Theorem seqpo 37944

Description: Two ways to say that a sequence respects a partial order. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.)

Assertion

Ref	Expression
seqpo	⊢ ((𝑅 Po 𝐴 ∧ 𝐹:ℕ⟶𝐴) → (∀𝑠 ∈ ℕ (𝐹‘𝑠)𝑅(𝐹‘(𝑠 + 1)) ↔ ∀𝑚 ∈ ℕ ∀𝑛 ∈ (ℤ≥‘(𝑚 + 1))(𝐹‘𝑚)𝑅(𝐹‘𝑛)))

Distinct variable groups:   𝑚,𝐹,𝑛,𝑠   𝐴,𝑚,𝑛,𝑠   𝑅,𝑚,𝑛,𝑠

Proof of Theorem seqpo

Dummy variables 𝑝 𝑞 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 6834	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑝 = (𝑚 + 1) → (𝐹‘𝑝) = (𝐹‘(𝑚 + 1)))
2	1	breq2d 5110	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑝 = (𝑚 + 1) → ((𝐹‘𝑚)𝑅(𝐹‘𝑝) ↔ (𝐹‘𝑚)𝑅(𝐹‘(𝑚 + 1))))
3	2	imbi2d 340	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑝 = (𝑚 + 1) → ((((𝑅 Po 𝐴 ∧ 𝐹:ℕ⟶𝐴) ∧ (∀𝑠 ∈ ℕ (𝐹‘𝑠)𝑅(𝐹‘(𝑠 + 1)) ∧ 𝑚 ∈ ℕ)) → (𝐹‘𝑚)𝑅(𝐹‘𝑝)) ↔ (((𝑅 Po 𝐴 ∧ 𝐹:ℕ⟶𝐴) ∧ (∀𝑠 ∈ ℕ (𝐹‘𝑠)𝑅(𝐹‘(𝑠 + 1)) ∧ 𝑚 ∈ ℕ)) → (𝐹‘𝑚)𝑅(𝐹‘(𝑚 + 1)))))
4		fveq2 6834	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑝 = 𝑞 → (𝐹‘𝑝) = (𝐹‘𝑞))
5	4	breq2d 5110	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑝 = 𝑞 → ((𝐹‘𝑚)𝑅(𝐹‘𝑝) ↔ (𝐹‘𝑚)𝑅(𝐹‘𝑞)))
6	5	imbi2d 340	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑝 = 𝑞 → ((((𝑅 Po 𝐴 ∧ 𝐹:ℕ⟶𝐴) ∧ (∀𝑠 ∈ ℕ (𝐹‘𝑠)𝑅(𝐹‘(𝑠 + 1)) ∧ 𝑚 ∈ ℕ)) → (𝐹‘𝑚)𝑅(𝐹‘𝑝)) ↔ (((𝑅 Po 𝐴 ∧ 𝐹:ℕ⟶𝐴) ∧ (∀𝑠 ∈ ℕ (𝐹‘𝑠)𝑅(𝐹‘(𝑠 + 1)) ∧ 𝑚 ∈ ℕ)) → (𝐹‘𝑚)𝑅(𝐹‘𝑞))))
7		fveq2 6834	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑝 = (𝑞 + 1) → (𝐹‘𝑝) = (𝐹‘(𝑞 + 1)))
8	7	breq2d 5110	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑝 = (𝑞 + 1) → ((𝐹‘𝑚)𝑅(𝐹‘𝑝) ↔ (𝐹‘𝑚)𝑅(𝐹‘(𝑞 + 1))))
9	8	imbi2d 340	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑝 = (𝑞 + 1) → ((((𝑅 Po 𝐴 ∧ 𝐹:ℕ⟶𝐴) ∧ (∀𝑠 ∈ ℕ (𝐹‘𝑠)𝑅(𝐹‘(𝑠 + 1)) ∧ 𝑚 ∈ ℕ)) → (𝐹‘𝑚)𝑅(𝐹‘𝑝)) ↔ (((𝑅 Po 𝐴 ∧ 𝐹:ℕ⟶𝐴) ∧ (∀𝑠 ∈ ℕ (𝐹‘𝑠)𝑅(𝐹‘(𝑠 + 1)) ∧ 𝑚 ∈ ℕ)) → (𝐹‘𝑚)𝑅(𝐹‘(𝑞 + 1)))))
10		fveq2 6834	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑝 = 𝑛 → (𝐹‘𝑝) = (𝐹‘𝑛))
11	10	breq2d 5110	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑝 = 𝑛 → ((𝐹‘𝑚)𝑅(𝐹‘𝑝) ↔ (𝐹‘𝑚)𝑅(𝐹‘𝑛)))
12	11	imbi2d 340	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑝 = 𝑛 → ((((𝑅 Po 𝐴 ∧ 𝐹:ℕ⟶𝐴) ∧ (∀𝑠 ∈ ℕ (𝐹‘𝑠)𝑅(𝐹‘(𝑠 + 1)) ∧ 𝑚 ∈ ℕ)) → (𝐹‘𝑚)𝑅(𝐹‘𝑝)) ↔ (((𝑅 Po 𝐴 ∧ 𝐹:ℕ⟶𝐴) ∧ (∀𝑠 ∈ ℕ (𝐹‘𝑠)𝑅(𝐹‘(𝑠 + 1)) ∧ 𝑚 ∈ ℕ)) → (𝐹‘𝑚)𝑅(𝐹‘𝑛))))
13		fveq2 6834	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑠 = 𝑚 → (𝐹‘𝑠) = (𝐹‘𝑚))
14		fvoveq1 7381	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑠 = 𝑚 → (𝐹‘(𝑠 + 1)) = (𝐹‘(𝑚 + 1)))
15	13, 14	breq12d 5111	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑠 = 𝑚 → ((𝐹‘𝑠)𝑅(𝐹‘(𝑠 + 1)) ↔ (𝐹‘𝑚)𝑅(𝐹‘(𝑚 + 1))))
16	15	rspccva 3575	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((∀𝑠 ∈ ℕ (𝐹‘𝑠)𝑅(𝐹‘(𝑠 + 1)) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑚)𝑅(𝐹‘(𝑚 + 1)))
17	16	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 Po 𝐴 ∧ 𝐹:ℕ⟶𝐴) ∧ (∀𝑠 ∈ ℕ (𝐹‘𝑠)𝑅(𝐹‘(𝑠 + 1)) ∧ 𝑚 ∈ ℕ)) → (𝐹‘𝑚)𝑅(𝐹‘(𝑚 + 1)))
18	17	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑚 + 1) ∈ ℤ → (((𝑅 Po 𝐴 ∧ 𝐹:ℕ⟶𝐴) ∧ (∀𝑠 ∈ ℕ (𝐹‘𝑠)𝑅(𝐹‘(𝑠 + 1)) ∧ 𝑚 ∈ ℕ)) → (𝐹‘𝑚)𝑅(𝐹‘(𝑚 + 1))))
19		peano2nn 12157	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → (𝑚 + 1) ∈ ℕ)
20		elnnuz 12791	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑚 + 1) ∈ ℕ ↔ (𝑚 + 1) ∈ (ℤ≥‘1))
21	19, 20	sylib 218	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → (𝑚 + 1) ∈ (ℤ≥‘1))
22		uztrn 12769	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑞 ∈ (ℤ≥‘(𝑚 + 1)) ∧ (𝑚 + 1) ∈ (ℤ≥‘1)) → 𝑞 ∈ (ℤ≥‘1))
23		elnnuz 12791	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑞 ∈ ℕ ↔ 𝑞 ∈ (ℤ≥‘1))
24	22, 23	sylibr 234	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑞 ∈ (ℤ≥‘(𝑚 + 1)) ∧ (𝑚 + 1) ∈ (ℤ≥‘1)) → 𝑞 ∈ ℕ)
25	24	expcom 413	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑚 + 1) ∈ (ℤ≥‘1) → (𝑞 ∈ (ℤ≥‘(𝑚 + 1)) → 𝑞 ∈ ℕ))
26	21, 25	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → (𝑞 ∈ (ℤ≥‘(𝑚 + 1)) → 𝑞 ∈ ℕ))
27	26	imdistani 568	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ (ℤ≥‘(𝑚 + 1))) → (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℕ))
28		fveq2 6834	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑠 = 𝑞 → (𝐹‘𝑠) = (𝐹‘𝑞))
29		fvoveq1 7381	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑠 = 𝑞 → (𝐹‘(𝑠 + 1)) = (𝐹‘(𝑞 + 1)))
30	28, 29	breq12d 5111	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑠 = 𝑞 → ((𝐹‘𝑠)𝑅(𝐹‘(𝑠 + 1)) ↔ (𝐹‘𝑞)𝑅(𝐹‘(𝑞 + 1))))
31	30	rspccva 3575	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((∀𝑠 ∈ ℕ (𝐹‘𝑠)𝑅(𝐹‘(𝑠 + 1)) ∧ 𝑞 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑞)𝑅(𝐹‘(𝑞 + 1)))
32	31	ad2ant2l 746	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑅 Po 𝐴 ∧ 𝐹:ℕ⟶𝐴) ∧ ∀𝑠 ∈ ℕ (𝐹‘𝑠)𝑅(𝐹‘(𝑠 + 1))) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → (𝐹‘𝑞)𝑅(𝐹‘(𝑞 + 1)))
33	32	ex 412	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑅 Po 𝐴 ∧ 𝐹:ℕ⟶𝐴) ∧ ∀𝑠 ∈ ℕ (𝐹‘𝑠)𝑅(𝐹‘(𝑠 + 1))) → ((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑞)𝑅(𝐹‘(𝑞 + 1))))
34		ffvelcdm 7026	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝐹:ℕ⟶𝐴 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑚) ∈ 𝐴)
35	34	adantrr 717	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐹:ℕ⟶𝐴 ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → (𝐹‘𝑚) ∈ 𝐴)
36		ffvelcdm 7026	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝐹:ℕ⟶𝐴 ∧ 𝑞 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑞) ∈ 𝐴)
37	36	adantrl 716	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐹:ℕ⟶𝐴 ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → (𝐹‘𝑞) ∈ 𝐴)
38		peano2nn 12157	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑞 ∈ ℕ → (𝑞 + 1) ∈ ℕ)
39		ffvelcdm 7026	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝐹:ℕ⟶𝐴 ∧ (𝑞 + 1) ∈ ℕ) → (𝐹‘(𝑞 + 1)) ∈ 𝐴)
40	38, 39	sylan2 593	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝐹:ℕ⟶𝐴 ∧ 𝑞 ∈ ℕ) → (𝐹‘(𝑞 + 1)) ∈ 𝐴)
41	40	adantrl 716	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐹:ℕ⟶𝐴 ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → (𝐹‘(𝑞 + 1)) ∈ 𝐴)
42	35, 37, 41	3jca 1128	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐹:ℕ⟶𝐴 ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → ((𝐹‘𝑚) ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑞) ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘(𝑞 + 1)) ∈ 𝐴))
43		potr 5545	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑅 Po 𝐴 ∧ ((𝐹‘𝑚) ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑞) ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘(𝑞 + 1)) ∈ 𝐴)) → (((𝐹‘𝑚)𝑅(𝐹‘𝑞) ∧ (𝐹‘𝑞)𝑅(𝐹‘(𝑞 + 1))) → (𝐹‘𝑚)𝑅(𝐹‘(𝑞 + 1))))
44	43	expcomd 416	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑅 Po 𝐴 ∧ ((𝐹‘𝑚) ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑞) ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘(𝑞 + 1)) ∈ 𝐴)) → ((𝐹‘𝑞)𝑅(𝐹‘(𝑞 + 1)) → ((𝐹‘𝑚)𝑅(𝐹‘𝑞) → (𝐹‘𝑚)𝑅(𝐹‘(𝑞 + 1)))))
45	44	ex 412	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑅 Po 𝐴 → (((𝐹‘𝑚) ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑞) ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘(𝑞 + 1)) ∈ 𝐴) → ((𝐹‘𝑞)𝑅(𝐹‘(𝑞 + 1)) → ((𝐹‘𝑚)𝑅(𝐹‘𝑞) → (𝐹‘𝑚)𝑅(𝐹‘(𝑞 + 1))))))
46	42, 45	syl5 34	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑅 Po 𝐴 → ((𝐹:ℕ⟶𝐴 ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → ((𝐹‘𝑞)𝑅(𝐹‘(𝑞 + 1)) → ((𝐹‘𝑚)𝑅(𝐹‘𝑞) → (𝐹‘𝑚)𝑅(𝐹‘(𝑞 + 1))))))
47	46	expdimp 452	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑅 Po 𝐴 ∧ 𝐹:ℕ⟶𝐴) → ((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℕ) → ((𝐹‘𝑞)𝑅(𝐹‘(𝑞 + 1)) → ((𝐹‘𝑚)𝑅(𝐹‘𝑞) → (𝐹‘𝑚)𝑅(𝐹‘(𝑞 + 1))))))
48	47	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑅 Po 𝐴 ∧ 𝐹:ℕ⟶𝐴) ∧ ∀𝑠 ∈ ℕ (𝐹‘𝑠)𝑅(𝐹‘(𝑠 + 1))) → ((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℕ) → ((𝐹‘𝑞)𝑅(𝐹‘(𝑞 + 1)) → ((𝐹‘𝑚)𝑅(𝐹‘𝑞) → (𝐹‘𝑚)𝑅(𝐹‘(𝑞 + 1))))))
49	33, 48	mpdd 43	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑅 Po 𝐴 ∧ 𝐹:ℕ⟶𝐴) ∧ ∀𝑠 ∈ ℕ (𝐹‘𝑠)𝑅(𝐹‘(𝑠 + 1))) → ((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℕ) → ((𝐹‘𝑚)𝑅(𝐹‘𝑞) → (𝐹‘𝑚)𝑅(𝐹‘(𝑞 + 1)))))
50	27, 49	syl5 34	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑅 Po 𝐴 ∧ 𝐹:ℕ⟶𝐴) ∧ ∀𝑠 ∈ ℕ (𝐹‘𝑠)𝑅(𝐹‘(𝑠 + 1))) → ((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ (ℤ≥‘(𝑚 + 1))) → ((𝐹‘𝑚)𝑅(𝐹‘𝑞) → (𝐹‘𝑚)𝑅(𝐹‘(𝑞 + 1)))))
51	50	expdimp 452	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑅 Po 𝐴 ∧ 𝐹:ℕ⟶𝐴) ∧ ∀𝑠 ∈ ℕ (𝐹‘𝑠)𝑅(𝐹‘(𝑠 + 1))) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (𝑞 ∈ (ℤ≥‘(𝑚 + 1)) → ((𝐹‘𝑚)𝑅(𝐹‘𝑞) → (𝐹‘𝑚)𝑅(𝐹‘(𝑞 + 1)))))
52	51	anasss 466	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 Po 𝐴 ∧ 𝐹:ℕ⟶𝐴) ∧ (∀𝑠 ∈ ℕ (𝐹‘𝑠)𝑅(𝐹‘(𝑠 + 1)) ∧ 𝑚 ∈ ℕ)) → (𝑞 ∈ (ℤ≥‘(𝑚 + 1)) → ((𝐹‘𝑚)𝑅(𝐹‘𝑞) → (𝐹‘𝑚)𝑅(𝐹‘(𝑞 + 1)))))
53	52	com12 32	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑞 ∈ (ℤ≥‘(𝑚 + 1)) → (((𝑅 Po 𝐴 ∧ 𝐹:ℕ⟶𝐴) ∧ (∀𝑠 ∈ ℕ (𝐹‘𝑠)𝑅(𝐹‘(𝑠 + 1)) ∧ 𝑚 ∈ ℕ)) → ((𝐹‘𝑚)𝑅(𝐹‘𝑞) → (𝐹‘𝑚)𝑅(𝐹‘(𝑞 + 1)))))
54	53	a2d 29	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑞 ∈ (ℤ≥‘(𝑚 + 1)) → ((((𝑅 Po 𝐴 ∧ 𝐹:ℕ⟶𝐴) ∧ (∀𝑠 ∈ ℕ (𝐹‘𝑠)𝑅(𝐹‘(𝑠 + 1)) ∧ 𝑚 ∈ ℕ)) → (𝐹‘𝑚)𝑅(𝐹‘𝑞)) → (((𝑅 Po 𝐴 ∧ 𝐹:ℕ⟶𝐴) ∧ (∀𝑠 ∈ ℕ (𝐹‘𝑠)𝑅(𝐹‘(𝑠 + 1)) ∧ 𝑚 ∈ ℕ)) → (𝐹‘𝑚)𝑅(𝐹‘(𝑞 + 1)))))
55	3, 6, 9, 12, 18, 54	uzind4 12819	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ (ℤ≥‘(𝑚 + 1)) → (((𝑅 Po 𝐴 ∧ 𝐹:ℕ⟶𝐴) ∧ (∀𝑠 ∈ ℕ (𝐹‘𝑠)𝑅(𝐹‘(𝑠 + 1)) ∧ 𝑚 ∈ ℕ)) → (𝐹‘𝑚)𝑅(𝐹‘𝑛)))
56	55	com12 32	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 Po 𝐴 ∧ 𝐹:ℕ⟶𝐴) ∧ (∀𝑠 ∈ ℕ (𝐹‘𝑠)𝑅(𝐹‘(𝑠 + 1)) ∧ 𝑚 ∈ ℕ)) → (𝑛 ∈ (ℤ≥‘(𝑚 + 1)) → (𝐹‘𝑚)𝑅(𝐹‘𝑛)))
57	56	ralrimiv 3127	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 Po 𝐴 ∧ 𝐹:ℕ⟶𝐴) ∧ (∀𝑠 ∈ ℕ (𝐹‘𝑠)𝑅(𝐹‘(𝑠 + 1)) ∧ 𝑚 ∈ ℕ)) → ∀𝑛 ∈ (ℤ≥‘(𝑚 + 1))(𝐹‘𝑚)𝑅(𝐹‘𝑛))
58	57	anassrs 467	. . . 4 ⊢ ((((𝑅 Po 𝐴 ∧ 𝐹:ℕ⟶𝐴) ∧ ∀𝑠 ∈ ℕ (𝐹‘𝑠)𝑅(𝐹‘(𝑠 + 1))) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → ∀𝑛 ∈ (ℤ≥‘(𝑚 + 1))(𝐹‘𝑚)𝑅(𝐹‘𝑛))
59	58	ralrimiva 3128	. . 3 ⊢ (((𝑅 Po 𝐴 ∧ 𝐹:ℕ⟶𝐴) ∧ ∀𝑠 ∈ ℕ (𝐹‘𝑠)𝑅(𝐹‘(𝑠 + 1))) → ∀𝑚 ∈ ℕ ∀𝑛 ∈ (ℤ≥‘(𝑚 + 1))(𝐹‘𝑚)𝑅(𝐹‘𝑛))
60	59	ex 412	. 2 ⊢ ((𝑅 Po 𝐴 ∧ 𝐹:ℕ⟶𝐴) → (∀𝑠 ∈ ℕ (𝐹‘𝑠)𝑅(𝐹‘(𝑠 + 1)) → ∀𝑚 ∈ ℕ ∀𝑛 ∈ (ℤ≥‘(𝑚 + 1))(𝐹‘𝑚)𝑅(𝐹‘𝑛)))
61		fvoveq1 7381	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 = 𝑠 → (ℤ≥‘(𝑚 + 1)) = (ℤ≥‘(𝑠 + 1)))
62		fveq2 6834	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 = 𝑠 → (𝐹‘𝑚) = (𝐹‘𝑠))
63	62	breq1d 5108	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 = 𝑠 → ((𝐹‘𝑚)𝑅(𝐹‘𝑛) ↔ (𝐹‘𝑠)𝑅(𝐹‘𝑛)))
64	61, 63	raleqbidv 3316	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 = 𝑠 → (∀𝑛 ∈ (ℤ≥‘(𝑚 + 1))(𝐹‘𝑚)𝑅(𝐹‘𝑛) ↔ ∀𝑛 ∈ (ℤ≥‘(𝑠 + 1))(𝐹‘𝑠)𝑅(𝐹‘𝑛)))
65	64	rspcv 3572	. . . . 5 ⊢ (𝑠 ∈ ℕ → (∀𝑚 ∈ ℕ ∀𝑛 ∈ (ℤ≥‘(𝑚 + 1))(𝐹‘𝑚)𝑅(𝐹‘𝑛) → ∀𝑛 ∈ (ℤ≥‘(𝑠 + 1))(𝐹‘𝑠)𝑅(𝐹‘𝑛)))
66	65	imdistanri 569	. . . 4 ⊢ ((∀𝑚 ∈ ℕ ∀𝑛 ∈ (ℤ≥‘(𝑚 + 1))(𝐹‘𝑚)𝑅(𝐹‘𝑛) ∧ 𝑠 ∈ ℕ) → (∀𝑛 ∈ (ℤ≥‘(𝑠 + 1))(𝐹‘𝑠)𝑅(𝐹‘𝑛) ∧ 𝑠 ∈ ℕ))
67		peano2nn 12157	. . . . . . 7 ⊢ (𝑠 ∈ ℕ → (𝑠 + 1) ∈ ℕ)
68	67	nnzd 12514	. . . . . 6 ⊢ (𝑠 ∈ ℕ → (𝑠 + 1) ∈ ℤ)
69		uzid 12766	. . . . . 6 ⊢ ((𝑠 + 1) ∈ ℤ → (𝑠 + 1) ∈ (ℤ≥‘(𝑠 + 1)))
70	68, 69	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑠 ∈ ℕ → (𝑠 + 1) ∈ (ℤ≥‘(𝑠 + 1)))
71		fveq2 6834	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = (𝑠 + 1) → (𝐹‘𝑛) = (𝐹‘(𝑠 + 1)))
72	71	breq2d 5110	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = (𝑠 + 1) → ((𝐹‘𝑠)𝑅(𝐹‘𝑛) ↔ (𝐹‘𝑠)𝑅(𝐹‘(𝑠 + 1))))
73	72	rspccva 3575	. . . . 5 ⊢ ((∀𝑛 ∈ (ℤ≥‘(𝑠 + 1))(𝐹‘𝑠)𝑅(𝐹‘𝑛) ∧ (𝑠 + 1) ∈ (ℤ≥‘(𝑠 + 1))) → (𝐹‘𝑠)𝑅(𝐹‘(𝑠 + 1)))
74	70, 73	sylan2 593	. . . 4 ⊢ ((∀𝑛 ∈ (ℤ≥‘(𝑠 + 1))(𝐹‘𝑠)𝑅(𝐹‘𝑛) ∧ 𝑠 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑠)𝑅(𝐹‘(𝑠 + 1)))
75	66, 74	syl 17	. . 3 ⊢ ((∀𝑚 ∈ ℕ ∀𝑛 ∈ (ℤ≥‘(𝑚 + 1))(𝐹‘𝑚)𝑅(𝐹‘𝑛) ∧ 𝑠 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑠)𝑅(𝐹‘(𝑠 + 1)))
76	75	ralrimiva 3128	. 2 ⊢ (∀𝑚 ∈ ℕ ∀𝑛 ∈ (ℤ≥‘(𝑚 + 1))(𝐹‘𝑚)𝑅(𝐹‘𝑛) → ∀𝑠 ∈ ℕ (𝐹‘𝑠)𝑅(𝐹‘(𝑠 + 1)))
77	60, 76	impbid1 225	1 ⊢ ((𝑅 Po 𝐴 ∧ 𝐹:ℕ⟶𝐴) → (∀𝑠 ∈ ℕ (𝐹‘𝑠)𝑅(𝐹‘(𝑠 + 1)) ↔ ∀𝑚 ∈ ℕ ∀𝑛 ∈ (ℤ≥‘(𝑚 + 1))(𝐹‘𝑚)𝑅(𝐹‘𝑛)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ∀wral 3051   class class class wbr 5098   Po wpo 5530  ⟶wf 6488  ‘cfv 6492  (class class class)co 7358  1c1 11027   + caddc 11029  ℕcn 12145  ℤcz 12488  ℤ_≥cuz 12751

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-er 8635  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367  df-nn 12146  df-n0 12402  df-z 12489  df-uz 12752

This theorem is referenced by:  incsequz2  37946