Theorem poirr 5583

Description: A partial order is irreflexive. (Contributed by NM, 27-Mar-1997.)

Assertion

Ref	Expression
poirr	⊢ ((𝑅 Po 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → ¬ 𝐵𝑅𝐵)

Proof of Theorem poirr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-3an 1105	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) ↔ ((𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ∈ 𝐴))
2		anabs1 675	. . 3 ⊢ (((𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) ↔ (𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ 𝐴))
3		anidm 575	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) ↔ 𝐵 ∈ 𝐴)
4	1, 2, 3	3bitrri 301	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ 𝐴 ↔ (𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ 𝐴))
5		pocl 5579	. . . 4 ⊢ (𝑅 Po 𝐴 → ((𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → (¬ 𝐵𝑅𝐵 ∧ ((𝐵𝑅𝐵 ∧ 𝐵𝑅𝐵) → 𝐵𝑅𝐵))))
6	5	imp 412	. . 3 ⊢ ((𝑅 Po 𝐴 ∧ (𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ 𝐴)) → (¬ 𝐵𝑅𝐵 ∧ ((𝐵𝑅𝐵 ∧ 𝐵𝑅𝐵) → 𝐵𝑅𝐵)))
7	6	simpld 500	. 2 ⊢ ((𝑅 Po 𝐴 ∧ (𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ 𝐴)) → ¬ 𝐵𝑅𝐵)
8	4, 7	sylan2b 606	1 ⊢ ((𝑅 Po 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → ¬ 𝐵𝑅𝐵)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   ∈ wcel 2146   class class class wbr 5111   Po wpo 5569

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-ext 2737

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-sb 2100  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-ral 3082  df-rab 3419  df-v 3459  df-dif 3909  df-un 3911  df-ss 3923  df-nul 4287  df-if 4490  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-br 5112  df-po 5571

This theorem is used by:  po2nr  5585  po2ne  5587  pofun  5589  sonr  5595  poirr2  6126  predpoirr  6338  soisoi  7332  poxp  8126  poseq  8156  swoer  8728  frfi  9248  wemappo  9514  zorn2lem3  10493  ex-po  30833  pocnv  36268  weiunpo  37009  epirron  44014  ipo0  45191