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Theorem sornom 9699
Description: The range of a single-step monotone function from ω into a partially ordered set is a chain. (Contributed by Stefan O'Rear, 3-Nov-2014.)
Assertion
Ref Expression
sornom ((𝐹 Fn ω ∧ ∀𝑎 ∈ ω ((𝐹𝑎)𝑅(𝐹‘suc 𝑎) ∨ (𝐹𝑎) = (𝐹‘suc 𝑎)) ∧ 𝑅 Po ran 𝐹) → 𝑅 Or ran 𝐹)
Distinct variable groups:   𝐹,𝑎   𝑅,𝑎

Proof of Theorem sornom
Dummy variables 𝑏 𝑐 𝑑 𝑒 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp3 1135 . 2 ((𝐹 Fn ω ∧ ∀𝑎 ∈ ω ((𝐹𝑎)𝑅(𝐹‘suc 𝑎) ∨ (𝐹𝑎) = (𝐹‘suc 𝑎)) ∧ 𝑅 Po ran 𝐹) → 𝑅 Po ran 𝐹)
2 fvelrnb 6719 . . . . . 6 (𝐹 Fn ω → (𝑏 ∈ ran 𝐹 ↔ ∃𝑑 ∈ ω (𝐹𝑑) = 𝑏))
3 fvelrnb 6719 . . . . . 6 (𝐹 Fn ω → (𝑐 ∈ ran 𝐹 ↔ ∃𝑒 ∈ ω (𝐹𝑒) = 𝑐))
42, 3anbi12d 633 . . . . 5 (𝐹 Fn ω → ((𝑏 ∈ ran 𝐹𝑐 ∈ ran 𝐹) ↔ (∃𝑑 ∈ ω (𝐹𝑑) = 𝑏 ∧ ∃𝑒 ∈ ω (𝐹𝑒) = 𝑐)))
543ad2ant1 1130 . . . 4 ((𝐹 Fn ω ∧ ∀𝑎 ∈ ω ((𝐹𝑎)𝑅(𝐹‘suc 𝑎) ∨ (𝐹𝑎) = (𝐹‘suc 𝑎)) ∧ 𝑅 Po ran 𝐹) → ((𝑏 ∈ ran 𝐹𝑐 ∈ ran 𝐹) ↔ (∃𝑑 ∈ ω (𝐹𝑑) = 𝑏 ∧ ∃𝑒 ∈ ω (𝐹𝑒) = 𝑐)))
6 reeanv 3358 . . . . 5 (∃𝑑 ∈ ω ∃𝑒 ∈ ω ((𝐹𝑑) = 𝑏 ∧ (𝐹𝑒) = 𝑐) ↔ (∃𝑑 ∈ ω (𝐹𝑑) = 𝑏 ∧ ∃𝑒 ∈ ω (𝐹𝑒) = 𝑐))
7 nnord 7584 . . . . . . . . . . 11 (𝑑 ∈ ω → Ord 𝑑)
8 nnord 7584 . . . . . . . . . . 11 (𝑒 ∈ ω → Ord 𝑒)
9 ordtri2or2 6276 . . . . . . . . . . 11 ((Ord 𝑑 ∧ Ord 𝑒) → (𝑑𝑒𝑒𝑑))
107, 8, 9syl2an 598 . . . . . . . . . 10 ((𝑑 ∈ ω ∧ 𝑒 ∈ ω) → (𝑑𝑒𝑒𝑑))
1110adantl 485 . . . . . . . . 9 (((𝐹 Fn ω ∧ ∀𝑎 ∈ ω ((𝐹𝑎)𝑅(𝐹‘suc 𝑎) ∨ (𝐹𝑎) = (𝐹‘suc 𝑎)) ∧ 𝑅 Po ran 𝐹) ∧ (𝑑 ∈ ω ∧ 𝑒 ∈ ω)) → (𝑑𝑒𝑒𝑑))
12 vex 3483 . . . . . . . . . . 11 𝑑 ∈ V
13 vex 3483 . . . . . . . . . . 11 𝑒 ∈ V
14 eleq1w 2898 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑏 = 𝑑 → (𝑏 ∈ ω ↔ 𝑑 ∈ ω))
15 eleq1w 2898 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑐 = 𝑒 → (𝑐 ∈ ω ↔ 𝑒 ∈ ω))
1614, 15bi2anan9 638 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑏 = 𝑑𝑐 = 𝑒) → ((𝑏 ∈ ω ∧ 𝑐 ∈ ω) ↔ (𝑑 ∈ ω ∧ 𝑒 ∈ ω)))
1716anbi2d 631 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑏 = 𝑑𝑐 = 𝑒) → (((𝐹 Fn ω ∧ ∀𝑎 ∈ ω ((𝐹𝑎)𝑅(𝐹‘suc 𝑎) ∨ (𝐹𝑎) = (𝐹‘suc 𝑎)) ∧ 𝑅 Po ran 𝐹) ∧ (𝑏 ∈ ω ∧ 𝑐 ∈ ω)) ↔ ((𝐹 Fn ω ∧ ∀𝑎 ∈ ω ((𝐹𝑎)𝑅(𝐹‘suc 𝑎) ∨ (𝐹𝑎) = (𝐹‘suc 𝑎)) ∧ 𝑅 Po ran 𝐹) ∧ (𝑑 ∈ ω ∧ 𝑒 ∈ ω))))
18 sseq12 3980 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑏 = 𝑑𝑐 = 𝑒) → (𝑏𝑐𝑑𝑒))
19 fveq2 6663 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑏 = 𝑑 → (𝐹𝑏) = (𝐹𝑑))
20 fveq2 6663 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑐 = 𝑒 → (𝐹𝑐) = (𝐹𝑒))
2119, 20breqan12d 5069 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑏 = 𝑑𝑐 = 𝑒) → ((𝐹𝑏)𝑅(𝐹𝑐) ↔ (𝐹𝑑)𝑅(𝐹𝑒)))
2219, 20eqeqan12d 2841 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑏 = 𝑑𝑐 = 𝑒) → ((𝐹𝑏) = (𝐹𝑐) ↔ (𝐹𝑑) = (𝐹𝑒)))
2321, 22orbi12d 916 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑏 = 𝑑𝑐 = 𝑒) → (((𝐹𝑏)𝑅(𝐹𝑐) ∨ (𝐹𝑏) = (𝐹𝑐)) ↔ ((𝐹𝑑)𝑅(𝐹𝑒) ∨ (𝐹𝑑) = (𝐹𝑒))))
2418, 23imbi12d 348 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑏 = 𝑑𝑐 = 𝑒) → ((𝑏𝑐 → ((𝐹𝑏)𝑅(𝐹𝑐) ∨ (𝐹𝑏) = (𝐹𝑐))) ↔ (𝑑𝑒 → ((𝐹𝑑)𝑅(𝐹𝑒) ∨ (𝐹𝑑) = (𝐹𝑒)))))
2517, 24imbi12d 348 . . . . . . . . . . 11 ((𝑏 = 𝑑𝑐 = 𝑒) → ((((𝐹 Fn ω ∧ ∀𝑎 ∈ ω ((𝐹𝑎)𝑅(𝐹‘suc 𝑎) ∨ (𝐹𝑎) = (𝐹‘suc 𝑎)) ∧ 𝑅 Po ran 𝐹) ∧ (𝑏 ∈ ω ∧ 𝑐 ∈ ω)) → (𝑏𝑐 → ((𝐹𝑏)𝑅(𝐹𝑐) ∨ (𝐹𝑏) = (𝐹𝑐)))) ↔ (((𝐹 Fn ω ∧ ∀𝑎 ∈ ω ((𝐹𝑎)𝑅(𝐹‘suc 𝑎) ∨ (𝐹𝑎) = (𝐹‘suc 𝑎)) ∧ 𝑅 Po ran 𝐹) ∧ (𝑑 ∈ ω ∧ 𝑒 ∈ ω)) → (𝑑𝑒 → ((𝐹𝑑)𝑅(𝐹𝑒) ∨ (𝐹𝑑) = (𝐹𝑒))))))
26 fveq2 6663 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑑 = 𝑏 → (𝐹𝑑) = (𝐹𝑏))
2726breq2d 5065 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑑 = 𝑏 → ((𝐹𝑏)𝑅(𝐹𝑑) ↔ (𝐹𝑏)𝑅(𝐹𝑏)))
2826eqeq2d 2835 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑑 = 𝑏 → ((𝐹𝑏) = (𝐹𝑑) ↔ (𝐹𝑏) = (𝐹𝑏)))
2927, 28orbi12d 916 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑑 = 𝑏 → (((𝐹𝑏)𝑅(𝐹𝑑) ∨ (𝐹𝑏) = (𝐹𝑑)) ↔ ((𝐹𝑏)𝑅(𝐹𝑏) ∨ (𝐹𝑏) = (𝐹𝑏))))
3029imbi2d 344 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑑 = 𝑏 → (((𝐹 Fn ω ∧ ∀𝑎 ∈ ω ((𝐹𝑎)𝑅(𝐹‘suc 𝑎) ∨ (𝐹𝑎) = (𝐹‘suc 𝑎)) ∧ 𝑅 Po ran 𝐹) → ((𝐹𝑏)𝑅(𝐹𝑑) ∨ (𝐹𝑏) = (𝐹𝑑))) ↔ ((𝐹 Fn ω ∧ ∀𝑎 ∈ ω ((𝐹𝑎)𝑅(𝐹‘suc 𝑎) ∨ (𝐹𝑎) = (𝐹‘suc 𝑎)) ∧ 𝑅 Po ran 𝐹) → ((𝐹𝑏)𝑅(𝐹𝑏) ∨ (𝐹𝑏) = (𝐹𝑏)))))
31 fveq2 6663 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑑 = 𝑒 → (𝐹𝑑) = (𝐹𝑒))
3231breq2d 5065 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑑 = 𝑒 → ((𝐹𝑏)𝑅(𝐹𝑑) ↔ (𝐹𝑏)𝑅(𝐹𝑒)))
3331eqeq2d 2835 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑑 = 𝑒 → ((𝐹𝑏) = (𝐹𝑑) ↔ (𝐹𝑏) = (𝐹𝑒)))
3432, 33orbi12d 916 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑑 = 𝑒 → (((𝐹𝑏)𝑅(𝐹𝑑) ∨ (𝐹𝑏) = (𝐹𝑑)) ↔ ((𝐹𝑏)𝑅(𝐹𝑒) ∨ (𝐹𝑏) = (𝐹𝑒))))
3534imbi2d 344 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑑 = 𝑒 → (((𝐹 Fn ω ∧ ∀𝑎 ∈ ω ((𝐹𝑎)𝑅(𝐹‘suc 𝑎) ∨ (𝐹𝑎) = (𝐹‘suc 𝑎)) ∧ 𝑅 Po ran 𝐹) → ((𝐹𝑏)𝑅(𝐹𝑑) ∨ (𝐹𝑏) = (𝐹𝑑))) ↔ ((𝐹 Fn ω ∧ ∀𝑎 ∈ ω ((𝐹𝑎)𝑅(𝐹‘suc 𝑎) ∨ (𝐹𝑎) = (𝐹‘suc 𝑎)) ∧ 𝑅 Po ran 𝐹) → ((𝐹𝑏)𝑅(𝐹𝑒) ∨ (𝐹𝑏) = (𝐹𝑒)))))
36 fveq2 6663 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑑 = suc 𝑒 → (𝐹𝑑) = (𝐹‘suc 𝑒))
3736breq2d 5065 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑑 = suc 𝑒 → ((𝐹𝑏)𝑅(𝐹𝑑) ↔ (𝐹𝑏)𝑅(𝐹‘suc 𝑒)))
3836eqeq2d 2835 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑑 = suc 𝑒 → ((𝐹𝑏) = (𝐹𝑑) ↔ (𝐹𝑏) = (𝐹‘suc 𝑒)))
3937, 38orbi12d 916 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑑 = suc 𝑒 → (((𝐹𝑏)𝑅(𝐹𝑑) ∨ (𝐹𝑏) = (𝐹𝑑)) ↔ ((𝐹𝑏)𝑅(𝐹‘suc 𝑒) ∨ (𝐹𝑏) = (𝐹‘suc 𝑒))))
4039imbi2d 344 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑑 = suc 𝑒 → (((𝐹 Fn ω ∧ ∀𝑎 ∈ ω ((𝐹𝑎)𝑅(𝐹‘suc 𝑎) ∨ (𝐹𝑎) = (𝐹‘suc 𝑎)) ∧ 𝑅 Po ran 𝐹) → ((𝐹𝑏)𝑅(𝐹𝑑) ∨ (𝐹𝑏) = (𝐹𝑑))) ↔ ((𝐹 Fn ω ∧ ∀𝑎 ∈ ω ((𝐹𝑎)𝑅(𝐹‘suc 𝑎) ∨ (𝐹𝑎) = (𝐹‘suc 𝑎)) ∧ 𝑅 Po ran 𝐹) → ((𝐹𝑏)𝑅(𝐹‘suc 𝑒) ∨ (𝐹𝑏) = (𝐹‘suc 𝑒)))))
41 fveq2 6663 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑑 = 𝑐 → (𝐹𝑑) = (𝐹𝑐))
4241breq2d 5065 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑑 = 𝑐 → ((𝐹𝑏)𝑅(𝐹𝑑) ↔ (𝐹𝑏)𝑅(𝐹𝑐)))
4341eqeq2d 2835 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑑 = 𝑐 → ((𝐹𝑏) = (𝐹𝑑) ↔ (𝐹𝑏) = (𝐹𝑐)))
4442, 43orbi12d 916 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑑 = 𝑐 → (((𝐹𝑏)𝑅(𝐹𝑑) ∨ (𝐹𝑏) = (𝐹𝑑)) ↔ ((𝐹𝑏)𝑅(𝐹𝑐) ∨ (𝐹𝑏) = (𝐹𝑐))))
4544imbi2d 344 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑑 = 𝑐 → (((𝐹 Fn ω ∧ ∀𝑎 ∈ ω ((𝐹𝑎)𝑅(𝐹‘suc 𝑎) ∨ (𝐹𝑎) = (𝐹‘suc 𝑎)) ∧ 𝑅 Po ran 𝐹) → ((𝐹𝑏)𝑅(𝐹𝑑) ∨ (𝐹𝑏) = (𝐹𝑑))) ↔ ((𝐹 Fn ω ∧ ∀𝑎 ∈ ω ((𝐹𝑎)𝑅(𝐹‘suc 𝑎) ∨ (𝐹𝑎) = (𝐹‘suc 𝑎)) ∧ 𝑅 Po ran 𝐹) → ((𝐹𝑏)𝑅(𝐹𝑐) ∨ (𝐹𝑏) = (𝐹𝑐)))))
46 eqid 2824 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐹𝑏) = (𝐹𝑏)
4746olci 863 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐹𝑏)𝑅(𝐹𝑏) ∨ (𝐹𝑏) = (𝐹𝑏))
48472a1i 12 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑏 ∈ ω → ((𝐹 Fn ω ∧ ∀𝑎 ∈ ω ((𝐹𝑎)𝑅(𝐹‘suc 𝑎) ∨ (𝐹𝑎) = (𝐹‘suc 𝑎)) ∧ 𝑅 Po ran 𝐹) → ((𝐹𝑏)𝑅(𝐹𝑏) ∨ (𝐹𝑏) = (𝐹𝑏))))
49 fveq2 6663 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑎 = 𝑒 → (𝐹𝑎) = (𝐹𝑒))
50 suceq 6245 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑎 = 𝑒 → suc 𝑎 = suc 𝑒)
5150fveq2d 6667 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑎 = 𝑒 → (𝐹‘suc 𝑎) = (𝐹‘suc 𝑒))
5249, 51breq12d 5066 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑎 = 𝑒 → ((𝐹𝑎)𝑅(𝐹‘suc 𝑎) ↔ (𝐹𝑒)𝑅(𝐹‘suc 𝑒)))
5349, 51eqeq12d 2840 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑎 = 𝑒 → ((𝐹𝑎) = (𝐹‘suc 𝑎) ↔ (𝐹𝑒) = (𝐹‘suc 𝑒)))
5452, 53orbi12d 916 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑎 = 𝑒 → (((𝐹𝑎)𝑅(𝐹‘suc 𝑎) ∨ (𝐹𝑎) = (𝐹‘suc 𝑎)) ↔ ((𝐹𝑒)𝑅(𝐹‘suc 𝑒) ∨ (𝐹𝑒) = (𝐹‘suc 𝑒))))
55 simpr2 1192 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝑒 ∈ ω ∧ 𝑏 ∈ ω) ∧ 𝑏𝑒) ∧ (𝐹 Fn ω ∧ ∀𝑎 ∈ ω ((𝐹𝑎)𝑅(𝐹‘suc 𝑎) ∨ (𝐹𝑎) = (𝐹‘suc 𝑎)) ∧ 𝑅 Po ran 𝐹)) → ∀𝑎 ∈ ω ((𝐹𝑎)𝑅(𝐹‘suc 𝑎) ∨ (𝐹𝑎) = (𝐹‘suc 𝑎)))
56 simplll 774 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝑒 ∈ ω ∧ 𝑏 ∈ ω) ∧ 𝑏𝑒) ∧ (𝐹 Fn ω ∧ ∀𝑎 ∈ ω ((𝐹𝑎)𝑅(𝐹‘suc 𝑎) ∨ (𝐹𝑎) = (𝐹‘suc 𝑎)) ∧ 𝑅 Po ran 𝐹)) → 𝑒 ∈ ω)
5754, 55, 56rspcdva 3611 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝑒 ∈ ω ∧ 𝑏 ∈ ω) ∧ 𝑏𝑒) ∧ (𝐹 Fn ω ∧ ∀𝑎 ∈ ω ((𝐹𝑎)𝑅(𝐹‘suc 𝑎) ∨ (𝐹𝑎) = (𝐹‘suc 𝑎)) ∧ 𝑅 Po ran 𝐹)) → ((𝐹𝑒)𝑅(𝐹‘suc 𝑒) ∨ (𝐹𝑒) = (𝐹‘suc 𝑒)))
58 simprr 772 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝑒 ∈ ω ∧ 𝑏 ∈ ω) ∧ 𝑏𝑒) ∧ (𝐹 Fn ω ∧ 𝑅 Po ran 𝐹)) → 𝑅 Po ran 𝐹)
59 simprl 770 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((𝑒 ∈ ω ∧ 𝑏 ∈ ω) ∧ 𝑏𝑒) ∧ (𝐹 Fn ω ∧ 𝑅 Po ran 𝐹)) → 𝐹 Fn ω)
60 simpllr 775 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((𝑒 ∈ ω ∧ 𝑏 ∈ ω) ∧ 𝑏𝑒) ∧ (𝐹 Fn ω ∧ 𝑅 Po ran 𝐹)) → 𝑏 ∈ ω)
61 fnfvelrn 6841 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝐹 Fn ω ∧ 𝑏 ∈ ω) → (𝐹𝑏) ∈ ran 𝐹)
6259, 60, 61syl2anc 587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝑒 ∈ ω ∧ 𝑏 ∈ ω) ∧ 𝑏𝑒) ∧ (𝐹 Fn ω ∧ 𝑅 Po ran 𝐹)) → (𝐹𝑏) ∈ ran 𝐹)
63 simplll 774 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((𝑒 ∈ ω ∧ 𝑏 ∈ ω) ∧ 𝑏𝑒) ∧ (𝐹 Fn ω ∧ 𝑅 Po ran 𝐹)) → 𝑒 ∈ ω)
64 fnfvelrn 6841 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝐹 Fn ω ∧ 𝑒 ∈ ω) → (𝐹𝑒) ∈ ran 𝐹)
6559, 63, 64syl2anc 587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝑒 ∈ ω ∧ 𝑏 ∈ ω) ∧ 𝑏𝑒) ∧ (𝐹 Fn ω ∧ 𝑅 Po ran 𝐹)) → (𝐹𝑒) ∈ ran 𝐹)
66 peano2 7598 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑒 ∈ ω → suc 𝑒 ∈ ω)
6766ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((𝑒 ∈ ω ∧ 𝑏 ∈ ω) ∧ 𝑏𝑒) ∧ (𝐹 Fn ω ∧ 𝑅 Po ran 𝐹)) → suc 𝑒 ∈ ω)
68 fnfvelrn 6841 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝐹 Fn ω ∧ suc 𝑒 ∈ ω) → (𝐹‘suc 𝑒) ∈ ran 𝐹)
6959, 67, 68syl2anc 587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝑒 ∈ ω ∧ 𝑏 ∈ ω) ∧ 𝑏𝑒) ∧ (𝐹 Fn ω ∧ 𝑅 Po ran 𝐹)) → (𝐹‘suc 𝑒) ∈ ran 𝐹)
70 potr 5474 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑅 Po ran 𝐹 ∧ ((𝐹𝑏) ∈ ran 𝐹 ∧ (𝐹𝑒) ∈ ran 𝐹 ∧ (𝐹‘suc 𝑒) ∈ ran 𝐹)) → (((𝐹𝑏)𝑅(𝐹𝑒) ∧ (𝐹𝑒)𝑅(𝐹‘suc 𝑒)) → (𝐹𝑏)𝑅(𝐹‘suc 𝑒)))
7158, 62, 65, 69, 70syl13anc 1369 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((𝑒 ∈ ω ∧ 𝑏 ∈ ω) ∧ 𝑏𝑒) ∧ (𝐹 Fn ω ∧ 𝑅 Po ran 𝐹)) → (((𝐹𝑏)𝑅(𝐹𝑒) ∧ (𝐹𝑒)𝑅(𝐹‘suc 𝑒)) → (𝐹𝑏)𝑅(𝐹‘suc 𝑒)))
7271imp 410 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((((𝑒 ∈ ω ∧ 𝑏 ∈ ω) ∧ 𝑏𝑒) ∧ (𝐹 Fn ω ∧ 𝑅 Po ran 𝐹)) ∧ ((𝐹𝑏)𝑅(𝐹𝑒) ∧ (𝐹𝑒)𝑅(𝐹‘suc 𝑒))) → (𝐹𝑏)𝑅(𝐹‘suc 𝑒))
7372ancom2s 649 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((((𝑒 ∈ ω ∧ 𝑏 ∈ ω) ∧ 𝑏𝑒) ∧ (𝐹 Fn ω ∧ 𝑅 Po ran 𝐹)) ∧ ((𝐹𝑒)𝑅(𝐹‘suc 𝑒) ∧ (𝐹𝑏)𝑅(𝐹𝑒))) → (𝐹𝑏)𝑅(𝐹‘suc 𝑒))
7473orcd 870 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((𝑒 ∈ ω ∧ 𝑏 ∈ ω) ∧ 𝑏𝑒) ∧ (𝐹 Fn ω ∧ 𝑅 Po ran 𝐹)) ∧ ((𝐹𝑒)𝑅(𝐹‘suc 𝑒) ∧ (𝐹𝑏)𝑅(𝐹𝑒))) → ((𝐹𝑏)𝑅(𝐹‘suc 𝑒) ∨ (𝐹𝑏) = (𝐹‘suc 𝑒)))
7574expr 460 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((𝑒 ∈ ω ∧ 𝑏 ∈ ω) ∧ 𝑏𝑒) ∧ (𝐹 Fn ω ∧ 𝑅 Po ran 𝐹)) ∧ (𝐹𝑒)𝑅(𝐹‘suc 𝑒)) → ((𝐹𝑏)𝑅(𝐹𝑒) → ((𝐹𝑏)𝑅(𝐹‘suc 𝑒) ∨ (𝐹𝑏) = (𝐹‘suc 𝑒))))
76 breq1 5056 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝐹𝑏) = (𝐹𝑒) → ((𝐹𝑏)𝑅(𝐹‘suc 𝑒) ↔ (𝐹𝑒)𝑅(𝐹‘suc 𝑒)))
7776biimprcd 253 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝐹𝑒)𝑅(𝐹‘suc 𝑒) → ((𝐹𝑏) = (𝐹𝑒) → (𝐹𝑏)𝑅(𝐹‘suc 𝑒)))
78 orc 864 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝐹𝑏)𝑅(𝐹‘suc 𝑒) → ((𝐹𝑏)𝑅(𝐹‘suc 𝑒) ∨ (𝐹𝑏) = (𝐹‘suc 𝑒)))
7977, 78syl6 35 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝐹𝑒)𝑅(𝐹‘suc 𝑒) → ((𝐹𝑏) = (𝐹𝑒) → ((𝐹𝑏)𝑅(𝐹‘suc 𝑒) ∨ (𝐹𝑏) = (𝐹‘suc 𝑒))))
8079adantl 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((𝑒 ∈ ω ∧ 𝑏 ∈ ω) ∧ 𝑏𝑒) ∧ (𝐹 Fn ω ∧ 𝑅 Po ran 𝐹)) ∧ (𝐹𝑒)𝑅(𝐹‘suc 𝑒)) → ((𝐹𝑏) = (𝐹𝑒) → ((𝐹𝑏)𝑅(𝐹‘suc 𝑒) ∨ (𝐹𝑏) = (𝐹‘suc 𝑒))))
8175, 80jaod 856 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((𝑒 ∈ ω ∧ 𝑏 ∈ ω) ∧ 𝑏𝑒) ∧ (𝐹 Fn ω ∧ 𝑅 Po ran 𝐹)) ∧ (𝐹𝑒)𝑅(𝐹‘suc 𝑒)) → (((𝐹𝑏)𝑅(𝐹𝑒) ∨ (𝐹𝑏) = (𝐹𝑒)) → ((𝐹𝑏)𝑅(𝐹‘suc 𝑒) ∨ (𝐹𝑏) = (𝐹‘suc 𝑒))))
8281ex 416 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝑒 ∈ ω ∧ 𝑏 ∈ ω) ∧ 𝑏𝑒) ∧ (𝐹 Fn ω ∧ 𝑅 Po ran 𝐹)) → ((𝐹𝑒)𝑅(𝐹‘suc 𝑒) → (((𝐹𝑏)𝑅(𝐹𝑒) ∨ (𝐹𝑏) = (𝐹𝑒)) → ((𝐹𝑏)𝑅(𝐹‘suc 𝑒) ∨ (𝐹𝑏) = (𝐹‘suc 𝑒)))))
83 breq2 5057 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝐹𝑒) = (𝐹‘suc 𝑒) → ((𝐹𝑏)𝑅(𝐹𝑒) ↔ (𝐹𝑏)𝑅(𝐹‘suc 𝑒)))
84 eqeq2 2836 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝐹𝑒) = (𝐹‘suc 𝑒) → ((𝐹𝑏) = (𝐹𝑒) ↔ (𝐹𝑏) = (𝐹‘suc 𝑒)))
8583, 84orbi12d 916 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝐹𝑒) = (𝐹‘suc 𝑒) → (((𝐹𝑏)𝑅(𝐹𝑒) ∨ (𝐹𝑏) = (𝐹𝑒)) ↔ ((𝐹𝑏)𝑅(𝐹‘suc 𝑒) ∨ (𝐹𝑏) = (𝐹‘suc 𝑒))))
8685biimpd 232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝐹𝑒) = (𝐹‘suc 𝑒) → (((𝐹𝑏)𝑅(𝐹𝑒) ∨ (𝐹𝑏) = (𝐹𝑒)) → ((𝐹𝑏)𝑅(𝐹‘suc 𝑒) ∨ (𝐹𝑏) = (𝐹‘suc 𝑒))))
8786a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝑒 ∈ ω ∧ 𝑏 ∈ ω) ∧ 𝑏𝑒) ∧ (𝐹 Fn ω ∧ 𝑅 Po ran 𝐹)) → ((𝐹𝑒) = (𝐹‘suc 𝑒) → (((𝐹𝑏)𝑅(𝐹𝑒) ∨ (𝐹𝑏) = (𝐹𝑒)) → ((𝐹𝑏)𝑅(𝐹‘suc 𝑒) ∨ (𝐹𝑏) = (𝐹‘suc 𝑒)))))
8882, 87jaod 856 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝑒 ∈ ω ∧ 𝑏 ∈ ω) ∧ 𝑏𝑒) ∧ (𝐹 Fn ω ∧ 𝑅 Po ran 𝐹)) → (((𝐹𝑒)𝑅(𝐹‘suc 𝑒) ∨ (𝐹𝑒) = (𝐹‘suc 𝑒)) → (((𝐹𝑏)𝑅(𝐹𝑒) ∨ (𝐹𝑏) = (𝐹𝑒)) → ((𝐹𝑏)𝑅(𝐹‘suc 𝑒) ∨ (𝐹𝑏) = (𝐹‘suc 𝑒)))))
89883adantr2 1167 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝑒 ∈ ω ∧ 𝑏 ∈ ω) ∧ 𝑏𝑒) ∧ (𝐹 Fn ω ∧ ∀𝑎 ∈ ω ((𝐹𝑎)𝑅(𝐹‘suc 𝑎) ∨ (𝐹𝑎) = (𝐹‘suc 𝑎)) ∧ 𝑅 Po ran 𝐹)) → (((𝐹𝑒)𝑅(𝐹‘suc 𝑒) ∨ (𝐹𝑒) = (𝐹‘suc 𝑒)) → (((𝐹𝑏)𝑅(𝐹𝑒) ∨ (𝐹𝑏) = (𝐹𝑒)) → ((𝐹𝑏)𝑅(𝐹‘suc 𝑒) ∨ (𝐹𝑏) = (𝐹‘suc 𝑒)))))
9057, 89mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑒 ∈ ω ∧ 𝑏 ∈ ω) ∧ 𝑏𝑒) ∧ (𝐹 Fn ω ∧ ∀𝑎 ∈ ω ((𝐹𝑎)𝑅(𝐹‘suc 𝑎) ∨ (𝐹𝑎) = (𝐹‘suc 𝑎)) ∧ 𝑅 Po ran 𝐹)) → (((𝐹𝑏)𝑅(𝐹𝑒) ∨ (𝐹𝑏) = (𝐹𝑒)) → ((𝐹𝑏)𝑅(𝐹‘suc 𝑒) ∨ (𝐹𝑏) = (𝐹‘suc 𝑒))))
9190ex 416 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑒 ∈ ω ∧ 𝑏 ∈ ω) ∧ 𝑏𝑒) → ((𝐹 Fn ω ∧ ∀𝑎 ∈ ω ((𝐹𝑎)𝑅(𝐹‘suc 𝑎) ∨ (𝐹𝑎) = (𝐹‘suc 𝑎)) ∧ 𝑅 Po ran 𝐹) → (((𝐹𝑏)𝑅(𝐹𝑒) ∨ (𝐹𝑏) = (𝐹𝑒)) → ((𝐹𝑏)𝑅(𝐹‘suc 𝑒) ∨ (𝐹𝑏) = (𝐹‘suc 𝑒)))))
9291a2d 29 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑒 ∈ ω ∧ 𝑏 ∈ ω) ∧ 𝑏𝑒) → (((𝐹 Fn ω ∧ ∀𝑎 ∈ ω ((𝐹𝑎)𝑅(𝐹‘suc 𝑎) ∨ (𝐹𝑎) = (𝐹‘suc 𝑎)) ∧ 𝑅 Po ran 𝐹) → ((𝐹𝑏)𝑅(𝐹𝑒) ∨ (𝐹𝑏) = (𝐹𝑒))) → ((𝐹 Fn ω ∧ ∀𝑎 ∈ ω ((𝐹𝑎)𝑅(𝐹‘suc 𝑎) ∨ (𝐹𝑎) = (𝐹‘suc 𝑎)) ∧ 𝑅 Po ran 𝐹) → ((𝐹𝑏)𝑅(𝐹‘suc 𝑒) ∨ (𝐹𝑏) = (𝐹‘suc 𝑒)))))
9330, 35, 40, 45, 48, 92findsg 7606 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑐 ∈ ω ∧ 𝑏 ∈ ω) ∧ 𝑏𝑐) → ((𝐹 Fn ω ∧ ∀𝑎 ∈ ω ((𝐹𝑎)𝑅(𝐹‘suc 𝑎) ∨ (𝐹𝑎) = (𝐹‘suc 𝑎)) ∧ 𝑅 Po ran 𝐹) → ((𝐹𝑏)𝑅(𝐹𝑐) ∨ (𝐹𝑏) = (𝐹𝑐))))
9493ancom1s 652 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑏 ∈ ω ∧ 𝑐 ∈ ω) ∧ 𝑏𝑐) → ((𝐹 Fn ω ∧ ∀𝑎 ∈ ω ((𝐹𝑎)𝑅(𝐹‘suc 𝑎) ∨ (𝐹𝑎) = (𝐹‘suc 𝑎)) ∧ 𝑅 Po ran 𝐹) → ((𝐹𝑏)𝑅(𝐹𝑐) ∨ (𝐹𝑏) = (𝐹𝑐))))
9594impcom 411 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐹 Fn ω ∧ ∀𝑎 ∈ ω ((𝐹𝑎)𝑅(𝐹‘suc 𝑎) ∨ (𝐹𝑎) = (𝐹‘suc 𝑎)) ∧ 𝑅 Po ran 𝐹) ∧ ((𝑏 ∈ ω ∧ 𝑐 ∈ ω) ∧ 𝑏𝑐)) → ((𝐹𝑏)𝑅(𝐹𝑐) ∨ (𝐹𝑏) = (𝐹𝑐)))
9695expr 460 . . . . . . . . . . 11 (((𝐹 Fn ω ∧ ∀𝑎 ∈ ω ((𝐹𝑎)𝑅(𝐹‘suc 𝑎) ∨ (𝐹𝑎) = (𝐹‘suc 𝑎)) ∧ 𝑅 Po ran 𝐹) ∧ (𝑏 ∈ ω ∧ 𝑐 ∈ ω)) → (𝑏𝑐 → ((𝐹𝑏)𝑅(𝐹𝑐) ∨ (𝐹𝑏) = (𝐹𝑐))))
9712, 13, 25, 96vtocl2 3547 . . . . . . . . . 10 (((𝐹 Fn ω ∧ ∀𝑎 ∈ ω ((𝐹𝑎)𝑅(𝐹‘suc 𝑎) ∨ (𝐹𝑎) = (𝐹‘suc 𝑎)) ∧ 𝑅 Po ran 𝐹) ∧ (𝑑 ∈ ω ∧ 𝑒 ∈ ω)) → (𝑑𝑒 → ((𝐹𝑑)𝑅(𝐹𝑒) ∨ (𝐹𝑑) = (𝐹𝑒))))
98 eleq1w 2898 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑏 = 𝑒 → (𝑏 ∈ ω ↔ 𝑒 ∈ ω))
99 eleq1w 2898 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑐 = 𝑑 → (𝑐 ∈ ω ↔ 𝑑 ∈ ω))
10098, 99bi2anan9 638 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑏 = 𝑒𝑐 = 𝑑) → ((𝑏 ∈ ω ∧ 𝑐 ∈ ω) ↔ (𝑒 ∈ ω ∧ 𝑑 ∈ ω)))
101100anbi2d 631 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑏 = 𝑒𝑐 = 𝑑) → (((𝐹 Fn ω ∧ ∀𝑎 ∈ ω ((𝐹𝑎)𝑅(𝐹‘suc 𝑎) ∨ (𝐹𝑎) = (𝐹‘suc 𝑎)) ∧ 𝑅 Po ran 𝐹) ∧ (𝑏 ∈ ω ∧ 𝑐 ∈ ω)) ↔ ((𝐹 Fn ω ∧ ∀𝑎 ∈ ω ((𝐹𝑎)𝑅(𝐹‘suc 𝑎) ∨ (𝐹𝑎) = (𝐹‘suc 𝑎)) ∧ 𝑅 Po ran 𝐹) ∧ (𝑒 ∈ ω ∧ 𝑑 ∈ ω))))
102 sseq12 3980 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑏 = 𝑒𝑐 = 𝑑) → (𝑏𝑐𝑒𝑑))
103 fveq2 6663 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑏 = 𝑒 → (𝐹𝑏) = (𝐹𝑒))
104 fveq2 6663 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑐 = 𝑑 → (𝐹𝑐) = (𝐹𝑑))
105103, 104breqan12d 5069 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑏 = 𝑒𝑐 = 𝑑) → ((𝐹𝑏)𝑅(𝐹𝑐) ↔ (𝐹𝑒)𝑅(𝐹𝑑)))
106103, 104eqeqan12d 2841 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑏 = 𝑒𝑐 = 𝑑) → ((𝐹𝑏) = (𝐹𝑐) ↔ (𝐹𝑒) = (𝐹𝑑)))
107105, 106orbi12d 916 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑏 = 𝑒𝑐 = 𝑑) → (((𝐹𝑏)𝑅(𝐹𝑐) ∨ (𝐹𝑏) = (𝐹𝑐)) ↔ ((𝐹𝑒)𝑅(𝐹𝑑) ∨ (𝐹𝑒) = (𝐹𝑑))))
108102, 107imbi12d 348 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑏 = 𝑒𝑐 = 𝑑) → ((𝑏𝑐 → ((𝐹𝑏)𝑅(𝐹𝑐) ∨ (𝐹𝑏) = (𝐹𝑐))) ↔ (𝑒𝑑 → ((𝐹𝑒)𝑅(𝐹𝑑) ∨ (𝐹𝑒) = (𝐹𝑑)))))
109101, 108imbi12d 348 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑏 = 𝑒𝑐 = 𝑑) → ((((𝐹 Fn ω ∧ ∀𝑎 ∈ ω ((𝐹𝑎)𝑅(𝐹‘suc 𝑎) ∨ (𝐹𝑎) = (𝐹‘suc 𝑎)) ∧ 𝑅 Po ran 𝐹) ∧ (𝑏 ∈ ω ∧ 𝑐 ∈ ω)) → (𝑏𝑐 → ((𝐹𝑏)𝑅(𝐹𝑐) ∨ (𝐹𝑏) = (𝐹𝑐)))) ↔ (((𝐹 Fn ω ∧ ∀𝑎 ∈ ω ((𝐹𝑎)𝑅(𝐹‘suc 𝑎) ∨ (𝐹𝑎) = (𝐹‘suc 𝑎)) ∧ 𝑅 Po ran 𝐹) ∧ (𝑒 ∈ ω ∧ 𝑑 ∈ ω)) → (𝑒𝑑 → ((𝐹𝑒)𝑅(𝐹𝑑) ∨ (𝐹𝑒) = (𝐹𝑑))))))
11013, 12, 109, 96vtocl2 3547 . . . . . . . . . . 11 (((𝐹 Fn ω ∧ ∀𝑎 ∈ ω ((𝐹𝑎)𝑅(𝐹‘suc 𝑎) ∨ (𝐹𝑎) = (𝐹‘suc 𝑎)) ∧ 𝑅 Po ran 𝐹) ∧ (𝑒 ∈ ω ∧ 𝑑 ∈ ω)) → (𝑒𝑑 → ((𝐹𝑒)𝑅(𝐹𝑑) ∨ (𝐹𝑒) = (𝐹𝑑))))
111110ancom2s 649 . . . . . . . . . 10 (((𝐹 Fn ω ∧ ∀𝑎 ∈ ω ((𝐹𝑎)𝑅(𝐹‘suc 𝑎) ∨ (𝐹𝑎) = (𝐹‘suc 𝑎)) ∧ 𝑅 Po ran 𝐹) ∧ (𝑑 ∈ ω ∧ 𝑒 ∈ ω)) → (𝑒𝑑 → ((𝐹𝑒)𝑅(𝐹𝑑) ∨ (𝐹𝑒) = (𝐹𝑑))))
11297, 111orim12d 962 . . . . . . . . 9 (((𝐹 Fn ω ∧ ∀𝑎 ∈ ω ((𝐹𝑎)𝑅(𝐹‘suc 𝑎) ∨ (𝐹𝑎) = (𝐹‘suc 𝑎)) ∧ 𝑅 Po ran 𝐹) ∧ (𝑑 ∈ ω ∧ 𝑒 ∈ ω)) → ((𝑑𝑒𝑒𝑑) → (((𝐹𝑑)𝑅(𝐹𝑒) ∨ (𝐹𝑑) = (𝐹𝑒)) ∨ ((𝐹𝑒)𝑅(𝐹𝑑) ∨ (𝐹𝑒) = (𝐹𝑑)))))
11311, 112mpd 15 . . . . . . . 8 (((𝐹 Fn ω ∧ ∀𝑎 ∈ ω ((𝐹𝑎)𝑅(𝐹‘suc 𝑎) ∨ (𝐹𝑎) = (𝐹‘suc 𝑎)) ∧ 𝑅 Po ran 𝐹) ∧ (𝑑 ∈ ω ∧ 𝑒 ∈ ω)) → (((𝐹𝑑)𝑅(𝐹𝑒) ∨ (𝐹𝑑) = (𝐹𝑒)) ∨ ((𝐹𝑒)𝑅(𝐹𝑑) ∨ (𝐹𝑒) = (𝐹𝑑))))
114 3mix1 1327 . . . . . . . . . 10 ((𝐹𝑑)𝑅(𝐹𝑒) → ((𝐹𝑑)𝑅(𝐹𝑒) ∨ (𝐹𝑑) = (𝐹𝑒) ∨ (𝐹𝑒)𝑅(𝐹𝑑)))
115 3mix2 1328 . . . . . . . . . 10 ((𝐹𝑑) = (𝐹𝑒) → ((𝐹𝑑)𝑅(𝐹𝑒) ∨ (𝐹𝑑) = (𝐹𝑒) ∨ (𝐹𝑒)𝑅(𝐹𝑑)))
116114, 115jaoi 854 . . . . . . . . 9 (((𝐹𝑑)𝑅(𝐹𝑒) ∨ (𝐹𝑑) = (𝐹𝑒)) → ((𝐹𝑑)𝑅(𝐹𝑒) ∨ (𝐹𝑑) = (𝐹𝑒) ∨ (𝐹𝑒)𝑅(𝐹𝑑)))
117 3mix3 1329 . . . . . . . . . 10 ((𝐹𝑒)𝑅(𝐹𝑑) → ((𝐹𝑑)𝑅(𝐹𝑒) ∨ (𝐹𝑑) = (𝐹𝑒) ∨ (𝐹𝑒)𝑅(𝐹𝑑)))
118115eqcoms 2832 . . . . . . . . . 10 ((𝐹𝑒) = (𝐹𝑑) → ((𝐹𝑑)𝑅(𝐹𝑒) ∨ (𝐹𝑑) = (𝐹𝑒) ∨ (𝐹𝑒)𝑅(𝐹𝑑)))
119117, 118jaoi 854 . . . . . . . . 9 (((𝐹𝑒)𝑅(𝐹𝑑) ∨ (𝐹𝑒) = (𝐹𝑑)) → ((𝐹𝑑)𝑅(𝐹𝑒) ∨ (𝐹𝑑) = (𝐹𝑒) ∨ (𝐹𝑒)𝑅(𝐹𝑑)))
120116, 119jaoi 854 . . . . . . . 8 ((((𝐹𝑑)𝑅(𝐹𝑒) ∨ (𝐹𝑑) = (𝐹𝑒)) ∨ ((𝐹𝑒)𝑅(𝐹𝑑) ∨ (𝐹𝑒) = (𝐹𝑑))) → ((𝐹𝑑)𝑅(𝐹𝑒) ∨ (𝐹𝑑) = (𝐹𝑒) ∨ (𝐹𝑒)𝑅(𝐹𝑑)))
121113, 120syl 17 . . . . . . 7 (((𝐹 Fn ω ∧ ∀𝑎 ∈ ω ((𝐹𝑎)𝑅(𝐹‘suc 𝑎) ∨ (𝐹𝑎) = (𝐹‘suc 𝑎)) ∧ 𝑅 Po ran 𝐹) ∧ (𝑑 ∈ ω ∧ 𝑒 ∈ ω)) → ((𝐹𝑑)𝑅(𝐹𝑒) ∨ (𝐹𝑑) = (𝐹𝑒) ∨ (𝐹𝑒)𝑅(𝐹𝑑)))
122 breq12 5058 . . . . . . . 8 (((𝐹𝑑) = 𝑏 ∧ (𝐹𝑒) = 𝑐) → ((𝐹𝑑)𝑅(𝐹𝑒) ↔ 𝑏𝑅𝑐))
123 eqeq12 2838 . . . . . . . 8 (((𝐹𝑑) = 𝑏 ∧ (𝐹𝑒) = 𝑐) → ((𝐹𝑑) = (𝐹𝑒) ↔ 𝑏 = 𝑐))
124 breq12 5058 . . . . . . . . 9 (((𝐹𝑒) = 𝑐 ∧ (𝐹𝑑) = 𝑏) → ((𝐹𝑒)𝑅(𝐹𝑑) ↔ 𝑐𝑅𝑏))
125124ancoms 462 . . . . . . . 8 (((𝐹𝑑) = 𝑏 ∧ (𝐹𝑒) = 𝑐) → ((𝐹𝑒)𝑅(𝐹𝑑) ↔ 𝑐𝑅𝑏))
126122, 123, 1253orbi123d 1432 . . . . . . 7 (((𝐹𝑑) = 𝑏 ∧ (𝐹𝑒) = 𝑐) → (((𝐹𝑑)𝑅(𝐹𝑒) ∨ (𝐹𝑑) = (𝐹𝑒) ∨ (𝐹𝑒)𝑅(𝐹𝑑)) ↔ (𝑏𝑅𝑐𝑏 = 𝑐𝑐𝑅𝑏)))
127121, 126syl5ibcom 248 . . . . . 6 (((𝐹 Fn ω ∧ ∀𝑎 ∈ ω ((𝐹𝑎)𝑅(𝐹‘suc 𝑎) ∨ (𝐹𝑎) = (𝐹‘suc 𝑎)) ∧ 𝑅 Po ran 𝐹) ∧ (𝑑 ∈ ω ∧ 𝑒 ∈ ω)) → (((𝐹𝑑) = 𝑏 ∧ (𝐹𝑒) = 𝑐) → (𝑏𝑅𝑐𝑏 = 𝑐𝑐𝑅𝑏)))
128127rexlimdvva 3286 . . . . 5 ((𝐹 Fn ω ∧ ∀𝑎 ∈ ω ((𝐹𝑎)𝑅(𝐹‘suc 𝑎) ∨ (𝐹𝑎) = (𝐹‘suc 𝑎)) ∧ 𝑅 Po ran 𝐹) → (∃𝑑 ∈ ω ∃𝑒 ∈ ω ((𝐹𝑑) = 𝑏 ∧ (𝐹𝑒) = 𝑐) → (𝑏𝑅𝑐𝑏 = 𝑐𝑐𝑅𝑏)))
1296, 128syl5bir 246 . . . 4 ((𝐹 Fn ω ∧ ∀𝑎 ∈ ω ((𝐹𝑎)𝑅(𝐹‘suc 𝑎) ∨ (𝐹𝑎) = (𝐹‘suc 𝑎)) ∧ 𝑅 Po ran 𝐹) → ((∃𝑑 ∈ ω (𝐹𝑑) = 𝑏 ∧ ∃𝑒 ∈ ω (𝐹𝑒) = 𝑐) → (𝑏𝑅𝑐𝑏 = 𝑐𝑐𝑅𝑏)))
1305, 129sylbid 243 . . 3 ((𝐹 Fn ω ∧ ∀𝑎 ∈ ω ((𝐹𝑎)𝑅(𝐹‘suc 𝑎) ∨ (𝐹𝑎) = (𝐹‘suc 𝑎)) ∧ 𝑅 Po ran 𝐹) → ((𝑏 ∈ ran 𝐹𝑐 ∈ ran 𝐹) → (𝑏𝑅𝑐𝑏 = 𝑐𝑐𝑅𝑏)))
131130ralrimivv 3185 . 2 ((𝐹 Fn ω ∧ ∀𝑎 ∈ ω ((𝐹𝑎)𝑅(𝐹‘suc 𝑎) ∨ (𝐹𝑎) = (𝐹‘suc 𝑎)) ∧ 𝑅 Po ran 𝐹) → ∀𝑏 ∈ ran 𝐹𝑐 ∈ ran 𝐹(𝑏𝑅𝑐𝑏 = 𝑐𝑐𝑅𝑏))
132 df-so 5463 . 2 (𝑅 Or ran 𝐹 ↔ (𝑅 Po ran 𝐹 ∧ ∀𝑏 ∈ ran 𝐹𝑐 ∈ ran 𝐹(𝑏𝑅𝑐𝑏 = 𝑐𝑐𝑅𝑏)))
1331, 131, 132sylanbrc 586 1 ((𝐹 Fn ω ∧ ∀𝑎 ∈ ω ((𝐹𝑎)𝑅(𝐹‘suc 𝑎) ∨ (𝐹𝑎) = (𝐹‘suc 𝑎)) ∧ 𝑅 Po ran 𝐹) → 𝑅 Or ran 𝐹)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399  wo 844  w3o 1083  w3a 1084   = wceq 1538  wcel 2115  wral 3133  wrex 3134  wss 3919   class class class wbr 5053   Po wpo 5460   Or wor 5461  ran crn 5544  Ord word 6179  suc csuc 6182   Fn wfn 6340  cfv 6345  ωcom 7576
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-sep 5190  ax-nul 5197  ax-pr 5318  ax-un 7457
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-ral 3138  df-rex 3139  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-pss 3938  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-tp 4555  df-op 4557  df-uni 4825  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5134  df-tr 5160  df-id 5448  df-eprel 5453  df-po 5462  df-so 5463  df-fr 5502  df-we 5504  df-xp 5549  df-rel 5550  df-cnv 5551  df-co 5552  df-dm 5553  df-rn 5554  df-ord 6183  df-on 6184  df-lim 6185  df-suc 6186  df-iota 6304  df-fun 6347  df-fn 6348  df-fv 6353  df-om 7577
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