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Theorem zorn2lem7 10002
Description: Lemma for zorn2 10006. (Contributed by NM, 6-Apr-1997.) (Revised by Mario Carneiro, 9-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
zorn2lem.3 𝐹 = recs((𝑓 ∈ V ↦ (𝑣𝐶𝑢𝐶 ¬ 𝑢𝑤𝑣)))
zorn2lem.4 𝐶 = {𝑧𝐴 ∣ ∀𝑔 ∈ ran 𝑓 𝑔𝑅𝑧}
zorn2lem.5 𝐷 = {𝑧𝐴 ∣ ∀𝑔 ∈ (𝐹𝑥)𝑔𝑅𝑧}
zorn2lem.7 𝐻 = {𝑧𝐴 ∣ ∀𝑔 ∈ (𝐹𝑦)𝑔𝑅𝑧}
Assertion
Ref Expression
zorn2lem7 ((𝐴 ∈ dom card ∧ 𝑅 Po 𝐴 ∧ ∀𝑠((𝑠𝐴𝑅 Or 𝑠) → ∃𝑎𝐴𝑟𝑠 (𝑟𝑅𝑎𝑟 = 𝑎))) → ∃𝑎𝐴𝑏𝐴 ¬ 𝑎𝑅𝑏)
Distinct variable groups:   𝑎,𝑏,𝑓,𝑔,𝑟,𝑠,𝑢,𝑣,𝑤,𝑥,𝑦,𝑧,𝐴   𝐷,𝑎,𝑏,𝑓,𝑢,𝑣,𝑦   𝐹,𝑎,𝑏,𝑓,𝑔,𝑟,𝑠,𝑢,𝑣,𝑥,𝑦,𝑧   𝑅,𝑎,𝑏,𝑓,𝑔,𝑟,𝑠,𝑢,𝑣,𝑤,𝑥,𝑦,𝑧   𝑣,𝐶   𝑥,𝐻,𝑢,𝑣,𝑓,𝑠,𝑟,𝑎,𝑏
Allowed substitution hints:   𝐶(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑢,𝑓,𝑔,𝑠,𝑟,𝑎,𝑏)   𝐷(𝑥,𝑧,𝑤,𝑔,𝑠,𝑟)   𝐹(𝑤)   𝐻(𝑦,𝑧,𝑤,𝑔)

Proof of Theorem zorn2lem7
StepHypRef Expression
1 ween 9535 . . 3 (𝐴 ∈ dom card ↔ ∃𝑤 𝑤 We 𝐴)
2 zorn2lem.3 . . . . . . . . 9 𝐹 = recs((𝑓 ∈ V ↦ (𝑣𝐶𝑢𝐶 ¬ 𝑢𝑤𝑣)))
3 zorn2lem.4 . . . . . . . . 9 𝐶 = {𝑧𝐴 ∣ ∀𝑔 ∈ ran 𝑓 𝑔𝑅𝑧}
4 zorn2lem.5 . . . . . . . . 9 𝐷 = {𝑧𝐴 ∣ ∀𝑔 ∈ (𝐹𝑥)𝑔𝑅𝑧}
52, 3, 4zorn2lem4 9999 . . . . . . . 8 ((𝑅 Po 𝐴𝑤 We 𝐴) → ∃𝑥 ∈ On 𝐷 = ∅)
6 imaeq2 5899 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = 𝑦 → (𝐹𝑥) = (𝐹𝑦))
76raleqdv 3316 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = 𝑦 → (∀𝑔 ∈ (𝐹𝑥)𝑔𝑅𝑧 ↔ ∀𝑔 ∈ (𝐹𝑦)𝑔𝑅𝑧))
87rabbidv 3381 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 𝑦 → {𝑧𝐴 ∣ ∀𝑔 ∈ (𝐹𝑥)𝑔𝑅𝑧} = {𝑧𝐴 ∣ ∀𝑔 ∈ (𝐹𝑦)𝑔𝑅𝑧})
9 zorn2lem.7 . . . . . . . . . . . 12 𝐻 = {𝑧𝐴 ∣ ∀𝑔 ∈ (𝐹𝑦)𝑔𝑅𝑧}
108, 4, 93eqtr4g 2798 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑦𝐷 = 𝐻)
1110eqeq1d 2740 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑦 → (𝐷 = ∅ ↔ 𝐻 = ∅))
1211onminex 7541 . . . . . . . . 9 (∃𝑥 ∈ On 𝐷 = ∅ → ∃𝑥 ∈ On (𝐷 = ∅ ∧ ∀𝑦𝑥 ¬ 𝐻 = ∅))
13 df-ne 2935 . . . . . . . . . . . 12 (𝐻 ≠ ∅ ↔ ¬ 𝐻 = ∅)
1413ralbii 3080 . . . . . . . . . . 11 (∀𝑦𝑥 𝐻 ≠ ∅ ↔ ∀𝑦𝑥 ¬ 𝐻 = ∅)
1514anbi2i 626 . . . . . . . . . 10 ((𝐷 = ∅ ∧ ∀𝑦𝑥 𝐻 ≠ ∅) ↔ (𝐷 = ∅ ∧ ∀𝑦𝑥 ¬ 𝐻 = ∅))
1615rexbii 3161 . . . . . . . . 9 (∃𝑥 ∈ On (𝐷 = ∅ ∧ ∀𝑦𝑥 𝐻 ≠ ∅) ↔ ∃𝑥 ∈ On (𝐷 = ∅ ∧ ∀𝑦𝑥 ¬ 𝐻 = ∅))
1712, 16sylibr 237 . . . . . . . 8 (∃𝑥 ∈ On 𝐷 = ∅ → ∃𝑥 ∈ On (𝐷 = ∅ ∧ ∀𝑦𝑥 𝐻 ≠ ∅))
182, 3, 4, 9zorn2lem5 10000 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑤 We 𝐴𝑥 ∈ On) ∧ ∀𝑦𝑥 𝐻 ≠ ∅) → (𝐹𝑥) ⊆ 𝐴)
1918a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑅 Po 𝐴 → (((𝑤 We 𝐴𝑥 ∈ On) ∧ ∀𝑦𝑥 𝐻 ≠ ∅) → (𝐹𝑥) ⊆ 𝐴))
202, 3, 4, 9zorn2lem6 10001 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑅 Po 𝐴 → (((𝑤 We 𝐴𝑥 ∈ On) ∧ ∀𝑦𝑥 𝐻 ≠ ∅) → 𝑅 Or (𝐹𝑥)))
2119, 20jcad 516 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑅 Po 𝐴 → (((𝑤 We 𝐴𝑥 ∈ On) ∧ ∀𝑦𝑥 𝐻 ≠ ∅) → ((𝐹𝑥) ⊆ 𝐴𝑅 Or (𝐹𝑥))))
222tfr1 8062 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝐹 Fn On
23 fnfun 6438 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝐹 Fn On → Fun 𝐹)
24 vex 3402 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 𝑥 ∈ V
2524funimaex 6426 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (Fun 𝐹 → (𝐹𝑥) ∈ V)
2622, 23, 25mp2b 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝐹𝑥) ∈ V
27 sseq1 3902 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑠 = (𝐹𝑥) → (𝑠𝐴 ↔ (𝐹𝑥) ⊆ 𝐴))
28 soeq2 5464 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑠 = (𝐹𝑥) → (𝑅 Or 𝑠𝑅 Or (𝐹𝑥)))
2927, 28anbi12d 634 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑠 = (𝐹𝑥) → ((𝑠𝐴𝑅 Or 𝑠) ↔ ((𝐹𝑥) ⊆ 𝐴𝑅 Or (𝐹𝑥))))
30 raleq 3310 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑠 = (𝐹𝑥) → (∀𝑟𝑠 (𝑟𝑅𝑎𝑟 = 𝑎) ↔ ∀𝑟 ∈ (𝐹𝑥)(𝑟𝑅𝑎𝑟 = 𝑎)))
3130rexbidv 3207 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑠 = (𝐹𝑥) → (∃𝑎𝐴𝑟𝑠 (𝑟𝑅𝑎𝑟 = 𝑎) ↔ ∃𝑎𝐴𝑟 ∈ (𝐹𝑥)(𝑟𝑅𝑎𝑟 = 𝑎)))
3229, 31imbi12d 348 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑠 = (𝐹𝑥) → (((𝑠𝐴𝑅 Or 𝑠) → ∃𝑎𝐴𝑟𝑠 (𝑟𝑅𝑎𝑟 = 𝑎)) ↔ (((𝐹𝑥) ⊆ 𝐴𝑅 Or (𝐹𝑥)) → ∃𝑎𝐴𝑟 ∈ (𝐹𝑥)(𝑟𝑅𝑎𝑟 = 𝑎))))
3326, 32spcv 3509 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (∀𝑠((𝑠𝐴𝑅 Or 𝑠) → ∃𝑎𝐴𝑟𝑠 (𝑟𝑅𝑎𝑟 = 𝑎)) → (((𝐹𝑥) ⊆ 𝐴𝑅 Or (𝐹𝑥)) → ∃𝑎𝐴𝑟 ∈ (𝐹𝑥)(𝑟𝑅𝑎𝑟 = 𝑎)))
3421, 33sylan9 511 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑅 Po 𝐴 ∧ ∀𝑠((𝑠𝐴𝑅 Or 𝑠) → ∃𝑎𝐴𝑟𝑠 (𝑟𝑅𝑎𝑟 = 𝑎))) → (((𝑤 We 𝐴𝑥 ∈ On) ∧ ∀𝑦𝑥 𝐻 ≠ ∅) → ∃𝑎𝐴𝑟 ∈ (𝐹𝑥)(𝑟𝑅𝑎𝑟 = 𝑎)))
3534adantld 494 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑅 Po 𝐴 ∧ ∀𝑠((𝑠𝐴𝑅 Or 𝑠) → ∃𝑎𝐴𝑟𝑠 (𝑟𝑅𝑎𝑟 = 𝑎))) → ((𝐷 = ∅ ∧ ((𝑤 We 𝐴𝑥 ∈ On) ∧ ∀𝑦𝑥 𝐻 ≠ ∅)) → ∃𝑎𝐴𝑟 ∈ (𝐹𝑥)(𝑟𝑅𝑎𝑟 = 𝑎)))
3635imp 410 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑅 Po 𝐴 ∧ ∀𝑠((𝑠𝐴𝑅 Or 𝑠) → ∃𝑎𝐴𝑟𝑠 (𝑟𝑅𝑎𝑟 = 𝑎))) ∧ (𝐷 = ∅ ∧ ((𝑤 We 𝐴𝑥 ∈ On) ∧ ∀𝑦𝑥 𝐻 ≠ ∅))) → ∃𝑎𝐴𝑟 ∈ (𝐹𝑥)(𝑟𝑅𝑎𝑟 = 𝑎))
37 noel 4219 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ¬ 𝑏 ∈ ∅
3818sseld 3876 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 (((𝑤 We 𝐴𝑥 ∈ On) ∧ ∀𝑦𝑥 𝐻 ≠ ∅) → (𝑟 ∈ (𝐹𝑥) → 𝑟𝐴))
39 3anass 1096 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 ((𝑟𝐴𝑎𝐴𝑏𝐴) ↔ (𝑟𝐴 ∧ (𝑎𝐴𝑏𝐴)))
40 potr 5455 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 ((𝑅 Po 𝐴 ∧ (𝑟𝐴𝑎𝐴𝑏𝐴)) → ((𝑟𝑅𝑎𝑎𝑅𝑏) → 𝑟𝑅𝑏))
4139, 40sylan2br 598 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 ((𝑅 Po 𝐴 ∧ (𝑟𝐴 ∧ (𝑎𝐴𝑏𝐴))) → ((𝑟𝑅𝑎𝑎𝑅𝑏) → 𝑟𝑅𝑏))
4241expcomd 420 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 ((𝑅 Po 𝐴 ∧ (𝑟𝐴 ∧ (𝑎𝐴𝑏𝐴))) → (𝑎𝑅𝑏 → (𝑟𝑅𝑎𝑟𝑅𝑏)))
4342imp 410 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 (((𝑅 Po 𝐴 ∧ (𝑟𝐴 ∧ (𝑎𝐴𝑏𝐴))) ∧ 𝑎𝑅𝑏) → (𝑟𝑅𝑎𝑟𝑅𝑏))
44 breq1 5033 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 (𝑟 = 𝑎 → (𝑟𝑅𝑏𝑎𝑅𝑏))
4544biimprcd 253 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 (𝑎𝑅𝑏 → (𝑟 = 𝑎𝑟𝑅𝑏))
4645adantl 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 (((𝑅 Po 𝐴 ∧ (𝑟𝐴 ∧ (𝑎𝐴𝑏𝐴))) ∧ 𝑎𝑅𝑏) → (𝑟 = 𝑎𝑟𝑅𝑏))
4743, 46jaod 858 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 (((𝑅 Po 𝐴 ∧ (𝑟𝐴 ∧ (𝑎𝐴𝑏𝐴))) ∧ 𝑎𝑅𝑏) → ((𝑟𝑅𝑎𝑟 = 𝑎) → 𝑟𝑅𝑏))
4847exp42 439 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 (𝑅 Po 𝐴 → (𝑟𝐴 → ((𝑎𝐴𝑏𝐴) → (𝑎𝑅𝑏 → ((𝑟𝑅𝑎𝑟 = 𝑎) → 𝑟𝑅𝑏)))))
4938, 48sylan9r 512 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ((𝑅 Po 𝐴 ∧ ((𝑤 We 𝐴𝑥 ∈ On) ∧ ∀𝑦𝑥 𝐻 ≠ ∅)) → (𝑟 ∈ (𝐹𝑥) → ((𝑎𝐴𝑏𝐴) → (𝑎𝑅𝑏 → ((𝑟𝑅𝑎𝑟 = 𝑎) → 𝑟𝑅𝑏)))))
5049com24 95 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ((𝑅 Po 𝐴 ∧ ((𝑤 We 𝐴𝑥 ∈ On) ∧ ∀𝑦𝑥 𝐻 ≠ ∅)) → (𝑎𝑅𝑏 → ((𝑎𝐴𝑏𝐴) → (𝑟 ∈ (𝐹𝑥) → ((𝑟𝑅𝑎𝑟 = 𝑎) → 𝑟𝑅𝑏)))))
5150com23 86 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ((𝑅 Po 𝐴 ∧ ((𝑤 We 𝐴𝑥 ∈ On) ∧ ∀𝑦𝑥 𝐻 ≠ ∅)) → ((𝑎𝐴𝑏𝐴) → (𝑎𝑅𝑏 → (𝑟 ∈ (𝐹𝑥) → ((𝑟𝑅𝑎𝑟 = 𝑎) → 𝑟𝑅𝑏)))))
5251imp31 421 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ((((𝑅 Po 𝐴 ∧ ((𝑤 We 𝐴𝑥 ∈ On) ∧ ∀𝑦𝑥 𝐻 ≠ ∅)) ∧ (𝑎𝐴𝑏𝐴)) ∧ 𝑎𝑅𝑏) → (𝑟 ∈ (𝐹𝑥) → ((𝑟𝑅𝑎𝑟 = 𝑎) → 𝑟𝑅𝑏)))
5352a2d 29 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ((((𝑅 Po 𝐴 ∧ ((𝑤 We 𝐴𝑥 ∈ On) ∧ ∀𝑦𝑥 𝐻 ≠ ∅)) ∧ (𝑎𝐴𝑏𝐴)) ∧ 𝑎𝑅𝑏) → ((𝑟 ∈ (𝐹𝑥) → (𝑟𝑅𝑎𝑟 = 𝑎)) → (𝑟 ∈ (𝐹𝑥) → 𝑟𝑅𝑏)))
5453ralimdv2 3090 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((((𝑅 Po 𝐴 ∧ ((𝑤 We 𝐴𝑥 ∈ On) ∧ ∀𝑦𝑥 𝐻 ≠ ∅)) ∧ (𝑎𝐴𝑏𝐴)) ∧ 𝑎𝑅𝑏) → (∀𝑟 ∈ (𝐹𝑥)(𝑟𝑅𝑎𝑟 = 𝑎) → ∀𝑟 ∈ (𝐹𝑥)𝑟𝑅𝑏))
55 breq1 5033 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (𝑟 = 𝑔 → (𝑟𝑅𝑏𝑔𝑅𝑏))
5655cbvralvw 3349 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (∀𝑟 ∈ (𝐹𝑥)𝑟𝑅𝑏 ↔ ∀𝑔 ∈ (𝐹𝑥)𝑔𝑅𝑏)
57 breq2 5034 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 (𝑧 = 𝑏 → (𝑔𝑅𝑧𝑔𝑅𝑏))
5857ralbidv 3109 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 (𝑧 = 𝑏 → (∀𝑔 ∈ (𝐹𝑥)𝑔𝑅𝑧 ↔ ∀𝑔 ∈ (𝐹𝑥)𝑔𝑅𝑏))
5958elrab 3588 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 (𝑏 ∈ {𝑧𝐴 ∣ ∀𝑔 ∈ (𝐹𝑥)𝑔𝑅𝑧} ↔ (𝑏𝐴 ∧ ∀𝑔 ∈ (𝐹𝑥)𝑔𝑅𝑏))
604eqeq1i 2743 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 (𝐷 = ∅ ↔ {𝑧𝐴 ∣ ∀𝑔 ∈ (𝐹𝑥)𝑔𝑅𝑧} = ∅)
61 eleq2 2821 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ({𝑧𝐴 ∣ ∀𝑔 ∈ (𝐹𝑥)𝑔𝑅𝑧} = ∅ → (𝑏 ∈ {𝑧𝐴 ∣ ∀𝑔 ∈ (𝐹𝑥)𝑔𝑅𝑧} ↔ 𝑏 ∈ ∅))
6260, 61sylbi 220 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 (𝐷 = ∅ → (𝑏 ∈ {𝑧𝐴 ∣ ∀𝑔 ∈ (𝐹𝑥)𝑔𝑅𝑧} ↔ 𝑏 ∈ ∅))
6359, 62bitr3id 288 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 (𝐷 = ∅ → ((𝑏𝐴 ∧ ∀𝑔 ∈ (𝐹𝑥)𝑔𝑅𝑏) ↔ 𝑏 ∈ ∅))
6463biimpd 232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (𝐷 = ∅ → ((𝑏𝐴 ∧ ∀𝑔 ∈ (𝐹𝑥)𝑔𝑅𝑏) → 𝑏 ∈ ∅))
6564expdimp 456 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ((𝐷 = ∅ ∧ 𝑏𝐴) → (∀𝑔 ∈ (𝐹𝑥)𝑔𝑅𝑏𝑏 ∈ ∅))
6656, 65syl5bi 245 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((𝐷 = ∅ ∧ 𝑏𝐴) → (∀𝑟 ∈ (𝐹𝑥)𝑟𝑅𝑏𝑏 ∈ ∅))
6754, 66sylan9r 512 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (((𝐷 = ∅ ∧ 𝑏𝐴) ∧ (((𝑅 Po 𝐴 ∧ ((𝑤 We 𝐴𝑥 ∈ On) ∧ ∀𝑦𝑥 𝐻 ≠ ∅)) ∧ (𝑎𝐴𝑏𝐴)) ∧ 𝑎𝑅𝑏)) → (∀𝑟 ∈ (𝐹𝑥)(𝑟𝑅𝑎𝑟 = 𝑎) → 𝑏 ∈ ∅))
6867exp32 424 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝐷 = ∅ ∧ 𝑏𝐴) → (((𝑅 Po 𝐴 ∧ ((𝑤 We 𝐴𝑥 ∈ On) ∧ ∀𝑦𝑥 𝐻 ≠ ∅)) ∧ (𝑎𝐴𝑏𝐴)) → (𝑎𝑅𝑏 → (∀𝑟 ∈ (𝐹𝑥)(𝑟𝑅𝑎𝑟 = 𝑎) → 𝑏 ∈ ∅))))
6968com34 91 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((𝐷 = ∅ ∧ 𝑏𝐴) → (((𝑅 Po 𝐴 ∧ ((𝑤 We 𝐴𝑥 ∈ On) ∧ ∀𝑦𝑥 𝐻 ≠ ∅)) ∧ (𝑎𝐴𝑏𝐴)) → (∀𝑟 ∈ (𝐹𝑥)(𝑟𝑅𝑎𝑟 = 𝑎) → (𝑎𝑅𝑏𝑏 ∈ ∅))))
7069imp31 421 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((((𝐷 = ∅ ∧ 𝑏𝐴) ∧ ((𝑅 Po 𝐴 ∧ ((𝑤 We 𝐴𝑥 ∈ On) ∧ ∀𝑦𝑥 𝐻 ≠ ∅)) ∧ (𝑎𝐴𝑏𝐴))) ∧ ∀𝑟 ∈ (𝐹𝑥)(𝑟𝑅𝑎𝑟 = 𝑎)) → (𝑎𝑅𝑏𝑏 ∈ ∅))
7137, 70mtoi 202 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((((𝐷 = ∅ ∧ 𝑏𝐴) ∧ ((𝑅 Po 𝐴 ∧ ((𝑤 We 𝐴𝑥 ∈ On) ∧ ∀𝑦𝑥 𝐻 ≠ ∅)) ∧ (𝑎𝐴𝑏𝐴))) ∧ ∀𝑟 ∈ (𝐹𝑥)(𝑟𝑅𝑎𝑟 = 𝑎)) → ¬ 𝑎𝑅𝑏)
7271exp42 439 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝐷 = ∅ ∧ 𝑏𝐴) → ((𝑅 Po 𝐴 ∧ ((𝑤 We 𝐴𝑥 ∈ On) ∧ ∀𝑦𝑥 𝐻 ≠ ∅)) → ((𝑎𝐴𝑏𝐴) → (∀𝑟 ∈ (𝐹𝑥)(𝑟𝑅𝑎𝑟 = 𝑎) → ¬ 𝑎𝑅𝑏))))
7372exp4a 435 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝐷 = ∅ ∧ 𝑏𝐴) → ((𝑅 Po 𝐴 ∧ ((𝑤 We 𝐴𝑥 ∈ On) ∧ ∀𝑦𝑥 𝐻 ≠ ∅)) → (𝑎𝐴 → (𝑏𝐴 → (∀𝑟 ∈ (𝐹𝑥)(𝑟𝑅𝑎𝑟 = 𝑎) → ¬ 𝑎𝑅𝑏)))))
7473com34 91 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝐷 = ∅ ∧ 𝑏𝐴) → ((𝑅 Po 𝐴 ∧ ((𝑤 We 𝐴𝑥 ∈ On) ∧ ∀𝑦𝑥 𝐻 ≠ ∅)) → (𝑏𝐴 → (𝑎𝐴 → (∀𝑟 ∈ (𝐹𝑥)(𝑟𝑅𝑎𝑟 = 𝑎) → ¬ 𝑎𝑅𝑏)))))
7574ex 416 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝐷 = ∅ → (𝑏𝐴 → ((𝑅 Po 𝐴 ∧ ((𝑤 We 𝐴𝑥 ∈ On) ∧ ∀𝑦𝑥 𝐻 ≠ ∅)) → (𝑏𝐴 → (𝑎𝐴 → (∀𝑟 ∈ (𝐹𝑥)(𝑟𝑅𝑎𝑟 = 𝑎) → ¬ 𝑎𝑅𝑏))))))
7675com4r 94 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑏𝐴 → (𝐷 = ∅ → (𝑏𝐴 → ((𝑅 Po 𝐴 ∧ ((𝑤 We 𝐴𝑥 ∈ On) ∧ ∀𝑦𝑥 𝐻 ≠ ∅)) → (𝑎𝐴 → (∀𝑟 ∈ (𝐹𝑥)(𝑟𝑅𝑎𝑟 = 𝑎) → ¬ 𝑎𝑅𝑏))))))
7776pm2.43a 54 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑏𝐴 → (𝐷 = ∅ → ((𝑅 Po 𝐴 ∧ ((𝑤 We 𝐴𝑥 ∈ On) ∧ ∀𝑦𝑥 𝐻 ≠ ∅)) → (𝑎𝐴 → (∀𝑟 ∈ (𝐹𝑥)(𝑟𝑅𝑎𝑟 = 𝑎) → ¬ 𝑎𝑅𝑏)))))
7877impd 414 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑏𝐴 → ((𝐷 = ∅ ∧ (𝑅 Po 𝐴 ∧ ((𝑤 We 𝐴𝑥 ∈ On) ∧ ∀𝑦𝑥 𝐻 ≠ ∅))) → (𝑎𝐴 → (∀𝑟 ∈ (𝐹𝑥)(𝑟𝑅𝑎𝑟 = 𝑎) → ¬ 𝑎𝑅𝑏))))
7978com4l 92 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝐷 = ∅ ∧ (𝑅 Po 𝐴 ∧ ((𝑤 We 𝐴𝑥 ∈ On) ∧ ∀𝑦𝑥 𝐻 ≠ ∅))) → (𝑎𝐴 → (∀𝑟 ∈ (𝐹𝑥)(𝑟𝑅𝑎𝑟 = 𝑎) → (𝑏𝐴 → ¬ 𝑎𝑅𝑏))))
8079impd 414 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝐷 = ∅ ∧ (𝑅 Po 𝐴 ∧ ((𝑤 We 𝐴𝑥 ∈ On) ∧ ∀𝑦𝑥 𝐻 ≠ ∅))) → ((𝑎𝐴 ∧ ∀𝑟 ∈ (𝐹𝑥)(𝑟𝑅𝑎𝑟 = 𝑎)) → (𝑏𝐴 → ¬ 𝑎𝑅𝑏)))
8180ralrimdv 3100 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝐷 = ∅ ∧ (𝑅 Po 𝐴 ∧ ((𝑤 We 𝐴𝑥 ∈ On) ∧ ∀𝑦𝑥 𝐻 ≠ ∅))) → ((𝑎𝐴 ∧ ∀𝑟 ∈ (𝐹𝑥)(𝑟𝑅𝑎𝑟 = 𝑎)) → ∀𝑏𝐴 ¬ 𝑎𝑅𝑏))
8281expd 419 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐷 = ∅ ∧ (𝑅 Po 𝐴 ∧ ((𝑤 We 𝐴𝑥 ∈ On) ∧ ∀𝑦𝑥 𝐻 ≠ ∅))) → (𝑎𝐴 → (∀𝑟 ∈ (𝐹𝑥)(𝑟𝑅𝑎𝑟 = 𝑎) → ∀𝑏𝐴 ¬ 𝑎𝑅𝑏)))
8382reximdvai 3182 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐷 = ∅ ∧ (𝑅 Po 𝐴 ∧ ((𝑤 We 𝐴𝑥 ∈ On) ∧ ∀𝑦𝑥 𝐻 ≠ ∅))) → (∃𝑎𝐴𝑟 ∈ (𝐹𝑥)(𝑟𝑅𝑎𝑟 = 𝑎) → ∃𝑎𝐴𝑏𝐴 ¬ 𝑎𝑅𝑏))
8483exp32 424 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐷 = ∅ → (𝑅 Po 𝐴 → (((𝑤 We 𝐴𝑥 ∈ On) ∧ ∀𝑦𝑥 𝐻 ≠ ∅) → (∃𝑎𝐴𝑟 ∈ (𝐹𝑥)(𝑟𝑅𝑎𝑟 = 𝑎) → ∃𝑎𝐴𝑏𝐴 ¬ 𝑎𝑅𝑏))))
8584com12 32 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑅 Po 𝐴 → (𝐷 = ∅ → (((𝑤 We 𝐴𝑥 ∈ On) ∧ ∀𝑦𝑥 𝐻 ≠ ∅) → (∃𝑎𝐴𝑟 ∈ (𝐹𝑥)(𝑟𝑅𝑎𝑟 = 𝑎) → ∃𝑎𝐴𝑏𝐴 ¬ 𝑎𝑅𝑏))))
8685adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑅 Po 𝐴 ∧ ∀𝑠((𝑠𝐴𝑅 Or 𝑠) → ∃𝑎𝐴𝑟𝑠 (𝑟𝑅𝑎𝑟 = 𝑎))) → (𝐷 = ∅ → (((𝑤 We 𝐴𝑥 ∈ On) ∧ ∀𝑦𝑥 𝐻 ≠ ∅) → (∃𝑎𝐴𝑟 ∈ (𝐹𝑥)(𝑟𝑅𝑎𝑟 = 𝑎) → ∃𝑎𝐴𝑏𝐴 ¬ 𝑎𝑅𝑏))))
8786imp32 422 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑅 Po 𝐴 ∧ ∀𝑠((𝑠𝐴𝑅 Or 𝑠) → ∃𝑎𝐴𝑟𝑠 (𝑟𝑅𝑎𝑟 = 𝑎))) ∧ (𝐷 = ∅ ∧ ((𝑤 We 𝐴𝑥 ∈ On) ∧ ∀𝑦𝑥 𝐻 ≠ ∅))) → (∃𝑎𝐴𝑟 ∈ (𝐹𝑥)(𝑟𝑅𝑎𝑟 = 𝑎) → ∃𝑎𝐴𝑏𝐴 ¬ 𝑎𝑅𝑏))
8836, 87mpd 15 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑅 Po 𝐴 ∧ ∀𝑠((𝑠𝐴𝑅 Or 𝑠) → ∃𝑎𝐴𝑟𝑠 (𝑟𝑅𝑎𝑟 = 𝑎))) ∧ (𝐷 = ∅ ∧ ((𝑤 We 𝐴𝑥 ∈ On) ∧ ∀𝑦𝑥 𝐻 ≠ ∅))) → ∃𝑎𝐴𝑏𝐴 ¬ 𝑎𝑅𝑏)
8988exp45 442 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑅 Po 𝐴 ∧ ∀𝑠((𝑠𝐴𝑅 Or 𝑠) → ∃𝑎𝐴𝑟𝑠 (𝑟𝑅𝑎𝑟 = 𝑎))) → (𝐷 = ∅ → ((𝑤 We 𝐴𝑥 ∈ On) → (∀𝑦𝑥 𝐻 ≠ ∅ → ∃𝑎𝐴𝑏𝐴 ¬ 𝑎𝑅𝑏))))
9089com23 86 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑅 Po 𝐴 ∧ ∀𝑠((𝑠𝐴𝑅 Or 𝑠) → ∃𝑎𝐴𝑟𝑠 (𝑟𝑅𝑎𝑟 = 𝑎))) → ((𝑤 We 𝐴𝑥 ∈ On) → (𝐷 = ∅ → (∀𝑦𝑥 𝐻 ≠ ∅ → ∃𝑎𝐴𝑏𝐴 ¬ 𝑎𝑅𝑏))))
9190expdimp 456 . . . . . . . . . . 11 (((𝑅 Po 𝐴 ∧ ∀𝑠((𝑠𝐴𝑅 Or 𝑠) → ∃𝑎𝐴𝑟𝑠 (𝑟𝑅𝑎𝑟 = 𝑎))) ∧ 𝑤 We 𝐴) → (𝑥 ∈ On → (𝐷 = ∅ → (∀𝑦𝑥 𝐻 ≠ ∅ → ∃𝑎𝐴𝑏𝐴 ¬ 𝑎𝑅𝑏))))
9291imp4a 426 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 Po 𝐴 ∧ ∀𝑠((𝑠𝐴𝑅 Or 𝑠) → ∃𝑎𝐴𝑟𝑠 (𝑟𝑅𝑎𝑟 = 𝑎))) ∧ 𝑤 We 𝐴) → (𝑥 ∈ On → ((𝐷 = ∅ ∧ ∀𝑦𝑥 𝐻 ≠ ∅) → ∃𝑎𝐴𝑏𝐴 ¬ 𝑎𝑅𝑏)))
9392com3l 89 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ On → ((𝐷 = ∅ ∧ ∀𝑦𝑥 𝐻 ≠ ∅) → (((𝑅 Po 𝐴 ∧ ∀𝑠((𝑠𝐴𝑅 Or 𝑠) → ∃𝑎𝐴𝑟𝑠 (𝑟𝑅𝑎𝑟 = 𝑎))) ∧ 𝑤 We 𝐴) → ∃𝑎𝐴𝑏𝐴 ¬ 𝑎𝑅𝑏)))
9493rexlimiv 3190 . . . . . . . 8 (∃𝑥 ∈ On (𝐷 = ∅ ∧ ∀𝑦𝑥 𝐻 ≠ ∅) → (((𝑅 Po 𝐴 ∧ ∀𝑠((𝑠𝐴𝑅 Or 𝑠) → ∃𝑎𝐴𝑟𝑠 (𝑟𝑅𝑎𝑟 = 𝑎))) ∧ 𝑤 We 𝐴) → ∃𝑎𝐴𝑏𝐴 ¬ 𝑎𝑅𝑏))
955, 17, 943syl 18 . . . . . . 7 ((𝑅 Po 𝐴𝑤 We 𝐴) → (((𝑅 Po 𝐴 ∧ ∀𝑠((𝑠𝐴𝑅 Or 𝑠) → ∃𝑎𝐴𝑟𝑠 (𝑟𝑅𝑎𝑟 = 𝑎))) ∧ 𝑤 We 𝐴) → ∃𝑎𝐴𝑏𝐴 ¬ 𝑎𝑅𝑏))
9695adantlr 715 . . . . . 6 (((𝑅 Po 𝐴 ∧ ∀𝑠((𝑠𝐴𝑅 Or 𝑠) → ∃𝑎𝐴𝑟𝑠 (𝑟𝑅𝑎𝑟 = 𝑎))) ∧ 𝑤 We 𝐴) → (((𝑅 Po 𝐴 ∧ ∀𝑠((𝑠𝐴𝑅 Or 𝑠) → ∃𝑎𝐴𝑟𝑠 (𝑟𝑅𝑎𝑟 = 𝑎))) ∧ 𝑤 We 𝐴) → ∃𝑎𝐴𝑏𝐴 ¬ 𝑎𝑅𝑏))
9796pm2.43i 52 . . . . 5 (((𝑅 Po 𝐴 ∧ ∀𝑠((𝑠𝐴𝑅 Or 𝑠) → ∃𝑎𝐴𝑟𝑠 (𝑟𝑅𝑎𝑟 = 𝑎))) ∧ 𝑤 We 𝐴) → ∃𝑎𝐴𝑏𝐴 ¬ 𝑎𝑅𝑏)
9897expcom 417 . . . 4 (𝑤 We 𝐴 → ((𝑅 Po 𝐴 ∧ ∀𝑠((𝑠𝐴𝑅 Or 𝑠) → ∃𝑎𝐴𝑟𝑠 (𝑟𝑅𝑎𝑟 = 𝑎))) → ∃𝑎𝐴𝑏𝐴 ¬ 𝑎𝑅𝑏))
9998exlimiv 1937 . . 3 (∃𝑤 𝑤 We 𝐴 → ((𝑅 Po 𝐴 ∧ ∀𝑠((𝑠𝐴𝑅 Or 𝑠) → ∃𝑎𝐴𝑟𝑠 (𝑟𝑅𝑎𝑟 = 𝑎))) → ∃𝑎𝐴𝑏𝐴 ¬ 𝑎𝑅𝑏))
1001, 99sylbi 220 . 2 (𝐴 ∈ dom card → ((𝑅 Po 𝐴 ∧ ∀𝑠((𝑠𝐴𝑅 Or 𝑠) → ∃𝑎𝐴𝑟𝑠 (𝑟𝑅𝑎𝑟 = 𝑎))) → ∃𝑎𝐴𝑏𝐴 ¬ 𝑎𝑅𝑏))
1011003impib 1117 1 ((𝐴 ∈ dom card ∧ 𝑅 Po 𝐴 ∧ ∀𝑠((𝑠𝐴𝑅 Or 𝑠) → ∃𝑎𝐴𝑟𝑠 (𝑟𝑅𝑎𝑟 = 𝑎))) → ∃𝑎𝐴𝑏𝐴 ¬ 𝑎𝑅𝑏)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 209  wa 399  wo 846  w3a 1088  wal 1540   = wceq 1542  wex 1786  wcel 2114  wne 2934  wral 3053  wrex 3054  {crab 3057  Vcvv 3398  wss 3843  c0 4211   class class class wbr 5030  cmpt 5110   Po wpo 5440   Or wor 5441   We wwe 5482  dom cdm 5525  ran crn 5526  cima 5528  Oncon0 6172  Fun wfun 6333   Fn wfn 6334  crio 7126  recscrecs 8036  cardccrd 9437
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2020  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2710  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5232  ax-pr 5296  ax-un 7479
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2075  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2730  df-clel 2811  df-nfc 2881  df-ne 2935  df-ral 3058  df-rex 3059  df-reu 3060  df-rmo 3061  df-rab 3062  df-v 3400  df-sbc 3681  df-csb 3791  df-dif 3846  df-un 3848  df-in 3850  df-ss 3860  df-pss 3862  df-nul 4212  df-if 4415  df-pw 4490  df-sn 4517  df-pr 4519  df-tp 4521  df-op 4523  df-uni 4797  df-int 4837  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5429  df-eprel 5434  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5483  df-se 5484  df-we 5485  df-xp 5531  df-rel 5532  df-cnv 5533  df-co 5534  df-dm 5535  df-rn 5536  df-res 5537  df-ima 5538  df-pred 6129  df-ord 6175  df-on 6176  df-suc 6178  df-iota 6297  df-fun 6341  df-fn 6342  df-f 6343  df-f1 6344  df-fo 6345  df-f1o 6346  df-fv 6347  df-isom 6348  df-riota 7127  df-wrecs 7976  df-recs 8037  df-en 8556  df-card 9441
This theorem is referenced by:  zorn2g  10003
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