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Theorem frpomin 33203
 Description: Every (possibly proper) subclass of a class 𝐴 with a founded, partial-ordering, set-like relation 𝑅 has a minimal element. The additional condition of partial ordering over frmin 33209 enables avoiding infinity. (Contributed by Scott Fenton, 11-Feb-2022.)
Assertion
Ref Expression
frpomin (((𝑅 Fr 𝐴𝑅 Po 𝐴𝑅 Se 𝐴) ∧ (𝐵𝐴𝐵 ≠ ∅)) → ∃𝑥𝐵𝑦𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝑅,𝑦   𝑥,𝐵,𝑦

Proof of Theorem frpomin
Dummy variables 𝑧 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 n0 4260 . . 3 (𝐵 ≠ ∅ ↔ ∃𝑧 𝑧𝐵)
2 rabeq0 4292 . . . . . . 7 ({𝑤𝐵𝑤𝑅𝑧} = ∅ ↔ ∀𝑤𝐵 ¬ 𝑤𝑅𝑧)
3 simprr 772 . . . . . . . 8 (((𝑅 Fr 𝐴𝑅 Po 𝐴𝑅 Se 𝐴) ∧ (𝐵𝐴𝑧𝐵)) → 𝑧𝐵)
4 breq1 5033 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 = 𝑤 → (𝑦𝑅𝑥𝑤𝑅𝑥))
54notbid 321 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = 𝑤 → (¬ 𝑦𝑅𝑥 ↔ ¬ 𝑤𝑅𝑥))
65cbvralvw 3396 . . . . . . . . . . 11 (∀𝑦𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥 ↔ ∀𝑤𝐵 ¬ 𝑤𝑅𝑥)
7 breq2 5034 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = 𝑧 → (𝑤𝑅𝑥𝑤𝑅𝑧))
87notbid 321 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 𝑧 → (¬ 𝑤𝑅𝑥 ↔ ¬ 𝑤𝑅𝑧))
98ralbidv 3162 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑧 → (∀𝑤𝐵 ¬ 𝑤𝑅𝑥 ↔ ∀𝑤𝐵 ¬ 𝑤𝑅𝑧))
106, 9syl5bb 286 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑧 → (∀𝑦𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥 ↔ ∀𝑤𝐵 ¬ 𝑤𝑅𝑧))
1110rspcev 3571 . . . . . . . . 9 ((𝑧𝐵 ∧ ∀𝑤𝐵 ¬ 𝑤𝑅𝑧) → ∃𝑥𝐵𝑦𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥)
1211ex 416 . . . . . . . 8 (𝑧𝐵 → (∀𝑤𝐵 ¬ 𝑤𝑅𝑧 → ∃𝑥𝐵𝑦𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥))
133, 12syl 17 . . . . . . 7 (((𝑅 Fr 𝐴𝑅 Po 𝐴𝑅 Se 𝐴) ∧ (𝐵𝐴𝑧𝐵)) → (∀𝑤𝐵 ¬ 𝑤𝑅𝑧 → ∃𝑥𝐵𝑦𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥))
142, 13syl5bi 245 . . . . . 6 (((𝑅 Fr 𝐴𝑅 Po 𝐴𝑅 Se 𝐴) ∧ (𝐵𝐴𝑧𝐵)) → ({𝑤𝐵𝑤𝑅𝑧} = ∅ → ∃𝑥𝐵𝑦𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥))
15 simprl 770 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 Fr 𝐴𝑅 Po 𝐴𝑅 Se 𝐴) ∧ (𝐵𝐴𝑧𝐵)) → 𝐵𝐴)
16 simpl3 1190 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 Fr 𝐴𝑅 Po 𝐴𝑅 Se 𝐴) ∧ (𝐵𝐴𝑧𝐵)) → 𝑅 Se 𝐴)
17 sess2 5488 . . . . . . . . . 10 (𝐵𝐴 → (𝑅 Se 𝐴𝑅 Se 𝐵))
1815, 16, 17sylc 65 . . . . . . . . 9 (((𝑅 Fr 𝐴𝑅 Po 𝐴𝑅 Se 𝐴) ∧ (𝐵𝐴𝑧𝐵)) → 𝑅 Se 𝐵)
19 seex 5482 . . . . . . . . 9 ((𝑅 Se 𝐵𝑧𝐵) → {𝑤𝐵𝑤𝑅𝑧} ∈ V)
2018, 3, 19syl2anc 587 . . . . . . . 8 (((𝑅 Fr 𝐴𝑅 Po 𝐴𝑅 Se 𝐴) ∧ (𝐵𝐴𝑧𝐵)) → {𝑤𝐵𝑤𝑅𝑧} ∈ V)
21 simpl1 1188 . . . . . . . 8 (((𝑅 Fr 𝐴𝑅 Po 𝐴𝑅 Se 𝐴) ∧ (𝐵𝐴𝑧𝐵)) → 𝑅 Fr 𝐴)
22 ssrab2 4007 . . . . . . . . 9 {𝑤𝐵𝑤𝑅𝑧} ⊆ 𝐵
2322, 15sstrid 3926 . . . . . . . 8 (((𝑅 Fr 𝐴𝑅 Po 𝐴𝑅 Se 𝐴) ∧ (𝐵𝐴𝑧𝐵)) → {𝑤𝐵𝑤𝑅𝑧} ⊆ 𝐴)
24 fri 5481 . . . . . . . . 9 ((({𝑤𝐵𝑤𝑅𝑧} ∈ V ∧ 𝑅 Fr 𝐴) ∧ ({𝑤𝐵𝑤𝑅𝑧} ⊆ 𝐴 ∧ {𝑤𝐵𝑤𝑅𝑧} ≠ ∅)) → ∃𝑥 ∈ {𝑤𝐵𝑤𝑅𝑧}∀𝑦 ∈ {𝑤𝐵𝑤𝑅𝑧} ¬ 𝑦𝑅𝑥)
2524expr 460 . . . . . . . 8 ((({𝑤𝐵𝑤𝑅𝑧} ∈ V ∧ 𝑅 Fr 𝐴) ∧ {𝑤𝐵𝑤𝑅𝑧} ⊆ 𝐴) → ({𝑤𝐵𝑤𝑅𝑧} ≠ ∅ → ∃𝑥 ∈ {𝑤𝐵𝑤𝑅𝑧}∀𝑦 ∈ {𝑤𝐵𝑤𝑅𝑧} ¬ 𝑦𝑅𝑥))
2620, 21, 23, 25syl21anc 836 . . . . . . 7 (((𝑅 Fr 𝐴𝑅 Po 𝐴𝑅 Se 𝐴) ∧ (𝐵𝐴𝑧𝐵)) → ({𝑤𝐵𝑤𝑅𝑧} ≠ ∅ → ∃𝑥 ∈ {𝑤𝐵𝑤𝑅𝑧}∀𝑦 ∈ {𝑤𝐵𝑤𝑅𝑧} ¬ 𝑦𝑅𝑥))
27 breq1 5033 . . . . . . . . 9 (𝑤 = 𝑥 → (𝑤𝑅𝑧𝑥𝑅𝑧))
2827rexrab 3635 . . . . . . . 8 (∃𝑥 ∈ {𝑤𝐵𝑤𝑅𝑧}∀𝑦 ∈ {𝑤𝐵𝑤𝑅𝑧} ¬ 𝑦𝑅𝑥 ↔ ∃𝑥𝐵 (𝑥𝑅𝑧 ∧ ∀𝑦 ∈ {𝑤𝐵𝑤𝑅𝑧} ¬ 𝑦𝑅𝑥))
29 breq1 5033 . . . . . . . . . . . 12 (𝑤 = 𝑦 → (𝑤𝑅𝑧𝑦𝑅𝑧))
3029ralrab 3633 . . . . . . . . . . 11 (∀𝑦 ∈ {𝑤𝐵𝑤𝑅𝑧} ¬ 𝑦𝑅𝑥 ↔ ∀𝑦𝐵 (𝑦𝑅𝑧 → ¬ 𝑦𝑅𝑥))
31 simprr 772 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝑅 Fr 𝐴𝑅 Po 𝐴𝑅 Se 𝐴) ∧ (𝐵𝐴𝑧𝐵)) ∧ 𝑥𝐵) ∧ 𝑥𝑅𝑧) ∧ (𝑦𝐵𝑦𝑅𝑥)) → 𝑦𝑅𝑥)
32 simplr 768 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝑅 Fr 𝐴𝑅 Po 𝐴𝑅 Se 𝐴) ∧ (𝐵𝐴𝑧𝐵)) ∧ 𝑥𝐵) ∧ 𝑥𝑅𝑧) ∧ (𝑦𝐵𝑦𝑅𝑥)) → 𝑥𝑅𝑧)
33 simplrl 776 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝑅 Fr 𝐴𝑅 Po 𝐴𝑅 Se 𝐴) ∧ (𝐵𝐴𝑧𝐵)) ∧ 𝑥𝐵) → 𝐵𝐴)
3433ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((𝑅 Fr 𝐴𝑅 Po 𝐴𝑅 Se 𝐴) ∧ (𝐵𝐴𝑧𝐵)) ∧ 𝑥𝐵) ∧ 𝑥𝑅𝑧) ∧ (𝑦𝐵𝑦𝑅𝑥)) → 𝐵𝐴)
35 simpll2 1210 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝑅 Fr 𝐴𝑅 Po 𝐴𝑅 Se 𝐴) ∧ (𝐵𝐴𝑧𝐵)) ∧ 𝑥𝐵) → 𝑅 Po 𝐴)
3635ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((𝑅 Fr 𝐴𝑅 Po 𝐴𝑅 Se 𝐴) ∧ (𝐵𝐴𝑧𝐵)) ∧ 𝑥𝐵) ∧ 𝑥𝑅𝑧) ∧ (𝑦𝐵𝑦𝑅𝑥)) → 𝑅 Po 𝐴)
37 poss 5440 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐵𝐴 → (𝑅 Po 𝐴𝑅 Po 𝐵))
3834, 36, 37sylc 65 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((𝑅 Fr 𝐴𝑅 Po 𝐴𝑅 Se 𝐴) ∧ (𝐵𝐴𝑧𝐵)) ∧ 𝑥𝐵) ∧ 𝑥𝑅𝑧) ∧ (𝑦𝐵𝑦𝑅𝑥)) → 𝑅 Po 𝐵)
39 simprl 770 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((𝑅 Fr 𝐴𝑅 Po 𝐴𝑅 Se 𝐴) ∧ (𝐵𝐴𝑧𝐵)) ∧ 𝑥𝐵) ∧ 𝑥𝑅𝑧) ∧ (𝑦𝐵𝑦𝑅𝑥)) → 𝑦𝐵)
40 simpllr 775 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((𝑅 Fr 𝐴𝑅 Po 𝐴𝑅 Se 𝐴) ∧ (𝐵𝐴𝑧𝐵)) ∧ 𝑥𝐵) ∧ 𝑥𝑅𝑧) ∧ (𝑦𝐵𝑦𝑅𝑥)) → 𝑥𝐵)
41 simplrr 777 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝑅 Fr 𝐴𝑅 Po 𝐴𝑅 Se 𝐴) ∧ (𝐵𝐴𝑧𝐵)) ∧ 𝑥𝐵) → 𝑧𝐵)
4241ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((𝑅 Fr 𝐴𝑅 Po 𝐴𝑅 Se 𝐴) ∧ (𝐵𝐴𝑧𝐵)) ∧ 𝑥𝐵) ∧ 𝑥𝑅𝑧) ∧ (𝑦𝐵𝑦𝑅𝑥)) → 𝑧𝐵)
43 potr 5450 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑅 Po 𝐵 ∧ (𝑦𝐵𝑥𝐵𝑧𝐵)) → ((𝑦𝑅𝑥𝑥𝑅𝑧) → 𝑦𝑅𝑧))
4438, 39, 40, 42, 43syl13anc 1369 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝑅 Fr 𝐴𝑅 Po 𝐴𝑅 Se 𝐴) ∧ (𝐵𝐴𝑧𝐵)) ∧ 𝑥𝐵) ∧ 𝑥𝑅𝑧) ∧ (𝑦𝐵𝑦𝑅𝑥)) → ((𝑦𝑅𝑥𝑥𝑅𝑧) → 𝑦𝑅𝑧))
4531, 32, 44mp2and 698 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝑅 Fr 𝐴𝑅 Po 𝐴𝑅 Se 𝐴) ∧ (𝐵𝐴𝑧𝐵)) ∧ 𝑥𝐵) ∧ 𝑥𝑅𝑧) ∧ (𝑦𝐵𝑦𝑅𝑥)) → 𝑦𝑅𝑧)
4645expr 460 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝑅 Fr 𝐴𝑅 Po 𝐴𝑅 Se 𝐴) ∧ (𝐵𝐴𝑧𝐵)) ∧ 𝑥𝐵) ∧ 𝑥𝑅𝑧) ∧ 𝑦𝐵) → (𝑦𝑅𝑥𝑦𝑅𝑧))
4746con3d 155 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝑅 Fr 𝐴𝑅 Po 𝐴𝑅 Se 𝐴) ∧ (𝐵𝐴𝑧𝐵)) ∧ 𝑥𝐵) ∧ 𝑥𝑅𝑧) ∧ 𝑦𝐵) → (¬ 𝑦𝑅𝑧 → ¬ 𝑦𝑅𝑥))
48 idd 24 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝑅 Fr 𝐴𝑅 Po 𝐴𝑅 Se 𝐴) ∧ (𝐵𝐴𝑧𝐵)) ∧ 𝑥𝐵) ∧ 𝑥𝑅𝑧) ∧ 𝑦𝐵) → (¬ 𝑦𝑅𝑥 → ¬ 𝑦𝑅𝑥))
4947, 48jad 190 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝑅 Fr 𝐴𝑅 Po 𝐴𝑅 Se 𝐴) ∧ (𝐵𝐴𝑧𝐵)) ∧ 𝑥𝐵) ∧ 𝑥𝑅𝑧) ∧ 𝑦𝐵) → ((𝑦𝑅𝑧 → ¬ 𝑦𝑅𝑥) → ¬ 𝑦𝑅𝑥))
5049ralimdva 3144 . . . . . . . . . . 11 (((((𝑅 Fr 𝐴𝑅 Po 𝐴𝑅 Se 𝐴) ∧ (𝐵𝐴𝑧𝐵)) ∧ 𝑥𝐵) ∧ 𝑥𝑅𝑧) → (∀𝑦𝐵 (𝑦𝑅𝑧 → ¬ 𝑦𝑅𝑥) → ∀𝑦𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥))
5130, 50syl5bi 245 . . . . . . . . . 10 (((((𝑅 Fr 𝐴𝑅 Po 𝐴𝑅 Se 𝐴) ∧ (𝐵𝐴𝑧𝐵)) ∧ 𝑥𝐵) ∧ 𝑥𝑅𝑧) → (∀𝑦 ∈ {𝑤𝐵𝑤𝑅𝑧} ¬ 𝑦𝑅𝑥 → ∀𝑦𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥))
5251expimpd 457 . . . . . . . . 9 ((((𝑅 Fr 𝐴𝑅 Po 𝐴𝑅 Se 𝐴) ∧ (𝐵𝐴𝑧𝐵)) ∧ 𝑥𝐵) → ((𝑥𝑅𝑧 ∧ ∀𝑦 ∈ {𝑤𝐵𝑤𝑅𝑧} ¬ 𝑦𝑅𝑥) → ∀𝑦𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥))
5352reximdva 3233 . . . . . . . 8 (((𝑅 Fr 𝐴𝑅 Po 𝐴𝑅 Se 𝐴) ∧ (𝐵𝐴𝑧𝐵)) → (∃𝑥𝐵 (𝑥𝑅𝑧 ∧ ∀𝑦 ∈ {𝑤𝐵𝑤𝑅𝑧} ¬ 𝑦𝑅𝑥) → ∃𝑥𝐵𝑦𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥))
5428, 53syl5bi 245 . . . . . . 7 (((𝑅 Fr 𝐴𝑅 Po 𝐴𝑅 Se 𝐴) ∧ (𝐵𝐴𝑧𝐵)) → (∃𝑥 ∈ {𝑤𝐵𝑤𝑅𝑧}∀𝑦 ∈ {𝑤𝐵𝑤𝑅𝑧} ¬ 𝑦𝑅𝑥 → ∃𝑥𝐵𝑦𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥))
5526, 54syld 47 . . . . . 6 (((𝑅 Fr 𝐴𝑅 Po 𝐴𝑅 Se 𝐴) ∧ (𝐵𝐴𝑧𝐵)) → ({𝑤𝐵𝑤𝑅𝑧} ≠ ∅ → ∃𝑥𝐵𝑦𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥))
5614, 55pm2.61dne 3073 . . . . 5 (((𝑅 Fr 𝐴𝑅 Po 𝐴𝑅 Se 𝐴) ∧ (𝐵𝐴𝑧𝐵)) → ∃𝑥𝐵𝑦𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥)
5756expr 460 . . . 4 (((𝑅 Fr 𝐴𝑅 Po 𝐴𝑅 Se 𝐴) ∧ 𝐵𝐴) → (𝑧𝐵 → ∃𝑥𝐵𝑦𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥))
5857exlimdv 1934 . . 3 (((𝑅 Fr 𝐴𝑅 Po 𝐴𝑅 Se 𝐴) ∧ 𝐵𝐴) → (∃𝑧 𝑧𝐵 → ∃𝑥𝐵𝑦𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥))
591, 58syl5bi 245 . 2 (((𝑅 Fr 𝐴𝑅 Po 𝐴𝑅 Se 𝐴) ∧ 𝐵𝐴) → (𝐵 ≠ ∅ → ∃𝑥𝐵𝑦𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥))
6059impr 458 1 (((𝑅 Fr 𝐴𝑅 Po 𝐴𝑅 Se 𝐴) ∧ (𝐵𝐴𝐵 ≠ ∅)) → ∃𝑥𝐵𝑦𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538  ∃wex 1781   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2987  ∀wral 3106  ∃wrex 3107  {crab 3110  Vcvv 3441   ⊆ wss 3881  ∅c0 4243   class class class wbr 5030   Po wpo 5436   Fr wfr 5475   Se wse 5476 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-ral 3111  df-rex 3112  df-rab 3115  df-v 3443  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-nul 4244  df-sn 4526  df-pr 4528  df-op 4532  df-br 5031  df-po 5438  df-fr 5478  df-se 5479 This theorem is referenced by:  frpomin2  33204
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