Theorem frfi 8447

Description: A partial order is well-founded on a finite set. (Contributed by Jeff Madsen, 18-Jun-2010.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 29-Jan-2014.)

Assertion

Ref	Expression
frfi	⊢ ((𝑅 Po 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin) → 𝑅 Fr 𝐴)

Proof of Theorem frfi

Dummy variables 𝑢 𝑣 𝑤 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		poeq2 5237	. . . 4 ⊢ (𝑥 = ∅ → (𝑅 Po 𝑥 ↔ 𝑅 Po ∅))
2		freq2 5283	. . . 4 ⊢ (𝑥 = ∅ → (𝑅 Fr 𝑥 ↔ 𝑅 Fr ∅))
3	1, 2	imbi12d 336	. . 3 ⊢ (𝑥 = ∅ → ((𝑅 Po 𝑥 → 𝑅 Fr 𝑥) ↔ (𝑅 Po ∅ → 𝑅 Fr ∅)))
4		poeq2 5237	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑅 Po 𝑥 ↔ 𝑅 Po 𝑦))
5		freq2 5283	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑅 Fr 𝑥 ↔ 𝑅 Fr 𝑦))
6	4, 5	imbi12d 336	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝑅 Po 𝑥 → 𝑅 Fr 𝑥) ↔ (𝑅 Po 𝑦 → 𝑅 Fr 𝑦)))
7		poeq2 5237	. . . 4 ⊢ (𝑥 = (𝑦 ∪ {𝑤}) → (𝑅 Po 𝑥 ↔ 𝑅 Po (𝑦 ∪ {𝑤})))
8		freq2 5283	. . . 4 ⊢ (𝑥 = (𝑦 ∪ {𝑤}) → (𝑅 Fr 𝑥 ↔ 𝑅 Fr (𝑦 ∪ {𝑤})))
9	7, 8	imbi12d 336	. . 3 ⊢ (𝑥 = (𝑦 ∪ {𝑤}) → ((𝑅 Po 𝑥 → 𝑅 Fr 𝑥) ↔ (𝑅 Po (𝑦 ∪ {𝑤}) → 𝑅 Fr (𝑦 ∪ {𝑤}))))
10		poeq2 5237	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝑅 Po 𝑥 ↔ 𝑅 Po 𝐴))
11		freq2 5283	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝑅 Fr 𝑥 ↔ 𝑅 Fr 𝐴))
12	10, 11	imbi12d 336	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ((𝑅 Po 𝑥 → 𝑅 Fr 𝑥) ↔ (𝑅 Po 𝐴 → 𝑅 Fr 𝐴)))
13		fr0 5291	. . . 4 ⊢ 𝑅 Fr ∅
14	13	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝑅 Po ∅ → 𝑅 Fr ∅)
15		ssun1 3974	. . . . . . 7 ⊢ 𝑦 ⊆ (𝑦 ∪ {𝑤})
16		poss 5235	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ⊆ (𝑦 ∪ {𝑤}) → (𝑅 Po (𝑦 ∪ {𝑤}) → 𝑅 Po 𝑦))
17	15, 16	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 Po (𝑦 ∪ {𝑤}) → 𝑅 Po 𝑦)
18	17	imim1i 63	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 Po 𝑦 → 𝑅 Fr 𝑦) → (𝑅 Po (𝑦 ∪ {𝑤}) → 𝑅 Fr 𝑦))
19		uncom 3955	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 ∪ {𝑤}) = ({𝑤} ∪ 𝑦)
20	19	sseq2i 3826	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ⊆ (𝑦 ∪ {𝑤}) ↔ 𝑥 ⊆ ({𝑤} ∪ 𝑦))
21		ssundif 4246	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ⊆ ({𝑤} ∪ 𝑦) ↔ (𝑥 ∖ {𝑤}) ⊆ 𝑦)
22	20, 21	bitri 267	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ⊆ (𝑦 ∪ {𝑤}) ↔ (𝑥 ∖ {𝑤}) ⊆ 𝑦)
23	22	anbi1i 618	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ⊆ (𝑦 ∪ {𝑤}) ∧ 𝑥 ≠ ∅) ↔ ((𝑥 ∖ {𝑤}) ⊆ 𝑦 ∧ 𝑥 ≠ ∅))
24		breq1 4846	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑣 = 𝑧 → (𝑣𝑅𝑤 ↔ 𝑧𝑅𝑤))
25	24	cbvrexv 3355	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (∃𝑣 ∈ 𝑥 𝑣𝑅𝑤 ↔ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑧𝑅𝑤)
26		simpllr 794	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝑅 Po (𝑦 ∪ {𝑤}) ∧ 𝑅 Fr 𝑦) ∧ ((𝑥 ∖ {𝑤}) ⊆ 𝑦 ∧ 𝑥 ≠ ∅)) ∧ (𝑧 ∈ 𝑥 ∧ 𝑧𝑅𝑤 ∧ 𝑤 ∈ 𝑥)) → 𝑅 Fr 𝑦)
27		simplrl 796	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝑅 Po (𝑦 ∪ {𝑤}) ∧ 𝑅 Fr 𝑦) ∧ ((𝑥 ∖ {𝑤}) ⊆ 𝑦 ∧ 𝑥 ≠ ∅)) ∧ (𝑧 ∈ 𝑥 ∧ 𝑧𝑅𝑤 ∧ 𝑤 ∈ 𝑥)) → (𝑥 ∖ {𝑤}) ⊆ 𝑦)
28		poss 5235	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑥 ⊆ (𝑦 ∪ {𝑤}) → (𝑅 Po (𝑦 ∪ {𝑤}) → 𝑅 Po 𝑥))
29	28	impcom 397	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑅 Po (𝑦 ∪ {𝑤}) ∧ 𝑥 ⊆ (𝑦 ∪ {𝑤})) → 𝑅 Po 𝑥)
30	22, 29	sylan2br 589	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑅 Po (𝑦 ∪ {𝑤}) ∧ (𝑥 ∖ {𝑤}) ⊆ 𝑦) → 𝑅 Po 𝑥)
31	30	ad2ant2r 754	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑅 Po (𝑦 ∪ {𝑤}) ∧ 𝑅 Fr 𝑦) ∧ ((𝑥 ∖ {𝑤}) ⊆ 𝑦 ∧ 𝑥 ≠ ∅)) → 𝑅 Po 𝑥)
32		simpr1 1249	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑅 Po 𝑥 ∧ (𝑧 ∈ 𝑥 ∧ 𝑧𝑅𝑤 ∧ 𝑤 ∈ 𝑥)) → 𝑧 ∈ 𝑥)
33		simpr2 1251	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑅 Po 𝑥 ∧ (𝑧 ∈ 𝑥 ∧ 𝑧𝑅𝑤 ∧ 𝑤 ∈ 𝑥)) → 𝑧𝑅𝑤)
34		poirr 5244	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑅 Po 𝑥 ∧ 𝑤 ∈ 𝑥) → ¬ 𝑤𝑅𝑤)
35	34	3ad2antr3 1242	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑅 Po 𝑥 ∧ (𝑧 ∈ 𝑥 ∧ 𝑧𝑅𝑤 ∧ 𝑤 ∈ 𝑥)) → ¬ 𝑤𝑅𝑤)
36		nbrne2 4863	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑧𝑅𝑤 ∧ ¬ 𝑤𝑅𝑤) → 𝑧 ≠ 𝑤)
37	33, 35, 36	syl2anc 580	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑅 Po 𝑥 ∧ (𝑧 ∈ 𝑥 ∧ 𝑧𝑅𝑤 ∧ 𝑤 ∈ 𝑥)) → 𝑧 ≠ 𝑤)
38		eldifsn 4506	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑧 ∈ (𝑥 ∖ {𝑤}) ↔ (𝑧 ∈ 𝑥 ∧ 𝑧 ≠ 𝑤))
39	32, 37, 38	sylanbrc 579	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑅 Po 𝑥 ∧ (𝑧 ∈ 𝑥 ∧ 𝑧𝑅𝑤 ∧ 𝑤 ∈ 𝑥)) → 𝑧 ∈ (𝑥 ∖ {𝑤}))
40	31, 39	sylan 576	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝑅 Po (𝑦 ∪ {𝑤}) ∧ 𝑅 Fr 𝑦) ∧ ((𝑥 ∖ {𝑤}) ⊆ 𝑦 ∧ 𝑥 ≠ ∅)) ∧ (𝑧 ∈ 𝑥 ∧ 𝑧𝑅𝑤 ∧ 𝑤 ∈ 𝑥)) → 𝑧 ∈ (𝑥 ∖ {𝑤}))
41	40	ne0d 4122	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝑅 Po (𝑦 ∪ {𝑤}) ∧ 𝑅 Fr 𝑦) ∧ ((𝑥 ∖ {𝑤}) ⊆ 𝑦 ∧ 𝑥 ≠ ∅)) ∧ (𝑧 ∈ 𝑥 ∧ 𝑧𝑅𝑤 ∧ 𝑤 ∈ 𝑥)) → (𝑥 ∖ {𝑤}) ≠ ∅)
42		difss 3935	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑥 ∖ {𝑤}) ⊆ 𝑥
43		vex 3388	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ 𝑥 ∈ V
44		difexg 5003	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑥 ∈ V → (𝑥 ∖ {𝑤}) ∈ V)
45	43, 44	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑥 ∖ {𝑤}) ∈ V
46		fri 5274	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝑥 ∖ {𝑤}) ∈ V ∧ 𝑅 Fr 𝑦) ∧ ((𝑥 ∖ {𝑤}) ⊆ 𝑦 ∧ (𝑥 ∖ {𝑤}) ≠ ∅)) → ∃𝑢 ∈ (𝑥 ∖ {𝑤})∀𝑣 ∈ (𝑥 ∖ {𝑤}) ¬ 𝑣𝑅𝑢)
47	45, 46	mpanl1 692	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑅 Fr 𝑦 ∧ ((𝑥 ∖ {𝑤}) ⊆ 𝑦 ∧ (𝑥 ∖ {𝑤}) ≠ ∅)) → ∃𝑢 ∈ (𝑥 ∖ {𝑤})∀𝑣 ∈ (𝑥 ∖ {𝑤}) ¬ 𝑣𝑅𝑢)
48		ssrexv 3863	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑥 ∖ {𝑤}) ⊆ 𝑥 → (∃𝑢 ∈ (𝑥 ∖ {𝑤})∀𝑣 ∈ (𝑥 ∖ {𝑤}) ¬ 𝑣𝑅𝑢 → ∃𝑢 ∈ 𝑥 ∀𝑣 ∈ (𝑥 ∖ {𝑤}) ¬ 𝑣𝑅𝑢))
49	42, 47, 48	mpsyl 68	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑅 Fr 𝑦 ∧ ((𝑥 ∖ {𝑤}) ⊆ 𝑦 ∧ (𝑥 ∖ {𝑤}) ≠ ∅)) → ∃𝑢 ∈ 𝑥 ∀𝑣 ∈ (𝑥 ∖ {𝑤}) ¬ 𝑣𝑅𝑢)
50	26, 27, 41, 49	syl12anc 866	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑅 Po (𝑦 ∪ {𝑤}) ∧ 𝑅 Fr 𝑦) ∧ ((𝑥 ∖ {𝑤}) ⊆ 𝑦 ∧ 𝑥 ≠ ∅)) ∧ (𝑧 ∈ 𝑥 ∧ 𝑧𝑅𝑤 ∧ 𝑤 ∈ 𝑥)) → ∃𝑢 ∈ 𝑥 ∀𝑣 ∈ (𝑥 ∖ {𝑤}) ¬ 𝑣𝑅𝑢)
51		breq1 4846	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑣 = 𝑧 → (𝑣𝑅𝑢 ↔ 𝑧𝑅𝑢))
52	51	notbid 310	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑣 = 𝑧 → (¬ 𝑣𝑅𝑢 ↔ ¬ 𝑧𝑅𝑢))
53	52	rspcv 3493	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑧 ∈ (𝑥 ∖ {𝑤}) → (∀𝑣 ∈ (𝑥 ∖ {𝑤}) ¬ 𝑣𝑅𝑢 → ¬ 𝑧𝑅𝑢))
54	39, 53	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑅 Po 𝑥 ∧ (𝑧 ∈ 𝑥 ∧ 𝑧𝑅𝑤 ∧ 𝑤 ∈ 𝑥)) → (∀𝑣 ∈ (𝑥 ∖ {𝑤}) ¬ 𝑣𝑅𝑢 → ¬ 𝑧𝑅𝑢))
55	54	adantr 473	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝑅 Po 𝑥 ∧ (𝑧 ∈ 𝑥 ∧ 𝑧𝑅𝑤 ∧ 𝑤 ∈ 𝑥)) ∧ 𝑢 ∈ 𝑥) → (∀𝑣 ∈ (𝑥 ∖ {𝑤}) ¬ 𝑣𝑅𝑢 → ¬ 𝑧𝑅𝑢))
56		simplr2 1278	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝑅 Po 𝑥 ∧ (𝑧 ∈ 𝑥 ∧ 𝑧𝑅𝑤 ∧ 𝑤 ∈ 𝑥)) ∧ 𝑢 ∈ 𝑥) → 𝑧𝑅𝑤)
57		simpll 784	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝑅 Po 𝑥 ∧ (𝑧 ∈ 𝑥 ∧ 𝑧𝑅𝑤 ∧ 𝑤 ∈ 𝑥)) ∧ 𝑢 ∈ 𝑥) → 𝑅 Po 𝑥)
58		simplr1 1276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝑅 Po 𝑥 ∧ (𝑧 ∈ 𝑥 ∧ 𝑧𝑅𝑤 ∧ 𝑤 ∈ 𝑥)) ∧ 𝑢 ∈ 𝑥) → 𝑧 ∈ 𝑥)
59		simplr3 1280	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝑅 Po 𝑥 ∧ (𝑧 ∈ 𝑥 ∧ 𝑧𝑅𝑤 ∧ 𝑤 ∈ 𝑥)) ∧ 𝑢 ∈ 𝑥) → 𝑤 ∈ 𝑥)
60		simpr 478	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝑅 Po 𝑥 ∧ (𝑧 ∈ 𝑥 ∧ 𝑧𝑅𝑤 ∧ 𝑤 ∈ 𝑥)) ∧ 𝑢 ∈ 𝑥) → 𝑢 ∈ 𝑥)
61		potr 5245	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝑅 Po 𝑥 ∧ (𝑧 ∈ 𝑥 ∧ 𝑤 ∈ 𝑥 ∧ 𝑢 ∈ 𝑥)) → ((𝑧𝑅𝑤 ∧ 𝑤𝑅𝑢) → 𝑧𝑅𝑢))
62	57, 58, 59, 60, 61	syl13anc 1492	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝑅 Po 𝑥 ∧ (𝑧 ∈ 𝑥 ∧ 𝑧𝑅𝑤 ∧ 𝑤 ∈ 𝑥)) ∧ 𝑢 ∈ 𝑥) → ((𝑧𝑅𝑤 ∧ 𝑤𝑅𝑢) → 𝑧𝑅𝑢))
63	56, 62	mpand 687	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝑅 Po 𝑥 ∧ (𝑧 ∈ 𝑥 ∧ 𝑧𝑅𝑤 ∧ 𝑤 ∈ 𝑥)) ∧ 𝑢 ∈ 𝑥) → (𝑤𝑅𝑢 → 𝑧𝑅𝑢))
64	63	con3d 150	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝑅 Po 𝑥 ∧ (𝑧 ∈ 𝑥 ∧ 𝑧𝑅𝑤 ∧ 𝑤 ∈ 𝑥)) ∧ 𝑢 ∈ 𝑥) → (¬ 𝑧𝑅𝑢 → ¬ 𝑤𝑅𝑢))
65		vex 3388	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ 𝑤 ∈ V
66		breq1 4846	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑣 = 𝑤 → (𝑣𝑅𝑢 ↔ 𝑤𝑅𝑢))
67	66	notbid 310	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑣 = 𝑤 → (¬ 𝑣𝑅𝑢 ↔ ¬ 𝑤𝑅𝑢))
68	65, 67	ralsn 4413	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (∀𝑣 ∈ {𝑤} ¬ 𝑣𝑅𝑢 ↔ ¬ 𝑤𝑅𝑢)
69	64, 68	syl6ibr 244	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝑅 Po 𝑥 ∧ (𝑧 ∈ 𝑥 ∧ 𝑧𝑅𝑤 ∧ 𝑤 ∈ 𝑥)) ∧ 𝑢 ∈ 𝑥) → (¬ 𝑧𝑅𝑢 → ∀𝑣 ∈ {𝑤} ¬ 𝑣𝑅𝑢))
70	55, 69	syld 47	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑅 Po 𝑥 ∧ (𝑧 ∈ 𝑥 ∧ 𝑧𝑅𝑤 ∧ 𝑤 ∈ 𝑥)) ∧ 𝑢 ∈ 𝑥) → (∀𝑣 ∈ (𝑥 ∖ {𝑤}) ¬ 𝑣𝑅𝑢 → ∀𝑣 ∈ {𝑤} ¬ 𝑣𝑅𝑢))
71		ralun 3993	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((∀𝑣 ∈ (𝑥 ∖ {𝑤}) ¬ 𝑣𝑅𝑢 ∧ ∀𝑣 ∈ {𝑤} ¬ 𝑣𝑅𝑢) → ∀𝑣 ∈ ((𝑥 ∖ {𝑤}) ∪ {𝑤}) ¬ 𝑣𝑅𝑢)
72	71	ex 402	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (∀𝑣 ∈ (𝑥 ∖ {𝑤}) ¬ 𝑣𝑅𝑢 → (∀𝑣 ∈ {𝑤} ¬ 𝑣𝑅𝑢 → ∀𝑣 ∈ ((𝑥 ∖ {𝑤}) ∪ {𝑤}) ¬ 𝑣𝑅𝑢))
73	70, 72	sylcom 30	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑅 Po 𝑥 ∧ (𝑧 ∈ 𝑥 ∧ 𝑧𝑅𝑤 ∧ 𝑤 ∈ 𝑥)) ∧ 𝑢 ∈ 𝑥) → (∀𝑣 ∈ (𝑥 ∖ {𝑤}) ¬ 𝑣𝑅𝑢 → ∀𝑣 ∈ ((𝑥 ∖ {𝑤}) ∪ {𝑤}) ¬ 𝑣𝑅𝑢))
74		difsnid 4529	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑤 ∈ 𝑥 → ((𝑥 ∖ {𝑤}) ∪ {𝑤}) = 𝑥)
75	74	raleqdv 3327	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑤 ∈ 𝑥 → (∀𝑣 ∈ ((𝑥 ∖ {𝑤}) ∪ {𝑤}) ¬ 𝑣𝑅𝑢 ↔ ∀𝑣 ∈ 𝑥 ¬ 𝑣𝑅𝑢))
76	59, 75	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑅 Po 𝑥 ∧ (𝑧 ∈ 𝑥 ∧ 𝑧𝑅𝑤 ∧ 𝑤 ∈ 𝑥)) ∧ 𝑢 ∈ 𝑥) → (∀𝑣 ∈ ((𝑥 ∖ {𝑤}) ∪ {𝑤}) ¬ 𝑣𝑅𝑢 ↔ ∀𝑣 ∈ 𝑥 ¬ 𝑣𝑅𝑢))
77	73, 76	sylibd 231	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑅 Po 𝑥 ∧ (𝑧 ∈ 𝑥 ∧ 𝑧𝑅𝑤 ∧ 𝑤 ∈ 𝑥)) ∧ 𝑢 ∈ 𝑥) → (∀𝑣 ∈ (𝑥 ∖ {𝑤}) ¬ 𝑣𝑅𝑢 → ∀𝑣 ∈ 𝑥 ¬ 𝑣𝑅𝑢))
78	77	reximdva 3197	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑅 Po 𝑥 ∧ (𝑧 ∈ 𝑥 ∧ 𝑧𝑅𝑤 ∧ 𝑤 ∈ 𝑥)) → (∃𝑢 ∈ 𝑥 ∀𝑣 ∈ (𝑥 ∖ {𝑤}) ¬ 𝑣𝑅𝑢 → ∃𝑢 ∈ 𝑥 ∀𝑣 ∈ 𝑥 ¬ 𝑣𝑅𝑢))
79	31, 78	sylan 576	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑅 Po (𝑦 ∪ {𝑤}) ∧ 𝑅 Fr 𝑦) ∧ ((𝑥 ∖ {𝑤}) ⊆ 𝑦 ∧ 𝑥 ≠ ∅)) ∧ (𝑧 ∈ 𝑥 ∧ 𝑧𝑅𝑤 ∧ 𝑤 ∈ 𝑥)) → (∃𝑢 ∈ 𝑥 ∀𝑣 ∈ (𝑥 ∖ {𝑤}) ¬ 𝑣𝑅𝑢 → ∃𝑢 ∈ 𝑥 ∀𝑣 ∈ 𝑥 ¬ 𝑣𝑅𝑢))
80	50, 79	mpd 15	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑅 Po (𝑦 ∪ {𝑤}) ∧ 𝑅 Fr 𝑦) ∧ ((𝑥 ∖ {𝑤}) ⊆ 𝑦 ∧ 𝑥 ≠ ∅)) ∧ (𝑧 ∈ 𝑥 ∧ 𝑧𝑅𝑤 ∧ 𝑤 ∈ 𝑥)) → ∃𝑢 ∈ 𝑥 ∀𝑣 ∈ 𝑥 ¬ 𝑣𝑅𝑢)
81	80	3exp2 1464	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑅 Po (𝑦 ∪ {𝑤}) ∧ 𝑅 Fr 𝑦) ∧ ((𝑥 ∖ {𝑤}) ⊆ 𝑦 ∧ 𝑥 ≠ ∅)) → (𝑧 ∈ 𝑥 → (𝑧𝑅𝑤 → (𝑤 ∈ 𝑥 → ∃𝑢 ∈ 𝑥 ∀𝑣 ∈ 𝑥 ¬ 𝑣𝑅𝑢))))
82	81	rexlimdv 3211	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑅 Po (𝑦 ∪ {𝑤}) ∧ 𝑅 Fr 𝑦) ∧ ((𝑥 ∖ {𝑤}) ⊆ 𝑦 ∧ 𝑥 ≠ ∅)) → (∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑧𝑅𝑤 → (𝑤 ∈ 𝑥 → ∃𝑢 ∈ 𝑥 ∀𝑣 ∈ 𝑥 ¬ 𝑣𝑅𝑢)))
83	25, 82	syl5bi 234	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑅 Po (𝑦 ∪ {𝑤}) ∧ 𝑅 Fr 𝑦) ∧ ((𝑥 ∖ {𝑤}) ⊆ 𝑦 ∧ 𝑥 ≠ ∅)) → (∃𝑣 ∈ 𝑥 𝑣𝑅𝑤 → (𝑤 ∈ 𝑥 → ∃𝑢 ∈ 𝑥 ∀𝑣 ∈ 𝑥 ¬ 𝑣𝑅𝑢)))
84		ralnex 3173	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (∀𝑣 ∈ 𝑥 ¬ 𝑣𝑅𝑤 ↔ ¬ ∃𝑣 ∈ 𝑥 𝑣𝑅𝑤)
85		breq2 4847	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑢 = 𝑤 → (𝑣𝑅𝑢 ↔ 𝑣𝑅𝑤))
86	85	notbid 310	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑢 = 𝑤 → (¬ 𝑣𝑅𝑢 ↔ ¬ 𝑣𝑅𝑤))
87	86	ralbidv 3167	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑢 = 𝑤 → (∀𝑣 ∈ 𝑥 ¬ 𝑣𝑅𝑢 ↔ ∀𝑣 ∈ 𝑥 ¬ 𝑣𝑅𝑤))
88	87	rspcev 3497	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑤 ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑣 ∈ 𝑥 ¬ 𝑣𝑅𝑤) → ∃𝑢 ∈ 𝑥 ∀𝑣 ∈ 𝑥 ¬ 𝑣𝑅𝑢)
89	88	expcom 403	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (∀𝑣 ∈ 𝑥 ¬ 𝑣𝑅𝑤 → (𝑤 ∈ 𝑥 → ∃𝑢 ∈ 𝑥 ∀𝑣 ∈ 𝑥 ¬ 𝑣𝑅𝑢))
90	84, 89	sylbir 227	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (¬ ∃𝑣 ∈ 𝑥 𝑣𝑅𝑤 → (𝑤 ∈ 𝑥 → ∃𝑢 ∈ 𝑥 ∀𝑣 ∈ 𝑥 ¬ 𝑣𝑅𝑢))
91	83, 90	pm2.61d1 173	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑅 Po (𝑦 ∪ {𝑤}) ∧ 𝑅 Fr 𝑦) ∧ ((𝑥 ∖ {𝑤}) ⊆ 𝑦 ∧ 𝑥 ≠ ∅)) → (𝑤 ∈ 𝑥 → ∃𝑢 ∈ 𝑥 ∀𝑣 ∈ 𝑥 ¬ 𝑣𝑅𝑢))
92		difsn 4517	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (¬ 𝑤 ∈ 𝑥 → (𝑥 ∖ {𝑤}) = 𝑥)
93	49	expr 449	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑅 Fr 𝑦 ∧ (𝑥 ∖ {𝑤}) ⊆ 𝑦) → ((𝑥 ∖ {𝑤}) ≠ ∅ → ∃𝑢 ∈ 𝑥 ∀𝑣 ∈ (𝑥 ∖ {𝑤}) ¬ 𝑣𝑅𝑢))
94		neeq1 3033	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑥 ∖ {𝑤}) = 𝑥 → ((𝑥 ∖ {𝑤}) ≠ ∅ ↔ 𝑥 ≠ ∅))
95		raleq 3321	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑥 ∖ {𝑤}) = 𝑥 → (∀𝑣 ∈ (𝑥 ∖ {𝑤}) ¬ 𝑣𝑅𝑢 ↔ ∀𝑣 ∈ 𝑥 ¬ 𝑣𝑅𝑢))
96	95	rexbidv 3233	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑥 ∖ {𝑤}) = 𝑥 → (∃𝑢 ∈ 𝑥 ∀𝑣 ∈ (𝑥 ∖ {𝑤}) ¬ 𝑣𝑅𝑢 ↔ ∃𝑢 ∈ 𝑥 ∀𝑣 ∈ 𝑥 ¬ 𝑣𝑅𝑢))
97	94, 96	imbi12d 336	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑥 ∖ {𝑤}) = 𝑥 → (((𝑥 ∖ {𝑤}) ≠ ∅ → ∃𝑢 ∈ 𝑥 ∀𝑣 ∈ (𝑥 ∖ {𝑤}) ¬ 𝑣𝑅𝑢) ↔ (𝑥 ≠ ∅ → ∃𝑢 ∈ 𝑥 ∀𝑣 ∈ 𝑥 ¬ 𝑣𝑅𝑢)))
98	93, 97	syl5ibcom 237	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑅 Fr 𝑦 ∧ (𝑥 ∖ {𝑤}) ⊆ 𝑦) → ((𝑥 ∖ {𝑤}) = 𝑥 → (𝑥 ≠ ∅ → ∃𝑢 ∈ 𝑥 ∀𝑣 ∈ 𝑥 ¬ 𝑣𝑅𝑢)))
99	98	com23 86	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑅 Fr 𝑦 ∧ (𝑥 ∖ {𝑤}) ⊆ 𝑦) → (𝑥 ≠ ∅ → ((𝑥 ∖ {𝑤}) = 𝑥 → ∃𝑢 ∈ 𝑥 ∀𝑣 ∈ 𝑥 ¬ 𝑣𝑅𝑢)))
100	99	adantll 706	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑅 Po (𝑦 ∪ {𝑤}) ∧ 𝑅 Fr 𝑦) ∧ (𝑥 ∖ {𝑤}) ⊆ 𝑦) → (𝑥 ≠ ∅ → ((𝑥 ∖ {𝑤}) = 𝑥 → ∃𝑢 ∈ 𝑥 ∀𝑣 ∈ 𝑥 ¬ 𝑣𝑅𝑢)))
101	100	impr 447	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑅 Po (𝑦 ∪ {𝑤}) ∧ 𝑅 Fr 𝑦) ∧ ((𝑥 ∖ {𝑤}) ⊆ 𝑦 ∧ 𝑥 ≠ ∅)) → ((𝑥 ∖ {𝑤}) = 𝑥 → ∃𝑢 ∈ 𝑥 ∀𝑣 ∈ 𝑥 ¬ 𝑣𝑅𝑢))
102	92, 101	syl5 34	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑅 Po (𝑦 ∪ {𝑤}) ∧ 𝑅 Fr 𝑦) ∧ ((𝑥 ∖ {𝑤}) ⊆ 𝑦 ∧ 𝑥 ≠ ∅)) → (¬ 𝑤 ∈ 𝑥 → ∃𝑢 ∈ 𝑥 ∀𝑣 ∈ 𝑥 ¬ 𝑣𝑅𝑢))
103	91, 102	pm2.61d 172	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 Po (𝑦 ∪ {𝑤}) ∧ 𝑅 Fr 𝑦) ∧ ((𝑥 ∖ {𝑤}) ⊆ 𝑦 ∧ 𝑥 ≠ ∅)) → ∃𝑢 ∈ 𝑥 ∀𝑣 ∈ 𝑥 ¬ 𝑣𝑅𝑢)
104	103	ex 402	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 Po (𝑦 ∪ {𝑤}) ∧ 𝑅 Fr 𝑦) → (((𝑥 ∖ {𝑤}) ⊆ 𝑦 ∧ 𝑥 ≠ ∅) → ∃𝑢 ∈ 𝑥 ∀𝑣 ∈ 𝑥 ¬ 𝑣𝑅𝑢))
105	23, 104	syl5bi 234	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 Po (𝑦 ∪ {𝑤}) ∧ 𝑅 Fr 𝑦) → ((𝑥 ⊆ (𝑦 ∪ {𝑤}) ∧ 𝑥 ≠ ∅) → ∃𝑢 ∈ 𝑥 ∀𝑣 ∈ 𝑥 ¬ 𝑣𝑅𝑢))
106	105	alrimiv 2023	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 Po (𝑦 ∪ {𝑤}) ∧ 𝑅 Fr 𝑦) → ∀𝑥((𝑥 ⊆ (𝑦 ∪ {𝑤}) ∧ 𝑥 ≠ ∅) → ∃𝑢 ∈ 𝑥 ∀𝑣 ∈ 𝑥 ¬ 𝑣𝑅𝑢))
107		df-fr 5271	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 Fr (𝑦 ∪ {𝑤}) ↔ ∀𝑥((𝑥 ⊆ (𝑦 ∪ {𝑤}) ∧ 𝑥 ≠ ∅) → ∃𝑢 ∈ 𝑥 ∀𝑣 ∈ 𝑥 ¬ 𝑣𝑅𝑢))
108	106, 107	sylibr 226	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 Po (𝑦 ∪ {𝑤}) ∧ 𝑅 Fr 𝑦) → 𝑅 Fr (𝑦 ∪ {𝑤}))
109	108	ex 402	. . . . 5 ⊢ (𝑅 Po (𝑦 ∪ {𝑤}) → (𝑅 Fr 𝑦 → 𝑅 Fr (𝑦 ∪ {𝑤})))
110	18, 109	sylcom 30	. . . 4 ⊢ ((𝑅 Po 𝑦 → 𝑅 Fr 𝑦) → (𝑅 Po (𝑦 ∪ {𝑤}) → 𝑅 Fr (𝑦 ∪ {𝑤})))
111	110	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝑦 ∈ Fin → ((𝑅 Po 𝑦 → 𝑅 Fr 𝑦) → (𝑅 Po (𝑦 ∪ {𝑤}) → 𝑅 Fr (𝑦 ∪ {𝑤}))))
112	3, 6, 9, 12, 14, 111	findcard2 8442	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (𝑅 Po 𝐴 → 𝑅 Fr 𝐴))
113	112	impcom 397	1 ⊢ ((𝑅 Po 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin) → 𝑅 Fr 𝐴)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 198   ∧ wa 385   ∧ w3a 1108  ∀wal 1651   = wceq 1653   ∈ wcel 2157   ≠ wne 2971  ∀wral 3089  ∃wrex 3090  Vcvv 3385   ∖ cdif 3766   ∪ cun 3767   ⊆ wss 3769  ∅c0 4115  {csn 4368   class class class wbr 4843   Po wpo 5231   Fr wfr 5268  Fincfn 8195

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2377  ax-ext 2777  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pow 5035  ax-pr 5097  ax-un 7183

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2591  df-eu 2609  df-clab 2786  df-cleq 2792  df-clel 2795  df-nfc 2930  df-ne 2972  df-ral 3094  df-rex 3095  df-rab 3098  df-v 3387  df-sbc 3634  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-pss 3785  df-nul 4116  df-if 4278  df-pw 4351  df-sn 4369  df-pr 4371  df-tp 4373  df-op 4375  df-uni 4629  df-br 4844  df-opab 4906  df-tr 4946  df-id 5220  df-eprel 5225  df-po 5233  df-so 5234  df-fr 5271  df-we 5273  df-xp 5318  df-rel 5319  df-cnv 5320  df-co 5321  df-dm 5322  df-rn 5323  df-res 5324  df-ima 5325  df-ord 5944  df-on 5945  df-lim 5946  df-suc 5947  df-iota 6064  df-fun 6103  df-fn 6104  df-f 6105  df-f1 6106  df-fo 6107  df-f1o 6108  df-fv 6109  df-om 7300  df-1o 7799  df-er 7982  df-en 8196  df-fin 8199

This theorem is referenced by:  fimax2g  8448  wofi  8451  fimin2g  8645  isfin1-3  9496