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Theorem zorn2lem7 9579
Description: Lemma for zorn2 9583. (Contributed by NM, 6-Apr-1997.) (Revised by Mario Carneiro, 9-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
zorn2lem.3 𝐹 = recs((𝑓 ∈ V ↦ (𝑣𝐶𝑢𝐶 ¬ 𝑢𝑤𝑣)))
zorn2lem.4 𝐶 = {𝑧𝐴 ∣ ∀𝑔 ∈ ran 𝑓 𝑔𝑅𝑧}
zorn2lem.5 𝐷 = {𝑧𝐴 ∣ ∀𝑔 ∈ (𝐹𝑥)𝑔𝑅𝑧}
zorn2lem.7 𝐻 = {𝑧𝐴 ∣ ∀𝑔 ∈ (𝐹𝑦)𝑔𝑅𝑧}
Assertion
Ref Expression
zorn2lem7 ((𝐴 ∈ dom card ∧ 𝑅 Po 𝐴 ∧ ∀𝑠((𝑠𝐴𝑅 Or 𝑠) → ∃𝑎𝐴𝑟𝑠 (𝑟𝑅𝑎𝑟 = 𝑎))) → ∃𝑎𝐴𝑏𝐴 ¬ 𝑎𝑅𝑏)
Distinct variable groups:   𝑎,𝑏,𝑓,𝑔,𝑟,𝑠,𝑢,𝑣,𝑤,𝑥,𝑦,𝑧,𝐴   𝐷,𝑎,𝑏,𝑓,𝑢,𝑣,𝑦   𝐹,𝑎,𝑏,𝑓,𝑔,𝑟,𝑠,𝑢,𝑣,𝑥,𝑦,𝑧   𝑅,𝑎,𝑏,𝑓,𝑔,𝑟,𝑠,𝑢,𝑣,𝑤,𝑥,𝑦,𝑧   𝑣,𝐶   𝑥,𝐻,𝑢,𝑣,𝑓,𝑠,𝑟,𝑎,𝑏
Allowed substitution hints:   𝐶(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑢,𝑓,𝑔,𝑠,𝑟,𝑎,𝑏)   𝐷(𝑥,𝑧,𝑤,𝑔,𝑠,𝑟)   𝐹(𝑤)   𝐻(𝑦,𝑧,𝑤,𝑔)

Proof of Theorem zorn2lem7
StepHypRef Expression
1 ween 9111 . . 3 (𝐴 ∈ dom card ↔ ∃𝑤 𝑤 We 𝐴)
2 zorn2lem.3 . . . . . . . . 9 𝐹 = recs((𝑓 ∈ V ↦ (𝑣𝐶𝑢𝐶 ¬ 𝑢𝑤𝑣)))
3 zorn2lem.4 . . . . . . . . 9 𝐶 = {𝑧𝐴 ∣ ∀𝑔 ∈ ran 𝑓 𝑔𝑅𝑧}
4 zorn2lem.5 . . . . . . . . 9 𝐷 = {𝑧𝐴 ∣ ∀𝑔 ∈ (𝐹𝑥)𝑔𝑅𝑧}
52, 3, 4zorn2lem4 9576 . . . . . . . 8 ((𝑅 Po 𝐴𝑤 We 𝐴) → ∃𝑥 ∈ On 𝐷 = ∅)
6 imaeq2 5646 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = 𝑦 → (𝐹𝑥) = (𝐹𝑦))
76raleqdv 3292 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = 𝑦 → (∀𝑔 ∈ (𝐹𝑥)𝑔𝑅𝑧 ↔ ∀𝑔 ∈ (𝐹𝑦)𝑔𝑅𝑧))
87rabbidv 3338 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 𝑦 → {𝑧𝐴 ∣ ∀𝑔 ∈ (𝐹𝑥)𝑔𝑅𝑧} = {𝑧𝐴 ∣ ∀𝑔 ∈ (𝐹𝑦)𝑔𝑅𝑧})
9 zorn2lem.7 . . . . . . . . . . . 12 𝐻 = {𝑧𝐴 ∣ ∀𝑔 ∈ (𝐹𝑦)𝑔𝑅𝑧}
108, 4, 93eqtr4g 2824 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑦𝐷 = 𝐻)
1110eqeq1d 2767 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑦 → (𝐷 = ∅ ↔ 𝐻 = ∅))
1211onminex 7207 . . . . . . . . 9 (∃𝑥 ∈ On 𝐷 = ∅ → ∃𝑥 ∈ On (𝐷 = ∅ ∧ ∀𝑦𝑥 ¬ 𝐻 = ∅))
13 df-ne 2938 . . . . . . . . . . . 12 (𝐻 ≠ ∅ ↔ ¬ 𝐻 = ∅)
1413ralbii 3127 . . . . . . . . . . 11 (∀𝑦𝑥 𝐻 ≠ ∅ ↔ ∀𝑦𝑥 ¬ 𝐻 = ∅)
1514anbi2i 616 . . . . . . . . . 10 ((𝐷 = ∅ ∧ ∀𝑦𝑥 𝐻 ≠ ∅) ↔ (𝐷 = ∅ ∧ ∀𝑦𝑥 ¬ 𝐻 = ∅))
1615rexbii 3188 . . . . . . . . 9 (∃𝑥 ∈ On (𝐷 = ∅ ∧ ∀𝑦𝑥 𝐻 ≠ ∅) ↔ ∃𝑥 ∈ On (𝐷 = ∅ ∧ ∀𝑦𝑥 ¬ 𝐻 = ∅))
1712, 16sylibr 225 . . . . . . . 8 (∃𝑥 ∈ On 𝐷 = ∅ → ∃𝑥 ∈ On (𝐷 = ∅ ∧ ∀𝑦𝑥 𝐻 ≠ ∅))
182, 3, 4, 9zorn2lem5 9577 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑤 We 𝐴𝑥 ∈ On) ∧ ∀𝑦𝑥 𝐻 ≠ ∅) → (𝐹𝑥) ⊆ 𝐴)
1918a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑅 Po 𝐴 → (((𝑤 We 𝐴𝑥 ∈ On) ∧ ∀𝑦𝑥 𝐻 ≠ ∅) → (𝐹𝑥) ⊆ 𝐴))
202, 3, 4, 9zorn2lem6 9578 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑅 Po 𝐴 → (((𝑤 We 𝐴𝑥 ∈ On) ∧ ∀𝑦𝑥 𝐻 ≠ ∅) → 𝑅 Or (𝐹𝑥)))
2119, 20jcad 508 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑅 Po 𝐴 → (((𝑤 We 𝐴𝑥 ∈ On) ∧ ∀𝑦𝑥 𝐻 ≠ ∅) → ((𝐹𝑥) ⊆ 𝐴𝑅 Or (𝐹𝑥))))
222tfr1 7699 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝐹 Fn On
23 fnfun 6168 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝐹 Fn On → Fun 𝐹)
24 vex 3353 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 𝑥 ∈ V
2524funimaex 6156 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (Fun 𝐹 → (𝐹𝑥) ∈ V)
2622, 23, 25mp2b 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝐹𝑥) ∈ V
27 sseq1 3788 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑠 = (𝐹𝑥) → (𝑠𝐴 ↔ (𝐹𝑥) ⊆ 𝐴))
28 soeq2 5220 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑠 = (𝐹𝑥) → (𝑅 Or 𝑠𝑅 Or (𝐹𝑥)))
2927, 28anbi12d 624 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑠 = (𝐹𝑥) → ((𝑠𝐴𝑅 Or 𝑠) ↔ ((𝐹𝑥) ⊆ 𝐴𝑅 Or (𝐹𝑥))))
30 raleq 3286 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑠 = (𝐹𝑥) → (∀𝑟𝑠 (𝑟𝑅𝑎𝑟 = 𝑎) ↔ ∀𝑟 ∈ (𝐹𝑥)(𝑟𝑅𝑎𝑟 = 𝑎)))
3130rexbidv 3199 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑠 = (𝐹𝑥) → (∃𝑎𝐴𝑟𝑠 (𝑟𝑅𝑎𝑟 = 𝑎) ↔ ∃𝑎𝐴𝑟 ∈ (𝐹𝑥)(𝑟𝑅𝑎𝑟 = 𝑎)))
3229, 31imbi12d 335 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑠 = (𝐹𝑥) → (((𝑠𝐴𝑅 Or 𝑠) → ∃𝑎𝐴𝑟𝑠 (𝑟𝑅𝑎𝑟 = 𝑎)) ↔ (((𝐹𝑥) ⊆ 𝐴𝑅 Or (𝐹𝑥)) → ∃𝑎𝐴𝑟 ∈ (𝐹𝑥)(𝑟𝑅𝑎𝑟 = 𝑎))))
3326, 32spcv 3452 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (∀𝑠((𝑠𝐴𝑅 Or 𝑠) → ∃𝑎𝐴𝑟𝑠 (𝑟𝑅𝑎𝑟 = 𝑎)) → (((𝐹𝑥) ⊆ 𝐴𝑅 Or (𝐹𝑥)) → ∃𝑎𝐴𝑟 ∈ (𝐹𝑥)(𝑟𝑅𝑎𝑟 = 𝑎)))
3421, 33sylan9 503 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑅 Po 𝐴 ∧ ∀𝑠((𝑠𝐴𝑅 Or 𝑠) → ∃𝑎𝐴𝑟𝑠 (𝑟𝑅𝑎𝑟 = 𝑎))) → (((𝑤 We 𝐴𝑥 ∈ On) ∧ ∀𝑦𝑥 𝐻 ≠ ∅) → ∃𝑎𝐴𝑟 ∈ (𝐹𝑥)(𝑟𝑅𝑎𝑟 = 𝑎)))
3534adantld 484 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑅 Po 𝐴 ∧ ∀𝑠((𝑠𝐴𝑅 Or 𝑠) → ∃𝑎𝐴𝑟𝑠 (𝑟𝑅𝑎𝑟 = 𝑎))) → ((𝐷 = ∅ ∧ ((𝑤 We 𝐴𝑥 ∈ On) ∧ ∀𝑦𝑥 𝐻 ≠ ∅)) → ∃𝑎𝐴𝑟 ∈ (𝐹𝑥)(𝑟𝑅𝑎𝑟 = 𝑎)))
3635imp 395 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑅 Po 𝐴 ∧ ∀𝑠((𝑠𝐴𝑅 Or 𝑠) → ∃𝑎𝐴𝑟𝑠 (𝑟𝑅𝑎𝑟 = 𝑎))) ∧ (𝐷 = ∅ ∧ ((𝑤 We 𝐴𝑥 ∈ On) ∧ ∀𝑦𝑥 𝐻 ≠ ∅))) → ∃𝑎𝐴𝑟 ∈ (𝐹𝑥)(𝑟𝑅𝑎𝑟 = 𝑎))
37 noel 4085 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ¬ 𝑏 ∈ ∅
3818sseld 3762 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 (((𝑤 We 𝐴𝑥 ∈ On) ∧ ∀𝑦𝑥 𝐻 ≠ ∅) → (𝑟 ∈ (𝐹𝑥) → 𝑟𝐴))
39 3anass 1116 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 ((𝑟𝐴𝑎𝐴𝑏𝐴) ↔ (𝑟𝐴 ∧ (𝑎𝐴𝑏𝐴)))
40 potr 5212 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 ((𝑅 Po 𝐴 ∧ (𝑟𝐴𝑎𝐴𝑏𝐴)) → ((𝑟𝑅𝑎𝑎𝑅𝑏) → 𝑟𝑅𝑏))
4139, 40sylan2br 588 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 ((𝑅 Po 𝐴 ∧ (𝑟𝐴 ∧ (𝑎𝐴𝑏𝐴))) → ((𝑟𝑅𝑎𝑎𝑅𝑏) → 𝑟𝑅𝑏))
4241expcomd 406 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 ((𝑅 Po 𝐴 ∧ (𝑟𝐴 ∧ (𝑎𝐴𝑏𝐴))) → (𝑎𝑅𝑏 → (𝑟𝑅𝑎𝑟𝑅𝑏)))
4342imp 395 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 (((𝑅 Po 𝐴 ∧ (𝑟𝐴 ∧ (𝑎𝐴𝑏𝐴))) ∧ 𝑎𝑅𝑏) → (𝑟𝑅𝑎𝑟𝑅𝑏))
44 breq1 4814 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 (𝑟 = 𝑎 → (𝑟𝑅𝑏𝑎𝑅𝑏))
4544biimprcd 241 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 (𝑎𝑅𝑏 → (𝑟 = 𝑎𝑟𝑅𝑏))
4645adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 (((𝑅 Po 𝐴 ∧ (𝑟𝐴 ∧ (𝑎𝐴𝑏𝐴))) ∧ 𝑎𝑅𝑏) → (𝑟 = 𝑎𝑟𝑅𝑏))
4743, 46jaod 885 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 (((𝑅 Po 𝐴 ∧ (𝑟𝐴 ∧ (𝑎𝐴𝑏𝐴))) ∧ 𝑎𝑅𝑏) → ((𝑟𝑅𝑎𝑟 = 𝑎) → 𝑟𝑅𝑏))
4847exp42 426 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 (𝑅 Po 𝐴 → (𝑟𝐴 → ((𝑎𝐴𝑏𝐴) → (𝑎𝑅𝑏 → ((𝑟𝑅𝑎𝑟 = 𝑎) → 𝑟𝑅𝑏)))))
4938, 48sylan9r 504 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ((𝑅 Po 𝐴 ∧ ((𝑤 We 𝐴𝑥 ∈ On) ∧ ∀𝑦𝑥 𝐻 ≠ ∅)) → (𝑟 ∈ (𝐹𝑥) → ((𝑎𝐴𝑏𝐴) → (𝑎𝑅𝑏 → ((𝑟𝑅𝑎𝑟 = 𝑎) → 𝑟𝑅𝑏)))))
5049com24 95 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ((𝑅 Po 𝐴 ∧ ((𝑤 We 𝐴𝑥 ∈ On) ∧ ∀𝑦𝑥 𝐻 ≠ ∅)) → (𝑎𝑅𝑏 → ((𝑎𝐴𝑏𝐴) → (𝑟 ∈ (𝐹𝑥) → ((𝑟𝑅𝑎𝑟 = 𝑎) → 𝑟𝑅𝑏)))))
5150com23 86 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ((𝑅 Po 𝐴 ∧ ((𝑤 We 𝐴𝑥 ∈ On) ∧ ∀𝑦𝑥 𝐻 ≠ ∅)) → ((𝑎𝐴𝑏𝐴) → (𝑎𝑅𝑏 → (𝑟 ∈ (𝐹𝑥) → ((𝑟𝑅𝑎𝑟 = 𝑎) → 𝑟𝑅𝑏)))))
5251imp31 408 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ((((𝑅 Po 𝐴 ∧ ((𝑤 We 𝐴𝑥 ∈ On) ∧ ∀𝑦𝑥 𝐻 ≠ ∅)) ∧ (𝑎𝐴𝑏𝐴)) ∧ 𝑎𝑅𝑏) → (𝑟 ∈ (𝐹𝑥) → ((𝑟𝑅𝑎𝑟 = 𝑎) → 𝑟𝑅𝑏)))
5352a2d 29 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ((((𝑅 Po 𝐴 ∧ ((𝑤 We 𝐴𝑥 ∈ On) ∧ ∀𝑦𝑥 𝐻 ≠ ∅)) ∧ (𝑎𝐴𝑏𝐴)) ∧ 𝑎𝑅𝑏) → ((𝑟 ∈ (𝐹𝑥) → (𝑟𝑅𝑎𝑟 = 𝑎)) → (𝑟 ∈ (𝐹𝑥) → 𝑟𝑅𝑏)))
5453ralimdv2 3108 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((((𝑅 Po 𝐴 ∧ ((𝑤 We 𝐴𝑥 ∈ On) ∧ ∀𝑦𝑥 𝐻 ≠ ∅)) ∧ (𝑎𝐴𝑏𝐴)) ∧ 𝑎𝑅𝑏) → (∀𝑟 ∈ (𝐹𝑥)(𝑟𝑅𝑎𝑟 = 𝑎) → ∀𝑟 ∈ (𝐹𝑥)𝑟𝑅𝑏))
55 breq1 4814 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (𝑟 = 𝑔 → (𝑟𝑅𝑏𝑔𝑅𝑏))
5655cbvralv 3319 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (∀𝑟 ∈ (𝐹𝑥)𝑟𝑅𝑏 ↔ ∀𝑔 ∈ (𝐹𝑥)𝑔𝑅𝑏)
57 breq2 4815 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 (𝑧 = 𝑏 → (𝑔𝑅𝑧𝑔𝑅𝑏))
5857ralbidv 3133 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 (𝑧 = 𝑏 → (∀𝑔 ∈ (𝐹𝑥)𝑔𝑅𝑧 ↔ ∀𝑔 ∈ (𝐹𝑥)𝑔𝑅𝑏))
5958elrab 3521 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 (𝑏 ∈ {𝑧𝐴 ∣ ∀𝑔 ∈ (𝐹𝑥)𝑔𝑅𝑧} ↔ (𝑏𝐴 ∧ ∀𝑔 ∈ (𝐹𝑥)𝑔𝑅𝑏))
604eqeq1i 2770 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 (𝐷 = ∅ ↔ {𝑧𝐴 ∣ ∀𝑔 ∈ (𝐹𝑥)𝑔𝑅𝑧} = ∅)
61 eleq2 2833 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ({𝑧𝐴 ∣ ∀𝑔 ∈ (𝐹𝑥)𝑔𝑅𝑧} = ∅ → (𝑏 ∈ {𝑧𝐴 ∣ ∀𝑔 ∈ (𝐹𝑥)𝑔𝑅𝑧} ↔ 𝑏 ∈ ∅))
6260, 61sylbi 208 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 (𝐷 = ∅ → (𝑏 ∈ {𝑧𝐴 ∣ ∀𝑔 ∈ (𝐹𝑥)𝑔𝑅𝑧} ↔ 𝑏 ∈ ∅))
6359, 62syl5bbr 276 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 (𝐷 = ∅ → ((𝑏𝐴 ∧ ∀𝑔 ∈ (𝐹𝑥)𝑔𝑅𝑏) ↔ 𝑏 ∈ ∅))
6463biimpd 220 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (𝐷 = ∅ → ((𝑏𝐴 ∧ ∀𝑔 ∈ (𝐹𝑥)𝑔𝑅𝑏) → 𝑏 ∈ ∅))
6564expdimp 444 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ((𝐷 = ∅ ∧ 𝑏𝐴) → (∀𝑔 ∈ (𝐹𝑥)𝑔𝑅𝑏𝑏 ∈ ∅))
6656, 65syl5bi 233 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((𝐷 = ∅ ∧ 𝑏𝐴) → (∀𝑟 ∈ (𝐹𝑥)𝑟𝑅𝑏𝑏 ∈ ∅))
6754, 66sylan9r 504 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (((𝐷 = ∅ ∧ 𝑏𝐴) ∧ (((𝑅 Po 𝐴 ∧ ((𝑤 We 𝐴𝑥 ∈ On) ∧ ∀𝑦𝑥 𝐻 ≠ ∅)) ∧ (𝑎𝐴𝑏𝐴)) ∧ 𝑎𝑅𝑏)) → (∀𝑟 ∈ (𝐹𝑥)(𝑟𝑅𝑎𝑟 = 𝑎) → 𝑏 ∈ ∅))
6867exp32 411 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝐷 = ∅ ∧ 𝑏𝐴) → (((𝑅 Po 𝐴 ∧ ((𝑤 We 𝐴𝑥 ∈ On) ∧ ∀𝑦𝑥 𝐻 ≠ ∅)) ∧ (𝑎𝐴𝑏𝐴)) → (𝑎𝑅𝑏 → (∀𝑟 ∈ (𝐹𝑥)(𝑟𝑅𝑎𝑟 = 𝑎) → 𝑏 ∈ ∅))))
6968com34 91 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((𝐷 = ∅ ∧ 𝑏𝐴) → (((𝑅 Po 𝐴 ∧ ((𝑤 We 𝐴𝑥 ∈ On) ∧ ∀𝑦𝑥 𝐻 ≠ ∅)) ∧ (𝑎𝐴𝑏𝐴)) → (∀𝑟 ∈ (𝐹𝑥)(𝑟𝑅𝑎𝑟 = 𝑎) → (𝑎𝑅𝑏𝑏 ∈ ∅))))
7069imp31 408 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((((𝐷 = ∅ ∧ 𝑏𝐴) ∧ ((𝑅 Po 𝐴 ∧ ((𝑤 We 𝐴𝑥 ∈ On) ∧ ∀𝑦𝑥 𝐻 ≠ ∅)) ∧ (𝑎𝐴𝑏𝐴))) ∧ ∀𝑟 ∈ (𝐹𝑥)(𝑟𝑅𝑎𝑟 = 𝑎)) → (𝑎𝑅𝑏𝑏 ∈ ∅))
7137, 70mtoi 190 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((((𝐷 = ∅ ∧ 𝑏𝐴) ∧ ((𝑅 Po 𝐴 ∧ ((𝑤 We 𝐴𝑥 ∈ On) ∧ ∀𝑦𝑥 𝐻 ≠ ∅)) ∧ (𝑎𝐴𝑏𝐴))) ∧ ∀𝑟 ∈ (𝐹𝑥)(𝑟𝑅𝑎𝑟 = 𝑎)) → ¬ 𝑎𝑅𝑏)
7271exp42 426 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝐷 = ∅ ∧ 𝑏𝐴) → ((𝑅 Po 𝐴 ∧ ((𝑤 We 𝐴𝑥 ∈ On) ∧ ∀𝑦𝑥 𝐻 ≠ ∅)) → ((𝑎𝐴𝑏𝐴) → (∀𝑟 ∈ (𝐹𝑥)(𝑟𝑅𝑎𝑟 = 𝑎) → ¬ 𝑎𝑅𝑏))))
7372exp4a 422 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝐷 = ∅ ∧ 𝑏𝐴) → ((𝑅 Po 𝐴 ∧ ((𝑤 We 𝐴𝑥 ∈ On) ∧ ∀𝑦𝑥 𝐻 ≠ ∅)) → (𝑎𝐴 → (𝑏𝐴 → (∀𝑟 ∈ (𝐹𝑥)(𝑟𝑅𝑎𝑟 = 𝑎) → ¬ 𝑎𝑅𝑏)))))
7473com34 91 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝐷 = ∅ ∧ 𝑏𝐴) → ((𝑅 Po 𝐴 ∧ ((𝑤 We 𝐴𝑥 ∈ On) ∧ ∀𝑦𝑥 𝐻 ≠ ∅)) → (𝑏𝐴 → (𝑎𝐴 → (∀𝑟 ∈ (𝐹𝑥)(𝑟𝑅𝑎𝑟 = 𝑎) → ¬ 𝑎𝑅𝑏)))))
7574ex 401 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝐷 = ∅ → (𝑏𝐴 → ((𝑅 Po 𝐴 ∧ ((𝑤 We 𝐴𝑥 ∈ On) ∧ ∀𝑦𝑥 𝐻 ≠ ∅)) → (𝑏𝐴 → (𝑎𝐴 → (∀𝑟 ∈ (𝐹𝑥)(𝑟𝑅𝑎𝑟 = 𝑎) → ¬ 𝑎𝑅𝑏))))))
7675com4r 94 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑏𝐴 → (𝐷 = ∅ → (𝑏𝐴 → ((𝑅 Po 𝐴 ∧ ((𝑤 We 𝐴𝑥 ∈ On) ∧ ∀𝑦𝑥 𝐻 ≠ ∅)) → (𝑎𝐴 → (∀𝑟 ∈ (𝐹𝑥)(𝑟𝑅𝑎𝑟 = 𝑎) → ¬ 𝑎𝑅𝑏))))))
7776pm2.43a 54 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑏𝐴 → (𝐷 = ∅ → ((𝑅 Po 𝐴 ∧ ((𝑤 We 𝐴𝑥 ∈ On) ∧ ∀𝑦𝑥 𝐻 ≠ ∅)) → (𝑎𝐴 → (∀𝑟 ∈ (𝐹𝑥)(𝑟𝑅𝑎𝑟 = 𝑎) → ¬ 𝑎𝑅𝑏)))))
7877impd 398 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑏𝐴 → ((𝐷 = ∅ ∧ (𝑅 Po 𝐴 ∧ ((𝑤 We 𝐴𝑥 ∈ On) ∧ ∀𝑦𝑥 𝐻 ≠ ∅))) → (𝑎𝐴 → (∀𝑟 ∈ (𝐹𝑥)(𝑟𝑅𝑎𝑟 = 𝑎) → ¬ 𝑎𝑅𝑏))))
7978com4l 92 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝐷 = ∅ ∧ (𝑅 Po 𝐴 ∧ ((𝑤 We 𝐴𝑥 ∈ On) ∧ ∀𝑦𝑥 𝐻 ≠ ∅))) → (𝑎𝐴 → (∀𝑟 ∈ (𝐹𝑥)(𝑟𝑅𝑎𝑟 = 𝑎) → (𝑏𝐴 → ¬ 𝑎𝑅𝑏))))
8079impd 398 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝐷 = ∅ ∧ (𝑅 Po 𝐴 ∧ ((𝑤 We 𝐴𝑥 ∈ On) ∧ ∀𝑦𝑥 𝐻 ≠ ∅))) → ((𝑎𝐴 ∧ ∀𝑟 ∈ (𝐹𝑥)(𝑟𝑅𝑎𝑟 = 𝑎)) → (𝑏𝐴 → ¬ 𝑎𝑅𝑏)))
8180ralrimdv 3115 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝐷 = ∅ ∧ (𝑅 Po 𝐴 ∧ ((𝑤 We 𝐴𝑥 ∈ On) ∧ ∀𝑦𝑥 𝐻 ≠ ∅))) → ((𝑎𝐴 ∧ ∀𝑟 ∈ (𝐹𝑥)(𝑟𝑅𝑎𝑟 = 𝑎)) → ∀𝑏𝐴 ¬ 𝑎𝑅𝑏))
8281expd 404 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐷 = ∅ ∧ (𝑅 Po 𝐴 ∧ ((𝑤 We 𝐴𝑥 ∈ On) ∧ ∀𝑦𝑥 𝐻 ≠ ∅))) → (𝑎𝐴 → (∀𝑟 ∈ (𝐹𝑥)(𝑟𝑅𝑎𝑟 = 𝑎) → ∀𝑏𝐴 ¬ 𝑎𝑅𝑏)))
8382reximdvai 3161 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐷 = ∅ ∧ (𝑅 Po 𝐴 ∧ ((𝑤 We 𝐴𝑥 ∈ On) ∧ ∀𝑦𝑥 𝐻 ≠ ∅))) → (∃𝑎𝐴𝑟 ∈ (𝐹𝑥)(𝑟𝑅𝑎𝑟 = 𝑎) → ∃𝑎𝐴𝑏𝐴 ¬ 𝑎𝑅𝑏))
8483exp32 411 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐷 = ∅ → (𝑅 Po 𝐴 → (((𝑤 We 𝐴𝑥 ∈ On) ∧ ∀𝑦𝑥 𝐻 ≠ ∅) → (∃𝑎𝐴𝑟 ∈ (𝐹𝑥)(𝑟𝑅𝑎𝑟 = 𝑎) → ∃𝑎𝐴𝑏𝐴 ¬ 𝑎𝑅𝑏))))
8584com12 32 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑅 Po 𝐴 → (𝐷 = ∅ → (((𝑤 We 𝐴𝑥 ∈ On) ∧ ∀𝑦𝑥 𝐻 ≠ ∅) → (∃𝑎𝐴𝑟 ∈ (𝐹𝑥)(𝑟𝑅𝑎𝑟 = 𝑎) → ∃𝑎𝐴𝑏𝐴 ¬ 𝑎𝑅𝑏))))
8685adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑅 Po 𝐴 ∧ ∀𝑠((𝑠𝐴𝑅 Or 𝑠) → ∃𝑎𝐴𝑟𝑠 (𝑟𝑅𝑎𝑟 = 𝑎))) → (𝐷 = ∅ → (((𝑤 We 𝐴𝑥 ∈ On) ∧ ∀𝑦𝑥 𝐻 ≠ ∅) → (∃𝑎𝐴𝑟 ∈ (𝐹𝑥)(𝑟𝑅𝑎𝑟 = 𝑎) → ∃𝑎𝐴𝑏𝐴 ¬ 𝑎𝑅𝑏))))
8786imp32 409 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑅 Po 𝐴 ∧ ∀𝑠((𝑠𝐴𝑅 Or 𝑠) → ∃𝑎𝐴𝑟𝑠 (𝑟𝑅𝑎𝑟 = 𝑎))) ∧ (𝐷 = ∅ ∧ ((𝑤 We 𝐴𝑥 ∈ On) ∧ ∀𝑦𝑥 𝐻 ≠ ∅))) → (∃𝑎𝐴𝑟 ∈ (𝐹𝑥)(𝑟𝑅𝑎𝑟 = 𝑎) → ∃𝑎𝐴𝑏𝐴 ¬ 𝑎𝑅𝑏))
8836, 87mpd 15 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑅 Po 𝐴 ∧ ∀𝑠((𝑠𝐴𝑅 Or 𝑠) → ∃𝑎𝐴𝑟𝑠 (𝑟𝑅𝑎𝑟 = 𝑎))) ∧ (𝐷 = ∅ ∧ ((𝑤 We 𝐴𝑥 ∈ On) ∧ ∀𝑦𝑥 𝐻 ≠ ∅))) → ∃𝑎𝐴𝑏𝐴 ¬ 𝑎𝑅𝑏)
8988exp45 429 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑅 Po 𝐴 ∧ ∀𝑠((𝑠𝐴𝑅 Or 𝑠) → ∃𝑎𝐴𝑟𝑠 (𝑟𝑅𝑎𝑟 = 𝑎))) → (𝐷 = ∅ → ((𝑤 We 𝐴𝑥 ∈ On) → (∀𝑦𝑥 𝐻 ≠ ∅ → ∃𝑎𝐴𝑏𝐴 ¬ 𝑎𝑅𝑏))))
9089com23 86 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑅 Po 𝐴 ∧ ∀𝑠((𝑠𝐴𝑅 Or 𝑠) → ∃𝑎𝐴𝑟𝑠 (𝑟𝑅𝑎𝑟 = 𝑎))) → ((𝑤 We 𝐴𝑥 ∈ On) → (𝐷 = ∅ → (∀𝑦𝑥 𝐻 ≠ ∅ → ∃𝑎𝐴𝑏𝐴 ¬ 𝑎𝑅𝑏))))
9190expdimp 444 . . . . . . . . . . 11 (((𝑅 Po 𝐴 ∧ ∀𝑠((𝑠𝐴𝑅 Or 𝑠) → ∃𝑎𝐴𝑟𝑠 (𝑟𝑅𝑎𝑟 = 𝑎))) ∧ 𝑤 We 𝐴) → (𝑥 ∈ On → (𝐷 = ∅ → (∀𝑦𝑥 𝐻 ≠ ∅ → ∃𝑎𝐴𝑏𝐴 ¬ 𝑎𝑅𝑏))))
9291imp4a 413 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 Po 𝐴 ∧ ∀𝑠((𝑠𝐴𝑅 Or 𝑠) → ∃𝑎𝐴𝑟𝑠 (𝑟𝑅𝑎𝑟 = 𝑎))) ∧ 𝑤 We 𝐴) → (𝑥 ∈ On → ((𝐷 = ∅ ∧ ∀𝑦𝑥 𝐻 ≠ ∅) → ∃𝑎𝐴𝑏𝐴 ¬ 𝑎𝑅𝑏)))
9392com3l 89 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ On → ((𝐷 = ∅ ∧ ∀𝑦𝑥 𝐻 ≠ ∅) → (((𝑅 Po 𝐴 ∧ ∀𝑠((𝑠𝐴𝑅 Or 𝑠) → ∃𝑎𝐴𝑟𝑠 (𝑟𝑅𝑎𝑟 = 𝑎))) ∧ 𝑤 We 𝐴) → ∃𝑎𝐴𝑏𝐴 ¬ 𝑎𝑅𝑏)))
9493rexlimiv 3174 . . . . . . . 8 (∃𝑥 ∈ On (𝐷 = ∅ ∧ ∀𝑦𝑥 𝐻 ≠ ∅) → (((𝑅 Po 𝐴 ∧ ∀𝑠((𝑠𝐴𝑅 Or 𝑠) → ∃𝑎𝐴𝑟𝑠 (𝑟𝑅𝑎𝑟 = 𝑎))) ∧ 𝑤 We 𝐴) → ∃𝑎𝐴𝑏𝐴 ¬ 𝑎𝑅𝑏))
955, 17, 943syl 18 . . . . . . 7 ((𝑅 Po 𝐴𝑤 We 𝐴) → (((𝑅 Po 𝐴 ∧ ∀𝑠((𝑠𝐴𝑅 Or 𝑠) → ∃𝑎𝐴𝑟𝑠 (𝑟𝑅𝑎𝑟 = 𝑎))) ∧ 𝑤 We 𝐴) → ∃𝑎𝐴𝑏𝐴 ¬ 𝑎𝑅𝑏))
9695adantlr 706 . . . . . 6 (((𝑅 Po 𝐴 ∧ ∀𝑠((𝑠𝐴𝑅 Or 𝑠) → ∃𝑎𝐴𝑟𝑠 (𝑟𝑅𝑎𝑟 = 𝑎))) ∧ 𝑤 We 𝐴) → (((𝑅 Po 𝐴 ∧ ∀𝑠((𝑠𝐴𝑅 Or 𝑠) → ∃𝑎𝐴𝑟𝑠 (𝑟𝑅𝑎𝑟 = 𝑎))) ∧ 𝑤 We 𝐴) → ∃𝑎𝐴𝑏𝐴 ¬ 𝑎𝑅𝑏))
9796pm2.43i 52 . . . . 5 (((𝑅 Po 𝐴 ∧ ∀𝑠((𝑠𝐴𝑅 Or 𝑠) → ∃𝑎𝐴𝑟𝑠 (𝑟𝑅𝑎𝑟 = 𝑎))) ∧ 𝑤 We 𝐴) → ∃𝑎𝐴𝑏𝐴 ¬ 𝑎𝑅𝑏)
9897expcom 402 . . . 4 (𝑤 We 𝐴 → ((𝑅 Po 𝐴 ∧ ∀𝑠((𝑠𝐴𝑅 Or 𝑠) → ∃𝑎𝐴𝑟𝑠 (𝑟𝑅𝑎𝑟 = 𝑎))) → ∃𝑎𝐴𝑏𝐴 ¬ 𝑎𝑅𝑏))
9998exlimiv 2025 . . 3 (∃𝑤 𝑤 We 𝐴 → ((𝑅 Po 𝐴 ∧ ∀𝑠((𝑠𝐴𝑅 Or 𝑠) → ∃𝑎𝐴𝑟𝑠 (𝑟𝑅𝑎𝑟 = 𝑎))) → ∃𝑎𝐴𝑏𝐴 ¬ 𝑎𝑅𝑏))
1001, 99sylbi 208 . 2 (𝐴 ∈ dom card → ((𝑅 Po 𝐴 ∧ ∀𝑠((𝑠𝐴𝑅 Or 𝑠) → ∃𝑎𝐴𝑟𝑠 (𝑟𝑅𝑎𝑟 = 𝑎))) → ∃𝑎𝐴𝑏𝐴 ¬ 𝑎𝑅𝑏))
1011003impib 1144 1 ((𝐴 ∈ dom card ∧ 𝑅 Po 𝐴 ∧ ∀𝑠((𝑠𝐴𝑅 Or 𝑠) → ∃𝑎𝐴𝑟𝑠 (𝑟𝑅𝑎𝑟 = 𝑎))) → ∃𝑎𝐴𝑏𝐴 ¬ 𝑎𝑅𝑏)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 197  wa 384  wo 873  w3a 1107  wal 1650   = wceq 1652  wex 1874  wcel 2155  wne 2937  wral 3055  wrex 3056  {crab 3059  Vcvv 3350  wss 3734  c0 4081   class class class wbr 4811  cmpt 4890   Po wpo 5198   Or wor 5199   We wwe 5237  dom cdm 5279  ran crn 5280  cima 5282  Oncon0 5910  Fun wfun 6064   Fn wfn 6065  crio 6804  recscrecs 7673  cardccrd 9014
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-rep 4932  ax-sep 4943  ax-nul 4951  ax-pow 5003  ax-pr 5064  ax-un 7149
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rmo 3063  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3599  df-csb 3694  df-dif 3737  df-un 3739  df-in 3741  df-ss 3748  df-pss 3750  df-nul 4082  df-if 4246  df-pw 4319  df-sn 4337  df-pr 4339  df-tp 4341  df-op 4343  df-uni 4597  df-int 4636  df-iun 4680  df-br 4812  df-opab 4874  df-mpt 4891  df-tr 4914  df-id 5187  df-eprel 5192  df-po 5200  df-so 5201  df-fr 5238  df-se 5239  df-we 5240  df-xp 5285  df-rel 5286  df-cnv 5287  df-co 5288  df-dm 5289  df-rn 5290  df-res 5291  df-ima 5292  df-pred 5867  df-ord 5913  df-on 5914  df-suc 5916  df-iota 6033  df-fun 6072  df-fn 6073  df-f 6074  df-f1 6075  df-fo 6076  df-f1o 6077  df-fv 6078  df-isom 6079  df-riota 6805  df-wrecs 7612  df-recs 7674  df-en 8163  df-card 9018
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