Theorem opabresex0d 44664

Description: A collection of ordered pairs, the class of all possible second components being a set, with a restriction of a binary relation is a set. (Contributed by Alexander van der Vekens, 1-Nov-2017.) (Revised by AV, 1-Jan-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
opabresex0d.x	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥𝑅𝑦) → 𝑥 ∈ 𝐶)
opabresex0d.t	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥𝑅𝑦) → 𝜃)
opabresex0d.y	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → {𝑦 ∣ 𝜃} ∈ 𝑉)
opabresex0d.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑊)

Assertion

Ref	Expression
opabresex0d	⊢ (𝜑 → {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥𝑅𝑦 ∧ 𝜓)} ∈ V)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐶,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜓(𝑥,𝑦)   𝜃(𝑥,𝑦)   𝑅(𝑥,𝑦)   𝑉(𝑥,𝑦)   𝑊(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem opabresex0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opabresex0d.x	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥𝑅𝑦) → 𝑥 ∈ 𝐶)
2		opabresex0d.t	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥𝑅𝑦) → 𝜃)
3	1, 2	jca 511	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥𝑅𝑦) → (𝑥 ∈ 𝐶 ∧ 𝜃))
4	3	ex 412	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥𝑅𝑦 → (𝑥 ∈ 𝐶 ∧ 𝜃)))
5	4	alrimivv 1932	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥∀𝑦(𝑥𝑅𝑦 → (𝑥 ∈ 𝐶 ∧ 𝜃)))
6		opabresex0d.c	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑊)
7		opabresex0d.y	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → {𝑦 ∣ 𝜃} ∈ 𝑉)
8	7	elexd 3442	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → {𝑦 ∣ 𝜃} ∈ V)
9	6, 8	opabex3d 7781	. 2 ⊢ (𝜑 → {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥 ∈ 𝐶 ∧ 𝜃)} ∈ V)
10		opabbrex 7306	. 2 ⊢ ((∀𝑥∀𝑦(𝑥𝑅𝑦 → (𝑥 ∈ 𝐶 ∧ 𝜃)) ∧ {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥 ∈ 𝐶 ∧ 𝜃)} ∈ V) → {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥𝑅𝑦 ∧ 𝜓)} ∈ V)
11	5, 9, 10	syl2anc 583	1 ⊢ (𝜑 → {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥𝑅𝑦 ∧ 𝜓)} ∈ V)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395  ∀wal 1537   ∈ wcel 2108  {cab 2715  Vcvv 3422   class class class wbr 5070  {copab 5132

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-id 5480  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426

This theorem is referenced by:  opabbrfex0d  44665  opabresexd  44666