Theorem fvsng 7185

Description: The value of a singleton of an ordered pair is the second member. (Contributed by NM, 26-Oct-2012.) (Proof shortened by BJ, 25-Feb-2023.)

Assertion

Ref	Expression
fvsng	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → ({⟨𝐴, 𝐵⟩}‘𝐴) = 𝐵)

Proof of Theorem fvsng

Step	Hyp	Ref	Expression
1		funsng 6594	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → Fun {⟨𝐴, 𝐵⟩})
2		opex 5450	. . 3 ⊢ ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ V
3	2	snid 4633	. 2 ⊢ ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ {⟨𝐴, 𝐵⟩}
4		funopfv 6937	. 2 ⊢ (Fun {⟨𝐴, 𝐵⟩} → (⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ {⟨𝐴, 𝐵⟩} → ({⟨𝐴, 𝐵⟩}‘𝐴) = 𝐵))
5	1, 3, 4	mpisyl 22	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → ({⟨𝐴, 𝐵⟩}‘𝐴) = 𝐵)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  {csn 4594  ⟨cop 4600  Fun wfun 6537  ‘cfv 6543

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-sep 5262  ax-pr 5409

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-ral 3083  df-rex 3093  df-rab 3420  df-v 3460  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-nul 4290  df-if 4493  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4878  df-br 5115  df-opab 5179  df-id 5561  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fv 6551

This theorem is used by:  fvsn  7186  fvsnun1  7187  fsnunfv  7192  fvpr1g  7195  fsnex  7292  suppsnop  8183  mapsnend  9043  enfixsn  9084  axdc3lem4  10455  fseq1p1m1  13645  1fv  13694  s1fv  14670  sumsnf  15820  prodsn  16042  prodsnf  16044  seq1st  16654  vdwlem8  17073  setsid  17292  mgm1  18741  sgrp1  18816  mnd1  18868  mnd1id  18869  gsumws1  18928  grp1  19144  dprdsn  20139  ring1  20426  ixpsnbasval  21366  frgpcyg  21760  mat1dimscm  22669  mat1dimmul  22670  mat1rhmelval  22674  m1detdiag  22791  pt1hmeo  24000  noextenddif  27869  noextendlt  27870  noextendgt  27871  1loopgrvd0  29891  1hevtxdg0  29892  1hevtxdg1  29893  1egrvtxdg1  29896  wlkl0  30755  0mplrim  33935  selvply1rhmlemb  33940  actfunsnrndisj  35024  reprsuc  35034  breprexplema  35049  cvmliftlem7  35804  cvmliftlem13  35809  bj-fununsn2  37939  sticksstones9  42962  sticksstones11  42964  frlmsnic  43349  sumsnd  45787  ovnovollem1  47411  nnsum3primesprm  48596  lincvalsng  49237  snlindsntorlem  49291  lmod1lem2  49309  lmod1lem3  49310  0aryfvalelfv  49456  1arympt1fv  49460  ovsng  49677