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Theorem frfi 8447
Description: A partial order is well-founded on a finite set. (Contributed by Jeff Madsen, 18-Jun-2010.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 29-Jan-2014.)
Assertion
Ref Expression
frfi ((𝑅 Po 𝐴𝐴 ∈ Fin) → 𝑅 Fr 𝐴)

Proof of Theorem frfi
Dummy variables 𝑢 𝑣 𝑤 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 poeq2 5237 . . . 4 (𝑥 = ∅ → (𝑅 Po 𝑥𝑅 Po ∅))
2 freq2 5283 . . . 4 (𝑥 = ∅ → (𝑅 Fr 𝑥𝑅 Fr ∅))
31, 2imbi12d 336 . . 3 (𝑥 = ∅ → ((𝑅 Po 𝑥𝑅 Fr 𝑥) ↔ (𝑅 Po ∅ → 𝑅 Fr ∅)))
4 poeq2 5237 . . . 4 (𝑥 = 𝑦 → (𝑅 Po 𝑥𝑅 Po 𝑦))
5 freq2 5283 . . . 4 (𝑥 = 𝑦 → (𝑅 Fr 𝑥𝑅 Fr 𝑦))
64, 5imbi12d 336 . . 3 (𝑥 = 𝑦 → ((𝑅 Po 𝑥𝑅 Fr 𝑥) ↔ (𝑅 Po 𝑦𝑅 Fr 𝑦)))
7 poeq2 5237 . . . 4 (𝑥 = (𝑦 ∪ {𝑤}) → (𝑅 Po 𝑥𝑅 Po (𝑦 ∪ {𝑤})))
8 freq2 5283 . . . 4 (𝑥 = (𝑦 ∪ {𝑤}) → (𝑅 Fr 𝑥𝑅 Fr (𝑦 ∪ {𝑤})))
97, 8imbi12d 336 . . 3 (𝑥 = (𝑦 ∪ {𝑤}) → ((𝑅 Po 𝑥𝑅 Fr 𝑥) ↔ (𝑅 Po (𝑦 ∪ {𝑤}) → 𝑅 Fr (𝑦 ∪ {𝑤}))))
10 poeq2 5237 . . . 4 (𝑥 = 𝐴 → (𝑅 Po 𝑥𝑅 Po 𝐴))
11 freq2 5283 . . . 4 (𝑥 = 𝐴 → (𝑅 Fr 𝑥𝑅 Fr 𝐴))
1210, 11imbi12d 336 . . 3 (𝑥 = 𝐴 → ((𝑅 Po 𝑥𝑅 Fr 𝑥) ↔ (𝑅 Po 𝐴𝑅 Fr 𝐴)))
13 fr0 5291 . . . 4 𝑅 Fr ∅
1413a1i 11 . . 3 (𝑅 Po ∅ → 𝑅 Fr ∅)
15 ssun1 3974 . . . . . . 7 𝑦 ⊆ (𝑦 ∪ {𝑤})
16 poss 5235 . . . . . . 7 (𝑦 ⊆ (𝑦 ∪ {𝑤}) → (𝑅 Po (𝑦 ∪ {𝑤}) → 𝑅 Po 𝑦))
1715, 16ax-mp 5 . . . . . 6 (𝑅 Po (𝑦 ∪ {𝑤}) → 𝑅 Po 𝑦)
1817imim1i 63 . . . . 5 ((𝑅 Po 𝑦𝑅 Fr 𝑦) → (𝑅 Po (𝑦 ∪ {𝑤}) → 𝑅 Fr 𝑦))
19 uncom 3955 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∪ {𝑤}) = ({𝑤} ∪ 𝑦)
2019sseq2i 3826 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ⊆ (𝑦 ∪ {𝑤}) ↔ 𝑥 ⊆ ({𝑤} ∪ 𝑦))
21 ssundif 4246 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ⊆ ({𝑤} ∪ 𝑦) ↔ (𝑥 ∖ {𝑤}) ⊆ 𝑦)
2220, 21bitri 267 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ⊆ (𝑦 ∪ {𝑤}) ↔ (𝑥 ∖ {𝑤}) ⊆ 𝑦)
2322anbi1i 618 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ⊆ (𝑦 ∪ {𝑤}) ∧ 𝑥 ≠ ∅) ↔ ((𝑥 ∖ {𝑤}) ⊆ 𝑦𝑥 ≠ ∅))
24 breq1 4846 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑣 = 𝑧 → (𝑣𝑅𝑤𝑧𝑅𝑤))
2524cbvrexv 3355 . . . . . . . . . . . . 13 (∃𝑣𝑥 𝑣𝑅𝑤 ↔ ∃𝑧𝑥 𝑧𝑅𝑤)
26 simpllr 794 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑅 Po (𝑦 ∪ {𝑤}) ∧ 𝑅 Fr 𝑦) ∧ ((𝑥 ∖ {𝑤}) ⊆ 𝑦𝑥 ≠ ∅)) ∧ (𝑧𝑥𝑧𝑅𝑤𝑤𝑥)) → 𝑅 Fr 𝑦)
27 simplrl 796 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑅 Po (𝑦 ∪ {𝑤}) ∧ 𝑅 Fr 𝑦) ∧ ((𝑥 ∖ {𝑤}) ⊆ 𝑦𝑥 ≠ ∅)) ∧ (𝑧𝑥𝑧𝑅𝑤𝑤𝑥)) → (𝑥 ∖ {𝑤}) ⊆ 𝑦)
28 poss 5235 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑥 ⊆ (𝑦 ∪ {𝑤}) → (𝑅 Po (𝑦 ∪ {𝑤}) → 𝑅 Po 𝑥))
2928impcom 397 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑅 Po (𝑦 ∪ {𝑤}) ∧ 𝑥 ⊆ (𝑦 ∪ {𝑤})) → 𝑅 Po 𝑥)
3022, 29sylan2br 589 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑅 Po (𝑦 ∪ {𝑤}) ∧ (𝑥 ∖ {𝑤}) ⊆ 𝑦) → 𝑅 Po 𝑥)
3130ad2ant2r 754 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑅 Po (𝑦 ∪ {𝑤}) ∧ 𝑅 Fr 𝑦) ∧ ((𝑥 ∖ {𝑤}) ⊆ 𝑦𝑥 ≠ ∅)) → 𝑅 Po 𝑥)
32 simpr1 1249 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑅 Po 𝑥 ∧ (𝑧𝑥𝑧𝑅𝑤𝑤𝑥)) → 𝑧𝑥)
33 simpr2 1251 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑅 Po 𝑥 ∧ (𝑧𝑥𝑧𝑅𝑤𝑤𝑥)) → 𝑧𝑅𝑤)
34 poirr 5244 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑅 Po 𝑥𝑤𝑥) → ¬ 𝑤𝑅𝑤)
35343ad2antr3 1242 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑅 Po 𝑥 ∧ (𝑧𝑥𝑧𝑅𝑤𝑤𝑥)) → ¬ 𝑤𝑅𝑤)
36 nbrne2 4863 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑧𝑅𝑤 ∧ ¬ 𝑤𝑅𝑤) → 𝑧𝑤)
3733, 35, 36syl2anc 580 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑅 Po 𝑥 ∧ (𝑧𝑥𝑧𝑅𝑤𝑤𝑥)) → 𝑧𝑤)
38 eldifsn 4506 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑧 ∈ (𝑥 ∖ {𝑤}) ↔ (𝑧𝑥𝑧𝑤))
3932, 37, 38sylanbrc 579 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑅 Po 𝑥 ∧ (𝑧𝑥𝑧𝑅𝑤𝑤𝑥)) → 𝑧 ∈ (𝑥 ∖ {𝑤}))
4031, 39sylan 576 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝑅 Po (𝑦 ∪ {𝑤}) ∧ 𝑅 Fr 𝑦) ∧ ((𝑥 ∖ {𝑤}) ⊆ 𝑦𝑥 ≠ ∅)) ∧ (𝑧𝑥𝑧𝑅𝑤𝑤𝑥)) → 𝑧 ∈ (𝑥 ∖ {𝑤}))
4140ne0d 4122 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑅 Po (𝑦 ∪ {𝑤}) ∧ 𝑅 Fr 𝑦) ∧ ((𝑥 ∖ {𝑤}) ⊆ 𝑦𝑥 ≠ ∅)) ∧ (𝑧𝑥𝑧𝑅𝑤𝑤𝑥)) → (𝑥 ∖ {𝑤}) ≠ ∅)
42 difss 3935 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 ∖ {𝑤}) ⊆ 𝑥
43 vex 3388 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝑥 ∈ V
44 difexg 5003 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 ∈ V → (𝑥 ∖ {𝑤}) ∈ V)
4543, 44ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 ∖ {𝑤}) ∈ V
46 fri 5274 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝑥 ∖ {𝑤}) ∈ V ∧ 𝑅 Fr 𝑦) ∧ ((𝑥 ∖ {𝑤}) ⊆ 𝑦 ∧ (𝑥 ∖ {𝑤}) ≠ ∅)) → ∃𝑢 ∈ (𝑥 ∖ {𝑤})∀𝑣 ∈ (𝑥 ∖ {𝑤}) ¬ 𝑣𝑅𝑢)
4745, 46mpanl1 692 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑅 Fr 𝑦 ∧ ((𝑥 ∖ {𝑤}) ⊆ 𝑦 ∧ (𝑥 ∖ {𝑤}) ≠ ∅)) → ∃𝑢 ∈ (𝑥 ∖ {𝑤})∀𝑣 ∈ (𝑥 ∖ {𝑤}) ¬ 𝑣𝑅𝑢)
48 ssrexv 3863 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑥 ∖ {𝑤}) ⊆ 𝑥 → (∃𝑢 ∈ (𝑥 ∖ {𝑤})∀𝑣 ∈ (𝑥 ∖ {𝑤}) ¬ 𝑣𝑅𝑢 → ∃𝑢𝑥𝑣 ∈ (𝑥 ∖ {𝑤}) ¬ 𝑣𝑅𝑢))
4942, 47, 48mpsyl 68 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑅 Fr 𝑦 ∧ ((𝑥 ∖ {𝑤}) ⊆ 𝑦 ∧ (𝑥 ∖ {𝑤}) ≠ ∅)) → ∃𝑢𝑥𝑣 ∈ (𝑥 ∖ {𝑤}) ¬ 𝑣𝑅𝑢)
5026, 27, 41, 49syl12anc 866 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑅 Po (𝑦 ∪ {𝑤}) ∧ 𝑅 Fr 𝑦) ∧ ((𝑥 ∖ {𝑤}) ⊆ 𝑦𝑥 ≠ ∅)) ∧ (𝑧𝑥𝑧𝑅𝑤𝑤𝑥)) → ∃𝑢𝑥𝑣 ∈ (𝑥 ∖ {𝑤}) ¬ 𝑣𝑅𝑢)
51 breq1 4846 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑣 = 𝑧 → (𝑣𝑅𝑢𝑧𝑅𝑢))
5251notbid 310 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑣 = 𝑧 → (¬ 𝑣𝑅𝑢 ↔ ¬ 𝑧𝑅𝑢))
5352rspcv 3493 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑧 ∈ (𝑥 ∖ {𝑤}) → (∀𝑣 ∈ (𝑥 ∖ {𝑤}) ¬ 𝑣𝑅𝑢 → ¬ 𝑧𝑅𝑢))
5439, 53syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑅 Po 𝑥 ∧ (𝑧𝑥𝑧𝑅𝑤𝑤𝑥)) → (∀𝑣 ∈ (𝑥 ∖ {𝑤}) ¬ 𝑣𝑅𝑢 → ¬ 𝑧𝑅𝑢))
5554adantr 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑅 Po 𝑥 ∧ (𝑧𝑥𝑧𝑅𝑤𝑤𝑥)) ∧ 𝑢𝑥) → (∀𝑣 ∈ (𝑥 ∖ {𝑤}) ¬ 𝑣𝑅𝑢 → ¬ 𝑧𝑅𝑢))
56 simplr2 1278 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝑅 Po 𝑥 ∧ (𝑧𝑥𝑧𝑅𝑤𝑤𝑥)) ∧ 𝑢𝑥) → 𝑧𝑅𝑤)
57 simpll 784 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝑅 Po 𝑥 ∧ (𝑧𝑥𝑧𝑅𝑤𝑤𝑥)) ∧ 𝑢𝑥) → 𝑅 Po 𝑥)
58 simplr1 1276 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝑅 Po 𝑥 ∧ (𝑧𝑥𝑧𝑅𝑤𝑤𝑥)) ∧ 𝑢𝑥) → 𝑧𝑥)
59 simplr3 1280 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝑅 Po 𝑥 ∧ (𝑧𝑥𝑧𝑅𝑤𝑤𝑥)) ∧ 𝑢𝑥) → 𝑤𝑥)
60 simpr 478 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝑅 Po 𝑥 ∧ (𝑧𝑥𝑧𝑅𝑤𝑤𝑥)) ∧ 𝑢𝑥) → 𝑢𝑥)
61 potr 5245 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑅 Po 𝑥 ∧ (𝑧𝑥𝑤𝑥𝑢𝑥)) → ((𝑧𝑅𝑤𝑤𝑅𝑢) → 𝑧𝑅𝑢))
6257, 58, 59, 60, 61syl13anc 1492 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝑅 Po 𝑥 ∧ (𝑧𝑥𝑧𝑅𝑤𝑤𝑥)) ∧ 𝑢𝑥) → ((𝑧𝑅𝑤𝑤𝑅𝑢) → 𝑧𝑅𝑢))
6356, 62mpand 687 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝑅 Po 𝑥 ∧ (𝑧𝑥𝑧𝑅𝑤𝑤𝑥)) ∧ 𝑢𝑥) → (𝑤𝑅𝑢𝑧𝑅𝑢))
6463con3d 150 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝑅 Po 𝑥 ∧ (𝑧𝑥𝑧𝑅𝑤𝑤𝑥)) ∧ 𝑢𝑥) → (¬ 𝑧𝑅𝑢 → ¬ 𝑤𝑅𝑢))
65 vex 3388 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 𝑤 ∈ V
66 breq1 4846 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑣 = 𝑤 → (𝑣𝑅𝑢𝑤𝑅𝑢))
6766notbid 310 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑣 = 𝑤 → (¬ 𝑣𝑅𝑢 ↔ ¬ 𝑤𝑅𝑢))
6865, 67ralsn 4413 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (∀𝑣 ∈ {𝑤} ¬ 𝑣𝑅𝑢 ↔ ¬ 𝑤𝑅𝑢)
6964, 68syl6ibr 244 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑅 Po 𝑥 ∧ (𝑧𝑥𝑧𝑅𝑤𝑤𝑥)) ∧ 𝑢𝑥) → (¬ 𝑧𝑅𝑢 → ∀𝑣 ∈ {𝑤} ¬ 𝑣𝑅𝑢))
7055, 69syld 47 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑅 Po 𝑥 ∧ (𝑧𝑥𝑧𝑅𝑤𝑤𝑥)) ∧ 𝑢𝑥) → (∀𝑣 ∈ (𝑥 ∖ {𝑤}) ¬ 𝑣𝑅𝑢 → ∀𝑣 ∈ {𝑤} ¬ 𝑣𝑅𝑢))
71 ralun 3993 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((∀𝑣 ∈ (𝑥 ∖ {𝑤}) ¬ 𝑣𝑅𝑢 ∧ ∀𝑣 ∈ {𝑤} ¬ 𝑣𝑅𝑢) → ∀𝑣 ∈ ((𝑥 ∖ {𝑤}) ∪ {𝑤}) ¬ 𝑣𝑅𝑢)
7271ex 402 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (∀𝑣 ∈ (𝑥 ∖ {𝑤}) ¬ 𝑣𝑅𝑢 → (∀𝑣 ∈ {𝑤} ¬ 𝑣𝑅𝑢 → ∀𝑣 ∈ ((𝑥 ∖ {𝑤}) ∪ {𝑤}) ¬ 𝑣𝑅𝑢))
7370, 72sylcom 30 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑅 Po 𝑥 ∧ (𝑧𝑥𝑧𝑅𝑤𝑤𝑥)) ∧ 𝑢𝑥) → (∀𝑣 ∈ (𝑥 ∖ {𝑤}) ¬ 𝑣𝑅𝑢 → ∀𝑣 ∈ ((𝑥 ∖ {𝑤}) ∪ {𝑤}) ¬ 𝑣𝑅𝑢))
74 difsnid 4529 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑤𝑥 → ((𝑥 ∖ {𝑤}) ∪ {𝑤}) = 𝑥)
7574raleqdv 3327 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑤𝑥 → (∀𝑣 ∈ ((𝑥 ∖ {𝑤}) ∪ {𝑤}) ¬ 𝑣𝑅𝑢 ↔ ∀𝑣𝑥 ¬ 𝑣𝑅𝑢))
7659, 75syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑅 Po 𝑥 ∧ (𝑧𝑥𝑧𝑅𝑤𝑤𝑥)) ∧ 𝑢𝑥) → (∀𝑣 ∈ ((𝑥 ∖ {𝑤}) ∪ {𝑤}) ¬ 𝑣𝑅𝑢 ↔ ∀𝑣𝑥 ¬ 𝑣𝑅𝑢))
7773, 76sylibd 231 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑅 Po 𝑥 ∧ (𝑧𝑥𝑧𝑅𝑤𝑤𝑥)) ∧ 𝑢𝑥) → (∀𝑣 ∈ (𝑥 ∖ {𝑤}) ¬ 𝑣𝑅𝑢 → ∀𝑣𝑥 ¬ 𝑣𝑅𝑢))
7877reximdva 3197 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑅 Po 𝑥 ∧ (𝑧𝑥𝑧𝑅𝑤𝑤𝑥)) → (∃𝑢𝑥𝑣 ∈ (𝑥 ∖ {𝑤}) ¬ 𝑣𝑅𝑢 → ∃𝑢𝑥𝑣𝑥 ¬ 𝑣𝑅𝑢))
7931, 78sylan 576 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑅 Po (𝑦 ∪ {𝑤}) ∧ 𝑅 Fr 𝑦) ∧ ((𝑥 ∖ {𝑤}) ⊆ 𝑦𝑥 ≠ ∅)) ∧ (𝑧𝑥𝑧𝑅𝑤𝑤𝑥)) → (∃𝑢𝑥𝑣 ∈ (𝑥 ∖ {𝑤}) ¬ 𝑣𝑅𝑢 → ∃𝑢𝑥𝑣𝑥 ¬ 𝑣𝑅𝑢))
8050, 79mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑅 Po (𝑦 ∪ {𝑤}) ∧ 𝑅 Fr 𝑦) ∧ ((𝑥 ∖ {𝑤}) ⊆ 𝑦𝑥 ≠ ∅)) ∧ (𝑧𝑥𝑧𝑅𝑤𝑤𝑥)) → ∃𝑢𝑥𝑣𝑥 ¬ 𝑣𝑅𝑢)
81803exp2 1464 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑅 Po (𝑦 ∪ {𝑤}) ∧ 𝑅 Fr 𝑦) ∧ ((𝑥 ∖ {𝑤}) ⊆ 𝑦𝑥 ≠ ∅)) → (𝑧𝑥 → (𝑧𝑅𝑤 → (𝑤𝑥 → ∃𝑢𝑥𝑣𝑥 ¬ 𝑣𝑅𝑢))))
8281rexlimdv 3211 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑅 Po (𝑦 ∪ {𝑤}) ∧ 𝑅 Fr 𝑦) ∧ ((𝑥 ∖ {𝑤}) ⊆ 𝑦𝑥 ≠ ∅)) → (∃𝑧𝑥 𝑧𝑅𝑤 → (𝑤𝑥 → ∃𝑢𝑥𝑣𝑥 ¬ 𝑣𝑅𝑢)))
8325, 82syl5bi 234 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑅 Po (𝑦 ∪ {𝑤}) ∧ 𝑅 Fr 𝑦) ∧ ((𝑥 ∖ {𝑤}) ⊆ 𝑦𝑥 ≠ ∅)) → (∃𝑣𝑥 𝑣𝑅𝑤 → (𝑤𝑥 → ∃𝑢𝑥𝑣𝑥 ¬ 𝑣𝑅𝑢)))
84 ralnex 3173 . . . . . . . . . . . . 13 (∀𝑣𝑥 ¬ 𝑣𝑅𝑤 ↔ ¬ ∃𝑣𝑥 𝑣𝑅𝑤)
85 breq2 4847 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑢 = 𝑤 → (𝑣𝑅𝑢𝑣𝑅𝑤))
8685notbid 310 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑢 = 𝑤 → (¬ 𝑣𝑅𝑢 ↔ ¬ 𝑣𝑅𝑤))
8786ralbidv 3167 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑢 = 𝑤 → (∀𝑣𝑥 ¬ 𝑣𝑅𝑢 ↔ ∀𝑣𝑥 ¬ 𝑣𝑅𝑤))
8887rspcev 3497 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑤𝑥 ∧ ∀𝑣𝑥 ¬ 𝑣𝑅𝑤) → ∃𝑢𝑥𝑣𝑥 ¬ 𝑣𝑅𝑢)
8988expcom 403 . . . . . . . . . . . . 13 (∀𝑣𝑥 ¬ 𝑣𝑅𝑤 → (𝑤𝑥 → ∃𝑢𝑥𝑣𝑥 ¬ 𝑣𝑅𝑢))
9084, 89sylbir 227 . . . . . . . . . . . 12 (¬ ∃𝑣𝑥 𝑣𝑅𝑤 → (𝑤𝑥 → ∃𝑢𝑥𝑣𝑥 ¬ 𝑣𝑅𝑢))
9183, 90pm2.61d1 173 . . . . . . . . . . 11 (((𝑅 Po (𝑦 ∪ {𝑤}) ∧ 𝑅 Fr 𝑦) ∧ ((𝑥 ∖ {𝑤}) ⊆ 𝑦𝑥 ≠ ∅)) → (𝑤𝑥 → ∃𝑢𝑥𝑣𝑥 ¬ 𝑣𝑅𝑢))
92 difsn 4517 . . . . . . . . . . . 12 𝑤𝑥 → (𝑥 ∖ {𝑤}) = 𝑥)
9349expr 449 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑅 Fr 𝑦 ∧ (𝑥 ∖ {𝑤}) ⊆ 𝑦) → ((𝑥 ∖ {𝑤}) ≠ ∅ → ∃𝑢𝑥𝑣 ∈ (𝑥 ∖ {𝑤}) ¬ 𝑣𝑅𝑢))
94 neeq1 3033 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑥 ∖ {𝑤}) = 𝑥 → ((𝑥 ∖ {𝑤}) ≠ ∅ ↔ 𝑥 ≠ ∅))
95 raleq 3321 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑥 ∖ {𝑤}) = 𝑥 → (∀𝑣 ∈ (𝑥 ∖ {𝑤}) ¬ 𝑣𝑅𝑢 ↔ ∀𝑣𝑥 ¬ 𝑣𝑅𝑢))
9695rexbidv 3233 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑥 ∖ {𝑤}) = 𝑥 → (∃𝑢𝑥𝑣 ∈ (𝑥 ∖ {𝑤}) ¬ 𝑣𝑅𝑢 ↔ ∃𝑢𝑥𝑣𝑥 ¬ 𝑣𝑅𝑢))
9794, 96imbi12d 336 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑥 ∖ {𝑤}) = 𝑥 → (((𝑥 ∖ {𝑤}) ≠ ∅ → ∃𝑢𝑥𝑣 ∈ (𝑥 ∖ {𝑤}) ¬ 𝑣𝑅𝑢) ↔ (𝑥 ≠ ∅ → ∃𝑢𝑥𝑣𝑥 ¬ 𝑣𝑅𝑢)))
9893, 97syl5ibcom 237 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑅 Fr 𝑦 ∧ (𝑥 ∖ {𝑤}) ⊆ 𝑦) → ((𝑥 ∖ {𝑤}) = 𝑥 → (𝑥 ≠ ∅ → ∃𝑢𝑥𝑣𝑥 ¬ 𝑣𝑅𝑢)))
9998com23 86 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑅 Fr 𝑦 ∧ (𝑥 ∖ {𝑤}) ⊆ 𝑦) → (𝑥 ≠ ∅ → ((𝑥 ∖ {𝑤}) = 𝑥 → ∃𝑢𝑥𝑣𝑥 ¬ 𝑣𝑅𝑢)))
10099adantll 706 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑅 Po (𝑦 ∪ {𝑤}) ∧ 𝑅 Fr 𝑦) ∧ (𝑥 ∖ {𝑤}) ⊆ 𝑦) → (𝑥 ≠ ∅ → ((𝑥 ∖ {𝑤}) = 𝑥 → ∃𝑢𝑥𝑣𝑥 ¬ 𝑣𝑅𝑢)))
101100impr 447 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑅 Po (𝑦 ∪ {𝑤}) ∧ 𝑅 Fr 𝑦) ∧ ((𝑥 ∖ {𝑤}) ⊆ 𝑦𝑥 ≠ ∅)) → ((𝑥 ∖ {𝑤}) = 𝑥 → ∃𝑢𝑥𝑣𝑥 ¬ 𝑣𝑅𝑢))
10292, 101syl5 34 . . . . . . . . . . 11 (((𝑅 Po (𝑦 ∪ {𝑤}) ∧ 𝑅 Fr 𝑦) ∧ ((𝑥 ∖ {𝑤}) ⊆ 𝑦𝑥 ≠ ∅)) → (¬ 𝑤𝑥 → ∃𝑢𝑥𝑣𝑥 ¬ 𝑣𝑅𝑢))
10391, 102pm2.61d 172 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 Po (𝑦 ∪ {𝑤}) ∧ 𝑅 Fr 𝑦) ∧ ((𝑥 ∖ {𝑤}) ⊆ 𝑦𝑥 ≠ ∅)) → ∃𝑢𝑥𝑣𝑥 ¬ 𝑣𝑅𝑢)
104103ex 402 . . . . . . . . 9 ((𝑅 Po (𝑦 ∪ {𝑤}) ∧ 𝑅 Fr 𝑦) → (((𝑥 ∖ {𝑤}) ⊆ 𝑦𝑥 ≠ ∅) → ∃𝑢𝑥𝑣𝑥 ¬ 𝑣𝑅𝑢))
10523, 104syl5bi 234 . . . . . . . 8 ((𝑅 Po (𝑦 ∪ {𝑤}) ∧ 𝑅 Fr 𝑦) → ((𝑥 ⊆ (𝑦 ∪ {𝑤}) ∧ 𝑥 ≠ ∅) → ∃𝑢𝑥𝑣𝑥 ¬ 𝑣𝑅𝑢))
106105alrimiv 2023 . . . . . . 7 ((𝑅 Po (𝑦 ∪ {𝑤}) ∧ 𝑅 Fr 𝑦) → ∀𝑥((𝑥 ⊆ (𝑦 ∪ {𝑤}) ∧ 𝑥 ≠ ∅) → ∃𝑢𝑥𝑣𝑥 ¬ 𝑣𝑅𝑢))
107 df-fr 5271 . . . . . . 7 (𝑅 Fr (𝑦 ∪ {𝑤}) ↔ ∀𝑥((𝑥 ⊆ (𝑦 ∪ {𝑤}) ∧ 𝑥 ≠ ∅) → ∃𝑢𝑥𝑣𝑥 ¬ 𝑣𝑅𝑢))
108106, 107sylibr 226 . . . . . 6 ((𝑅 Po (𝑦 ∪ {𝑤}) ∧ 𝑅 Fr 𝑦) → 𝑅 Fr (𝑦 ∪ {𝑤}))
109108ex 402 . . . . 5 (𝑅 Po (𝑦 ∪ {𝑤}) → (𝑅 Fr 𝑦𝑅 Fr (𝑦 ∪ {𝑤})))
11018, 109sylcom 30 . . . 4 ((𝑅 Po 𝑦𝑅 Fr 𝑦) → (𝑅 Po (𝑦 ∪ {𝑤}) → 𝑅 Fr (𝑦 ∪ {𝑤})))
111110a1i 11 . . 3 (𝑦 ∈ Fin → ((𝑅 Po 𝑦𝑅 Fr 𝑦) → (𝑅 Po (𝑦 ∪ {𝑤}) → 𝑅 Fr (𝑦 ∪ {𝑤}))))
1123, 6, 9, 12, 14, 111findcard2 8442 . 2 (𝐴 ∈ Fin → (𝑅 Po 𝐴𝑅 Fr 𝐴))
113112impcom 397 1 ((𝑅 Po 𝐴𝐴 ∈ Fin) → 𝑅 Fr 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 198  wa 385  w3a 1108  wal 1651   = wceq 1653  wcel 2157  wne 2971  wral 3089  wrex 3090  Vcvv 3385  cdif 3766  cun 3767  wss 3769  c0 4115  {csn 4368   class class class wbr 4843   Po wpo 5231   Fr wfr 5268  Fincfn 8195
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2377  ax-ext 2777  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pow 5035  ax-pr 5097  ax-un 7183
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2591  df-eu 2609  df-clab 2786  df-cleq 2792  df-clel 2795  df-nfc 2930  df-ne 2972  df-ral 3094  df-rex 3095  df-rab 3098  df-v 3387  df-sbc 3634  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-pss 3785  df-nul 4116  df-if 4278  df-pw 4351  df-sn 4369  df-pr 4371  df-tp 4373  df-op 4375  df-uni 4629  df-br 4844  df-opab 4906  df-tr 4946  df-id 5220  df-eprel 5225  df-po 5233  df-so 5234  df-fr 5271  df-we 5273  df-xp 5318  df-rel 5319  df-cnv 5320  df-co 5321  df-dm 5322  df-rn 5323  df-res 5324  df-ima 5325  df-ord 5944  df-on 5945  df-lim 5946  df-suc 5947  df-iota 6064  df-fun 6103  df-fn 6104  df-f 6105  df-f1 6106  df-fo 6107  df-f1o 6108  df-fv 6109  df-om 7300  df-1o 7799  df-er 7982  df-en 8196  df-fin 8199
This theorem is referenced by:  fimax2g  8448  wofi  8451  fimin2g  8645  isfin1-3  9496
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