Theorem poirr 5552

Description: A partial order is irreflexive. (Contributed by NM, 27-Mar-1997.)

Assertion

Ref	Expression
poirr	⊢ ((𝑅 Po 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → ¬ 𝐵𝑅𝐵)

Proof of Theorem poirr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-3an 1089	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) ↔ ((𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ∈ 𝐴))
2		anabs1 663	. . 3 ⊢ (((𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) ↔ (𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ 𝐴))
3		anidm 564	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) ↔ 𝐵 ∈ 𝐴)
4	1, 2, 3	3bitrri 298	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ 𝐴 ↔ (𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ 𝐴))
5		pocl 5548	. . . 4 ⊢ (𝑅 Po 𝐴 → ((𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → (¬ 𝐵𝑅𝐵 ∧ ((𝐵𝑅𝐵 ∧ 𝐵𝑅𝐵) → 𝐵𝑅𝐵))))
6	5	imp 406	. . 3 ⊢ ((𝑅 Po 𝐴 ∧ (𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ 𝐴)) → (¬ 𝐵𝑅𝐵 ∧ ((𝐵𝑅𝐵 ∧ 𝐵𝑅𝐵) → 𝐵𝑅𝐵)))
7	6	simpld 494	. 2 ⊢ ((𝑅 Po 𝐴 ∧ (𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ 𝐴)) → ¬ 𝐵𝑅𝐵)
8	4, 7	sylan2b 595	1 ⊢ ((𝑅 Po 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → ¬ 𝐵𝑅𝐵)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5100   Po wpo 5538

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-ext 2709

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-sb 2069  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-ral 3053  df-rab 3402  df-v 3444  df-dif 3906  df-un 3908  df-ss 3920  df-nul 4288  df-if 4482  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-br 5101  df-po 5540

This theorem is referenced by:  po2nr  5554  po2ne  5556  pofun  5558  sonr  5564  poirr2  6089  predpoirr  6299  soisoi  7284  poxp  8080  poseq  8110  swoer  8677  frfi  9197  wemappo  9466  zorn2lem3  10420  ex-po  30522  pocnv  35976  weiunpo  36678  epirron  43608  ipo0  44801