bernneq - Metamath Proof Explorer

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Theorem bernneq 14231

Description: Bernoulli's inequality, due to Johan Bernoulli (1667-1748). (Contributed by NM, 21-Feb-2005.)

**Assertion**
Ref	Expression
bernneq	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ -1 ≤ 𝐴) → (1 + (𝐴 · 𝑁)) ≤ ((1 + 𝐴)↑𝑁))

Proof of Theorem bernneq Dummy variables 𝑗 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 7434	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 = 0 → (𝐴 · 𝑗) = (𝐴 · 0))
2	1	oveq2d 7442	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 = 0 → (1 + (𝐴 · 𝑗)) = (1 + (𝐴 · 0)))
3		oveq2 7434	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 = 0 → ((1 + 𝐴)↑𝑗) = ((1 + 𝐴)↑0))
4	2, 3	breq12d 5165	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = 0 → ((1 + (𝐴 · 𝑗)) ≤ ((1 + 𝐴)↑𝑗) ↔ (1 + (𝐴 · 0)) ≤ ((1 + 𝐴)↑0)))
5	4	imbi2d 339	. . . 4 ⊢ (𝑗 = 0 → (((𝐴 ∈ ℝ ∧ -1 ≤ 𝐴) → (1 + (𝐴 · 𝑗)) ≤ ((1 + 𝐴)↑𝑗)) ↔ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ -1 ≤ 𝐴) → (1 + (𝐴 · 0)) ≤ ((1 + 𝐴)↑0))))
6		oveq2 7434	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (𝐴 · 𝑗) = (𝐴 · 𝑘))
7	6	oveq2d 7442	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (1 + (𝐴 · 𝑗)) = (1 + (𝐴 · 𝑘)))
8		oveq2 7434	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → ((1 + 𝐴)↑𝑗) = ((1 + 𝐴)↑𝑘))
9	7, 8	breq12d 5165	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → ((1 + (𝐴 · 𝑗)) ≤ ((1 + 𝐴)↑𝑗) ↔ (1 + (𝐴 · 𝑘)) ≤ ((1 + 𝐴)↑𝑘)))
10	9	imbi2d 339	. . . 4 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (((𝐴 ∈ ℝ ∧ -1 ≤ 𝐴) → (1 + (𝐴 · 𝑗)) ≤ ((1 + 𝐴)↑𝑗)) ↔ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ -1 ≤ 𝐴) → (1 + (𝐴 · 𝑘)) ≤ ((1 + 𝐴)↑𝑘))))
11		oveq2 7434	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 = (𝑘 + 1) → (𝐴 · 𝑗) = (𝐴 · (𝑘 + 1)))
12	11	oveq2d 7442	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 = (𝑘 + 1) → (1 + (𝐴 · 𝑗)) = (1 + (𝐴 · (𝑘 + 1))))
13		oveq2 7434	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 = (𝑘 + 1) → ((1 + 𝐴)↑𝑗) = ((1 + 𝐴)↑(𝑘 + 1)))
14	12, 13	breq12d 5165	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = (𝑘 + 1) → ((1 + (𝐴 · 𝑗)) ≤ ((1 + 𝐴)↑𝑗) ↔ (1 + (𝐴 · (𝑘 + 1))) ≤ ((1 + 𝐴)↑(𝑘 + 1))))
15	14	imbi2d 339	. . . 4 ⊢ (𝑗 = (𝑘 + 1) → (((𝐴 ∈ ℝ ∧ -1 ≤ 𝐴) → (1 + (𝐴 · 𝑗)) ≤ ((1 + 𝐴)↑𝑗)) ↔ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ -1 ≤ 𝐴) → (1 + (𝐴 · (𝑘 + 1))) ≤ ((1 + 𝐴)↑(𝑘 + 1)))))
16		oveq2 7434	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 = 𝑁 → (𝐴 · 𝑗) = (𝐴 · 𝑁))
17	16	oveq2d 7442	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 = 𝑁 → (1 + (𝐴 · 𝑗)) = (1 + (𝐴 · 𝑁)))
18		oveq2 7434	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 = 𝑁 → ((1 + 𝐴)↑𝑗) = ((1 + 𝐴)↑𝑁))
19	17, 18	breq12d 5165	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = 𝑁 → ((1 + (𝐴 · 𝑗)) ≤ ((1 + 𝐴)↑𝑗) ↔ (1 + (𝐴 · 𝑁)) ≤ ((1 + 𝐴)↑𝑁)))
20	19	imbi2d 339	. . . 4 ⊢ (𝑗 = 𝑁 → (((𝐴 ∈ ℝ ∧ -1 ≤ 𝐴) → (1 + (𝐴 · 𝑗)) ≤ ((1 + 𝐴)↑𝑗)) ↔ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ -1 ≤ 𝐴) → (1 + (𝐴 · 𝑁)) ≤ ((1 + 𝐴)↑𝑁))))
21		recn 11236	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
22		mul01 11431	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 · 0) = 0)
23	22	oveq2d 7442	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (1 + (𝐴 · 0)) = (1 + 0))
24		1p0e1 12374	. . . . . . . 8 ⊢ (1 + 0) = 1
25	23, 24	eqtrdi 2784	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (1 + (𝐴 · 0)) = 1)
26		1le1 11880	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ≤ 1
27		ax-1cn 11204	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ∈ ℂ
28		addcl 11228	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (1 + 𝐴) ∈ ℂ)
29	27, 28	mpan 688	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (1 + 𝐴) ∈ ℂ)
30		exp0 14070	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1 + 𝐴) ∈ ℂ → ((1 + 𝐴)↑0) = 1)
31	29, 30	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((1 + 𝐴)↑0) = 1)
32	26, 31	breqtrrid 5190	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 1 ≤ ((1 + 𝐴)↑0))
33	25, 32	eqbrtrd 5174	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (1 + (𝐴 · 0)) ≤ ((1 + 𝐴)↑0))
34	21, 33	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (1 + (𝐴 · 0)) ≤ ((1 + 𝐴)↑0))
35	34	adantr 479	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ -1 ≤ 𝐴) → (1 + (𝐴 · 0)) ≤ ((1 + 𝐴)↑0))
36		1re 11252	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 1 ∈ ℝ
37		nn0re 12519	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ₀ → 𝑘 ∈ ℝ)
38		remulcl 11231	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℝ) → (𝐴 · 𝑘) ∈ ℝ)
39	37, 38	sylan2 591	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ₀) → (𝐴 · 𝑘) ∈ ℝ)
40		readdcl 11229	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ (𝐴 · 𝑘) ∈ ℝ) → (1 + (𝐴 · 𝑘)) ∈ ℝ)
41	36, 39, 40	sylancr 585	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ₀) → (1 + (𝐴 · 𝑘)) ∈ ℝ)
42		simpl 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ₀) → 𝐴 ∈ ℝ)
43		readdcl 11229	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((1 + (𝐴 · 𝑘)) ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((1 + (𝐴 · 𝑘)) + 𝐴) ∈ ℝ)
44	41, 42, 43	syl2anc 582	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ₀) → ((1 + (𝐴 · 𝑘)) + 𝐴) ∈ ℝ)
45	44	adantr 479	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ₀) ∧ (-1 ≤ 𝐴 ∧ (1 + (𝐴 · 𝑘)) ≤ ((1 + 𝐴)↑𝑘))) → ((1 + (𝐴 · 𝑘)) + 𝐴) ∈ ℝ)
46		readdcl 11229	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (1 + 𝐴) ∈ ℝ)
47	36, 46	mpan 688	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (1 + 𝐴) ∈ ℝ)
48	47	adantr 479	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ₀) → (1 + 𝐴) ∈ ℝ)
49	41, 48	remulcld 11282	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ₀) → ((1 + (𝐴 · 𝑘)) · (1 + 𝐴)) ∈ ℝ)
50	49	adantr 479	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ₀) ∧ (-1 ≤ 𝐴 ∧ (1 + (𝐴 · 𝑘)) ≤ ((1 + 𝐴)↑𝑘))) → ((1 + (𝐴 · 𝑘)) · (1 + 𝐴)) ∈ ℝ)
51		reexpcl 14083	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((1 + 𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ₀) → ((1 + 𝐴)↑𝑘) ∈ ℝ)
52	47, 51	sylan 578	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ₀) → ((1 + 𝐴)↑𝑘) ∈ ℝ)
53	52, 48	remulcld 11282	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ₀) → (((1 + 𝐴)↑𝑘) · (1 + 𝐴)) ∈ ℝ)
54	53	adantr 479	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ₀) ∧ (-1 ≤ 𝐴 ∧ (1 + (𝐴 · 𝑘)) ≤ ((1 + 𝐴)↑𝑘))) → (((1 + 𝐴)↑𝑘) · (1 + 𝐴)) ∈ ℝ)
55		remulcl 11231	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐴 · 𝐴) ∈ ℝ)
56	55	anidms 565	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 · 𝐴) ∈ ℝ)
57		msqge0 11773	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 0 ≤ (𝐴 · 𝐴))
58	56, 57	jca 510	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((𝐴 · 𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐴 · 𝐴)))
59		nn0ge0 12535	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ₀ → 0 ≤ 𝑘)
60	37, 59	jca 510	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ₀ → (𝑘 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑘))
61		mulge0 11770	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐴 · 𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐴 · 𝐴)) ∧ (𝑘 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑘)) → 0 ≤ ((𝐴 · 𝐴) · 𝑘))
62	58, 60, 61	syl2an 594	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ₀) → 0 ≤ ((𝐴 · 𝐴) · 𝑘))
63	21	adantr 479	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ₀) → 𝐴 ∈ ℂ)
64		nn0cn 12520	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ₀ → 𝑘 ∈ ℂ)
65	64	adantl 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ₀) → 𝑘 ∈ ℂ)
66	63, 63, 65	mul32d 11462	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ₀) → ((𝐴 · 𝐴) · 𝑘) = ((𝐴 · 𝑘) · 𝐴))
67	62, 66	breqtrd 5178	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ₀) → 0 ≤ ((𝐴 · 𝑘) · 𝐴))
68		simpl 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℝ)
69	38, 68	remulcld 11282	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℝ) → ((𝐴 · 𝑘) · 𝐴) ∈ ℝ)
70	37, 69	sylan2 591	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ₀) → ((𝐴 · 𝑘) · 𝐴) ∈ ℝ)
71	44, 70	addge01d 11840	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ₀) → (0 ≤ ((𝐴 · 𝑘) · 𝐴) ↔ ((1 + (𝐴 · 𝑘)) + 𝐴) ≤ (((1 + (𝐴 · 𝑘)) + 𝐴) + ((𝐴 · 𝑘) · 𝐴))))
72	67, 71	mpbid 231	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ₀) → ((1 + (𝐴 · 𝑘)) + 𝐴) ≤ (((1 + (𝐴 · 𝑘)) + 𝐴) + ((𝐴 · 𝑘) · 𝐴)))
73		mulcl 11230	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → (𝐴 · 𝑘) ∈ ℂ)
74		addcl 11228	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ (𝐴 · 𝑘) ∈ ℂ) → (1 + (𝐴 · 𝑘)) ∈ ℂ)
75	27, 73, 74	sylancr 585	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → (1 + (𝐴 · 𝑘)) ∈ ℂ)
76		simpl 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → 𝐴 ∈ ℂ)
77	73, 76	mulcld 11272	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → ((𝐴 · 𝑘) · 𝐴) ∈ ℂ)
78	75, 76, 77	addassd 11274	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → (((1 + (𝐴 · 𝑘)) + 𝐴) + ((𝐴 · 𝑘) · 𝐴)) = ((1 + (𝐴 · 𝑘)) + (𝐴 + ((𝐴 · 𝑘) · 𝐴))))
79		muladd11 11422	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐴 · 𝑘) ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((1 + (𝐴 · 𝑘)) · (1 + 𝐴)) = ((1 + (𝐴 · 𝑘)) + (𝐴 + ((𝐴 · 𝑘) · 𝐴))))
80	73, 76, 79	syl2anc 582	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → ((1 + (𝐴 · 𝑘)) · (1 + 𝐴)) = ((1 + (𝐴 · 𝑘)) + (𝐴 + ((𝐴 · 𝑘) · 𝐴))))
81	78, 80	eqtr4d 2771	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → (((1 + (𝐴 · 𝑘)) + 𝐴) + ((𝐴 · 𝑘) · 𝐴)) = ((1 + (𝐴 · 𝑘)) · (1 + 𝐴)))
82	21, 64, 81	syl2an 594	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ₀) → (((1 + (𝐴 · 𝑘)) + 𝐴) + ((𝐴 · 𝑘) · 𝐴)) = ((1 + (𝐴 · 𝑘)) · (1 + 𝐴)))
83	72, 82	breqtrd 5178	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ₀) → ((1 + (𝐴 · 𝑘)) + 𝐴) ≤ ((1 + (𝐴 · 𝑘)) · (1 + 𝐴)))
84	83	adantr 479	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ₀) ∧ (-1 ≤ 𝐴 ∧ (1 + (𝐴 · 𝑘)) ≤ ((1 + 𝐴)↑𝑘))) → ((1 + (𝐴 · 𝑘)) + 𝐴) ≤ ((1 + (𝐴 · 𝑘)) · (1 + 𝐴)))
85	41	adantr 479	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ₀) ∧ (-1 ≤ 𝐴 ∧ (1 + (𝐴 · 𝑘)) ≤ ((1 + 𝐴)↑𝑘))) → (1 + (𝐴 · 𝑘)) ∈ ℝ)
86	52	adantr 479	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ₀) ∧ (-1 ≤ 𝐴 ∧ (1 + (𝐴 · 𝑘)) ≤ ((1 + 𝐴)↑𝑘))) → ((1 + 𝐴)↑𝑘) ∈ ℝ)
87	48	adantr 479	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ₀) ∧ (-1 ≤ 𝐴 ∧ (1 + (𝐴 · 𝑘)) ≤ ((1 + 𝐴)↑𝑘))) → (1 + 𝐴) ∈ ℝ)
88		neg1rr 12365	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ -1 ∈ ℝ
89		leadd2 11721	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((-1 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (-1 ≤ 𝐴 ↔ (1 + -1) ≤ (1 + 𝐴)))
90	88, 36, 89	mp3an13 1448	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (-1 ≤ 𝐴 ↔ (1 + -1) ≤ (1 + 𝐴)))
91		1pneg1e0 12369	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (1 + -1) = 0
92	91	breq1i 5159	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((1 + -1) ≤ (1 + 𝐴) ↔ 0 ≤ (1 + 𝐴))
93	90, 92	bitrdi 286	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (-1 ≤ 𝐴 ↔ 0 ≤ (1 + 𝐴)))
94	93	biimpa 475	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ -1 ≤ 𝐴) → 0 ≤ (1 + 𝐴))
95	94	ad2ant2r 745	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ₀) ∧ (-1 ≤ 𝐴 ∧ (1 + (𝐴 · 𝑘)) ≤ ((1 + 𝐴)↑𝑘))) → 0 ≤ (1 + 𝐴))
96		simprr 771	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ₀) ∧ (-1 ≤ 𝐴 ∧ (1 + (𝐴 · 𝑘)) ≤ ((1 + 𝐴)↑𝑘))) → (1 + (𝐴 · 𝑘)) ≤ ((1 + 𝐴)↑𝑘))
97	85, 86, 87, 95, 96	lemul1ad 12191	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ₀) ∧ (-1 ≤ 𝐴 ∧ (1 + (𝐴 · 𝑘)) ≤ ((1 + 𝐴)↑𝑘))) → ((1 + (𝐴 · 𝑘)) · (1 + 𝐴)) ≤ (((1 + 𝐴)↑𝑘) · (1 + 𝐴)))
98	45, 50, 54, 84, 97	letrd 11409	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ₀) ∧ (-1 ≤ 𝐴 ∧ (1 + (𝐴 · 𝑘)) ≤ ((1 + 𝐴)↑𝑘))) → ((1 + (𝐴 · 𝑘)) + 𝐴) ≤ (((1 + 𝐴)↑𝑘) · (1 + 𝐴)))
99		adddi 11235	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (𝐴 · (𝑘 + 1)) = ((𝐴 · 𝑘) + (𝐴 · 1)))
100	27, 99	mp3an3 1446	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → (𝐴 · (𝑘 + 1)) = ((𝐴 · 𝑘) + (𝐴 · 1)))
101		mulrid 11250	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 · 1) = 𝐴)
102	101	adantr 479	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → (𝐴 · 1) = 𝐴)
103	102	oveq2d 7442	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → ((𝐴 · 𝑘) + (𝐴 · 1)) = ((𝐴 · 𝑘) + 𝐴))
104	100, 103	eqtrd 2768	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → (𝐴 · (𝑘 + 1)) = ((𝐴 · 𝑘) + 𝐴))
105	104	oveq2d 7442	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → (1 + (𝐴 · (𝑘 + 1))) = (1 + ((𝐴 · 𝑘) + 𝐴)))
106		addass 11233	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ (𝐴 · 𝑘) ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((1 + (𝐴 · 𝑘)) + 𝐴) = (1 + ((𝐴 · 𝑘) + 𝐴)))
107	27, 73, 76, 106	mp3an2i 1462	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → ((1 + (𝐴 · 𝑘)) + 𝐴) = (1 + ((𝐴 · 𝑘) + 𝐴)))
108	105, 107	eqtr4d 2771	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → (1 + (𝐴 · (𝑘 + 1))) = ((1 + (𝐴 · 𝑘)) + 𝐴))
109	21, 64, 108	syl2an 594	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ₀) → (1 + (𝐴 · (𝑘 + 1))) = ((1 + (𝐴 · 𝑘)) + 𝐴))
110	109	adantr 479	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ₀) ∧ (-1 ≤ 𝐴 ∧ (1 + (𝐴 · 𝑘)) ≤ ((1 + 𝐴)↑𝑘))) → (1 + (𝐴 · (𝑘 + 1))) = ((1 + (𝐴 · 𝑘)) + 𝐴))
111	27, 21, 28	sylancr 585	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (1 + 𝐴) ∈ ℂ)
112		expp1 14073	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((1 + 𝐴) ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ₀) → ((1 + 𝐴)↑(𝑘 + 1)) = (((1 + 𝐴)↑𝑘) · (1 + 𝐴)))
113	111, 112	sylan 578	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ₀) → ((1 + 𝐴)↑(𝑘 + 1)) = (((1 + 𝐴)↑𝑘) · (1 + 𝐴)))
114	113	adantr 479	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ₀) ∧ (-1 ≤ 𝐴 ∧ (1 + (𝐴 · 𝑘)) ≤ ((1 + 𝐴)↑𝑘))) → ((1 + 𝐴)↑(𝑘 + 1)) = (((1 + 𝐴)↑𝑘) · (1 + 𝐴)))
115	98, 110, 114	3brtr4d 5184	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ₀) ∧ (-1 ≤ 𝐴 ∧ (1 + (𝐴 · 𝑘)) ≤ ((1 + 𝐴)↑𝑘))) → (1 + (𝐴 · (𝑘 + 1))) ≤ ((1 + 𝐴)↑(𝑘 + 1)))
116	115	exp43 435	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝑘 ∈ ℕ₀ → (-1 ≤ 𝐴 → ((1 + (𝐴 · 𝑘)) ≤ ((1 + 𝐴)↑𝑘) → (1 + (𝐴 · (𝑘 + 1))) ≤ ((1 + 𝐴)↑(𝑘 + 1))))))
117	116	com12 32	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ₀ → (𝐴 ∈ ℝ → (-1 ≤ 𝐴 → ((1 + (𝐴 · 𝑘)) ≤ ((1 + 𝐴)↑𝑘) → (1 + (𝐴 · (𝑘 + 1))) ≤ ((1 + 𝐴)↑(𝑘 + 1))))))
118	117	impd 409	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ₀ → ((𝐴 ∈ ℝ ∧ -1 ≤ 𝐴) → ((1 + (𝐴 · 𝑘)) ≤ ((1 + 𝐴)↑𝑘) → (1 + (𝐴 · (𝑘 + 1))) ≤ ((1 + 𝐴)↑(𝑘 + 1)))))
119	118	a2d 29	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ₀ → (((𝐴 ∈ ℝ ∧ -1 ≤ 𝐴) → (1 + (𝐴 · 𝑘)) ≤ ((1 + 𝐴)↑𝑘)) → ((𝐴 ∈ ℝ ∧ -1 ≤ 𝐴) → (1 + (𝐴 · (𝑘 + 1))) ≤ ((1 + 𝐴)↑(𝑘 + 1)))))
120	5, 10, 15, 20, 35, 119	nn0ind 12695	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ₀ → ((𝐴 ∈ ℝ ∧ -1 ≤ 𝐴) → (1 + (𝐴 · 𝑁)) ≤ ((1 + 𝐴)↑𝑁)))
121	120	expd 414	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ₀ → (𝐴 ∈ ℝ → (-1 ≤ 𝐴 → (1 + (𝐴 · 𝑁)) ≤ ((1 + 𝐴)↑𝑁))))
122	121	3imp21 1111	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ -1 ≤ 𝐴) → (1 + (𝐴 · 𝑁)) ≤ ((1 + 𝐴)↑𝑁))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: → wi 4 ↔ wb 205 ∧ wa 394 ∧ w3a 1084 = wceq 1533 ∈ wcel 2098 class class class wbr 5152 (class class class)co 7426 ℂcc 11144 ℝcr 11145 0cc0 11146 1c1 11147 + caddc 11149 · cmul 11151 ≤ cle 11287 -cneg 11483 ℕ₀cn0 12510 ↑cexp 14066

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1789 ax-4 1803 ax-5 1905 ax-6 1963 ax-7 2003 ax-8 2100 ax-9 2108 ax-10 2129 ax-11 2146 ax-12 2166 ax-ext 2699 ax-sep 5303 ax-nul 5310 ax-pow 5369 ax-pr 5433 ax-un 7746 ax-cnex 11202 ax-resscn 11203 ax-1cn 11204 ax-icn 11205 ax-addcl 11206 ax-addrcl 11207 ax-mulcl 11208 ax-mulrcl 11209 ax-mulcom 11210 ax-addass 11211 ax-mulass 11212 ax-distr 11213 ax-i2m1 11214 ax-1ne0 11215 ax-1rid 11216 ax-rnegex 11217 ax-rrecex 11218 ax-cnre 11219 ax-pre-lttri 11220 ax-pre-lttrn 11221 ax-pre-ltadd 11222 ax-pre-mulgt0 11223

This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 395 df-or 846 df-3or 1085 df-3an 1086 df-tru 1536 df-fal 1546 df-ex 1774 df-nf 1778 df-sb 2060 df-mo 2529 df-eu 2558 df-clab 2706 df-cleq 2720 df-clel 2806 df-nfc 2881 df-ne 2938 df-nel 3044 df-ral 3059 df-rex 3068 df-reu 3375 df-rab 3431 df-v 3475 df-sbc 3779 df-csb 3895 df-dif 3952 df-un 3954 df-in 3956 df-ss 3966 df-pss 3968 df-nul 4327 df-if 4533 df-pw 4608 df-sn 4633 df-pr 4635 df-op 4639 df-uni 4913 df-iun 5002 df-br 5153 df-opab 5215 df-mpt 5236 df-tr 5270 df-id 5580 df-eprel 5586 df-po 5594 df-so 5595 df-fr 5637 df-we 5639 df-xp 5688 df-rel 5689 df-cnv 5690 df-co 5691 df-dm 5692 df-rn 5693 df-res 5694 df-ima 5695 df-pred 6310 df-ord 6377 df-on 6378 df-lim 6379 df-suc 6380 df-iota 6505 df-fun 6555 df-fn 6556 df-f 6557 df-f1 6558 df-fo 6559 df-f1o 6560 df-fv 6561 df-riota 7382 df-ov 7429 df-oprab 7430 df-mpo 7431 df-om 7877 df-2nd 8000 df-frecs 8293 df-wrecs 8324 df-recs 8398 df-rdg 8437 df-er 8731 df-en 8971 df-dom 8972 df-sdom 8973 df-pnf 11288 df-mnf 11289 df-xr 11290 df-ltxr 11291 df-le 11292 df-sub 11484 df-neg 11485 df-nn 12251 df-n0 12511 df-z 12597 df-uz 12861 df-seq 14007 df-exp 14067

This theorem is referenced by: bernneq2 14232 stoweidlem1 45418 stoweidlem10 45427 stoweidlem42 45459

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