Theorem ordtr3 6409

Description: Transitive law for ordinal classes. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Dec-2014.) (Proof shortened by JJ, 24-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
ordtr3	⊢ ((Ord 𝐵 ∧ Ord 𝐶) → (𝐴 ∈ 𝐵 → (𝐴 ∈ 𝐶 ∨ 𝐶 ∈ 𝐵)))

Proof of Theorem ordtr3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nelss 4047	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝐴 ∈ 𝐶) → ¬ 𝐵 ⊆ 𝐶)
2	1	adantl 481	. . . . 5 ⊢ (((Ord 𝐵 ∧ Ord 𝐶) ∧ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝐴 ∈ 𝐶)) → ¬ 𝐵 ⊆ 𝐶)
3		ordtri1 6397	. . . . . . 7 ⊢ ((Ord 𝐵 ∧ Ord 𝐶) → (𝐵 ⊆ 𝐶 ↔ ¬ 𝐶 ∈ 𝐵))
4	3	con2bid 354	. . . . . 6 ⊢ ((Ord 𝐵 ∧ Ord 𝐶) → (𝐶 ∈ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 ⊆ 𝐶))
5	4	adantr 480	. . . . 5 ⊢ (((Ord 𝐵 ∧ Ord 𝐶) ∧ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝐴 ∈ 𝐶)) → (𝐶 ∈ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 ⊆ 𝐶))
6	2, 5	mpbird 257	. . . 4 ⊢ (((Ord 𝐵 ∧ Ord 𝐶) ∧ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝐴 ∈ 𝐶)) → 𝐶 ∈ 𝐵)
7	6	expr 456	. . 3 ⊢ (((Ord 𝐵 ∧ Ord 𝐶) ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → (¬ 𝐴 ∈ 𝐶 → 𝐶 ∈ 𝐵))
8	7	orrd 860	. 2 ⊢ (((Ord 𝐵 ∧ Ord 𝐶) ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → (𝐴 ∈ 𝐶 ∨ 𝐶 ∈ 𝐵))
9	8	ex 412	1 ⊢ ((Ord 𝐵 ∧ Ord 𝐶) → (𝐴 ∈ 𝐵 → (𝐴 ∈ 𝐶 ∨ 𝐶 ∈ 𝐵)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∨ wo 844   ∈ wcel 2105   ⊆ wss 3948  Ord word 6363

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-ext 2702  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pr 5427

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-sb 2067  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rab 3432  df-v 3475  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-br 5149  df-opab 5211  df-tr 5266  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-ord 6367

This theorem is referenced by: (None)