Theorem rngdi 20107

Description: Distributive law for the multiplication operation of a non-unital ring (left-distributivity). (Contributed by AV, 14-Feb-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
rngdi.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
rngdi.p	⊢ + = (+g‘𝑅)
rngdi.t	⊢ · = (.r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
rngdi	⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (𝑋 · (𝑌 + 𝑍)) = ((𝑋 · 𝑌) + (𝑋 · 𝑍)))

Proof of Theorem rngdi

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rngdi.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
2		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
3		rngdi.p	. . . 4 ⊢ + = (+g‘𝑅)
4		rngdi.t	. . . 4 ⊢ · = (.r‘𝑅)
5	1, 2, 3, 4	isrng 20101	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Rng ↔ (𝑅 ∈ Abel ∧ (mulGrp‘𝑅) ∈ Smgrp ∧ ∀𝑎 ∈ 𝐵 ∀𝑏 ∈ 𝐵 ∀𝑐 ∈ 𝐵 ((𝑎 · (𝑏 + 𝑐)) = ((𝑎 · 𝑏) + (𝑎 · 𝑐)) ∧ ((𝑎 + 𝑏) · 𝑐) = ((𝑎 · 𝑐) + (𝑏 · 𝑐)))))
6		oveq1 7375	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 = 𝑋 → (𝑎 · (𝑏 + 𝑐)) = (𝑋 · (𝑏 + 𝑐)))
7		oveq1 7375	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑎 = 𝑋 → (𝑎 · 𝑏) = (𝑋 · 𝑏))
8		oveq1 7375	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑎 = 𝑋 → (𝑎 · 𝑐) = (𝑋 · 𝑐))
9	7, 8	oveq12d 7386	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 = 𝑋 → ((𝑎 · 𝑏) + (𝑎 · 𝑐)) = ((𝑋 · 𝑏) + (𝑋 · 𝑐)))
10	6, 9	eqeq12d 2753	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = 𝑋 → ((𝑎 · (𝑏 + 𝑐)) = ((𝑎 · 𝑏) + (𝑎 · 𝑐)) ↔ (𝑋 · (𝑏 + 𝑐)) = ((𝑋 · 𝑏) + (𝑋 · 𝑐))))
11		oveq1 7375	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑎 = 𝑋 → (𝑎 + 𝑏) = (𝑋 + 𝑏))
12	11	oveq1d 7383	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 = 𝑋 → ((𝑎 + 𝑏) · 𝑐) = ((𝑋 + 𝑏) · 𝑐))
13	8	oveq1d 7383	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 = 𝑋 → ((𝑎 · 𝑐) + (𝑏 · 𝑐)) = ((𝑋 · 𝑐) + (𝑏 · 𝑐)))
14	12, 13	eqeq12d 2753	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = 𝑋 → (((𝑎 + 𝑏) · 𝑐) = ((𝑎 · 𝑐) + (𝑏 · 𝑐)) ↔ ((𝑋 + 𝑏) · 𝑐) = ((𝑋 · 𝑐) + (𝑏 · 𝑐))))
15	10, 14	anbi12d 633	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 𝑋 → (((𝑎 · (𝑏 + 𝑐)) = ((𝑎 · 𝑏) + (𝑎 · 𝑐)) ∧ ((𝑎 + 𝑏) · 𝑐) = ((𝑎 · 𝑐) + (𝑏 · 𝑐))) ↔ ((𝑋 · (𝑏 + 𝑐)) = ((𝑋 · 𝑏) + (𝑋 · 𝑐)) ∧ ((𝑋 + 𝑏) · 𝑐) = ((𝑋 · 𝑐) + (𝑏 · 𝑐)))))
16		oveq1 7375	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑏 = 𝑌 → (𝑏 + 𝑐) = (𝑌 + 𝑐))
17	16	oveq2d 7384	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑏 = 𝑌 → (𝑋 · (𝑏 + 𝑐)) = (𝑋 · (𝑌 + 𝑐)))
18		oveq2 7376	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑏 = 𝑌 → (𝑋 · 𝑏) = (𝑋 · 𝑌))
19	18	oveq1d 7383	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑏 = 𝑌 → ((𝑋 · 𝑏) + (𝑋 · 𝑐)) = ((𝑋 · 𝑌) + (𝑋 · 𝑐)))
20	17, 19	eqeq12d 2753	. . . . . . 7 ⊢ (𝑏 = 𝑌 → ((𝑋 · (𝑏 + 𝑐)) = ((𝑋 · 𝑏) + (𝑋 · 𝑐)) ↔ (𝑋 · (𝑌 + 𝑐)) = ((𝑋 · 𝑌) + (𝑋 · 𝑐))))
21		oveq2 7376	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑏 = 𝑌 → (𝑋 + 𝑏) = (𝑋 + 𝑌))
22	21	oveq1d 7383	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑏 = 𝑌 → ((𝑋 + 𝑏) · 𝑐) = ((𝑋 + 𝑌) · 𝑐))
23		oveq1 7375	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑏 = 𝑌 → (𝑏 · 𝑐) = (𝑌 · 𝑐))
24	23	oveq2d 7384	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑏 = 𝑌 → ((𝑋 · 𝑐) + (𝑏 · 𝑐)) = ((𝑋 · 𝑐) + (𝑌 · 𝑐)))
25	22, 24	eqeq12d 2753	. . . . . . 7 ⊢ (𝑏 = 𝑌 → (((𝑋 + 𝑏) · 𝑐) = ((𝑋 · 𝑐) + (𝑏 · 𝑐)) ↔ ((𝑋 + 𝑌) · 𝑐) = ((𝑋 · 𝑐) + (𝑌 · 𝑐))))
26	20, 25	anbi12d 633	. . . . . 6 ⊢ (𝑏 = 𝑌 → (((𝑋 · (𝑏 + 𝑐)) = ((𝑋 · 𝑏) + (𝑋 · 𝑐)) ∧ ((𝑋 + 𝑏) · 𝑐) = ((𝑋 · 𝑐) + (𝑏 · 𝑐))) ↔ ((𝑋 · (𝑌 + 𝑐)) = ((𝑋 · 𝑌) + (𝑋 · 𝑐)) ∧ ((𝑋 + 𝑌) · 𝑐) = ((𝑋 · 𝑐) + (𝑌 · 𝑐)))))
27		oveq2 7376	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑐 = 𝑍 → (𝑌 + 𝑐) = (𝑌 + 𝑍))
28	27	oveq2d 7384	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑐 = 𝑍 → (𝑋 · (𝑌 + 𝑐)) = (𝑋 · (𝑌 + 𝑍)))
29		oveq2 7376	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑐 = 𝑍 → (𝑋 · 𝑐) = (𝑋 · 𝑍))
30	29	oveq2d 7384	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑐 = 𝑍 → ((𝑋 · 𝑌) + (𝑋 · 𝑐)) = ((𝑋 · 𝑌) + (𝑋 · 𝑍)))
31	28, 30	eqeq12d 2753	. . . . . . 7 ⊢ (𝑐 = 𝑍 → ((𝑋 · (𝑌 + 𝑐)) = ((𝑋 · 𝑌) + (𝑋 · 𝑐)) ↔ (𝑋 · (𝑌 + 𝑍)) = ((𝑋 · 𝑌) + (𝑋 · 𝑍))))
32		oveq2 7376	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑐 = 𝑍 → ((𝑋 + 𝑌) · 𝑐) = ((𝑋 + 𝑌) · 𝑍))
33		oveq2 7376	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑐 = 𝑍 → (𝑌 · 𝑐) = (𝑌 · 𝑍))
34	29, 33	oveq12d 7386	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑐 = 𝑍 → ((𝑋 · 𝑐) + (𝑌 · 𝑐)) = ((𝑋 · 𝑍) + (𝑌 · 𝑍)))
35	32, 34	eqeq12d 2753	. . . . . . 7 ⊢ (𝑐 = 𝑍 → (((𝑋 + 𝑌) · 𝑐) = ((𝑋 · 𝑐) + (𝑌 · 𝑐)) ↔ ((𝑋 + 𝑌) · 𝑍) = ((𝑋 · 𝑍) + (𝑌 · 𝑍))))
36	31, 35	anbi12d 633	. . . . . 6 ⊢ (𝑐 = 𝑍 → (((𝑋 · (𝑌 + 𝑐)) = ((𝑋 · 𝑌) + (𝑋 · 𝑐)) ∧ ((𝑋 + 𝑌) · 𝑐) = ((𝑋 · 𝑐) + (𝑌 · 𝑐))) ↔ ((𝑋 · (𝑌 + 𝑍)) = ((𝑋 · 𝑌) + (𝑋 · 𝑍)) ∧ ((𝑋 + 𝑌) · 𝑍) = ((𝑋 · 𝑍) + (𝑌 · 𝑍)))))
37	15, 26, 36	rspc3v 3594	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) → (∀𝑎 ∈ 𝐵 ∀𝑏 ∈ 𝐵 ∀𝑐 ∈ 𝐵 ((𝑎 · (𝑏 + 𝑐)) = ((𝑎 · 𝑏) + (𝑎 · 𝑐)) ∧ ((𝑎 + 𝑏) · 𝑐) = ((𝑎 · 𝑐) + (𝑏 · 𝑐))) → ((𝑋 · (𝑌 + 𝑍)) = ((𝑋 · 𝑌) + (𝑋 · 𝑍)) ∧ ((𝑋 + 𝑌) · 𝑍) = ((𝑋 · 𝑍) + (𝑌 · 𝑍)))))
38		simpl 482	. . . . 5 ⊢ (((𝑋 · (𝑌 + 𝑍)) = ((𝑋 · 𝑌) + (𝑋 · 𝑍)) ∧ ((𝑋 + 𝑌) · 𝑍) = ((𝑋 · 𝑍) + (𝑌 · 𝑍))) → (𝑋 · (𝑌 + 𝑍)) = ((𝑋 · 𝑌) + (𝑋 · 𝑍)))
39	37, 38	syl6com 37	. . . 4 ⊢ (∀𝑎 ∈ 𝐵 ∀𝑏 ∈ 𝐵 ∀𝑐 ∈ 𝐵 ((𝑎 · (𝑏 + 𝑐)) = ((𝑎 · 𝑏) + (𝑎 · 𝑐)) ∧ ((𝑎 + 𝑏) · 𝑐) = ((𝑎 · 𝑐) + (𝑏 · 𝑐))) → ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) → (𝑋 · (𝑌 + 𝑍)) = ((𝑋 · 𝑌) + (𝑋 · 𝑍))))
40	39	3ad2ant3 1136	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Abel ∧ (mulGrp‘𝑅) ∈ Smgrp ∧ ∀𝑎 ∈ 𝐵 ∀𝑏 ∈ 𝐵 ∀𝑐 ∈ 𝐵 ((𝑎 · (𝑏 + 𝑐)) = ((𝑎 · 𝑏) + (𝑎 · 𝑐)) ∧ ((𝑎 + 𝑏) · 𝑐) = ((𝑎 · 𝑐) + (𝑏 · 𝑐)))) → ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) → (𝑋 · (𝑌 + 𝑍)) = ((𝑋 · 𝑌) + (𝑋 · 𝑍))))
41	5, 40	sylbi 217	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Rng → ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) → (𝑋 · (𝑌 + 𝑍)) = ((𝑋 · 𝑌) + (𝑋 · 𝑍))))
42	41	imp 406	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (𝑋 · (𝑌 + 𝑍)) = ((𝑋 · 𝑌) + (𝑋 · 𝑍)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∀wral 3052  ‘cfv 6500  (class class class)co 7368  Basecbs 17148  +_gcplusg 17189  ._rcmulr 17190  Smgrpcsgrp 18655  Abelcabl 19722  mulGrpcmgp 20087  Rngcrng 20099

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-ext 2709  ax-nul 5253

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-sb 2069  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-dif 3906  df-un 3908  df-ss 3920  df-nul 4288  df-if 4482  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-br 5101  df-iota 6456  df-fv 6508  df-ov 7371  df-rng 20100

This theorem is referenced by:  rngrz  20113  rngmneg2  20115  rngsubdi  20118  prdsrngd  20123  imasrng  20124  opprrng  20293  issubrng2  20503  cntzsubrng  20512  rnglidlrng  21214  rngqiprngghmlem3  21256  rngqiprngimfolem  21257  rngqiprngfulem5  21282