Theorem fvsng 7199

Description: The value of a singleton of an ordered pair is the second member. (Contributed by NM, 26-Oct-2012.) (Proof shortened by BJ, 25-Feb-2023.)

Assertion

Ref	Expression
fvsng	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → ({⟨𝐴, 𝐵⟩}‘𝐴) = 𝐵)

Proof of Theorem fvsng

Step	Hyp	Ref	Expression
1		funsng 6618	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → Fun {⟨𝐴, 𝐵⟩})
2		opex 5474	. . 3 ⊢ ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ V
3	2	snid 4666	. 2 ⊢ ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ {⟨𝐴, 𝐵⟩}
4		funopfv 6958	. 2 ⊢ (Fun {⟨𝐴, 𝐵⟩} → (⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ {⟨𝐴, 𝐵⟩} → ({⟨𝐴, 𝐵⟩}‘𝐴) = 𝐵))
5	1, 3, 4	mpisyl 21	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → ({⟨𝐴, 𝐵⟩}‘𝐴) = 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1536   ∈ wcel 2105  {csn 4630  ⟨cop 4636  Fun wfun 6556  ‘cfv 6562

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pr 5437

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rab 3433  df-v 3479  df-dif 3965  df-un 3967  df-ss 3979  df-nul 4339  df-if 4531  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-br 5148  df-opab 5210  df-id 5582  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fv 6570

This theorem is referenced by:  fvsn  7200  fvsnun1  7201  fsnunfv  7206  fvpr1g  7209  fsnex  7302  suppsnop  8201  mapsnend  9074  enfixsn  9119  axdc3lem4  10490  fseq1p1m1  13634  1fv  13683  s1fv  14644  sumsnf  15775  prodsn  15994  prodsnf  15996  seq1st  16604  vdwlem8  17021  setsid  17241  mgm1  18683  sgrp1  18754  mnd1  18804  mnd1id  18805  gsumws1  18863  grp1  19077  dprdsn  20070  ring1  20323  ixpsnbasval  21232  frgpcyg  21609  mat1dimscm  22496  mat1dimmul  22497  mat1rhmelval  22501  m1detdiag  22618  pt1hmeo  23829  noextenddif  27727  noextendlt  27728  noextendgt  27729  1loopgrvd0  29536  1hevtxdg0  29537  1hevtxdg1  29538  1egrvtxdg1  29541  wlkl0  30395  actfunsnrndisj  34598  reprsuc  34608  breprexplema  34623  cvmliftlem7  35275  cvmliftlem13  35280  bj-fununsn2  37236  sticksstones9  42135  sticksstones11  42137  metakunt20  42205  frlmsnic  42526  sumsnd  44963  ovnovollem1  46611  nnsum3primesprm  47714  lincvalsng  48261  snlindsntorlem  48315  lmod1lem2  48333  lmod1lem3  48334  0aryfvalelfv  48484  1arympt1fv  48488