Theorem ordtri1 6417

Description: A trichotomy law for ordinals. (Contributed by NM, 25-Mar-1995.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 25-Jul-2011.)

Assertion

Ref	Expression
ordtri1	⊢ ((Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) → (𝐴 ⊆ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 ∈ 𝐴))

Proof of Theorem ordtri1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ordsseleq 6413	. 2 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) → (𝐴 ⊆ 𝐵 ↔ (𝐴 ∈ 𝐵 ∨ 𝐴 = 𝐵)))
2		ordn2lp 6404	. . . . 5 ⊢ (Ord 𝐴 → ¬ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ 𝐴))
3		imnan 399	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐵 → ¬ 𝐵 ∈ 𝐴) ↔ ¬ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ 𝐴))
4	2, 3	sylibr 234	. . . 4 ⊢ (Ord 𝐴 → (𝐴 ∈ 𝐵 → ¬ 𝐵 ∈ 𝐴))
5		ordirr 6402	. . . . 5 ⊢ (Ord 𝐵 → ¬ 𝐵 ∈ 𝐵)
6		eleq2 2830	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (𝐵 ∈ 𝐴 ↔ 𝐵 ∈ 𝐵))
7	6	notbid 318	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (¬ 𝐵 ∈ 𝐴 ↔ ¬ 𝐵 ∈ 𝐵))
8	5, 7	syl5ibrcom 247	. . . 4 ⊢ (Ord 𝐵 → (𝐴 = 𝐵 → ¬ 𝐵 ∈ 𝐴))
9	4, 8	jaao 957	. . 3 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) → ((𝐴 ∈ 𝐵 ∨ 𝐴 = 𝐵) → ¬ 𝐵 ∈ 𝐴))
10		ordtri3or 6416	. . . . . 6 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) → (𝐴 ∈ 𝐵 ∨ 𝐴 = 𝐵 ∨ 𝐵 ∈ 𝐴))
11		df-3or 1088	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐵 ∨ 𝐴 = 𝐵 ∨ 𝐵 ∈ 𝐴) ↔ ((𝐴 ∈ 𝐵 ∨ 𝐴 = 𝐵) ∨ 𝐵 ∈ 𝐴))
12	10, 11	sylib 218	. . . . 5 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) → ((𝐴 ∈ 𝐵 ∨ 𝐴 = 𝐵) ∨ 𝐵 ∈ 𝐴))
13	12	orcomd 872	. . . 4 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) → (𝐵 ∈ 𝐴 ∨ (𝐴 ∈ 𝐵 ∨ 𝐴 = 𝐵)))
14	13	ord 865	. . 3 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) → (¬ 𝐵 ∈ 𝐴 → (𝐴 ∈ 𝐵 ∨ 𝐴 = 𝐵)))
15	9, 14	impbid 212	. 2 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) → ((𝐴 ∈ 𝐵 ∨ 𝐴 = 𝐵) ↔ ¬ 𝐵 ∈ 𝐴))
16	1, 15	bitrd 279	1 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) → (𝐴 ⊆ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 ∈ 𝐴))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 848   ∨ w3o 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   ⊆ wss 3951  Ord word 6383

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pr 5432

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-sb 2065  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3437  df-v 3482  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-br 5144  df-opab 5206  df-tr 5260  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-ord 6387

This theorem is referenced by:  ontri1  6418  ordtri2  6419  ordtri4  6421  ordtr3  6429  ordintdif  6434  ordtri2or  6482  ordsucss  7838  ordsucsssuc  7843  ordsucuniel  7844  limsssuc  7871  ssnlim  7907  smoword  8406  tfrlem15  8432  nnaword  8665  nnawordex  8675  eldifsucnn  8702  nndomog  9253  nndomogOLD  9263  onomeneq  9265  onomeneqOLD  9266  isfinite2  9334  unfilem1  9343  wofib  9585  cantnflem1  9729  ttrcltr  9756  dmttrcl  9761  alephgeom  10122  alephdom2  10127  cflim2  10303  fin67  10435  winainflem  10733  finminlem  36319  ordeldif  43271  ordeldifsucon  43272  ordeldif1o  43273