MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  zorn2lem7 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem zorn2lem7 10499
Description: Lemma for zorn2 10503. (Contributed by NM, 6-Apr-1997.) (Revised by Mario Carneiro, 9-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
zorn2lem.3 𝐹 = recs((𝑓 ∈ V ↦ (𝑣𝐶𝑢𝐶 ¬ 𝑢𝑤𝑣)))
zorn2lem.4 𝐶 = {𝑧𝐴 ∣ ∀𝑔 ∈ ran 𝑓 𝑔𝑅𝑧}
zorn2lem.5 𝐷 = {𝑧𝐴 ∣ ∀𝑔 ∈ (𝐹𝑥)𝑔𝑅𝑧}
zorn2lem.7 𝐻 = {𝑧𝐴 ∣ ∀𝑔 ∈ (𝐹𝑦)𝑔𝑅𝑧}
Assertion
Ref Expression
zorn2lem7 ((𝐴 ∈ dom card ∧ 𝑅 Po 𝐴 ∧ ∀𝑠((𝑠𝐴𝑅 Or 𝑠) → ∃𝑎𝐴𝑟𝑠 (𝑟𝑅𝑎𝑟 = 𝑎))) → ∃𝑎𝐴𝑏𝐴 ¬ 𝑎𝑅𝑏)
Distinct variable groups:   𝑎,𝑏,𝑓,𝑔,𝑟,𝑠,𝑢,𝑣,𝑤,𝑥,𝑦,𝑧,𝐴   𝐷,𝑎,𝑏,𝑓,𝑢,𝑣,𝑦   𝐹,𝑎,𝑏,𝑓,𝑔,𝑟,𝑠,𝑢,𝑣,𝑥,𝑦,𝑧   𝑅,𝑎,𝑏,𝑓,𝑔,𝑟,𝑠,𝑢,𝑣,𝑤,𝑥,𝑦,𝑧   𝑣,𝐶   𝑥,𝐻,𝑢,𝑣,𝑓,𝑠,𝑟,𝑎,𝑏
Allowed substitution hints:   𝐶(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑢,𝑓,𝑔,𝑠,𝑟,𝑎,𝑏)   𝐷(𝑥,𝑧,𝑤,𝑔,𝑠,𝑟)   𝐹(𝑤)   𝐻(𝑦,𝑧,𝑤,𝑔)

Proof of Theorem zorn2lem7
StepHypRef Expression
1 ween 10032 . . 3 (𝐴 ∈ dom card ↔ ∃𝑤 𝑤 We 𝐴)
2 zorn2lem.3 . . . . . . . . 9 𝐹 = recs((𝑓 ∈ V ↦ (𝑣𝐶𝑢𝐶 ¬ 𝑢𝑤𝑣)))
3 zorn2lem.4 . . . . . . . . 9 𝐶 = {𝑧𝐴 ∣ ∀𝑔 ∈ ran 𝑓 𝑔𝑅𝑧}
4 zorn2lem.5 . . . . . . . . 9 𝐷 = {𝑧𝐴 ∣ ∀𝑔 ∈ (𝐹𝑥)𝑔𝑅𝑧}
52, 3, 4zorn2lem4 10496 . . . . . . . 8 ((𝑅 Po 𝐴𝑤 We 𝐴) → ∃𝑥 ∈ On 𝐷 = ∅)
6 imaeq2 6055 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = 𝑦 → (𝐹𝑥) = (𝐹𝑦))
76raleqdv 3325 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = 𝑦 → (∀𝑔 ∈ (𝐹𝑥)𝑔𝑅𝑧 ↔ ∀𝑔 ∈ (𝐹𝑦)𝑔𝑅𝑧))
87rabbidv 3440 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 𝑦 → {𝑧𝐴 ∣ ∀𝑔 ∈ (𝐹𝑥)𝑔𝑅𝑧} = {𝑧𝐴 ∣ ∀𝑔 ∈ (𝐹𝑦)𝑔𝑅𝑧})
9 zorn2lem.7 . . . . . . . . . . . 12 𝐻 = {𝑧𝐴 ∣ ∀𝑔 ∈ (𝐹𝑦)𝑔𝑅𝑧}
108, 4, 93eqtr4g 2797 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑦𝐷 = 𝐻)
1110eqeq1d 2734 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑦 → (𝐷 = ∅ ↔ 𝐻 = ∅))
1211onminex 7792 . . . . . . . . 9 (∃𝑥 ∈ On 𝐷 = ∅ → ∃𝑥 ∈ On (𝐷 = ∅ ∧ ∀𝑦𝑥 ¬ 𝐻 = ∅))
13 df-ne 2941 . . . . . . . . . . . 12 (𝐻 ≠ ∅ ↔ ¬ 𝐻 = ∅)
1413ralbii 3093 . . . . . . . . . . 11 (∀𝑦𝑥 𝐻 ≠ ∅ ↔ ∀𝑦𝑥 ¬ 𝐻 = ∅)
1514anbi2i 623 . . . . . . . . . 10 ((𝐷 = ∅ ∧ ∀𝑦𝑥 𝐻 ≠ ∅) ↔ (𝐷 = ∅ ∧ ∀𝑦𝑥 ¬ 𝐻 = ∅))
1615rexbii 3094 . . . . . . . . 9 (∃𝑥 ∈ On (𝐷 = ∅ ∧ ∀𝑦𝑥 𝐻 ≠ ∅) ↔ ∃𝑥 ∈ On (𝐷 = ∅ ∧ ∀𝑦𝑥 ¬ 𝐻 = ∅))
1712, 16sylibr 233 . . . . . . . 8 (∃𝑥 ∈ On 𝐷 = ∅ → ∃𝑥 ∈ On (𝐷 = ∅ ∧ ∀𝑦𝑥 𝐻 ≠ ∅))
182, 3, 4, 9zorn2lem5 10497 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑤 We 𝐴𝑥 ∈ On) ∧ ∀𝑦𝑥 𝐻 ≠ ∅) → (𝐹𝑥) ⊆ 𝐴)
1918a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑅 Po 𝐴 → (((𝑤 We 𝐴𝑥 ∈ On) ∧ ∀𝑦𝑥 𝐻 ≠ ∅) → (𝐹𝑥) ⊆ 𝐴))
202, 3, 4, 9zorn2lem6 10498 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑅 Po 𝐴 → (((𝑤 We 𝐴𝑥 ∈ On) ∧ ∀𝑦𝑥 𝐻 ≠ ∅) → 𝑅 Or (𝐹𝑥)))
2119, 20jcad 513 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑅 Po 𝐴 → (((𝑤 We 𝐴𝑥 ∈ On) ∧ ∀𝑦𝑥 𝐻 ≠ ∅) → ((𝐹𝑥) ⊆ 𝐴𝑅 Or (𝐹𝑥))))
222tfr1 8399 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝐹 Fn On
23 fnfun 6649 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝐹 Fn On → Fun 𝐹)
24 vex 3478 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 𝑥 ∈ V
2524funimaex 6636 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (Fun 𝐹 → (𝐹𝑥) ∈ V)
2622, 23, 25mp2b 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝐹𝑥) ∈ V
27 sseq1 4007 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑠 = (𝐹𝑥) → (𝑠𝐴 ↔ (𝐹𝑥) ⊆ 𝐴))
28 soeq2 5610 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑠 = (𝐹𝑥) → (𝑅 Or 𝑠𝑅 Or (𝐹𝑥)))
2927, 28anbi12d 631 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑠 = (𝐹𝑥) → ((𝑠𝐴𝑅 Or 𝑠) ↔ ((𝐹𝑥) ⊆ 𝐴𝑅 Or (𝐹𝑥))))
30 raleq 3322 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑠 = (𝐹𝑥) → (∀𝑟𝑠 (𝑟𝑅𝑎𝑟 = 𝑎) ↔ ∀𝑟 ∈ (𝐹𝑥)(𝑟𝑅𝑎𝑟 = 𝑎)))
3130rexbidv 3178 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑠 = (𝐹𝑥) → (∃𝑎𝐴𝑟𝑠 (𝑟𝑅𝑎𝑟 = 𝑎) ↔ ∃𝑎𝐴𝑟 ∈ (𝐹𝑥)(𝑟𝑅𝑎𝑟 = 𝑎)))
3229, 31imbi12d 344 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑠 = (𝐹𝑥) → (((𝑠𝐴𝑅 Or 𝑠) → ∃𝑎𝐴𝑟𝑠 (𝑟𝑅𝑎𝑟 = 𝑎)) ↔ (((𝐹𝑥) ⊆ 𝐴𝑅 Or (𝐹𝑥)) → ∃𝑎𝐴𝑟 ∈ (𝐹𝑥)(𝑟𝑅𝑎𝑟 = 𝑎))))
3326, 32spcv 3595 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (∀𝑠((𝑠𝐴𝑅 Or 𝑠) → ∃𝑎𝐴𝑟𝑠 (𝑟𝑅𝑎𝑟 = 𝑎)) → (((𝐹𝑥) ⊆ 𝐴𝑅 Or (𝐹𝑥)) → ∃𝑎𝐴𝑟 ∈ (𝐹𝑥)(𝑟𝑅𝑎𝑟 = 𝑎)))
3421, 33sylan9 508 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑅 Po 𝐴 ∧ ∀𝑠((𝑠𝐴𝑅 Or 𝑠) → ∃𝑎𝐴𝑟𝑠 (𝑟𝑅𝑎𝑟 = 𝑎))) → (((𝑤 We 𝐴𝑥 ∈ On) ∧ ∀𝑦𝑥 𝐻 ≠ ∅) → ∃𝑎𝐴𝑟 ∈ (𝐹𝑥)(𝑟𝑅𝑎𝑟 = 𝑎)))
3534adantld 491 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑅 Po 𝐴 ∧ ∀𝑠((𝑠𝐴𝑅 Or 𝑠) → ∃𝑎𝐴𝑟𝑠 (𝑟𝑅𝑎𝑟 = 𝑎))) → ((𝐷 = ∅ ∧ ((𝑤 We 𝐴𝑥 ∈ On) ∧ ∀𝑦𝑥 𝐻 ≠ ∅)) → ∃𝑎𝐴𝑟 ∈ (𝐹𝑥)(𝑟𝑅𝑎𝑟 = 𝑎)))
3635imp 407 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑅 Po 𝐴 ∧ ∀𝑠((𝑠𝐴𝑅 Or 𝑠) → ∃𝑎𝐴𝑟𝑠 (𝑟𝑅𝑎𝑟 = 𝑎))) ∧ (𝐷 = ∅ ∧ ((𝑤 We 𝐴𝑥 ∈ On) ∧ ∀𝑦𝑥 𝐻 ≠ ∅))) → ∃𝑎𝐴𝑟 ∈ (𝐹𝑥)(𝑟𝑅𝑎𝑟 = 𝑎))
37 noel 4330 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ¬ 𝑏 ∈ ∅
3818sseld 3981 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 (((𝑤 We 𝐴𝑥 ∈ On) ∧ ∀𝑦𝑥 𝐻 ≠ ∅) → (𝑟 ∈ (𝐹𝑥) → 𝑟𝐴))
39 3anass 1095 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 ((𝑟𝐴𝑎𝐴𝑏𝐴) ↔ (𝑟𝐴 ∧ (𝑎𝐴𝑏𝐴)))
40 potr 5601 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 ((𝑅 Po 𝐴 ∧ (𝑟𝐴𝑎𝐴𝑏𝐴)) → ((𝑟𝑅𝑎𝑎𝑅𝑏) → 𝑟𝑅𝑏))
4139, 40sylan2br 595 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 ((𝑅 Po 𝐴 ∧ (𝑟𝐴 ∧ (𝑎𝐴𝑏𝐴))) → ((𝑟𝑅𝑎𝑎𝑅𝑏) → 𝑟𝑅𝑏))
4241expcomd 417 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 ((𝑅 Po 𝐴 ∧ (𝑟𝐴 ∧ (𝑎𝐴𝑏𝐴))) → (𝑎𝑅𝑏 → (𝑟𝑅𝑎𝑟𝑅𝑏)))
4342imp 407 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 (((𝑅 Po 𝐴 ∧ (𝑟𝐴 ∧ (𝑎𝐴𝑏𝐴))) ∧ 𝑎𝑅𝑏) → (𝑟𝑅𝑎𝑟𝑅𝑏))
44 breq1 5151 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 (𝑟 = 𝑎 → (𝑟𝑅𝑏𝑎𝑅𝑏))
4544biimprcd 249 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 (𝑎𝑅𝑏 → (𝑟 = 𝑎𝑟𝑅𝑏))
4645adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 (((𝑅 Po 𝐴 ∧ (𝑟𝐴 ∧ (𝑎𝐴𝑏𝐴))) ∧ 𝑎𝑅𝑏) → (𝑟 = 𝑎𝑟𝑅𝑏))
4743, 46jaod 857 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 (((𝑅 Po 𝐴 ∧ (𝑟𝐴 ∧ (𝑎𝐴𝑏𝐴))) ∧ 𝑎𝑅𝑏) → ((𝑟𝑅𝑎𝑟 = 𝑎) → 𝑟𝑅𝑏))
4847exp42 436 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 (𝑅 Po 𝐴 → (𝑟𝐴 → ((𝑎𝐴𝑏𝐴) → (𝑎𝑅𝑏 → ((𝑟𝑅𝑎𝑟 = 𝑎) → 𝑟𝑅𝑏)))))
4938, 48sylan9r 509 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ((𝑅 Po 𝐴 ∧ ((𝑤 We 𝐴𝑥 ∈ On) ∧ ∀𝑦𝑥 𝐻 ≠ ∅)) → (𝑟 ∈ (𝐹𝑥) → ((𝑎𝐴𝑏𝐴) → (𝑎𝑅𝑏 → ((𝑟𝑅𝑎𝑟 = 𝑎) → 𝑟𝑅𝑏)))))
5049com24 95 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ((𝑅 Po 𝐴 ∧ ((𝑤 We 𝐴𝑥 ∈ On) ∧ ∀𝑦𝑥 𝐻 ≠ ∅)) → (𝑎𝑅𝑏 → ((𝑎𝐴𝑏𝐴) → (𝑟 ∈ (𝐹𝑥) → ((𝑟𝑅𝑎𝑟 = 𝑎) → 𝑟𝑅𝑏)))))
5150com23 86 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ((𝑅 Po 𝐴 ∧ ((𝑤 We 𝐴𝑥 ∈ On) ∧ ∀𝑦𝑥 𝐻 ≠ ∅)) → ((𝑎𝐴𝑏𝐴) → (𝑎𝑅𝑏 → (𝑟 ∈ (𝐹𝑥) → ((𝑟𝑅𝑎𝑟 = 𝑎) → 𝑟𝑅𝑏)))))
5251imp31 418 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ((((𝑅 Po 𝐴 ∧ ((𝑤 We 𝐴𝑥 ∈ On) ∧ ∀𝑦𝑥 𝐻 ≠ ∅)) ∧ (𝑎𝐴𝑏𝐴)) ∧ 𝑎𝑅𝑏) → (𝑟 ∈ (𝐹𝑥) → ((𝑟𝑅𝑎𝑟 = 𝑎) → 𝑟𝑅𝑏)))
5352a2d 29 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ((((𝑅 Po 𝐴 ∧ ((𝑤 We 𝐴𝑥 ∈ On) ∧ ∀𝑦𝑥 𝐻 ≠ ∅)) ∧ (𝑎𝐴𝑏𝐴)) ∧ 𝑎𝑅𝑏) → ((𝑟 ∈ (𝐹𝑥) → (𝑟𝑅𝑎𝑟 = 𝑎)) → (𝑟 ∈ (𝐹𝑥) → 𝑟𝑅𝑏)))
5453ralimdv2 3163 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((((𝑅 Po 𝐴 ∧ ((𝑤 We 𝐴𝑥 ∈ On) ∧ ∀𝑦𝑥 𝐻 ≠ ∅)) ∧ (𝑎𝐴𝑏𝐴)) ∧ 𝑎𝑅𝑏) → (∀𝑟 ∈ (𝐹𝑥)(𝑟𝑅𝑎𝑟 = 𝑎) → ∀𝑟 ∈ (𝐹𝑥)𝑟𝑅𝑏))
55 breq1 5151 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (𝑟 = 𝑔 → (𝑟𝑅𝑏𝑔𝑅𝑏))
5655cbvralvw 3234 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (∀𝑟 ∈ (𝐹𝑥)𝑟𝑅𝑏 ↔ ∀𝑔 ∈ (𝐹𝑥)𝑔𝑅𝑏)
57 breq2 5152 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 (𝑧 = 𝑏 → (𝑔𝑅𝑧𝑔𝑅𝑏))
5857ralbidv 3177 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 (𝑧 = 𝑏 → (∀𝑔 ∈ (𝐹𝑥)𝑔𝑅𝑧 ↔ ∀𝑔 ∈ (𝐹𝑥)𝑔𝑅𝑏))
5958elrab 3683 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 (𝑏 ∈ {𝑧𝐴 ∣ ∀𝑔 ∈ (𝐹𝑥)𝑔𝑅𝑧} ↔ (𝑏𝐴 ∧ ∀𝑔 ∈ (𝐹𝑥)𝑔𝑅𝑏))
604eqeq1i 2737 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 (𝐷 = ∅ ↔ {𝑧𝐴 ∣ ∀𝑔 ∈ (𝐹𝑥)𝑔𝑅𝑧} = ∅)
61 eleq2 2822 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ({𝑧𝐴 ∣ ∀𝑔 ∈ (𝐹𝑥)𝑔𝑅𝑧} = ∅ → (𝑏 ∈ {𝑧𝐴 ∣ ∀𝑔 ∈ (𝐹𝑥)𝑔𝑅𝑧} ↔ 𝑏 ∈ ∅))
6260, 61sylbi 216 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 (𝐷 = ∅ → (𝑏 ∈ {𝑧𝐴 ∣ ∀𝑔 ∈ (𝐹𝑥)𝑔𝑅𝑧} ↔ 𝑏 ∈ ∅))
6359, 62bitr3id 284 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 (𝐷 = ∅ → ((𝑏𝐴 ∧ ∀𝑔 ∈ (𝐹𝑥)𝑔𝑅𝑏) ↔ 𝑏 ∈ ∅))
6463biimpd 228 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (𝐷 = ∅ → ((𝑏𝐴 ∧ ∀𝑔 ∈ (𝐹𝑥)𝑔𝑅𝑏) → 𝑏 ∈ ∅))
6564expdimp 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ((𝐷 = ∅ ∧ 𝑏𝐴) → (∀𝑔 ∈ (𝐹𝑥)𝑔𝑅𝑏𝑏 ∈ ∅))
6656, 65biimtrid 241 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((𝐷 = ∅ ∧ 𝑏𝐴) → (∀𝑟 ∈ (𝐹𝑥)𝑟𝑅𝑏𝑏 ∈ ∅))
6754, 66sylan9r 509 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (((𝐷 = ∅ ∧ 𝑏𝐴) ∧ (((𝑅 Po 𝐴 ∧ ((𝑤 We 𝐴𝑥 ∈ On) ∧ ∀𝑦𝑥 𝐻 ≠ ∅)) ∧ (𝑎𝐴𝑏𝐴)) ∧ 𝑎𝑅𝑏)) → (∀𝑟 ∈ (𝐹𝑥)(𝑟𝑅𝑎𝑟 = 𝑎) → 𝑏 ∈ ∅))
6867exp32 421 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝐷 = ∅ ∧ 𝑏𝐴) → (((𝑅 Po 𝐴 ∧ ((𝑤 We 𝐴𝑥 ∈ On) ∧ ∀𝑦𝑥 𝐻 ≠ ∅)) ∧ (𝑎𝐴𝑏𝐴)) → (𝑎𝑅𝑏 → (∀𝑟 ∈ (𝐹𝑥)(𝑟𝑅𝑎𝑟 = 𝑎) → 𝑏 ∈ ∅))))
6968com34 91 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((𝐷 = ∅ ∧ 𝑏𝐴) → (((𝑅 Po 𝐴 ∧ ((𝑤 We 𝐴𝑥 ∈ On) ∧ ∀𝑦𝑥 𝐻 ≠ ∅)) ∧ (𝑎𝐴𝑏𝐴)) → (∀𝑟 ∈ (𝐹𝑥)(𝑟𝑅𝑎𝑟 = 𝑎) → (𝑎𝑅𝑏𝑏 ∈ ∅))))
7069imp31 418 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((((𝐷 = ∅ ∧ 𝑏𝐴) ∧ ((𝑅 Po 𝐴 ∧ ((𝑤 We 𝐴𝑥 ∈ On) ∧ ∀𝑦𝑥 𝐻 ≠ ∅)) ∧ (𝑎𝐴𝑏𝐴))) ∧ ∀𝑟 ∈ (𝐹𝑥)(𝑟𝑅𝑎𝑟 = 𝑎)) → (𝑎𝑅𝑏𝑏 ∈ ∅))
7137, 70mtoi 198 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((((𝐷 = ∅ ∧ 𝑏𝐴) ∧ ((𝑅 Po 𝐴 ∧ ((𝑤 We 𝐴𝑥 ∈ On) ∧ ∀𝑦𝑥 𝐻 ≠ ∅)) ∧ (𝑎𝐴𝑏𝐴))) ∧ ∀𝑟 ∈ (𝐹𝑥)(𝑟𝑅𝑎𝑟 = 𝑎)) → ¬ 𝑎𝑅𝑏)
7271exp42 436 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝐷 = ∅ ∧ 𝑏𝐴) → ((𝑅 Po 𝐴 ∧ ((𝑤 We 𝐴𝑥 ∈ On) ∧ ∀𝑦𝑥 𝐻 ≠ ∅)) → ((𝑎𝐴𝑏𝐴) → (∀𝑟 ∈ (𝐹𝑥)(𝑟𝑅𝑎𝑟 = 𝑎) → ¬ 𝑎𝑅𝑏))))
7372exp4a 432 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝐷 = ∅ ∧ 𝑏𝐴) → ((𝑅 Po 𝐴 ∧ ((𝑤 We 𝐴𝑥 ∈ On) ∧ ∀𝑦𝑥 𝐻 ≠ ∅)) → (𝑎𝐴 → (𝑏𝐴 → (∀𝑟 ∈ (𝐹𝑥)(𝑟𝑅𝑎𝑟 = 𝑎) → ¬ 𝑎𝑅𝑏)))))
7473com34 91 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝐷 = ∅ ∧ 𝑏𝐴) → ((𝑅 Po 𝐴 ∧ ((𝑤 We 𝐴𝑥 ∈ On) ∧ ∀𝑦𝑥 𝐻 ≠ ∅)) → (𝑏𝐴 → (𝑎𝐴 → (∀𝑟 ∈ (𝐹𝑥)(𝑟𝑅𝑎𝑟 = 𝑎) → ¬ 𝑎𝑅𝑏)))))
7574ex 413 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝐷 = ∅ → (𝑏𝐴 → ((𝑅 Po 𝐴 ∧ ((𝑤 We 𝐴𝑥 ∈ On) ∧ ∀𝑦𝑥 𝐻 ≠ ∅)) → (𝑏𝐴 → (𝑎𝐴 → (∀𝑟 ∈ (𝐹𝑥)(𝑟𝑅𝑎𝑟 = 𝑎) → ¬ 𝑎𝑅𝑏))))))
7675com4r 94 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑏𝐴 → (𝐷 = ∅ → (𝑏𝐴 → ((𝑅 Po 𝐴 ∧ ((𝑤 We 𝐴𝑥 ∈ On) ∧ ∀𝑦𝑥 𝐻 ≠ ∅)) → (𝑎𝐴 → (∀𝑟 ∈ (𝐹𝑥)(𝑟𝑅𝑎𝑟 = 𝑎) → ¬ 𝑎𝑅𝑏))))))
7776pm2.43a 54 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑏𝐴 → (𝐷 = ∅ → ((𝑅 Po 𝐴 ∧ ((𝑤 We 𝐴𝑥 ∈ On) ∧ ∀𝑦𝑥 𝐻 ≠ ∅)) → (𝑎𝐴 → (∀𝑟 ∈ (𝐹𝑥)(𝑟𝑅𝑎𝑟 = 𝑎) → ¬ 𝑎𝑅𝑏)))))
7877impd 411 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑏𝐴 → ((𝐷 = ∅ ∧ (𝑅 Po 𝐴 ∧ ((𝑤 We 𝐴𝑥 ∈ On) ∧ ∀𝑦𝑥 𝐻 ≠ ∅))) → (𝑎𝐴 → (∀𝑟 ∈ (𝐹𝑥)(𝑟𝑅𝑎𝑟 = 𝑎) → ¬ 𝑎𝑅𝑏))))
7978com4l 92 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝐷 = ∅ ∧ (𝑅 Po 𝐴 ∧ ((𝑤 We 𝐴𝑥 ∈ On) ∧ ∀𝑦𝑥 𝐻 ≠ ∅))) → (𝑎𝐴 → (∀𝑟 ∈ (𝐹𝑥)(𝑟𝑅𝑎𝑟 = 𝑎) → (𝑏𝐴 → ¬ 𝑎𝑅𝑏))))
8079impd 411 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝐷 = ∅ ∧ (𝑅 Po 𝐴 ∧ ((𝑤 We 𝐴𝑥 ∈ On) ∧ ∀𝑦𝑥 𝐻 ≠ ∅))) → ((𝑎𝐴 ∧ ∀𝑟 ∈ (𝐹𝑥)(𝑟𝑅𝑎𝑟 = 𝑎)) → (𝑏𝐴 → ¬ 𝑎𝑅𝑏)))
8180ralrimdv 3152 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝐷 = ∅ ∧ (𝑅 Po 𝐴 ∧ ((𝑤 We 𝐴𝑥 ∈ On) ∧ ∀𝑦𝑥 𝐻 ≠ ∅))) → ((𝑎𝐴 ∧ ∀𝑟 ∈ (𝐹𝑥)(𝑟𝑅𝑎𝑟 = 𝑎)) → ∀𝑏𝐴 ¬ 𝑎𝑅𝑏))
8281expd 416 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐷 = ∅ ∧ (𝑅 Po 𝐴 ∧ ((𝑤 We 𝐴𝑥 ∈ On) ∧ ∀𝑦𝑥 𝐻 ≠ ∅))) → (𝑎𝐴 → (∀𝑟 ∈ (𝐹𝑥)(𝑟𝑅𝑎𝑟 = 𝑎) → ∀𝑏𝐴 ¬ 𝑎𝑅𝑏)))
8382reximdvai 3165 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐷 = ∅ ∧ (𝑅 Po 𝐴 ∧ ((𝑤 We 𝐴𝑥 ∈ On) ∧ ∀𝑦𝑥 𝐻 ≠ ∅))) → (∃𝑎𝐴𝑟 ∈ (𝐹𝑥)(𝑟𝑅𝑎𝑟 = 𝑎) → ∃𝑎𝐴𝑏𝐴 ¬ 𝑎𝑅𝑏))
8483exp32 421 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐷 = ∅ → (𝑅 Po 𝐴 → (((𝑤 We 𝐴𝑥 ∈ On) ∧ ∀𝑦𝑥 𝐻 ≠ ∅) → (∃𝑎𝐴𝑟 ∈ (𝐹𝑥)(𝑟𝑅𝑎𝑟 = 𝑎) → ∃𝑎𝐴𝑏𝐴 ¬ 𝑎𝑅𝑏))))
8584com12 32 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑅 Po 𝐴 → (𝐷 = ∅ → (((𝑤 We 𝐴𝑥 ∈ On) ∧ ∀𝑦𝑥 𝐻 ≠ ∅) → (∃𝑎𝐴𝑟 ∈ (𝐹𝑥)(𝑟𝑅𝑎𝑟 = 𝑎) → ∃𝑎𝐴𝑏𝐴 ¬ 𝑎𝑅𝑏))))
8685adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑅 Po 𝐴 ∧ ∀𝑠((𝑠𝐴𝑅 Or 𝑠) → ∃𝑎𝐴𝑟𝑠 (𝑟𝑅𝑎𝑟 = 𝑎))) → (𝐷 = ∅ → (((𝑤 We 𝐴𝑥 ∈ On) ∧ ∀𝑦𝑥 𝐻 ≠ ∅) → (∃𝑎𝐴𝑟 ∈ (𝐹𝑥)(𝑟𝑅𝑎𝑟 = 𝑎) → ∃𝑎𝐴𝑏𝐴 ¬ 𝑎𝑅𝑏))))
8786imp32 419 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑅 Po 𝐴 ∧ ∀𝑠((𝑠𝐴𝑅 Or 𝑠) → ∃𝑎𝐴𝑟𝑠 (𝑟𝑅𝑎𝑟 = 𝑎))) ∧ (𝐷 = ∅ ∧ ((𝑤 We 𝐴𝑥 ∈ On) ∧ ∀𝑦𝑥 𝐻 ≠ ∅))) → (∃𝑎𝐴𝑟 ∈ (𝐹𝑥)(𝑟𝑅𝑎𝑟 = 𝑎) → ∃𝑎𝐴𝑏𝐴 ¬ 𝑎𝑅𝑏))
8836, 87mpd 15 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑅 Po 𝐴 ∧ ∀𝑠((𝑠𝐴𝑅 Or 𝑠) → ∃𝑎𝐴𝑟𝑠 (𝑟𝑅𝑎𝑟 = 𝑎))) ∧ (𝐷 = ∅ ∧ ((𝑤 We 𝐴𝑥 ∈ On) ∧ ∀𝑦𝑥 𝐻 ≠ ∅))) → ∃𝑎𝐴𝑏𝐴 ¬ 𝑎𝑅𝑏)
8988exp45 439 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑅 Po 𝐴 ∧ ∀𝑠((𝑠𝐴𝑅 Or 𝑠) → ∃𝑎𝐴𝑟𝑠 (𝑟𝑅𝑎𝑟 = 𝑎))) → (𝐷 = ∅ → ((𝑤 We 𝐴𝑥 ∈ On) → (∀𝑦𝑥 𝐻 ≠ ∅ → ∃𝑎𝐴𝑏𝐴 ¬ 𝑎𝑅𝑏))))
9089com23 86 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑅 Po 𝐴 ∧ ∀𝑠((𝑠𝐴𝑅 Or 𝑠) → ∃𝑎𝐴𝑟𝑠 (𝑟𝑅𝑎𝑟 = 𝑎))) → ((𝑤 We 𝐴𝑥 ∈ On) → (𝐷 = ∅ → (∀𝑦𝑥 𝐻 ≠ ∅ → ∃𝑎𝐴𝑏𝐴 ¬ 𝑎𝑅𝑏))))
9190expdimp 453 . . . . . . . . . . 11 (((𝑅 Po 𝐴 ∧ ∀𝑠((𝑠𝐴𝑅 Or 𝑠) → ∃𝑎𝐴𝑟𝑠 (𝑟𝑅𝑎𝑟 = 𝑎))) ∧ 𝑤 We 𝐴) → (𝑥 ∈ On → (𝐷 = ∅ → (∀𝑦𝑥 𝐻 ≠ ∅ → ∃𝑎𝐴𝑏𝐴 ¬ 𝑎𝑅𝑏))))
9291imp4a 423 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 Po 𝐴 ∧ ∀𝑠((𝑠𝐴𝑅 Or 𝑠) → ∃𝑎𝐴𝑟𝑠 (𝑟𝑅𝑎𝑟 = 𝑎))) ∧ 𝑤 We 𝐴) → (𝑥 ∈ On → ((𝐷 = ∅ ∧ ∀𝑦𝑥 𝐻 ≠ ∅) → ∃𝑎𝐴𝑏𝐴 ¬ 𝑎𝑅𝑏)))
9392com3l 89 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ On → ((𝐷 = ∅ ∧ ∀𝑦𝑥 𝐻 ≠ ∅) → (((𝑅 Po 𝐴 ∧ ∀𝑠((𝑠𝐴𝑅 Or 𝑠) → ∃𝑎𝐴𝑟𝑠 (𝑟𝑅𝑎𝑟 = 𝑎))) ∧ 𝑤 We 𝐴) → ∃𝑎𝐴𝑏𝐴 ¬ 𝑎𝑅𝑏)))
9493rexlimiv 3148 . . . . . . . 8 (∃𝑥 ∈ On (𝐷 = ∅ ∧ ∀𝑦𝑥 𝐻 ≠ ∅) → (((𝑅 Po 𝐴 ∧ ∀𝑠((𝑠𝐴𝑅 Or 𝑠) → ∃𝑎𝐴𝑟𝑠 (𝑟𝑅𝑎𝑟 = 𝑎))) ∧ 𝑤 We 𝐴) → ∃𝑎𝐴𝑏𝐴 ¬ 𝑎𝑅𝑏))
955, 17, 943syl 18 . . . . . . 7 ((𝑅 Po 𝐴𝑤 We 𝐴) → (((𝑅 Po 𝐴 ∧ ∀𝑠((𝑠𝐴𝑅 Or 𝑠) → ∃𝑎𝐴𝑟𝑠 (𝑟𝑅𝑎𝑟 = 𝑎))) ∧ 𝑤 We 𝐴) → ∃𝑎𝐴𝑏𝐴 ¬ 𝑎𝑅𝑏))
9695adantlr 713 . . . . . 6 (((𝑅 Po 𝐴 ∧ ∀𝑠((𝑠𝐴𝑅 Or 𝑠) → ∃𝑎𝐴𝑟𝑠 (𝑟𝑅𝑎𝑟 = 𝑎))) ∧ 𝑤 We 𝐴) → (((𝑅 Po 𝐴 ∧ ∀𝑠((𝑠𝐴𝑅 Or 𝑠) → ∃𝑎𝐴𝑟𝑠 (𝑟𝑅𝑎𝑟 = 𝑎))) ∧ 𝑤 We 𝐴) → ∃𝑎𝐴𝑏𝐴 ¬ 𝑎𝑅𝑏))
9796pm2.43i 52 . . . . 5 (((𝑅 Po 𝐴 ∧ ∀𝑠((𝑠𝐴𝑅 Or 𝑠) → ∃𝑎𝐴𝑟𝑠 (𝑟𝑅𝑎𝑟 = 𝑎))) ∧ 𝑤 We 𝐴) → ∃𝑎𝐴𝑏𝐴 ¬ 𝑎𝑅𝑏)
9897expcom 414 . . . 4 (𝑤 We 𝐴 → ((𝑅 Po 𝐴 ∧ ∀𝑠((𝑠𝐴𝑅 Or 𝑠) → ∃𝑎𝐴𝑟𝑠 (𝑟𝑅𝑎𝑟 = 𝑎))) → ∃𝑎𝐴𝑏𝐴 ¬ 𝑎𝑅𝑏))
9998exlimiv 1933 . . 3 (∃𝑤 𝑤 We 𝐴 → ((𝑅 Po 𝐴 ∧ ∀𝑠((𝑠𝐴𝑅 Or 𝑠) → ∃𝑎𝐴𝑟𝑠 (𝑟𝑅𝑎𝑟 = 𝑎))) → ∃𝑎𝐴𝑏𝐴 ¬ 𝑎𝑅𝑏))
1001, 99sylbi 216 . 2 (𝐴 ∈ dom card → ((𝑅 Po 𝐴 ∧ ∀𝑠((𝑠𝐴𝑅 Or 𝑠) → ∃𝑎𝐴𝑟𝑠 (𝑟𝑅𝑎𝑟 = 𝑎))) → ∃𝑎𝐴𝑏𝐴 ¬ 𝑎𝑅𝑏))
1011003impib 1116 1 ((𝐴 ∈ dom card ∧ 𝑅 Po 𝐴 ∧ ∀𝑠((𝑠𝐴𝑅 Or 𝑠) → ∃𝑎𝐴𝑟𝑠 (𝑟𝑅𝑎𝑟 = 𝑎))) → ∃𝑎𝐴𝑏𝐴 ¬ 𝑎𝑅𝑏)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 396  wo 845  w3a 1087  wal 1539   = wceq 1541  wex 1781  wcel 2106  wne 2940  wral 3061  wrex 3070  {crab 3432  Vcvv 3474  wss 3948  c0 4322   class class class wbr 5148  cmpt 5231   Po wpo 5586   Or wor 5587   We wwe 5630  dom cdm 5676  ran crn 5677  cima 5679  Oncon0 6364  Fun wfun 6537   Fn wfn 6538  crio 7366  recscrecs 8372  cardccrd 9932
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7367  df-ov 7414  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-en 8942  df-card 9936
This theorem is referenced by:  zorn2g  10500
  Copyright terms: Public domain W3C validator