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Theorem quart1lem 25425
Description: Lemma for quart1 25426. (Contributed by Mario Carneiro, 6-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
quart1.a (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
quart1.b (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
quart1.c (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
quart1.d (𝜑𝐷 ∈ ℂ)
quart1.p (𝜑𝑃 = (𝐵 − ((3 / 8) · (𝐴↑2))))
quart1.q (𝜑𝑄 = ((𝐶 − ((𝐴 · 𝐵) / 2)) + ((𝐴↑3) / 8)))
quart1.r (𝜑𝑅 = ((𝐷 − ((𝐶 · 𝐴) / 4)) + ((((𝐴↑2) · 𝐵) / 16) − ((3 / 256) · (𝐴↑4)))))
quart1.x (𝜑𝑋 ∈ ℂ)
quart1.y (𝜑𝑌 = (𝑋 + (𝐴 / 4)))
Assertion
Ref Expression
quart1lem (𝜑𝐷 = ((((𝐴↑4) / 256) + (𝑃 · ((𝐴 / 4)↑2))) + ((𝑄 · (𝐴 / 4)) + 𝑅)))

Proof of Theorem quart1lem
StepHypRef Expression
1 quart1.c . . . . . . . . 9 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
2 quart1.a . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
3 quart1.b . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
42, 3mulcld 10653 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℂ)
54halfcld 11874 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵) / 2) ∈ ℂ)
61, 5subcld 10989 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐶 − ((𝐴 · 𝐵) / 2)) ∈ ℂ)
7 3nn0 11907 . . . . . . . . . 10 3 ∈ ℕ0
8 expcl 13439 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 3 ∈ ℕ0) → (𝐴↑3) ∈ ℂ)
92, 7, 8sylancl 588 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐴↑3) ∈ ℂ)
10 8cn 11726 . . . . . . . . . 10 8 ∈ ℂ
1110a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 8 ∈ ℂ)
12 8nn 11724 . . . . . . . . . . 11 8 ∈ ℕ
1312nnne0i 11669 . . . . . . . . . 10 8 ≠ 0
1413a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 8 ≠ 0)
159, 11, 14divcld 11408 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐴↑3) / 8) ∈ ℂ)
16 4cn 11714 . . . . . . . . . 10 4 ∈ ℂ
1716a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 4 ∈ ℂ)
18 4ne0 11737 . . . . . . . . . 10 4 ≠ 0
1918a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 4 ≠ 0)
202, 17, 19divcld 11408 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐴 / 4) ∈ ℂ)
216, 15, 20adddird 10658 . . . . . . 7 (𝜑 → (((𝐶 − ((𝐴 · 𝐵) / 2)) + ((𝐴↑3) / 8)) · (𝐴 / 4)) = (((𝐶 − ((𝐴 · 𝐵) / 2)) · (𝐴 / 4)) + (((𝐴↑3) / 8) · (𝐴 / 4))))
22 quart1.q . . . . . . . 8 (𝜑𝑄 = ((𝐶 − ((𝐴 · 𝐵) / 2)) + ((𝐴↑3) / 8)))
2322oveq1d 7163 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑄 · (𝐴 / 4)) = (((𝐶 − ((𝐴 · 𝐵) / 2)) + ((𝐴↑3) / 8)) · (𝐴 / 4)))
241, 2, 17, 19divassd 11443 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝐶 · 𝐴) / 4) = (𝐶 · (𝐴 / 4)))
252sqvald 13499 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝐴↑2) = (𝐴 · 𝐴))
2625oveq1d 7163 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((𝐴↑2) · 𝐵) = ((𝐴 · 𝐴) · 𝐵))
272, 2, 3mul32d 10842 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((𝐴 · 𝐴) · 𝐵) = ((𝐴 · 𝐵) · 𝐴))
2826, 27eqtrd 2854 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝐴↑2) · 𝐵) = ((𝐴 · 𝐵) · 𝐴))
2928oveq1d 7163 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (((𝐴↑2) · 𝐵) / 8) = (((𝐴 · 𝐵) · 𝐴) / 8))
30 2cn 11704 . . . . . . . . . . . . . 14 2 ∈ ℂ
31 4t2e8 11797 . . . . . . . . . . . . . 14 (4 · 2) = 8
3216, 30, 31mulcomli 10642 . . . . . . . . . . . . 13 (2 · 4) = 8
3332oveq2i 7159 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 · 𝐵) · 𝐴) / (2 · 4)) = (((𝐴 · 𝐵) · 𝐴) / 8)
3429, 33syl6eqr 2872 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (((𝐴↑2) · 𝐵) / 8) = (((𝐴 · 𝐵) · 𝐴) / (2 · 4)))
3530a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
36 2ne0 11733 . . . . . . . . . . . . 13 2 ≠ 0
3736a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 2 ≠ 0)
384, 35, 2, 17, 37, 19divmuldivd 11449 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (((𝐴 · 𝐵) / 2) · (𝐴 / 4)) = (((𝐴 · 𝐵) · 𝐴) / (2 · 4)))
3934, 38eqtr4d 2857 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (((𝐴↑2) · 𝐵) / 8) = (((𝐴 · 𝐵) / 2) · (𝐴 / 4)))
4024, 39oveq12d 7166 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((𝐶 · 𝐴) / 4) − (((𝐴↑2) · 𝐵) / 8)) = ((𝐶 · (𝐴 / 4)) − (((𝐴 · 𝐵) / 2) · (𝐴 / 4))))
411, 5, 20subdird 11089 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐶 − ((𝐴 · 𝐵) / 2)) · (𝐴 / 4)) = ((𝐶 · (𝐴 / 4)) − (((𝐴 · 𝐵) / 2) · (𝐴 / 4))))
4240, 41eqtr4d 2857 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((𝐶 · 𝐴) / 4) − (((𝐴↑2) · 𝐵) / 8)) = ((𝐶 − ((𝐴 · 𝐵) / 2)) · (𝐴 / 4)))
43 df-4 11694 . . . . . . . . . . . . . 14 4 = (3 + 1)
4443oveq2i 7159 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴↑4) = (𝐴↑(3 + 1))
45 expp1 13428 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 3 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(3 + 1)) = ((𝐴↑3) · 𝐴))
462, 7, 45sylancl 588 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐴↑(3 + 1)) = ((𝐴↑3) · 𝐴))
4744, 46syl5eq 2866 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐴↑4) = ((𝐴↑3) · 𝐴))
4847oveq1d 7163 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝐴↑4) / 8) = (((𝐴↑3) · 𝐴) / 8))
499, 2, 11, 14div23d 11445 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (((𝐴↑3) · 𝐴) / 8) = (((𝐴↑3) / 8) · 𝐴))
5048, 49eqtrd 2854 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝐴↑4) / 8) = (((𝐴↑3) / 8) · 𝐴))
5150oveq1d 7163 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((𝐴↑4) / 8) / 4) = ((((𝐴↑3) / 8) · 𝐴) / 4))
5215, 2, 17, 19divassd 11443 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((((𝐴↑3) / 8) · 𝐴) / 4) = (((𝐴↑3) / 8) · (𝐴 / 4)))
5351, 52eqtrd 2854 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((𝐴↑4) / 8) / 4) = (((𝐴↑3) / 8) · (𝐴 / 4)))
5442, 53oveq12d 7166 . . . . . . 7 (𝜑 → ((((𝐶 · 𝐴) / 4) − (((𝐴↑2) · 𝐵) / 8)) + (((𝐴↑4) / 8) / 4)) = (((𝐶 − ((𝐴 · 𝐵) / 2)) · (𝐴 / 4)) + (((𝐴↑3) / 8) · (𝐴 / 4))))
5521, 23, 543eqtr4d 2864 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑄 · (𝐴 / 4)) = ((((𝐶 · 𝐴) / 4) − (((𝐴↑2) · 𝐵) / 8)) + (((𝐴↑4) / 8) / 4)))
561, 2mulcld 10653 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐶 · 𝐴) ∈ ℂ)
5756, 17, 19divcld 11408 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐶 · 𝐴) / 4) ∈ ℂ)
582sqcld 13500 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐴↑2) ∈ ℂ)
5958, 3mulcld 10653 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐴↑2) · 𝐵) ∈ ℂ)
6059, 11, 14divcld 11408 . . . . . . 7 (𝜑 → (((𝐴↑2) · 𝐵) / 8) ∈ ℂ)
61 4nn0 11908 . . . . . . . . . 10 4 ∈ ℕ0
62 expcl 13439 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 4 ∈ ℕ0) → (𝐴↑4) ∈ ℂ)
632, 61, 62sylancl 588 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐴↑4) ∈ ℂ)
6463, 11, 14divcld 11408 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐴↑4) / 8) ∈ ℂ)
6564, 17, 19divcld 11408 . . . . . . 7 (𝜑 → (((𝐴↑4) / 8) / 4) ∈ ℂ)
6657, 60, 65subadd23d 11011 . . . . . 6 (𝜑 → ((((𝐶 · 𝐴) / 4) − (((𝐴↑2) · 𝐵) / 8)) + (((𝐴↑4) / 8) / 4)) = (((𝐶 · 𝐴) / 4) + ((((𝐴↑4) / 8) / 4) − (((𝐴↑2) · 𝐵) / 8))))
6765, 60subcld 10989 . . . . . . 7 (𝜑 → ((((𝐴↑4) / 8) / 4) − (((𝐴↑2) · 𝐵) / 8)) ∈ ℂ)
6857, 67addcomd 10834 . . . . . 6 (𝜑 → (((𝐶 · 𝐴) / 4) + ((((𝐴↑4) / 8) / 4) − (((𝐴↑2) · 𝐵) / 8))) = (((((𝐴↑4) / 8) / 4) − (((𝐴↑2) · 𝐵) / 8)) + ((𝐶 · 𝐴) / 4)))
6955, 66, 683eqtrd 2858 . . . . 5 (𝜑 → (𝑄 · (𝐴 / 4)) = (((((𝐴↑4) / 8) / 4) − (((𝐴↑2) · 𝐵) / 8)) + ((𝐶 · 𝐴) / 4)))
70 quart1.r . . . . . 6 (𝜑𝑅 = ((𝐷 − ((𝐶 · 𝐴) / 4)) + ((((𝐴↑2) · 𝐵) / 16) − ((3 / 256) · (𝐴↑4)))))
71 quart1.d . . . . . . 7 (𝜑𝐷 ∈ ℂ)
72 1nn0 11905 . . . . . . . . . . . 12 1 ∈ ℕ0
73 6nn 11718 . . . . . . . . . . . 12 6 ∈ ℕ
7472, 73decnncl 12110 . . . . . . . . . . 11 16 ∈ ℕ
7574nncni 11640 . . . . . . . . . 10 16 ∈ ℂ
7675a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑16 ∈ ℂ)
7774nnne0i 11669 . . . . . . . . . 10 16 ≠ 0
7877a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑16 ≠ 0)
7959, 76, 78divcld 11408 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((𝐴↑2) · 𝐵) / 16) ∈ ℂ)
80 3cn 11710 . . . . . . . . . 10 3 ∈ ℂ
81 2nn0 11906 . . . . . . . . . . . . 13 2 ∈ ℕ0
82 5nn0 11909 . . . . . . . . . . . . 13 5 ∈ ℕ0
8381, 82deccl 12105 . . . . . . . . . . . 12 25 ∈ ℕ0
8483, 73decnncl 12110 . . . . . . . . . . 11 256 ∈ ℕ
8584nncni 11640 . . . . . . . . . 10 256 ∈ ℂ
8684nnne0i 11669 . . . . . . . . . 10 256 ≠ 0
8780, 85, 86divcli 11374 . . . . . . . . 9 (3 / 256) ∈ ℂ
88 mulcl 10613 . . . . . . . . 9 (((3 / 256) ∈ ℂ ∧ (𝐴↑4) ∈ ℂ) → ((3 / 256) · (𝐴↑4)) ∈ ℂ)
8987, 63, 88sylancr 589 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((3 / 256) · (𝐴↑4)) ∈ ℂ)
9079, 89subcld 10989 . . . . . . 7 (𝜑 → ((((𝐴↑2) · 𝐵) / 16) − ((3 / 256) · (𝐴↑4))) ∈ ℂ)
9171, 90, 57addsubd 11010 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐷 + ((((𝐴↑2) · 𝐵) / 16) − ((3 / 256) · (𝐴↑4)))) − ((𝐶 · 𝐴) / 4)) = ((𝐷 − ((𝐶 · 𝐴) / 4)) + ((((𝐴↑2) · 𝐵) / 16) − ((3 / 256) · (𝐴↑4)))))
9270, 91eqtr4d 2857 . . . . 5 (𝜑𝑅 = ((𝐷 + ((((𝐴↑2) · 𝐵) / 16) − ((3 / 256) · (𝐴↑4)))) − ((𝐶 · 𝐴) / 4)))
9369, 92oveq12d 7166 . . . 4 (𝜑 → ((𝑄 · (𝐴 / 4)) + 𝑅) = ((((((𝐴↑4) / 8) / 4) − (((𝐴↑2) · 𝐵) / 8)) + ((𝐶 · 𝐴) / 4)) + ((𝐷 + ((((𝐴↑2) · 𝐵) / 16) − ((3 / 256) · (𝐴↑4)))) − ((𝐶 · 𝐴) / 4))))
9471, 90addcld 10652 . . . . 5 (𝜑 → (𝐷 + ((((𝐴↑2) · 𝐵) / 16) − ((3 / 256) · (𝐴↑4)))) ∈ ℂ)
9567, 57, 94ppncand 11029 . . . 4 (𝜑 → ((((((𝐴↑4) / 8) / 4) − (((𝐴↑2) · 𝐵) / 8)) + ((𝐶 · 𝐴) / 4)) + ((𝐷 + ((((𝐴↑2) · 𝐵) / 16) − ((3 / 256) · (𝐴↑4)))) − ((𝐶 · 𝐴) / 4))) = (((((𝐴↑4) / 8) / 4) − (((𝐴↑2) · 𝐵) / 8)) + (𝐷 + ((((𝐴↑2) · 𝐵) / 16) − ((3 / 256) · (𝐴↑4))))))
9667, 71, 90add12d 10858 . . . . 5 (𝜑 → (((((𝐴↑4) / 8) / 4) − (((𝐴↑2) · 𝐵) / 8)) + (𝐷 + ((((𝐴↑2) · 𝐵) / 16) − ((3 / 256) · (𝐴↑4))))) = (𝐷 + (((((𝐴↑4) / 8) / 4) − (((𝐴↑2) · 𝐵) / 8)) + ((((𝐴↑2) · 𝐵) / 16) − ((3 / 256) · (𝐴↑4))))))
9760, 89addcld 10652 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((((𝐴↑2) · 𝐵) / 8) + ((3 / 256) · (𝐴↑4))) ∈ ℂ)
9865, 79addcld 10652 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((((𝐴↑4) / 8) / 4) + (((𝐴↑2) · 𝐵) / 16)) ∈ ℂ)
9997, 98negsubdi2d 11005 . . . . . . 7 (𝜑 → -(((((𝐴↑2) · 𝐵) / 8) + ((3 / 256) · (𝐴↑4))) − ((((𝐴↑4) / 8) / 4) + (((𝐴↑2) · 𝐵) / 16))) = (((((𝐴↑4) / 8) / 4) + (((𝐴↑2) · 𝐵) / 16)) − ((((𝐴↑2) · 𝐵) / 8) + ((3 / 256) · (𝐴↑4)))))
10065, 79addcomd 10834 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((((𝐴↑4) / 8) / 4) + (((𝐴↑2) · 𝐵) / 16)) = ((((𝐴↑2) · 𝐵) / 16) + (((𝐴↑4) / 8) / 4)))
101100oveq2d 7164 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((((𝐴↑2) · 𝐵) / 8) + ((3 / 256) · (𝐴↑4))) − ((((𝐴↑4) / 8) / 4) + (((𝐴↑2) · 𝐵) / 16))) = (((((𝐴↑2) · 𝐵) / 8) + ((3 / 256) · (𝐴↑4))) − ((((𝐴↑2) · 𝐵) / 16) + (((𝐴↑4) / 8) / 4))))
10260, 89, 79, 65addsub4d 11036 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((((𝐴↑2) · 𝐵) / 8) + ((3 / 256) · (𝐴↑4))) − ((((𝐴↑2) · 𝐵) / 16) + (((𝐴↑4) / 8) / 4))) = (((((𝐴↑2) · 𝐵) / 8) − (((𝐴↑2) · 𝐵) / 16)) + (((3 / 256) · (𝐴↑4)) − (((𝐴↑4) / 8) / 4))))
10380a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → 3 ∈ ℂ)
10485a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑256 ∈ ℂ)
10586a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑256 ≠ 0)
106103, 63, 104, 105divassd 11443 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((3 · (𝐴↑4)) / 256) = (3 · ((𝐴↑4) / 256)))
107103, 63, 104, 105div23d 11445 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((3 · (𝐴↑4)) / 256) = ((3 / 256) · (𝐴↑4)))
108 1p2e3 11772 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (1 + 2) = 3
109108oveq1i 7158 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((1 + 2) · ((𝐴↑4) / 256)) = (3 · ((𝐴↑4) / 256))
110 1cnd 10628 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
11163, 104, 105divcld 11408 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → ((𝐴↑4) / 256) ∈ ℂ)
112110, 35, 111adddird 10658 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → ((1 + 2) · ((𝐴↑4) / 256)) = ((1 · ((𝐴↑4) / 256)) + (2 · ((𝐴↑4) / 256))))
113109, 112syl5eqr 2868 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (3 · ((𝐴↑4) / 256)) = ((1 · ((𝐴↑4) / 256)) + (2 · ((𝐴↑4) / 256))))
114111mulid2d 10651 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (1 · ((𝐴↑4) / 256)) = ((𝐴↑4) / 256))
115114oveq1d 7163 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ((1 · ((𝐴↑4) / 256)) + (2 · ((𝐴↑4) / 256))) = (((𝐴↑4) / 256) + (2 · ((𝐴↑4) / 256))))
116113, 115eqtrd 2854 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (3 · ((𝐴↑4) / 256)) = (((𝐴↑4) / 256) + (2 · ((𝐴↑4) / 256))))
117106, 107, 1163eqtr3d 2862 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((3 / 256) · (𝐴↑4)) = (((𝐴↑4) / 256) + (2 · ((𝐴↑4) / 256))))
11843oveq1i 7158 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (4 · ((((𝐴↑4) / 8) / 4) / 4)) = ((3 + 1) · ((((𝐴↑4) / 8) / 4) / 4))
11965, 17, 19divcld 11408 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → ((((𝐴↑4) / 8) / 4) / 4) ∈ ℂ)
120103, 110, 119adddird 10658 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ((3 + 1) · ((((𝐴↑4) / 8) / 4) / 4)) = ((3 · ((((𝐴↑4) / 8) / 4) / 4)) + (1 · ((((𝐴↑4) / 8) / 4) / 4))))
121118, 120syl5eq 2866 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (4 · ((((𝐴↑4) / 8) / 4) / 4)) = ((3 · ((((𝐴↑4) / 8) / 4) / 4)) + (1 · ((((𝐴↑4) / 8) / 4) / 4))))
12265, 17, 19divcan2d 11410 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (4 · ((((𝐴↑4) / 8) / 4) / 4)) = (((𝐴↑4) / 8) / 4))
123119mulid2d 10651 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (1 · ((((𝐴↑4) / 8) / 4) / 4)) = ((((𝐴↑4) / 8) / 4) / 4))
12464, 17, 17, 19, 19divdiv1d 11439 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → ((((𝐴↑4) / 8) / 4) / 4) = (((𝐴↑4) / 8) / (4 · 4)))
125 4t4e16 12189 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (4 · 4) = 16
126125oveq2i 7159 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐴↑4) / 8) / (4 · 4)) = (((𝐴↑4) / 8) / 16)
127124, 126syl6eq 2870 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → ((((𝐴↑4) / 8) / 4) / 4) = (((𝐴↑4) / 8) / 16))
12863, 11, 76, 14, 78divdiv1d 11439 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (((𝐴↑4) / 8) / 16) = ((𝐴↑4) / (8 · 16)))
12910, 75mulcli 10640 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (8 · 16) ∈ ℂ
130129a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (8 · 16) ∈ ℂ)
13110, 75, 13, 77mulne0i 11275 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (8 · 16) ≠ 0
132131a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (8 · 16) ≠ 0)
13363, 130, 132divcld 11408 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → ((𝐴↑4) / (8 · 16)) ∈ ℂ)
134133, 35, 37divcan2d 11410 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (2 · (((𝐴↑4) / (8 · 16)) / 2)) = ((𝐴↑4) / (8 · 16)))
13563, 130, 35, 132, 37divdiv1d 11439 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (((𝐴↑4) / (8 · 16)) / 2) = ((𝐴↑4) / ((8 · 16) · 2)))
13610, 75, 30mul32i 10828 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((8 · 16) · 2) = ((8 · 2) · 16)
137 2exp4 16413 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (2↑4) = 16
138 8t2e16 12205 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (8 · 2) = 16
139137, 138eqtr4i 2845 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (2↑4) = (8 · 2)
140139, 137oveq12i 7160 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((2↑4) · (2↑4)) = ((8 · 2) · 16)
141 4p4e8 11784 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (4 + 4) = 8
142141oveq2i 7159 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (2↑(4 + 4)) = (2↑8)
143 expadd 13463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((2 ∈ ℂ ∧ 4 ∈ ℕ0 ∧ 4 ∈ ℕ0) → (2↑(4 + 4)) = ((2↑4) · (2↑4)))
14430, 61, 61, 143mp3an 1454 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (2↑(4 + 4)) = ((2↑4) · (2↑4))
145 2exp8 16415 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (2↑8) = 256
146142, 144, 1453eqtr3i 2850 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((2↑4) · (2↑4)) = 256
147136, 140, 1463eqtr2i 2848 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((8 · 16) · 2) = 256
148147oveq2i 7159 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐴↑4) / ((8 · 16) · 2)) = ((𝐴↑4) / 256)
149135, 148syl6eq 2870 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → (((𝐴↑4) / (8 · 16)) / 2) = ((𝐴↑4) / 256))
150149oveq2d 7164 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (2 · (((𝐴↑4) / (8 · 16)) / 2)) = (2 · ((𝐴↑4) / 256)))
151128, 134, 1503eqtr2d 2860 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (((𝐴↑4) / 8) / 16) = (2 · ((𝐴↑4) / 256)))
152123, 127, 1513eqtrd 2858 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (1 · ((((𝐴↑4) / 8) / 4) / 4)) = (2 · ((𝐴↑4) / 256)))
153152oveq2d 7164 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((3 · ((((𝐴↑4) / 8) / 4) / 4)) + (1 · ((((𝐴↑4) / 8) / 4) / 4))) = ((3 · ((((𝐴↑4) / 8) / 4) / 4)) + (2 · ((𝐴↑4) / 256))))
154121, 122, 1533eqtr3d 2862 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (((𝐴↑4) / 8) / 4) = ((3 · ((((𝐴↑4) / 8) / 4) / 4)) + (2 · ((𝐴↑4) / 256))))
155117, 154oveq12d 7166 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (((3 / 256) · (𝐴↑4)) − (((𝐴↑4) / 8) / 4)) = ((((𝐴↑4) / 256) + (2 · ((𝐴↑4) / 256))) − ((3 · ((((𝐴↑4) / 8) / 4) / 4)) + (2 · ((𝐴↑4) / 256)))))
156 mulcl 10613 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((3 ∈ ℂ ∧ ((((𝐴↑4) / 8) / 4) / 4) ∈ ℂ) → (3 · ((((𝐴↑4) / 8) / 4) / 4)) ∈ ℂ)
15780, 119, 156sylancr 589 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (3 · ((((𝐴↑4) / 8) / 4) / 4)) ∈ ℂ)
158 mulcl 10613 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((2 ∈ ℂ ∧ ((𝐴↑4) / 256) ∈ ℂ) → (2 · ((𝐴↑4) / 256)) ∈ ℂ)
15930, 111, 158sylancr 589 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (2 · ((𝐴↑4) / 256)) ∈ ℂ)
160111, 157, 159pnpcan2d 11027 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((((𝐴↑4) / 256) + (2 · ((𝐴↑4) / 256))) − ((3 · ((((𝐴↑4) / 8) / 4) / 4)) + (2 · ((𝐴↑4) / 256)))) = (((𝐴↑4) / 256) − (3 · ((((𝐴↑4) / 8) / 4) / 4))))
161155, 160eqtrd 2854 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (((3 / 256) · (𝐴↑4)) − (((𝐴↑4) / 8) / 4)) = (((𝐴↑4) / 256) − (3 · ((((𝐴↑4) / 8) / 4) / 4))))
162161oveq2d 7164 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((((𝐴↑2) · 𝐵) / 16) + (((3 / 256) · (𝐴↑4)) − (((𝐴↑4) / 8) / 4))) = ((((𝐴↑2) · 𝐵) / 16) + (((𝐴↑4) / 256) − (3 · ((((𝐴↑4) / 8) / 4) / 4)))))
16379, 111, 157addsub12d 11012 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((((𝐴↑2) · 𝐵) / 16) + (((𝐴↑4) / 256) − (3 · ((((𝐴↑4) / 8) / 4) / 4)))) = (((𝐴↑4) / 256) + ((((𝐴↑2) · 𝐵) / 16) − (3 · ((((𝐴↑4) / 8) / 4) / 4)))))
164162, 163eqtrd 2854 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((((𝐴↑2) · 𝐵) / 16) + (((3 / 256) · (𝐴↑4)) − (((𝐴↑4) / 8) / 4))) = (((𝐴↑4) / 256) + ((((𝐴↑2) · 𝐵) / 16) − (3 · ((((𝐴↑4) / 8) / 4) / 4)))))
16559, 11, 35, 14, 37divdiv1d 11439 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((((𝐴↑2) · 𝐵) / 8) / 2) = (((𝐴↑2) · 𝐵) / (8 · 2)))
166138oveq2i 7159 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴↑2) · 𝐵) / (8 · 2)) = (((𝐴↑2) · 𝐵) / 16)
167165, 166syl6eq 2870 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((((𝐴↑2) · 𝐵) / 8) / 2) = (((𝐴↑2) · 𝐵) / 16))
168167oveq2d 7164 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (2 · ((((𝐴↑2) · 𝐵) / 8) / 2)) = (2 · (((𝐴↑2) · 𝐵) / 16)))
16960, 35, 37divcan2d 11410 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (2 · ((((𝐴↑2) · 𝐵) / 8) / 2)) = (((𝐴↑2) · 𝐵) / 8))
170792timesd 11872 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (2 · (((𝐴↑2) · 𝐵) / 16)) = ((((𝐴↑2) · 𝐵) / 16) + (((𝐴↑2) · 𝐵) / 16)))
171168, 169, 1703eqtr3d 2862 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (((𝐴↑2) · 𝐵) / 8) = ((((𝐴↑2) · 𝐵) / 16) + (((𝐴↑2) · 𝐵) / 16)))
17279, 79, 171mvrladdd 11045 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((((𝐴↑2) · 𝐵) / 8) − (((𝐴↑2) · 𝐵) / 16)) = (((𝐴↑2) · 𝐵) / 16))
173172oveq1d 7163 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (((((𝐴↑2) · 𝐵) / 8) − (((𝐴↑2) · 𝐵) / 16)) + (((3 / 256) · (𝐴↑4)) − (((𝐴↑4) / 8) / 4))) = ((((𝐴↑2) · 𝐵) / 16) + (((3 / 256) · (𝐴↑4)) − (((𝐴↑4) / 8) / 4))))
174 quart1.p . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑃 = (𝐵 − ((3 / 8) · (𝐴↑2))))
175174oveq1d 7163 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑃 · ((𝐴 / 4)↑2)) = ((𝐵 − ((3 / 8) · (𝐴↑2))) · ((𝐴 / 4)↑2)))
17680, 10, 13divcli 11374 . . . . . . . . . . . . . 14 (3 / 8) ∈ ℂ
177 mulcl 10613 . . . . . . . . . . . . . 14 (((3 / 8) ∈ ℂ ∧ (𝐴↑2) ∈ ℂ) → ((3 / 8) · (𝐴↑2)) ∈ ℂ)
178176, 58, 177sylancr 589 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((3 / 8) · (𝐴↑2)) ∈ ℂ)
17920sqcld 13500 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝐴 / 4)↑2) ∈ ℂ)
1803, 178, 179subdird 11089 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝐵 − ((3 / 8) · (𝐴↑2))) · ((𝐴 / 4)↑2)) = ((𝐵 · ((𝐴 / 4)↑2)) − (((3 / 8) · (𝐴↑2)) · ((𝐴 / 4)↑2))))
1812, 17, 19sqdivd 13515 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ((𝐴 / 4)↑2) = ((𝐴↑2) / (4↑2)))
18216sqvali 13535 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (4↑2) = (4 · 4)
183182, 125eqtri 2842 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (4↑2) = 16
184183oveq2i 7159 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐴↑2) / (4↑2)) = ((𝐴↑2) / 16)
185181, 184syl6eq 2870 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((𝐴 / 4)↑2) = ((𝐴↑2) / 16))
186185oveq2d 7164 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝐵 · ((𝐴 / 4)↑2)) = (𝐵 · ((𝐴↑2) / 16)))
1873, 58, 76, 78divassd 11443 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((𝐵 · (𝐴↑2)) / 16) = (𝐵 · ((𝐴↑2) / 16)))
1883, 58mulcomd 10654 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝐵 · (𝐴↑2)) = ((𝐴↑2) · 𝐵))
189188oveq1d 7163 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((𝐵 · (𝐴↑2)) / 16) = (((𝐴↑2) · 𝐵) / 16))
190186, 187, 1893eqtr2d 2860 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐵 · ((𝐴 / 4)↑2)) = (((𝐴↑2) · 𝐵) / 16))
191176a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (3 / 8) ∈ ℂ)
192191, 58, 58mulassd 10656 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (((3 / 8) · (𝐴↑2)) · (𝐴↑2)) = ((3 / 8) · ((𝐴↑2) · (𝐴↑2))))
193103, 63, 11, 14div23d 11445 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → ((3 · (𝐴↑4)) / 8) = ((3 / 8) · (𝐴↑4)))
194 2p2e4 11764 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (2 + 2) = 4
195194oveq2i 7159 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝐴↑(2 + 2)) = (𝐴↑4)
19681a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → 2 ∈ ℕ0)
1972, 196, 196expaddd 13504 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (𝐴↑(2 + 2)) = ((𝐴↑2) · (𝐴↑2)))
198195, 197syl5eqr 2868 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → (𝐴↑4) = ((𝐴↑2) · (𝐴↑2)))
199198oveq2d 7164 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → ((3 / 8) · (𝐴↑4)) = ((3 / 8) · ((𝐴↑2) · (𝐴↑2))))
200193, 199eqtrd 2854 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → ((3 · (𝐴↑4)) / 8) = ((3 / 8) · ((𝐴↑2) · (𝐴↑2))))
201103, 63, 11, 14divassd 11443 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → ((3 · (𝐴↑4)) / 8) = (3 · ((𝐴↑4) / 8)))
202192, 200, 2013eqtr2d 2860 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (((3 / 8) · (𝐴↑2)) · (𝐴↑2)) = (3 · ((𝐴↑4) / 8)))
203202oveq1d 7163 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((((3 / 8) · (𝐴↑2)) · (𝐴↑2)) / (4↑2)) = ((3 · ((𝐴↑4) / 8)) / (4↑2)))
204183, 76eqeltrid 2915 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (4↑2) ∈ ℂ)
205183, 77eqnetri 3084 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (4↑2) ≠ 0
206205a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (4↑2) ≠ 0)
207178, 58, 204, 206divassd 11443 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((((3 / 8) · (𝐴↑2)) · (𝐴↑2)) / (4↑2)) = (((3 / 8) · (𝐴↑2)) · ((𝐴↑2) / (4↑2))))
208103, 64, 204, 206divassd 11443 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((3 · ((𝐴↑4) / 8)) / (4↑2)) = (3 · (((𝐴↑4) / 8) / (4↑2))))
209203, 207, 2083eqtr3d 2862 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (((3 / 8) · (𝐴↑2)) · ((𝐴↑2) / (4↑2))) = (3 · (((𝐴↑4) / 8) / (4↑2))))
210181oveq2d 7164 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (((3 / 8) · (𝐴↑2)) · ((𝐴 / 4)↑2)) = (((3 / 8) · (𝐴↑2)) · ((𝐴↑2) / (4↑2))))
211183oveq2i 7159 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐴↑4) / 8) / (4↑2)) = (((𝐴↑4) / 8) / 16)
212127, 211syl6eqr 2872 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((((𝐴↑4) / 8) / 4) / 4) = (((𝐴↑4) / 8) / (4↑2)))
213212oveq2d 7164 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (3 · ((((𝐴↑4) / 8) / 4) / 4)) = (3 · (((𝐴↑4) / 8) / (4↑2))))
214209, 210, 2133eqtr4d 2864 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (((3 / 8) · (𝐴↑2)) · ((𝐴 / 4)↑2)) = (3 · ((((𝐴↑4) / 8) / 4) / 4)))
215190, 214oveq12d 7166 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝐵 · ((𝐴 / 4)↑2)) − (((3 / 8) · (𝐴↑2)) · ((𝐴 / 4)↑2))) = ((((𝐴↑2) · 𝐵) / 16) − (3 · ((((𝐴↑4) / 8) / 4) / 4))))
216175, 180, 2153eqtrd 2858 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑃 · ((𝐴 / 4)↑2)) = ((((𝐴↑2) · 𝐵) / 16) − (3 · ((((𝐴↑4) / 8) / 4) / 4))))
217216oveq2d 7164 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (((𝐴↑4) / 256) + (𝑃 · ((𝐴 / 4)↑2))) = (((𝐴↑4) / 256) + ((((𝐴↑2) · 𝐵) / 16) − (3 · ((((𝐴↑4) / 8) / 4) / 4)))))
218164, 173, 2173eqtr4d 2864 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((((𝐴↑2) · 𝐵) / 8) − (((𝐴↑2) · 𝐵) / 16)) + (((3 / 256) · (𝐴↑4)) − (((𝐴↑4) / 8) / 4))) = (((𝐴↑4) / 256) + (𝑃 · ((𝐴 / 4)↑2))))
219101, 102, 2183eqtrd 2858 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((((𝐴↑2) · 𝐵) / 8) + ((3 / 256) · (𝐴↑4))) − ((((𝐴↑4) / 8) / 4) + (((𝐴↑2) · 𝐵) / 16))) = (((𝐴↑4) / 256) + (𝑃 · ((𝐴 / 4)↑2))))
220219negeqd 10872 . . . . . . 7 (𝜑 → -(((((𝐴↑2) · 𝐵) / 8) + ((3 / 256) · (𝐴↑4))) − ((((𝐴↑4) / 8) / 4) + (((𝐴↑2) · 𝐵) / 16))) = -(((𝐴↑4) / 256) + (𝑃 · ((𝐴 / 4)↑2))))
22165, 79, 60, 89addsub4d 11036 . . . . . . 7 (𝜑 → (((((𝐴↑4) / 8) / 4) + (((𝐴↑2) · 𝐵) / 16)) − ((((𝐴↑2) · 𝐵) / 8) + ((3 / 256) · (𝐴↑4)))) = (((((𝐴↑4) / 8) / 4) − (((𝐴↑2) · 𝐵) / 8)) + ((((𝐴↑2) · 𝐵) / 16) − ((3 / 256) · (𝐴↑4)))))
22299, 220, 2213eqtr3rd 2863 . . . . . 6 (𝜑 → (((((𝐴↑4) / 8) / 4) − (((𝐴↑2) · 𝐵) / 8)) + ((((𝐴↑2) · 𝐵) / 16) − ((3 / 256) · (𝐴↑4)))) = -(((𝐴↑4) / 256) + (𝑃 · ((𝐴 / 4)↑2))))
223222oveq2d 7164 . . . . 5 (𝜑 → (𝐷 + (((((𝐴↑4) / 8) / 4) − (((𝐴↑2) · 𝐵) / 8)) + ((((𝐴↑2) · 𝐵) / 16) − ((3 / 256) · (𝐴↑4))))) = (𝐷 + -(((𝐴↑4) / 256) + (𝑃 · ((𝐴 / 4)↑2)))))
2243, 178subcld 10989 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐵 − ((3 / 8) · (𝐴↑2))) ∈ ℂ)
225174, 224eqeltrd 2911 . . . . . . . 8 (𝜑𝑃 ∈ ℂ)
226225, 179mulcld 10653 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑃 · ((𝐴 / 4)↑2)) ∈ ℂ)
227111, 226addcld 10652 . . . . . 6 (𝜑 → (((𝐴↑4) / 256) + (𝑃 · ((𝐴 / 4)↑2))) ∈ ℂ)
22871, 227negsubd 10995 . . . . 5 (𝜑 → (𝐷 + -(((𝐴↑4) / 256) + (𝑃 · ((𝐴 / 4)↑2)))) = (𝐷 − (((𝐴↑4) / 256) + (𝑃 · ((𝐴 / 4)↑2)))))
22996, 223, 2283eqtrd 2858 . . . 4 (𝜑 → (((((𝐴↑4) / 8) / 4) − (((𝐴↑2) · 𝐵) / 8)) + (𝐷 + ((((𝐴↑2) · 𝐵) / 16) − ((3 / 256) · (𝐴↑4))))) = (𝐷 − (((𝐴↑4) / 256) + (𝑃 · ((𝐴 / 4)↑2)))))
23093, 95, 2293eqtrd 2858 . . 3 (𝜑 → ((𝑄 · (𝐴 / 4)) + 𝑅) = (𝐷 − (((𝐴↑4) / 256) + (𝑃 · ((𝐴 / 4)↑2)))))
231230oveq2d 7164 . 2 (𝜑 → ((((𝐴↑4) / 256) + (𝑃 · ((𝐴 / 4)↑2))) + ((𝑄 · (𝐴 / 4)) + 𝑅)) = ((((𝐴↑4) / 256) + (𝑃 · ((𝐴 / 4)↑2))) + (𝐷 − (((𝐴↑4) / 256) + (𝑃 · ((𝐴 / 4)↑2))))))
232227, 71pncan3d 10992 . 2 (𝜑 → ((((𝐴↑4) / 256) + (𝑃 · ((𝐴 / 4)↑2))) + (𝐷 − (((𝐴↑4) / 256) + (𝑃 · ((𝐴 / 4)↑2))))) = 𝐷)
233231, 232eqtr2d 2855 1 (𝜑𝐷 = ((((𝐴↑4) / 256) + (𝑃 · ((𝐴 / 4)↑2))) + ((𝑄 · (𝐴 / 4)) + 𝑅)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1530  wcel 2107  wne 3014  (class class class)co 7148  cc 10527  0cc0 10529  1c1 10530   + caddc 10532   · cmul 10534  cmin 10862  -cneg 10863   / cdiv 11289  2c2 11684  3c3 11685  4c4 11686  5c5 11687  6c6 11688  8c8 11690  0cn0 11889  cdc 12090  cexp 13421
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2791  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7453  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2616  df-eu 2648  df-clab 2798  df-cleq 2812  df-clel 2891  df-nfc 2961  df-ne 3015  df-nel 3122  df-ral 3141  df-rex 3142  df-reu 3143  df-rmo 3144  df-rab 3145  df-v 3495  df-sbc 3771  df-csb 3882  df-dif 3937  df-un 3939  df-in 3941  df-ss 3950  df-pss 3952  df-nul 4290  df-if 4466  df-pw 4539  df-sn 4560  df-pr 4562  df-tp 4564  df-op 4566  df-uni 4831  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7106  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-om 7573  df-2nd 7682  df-wrecs 7939  df-recs 8000  df-rdg 8038  df-er 8281  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-div 11290  df-nn 11631  df-2 11692  df-3 11693  df-4 11694  df-5 11695  df-6 11696  df-7 11697  df-8 11698  df-9 11699  df-n0 11890  df-z 11974  df-dec 12091  df-uz 12236  df-seq 13362  df-exp 13422
This theorem is referenced by:  quart1  25426
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