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Theorem quart1lem 26702
Description: Lemma for quart1 26703. (Contributed by Mario Carneiro, 6-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
quart1.a (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
quart1.b (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
quart1.c (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
quart1.d (𝜑𝐷 ∈ ℂ)
quart1.p (𝜑𝑃 = (𝐵 − ((3 / 8) · (𝐴↑2))))
quart1.q (𝜑𝑄 = ((𝐶 − ((𝐴 · 𝐵) / 2)) + ((𝐴↑3) / 8)))
quart1.r (𝜑𝑅 = ((𝐷 − ((𝐶 · 𝐴) / 4)) + ((((𝐴↑2) · 𝐵) / 16) − ((3 / 256) · (𝐴↑4)))))
quart1.x (𝜑𝑋 ∈ ℂ)
quart1.y (𝜑𝑌 = (𝑋 + (𝐴 / 4)))
Assertion
Ref Expression
quart1lem (𝜑𝐷 = ((((𝐴↑4) / 256) + (𝑃 · ((𝐴 / 4)↑2))) + ((𝑄 · (𝐴 / 4)) + 𝑅)))

Proof of Theorem quart1lem
StepHypRef Expression
1 quart1.c . . . . . . . . 9 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
2 quart1.a . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
3 quart1.b . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
42, 3mulcld 11241 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℂ)
54halfcld 12464 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵) / 2) ∈ ℂ)
61, 5subcld 11578 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐶 − ((𝐴 · 𝐵) / 2)) ∈ ℂ)
7 3nn0 12497 . . . . . . . . . 10 3 ∈ ℕ0
8 expcl 14052 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 3 ∈ ℕ0) → (𝐴↑3) ∈ ℂ)
92, 7, 8sylancl 585 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐴↑3) ∈ ℂ)
10 8cn 12316 . . . . . . . . . 10 8 ∈ ℂ
1110a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 8 ∈ ℂ)
12 8nn 12314 . . . . . . . . . . 11 8 ∈ ℕ
1312nnne0i 12259 . . . . . . . . . 10 8 ≠ 0
1413a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 8 ≠ 0)
159, 11, 14divcld 11997 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐴↑3) / 8) ∈ ℂ)
16 4cn 12304 . . . . . . . . . 10 4 ∈ ℂ
1716a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 4 ∈ ℂ)
18 4ne0 12327 . . . . . . . . . 10 4 ≠ 0
1918a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 4 ≠ 0)
202, 17, 19divcld 11997 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐴 / 4) ∈ ℂ)
216, 15, 20adddird 11246 . . . . . . 7 (𝜑 → (((𝐶 − ((𝐴 · 𝐵) / 2)) + ((𝐴↑3) / 8)) · (𝐴 / 4)) = (((𝐶 − ((𝐴 · 𝐵) / 2)) · (𝐴 / 4)) + (((𝐴↑3) / 8) · (𝐴 / 4))))
22 quart1.q . . . . . . . 8 (𝜑𝑄 = ((𝐶 − ((𝐴 · 𝐵) / 2)) + ((𝐴↑3) / 8)))
2322oveq1d 7427 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑄 · (𝐴 / 4)) = (((𝐶 − ((𝐴 · 𝐵) / 2)) + ((𝐴↑3) / 8)) · (𝐴 / 4)))
241, 2, 17, 19divassd 12032 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝐶 · 𝐴) / 4) = (𝐶 · (𝐴 / 4)))
252sqvald 14115 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝐴↑2) = (𝐴 · 𝐴))
2625oveq1d 7427 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((𝐴↑2) · 𝐵) = ((𝐴 · 𝐴) · 𝐵))
272, 2, 3mul32d 11431 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((𝐴 · 𝐴) · 𝐵) = ((𝐴 · 𝐵) · 𝐴))
2826, 27eqtrd 2771 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝐴↑2) · 𝐵) = ((𝐴 · 𝐵) · 𝐴))
2928oveq1d 7427 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (((𝐴↑2) · 𝐵) / 8) = (((𝐴 · 𝐵) · 𝐴) / 8))
30 2cn 12294 . . . . . . . . . . . . . 14 2 ∈ ℂ
31 4t2e8 12387 . . . . . . . . . . . . . 14 (4 · 2) = 8
3216, 30, 31mulcomli 11230 . . . . . . . . . . . . 13 (2 · 4) = 8
3332oveq2i 7423 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 · 𝐵) · 𝐴) / (2 · 4)) = (((𝐴 · 𝐵) · 𝐴) / 8)
3429, 33eqtr4di 2789 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (((𝐴↑2) · 𝐵) / 8) = (((𝐴 · 𝐵) · 𝐴) / (2 · 4)))
3530a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
36 2ne0 12323 . . . . . . . . . . . . 13 2 ≠ 0
3736a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 2 ≠ 0)
384, 35, 2, 17, 37, 19divmuldivd 12038 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (((𝐴 · 𝐵) / 2) · (𝐴 / 4)) = (((𝐴 · 𝐵) · 𝐴) / (2 · 4)))
3934, 38eqtr4d 2774 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (((𝐴↑2) · 𝐵) / 8) = (((𝐴 · 𝐵) / 2) · (𝐴 / 4)))
4024, 39oveq12d 7430 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((𝐶 · 𝐴) / 4) − (((𝐴↑2) · 𝐵) / 8)) = ((𝐶 · (𝐴 / 4)) − (((𝐴 · 𝐵) / 2) · (𝐴 / 4))))
411, 5, 20subdird 11678 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐶 − ((𝐴 · 𝐵) / 2)) · (𝐴 / 4)) = ((𝐶 · (𝐴 / 4)) − (((𝐴 · 𝐵) / 2) · (𝐴 / 4))))
4240, 41eqtr4d 2774 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((𝐶 · 𝐴) / 4) − (((𝐴↑2) · 𝐵) / 8)) = ((𝐶 − ((𝐴 · 𝐵) / 2)) · (𝐴 / 4)))
43 df-4 12284 . . . . . . . . . . . . . 14 4 = (3 + 1)
4443oveq2i 7423 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴↑4) = (𝐴↑(3 + 1))
45 expp1 14041 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 3 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(3 + 1)) = ((𝐴↑3) · 𝐴))
462, 7, 45sylancl 585 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐴↑(3 + 1)) = ((𝐴↑3) · 𝐴))
4744, 46eqtrid 2783 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐴↑4) = ((𝐴↑3) · 𝐴))
4847oveq1d 7427 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝐴↑4) / 8) = (((𝐴↑3) · 𝐴) / 8))
499, 2, 11, 14div23d 12034 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (((𝐴↑3) · 𝐴) / 8) = (((𝐴↑3) / 8) · 𝐴))
5048, 49eqtrd 2771 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝐴↑4) / 8) = (((𝐴↑3) / 8) · 𝐴))
5150oveq1d 7427 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((𝐴↑4) / 8) / 4) = ((((𝐴↑3) / 8) · 𝐴) / 4))
5215, 2, 17, 19divassd 12032 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((((𝐴↑3) / 8) · 𝐴) / 4) = (((𝐴↑3) / 8) · (𝐴 / 4)))
5351, 52eqtrd 2771 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((𝐴↑4) / 8) / 4) = (((𝐴↑3) / 8) · (𝐴 / 4)))
5442, 53oveq12d 7430 . . . . . . 7 (𝜑 → ((((𝐶 · 𝐴) / 4) − (((𝐴↑2) · 𝐵) / 8)) + (((𝐴↑4) / 8) / 4)) = (((𝐶 − ((𝐴 · 𝐵) / 2)) · (𝐴 / 4)) + (((𝐴↑3) / 8) · (𝐴 / 4))))
5521, 23, 543eqtr4d 2781 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑄 · (𝐴 / 4)) = ((((𝐶 · 𝐴) / 4) − (((𝐴↑2) · 𝐵) / 8)) + (((𝐴↑4) / 8) / 4)))
561, 2mulcld 11241 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐶 · 𝐴) ∈ ℂ)
5756, 17, 19divcld 11997 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐶 · 𝐴) / 4) ∈ ℂ)
582sqcld 14116 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐴↑2) ∈ ℂ)
5958, 3mulcld 11241 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐴↑2) · 𝐵) ∈ ℂ)
6059, 11, 14divcld 11997 . . . . . . 7 (𝜑 → (((𝐴↑2) · 𝐵) / 8) ∈ ℂ)
61 4nn0 12498 . . . . . . . . . 10 4 ∈ ℕ0
62 expcl 14052 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 4 ∈ ℕ0) → (𝐴↑4) ∈ ℂ)
632, 61, 62sylancl 585 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐴↑4) ∈ ℂ)
6463, 11, 14divcld 11997 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐴↑4) / 8) ∈ ℂ)
6564, 17, 19divcld 11997 . . . . . . 7 (𝜑 → (((𝐴↑4) / 8) / 4) ∈ ℂ)
6657, 60, 65subadd23d 11600 . . . . . 6 (𝜑 → ((((𝐶 · 𝐴) / 4) − (((𝐴↑2) · 𝐵) / 8)) + (((𝐴↑4) / 8) / 4)) = (((𝐶 · 𝐴) / 4) + ((((𝐴↑4) / 8) / 4) − (((𝐴↑2) · 𝐵) / 8))))
6765, 60subcld 11578 . . . . . . 7 (𝜑 → ((((𝐴↑4) / 8) / 4) − (((𝐴↑2) · 𝐵) / 8)) ∈ ℂ)
6857, 67addcomd 11423 . . . . . 6 (𝜑 → (((𝐶 · 𝐴) / 4) + ((((𝐴↑4) / 8) / 4) − (((𝐴↑2) · 𝐵) / 8))) = (((((𝐴↑4) / 8) / 4) − (((𝐴↑2) · 𝐵) / 8)) + ((𝐶 · 𝐴) / 4)))
6955, 66, 683eqtrd 2775 . . . . 5 (𝜑 → (𝑄 · (𝐴 / 4)) = (((((𝐴↑4) / 8) / 4) − (((𝐴↑2) · 𝐵) / 8)) + ((𝐶 · 𝐴) / 4)))
70 quart1.r . . . . . 6 (𝜑𝑅 = ((𝐷 − ((𝐶 · 𝐴) / 4)) + ((((𝐴↑2) · 𝐵) / 16) − ((3 / 256) · (𝐴↑4)))))
71 quart1.d . . . . . . 7 (𝜑𝐷 ∈ ℂ)
72 1nn0 12495 . . . . . . . . . . . 12 1 ∈ ℕ0
73 6nn 12308 . . . . . . . . . . . 12 6 ∈ ℕ
7472, 73decnncl 12704 . . . . . . . . . . 11 16 ∈ ℕ
7574nncni 12229 . . . . . . . . . 10 16 ∈ ℂ
7675a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑16 ∈ ℂ)
7774nnne0i 12259 . . . . . . . . . 10 16 ≠ 0
7877a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑16 ≠ 0)
7959, 76, 78divcld 11997 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((𝐴↑2) · 𝐵) / 16) ∈ ℂ)
80 3cn 12300 . . . . . . . . . 10 3 ∈ ℂ
81 2nn0 12496 . . . . . . . . . . . . 13 2 ∈ ℕ0
82 5nn0 12499 . . . . . . . . . . . . 13 5 ∈ ℕ0
8381, 82deccl 12699 . . . . . . . . . . . 12 25 ∈ ℕ0
8483, 73decnncl 12704 . . . . . . . . . . 11 256 ∈ ℕ
8584nncni 12229 . . . . . . . . . 10 256 ∈ ℂ
8684nnne0i 12259 . . . . . . . . . 10 256 ≠ 0
8780, 85, 86divcli 11963 . . . . . . . . 9 (3 / 256) ∈ ℂ
88 mulcl 11200 . . . . . . . . 9 (((3 / 256) ∈ ℂ ∧ (𝐴↑4) ∈ ℂ) → ((3 / 256) · (𝐴↑4)) ∈ ℂ)
8987, 63, 88sylancr 586 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((3 / 256) · (𝐴↑4)) ∈ ℂ)
9079, 89subcld 11578 . . . . . . 7 (𝜑 → ((((𝐴↑2) · 𝐵) / 16) − ((3 / 256) · (𝐴↑4))) ∈ ℂ)
9171, 90, 57addsubd 11599 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐷 + ((((𝐴↑2) · 𝐵) / 16) − ((3 / 256) · (𝐴↑4)))) − ((𝐶 · 𝐴) / 4)) = ((𝐷 − ((𝐶 · 𝐴) / 4)) + ((((𝐴↑2) · 𝐵) / 16) − ((3 / 256) · (𝐴↑4)))))
9270, 91eqtr4d 2774 . . . . 5 (𝜑𝑅 = ((𝐷 + ((((𝐴↑2) · 𝐵) / 16) − ((3 / 256) · (𝐴↑4)))) − ((𝐶 · 𝐴) / 4)))
9369, 92oveq12d 7430 . . . 4 (𝜑 → ((𝑄 · (𝐴 / 4)) + 𝑅) = ((((((𝐴↑4) / 8) / 4) − (((𝐴↑2) · 𝐵) / 8)) + ((𝐶 · 𝐴) / 4)) + ((𝐷 + ((((𝐴↑2) · 𝐵) / 16) − ((3 / 256) · (𝐴↑4)))) − ((𝐶 · 𝐴) / 4))))
9471, 90addcld 11240 . . . . 5 (𝜑 → (𝐷 + ((((𝐴↑2) · 𝐵) / 16) − ((3 / 256) · (𝐴↑4)))) ∈ ℂ)
9567, 57, 94ppncand 11618 . . . 4 (𝜑 → ((((((𝐴↑4) / 8) / 4) − (((𝐴↑2) · 𝐵) / 8)) + ((𝐶 · 𝐴) / 4)) + ((𝐷 + ((((𝐴↑2) · 𝐵) / 16) − ((3 / 256) · (𝐴↑4)))) − ((𝐶 · 𝐴) / 4))) = (((((𝐴↑4) / 8) / 4) − (((𝐴↑2) · 𝐵) / 8)) + (𝐷 + ((((𝐴↑2) · 𝐵) / 16) − ((3 / 256) · (𝐴↑4))))))
9667, 71, 90add12d 11447 . . . . 5 (𝜑 → (((((𝐴↑4) / 8) / 4) − (((𝐴↑2) · 𝐵) / 8)) + (𝐷 + ((((𝐴↑2) · 𝐵) / 16) − ((3 / 256) · (𝐴↑4))))) = (𝐷 + (((((𝐴↑4) / 8) / 4) − (((𝐴↑2) · 𝐵) / 8)) + ((((𝐴↑2) · 𝐵) / 16) − ((3 / 256) · (𝐴↑4))))))
9760, 89addcld 11240 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((((𝐴↑2) · 𝐵) / 8) + ((3 / 256) · (𝐴↑4))) ∈ ℂ)
9865, 79addcld 11240 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((((𝐴↑4) / 8) / 4) + (((𝐴↑2) · 𝐵) / 16)) ∈ ℂ)
9997, 98negsubdi2d 11594 . . . . . . 7 (𝜑 → -(((((𝐴↑2) · 𝐵) / 8) + ((3 / 256) · (𝐴↑4))) − ((((𝐴↑4) / 8) / 4) + (((𝐴↑2) · 𝐵) / 16))) = (((((𝐴↑4) / 8) / 4) + (((𝐴↑2) · 𝐵) / 16)) − ((((𝐴↑2) · 𝐵) / 8) + ((3 / 256) · (𝐴↑4)))))
10065, 79addcomd 11423 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((((𝐴↑4) / 8) / 4) + (((𝐴↑2) · 𝐵) / 16)) = ((((𝐴↑2) · 𝐵) / 16) + (((𝐴↑4) / 8) / 4)))
101100oveq2d 7428 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((((𝐴↑2) · 𝐵) / 8) + ((3 / 256) · (𝐴↑4))) − ((((𝐴↑4) / 8) / 4) + (((𝐴↑2) · 𝐵) / 16))) = (((((𝐴↑2) · 𝐵) / 8) + ((3 / 256) · (𝐴↑4))) − ((((𝐴↑2) · 𝐵) / 16) + (((𝐴↑4) / 8) / 4))))
10260, 89, 79, 65addsub4d 11625 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((((𝐴↑2) · 𝐵) / 8) + ((3 / 256) · (𝐴↑4))) − ((((𝐴↑2) · 𝐵) / 16) + (((𝐴↑4) / 8) / 4))) = (((((𝐴↑2) · 𝐵) / 8) − (((𝐴↑2) · 𝐵) / 16)) + (((3 / 256) · (𝐴↑4)) − (((𝐴↑4) / 8) / 4))))
10380a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → 3 ∈ ℂ)
10485a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑256 ∈ ℂ)
10586a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑256 ≠ 0)
106103, 63, 104, 105divassd 12032 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((3 · (𝐴↑4)) / 256) = (3 · ((𝐴↑4) / 256)))
107103, 63, 104, 105div23d 12034 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((3 · (𝐴↑4)) / 256) = ((3 / 256) · (𝐴↑4)))
108 1p2e3 12362 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (1 + 2) = 3
109108oveq1i 7422 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((1 + 2) · ((𝐴↑4) / 256)) = (3 · ((𝐴↑4) / 256))
110 1cnd 11216 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
11163, 104, 105divcld 11997 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → ((𝐴↑4) / 256) ∈ ℂ)
112110, 35, 111adddird 11246 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → ((1 + 2) · ((𝐴↑4) / 256)) = ((1 · ((𝐴↑4) / 256)) + (2 · ((𝐴↑4) / 256))))
113109, 112eqtr3id 2785 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (3 · ((𝐴↑4) / 256)) = ((1 · ((𝐴↑4) / 256)) + (2 · ((𝐴↑4) / 256))))
114111mullidd 11239 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (1 · ((𝐴↑4) / 256)) = ((𝐴↑4) / 256))
115114oveq1d 7427 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ((1 · ((𝐴↑4) / 256)) + (2 · ((𝐴↑4) / 256))) = (((𝐴↑4) / 256) + (2 · ((𝐴↑4) / 256))))
116113, 115eqtrd 2771 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (3 · ((𝐴↑4) / 256)) = (((𝐴↑4) / 256) + (2 · ((𝐴↑4) / 256))))
117106, 107, 1163eqtr3d 2779 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((3 / 256) · (𝐴↑4)) = (((𝐴↑4) / 256) + (2 · ((𝐴↑4) / 256))))
11843oveq1i 7422 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (4 · ((((𝐴↑4) / 8) / 4) / 4)) = ((3 + 1) · ((((𝐴↑4) / 8) / 4) / 4))
11965, 17, 19divcld 11997 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → ((((𝐴↑4) / 8) / 4) / 4) ∈ ℂ)
120103, 110, 119adddird 11246 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ((3 + 1) · ((((𝐴↑4) / 8) / 4) / 4)) = ((3 · ((((𝐴↑4) / 8) / 4) / 4)) + (1 · ((((𝐴↑4) / 8) / 4) / 4))))
121118, 120eqtrid 2783 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (4 · ((((𝐴↑4) / 8) / 4) / 4)) = ((3 · ((((𝐴↑4) / 8) / 4) / 4)) + (1 · ((((𝐴↑4) / 8) / 4) / 4))))
12265, 17, 19divcan2d 11999 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (4 · ((((𝐴↑4) / 8) / 4) / 4)) = (((𝐴↑4) / 8) / 4))
123119mullidd 11239 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (1 · ((((𝐴↑4) / 8) / 4) / 4)) = ((((𝐴↑4) / 8) / 4) / 4))
12464, 17, 17, 19, 19divdiv1d 12028 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → ((((𝐴↑4) / 8) / 4) / 4) = (((𝐴↑4) / 8) / (4 · 4)))
125 4t4e16 12783 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (4 · 4) = 16
126125oveq2i 7423 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐴↑4) / 8) / (4 · 4)) = (((𝐴↑4) / 8) / 16)
127124, 126eqtrdi 2787 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → ((((𝐴↑4) / 8) / 4) / 4) = (((𝐴↑4) / 8) / 16))
12863, 11, 76, 14, 78divdiv1d 12028 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (((𝐴↑4) / 8) / 16) = ((𝐴↑4) / (8 · 16)))
12910, 75mulcli 11228 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (8 · 16) ∈ ℂ
130129a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (8 · 16) ∈ ℂ)
13110, 75, 13, 77mulne0i 11864 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (8 · 16) ≠ 0
132131a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (8 · 16) ≠ 0)
13363, 130, 132divcld 11997 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → ((𝐴↑4) / (8 · 16)) ∈ ℂ)
134133, 35, 37divcan2d 11999 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (2 · (((𝐴↑4) / (8 · 16)) / 2)) = ((𝐴↑4) / (8 · 16)))
13563, 130, 35, 132, 37divdiv1d 12028 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (((𝐴↑4) / (8 · 16)) / 2) = ((𝐴↑4) / ((8 · 16) · 2)))
13610, 75, 30mul32i 11417 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((8 · 16) · 2) = ((8 · 2) · 16)
137 2exp4 17025 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (2↑4) = 16
138 8t2e16 12799 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (8 · 2) = 16
139137, 138eqtr4i 2762 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (2↑4) = (8 · 2)
140139, 137oveq12i 7424 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((2↑4) · (2↑4)) = ((8 · 2) · 16)
141 4p4e8 12374 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (4 + 4) = 8
142141oveq2i 7423 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (2↑(4 + 4)) = (2↑8)
143 expadd 14077 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((2 ∈ ℂ ∧ 4 ∈ ℕ0 ∧ 4 ∈ ℕ0) → (2↑(4 + 4)) = ((2↑4) · (2↑4)))
14430, 61, 61, 143mp3an 1460 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (2↑(4 + 4)) = ((2↑4) · (2↑4))
145 2exp8 17029 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (2↑8) = 256
146142, 144, 1453eqtr3i 2767 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((2↑4) · (2↑4)) = 256
147136, 140, 1463eqtr2i 2765 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((8 · 16) · 2) = 256
148147oveq2i 7423 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐴↑4) / ((8 · 16) · 2)) = ((𝐴↑4) / 256)
149135, 148eqtrdi 2787 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → (((𝐴↑4) / (8 · 16)) / 2) = ((𝐴↑4) / 256))
150149oveq2d 7428 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (2 · (((𝐴↑4) / (8 · 16)) / 2)) = (2 · ((𝐴↑4) / 256)))
151128, 134, 1503eqtr2d 2777 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (((𝐴↑4) / 8) / 16) = (2 · ((𝐴↑4) / 256)))
152123, 127, 1513eqtrd 2775 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (1 · ((((𝐴↑4) / 8) / 4) / 4)) = (2 · ((𝐴↑4) / 256)))
153152oveq2d 7428 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((3 · ((((𝐴↑4) / 8) / 4) / 4)) + (1 · ((((𝐴↑4) / 8) / 4) / 4))) = ((3 · ((((𝐴↑4) / 8) / 4) / 4)) + (2 · ((𝐴↑4) / 256))))
154121, 122, 1533eqtr3d 2779 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (((𝐴↑4) / 8) / 4) = ((3 · ((((𝐴↑4) / 8) / 4) / 4)) + (2 · ((𝐴↑4) / 256))))
155117, 154oveq12d 7430 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (((3 / 256) · (𝐴↑4)) − (((𝐴↑4) / 8) / 4)) = ((((𝐴↑4) / 256) + (2 · ((𝐴↑4) / 256))) − ((3 · ((((𝐴↑4) / 8) / 4) / 4)) + (2 · ((𝐴↑4) / 256)))))
156 mulcl 11200 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((3 ∈ ℂ ∧ ((((𝐴↑4) / 8) / 4) / 4) ∈ ℂ) → (3 · ((((𝐴↑4) / 8) / 4) / 4)) ∈ ℂ)
15780, 119, 156sylancr 586 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (3 · ((((𝐴↑4) / 8) / 4) / 4)) ∈ ℂ)
158 mulcl 11200 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((2 ∈ ℂ ∧ ((𝐴↑4) / 256) ∈ ℂ) → (2 · ((𝐴↑4) / 256)) ∈ ℂ)
15930, 111, 158sylancr 586 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (2 · ((𝐴↑4) / 256)) ∈ ℂ)
160111, 157, 159pnpcan2d 11616 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((((𝐴↑4) / 256) + (2 · ((𝐴↑4) / 256))) − ((3 · ((((𝐴↑4) / 8) / 4) / 4)) + (2 · ((𝐴↑4) / 256)))) = (((𝐴↑4) / 256) − (3 · ((((𝐴↑4) / 8) / 4) / 4))))
161155, 160eqtrd 2771 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (((3 / 256) · (𝐴↑4)) − (((𝐴↑4) / 8) / 4)) = (((𝐴↑4) / 256) − (3 · ((((𝐴↑4) / 8) / 4) / 4))))
162161oveq2d 7428 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((((𝐴↑2) · 𝐵) / 16) + (((3 / 256) · (𝐴↑4)) − (((𝐴↑4) / 8) / 4))) = ((((𝐴↑2) · 𝐵) / 16) + (((𝐴↑4) / 256) − (3 · ((((𝐴↑4) / 8) / 4) / 4)))))
16379, 111, 157addsub12d 11601 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((((𝐴↑2) · 𝐵) / 16) + (((𝐴↑4) / 256) − (3 · ((((𝐴↑4) / 8) / 4) / 4)))) = (((𝐴↑4) / 256) + ((((𝐴↑2) · 𝐵) / 16) − (3 · ((((𝐴↑4) / 8) / 4) / 4)))))
164162, 163eqtrd 2771 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((((𝐴↑2) · 𝐵) / 16) + (((3 / 256) · (𝐴↑4)) − (((𝐴↑4) / 8) / 4))) = (((𝐴↑4) / 256) + ((((𝐴↑2) · 𝐵) / 16) − (3 · ((((𝐴↑4) / 8) / 4) / 4)))))
16559, 11, 35, 14, 37divdiv1d 12028 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((((𝐴↑2) · 𝐵) / 8) / 2) = (((𝐴↑2) · 𝐵) / (8 · 2)))
166138oveq2i 7423 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴↑2) · 𝐵) / (8 · 2)) = (((𝐴↑2) · 𝐵) / 16)
167165, 166eqtrdi 2787 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((((𝐴↑2) · 𝐵) / 8) / 2) = (((𝐴↑2) · 𝐵) / 16))
168167oveq2d 7428 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (2 · ((((𝐴↑2) · 𝐵) / 8) / 2)) = (2 · (((𝐴↑2) · 𝐵) / 16)))
16960, 35, 37divcan2d 11999 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (2 · ((((𝐴↑2) · 𝐵) / 8) / 2)) = (((𝐴↑2) · 𝐵) / 8))
170792timesd 12462 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (2 · (((𝐴↑2) · 𝐵) / 16)) = ((((𝐴↑2) · 𝐵) / 16) + (((𝐴↑2) · 𝐵) / 16)))
171168, 169, 1703eqtr3d 2779 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (((𝐴↑2) · 𝐵) / 8) = ((((𝐴↑2) · 𝐵) / 16) + (((𝐴↑2) · 𝐵) / 16)))
17279, 79, 171mvrladdd 11634 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((((𝐴↑2) · 𝐵) / 8) − (((𝐴↑2) · 𝐵) / 16)) = (((𝐴↑2) · 𝐵) / 16))
173172oveq1d 7427 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (((((𝐴↑2) · 𝐵) / 8) − (((𝐴↑2) · 𝐵) / 16)) + (((3 / 256) · (𝐴↑4)) − (((𝐴↑4) / 8) / 4))) = ((((𝐴↑2) · 𝐵) / 16) + (((3 / 256) · (𝐴↑4)) − (((𝐴↑4) / 8) / 4))))
174 quart1.p . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑃 = (𝐵 − ((3 / 8) · (𝐴↑2))))
175174oveq1d 7427 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑃 · ((𝐴 / 4)↑2)) = ((𝐵 − ((3 / 8) · (𝐴↑2))) · ((𝐴 / 4)↑2)))
17680, 10, 13divcli 11963 . . . . . . . . . . . . . 14 (3 / 8) ∈ ℂ
177 mulcl 11200 . . . . . . . . . . . . . 14 (((3 / 8) ∈ ℂ ∧ (𝐴↑2) ∈ ℂ) → ((3 / 8) · (𝐴↑2)) ∈ ℂ)
178176, 58, 177sylancr 586 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((3 / 8) · (𝐴↑2)) ∈ ℂ)
17920sqcld 14116 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝐴 / 4)↑2) ∈ ℂ)
1803, 178, 179subdird 11678 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝐵 − ((3 / 8) · (𝐴↑2))) · ((𝐴 / 4)↑2)) = ((𝐵 · ((𝐴 / 4)↑2)) − (((3 / 8) · (𝐴↑2)) · ((𝐴 / 4)↑2))))
1812, 17, 19sqdivd 14131 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ((𝐴 / 4)↑2) = ((𝐴↑2) / (4↑2)))
18216sqvali 14151 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (4↑2) = (4 · 4)
183182, 125eqtri 2759 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (4↑2) = 16
184183oveq2i 7423 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐴↑2) / (4↑2)) = ((𝐴↑2) / 16)
185181, 184eqtrdi 2787 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((𝐴 / 4)↑2) = ((𝐴↑2) / 16))
186185oveq2d 7428 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝐵 · ((𝐴 / 4)↑2)) = (𝐵 · ((𝐴↑2) / 16)))
1873, 58, 76, 78divassd 12032 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((𝐵 · (𝐴↑2)) / 16) = (𝐵 · ((𝐴↑2) / 16)))
1883, 58mulcomd 11242 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝐵 · (𝐴↑2)) = ((𝐴↑2) · 𝐵))
189188oveq1d 7427 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((𝐵 · (𝐴↑2)) / 16) = (((𝐴↑2) · 𝐵) / 16))
190186, 187, 1893eqtr2d 2777 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐵 · ((𝐴 / 4)↑2)) = (((𝐴↑2) · 𝐵) / 16))
191176a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (3 / 8) ∈ ℂ)
192191, 58, 58mulassd 11244 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (((3 / 8) · (𝐴↑2)) · (𝐴↑2)) = ((3 / 8) · ((𝐴↑2) · (𝐴↑2))))
193103, 63, 11, 14div23d 12034 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → ((3 · (𝐴↑4)) / 8) = ((3 / 8) · (𝐴↑4)))
194 2p2e4 12354 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (2 + 2) = 4
195194oveq2i 7423 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝐴↑(2 + 2)) = (𝐴↑4)
19681a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → 2 ∈ ℕ0)
1972, 196, 196expaddd 14120 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (𝐴↑(2 + 2)) = ((𝐴↑2) · (𝐴↑2)))
198195, 197eqtr3id 2785 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → (𝐴↑4) = ((𝐴↑2) · (𝐴↑2)))
199198oveq2d 7428 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → ((3 / 8) · (𝐴↑4)) = ((3 / 8) · ((𝐴↑2) · (𝐴↑2))))
200193, 199eqtrd 2771 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → ((3 · (𝐴↑4)) / 8) = ((3 / 8) · ((𝐴↑2) · (𝐴↑2))))
201103, 63, 11, 14divassd 12032 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → ((3 · (𝐴↑4)) / 8) = (3 · ((𝐴↑4) / 8)))
202192, 200, 2013eqtr2d 2777 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (((3 / 8) · (𝐴↑2)) · (𝐴↑2)) = (3 · ((𝐴↑4) / 8)))
203202oveq1d 7427 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((((3 / 8) · (𝐴↑2)) · (𝐴↑2)) / (4↑2)) = ((3 · ((𝐴↑4) / 8)) / (4↑2)))
204183, 76eqeltrid 2836 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (4↑2) ∈ ℂ)
205183, 77eqnetri 3010 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (4↑2) ≠ 0
206205a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (4↑2) ≠ 0)
207178, 58, 204, 206divassd 12032 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((((3 / 8) · (𝐴↑2)) · (𝐴↑2)) / (4↑2)) = (((3 / 8) · (𝐴↑2)) · ((𝐴↑2) / (4↑2))))
208103, 64, 204, 206divassd 12032 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((3 · ((𝐴↑4) / 8)) / (4↑2)) = (3 · (((𝐴↑4) / 8) / (4↑2))))
209203, 207, 2083eqtr3d 2779 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (((3 / 8) · (𝐴↑2)) · ((𝐴↑2) / (4↑2))) = (3 · (((𝐴↑4) / 8) / (4↑2))))
210181oveq2d 7428 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (((3 / 8) · (𝐴↑2)) · ((𝐴 / 4)↑2)) = (((3 / 8) · (𝐴↑2)) · ((𝐴↑2) / (4↑2))))
211183oveq2i 7423 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐴↑4) / 8) / (4↑2)) = (((𝐴↑4) / 8) / 16)
212127, 211eqtr4di 2789 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((((𝐴↑4) / 8) / 4) / 4) = (((𝐴↑4) / 8) / (4↑2)))
213212oveq2d 7428 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (3 · ((((𝐴↑4) / 8) / 4) / 4)) = (3 · (((𝐴↑4) / 8) / (4↑2))))
214209, 210, 2133eqtr4d 2781 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (((3 / 8) · (𝐴↑2)) · ((𝐴 / 4)↑2)) = (3 · ((((𝐴↑4) / 8) / 4) / 4)))
215190, 214oveq12d 7430 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝐵 · ((𝐴 / 4)↑2)) − (((3 / 8) · (𝐴↑2)) · ((𝐴 / 4)↑2))) = ((((𝐴↑2) · 𝐵) / 16) − (3 · ((((𝐴↑4) / 8) / 4) / 4))))
216175, 180, 2153eqtrd 2775 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑃 · ((𝐴 / 4)↑2)) = ((((𝐴↑2) · 𝐵) / 16) − (3 · ((((𝐴↑4) / 8) / 4) / 4))))
217216oveq2d 7428 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (((𝐴↑4) / 256) + (𝑃 · ((𝐴 / 4)↑2))) = (((𝐴↑4) / 256) + ((((𝐴↑2) · 𝐵) / 16) − (3 · ((((𝐴↑4) / 8) / 4) / 4)))))
218164, 173, 2173eqtr4d 2781 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((((𝐴↑2) · 𝐵) / 8) − (((𝐴↑2) · 𝐵) / 16)) + (((3 / 256) · (𝐴↑4)) − (((𝐴↑4) / 8) / 4))) = (((𝐴↑4) / 256) + (𝑃 · ((𝐴 / 4)↑2))))
219101, 102, 2183eqtrd 2775 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((((𝐴↑2) · 𝐵) / 8) + ((3 / 256) · (𝐴↑4))) − ((((𝐴↑4) / 8) / 4) + (((𝐴↑2) · 𝐵) / 16))) = (((𝐴↑4) / 256) + (𝑃 · ((𝐴 / 4)↑2))))
220219negeqd 11461 . . . . . . 7 (𝜑 → -(((((𝐴↑2) · 𝐵) / 8) + ((3 / 256) · (𝐴↑4))) − ((((𝐴↑4) / 8) / 4) + (((𝐴↑2) · 𝐵) / 16))) = -(((𝐴↑4) / 256) + (𝑃 · ((𝐴 / 4)↑2))))
22165, 79, 60, 89addsub4d 11625 . . . . . . 7 (𝜑 → (((((𝐴↑4) / 8) / 4) + (((𝐴↑2) · 𝐵) / 16)) − ((((𝐴↑2) · 𝐵) / 8) + ((3 / 256) · (𝐴↑4)))) = (((((𝐴↑4) / 8) / 4) − (((𝐴↑2) · 𝐵) / 8)) + ((((𝐴↑2) · 𝐵) / 16) − ((3 / 256) · (𝐴↑4)))))
22299, 220, 2213eqtr3rd 2780 . . . . . 6 (𝜑 → (((((𝐴↑4) / 8) / 4) − (((𝐴↑2) · 𝐵) / 8)) + ((((𝐴↑2) · 𝐵) / 16) − ((3 / 256) · (𝐴↑4)))) = -(((𝐴↑4) / 256) + (𝑃 · ((𝐴 / 4)↑2))))
223222oveq2d 7428 . . . . 5 (𝜑 → (𝐷 + (((((𝐴↑4) / 8) / 4) − (((𝐴↑2) · 𝐵) / 8)) + ((((𝐴↑2) · 𝐵) / 16) − ((3 / 256) · (𝐴↑4))))) = (𝐷 + -(((𝐴↑4) / 256) + (𝑃 · ((𝐴 / 4)↑2)))))
2243, 178subcld 11578 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐵 − ((3 / 8) · (𝐴↑2))) ∈ ℂ)
225174, 224eqeltrd 2832 . . . . . . . 8 (𝜑𝑃 ∈ ℂ)
226225, 179mulcld 11241 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑃 · ((𝐴 / 4)↑2)) ∈ ℂ)
227111, 226addcld 11240 . . . . . 6 (𝜑 → (((𝐴↑4) / 256) + (𝑃 · ((𝐴 / 4)↑2))) ∈ ℂ)
22871, 227negsubd 11584 . . . . 5 (𝜑 → (𝐷 + -(((𝐴↑4) / 256) + (𝑃 · ((𝐴 / 4)↑2)))) = (𝐷 − (((𝐴↑4) / 256) + (𝑃 · ((𝐴 / 4)↑2)))))
22996, 223, 2283eqtrd 2775 . . . 4 (𝜑 → (((((𝐴↑4) / 8) / 4) − (((𝐴↑2) · 𝐵) / 8)) + (𝐷 + ((((𝐴↑2) · 𝐵) / 16) − ((3 / 256) · (𝐴↑4))))) = (𝐷 − (((𝐴↑4) / 256) + (𝑃 · ((𝐴 / 4)↑2)))))
23093, 95, 2293eqtrd 2775 . . 3 (𝜑 → ((𝑄 · (𝐴 / 4)) + 𝑅) = (𝐷 − (((𝐴↑4) / 256) + (𝑃 · ((𝐴 / 4)↑2)))))
231230oveq2d 7428 . 2 (𝜑 → ((((𝐴↑4) / 256) + (𝑃 · ((𝐴 / 4)↑2))) + ((𝑄 · (𝐴 / 4)) + 𝑅)) = ((((𝐴↑4) / 256) + (𝑃 · ((𝐴 / 4)↑2))) + (𝐷 − (((𝐴↑4) / 256) + (𝑃 · ((𝐴 / 4)↑2))))))
232227, 71pncan3d 11581 . 2 (𝜑 → ((((𝐴↑4) / 256) + (𝑃 · ((𝐴 / 4)↑2))) + (𝐷 − (((𝐴↑4) / 256) + (𝑃 · ((𝐴 / 4)↑2))))) = 𝐷)
233231, 232eqtr2d 2772 1 (𝜑𝐷 = ((((𝐴↑4) / 256) + (𝑃 · ((𝐴 / 4)↑2))) + ((𝑄 · (𝐴 / 4)) + 𝑅)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1540  wcel 2105  wne 2939  (class class class)co 7412  cc 11114  0cc0 11116  1c1 11117   + caddc 11119   · cmul 11121  cmin 11451  -cneg 11452   / cdiv 11878  2c2 12274  3c3 12275  4c4 12276  5c5 12277  6c6 12278  8c8 12280  0cn0 12479  cdc 12684  cexp 14034
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-cnex 11172  ax-resscn 11173  ax-1cn 11174  ax-icn 11175  ax-addcl 11176  ax-addrcl 11177  ax-mulcl 11178  ax-mulrcl 11179  ax-mulcom 11180  ax-addass 11181  ax-mulass 11182  ax-distr 11183  ax-i2m1 11184  ax-1ne0 11185  ax-1rid 11186  ax-rnegex 11187  ax-rrecex 11188  ax-cnre 11189  ax-pre-lttri 11190  ax-pre-lttrn 11191  ax-pre-ltadd 11192  ax-pre-mulgt0 11193
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7860  df-2nd 7980  df-frecs 8272  df-wrecs 8303  df-recs 8377  df-rdg 8416  df-er 8709  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-pnf 11257  df-mnf 11258  df-xr 11259  df-ltxr 11260  df-le 11261  df-sub 11453  df-neg 11454  df-div 11879  df-nn 12220  df-2 12282  df-3 12283  df-4 12284  df-5 12285  df-6 12286  df-7 12287  df-8 12288  df-9 12289  df-n0 12480  df-z 12566  df-dec 12685  df-uz 12830  df-seq 13974  df-exp 14035
This theorem is referenced by:  quart1  26703
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