MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ordtri1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ordtri1 5899
Description: A trichotomy law for ordinals. (Contributed by NM, 25-Mar-1995.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 25-Jul-2011.)
Assertion
Ref Expression
ordtri1 ((Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) → (𝐴𝐵 ↔ ¬ 𝐵𝐴))

Proof of Theorem ordtri1
StepHypRef Expression
1 ordsseleq 5895 . 2 ((Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) → (𝐴𝐵 ↔ (𝐴𝐵𝐴 = 𝐵)))
2 ordn2lp 5886 . . . . 5 (Ord 𝐴 → ¬ (𝐴𝐵𝐵𝐴))
3 imnan 386 . . . . 5 ((𝐴𝐵 → ¬ 𝐵𝐴) ↔ ¬ (𝐴𝐵𝐵𝐴))
42, 3sylibr 224 . . . 4 (Ord 𝐴 → (𝐴𝐵 → ¬ 𝐵𝐴))
5 ordirr 5884 . . . . 5 (Ord 𝐵 → ¬ 𝐵𝐵)
6 eleq2 2839 . . . . . 6 (𝐴 = 𝐵 → (𝐵𝐴𝐵𝐵))
76notbid 307 . . . . 5 (𝐴 = 𝐵 → (¬ 𝐵𝐴 ↔ ¬ 𝐵𝐵))
85, 7syl5ibrcom 237 . . . 4 (Ord 𝐵 → (𝐴 = 𝐵 → ¬ 𝐵𝐴))
94, 8jaao 919 . . 3 ((Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) → ((𝐴𝐵𝐴 = 𝐵) → ¬ 𝐵𝐴))
10 ordtri3or 5898 . . . . . 6 ((Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) → (𝐴𝐵𝐴 = 𝐵𝐵𝐴))
11 df-3or 1072 . . . . . 6 ((𝐴𝐵𝐴 = 𝐵𝐵𝐴) ↔ ((𝐴𝐵𝐴 = 𝐵) ∨ 𝐵𝐴))
1210, 11sylib 208 . . . . 5 ((Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) → ((𝐴𝐵𝐴 = 𝐵) ∨ 𝐵𝐴))
1312orcomd 850 . . . 4 ((Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) → (𝐵𝐴 ∨ (𝐴𝐵𝐴 = 𝐵)))
1413ord 843 . . 3 ((Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) → (¬ 𝐵𝐴 → (𝐴𝐵𝐴 = 𝐵)))
159, 14impbid 202 . 2 ((Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) → ((𝐴𝐵𝐴 = 𝐵) ↔ ¬ 𝐵𝐴))
161, 15bitrd 268 1 ((Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) → (𝐴𝐵 ↔ ¬ 𝐵𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 382  wo 826  w3o 1070   = wceq 1631  wcel 2145  wss 3723  Ord word 5865
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pr 5034
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 827  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-ral 3066  df-rex 3067  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-sn 4317  df-pr 4319  df-op 4323  df-uni 4575  df-br 4787  df-opab 4847  df-tr 4887  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-ord 5869
This theorem is referenced by:  ontri1  5900  ordtri2  5901  ordtri4  5904  ordtr3  5912  ordtr3OLD  5913  ordintdif  5917  ordtri2or  5965  ordsucss  7165  ordsucsssuc  7170  ordsucuniel  7171  limsssuc  7197  ssnlim  7230  smoword  7616  tfrlem15  7641  nnaword  7861  nnawordex  7871  onomeneq  8306  nndomo  8310  isfinite2  8374  unfilem1  8380  wofib  8606  cantnflem1  8750  alephgeom  9105  alephdom2  9110  cflim2  9287  fin67  9419  winainflem  9717  finminlem  32649
  Copyright terms: Public domain W3C validator