Theorem quart1lem 26844

Description: Lemma for quart1 26845. (Contributed by Mario Carneiro, 6-May-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
quart1.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
quart1.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
quart1.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
quart1.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℂ)
quart1.p	⊢ (𝜑 → 𝑃 = (𝐵 − ((3 / 8) · (𝐴↑2))))
quart1.q	⊢ (𝜑 → 𝑄 = ((𝐶 − ((𝐴 · 𝐵) / 2)) + ((𝐴↑3) / 8)))
quart1.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 = ((𝐷 − ((𝐶 · 𝐴) / 4)) + ((((𝐴↑2) · 𝐵) / ;16) − ((3 / ;;256) · (𝐴↑4)))))
quart1.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℂ)
quart1.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 = (𝑋 + (𝐴 / 4)))

Assertion

Ref	Expression
quart1lem	⊢ (𝜑 → 𝐷 = ((((𝐴↑4) / ;;256) + (𝑃 · ((𝐴 / 4)↑2))) + ((𝑄 · (𝐴 / 4)) + 𝑅)))

Proof of Theorem quart1lem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		quart1.c	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
2		quart1.a	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
3		quart1.b	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
4	2, 3	mulcld 11163	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℂ)
5	4	halfcld 12420	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵) / 2) ∈ ℂ)
6	1, 5	subcld 11503	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐶 − ((𝐴 · 𝐵) / 2)) ∈ ℂ)
7		3nn0 12453	. . . . . . . . . 10 ⊢ 3 ∈ ℕ0
8		expcl 14039	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 3 ∈ ℕ0) → (𝐴↑3) ∈ ℂ)
9	2, 7, 8	sylancl 592	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑3) ∈ ℂ)
10		8cn 12276	. . . . . . . . . 10 ⊢ 8 ∈ ℂ
11	10	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 8 ∈ ℂ)
12		8nn 12274	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 8 ∈ ℕ
13	12	nnne0i 12215	. . . . . . . . . 10 ⊢ 8 ≠ 0
14	13	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 8 ≠ 0)
15	9, 11, 14	divcld 11929	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐴↑3) / 8) ∈ ℂ)
16		4cn 12264	. . . . . . . . . 10 ⊢ 4 ∈ ℂ
17	16	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 4 ∈ ℂ)
18		4ne0 12287	. . . . . . . . . 10 ⊢ 4 ≠ 0
19	18	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 4 ≠ 0)
20	2, 17, 19	divcld 11929	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐴 / 4) ∈ ℂ)
21	6, 15, 20	adddird 11168	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((𝐶 − ((𝐴 · 𝐵) / 2)) + ((𝐴↑3) / 8)) · (𝐴 / 4)) = (((𝐶 − ((𝐴 · 𝐵) / 2)) · (𝐴 / 4)) + (((𝐴↑3) / 8) · (𝐴 / 4))))
22		quart1.q	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑄 = ((𝐶 − ((𝐴 · 𝐵) / 2)) + ((𝐴↑3) / 8)))
23	22	oveq1d 7378	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑄 · (𝐴 / 4)) = (((𝐶 − ((𝐴 · 𝐵) / 2)) + ((𝐴↑3) / 8)) · (𝐴 / 4)))
24	1, 2, 17, 19	divassd 11964	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 · 𝐴) / 4) = (𝐶 · (𝐴 / 4)))
25	2	sqvald 14103	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑2) = (𝐴 · 𝐴))
26	25	oveq1d 7378	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ((𝐴↑2) · 𝐵) = ((𝐴 · 𝐴) · 𝐵))
27	2, 2, 3	mul32d 11354	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐴) · 𝐵) = ((𝐴 · 𝐵) · 𝐴))
28	26, 27	eqtrd 2775	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((𝐴↑2) · 𝐵) = ((𝐴 · 𝐵) · 𝐴))
29	28	oveq1d 7378	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (((𝐴↑2) · 𝐵) / 8) = (((𝐴 · 𝐵) · 𝐴) / 8))
30		2cn 12254	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 2 ∈ ℂ
31		4t2e8 12342	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (4 · 2) = 8
32	16, 30, 31	mulcomli 11152	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (2 · 4) = 8
33	32	oveq2i 7374	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 · 𝐵) · 𝐴) / (2 · 4)) = (((𝐴 · 𝐵) · 𝐴) / 8)
34	29, 33	eqtr4di 2793	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (((𝐴↑2) · 𝐵) / 8) = (((𝐴 · 𝐵) · 𝐴) / (2 · 4)))
35	30	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
36		2ne0 12283	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 2 ≠ 0
37	36	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 2 ≠ 0)
38	4, 35, 2, 17, 37, 19	divmuldivd 11970	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 · 𝐵) / 2) · (𝐴 / 4)) = (((𝐴 · 𝐵) · 𝐴) / (2 · 4)))
39	34, 38	eqtr4d 2778	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (((𝐴↑2) · 𝐵) / 8) = (((𝐴 · 𝐵) / 2) · (𝐴 / 4)))
40	24, 39	oveq12d 7381	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((𝐶 · 𝐴) / 4) − (((𝐴↑2) · 𝐵) / 8)) = ((𝐶 · (𝐴 / 4)) − (((𝐴 · 𝐵) / 2) · (𝐴 / 4))))
41	1, 5, 20	subdird 11605	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 − ((𝐴 · 𝐵) / 2)) · (𝐴 / 4)) = ((𝐶 · (𝐴 / 4)) − (((𝐴 · 𝐵) / 2) · (𝐴 / 4))))
42	40, 41	eqtr4d 2778	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((𝐶 · 𝐴) / 4) − (((𝐴↑2) · 𝐵) / 8)) = ((𝐶 − ((𝐴 · 𝐵) / 2)) · (𝐴 / 4)))
43		df-4 12244	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 4 = (3 + 1)
44	43	oveq2i 7374	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴↑4) = (𝐴↑(3 + 1))
45		expp1 14028	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 3 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(3 + 1)) = ((𝐴↑3) · 𝐴))
46	2, 7, 45	sylancl 592	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑(3 + 1)) = ((𝐴↑3) · 𝐴))
47	44, 46	eqtrid 2787	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑4) = ((𝐴↑3) · 𝐴))
48	47	oveq1d 7378	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝐴↑4) / 8) = (((𝐴↑3) · 𝐴) / 8))
49	9, 2, 11, 14	div23d 11966	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (((𝐴↑3) · 𝐴) / 8) = (((𝐴↑3) / 8) · 𝐴))
50	48, 49	eqtrd 2775	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝐴↑4) / 8) = (((𝐴↑3) / 8) · 𝐴))
51	50	oveq1d 7378	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((𝐴↑4) / 8) / 4) = ((((𝐴↑3) / 8) · 𝐴) / 4))
52	15, 2, 17, 19	divassd 11964	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((((𝐴↑3) / 8) · 𝐴) / 4) = (((𝐴↑3) / 8) · (𝐴 / 4)))
53	51, 52	eqtrd 2775	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((𝐴↑4) / 8) / 4) = (((𝐴↑3) / 8) · (𝐴 / 4)))
54	42, 53	oveq12d 7381	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((((𝐶 · 𝐴) / 4) − (((𝐴↑2) · 𝐵) / 8)) + (((𝐴↑4) / 8) / 4)) = (((𝐶 − ((𝐴 · 𝐵) / 2)) · (𝐴 / 4)) + (((𝐴↑3) / 8) · (𝐴 / 4))))
55	21, 23, 54	3eqtr4d 2785	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑄 · (𝐴 / 4)) = ((((𝐶 · 𝐴) / 4) − (((𝐴↑2) · 𝐵) / 8)) + (((𝐴↑4) / 8) / 4)))
56	1, 2	mulcld 11163	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐶 · 𝐴) ∈ ℂ)
57	56, 17, 19	divcld 11929	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 · 𝐴) / 4) ∈ ℂ)
58	2	sqcld 14104	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑2) ∈ ℂ)
59	58, 3	mulcld 11163	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐴↑2) · 𝐵) ∈ ℂ)
60	59, 11, 14	divcld 11929	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((𝐴↑2) · 𝐵) / 8) ∈ ℂ)
61		4nn0 12454	. . . . . . . . . 10 ⊢ 4 ∈ ℕ0
62		expcl 14039	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 4 ∈ ℕ0) → (𝐴↑4) ∈ ℂ)
63	2, 61, 62	sylancl 592	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑4) ∈ ℂ)
64	63, 11, 14	divcld 11929	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐴↑4) / 8) ∈ ℂ)
65	64, 17, 19	divcld 11929	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((𝐴↑4) / 8) / 4) ∈ ℂ)
66	57, 60, 65	subadd23d 11525	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((((𝐶 · 𝐴) / 4) − (((𝐴↑2) · 𝐵) / 8)) + (((𝐴↑4) / 8) / 4)) = (((𝐶 · 𝐴) / 4) + ((((𝐴↑4) / 8) / 4) − (((𝐴↑2) · 𝐵) / 8))))
67	65, 60	subcld 11503	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((((𝐴↑4) / 8) / 4) − (((𝐴↑2) · 𝐵) / 8)) ∈ ℂ)
68	57, 67	addcomd 11346	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((𝐶 · 𝐴) / 4) + ((((𝐴↑4) / 8) / 4) − (((𝐴↑2) · 𝐵) / 8))) = (((((𝐴↑4) / 8) / 4) − (((𝐴↑2) · 𝐵) / 8)) + ((𝐶 · 𝐴) / 4)))
69	55, 66, 68	3eqtrd 2779	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑄 · (𝐴 / 4)) = (((((𝐴↑4) / 8) / 4) − (((𝐴↑2) · 𝐵) / 8)) + ((𝐶 · 𝐴) / 4)))
70		quart1.r	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 = ((𝐷 − ((𝐶 · 𝐴) / 4)) + ((((𝐴↑2) · 𝐵) / ;16) − ((3 / ;;256) · (𝐴↑4)))))
71		quart1.d	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℂ)
72		1nn0 12451	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 1 ∈ ℕ0
73		6nn 12268	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 6 ∈ ℕ
74	72, 73	decnncl 12662	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ;16 ∈ ℕ
75	74	nncni 12182	. . . . . . . . . 10 ⊢ ;16 ∈ ℂ
76	75	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ;16 ∈ ℂ)
77	74	nnne0i 12215	. . . . . . . . . 10 ⊢ ;16 ≠ 0
78	77	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ;16 ≠ 0)
79	59, 76, 78	divcld 11929	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((𝐴↑2) · 𝐵) / ;16) ∈ ℂ)
80		3cn 12260	. . . . . . . . . 10 ⊢ 3 ∈ ℂ
81		2nn0 12452	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 2 ∈ ℕ0
82		5nn0 12455	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 5 ∈ ℕ0
83	81, 82	deccl 12657	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ;25 ∈ ℕ0
84	83, 73	decnncl 12662	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ;;256 ∈ ℕ
85	84	nncni 12182	. . . . . . . . . 10 ⊢ ;;256 ∈ ℂ
86	84	nnne0i 12215	. . . . . . . . . 10 ⊢ ;;256 ≠ 0
87	80, 85, 86	divcli 11895	. . . . . . . . 9 ⊢ (3 / ;;256) ∈ ℂ
88		mulcl 11120	. . . . . . . . 9 ⊢ (((3 / ;;256) ∈ ℂ ∧ (𝐴↑4) ∈ ℂ) → ((3 / ;;256) · (𝐴↑4)) ∈ ℂ)
89	87, 63, 88	sylancr 593	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((3 / ;;256) · (𝐴↑4)) ∈ ℂ)
90	79, 89	subcld 11503	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((((𝐴↑2) · 𝐵) / ;16) − ((3 / ;;256) · (𝐴↑4))) ∈ ℂ)
91	71, 90, 57	addsubd 11524	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐷 + ((((𝐴↑2) · 𝐵) / ;16) − ((3 / ;;256) · (𝐴↑4)))) − ((𝐶 · 𝐴) / 4)) = ((𝐷 − ((𝐶 · 𝐴) / 4)) + ((((𝐴↑2) · 𝐵) / ;16) − ((3 / ;;256) · (𝐴↑4)))))
92	70, 91	eqtr4d 2778	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 = ((𝐷 + ((((𝐴↑2) · 𝐵) / ;16) − ((3 / ;;256) · (𝐴↑4)))) − ((𝐶 · 𝐴) / 4)))
93	69, 92	oveq12d 7381	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑄 · (𝐴 / 4)) + 𝑅) = ((((((𝐴↑4) / 8) / 4) − (((𝐴↑2) · 𝐵) / 8)) + ((𝐶 · 𝐴) / 4)) + ((𝐷 + ((((𝐴↑2) · 𝐵) / ;16) − ((3 / ;;256) · (𝐴↑4)))) − ((𝐶 · 𝐴) / 4))))
94	71, 90	addcld 11162	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐷 + ((((𝐴↑2) · 𝐵) / ;16) − ((3 / ;;256) · (𝐴↑4)))) ∈ ℂ)
95	67, 57, 94	ppncand 11543	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((((((𝐴↑4) / 8) / 4) − (((𝐴↑2) · 𝐵) / 8)) + ((𝐶 · 𝐴) / 4)) + ((𝐷 + ((((𝐴↑2) · 𝐵) / ;16) − ((3 / ;;256) · (𝐴↑4)))) − ((𝐶 · 𝐴) / 4))) = (((((𝐴↑4) / 8) / 4) − (((𝐴↑2) · 𝐵) / 8)) + (𝐷 + ((((𝐴↑2) · 𝐵) / ;16) − ((3 / ;;256) · (𝐴↑4))))))
96	67, 71, 90	add12d 11371	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((((𝐴↑4) / 8) / 4) − (((𝐴↑2) · 𝐵) / 8)) + (𝐷 + ((((𝐴↑2) · 𝐵) / ;16) − ((3 / ;;256) · (𝐴↑4))))) = (𝐷 + (((((𝐴↑4) / 8) / 4) − (((𝐴↑2) · 𝐵) / 8)) + ((((𝐴↑2) · 𝐵) / ;16) − ((3 / ;;256) · (𝐴↑4))))))
97	60, 89	addcld 11162	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((((𝐴↑2) · 𝐵) / 8) + ((3 / ;;256) · (𝐴↑4))) ∈ ℂ)
98	65, 79	addcld 11162	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((((𝐴↑4) / 8) / 4) + (((𝐴↑2) · 𝐵) / ;16)) ∈ ℂ)
99	97, 98	negsubdi2d 11519	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → -(((((𝐴↑2) · 𝐵) / 8) + ((3 / ;;256) · (𝐴↑4))) − ((((𝐴↑4) / 8) / 4) + (((𝐴↑2) · 𝐵) / ;16))) = (((((𝐴↑4) / 8) / 4) + (((𝐴↑2) · 𝐵) / ;16)) − ((((𝐴↑2) · 𝐵) / 8) + ((3 / ;;256) · (𝐴↑4)))))
100	65, 79	addcomd 11346	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((((𝐴↑4) / 8) / 4) + (((𝐴↑2) · 𝐵) / ;16)) = ((((𝐴↑2) · 𝐵) / ;16) + (((𝐴↑4) / 8) / 4)))
101	100	oveq2d 7379	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((((𝐴↑2) · 𝐵) / 8) + ((3 / ;;256) · (𝐴↑4))) − ((((𝐴↑4) / 8) / 4) + (((𝐴↑2) · 𝐵) / ;16))) = (((((𝐴↑2) · 𝐵) / 8) + ((3 / ;;256) · (𝐴↑4))) − ((((𝐴↑2) · 𝐵) / ;16) + (((𝐴↑4) / 8) / 4))))
102	60, 89, 79, 65	addsub4d 11550	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((((𝐴↑2) · 𝐵) / 8) + ((3 / ;;256) · (𝐴↑4))) − ((((𝐴↑2) · 𝐵) / ;16) + (((𝐴↑4) / 8) / 4))) = (((((𝐴↑2) · 𝐵) / 8) − (((𝐴↑2) · 𝐵) / ;16)) + (((3 / ;;256) · (𝐴↑4)) − (((𝐴↑4) / 8) / 4))))
103	80	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 3 ∈ ℂ)
104	85	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → ;;256 ∈ ℂ)
105	86	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → ;;256 ≠ 0)
106	103, 63, 104, 105	divassd 11964	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ((3 · (𝐴↑4)) / ;;256) = (3 · ((𝐴↑4) / ;;256)))
107	103, 63, 104, 105	div23d 11966	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ((3 · (𝐴↑4)) / ;;256) = ((3 / ;;256) · (𝐴↑4)))
108		1p2e3 12317	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (1 + 2) = 3
109	108	oveq1i 7373	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((1 + 2) · ((𝐴↑4) / ;;256)) = (3 · ((𝐴↑4) / ;;256))
110		1cnd 11137	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
111	63, 104, 105	divcld 11929	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → ((𝐴↑4) / ;;256) ∈ ℂ)
112	110, 35, 111	adddird 11168	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → ((1 + 2) · ((𝐴↑4) / ;;256)) = ((1 · ((𝐴↑4) / ;;256)) + (2 · ((𝐴↑4) / ;;256))))
113	109, 112	eqtr3id 2789	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (3 · ((𝐴↑4) / ;;256)) = ((1 · ((𝐴↑4) / ;;256)) + (2 · ((𝐴↑4) / ;;256))))
114	111	mullidd 11161	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (1 · ((𝐴↑4) / ;;256)) = ((𝐴↑4) / ;;256))
115	114	oveq1d 7378	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → ((1 · ((𝐴↑4) / ;;256)) + (2 · ((𝐴↑4) / ;;256))) = (((𝐴↑4) / ;;256) + (2 · ((𝐴↑4) / ;;256))))
116	113, 115	eqtrd 2775	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (3 · ((𝐴↑4) / ;;256)) = (((𝐴↑4) / ;;256) + (2 · ((𝐴↑4) / ;;256))))
117	106, 107, 116	3eqtr3d 2783	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ((3 / ;;256) · (𝐴↑4)) = (((𝐴↑4) / ;;256) + (2 · ((𝐴↑4) / ;;256))))
118	43	oveq1i 7373	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (4 · ((((𝐴↑4) / 8) / 4) / 4)) = ((3 + 1) · ((((𝐴↑4) / 8) / 4) / 4))
119	65, 17, 19	divcld 11929	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → ((((𝐴↑4) / 8) / 4) / 4) ∈ ℂ)
120	103, 110, 119	adddird 11168	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → ((3 + 1) · ((((𝐴↑4) / 8) / 4) / 4)) = ((3 · ((((𝐴↑4) / 8) / 4) / 4)) + (1 · ((((𝐴↑4) / 8) / 4) / 4))))
121	118, 120	eqtrid 2787	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (4 · ((((𝐴↑4) / 8) / 4) / 4)) = ((3 · ((((𝐴↑4) / 8) / 4) / 4)) + (1 · ((((𝐴↑4) / 8) / 4) / 4))))
122	65, 17, 19	divcan2d 11931	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (4 · ((((𝐴↑4) / 8) / 4) / 4)) = (((𝐴↑4) / 8) / 4))
123	119	mullidd 11161	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (1 · ((((𝐴↑4) / 8) / 4) / 4)) = ((((𝐴↑4) / 8) / 4) / 4))
124	64, 17, 17, 19, 19	divdiv1d 11960	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → ((((𝐴↑4) / 8) / 4) / 4) = (((𝐴↑4) / 8) / (4 · 4)))
125		4t4e16 12741	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (4 · 4) = ;16
126	125	oveq2i 7374	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝐴↑4) / 8) / (4 · 4)) = (((𝐴↑4) / 8) / ;16)
127	124, 126	eqtrdi 2791	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → ((((𝐴↑4) / 8) / 4) / 4) = (((𝐴↑4) / 8) / ;16))
128	63, 11, 76, 14, 78	divdiv1d 11960	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → (((𝐴↑4) / 8) / ;16) = ((𝐴↑4) / (8 · ;16)))
129	10, 75	mulcli 11150	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (8 · ;16) ∈ ℂ
130	129	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → (8 · ;16) ∈ ℂ)
131	10, 75, 13, 77	mulne0i 11791	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (8 · ;16) ≠ 0
132	131	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → (8 · ;16) ≠ 0)
133	63, 130, 132	divcld 11929	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → ((𝐴↑4) / (8 · ;16)) ∈ ℂ)
134	133, 35, 37	divcan2d 11931	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → (2 · (((𝐴↑4) / (8 · ;16)) / 2)) = ((𝐴↑4) / (8 · ;16)))
135	63, 130, 35, 132, 37	divdiv1d 11960	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → (((𝐴↑4) / (8 · ;16)) / 2) = ((𝐴↑4) / ((8 · ;16) · 2)))
136	10, 75, 30	mul32i 11340	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((8 · ;16) · 2) = ((8 · 2) · ;16)
137		2exp4 17053	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (2↑4) = ;16
138		8t2e16 12757	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (8 · 2) = ;16
139	137, 138	eqtr4i 2766	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (2↑4) = (8 · 2)
140	139, 137	oveq12i 7375	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((2↑4) · (2↑4)) = ((8 · 2) · ;16)
141		4p4e8 12329	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (4 + 4) = 8
142	141	oveq2i 7374	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (2↑(4 + 4)) = (2↑8)
143		expadd 14064	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ 4 ∈ ℕ0 ∧ 4 ∈ ℕ0) → (2↑(4 + 4)) = ((2↑4) · (2↑4)))
144	30, 61, 61, 143	mp3an 1469	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (2↑(4 + 4)) = ((2↑4) · (2↑4))
145		2exp8 17057	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (2↑8) = ;;256
146	142, 144, 145	3eqtr3i 2771	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((2↑4) · (2↑4)) = ;;256
147	136, 140, 146	3eqtr2i 2769	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((8 · ;16) · 2) = ;;256
148	147	oveq2i 7374	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝐴↑4) / ((8 · ;16) · 2)) = ((𝐴↑4) / ;;256)
149	135, 148	eqtrdi 2791	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → (((𝐴↑4) / (8 · ;16)) / 2) = ((𝐴↑4) / ;;256))
150	149	oveq2d 7379	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → (2 · (((𝐴↑4) / (8 · ;16)) / 2)) = (2 · ((𝐴↑4) / ;;256)))
151	128, 134, 150	3eqtr2d 2781	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (((𝐴↑4) / 8) / ;16) = (2 · ((𝐴↑4) / ;;256)))
152	123, 127, 151	3eqtrd 2779	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (1 · ((((𝐴↑4) / 8) / 4) / 4)) = (2 · ((𝐴↑4) / ;;256)))
153	152	oveq2d 7379	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ((3 · ((((𝐴↑4) / 8) / 4) / 4)) + (1 · ((((𝐴↑4) / 8) / 4) / 4))) = ((3 · ((((𝐴↑4) / 8) / 4) / 4)) + (2 · ((𝐴↑4) / ;;256))))
154	121, 122, 153	3eqtr3d 2783	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (((𝐴↑4) / 8) / 4) = ((3 · ((((𝐴↑4) / 8) / 4) / 4)) + (2 · ((𝐴↑4) / ;;256))))
155	117, 154	oveq12d 7381	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (((3 / ;;256) · (𝐴↑4)) − (((𝐴↑4) / 8) / 4)) = ((((𝐴↑4) / ;;256) + (2 · ((𝐴↑4) / ;;256))) − ((3 · ((((𝐴↑4) / 8) / 4) / 4)) + (2 · ((𝐴↑4) / ;;256)))))
156		mulcl 11120	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((3 ∈ ℂ ∧ ((((𝐴↑4) / 8) / 4) / 4) ∈ ℂ) → (3 · ((((𝐴↑4) / 8) / 4) / 4)) ∈ ℂ)
157	80, 119, 156	sylancr 593	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (3 · ((((𝐴↑4) / 8) / 4) / 4)) ∈ ℂ)
158		mulcl 11120	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ ((𝐴↑4) / ;;256) ∈ ℂ) → (2 · ((𝐴↑4) / ;;256)) ∈ ℂ)
159	30, 111, 158	sylancr 593	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (2 · ((𝐴↑4) / ;;256)) ∈ ℂ)
160	111, 157, 159	pnpcan2d 11541	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((((𝐴↑4) / ;;256) + (2 · ((𝐴↑4) / ;;256))) − ((3 · ((((𝐴↑4) / 8) / 4) / 4)) + (2 · ((𝐴↑4) / ;;256)))) = (((𝐴↑4) / ;;256) − (3 · ((((𝐴↑4) / 8) / 4) / 4))))
161	155, 160	eqtrd 2775	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (((3 / ;;256) · (𝐴↑4)) − (((𝐴↑4) / 8) / 4)) = (((𝐴↑4) / ;;256) − (3 · ((((𝐴↑4) / 8) / 4) / 4))))
162	161	oveq2d 7379	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((((𝐴↑2) · 𝐵) / ;16) + (((3 / ;;256) · (𝐴↑4)) − (((𝐴↑4) / 8) / 4))) = ((((𝐴↑2) · 𝐵) / ;16) + (((𝐴↑4) / ;;256) − (3 · ((((𝐴↑4) / 8) / 4) / 4)))))
163	79, 111, 157	addsub12d 11526	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((((𝐴↑2) · 𝐵) / ;16) + (((𝐴↑4) / ;;256) − (3 · ((((𝐴↑4) / 8) / 4) / 4)))) = (((𝐴↑4) / ;;256) + ((((𝐴↑2) · 𝐵) / ;16) − (3 · ((((𝐴↑4) / 8) / 4) / 4)))))
164	162, 163	eqtrd 2775	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((((𝐴↑2) · 𝐵) / ;16) + (((3 / ;;256) · (𝐴↑4)) − (((𝐴↑4) / 8) / 4))) = (((𝐴↑4) / ;;256) + ((((𝐴↑2) · 𝐵) / ;16) − (3 · ((((𝐴↑4) / 8) / 4) / 4)))))
165	59, 11, 35, 14, 37	divdiv1d 11960	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ((((𝐴↑2) · 𝐵) / 8) / 2) = (((𝐴↑2) · 𝐵) / (8 · 2)))
166	138	oveq2i 7374	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐴↑2) · 𝐵) / (8 · 2)) = (((𝐴↑2) · 𝐵) / ;16)
167	165, 166	eqtrdi 2791	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ((((𝐴↑2) · 𝐵) / 8) / 2) = (((𝐴↑2) · 𝐵) / ;16))
168	167	oveq2d 7379	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (2 · ((((𝐴↑2) · 𝐵) / 8) / 2)) = (2 · (((𝐴↑2) · 𝐵) / ;16)))
169	60, 35, 37	divcan2d 11931	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (2 · ((((𝐴↑2) · 𝐵) / 8) / 2)) = (((𝐴↑2) · 𝐵) / 8))
170	79	2timesd 12418	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (2 · (((𝐴↑2) · 𝐵) / ;16)) = ((((𝐴↑2) · 𝐵) / ;16) + (((𝐴↑2) · 𝐵) / ;16)))
171	168, 169, 170	3eqtr3d 2783	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (((𝐴↑2) · 𝐵) / 8) = ((((𝐴↑2) · 𝐵) / ;16) + (((𝐴↑2) · 𝐵) / ;16)))
172	79, 79, 171	mvrladdd 11561	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((((𝐴↑2) · 𝐵) / 8) − (((𝐴↑2) · 𝐵) / ;16)) = (((𝐴↑2) · 𝐵) / ;16))
173	172	oveq1d 7378	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (((((𝐴↑2) · 𝐵) / 8) − (((𝐴↑2) · 𝐵) / ;16)) + (((3 / ;;256) · (𝐴↑4)) − (((𝐴↑4) / 8) / 4))) = ((((𝐴↑2) · 𝐵) / ;16) + (((3 / ;;256) · (𝐴↑4)) − (((𝐴↑4) / 8) / 4))))
174		quart1.p	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑃 = (𝐵 − ((3 / 8) · (𝐴↑2))))
175	174	oveq1d 7378	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑃 · ((𝐴 / 4)↑2)) = ((𝐵 − ((3 / 8) · (𝐴↑2))) · ((𝐴 / 4)↑2)))
176	80, 10, 13	divcli 11895	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (3 / 8) ∈ ℂ
177		mulcl 11120	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((3 / 8) ∈ ℂ ∧ (𝐴↑2) ∈ ℂ) → ((3 / 8) · (𝐴↑2)) ∈ ℂ)
178	176, 58, 177	sylancr 593	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((3 / 8) · (𝐴↑2)) ∈ ℂ)
179	20	sqcld 14104	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 / 4)↑2) ∈ ℂ)
180	3, 178, 179	subdird 11605	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 − ((3 / 8) · (𝐴↑2))) · ((𝐴 / 4)↑2)) = ((𝐵 · ((𝐴 / 4)↑2)) − (((3 / 8) · (𝐴↑2)) · ((𝐴 / 4)↑2))))
181	2, 17, 19	sqdivd 14119	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 / 4)↑2) = ((𝐴↑2) / (4↑2)))
182	16	sqvali 14140	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (4↑2) = (4 · 4)
183	182, 125	eqtri 2763	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (4↑2) = ;16
184	183	oveq2i 7374	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐴↑2) / (4↑2)) = ((𝐴↑2) / ;16)
185	181, 184	eqtrdi 2791	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 / 4)↑2) = ((𝐴↑2) / ;16))
186	185	oveq2d 7379	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝐵 · ((𝐴 / 4)↑2)) = (𝐵 · ((𝐴↑2) / ;16)))
187	3, 58, 76, 78	divassd 11964	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 · (𝐴↑2)) / ;16) = (𝐵 · ((𝐴↑2) / ;16)))
188	3, 58	mulcomd 11164	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝐵 · (𝐴↑2)) = ((𝐴↑2) · 𝐵))
189	188	oveq1d 7378	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 · (𝐴↑2)) / ;16) = (((𝐴↑2) · 𝐵) / ;16))
190	186, 187, 189	3eqtr2d 2781	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝐵 · ((𝐴 / 4)↑2)) = (((𝐴↑2) · 𝐵) / ;16))
191	176	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → (3 / 8) ∈ ℂ)
192	191, 58, 58	mulassd 11166	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (((3 / 8) · (𝐴↑2)) · (𝐴↑2)) = ((3 / 8) · ((𝐴↑2) · (𝐴↑2))))
193	103, 63, 11, 14	div23d 11966	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → ((3 · (𝐴↑4)) / 8) = ((3 / 8) · (𝐴↑4)))
194		2p2e4 12309	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (2 + 2) = 4
195	194	oveq2i 7374	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝐴↑(2 + 2)) = (𝐴↑4)
196	81	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℕ0)
197	2, 196, 196	expaddd 14108	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑(2 + 2)) = ((𝐴↑2) · (𝐴↑2)))
198	195, 197	eqtr3id 2789	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑4) = ((𝐴↑2) · (𝐴↑2)))
199	198	oveq2d 7379	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → ((3 / 8) · (𝐴↑4)) = ((3 / 8) · ((𝐴↑2) · (𝐴↑2))))
200	193, 199	eqtrd 2775	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → ((3 · (𝐴↑4)) / 8) = ((3 / 8) · ((𝐴↑2) · (𝐴↑2))))
201	103, 63, 11, 14	divassd 11964	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → ((3 · (𝐴↑4)) / 8) = (3 · ((𝐴↑4) / 8)))
202	192, 200, 201	3eqtr2d 2781	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (((3 / 8) · (𝐴↑2)) · (𝐴↑2)) = (3 · ((𝐴↑4) / 8)))
203	202	oveq1d 7378	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ((((3 / 8) · (𝐴↑2)) · (𝐴↑2)) / (4↑2)) = ((3 · ((𝐴↑4) / 8)) / (4↑2)))
204	183, 76	eqeltrid 2844	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (4↑2) ∈ ℂ)
205	183, 77	eqnetri 3005	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (4↑2) ≠ 0
206	205	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (4↑2) ≠ 0)
207	178, 58, 204, 206	divassd 11964	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ((((3 / 8) · (𝐴↑2)) · (𝐴↑2)) / (4↑2)) = (((3 / 8) · (𝐴↑2)) · ((𝐴↑2) / (4↑2))))
208	103, 64, 204, 206	divassd 11964	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ((3 · ((𝐴↑4) / 8)) / (4↑2)) = (3 · (((𝐴↑4) / 8) / (4↑2))))
209	203, 207, 208	3eqtr3d 2783	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (((3 / 8) · (𝐴↑2)) · ((𝐴↑2) / (4↑2))) = (3 · (((𝐴↑4) / 8) / (4↑2))))
210	181	oveq2d 7379	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (((3 / 8) · (𝐴↑2)) · ((𝐴 / 4)↑2)) = (((3 / 8) · (𝐴↑2)) · ((𝐴↑2) / (4↑2))))
211	183	oveq2i 7374	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐴↑4) / 8) / (4↑2)) = (((𝐴↑4) / 8) / ;16)
212	127, 211	eqtr4di 2793	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ((((𝐴↑4) / 8) / 4) / 4) = (((𝐴↑4) / 8) / (4↑2)))
213	212	oveq2d 7379	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (3 · ((((𝐴↑4) / 8) / 4) / 4)) = (3 · (((𝐴↑4) / 8) / (4↑2))))
214	209, 210, 213	3eqtr4d 2785	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (((3 / 8) · (𝐴↑2)) · ((𝐴 / 4)↑2)) = (3 · ((((𝐴↑4) / 8) / 4) / 4)))
215	190, 214	oveq12d 7381	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 · ((𝐴 / 4)↑2)) − (((3 / 8) · (𝐴↑2)) · ((𝐴 / 4)↑2))) = ((((𝐴↑2) · 𝐵) / ;16) − (3 · ((((𝐴↑4) / 8) / 4) / 4))))
216	175, 180, 215	3eqtrd 2779	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑃 · ((𝐴 / 4)↑2)) = ((((𝐴↑2) · 𝐵) / ;16) − (3 · ((((𝐴↑4) / 8) / 4) / 4))))
217	216	oveq2d 7379	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (((𝐴↑4) / ;;256) + (𝑃 · ((𝐴 / 4)↑2))) = (((𝐴↑4) / ;;256) + ((((𝐴↑2) · 𝐵) / ;16) − (3 · ((((𝐴↑4) / 8) / 4) / 4)))))
218	164, 173, 217	3eqtr4d 2785	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((((𝐴↑2) · 𝐵) / 8) − (((𝐴↑2) · 𝐵) / ;16)) + (((3 / ;;256) · (𝐴↑4)) − (((𝐴↑4) / 8) / 4))) = (((𝐴↑4) / ;;256) + (𝑃 · ((𝐴 / 4)↑2))))
219	101, 102, 218	3eqtrd 2779	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((((𝐴↑2) · 𝐵) / 8) + ((3 / ;;256) · (𝐴↑4))) − ((((𝐴↑4) / 8) / 4) + (((𝐴↑2) · 𝐵) / ;16))) = (((𝐴↑4) / ;;256) + (𝑃 · ((𝐴 / 4)↑2))))
220	219	negeqd 11385	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → -(((((𝐴↑2) · 𝐵) / 8) + ((3 / ;;256) · (𝐴↑4))) − ((((𝐴↑4) / 8) / 4) + (((𝐴↑2) · 𝐵) / ;16))) = -(((𝐴↑4) / ;;256) + (𝑃 · ((𝐴 / 4)↑2))))
221	65, 79, 60, 89	addsub4d 11550	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((((𝐴↑4) / 8) / 4) + (((𝐴↑2) · 𝐵) / ;16)) − ((((𝐴↑2) · 𝐵) / 8) + ((3 / ;;256) · (𝐴↑4)))) = (((((𝐴↑4) / 8) / 4) − (((𝐴↑2) · 𝐵) / 8)) + ((((𝐴↑2) · 𝐵) / ;16) − ((3 / ;;256) · (𝐴↑4)))))
222	99, 220, 221	3eqtr3rd 2784	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((((𝐴↑4) / 8) / 4) − (((𝐴↑2) · 𝐵) / 8)) + ((((𝐴↑2) · 𝐵) / ;16) − ((3 / ;;256) · (𝐴↑4)))) = -(((𝐴↑4) / ;;256) + (𝑃 · ((𝐴 / 4)↑2))))
223	222	oveq2d 7379	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐷 + (((((𝐴↑4) / 8) / 4) − (((𝐴↑2) · 𝐵) / 8)) + ((((𝐴↑2) · 𝐵) / ;16) − ((3 / ;;256) · (𝐴↑4))))) = (𝐷 + -(((𝐴↑4) / ;;256) + (𝑃 · ((𝐴 / 4)↑2)))))
224	3, 178	subcld 11503	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐵 − ((3 / 8) · (𝐴↑2))) ∈ ℂ)
225	174, 224	eqeltrd 2840	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℂ)
226	225, 179	mulcld 11163	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑃 · ((𝐴 / 4)↑2)) ∈ ℂ)
227	111, 226	addcld 11162	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((𝐴↑4) / ;;256) + (𝑃 · ((𝐴 / 4)↑2))) ∈ ℂ)
228	71, 227	negsubd 11509	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐷 + -(((𝐴↑4) / ;;256) + (𝑃 · ((𝐴 / 4)↑2)))) = (𝐷 − (((𝐴↑4) / ;;256) + (𝑃 · ((𝐴 / 4)↑2)))))
229	96, 223, 228	3eqtrd 2779	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((((𝐴↑4) / 8) / 4) − (((𝐴↑2) · 𝐵) / 8)) + (𝐷 + ((((𝐴↑2) · 𝐵) / ;16) − ((3 / ;;256) · (𝐴↑4))))) = (𝐷 − (((𝐴↑4) / ;;256) + (𝑃 · ((𝐴 / 4)↑2)))))
230	93, 95, 229	3eqtrd 2779	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑄 · (𝐴 / 4)) + 𝑅) = (𝐷 − (((𝐴↑4) / ;;256) + (𝑃 · ((𝐴 / 4)↑2)))))
231	230	oveq2d 7379	. 2 ⊢ (𝜑 → ((((𝐴↑4) / ;;256) + (𝑃 · ((𝐴 / 4)↑2))) + ((𝑄 · (𝐴 / 4)) + 𝑅)) = ((((𝐴↑4) / ;;256) + (𝑃 · ((𝐴 / 4)↑2))) + (𝐷 − (((𝐴↑4) / ;;256) + (𝑃 · ((𝐴 / 4)↑2))))))
232	227, 71	pncan3d 11506	. 2 ⊢ (𝜑 → ((((𝐴↑4) / ;;256) + (𝑃 · ((𝐴 / 4)↑2))) + (𝐷 − (((𝐴↑4) / ;;256) + (𝑃 · ((𝐴 / 4)↑2))))) = 𝐷)
233	231, 232	eqtr2d 2776	1 ⊢ (𝜑 → 𝐷 = ((((𝐴↑4) / ;;256) + (𝑃 · ((𝐴 / 4)↑2))) + ((𝑄 · (𝐴 / 4)) + 𝑅)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1547   ∈ wcel 2119   ≠ wne 2935  (class class class)co 7363  ℂcc 11034  0cc0 11036  1c1 11037   + caddc 11039   · cmul 11041   − cmin 11375  -cneg 11376   / cdiv 11805  2c2 12234  3c3 12235  4c4 12236  5c5 12237  6c6 12238  8c8 12240  ℕ₀cn0 12435  ;cdc 12642  ↑cexp 14021

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2712  ax-sep 5225  ax-nul 5235  ax-pow 5301  ax-pr 5369  ax-un 7685  ax-cnex 11092  ax-resscn 11093  ax-1cn 11094  ax-icn 11095  ax-addcl 11096  ax-addrcl 11097  ax-mulcl 11098  ax-mulrcl 11099  ax-mulcom 11100  ax-addass 11101  ax-mulass 11102  ax-distr 11103  ax-i2m1 11104  ax-1ne0 11105  ax-1rid 11106  ax-rnegex 11107  ax-rrecex 11108  ax-cnre 11109  ax-pre-lttri 11110  ax-pre-lttrn 11111  ax-pre-ltadd 11112  ax-pre-mulgt0 11113

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-nfc 2889  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3055  df-rex 3065  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3393  df-v 3434  df-sbc 3731  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4269  df-if 4462  df-pw 4538  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4846  df-iun 4930  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5161  df-tr 5187  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7320  df-ov 7366  df-oprab 7367  df-mpo 7368  df-om 7814  df-2nd 7939  df-frecs 8228  df-wrecs 8259  df-recs 8308  df-rdg 8346  df-er 8640  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-pnf 11179  df-mnf 11180  df-xr 11181  df-ltxr 11182  df-le 11183  df-sub 11377  df-neg 11378  df-div 11806  df-nn 12173  df-2 12242  df-3 12243  df-4 12244  df-5 12245  df-6 12246  df-7 12247  df-8 12248  df-9 12249  df-n0 12436  df-z 12523  df-dec 12643  df-uz 12787  df-seq 13962  df-exp 14022

This theorem is referenced by:  quart1  26845