Theorem fvsng 7178

Description: The value of a singleton of an ordered pair is the second member. (Contributed by NM, 26-Oct-2012.) (Proof shortened by BJ, 25-Feb-2023.)

Assertion

Ref	Expression
fvsng	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → ({⟨𝐴, 𝐵⟩}‘𝐴) = 𝐵)

Proof of Theorem fvsng

Step	Hyp	Ref	Expression
1		funsng 6600	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → Fun {⟨𝐴, 𝐵⟩})
2		opex 5465	. . 3 ⊢ ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ V
3	2	snid 4665	. 2 ⊢ ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ {⟨𝐴, 𝐵⟩}
4		funopfv 6944	. 2 ⊢ (Fun {⟨𝐴, 𝐵⟩} → (⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ {⟨𝐴, 𝐵⟩} → ({⟨𝐴, 𝐵⟩}‘𝐴) = 𝐵))
5	1, 3, 4	mpisyl 21	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → ({⟨𝐴, 𝐵⟩}‘𝐴) = 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  {csn 4629  ⟨cop 4635  Fun wfun 6538  ‘cfv 6544

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pr 5428

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3434  df-v 3477  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-br 5150  df-opab 5212  df-id 5575  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fv 6552

This theorem is referenced by:  fvsn  7179  fvsnun1  7180  fsnunfv  7185  fvpr1g  7188  fvpr2gOLD  7190  fsnex  7281  suppsnop  8163  mapsnend  9036  enfixsn  9081  axdc3lem4  10448  fseq1p1m1  13575  1fv  13620  s1fv  14560  sumsnf  15689  prodsn  15906  prodsnf  15908  seq1st  16508  vdwlem8  16921  setsid  17141  mgm1  18577  sgrp1  18620  mnd1  18667  mnd1id  18668  gsumws1  18719  grp1  18930  dprdsn  19906  ring1  20122  ixpsnbasval  20832  frgpcyg  21129  mat1dimscm  21977  mat1dimmul  21978  mat1rhmelval  21982  m1detdiag  22099  pt1hmeo  23310  noextenddif  27171  noextendlt  27172  noextendgt  27173  1loopgrvd0  28761  1hevtxdg0  28762  1hevtxdg1  28763  1egrvtxdg1  28766  wlkl0  29620  actfunsnrndisj  33617  reprsuc  33627  breprexplema  33642  cvmliftlem7  34282  cvmliftlem13  34287  bj-fununsn2  36135  sticksstones9  40970  sticksstones11  40972  metakunt20  41004  frlmsnic  41110  sumsnd  43710  ovnovollem1  45372  nnsum3primesprm  46458  lincvalsng  47097  snlindsntorlem  47151  lmod1lem2  47169  lmod1lem3  47170  0aryfvalelfv  47321  1arympt1fv  47325