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Theorem seqpo 36206
Description: Two ways to say that a sequence respects a partial order. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.)
Assertion
Ref Expression
seqpo ((𝑅 Po 𝐴𝐹:ℕ⟶𝐴) → (∀𝑠 ∈ ℕ (𝐹𝑠)𝑅(𝐹‘(𝑠 + 1)) ↔ ∀𝑚 ∈ ℕ ∀𝑛 ∈ (ℤ‘(𝑚 + 1))(𝐹𝑚)𝑅(𝐹𝑛)))
Distinct variable groups:   𝑚,𝐹,𝑛,𝑠   𝐴,𝑚,𝑛,𝑠   𝑅,𝑚,𝑛,𝑠

Proof of Theorem seqpo
Dummy variables 𝑝 𝑞 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 6842 . . . . . . . . . 10 (𝑝 = (𝑚 + 1) → (𝐹𝑝) = (𝐹‘(𝑚 + 1)))
21breq2d 5117 . . . . . . . . 9 (𝑝 = (𝑚 + 1) → ((𝐹𝑚)𝑅(𝐹𝑝) ↔ (𝐹𝑚)𝑅(𝐹‘(𝑚 + 1))))
32imbi2d 340 . . . . . . . 8 (𝑝 = (𝑚 + 1) → ((((𝑅 Po 𝐴𝐹:ℕ⟶𝐴) ∧ (∀𝑠 ∈ ℕ (𝐹𝑠)𝑅(𝐹‘(𝑠 + 1)) ∧ 𝑚 ∈ ℕ)) → (𝐹𝑚)𝑅(𝐹𝑝)) ↔ (((𝑅 Po 𝐴𝐹:ℕ⟶𝐴) ∧ (∀𝑠 ∈ ℕ (𝐹𝑠)𝑅(𝐹‘(𝑠 + 1)) ∧ 𝑚 ∈ ℕ)) → (𝐹𝑚)𝑅(𝐹‘(𝑚 + 1)))))
4 fveq2 6842 . . . . . . . . . 10 (𝑝 = 𝑞 → (𝐹𝑝) = (𝐹𝑞))
54breq2d 5117 . . . . . . . . 9 (𝑝 = 𝑞 → ((𝐹𝑚)𝑅(𝐹𝑝) ↔ (𝐹𝑚)𝑅(𝐹𝑞)))
65imbi2d 340 . . . . . . . 8 (𝑝 = 𝑞 → ((((𝑅 Po 𝐴𝐹:ℕ⟶𝐴) ∧ (∀𝑠 ∈ ℕ (𝐹𝑠)𝑅(𝐹‘(𝑠 + 1)) ∧ 𝑚 ∈ ℕ)) → (𝐹𝑚)𝑅(𝐹𝑝)) ↔ (((𝑅 Po 𝐴𝐹:ℕ⟶𝐴) ∧ (∀𝑠 ∈ ℕ (𝐹𝑠)𝑅(𝐹‘(𝑠 + 1)) ∧ 𝑚 ∈ ℕ)) → (𝐹𝑚)𝑅(𝐹𝑞))))
7 fveq2 6842 . . . . . . . . . 10 (𝑝 = (𝑞 + 1) → (𝐹𝑝) = (𝐹‘(𝑞 + 1)))
87breq2d 5117 . . . . . . . . 9 (𝑝 = (𝑞 + 1) → ((𝐹𝑚)𝑅(𝐹𝑝) ↔ (𝐹𝑚)𝑅(𝐹‘(𝑞 + 1))))
98imbi2d 340 . . . . . . . 8 (𝑝 = (𝑞 + 1) → ((((𝑅 Po 𝐴𝐹:ℕ⟶𝐴) ∧ (∀𝑠 ∈ ℕ (𝐹𝑠)𝑅(𝐹‘(𝑠 + 1)) ∧ 𝑚 ∈ ℕ)) → (𝐹𝑚)𝑅(𝐹𝑝)) ↔ (((𝑅 Po 𝐴𝐹:ℕ⟶𝐴) ∧ (∀𝑠 ∈ ℕ (𝐹𝑠)𝑅(𝐹‘(𝑠 + 1)) ∧ 𝑚 ∈ ℕ)) → (𝐹𝑚)𝑅(𝐹‘(𝑞 + 1)))))
10 fveq2 6842 . . . . . . . . . 10 (𝑝 = 𝑛 → (𝐹𝑝) = (𝐹𝑛))
1110breq2d 5117 . . . . . . . . 9 (𝑝 = 𝑛 → ((𝐹𝑚)𝑅(𝐹𝑝) ↔ (𝐹𝑚)𝑅(𝐹𝑛)))
1211imbi2d 340 . . . . . . . 8 (𝑝 = 𝑛 → ((((𝑅 Po 𝐴𝐹:ℕ⟶𝐴) ∧ (∀𝑠 ∈ ℕ (𝐹𝑠)𝑅(𝐹‘(𝑠 + 1)) ∧ 𝑚 ∈ ℕ)) → (𝐹𝑚)𝑅(𝐹𝑝)) ↔ (((𝑅 Po 𝐴𝐹:ℕ⟶𝐴) ∧ (∀𝑠 ∈ ℕ (𝐹𝑠)𝑅(𝐹‘(𝑠 + 1)) ∧ 𝑚 ∈ ℕ)) → (𝐹𝑚)𝑅(𝐹𝑛))))
13 fveq2 6842 . . . . . . . . . . . 12 (𝑠 = 𝑚 → (𝐹𝑠) = (𝐹𝑚))
14 fvoveq1 7380 . . . . . . . . . . . 12 (𝑠 = 𝑚 → (𝐹‘(𝑠 + 1)) = (𝐹‘(𝑚 + 1)))
1513, 14breq12d 5118 . . . . . . . . . . 11 (𝑠 = 𝑚 → ((𝐹𝑠)𝑅(𝐹‘(𝑠 + 1)) ↔ (𝐹𝑚)𝑅(𝐹‘(𝑚 + 1))))
1615rspccva 3580 . . . . . . . . . 10 ((∀𝑠 ∈ ℕ (𝐹𝑠)𝑅(𝐹‘(𝑠 + 1)) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (𝐹𝑚)𝑅(𝐹‘(𝑚 + 1)))
1716adantl 482 . . . . . . . . 9 (((𝑅 Po 𝐴𝐹:ℕ⟶𝐴) ∧ (∀𝑠 ∈ ℕ (𝐹𝑠)𝑅(𝐹‘(𝑠 + 1)) ∧ 𝑚 ∈ ℕ)) → (𝐹𝑚)𝑅(𝐹‘(𝑚 + 1)))
1817a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝑚 + 1) ∈ ℤ → (((𝑅 Po 𝐴𝐹:ℕ⟶𝐴) ∧ (∀𝑠 ∈ ℕ (𝐹𝑠)𝑅(𝐹‘(𝑠 + 1)) ∧ 𝑚 ∈ ℕ)) → (𝐹𝑚)𝑅(𝐹‘(𝑚 + 1))))
19 peano2nn 12165 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑚 ∈ ℕ → (𝑚 + 1) ∈ ℕ)
20 elnnuz 12807 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑚 + 1) ∈ ℕ ↔ (𝑚 + 1) ∈ (ℤ‘1))
2119, 20sylib 217 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑚 ∈ ℕ → (𝑚 + 1) ∈ (ℤ‘1))
22 uztrn 12781 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑞 ∈ (ℤ‘(𝑚 + 1)) ∧ (𝑚 + 1) ∈ (ℤ‘1)) → 𝑞 ∈ (ℤ‘1))
23 elnnuz 12807 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑞 ∈ ℕ ↔ 𝑞 ∈ (ℤ‘1))
2422, 23sylibr 233 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑞 ∈ (ℤ‘(𝑚 + 1)) ∧ (𝑚 + 1) ∈ (ℤ‘1)) → 𝑞 ∈ ℕ)
2524expcom 414 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑚 + 1) ∈ (ℤ‘1) → (𝑞 ∈ (ℤ‘(𝑚 + 1)) → 𝑞 ∈ ℕ))
2621, 25syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑚 ∈ ℕ → (𝑞 ∈ (ℤ‘(𝑚 + 1)) → 𝑞 ∈ ℕ))
2726imdistani 569 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ (ℤ‘(𝑚 + 1))) → (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℕ))
28 fveq2 6842 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑠 = 𝑞 → (𝐹𝑠) = (𝐹𝑞))
29 fvoveq1 7380 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑠 = 𝑞 → (𝐹‘(𝑠 + 1)) = (𝐹‘(𝑞 + 1)))
3028, 29breq12d 5118 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑠 = 𝑞 → ((𝐹𝑠)𝑅(𝐹‘(𝑠 + 1)) ↔ (𝐹𝑞)𝑅(𝐹‘(𝑞 + 1))))
3130rspccva 3580 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((∀𝑠 ∈ ℕ (𝐹𝑠)𝑅(𝐹‘(𝑠 + 1)) ∧ 𝑞 ∈ ℕ) → (𝐹𝑞)𝑅(𝐹‘(𝑞 + 1)))
3231ad2ant2l 744 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑅 Po 𝐴𝐹:ℕ⟶𝐴) ∧ ∀𝑠 ∈ ℕ (𝐹𝑠)𝑅(𝐹‘(𝑠 + 1))) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → (𝐹𝑞)𝑅(𝐹‘(𝑞 + 1)))
3332ex 413 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑅 Po 𝐴𝐹:ℕ⟶𝐴) ∧ ∀𝑠 ∈ ℕ (𝐹𝑠)𝑅(𝐹‘(𝑠 + 1))) → ((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℕ) → (𝐹𝑞)𝑅(𝐹‘(𝑞 + 1))))
34 ffvelcdm 7032 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐹:ℕ⟶𝐴𝑚 ∈ ℕ) → (𝐹𝑚) ∈ 𝐴)
3534adantrr 715 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐹:ℕ⟶𝐴 ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → (𝐹𝑚) ∈ 𝐴)
36 ffvelcdm 7032 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐹:ℕ⟶𝐴𝑞 ∈ ℕ) → (𝐹𝑞) ∈ 𝐴)
3736adantrl 714 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐹:ℕ⟶𝐴 ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → (𝐹𝑞) ∈ 𝐴)
38 peano2nn 12165 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑞 ∈ ℕ → (𝑞 + 1) ∈ ℕ)
39 ffvelcdm 7032 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐹:ℕ⟶𝐴 ∧ (𝑞 + 1) ∈ ℕ) → (𝐹‘(𝑞 + 1)) ∈ 𝐴)
4038, 39sylan2 593 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐹:ℕ⟶𝐴𝑞 ∈ ℕ) → (𝐹‘(𝑞 + 1)) ∈ 𝐴)
4140adantrl 714 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐹:ℕ⟶𝐴 ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → (𝐹‘(𝑞 + 1)) ∈ 𝐴)
4235, 37, 413jca 1128 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐹:ℕ⟶𝐴 ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → ((𝐹𝑚) ∈ 𝐴 ∧ (𝐹𝑞) ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘(𝑞 + 1)) ∈ 𝐴))
43 potr 5558 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑅 Po 𝐴 ∧ ((𝐹𝑚) ∈ 𝐴 ∧ (𝐹𝑞) ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘(𝑞 + 1)) ∈ 𝐴)) → (((𝐹𝑚)𝑅(𝐹𝑞) ∧ (𝐹𝑞)𝑅(𝐹‘(𝑞 + 1))) → (𝐹𝑚)𝑅(𝐹‘(𝑞 + 1))))
4443expcomd 417 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑅 Po 𝐴 ∧ ((𝐹𝑚) ∈ 𝐴 ∧ (𝐹𝑞) ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘(𝑞 + 1)) ∈ 𝐴)) → ((𝐹𝑞)𝑅(𝐹‘(𝑞 + 1)) → ((𝐹𝑚)𝑅(𝐹𝑞) → (𝐹𝑚)𝑅(𝐹‘(𝑞 + 1)))))
4544ex 413 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑅 Po 𝐴 → (((𝐹𝑚) ∈ 𝐴 ∧ (𝐹𝑞) ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘(𝑞 + 1)) ∈ 𝐴) → ((𝐹𝑞)𝑅(𝐹‘(𝑞 + 1)) → ((𝐹𝑚)𝑅(𝐹𝑞) → (𝐹𝑚)𝑅(𝐹‘(𝑞 + 1))))))
4642, 45syl5 34 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑅 Po 𝐴 → ((𝐹:ℕ⟶𝐴 ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → ((𝐹𝑞)𝑅(𝐹‘(𝑞 + 1)) → ((𝐹𝑚)𝑅(𝐹𝑞) → (𝐹𝑚)𝑅(𝐹‘(𝑞 + 1))))))
4746expdimp 453 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑅 Po 𝐴𝐹:ℕ⟶𝐴) → ((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℕ) → ((𝐹𝑞)𝑅(𝐹‘(𝑞 + 1)) → ((𝐹𝑚)𝑅(𝐹𝑞) → (𝐹𝑚)𝑅(𝐹‘(𝑞 + 1))))))
4847adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑅 Po 𝐴𝐹:ℕ⟶𝐴) ∧ ∀𝑠 ∈ ℕ (𝐹𝑠)𝑅(𝐹‘(𝑠 + 1))) → ((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℕ) → ((𝐹𝑞)𝑅(𝐹‘(𝑞 + 1)) → ((𝐹𝑚)𝑅(𝐹𝑞) → (𝐹𝑚)𝑅(𝐹‘(𝑞 + 1))))))
4933, 48mpdd 43 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑅 Po 𝐴𝐹:ℕ⟶𝐴) ∧ ∀𝑠 ∈ ℕ (𝐹𝑠)𝑅(𝐹‘(𝑠 + 1))) → ((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℕ) → ((𝐹𝑚)𝑅(𝐹𝑞) → (𝐹𝑚)𝑅(𝐹‘(𝑞 + 1)))))
5027, 49syl5 34 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑅 Po 𝐴𝐹:ℕ⟶𝐴) ∧ ∀𝑠 ∈ ℕ (𝐹𝑠)𝑅(𝐹‘(𝑠 + 1))) → ((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ (ℤ‘(𝑚 + 1))) → ((𝐹𝑚)𝑅(𝐹𝑞) → (𝐹𝑚)𝑅(𝐹‘(𝑞 + 1)))))
5150expdimp 453 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑅 Po 𝐴𝐹:ℕ⟶𝐴) ∧ ∀𝑠 ∈ ℕ (𝐹𝑠)𝑅(𝐹‘(𝑠 + 1))) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (𝑞 ∈ (ℤ‘(𝑚 + 1)) → ((𝐹𝑚)𝑅(𝐹𝑞) → (𝐹𝑚)𝑅(𝐹‘(𝑞 + 1)))))
5251anasss 467 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 Po 𝐴𝐹:ℕ⟶𝐴) ∧ (∀𝑠 ∈ ℕ (𝐹𝑠)𝑅(𝐹‘(𝑠 + 1)) ∧ 𝑚 ∈ ℕ)) → (𝑞 ∈ (ℤ‘(𝑚 + 1)) → ((𝐹𝑚)𝑅(𝐹𝑞) → (𝐹𝑚)𝑅(𝐹‘(𝑞 + 1)))))
5352com12 32 . . . . . . . . 9 (𝑞 ∈ (ℤ‘(𝑚 + 1)) → (((𝑅 Po 𝐴𝐹:ℕ⟶𝐴) ∧ (∀𝑠 ∈ ℕ (𝐹𝑠)𝑅(𝐹‘(𝑠 + 1)) ∧ 𝑚 ∈ ℕ)) → ((𝐹𝑚)𝑅(𝐹𝑞) → (𝐹𝑚)𝑅(𝐹‘(𝑞 + 1)))))
5453a2d 29 . . . . . . . 8 (𝑞 ∈ (ℤ‘(𝑚 + 1)) → ((((𝑅 Po 𝐴𝐹:ℕ⟶𝐴) ∧ (∀𝑠 ∈ ℕ (𝐹𝑠)𝑅(𝐹‘(𝑠 + 1)) ∧ 𝑚 ∈ ℕ)) → (𝐹𝑚)𝑅(𝐹𝑞)) → (((𝑅 Po 𝐴𝐹:ℕ⟶𝐴) ∧ (∀𝑠 ∈ ℕ (𝐹𝑠)𝑅(𝐹‘(𝑠 + 1)) ∧ 𝑚 ∈ ℕ)) → (𝐹𝑚)𝑅(𝐹‘(𝑞 + 1)))))
553, 6, 9, 12, 18, 54uzind4 12831 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ (ℤ‘(𝑚 + 1)) → (((𝑅 Po 𝐴𝐹:ℕ⟶𝐴) ∧ (∀𝑠 ∈ ℕ (𝐹𝑠)𝑅(𝐹‘(𝑠 + 1)) ∧ 𝑚 ∈ ℕ)) → (𝐹𝑚)𝑅(𝐹𝑛)))
5655com12 32 . . . . . 6 (((𝑅 Po 𝐴𝐹:ℕ⟶𝐴) ∧ (∀𝑠 ∈ ℕ (𝐹𝑠)𝑅(𝐹‘(𝑠 + 1)) ∧ 𝑚 ∈ ℕ)) → (𝑛 ∈ (ℤ‘(𝑚 + 1)) → (𝐹𝑚)𝑅(𝐹𝑛)))
5756ralrimiv 3142 . . . . 5 (((𝑅 Po 𝐴𝐹:ℕ⟶𝐴) ∧ (∀𝑠 ∈ ℕ (𝐹𝑠)𝑅(𝐹‘(𝑠 + 1)) ∧ 𝑚 ∈ ℕ)) → ∀𝑛 ∈ (ℤ‘(𝑚 + 1))(𝐹𝑚)𝑅(𝐹𝑛))
5857anassrs 468 . . . 4 ((((𝑅 Po 𝐴𝐹:ℕ⟶𝐴) ∧ ∀𝑠 ∈ ℕ (𝐹𝑠)𝑅(𝐹‘(𝑠 + 1))) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → ∀𝑛 ∈ (ℤ‘(𝑚 + 1))(𝐹𝑚)𝑅(𝐹𝑛))
5958ralrimiva 3143 . . 3 (((𝑅 Po 𝐴𝐹:ℕ⟶𝐴) ∧ ∀𝑠 ∈ ℕ (𝐹𝑠)𝑅(𝐹‘(𝑠 + 1))) → ∀𝑚 ∈ ℕ ∀𝑛 ∈ (ℤ‘(𝑚 + 1))(𝐹𝑚)𝑅(𝐹𝑛))
6059ex 413 . 2 ((𝑅 Po 𝐴𝐹:ℕ⟶𝐴) → (∀𝑠 ∈ ℕ (𝐹𝑠)𝑅(𝐹‘(𝑠 + 1)) → ∀𝑚 ∈ ℕ ∀𝑛 ∈ (ℤ‘(𝑚 + 1))(𝐹𝑚)𝑅(𝐹𝑛)))
61 fvoveq1 7380 . . . . . . 7 (𝑚 = 𝑠 → (ℤ‘(𝑚 + 1)) = (ℤ‘(𝑠 + 1)))
62 fveq2 6842 . . . . . . . 8 (𝑚 = 𝑠 → (𝐹𝑚) = (𝐹𝑠))
6362breq1d 5115 . . . . . . 7 (𝑚 = 𝑠 → ((𝐹𝑚)𝑅(𝐹𝑛) ↔ (𝐹𝑠)𝑅(𝐹𝑛)))
6461, 63raleqbidv 3319 . . . . . 6 (𝑚 = 𝑠 → (∀𝑛 ∈ (ℤ‘(𝑚 + 1))(𝐹𝑚)𝑅(𝐹𝑛) ↔ ∀𝑛 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 1))(𝐹𝑠)𝑅(𝐹𝑛)))
6564rspcv 3577 . . . . 5 (𝑠 ∈ ℕ → (∀𝑚 ∈ ℕ ∀𝑛 ∈ (ℤ‘(𝑚 + 1))(𝐹𝑚)𝑅(𝐹𝑛) → ∀𝑛 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 1))(𝐹𝑠)𝑅(𝐹𝑛)))
6665imdistanri 570 . . . 4 ((∀𝑚 ∈ ℕ ∀𝑛 ∈ (ℤ‘(𝑚 + 1))(𝐹𝑚)𝑅(𝐹𝑛) ∧ 𝑠 ∈ ℕ) → (∀𝑛 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 1))(𝐹𝑠)𝑅(𝐹𝑛) ∧ 𝑠 ∈ ℕ))
67 peano2nn 12165 . . . . . . 7 (𝑠 ∈ ℕ → (𝑠 + 1) ∈ ℕ)
6867nnzd 12526 . . . . . 6 (𝑠 ∈ ℕ → (𝑠 + 1) ∈ ℤ)
69 uzid 12778 . . . . . 6 ((𝑠 + 1) ∈ ℤ → (𝑠 + 1) ∈ (ℤ‘(𝑠 + 1)))
7068, 69syl 17 . . . . 5 (𝑠 ∈ ℕ → (𝑠 + 1) ∈ (ℤ‘(𝑠 + 1)))
71 fveq2 6842 . . . . . . 7 (𝑛 = (𝑠 + 1) → (𝐹𝑛) = (𝐹‘(𝑠 + 1)))
7271breq2d 5117 . . . . . 6 (𝑛 = (𝑠 + 1) → ((𝐹𝑠)𝑅(𝐹𝑛) ↔ (𝐹𝑠)𝑅(𝐹‘(𝑠 + 1))))
7372rspccva 3580 . . . . 5 ((∀𝑛 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 1))(𝐹𝑠)𝑅(𝐹𝑛) ∧ (𝑠 + 1) ∈ (ℤ‘(𝑠 + 1))) → (𝐹𝑠)𝑅(𝐹‘(𝑠 + 1)))
7470, 73sylan2 593 . . . 4 ((∀𝑛 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 1))(𝐹𝑠)𝑅(𝐹𝑛) ∧ 𝑠 ∈ ℕ) → (𝐹𝑠)𝑅(𝐹‘(𝑠 + 1)))
7566, 74syl 17 . . 3 ((∀𝑚 ∈ ℕ ∀𝑛 ∈ (ℤ‘(𝑚 + 1))(𝐹𝑚)𝑅(𝐹𝑛) ∧ 𝑠 ∈ ℕ) → (𝐹𝑠)𝑅(𝐹‘(𝑠 + 1)))
7675ralrimiva 3143 . 2 (∀𝑚 ∈ ℕ ∀𝑛 ∈ (ℤ‘(𝑚 + 1))(𝐹𝑚)𝑅(𝐹𝑛) → ∀𝑠 ∈ ℕ (𝐹𝑠)𝑅(𝐹‘(𝑠 + 1)))
7760, 76impbid1 224 1 ((𝑅 Po 𝐴𝐹:ℕ⟶𝐴) → (∀𝑠 ∈ ℕ (𝐹𝑠)𝑅(𝐹‘(𝑠 + 1)) ↔ ∀𝑚 ∈ ℕ ∀𝑛 ∈ (ℤ‘(𝑚 + 1))(𝐹𝑚)𝑅(𝐹𝑛)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  wral 3064   class class class wbr 5105   Po wpo 5543  wf 6492  cfv 6496  (class class class)co 7357  1c1 11052   + caddc 11054  cn 12153  cz 12499  cuz 12763
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-er 8648  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-nn 12154  df-n0 12414  df-z 12500  df-uz 12764
This theorem is referenced by:  incsequz2  36208
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