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Theorem zorn2lem7 10539
Description: Lemma for zorn2 10543. (Contributed by NM, 6-Apr-1997.) (Revised by Mario Carneiro, 9-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
zorn2lem.3 𝐹 = recs((𝑓 ∈ V ↦ (𝑣𝐶𝑢𝐶 ¬ 𝑢𝑤𝑣)))
zorn2lem.4 𝐶 = {𝑧𝐴 ∣ ∀𝑔 ∈ ran 𝑓 𝑔𝑅𝑧}
zorn2lem.5 𝐷 = {𝑧𝐴 ∣ ∀𝑔 ∈ (𝐹𝑥)𝑔𝑅𝑧}
zorn2lem.7 𝐻 = {𝑧𝐴 ∣ ∀𝑔 ∈ (𝐹𝑦)𝑔𝑅𝑧}
Assertion
Ref Expression
zorn2lem7 ((𝐴 ∈ dom card ∧ 𝑅 Po 𝐴 ∧ ∀𝑠((𝑠𝐴𝑅 Or 𝑠) → ∃𝑎𝐴𝑟𝑠 (𝑟𝑅𝑎𝑟 = 𝑎))) → ∃𝑎𝐴𝑏𝐴 ¬ 𝑎𝑅𝑏)
Distinct variable groups:   𝑎,𝑏,𝑓,𝑔,𝑟,𝑠,𝑢,𝑣,𝑤,𝑥,𝑦,𝑧,𝐴   𝐷,𝑎,𝑏,𝑓,𝑢,𝑣,𝑦   𝐹,𝑎,𝑏,𝑓,𝑔,𝑟,𝑠,𝑢,𝑣,𝑥,𝑦,𝑧   𝑅,𝑎,𝑏,𝑓,𝑔,𝑟,𝑠,𝑢,𝑣,𝑤,𝑥,𝑦,𝑧   𝑣,𝐶   𝑥,𝐻,𝑢,𝑣,𝑓,𝑠,𝑟,𝑎,𝑏
Allowed substitution hints:   𝐶(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑢,𝑓,𝑔,𝑠,𝑟,𝑎,𝑏)   𝐷(𝑥,𝑧,𝑤,𝑔,𝑠,𝑟)   𝐹(𝑤)   𝐻(𝑦,𝑧,𝑤,𝑔)

Proof of Theorem zorn2lem7
StepHypRef Expression
1 ween 10072 . . 3 (𝐴 ∈ dom card ↔ ∃𝑤 𝑤 We 𝐴)
2 zorn2lem.3 . . . . . . . . 9 𝐹 = recs((𝑓 ∈ V ↦ (𝑣𝐶𝑢𝐶 ¬ 𝑢𝑤𝑣)))
3 zorn2lem.4 . . . . . . . . 9 𝐶 = {𝑧𝐴 ∣ ∀𝑔 ∈ ran 𝑓 𝑔𝑅𝑧}
4 zorn2lem.5 . . . . . . . . 9 𝐷 = {𝑧𝐴 ∣ ∀𝑔 ∈ (𝐹𝑥)𝑔𝑅𝑧}
52, 3, 4zorn2lem4 10536 . . . . . . . 8 ((𝑅 Po 𝐴𝑤 We 𝐴) → ∃𝑥 ∈ On 𝐷 = ∅)
6 imaeq2 6075 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = 𝑦 → (𝐹𝑥) = (𝐹𝑦))
76raleqdv 3323 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = 𝑦 → (∀𝑔 ∈ (𝐹𝑥)𝑔𝑅𝑧 ↔ ∀𝑔 ∈ (𝐹𝑦)𝑔𝑅𝑧))
87rabbidv 3440 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 𝑦 → {𝑧𝐴 ∣ ∀𝑔 ∈ (𝐹𝑥)𝑔𝑅𝑧} = {𝑧𝐴 ∣ ∀𝑔 ∈ (𝐹𝑦)𝑔𝑅𝑧})
9 zorn2lem.7 . . . . . . . . . . . 12 𝐻 = {𝑧𝐴 ∣ ∀𝑔 ∈ (𝐹𝑦)𝑔𝑅𝑧}
108, 4, 93eqtr4g 2799 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑦𝐷 = 𝐻)
1110eqeq1d 2736 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑦 → (𝐷 = ∅ ↔ 𝐻 = ∅))
1211onminex 7821 . . . . . . . . 9 (∃𝑥 ∈ On 𝐷 = ∅ → ∃𝑥 ∈ On (𝐷 = ∅ ∧ ∀𝑦𝑥 ¬ 𝐻 = ∅))
13 df-ne 2938 . . . . . . . . . . . 12 (𝐻 ≠ ∅ ↔ ¬ 𝐻 = ∅)
1413ralbii 3090 . . . . . . . . . . 11 (∀𝑦𝑥 𝐻 ≠ ∅ ↔ ∀𝑦𝑥 ¬ 𝐻 = ∅)
1514anbi2i 623 . . . . . . . . . 10 ((𝐷 = ∅ ∧ ∀𝑦𝑥 𝐻 ≠ ∅) ↔ (𝐷 = ∅ ∧ ∀𝑦𝑥 ¬ 𝐻 = ∅))
1615rexbii 3091 . . . . . . . . 9 (∃𝑥 ∈ On (𝐷 = ∅ ∧ ∀𝑦𝑥 𝐻 ≠ ∅) ↔ ∃𝑥 ∈ On (𝐷 = ∅ ∧ ∀𝑦𝑥 ¬ 𝐻 = ∅))
1712, 16sylibr 234 . . . . . . . 8 (∃𝑥 ∈ On 𝐷 = ∅ → ∃𝑥 ∈ On (𝐷 = ∅ ∧ ∀𝑦𝑥 𝐻 ≠ ∅))
182, 3, 4, 9zorn2lem5 10537 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑤 We 𝐴𝑥 ∈ On) ∧ ∀𝑦𝑥 𝐻 ≠ ∅) → (𝐹𝑥) ⊆ 𝐴)
1918a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑅 Po 𝐴 → (((𝑤 We 𝐴𝑥 ∈ On) ∧ ∀𝑦𝑥 𝐻 ≠ ∅) → (𝐹𝑥) ⊆ 𝐴))
202, 3, 4, 9zorn2lem6 10538 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑅 Po 𝐴 → (((𝑤 We 𝐴𝑥 ∈ On) ∧ ∀𝑦𝑥 𝐻 ≠ ∅) → 𝑅 Or (𝐹𝑥)))
2119, 20jcad 512 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑅 Po 𝐴 → (((𝑤 We 𝐴𝑥 ∈ On) ∧ ∀𝑦𝑥 𝐻 ≠ ∅) → ((𝐹𝑥) ⊆ 𝐴𝑅 Or (𝐹𝑥))))
222tfr1 8435 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝐹 Fn On
23 fnfun 6668 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝐹 Fn On → Fun 𝐹)
24 vex 3481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 𝑥 ∈ V
2524funimaex 6655 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (Fun 𝐹 → (𝐹𝑥) ∈ V)
2622, 23, 25mp2b 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝐹𝑥) ∈ V
27 sseq1 4020 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑠 = (𝐹𝑥) → (𝑠𝐴 ↔ (𝐹𝑥) ⊆ 𝐴))
28 soeq2 5618 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑠 = (𝐹𝑥) → (𝑅 Or 𝑠𝑅 Or (𝐹𝑥)))
2927, 28anbi12d 632 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑠 = (𝐹𝑥) → ((𝑠𝐴𝑅 Or 𝑠) ↔ ((𝐹𝑥) ⊆ 𝐴𝑅 Or (𝐹𝑥))))
30 raleq 3320 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑠 = (𝐹𝑥) → (∀𝑟𝑠 (𝑟𝑅𝑎𝑟 = 𝑎) ↔ ∀𝑟 ∈ (𝐹𝑥)(𝑟𝑅𝑎𝑟 = 𝑎)))
3130rexbidv 3176 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑠 = (𝐹𝑥) → (∃𝑎𝐴𝑟𝑠 (𝑟𝑅𝑎𝑟 = 𝑎) ↔ ∃𝑎𝐴𝑟 ∈ (𝐹𝑥)(𝑟𝑅𝑎𝑟 = 𝑎)))
3229, 31imbi12d 344 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑠 = (𝐹𝑥) → (((𝑠𝐴𝑅 Or 𝑠) → ∃𝑎𝐴𝑟𝑠 (𝑟𝑅𝑎𝑟 = 𝑎)) ↔ (((𝐹𝑥) ⊆ 𝐴𝑅 Or (𝐹𝑥)) → ∃𝑎𝐴𝑟 ∈ (𝐹𝑥)(𝑟𝑅𝑎𝑟 = 𝑎))))
3326, 32spcv 3604 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (∀𝑠((𝑠𝐴𝑅 Or 𝑠) → ∃𝑎𝐴𝑟𝑠 (𝑟𝑅𝑎𝑟 = 𝑎)) → (((𝐹𝑥) ⊆ 𝐴𝑅 Or (𝐹𝑥)) → ∃𝑎𝐴𝑟 ∈ (𝐹𝑥)(𝑟𝑅𝑎𝑟 = 𝑎)))
3421, 33sylan9 507 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑅 Po 𝐴 ∧ ∀𝑠((𝑠𝐴𝑅 Or 𝑠) → ∃𝑎𝐴𝑟𝑠 (𝑟𝑅𝑎𝑟 = 𝑎))) → (((𝑤 We 𝐴𝑥 ∈ On) ∧ ∀𝑦𝑥 𝐻 ≠ ∅) → ∃𝑎𝐴𝑟 ∈ (𝐹𝑥)(𝑟𝑅𝑎𝑟 = 𝑎)))
3534adantld 490 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑅 Po 𝐴 ∧ ∀𝑠((𝑠𝐴𝑅 Or 𝑠) → ∃𝑎𝐴𝑟𝑠 (𝑟𝑅𝑎𝑟 = 𝑎))) → ((𝐷 = ∅ ∧ ((𝑤 We 𝐴𝑥 ∈ On) ∧ ∀𝑦𝑥 𝐻 ≠ ∅)) → ∃𝑎𝐴𝑟 ∈ (𝐹𝑥)(𝑟𝑅𝑎𝑟 = 𝑎)))
3635imp 406 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑅 Po 𝐴 ∧ ∀𝑠((𝑠𝐴𝑅 Or 𝑠) → ∃𝑎𝐴𝑟𝑠 (𝑟𝑅𝑎𝑟 = 𝑎))) ∧ (𝐷 = ∅ ∧ ((𝑤 We 𝐴𝑥 ∈ On) ∧ ∀𝑦𝑥 𝐻 ≠ ∅))) → ∃𝑎𝐴𝑟 ∈ (𝐹𝑥)(𝑟𝑅𝑎𝑟 = 𝑎))
37 noel 4343 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ¬ 𝑏 ∈ ∅
3818sseld 3993 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 (((𝑤 We 𝐴𝑥 ∈ On) ∧ ∀𝑦𝑥 𝐻 ≠ ∅) → (𝑟 ∈ (𝐹𝑥) → 𝑟𝐴))
39 3anass 1094 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 ((𝑟𝐴𝑎𝐴𝑏𝐴) ↔ (𝑟𝐴 ∧ (𝑎𝐴𝑏𝐴)))
40 potr 5609 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 ((𝑅 Po 𝐴 ∧ (𝑟𝐴𝑎𝐴𝑏𝐴)) → ((𝑟𝑅𝑎𝑎𝑅𝑏) → 𝑟𝑅𝑏))
4139, 40sylan2br 595 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 ((𝑅 Po 𝐴 ∧ (𝑟𝐴 ∧ (𝑎𝐴𝑏𝐴))) → ((𝑟𝑅𝑎𝑎𝑅𝑏) → 𝑟𝑅𝑏))
4241expcomd 416 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 ((𝑅 Po 𝐴 ∧ (𝑟𝐴 ∧ (𝑎𝐴𝑏𝐴))) → (𝑎𝑅𝑏 → (𝑟𝑅𝑎𝑟𝑅𝑏)))
4342imp 406 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 (((𝑅 Po 𝐴 ∧ (𝑟𝐴 ∧ (𝑎𝐴𝑏𝐴))) ∧ 𝑎𝑅𝑏) → (𝑟𝑅𝑎𝑟𝑅𝑏))
44 breq1 5150 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 (𝑟 = 𝑎 → (𝑟𝑅𝑏𝑎𝑅𝑏))
4544biimprcd 250 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 (𝑎𝑅𝑏 → (𝑟 = 𝑎𝑟𝑅𝑏))
4645adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 (((𝑅 Po 𝐴 ∧ (𝑟𝐴 ∧ (𝑎𝐴𝑏𝐴))) ∧ 𝑎𝑅𝑏) → (𝑟 = 𝑎𝑟𝑅𝑏))
4743, 46jaod 859 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 (((𝑅 Po 𝐴 ∧ (𝑟𝐴 ∧ (𝑎𝐴𝑏𝐴))) ∧ 𝑎𝑅𝑏) → ((𝑟𝑅𝑎𝑟 = 𝑎) → 𝑟𝑅𝑏))
4847exp42 435 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 (𝑅 Po 𝐴 → (𝑟𝐴 → ((𝑎𝐴𝑏𝐴) → (𝑎𝑅𝑏 → ((𝑟𝑅𝑎𝑟 = 𝑎) → 𝑟𝑅𝑏)))))
4938, 48sylan9r 508 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ((𝑅 Po 𝐴 ∧ ((𝑤 We 𝐴𝑥 ∈ On) ∧ ∀𝑦𝑥 𝐻 ≠ ∅)) → (𝑟 ∈ (𝐹𝑥) → ((𝑎𝐴𝑏𝐴) → (𝑎𝑅𝑏 → ((𝑟𝑅𝑎𝑟 = 𝑎) → 𝑟𝑅𝑏)))))
5049com24 95 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ((𝑅 Po 𝐴 ∧ ((𝑤 We 𝐴𝑥 ∈ On) ∧ ∀𝑦𝑥 𝐻 ≠ ∅)) → (𝑎𝑅𝑏 → ((𝑎𝐴𝑏𝐴) → (𝑟 ∈ (𝐹𝑥) → ((𝑟𝑅𝑎𝑟 = 𝑎) → 𝑟𝑅𝑏)))))
5150com23 86 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ((𝑅 Po 𝐴 ∧ ((𝑤 We 𝐴𝑥 ∈ On) ∧ ∀𝑦𝑥 𝐻 ≠ ∅)) → ((𝑎𝐴𝑏𝐴) → (𝑎𝑅𝑏 → (𝑟 ∈ (𝐹𝑥) → ((𝑟𝑅𝑎𝑟 = 𝑎) → 𝑟𝑅𝑏)))))
5251imp31 417 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ((((𝑅 Po 𝐴 ∧ ((𝑤 We 𝐴𝑥 ∈ On) ∧ ∀𝑦𝑥 𝐻 ≠ ∅)) ∧ (𝑎𝐴𝑏𝐴)) ∧ 𝑎𝑅𝑏) → (𝑟 ∈ (𝐹𝑥) → ((𝑟𝑅𝑎𝑟 = 𝑎) → 𝑟𝑅𝑏)))
5352a2d 29 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ((((𝑅 Po 𝐴 ∧ ((𝑤 We 𝐴𝑥 ∈ On) ∧ ∀𝑦𝑥 𝐻 ≠ ∅)) ∧ (𝑎𝐴𝑏𝐴)) ∧ 𝑎𝑅𝑏) → ((𝑟 ∈ (𝐹𝑥) → (𝑟𝑅𝑎𝑟 = 𝑎)) → (𝑟 ∈ (𝐹𝑥) → 𝑟𝑅𝑏)))
5453ralimdv2 3160 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((((𝑅 Po 𝐴 ∧ ((𝑤 We 𝐴𝑥 ∈ On) ∧ ∀𝑦𝑥 𝐻 ≠ ∅)) ∧ (𝑎𝐴𝑏𝐴)) ∧ 𝑎𝑅𝑏) → (∀𝑟 ∈ (𝐹𝑥)(𝑟𝑅𝑎𝑟 = 𝑎) → ∀𝑟 ∈ (𝐹𝑥)𝑟𝑅𝑏))
55 breq1 5150 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (𝑟 = 𝑔 → (𝑟𝑅𝑏𝑔𝑅𝑏))
5655cbvralvw 3234 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (∀𝑟 ∈ (𝐹𝑥)𝑟𝑅𝑏 ↔ ∀𝑔 ∈ (𝐹𝑥)𝑔𝑅𝑏)
57 breq2 5151 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 (𝑧 = 𝑏 → (𝑔𝑅𝑧𝑔𝑅𝑏))
5857ralbidv 3175 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 (𝑧 = 𝑏 → (∀𝑔 ∈ (𝐹𝑥)𝑔𝑅𝑧 ↔ ∀𝑔 ∈ (𝐹𝑥)𝑔𝑅𝑏))
5958elrab 3694 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 (𝑏 ∈ {𝑧𝐴 ∣ ∀𝑔 ∈ (𝐹𝑥)𝑔𝑅𝑧} ↔ (𝑏𝐴 ∧ ∀𝑔 ∈ (𝐹𝑥)𝑔𝑅𝑏))
604eqeq1i 2739 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 (𝐷 = ∅ ↔ {𝑧𝐴 ∣ ∀𝑔 ∈ (𝐹𝑥)𝑔𝑅𝑧} = ∅)
61 eleq2 2827 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ({𝑧𝐴 ∣ ∀𝑔 ∈ (𝐹𝑥)𝑔𝑅𝑧} = ∅ → (𝑏 ∈ {𝑧𝐴 ∣ ∀𝑔 ∈ (𝐹𝑥)𝑔𝑅𝑧} ↔ 𝑏 ∈ ∅))
6260, 61sylbi 217 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 (𝐷 = ∅ → (𝑏 ∈ {𝑧𝐴 ∣ ∀𝑔 ∈ (𝐹𝑥)𝑔𝑅𝑧} ↔ 𝑏 ∈ ∅))
6359, 62bitr3id 285 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 (𝐷 = ∅ → ((𝑏𝐴 ∧ ∀𝑔 ∈ (𝐹𝑥)𝑔𝑅𝑏) ↔ 𝑏 ∈ ∅))
6463biimpd 229 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (𝐷 = ∅ → ((𝑏𝐴 ∧ ∀𝑔 ∈ (𝐹𝑥)𝑔𝑅𝑏) → 𝑏 ∈ ∅))
6564expdimp 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ((𝐷 = ∅ ∧ 𝑏𝐴) → (∀𝑔 ∈ (𝐹𝑥)𝑔𝑅𝑏𝑏 ∈ ∅))
6656, 65biimtrid 242 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((𝐷 = ∅ ∧ 𝑏𝐴) → (∀𝑟 ∈ (𝐹𝑥)𝑟𝑅𝑏𝑏 ∈ ∅))
6754, 66sylan9r 508 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (((𝐷 = ∅ ∧ 𝑏𝐴) ∧ (((𝑅 Po 𝐴 ∧ ((𝑤 We 𝐴𝑥 ∈ On) ∧ ∀𝑦𝑥 𝐻 ≠ ∅)) ∧ (𝑎𝐴𝑏𝐴)) ∧ 𝑎𝑅𝑏)) → (∀𝑟 ∈ (𝐹𝑥)(𝑟𝑅𝑎𝑟 = 𝑎) → 𝑏 ∈ ∅))
6867exp32 420 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝐷 = ∅ ∧ 𝑏𝐴) → (((𝑅 Po 𝐴 ∧ ((𝑤 We 𝐴𝑥 ∈ On) ∧ ∀𝑦𝑥 𝐻 ≠ ∅)) ∧ (𝑎𝐴𝑏𝐴)) → (𝑎𝑅𝑏 → (∀𝑟 ∈ (𝐹𝑥)(𝑟𝑅𝑎𝑟 = 𝑎) → 𝑏 ∈ ∅))))
6968com34 91 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((𝐷 = ∅ ∧ 𝑏𝐴) → (((𝑅 Po 𝐴 ∧ ((𝑤 We 𝐴𝑥 ∈ On) ∧ ∀𝑦𝑥 𝐻 ≠ ∅)) ∧ (𝑎𝐴𝑏𝐴)) → (∀𝑟 ∈ (𝐹𝑥)(𝑟𝑅𝑎𝑟 = 𝑎) → (𝑎𝑅𝑏𝑏 ∈ ∅))))
7069imp31 417 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((((𝐷 = ∅ ∧ 𝑏𝐴) ∧ ((𝑅 Po 𝐴 ∧ ((𝑤 We 𝐴𝑥 ∈ On) ∧ ∀𝑦𝑥 𝐻 ≠ ∅)) ∧ (𝑎𝐴𝑏𝐴))) ∧ ∀𝑟 ∈ (𝐹𝑥)(𝑟𝑅𝑎𝑟 = 𝑎)) → (𝑎𝑅𝑏𝑏 ∈ ∅))
7137, 70mtoi 199 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((((𝐷 = ∅ ∧ 𝑏𝐴) ∧ ((𝑅 Po 𝐴 ∧ ((𝑤 We 𝐴𝑥 ∈ On) ∧ ∀𝑦𝑥 𝐻 ≠ ∅)) ∧ (𝑎𝐴𝑏𝐴))) ∧ ∀𝑟 ∈ (𝐹𝑥)(𝑟𝑅𝑎𝑟 = 𝑎)) → ¬ 𝑎𝑅𝑏)
7271exp42 435 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝐷 = ∅ ∧ 𝑏𝐴) → ((𝑅 Po 𝐴 ∧ ((𝑤 We 𝐴𝑥 ∈ On) ∧ ∀𝑦𝑥 𝐻 ≠ ∅)) → ((𝑎𝐴𝑏𝐴) → (∀𝑟 ∈ (𝐹𝑥)(𝑟𝑅𝑎𝑟 = 𝑎) → ¬ 𝑎𝑅𝑏))))
7372exp4a 431 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝐷 = ∅ ∧ 𝑏𝐴) → ((𝑅 Po 𝐴 ∧ ((𝑤 We 𝐴𝑥 ∈ On) ∧ ∀𝑦𝑥 𝐻 ≠ ∅)) → (𝑎𝐴 → (𝑏𝐴 → (∀𝑟 ∈ (𝐹𝑥)(𝑟𝑅𝑎𝑟 = 𝑎) → ¬ 𝑎𝑅𝑏)))))
7473com34 91 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝐷 = ∅ ∧ 𝑏𝐴) → ((𝑅 Po 𝐴 ∧ ((𝑤 We 𝐴𝑥 ∈ On) ∧ ∀𝑦𝑥 𝐻 ≠ ∅)) → (𝑏𝐴 → (𝑎𝐴 → (∀𝑟 ∈ (𝐹𝑥)(𝑟𝑅𝑎𝑟 = 𝑎) → ¬ 𝑎𝑅𝑏)))))
7574ex 412 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝐷 = ∅ → (𝑏𝐴 → ((𝑅 Po 𝐴 ∧ ((𝑤 We 𝐴𝑥 ∈ On) ∧ ∀𝑦𝑥 𝐻 ≠ ∅)) → (𝑏𝐴 → (𝑎𝐴 → (∀𝑟 ∈ (𝐹𝑥)(𝑟𝑅𝑎𝑟 = 𝑎) → ¬ 𝑎𝑅𝑏))))))
7675com4r 94 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑏𝐴 → (𝐷 = ∅ → (𝑏𝐴 → ((𝑅 Po 𝐴 ∧ ((𝑤 We 𝐴𝑥 ∈ On) ∧ ∀𝑦𝑥 𝐻 ≠ ∅)) → (𝑎𝐴 → (∀𝑟 ∈ (𝐹𝑥)(𝑟𝑅𝑎𝑟 = 𝑎) → ¬ 𝑎𝑅𝑏))))))
7776pm2.43a 54 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑏𝐴 → (𝐷 = ∅ → ((𝑅 Po 𝐴 ∧ ((𝑤 We 𝐴𝑥 ∈ On) ∧ ∀𝑦𝑥 𝐻 ≠ ∅)) → (𝑎𝐴 → (∀𝑟 ∈ (𝐹𝑥)(𝑟𝑅𝑎𝑟 = 𝑎) → ¬ 𝑎𝑅𝑏)))))
7877impd 410 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑏𝐴 → ((𝐷 = ∅ ∧ (𝑅 Po 𝐴 ∧ ((𝑤 We 𝐴𝑥 ∈ On) ∧ ∀𝑦𝑥 𝐻 ≠ ∅))) → (𝑎𝐴 → (∀𝑟 ∈ (𝐹𝑥)(𝑟𝑅𝑎𝑟 = 𝑎) → ¬ 𝑎𝑅𝑏))))
7978com4l 92 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝐷 = ∅ ∧ (𝑅 Po 𝐴 ∧ ((𝑤 We 𝐴𝑥 ∈ On) ∧ ∀𝑦𝑥 𝐻 ≠ ∅))) → (𝑎𝐴 → (∀𝑟 ∈ (𝐹𝑥)(𝑟𝑅𝑎𝑟 = 𝑎) → (𝑏𝐴 → ¬ 𝑎𝑅𝑏))))
8079impd 410 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝐷 = ∅ ∧ (𝑅 Po 𝐴 ∧ ((𝑤 We 𝐴𝑥 ∈ On) ∧ ∀𝑦𝑥 𝐻 ≠ ∅))) → ((𝑎𝐴 ∧ ∀𝑟 ∈ (𝐹𝑥)(𝑟𝑅𝑎𝑟 = 𝑎)) → (𝑏𝐴 → ¬ 𝑎𝑅𝑏)))
8180ralrimdv 3149 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝐷 = ∅ ∧ (𝑅 Po 𝐴 ∧ ((𝑤 We 𝐴𝑥 ∈ On) ∧ ∀𝑦𝑥 𝐻 ≠ ∅))) → ((𝑎𝐴 ∧ ∀𝑟 ∈ (𝐹𝑥)(𝑟𝑅𝑎𝑟 = 𝑎)) → ∀𝑏𝐴 ¬ 𝑎𝑅𝑏))
8281expd 415 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐷 = ∅ ∧ (𝑅 Po 𝐴 ∧ ((𝑤 We 𝐴𝑥 ∈ On) ∧ ∀𝑦𝑥 𝐻 ≠ ∅))) → (𝑎𝐴 → (∀𝑟 ∈ (𝐹𝑥)(𝑟𝑅𝑎𝑟 = 𝑎) → ∀𝑏𝐴 ¬ 𝑎𝑅𝑏)))
8382reximdvai 3162 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐷 = ∅ ∧ (𝑅 Po 𝐴 ∧ ((𝑤 We 𝐴𝑥 ∈ On) ∧ ∀𝑦𝑥 𝐻 ≠ ∅))) → (∃𝑎𝐴𝑟 ∈ (𝐹𝑥)(𝑟𝑅𝑎𝑟 = 𝑎) → ∃𝑎𝐴𝑏𝐴 ¬ 𝑎𝑅𝑏))
8483exp32 420 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐷 = ∅ → (𝑅 Po 𝐴 → (((𝑤 We 𝐴𝑥 ∈ On) ∧ ∀𝑦𝑥 𝐻 ≠ ∅) → (∃𝑎𝐴𝑟 ∈ (𝐹𝑥)(𝑟𝑅𝑎𝑟 = 𝑎) → ∃𝑎𝐴𝑏𝐴 ¬ 𝑎𝑅𝑏))))
8584com12 32 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑅 Po 𝐴 → (𝐷 = ∅ → (((𝑤 We 𝐴𝑥 ∈ On) ∧ ∀𝑦𝑥 𝐻 ≠ ∅) → (∃𝑎𝐴𝑟 ∈ (𝐹𝑥)(𝑟𝑅𝑎𝑟 = 𝑎) → ∃𝑎𝐴𝑏𝐴 ¬ 𝑎𝑅𝑏))))
8685adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑅 Po 𝐴 ∧ ∀𝑠((𝑠𝐴𝑅 Or 𝑠) → ∃𝑎𝐴𝑟𝑠 (𝑟𝑅𝑎𝑟 = 𝑎))) → (𝐷 = ∅ → (((𝑤 We 𝐴𝑥 ∈ On) ∧ ∀𝑦𝑥 𝐻 ≠ ∅) → (∃𝑎𝐴𝑟 ∈ (𝐹𝑥)(𝑟𝑅𝑎𝑟 = 𝑎) → ∃𝑎𝐴𝑏𝐴 ¬ 𝑎𝑅𝑏))))
8786imp32 418 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑅 Po 𝐴 ∧ ∀𝑠((𝑠𝐴𝑅 Or 𝑠) → ∃𝑎𝐴𝑟𝑠 (𝑟𝑅𝑎𝑟 = 𝑎))) ∧ (𝐷 = ∅ ∧ ((𝑤 We 𝐴𝑥 ∈ On) ∧ ∀𝑦𝑥 𝐻 ≠ ∅))) → (∃𝑎𝐴𝑟 ∈ (𝐹𝑥)(𝑟𝑅𝑎𝑟 = 𝑎) → ∃𝑎𝐴𝑏𝐴 ¬ 𝑎𝑅𝑏))
8836, 87mpd 15 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑅 Po 𝐴 ∧ ∀𝑠((𝑠𝐴𝑅 Or 𝑠) → ∃𝑎𝐴𝑟𝑠 (𝑟𝑅𝑎𝑟 = 𝑎))) ∧ (𝐷 = ∅ ∧ ((𝑤 We 𝐴𝑥 ∈ On) ∧ ∀𝑦𝑥 𝐻 ≠ ∅))) → ∃𝑎𝐴𝑏𝐴 ¬ 𝑎𝑅𝑏)
8988exp45 438 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑅 Po 𝐴 ∧ ∀𝑠((𝑠𝐴𝑅 Or 𝑠) → ∃𝑎𝐴𝑟𝑠 (𝑟𝑅𝑎𝑟 = 𝑎))) → (𝐷 = ∅ → ((𝑤 We 𝐴𝑥 ∈ On) → (∀𝑦𝑥 𝐻 ≠ ∅ → ∃𝑎𝐴𝑏𝐴 ¬ 𝑎𝑅𝑏))))
9089com23 86 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑅 Po 𝐴 ∧ ∀𝑠((𝑠𝐴𝑅 Or 𝑠) → ∃𝑎𝐴𝑟𝑠 (𝑟𝑅𝑎𝑟 = 𝑎))) → ((𝑤 We 𝐴𝑥 ∈ On) → (𝐷 = ∅ → (∀𝑦𝑥 𝐻 ≠ ∅ → ∃𝑎𝐴𝑏𝐴 ¬ 𝑎𝑅𝑏))))
9190expdimp 452 . . . . . . . . . . 11 (((𝑅 Po 𝐴 ∧ ∀𝑠((𝑠𝐴𝑅 Or 𝑠) → ∃𝑎𝐴𝑟𝑠 (𝑟𝑅𝑎𝑟 = 𝑎))) ∧ 𝑤 We 𝐴) → (𝑥 ∈ On → (𝐷 = ∅ → (∀𝑦𝑥 𝐻 ≠ ∅ → ∃𝑎𝐴𝑏𝐴 ¬ 𝑎𝑅𝑏))))
9291imp4a 422 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 Po 𝐴 ∧ ∀𝑠((𝑠𝐴𝑅 Or 𝑠) → ∃𝑎𝐴𝑟𝑠 (𝑟𝑅𝑎𝑟 = 𝑎))) ∧ 𝑤 We 𝐴) → (𝑥 ∈ On → ((𝐷 = ∅ ∧ ∀𝑦𝑥 𝐻 ≠ ∅) → ∃𝑎𝐴𝑏𝐴 ¬ 𝑎𝑅𝑏)))
9392com3l 89 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ On → ((𝐷 = ∅ ∧ ∀𝑦𝑥 𝐻 ≠ ∅) → (((𝑅 Po 𝐴 ∧ ∀𝑠((𝑠𝐴𝑅 Or 𝑠) → ∃𝑎𝐴𝑟𝑠 (𝑟𝑅𝑎𝑟 = 𝑎))) ∧ 𝑤 We 𝐴) → ∃𝑎𝐴𝑏𝐴 ¬ 𝑎𝑅𝑏)))
9493rexlimiv 3145 . . . . . . . 8 (∃𝑥 ∈ On (𝐷 = ∅ ∧ ∀𝑦𝑥 𝐻 ≠ ∅) → (((𝑅 Po 𝐴 ∧ ∀𝑠((𝑠𝐴𝑅 Or 𝑠) → ∃𝑎𝐴𝑟𝑠 (𝑟𝑅𝑎𝑟 = 𝑎))) ∧ 𝑤 We 𝐴) → ∃𝑎𝐴𝑏𝐴 ¬ 𝑎𝑅𝑏))
955, 17, 943syl 18 . . . . . . 7 ((𝑅 Po 𝐴𝑤 We 𝐴) → (((𝑅 Po 𝐴 ∧ ∀𝑠((𝑠𝐴𝑅 Or 𝑠) → ∃𝑎𝐴𝑟𝑠 (𝑟𝑅𝑎𝑟 = 𝑎))) ∧ 𝑤 We 𝐴) → ∃𝑎𝐴𝑏𝐴 ¬ 𝑎𝑅𝑏))
9695adantlr 715 . . . . . 6 (((𝑅 Po 𝐴 ∧ ∀𝑠((𝑠𝐴𝑅 Or 𝑠) → ∃𝑎𝐴𝑟𝑠 (𝑟𝑅𝑎𝑟 = 𝑎))) ∧ 𝑤 We 𝐴) → (((𝑅 Po 𝐴 ∧ ∀𝑠((𝑠𝐴𝑅 Or 𝑠) → ∃𝑎𝐴𝑟𝑠 (𝑟𝑅𝑎𝑟 = 𝑎))) ∧ 𝑤 We 𝐴) → ∃𝑎𝐴𝑏𝐴 ¬ 𝑎𝑅𝑏))
9796pm2.43i 52 . . . . 5 (((𝑅 Po 𝐴 ∧ ∀𝑠((𝑠𝐴𝑅 Or 𝑠) → ∃𝑎𝐴𝑟𝑠 (𝑟𝑅𝑎𝑟 = 𝑎))) ∧ 𝑤 We 𝐴) → ∃𝑎𝐴𝑏𝐴 ¬ 𝑎𝑅𝑏)
9897expcom 413 . . . 4 (𝑤 We 𝐴 → ((𝑅 Po 𝐴 ∧ ∀𝑠((𝑠𝐴𝑅 Or 𝑠) → ∃𝑎𝐴𝑟𝑠 (𝑟𝑅𝑎𝑟 = 𝑎))) → ∃𝑎𝐴𝑏𝐴 ¬ 𝑎𝑅𝑏))
9998exlimiv 1927 . . 3 (∃𝑤 𝑤 We 𝐴 → ((𝑅 Po 𝐴 ∧ ∀𝑠((𝑠𝐴𝑅 Or 𝑠) → ∃𝑎𝐴𝑟𝑠 (𝑟𝑅𝑎𝑟 = 𝑎))) → ∃𝑎𝐴𝑏𝐴 ¬ 𝑎𝑅𝑏))
1001, 99sylbi 217 . 2 (𝐴 ∈ dom card → ((𝑅 Po 𝐴 ∧ ∀𝑠((𝑠𝐴𝑅 Or 𝑠) → ∃𝑎𝐴𝑟𝑠 (𝑟𝑅𝑎𝑟 = 𝑎))) → ∃𝑎𝐴𝑏𝐴 ¬ 𝑎𝑅𝑏))
1011003impib 1115 1 ((𝐴 ∈ dom card ∧ 𝑅 Po 𝐴 ∧ ∀𝑠((𝑠𝐴𝑅 Or 𝑠) → ∃𝑎𝐴𝑟𝑠 (𝑟𝑅𝑎𝑟 = 𝑎))) → ∃𝑎𝐴𝑏𝐴 ¬ 𝑎𝑅𝑏)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395  wo 847  w3a 1086  wal 1534   = wceq 1536  wex 1775  wcel 2105  wne 2937  wral 3058  wrex 3067  {crab 3432  Vcvv 3477  wss 3962  c0 4338   class class class wbr 5147  cmpt 5230   Po wpo 5594   Or wor 5595   We wwe 5639  dom cdm 5688  ran crn 5689  cima 5691  Oncon0 6385  Fun wfun 6556   Fn wfn 6557  crio 7386  recscrecs 8408  cardccrd 9972
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-rep 5284  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-int 4951  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-se 5641  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-isom 6571  df-riota 7387  df-ov 7433  df-2nd 8013  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-en 8984  df-card 9976
This theorem is referenced by:  zorn2g  10540
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