Theorem fvsng 7131

Description: The value of a singleton of an ordered pair is the second member. (Contributed by NM, 26-Oct-2012.) (Proof shortened by BJ, 25-Feb-2023.)

Assertion

Ref	Expression
fvsng	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → ({⟨𝐴, 𝐵⟩}‘𝐴) = 𝐵)

Proof of Theorem fvsng

Step	Hyp	Ref	Expression
1		funsng 6543	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → Fun {⟨𝐴, 𝐵⟩})
2		opex 5410	. . 3 ⊢ ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ V
3	2	snid 4601	. 2 ⊢ ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ {⟨𝐴, 𝐵⟩}
4		funopfv 6883	. 2 ⊢ (Fun {⟨𝐴, 𝐵⟩} → (⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ {⟨𝐴, 𝐵⟩} → ({⟨𝐴, 𝐵⟩}‘𝐴) = 𝐵))
5	1, 3, 4	mpisyl 21	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → ({⟨𝐴, 𝐵⟩}‘𝐴) = 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  {csn 4562  ⟨cop 4568  Fun wfun 6486  ‘cfv 6492

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-12 2189  ax-ext 2712  ax-sep 5225  ax-pr 5369

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-ral 3055  df-rex 3065  df-rab 3393  df-v 3434  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4269  df-if 4462  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4846  df-br 5080  df-opab 5142  df-id 5520  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fv 6500

This theorem is referenced by:  fvsn  7132  fvsnun1  7133  fsnunfv  7138  fvpr1g  7141  fsnex  7234  suppsnop  8125  mapsnend  8980  enfixsn  9021  axdc3lem4  10373  fseq1p1m1  13550  1fv  13599  s1fv  14571  sumsnf  15703  prodsn  15925  prodsnf  15927  seq1st  16538  vdwlem8  16957  setsid  17175  mgm1  18624  sgrp1  18695  mnd1  18745  mnd1id  18746  gsumws1  18804  grp1  19021  dprdsn  20011  ring1  20289  ixpsnbasval  21205  frgpcyg  21555  mat1dimscm  22465  mat1dimmul  22466  mat1rhmelval  22470  m1detdiag  22587  pt1hmeo  23796  noextenddif  27657  noextendlt  27658  noextendgt  27659  1loopgrvd0  29598  1hevtxdg0  29599  1hevtxdg1  29600  1egrvtxdg1  29603  wlkl0  30462  0mplrim  33705  selvply1rhmlemb  33710  actfunsnrndisj  34796  reprsuc  34806  breprexplema  34821  cvmliftlem7  35526  cvmliftlem13  35531  bj-fununsn2  37621  sticksstones9  42646  sticksstones11  42648  frlmsnic  43033  sumsnd  45481  ovnovollem1  47106  nnsum3primesprm  48288  lincvalsng  48914  snlindsntorlem  48968  lmod1lem2  48986  lmod1lem3  48987  0aryfvalelfv  49133  1arympt1fv  49137  ovsng  49355