Theorem bernneq 14164

Description: Bernoulli's inequality, due to Johan Bernoulli (1667-1748). (Contributed by NM, 21-Feb-2005.)

Assertion

Ref	Expression
bernneq	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ -1 ≤ 𝐴) → (1 + (𝐴 · 𝑁)) ≤ ((1 + 𝐴)↑𝑁))

Proof of Theorem bernneq

Dummy variables 𝑗 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 7376	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 = 0 → (𝐴 · 𝑗) = (𝐴 · 0))
2	1	oveq2d 7384	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 = 0 → (1 + (𝐴 · 𝑗)) = (1 + (𝐴 · 0)))
3		oveq2 7376	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 = 0 → ((1 + 𝐴)↑𝑗) = ((1 + 𝐴)↑0))
4	2, 3	breq12d 5113	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = 0 → ((1 + (𝐴 · 𝑗)) ≤ ((1 + 𝐴)↑𝑗) ↔ (1 + (𝐴 · 0)) ≤ ((1 + 𝐴)↑0)))
5	4	imbi2d 340	. . . 4 ⊢ (𝑗 = 0 → (((𝐴 ∈ ℝ ∧ -1 ≤ 𝐴) → (1 + (𝐴 · 𝑗)) ≤ ((1 + 𝐴)↑𝑗)) ↔ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ -1 ≤ 𝐴) → (1 + (𝐴 · 0)) ≤ ((1 + 𝐴)↑0))))
6		oveq2 7376	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (𝐴 · 𝑗) = (𝐴 · 𝑘))
7	6	oveq2d 7384	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (1 + (𝐴 · 𝑗)) = (1 + (𝐴 · 𝑘)))
8		oveq2 7376	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → ((1 + 𝐴)↑𝑗) = ((1 + 𝐴)↑𝑘))
9	7, 8	breq12d 5113	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → ((1 + (𝐴 · 𝑗)) ≤ ((1 + 𝐴)↑𝑗) ↔ (1 + (𝐴 · 𝑘)) ≤ ((1 + 𝐴)↑𝑘)))
10	9	imbi2d 340	. . . 4 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (((𝐴 ∈ ℝ ∧ -1 ≤ 𝐴) → (1 + (𝐴 · 𝑗)) ≤ ((1 + 𝐴)↑𝑗)) ↔ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ -1 ≤ 𝐴) → (1 + (𝐴 · 𝑘)) ≤ ((1 + 𝐴)↑𝑘))))
11		oveq2 7376	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 = (𝑘 + 1) → (𝐴 · 𝑗) = (𝐴 · (𝑘 + 1)))
12	11	oveq2d 7384	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 = (𝑘 + 1) → (1 + (𝐴 · 𝑗)) = (1 + (𝐴 · (𝑘 + 1))))
13		oveq2 7376	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 = (𝑘 + 1) → ((1 + 𝐴)↑𝑗) = ((1 + 𝐴)↑(𝑘 + 1)))
14	12, 13	breq12d 5113	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = (𝑘 + 1) → ((1 + (𝐴 · 𝑗)) ≤ ((1 + 𝐴)↑𝑗) ↔ (1 + (𝐴 · (𝑘 + 1))) ≤ ((1 + 𝐴)↑(𝑘 + 1))))
15	14	imbi2d 340	. . . 4 ⊢ (𝑗 = (𝑘 + 1) → (((𝐴 ∈ ℝ ∧ -1 ≤ 𝐴) → (1 + (𝐴 · 𝑗)) ≤ ((1 + 𝐴)↑𝑗)) ↔ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ -1 ≤ 𝐴) → (1 + (𝐴 · (𝑘 + 1))) ≤ ((1 + 𝐴)↑(𝑘 + 1)))))
16		oveq2 7376	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 = 𝑁 → (𝐴 · 𝑗) = (𝐴 · 𝑁))
17	16	oveq2d 7384	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 = 𝑁 → (1 + (𝐴 · 𝑗)) = (1 + (𝐴 · 𝑁)))
18		oveq2 7376	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 = 𝑁 → ((1 + 𝐴)↑𝑗) = ((1 + 𝐴)↑𝑁))
19	17, 18	breq12d 5113	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = 𝑁 → ((1 + (𝐴 · 𝑗)) ≤ ((1 + 𝐴)↑𝑗) ↔ (1 + (𝐴 · 𝑁)) ≤ ((1 + 𝐴)↑𝑁)))
20	19	imbi2d 340	. . . 4 ⊢ (𝑗 = 𝑁 → (((𝐴 ∈ ℝ ∧ -1 ≤ 𝐴) → (1 + (𝐴 · 𝑗)) ≤ ((1 + 𝐴)↑𝑗)) ↔ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ -1 ≤ 𝐴) → (1 + (𝐴 · 𝑁)) ≤ ((1 + 𝐴)↑𝑁))))
21		recn 11128	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
22		mul01 11324	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 · 0) = 0)
23	22	oveq2d 7384	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (1 + (𝐴 · 0)) = (1 + 0))
24		1p0e1 12276	. . . . . . . 8 ⊢ (1 + 0) = 1
25	23, 24	eqtrdi 2788	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (1 + (𝐴 · 0)) = 1)
26		1le1 11777	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ≤ 1
27		ax-1cn 11096	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ∈ ℂ
28		addcl 11120	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (1 + 𝐴) ∈ ℂ)
29	27, 28	mpan 691	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (1 + 𝐴) ∈ ℂ)
30		exp0 14000	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1 + 𝐴) ∈ ℂ → ((1 + 𝐴)↑0) = 1)
31	29, 30	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((1 + 𝐴)↑0) = 1)
32	26, 31	breqtrrid 5138	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 1 ≤ ((1 + 𝐴)↑0))
33	25, 32	eqbrtrd 5122	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (1 + (𝐴 · 0)) ≤ ((1 + 𝐴)↑0))
34	21, 33	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (1 + (𝐴 · 0)) ≤ ((1 + 𝐴)↑0))
35	34	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ -1 ≤ 𝐴) → (1 + (𝐴 · 0)) ≤ ((1 + 𝐴)↑0))
36		1re 11144	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 1 ∈ ℝ
37		nn0re 12422	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → 𝑘 ∈ ℝ)
38		remulcl 11123	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℝ) → (𝐴 · 𝑘) ∈ ℝ)
39	37, 38	sylan2 594	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴 · 𝑘) ∈ ℝ)
40		readdcl 11121	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ (𝐴 · 𝑘) ∈ ℝ) → (1 + (𝐴 · 𝑘)) ∈ ℝ)
41	36, 39, 40	sylancr 588	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (1 + (𝐴 · 𝑘)) ∈ ℝ)
42		simpl 482	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℝ)
43		readdcl 11121	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((1 + (𝐴 · 𝑘)) ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((1 + (𝐴 · 𝑘)) + 𝐴) ∈ ℝ)
44	41, 42, 43	syl2anc 585	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((1 + (𝐴 · 𝑘)) + 𝐴) ∈ ℝ)
45	44	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (-1 ≤ 𝐴 ∧ (1 + (𝐴 · 𝑘)) ≤ ((1 + 𝐴)↑𝑘))) → ((1 + (𝐴 · 𝑘)) + 𝐴) ∈ ℝ)
46		readdcl 11121	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (1 + 𝐴) ∈ ℝ)
47	36, 46	mpan 691	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (1 + 𝐴) ∈ ℝ)
48	47	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (1 + 𝐴) ∈ ℝ)
49	41, 48	remulcld 11174	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((1 + (𝐴 · 𝑘)) · (1 + 𝐴)) ∈ ℝ)
50	49	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (-1 ≤ 𝐴 ∧ (1 + (𝐴 · 𝑘)) ≤ ((1 + 𝐴)↑𝑘))) → ((1 + (𝐴 · 𝑘)) · (1 + 𝐴)) ∈ ℝ)
51		reexpcl 14013	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((1 + 𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((1 + 𝐴)↑𝑘) ∈ ℝ)
52	47, 51	sylan 581	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((1 + 𝐴)↑𝑘) ∈ ℝ)
53	52, 48	remulcld 11174	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((1 + 𝐴)↑𝑘) · (1 + 𝐴)) ∈ ℝ)
54	53	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (-1 ≤ 𝐴 ∧ (1 + (𝐴 · 𝑘)) ≤ ((1 + 𝐴)↑𝑘))) → (((1 + 𝐴)↑𝑘) · (1 + 𝐴)) ∈ ℝ)
55		remulcl 11123	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐴 · 𝐴) ∈ ℝ)
56	55	anidms 566	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 · 𝐴) ∈ ℝ)
57		msqge0 11670	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 0 ≤ (𝐴 · 𝐴))
58	56, 57	jca 511	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((𝐴 · 𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐴 · 𝐴)))
59		nn0ge0 12438	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝑘)
60	37, 59	jca 511	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝑘 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑘))
61		mulge0 11667	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐴 · 𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐴 · 𝐴)) ∧ (𝑘 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑘)) → 0 ≤ ((𝐴 · 𝐴) · 𝑘))
62	58, 60, 61	syl2an 597	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 0 ≤ ((𝐴 · 𝐴) · 𝑘))
63	21	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℂ)
64		nn0cn 12423	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → 𝑘 ∈ ℂ)
65	64	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ ℂ)
66	63, 63, 65	mul32d 11355	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐴 · 𝐴) · 𝑘) = ((𝐴 · 𝑘) · 𝐴))
67	62, 66	breqtrd 5126	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 0 ≤ ((𝐴 · 𝑘) · 𝐴))
68		simpl 482	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℝ)
69	38, 68	remulcld 11174	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℝ) → ((𝐴 · 𝑘) · 𝐴) ∈ ℝ)
70	37, 69	sylan2 594	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐴 · 𝑘) · 𝐴) ∈ ℝ)
71	44, 70	addge01d 11737	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (0 ≤ ((𝐴 · 𝑘) · 𝐴) ↔ ((1 + (𝐴 · 𝑘)) + 𝐴) ≤ (((1 + (𝐴 · 𝑘)) + 𝐴) + ((𝐴 · 𝑘) · 𝐴))))
72	67, 71	mpbid 232	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((1 + (𝐴 · 𝑘)) + 𝐴) ≤ (((1 + (𝐴 · 𝑘)) + 𝐴) + ((𝐴 · 𝑘) · 𝐴)))
73		mulcl 11122	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → (𝐴 · 𝑘) ∈ ℂ)
74		addcl 11120	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ (𝐴 · 𝑘) ∈ ℂ) → (1 + (𝐴 · 𝑘)) ∈ ℂ)
75	27, 73, 74	sylancr 588	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → (1 + (𝐴 · 𝑘)) ∈ ℂ)
76		simpl 482	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → 𝐴 ∈ ℂ)
77	73, 76	mulcld 11164	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → ((𝐴 · 𝑘) · 𝐴) ∈ ℂ)
78	75, 76, 77	addassd 11166	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → (((1 + (𝐴 · 𝑘)) + 𝐴) + ((𝐴 · 𝑘) · 𝐴)) = ((1 + (𝐴 · 𝑘)) + (𝐴 + ((𝐴 · 𝑘) · 𝐴))))
79		muladd11 11315	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐴 · 𝑘) ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((1 + (𝐴 · 𝑘)) · (1 + 𝐴)) = ((1 + (𝐴 · 𝑘)) + (𝐴 + ((𝐴 · 𝑘) · 𝐴))))
80	73, 76, 79	syl2anc 585	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → ((1 + (𝐴 · 𝑘)) · (1 + 𝐴)) = ((1 + (𝐴 · 𝑘)) + (𝐴 + ((𝐴 · 𝑘) · 𝐴))))
81	78, 80	eqtr4d 2775	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → (((1 + (𝐴 · 𝑘)) + 𝐴) + ((𝐴 · 𝑘) · 𝐴)) = ((1 + (𝐴 · 𝑘)) · (1 + 𝐴)))
82	21, 64, 81	syl2an 597	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((1 + (𝐴 · 𝑘)) + 𝐴) + ((𝐴 · 𝑘) · 𝐴)) = ((1 + (𝐴 · 𝑘)) · (1 + 𝐴)))
83	72, 82	breqtrd 5126	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((1 + (𝐴 · 𝑘)) + 𝐴) ≤ ((1 + (𝐴 · 𝑘)) · (1 + 𝐴)))
84	83	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (-1 ≤ 𝐴 ∧ (1 + (𝐴 · 𝑘)) ≤ ((1 + 𝐴)↑𝑘))) → ((1 + (𝐴 · 𝑘)) + 𝐴) ≤ ((1 + (𝐴 · 𝑘)) · (1 + 𝐴)))
85	41	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (-1 ≤ 𝐴 ∧ (1 + (𝐴 · 𝑘)) ≤ ((1 + 𝐴)↑𝑘))) → (1 + (𝐴 · 𝑘)) ∈ ℝ)
86	52	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (-1 ≤ 𝐴 ∧ (1 + (𝐴 · 𝑘)) ≤ ((1 + 𝐴)↑𝑘))) → ((1 + 𝐴)↑𝑘) ∈ ℝ)
87	48	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (-1 ≤ 𝐴 ∧ (1 + (𝐴 · 𝑘)) ≤ ((1 + 𝐴)↑𝑘))) → (1 + 𝐴) ∈ ℝ)
88		neg1rr 12143	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ -1 ∈ ℝ
89		leadd2 11618	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((-1 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (-1 ≤ 𝐴 ↔ (1 + -1) ≤ (1 + 𝐴)))
90	88, 36, 89	mp3an13 1455	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (-1 ≤ 𝐴 ↔ (1 + -1) ≤ (1 + 𝐴)))
91		1pneg1e0 12271	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (1 + -1) = 0
92	91	breq1i 5107	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((1 + -1) ≤ (1 + 𝐴) ↔ 0 ≤ (1 + 𝐴))
93	90, 92	bitrdi 287	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (-1 ≤ 𝐴 ↔ 0 ≤ (1 + 𝐴)))
94	93	biimpa 476	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ -1 ≤ 𝐴) → 0 ≤ (1 + 𝐴))
95	94	ad2ant2r 748	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (-1 ≤ 𝐴 ∧ (1 + (𝐴 · 𝑘)) ≤ ((1 + 𝐴)↑𝑘))) → 0 ≤ (1 + 𝐴))
96		simprr 773	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (-1 ≤ 𝐴 ∧ (1 + (𝐴 · 𝑘)) ≤ ((1 + 𝐴)↑𝑘))) → (1 + (𝐴 · 𝑘)) ≤ ((1 + 𝐴)↑𝑘))
97	85, 86, 87, 95, 96	lemul1ad 12093	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (-1 ≤ 𝐴 ∧ (1 + (𝐴 · 𝑘)) ≤ ((1 + 𝐴)↑𝑘))) → ((1 + (𝐴 · 𝑘)) · (1 + 𝐴)) ≤ (((1 + 𝐴)↑𝑘) · (1 + 𝐴)))
98	45, 50, 54, 84, 97	letrd 11302	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (-1 ≤ 𝐴 ∧ (1 + (𝐴 · 𝑘)) ≤ ((1 + 𝐴)↑𝑘))) → ((1 + (𝐴 · 𝑘)) + 𝐴) ≤ (((1 + 𝐴)↑𝑘) · (1 + 𝐴)))
99		adddi 11127	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (𝐴 · (𝑘 + 1)) = ((𝐴 · 𝑘) + (𝐴 · 1)))
100	27, 99	mp3an3 1453	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → (𝐴 · (𝑘 + 1)) = ((𝐴 · 𝑘) + (𝐴 · 1)))
101		mulrid 11142	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 · 1) = 𝐴)
102	101	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → (𝐴 · 1) = 𝐴)
103	102	oveq2d 7384	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → ((𝐴 · 𝑘) + (𝐴 · 1)) = ((𝐴 · 𝑘) + 𝐴))
104	100, 103	eqtrd 2772	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → (𝐴 · (𝑘 + 1)) = ((𝐴 · 𝑘) + 𝐴))
105	104	oveq2d 7384	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → (1 + (𝐴 · (𝑘 + 1))) = (1 + ((𝐴 · 𝑘) + 𝐴)))
106		addass 11125	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ (𝐴 · 𝑘) ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((1 + (𝐴 · 𝑘)) + 𝐴) = (1 + ((𝐴 · 𝑘) + 𝐴)))
107	27, 73, 76, 106	mp3an2i 1469	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → ((1 + (𝐴 · 𝑘)) + 𝐴) = (1 + ((𝐴 · 𝑘) + 𝐴)))
108	105, 107	eqtr4d 2775	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → (1 + (𝐴 · (𝑘 + 1))) = ((1 + (𝐴 · 𝑘)) + 𝐴))
109	21, 64, 108	syl2an 597	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (1 + (𝐴 · (𝑘 + 1))) = ((1 + (𝐴 · 𝑘)) + 𝐴))
110	109	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (-1 ≤ 𝐴 ∧ (1 + (𝐴 · 𝑘)) ≤ ((1 + 𝐴)↑𝑘))) → (1 + (𝐴 · (𝑘 + 1))) = ((1 + (𝐴 · 𝑘)) + 𝐴))
111	27, 21, 28	sylancr 588	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (1 + 𝐴) ∈ ℂ)
112		expp1 14003	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((1 + 𝐴) ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((1 + 𝐴)↑(𝑘 + 1)) = (((1 + 𝐴)↑𝑘) · (1 + 𝐴)))
113	111, 112	sylan 581	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((1 + 𝐴)↑(𝑘 + 1)) = (((1 + 𝐴)↑𝑘) · (1 + 𝐴)))
114	113	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (-1 ≤ 𝐴 ∧ (1 + (𝐴 · 𝑘)) ≤ ((1 + 𝐴)↑𝑘))) → ((1 + 𝐴)↑(𝑘 + 1)) = (((1 + 𝐴)↑𝑘) · (1 + 𝐴)))
115	98, 110, 114	3brtr4d 5132	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (-1 ≤ 𝐴 ∧ (1 + (𝐴 · 𝑘)) ≤ ((1 + 𝐴)↑𝑘))) → (1 + (𝐴 · (𝑘 + 1))) ≤ ((1 + 𝐴)↑(𝑘 + 1)))
116	115	exp43 436	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝑘 ∈ ℕ0 → (-1 ≤ 𝐴 → ((1 + (𝐴 · 𝑘)) ≤ ((1 + 𝐴)↑𝑘) → (1 + (𝐴 · (𝑘 + 1))) ≤ ((1 + 𝐴)↑(𝑘 + 1))))))
117	116	com12 32	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝐴 ∈ ℝ → (-1 ≤ 𝐴 → ((1 + (𝐴 · 𝑘)) ≤ ((1 + 𝐴)↑𝑘) → (1 + (𝐴 · (𝑘 + 1))) ≤ ((1 + 𝐴)↑(𝑘 + 1))))))
118	117	impd 410	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → ((𝐴 ∈ ℝ ∧ -1 ≤ 𝐴) → ((1 + (𝐴 · 𝑘)) ≤ ((1 + 𝐴)↑𝑘) → (1 + (𝐴 · (𝑘 + 1))) ≤ ((1 + 𝐴)↑(𝑘 + 1)))))
119	118	a2d 29	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (((𝐴 ∈ ℝ ∧ -1 ≤ 𝐴) → (1 + (𝐴 · 𝑘)) ≤ ((1 + 𝐴)↑𝑘)) → ((𝐴 ∈ ℝ ∧ -1 ≤ 𝐴) → (1 + (𝐴 · (𝑘 + 1))) ≤ ((1 + 𝐴)↑(𝑘 + 1)))))
120	5, 10, 15, 20, 35, 119	nn0ind 12599	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝐴 ∈ ℝ ∧ -1 ≤ 𝐴) → (1 + (𝐴 · 𝑁)) ≤ ((1 + 𝐴)↑𝑁)))
121	120	expd 415	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝐴 ∈ ℝ → (-1 ≤ 𝐴 → (1 + (𝐴 · 𝑁)) ≤ ((1 + 𝐴)↑𝑁))))
122	121	3imp21 1114	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ -1 ≤ 𝐴) → (1 + (𝐴 · 𝑁)) ≤ ((1 + 𝐴)↑𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5100  (class class class)co 7368  ℂcc 11036  ℝcr 11037  0cc0 11038  1c1 11039   + caddc 11041   · cmul 11043   ≤ cle 11179  -cneg 11377  ℕ₀cn0 12413  ↑cexp 13996

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-om 7819  df-2nd 7944  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-er 8645  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-nn 12158  df-n0 12414  df-z 12501  df-uz 12764  df-seq 13937  df-exp 13997

This theorem is referenced by:  bernneq2  14165  stoweidlem1  46359  stoweidlem10  46368  stoweidlem42  46400