Theorem fvsng 7157

Description: The value of a singleton of an ordered pair is the second member. (Contributed by NM, 26-Oct-2012.) (Proof shortened by BJ, 25-Feb-2023.)

Assertion

Ref	Expression
fvsng	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → ({⟨𝐴, 𝐵⟩}‘𝐴) = 𝐵)

Proof of Theorem fvsng

Step	Hyp	Ref	Expression
1		funsng 6570	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → Fun {⟨𝐴, 𝐵⟩})
2		opex 5427	. . 3 ⊢ ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ V
3	2	snid 4629	. 2 ⊢ ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ {⟨𝐴, 𝐵⟩}
4		funopfv 6913	. 2 ⊢ (Fun {⟨𝐴, 𝐵⟩} → (⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ {⟨𝐴, 𝐵⟩} → ({⟨𝐴, 𝐵⟩}‘𝐴) = 𝐵))
5	1, 3, 4	mpisyl 21	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → ({⟨𝐴, 𝐵⟩}‘𝐴) = 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  {csn 4592  ⟨cop 4598  Fun wfun 6508  ‘cfv 6514

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pr 5390

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rab 3409  df-v 3452  df-dif 3920  df-un 3922  df-ss 3934  df-nul 4300  df-if 4492  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-br 5111  df-opab 5173  df-id 5536  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fv 6522

This theorem is referenced by:  fvsn  7158  fvsnun1  7159  fsnunfv  7164  fvpr1g  7167  fsnex  7261  suppsnop  8160  mapsnend  9010  enfixsn  9055  axdc3lem4  10413  fseq1p1m1  13566  1fv  13615  s1fv  14582  sumsnf  15716  prodsn  15935  prodsnf  15937  seq1st  16548  vdwlem8  16966  setsid  17184  mgm1  18592  sgrp1  18663  mnd1  18713  mnd1id  18714  gsumws1  18772  grp1  18986  dprdsn  19975  ring1  20226  ixpsnbasval  21122  frgpcyg  21490  mat1dimscm  22369  mat1dimmul  22370  mat1rhmelval  22374  m1detdiag  22491  pt1hmeo  23700  noextenddif  27587  noextendlt  27588  noextendgt  27589  1loopgrvd0  29439  1hevtxdg0  29440  1hevtxdg1  29441  1egrvtxdg1  29444  wlkl0  30303  actfunsnrndisj  34603  reprsuc  34613  breprexplema  34628  cvmliftlem7  35285  cvmliftlem13  35290  bj-fununsn2  37249  sticksstones9  42149  sticksstones11  42151  frlmsnic  42535  sumsnd  45027  ovnovollem1  46661  nnsum3primesprm  47795  lincvalsng  48409  snlindsntorlem  48463  lmod1lem2  48481  lmod1lem3  48482  0aryfvalelfv  48628  1arympt1fv  48632  ovsng  48850