Theorem muladd11r 11463

Description: A simple product of sums expansion. (Contributed by AV, 30-Jul-2021.)

Assertion

Ref	Expression
muladd11r	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 1) · (𝐵 + 1)) = (((𝐴 · 𝐵) + (𝐴 + 𝐵)) + 1))

Proof of Theorem muladd11r

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 481	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → 𝐴 ∈ ℂ)
2		1cnd 11245	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → 1 ∈ ℂ)
3	1, 2	addcomd 11452	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 + 1) = (1 + 𝐴))
4		simpr 483	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → 𝐵 ∈ ℂ)
5	4, 2	addcomd 11452	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐵 + 1) = (1 + 𝐵))
6	3, 5	oveq12d 7442	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 1) · (𝐵 + 1)) = ((1 + 𝐴) · (1 + 𝐵)))
7		muladd11 11420	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((1 + 𝐴) · (1 + 𝐵)) = ((1 + 𝐴) + (𝐵 + (𝐴 · 𝐵))))
8		mulcl 11228	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℂ)
9	4, 8	addcld 11269	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐵 + (𝐴 · 𝐵)) ∈ ℂ)
10	2, 1, 9	addassd 11272	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((1 + 𝐴) + (𝐵 + (𝐴 · 𝐵))) = (1 + (𝐴 + (𝐵 + (𝐴 · 𝐵)))))
11	1, 9	addcld 11269	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 + (𝐵 + (𝐴 · 𝐵))) ∈ ℂ)
12	2, 11	addcomd 11452	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (1 + (𝐴 + (𝐵 + (𝐴 · 𝐵)))) = ((𝐴 + (𝐵 + (𝐴 · 𝐵))) + 1))
13	1, 4, 8	addassd 11272	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵) + (𝐴 · 𝐵)) = (𝐴 + (𝐵 + (𝐴 · 𝐵))))
14		addcl 11226	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℂ)
15	14, 8	addcomd 11452	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵) + (𝐴 · 𝐵)) = ((𝐴 · 𝐵) + (𝐴 + 𝐵)))
16	13, 15	eqtr3d 2769	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 + (𝐵 + (𝐴 · 𝐵))) = ((𝐴 · 𝐵) + (𝐴 + 𝐵)))
17	16	oveq1d 7439	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 + (𝐵 + (𝐴 · 𝐵))) + 1) = (((𝐴 · 𝐵) + (𝐴 + 𝐵)) + 1))
18	10, 12, 17	3eqtrd 2771	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((1 + 𝐴) + (𝐵 + (𝐴 · 𝐵))) = (((𝐴 · 𝐵) + (𝐴 + 𝐵)) + 1))
19	6, 7, 18	3eqtrd 2771	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 1) · (𝐵 + 1)) = (((𝐴 · 𝐵) + (𝐴 + 𝐵)) + 1))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  (class class class)co 7424  ℂcc 11142  1c1 11145   + caddc 11147   · cmul 11149

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2698  ax-sep 5301  ax-nul 5308  ax-pow 5367  ax-pr 5431  ax-un 7744  ax-resscn 11201  ax-1cn 11202  ax-icn 11203  ax-addcl 11204  ax-addrcl 11205  ax-mulcl 11206  ax-mulrcl 11207  ax-mulcom 11208  ax-addass 11209  ax-mulass 11210  ax-distr 11211  ax-i2m1 11212  ax-1ne0 11213  ax-1rid 11214  ax-rnegex 11215  ax-rrecex 11216  ax-cnre 11217  ax-pre-lttri 11218  ax-pre-lttrn 11219  ax-pre-ltadd 11220

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2937  df-nel 3043  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rab 3429  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4325  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4911  df-br 5151  df-opab 5213  df-mpt 5234  df-id 5578  df-po 5592  df-so 5593  df-xp 5686  df-rel 5687  df-cnv 5688  df-co 5689  df-dm 5690  df-rn 5691  df-res 5692  df-ima 5693  df-iota 6503  df-fun 6553  df-fn 6554  df-f 6555  df-f1 6556  df-fo 6557  df-f1o 6558  df-fv 6559  df-ov 7427  df-er 8729  df-en 8969  df-dom 8970  df-sdom 8971  df-pnf 11286  df-mnf 11287  df-ltxr 11289

This theorem is referenced by:  fmtnofac2lem  46910