| Step | Hyp | Ref
| Expression |
| 1 | | oveq2 7439 |
. . . . . . 7
⊢ (𝑗 = 0 → (𝐴 · 𝑗) = (𝐴 · 0)) |
| 2 | 1 | oveq2d 7447 |
. . . . . 6
⊢ (𝑗 = 0 → (1 + (𝐴 · 𝑗)) = (1 + (𝐴 · 0))) |
| 3 | | oveq2 7439 |
. . . . . 6
⊢ (𝑗 = 0 → ((1 + 𝐴)↑𝑗) = ((1 + 𝐴)↑0)) |
| 4 | 2, 3 | breq12d 5156 |
. . . . 5
⊢ (𝑗 = 0 → ((1 + (𝐴 · 𝑗)) ≤ ((1 + 𝐴)↑𝑗) ↔ (1 + (𝐴 · 0)) ≤ ((1 + 𝐴)↑0))) |
| 5 | 4 | imbi2d 340 |
. . . 4
⊢ (𝑗 = 0 → (((𝐴 ∈ ℝ ∧ -1 ≤ 𝐴) → (1 + (𝐴 · 𝑗)) ≤ ((1 + 𝐴)↑𝑗)) ↔ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ -1 ≤ 𝐴) → (1 + (𝐴 · 0)) ≤ ((1 + 𝐴)↑0)))) |
| 6 | | oveq2 7439 |
. . . . . . 7
⊢ (𝑗 = 𝑘 → (𝐴 · 𝑗) = (𝐴 · 𝑘)) |
| 7 | 6 | oveq2d 7447 |
. . . . . 6
⊢ (𝑗 = 𝑘 → (1 + (𝐴 · 𝑗)) = (1 + (𝐴 · 𝑘))) |
| 8 | | oveq2 7439 |
. . . . . 6
⊢ (𝑗 = 𝑘 → ((1 + 𝐴)↑𝑗) = ((1 + 𝐴)↑𝑘)) |
| 9 | 7, 8 | breq12d 5156 |
. . . . 5
⊢ (𝑗 = 𝑘 → ((1 + (𝐴 · 𝑗)) ≤ ((1 + 𝐴)↑𝑗) ↔ (1 + (𝐴 · 𝑘)) ≤ ((1 + 𝐴)↑𝑘))) |
| 10 | 9 | imbi2d 340 |
. . . 4
⊢ (𝑗 = 𝑘 → (((𝐴 ∈ ℝ ∧ -1 ≤ 𝐴) → (1 + (𝐴 · 𝑗)) ≤ ((1 + 𝐴)↑𝑗)) ↔ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ -1 ≤ 𝐴) → (1 + (𝐴 · 𝑘)) ≤ ((1 + 𝐴)↑𝑘)))) |
| 11 | | oveq2 7439 |
. . . . . . 7
⊢ (𝑗 = (𝑘 + 1) → (𝐴 · 𝑗) = (𝐴 · (𝑘 + 1))) |
| 12 | 11 | oveq2d 7447 |
. . . . . 6
⊢ (𝑗 = (𝑘 + 1) → (1 + (𝐴 · 𝑗)) = (1 + (𝐴 · (𝑘 + 1)))) |
| 13 | | oveq2 7439 |
. . . . . 6
⊢ (𝑗 = (𝑘 + 1) → ((1 + 𝐴)↑𝑗) = ((1 + 𝐴)↑(𝑘 + 1))) |
| 14 | 12, 13 | breq12d 5156 |
. . . . 5
⊢ (𝑗 = (𝑘 + 1) → ((1 + (𝐴 · 𝑗)) ≤ ((1 + 𝐴)↑𝑗) ↔ (1 + (𝐴 · (𝑘 + 1))) ≤ ((1 + 𝐴)↑(𝑘 + 1)))) |
| 15 | 14 | imbi2d 340 |
. . . 4
⊢ (𝑗 = (𝑘 + 1) → (((𝐴 ∈ ℝ ∧ -1 ≤ 𝐴) → (1 + (𝐴 · 𝑗)) ≤ ((1 + 𝐴)↑𝑗)) ↔ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ -1 ≤ 𝐴) → (1 + (𝐴 · (𝑘 + 1))) ≤ ((1 + 𝐴)↑(𝑘 + 1))))) |
| 16 | | oveq2 7439 |
. . . . . . 7
⊢ (𝑗 = 𝑁 → (𝐴 · 𝑗) = (𝐴 · 𝑁)) |
| 17 | 16 | oveq2d 7447 |
. . . . . 6
⊢ (𝑗 = 𝑁 → (1 + (𝐴 · 𝑗)) = (1 + (𝐴 · 𝑁))) |
| 18 | | oveq2 7439 |
. . . . . 6
⊢ (𝑗 = 𝑁 → ((1 + 𝐴)↑𝑗) = ((1 + 𝐴)↑𝑁)) |
| 19 | 17, 18 | breq12d 5156 |
. . . . 5
⊢ (𝑗 = 𝑁 → ((1 + (𝐴 · 𝑗)) ≤ ((1 + 𝐴)↑𝑗) ↔ (1 + (𝐴 · 𝑁)) ≤ ((1 + 𝐴)↑𝑁))) |
| 20 | 19 | imbi2d 340 |
. . . 4
⊢ (𝑗 = 𝑁 → (((𝐴 ∈ ℝ ∧ -1 ≤ 𝐴) → (1 + (𝐴 · 𝑗)) ≤ ((1 + 𝐴)↑𝑗)) ↔ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ -1 ≤ 𝐴) → (1 + (𝐴 · 𝑁)) ≤ ((1 + 𝐴)↑𝑁)))) |
| 21 | | recn 11245 |
. . . . . 6
⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈
ℂ) |
| 22 | | mul01 11440 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 · 0) =
0) |
| 23 | 22 | oveq2d 7447 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (1 +
(𝐴 · 0)) = (1 +
0)) |
| 24 | | 1p0e1 12390 |
. . . . . . . 8
⊢ (1 + 0) =
1 |
| 25 | 23, 24 | eqtrdi 2793 |
. . . . . . 7
⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (1 +
(𝐴 · 0)) =
1) |
| 26 | | 1le1 11891 |
. . . . . . . 8
⊢ 1 ≤
1 |
| 27 | | ax-1cn 11213 |
. . . . . . . . . 10
⊢ 1 ∈
ℂ |
| 28 | | addcl 11237 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((1
∈ ℂ ∧ 𝐴
∈ ℂ) → (1 + 𝐴) ∈ ℂ) |
| 29 | 27, 28 | mpan 690 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (1 +
𝐴) ∈
ℂ) |
| 30 | | exp0 14106 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((1 +
𝐴) ∈ ℂ →
((1 + 𝐴)↑0) =
1) |
| 31 | 29, 30 | syl 17 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((1 +
𝐴)↑0) =
1) |
| 32 | 26, 31 | breqtrrid 5181 |
. . . . . . 7
⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 1 ≤
((1 + 𝐴)↑0)) |
| 33 | 25, 32 | eqbrtrd 5165 |
. . . . . 6
⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (1 +
(𝐴 · 0)) ≤ ((1 +
𝐴)↑0)) |
| 34 | 21, 33 | syl 17 |
. . . . 5
⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (1 +
(𝐴 · 0)) ≤ ((1 +
𝐴)↑0)) |
| 35 | 34 | adantr 480 |
. . . 4
⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ -1 ≤
𝐴) → (1 + (𝐴 · 0)) ≤ ((1 + 𝐴)↑0)) |
| 36 | | 1re 11261 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ 1 ∈
ℝ |
| 37 | | nn0re 12535 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝑘 ∈ ℕ0
→ 𝑘 ∈
ℝ) |
| 38 | | remulcl 11240 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℝ) → (𝐴 · 𝑘) ∈ ℝ) |
| 39 | 37, 38 | sylan2 593 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0)
→ (𝐴 · 𝑘) ∈
ℝ) |
| 40 | | readdcl 11238 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((1
∈ ℝ ∧ (𝐴
· 𝑘) ∈ ℝ)
→ (1 + (𝐴 ·
𝑘)) ∈
ℝ) |
| 41 | 36, 39, 40 | sylancr 587 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0)
→ (1 + (𝐴 ·
𝑘)) ∈
ℝ) |
| 42 | | simpl 482 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0)
→ 𝐴 ∈
ℝ) |
| 43 | | readdcl 11238 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (((1 +
(𝐴 · 𝑘)) ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((1 +
(𝐴 · 𝑘)) + 𝐴) ∈ ℝ) |
| 44 | 41, 42, 43 | syl2anc 584 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0)
→ ((1 + (𝐴 ·
𝑘)) + 𝐴) ∈ ℝ) |
| 45 | 44 | adantr 480 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0)
∧ (-1 ≤ 𝐴 ∧ (1 +
(𝐴 · 𝑘)) ≤ ((1 + 𝐴)↑𝑘))) → ((1 + (𝐴 · 𝑘)) + 𝐴) ∈ ℝ) |
| 46 | | readdcl 11238 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((1
∈ ℝ ∧ 𝐴
∈ ℝ) → (1 + 𝐴) ∈ ℝ) |
| 47 | 36, 46 | mpan 690 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (1 +
𝐴) ∈
ℝ) |
| 48 | 47 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0)
→ (1 + 𝐴) ∈
ℝ) |
| 49 | 41, 48 | remulcld 11291 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0)
→ ((1 + (𝐴 ·
𝑘)) · (1 + 𝐴)) ∈
ℝ) |
| 50 | 49 | adantr 480 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0)
∧ (-1 ≤ 𝐴 ∧ (1 +
(𝐴 · 𝑘)) ≤ ((1 + 𝐴)↑𝑘))) → ((1 + (𝐴 · 𝑘)) · (1 + 𝐴)) ∈ ℝ) |
| 51 | | reexpcl 14119 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (((1 +
𝐴) ∈ ℝ ∧
𝑘 ∈
ℕ0) → ((1 + 𝐴)↑𝑘) ∈ ℝ) |
| 52 | 47, 51 | sylan 580 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0)
→ ((1 + 𝐴)↑𝑘) ∈
ℝ) |
| 53 | 52, 48 | remulcld 11291 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0)
→ (((1 + 𝐴)↑𝑘) · (1 + 𝐴)) ∈
ℝ) |
| 54 | 53 | adantr 480 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0)
∧ (-1 ≤ 𝐴 ∧ (1 +
(𝐴 · 𝑘)) ≤ ((1 + 𝐴)↑𝑘))) → (((1 + 𝐴)↑𝑘) · (1 + 𝐴)) ∈ ℝ) |
| 55 | | remulcl 11240 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐴 · 𝐴) ∈ ℝ) |
| 56 | 55 | anidms 566 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 · 𝐴) ∈ ℝ) |
| 57 | | msqge0 11784 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 0 ≤
(𝐴 · 𝐴)) |
| 58 | 56, 57 | jca 511 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((𝐴 · 𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐴 · 𝐴))) |
| 59 | | nn0ge0 12551 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝑘 ∈ ℕ0
→ 0 ≤ 𝑘) |
| 60 | 37, 59 | jca 511 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝑘 ∈ ℕ0
→ (𝑘 ∈ ℝ
∧ 0 ≤ 𝑘)) |
| 61 | | mulge0 11781 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((((𝐴 · 𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐴 · 𝐴)) ∧ (𝑘 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑘)) → 0 ≤ ((𝐴 · 𝐴) · 𝑘)) |
| 62 | 58, 60, 61 | syl2an 596 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0)
→ 0 ≤ ((𝐴 ·
𝐴) · 𝑘)) |
| 63 | 21 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0)
→ 𝐴 ∈
ℂ) |
| 64 | | nn0cn 12536 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝑘 ∈ ℕ0
→ 𝑘 ∈
ℂ) |
| 65 | 64 | adantl 481 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0)
→ 𝑘 ∈
ℂ) |
| 66 | 63, 63, 65 | mul32d 11471 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0)
→ ((𝐴 · 𝐴) · 𝑘) = ((𝐴 · 𝑘) · 𝐴)) |
| 67 | 62, 66 | breqtrd 5169 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0)
→ 0 ≤ ((𝐴 ·
𝑘) · 𝐴)) |
| 68 | | simpl 482 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈
ℝ) |
| 69 | 38, 68 | remulcld 11291 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℝ) → ((𝐴 · 𝑘) · 𝐴) ∈ ℝ) |
| 70 | 37, 69 | sylan2 593 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0)
→ ((𝐴 · 𝑘) · 𝐴) ∈ ℝ) |
| 71 | 44, 70 | addge01d 11851 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0)
→ (0 ≤ ((𝐴 ·
𝑘) · 𝐴) ↔ ((1 + (𝐴 · 𝑘)) + 𝐴) ≤ (((1 + (𝐴 · 𝑘)) + 𝐴) + ((𝐴 · 𝑘) · 𝐴)))) |
| 72 | 67, 71 | mpbid 232 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0)
→ ((1 + (𝐴 ·
𝑘)) + 𝐴) ≤ (((1 + (𝐴 · 𝑘)) + 𝐴) + ((𝐴 · 𝑘) · 𝐴))) |
| 73 | | mulcl 11239 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → (𝐴 · 𝑘) ∈ ℂ) |
| 74 | | addcl 11237 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((1
∈ ℂ ∧ (𝐴
· 𝑘) ∈ ℂ)
→ (1 + (𝐴 ·
𝑘)) ∈
ℂ) |
| 75 | 27, 73, 74 | sylancr 587 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → (1 +
(𝐴 · 𝑘)) ∈
ℂ) |
| 76 | | simpl 482 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → 𝐴 ∈
ℂ) |
| 77 | 73, 76 | mulcld 11281 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → ((𝐴 · 𝑘) · 𝐴) ∈ ℂ) |
| 78 | 75, 76, 77 | addassd 11283 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → (((1 +
(𝐴 · 𝑘)) + 𝐴) + ((𝐴 · 𝑘) · 𝐴)) = ((1 + (𝐴 · 𝑘)) + (𝐴 + ((𝐴 · 𝑘) · 𝐴)))) |
| 79 | | muladd11 11431 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (((𝐴 · 𝑘) ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((1 + (𝐴 · 𝑘)) · (1 + 𝐴)) = ((1 + (𝐴 · 𝑘)) + (𝐴 + ((𝐴 · 𝑘) · 𝐴)))) |
| 80 | 73, 76, 79 | syl2anc 584 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → ((1 +
(𝐴 · 𝑘)) · (1 + 𝐴)) = ((1 + (𝐴 · 𝑘)) + (𝐴 + ((𝐴 · 𝑘) · 𝐴)))) |
| 81 | 78, 80 | eqtr4d 2780 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → (((1 +
(𝐴 · 𝑘)) + 𝐴) + ((𝐴 · 𝑘) · 𝐴)) = ((1 + (𝐴 · 𝑘)) · (1 + 𝐴))) |
| 82 | 21, 64, 81 | syl2an 596 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0)
→ (((1 + (𝐴 ·
𝑘)) + 𝐴) + ((𝐴 · 𝑘) · 𝐴)) = ((1 + (𝐴 · 𝑘)) · (1 + 𝐴))) |
| 83 | 72, 82 | breqtrd 5169 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0)
→ ((1 + (𝐴 ·
𝑘)) + 𝐴) ≤ ((1 + (𝐴 · 𝑘)) · (1 + 𝐴))) |
| 84 | 83 | adantr 480 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0)
∧ (-1 ≤ 𝐴 ∧ (1 +
(𝐴 · 𝑘)) ≤ ((1 + 𝐴)↑𝑘))) → ((1 + (𝐴 · 𝑘)) + 𝐴) ≤ ((1 + (𝐴 · 𝑘)) · (1 + 𝐴))) |
| 85 | 41 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0)
∧ (-1 ≤ 𝐴 ∧ (1 +
(𝐴 · 𝑘)) ≤ ((1 + 𝐴)↑𝑘))) → (1 + (𝐴 · 𝑘)) ∈ ℝ) |
| 86 | 52 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0)
∧ (-1 ≤ 𝐴 ∧ (1 +
(𝐴 · 𝑘)) ≤ ((1 + 𝐴)↑𝑘))) → ((1 + 𝐴)↑𝑘) ∈ ℝ) |
| 87 | 48 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0)
∧ (-1 ≤ 𝐴 ∧ (1 +
(𝐴 · 𝑘)) ≤ ((1 + 𝐴)↑𝑘))) → (1 + 𝐴) ∈ ℝ) |
| 88 | | neg1rr 12381 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ -1 ∈
ℝ |
| 89 | | leadd2 11732 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((-1
∈ ℝ ∧ 𝐴
∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (-1 ≤ 𝐴 ↔ (1 + -1) ≤ (1 + 𝐴))) |
| 90 | 88, 36, 89 | mp3an13 1454 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (-1 ≤
𝐴 ↔ (1 + -1) ≤ (1 +
𝐴))) |
| 91 | | 1pneg1e0 12385 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (1 + -1)
= 0 |
| 92 | 91 | breq1i 5150 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((1 + -1)
≤ (1 + 𝐴) ↔ 0 ≤
(1 + 𝐴)) |
| 93 | 90, 92 | bitrdi 287 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (-1 ≤
𝐴 ↔ 0 ≤ (1 + 𝐴))) |
| 94 | 93 | biimpa 476 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ -1 ≤
𝐴) → 0 ≤ (1 + 𝐴)) |
| 95 | 94 | ad2ant2r 747 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0)
∧ (-1 ≤ 𝐴 ∧ (1 +
(𝐴 · 𝑘)) ≤ ((1 + 𝐴)↑𝑘))) → 0 ≤ (1 + 𝐴)) |
| 96 | | simprr 773 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0)
∧ (-1 ≤ 𝐴 ∧ (1 +
(𝐴 · 𝑘)) ≤ ((1 + 𝐴)↑𝑘))) → (1 + (𝐴 · 𝑘)) ≤ ((1 + 𝐴)↑𝑘)) |
| 97 | 85, 86, 87, 95, 96 | lemul1ad 12207 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0)
∧ (-1 ≤ 𝐴 ∧ (1 +
(𝐴 · 𝑘)) ≤ ((1 + 𝐴)↑𝑘))) → ((1 + (𝐴 · 𝑘)) · (1 + 𝐴)) ≤ (((1 + 𝐴)↑𝑘) · (1 + 𝐴))) |
| 98 | 45, 50, 54, 84, 97 | letrd 11418 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0)
∧ (-1 ≤ 𝐴 ∧ (1 +
(𝐴 · 𝑘)) ≤ ((1 + 𝐴)↑𝑘))) → ((1 + (𝐴 · 𝑘)) + 𝐴) ≤ (((1 + 𝐴)↑𝑘) · (1 + 𝐴))) |
| 99 | | adddi 11244 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ ∧ 1 ∈
ℂ) → (𝐴 ·
(𝑘 + 1)) = ((𝐴 · 𝑘) + (𝐴 · 1))) |
| 100 | 27, 99 | mp3an3 1452 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → (𝐴 · (𝑘 + 1)) = ((𝐴 · 𝑘) + (𝐴 · 1))) |
| 101 | | mulrid 11259 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 · 1) = 𝐴) |
| 102 | 101 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → (𝐴 · 1) = 𝐴) |
| 103 | 102 | oveq2d 7447 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → ((𝐴 · 𝑘) + (𝐴 · 1)) = ((𝐴 · 𝑘) + 𝐴)) |
| 104 | 100, 103 | eqtrd 2777 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → (𝐴 · (𝑘 + 1)) = ((𝐴 · 𝑘) + 𝐴)) |
| 105 | 104 | oveq2d 7447 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → (1 +
(𝐴 · (𝑘 + 1))) = (1 + ((𝐴 · 𝑘) + 𝐴))) |
| 106 | | addass 11242 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((1
∈ ℂ ∧ (𝐴
· 𝑘) ∈ ℂ
∧ 𝐴 ∈ ℂ)
→ ((1 + (𝐴 ·
𝑘)) + 𝐴) = (1 + ((𝐴 · 𝑘) + 𝐴))) |
| 107 | 27, 73, 76, 106 | mp3an2i 1468 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → ((1 +
(𝐴 · 𝑘)) + 𝐴) = (1 + ((𝐴 · 𝑘) + 𝐴))) |
| 108 | 105, 107 | eqtr4d 2780 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → (1 +
(𝐴 · (𝑘 + 1))) = ((1 + (𝐴 · 𝑘)) + 𝐴)) |
| 109 | 21, 64, 108 | syl2an 596 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0)
→ (1 + (𝐴 ·
(𝑘 + 1))) = ((1 + (𝐴 · 𝑘)) + 𝐴)) |
| 110 | 109 | adantr 480 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0)
∧ (-1 ≤ 𝐴 ∧ (1 +
(𝐴 · 𝑘)) ≤ ((1 + 𝐴)↑𝑘))) → (1 + (𝐴 · (𝑘 + 1))) = ((1 + (𝐴 · 𝑘)) + 𝐴)) |
| 111 | 27, 21, 28 | sylancr 587 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (1 +
𝐴) ∈
ℂ) |
| 112 | | expp1 14109 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((1 +
𝐴) ∈ ℂ ∧
𝑘 ∈
ℕ0) → ((1 + 𝐴)↑(𝑘 + 1)) = (((1 + 𝐴)↑𝑘) · (1 + 𝐴))) |
| 113 | 111, 112 | sylan 580 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0)
→ ((1 + 𝐴)↑(𝑘 + 1)) = (((1 + 𝐴)↑𝑘) · (1 + 𝐴))) |
| 114 | 113 | adantr 480 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0)
∧ (-1 ≤ 𝐴 ∧ (1 +
(𝐴 · 𝑘)) ≤ ((1 + 𝐴)↑𝑘))) → ((1 + 𝐴)↑(𝑘 + 1)) = (((1 + 𝐴)↑𝑘) · (1 + 𝐴))) |
| 115 | 98, 110, 114 | 3brtr4d 5175 |
. . . . . . . 8
⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0)
∧ (-1 ≤ 𝐴 ∧ (1 +
(𝐴 · 𝑘)) ≤ ((1 + 𝐴)↑𝑘))) → (1 + (𝐴 · (𝑘 + 1))) ≤ ((1 + 𝐴)↑(𝑘 + 1))) |
| 116 | 115 | exp43 436 |
. . . . . . 7
⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝑘 ∈ ℕ0
→ (-1 ≤ 𝐴 →
((1 + (𝐴 · 𝑘)) ≤ ((1 + 𝐴)↑𝑘) → (1 + (𝐴 · (𝑘 + 1))) ≤ ((1 + 𝐴)↑(𝑘 + 1)))))) |
| 117 | 116 | com12 32 |
. . . . . 6
⊢ (𝑘 ∈ ℕ0
→ (𝐴 ∈ ℝ
→ (-1 ≤ 𝐴 →
((1 + (𝐴 · 𝑘)) ≤ ((1 + 𝐴)↑𝑘) → (1 + (𝐴 · (𝑘 + 1))) ≤ ((1 + 𝐴)↑(𝑘 + 1)))))) |
| 118 | 117 | impd 410 |
. . . . 5
⊢ (𝑘 ∈ ℕ0
→ ((𝐴 ∈ ℝ
∧ -1 ≤ 𝐴) → ((1
+ (𝐴 · 𝑘)) ≤ ((1 + 𝐴)↑𝑘) → (1 + (𝐴 · (𝑘 + 1))) ≤ ((1 + 𝐴)↑(𝑘 + 1))))) |
| 119 | 118 | a2d 29 |
. . . 4
⊢ (𝑘 ∈ ℕ0
→ (((𝐴 ∈ ℝ
∧ -1 ≤ 𝐴) → (1
+ (𝐴 · 𝑘)) ≤ ((1 + 𝐴)↑𝑘)) → ((𝐴 ∈ ℝ ∧ -1 ≤ 𝐴) → (1 + (𝐴 · (𝑘 + 1))) ≤ ((1 + 𝐴)↑(𝑘 + 1))))) |
| 120 | 5, 10, 15, 20, 35, 119 | nn0ind 12713 |
. . 3
⊢ (𝑁 ∈ ℕ0
→ ((𝐴 ∈ ℝ
∧ -1 ≤ 𝐴) → (1
+ (𝐴 · 𝑁)) ≤ ((1 + 𝐴)↑𝑁))) |
| 121 | 120 | expd 415 |
. 2
⊢ (𝑁 ∈ ℕ0
→ (𝐴 ∈ ℝ
→ (-1 ≤ 𝐴 → (1
+ (𝐴 · 𝑁)) ≤ ((1 + 𝐴)↑𝑁)))) |
| 122 | 121 | 3imp21 1114 |
1
⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0
∧ -1 ≤ 𝐴) → (1
+ (𝐴 · 𝑁)) ≤ ((1 + 𝐴)↑𝑁)) |