Theorem ovsng 50077

Description: The operation value of a singleton of a nested ordered pair is the last member. (Contributed by Zhi Wang, 22-Oct-2025.)

Assertion

Ref	Expression
ovsng	⊢ (𝐶 ∈ 𝑉 → (𝐴{⟨⟨𝐴, 𝐵⟩, 𝐶⟩}𝐵) = 𝐶)

Proof of Theorem ovsng

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ov 7427	. 2 ⊢ (𝐴{⟨⟨𝐴, 𝐵⟩, 𝐶⟩}𝐵) = ({⟨⟨𝐴, 𝐵⟩, 𝐶⟩}‘⟨𝐴, 𝐵⟩)
2		opex 5432	. . 3 ⊢ ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ V
3		fvsng 7189	. . 3 ⊢ ((⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ V ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → ({⟨⟨𝐴, 𝐵⟩, 𝐶⟩}‘⟨𝐴, 𝐵⟩) = 𝐶)
4	2, 3	mpan 703	. 2 ⊢ (𝐶 ∈ 𝑉 → ({⟨⟨𝐴, 𝐵⟩, 𝐶⟩}‘⟨𝐴, 𝐵⟩) = 𝐶)
5	1, 4	eqtrid 2807	1 ⊢ (𝐶 ∈ 𝑉 → (𝐴{⟨⟨𝐴, 𝐵⟩, 𝐶⟩}𝐵) = 𝐶)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  Vcvv 3450  {csn 4584  ⟨cop 4834  ‘cfv 6543  (class class class)co 7424

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-pr 5391

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-ss 3897  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-br 5103  df-opab 5167  df-id 5546  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-iota 6497  df-fun 6545  df-fv 6551  df-ov 7427

This theorem is used by:  ovsng2  50078  ovsn  50079