MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ordtri1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ordtri1 6217
Description: A trichotomy law for ordinals. (Contributed by NM, 25-Mar-1995.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 25-Jul-2011.)
Assertion
Ref Expression
ordtri1 ((Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) → (𝐴𝐵 ↔ ¬ 𝐵𝐴))

Proof of Theorem ordtri1
StepHypRef Expression
1 ordsseleq 6213 . 2 ((Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) → (𝐴𝐵 ↔ (𝐴𝐵𝐴 = 𝐵)))
2 ordn2lp 6204 . . . . 5 (Ord 𝐴 → ¬ (𝐴𝐵𝐵𝐴))
3 imnan 400 . . . . 5 ((𝐴𝐵 → ¬ 𝐵𝐴) ↔ ¬ (𝐴𝐵𝐵𝐴))
42, 3sylibr 235 . . . 4 (Ord 𝐴 → (𝐴𝐵 → ¬ 𝐵𝐴))
5 ordirr 6202 . . . . 5 (Ord 𝐵 → ¬ 𝐵𝐵)
6 eleq2 2898 . . . . . 6 (𝐴 = 𝐵 → (𝐵𝐴𝐵𝐵))
76notbid 319 . . . . 5 (𝐴 = 𝐵 → (¬ 𝐵𝐴 ↔ ¬ 𝐵𝐵))
85, 7syl5ibrcom 248 . . . 4 (Ord 𝐵 → (𝐴 = 𝐵 → ¬ 𝐵𝐴))
94, 8jaao 948 . . 3 ((Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) → ((𝐴𝐵𝐴 = 𝐵) → ¬ 𝐵𝐴))
10 ordtri3or 6216 . . . . . 6 ((Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) → (𝐴𝐵𝐴 = 𝐵𝐵𝐴))
11 df-3or 1080 . . . . . 6 ((𝐴𝐵𝐴 = 𝐵𝐵𝐴) ↔ ((𝐴𝐵𝐴 = 𝐵) ∨ 𝐵𝐴))
1210, 11sylib 219 . . . . 5 ((Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) → ((𝐴𝐵𝐴 = 𝐵) ∨ 𝐵𝐴))
1312orcomd 865 . . . 4 ((Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) → (𝐵𝐴 ∨ (𝐴𝐵𝐴 = 𝐵)))
1413ord 858 . . 3 ((Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) → (¬ 𝐵𝐴 → (𝐴𝐵𝐴 = 𝐵)))
159, 14impbid 213 . 2 ((Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) → ((𝐴𝐵𝐴 = 𝐵) ↔ ¬ 𝐵𝐴))
161, 15bitrd 280 1 ((Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) → (𝐴𝐵 ↔ ¬ 𝐵𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 207  wa 396  wo 841  w3o 1078   = wceq 1528  wcel 2105  wss 3933  Ord word 6183
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pr 5320
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-ral 3140  df-rex 3141  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4831  df-br 5058  df-opab 5120  df-tr 5164  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-ord 6187
This theorem is referenced by:  ontri1  6218  ordtri2  6219  ordtri4  6221  ordtr3  6229  ordintdif  6233  ordtri2or  6279  ordsucss  7522  ordsucsssuc  7527  ordsucuniel  7528  limsssuc  7554  ssnlim  7588  smoword  7992  tfrlem15  8017  nnaword  8242  nnawordex  8252  onomeneq  8696  nndomo  8700  isfinite2  8764  unfilem1  8770  wofib  8997  cantnflem1  9140  alephgeom  9496  alephdom2  9501  cflim2  9673  fin67  9805  winainflem  10103  finminlem  33563  nndomog  39775
  Copyright terms: Public domain W3C validator