Theorem ovsng 49786

Description: The operation value of a singleton of a nested ordered pair is the last member. (Contributed by Zhi Wang, 22-Oct-2025.)

Assertion

Ref	Expression
ovsng	⊢ (𝐶 ∈ 𝑉 → (𝐴{⟨⟨𝐴, 𝐵⟩, 𝐶⟩}𝐵) = 𝐶)

Proof of Theorem ovsng

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ov 7416	. 2 ⊢ (𝐴{⟨⟨𝐴, 𝐵⟩, 𝐶⟩}𝐵) = ({⟨⟨𝐴, 𝐵⟩, 𝐶⟩}‘⟨𝐴, 𝐵⟩)
2		opex 5439	. . 3 ⊢ ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ V
3		fvsng 7178	. . 3 ⊢ ((⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ V ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → ({⟨⟨𝐴, 𝐵⟩, 𝐶⟩}‘⟨𝐴, 𝐵⟩) = 𝐶)
4	2, 3	mpan 703	. 2 ⊢ (𝐶 ∈ 𝑉 → ({⟨⟨𝐴, 𝐵⟩, 𝐶⟩}‘⟨𝐴, 𝐵⟩) = 𝐶)
5	1, 4	eqtrid 2807	1 ⊢ (𝐶 ∈ 𝑉 → (𝐴{⟨⟨𝐴, 𝐵⟩, 𝐶⟩}𝐵) = 𝐶)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  Vcvv 3450  {csn 4584  ⟨cop 4590  ‘cfv 6533  (class class class)co 7413

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-pr 5398

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-id 5550  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fv 6541  df-ov 7416

This theorem is used by:  ovsng2  49787  ovsn  49788