Theorem ordtr3 6364

Description: Transitive law for ordinal classes. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Dec-2014.) (Proof shortened by JJ, 24-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
ordtr3	⊢ ((Ord 𝐵 ∧ Ord 𝐶) → (𝐴 ∈ 𝐵 → (𝐴 ∈ 𝐶 ∨ 𝐶 ∈ 𝐵)))

Proof of Theorem ordtr3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nelss 4000	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝐴 ∈ 𝐶) → ¬ 𝐵 ⊆ 𝐶)
2	1	adantl 481	. . . . 5 ⊢ (((Ord 𝐵 ∧ Ord 𝐶) ∧ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝐴 ∈ 𝐶)) → ¬ 𝐵 ⊆ 𝐶)
3		ordtri1 6351	. . . . . . 7 ⊢ ((Ord 𝐵 ∧ Ord 𝐶) → (𝐵 ⊆ 𝐶 ↔ ¬ 𝐶 ∈ 𝐵))
4	3	con2bid 354	. . . . . 6 ⊢ ((Ord 𝐵 ∧ Ord 𝐶) → (𝐶 ∈ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 ⊆ 𝐶))
5	4	adantr 480	. . . . 5 ⊢ (((Ord 𝐵 ∧ Ord 𝐶) ∧ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝐴 ∈ 𝐶)) → (𝐶 ∈ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 ⊆ 𝐶))
6	2, 5	mpbird 257	. . . 4 ⊢ (((Ord 𝐵 ∧ Ord 𝐶) ∧ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝐴 ∈ 𝐶)) → 𝐶 ∈ 𝐵)
7	6	expr 456	. . 3 ⊢ (((Ord 𝐵 ∧ Ord 𝐶) ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → (¬ 𝐴 ∈ 𝐶 → 𝐶 ∈ 𝐵))
8	7	orrd 864	. 2 ⊢ (((Ord 𝐵 ∧ Ord 𝐶) ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → (𝐴 ∈ 𝐶 ∨ 𝐶 ∈ 𝐵))
9	8	ex 412	1 ⊢ ((Ord 𝐵 ∧ Ord 𝐶) → (𝐴 ∈ 𝐵 → (𝐴 ∈ 𝐶 ∨ 𝐶 ∈ 𝐵)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 848   ∈ wcel 2114   ⊆ wss 3902  Ord word 6317

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-ext 2709  ax-sep 5242  ax-nul 5252  ax-pr 5378

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-sb 2069  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rab 3401  df-v 3443  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4287  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-br 5100  df-opab 5162  df-tr 5207  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-ord 6321

This theorem is referenced by: (None)