MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ordtri1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ordtri1 6418
Description: A trichotomy law for ordinals. (Contributed by NM, 25-Mar-1995.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 25-Jul-2011.)
Assertion
Ref Expression
ordtri1 ((Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) → (𝐴𝐵 ↔ ¬ 𝐵𝐴))

Proof of Theorem ordtri1
StepHypRef Expression
1 ordsseleq 6414 . 2 ((Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) → (𝐴𝐵 ↔ (𝐴𝐵𝐴 = 𝐵)))
2 ordn2lp 6405 . . . . 5 (Ord 𝐴 → ¬ (𝐴𝐵𝐵𝐴))
3 imnan 399 . . . . 5 ((𝐴𝐵 → ¬ 𝐵𝐴) ↔ ¬ (𝐴𝐵𝐵𝐴))
42, 3sylibr 234 . . . 4 (Ord 𝐴 → (𝐴𝐵 → ¬ 𝐵𝐴))
5 ordirr 6403 . . . . 5 (Ord 𝐵 → ¬ 𝐵𝐵)
6 eleq2 2827 . . . . . 6 (𝐴 = 𝐵 → (𝐵𝐴𝐵𝐵))
76notbid 318 . . . . 5 (𝐴 = 𝐵 → (¬ 𝐵𝐴 ↔ ¬ 𝐵𝐵))
85, 7syl5ibrcom 247 . . . 4 (Ord 𝐵 → (𝐴 = 𝐵 → ¬ 𝐵𝐴))
94, 8jaao 956 . . 3 ((Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) → ((𝐴𝐵𝐴 = 𝐵) → ¬ 𝐵𝐴))
10 ordtri3or 6417 . . . . . 6 ((Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) → (𝐴𝐵𝐴 = 𝐵𝐵𝐴))
11 df-3or 1087 . . . . . 6 ((𝐴𝐵𝐴 = 𝐵𝐵𝐴) ↔ ((𝐴𝐵𝐴 = 𝐵) ∨ 𝐵𝐴))
1210, 11sylib 218 . . . . 5 ((Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) → ((𝐴𝐵𝐴 = 𝐵) ∨ 𝐵𝐴))
1312orcomd 871 . . . 4 ((Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) → (𝐵𝐴 ∨ (𝐴𝐵𝐴 = 𝐵)))
1413ord 864 . . 3 ((Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) → (¬ 𝐵𝐴 → (𝐴𝐵𝐴 = 𝐵)))
159, 14impbid 212 . 2 ((Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) → ((𝐴𝐵𝐴 = 𝐵) ↔ ¬ 𝐵𝐴))
161, 15bitrd 279 1 ((Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) → (𝐴𝐵 ↔ ¬ 𝐵𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395  wo 847  w3o 1085   = wceq 1536  wcel 2105  wss 3962  Ord word 6384
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-ext 2705  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pr 5437
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-sb 2062  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rab 3433  df-v 3479  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-br 5148  df-opab 5210  df-tr 5265  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-we 5642  df-ord 6388
This theorem is referenced by:  ontri1  6419  ordtri2  6420  ordtri4  6422  ordtr3  6430  ordintdif  6435  ordtri2or  6483  ordsucss  7837  ordsucsssuc  7842  ordsucuniel  7843  limsssuc  7870  ssnlim  7906  smoword  8404  tfrlem15  8430  nnaword  8663  nnawordex  8673  eldifsucnn  8700  nndomog  9250  nndomogOLD  9260  onomeneq  9262  onomeneqOLD  9263  isfinite2  9331  unfilem1  9340  wofib  9582  cantnflem1  9726  ttrcltr  9753  dmttrcl  9758  alephgeom  10119  alephdom2  10124  cflim2  10300  fin67  10432  winainflem  10730  finminlem  36300  ordeldif  43247  ordeldifsucon  43248  ordeldif1o  43249
  Copyright terms: Public domain W3C validator