Theorem frpomin 6194

Description: Every nonempty (possibly proper) subclass of a class 𝐴 with a well-founded set-like partial order 𝑅 has a minimal element. The additional condition of partial order over frmin 9365 enables avoiding the axiom of infinity. (Contributed by Scott Fenton, 11-Feb-2022.)

Assertion

Ref	Expression
frpomin	⊢ (((𝑅 Fr 𝐴 ∧ 𝑅 Po 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) ∧ (𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ ∅)) → ∃𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝑅,𝑦   𝑥,𝐵,𝑦

Proof of Theorem frpomin

Dummy variables 𝑧 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		n0 4261	. . 3 ⊢ (𝐵 ≠ ∅ ↔ ∃𝑧 𝑧 ∈ 𝐵)
2		rabeq0 4299	. . . . . . 7 ⊢ ({𝑤 ∈ 𝐵 ∣ 𝑤𝑅𝑧} = ∅ ↔ ∀𝑤 ∈ 𝐵 ¬ 𝑤𝑅𝑧)
3		simprr 773	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 Fr 𝐴 ∧ 𝑅 Po 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) ∧ (𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → 𝑧 ∈ 𝐵)
4		breq1 5056	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 = 𝑤 → (𝑦𝑅𝑥 ↔ 𝑤𝑅𝑥))
5	4	notbid 321	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 = 𝑤 → (¬ 𝑦𝑅𝑥 ↔ ¬ 𝑤𝑅𝑥))
6	5	cbvralvw 3358	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥 ↔ ∀𝑤 ∈ 𝐵 ¬ 𝑤𝑅𝑥)
7		breq2 5057	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝑤𝑅𝑥 ↔ 𝑤𝑅𝑧))
8	7	notbid 321	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (¬ 𝑤𝑅𝑥 ↔ ¬ 𝑤𝑅𝑧))
9	8	ralbidv 3118	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (∀𝑤 ∈ 𝐵 ¬ 𝑤𝑅𝑥 ↔ ∀𝑤 ∈ 𝐵 ¬ 𝑤𝑅𝑧))
10	6, 9	syl5bb 286	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥 ↔ ∀𝑤 ∈ 𝐵 ¬ 𝑤𝑅𝑧))
11	10	rspcev 3537	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐵 ¬ 𝑤𝑅𝑧) → ∃𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥)
12	11	ex 416	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 ∈ 𝐵 → (∀𝑤 ∈ 𝐵 ¬ 𝑤𝑅𝑧 → ∃𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥))
13	3, 12	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 Fr 𝐴 ∧ 𝑅 Po 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) ∧ (𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → (∀𝑤 ∈ 𝐵 ¬ 𝑤𝑅𝑧 → ∃𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥))
14	2, 13	syl5bi 245	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 Fr 𝐴 ∧ 𝑅 Po 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) ∧ (𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → ({𝑤 ∈ 𝐵 ∣ 𝑤𝑅𝑧} = ∅ → ∃𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥))
15		simprl 771	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 Fr 𝐴 ∧ 𝑅 Po 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) ∧ (𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → 𝐵 ⊆ 𝐴)
16		simpl3 1195	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 Fr 𝐴 ∧ 𝑅 Po 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) ∧ (𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → 𝑅 Se 𝐴)
17		sess2 5520	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐵 ⊆ 𝐴 → (𝑅 Se 𝐴 → 𝑅 Se 𝐵))
18	15, 16, 17	sylc 65	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 Fr 𝐴 ∧ 𝑅 Po 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) ∧ (𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → 𝑅 Se 𝐵)
19		seex 5513	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 Se 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → {𝑤 ∈ 𝐵 ∣ 𝑤𝑅𝑧} ∈ V)
20	18, 3, 19	syl2anc 587	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 Fr 𝐴 ∧ 𝑅 Po 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) ∧ (𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → {𝑤 ∈ 𝐵 ∣ 𝑤𝑅𝑧} ∈ V)
21		simpl1 1193	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 Fr 𝐴 ∧ 𝑅 Po 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) ∧ (𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → 𝑅 Fr 𝐴)
22		ssrab2 3993	. . . . . . . . 9 ⊢ {𝑤 ∈ 𝐵 ∣ 𝑤𝑅𝑧} ⊆ 𝐵
23	22, 15	sstrid 3912	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 Fr 𝐴 ∧ 𝑅 Po 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) ∧ (𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → {𝑤 ∈ 𝐵 ∣ 𝑤𝑅𝑧} ⊆ 𝐴)
24		fri 5512	. . . . . . . . 9 ⊢ ((({𝑤 ∈ 𝐵 ∣ 𝑤𝑅𝑧} ∈ V ∧ 𝑅 Fr 𝐴) ∧ ({𝑤 ∈ 𝐵 ∣ 𝑤𝑅𝑧} ⊆ 𝐴 ∧ {𝑤 ∈ 𝐵 ∣ 𝑤𝑅𝑧} ≠ ∅)) → ∃𝑥 ∈ {𝑤 ∈ 𝐵 ∣ 𝑤𝑅𝑧}∀𝑦 ∈ {𝑤 ∈ 𝐵 ∣ 𝑤𝑅𝑧} ¬ 𝑦𝑅𝑥)
25	24	expr 460	. . . . . . . 8 ⊢ ((({𝑤 ∈ 𝐵 ∣ 𝑤𝑅𝑧} ∈ V ∧ 𝑅 Fr 𝐴) ∧ {𝑤 ∈ 𝐵 ∣ 𝑤𝑅𝑧} ⊆ 𝐴) → ({𝑤 ∈ 𝐵 ∣ 𝑤𝑅𝑧} ≠ ∅ → ∃𝑥 ∈ {𝑤 ∈ 𝐵 ∣ 𝑤𝑅𝑧}∀𝑦 ∈ {𝑤 ∈ 𝐵 ∣ 𝑤𝑅𝑧} ¬ 𝑦𝑅𝑥))
26	20, 21, 23, 25	syl21anc 838	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 Fr 𝐴 ∧ 𝑅 Po 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) ∧ (𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → ({𝑤 ∈ 𝐵 ∣ 𝑤𝑅𝑧} ≠ ∅ → ∃𝑥 ∈ {𝑤 ∈ 𝐵 ∣ 𝑤𝑅𝑧}∀𝑦 ∈ {𝑤 ∈ 𝐵 ∣ 𝑤𝑅𝑧} ¬ 𝑦𝑅𝑥))
27		breq1 5056	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑤 = 𝑥 → (𝑤𝑅𝑧 ↔ 𝑥𝑅𝑧))
28	27	rexrab 3609	. . . . . . . 8 ⊢ (∃𝑥 ∈ {𝑤 ∈ 𝐵 ∣ 𝑤𝑅𝑧}∀𝑦 ∈ {𝑤 ∈ 𝐵 ∣ 𝑤𝑅𝑧} ¬ 𝑦𝑅𝑥 ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐵 (𝑥𝑅𝑧 ∧ ∀𝑦 ∈ {𝑤 ∈ 𝐵 ∣ 𝑤𝑅𝑧} ¬ 𝑦𝑅𝑥))
29		breq1 5056	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑤 = 𝑦 → (𝑤𝑅𝑧 ↔ 𝑦𝑅𝑧))
30	29	ralrab 3607	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∀𝑦 ∈ {𝑤 ∈ 𝐵 ∣ 𝑤𝑅𝑧} ¬ 𝑦𝑅𝑥 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑦𝑅𝑧 → ¬ 𝑦𝑅𝑥))
31		simprr 773	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((𝑅 Fr 𝐴 ∧ 𝑅 Po 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) ∧ (𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥𝑅𝑧) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦𝑅𝑥)) → 𝑦𝑅𝑥)
32		simplr 769	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((𝑅 Fr 𝐴 ∧ 𝑅 Po 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) ∧ (𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥𝑅𝑧) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦𝑅𝑥)) → 𝑥𝑅𝑧)
33		simplrl 777	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝑅 Fr 𝐴 ∧ 𝑅 Po 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) ∧ (𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝐵 ⊆ 𝐴)
34	33	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((((𝑅 Fr 𝐴 ∧ 𝑅 Po 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) ∧ (𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥𝑅𝑧) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦𝑅𝑥)) → 𝐵 ⊆ 𝐴)
35		simpll2 1215	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝑅 Fr 𝐴 ∧ 𝑅 Po 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) ∧ (𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑅 Po 𝐴)
36	35	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((((𝑅 Fr 𝐴 ∧ 𝑅 Po 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) ∧ (𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥𝑅𝑧) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦𝑅𝑥)) → 𝑅 Po 𝐴)
37		poss 5470	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝐵 ⊆ 𝐴 → (𝑅 Po 𝐴 → 𝑅 Po 𝐵))
38	34, 36, 37	sylc 65	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((((𝑅 Fr 𝐴 ∧ 𝑅 Po 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) ∧ (𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥𝑅𝑧) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦𝑅𝑥)) → 𝑅 Po 𝐵)
39		simprl 771	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((((𝑅 Fr 𝐴 ∧ 𝑅 Po 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) ∧ (𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥𝑅𝑧) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦𝑅𝑥)) → 𝑦 ∈ 𝐵)
40		simpllr 776	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((((𝑅 Fr 𝐴 ∧ 𝑅 Po 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) ∧ (𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥𝑅𝑧) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦𝑅𝑥)) → 𝑥 ∈ 𝐵)
41		simplrr 778	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝑅 Fr 𝐴 ∧ 𝑅 Po 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) ∧ (𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑧 ∈ 𝐵)
42	41	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((((𝑅 Fr 𝐴 ∧ 𝑅 Po 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) ∧ (𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥𝑅𝑧) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦𝑅𝑥)) → 𝑧 ∈ 𝐵)
43		potr 5481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑅 Po 𝐵 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → ((𝑦𝑅𝑥 ∧ 𝑥𝑅𝑧) → 𝑦𝑅𝑧))
44	38, 39, 40, 42, 43	syl13anc 1374	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((𝑅 Fr 𝐴 ∧ 𝑅 Po 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) ∧ (𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥𝑅𝑧) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦𝑅𝑥)) → ((𝑦𝑅𝑥 ∧ 𝑥𝑅𝑧) → 𝑦𝑅𝑧))
45	31, 32, 44	mp2and 699	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((𝑅 Fr 𝐴 ∧ 𝑅 Po 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) ∧ (𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥𝑅𝑧) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦𝑅𝑥)) → 𝑦𝑅𝑧)
46	45	expr 460	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝑅 Fr 𝐴 ∧ 𝑅 Po 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) ∧ (𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥𝑅𝑧) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑦𝑅𝑥 → 𝑦𝑅𝑧))
47	46	con3d 155	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝑅 Fr 𝐴 ∧ 𝑅 Po 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) ∧ (𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥𝑅𝑧) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (¬ 𝑦𝑅𝑧 → ¬ 𝑦𝑅𝑥))
48		idd 24	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝑅 Fr 𝐴 ∧ 𝑅 Po 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) ∧ (𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥𝑅𝑧) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (¬ 𝑦𝑅𝑥 → ¬ 𝑦𝑅𝑥))
49	47, 48	jad 190	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((𝑅 Fr 𝐴 ∧ 𝑅 Po 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) ∧ (𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥𝑅𝑧) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → ((𝑦𝑅𝑧 → ¬ 𝑦𝑅𝑥) → ¬ 𝑦𝑅𝑥))
50	49	ralimdva 3100	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝑅 Fr 𝐴 ∧ 𝑅 Po 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) ∧ (𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥𝑅𝑧) → (∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑦𝑅𝑧 → ¬ 𝑦𝑅𝑥) → ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥))
51	30, 50	syl5bi 245	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝑅 Fr 𝐴 ∧ 𝑅 Po 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) ∧ (𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥𝑅𝑧) → (∀𝑦 ∈ {𝑤 ∈ 𝐵 ∣ 𝑤𝑅𝑧} ¬ 𝑦𝑅𝑥 → ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥))
52	51	expimpd 457	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑅 Fr 𝐴 ∧ 𝑅 Po 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) ∧ (𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ((𝑥𝑅𝑧 ∧ ∀𝑦 ∈ {𝑤 ∈ 𝐵 ∣ 𝑤𝑅𝑧} ¬ 𝑦𝑅𝑥) → ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥))
53	52	reximdva 3193	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 Fr 𝐴 ∧ 𝑅 Po 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) ∧ (𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → (∃𝑥 ∈ 𝐵 (𝑥𝑅𝑧 ∧ ∀𝑦 ∈ {𝑤 ∈ 𝐵 ∣ 𝑤𝑅𝑧} ¬ 𝑦𝑅𝑥) → ∃𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥))
54	28, 53	syl5bi 245	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 Fr 𝐴 ∧ 𝑅 Po 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) ∧ (𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → (∃𝑥 ∈ {𝑤 ∈ 𝐵 ∣ 𝑤𝑅𝑧}∀𝑦 ∈ {𝑤 ∈ 𝐵 ∣ 𝑤𝑅𝑧} ¬ 𝑦𝑅𝑥 → ∃𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥))
55	26, 54	syld 47	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 Fr 𝐴 ∧ 𝑅 Po 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) ∧ (𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → ({𝑤 ∈ 𝐵 ∣ 𝑤𝑅𝑧} ≠ ∅ → ∃𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥))
56	14, 55	pm2.61dne 3028	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 Fr 𝐴 ∧ 𝑅 Po 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) ∧ (𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → ∃𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥)
57	56	expr 460	. . . 4 ⊢ (((𝑅 Fr 𝐴 ∧ 𝑅 Po 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) → (𝑧 ∈ 𝐵 → ∃𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥))
58	57	exlimdv 1941	. . 3 ⊢ (((𝑅 Fr 𝐴 ∧ 𝑅 Po 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) → (∃𝑧 𝑧 ∈ 𝐵 → ∃𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥))
59	1, 58	syl5bi 245	. 2 ⊢ (((𝑅 Fr 𝐴 ∧ 𝑅 Po 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) → (𝐵 ≠ ∅ → ∃𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥))
60	59	impr 458	1 ⊢ (((𝑅 Fr 𝐴 ∧ 𝑅 Po 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) ∧ (𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ ∅)) → ∃𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 399   ∧ w3a 1089   = wceq 1543  ∃wex 1787   ∈ wcel 2110   ≠ wne 2940  ∀wral 3061  ∃wrex 3062  {crab 3065  Vcvv 3408   ⊆ wss 3866  ∅c0 4237   class class class wbr 5053   Po wpo 5466   Fr wfr 5506   Se wse 5507

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-sep 5192

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3066  df-rex 3067  df-rab 3070  df-v 3410  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-nul 4238  df-if 4440  df-sn 4542  df-pr 4544  df-op 4548  df-br 5054  df-po 5468  df-fr 5509  df-se 5510

This theorem is referenced by:  frpomin2  6195