Theorem fvsng 7126

Description: The value of a singleton of an ordered pair is the second member. (Contributed by NM, 26-Oct-2012.) (Proof shortened by BJ, 25-Feb-2023.)

Assertion

Ref	Expression
fvsng	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → ({⟨𝐴, 𝐵⟩}‘𝐴) = 𝐵)

Proof of Theorem fvsng

Step	Hyp	Ref	Expression
1		funsng 6543	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → Fun {⟨𝐴, 𝐵⟩})
2		opex 5412	. . 3 ⊢ ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ V
3	2	snid 4619	. 2 ⊢ ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ {⟨𝐴, 𝐵⟩}
4		funopfv 6883	. 2 ⊢ (Fun {⟨𝐴, 𝐵⟩} → (⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ {⟨𝐴, 𝐵⟩} → ({⟨𝐴, 𝐵⟩}‘𝐴) = 𝐵))
5	1, 3, 4	mpisyl 21	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → ({⟨𝐴, 𝐵⟩}‘𝐴) = 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  {csn 4580  ⟨cop 4586  Fun wfun 6486  ‘cfv 6492

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pr 5377

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3400  df-v 3442  df-dif 3904  df-un 3906  df-ss 3918  df-nul 4286  df-if 4480  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-br 5099  df-opab 5161  df-id 5519  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fv 6500

This theorem is referenced by:  fvsn  7127  fvsnun1  7128  fsnunfv  7133  fvpr1g  7136  fsnex  7229  suppsnop  8120  mapsnend  8973  enfixsn  9014  axdc3lem4  10363  fseq1p1m1  13514  1fv  13563  s1fv  14534  sumsnf  15666  prodsn  15885  prodsnf  15887  seq1st  16498  vdwlem8  16916  setsid  17134  mgm1  18583  sgrp1  18654  mnd1  18704  mnd1id  18705  gsumws1  18763  grp1  18977  dprdsn  19967  ring1  20245  ixpsnbasval  21160  frgpcyg  21528  mat1dimscm  22419  mat1dimmul  22420  mat1rhmelval  22424  m1detdiag  22541  pt1hmeo  23750  noextenddif  27636  noextendlt  27637  noextendgt  27638  1loopgrvd0  29578  1hevtxdg0  29579  1hevtxdg1  29580  1egrvtxdg1  29583  wlkl0  30442  actfunsnrndisj  34762  reprsuc  34772  breprexplema  34787  cvmliftlem7  35485  cvmliftlem13  35490  bj-fununsn2  37455  sticksstones9  42404  sticksstones11  42406  frlmsnic  42791  sumsnd  45267  ovnovollem1  46896  nnsum3primesprm  48032  lincvalsng  48658  snlindsntorlem  48712  lmod1lem2  48730  lmod1lem3  48731  0aryfvalelfv  48877  1arympt1fv  48881  ovsng  49099