Theorem ordtr3 6407

Description: Transitive law for ordinal classes. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Dec-2014.) (Proof shortened by JJ, 24-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
ordtr3	⊢ ((Ord 𝐵 ∧ Ord 𝐶) → (𝐴 ∈ 𝐵 → (𝐴 ∈ 𝐶 ∨ 𝐶 ∈ 𝐵)))

Proof of Theorem ordtr3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nelss 4003	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝐴 ∈ 𝐶) → ¬ 𝐵 ⊆ 𝐶)
2	1	adantl 486	. . . . 5 ⊢ (((Ord 𝐵 ∧ Ord 𝐶) ∧ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝐴 ∈ 𝐶)) → ¬ 𝐵 ⊆ 𝐶)
3		ordtri1 6394	. . . . . . 7 ⊢ ((Ord 𝐵 ∧ Ord 𝐶) → (𝐵 ⊆ 𝐶 ↔ ¬ 𝐶 ∈ 𝐵))
4	3	con2bid 357	. . . . . 6 ⊢ ((Ord 𝐵 ∧ Ord 𝐶) → (𝐶 ∈ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 ⊆ 𝐶))
5	4	adantr 485	. . . . 5 ⊢ (((Ord 𝐵 ∧ Ord 𝐶) ∧ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝐴 ∈ 𝐶)) → (𝐶 ∈ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 ⊆ 𝐶))
6	2, 5	mpbird 260	. . . 4 ⊢ (((Ord 𝐵 ∧ Ord 𝐶) ∧ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝐴 ∈ 𝐶)) → 𝐶 ∈ 𝐵)
7	6	expr 461	. . 3 ⊢ (((Ord 𝐵 ∧ Ord 𝐶) ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → (¬ 𝐴 ∈ 𝐶 → 𝐶 ∈ 𝐵))
8	7	orrd 876	. 2 ⊢ (((Ord 𝐵 ∧ Ord 𝐶) ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → (𝐴 ∈ 𝐶 ∨ 𝐶 ∈ 𝐵))
9	8	ex 417	1 ⊢ ((Ord 𝐵 ∧ Ord 𝐶) → (𝐴 ∈ 𝐵 → (𝐴 ∈ 𝐶 ∨ 𝐶 ∈ 𝐵)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∨ wo 860   ∈ wcel 2143   ⊆ wss 3905  Ord word 6359

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-ext 2735  ax-sep 5257  ax-pr 5404

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-sb 2097  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-ne 2959  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rab 3417  df-v 3457  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-br 5110  df-opab 5174  df-tr 5219  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-ord 6363

This theorem is referenced by: (None)