Theorem zorn2lem7 10189

Description: Lemma for zorn2 10193. (Contributed by NM, 6-Apr-1997.) (Revised by Mario Carneiro, 9-May-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
zorn2lem.3	⊢ 𝐹 = recs((𝑓 ∈ V ↦ (℩𝑣 ∈ 𝐶 ∀𝑢 ∈ 𝐶 ¬ 𝑢𝑤𝑣)))
zorn2lem.4	⊢ 𝐶 = {𝑧 ∈ 𝐴 ∣ ∀𝑔 ∈ ran 𝑓 𝑔𝑅𝑧}
zorn2lem.5	⊢ 𝐷 = {𝑧 ∈ 𝐴 ∣ ∀𝑔 ∈ (𝐹 “ 𝑥)𝑔𝑅𝑧}
zorn2lem.7	⊢ 𝐻 = {𝑧 ∈ 𝐴 ∣ ∀𝑔 ∈ (𝐹 “ 𝑦)𝑔𝑅𝑧}

Assertion

Ref	Expression
zorn2lem7	⊢ ((𝐴 ∈ dom card ∧ 𝑅 Po 𝐴 ∧ ∀𝑠((𝑠 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑅 Or 𝑠) → ∃𝑎 ∈ 𝐴 ∀𝑟 ∈ 𝑠 (𝑟𝑅𝑎 ∨ 𝑟 = 𝑎))) → ∃𝑎 ∈ 𝐴 ∀𝑏 ∈ 𝐴 ¬ 𝑎𝑅𝑏)

Distinct variable groups:   𝑎,𝑏,𝑓,𝑔,𝑟,𝑠,𝑢,𝑣,𝑤,𝑥,𝑦,𝑧,𝐴   𝐷,𝑎,𝑏,𝑓,𝑢,𝑣,𝑦   𝐹,𝑎,𝑏,𝑓,𝑔,𝑟,𝑠,𝑢,𝑣,𝑥,𝑦,𝑧   𝑅,𝑎,𝑏,𝑓,𝑔,𝑟,𝑠,𝑢,𝑣,𝑤,𝑥,𝑦,𝑧   𝑣,𝐶   𝑥,𝐻,𝑢,𝑣,𝑓,𝑠,𝑟,𝑎,𝑏

Allowed substitution hints:   𝐶(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑢,𝑓,𝑔,𝑠,𝑟,𝑎,𝑏)   𝐷(𝑥,𝑧,𝑤,𝑔,𝑠,𝑟)   𝐹(𝑤)   𝐻(𝑦,𝑧,𝑤,𝑔)

Proof of Theorem zorn2lem7

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ween 9722	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ dom card ↔ ∃𝑤 𝑤 We 𝐴)
2		zorn2lem.3	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐹 = recs((𝑓 ∈ V ↦ (℩𝑣 ∈ 𝐶 ∀𝑢 ∈ 𝐶 ¬ 𝑢𝑤𝑣)))
3		zorn2lem.4	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐶 = {𝑧 ∈ 𝐴 ∣ ∀𝑔 ∈ ran 𝑓 𝑔𝑅𝑧}
4		zorn2lem.5	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐷 = {𝑧 ∈ 𝐴 ∣ ∀𝑔 ∈ (𝐹 “ 𝑥)𝑔𝑅𝑧}
5	2, 3, 4	zorn2lem4 10186	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 Po 𝐴 ∧ 𝑤 We 𝐴) → ∃𝑥 ∈ On 𝐷 = ∅)
6		imaeq2 5954	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝐹 “ 𝑥) = (𝐹 “ 𝑦))
7	6	raleqdv 3339	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (∀𝑔 ∈ (𝐹 “ 𝑥)𝑔𝑅𝑧 ↔ ∀𝑔 ∈ (𝐹 “ 𝑦)𝑔𝑅𝑧))
8	7	rabbidv 3404	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → {𝑧 ∈ 𝐴 ∣ ∀𝑔 ∈ (𝐹 “ 𝑥)𝑔𝑅𝑧} = {𝑧 ∈ 𝐴 ∣ ∀𝑔 ∈ (𝐹 “ 𝑦)𝑔𝑅𝑧})
9		zorn2lem.7	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐻 = {𝑧 ∈ 𝐴 ∣ ∀𝑔 ∈ (𝐹 “ 𝑦)𝑔𝑅𝑧}
10	8, 4, 9	3eqtr4g 2804	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → 𝐷 = 𝐻)
11	10	eqeq1d 2740	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝐷 = ∅ ↔ 𝐻 = ∅))
12	11	onminex 7629	. . . . . . . . 9 ⊢ (∃𝑥 ∈ On 𝐷 = ∅ → ∃𝑥 ∈ On (𝐷 = ∅ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 ¬ 𝐻 = ∅))
13		df-ne 2943	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐻 ≠ ∅ ↔ ¬ 𝐻 = ∅)
14	13	ralbii 3090	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∀𝑦 ∈ 𝑥 𝐻 ≠ ∅ ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑥 ¬ 𝐻 = ∅)
15	14	anbi2i 622	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐷 = ∅ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 𝐻 ≠ ∅) ↔ (𝐷 = ∅ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 ¬ 𝐻 = ∅))
16	15	rexbii 3177	. . . . . . . . 9 ⊢ (∃𝑥 ∈ On (𝐷 = ∅ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 𝐻 ≠ ∅) ↔ ∃𝑥 ∈ On (𝐷 = ∅ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 ¬ 𝐻 = ∅))
17	12, 16	sylibr 233	. . . . . . . 8 ⊢ (∃𝑥 ∈ On 𝐷 = ∅ → ∃𝑥 ∈ On (𝐷 = ∅ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 𝐻 ≠ ∅))
18	2, 3, 4, 9	zorn2lem5 10187	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑤 We 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ On) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 𝐻 ≠ ∅) → (𝐹 “ 𝑥) ⊆ 𝐴)
19	18	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑅 Po 𝐴 → (((𝑤 We 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ On) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 𝐻 ≠ ∅) → (𝐹 “ 𝑥) ⊆ 𝐴))
20	2, 3, 4, 9	zorn2lem6 10188	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑅 Po 𝐴 → (((𝑤 We 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ On) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 𝐻 ≠ ∅) → 𝑅 Or (𝐹 “ 𝑥)))
21	19, 20	jcad 512	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑅 Po 𝐴 → (((𝑤 We 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ On) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 𝐻 ≠ ∅) → ((𝐹 “ 𝑥) ⊆ 𝐴 ∧ 𝑅 Or (𝐹 “ 𝑥))))
22	2	tfr1 8199	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ 𝐹 Fn On
23		fnfun 6517	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝐹 Fn On → Fun 𝐹)
24		vex 3426	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ 𝑥 ∈ V
25	24	funimaex 6505	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (Fun 𝐹 → (𝐹 “ 𝑥) ∈ V)
26	22, 23, 25	mp2b 10	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝐹 “ 𝑥) ∈ V
27		sseq1 3942	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑠 = (𝐹 “ 𝑥) → (𝑠 ⊆ 𝐴 ↔ (𝐹 “ 𝑥) ⊆ 𝐴))
28		soeq2 5516	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑠 = (𝐹 “ 𝑥) → (𝑅 Or 𝑠 ↔ 𝑅 Or (𝐹 “ 𝑥)))
29	27, 28	anbi12d 630	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑠 = (𝐹 “ 𝑥) → ((𝑠 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑅 Or 𝑠) ↔ ((𝐹 “ 𝑥) ⊆ 𝐴 ∧ 𝑅 Or (𝐹 “ 𝑥))))
30		raleq 3333	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑠 = (𝐹 “ 𝑥) → (∀𝑟 ∈ 𝑠 (𝑟𝑅𝑎 ∨ 𝑟 = 𝑎) ↔ ∀𝑟 ∈ (𝐹 “ 𝑥)(𝑟𝑅𝑎 ∨ 𝑟 = 𝑎)))
31	30	rexbidv 3225	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑠 = (𝐹 “ 𝑥) → (∃𝑎 ∈ 𝐴 ∀𝑟 ∈ 𝑠 (𝑟𝑅𝑎 ∨ 𝑟 = 𝑎) ↔ ∃𝑎 ∈ 𝐴 ∀𝑟 ∈ (𝐹 “ 𝑥)(𝑟𝑅𝑎 ∨ 𝑟 = 𝑎)))
32	29, 31	imbi12d 344	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑠 = (𝐹 “ 𝑥) → (((𝑠 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑅 Or 𝑠) → ∃𝑎 ∈ 𝐴 ∀𝑟 ∈ 𝑠 (𝑟𝑅𝑎 ∨ 𝑟 = 𝑎)) ↔ (((𝐹 “ 𝑥) ⊆ 𝐴 ∧ 𝑅 Or (𝐹 “ 𝑥)) → ∃𝑎 ∈ 𝐴 ∀𝑟 ∈ (𝐹 “ 𝑥)(𝑟𝑅𝑎 ∨ 𝑟 = 𝑎))))
33	26, 32	spcv 3534	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (∀𝑠((𝑠 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑅 Or 𝑠) → ∃𝑎 ∈ 𝐴 ∀𝑟 ∈ 𝑠 (𝑟𝑅𝑎 ∨ 𝑟 = 𝑎)) → (((𝐹 “ 𝑥) ⊆ 𝐴 ∧ 𝑅 Or (𝐹 “ 𝑥)) → ∃𝑎 ∈ 𝐴 ∀𝑟 ∈ (𝐹 “ 𝑥)(𝑟𝑅𝑎 ∨ 𝑟 = 𝑎)))
34	21, 33	sylan9 507	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑅 Po 𝐴 ∧ ∀𝑠((𝑠 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑅 Or 𝑠) → ∃𝑎 ∈ 𝐴 ∀𝑟 ∈ 𝑠 (𝑟𝑅𝑎 ∨ 𝑟 = 𝑎))) → (((𝑤 We 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ On) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 𝐻 ≠ ∅) → ∃𝑎 ∈ 𝐴 ∀𝑟 ∈ (𝐹 “ 𝑥)(𝑟𝑅𝑎 ∨ 𝑟 = 𝑎)))
35	34	adantld 490	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑅 Po 𝐴 ∧ ∀𝑠((𝑠 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑅 Or 𝑠) → ∃𝑎 ∈ 𝐴 ∀𝑟 ∈ 𝑠 (𝑟𝑅𝑎 ∨ 𝑟 = 𝑎))) → ((𝐷 = ∅ ∧ ((𝑤 We 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ On) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 𝐻 ≠ ∅)) → ∃𝑎 ∈ 𝐴 ∀𝑟 ∈ (𝐹 “ 𝑥)(𝑟𝑅𝑎 ∨ 𝑟 = 𝑎)))
36	35	imp 406	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑅 Po 𝐴 ∧ ∀𝑠((𝑠 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑅 Or 𝑠) → ∃𝑎 ∈ 𝐴 ∀𝑟 ∈ 𝑠 (𝑟𝑅𝑎 ∨ 𝑟 = 𝑎))) ∧ (𝐷 = ∅ ∧ ((𝑤 We 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ On) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 𝐻 ≠ ∅))) → ∃𝑎 ∈ 𝐴 ∀𝑟 ∈ (𝐹 “ 𝑥)(𝑟𝑅𝑎 ∨ 𝑟 = 𝑎))
37		noel 4261	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ¬ 𝑏 ∈ ∅
38	18	sseld 3916	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ⊢ (((𝑤 We 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ On) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 𝐻 ≠ ∅) → (𝑟 ∈ (𝐹 “ 𝑥) → 𝑟 ∈ 𝐴))
39		3anass 1093	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 ⊢ ((𝑟 ∈ 𝐴 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) ↔ (𝑟 ∈ 𝐴 ∧ (𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ 𝐴)))
40		potr 5507	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 ⊢ ((𝑅 Po 𝐴 ∧ (𝑟 ∈ 𝐴 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ 𝐴)) → ((𝑟𝑅𝑎 ∧ 𝑎𝑅𝑏) → 𝑟𝑅𝑏))
41	39, 40	sylan2br 594	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 ⊢ ((𝑅 Po 𝐴 ∧ (𝑟 ∈ 𝐴 ∧ (𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ 𝐴))) → ((𝑟𝑅𝑎 ∧ 𝑎𝑅𝑏) → 𝑟𝑅𝑏))
42	41	expcomd 416	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 ⊢ ((𝑅 Po 𝐴 ∧ (𝑟 ∈ 𝐴 ∧ (𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ 𝐴))) → (𝑎𝑅𝑏 → (𝑟𝑅𝑎 → 𝑟𝑅𝑏)))
43	42	imp 406	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 ⊢ (((𝑅 Po 𝐴 ∧ (𝑟 ∈ 𝐴 ∧ (𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ 𝐴))) ∧ 𝑎𝑅𝑏) → (𝑟𝑅𝑎 → 𝑟𝑅𝑏))
44		breq1 5073	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 ⊢ (𝑟 = 𝑎 → (𝑟𝑅𝑏 ↔ 𝑎𝑅𝑏))
45	44	biimprcd 249	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 ⊢ (𝑎𝑅𝑏 → (𝑟 = 𝑎 → 𝑟𝑅𝑏))
46	45	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 ⊢ (((𝑅 Po 𝐴 ∧ (𝑟 ∈ 𝐴 ∧ (𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ 𝐴))) ∧ 𝑎𝑅𝑏) → (𝑟 = 𝑎 → 𝑟𝑅𝑏))
47	43, 46	jaod 855	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ⊢ (((𝑅 Po 𝐴 ∧ (𝑟 ∈ 𝐴 ∧ (𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ 𝐴))) ∧ 𝑎𝑅𝑏) → ((𝑟𝑅𝑎 ∨ 𝑟 = 𝑎) → 𝑟𝑅𝑏))
48	47	exp42 435	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ⊢ (𝑅 Po 𝐴 → (𝑟 ∈ 𝐴 → ((𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) → (𝑎𝑅𝑏 → ((𝑟𝑅𝑎 ∨ 𝑟 = 𝑎) → 𝑟𝑅𝑏)))))
49	38, 48	sylan9r 508	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ⊢ ((𝑅 Po 𝐴 ∧ ((𝑤 We 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ On) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 𝐻 ≠ ∅)) → (𝑟 ∈ (𝐹 “ 𝑥) → ((𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) → (𝑎𝑅𝑏 → ((𝑟𝑅𝑎 ∨ 𝑟 = 𝑎) → 𝑟𝑅𝑏)))))
50	49	com24 95	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ⊢ ((𝑅 Po 𝐴 ∧ ((𝑤 We 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ On) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 𝐻 ≠ ∅)) → (𝑎𝑅𝑏 → ((𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) → (𝑟 ∈ (𝐹 “ 𝑥) → ((𝑟𝑅𝑎 ∨ 𝑟 = 𝑎) → 𝑟𝑅𝑏)))))
51	50	com23 86	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ⊢ ((𝑅 Po 𝐴 ∧ ((𝑤 We 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ On) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 𝐻 ≠ ∅)) → ((𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) → (𝑎𝑅𝑏 → (𝑟 ∈ (𝐹 “ 𝑥) → ((𝑟𝑅𝑎 ∨ 𝑟 = 𝑎) → 𝑟𝑅𝑏)))))
52	51	imp31 417	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ ((((𝑅 Po 𝐴 ∧ ((𝑤 We 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ On) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 𝐻 ≠ ∅)) ∧ (𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑎𝑅𝑏) → (𝑟 ∈ (𝐹 “ 𝑥) → ((𝑟𝑅𝑎 ∨ 𝑟 = 𝑎) → 𝑟𝑅𝑏)))
53	52	a2d 29	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ ((((𝑅 Po 𝐴 ∧ ((𝑤 We 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ On) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 𝐻 ≠ ∅)) ∧ (𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑎𝑅𝑏) → ((𝑟 ∈ (𝐹 “ 𝑥) → (𝑟𝑅𝑎 ∨ 𝑟 = 𝑎)) → (𝑟 ∈ (𝐹 “ 𝑥) → 𝑟𝑅𝑏)))
54	53	ralimdv2 3101	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ ((((𝑅 Po 𝐴 ∧ ((𝑤 We 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ On) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 𝐻 ≠ ∅)) ∧ (𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑎𝑅𝑏) → (∀𝑟 ∈ (𝐹 “ 𝑥)(𝑟𝑅𝑎 ∨ 𝑟 = 𝑎) → ∀𝑟 ∈ (𝐹 “ 𝑥)𝑟𝑅𝑏))
55		breq1 5073	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ (𝑟 = 𝑔 → (𝑟𝑅𝑏 ↔ 𝑔𝑅𝑏))
56	55	cbvralvw 3372	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ (∀𝑟 ∈ (𝐹 “ 𝑥)𝑟𝑅𝑏 ↔ ∀𝑔 ∈ (𝐹 “ 𝑥)𝑔𝑅𝑏)
57		breq2 5074	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ⊢ (𝑧 = 𝑏 → (𝑔𝑅𝑧 ↔ 𝑔𝑅𝑏))
58	57	ralbidv 3120	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ⊢ (𝑧 = 𝑏 → (∀𝑔 ∈ (𝐹 “ 𝑥)𝑔𝑅𝑧 ↔ ∀𝑔 ∈ (𝐹 “ 𝑥)𝑔𝑅𝑏))
59	58	elrab 3617	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ⊢ (𝑏 ∈ {𝑧 ∈ 𝐴 ∣ ∀𝑔 ∈ (𝐹 “ 𝑥)𝑔𝑅𝑧} ↔ (𝑏 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑔 ∈ (𝐹 “ 𝑥)𝑔𝑅𝑏))
60	4	eqeq1i 2743	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ⊢ (𝐷 = ∅ ↔ {𝑧 ∈ 𝐴 ∣ ∀𝑔 ∈ (𝐹 “ 𝑥)𝑔𝑅𝑧} = ∅)
61		eleq2 2827	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ⊢ ({𝑧 ∈ 𝐴 ∣ ∀𝑔 ∈ (𝐹 “ 𝑥)𝑔𝑅𝑧} = ∅ → (𝑏 ∈ {𝑧 ∈ 𝐴 ∣ ∀𝑔 ∈ (𝐹 “ 𝑥)𝑔𝑅𝑧} ↔ 𝑏 ∈ ∅))
62	60, 61	sylbi 216	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ⊢ (𝐷 = ∅ → (𝑏 ∈ {𝑧 ∈ 𝐴 ∣ ∀𝑔 ∈ (𝐹 “ 𝑥)𝑔𝑅𝑧} ↔ 𝑏 ∈ ∅))
63	59, 62	bitr3id 284	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ⊢ (𝐷 = ∅ → ((𝑏 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑔 ∈ (𝐹 “ 𝑥)𝑔𝑅𝑏) ↔ 𝑏 ∈ ∅))
64	63	biimpd 228	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ (𝐷 = ∅ → ((𝑏 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑔 ∈ (𝐹 “ 𝑥)𝑔𝑅𝑏) → 𝑏 ∈ ∅))
65	64	expdimp 452	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ ((𝐷 = ∅ ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) → (∀𝑔 ∈ (𝐹 “ 𝑥)𝑔𝑅𝑏 → 𝑏 ∈ ∅))
66	56, 65	syl5bi 241	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ ((𝐷 = ∅ ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) → (∀𝑟 ∈ (𝐹 “ 𝑥)𝑟𝑅𝑏 → 𝑏 ∈ ∅))
67	54, 66	sylan9r 508	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ (((𝐷 = ∅ ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) ∧ (((𝑅 Po 𝐴 ∧ ((𝑤 We 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ On) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 𝐻 ≠ ∅)) ∧ (𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑎𝑅𝑏)) → (∀𝑟 ∈ (𝐹 “ 𝑥)(𝑟𝑅𝑎 ∨ 𝑟 = 𝑎) → 𝑏 ∈ ∅))
68	67	exp32 420	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ ((𝐷 = ∅ ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) → (((𝑅 Po 𝐴 ∧ ((𝑤 We 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ On) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 𝐻 ≠ ∅)) ∧ (𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ 𝐴)) → (𝑎𝑅𝑏 → (∀𝑟 ∈ (𝐹 “ 𝑥)(𝑟𝑅𝑎 ∨ 𝑟 = 𝑎) → 𝑏 ∈ ∅))))
69	68	com34 91	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ ((𝐷 = ∅ ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) → (((𝑅 Po 𝐴 ∧ ((𝑤 We 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ On) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 𝐻 ≠ ∅)) ∧ (𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ 𝐴)) → (∀𝑟 ∈ (𝐹 “ 𝑥)(𝑟𝑅𝑎 ∨ 𝑟 = 𝑎) → (𝑎𝑅𝑏 → 𝑏 ∈ ∅))))
70	69	imp31 417	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((((𝐷 = ∅ ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑅 Po 𝐴 ∧ ((𝑤 We 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ On) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 𝐻 ≠ ∅)) ∧ (𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ 𝐴))) ∧ ∀𝑟 ∈ (𝐹 “ 𝑥)(𝑟𝑅𝑎 ∨ 𝑟 = 𝑎)) → (𝑎𝑅𝑏 → 𝑏 ∈ ∅))
71	37, 70	mtoi 198	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((((𝐷 = ∅ ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑅 Po 𝐴 ∧ ((𝑤 We 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ On) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 𝐻 ≠ ∅)) ∧ (𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ 𝐴))) ∧ ∀𝑟 ∈ (𝐹 “ 𝑥)(𝑟𝑅𝑎 ∨ 𝑟 = 𝑎)) → ¬ 𝑎𝑅𝑏)
72	71	exp42 435	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((𝐷 = ∅ ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) → ((𝑅 Po 𝐴 ∧ ((𝑤 We 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ On) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 𝐻 ≠ ∅)) → ((𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) → (∀𝑟 ∈ (𝐹 “ 𝑥)(𝑟𝑅𝑎 ∨ 𝑟 = 𝑎) → ¬ 𝑎𝑅𝑏))))
73	72	exp4a 431	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((𝐷 = ∅ ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) → ((𝑅 Po 𝐴 ∧ ((𝑤 We 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ On) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 𝐻 ≠ ∅)) → (𝑎 ∈ 𝐴 → (𝑏 ∈ 𝐴 → (∀𝑟 ∈ (𝐹 “ 𝑥)(𝑟𝑅𝑎 ∨ 𝑟 = 𝑎) → ¬ 𝑎𝑅𝑏)))))
74	73	com34 91	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝐷 = ∅ ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) → ((𝑅 Po 𝐴 ∧ ((𝑤 We 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ On) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 𝐻 ≠ ∅)) → (𝑏 ∈ 𝐴 → (𝑎 ∈ 𝐴 → (∀𝑟 ∈ (𝐹 “ 𝑥)(𝑟𝑅𝑎 ∨ 𝑟 = 𝑎) → ¬ 𝑎𝑅𝑏)))))
75	74	ex 412	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝐷 = ∅ → (𝑏 ∈ 𝐴 → ((𝑅 Po 𝐴 ∧ ((𝑤 We 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ On) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 𝐻 ≠ ∅)) → (𝑏 ∈ 𝐴 → (𝑎 ∈ 𝐴 → (∀𝑟 ∈ (𝐹 “ 𝑥)(𝑟𝑅𝑎 ∨ 𝑟 = 𝑎) → ¬ 𝑎𝑅𝑏))))))
76	75	com4r 94	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑏 ∈ 𝐴 → (𝐷 = ∅ → (𝑏 ∈ 𝐴 → ((𝑅 Po 𝐴 ∧ ((𝑤 We 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ On) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 𝐻 ≠ ∅)) → (𝑎 ∈ 𝐴 → (∀𝑟 ∈ (𝐹 “ 𝑥)(𝑟𝑅𝑎 ∨ 𝑟 = 𝑎) → ¬ 𝑎𝑅𝑏))))))
77	76	pm2.43a 54	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑏 ∈ 𝐴 → (𝐷 = ∅ → ((𝑅 Po 𝐴 ∧ ((𝑤 We 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ On) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 𝐻 ≠ ∅)) → (𝑎 ∈ 𝐴 → (∀𝑟 ∈ (𝐹 “ 𝑥)(𝑟𝑅𝑎 ∨ 𝑟 = 𝑎) → ¬ 𝑎𝑅𝑏)))))
78	77	impd 410	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑏 ∈ 𝐴 → ((𝐷 = ∅ ∧ (𝑅 Po 𝐴 ∧ ((𝑤 We 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ On) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 𝐻 ≠ ∅))) → (𝑎 ∈ 𝐴 → (∀𝑟 ∈ (𝐹 “ 𝑥)(𝑟𝑅𝑎 ∨ 𝑟 = 𝑎) → ¬ 𝑎𝑅𝑏))))
79	78	com4l 92	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝐷 = ∅ ∧ (𝑅 Po 𝐴 ∧ ((𝑤 We 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ On) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 𝐻 ≠ ∅))) → (𝑎 ∈ 𝐴 → (∀𝑟 ∈ (𝐹 “ 𝑥)(𝑟𝑅𝑎 ∨ 𝑟 = 𝑎) → (𝑏 ∈ 𝐴 → ¬ 𝑎𝑅𝑏))))
80	79	impd 410	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝐷 = ∅ ∧ (𝑅 Po 𝐴 ∧ ((𝑤 We 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ On) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 𝐻 ≠ ∅))) → ((𝑎 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑟 ∈ (𝐹 “ 𝑥)(𝑟𝑅𝑎 ∨ 𝑟 = 𝑎)) → (𝑏 ∈ 𝐴 → ¬ 𝑎𝑅𝑏)))
81	80	ralrimdv 3111	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝐷 = ∅ ∧ (𝑅 Po 𝐴 ∧ ((𝑤 We 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ On) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 𝐻 ≠ ∅))) → ((𝑎 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑟 ∈ (𝐹 “ 𝑥)(𝑟𝑅𝑎 ∨ 𝑟 = 𝑎)) → ∀𝑏 ∈ 𝐴 ¬ 𝑎𝑅𝑏))
82	81	expd 415	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝐷 = ∅ ∧ (𝑅 Po 𝐴 ∧ ((𝑤 We 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ On) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 𝐻 ≠ ∅))) → (𝑎 ∈ 𝐴 → (∀𝑟 ∈ (𝐹 “ 𝑥)(𝑟𝑅𝑎 ∨ 𝑟 = 𝑎) → ∀𝑏 ∈ 𝐴 ¬ 𝑎𝑅𝑏)))
83	82	reximdvai 3199	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝐷 = ∅ ∧ (𝑅 Po 𝐴 ∧ ((𝑤 We 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ On) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 𝐻 ≠ ∅))) → (∃𝑎 ∈ 𝐴 ∀𝑟 ∈ (𝐹 “ 𝑥)(𝑟𝑅𝑎 ∨ 𝑟 = 𝑎) → ∃𝑎 ∈ 𝐴 ∀𝑏 ∈ 𝐴 ¬ 𝑎𝑅𝑏))
84	83	exp32 420	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝐷 = ∅ → (𝑅 Po 𝐴 → (((𝑤 We 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ On) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 𝐻 ≠ ∅) → (∃𝑎 ∈ 𝐴 ∀𝑟 ∈ (𝐹 “ 𝑥)(𝑟𝑅𝑎 ∨ 𝑟 = 𝑎) → ∃𝑎 ∈ 𝐴 ∀𝑏 ∈ 𝐴 ¬ 𝑎𝑅𝑏))))
85	84	com12 32	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑅 Po 𝐴 → (𝐷 = ∅ → (((𝑤 We 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ On) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 𝐻 ≠ ∅) → (∃𝑎 ∈ 𝐴 ∀𝑟 ∈ (𝐹 “ 𝑥)(𝑟𝑅𝑎 ∨ 𝑟 = 𝑎) → ∃𝑎 ∈ 𝐴 ∀𝑏 ∈ 𝐴 ¬ 𝑎𝑅𝑏))))
86	85	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑅 Po 𝐴 ∧ ∀𝑠((𝑠 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑅 Or 𝑠) → ∃𝑎 ∈ 𝐴 ∀𝑟 ∈ 𝑠 (𝑟𝑅𝑎 ∨ 𝑟 = 𝑎))) → (𝐷 = ∅ → (((𝑤 We 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ On) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 𝐻 ≠ ∅) → (∃𝑎 ∈ 𝐴 ∀𝑟 ∈ (𝐹 “ 𝑥)(𝑟𝑅𝑎 ∨ 𝑟 = 𝑎) → ∃𝑎 ∈ 𝐴 ∀𝑏 ∈ 𝐴 ¬ 𝑎𝑅𝑏))))
87	86	imp32 418	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑅 Po 𝐴 ∧ ∀𝑠((𝑠 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑅 Or 𝑠) → ∃𝑎 ∈ 𝐴 ∀𝑟 ∈ 𝑠 (𝑟𝑅𝑎 ∨ 𝑟 = 𝑎))) ∧ (𝐷 = ∅ ∧ ((𝑤 We 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ On) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 𝐻 ≠ ∅))) → (∃𝑎 ∈ 𝐴 ∀𝑟 ∈ (𝐹 “ 𝑥)(𝑟𝑅𝑎 ∨ 𝑟 = 𝑎) → ∃𝑎 ∈ 𝐴 ∀𝑏 ∈ 𝐴 ¬ 𝑎𝑅𝑏))
88	36, 87	mpd 15	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑅 Po 𝐴 ∧ ∀𝑠((𝑠 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑅 Or 𝑠) → ∃𝑎 ∈ 𝐴 ∀𝑟 ∈ 𝑠 (𝑟𝑅𝑎 ∨ 𝑟 = 𝑎))) ∧ (𝐷 = ∅ ∧ ((𝑤 We 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ On) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 𝐻 ≠ ∅))) → ∃𝑎 ∈ 𝐴 ∀𝑏 ∈ 𝐴 ¬ 𝑎𝑅𝑏)
89	88	exp45 438	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑅 Po 𝐴 ∧ ∀𝑠((𝑠 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑅 Or 𝑠) → ∃𝑎 ∈ 𝐴 ∀𝑟 ∈ 𝑠 (𝑟𝑅𝑎 ∨ 𝑟 = 𝑎))) → (𝐷 = ∅ → ((𝑤 We 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ On) → (∀𝑦 ∈ 𝑥 𝐻 ≠ ∅ → ∃𝑎 ∈ 𝐴 ∀𝑏 ∈ 𝐴 ¬ 𝑎𝑅𝑏))))
90	89	com23 86	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑅 Po 𝐴 ∧ ∀𝑠((𝑠 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑅 Or 𝑠) → ∃𝑎 ∈ 𝐴 ∀𝑟 ∈ 𝑠 (𝑟𝑅𝑎 ∨ 𝑟 = 𝑎))) → ((𝑤 We 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ On) → (𝐷 = ∅ → (∀𝑦 ∈ 𝑥 𝐻 ≠ ∅ → ∃𝑎 ∈ 𝐴 ∀𝑏 ∈ 𝐴 ¬ 𝑎𝑅𝑏))))
91	90	expdimp 452	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑅 Po 𝐴 ∧ ∀𝑠((𝑠 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑅 Or 𝑠) → ∃𝑎 ∈ 𝐴 ∀𝑟 ∈ 𝑠 (𝑟𝑅𝑎 ∨ 𝑟 = 𝑎))) ∧ 𝑤 We 𝐴) → (𝑥 ∈ On → (𝐷 = ∅ → (∀𝑦 ∈ 𝑥 𝐻 ≠ ∅ → ∃𝑎 ∈ 𝐴 ∀𝑏 ∈ 𝐴 ¬ 𝑎𝑅𝑏))))
92	91	imp4a 422	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 Po 𝐴 ∧ ∀𝑠((𝑠 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑅 Or 𝑠) → ∃𝑎 ∈ 𝐴 ∀𝑟 ∈ 𝑠 (𝑟𝑅𝑎 ∨ 𝑟 = 𝑎))) ∧ 𝑤 We 𝐴) → (𝑥 ∈ On → ((𝐷 = ∅ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 𝐻 ≠ ∅) → ∃𝑎 ∈ 𝐴 ∀𝑏 ∈ 𝐴 ¬ 𝑎𝑅𝑏)))
93	92	com3l 89	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ On → ((𝐷 = ∅ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 𝐻 ≠ ∅) → (((𝑅 Po 𝐴 ∧ ∀𝑠((𝑠 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑅 Or 𝑠) → ∃𝑎 ∈ 𝐴 ∀𝑟 ∈ 𝑠 (𝑟𝑅𝑎 ∨ 𝑟 = 𝑎))) ∧ 𝑤 We 𝐴) → ∃𝑎 ∈ 𝐴 ∀𝑏 ∈ 𝐴 ¬ 𝑎𝑅𝑏)))
94	93	rexlimiv 3208	. . . . . . . 8 ⊢ (∃𝑥 ∈ On (𝐷 = ∅ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 𝐻 ≠ ∅) → (((𝑅 Po 𝐴 ∧ ∀𝑠((𝑠 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑅 Or 𝑠) → ∃𝑎 ∈ 𝐴 ∀𝑟 ∈ 𝑠 (𝑟𝑅𝑎 ∨ 𝑟 = 𝑎))) ∧ 𝑤 We 𝐴) → ∃𝑎 ∈ 𝐴 ∀𝑏 ∈ 𝐴 ¬ 𝑎𝑅𝑏))
95	5, 17, 94	3syl 18	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 Po 𝐴 ∧ 𝑤 We 𝐴) → (((𝑅 Po 𝐴 ∧ ∀𝑠((𝑠 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑅 Or 𝑠) → ∃𝑎 ∈ 𝐴 ∀𝑟 ∈ 𝑠 (𝑟𝑅𝑎 ∨ 𝑟 = 𝑎))) ∧ 𝑤 We 𝐴) → ∃𝑎 ∈ 𝐴 ∀𝑏 ∈ 𝐴 ¬ 𝑎𝑅𝑏))
96	95	adantlr 711	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 Po 𝐴 ∧ ∀𝑠((𝑠 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑅 Or 𝑠) → ∃𝑎 ∈ 𝐴 ∀𝑟 ∈ 𝑠 (𝑟𝑅𝑎 ∨ 𝑟 = 𝑎))) ∧ 𝑤 We 𝐴) → (((𝑅 Po 𝐴 ∧ ∀𝑠((𝑠 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑅 Or 𝑠) → ∃𝑎 ∈ 𝐴 ∀𝑟 ∈ 𝑠 (𝑟𝑅𝑎 ∨ 𝑟 = 𝑎))) ∧ 𝑤 We 𝐴) → ∃𝑎 ∈ 𝐴 ∀𝑏 ∈ 𝐴 ¬ 𝑎𝑅𝑏))
97	96	pm2.43i 52	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 Po 𝐴 ∧ ∀𝑠((𝑠 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑅 Or 𝑠) → ∃𝑎 ∈ 𝐴 ∀𝑟 ∈ 𝑠 (𝑟𝑅𝑎 ∨ 𝑟 = 𝑎))) ∧ 𝑤 We 𝐴) → ∃𝑎 ∈ 𝐴 ∀𝑏 ∈ 𝐴 ¬ 𝑎𝑅𝑏)
98	97	expcom 413	. . . 4 ⊢ (𝑤 We 𝐴 → ((𝑅 Po 𝐴 ∧ ∀𝑠((𝑠 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑅 Or 𝑠) → ∃𝑎 ∈ 𝐴 ∀𝑟 ∈ 𝑠 (𝑟𝑅𝑎 ∨ 𝑟 = 𝑎))) → ∃𝑎 ∈ 𝐴 ∀𝑏 ∈ 𝐴 ¬ 𝑎𝑅𝑏))
99	98	exlimiv 1934	. . 3 ⊢ (∃𝑤 𝑤 We 𝐴 → ((𝑅 Po 𝐴 ∧ ∀𝑠((𝑠 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑅 Or 𝑠) → ∃𝑎 ∈ 𝐴 ∀𝑟 ∈ 𝑠 (𝑟𝑅𝑎 ∨ 𝑟 = 𝑎))) → ∃𝑎 ∈ 𝐴 ∀𝑏 ∈ 𝐴 ¬ 𝑎𝑅𝑏))
100	1, 99	sylbi 216	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ dom card → ((𝑅 Po 𝐴 ∧ ∀𝑠((𝑠 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑅 Or 𝑠) → ∃𝑎 ∈ 𝐴 ∀𝑟 ∈ 𝑠 (𝑟𝑅𝑎 ∨ 𝑟 = 𝑎))) → ∃𝑎 ∈ 𝐴 ∀𝑏 ∈ 𝐴 ¬ 𝑎𝑅𝑏))
101	100	3impib 1114	1 ⊢ ((𝐴 ∈ dom card ∧ 𝑅 Po 𝐴 ∧ ∀𝑠((𝑠 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑅 Or 𝑠) → ∃𝑎 ∈ 𝐴 ∀𝑟 ∈ 𝑠 (𝑟𝑅𝑎 ∨ 𝑟 = 𝑎))) → ∃𝑎 ∈ 𝐴 ∀𝑏 ∈ 𝐴 ¬ 𝑎𝑅𝑏)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∨ wo 843   ∧ w3a 1085  ∀wal 1537   = wceq 1539  ∃wex 1783   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2942  ∀wral 3063  ∃wrex 3064  {crab 3067  Vcvv 3422   ⊆ wss 3883  ∅c0 4253   class class class wbr 5070   ↦ cmpt 5153   Po wpo 5492   Or wor 5493   We wwe 5534  dom cdm 5580  ran crn 5581   “ cima 5583  Oncon0 6251  Fun wfun 6412   Fn wfn 6413  ℩crio 7211  recscrecs 8172  cardccrd 9624

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-int 4877  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-se 5536  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-isom 6427  df-riota 7212  df-ov 7258  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-en 8692  df-card 9628

This theorem is referenced by:  zorn2g  10190