Theorem fvsng 7185

Description: The value of a singleton of an ordered pair is the second member. (Contributed by NM, 26-Oct-2012.) (Proof shortened by BJ, 25-Feb-2023.)

Assertion

Ref	Expression
fvsng	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → ({⟨𝐴, 𝐵⟩}‘𝐴) = 𝐵)

Proof of Theorem fvsng

Step	Hyp	Ref	Expression
1		funsng 6591	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → Fun {⟨𝐴, 𝐵⟩})
2		opex 5431	. . 3 ⊢ ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ V
3	2	snid 4622	. 2 ⊢ ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ {⟨𝐴, 𝐵⟩}
4		funopfv 6934	. 2 ⊢ (Fun {⟨𝐴, 𝐵⟩} → (⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ {⟨𝐴, 𝐵⟩} → ({⟨𝐴, 𝐵⟩}‘𝐴) = 𝐵))
5	1, 3, 4	mpisyl 22	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → ({⟨𝐴, 𝐵⟩}‘𝐴) = 𝐵)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  {csn 4583  ⟨cop 4589  Fun wfun 6532  ‘cfv 6538

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-pr 5390

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-ss 3896  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-br 5103  df-opab 5167  df-id 5545  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fv 6546

This theorem is used by:  fvsn  7186  fvsnun1  7187  fsnunfv  7192  fvpr1g  7195  fsnex  7291  suppsnop  8195  mapsnend  9064  enfixsn  9105  axdc3lem4  10531  fseq1p1m1  13732  1fv  13781  s1fv  14758  sumsnf  15909  prodsn  16129  prodsnf  16131  seq1st  16746  vdwlem8  17166  setsid  17385  mgm1  18836  sgrp1  18918  mnd1  18973  mnd1id  18974  gsumws1  19034  grp1  19257  dprdsn  20252  ring1  20541  ixpsnbasval  21483  frgpcyg  21879  mat1dimscm  22790  mat1dimmul  22791  mat1rhmelval  22795  m1detdiag  22912  pt1hmeo  24125  noextenddif  28025  noextendlt  28026  noextendgt  28027  1loopgrvd0  30085  1hevtxdg0  30086  1hevtxdg1  30087  1egrvtxdg1  30090  wlkl0  30968  0mplrim  34146  selvply1rhmlemb  34151  actfunsnrndisj  35234  reprsuc  35244  breprexplema  35259  cvmliftlem7  36056  cvmliftlem13  36061  bj-fununsn2  38176  sticksstones9  43205  sticksstones11  43207  frlmsnic  43605  sumsnd  46043  ovnovollem1  47666  nnsum3primesprm  48888  lincvalsng  49528  snlindsntorlem  49582  lmod1lem2  49600  lmod1lem3  49601  0aryfvalelfv  49747  1arympt1fv  49751  ovsng  49968