝐴↑2) · 𝐵) / ;16)) = (((𝐴↑2) · 𝐵) / ;16))
173	172	oveq1d 7463	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (((((𝐴↑2) · 𝐵) / 8) − (((𝐴↑2) · 𝐵) / ;16)) + (((3 / ;;256) · (𝐴↑4)) − (((𝐴↑4) / 8) / 4))) = ((((𝐴↑2) · 𝐵) / ;16) + (((3 / ;;256) · (𝐴↑4)) − (((𝐴↑4) / 8) / 4))))
174		quart1.p	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑃 = (𝐵 − ((3 / 8) · (𝐴↑2))))
175	174	oveq1d 7463	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑃 · ((𝐴 / 4)↑2)) = ((𝐵 − ((3 / 8) · (𝐴↑2))) · ((𝐴 / 4)↑2)))
176	80, 10, 13	divcli 12036	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (3 / 8) ∈ ℂ
177		mulcl 11268	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((3 / 8) ∈ ℂ ∧ (𝐴↑2) ∈ ℂ) → ((3 / 8) · (𝐴↑2)) ∈ ℂ)
178	176, 58, 177	sylancr 586	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((3 / 8) · (𝐴↑2)) ∈ ℂ)
179	20	sqcld 14194	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 / 4)↑2) ∈ ℂ)
180	3, 178, 179	subdird 11747	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 − ((3 / 8) · (𝐴↑2))) · ((𝐴 / 4)↑2)) = ((𝐵 · ((𝐴 / 4)↑2)) − (((3 / 8) · (𝐴↑2)) · ((𝐴 / 4)↑2))))
181	2, 17, 19	sqdivd 14209	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 / 4)↑2) = ((𝐴↑2) / (4↑2)))
182	16	sqvali 14229	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (4↑2) = (4 · 4)
183	182, 125	eqtri 2768	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (4↑2) = ;16
184	183	oveq2i 7459	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐴↑2) / (4↑2)) = ((𝐴↑2) / ;16)
185	181, 184	eqtrdi 2796	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 / 4)↑2) = ((𝐴↑2) / ;16))
186	185	oveq2d 7464	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝐵 · ((𝐴 / 4)↑2)) = (𝐵 · ((𝐴↑2) / ;16)))
187	3, 58, 76, 78	divassd 12105	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 · (𝐴↑2)) / ;16) = (𝐵 · ((𝐴↑2) / ;16)))
188	3, 58	mulcomd 11311	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝐵 · (𝐴↑2)) = ((𝐴↑2) · 𝐵))
189	188	oveq1d 7463	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 · (𝐴↑2)) / ;16) = (((𝐴↑2) · 𝐵) / ;16))
190	186, 187, 189	3eqtr2d 2786	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝐵 · ((𝐴 / 4)↑2)) = (((𝐴↑2) · 𝐵) / ;16))
191	176	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → (3 / 8) ∈ ℂ)
192	191, 58, 58	mulassd 11313	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (((3 / 8) · (𝐴↑2)) · (𝐴↑2)) = ((3 / 8) · ((𝐴↑2) · (𝐴↑2))))
193	103, 63, 11, 14	div23d 12107	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → ((3 · (𝐴↑4)) / 8) = ((3 / 8) · (𝐴↑4)))
194		2p2e4 12428	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (2 + 2) = 4
195	194	oveq2i 7459	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝐴↑(2 + 2)) = (𝐴↑4)
196	81	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℕ0)
197	2, 196, 196	expaddd 14198	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑(2 + 2)) = ((𝐴↑2) · (𝐴↑2)))
198	195, 197	eqtr3id 2794	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑4) = ((𝐴↑2) · (𝐴↑2)))
199	198	oveq2d 7464	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → ((3 / 8) · (𝐴↑4)) = ((3 / 8) · ((𝐴↑2) · (𝐴↑2))))
200	193, 199	eqtrd 2780	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → ((3 · (𝐴↑4)) / 8) = ((3 / 8) · ((𝐴↑2) · (𝐴↑2))))
201	103, 63, 11, 14	divassd 12105	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → ((3 · (𝐴↑4)) / 8) = (3 · ((𝐴↑4) / 8)))
202	192, 200, 201	3eqtr2d 2786	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (((3 / 8) · (𝐴↑2)) · (𝐴↑2)) = (3 · ((𝐴↑4) / 8)))
203	202	oveq1d 7463	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ((((3 / 8) · (𝐴↑2)) · (𝐴↑2)) / (4↑2)) = ((3 · ((𝐴↑4) / 8)) / (4↑2)))
204	183, 76	eqeltrid 2848	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (4↑2) ∈ ℂ)
205	183, 77	eqnetri 3017	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (4↑2) ≠ 0
206	205	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (4↑2) ≠ 0)
207	178, 58, 204, 206	divassd 12105	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ((((3 / 8) · (𝐴↑2)) · (𝐴↑2)) / (4↑2)) = (((3 / 8) · (𝐴↑2)) · ((𝐴↑2) / (4↑2))))
208	103, 64, 204, 206	divassd 12105	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ((3 · ((𝐴↑4) / 8)) / (4↑2)) = (3 · (((𝐴↑4) / 8) / (4↑2))))
209	203, 207, 208	3eqtr3d 2788	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (((3 / 8) · (𝐴↑2)) · ((𝐴↑2) / (4↑2))) = (3 · (((𝐴↑4) / 8) / (4↑2))))
210	181	oveq2d 7464	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (((3 / 8) · (𝐴↑2)) · ((𝐴 / 4)↑2)) = (((3 / 8) · (𝐴↑2)) · ((𝐴↑2) / (4↑2))))
211	183	oveq2i 7459	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐴↑4) / 8) / (4↑2)) = (((𝐴↑4) / 8) / ;16)
212	127, 211	eqtr4di 2798	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ((((𝐴↑4) / 8) / 4) / 4) = (((𝐴↑4) / 8) / (4↑2)))
213	212	oveq2d 7464	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (3 · ((((𝐴↑4) / 8) / 4) / 4)) = (3 · (((𝐴↑4) / 8) / (4↑2))))
214	209, 210, 213	3eqtr4d 2790	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (((3 / 8) · (𝐴↑2)) · ((𝐴 / 4)↑2)) = (3 · ((((𝐴↑4) / 8) / 4) / 4)))
215	190, 214	oveq12d 7466	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 · ((𝐴 / 4)↑2)) − (((3 / 8) · (𝐴↑2)) · ((𝐴 / 4)↑2))) = ((((𝐴↑2) · 𝐵) / ;16) − (3 · ((((𝐴↑4) / 8) / 4) / 4))))
216	175, 180, 215	3eqtrd 2784	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑃 · ((𝐴 / 4)↑2)) = ((((𝐴↑2) · 𝐵) / ;16) − (3 · ((((𝐴↑4) / 8) / 4) / 4))))
217	216	oveq2d 7464	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (((𝐴↑4) / ;;256) + (𝑃 · ((𝐴 / 4)↑2))) = (((𝐴↑4) / ;;256) + ((((𝐴↑2) · 𝐵) / ;16) − (3 · ((((𝐴↑4) / 8) / 4) / 4)))))
218	164, 173, 217	3eqtr4d 2790	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((((𝐴↑2) · 𝐵) / 8) − (((𝐴↑2) · 𝐵) / ;16)) + (((3 / ;;256) · (𝐴↑4)) − (((𝐴↑4) / 8) / 4))) = (((𝐴↑4) / ;;256) + (𝑃 · ((𝐴 / 4)↑2))))
219	101, 102, 218	3eqtrd 2784	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((((𝐴↑2) · 𝐵) / 8) + ((3 / ;;256) · (𝐴↑4))) − ((((𝐴↑4) / 8) / 4) + (((𝐴↑2) · 𝐵) / ;16))) = (((𝐴↑4) / ;;256) + (𝑃 · ((𝐴 / 4)↑2))))
220	219	negeqd 11530	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → -(((((𝐴↑2) · 𝐵) / 8) + ((3 / ;;256) · (𝐴↑4))) − ((((𝐴↑4) / 8) / 4) + (((𝐴↑2) · 𝐵) / ;16))) = -(((𝐴↑4) / ;;256) + (𝑃 · ((𝐴 / 4)↑2))))
221	65, 79, 60, 89	addsub4d 11694	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((((𝐴↑4) / 8) / 4) + (((𝐴↑2) · 𝐵) / ;16)) − ((((𝐴↑2) · 𝐵) / 8) + ((3 / ;;256) · (𝐴↑4)))) = (((((𝐴↑4) / 8) / 4) − (((𝐴↑2) · 𝐵) / 8)) + ((((𝐴↑2) · 𝐵) / ;16) − ((3 / ;;256) · (𝐴↑4)))))
222	99, 220, 221	3eqtr3rd 2789	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((((𝐴↑4) / 8) / 4) − (((𝐴↑2) · 𝐵) / 8)) + ((((𝐴↑2) · 𝐵) / ;16) − ((3 / ;;256) · (𝐴↑4)))) = -(((𝐴↑4) / ;;256) + (𝑃 · ((𝐴 / 4)↑2))))
223	222	oveq2d 7464	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐷 + (((((𝐴↑4) / 8) / 4) − (((𝐴↑2) · 𝐵) / 8)) + ((((𝐴↑2) · 𝐵) / ;16) − ((3 / ;;256) · (𝐴↑4))))) = (𝐷 + -(((𝐴↑4) / ;;256) + (𝑃 · ((𝐴 / 4)↑2)))))
224	3, 178	subcld 11647	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐵 − ((3 / 8) · (𝐴↑2))) ∈ ℂ)
225	174, 224	eqeltrd 2844	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℂ)
226	225, 179	mulcld 11310	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑃 · ((𝐴 / 4)↑2)) ∈ ℂ)
227	111, 226	addcld 11309	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((𝐴↑4) / ;;256) + (𝑃 · ((𝐴 / 4)↑2))) ∈ ℂ)
228	71, 227	negsubd 11653	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐷 + -(((𝐴↑4) / ;;256) + (𝑃 · ((𝐴 / 4)↑2)))) = (𝐷 − (((𝐴↑4) / ;;256) + (𝑃 · ((𝐴 / 4)↑2)))))
229	96, 223, 228	3eqtrd 2784	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((((𝐴↑4) / 8) / 4) − (((𝐴↑2) · 𝐵) / 8)) + (𝐷 + ((((𝐴↑2) · 𝐵) / ;16) − ((3 / ;;256) · (𝐴↑4))))) = (𝐷 − (((𝐴↑4) / ;;256) + (𝑃 · ((𝐴 / 4)↑2)))))
230	93, 95, 229	3eqtrd 2784	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑄 · (𝐴 / 4)) + 𝑅) = (𝐷 − (((𝐴↑4) / ;;256) + (𝑃 · ((𝐴 / 4)↑2)))))
231	230	oveq2d 7464	. 2 ⊢ (𝜑 → ((((𝐴↑4) / ;;256) + (𝑃 · ((𝐴 / 4)↑2))) + ((𝑄 · (𝐴 / 4)) + 𝑅)) = ((((𝐴↑4) / ;;256) + (𝑃 · ((𝐴 / 4)↑2))) + (𝐷 − (((𝐴↑4) / ;;256) + (𝑃 · ((𝐴 / 4)↑2))))))
232	227, 71	pncan3d 11650	. 2 ⊢ (𝜑 → ((((𝐴↑4) / ;;256) + (𝑃 · ((𝐴 / 4)↑2))) + (𝐷 − (((𝐴↑4) / ;;256) + (𝑃 · ((𝐴 / 4)↑2))))) = 𝐷)
233	231, 232	eqtr2d 2781	1 ⊢ (𝜑 → 𝐷 = ((((𝐴↑4) / ;;256) + (𝑃 · ((𝐴 / 4)↑2))) + ((𝑄 · (𝐴 / 4)) + 𝑅)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1537   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2946  (class class class)co 7448  ℂcc 11182  0cc0 11184  1c1 11185   + caddc 11187   · cmul 11189   − cmin 11520  -cneg 11521   / cdiv 11947  2c2 12348  3c3 12349  4c4 12350  5c5 12351  6c6 12352  8c8 12354  ℕ₀cn0 12553  ;cdc 12758  ↑cexp 14112

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-div 11948  df-nn 12294  df-2 12356  df-3 12357  df-4 12358  df-5 12359  df-6 12360  df-7 12361  df-8 12362  df-9 12363  df-n0 12554  df-z 12640  df-dec 12759  df-uz 12904  df-seq 14053  df-exp 14113

This theorem is referenced by:  quart1  26917