Theorem fvsng 7114

Description: The value of a singleton of an ordered pair is the second member. (Contributed by NM, 26-Oct-2012.) (Proof shortened by BJ, 25-Feb-2023.)

Assertion

Ref	Expression
fvsng	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → ({⟨𝐴, 𝐵⟩}‘𝐴) = 𝐵)

Proof of Theorem fvsng

Step	Hyp	Ref	Expression
1		funsng 6532	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → Fun {⟨𝐴, 𝐵⟩})
2		opex 5404	. . 3 ⊢ ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ V
3	2	snid 4615	. 2 ⊢ ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ {⟨𝐴, 𝐵⟩}
4		funopfv 6871	. 2 ⊢ (Fun {⟨𝐴, 𝐵⟩} → (⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ {⟨𝐴, 𝐵⟩} → ({⟨𝐴, 𝐵⟩}‘𝐴) = 𝐵))
5	1, 3, 4	mpisyl 21	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → ({⟨𝐴, 𝐵⟩}‘𝐴) = 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  {csn 4576  ⟨cop 4582  Fun wfun 6475  ‘cfv 6481

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5234  ax-nul 5244  ax-pr 5370

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rab 3396  df-v 3438  df-dif 3905  df-un 3907  df-ss 3919  df-nul 4284  df-if 4476  df-sn 4577  df-pr 4579  df-op 4583  df-uni 4860  df-br 5092  df-opab 5154  df-id 5511  df-xp 5622  df-rel 5623  df-cnv 5624  df-co 5625  df-dm 5626  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fv 6489

This theorem is referenced by:  fvsn  7115  fvsnun1  7116  fsnunfv  7121  fvpr1g  7124  fsnex  7217  suppsnop  8108  mapsnend  8958  enfixsn  8999  axdc3lem4  10341  fseq1p1m1  13495  1fv  13544  s1fv  14515  sumsnf  15647  prodsn  15866  prodsnf  15868  seq1st  16479  vdwlem8  16897  setsid  17115  mgm1  18563  sgrp1  18634  mnd1  18684  mnd1id  18685  gsumws1  18743  grp1  18957  dprdsn  19948  ring1  20226  ixpsnbasval  21140  frgpcyg  21508  mat1dimscm  22388  mat1dimmul  22389  mat1rhmelval  22393  m1detdiag  22510  pt1hmeo  23719  noextenddif  27605  noextendlt  27606  noextendgt  27607  1loopgrvd0  29481  1hevtxdg0  29482  1hevtxdg1  29483  1egrvtxdg1  29486  wlkl0  30342  actfunsnrndisj  34613  reprsuc  34623  breprexplema  34638  cvmliftlem7  35323  cvmliftlem13  35328  bj-fununsn2  37287  sticksstones9  42186  sticksstones11  42188  frlmsnic  42572  sumsnd  45062  ovnovollem1  46693  nnsum3primesprm  47820  lincvalsng  48447  snlindsntorlem  48501  lmod1lem2  48519  lmod1lem3  48520  0aryfvalelfv  48666  1arympt1fv  48670  ovsng  48888