MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fvsng Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fvsng 6934
Description: The value of a singleton of an ordered pair is the second member. (Contributed by NM, 26-Oct-2012.) (Proof shortened by BJ, 25-Feb-2023.)
Assertion
Ref Expression
fvsng ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → ({⟨𝐴, 𝐵⟩}‘𝐴) = 𝐵)

Proof of Theorem fvsng
StepHypRef Expression
1 funsng 6398 . 2 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → Fun {⟨𝐴, 𝐵⟩})
2 opex 5347 . . 3 𝐴, 𝐵⟩ ∈ V
32snid 4591 . 2 𝐴, 𝐵⟩ ∈ {⟨𝐴, 𝐵⟩}
4 funopfv 6710 . 2 (Fun {⟨𝐴, 𝐵⟩} → (⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ {⟨𝐴, 𝐵⟩} → ({⟨𝐴, 𝐵⟩}‘𝐴) = 𝐵))
51, 3, 4mpisyl 21 1 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → ({⟨𝐴, 𝐵⟩}‘𝐴) = 𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1528  wcel 2105  {csn 4557  cop 4563  Fun wfun 6342  cfv 6348
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pr 5320
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ral 3140  df-rex 3141  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-nul 4289  df-if 4464  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4831  df-br 5058  df-opab 5120  df-id 5453  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fv 6356
This theorem is referenced by:  fvsn  6935  fvsnun1  6936  fsnunfv  6941  fvpr1g  6946  fvpr2g  6947  fsnex  7030  suppsnop  7833  mapsnend  8576  enfixsn  8614  axdc3lem4  9863  fseq1p1m1  12969  1fv  13014  s1fv  13952  sumsnf  15087  prodsn  15304  prodsnf  15306  seq1st  15903  vdwlem8  16312  setsid  16526  mgm1  17856  sgrp1  17898  mnd1  17940  mnd1id  17941  gsumws1  17990  grp1  18144  dprdsn  19087  ring1  19281  ixpsnbasval  19910  frgpcyg  20648  mat1dimscm  21012  mat1dimmul  21013  mat1rhmelval  21017  m1detdiag  21134  pt1hmeo  22342  1loopgrvd0  27213  1hevtxdg0  27214  1hevtxdg1  27215  1egrvtxdg1  27218  wlkl0  28073  actfunsnrndisj  31775  reprsuc  31785  breprexplema  31800  cvmliftlem7  32435  cvmliftlem13  32440  noextenddif  33072  noextendlt  33073  noextendgt  33074  bj-fununsn2  34428  frlmsnic  39027  sumsnd  41160  ovnovollem1  42815  nnsum3primesprm  43832  lincvalsng  44399  snlindsntorlem  44453  lmod1lem2  44471  lmod1lem3  44472
  Copyright terms: Public domain W3C validator