Theorem ordtri1 6358

Description: A trichotomy law for ordinals. (Contributed by NM, 25-Mar-1995.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 25-Jul-2011.)

Assertion

Ref	Expression
ordtri1	⊢ ((Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) → (𝐴 ⊆ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 ∈ 𝐴))

Proof of Theorem ordtri1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ordsseleq 6354	. 2 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) → (𝐴 ⊆ 𝐵 ↔ (𝐴 ∈ 𝐵 ∨ 𝐴 = 𝐵)))
2		ordn2lp 6345	. . . . 5 ⊢ (Ord 𝐴 → ¬ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ 𝐴))
3		imnan 399	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐵 → ¬ 𝐵 ∈ 𝐴) ↔ ¬ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ 𝐴))
4	2, 3	sylibr 234	. . . 4 ⊢ (Ord 𝐴 → (𝐴 ∈ 𝐵 → ¬ 𝐵 ∈ 𝐴))
5		ordirr 6343	. . . . 5 ⊢ (Ord 𝐵 → ¬ 𝐵 ∈ 𝐵)
6		eleq2 2826	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (𝐵 ∈ 𝐴 ↔ 𝐵 ∈ 𝐵))
7	6	notbid 318	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (¬ 𝐵 ∈ 𝐴 ↔ ¬ 𝐵 ∈ 𝐵))
8	5, 7	syl5ibrcom 247	. . . 4 ⊢ (Ord 𝐵 → (𝐴 = 𝐵 → ¬ 𝐵 ∈ 𝐴))
9	4, 8	jaao 957	. . 3 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) → ((𝐴 ∈ 𝐵 ∨ 𝐴 = 𝐵) → ¬ 𝐵 ∈ 𝐴))
10		ordtri3or 6357	. . . . . 6 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) → (𝐴 ∈ 𝐵 ∨ 𝐴 = 𝐵 ∨ 𝐵 ∈ 𝐴))
11		df-3or 1088	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐵 ∨ 𝐴 = 𝐵 ∨ 𝐵 ∈ 𝐴) ↔ ((𝐴 ∈ 𝐵 ∨ 𝐴 = 𝐵) ∨ 𝐵 ∈ 𝐴))
12	10, 11	sylib 218	. . . . 5 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) → ((𝐴 ∈ 𝐵 ∨ 𝐴 = 𝐵) ∨ 𝐵 ∈ 𝐴))
13	12	orcomd 872	. . . 4 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) → (𝐵 ∈ 𝐴 ∨ (𝐴 ∈ 𝐵 ∨ 𝐴 = 𝐵)))
14	13	ord 865	. . 3 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) → (¬ 𝐵 ∈ 𝐴 → (𝐴 ∈ 𝐵 ∨ 𝐴 = 𝐵)))
15	9, 14	impbid 212	. 2 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) → ((𝐴 ∈ 𝐵 ∨ 𝐴 = 𝐵) ↔ ¬ 𝐵 ∈ 𝐴))
16	1, 15	bitrd 279	1 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) → (𝐴 ⊆ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 ∈ 𝐴))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 848   ∨ w3o 1086   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ⊆ wss 3903  Ord word 6324

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-pr 5379

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-sb 2069  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3402  df-v 3444  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-br 5101  df-opab 5163  df-tr 5208  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-we 5587  df-ord 6328

This theorem is referenced by:  ontri1  6359  ordtri2  6360  ordtri4  6362  ordtr3  6371  ordintdif  6376  ordtri2or  6425  ordsucss  7770  ordsucsssuc  7775  ordsucuniel  7776  limsssuc  7802  ssnlim  7838  smoword  8308  tfrlem15  8333  nnaword  8565  nnawordex  8575  eldifsucnn  8602  nndomog  9149  onomeneq  9150  isfinite2  9210  unfilem1  9217  tfsnfin2  9275  wofib  9462  cantnflem1  9610  ttrcltr  9637  dmttrcl  9642  alephgeom  10004  alephdom2  10009  cflim2  10185  fin67  10317  winainflem  10616  finminlem  36534  ordeldif  43615  ordeldifsucon  43616  ordeldif1o  43617