MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  bernneq Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem bernneq 14194
Description: Bernoulli's inequality, due to Johan Bernoulli (1667-1748). (Contributed by NM, 21-Feb-2005.)
Assertion
Ref Expression
bernneq ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง -1 โ‰ค ๐ด) โ†’ (1 + (๐ด ยท ๐‘)) โ‰ค ((1 + ๐ด)โ†‘๐‘))

Proof of Theorem bernneq
Dummy variables ๐‘— ๐‘˜ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 7412 . . . . . . 7 (๐‘— = 0 โ†’ (๐ด ยท ๐‘—) = (๐ด ยท 0))
21oveq2d 7420 . . . . . 6 (๐‘— = 0 โ†’ (1 + (๐ด ยท ๐‘—)) = (1 + (๐ด ยท 0)))
3 oveq2 7412 . . . . . 6 (๐‘— = 0 โ†’ ((1 + ๐ด)โ†‘๐‘—) = ((1 + ๐ด)โ†‘0))
42, 3breq12d 5154 . . . . 5 (๐‘— = 0 โ†’ ((1 + (๐ด ยท ๐‘—)) โ‰ค ((1 + ๐ด)โ†‘๐‘—) โ†” (1 + (๐ด ยท 0)) โ‰ค ((1 + ๐ด)โ†‘0)))
54imbi2d 340 . . . 4 (๐‘— = 0 โ†’ (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง -1 โ‰ค ๐ด) โ†’ (1 + (๐ด ยท ๐‘—)) โ‰ค ((1 + ๐ด)โ†‘๐‘—)) โ†” ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง -1 โ‰ค ๐ด) โ†’ (1 + (๐ด ยท 0)) โ‰ค ((1 + ๐ด)โ†‘0))))
6 oveq2 7412 . . . . . . 7 (๐‘— = ๐‘˜ โ†’ (๐ด ยท ๐‘—) = (๐ด ยท ๐‘˜))
76oveq2d 7420 . . . . . 6 (๐‘— = ๐‘˜ โ†’ (1 + (๐ด ยท ๐‘—)) = (1 + (๐ด ยท ๐‘˜)))
8 oveq2 7412 . . . . . 6 (๐‘— = ๐‘˜ โ†’ ((1 + ๐ด)โ†‘๐‘—) = ((1 + ๐ด)โ†‘๐‘˜))
97, 8breq12d 5154 . . . . 5 (๐‘— = ๐‘˜ โ†’ ((1 + (๐ด ยท ๐‘—)) โ‰ค ((1 + ๐ด)โ†‘๐‘—) โ†” (1 + (๐ด ยท ๐‘˜)) โ‰ค ((1 + ๐ด)โ†‘๐‘˜)))
109imbi2d 340 . . . 4 (๐‘— = ๐‘˜ โ†’ (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง -1 โ‰ค ๐ด) โ†’ (1 + (๐ด ยท ๐‘—)) โ‰ค ((1 + ๐ด)โ†‘๐‘—)) โ†” ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง -1 โ‰ค ๐ด) โ†’ (1 + (๐ด ยท ๐‘˜)) โ‰ค ((1 + ๐ด)โ†‘๐‘˜))))
11 oveq2 7412 . . . . . . 7 (๐‘— = (๐‘˜ + 1) โ†’ (๐ด ยท ๐‘—) = (๐ด ยท (๐‘˜ + 1)))
1211oveq2d 7420 . . . . . 6 (๐‘— = (๐‘˜ + 1) โ†’ (1 + (๐ด ยท ๐‘—)) = (1 + (๐ด ยท (๐‘˜ + 1))))
13 oveq2 7412 . . . . . 6 (๐‘— = (๐‘˜ + 1) โ†’ ((1 + ๐ด)โ†‘๐‘—) = ((1 + ๐ด)โ†‘(๐‘˜ + 1)))
1412, 13breq12d 5154 . . . . 5 (๐‘— = (๐‘˜ + 1) โ†’ ((1 + (๐ด ยท ๐‘—)) โ‰ค ((1 + ๐ด)โ†‘๐‘—) โ†” (1 + (๐ด ยท (๐‘˜ + 1))) โ‰ค ((1 + ๐ด)โ†‘(๐‘˜ + 1))))
1514imbi2d 340 . . . 4 (๐‘— = (๐‘˜ + 1) โ†’ (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง -1 โ‰ค ๐ด) โ†’ (1 + (๐ด ยท ๐‘—)) โ‰ค ((1 + ๐ด)โ†‘๐‘—)) โ†” ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง -1 โ‰ค ๐ด) โ†’ (1 + (๐ด ยท (๐‘˜ + 1))) โ‰ค ((1 + ๐ด)โ†‘(๐‘˜ + 1)))))
16 oveq2 7412 . . . . . . 7 (๐‘— = ๐‘ โ†’ (๐ด ยท ๐‘—) = (๐ด ยท ๐‘))
1716oveq2d 7420 . . . . . 6 (๐‘— = ๐‘ โ†’ (1 + (๐ด ยท ๐‘—)) = (1 + (๐ด ยท ๐‘)))
18 oveq2 7412 . . . . . 6 (๐‘— = ๐‘ โ†’ ((1 + ๐ด)โ†‘๐‘—) = ((1 + ๐ด)โ†‘๐‘))
1917, 18breq12d 5154 . . . . 5 (๐‘— = ๐‘ โ†’ ((1 + (๐ด ยท ๐‘—)) โ‰ค ((1 + ๐ด)โ†‘๐‘—) โ†” (1 + (๐ด ยท ๐‘)) โ‰ค ((1 + ๐ด)โ†‘๐‘)))
2019imbi2d 340 . . . 4 (๐‘— = ๐‘ โ†’ (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง -1 โ‰ค ๐ด) โ†’ (1 + (๐ด ยท ๐‘—)) โ‰ค ((1 + ๐ด)โ†‘๐‘—)) โ†” ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง -1 โ‰ค ๐ด) โ†’ (1 + (๐ด ยท ๐‘)) โ‰ค ((1 + ๐ด)โ†‘๐‘))))
21 recn 11199 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
22 mul01 11394 . . . . . . . . 9 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (๐ด ยท 0) = 0)
2322oveq2d 7420 . . . . . . . 8 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (1 + (๐ด ยท 0)) = (1 + 0))
24 1p0e1 12337 . . . . . . . 8 (1 + 0) = 1
2523, 24eqtrdi 2782 . . . . . . 7 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (1 + (๐ด ยท 0)) = 1)
26 1le1 11843 . . . . . . . 8 1 โ‰ค 1
27 ax-1cn 11167 . . . . . . . . . 10 1 โˆˆ โ„‚
28 addcl 11191 . . . . . . . . . 10 ((1 โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚) โ†’ (1 + ๐ด) โˆˆ โ„‚)
2927, 28mpan 687 . . . . . . . . 9 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (1 + ๐ด) โˆˆ โ„‚)
30 exp0 14033 . . . . . . . . 9 ((1 + ๐ด) โˆˆ โ„‚ โ†’ ((1 + ๐ด)โ†‘0) = 1)
3129, 30syl 17 . . . . . . . 8 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ ((1 + ๐ด)โ†‘0) = 1)
3226, 31breqtrrid 5179 . . . . . . 7 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ 1 โ‰ค ((1 + ๐ด)โ†‘0))
3325, 32eqbrtrd 5163 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (1 + (๐ด ยท 0)) โ‰ค ((1 + ๐ด)โ†‘0))
3421, 33syl 17 . . . . 5 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ (1 + (๐ด ยท 0)) โ‰ค ((1 + ๐ด)โ†‘0))
3534adantr 480 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง -1 โ‰ค ๐ด) โ†’ (1 + (๐ด ยท 0)) โ‰ค ((1 + ๐ด)โ†‘0))
36 1re 11215 . . . . . . . . . . . . 13 1 โˆˆ โ„
37 nn0re 12482 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„)
38 remulcl 11194 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„) โ†’ (๐ด ยท ๐‘˜) โˆˆ โ„)
3937, 38sylan2 592 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ด ยท ๐‘˜) โˆˆ โ„)
40 readdcl 11192 . . . . . . . . . . . . 13 ((1 โˆˆ โ„ โˆง (๐ด ยท ๐‘˜) โˆˆ โ„) โ†’ (1 + (๐ด ยท ๐‘˜)) โˆˆ โ„)
4136, 39, 40sylancr 586 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (1 + (๐ด ยท ๐‘˜)) โˆˆ โ„)
42 simpl 482 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
43 readdcl 11192 . . . . . . . . . . . 12 (((1 + (๐ด ยท ๐‘˜)) โˆˆ โ„ โˆง ๐ด โˆˆ โ„) โ†’ ((1 + (๐ด ยท ๐‘˜)) + ๐ด) โˆˆ โ„)
4441, 42, 43syl2anc 583 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((1 + (๐ด ยท ๐‘˜)) + ๐ด) โˆˆ โ„)
4544adantr 480 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โˆง (-1 โ‰ค ๐ด โˆง (1 + (๐ด ยท ๐‘˜)) โ‰ค ((1 + ๐ด)โ†‘๐‘˜))) โ†’ ((1 + (๐ด ยท ๐‘˜)) + ๐ด) โˆˆ โ„)
46 readdcl 11192 . . . . . . . . . . . . . 14 ((1 โˆˆ โ„ โˆง ๐ด โˆˆ โ„) โ†’ (1 + ๐ด) โˆˆ โ„)
4736, 46mpan 687 . . . . . . . . . . . . 13 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ (1 + ๐ด) โˆˆ โ„)
4847adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (1 + ๐ด) โˆˆ โ„)
4941, 48remulcld 11245 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((1 + (๐ด ยท ๐‘˜)) ยท (1 + ๐ด)) โˆˆ โ„)
5049adantr 480 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โˆง (-1 โ‰ค ๐ด โˆง (1 + (๐ด ยท ๐‘˜)) โ‰ค ((1 + ๐ด)โ†‘๐‘˜))) โ†’ ((1 + (๐ด ยท ๐‘˜)) ยท (1 + ๐ด)) โˆˆ โ„)
51 reexpcl 14046 . . . . . . . . . . . . 13 (((1 + ๐ด) โˆˆ โ„ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((1 + ๐ด)โ†‘๐‘˜) โˆˆ โ„)
5247, 51sylan 579 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((1 + ๐ด)โ†‘๐‘˜) โˆˆ โ„)
5352, 48remulcld 11245 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (((1 + ๐ด)โ†‘๐‘˜) ยท (1 + ๐ด)) โˆˆ โ„)
5453adantr 480 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โˆง (-1 โ‰ค ๐ด โˆง (1 + (๐ด ยท ๐‘˜)) โ‰ค ((1 + ๐ด)โ†‘๐‘˜))) โ†’ (((1 + ๐ด)โ†‘๐‘˜) ยท (1 + ๐ด)) โˆˆ โ„)
55 remulcl 11194 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ด โˆˆ โ„) โ†’ (๐ด ยท ๐ด) โˆˆ โ„)
5655anidms 566 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ (๐ด ยท ๐ด) โˆˆ โ„)
57 msqge0 11736 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ 0 โ‰ค (๐ด ยท ๐ด))
5856, 57jca 511 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ ((๐ด ยท ๐ด) โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค (๐ด ยท ๐ด)))
59 nn0ge0 12498 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†’ 0 โ‰ค ๐‘˜)
6037, 59jca 511 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†’ (๐‘˜ โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐‘˜))
61 mulge0 11733 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((๐ด ยท ๐ด) โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค (๐ด ยท ๐ด)) โˆง (๐‘˜ โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐‘˜)) โ†’ 0 โ‰ค ((๐ด ยท ๐ด) ยท ๐‘˜))
6258, 60, 61syl2an 595 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ 0 โ‰ค ((๐ด ยท ๐ด) ยท ๐‘˜))
6321adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
64 nn0cn 12483 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„‚)
6564adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„‚)
6663, 63, 65mul32d 11425 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐ด ยท ๐ด) ยท ๐‘˜) = ((๐ด ยท ๐‘˜) ยท ๐ด))
6762, 66breqtrd 5167 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ 0 โ‰ค ((๐ด ยท ๐‘˜) ยท ๐ด))
68 simpl 482 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
6938, 68remulcld 11245 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„) โ†’ ((๐ด ยท ๐‘˜) ยท ๐ด) โˆˆ โ„)
7037, 69sylan2 592 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐ด ยท ๐‘˜) ยท ๐ด) โˆˆ โ„)
7144, 70addge01d 11803 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (0 โ‰ค ((๐ด ยท ๐‘˜) ยท ๐ด) โ†” ((1 + (๐ด ยท ๐‘˜)) + ๐ด) โ‰ค (((1 + (๐ด ยท ๐‘˜)) + ๐ด) + ((๐ด ยท ๐‘˜) ยท ๐ด))))
7267, 71mpbid 231 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((1 + (๐ด ยท ๐‘˜)) + ๐ด) โ‰ค (((1 + (๐ด ยท ๐‘˜)) + ๐ด) + ((๐ด ยท ๐‘˜) ยท ๐ด)))
73 mulcl 11193 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ด ยท ๐‘˜) โˆˆ โ„‚)
74 addcl 11191 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((1 โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ด ยท ๐‘˜) โˆˆ โ„‚) โ†’ (1 + (๐ด ยท ๐‘˜)) โˆˆ โ„‚)
7527, 73, 74sylancr 586 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„‚) โ†’ (1 + (๐ด ยท ๐‘˜)) โˆˆ โ„‚)
76 simpl 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„‚) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
7773, 76mulcld 11235 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ด ยท ๐‘˜) ยท ๐ด) โˆˆ โ„‚)
7875, 76, 77addassd 11237 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„‚) โ†’ (((1 + (๐ด ยท ๐‘˜)) + ๐ด) + ((๐ด ยท ๐‘˜) ยท ๐ด)) = ((1 + (๐ด ยท ๐‘˜)) + (๐ด + ((๐ด ยท ๐‘˜) ยท ๐ด))))
79 muladd11 11385 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐ด ยท ๐‘˜) โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚) โ†’ ((1 + (๐ด ยท ๐‘˜)) ยท (1 + ๐ด)) = ((1 + (๐ด ยท ๐‘˜)) + (๐ด + ((๐ด ยท ๐‘˜) ยท ๐ด))))
8073, 76, 79syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„‚) โ†’ ((1 + (๐ด ยท ๐‘˜)) ยท (1 + ๐ด)) = ((1 + (๐ด ยท ๐‘˜)) + (๐ด + ((๐ด ยท ๐‘˜) ยท ๐ด))))
8178, 80eqtr4d 2769 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„‚) โ†’ (((1 + (๐ด ยท ๐‘˜)) + ๐ด) + ((๐ด ยท ๐‘˜) ยท ๐ด)) = ((1 + (๐ด ยท ๐‘˜)) ยท (1 + ๐ด)))
8221, 64, 81syl2an 595 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (((1 + (๐ด ยท ๐‘˜)) + ๐ด) + ((๐ด ยท ๐‘˜) ยท ๐ด)) = ((1 + (๐ด ยท ๐‘˜)) ยท (1 + ๐ด)))
8372, 82breqtrd 5167 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((1 + (๐ด ยท ๐‘˜)) + ๐ด) โ‰ค ((1 + (๐ด ยท ๐‘˜)) ยท (1 + ๐ด)))
8483adantr 480 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โˆง (-1 โ‰ค ๐ด โˆง (1 + (๐ด ยท ๐‘˜)) โ‰ค ((1 + ๐ด)โ†‘๐‘˜))) โ†’ ((1 + (๐ด ยท ๐‘˜)) + ๐ด) โ‰ค ((1 + (๐ด ยท ๐‘˜)) ยท (1 + ๐ด)))
8541adantr 480 . . . . . . . . . . 11 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โˆง (-1 โ‰ค ๐ด โˆง (1 + (๐ด ยท ๐‘˜)) โ‰ค ((1 + ๐ด)โ†‘๐‘˜))) โ†’ (1 + (๐ด ยท ๐‘˜)) โˆˆ โ„)
8652adantr 480 . . . . . . . . . . 11 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โˆง (-1 โ‰ค ๐ด โˆง (1 + (๐ด ยท ๐‘˜)) โ‰ค ((1 + ๐ด)โ†‘๐‘˜))) โ†’ ((1 + ๐ด)โ†‘๐‘˜) โˆˆ โ„)
8748adantr 480 . . . . . . . . . . 11 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โˆง (-1 โ‰ค ๐ด โˆง (1 + (๐ด ยท ๐‘˜)) โ‰ค ((1 + ๐ด)โ†‘๐‘˜))) โ†’ (1 + ๐ด) โˆˆ โ„)
88 neg1rr 12328 . . . . . . . . . . . . . . 15 -1 โˆˆ โ„
89 leadd2 11684 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((-1 โˆˆ โ„ โˆง ๐ด โˆˆ โ„ โˆง 1 โˆˆ โ„) โ†’ (-1 โ‰ค ๐ด โ†” (1 + -1) โ‰ค (1 + ๐ด)))
9088, 36, 89mp3an13 1448 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ (-1 โ‰ค ๐ด โ†” (1 + -1) โ‰ค (1 + ๐ด)))
91 1pneg1e0 12332 . . . . . . . . . . . . . . 15 (1 + -1) = 0
9291breq1i 5148 . . . . . . . . . . . . . 14 ((1 + -1) โ‰ค (1 + ๐ด) โ†” 0 โ‰ค (1 + ๐ด))
9390, 92bitrdi 287 . . . . . . . . . . . . 13 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ (-1 โ‰ค ๐ด โ†” 0 โ‰ค (1 + ๐ด)))
9493biimpa 476 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง -1 โ‰ค ๐ด) โ†’ 0 โ‰ค (1 + ๐ด))
9594ad2ant2r 744 . . . . . . . . . . 11 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โˆง (-1 โ‰ค ๐ด โˆง (1 + (๐ด ยท ๐‘˜)) โ‰ค ((1 + ๐ด)โ†‘๐‘˜))) โ†’ 0 โ‰ค (1 + ๐ด))
96 simprr 770 . . . . . . . . . . 11 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โˆง (-1 โ‰ค ๐ด โˆง (1 + (๐ด ยท ๐‘˜)) โ‰ค ((1 + ๐ด)โ†‘๐‘˜))) โ†’ (1 + (๐ด ยท ๐‘˜)) โ‰ค ((1 + ๐ด)โ†‘๐‘˜))
9785, 86, 87, 95, 96lemul1ad 12154 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โˆง (-1 โ‰ค ๐ด โˆง (1 + (๐ด ยท ๐‘˜)) โ‰ค ((1 + ๐ด)โ†‘๐‘˜))) โ†’ ((1 + (๐ด ยท ๐‘˜)) ยท (1 + ๐ด)) โ‰ค (((1 + ๐ด)โ†‘๐‘˜) ยท (1 + ๐ด)))
9845, 50, 54, 84, 97letrd 11372 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โˆง (-1 โ‰ค ๐ด โˆง (1 + (๐ด ยท ๐‘˜)) โ‰ค ((1 + ๐ด)โ†‘๐‘˜))) โ†’ ((1 + (๐ด ยท ๐‘˜)) + ๐ด) โ‰ค (((1 + ๐ด)โ†‘๐‘˜) ยท (1 + ๐ด)))
99 adddi 11198 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„‚ โˆง 1 โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ด ยท (๐‘˜ + 1)) = ((๐ด ยท ๐‘˜) + (๐ด ยท 1)))
10027, 99mp3an3 1446 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ด ยท (๐‘˜ + 1)) = ((๐ด ยท ๐‘˜) + (๐ด ยท 1)))
101 mulrid 11213 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (๐ด ยท 1) = ๐ด)
102101adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ด ยท 1) = ๐ด)
103102oveq2d 7420 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ด ยท ๐‘˜) + (๐ด ยท 1)) = ((๐ด ยท ๐‘˜) + ๐ด))
104100, 103eqtrd 2766 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ด ยท (๐‘˜ + 1)) = ((๐ด ยท ๐‘˜) + ๐ด))
105104oveq2d 7420 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„‚) โ†’ (1 + (๐ด ยท (๐‘˜ + 1))) = (1 + ((๐ด ยท ๐‘˜) + ๐ด)))
106 addass 11196 . . . . . . . . . . . . 13 ((1 โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ด ยท ๐‘˜) โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚) โ†’ ((1 + (๐ด ยท ๐‘˜)) + ๐ด) = (1 + ((๐ด ยท ๐‘˜) + ๐ด)))
10727, 73, 76, 106mp3an2i 1462 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„‚) โ†’ ((1 + (๐ด ยท ๐‘˜)) + ๐ด) = (1 + ((๐ด ยท ๐‘˜) + ๐ด)))
108105, 107eqtr4d 2769 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„‚) โ†’ (1 + (๐ด ยท (๐‘˜ + 1))) = ((1 + (๐ด ยท ๐‘˜)) + ๐ด))
10921, 64, 108syl2an 595 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (1 + (๐ด ยท (๐‘˜ + 1))) = ((1 + (๐ด ยท ๐‘˜)) + ๐ด))
110109adantr 480 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โˆง (-1 โ‰ค ๐ด โˆง (1 + (๐ด ยท ๐‘˜)) โ‰ค ((1 + ๐ด)โ†‘๐‘˜))) โ†’ (1 + (๐ด ยท (๐‘˜ + 1))) = ((1 + (๐ด ยท ๐‘˜)) + ๐ด))
11127, 21, 28sylancr 586 . . . . . . . . . . 11 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ (1 + ๐ด) โˆˆ โ„‚)
112 expp1 14036 . . . . . . . . . . 11 (((1 + ๐ด) โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((1 + ๐ด)โ†‘(๐‘˜ + 1)) = (((1 + ๐ด)โ†‘๐‘˜) ยท (1 + ๐ด)))
113111, 112sylan 579 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((1 + ๐ด)โ†‘(๐‘˜ + 1)) = (((1 + ๐ด)โ†‘๐‘˜) ยท (1 + ๐ด)))
114113adantr 480 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โˆง (-1 โ‰ค ๐ด โˆง (1 + (๐ด ยท ๐‘˜)) โ‰ค ((1 + ๐ด)โ†‘๐‘˜))) โ†’ ((1 + ๐ด)โ†‘(๐‘˜ + 1)) = (((1 + ๐ด)โ†‘๐‘˜) ยท (1 + ๐ด)))
11598, 110, 1143brtr4d 5173 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โˆง (-1 โ‰ค ๐ด โˆง (1 + (๐ด ยท ๐‘˜)) โ‰ค ((1 + ๐ด)โ†‘๐‘˜))) โ†’ (1 + (๐ด ยท (๐‘˜ + 1))) โ‰ค ((1 + ๐ด)โ†‘(๐‘˜ + 1)))
116115exp43 436 . . . . . . 7 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†’ (-1 โ‰ค ๐ด โ†’ ((1 + (๐ด ยท ๐‘˜)) โ‰ค ((1 + ๐ด)โ†‘๐‘˜) โ†’ (1 + (๐ด ยท (๐‘˜ + 1))) โ‰ค ((1 + ๐ด)โ†‘(๐‘˜ + 1))))))
117116com12 32 . . . . . 6 (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†’ (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ (-1 โ‰ค ๐ด โ†’ ((1 + (๐ด ยท ๐‘˜)) โ‰ค ((1 + ๐ด)โ†‘๐‘˜) โ†’ (1 + (๐ด ยท (๐‘˜ + 1))) โ‰ค ((1 + ๐ด)โ†‘(๐‘˜ + 1))))))
118117impd 410 . . . . 5 (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†’ ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง -1 โ‰ค ๐ด) โ†’ ((1 + (๐ด ยท ๐‘˜)) โ‰ค ((1 + ๐ด)โ†‘๐‘˜) โ†’ (1 + (๐ด ยท (๐‘˜ + 1))) โ‰ค ((1 + ๐ด)โ†‘(๐‘˜ + 1)))))
119118a2d 29 . . . 4 (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†’ (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง -1 โ‰ค ๐ด) โ†’ (1 + (๐ด ยท ๐‘˜)) โ‰ค ((1 + ๐ด)โ†‘๐‘˜)) โ†’ ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง -1 โ‰ค ๐ด) โ†’ (1 + (๐ด ยท (๐‘˜ + 1))) โ‰ค ((1 + ๐ด)โ†‘(๐‘˜ + 1)))))
1205, 10, 15, 20, 35, 119nn0ind 12658 . . 3 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง -1 โ‰ค ๐ด) โ†’ (1 + (๐ด ยท ๐‘)) โ‰ค ((1 + ๐ด)โ†‘๐‘)))
121120expd 415 . 2 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ (-1 โ‰ค ๐ด โ†’ (1 + (๐ด ยท ๐‘)) โ‰ค ((1 + ๐ด)โ†‘๐‘))))
1221213imp21 1111 1 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง -1 โ‰ค ๐ด) โ†’ (1 + (๐ด ยท ๐‘)) โ‰ค ((1 + ๐ด)โ†‘๐‘))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 395   โˆง w3a 1084   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098   class class class wbr 5141  (class class class)co 7404  โ„‚cc 11107  โ„cr 11108  0cc0 11109  1c1 11110   + caddc 11112   ยท cmul 11114   โ‰ค cle 11250  -cneg 11446  โ„•0cn0 12473  โ†‘cexp 14029
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7852  df-2nd 7972  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-nn 12214  df-n0 12474  df-z 12560  df-uz 12824  df-seq 13970  df-exp 14030
This theorem is referenced by:  bernneq2  14195  stoweidlem1  45271  stoweidlem10  45280  stoweidlem42  45312
  Copyright terms: Public domain W3C validator