Theorem fvsng 7160

Description: The value of a singleton of an ordered pair is the second member. (Contributed by NM, 26-Oct-2012.) (Proof shortened by BJ, 25-Feb-2023.)

Assertion

Ref	Expression
fvsng	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → ({⟨𝐴, 𝐵⟩}‘𝐴) = 𝐵)

Proof of Theorem fvsng

Step	Hyp	Ref	Expression
1		funsng 6568	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → Fun {⟨𝐴, 𝐵⟩})
2		opex 5430	. . 3 ⊢ ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ V
3	2	snid 4620	. 2 ⊢ ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ {⟨𝐴, 𝐵⟩}
4		funopfv 6912	. 2 ⊢ (Fun {⟨𝐴, 𝐵⟩} → (⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ {⟨𝐴, 𝐵⟩} → ({⟨𝐴, 𝐵⟩}‘𝐴) = 𝐵))
5	1, 3, 4	mpisyl 21	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → ({⟨𝐴, 𝐵⟩}‘𝐴) = 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1559   ∈ wcel 2141  {csn 4581  ⟨cop 4587  Fun wfun 6511  ‘cfv 6517

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5245  ax-pr 5389

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rab 3414  df-v 3455  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-br 5100  df-opab 5162  df-id 5540  df-xp 5651  df-rel 5652  df-cnv 5653  df-co 5654  df-dm 5655  df-iota 6473  df-fun 6519  df-fv 6525

This theorem is referenced by:  fvsn  7161  fvsnun1  7162  fsnunfv  7167  fvpr1g  7170  fsnex  7263  suppsnop  8153  mapsnend  9013  enfixsn  9054  axdc3lem4  10407  fseq1p1m1  13600  1fv  13649  s1fv  14621  sumsnf  15753  prodsn  15975  prodsnf  15977  seq1st  16588  vdwlem8  17007  setsid  17226  mgm1  18675  sgrp1  18746  mnd1  18796  mnd1id  18797  gsumws1  18855  grp1  19072  dprdsn  20061  ring1  20339  ixpsnbasval  21255  frgpcyg  21605  mat1dimscm  22515  mat1dimmul  22516  mat1rhmelval  22520  m1detdiag  22637  pt1hmeo  23846  noextenddif  27709  noextendlt  27710  noextendgt  27711  1loopgrvd0  29651  1hevtxdg0  29652  1hevtxdg1  29653  1egrvtxdg1  29656  wlkl0  30515  0mplrim  33772  selvply1rhmlemb  33777  actfunsnrndisj  34863  reprsuc  34873  breprexplema  34888  cvmliftlem7  35605  cvmliftlem13  35610  bj-fununsn2  37710  sticksstones9  42735  sticksstones11  42737  frlmsnic  43122  sumsnd  45570  ovnovollem1  47194  nnsum3primesprm  48376  lincvalsng  49002  snlindsntorlem  49056  lmod1lem2  49074  lmod1lem3  49075  0aryfvalelfv  49221  1arympt1fv  49225  ovsng  49443