Theorem adddir 11205

Description: Distributive law for complex numbers (right-distributivity). (Contributed by NM, 10-Oct-2004.)

Assertion

Ref	Expression
adddir	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵) · 𝐶) = ((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · 𝐶)))

Proof of Theorem adddir

Step	Hyp	Ref	Expression
1		adddi 11199	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐶 · (𝐴 + 𝐵)) = ((𝐶 · 𝐴) + (𝐶 · 𝐵)))
2	1	3coml 1128	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐶 · (𝐴 + 𝐵)) = ((𝐶 · 𝐴) + (𝐶 · 𝐵)))
3		addcl 11192	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℂ)
4		mulcom 11196	. . 3 ⊢ (((𝐴 + 𝐵) ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵) · 𝐶) = (𝐶 · (𝐴 + 𝐵)))
5	3, 4	stoic3 1779	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵) · 𝐶) = (𝐶 · (𝐴 + 𝐵)))
6		mulcom 11196	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐴 · 𝐶) = (𝐶 · 𝐴))
7	6	3adant2 1132	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐴 · 𝐶) = (𝐶 · 𝐴))
8		mulcom 11196	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐵 · 𝐶) = (𝐶 · 𝐵))
9	8	3adant1 1131	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐵 · 𝐶) = (𝐶 · 𝐵))
10	7, 9	oveq12d 7427	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · 𝐶)) = ((𝐶 · 𝐴) + (𝐶 · 𝐵)))
11	2, 5, 10	3eqtr4d 2783	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵) · 𝐶) = ((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · 𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  (class class class)co 7409  ℂcc 11108   + caddc 11113   · cmul 11115

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-ext 2704  ax-addcl 11170  ax-mulcom 11174  ax-distr 11177

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-sb 2069  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-rab 3434  df-v 3477  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-br 5150  df-iota 6496  df-fv 6552  df-ov 7412

This theorem is referenced by:  mulrid  11212  adddiri  11227  adddird  11239  muladd11  11384  00id  11389  cnegex2  11396  muladd  11646  ser1const  14024  hashxplem  14393  demoivreALT  16144  dvds2ln  16232  dvds2add  16233  odd2np1lem  16283  cncrng  20966  icccvx  24466  cnlmod  24656  sincosq1eq  26022  abssinper  26030  sineq0  26033  bposlem9  26795  cncvcOLD  29836  ipasslem1  30084  ipasslem11  30093  cdj3i  31694  mblfinlem3  36527  expgrowth  43094  fmtnofac2lem  46236  2zrngALT  46846