![]() |
Metamath Proof Explorer |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > adddir | Structured version Visualization version GIF version |
Description: Distributive law for complex numbers (right-distributivity). (Contributed by NM, 10-Oct-2004.) |
Ref | Expression |
---|---|
adddir | โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง ๐ถ โ โ) โ ((๐ด + ๐ต) ยท ๐ถ) = ((๐ด ยท ๐ถ) + (๐ต ยท ๐ถ))) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | adddi 11201 | . . 3 โข ((๐ถ โ โ โง ๐ด โ โ โง ๐ต โ โ) โ (๐ถ ยท (๐ด + ๐ต)) = ((๐ถ ยท ๐ด) + (๐ถ ยท ๐ต))) | |
2 | 1 | 3coml 1127 | . 2 โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง ๐ถ โ โ) โ (๐ถ ยท (๐ด + ๐ต)) = ((๐ถ ยท ๐ด) + (๐ถ ยท ๐ต))) |
3 | addcl 11194 | . . 3 โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ) โ (๐ด + ๐ต) โ โ) | |
4 | mulcom 11198 | . . 3 โข (((๐ด + ๐ต) โ โ โง ๐ถ โ โ) โ ((๐ด + ๐ต) ยท ๐ถ) = (๐ถ ยท (๐ด + ๐ต))) | |
5 | 3, 4 | stoic3 1778 | . 2 โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง ๐ถ โ โ) โ ((๐ด + ๐ต) ยท ๐ถ) = (๐ถ ยท (๐ด + ๐ต))) |
6 | mulcom 11198 | . . . 4 โข ((๐ด โ โ โง ๐ถ โ โ) โ (๐ด ยท ๐ถ) = (๐ถ ยท ๐ด)) | |
7 | 6 | 3adant2 1131 | . . 3 โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง ๐ถ โ โ) โ (๐ด ยท ๐ถ) = (๐ถ ยท ๐ด)) |
8 | mulcom 11198 | . . . 4 โข ((๐ต โ โ โง ๐ถ โ โ) โ (๐ต ยท ๐ถ) = (๐ถ ยท ๐ต)) | |
9 | 8 | 3adant1 1130 | . . 3 โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง ๐ถ โ โ) โ (๐ต ยท ๐ถ) = (๐ถ ยท ๐ต)) |
10 | 7, 9 | oveq12d 7429 | . 2 โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง ๐ถ โ โ) โ ((๐ด ยท ๐ถ) + (๐ต ยท ๐ถ)) = ((๐ถ ยท ๐ด) + (๐ถ ยท ๐ต))) |
11 | 2, 5, 10 | 3eqtr4d 2782 | 1 โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง ๐ถ โ โ) โ ((๐ด + ๐ต) ยท ๐ถ) = ((๐ด ยท ๐ถ) + (๐ต ยท ๐ถ))) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: โ wi 4 โง w3a 1087 = wceq 1541 โ wcel 2106 (class class class)co 7411 โcc 11110 + caddc 11115 ยท cmul 11117 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1797 ax-4 1811 ax-5 1913 ax-6 1971 ax-7 2011 ax-8 2108 ax-9 2116 ax-ext 2703 ax-addcl 11172 ax-mulcom 11176 ax-distr 11179 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 397 df-or 846 df-3an 1089 df-tru 1544 df-fal 1554 df-ex 1782 df-sb 2068 df-clab 2710 df-cleq 2724 df-clel 2810 df-rab 3433 df-v 3476 df-dif 3951 df-un 3953 df-in 3955 df-ss 3965 df-nul 4323 df-if 4529 df-sn 4629 df-pr 4631 df-op 4635 df-uni 4909 df-br 5149 df-iota 6495 df-fv 6551 df-ov 7414 |
This theorem is referenced by: mulrid 11216 adddiri 11231 adddird 11243 muladd11 11388 00id 11393 cnegex2 11400 muladd 11650 ser1const 14028 hashxplem 14397 demoivreALT 16148 dvds2ln 16236 dvds2add 16237 odd2np1lem 16287 cncrng 21166 icccvx 24690 cnlmod 24880 sincosq1eq 26246 abssinper 26254 sineq0 26257 bposlem9 27019 cncvcOLD 30091 ipasslem1 30339 ipasslem11 30348 cdj3i 31949 gg-cncrng 35486 mblfinlem3 36830 expgrowth 43396 fmtnofac2lem 46535 2zrngALT 46935 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |