Theorem seqpo 37707

Description: Two ways to say that a sequence respects a partial order. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.)

Assertion

Ref	Expression
seqpo	⊢ ((𝑅 Po 𝐴 ∧ 𝐹:ℕ⟶𝐴) → (∀𝑠 ∈ ℕ (𝐹‘𝑠)𝑅(𝐹‘(𝑠 + 1)) ↔ ∀𝑚 ∈ ℕ ∀𝑛 ∈ (ℤ≥‘(𝑚 + 1))(𝐹‘𝑚)𝑅(𝐹‘𝑛)))

Distinct variable groups:   𝑚,𝐹,𝑛,𝑠   𝐴,𝑚,𝑛,𝑠   𝑅,𝑚,𝑛,𝑠

Proof of Theorem seqpo

Dummy variables 𝑝 𝑞 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 6920	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑝 = (𝑚 + 1) → (𝐹‘𝑝) = (𝐹‘(𝑚 + 1)))
2	1	breq2d 5178	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑝 = (𝑚 + 1) → ((𝐹‘𝑚)𝑅(𝐹‘𝑝) ↔ (𝐹‘𝑚)𝑅(𝐹‘(𝑚 + 1))))
3	2	imbi2d 340	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑝 = (𝑚 + 1) → ((((𝑅 Po 𝐴 ∧ 𝐹:ℕ⟶𝐴) ∧ (∀𝑠 ∈ ℕ (𝐹‘𝑠)𝑅(𝐹‘(𝑠 + 1)) ∧ 𝑚 ∈ ℕ)) → (𝐹‘𝑚)𝑅(𝐹‘𝑝)) ↔ (((𝑅 Po 𝐴 ∧ 𝐹:ℕ⟶𝐴) ∧ (∀𝑠 ∈ ℕ (𝐹‘𝑠)𝑅(𝐹‘(𝑠 + 1)) ∧ 𝑚 ∈ ℕ)) → (𝐹‘𝑚)𝑅(𝐹‘(𝑚 + 1)))))
4		fveq2 6920	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑝 = 𝑞 → (𝐹‘𝑝) = (𝐹‘𝑞))
5	4	breq2d 5178	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑝 = 𝑞 → ((𝐹‘𝑚)𝑅(𝐹‘𝑝) ↔ (𝐹‘𝑚)𝑅(𝐹‘𝑞)))
6	5	imbi2d 340	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑝 = 𝑞 → ((((𝑅 Po 𝐴 ∧ 𝐹:ℕ⟶𝐴) ∧ (∀𝑠 ∈ ℕ (𝐹‘𝑠)𝑅(𝐹‘(𝑠 + 1)) ∧ 𝑚 ∈ ℕ)) → (𝐹‘𝑚)𝑅(𝐹‘𝑝)) ↔ (((𝑅 Po 𝐴 ∧ 𝐹:ℕ⟶𝐴) ∧ (∀𝑠 ∈ ℕ (𝐹‘𝑠)𝑅(𝐹‘(𝑠 + 1)) ∧ 𝑚 ∈ ℕ)) → (𝐹‘𝑚)𝑅(𝐹‘𝑞))))
7		fveq2 6920	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑝 = (𝑞 + 1) → (𝐹‘𝑝) = (𝐹‘(𝑞 + 1)))
8	7	breq2d 5178	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑝 = (𝑞 + 1) → ((𝐹‘𝑚)𝑅(𝐹‘𝑝) ↔ (𝐹‘𝑚)𝑅(𝐹‘(𝑞 + 1))))
9	8	imbi2d 340	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑝 = (𝑞 + 1) → ((((𝑅 Po 𝐴 ∧ 𝐹:ℕ⟶𝐴) ∧ (∀𝑠 ∈ ℕ (𝐹‘𝑠)𝑅(𝐹‘(𝑠 + 1)) ∧ 𝑚 ∈ ℕ)) → (𝐹‘𝑚)𝑅(𝐹‘𝑝)) ↔ (((𝑅 Po 𝐴 ∧ 𝐹:ℕ⟶𝐴) ∧ (∀𝑠 ∈ ℕ (𝐹‘𝑠)𝑅(𝐹‘(𝑠 + 1)) ∧ 𝑚 ∈ ℕ)) → (𝐹‘𝑚)𝑅(𝐹‘(𝑞 + 1)))))
10		fveq2 6920	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑝 = 𝑛 → (𝐹‘𝑝) = (𝐹‘𝑛))
11	10	breq2d 5178	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑝 = 𝑛 → ((𝐹‘𝑚)𝑅(𝐹‘𝑝) ↔ (𝐹‘𝑚)𝑅(𝐹‘𝑛)))
12	11	imbi2d 340	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑝 = 𝑛 → ((((𝑅 Po 𝐴 ∧ 𝐹:ℕ⟶𝐴) ∧ (∀𝑠 ∈ ℕ (𝐹‘𝑠)𝑅(𝐹‘(𝑠 + 1)) ∧ 𝑚 ∈ ℕ)) → (𝐹‘𝑚)𝑅(𝐹‘𝑝)) ↔ (((𝑅 Po 𝐴 ∧ 𝐹:ℕ⟶𝐴) ∧ (∀𝑠 ∈ ℕ (𝐹‘𝑠)𝑅(𝐹‘(𝑠 + 1)) ∧ 𝑚 ∈ ℕ)) → (𝐹‘𝑚)𝑅(𝐹‘𝑛))))
13		fveq2 6920	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑠 = 𝑚 → (𝐹‘𝑠) = (𝐹‘𝑚))
14		fvoveq1 7471	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑠 = 𝑚 → (𝐹‘(𝑠 + 1)) = (𝐹‘(𝑚 + 1)))
15	13, 14	breq12d 5179	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑠 = 𝑚 → ((𝐹‘𝑠)𝑅(𝐹‘(𝑠 + 1)) ↔ (𝐹‘𝑚)𝑅(𝐹‘(𝑚 + 1))))
16	15	rspccva 3634	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((∀𝑠 ∈ ℕ (𝐹‘𝑠)𝑅(𝐹‘(𝑠 + 1)) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑚)𝑅(𝐹‘(𝑚 + 1)))
17	16	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 Po 𝐴 ∧ 𝐹:ℕ⟶𝐴) ∧ (∀𝑠 ∈ ℕ (𝐹‘𝑠)𝑅(𝐹‘(𝑠 + 1)) ∧ 𝑚 ∈ ℕ)) → (𝐹‘𝑚)𝑅(𝐹‘(𝑚 + 1)))
18	17	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑚 + 1) ∈ ℤ → (((𝑅 Po 𝐴 ∧ 𝐹:ℕ⟶𝐴) ∧ (∀𝑠 ∈ ℕ (𝐹‘𝑠)𝑅(𝐹‘(𝑠 + 1)) ∧ 𝑚 ∈ ℕ)) → (𝐹‘𝑚)𝑅(𝐹‘(𝑚 + 1))))
19		peano2nn 12305	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → (𝑚 + 1) ∈ ℕ)
20		elnnuz 12947	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑚 + 1) ∈ ℕ ↔ (𝑚 + 1) ∈ (ℤ≥‘1))
21	19, 20	sylib 218	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → (𝑚 + 1) ∈ (ℤ≥‘1))
22		uztrn 12921	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑞 ∈ (ℤ≥‘(𝑚 + 1)) ∧ (𝑚 + 1) ∈ (ℤ≥‘1)) → 𝑞 ∈ (ℤ≥‘1))
23		elnnuz 12947	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑞 ∈ ℕ ↔ 𝑞 ∈ (ℤ≥‘1))
24	22, 23	sylibr 234	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑞 ∈ (ℤ≥‘(𝑚 + 1)) ∧ (𝑚 + 1) ∈ (ℤ≥‘1)) → 𝑞 ∈ ℕ)
25	24	expcom 413	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑚 + 1) ∈ (ℤ≥‘1) → (𝑞 ∈ (ℤ≥‘(𝑚 + 1)) → 𝑞 ∈ ℕ))
26	21, 25	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → (𝑞 ∈ (ℤ≥‘(𝑚 + 1)) → 𝑞 ∈ ℕ))
27	26	imdistani 568	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ (ℤ≥‘(𝑚 + 1))) → (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℕ))
28		fveq2 6920	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑠 = 𝑞 → (𝐹‘𝑠) = (𝐹‘𝑞))
29		fvoveq1 7471	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑠 = 𝑞 → (𝐹‘(𝑠 + 1)) = (𝐹‘(𝑞 + 1)))
30	28, 29	breq12d 5179	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑠 = 𝑞 → ((𝐹‘𝑠)𝑅(𝐹‘(𝑠 + 1)) ↔ (𝐹‘𝑞)𝑅(𝐹‘(𝑞 + 1))))
31	30	rspccva 3634	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((∀𝑠 ∈ ℕ (𝐹‘𝑠)𝑅(𝐹‘(𝑠 + 1)) ∧ 𝑞 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑞)𝑅(𝐹‘(𝑞 + 1)))
32	31	ad2ant2l 745	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑅 Po 𝐴 ∧ 𝐹:ℕ⟶𝐴) ∧ ∀𝑠 ∈ ℕ (𝐹‘𝑠)𝑅(𝐹‘(𝑠 + 1))) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → (𝐹‘𝑞)𝑅(𝐹‘(𝑞 + 1)))
33	32	ex 412	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑅 Po 𝐴 ∧ 𝐹:ℕ⟶𝐴) ∧ ∀𝑠 ∈ ℕ (𝐹‘𝑠)𝑅(𝐹‘(𝑠 + 1))) → ((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑞)𝑅(𝐹‘(𝑞 + 1))))
34		ffvelcdm 7115	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝐹:ℕ⟶𝐴 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑚) ∈ 𝐴)
35	34	adantrr 716	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐹:ℕ⟶𝐴 ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → (𝐹‘𝑚) ∈ 𝐴)
36		ffvelcdm 7115	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝐹:ℕ⟶𝐴 ∧ 𝑞 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑞) ∈ 𝐴)
37	36	adantrl 715	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐹:ℕ⟶𝐴 ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → (𝐹‘𝑞) ∈ 𝐴)
38		peano2nn 12305	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑞 ∈ ℕ → (𝑞 + 1) ∈ ℕ)
39		ffvelcdm 7115	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝐹:ℕ⟶𝐴 ∧ (𝑞 + 1) ∈ ℕ) → (𝐹‘(𝑞 + 1)) ∈ 𝐴)
40	38, 39	sylan2 592	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝐹:ℕ⟶𝐴 ∧ 𝑞 ∈ ℕ) → (𝐹‘(𝑞 + 1)) ∈ 𝐴)
41	40	adantrl 715	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐹:ℕ⟶𝐴 ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → (𝐹‘(𝑞 + 1)) ∈ 𝐴)
42	35, 37, 41	3jca 1128	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐹:ℕ⟶𝐴 ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → ((𝐹‘𝑚) ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑞) ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘(𝑞 + 1)) ∈ 𝐴))
43		potr 5621	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑅 Po 𝐴 ∧ ((𝐹‘𝑚) ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑞) ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘(𝑞 + 1)) ∈ 𝐴)) → (((𝐹‘𝑚)𝑅(𝐹‘𝑞) ∧ (𝐹‘𝑞)𝑅(𝐹‘(𝑞 + 1))) → (𝐹‘𝑚)𝑅(𝐹‘(𝑞 + 1))))
44	43	expcomd 416	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑅 Po 𝐴 ∧ ((𝐹‘𝑚) ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑞) ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘(𝑞 + 1)) ∈ 𝐴)) → ((𝐹‘𝑞)𝑅(𝐹‘(𝑞 + 1)) → ((𝐹‘𝑚)𝑅(𝐹‘𝑞) → (𝐹‘𝑚)𝑅(𝐹‘(𝑞 + 1)))))
45	44	ex 412	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑅 Po 𝐴 → (((𝐹‘𝑚) ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑞) ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘(𝑞 + 1)) ∈ 𝐴) → ((𝐹‘𝑞)𝑅(𝐹‘(𝑞 + 1)) → ((𝐹‘𝑚)𝑅(𝐹‘𝑞) → (𝐹‘𝑚)𝑅(𝐹‘(𝑞 + 1))))))
46	42, 45	syl5 34	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑅 Po 𝐴 → ((𝐹:ℕ⟶𝐴 ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → ((𝐹‘𝑞)𝑅(𝐹‘(𝑞 + 1)) → ((𝐹‘𝑚)𝑅(𝐹‘𝑞) → (𝐹‘𝑚)𝑅(𝐹‘(𝑞 + 1))))))
47	46	expdimp 452	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑅 Po 𝐴 ∧ 𝐹:ℕ⟶𝐴) → ((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℕ) → ((𝐹‘𝑞)𝑅(𝐹‘(𝑞 + 1)) → ((𝐹‘𝑚)𝑅(𝐹‘𝑞) → (𝐹‘𝑚)𝑅(𝐹‘(𝑞 + 1))))))
48	47	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑅 Po 𝐴 ∧ 𝐹:ℕ⟶𝐴) ∧ ∀𝑠 ∈ ℕ (𝐹‘𝑠)𝑅(𝐹‘(𝑠 + 1))) → ((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℕ) → ((𝐹‘𝑞)𝑅(𝐹‘(𝑞 + 1)) → ((𝐹‘𝑚)𝑅(𝐹‘𝑞) → (𝐹‘𝑚)𝑅(𝐹‘(𝑞 + 1))))))
49	33, 48	mpdd 43	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑅 Po 𝐴 ∧ 𝐹:ℕ⟶𝐴) ∧ ∀𝑠 ∈ ℕ (𝐹‘𝑠)𝑅(𝐹‘(𝑠 + 1))) → ((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℕ) → ((𝐹‘𝑚)𝑅(𝐹‘𝑞) → (𝐹‘𝑚)𝑅(𝐹‘(𝑞 + 1)))))
50	27, 49	syl5 34	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑅 Po 𝐴 ∧ 𝐹:ℕ⟶𝐴) ∧ ∀𝑠 ∈ ℕ (𝐹‘𝑠)𝑅(𝐹‘(𝑠 + 1))) → ((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ (ℤ≥‘(𝑚 + 1))) → ((𝐹‘𝑚)𝑅(𝐹‘𝑞) → (𝐹‘𝑚)𝑅(𝐹‘(𝑞 + 1)))))
51	50	expdimp 452	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑅 Po 𝐴 ∧ 𝐹:ℕ⟶𝐴) ∧ ∀𝑠 ∈ ℕ (𝐹‘𝑠)𝑅(𝐹‘(𝑠 + 1))) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (𝑞 ∈ (ℤ≥‘(𝑚 + 1)) → ((𝐹‘𝑚)𝑅(𝐹‘𝑞) → (𝐹‘𝑚)𝑅(𝐹‘(𝑞 + 1)))))
52	51	anasss 466	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 Po 𝐴 ∧ 𝐹:ℕ⟶𝐴) ∧ (∀𝑠 ∈ ℕ (𝐹‘𝑠)𝑅(𝐹‘(𝑠 + 1)) ∧ 𝑚 ∈ ℕ)) → (𝑞 ∈ (ℤ≥‘(𝑚 + 1)) → ((𝐹‘𝑚)𝑅(𝐹‘𝑞) → (𝐹‘𝑚)𝑅(𝐹‘(𝑞 + 1)))))
53	52	com12 32	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑞 ∈ (ℤ≥‘(𝑚 + 1)) → (((𝑅 Po 𝐴 ∧ 𝐹:ℕ⟶𝐴) ∧ (∀𝑠 ∈ ℕ (𝐹‘𝑠)𝑅(𝐹‘(𝑠 + 1)) ∧ 𝑚 ∈ ℕ)) → ((𝐹‘𝑚)𝑅(𝐹‘𝑞) → (𝐹‘𝑚)𝑅(𝐹‘(𝑞 + 1)))))
54	53	a2d 29	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑞 ∈ (ℤ≥‘(𝑚 + 1)) → ((((𝑅 Po 𝐴 ∧ 𝐹:ℕ⟶𝐴) ∧ (∀𝑠 ∈ ℕ (𝐹‘𝑠)𝑅(𝐹‘(𝑠 + 1)) ∧ 𝑚 ∈ ℕ)) → (𝐹‘𝑚)𝑅(𝐹‘𝑞)) → (((𝑅 Po 𝐴 ∧ 𝐹:ℕ⟶𝐴) ∧ (∀𝑠 ∈ ℕ (𝐹‘𝑠)𝑅(𝐹‘(𝑠 + 1)) ∧ 𝑚 ∈ ℕ)) → (𝐹‘𝑚)𝑅(𝐹‘(𝑞 + 1)))))
55	3, 6, 9, 12, 18, 54	uzind4 12971	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ (ℤ≥‘(𝑚 + 1)) → (((𝑅 Po 𝐴 ∧ 𝐹:ℕ⟶𝐴) ∧ (∀𝑠 ∈ ℕ (𝐹‘𝑠)𝑅(𝐹‘(𝑠 + 1)) ∧ 𝑚 ∈ ℕ)) → (𝐹‘𝑚)𝑅(𝐹‘𝑛)))
56	55	com12 32	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 Po 𝐴 ∧ 𝐹:ℕ⟶𝐴) ∧ (∀𝑠 ∈ ℕ (𝐹‘𝑠)𝑅(𝐹‘(𝑠 + 1)) ∧ 𝑚 ∈ ℕ)) → (𝑛 ∈ (ℤ≥‘(𝑚 + 1)) → (𝐹‘𝑚)𝑅(𝐹‘𝑛)))
57	56	ralrimiv 3151	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 Po 𝐴 ∧ 𝐹:ℕ⟶𝐴) ∧ (∀𝑠 ∈ ℕ (𝐹‘𝑠)𝑅(𝐹‘(𝑠 + 1)) ∧ 𝑚 ∈ ℕ)) → ∀𝑛 ∈ (ℤ≥‘(𝑚 + 1))(𝐹‘𝑚)𝑅(𝐹‘𝑛))
58	57	anassrs 467	. . . 4 ⊢ ((((𝑅 Po 𝐴 ∧ 𝐹:ℕ⟶𝐴) ∧ ∀𝑠 ∈ ℕ (𝐹‘𝑠)𝑅(𝐹‘(𝑠 + 1))) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → ∀𝑛 ∈ (ℤ≥‘(𝑚 + 1))(𝐹‘𝑚)𝑅(𝐹‘𝑛))
59	58	ralrimiva 3152	. . 3 ⊢ (((𝑅 Po 𝐴 ∧ 𝐹:ℕ⟶𝐴) ∧ ∀𝑠 ∈ ℕ (𝐹‘𝑠)𝑅(𝐹‘(𝑠 + 1))) → ∀𝑚 ∈ ℕ ∀𝑛 ∈ (ℤ≥‘(𝑚 + 1))(𝐹‘𝑚)𝑅(𝐹‘𝑛))
60	59	ex 412	. 2 ⊢ ((𝑅 Po 𝐴 ∧ 𝐹:ℕ⟶𝐴) → (∀𝑠 ∈ ℕ (𝐹‘𝑠)𝑅(𝐹‘(𝑠 + 1)) → ∀𝑚 ∈ ℕ ∀𝑛 ∈ (ℤ≥‘(𝑚 + 1))(𝐹‘𝑚)𝑅(𝐹‘𝑛)))
61		fvoveq1 7471	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 = 𝑠 → (ℤ≥‘(𝑚 + 1)) = (ℤ≥‘(𝑠 + 1)))
62		fveq2 6920	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 = 𝑠 → (𝐹‘𝑚) = (𝐹‘𝑠))
63	62	breq1d 5176	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 = 𝑠 → ((𝐹‘𝑚)𝑅(𝐹‘𝑛) ↔ (𝐹‘𝑠)𝑅(𝐹‘𝑛)))
64	61, 63	raleqbidv 3354	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 = 𝑠 → (∀𝑛 ∈ (ℤ≥‘(𝑚 + 1))(𝐹‘𝑚)𝑅(𝐹‘𝑛) ↔ ∀𝑛 ∈ (ℤ≥‘(𝑠 + 1))(𝐹‘𝑠)𝑅(𝐹‘𝑛)))
65	64	rspcv 3631	. . . . 5 ⊢ (𝑠 ∈ ℕ → (∀𝑚 ∈ ℕ ∀𝑛 ∈ (ℤ≥‘(𝑚 + 1))(𝐹‘𝑚)𝑅(𝐹‘𝑛) → ∀𝑛 ∈ (ℤ≥‘(𝑠 + 1))(𝐹‘𝑠)𝑅(𝐹‘𝑛)))
66	65	imdistanri 569	. . . 4 ⊢ ((∀𝑚 ∈ ℕ ∀𝑛 ∈ (ℤ≥‘(𝑚 + 1))(𝐹‘𝑚)𝑅(𝐹‘𝑛) ∧ 𝑠 ∈ ℕ) → (∀𝑛 ∈ (ℤ≥‘(𝑠 + 1))(𝐹‘𝑠)𝑅(𝐹‘𝑛) ∧ 𝑠 ∈ ℕ))
67		peano2nn 12305	. . . . . . 7 ⊢ (𝑠 ∈ ℕ → (𝑠 + 1) ∈ ℕ)
68	67	nnzd 12666	. . . . . 6 ⊢ (𝑠 ∈ ℕ → (𝑠 + 1) ∈ ℤ)
69		uzid 12918	. . . . . 6 ⊢ ((𝑠 + 1) ∈ ℤ → (𝑠 + 1) ∈ (ℤ≥‘(𝑠 + 1)))
70	68, 69	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑠 ∈ ℕ → (𝑠 + 1) ∈ (ℤ≥‘(𝑠 + 1)))
71		fveq2 6920	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = (𝑠 + 1) → (𝐹‘𝑛) = (𝐹‘(𝑠 + 1)))
72	71	breq2d 5178	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = (𝑠 + 1) → ((𝐹‘𝑠)𝑅(𝐹‘𝑛) ↔ (𝐹‘𝑠)𝑅(𝐹‘(𝑠 + 1))))
73	72	rspccva 3634	. . . . 5 ⊢ ((∀𝑛 ∈ (ℤ≥‘(𝑠 + 1))(𝐹‘𝑠)𝑅(𝐹‘𝑛) ∧ (𝑠 + 1) ∈ (ℤ≥‘(𝑠 + 1))) → (𝐹‘𝑠)𝑅(𝐹‘(𝑠 + 1)))
74	70, 73	sylan2 592	. . . 4 ⊢ ((∀𝑛 ∈ (ℤ≥‘(𝑠 + 1))(𝐹‘𝑠)𝑅(𝐹‘𝑛) ∧ 𝑠 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑠)𝑅(𝐹‘(𝑠 + 1)))
75	66, 74	syl 17	. . 3 ⊢ ((∀𝑚 ∈ ℕ ∀𝑛 ∈ (ℤ≥‘(𝑚 + 1))(𝐹‘𝑚)𝑅(𝐹‘𝑛) ∧ 𝑠 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑠)𝑅(𝐹‘(𝑠 + 1)))
76	75	ralrimiva 3152	. 2 ⊢ (∀𝑚 ∈ ℕ ∀𝑛 ∈ (ℤ≥‘(𝑚 + 1))(𝐹‘𝑚)𝑅(𝐹‘𝑛) → ∀𝑠 ∈ ℕ (𝐹‘𝑠)𝑅(𝐹‘(𝑠 + 1)))
77	60, 76	impbid1 225	1 ⊢ ((𝑅 Po 𝐴 ∧ 𝐹:ℕ⟶𝐴) → (∀𝑠 ∈ ℕ (𝐹‘𝑠)𝑅(𝐹‘(𝑠 + 1)) ↔ ∀𝑚 ∈ ℕ ∀𝑛 ∈ (ℤ≥‘(𝑚 + 1))(𝐹‘𝑚)𝑅(𝐹‘𝑛)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1537   ∈ wcel 2108  ∀wral 3067   class class class wbr 5166   Po wpo 5605  ⟶wf 6569  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448  1c1 11185   + caddc 11187  ℕcn 12293  ℤcz 12639  ℤ_≥cuz 12903

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-nn 12294  df-n0 12554  df-z 12640  df-uz 12904

This theorem is referenced by:  incsequz2  37709