![]() |
Metamath Proof Explorer |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > rngsubdir | Structured version Visualization version GIF version |
Description: Ring multiplication distributes over subtraction. (subdir 11679 analog.) (Contributed by Jeff Madsen, 19-Jun-2010.) (Revised by Mario Carneiro, 2-Jul-2014.) Generalization of ringsubdir 20244. (Revised by AV, 23-Feb-2025.) |
Ref | Expression |
---|---|
rngsubdi.b | โข ๐ต = (Baseโ๐ ) |
rngsubdi.t | โข ยท = (.rโ๐ ) |
rngsubdi.m | โข โ = (-gโ๐ ) |
rngsubdi.r | โข (๐ โ ๐ โ Rng) |
rngsubdi.x | โข (๐ โ ๐ โ ๐ต) |
rngsubdi.y | โข (๐ โ ๐ โ ๐ต) |
rngsubdi.z | โข (๐ โ ๐ โ ๐ต) |
Ref | Expression |
---|---|
rngsubdir | โข (๐ โ ((๐ โ ๐) ยท ๐) = ((๐ ยท ๐) โ (๐ ยท ๐))) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | rngsubdi.r | . . . 4 โข (๐ โ ๐ โ Rng) | |
2 | rngsubdi.x | . . . 4 โข (๐ โ ๐ โ ๐ต) | |
3 | rngsubdi.b | . . . . 5 โข ๐ต = (Baseโ๐ ) | |
4 | eqid 2728 | . . . . 5 โข (invgโ๐ ) = (invgโ๐ ) | |
5 | rnggrp 20098 | . . . . . 6 โข (๐ โ Rng โ ๐ โ Grp) | |
6 | 1, 5 | syl 17 | . . . . 5 โข (๐ โ ๐ โ Grp) |
7 | rngsubdi.y | . . . . 5 โข (๐ โ ๐ โ ๐ต) | |
8 | 3, 4, 6, 7 | grpinvcld 18945 | . . . 4 โข (๐ โ ((invgโ๐ )โ๐) โ ๐ต) |
9 | rngsubdi.z | . . . 4 โข (๐ โ ๐ โ ๐ต) | |
10 | eqid 2728 | . . . . 5 โข (+gโ๐ ) = (+gโ๐ ) | |
11 | rngsubdi.t | . . . . 5 โข ยท = (.rโ๐ ) | |
12 | 3, 10, 11 | rngdir 20101 | . . . 4 โข ((๐ โ Rng โง (๐ โ ๐ต โง ((invgโ๐ )โ๐) โ ๐ต โง ๐ โ ๐ต)) โ ((๐(+gโ๐ )((invgโ๐ )โ๐)) ยท ๐) = ((๐ ยท ๐)(+gโ๐ )(((invgโ๐ )โ๐) ยท ๐))) |
13 | 1, 2, 8, 9, 12 | syl13anc 1370 | . . 3 โข (๐ โ ((๐(+gโ๐ )((invgโ๐ )โ๐)) ยท ๐) = ((๐ ยท ๐)(+gโ๐ )(((invgโ๐ )โ๐) ยท ๐))) |
14 | 3, 11, 4, 1, 7, 9 | rngmneg1 20107 | . . . 4 โข (๐ โ (((invgโ๐ )โ๐) ยท ๐) = ((invgโ๐ )โ(๐ ยท ๐))) |
15 | 14 | oveq2d 7436 | . . 3 โข (๐ โ ((๐ ยท ๐)(+gโ๐ )(((invgโ๐ )โ๐) ยท ๐)) = ((๐ ยท ๐)(+gโ๐ )((invgโ๐ )โ(๐ ยท ๐)))) |
16 | 13, 15 | eqtrd 2768 | . 2 โข (๐ โ ((๐(+gโ๐ )((invgโ๐ )โ๐)) ยท ๐) = ((๐ ยท ๐)(+gโ๐ )((invgโ๐ )โ(๐ ยท ๐)))) |
17 | rngsubdi.m | . . . . 5 โข โ = (-gโ๐ ) | |
18 | 3, 10, 4, 17 | grpsubval 18942 | . . . 4 โข ((๐ โ ๐ต โง ๐ โ ๐ต) โ (๐ โ ๐) = (๐(+gโ๐ )((invgโ๐ )โ๐))) |
19 | 2, 7, 18 | syl2anc 583 | . . 3 โข (๐ โ (๐ โ ๐) = (๐(+gโ๐ )((invgโ๐ )โ๐))) |
20 | 19 | oveq1d 7435 | . 2 โข (๐ โ ((๐ โ ๐) ยท ๐) = ((๐(+gโ๐ )((invgโ๐ )โ๐)) ยท ๐)) |
21 | 3, 11 | rngcl 20104 | . . . 4 โข ((๐ โ Rng โง ๐ โ ๐ต โง ๐ โ ๐ต) โ (๐ ยท ๐) โ ๐ต) |
22 | 1, 2, 9, 21 | syl3anc 1369 | . . 3 โข (๐ โ (๐ ยท ๐) โ ๐ต) |
23 | 3, 11 | rngcl 20104 | . . . 4 โข ((๐ โ Rng โง ๐ โ ๐ต โง ๐ โ ๐ต) โ (๐ ยท ๐) โ ๐ต) |
24 | 1, 7, 9, 23 | syl3anc 1369 | . . 3 โข (๐ โ (๐ ยท ๐) โ ๐ต) |
25 | 3, 10, 4, 17 | grpsubval 18942 | . . 3 โข (((๐ ยท ๐) โ ๐ต โง (๐ ยท ๐) โ ๐ต) โ ((๐ ยท ๐) โ (๐ ยท ๐)) = ((๐ ยท ๐)(+gโ๐ )((invgโ๐ )โ(๐ ยท ๐)))) |
26 | 22, 24, 25 | syl2anc 583 | . 2 โข (๐ โ ((๐ ยท ๐) โ (๐ ยท ๐)) = ((๐ ยท ๐)(+gโ๐ )((invgโ๐ )โ(๐ ยท ๐)))) |
27 | 16, 20, 26 | 3eqtr4d 2778 | 1 โข (๐ โ ((๐ โ ๐) ยท ๐) = ((๐ ยท ๐) โ (๐ ยท ๐))) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: โ wi 4 = wceq 1534 โ wcel 2099 โcfv 6548 (class class class)co 7420 Basecbs 17180 +gcplusg 17233 .rcmulr 17234 Grpcgrp 18890 invgcminusg 18891 -gcsg 18892 Rngcrng 20092 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1790 ax-4 1804 ax-5 1906 ax-6 1964 ax-7 2004 ax-8 2101 ax-9 2109 ax-10 2130 ax-11 2147 ax-12 2167 ax-ext 2699 ax-sep 5299 ax-nul 5306 ax-pow 5365 ax-pr 5429 ax-un 7740 ax-cnex 11195 ax-resscn 11196 ax-1cn 11197 ax-icn 11198 ax-addcl 11199 ax-addrcl 11200 ax-mulcl 11201 ax-mulrcl 11202 ax-mulcom 11203 ax-addass 11204 ax-mulass 11205 ax-distr 11206 ax-i2m1 11207 ax-1ne0 11208 ax-1rid 11209 ax-rnegex 11210 ax-rrecex 11211 ax-cnre 11212 ax-pre-lttri 11213 ax-pre-lttrn 11214 ax-pre-ltadd 11215 ax-pre-mulgt0 11216 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 396 df-or 847 df-3or 1086 df-3an 1087 df-tru 1537 df-fal 1547 df-ex 1775 df-nf 1779 df-sb 2061 df-mo 2530 df-eu 2559 df-clab 2706 df-cleq 2720 df-clel 2806 df-nfc 2881 df-ne 2938 df-nel 3044 df-ral 3059 df-rex 3068 df-rmo 3373 df-reu 3374 df-rab 3430 df-v 3473 df-sbc 3777 df-csb 3893 df-dif 3950 df-un 3952 df-in 3954 df-ss 3964 df-pss 3966 df-nul 4324 df-if 4530 df-pw 4605 df-sn 4630 df-pr 4632 df-op 4636 df-uni 4909 df-iun 4998 df-br 5149 df-opab 5211 df-mpt 5232 df-tr 5266 df-id 5576 df-eprel 5582 df-po 5590 df-so 5591 df-fr 5633 df-we 5635 df-xp 5684 df-rel 5685 df-cnv 5686 df-co 5687 df-dm 5688 df-rn 5689 df-res 5690 df-ima 5691 df-pred 6305 df-ord 6372 df-on 6373 df-lim 6374 df-suc 6375 df-iota 6500 df-fun 6550 df-fn 6551 df-f 6552 df-f1 6553 df-fo 6554 df-f1o 6555 df-fv 6556 df-riota 7376 df-ov 7423 df-oprab 7424 df-mpo 7425 df-om 7871 df-1st 7993 df-2nd 7994 df-frecs 8287 df-wrecs 8318 df-recs 8392 df-rdg 8431 df-er 8725 df-en 8965 df-dom 8966 df-sdom 8967 df-pnf 11281 df-mnf 11282 df-xr 11283 df-ltxr 11284 df-le 11285 df-sub 11477 df-neg 11478 df-nn 12244 df-2 12306 df-sets 17133 df-slot 17151 df-ndx 17163 df-base 17181 df-plusg 17246 df-0g 17423 df-mgm 18600 df-sgrp 18679 df-mnd 18695 df-grp 18893 df-minusg 18894 df-sbg 18895 df-abl 19738 df-mgp 20075 df-rng 20093 |
This theorem is referenced by: ringsubdir 20244 2idlcpblrng 21165 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |