Theorem fvsng 6995

Description: The value of a singleton of an ordered pair is the second member. (Contributed by NM, 26-Oct-2012.) (Proof shortened by BJ, 25-Feb-2023.)

Assertion

Ref	Expression
fvsng	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → ({⟨𝐴, 𝐵⟩}‘𝐴) = 𝐵)

Proof of Theorem fvsng

Step	Hyp	Ref	Expression
1		funsng 6431	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → Fun {⟨𝐴, 𝐵⟩})
2		opex 5348	. . 3 ⊢ ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ V
3	2	snid 4577	. 2 ⊢ ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ {⟨𝐴, 𝐵⟩}
4		funopfv 6764	. 2 ⊢ (Fun {⟨𝐴, 𝐵⟩} → (⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ {⟨𝐴, 𝐵⟩} → ({⟨𝐴, 𝐵⟩}‘𝐴) = 𝐵))
5	1, 3, 4	mpisyl 21	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → ({⟨𝐴, 𝐵⟩}‘𝐴) = 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1543   ∈ wcel 2110  {csn 4541  ⟨cop 4547  Fun wfun 6374  ‘cfv 6380

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pr 5322

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ral 3066  df-rex 3067  df-rab 3070  df-v 3410  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-nul 4238  df-if 4440  df-sn 4542  df-pr 4544  df-op 4548  df-uni 4820  df-br 5054  df-opab 5116  df-id 5455  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-iota 6338  df-fun 6382  df-fv 6388

This theorem is referenced by:  fvsn  6996  fvsnun1  6997  fsnunfv  7002  fvpr1g  7007  fvpr2g  7008  fsnex  7093  suppsnop  7920  mapsnend  8713  enfixsn  8754  axdc3lem4  10067  fseq1p1m1  13186  1fv  13231  s1fv  14167  sumsnf  15307  prodsn  15524  prodsnf  15526  seq1st  16128  vdwlem8  16541  setsid  16758  mgm1  18130  sgrp1  18172  mnd1  18214  mnd1id  18215  gsumws1  18264  grp1  18470  dprdsn  19423  ring1  19620  ixpsnbasval  20247  frgpcyg  20538  mat1dimscm  21372  mat1dimmul  21373  mat1rhmelval  21377  m1detdiag  21494  pt1hmeo  22703  1loopgrvd0  27592  1hevtxdg0  27593  1hevtxdg1  27594  1egrvtxdg1  27597  wlkl0  28450  actfunsnrndisj  32297  reprsuc  32307  breprexplema  32322  cvmliftlem7  32966  cvmliftlem13  32971  noextenddif  33608  noextendlt  33609  noextendgt  33610  bj-fununsn2  35160  sticksstones9  39832  sticksstones11  39834  metakunt20  39866  frlmsnic  39975  sumsnd  42242  ovnovollem1  43869  nnsum3primesprm  44915  lincvalsng  45430  snlindsntorlem  45484  lmod1lem2  45502  lmod1lem3  45503  0aryfvalelfv  45654  1arympt1fv  45658