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Theorem sornom 9497
Description: The range of a single-step monotone function from ω into a partially ordered set is a chain. (Contributed by Stefan O'Rear, 3-Nov-2014.)
Assertion
Ref Expression
sornom ((𝐹 Fn ω ∧ ∀𝑎 ∈ ω ((𝐹𝑎)𝑅(𝐹‘suc 𝑎) ∨ (𝐹𝑎) = (𝐹‘suc 𝑎)) ∧ 𝑅 Po ran 𝐹) → 𝑅 Or ran 𝐹)
Distinct variable groups:   𝐹,𝑎   𝑅,𝑎

Proof of Theorem sornom
Dummy variables 𝑏 𝑐 𝑑 𝑒 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp3 1118 . 2 ((𝐹 Fn ω ∧ ∀𝑎 ∈ ω ((𝐹𝑎)𝑅(𝐹‘suc 𝑎) ∨ (𝐹𝑎) = (𝐹‘suc 𝑎)) ∧ 𝑅 Po ran 𝐹) → 𝑅 Po ran 𝐹)
2 fvelrnb 6556 . . . . . 6 (𝐹 Fn ω → (𝑏 ∈ ran 𝐹 ↔ ∃𝑑 ∈ ω (𝐹𝑑) = 𝑏))
3 fvelrnb 6556 . . . . . 6 (𝐹 Fn ω → (𝑐 ∈ ran 𝐹 ↔ ∃𝑒 ∈ ω (𝐹𝑒) = 𝑐))
42, 3anbi12d 621 . . . . 5 (𝐹 Fn ω → ((𝑏 ∈ ran 𝐹𝑐 ∈ ran 𝐹) ↔ (∃𝑑 ∈ ω (𝐹𝑑) = 𝑏 ∧ ∃𝑒 ∈ ω (𝐹𝑒) = 𝑐)))
543ad2ant1 1113 . . . 4 ((𝐹 Fn ω ∧ ∀𝑎 ∈ ω ((𝐹𝑎)𝑅(𝐹‘suc 𝑎) ∨ (𝐹𝑎) = (𝐹‘suc 𝑎)) ∧ 𝑅 Po ran 𝐹) → ((𝑏 ∈ ran 𝐹𝑐 ∈ ran 𝐹) ↔ (∃𝑑 ∈ ω (𝐹𝑑) = 𝑏 ∧ ∃𝑒 ∈ ω (𝐹𝑒) = 𝑐)))
6 reeanv 3309 . . . . 5 (∃𝑑 ∈ ω ∃𝑒 ∈ ω ((𝐹𝑑) = 𝑏 ∧ (𝐹𝑒) = 𝑐) ↔ (∃𝑑 ∈ ω (𝐹𝑑) = 𝑏 ∧ ∃𝑒 ∈ ω (𝐹𝑒) = 𝑐))
7 nnord 7404 . . . . . . . . . . 11 (𝑑 ∈ ω → Ord 𝑑)
8 nnord 7404 . . . . . . . . . . 11 (𝑒 ∈ ω → Ord 𝑒)
9 ordtri2or2 6125 . . . . . . . . . . 11 ((Ord 𝑑 ∧ Ord 𝑒) → (𝑑𝑒𝑒𝑑))
107, 8, 9syl2an 586 . . . . . . . . . 10 ((𝑑 ∈ ω ∧ 𝑒 ∈ ω) → (𝑑𝑒𝑒𝑑))
1110adantl 474 . . . . . . . . 9 (((𝐹 Fn ω ∧ ∀𝑎 ∈ ω ((𝐹𝑎)𝑅(𝐹‘suc 𝑎) ∨ (𝐹𝑎) = (𝐹‘suc 𝑎)) ∧ 𝑅 Po ran 𝐹) ∧ (𝑑 ∈ ω ∧ 𝑒 ∈ ω)) → (𝑑𝑒𝑒𝑑))
12 vex 3419 . . . . . . . . . . 11 𝑑 ∈ V
13 vex 3419 . . . . . . . . . . 11 𝑒 ∈ V
14 eleq1w 2849 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑏 = 𝑑 → (𝑏 ∈ ω ↔ 𝑑 ∈ ω))
15 eleq1w 2849 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑐 = 𝑒 → (𝑐 ∈ ω ↔ 𝑒 ∈ ω))
1614, 15bi2anan9 626 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑏 = 𝑑𝑐 = 𝑒) → ((𝑏 ∈ ω ∧ 𝑐 ∈ ω) ↔ (𝑑 ∈ ω ∧ 𝑒 ∈ ω)))
1716anbi2d 619 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑏 = 𝑑𝑐 = 𝑒) → (((𝐹 Fn ω ∧ ∀𝑎 ∈ ω ((𝐹𝑎)𝑅(𝐹‘suc 𝑎) ∨ (𝐹𝑎) = (𝐹‘suc 𝑎)) ∧ 𝑅 Po ran 𝐹) ∧ (𝑏 ∈ ω ∧ 𝑐 ∈ ω)) ↔ ((𝐹 Fn ω ∧ ∀𝑎 ∈ ω ((𝐹𝑎)𝑅(𝐹‘suc 𝑎) ∨ (𝐹𝑎) = (𝐹‘suc 𝑎)) ∧ 𝑅 Po ran 𝐹) ∧ (𝑑 ∈ ω ∧ 𝑒 ∈ ω))))
18 sseq12 3885 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑏 = 𝑑𝑐 = 𝑒) → (𝑏𝑐𝑑𝑒))
19 fveq2 6499 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑏 = 𝑑 → (𝐹𝑏) = (𝐹𝑑))
20 fveq2 6499 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑐 = 𝑒 → (𝐹𝑐) = (𝐹𝑒))
2119, 20breqan12d 4945 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑏 = 𝑑𝑐 = 𝑒) → ((𝐹𝑏)𝑅(𝐹𝑐) ↔ (𝐹𝑑)𝑅(𝐹𝑒)))
2219, 20eqeqan12d 2795 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑏 = 𝑑𝑐 = 𝑒) → ((𝐹𝑏) = (𝐹𝑐) ↔ (𝐹𝑑) = (𝐹𝑒)))
2321, 22orbi12d 902 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑏 = 𝑑𝑐 = 𝑒) → (((𝐹𝑏)𝑅(𝐹𝑐) ∨ (𝐹𝑏) = (𝐹𝑐)) ↔ ((𝐹𝑑)𝑅(𝐹𝑒) ∨ (𝐹𝑑) = (𝐹𝑒))))
2418, 23imbi12d 337 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑏 = 𝑑𝑐 = 𝑒) → ((𝑏𝑐 → ((𝐹𝑏)𝑅(𝐹𝑐) ∨ (𝐹𝑏) = (𝐹𝑐))) ↔ (𝑑𝑒 → ((𝐹𝑑)𝑅(𝐹𝑒) ∨ (𝐹𝑑) = (𝐹𝑒)))))
2517, 24imbi12d 337 . . . . . . . . . . 11 ((𝑏 = 𝑑𝑐 = 𝑒) → ((((𝐹 Fn ω ∧ ∀𝑎 ∈ ω ((𝐹𝑎)𝑅(𝐹‘suc 𝑎) ∨ (𝐹𝑎) = (𝐹‘suc 𝑎)) ∧ 𝑅 Po ran 𝐹) ∧ (𝑏 ∈ ω ∧ 𝑐 ∈ ω)) → (𝑏𝑐 → ((𝐹𝑏)𝑅(𝐹𝑐) ∨ (𝐹𝑏) = (𝐹𝑐)))) ↔ (((𝐹 Fn ω ∧ ∀𝑎 ∈ ω ((𝐹𝑎)𝑅(𝐹‘suc 𝑎) ∨ (𝐹𝑎) = (𝐹‘suc 𝑎)) ∧ 𝑅 Po ran 𝐹) ∧ (𝑑 ∈ ω ∧ 𝑒 ∈ ω)) → (𝑑𝑒 → ((𝐹𝑑)𝑅(𝐹𝑒) ∨ (𝐹𝑑) = (𝐹𝑒))))))
26 fveq2 6499 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑑 = 𝑏 → (𝐹𝑑) = (𝐹𝑏))
2726breq2d 4941 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑑 = 𝑏 → ((𝐹𝑏)𝑅(𝐹𝑑) ↔ (𝐹𝑏)𝑅(𝐹𝑏)))
2826eqeq2d 2789 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑑 = 𝑏 → ((𝐹𝑏) = (𝐹𝑑) ↔ (𝐹𝑏) = (𝐹𝑏)))
2927, 28orbi12d 902 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑑 = 𝑏 → (((𝐹𝑏)𝑅(𝐹𝑑) ∨ (𝐹𝑏) = (𝐹𝑑)) ↔ ((𝐹𝑏)𝑅(𝐹𝑏) ∨ (𝐹𝑏) = (𝐹𝑏))))
3029imbi2d 333 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑑 = 𝑏 → (((𝐹 Fn ω ∧ ∀𝑎 ∈ ω ((𝐹𝑎)𝑅(𝐹‘suc 𝑎) ∨ (𝐹𝑎) = (𝐹‘suc 𝑎)) ∧ 𝑅 Po ran 𝐹) → ((𝐹𝑏)𝑅(𝐹𝑑) ∨ (𝐹𝑏) = (𝐹𝑑))) ↔ ((𝐹 Fn ω ∧ ∀𝑎 ∈ ω ((𝐹𝑎)𝑅(𝐹‘suc 𝑎) ∨ (𝐹𝑎) = (𝐹‘suc 𝑎)) ∧ 𝑅 Po ran 𝐹) → ((𝐹𝑏)𝑅(𝐹𝑏) ∨ (𝐹𝑏) = (𝐹𝑏)))))
31 fveq2 6499 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑑 = 𝑒 → (𝐹𝑑) = (𝐹𝑒))
3231breq2d 4941 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑑 = 𝑒 → ((𝐹𝑏)𝑅(𝐹𝑑) ↔ (𝐹𝑏)𝑅(𝐹𝑒)))
3331eqeq2d 2789 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑑 = 𝑒 → ((𝐹𝑏) = (𝐹𝑑) ↔ (𝐹𝑏) = (𝐹𝑒)))
3432, 33orbi12d 902 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑑 = 𝑒 → (((𝐹𝑏)𝑅(𝐹𝑑) ∨ (𝐹𝑏) = (𝐹𝑑)) ↔ ((𝐹𝑏)𝑅(𝐹𝑒) ∨ (𝐹𝑏) = (𝐹𝑒))))
3534imbi2d 333 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑑 = 𝑒 → (((𝐹 Fn ω ∧ ∀𝑎 ∈ ω ((𝐹𝑎)𝑅(𝐹‘suc 𝑎) ∨ (𝐹𝑎) = (𝐹‘suc 𝑎)) ∧ 𝑅 Po ran 𝐹) → ((𝐹𝑏)𝑅(𝐹𝑑) ∨ (𝐹𝑏) = (𝐹𝑑))) ↔ ((𝐹 Fn ω ∧ ∀𝑎 ∈ ω ((𝐹𝑎)𝑅(𝐹‘suc 𝑎) ∨ (𝐹𝑎) = (𝐹‘suc 𝑎)) ∧ 𝑅 Po ran 𝐹) → ((𝐹𝑏)𝑅(𝐹𝑒) ∨ (𝐹𝑏) = (𝐹𝑒)))))
36 fveq2 6499 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑑 = suc 𝑒 → (𝐹𝑑) = (𝐹‘suc 𝑒))
3736breq2d 4941 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑑 = suc 𝑒 → ((𝐹𝑏)𝑅(𝐹𝑑) ↔ (𝐹𝑏)𝑅(𝐹‘suc 𝑒)))
3836eqeq2d 2789 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑑 = suc 𝑒 → ((𝐹𝑏) = (𝐹𝑑) ↔ (𝐹𝑏) = (𝐹‘suc 𝑒)))
3937, 38orbi12d 902 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑑 = suc 𝑒 → (((𝐹𝑏)𝑅(𝐹𝑑) ∨ (𝐹𝑏) = (𝐹𝑑)) ↔ ((𝐹𝑏)𝑅(𝐹‘suc 𝑒) ∨ (𝐹𝑏) = (𝐹‘suc 𝑒))))
4039imbi2d 333 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑑 = suc 𝑒 → (((𝐹 Fn ω ∧ ∀𝑎 ∈ ω ((𝐹𝑎)𝑅(𝐹‘suc 𝑎) ∨ (𝐹𝑎) = (𝐹‘suc 𝑎)) ∧ 𝑅 Po ran 𝐹) → ((𝐹𝑏)𝑅(𝐹𝑑) ∨ (𝐹𝑏) = (𝐹𝑑))) ↔ ((𝐹 Fn ω ∧ ∀𝑎 ∈ ω ((𝐹𝑎)𝑅(𝐹‘suc 𝑎) ∨ (𝐹𝑎) = (𝐹‘suc 𝑎)) ∧ 𝑅 Po ran 𝐹) → ((𝐹𝑏)𝑅(𝐹‘suc 𝑒) ∨ (𝐹𝑏) = (𝐹‘suc 𝑒)))))
41 fveq2 6499 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑑 = 𝑐 → (𝐹𝑑) = (𝐹𝑐))
4241breq2d 4941 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑑 = 𝑐 → ((𝐹𝑏)𝑅(𝐹𝑑) ↔ (𝐹𝑏)𝑅(𝐹𝑐)))
4341eqeq2d 2789 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑑 = 𝑐 → ((𝐹𝑏) = (𝐹𝑑) ↔ (𝐹𝑏) = (𝐹𝑐)))
4442, 43orbi12d 902 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑑 = 𝑐 → (((𝐹𝑏)𝑅(𝐹𝑑) ∨ (𝐹𝑏) = (𝐹𝑑)) ↔ ((𝐹𝑏)𝑅(𝐹𝑐) ∨ (𝐹𝑏) = (𝐹𝑐))))
4544imbi2d 333 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑑 = 𝑐 → (((𝐹 Fn ω ∧ ∀𝑎 ∈ ω ((𝐹𝑎)𝑅(𝐹‘suc 𝑎) ∨ (𝐹𝑎) = (𝐹‘suc 𝑎)) ∧ 𝑅 Po ran 𝐹) → ((𝐹𝑏)𝑅(𝐹𝑑) ∨ (𝐹𝑏) = (𝐹𝑑))) ↔ ((𝐹 Fn ω ∧ ∀𝑎 ∈ ω ((𝐹𝑎)𝑅(𝐹‘suc 𝑎) ∨ (𝐹𝑎) = (𝐹‘suc 𝑎)) ∧ 𝑅 Po ran 𝐹) → ((𝐹𝑏)𝑅(𝐹𝑐) ∨ (𝐹𝑏) = (𝐹𝑐)))))
46 eqid 2779 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐹𝑏) = (𝐹𝑏)
4746olci 852 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐹𝑏)𝑅(𝐹𝑏) ∨ (𝐹𝑏) = (𝐹𝑏))
48472a1i 12 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑏 ∈ ω → ((𝐹 Fn ω ∧ ∀𝑎 ∈ ω ((𝐹𝑎)𝑅(𝐹‘suc 𝑎) ∨ (𝐹𝑎) = (𝐹‘suc 𝑎)) ∧ 𝑅 Po ran 𝐹) → ((𝐹𝑏)𝑅(𝐹𝑏) ∨ (𝐹𝑏) = (𝐹𝑏))))
49 fveq2 6499 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑎 = 𝑒 → (𝐹𝑎) = (𝐹𝑒))
50 suceq 6094 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑎 = 𝑒 → suc 𝑎 = suc 𝑒)
5150fveq2d 6503 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑎 = 𝑒 → (𝐹‘suc 𝑎) = (𝐹‘suc 𝑒))
5249, 51breq12d 4942 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑎 = 𝑒 → ((𝐹𝑎)𝑅(𝐹‘suc 𝑎) ↔ (𝐹𝑒)𝑅(𝐹‘suc 𝑒)))
5349, 51eqeq12d 2794 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑎 = 𝑒 → ((𝐹𝑎) = (𝐹‘suc 𝑎) ↔ (𝐹𝑒) = (𝐹‘suc 𝑒)))
5452, 53orbi12d 902 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑎 = 𝑒 → (((𝐹𝑎)𝑅(𝐹‘suc 𝑎) ∨ (𝐹𝑎) = (𝐹‘suc 𝑎)) ↔ ((𝐹𝑒)𝑅(𝐹‘suc 𝑒) ∨ (𝐹𝑒) = (𝐹‘suc 𝑒))))
55 simpr2 1175 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝑒 ∈ ω ∧ 𝑏 ∈ ω) ∧ 𝑏𝑒) ∧ (𝐹 Fn ω ∧ ∀𝑎 ∈ ω ((𝐹𝑎)𝑅(𝐹‘suc 𝑎) ∨ (𝐹𝑎) = (𝐹‘suc 𝑎)) ∧ 𝑅 Po ran 𝐹)) → ∀𝑎 ∈ ω ((𝐹𝑎)𝑅(𝐹‘suc 𝑎) ∨ (𝐹𝑎) = (𝐹‘suc 𝑎)))
56 simplll 762 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝑒 ∈ ω ∧ 𝑏 ∈ ω) ∧ 𝑏𝑒) ∧ (𝐹 Fn ω ∧ ∀𝑎 ∈ ω ((𝐹𝑎)𝑅(𝐹‘suc 𝑎) ∨ (𝐹𝑎) = (𝐹‘suc 𝑎)) ∧ 𝑅 Po ran 𝐹)) → 𝑒 ∈ ω)
5754, 55, 56rspcdva 3542 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝑒 ∈ ω ∧ 𝑏 ∈ ω) ∧ 𝑏𝑒) ∧ (𝐹 Fn ω ∧ ∀𝑎 ∈ ω ((𝐹𝑎)𝑅(𝐹‘suc 𝑎) ∨ (𝐹𝑎) = (𝐹‘suc 𝑎)) ∧ 𝑅 Po ran 𝐹)) → ((𝐹𝑒)𝑅(𝐹‘suc 𝑒) ∨ (𝐹𝑒) = (𝐹‘suc 𝑒)))
58 simprr 760 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝑒 ∈ ω ∧ 𝑏 ∈ ω) ∧ 𝑏𝑒) ∧ (𝐹 Fn ω ∧ 𝑅 Po ran 𝐹)) → 𝑅 Po ran 𝐹)
59 simprl 758 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((𝑒 ∈ ω ∧ 𝑏 ∈ ω) ∧ 𝑏𝑒) ∧ (𝐹 Fn ω ∧ 𝑅 Po ran 𝐹)) → 𝐹 Fn ω)
60 simpllr 763 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((𝑒 ∈ ω ∧ 𝑏 ∈ ω) ∧ 𝑏𝑒) ∧ (𝐹 Fn ω ∧ 𝑅 Po ran 𝐹)) → 𝑏 ∈ ω)
61 fnfvelrn 6673 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝐹 Fn ω ∧ 𝑏 ∈ ω) → (𝐹𝑏) ∈ ran 𝐹)
6259, 60, 61syl2anc 576 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝑒 ∈ ω ∧ 𝑏 ∈ ω) ∧ 𝑏𝑒) ∧ (𝐹 Fn ω ∧ 𝑅 Po ran 𝐹)) → (𝐹𝑏) ∈ ran 𝐹)
63 simplll 762 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((𝑒 ∈ ω ∧ 𝑏 ∈ ω) ∧ 𝑏𝑒) ∧ (𝐹 Fn ω ∧ 𝑅 Po ran 𝐹)) → 𝑒 ∈ ω)
64 fnfvelrn 6673 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝐹 Fn ω ∧ 𝑒 ∈ ω) → (𝐹𝑒) ∈ ran 𝐹)
6559, 63, 64syl2anc 576 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝑒 ∈ ω ∧ 𝑏 ∈ ω) ∧ 𝑏𝑒) ∧ (𝐹 Fn ω ∧ 𝑅 Po ran 𝐹)) → (𝐹𝑒) ∈ ran 𝐹)
66 peano2 7417 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑒 ∈ ω → suc 𝑒 ∈ ω)
6766ad3antrrr 717 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((𝑒 ∈ ω ∧ 𝑏 ∈ ω) ∧ 𝑏𝑒) ∧ (𝐹 Fn ω ∧ 𝑅 Po ran 𝐹)) → suc 𝑒 ∈ ω)
68 fnfvelrn 6673 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝐹 Fn ω ∧ suc 𝑒 ∈ ω) → (𝐹‘suc 𝑒) ∈ ran 𝐹)
6959, 67, 68syl2anc 576 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝑒 ∈ ω ∧ 𝑏 ∈ ω) ∧ 𝑏𝑒) ∧ (𝐹 Fn ω ∧ 𝑅 Po ran 𝐹)) → (𝐹‘suc 𝑒) ∈ ran 𝐹)
70 potr 5338 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑅 Po ran 𝐹 ∧ ((𝐹𝑏) ∈ ran 𝐹 ∧ (𝐹𝑒) ∈ ran 𝐹 ∧ (𝐹‘suc 𝑒) ∈ ran 𝐹)) → (((𝐹𝑏)𝑅(𝐹𝑒) ∧ (𝐹𝑒)𝑅(𝐹‘suc 𝑒)) → (𝐹𝑏)𝑅(𝐹‘suc 𝑒)))
7158, 62, 65, 69, 70syl13anc 1352 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((𝑒 ∈ ω ∧ 𝑏 ∈ ω) ∧ 𝑏𝑒) ∧ (𝐹 Fn ω ∧ 𝑅 Po ran 𝐹)) → (((𝐹𝑏)𝑅(𝐹𝑒) ∧ (𝐹𝑒)𝑅(𝐹‘suc 𝑒)) → (𝐹𝑏)𝑅(𝐹‘suc 𝑒)))
7271imp 398 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((((𝑒 ∈ ω ∧ 𝑏 ∈ ω) ∧ 𝑏𝑒) ∧ (𝐹 Fn ω ∧ 𝑅 Po ran 𝐹)) ∧ ((𝐹𝑏)𝑅(𝐹𝑒) ∧ (𝐹𝑒)𝑅(𝐹‘suc 𝑒))) → (𝐹𝑏)𝑅(𝐹‘suc 𝑒))
7372ancom2s 637 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((((𝑒 ∈ ω ∧ 𝑏 ∈ ω) ∧ 𝑏𝑒) ∧ (𝐹 Fn ω ∧ 𝑅 Po ran 𝐹)) ∧ ((𝐹𝑒)𝑅(𝐹‘suc 𝑒) ∧ (𝐹𝑏)𝑅(𝐹𝑒))) → (𝐹𝑏)𝑅(𝐹‘suc 𝑒))
7473orcd 859 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((𝑒 ∈ ω ∧ 𝑏 ∈ ω) ∧ 𝑏𝑒) ∧ (𝐹 Fn ω ∧ 𝑅 Po ran 𝐹)) ∧ ((𝐹𝑒)𝑅(𝐹‘suc 𝑒) ∧ (𝐹𝑏)𝑅(𝐹𝑒))) → ((𝐹𝑏)𝑅(𝐹‘suc 𝑒) ∨ (𝐹𝑏) = (𝐹‘suc 𝑒)))
7574expr 449 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((𝑒 ∈ ω ∧ 𝑏 ∈ ω) ∧ 𝑏𝑒) ∧ (𝐹 Fn ω ∧ 𝑅 Po ran 𝐹)) ∧ (𝐹𝑒)𝑅(𝐹‘suc 𝑒)) → ((𝐹𝑏)𝑅(𝐹𝑒) → ((𝐹𝑏)𝑅(𝐹‘suc 𝑒) ∨ (𝐹𝑏) = (𝐹‘suc 𝑒))))
76 breq1 4932 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝐹𝑏) = (𝐹𝑒) → ((𝐹𝑏)𝑅(𝐹‘suc 𝑒) ↔ (𝐹𝑒)𝑅(𝐹‘suc 𝑒)))
7776biimprcd 242 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝐹𝑒)𝑅(𝐹‘suc 𝑒) → ((𝐹𝑏) = (𝐹𝑒) → (𝐹𝑏)𝑅(𝐹‘suc 𝑒)))
78 orc 853 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝐹𝑏)𝑅(𝐹‘suc 𝑒) → ((𝐹𝑏)𝑅(𝐹‘suc 𝑒) ∨ (𝐹𝑏) = (𝐹‘suc 𝑒)))
7977, 78syl6 35 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝐹𝑒)𝑅(𝐹‘suc 𝑒) → ((𝐹𝑏) = (𝐹𝑒) → ((𝐹𝑏)𝑅(𝐹‘suc 𝑒) ∨ (𝐹𝑏) = (𝐹‘suc 𝑒))))
8079adantl 474 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((𝑒 ∈ ω ∧ 𝑏 ∈ ω) ∧ 𝑏𝑒) ∧ (𝐹 Fn ω ∧ 𝑅 Po ran 𝐹)) ∧ (𝐹𝑒)𝑅(𝐹‘suc 𝑒)) → ((𝐹𝑏) = (𝐹𝑒) → ((𝐹𝑏)𝑅(𝐹‘suc 𝑒) ∨ (𝐹𝑏) = (𝐹‘suc 𝑒))))
8175, 80jaod 845 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((𝑒 ∈ ω ∧ 𝑏 ∈ ω) ∧ 𝑏𝑒) ∧ (𝐹 Fn ω ∧ 𝑅 Po ran 𝐹)) ∧ (𝐹𝑒)𝑅(𝐹‘suc 𝑒)) → (((𝐹𝑏)𝑅(𝐹𝑒) ∨ (𝐹𝑏) = (𝐹𝑒)) → ((𝐹𝑏)𝑅(𝐹‘suc 𝑒) ∨ (𝐹𝑏) = (𝐹‘suc 𝑒))))
8281ex 405 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝑒 ∈ ω ∧ 𝑏 ∈ ω) ∧ 𝑏𝑒) ∧ (𝐹 Fn ω ∧ 𝑅 Po ran 𝐹)) → ((𝐹𝑒)𝑅(𝐹‘suc 𝑒) → (((𝐹𝑏)𝑅(𝐹𝑒) ∨ (𝐹𝑏) = (𝐹𝑒)) → ((𝐹𝑏)𝑅(𝐹‘suc 𝑒) ∨ (𝐹𝑏) = (𝐹‘suc 𝑒)))))
83 breq2 4933 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝐹𝑒) = (𝐹‘suc 𝑒) → ((𝐹𝑏)𝑅(𝐹𝑒) ↔ (𝐹𝑏)𝑅(𝐹‘suc 𝑒)))
84 eqeq2 2790 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝐹𝑒) = (𝐹‘suc 𝑒) → ((𝐹𝑏) = (𝐹𝑒) ↔ (𝐹𝑏) = (𝐹‘suc 𝑒)))
8583, 84orbi12d 902 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝐹𝑒) = (𝐹‘suc 𝑒) → (((𝐹𝑏)𝑅(𝐹𝑒) ∨ (𝐹𝑏) = (𝐹𝑒)) ↔ ((𝐹𝑏)𝑅(𝐹‘suc 𝑒) ∨ (𝐹𝑏) = (𝐹‘suc 𝑒))))
8685biimpd 221 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝐹𝑒) = (𝐹‘suc 𝑒) → (((𝐹𝑏)𝑅(𝐹𝑒) ∨ (𝐹𝑏) = (𝐹𝑒)) → ((𝐹𝑏)𝑅(𝐹‘suc 𝑒) ∨ (𝐹𝑏) = (𝐹‘suc 𝑒))))
8786a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝑒 ∈ ω ∧ 𝑏 ∈ ω) ∧ 𝑏𝑒) ∧ (𝐹 Fn ω ∧ 𝑅 Po ran 𝐹)) → ((𝐹𝑒) = (𝐹‘suc 𝑒) → (((𝐹𝑏)𝑅(𝐹𝑒) ∨ (𝐹𝑏) = (𝐹𝑒)) → ((𝐹𝑏)𝑅(𝐹‘suc 𝑒) ∨ (𝐹𝑏) = (𝐹‘suc 𝑒)))))
8882, 87jaod 845 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝑒 ∈ ω ∧ 𝑏 ∈ ω) ∧ 𝑏𝑒) ∧ (𝐹 Fn ω ∧ 𝑅 Po ran 𝐹)) → (((𝐹𝑒)𝑅(𝐹‘suc 𝑒) ∨ (𝐹𝑒) = (𝐹‘suc 𝑒)) → (((𝐹𝑏)𝑅(𝐹𝑒) ∨ (𝐹𝑏) = (𝐹𝑒)) → ((𝐹𝑏)𝑅(𝐹‘suc 𝑒) ∨ (𝐹𝑏) = (𝐹‘suc 𝑒)))))
89883adantr2 1150 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝑒 ∈ ω ∧ 𝑏 ∈ ω) ∧ 𝑏𝑒) ∧ (𝐹 Fn ω ∧ ∀𝑎 ∈ ω ((𝐹𝑎)𝑅(𝐹‘suc 𝑎) ∨ (𝐹𝑎) = (𝐹‘suc 𝑎)) ∧ 𝑅 Po ran 𝐹)) → (((𝐹𝑒)𝑅(𝐹‘suc 𝑒) ∨ (𝐹𝑒) = (𝐹‘suc 𝑒)) → (((𝐹𝑏)𝑅(𝐹𝑒) ∨ (𝐹𝑏) = (𝐹𝑒)) → ((𝐹𝑏)𝑅(𝐹‘suc 𝑒) ∨ (𝐹𝑏) = (𝐹‘suc 𝑒)))))
9057, 89mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑒 ∈ ω ∧ 𝑏 ∈ ω) ∧ 𝑏𝑒) ∧ (𝐹 Fn ω ∧ ∀𝑎 ∈ ω ((𝐹𝑎)𝑅(𝐹‘suc 𝑎) ∨ (𝐹𝑎) = (𝐹‘suc 𝑎)) ∧ 𝑅 Po ran 𝐹)) → (((𝐹𝑏)𝑅(𝐹𝑒) ∨ (𝐹𝑏) = (𝐹𝑒)) → ((𝐹𝑏)𝑅(𝐹‘suc 𝑒) ∨ (𝐹𝑏) = (𝐹‘suc 𝑒))))
9190ex 405 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑒 ∈ ω ∧ 𝑏 ∈ ω) ∧ 𝑏𝑒) → ((𝐹 Fn ω ∧ ∀𝑎 ∈ ω ((𝐹𝑎)𝑅(𝐹‘suc 𝑎) ∨ (𝐹𝑎) = (𝐹‘suc 𝑎)) ∧ 𝑅 Po ran 𝐹) → (((𝐹𝑏)𝑅(𝐹𝑒) ∨ (𝐹𝑏) = (𝐹𝑒)) → ((𝐹𝑏)𝑅(𝐹‘suc 𝑒) ∨ (𝐹𝑏) = (𝐹‘suc 𝑒)))))
9291a2d 29 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑒 ∈ ω ∧ 𝑏 ∈ ω) ∧ 𝑏𝑒) → (((𝐹 Fn ω ∧ ∀𝑎 ∈ ω ((𝐹𝑎)𝑅(𝐹‘suc 𝑎) ∨ (𝐹𝑎) = (𝐹‘suc 𝑎)) ∧ 𝑅 Po ran 𝐹) → ((𝐹𝑏)𝑅(𝐹𝑒) ∨ (𝐹𝑏) = (𝐹𝑒))) → ((𝐹 Fn ω ∧ ∀𝑎 ∈ ω ((𝐹𝑎)𝑅(𝐹‘suc 𝑎) ∨ (𝐹𝑎) = (𝐹‘suc 𝑎)) ∧ 𝑅 Po ran 𝐹) → ((𝐹𝑏)𝑅(𝐹‘suc 𝑒) ∨ (𝐹𝑏) = (𝐹‘suc 𝑒)))))
9330, 35, 40, 45, 48, 92findsg 7424 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑐 ∈ ω ∧ 𝑏 ∈ ω) ∧ 𝑏𝑐) → ((𝐹 Fn ω ∧ ∀𝑎 ∈ ω ((𝐹𝑎)𝑅(𝐹‘suc 𝑎) ∨ (𝐹𝑎) = (𝐹‘suc 𝑎)) ∧ 𝑅 Po ran 𝐹) → ((𝐹𝑏)𝑅(𝐹𝑐) ∨ (𝐹𝑏) = (𝐹𝑐))))
9493ancom1s 640 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑏 ∈ ω ∧ 𝑐 ∈ ω) ∧ 𝑏𝑐) → ((𝐹 Fn ω ∧ ∀𝑎 ∈ ω ((𝐹𝑎)𝑅(𝐹‘suc 𝑎) ∨ (𝐹𝑎) = (𝐹‘suc 𝑎)) ∧ 𝑅 Po ran 𝐹) → ((𝐹𝑏)𝑅(𝐹𝑐) ∨ (𝐹𝑏) = (𝐹𝑐))))
9594impcom 399 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐹 Fn ω ∧ ∀𝑎 ∈ ω ((𝐹𝑎)𝑅(𝐹‘suc 𝑎) ∨ (𝐹𝑎) = (𝐹‘suc 𝑎)) ∧ 𝑅 Po ran 𝐹) ∧ ((𝑏 ∈ ω ∧ 𝑐 ∈ ω) ∧ 𝑏𝑐)) → ((𝐹𝑏)𝑅(𝐹𝑐) ∨ (𝐹𝑏) = (𝐹𝑐)))
9695expr 449 . . . . . . . . . . 11 (((𝐹 Fn ω ∧ ∀𝑎 ∈ ω ((𝐹𝑎)𝑅(𝐹‘suc 𝑎) ∨ (𝐹𝑎) = (𝐹‘suc 𝑎)) ∧ 𝑅 Po ran 𝐹) ∧ (𝑏 ∈ ω ∧ 𝑐 ∈ ω)) → (𝑏𝑐 → ((𝐹𝑏)𝑅(𝐹𝑐) ∨ (𝐹𝑏) = (𝐹𝑐))))
9712, 13, 25, 96vtocl2 3481 . . . . . . . . . 10 (((𝐹 Fn ω ∧ ∀𝑎 ∈ ω ((𝐹𝑎)𝑅(𝐹‘suc 𝑎) ∨ (𝐹𝑎) = (𝐹‘suc 𝑎)) ∧ 𝑅 Po ran 𝐹) ∧ (𝑑 ∈ ω ∧ 𝑒 ∈ ω)) → (𝑑𝑒 → ((𝐹𝑑)𝑅(𝐹𝑒) ∨ (𝐹𝑑) = (𝐹𝑒))))
98 eleq1w 2849 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑏 = 𝑒 → (𝑏 ∈ ω ↔ 𝑒 ∈ ω))
99 eleq1w 2849 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑐 = 𝑑 → (𝑐 ∈ ω ↔ 𝑑 ∈ ω))
10098, 99bi2anan9 626 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑏 = 𝑒𝑐 = 𝑑) → ((𝑏 ∈ ω ∧ 𝑐 ∈ ω) ↔ (𝑒 ∈ ω ∧ 𝑑 ∈ ω)))
101100anbi2d 619 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑏 = 𝑒𝑐 = 𝑑) → (((𝐹 Fn ω ∧ ∀𝑎 ∈ ω ((𝐹𝑎)𝑅(𝐹‘suc 𝑎) ∨ (𝐹𝑎) = (𝐹‘suc 𝑎)) ∧ 𝑅 Po ran 𝐹) ∧ (𝑏 ∈ ω ∧ 𝑐 ∈ ω)) ↔ ((𝐹 Fn ω ∧ ∀𝑎 ∈ ω ((𝐹𝑎)𝑅(𝐹‘suc 𝑎) ∨ (𝐹𝑎) = (𝐹‘suc 𝑎)) ∧ 𝑅 Po ran 𝐹) ∧ (𝑒 ∈ ω ∧ 𝑑 ∈ ω))))
102 sseq12 3885 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑏 = 𝑒𝑐 = 𝑑) → (𝑏𝑐𝑒𝑑))
103 fveq2 6499 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑏 = 𝑒 → (𝐹𝑏) = (𝐹𝑒))
104 fveq2 6499 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑐 = 𝑑 → (𝐹𝑐) = (𝐹𝑑))
105103, 104breqan12d 4945 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑏 = 𝑒𝑐 = 𝑑) → ((𝐹𝑏)𝑅(𝐹𝑐) ↔ (𝐹𝑒)𝑅(𝐹𝑑)))
106103, 104eqeqan12d 2795 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑏 = 𝑒𝑐 = 𝑑) → ((𝐹𝑏) = (𝐹𝑐) ↔ (𝐹𝑒) = (𝐹𝑑)))
107105, 106orbi12d 902 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑏 = 𝑒𝑐 = 𝑑) → (((𝐹𝑏)𝑅(𝐹𝑐) ∨ (𝐹𝑏) = (𝐹𝑐)) ↔ ((𝐹𝑒)𝑅(𝐹𝑑) ∨ (𝐹𝑒) = (𝐹𝑑))))
108102, 107imbi12d 337 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑏 = 𝑒𝑐 = 𝑑) → ((𝑏𝑐 → ((𝐹𝑏)𝑅(𝐹𝑐) ∨ (𝐹𝑏) = (𝐹𝑐))) ↔ (𝑒𝑑 → ((𝐹𝑒)𝑅(𝐹𝑑) ∨ (𝐹𝑒) = (𝐹𝑑)))))
109101, 108imbi12d 337 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑏 = 𝑒𝑐 = 𝑑) → ((((𝐹 Fn ω ∧ ∀𝑎 ∈ ω ((𝐹𝑎)𝑅(𝐹‘suc 𝑎) ∨ (𝐹𝑎) = (𝐹‘suc 𝑎)) ∧ 𝑅 Po ran 𝐹) ∧ (𝑏 ∈ ω ∧ 𝑐 ∈ ω)) → (𝑏𝑐 → ((𝐹𝑏)𝑅(𝐹𝑐) ∨ (𝐹𝑏) = (𝐹𝑐)))) ↔ (((𝐹 Fn ω ∧ ∀𝑎 ∈ ω ((𝐹𝑎)𝑅(𝐹‘suc 𝑎) ∨ (𝐹𝑎) = (𝐹‘suc 𝑎)) ∧ 𝑅 Po ran 𝐹) ∧ (𝑒 ∈ ω ∧ 𝑑 ∈ ω)) → (𝑒𝑑 → ((𝐹𝑒)𝑅(𝐹𝑑) ∨ (𝐹𝑒) = (𝐹𝑑))))))
11013, 12, 109, 96vtocl2 3481 . . . . . . . . . . 11 (((𝐹 Fn ω ∧ ∀𝑎 ∈ ω ((𝐹𝑎)𝑅(𝐹‘suc 𝑎) ∨ (𝐹𝑎) = (𝐹‘suc 𝑎)) ∧ 𝑅 Po ran 𝐹) ∧ (𝑒 ∈ ω ∧ 𝑑 ∈ ω)) → (𝑒𝑑 → ((𝐹𝑒)𝑅(𝐹𝑑) ∨ (𝐹𝑒) = (𝐹𝑑))))
111110ancom2s 637 . . . . . . . . . 10 (((𝐹 Fn ω ∧ ∀𝑎 ∈ ω ((𝐹𝑎)𝑅(𝐹‘suc 𝑎) ∨ (𝐹𝑎) = (𝐹‘suc 𝑎)) ∧ 𝑅 Po ran 𝐹) ∧ (𝑑 ∈ ω ∧ 𝑒 ∈ ω)) → (𝑒𝑑 → ((𝐹𝑒)𝑅(𝐹𝑑) ∨ (𝐹𝑒) = (𝐹𝑑))))
11297, 111orim12d 947 . . . . . . . . 9 (((𝐹 Fn ω ∧ ∀𝑎 ∈ ω ((𝐹𝑎)𝑅(𝐹‘suc 𝑎) ∨ (𝐹𝑎) = (𝐹‘suc 𝑎)) ∧ 𝑅 Po ran 𝐹) ∧ (𝑑 ∈ ω ∧ 𝑒 ∈ ω)) → ((𝑑𝑒𝑒𝑑) → (((𝐹𝑑)𝑅(𝐹𝑒) ∨ (𝐹𝑑) = (𝐹𝑒)) ∨ ((𝐹𝑒)𝑅(𝐹𝑑) ∨ (𝐹𝑒) = (𝐹𝑑)))))
11311, 112mpd 15 . . . . . . . 8 (((𝐹 Fn ω ∧ ∀𝑎 ∈ ω ((𝐹𝑎)𝑅(𝐹‘suc 𝑎) ∨ (𝐹𝑎) = (𝐹‘suc 𝑎)) ∧ 𝑅 Po ran 𝐹) ∧ (𝑑 ∈ ω ∧ 𝑒 ∈ ω)) → (((𝐹𝑑)𝑅(𝐹𝑒) ∨ (𝐹𝑑) = (𝐹𝑒)) ∨ ((𝐹𝑒)𝑅(𝐹𝑑) ∨ (𝐹𝑒) = (𝐹𝑑))))
114 3mix1 1310 . . . . . . . . . 10 ((𝐹𝑑)𝑅(𝐹𝑒) → ((𝐹𝑑)𝑅(𝐹𝑒) ∨ (𝐹𝑑) = (𝐹𝑒) ∨ (𝐹𝑒)𝑅(𝐹𝑑)))
115 3mix2 1311 . . . . . . . . . 10 ((𝐹𝑑) = (𝐹𝑒) → ((𝐹𝑑)𝑅(𝐹𝑒) ∨ (𝐹𝑑) = (𝐹𝑒) ∨ (𝐹𝑒)𝑅(𝐹𝑑)))
116114, 115jaoi 843 . . . . . . . . 9 (((𝐹𝑑)𝑅(𝐹𝑒) ∨ (𝐹𝑑) = (𝐹𝑒)) → ((𝐹𝑑)𝑅(𝐹𝑒) ∨ (𝐹𝑑) = (𝐹𝑒) ∨ (𝐹𝑒)𝑅(𝐹𝑑)))
117 3mix3 1312 . . . . . . . . . 10 ((𝐹𝑒)𝑅(𝐹𝑑) → ((𝐹𝑑)𝑅(𝐹𝑒) ∨ (𝐹𝑑) = (𝐹𝑒) ∨ (𝐹𝑒)𝑅(𝐹𝑑)))
118115eqcoms 2787 . . . . . . . . . 10 ((𝐹𝑒) = (𝐹𝑑) → ((𝐹𝑑)𝑅(𝐹𝑒) ∨ (𝐹𝑑) = (𝐹𝑒) ∨ (𝐹𝑒)𝑅(𝐹𝑑)))
119117, 118jaoi 843 . . . . . . . . 9 (((𝐹𝑒)𝑅(𝐹𝑑) ∨ (𝐹𝑒) = (𝐹𝑑)) → ((𝐹𝑑)𝑅(𝐹𝑒) ∨ (𝐹𝑑) = (𝐹𝑒) ∨ (𝐹𝑒)𝑅(𝐹𝑑)))
120116, 119jaoi 843 . . . . . . . 8 ((((𝐹𝑑)𝑅(𝐹𝑒) ∨ (𝐹𝑑) = (𝐹𝑒)) ∨ ((𝐹𝑒)𝑅(𝐹𝑑) ∨ (𝐹𝑒) = (𝐹𝑑))) → ((𝐹𝑑)𝑅(𝐹𝑒) ∨ (𝐹𝑑) = (𝐹𝑒) ∨ (𝐹𝑒)𝑅(𝐹𝑑)))
121113, 120syl 17 . . . . . . 7 (((𝐹 Fn ω ∧ ∀𝑎 ∈ ω ((𝐹𝑎)𝑅(𝐹‘suc 𝑎) ∨ (𝐹𝑎) = (𝐹‘suc 𝑎)) ∧ 𝑅 Po ran 𝐹) ∧ (𝑑 ∈ ω ∧ 𝑒 ∈ ω)) → ((𝐹𝑑)𝑅(𝐹𝑒) ∨ (𝐹𝑑) = (𝐹𝑒) ∨ (𝐹𝑒)𝑅(𝐹𝑑)))
122 breq12 4934 . . . . . . . 8 (((𝐹𝑑) = 𝑏 ∧ (𝐹𝑒) = 𝑐) → ((𝐹𝑑)𝑅(𝐹𝑒) ↔ 𝑏𝑅𝑐))
123 eqeq12 2792 . . . . . . . 8 (((𝐹𝑑) = 𝑏 ∧ (𝐹𝑒) = 𝑐) → ((𝐹𝑑) = (𝐹𝑒) ↔ 𝑏 = 𝑐))
124 breq12 4934 . . . . . . . . 9 (((𝐹𝑒) = 𝑐 ∧ (𝐹𝑑) = 𝑏) → ((𝐹𝑒)𝑅(𝐹𝑑) ↔ 𝑐𝑅𝑏))
125124ancoms 451 . . . . . . . 8 (((𝐹𝑑) = 𝑏 ∧ (𝐹𝑒) = 𝑐) → ((𝐹𝑒)𝑅(𝐹𝑑) ↔ 𝑐𝑅𝑏))
126122, 123, 1253orbi123d 1414 . . . . . . 7 (((𝐹𝑑) = 𝑏 ∧ (𝐹𝑒) = 𝑐) → (((𝐹𝑑)𝑅(𝐹𝑒) ∨ (𝐹𝑑) = (𝐹𝑒) ∨ (𝐹𝑒)𝑅(𝐹𝑑)) ↔ (𝑏𝑅𝑐𝑏 = 𝑐𝑐𝑅𝑏)))
127121, 126syl5ibcom 237 . . . . . 6 (((𝐹 Fn ω ∧ ∀𝑎 ∈ ω ((𝐹𝑎)𝑅(𝐹‘suc 𝑎) ∨ (𝐹𝑎) = (𝐹‘suc 𝑎)) ∧ 𝑅 Po ran 𝐹) ∧ (𝑑 ∈ ω ∧ 𝑒 ∈ ω)) → (((𝐹𝑑) = 𝑏 ∧ (𝐹𝑒) = 𝑐) → (𝑏𝑅𝑐𝑏 = 𝑐𝑐𝑅𝑏)))
128127rexlimdvva 3240 . . . . 5 ((𝐹 Fn ω ∧ ∀𝑎 ∈ ω ((𝐹𝑎)𝑅(𝐹‘suc 𝑎) ∨ (𝐹𝑎) = (𝐹‘suc 𝑎)) ∧ 𝑅 Po ran 𝐹) → (∃𝑑 ∈ ω ∃𝑒 ∈ ω ((𝐹𝑑) = 𝑏 ∧ (𝐹𝑒) = 𝑐) → (𝑏𝑅𝑐𝑏 = 𝑐𝑐𝑅𝑏)))
1296, 128syl5bir 235 . . . 4 ((𝐹 Fn ω ∧ ∀𝑎 ∈ ω ((𝐹𝑎)𝑅(𝐹‘suc 𝑎) ∨ (𝐹𝑎) = (𝐹‘suc 𝑎)) ∧ 𝑅 Po ran 𝐹) → ((∃𝑑 ∈ ω (𝐹𝑑) = 𝑏 ∧ ∃𝑒 ∈ ω (𝐹𝑒) = 𝑐) → (𝑏𝑅𝑐𝑏 = 𝑐𝑐𝑅𝑏)))
1305, 129sylbid 232 . . 3 ((𝐹 Fn ω ∧ ∀𝑎 ∈ ω ((𝐹𝑎)𝑅(𝐹‘suc 𝑎) ∨ (𝐹𝑎) = (𝐹‘suc 𝑎)) ∧ 𝑅 Po ran 𝐹) → ((𝑏 ∈ ran 𝐹𝑐 ∈ ran 𝐹) → (𝑏𝑅𝑐𝑏 = 𝑐𝑐𝑅𝑏)))
131130ralrimivv 3141 . 2 ((𝐹 Fn ω ∧ ∀𝑎 ∈ ω ((𝐹𝑎)𝑅(𝐹‘suc 𝑎) ∨ (𝐹𝑎) = (𝐹‘suc 𝑎)) ∧ 𝑅 Po ran 𝐹) → ∀𝑏 ∈ ran 𝐹𝑐 ∈ ran 𝐹(𝑏𝑅𝑐𝑏 = 𝑐𝑐𝑅𝑏))
132 df-so 5327 . 2 (𝑅 Or ran 𝐹 ↔ (𝑅 Po ran 𝐹 ∧ ∀𝑏 ∈ ran 𝐹𝑐 ∈ ran 𝐹(𝑏𝑅𝑐𝑏 = 𝑐𝑐𝑅𝑏)))
1331, 131, 132sylanbrc 575 1 ((𝐹 Fn ω ∧ ∀𝑎 ∈ ω ((𝐹𝑎)𝑅(𝐹‘suc 𝑎) ∨ (𝐹𝑎) = (𝐹‘suc 𝑎)) ∧ 𝑅 Po ran 𝐹) → 𝑅 Or ran 𝐹)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 198  wa 387  wo 833  w3o 1067  w3a 1068   = wceq 1507  wcel 2050  wral 3089  wrex 3090  wss 3830   class class class wbr 4929   Po wpo 5324   Or wor 5325  ran crn 5408  Ord word 6028  suc csuc 6031   Fn wfn 6183  cfv 6188  ωcom 7396
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1965  ax-8 2052  ax-9 2059  ax-10 2079  ax-11 2093  ax-12 2106  ax-13 2301  ax-ext 2751  ax-sep 5060  ax-nul 5067  ax-pr 5186  ax-un 7279
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2016  df-mo 2547  df-eu 2584  df-clab 2760  df-cleq 2772  df-clel 2847  df-nfc 2919  df-ne 2969  df-ral 3094  df-rex 3095  df-rab 3098  df-v 3418  df-sbc 3683  df-dif 3833  df-un 3835  df-in 3837  df-ss 3844  df-pss 3846  df-nul 4180  df-if 4351  df-pw 4424  df-sn 4442  df-pr 4444  df-tp 4446  df-op 4448  df-uni 4713  df-br 4930  df-opab 4992  df-mpt 5009  df-tr 5031  df-id 5312  df-eprel 5317  df-po 5326  df-so 5327  df-fr 5366  df-we 5368  df-xp 5413  df-rel 5414  df-cnv 5415  df-co 5416  df-dm 5417  df-rn 5418  df-ord 6032  df-on 6033  df-lim 6034  df-suc 6035  df-iota 6152  df-fun 6190  df-fn 6191  df-fv 6196  df-om 7397
This theorem is referenced by:  fin23lem40  9571
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