![]() |
Metamath Proof Explorer |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > adddir | Structured version Visualization version GIF version |
Description: Distributive law for complex numbers (right-distributivity). (Contributed by NM, 10-Oct-2004.) |
Ref | Expression |
---|---|
adddir | โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง ๐ถ โ โ) โ ((๐ด + ๐ต) ยท ๐ถ) = ((๐ด ยท ๐ถ) + (๐ต ยท ๐ถ))) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | adddi 11198 | . . 3 โข ((๐ถ โ โ โง ๐ด โ โ โง ๐ต โ โ) โ (๐ถ ยท (๐ด + ๐ต)) = ((๐ถ ยท ๐ด) + (๐ถ ยท ๐ต))) | |
2 | 1 | 3coml 1127 | . 2 โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง ๐ถ โ โ) โ (๐ถ ยท (๐ด + ๐ต)) = ((๐ถ ยท ๐ด) + (๐ถ ยท ๐ต))) |
3 | addcl 11191 | . . 3 โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ) โ (๐ด + ๐ต) โ โ) | |
4 | mulcom 11195 | . . 3 โข (((๐ด + ๐ต) โ โ โง ๐ถ โ โ) โ ((๐ด + ๐ต) ยท ๐ถ) = (๐ถ ยท (๐ด + ๐ต))) | |
5 | 3, 4 | stoic3 1778 | . 2 โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง ๐ถ โ โ) โ ((๐ด + ๐ต) ยท ๐ถ) = (๐ถ ยท (๐ด + ๐ต))) |
6 | mulcom 11195 | . . . 4 โข ((๐ด โ โ โง ๐ถ โ โ) โ (๐ด ยท ๐ถ) = (๐ถ ยท ๐ด)) | |
7 | 6 | 3adant2 1131 | . . 3 โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง ๐ถ โ โ) โ (๐ด ยท ๐ถ) = (๐ถ ยท ๐ด)) |
8 | mulcom 11195 | . . . 4 โข ((๐ต โ โ โง ๐ถ โ โ) โ (๐ต ยท ๐ถ) = (๐ถ ยท ๐ต)) | |
9 | 8 | 3adant1 1130 | . . 3 โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง ๐ถ โ โ) โ (๐ต ยท ๐ถ) = (๐ถ ยท ๐ต)) |
10 | 7, 9 | oveq12d 7426 | . 2 โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง ๐ถ โ โ) โ ((๐ด ยท ๐ถ) + (๐ต ยท ๐ถ)) = ((๐ถ ยท ๐ด) + (๐ถ ยท ๐ต))) |
11 | 2, 5, 10 | 3eqtr4d 2782 | 1 โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง ๐ถ โ โ) โ ((๐ด + ๐ต) ยท ๐ถ) = ((๐ด ยท ๐ถ) + (๐ต ยท ๐ถ))) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: โ wi 4 โง w3a 1087 = wceq 1541 โ wcel 2106 (class class class)co 7408 โcc 11107 + caddc 11112 ยท cmul 11114 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1797 ax-4 1811 ax-5 1913 ax-6 1971 ax-7 2011 ax-8 2108 ax-9 2116 ax-ext 2703 ax-addcl 11169 ax-mulcom 11173 ax-distr 11176 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 397 df-or 846 df-3an 1089 df-tru 1544 df-fal 1554 df-ex 1782 df-sb 2068 df-clab 2710 df-cleq 2724 df-clel 2810 df-rab 3433 df-v 3476 df-dif 3951 df-un 3953 df-in 3955 df-ss 3965 df-nul 4323 df-if 4529 df-sn 4629 df-pr 4631 df-op 4635 df-uni 4909 df-br 5149 df-iota 6495 df-fv 6551 df-ov 7411 |
This theorem is referenced by: mulrid 11211 adddiri 11226 adddird 11238 muladd11 11383 00id 11388 cnegex2 11395 muladd 11645 ser1const 14023 hashxplem 14392 demoivreALT 16143 dvds2ln 16231 dvds2add 16232 odd2np1lem 16282 cncrng 20965 icccvx 24465 cnlmod 24655 sincosq1eq 26021 abssinper 26029 sineq0 26032 bposlem9 26792 cncvcOLD 29831 ipasslem1 30079 ipasslem11 30088 cdj3i 31689 mblfinlem3 36522 expgrowth 43084 fmtnofac2lem 46226 2zrngALT 46836 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |