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Theorem rngdir 44143
Description: Distributive law for the multiplication operation of a nonunital ring (right-distributivity). (Contributed by AV, 17-Apr-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
rngdi.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
rngdi.p + = (+g𝑅)
rngdi.t · = (.r𝑅)
Assertion
Ref Expression
rngdir ((𝑅 ∈ Rng ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵)) → ((𝑋 + 𝑌) · 𝑍) = ((𝑋 · 𝑍) + (𝑌 · 𝑍)))

Proof of Theorem rngdir
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rngdi.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝑅)
2 eqid 2819 . . . 4 (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
3 rngdi.p . . . 4 + = (+g𝑅)
4 rngdi.t . . . 4 · = (.r𝑅)
51, 2, 3, 4isrng 44137 . . 3 (𝑅 ∈ Rng ↔ (𝑅 ∈ Abel ∧ (mulGrp‘𝑅) ∈ Smgrp ∧ ∀𝑎𝐵𝑏𝐵𝑐𝐵 ((𝑎 · (𝑏 + 𝑐)) = ((𝑎 · 𝑏) + (𝑎 · 𝑐)) ∧ ((𝑎 + 𝑏) · 𝑐) = ((𝑎 · 𝑐) + (𝑏 · 𝑐)))))
6 oveq1 7155 . . . . . . . 8 (𝑎 = 𝑋 → (𝑎 · (𝑏 + 𝑐)) = (𝑋 · (𝑏 + 𝑐)))
7 oveq1 7155 . . . . . . . . 9 (𝑎 = 𝑋 → (𝑎 · 𝑏) = (𝑋 · 𝑏))
8 oveq1 7155 . . . . . . . . 9 (𝑎 = 𝑋 → (𝑎 · 𝑐) = (𝑋 · 𝑐))
97, 8oveq12d 7166 . . . . . . . 8 (𝑎 = 𝑋 → ((𝑎 · 𝑏) + (𝑎 · 𝑐)) = ((𝑋 · 𝑏) + (𝑋 · 𝑐)))
106, 9eqeq12d 2835 . . . . . . 7 (𝑎 = 𝑋 → ((𝑎 · (𝑏 + 𝑐)) = ((𝑎 · 𝑏) + (𝑎 · 𝑐)) ↔ (𝑋 · (𝑏 + 𝑐)) = ((𝑋 · 𝑏) + (𝑋 · 𝑐))))
11 oveq1 7155 . . . . . . . . 9 (𝑎 = 𝑋 → (𝑎 + 𝑏) = (𝑋 + 𝑏))
1211oveq1d 7163 . . . . . . . 8 (𝑎 = 𝑋 → ((𝑎 + 𝑏) · 𝑐) = ((𝑋 + 𝑏) · 𝑐))
138oveq1d 7163 . . . . . . . 8 (𝑎 = 𝑋 → ((𝑎 · 𝑐) + (𝑏 · 𝑐)) = ((𝑋 · 𝑐) + (𝑏 · 𝑐)))
1412, 13eqeq12d 2835 . . . . . . 7 (𝑎 = 𝑋 → (((𝑎 + 𝑏) · 𝑐) = ((𝑎 · 𝑐) + (𝑏 · 𝑐)) ↔ ((𝑋 + 𝑏) · 𝑐) = ((𝑋 · 𝑐) + (𝑏 · 𝑐))))
1510, 14anbi12d 632 . . . . . 6 (𝑎 = 𝑋 → (((𝑎 · (𝑏 + 𝑐)) = ((𝑎 · 𝑏) + (𝑎 · 𝑐)) ∧ ((𝑎 + 𝑏) · 𝑐) = ((𝑎 · 𝑐) + (𝑏 · 𝑐))) ↔ ((𝑋 · (𝑏 + 𝑐)) = ((𝑋 · 𝑏) + (𝑋 · 𝑐)) ∧ ((𝑋 + 𝑏) · 𝑐) = ((𝑋 · 𝑐) + (𝑏 · 𝑐)))))
16 oveq1 7155 . . . . . . . . 9 (𝑏 = 𝑌 → (𝑏 + 𝑐) = (𝑌 + 𝑐))
1716oveq2d 7164 . . . . . . . 8 (𝑏 = 𝑌 → (𝑋 · (𝑏 + 𝑐)) = (𝑋 · (𝑌 + 𝑐)))
18 oveq2 7156 . . . . . . . . 9 (𝑏 = 𝑌 → (𝑋 · 𝑏) = (𝑋 · 𝑌))
1918oveq1d 7163 . . . . . . . 8 (𝑏 = 𝑌 → ((𝑋 · 𝑏) + (𝑋 · 𝑐)) = ((𝑋 · 𝑌) + (𝑋 · 𝑐)))
2017, 19eqeq12d 2835 . . . . . . 7 (𝑏 = 𝑌 → ((𝑋 · (𝑏 + 𝑐)) = ((𝑋 · 𝑏) + (𝑋 · 𝑐)) ↔ (𝑋 · (𝑌 + 𝑐)) = ((𝑋 · 𝑌) + (𝑋 · 𝑐))))
21 oveq2 7156 . . . . . . . . 9 (𝑏 = 𝑌 → (𝑋 + 𝑏) = (𝑋 + 𝑌))
2221oveq1d 7163 . . . . . . . 8 (𝑏 = 𝑌 → ((𝑋 + 𝑏) · 𝑐) = ((𝑋 + 𝑌) · 𝑐))
23 oveq1 7155 . . . . . . . . 9 (𝑏 = 𝑌 → (𝑏 · 𝑐) = (𝑌 · 𝑐))
2423oveq2d 7164 . . . . . . . 8 (𝑏 = 𝑌 → ((𝑋 · 𝑐) + (𝑏 · 𝑐)) = ((𝑋 · 𝑐) + (𝑌 · 𝑐)))
2522, 24eqeq12d 2835 . . . . . . 7 (𝑏 = 𝑌 → (((𝑋 + 𝑏) · 𝑐) = ((𝑋 · 𝑐) + (𝑏 · 𝑐)) ↔ ((𝑋 + 𝑌) · 𝑐) = ((𝑋 · 𝑐) + (𝑌 · 𝑐))))
2620, 25anbi12d 632 . . . . . 6 (𝑏 = 𝑌 → (((𝑋 · (𝑏 + 𝑐)) = ((𝑋 · 𝑏) + (𝑋 · 𝑐)) ∧ ((𝑋 + 𝑏) · 𝑐) = ((𝑋 · 𝑐) + (𝑏 · 𝑐))) ↔ ((𝑋 · (𝑌 + 𝑐)) = ((𝑋 · 𝑌) + (𝑋 · 𝑐)) ∧ ((𝑋 + 𝑌) · 𝑐) = ((𝑋 · 𝑐) + (𝑌 · 𝑐)))))
27 oveq2 7156 . . . . . . . . 9 (𝑐 = 𝑍 → (𝑌 + 𝑐) = (𝑌 + 𝑍))
2827oveq2d 7164 . . . . . . . 8 (𝑐 = 𝑍 → (𝑋 · (𝑌 + 𝑐)) = (𝑋 · (𝑌 + 𝑍)))
29 oveq2 7156 . . . . . . . . 9 (𝑐 = 𝑍 → (𝑋 · 𝑐) = (𝑋 · 𝑍))
3029oveq2d 7164 . . . . . . . 8 (𝑐 = 𝑍 → ((𝑋 · 𝑌) + (𝑋 · 𝑐)) = ((𝑋 · 𝑌) + (𝑋 · 𝑍)))
3128, 30eqeq12d 2835 . . . . . . 7 (𝑐 = 𝑍 → ((𝑋 · (𝑌 + 𝑐)) = ((𝑋 · 𝑌) + (𝑋 · 𝑐)) ↔ (𝑋 · (𝑌 + 𝑍)) = ((𝑋 · 𝑌) + (𝑋 · 𝑍))))
32 oveq2 7156 . . . . . . . 8 (𝑐 = 𝑍 → ((𝑋 + 𝑌) · 𝑐) = ((𝑋 + 𝑌) · 𝑍))
33 oveq2 7156 . . . . . . . . 9 (𝑐 = 𝑍 → (𝑌 · 𝑐) = (𝑌 · 𝑍))
3429, 33oveq12d 7166 . . . . . . . 8 (𝑐 = 𝑍 → ((𝑋 · 𝑐) + (𝑌 · 𝑐)) = ((𝑋 · 𝑍) + (𝑌 · 𝑍)))
3532, 34eqeq12d 2835 . . . . . . 7 (𝑐 = 𝑍 → (((𝑋 + 𝑌) · 𝑐) = ((𝑋 · 𝑐) + (𝑌 · 𝑐)) ↔ ((𝑋 + 𝑌) · 𝑍) = ((𝑋 · 𝑍) + (𝑌 · 𝑍))))
3631, 35anbi12d 632 . . . . . 6 (𝑐 = 𝑍 → (((𝑋 · (𝑌 + 𝑐)) = ((𝑋 · 𝑌) + (𝑋 · 𝑐)) ∧ ((𝑋 + 𝑌) · 𝑐) = ((𝑋 · 𝑐) + (𝑌 · 𝑐))) ↔ ((𝑋 · (𝑌 + 𝑍)) = ((𝑋 · 𝑌) + (𝑋 · 𝑍)) ∧ ((𝑋 + 𝑌) · 𝑍) = ((𝑋 · 𝑍) + (𝑌 · 𝑍)))))
3715, 26, 36rspc3v 3634 . . . . 5 ((𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵) → (∀𝑎𝐵𝑏𝐵𝑐𝐵 ((𝑎 · (𝑏 + 𝑐)) = ((𝑎 · 𝑏) + (𝑎 · 𝑐)) ∧ ((𝑎 + 𝑏) · 𝑐) = ((𝑎 · 𝑐) + (𝑏 · 𝑐))) → ((𝑋 · (𝑌 + 𝑍)) = ((𝑋 · 𝑌) + (𝑋 · 𝑍)) ∧ ((𝑋 + 𝑌) · 𝑍) = ((𝑋 · 𝑍) + (𝑌 · 𝑍)))))
38 simpr 487 . . . . 5 (((𝑋 · (𝑌 + 𝑍)) = ((𝑋 · 𝑌) + (𝑋 · 𝑍)) ∧ ((𝑋 + 𝑌) · 𝑍) = ((𝑋 · 𝑍) + (𝑌 · 𝑍))) → ((𝑋 + 𝑌) · 𝑍) = ((𝑋 · 𝑍) + (𝑌 · 𝑍)))
3937, 38syl6com 37 . . . 4 (∀𝑎𝐵𝑏𝐵𝑐𝐵 ((𝑎 · (𝑏 + 𝑐)) = ((𝑎 · 𝑏) + (𝑎 · 𝑐)) ∧ ((𝑎 + 𝑏) · 𝑐) = ((𝑎 · 𝑐) + (𝑏 · 𝑐))) → ((𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵) → ((𝑋 + 𝑌) · 𝑍) = ((𝑋 · 𝑍) + (𝑌 · 𝑍))))
40393ad2ant3 1130 . . 3 ((𝑅 ∈ Abel ∧ (mulGrp‘𝑅) ∈ Smgrp ∧ ∀𝑎𝐵𝑏𝐵𝑐𝐵 ((𝑎 · (𝑏 + 𝑐)) = ((𝑎 · 𝑏) + (𝑎 · 𝑐)) ∧ ((𝑎 + 𝑏) · 𝑐) = ((𝑎 · 𝑐) + (𝑏 · 𝑐)))) → ((𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵) → ((𝑋 + 𝑌) · 𝑍) = ((𝑋 · 𝑍) + (𝑌 · 𝑍))))
415, 40sylbi 219 . 2 (𝑅 ∈ Rng → ((𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵) → ((𝑋 + 𝑌) · 𝑍) = ((𝑋 · 𝑍) + (𝑌 · 𝑍))))
4241imp 409 1 ((𝑅 ∈ Rng ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵)) → ((𝑋 + 𝑌) · 𝑍) = ((𝑋 · 𝑍) + (𝑌 · 𝑍)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 398  w3a 1082   = wceq 1531  wcel 2108  wral 3136  cfv 6348  (class class class)co 7148  Basecbs 16475  +gcplusg 16557  .rcmulr 16558  Smgrpcsgrp 17892  Abelcabl 18899  mulGrpcmgp 19231  Rngcrng 44135
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1905  ax-6 1964  ax-7 2009  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2154  ax-12 2170  ax-ext 2791  ax-nul 5201
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3an 1084  df-tru 1534  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2064  df-mo 2616  df-eu 2648  df-clab 2798  df-cleq 2812  df-clel 2891  df-nfc 2961  df-ral 3141  df-rex 3142  df-rab 3145  df-v 3495  df-sbc 3771  df-dif 3937  df-un 3939  df-in 3941  df-ss 3950  df-nul 4290  df-if 4466  df-sn 4560  df-pr 4562  df-op 4566  df-uni 4831  df-br 5058  df-iota 6307  df-fv 6356  df-ov 7151  df-rng0 44136
This theorem is referenced by:  rnglz  44145
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