MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rngsubdir Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rngsubdir 19472
Description: Ring multiplication distributes over subtraction. (subdir 11152 analog.) (Contributed by Jeff Madsen, 19-Jun-2010.) (Revised by Mario Carneiro, 2-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ringsubdi.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
ringsubdi.t · = (.r𝑅)
ringsubdi.m = (-g𝑅)
ringsubdi.r (𝜑𝑅 ∈ Ring)
ringsubdi.x (𝜑𝑋𝐵)
ringsubdi.y (𝜑𝑌𝐵)
ringsubdi.z (𝜑𝑍𝐵)
Assertion
Ref Expression
rngsubdir (𝜑 → ((𝑋 𝑌) · 𝑍) = ((𝑋 · 𝑍) (𝑌 · 𝑍)))

Proof of Theorem rngsubdir
StepHypRef Expression
1 ringsubdi.r . . . 4 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
2 ringsubdi.x . . . 4 (𝜑𝑋𝐵)
3 ringgrp 19421 . . . . . 6 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
41, 3syl 17 . . . . 5 (𝜑𝑅 ∈ Grp)
5 ringsubdi.y . . . . 5 (𝜑𝑌𝐵)
6 ringsubdi.b . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝑅)
7 eqid 2738 . . . . . 6 (invg𝑅) = (invg𝑅)
86, 7grpinvcl 18269 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑌𝐵) → ((invg𝑅)‘𝑌) ∈ 𝐵)
94, 5, 8syl2anc 587 . . . 4 (𝜑 → ((invg𝑅)‘𝑌) ∈ 𝐵)
10 ringsubdi.z . . . 4 (𝜑𝑍𝐵)
11 eqid 2738 . . . . 5 (+g𝑅) = (+g𝑅)
12 ringsubdi.t . . . . 5 · = (.r𝑅)
136, 11, 12ringdir 19439 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝐵 ∧ ((invg𝑅)‘𝑌) ∈ 𝐵𝑍𝐵)) → ((𝑋(+g𝑅)((invg𝑅)‘𝑌)) · 𝑍) = ((𝑋 · 𝑍)(+g𝑅)(((invg𝑅)‘𝑌) · 𝑍)))
141, 2, 9, 10, 13syl13anc 1373 . . 3 (𝜑 → ((𝑋(+g𝑅)((invg𝑅)‘𝑌)) · 𝑍) = ((𝑋 · 𝑍)(+g𝑅)(((invg𝑅)‘𝑌) · 𝑍)))
156, 12, 7, 1, 5, 10ringmneg1 19468 . . . 4 (𝜑 → (((invg𝑅)‘𝑌) · 𝑍) = ((invg𝑅)‘(𝑌 · 𝑍)))
1615oveq2d 7186 . . 3 (𝜑 → ((𝑋 · 𝑍)(+g𝑅)(((invg𝑅)‘𝑌) · 𝑍)) = ((𝑋 · 𝑍)(+g𝑅)((invg𝑅)‘(𝑌 · 𝑍))))
1714, 16eqtrd 2773 . 2 (𝜑 → ((𝑋(+g𝑅)((invg𝑅)‘𝑌)) · 𝑍) = ((𝑋 · 𝑍)(+g𝑅)((invg𝑅)‘(𝑌 · 𝑍))))
18 ringsubdi.m . . . . 5 = (-g𝑅)
196, 11, 7, 18grpsubval 18267 . . . 4 ((𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋 𝑌) = (𝑋(+g𝑅)((invg𝑅)‘𝑌)))
202, 5, 19syl2anc 587 . . 3 (𝜑 → (𝑋 𝑌) = (𝑋(+g𝑅)((invg𝑅)‘𝑌)))
2120oveq1d 7185 . 2 (𝜑 → ((𝑋 𝑌) · 𝑍) = ((𝑋(+g𝑅)((invg𝑅)‘𝑌)) · 𝑍))
226, 12ringcl 19433 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵𝑍𝐵) → (𝑋 · 𝑍) ∈ 𝐵)
231, 2, 10, 22syl3anc 1372 . . 3 (𝜑 → (𝑋 · 𝑍) ∈ 𝐵)
246, 12ringcl 19433 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌𝐵𝑍𝐵) → (𝑌 · 𝑍) ∈ 𝐵)
251, 5, 10, 24syl3anc 1372 . . 3 (𝜑 → (𝑌 · 𝑍) ∈ 𝐵)
266, 11, 7, 18grpsubval 18267 . . 3 (((𝑋 · 𝑍) ∈ 𝐵 ∧ (𝑌 · 𝑍) ∈ 𝐵) → ((𝑋 · 𝑍) (𝑌 · 𝑍)) = ((𝑋 · 𝑍)(+g𝑅)((invg𝑅)‘(𝑌 · 𝑍))))
2723, 25, 26syl2anc 587 . 2 (𝜑 → ((𝑋 · 𝑍) (𝑌 · 𝑍)) = ((𝑋 · 𝑍)(+g𝑅)((invg𝑅)‘(𝑌 · 𝑍))))
2817, 21, 273eqtr4d 2783 1 (𝜑 → ((𝑋 𝑌) · 𝑍) = ((𝑋 · 𝑍) (𝑌 · 𝑍)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1542  wcel 2114  cfv 6339  (class class class)co 7170  Basecbs 16586  +gcplusg 16668  .rcmulr 16669  Grpcgrp 18219  invgcminusg 18220  -gcsg 18221  Ringcrg 19416
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2020  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2710  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5232  ax-pr 5296  ax-un 7479  ax-cnex 10671  ax-resscn 10672  ax-1cn 10673  ax-icn 10674  ax-addcl 10675  ax-addrcl 10676  ax-mulcl 10677  ax-mulrcl 10678  ax-mulcom 10679  ax-addass 10680  ax-mulass 10681  ax-distr 10682  ax-i2m1 10683  ax-1ne0 10684  ax-1rid 10685  ax-rnegex 10686  ax-rrecex 10687  ax-cnre 10688  ax-pre-lttri 10689  ax-pre-lttrn 10690  ax-pre-ltadd 10691  ax-pre-mulgt0 10692
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2075  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2730  df-clel 2811  df-nfc 2881  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3058  df-rex 3059  df-reu 3060  df-rmo 3061  df-rab 3062  df-v 3400  df-sbc 3681  df-csb 3791  df-dif 3846  df-un 3848  df-in 3850  df-ss 3860  df-pss 3862  df-nul 4212  df-if 4415  df-pw 4490  df-sn 4517  df-pr 4519  df-tp 4521  df-op 4523  df-uni 4797  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5429  df-eprel 5434  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5483  df-we 5485  df-xp 5531  df-rel 5532  df-cnv 5533  df-co 5534  df-dm 5535  df-rn 5536  df-res 5537  df-ima 5538  df-pred 6129  df-ord 6175  df-on 6176  df-lim 6177  df-suc 6178  df-iota 6297  df-fun 6341  df-fn 6342  df-f 6343  df-f1 6344  df-fo 6345  df-f1o 6346  df-fv 6347  df-riota 7127  df-ov 7173  df-oprab 7174  df-mpo 7175  df-om 7600  df-1st 7714  df-2nd 7715  df-wrecs 7976  df-recs 8037  df-rdg 8075  df-er 8320  df-en 8556  df-dom 8557  df-sdom 8558  df-pnf 10755  df-mnf 10756  df-xr 10757  df-ltxr 10758  df-le 10759  df-sub 10950  df-neg 10951  df-nn 11717  df-2 11779  df-ndx 16589  df-slot 16590  df-base 16592  df-sets 16593  df-plusg 16681  df-0g 16818  df-mgm 17968  df-sgrp 18017  df-mnd 18028  df-grp 18222  df-minusg 18223  df-sbg 18224  df-mgp 19359  df-ur 19371  df-ring 19418
This theorem is referenced by:  2idlcpbl  20126  cpmadugsumfi  21628  nrgdsdir  23419  nrginvrcnlem  23444  orngrmulle  31082  lidldomn1  45013
  Copyright terms: Public domain W3C validator