Theorem rngsubdir 20144

Description: Ring multiplication distributes over subtraction. (subdir 11575 analog.) (Contributed by Jeff Madsen, 19-Jun-2010.) (Revised by Mario Carneiro, 2-Jul-2014.) Generalization of ringsubdir 20280. (Revised by AV, 23-Feb-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
rngsubdi.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
rngsubdi.t	⊢ · = (.r‘𝑅)
rngsubdi.m	⊢ − = (-g‘𝑅)
rngsubdi.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Rng)
rngsubdi.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
rngsubdi.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
rngsubdi.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
rngsubdir	⊢ (𝜑 → ((𝑋 − 𝑌) · 𝑍) = ((𝑋 · 𝑍) − (𝑌 · 𝑍)))

Proof of Theorem rngsubdir

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rngsubdi.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Rng)
2		rngsubdi.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
3		rngsubdi.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
4		eqid 2739	. . . . 5 ⊢ (invg‘𝑅) = (invg‘𝑅)
5		rnggrp 20130	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Rng → 𝑅 ∈ Grp)
6	1, 5	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Grp)
7		rngsubdi.y	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
8	3, 4, 6, 7	grpinvcld 18955	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((invg‘𝑅)‘𝑌) ∈ 𝐵)
9		rngsubdi.z	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝐵)
10		eqid 2739	. . . . 5 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
11		rngsubdi.t	. . . . 5 ⊢ · = (.r‘𝑅)
12	3, 10, 11	rngdir 20133	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ((invg‘𝑅)‘𝑌) ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑋(+g‘𝑅)((invg‘𝑅)‘𝑌)) · 𝑍) = ((𝑋 · 𝑍)(+g‘𝑅)(((invg‘𝑅)‘𝑌) · 𝑍)))
13	1, 2, 8, 9, 12	syl13anc 1380	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑋(+g‘𝑅)((invg‘𝑅)‘𝑌)) · 𝑍) = ((𝑋 · 𝑍)(+g‘𝑅)(((invg‘𝑅)‘𝑌) · 𝑍)))
14	3, 11, 4, 1, 7, 9	rngmneg1 20139	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((invg‘𝑅)‘𝑌) · 𝑍) = ((invg‘𝑅)‘(𝑌 · 𝑍)))
15	14	oveq2d 7372	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 · 𝑍)(+g‘𝑅)(((invg‘𝑅)‘𝑌) · 𝑍)) = ((𝑋 · 𝑍)(+g‘𝑅)((invg‘𝑅)‘(𝑌 · 𝑍))))
16	13, 15	eqtrd 2774	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑋(+g‘𝑅)((invg‘𝑅)‘𝑌)) · 𝑍) = ((𝑋 · 𝑍)(+g‘𝑅)((invg‘𝑅)‘(𝑌 · 𝑍))))
17		rngsubdi.m	. . . . 5 ⊢ − = (-g‘𝑅)
18	3, 10, 4, 17	grpsubval 18952	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 − 𝑌) = (𝑋(+g‘𝑅)((invg‘𝑅)‘𝑌)))
19	2, 7, 18	syl2anc 590	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 − 𝑌) = (𝑋(+g‘𝑅)((invg‘𝑅)‘𝑌)))
20	19	oveq1d 7371	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 − 𝑌) · 𝑍) = ((𝑋(+g‘𝑅)((invg‘𝑅)‘𝑌)) · 𝑍))
21	3, 11	rngcl 20136	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) → (𝑋 · 𝑍) ∈ 𝐵)
22	1, 2, 9, 21	syl3anc 1379	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · 𝑍) ∈ 𝐵)
23	3, 11	rngcl 20136	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) → (𝑌 · 𝑍) ∈ 𝐵)
24	1, 7, 9, 23	syl3anc 1379	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑌 · 𝑍) ∈ 𝐵)
25	3, 10, 4, 17	grpsubval 18952	. . 3 ⊢ (((𝑋 · 𝑍) ∈ 𝐵 ∧ (𝑌 · 𝑍) ∈ 𝐵) → ((𝑋 · 𝑍) − (𝑌 · 𝑍)) = ((𝑋 · 𝑍)(+g‘𝑅)((invg‘𝑅)‘(𝑌 · 𝑍))))
26	22, 24, 25	syl2anc 590	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 · 𝑍) − (𝑌 · 𝑍)) = ((𝑋 · 𝑍)(+g‘𝑅)((invg‘𝑅)‘(𝑌 · 𝑍))))
27	16, 20, 26	3eqtr4d 2784	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 − 𝑌) · 𝑍) = ((𝑋 · 𝑍) − (𝑌 · 𝑍)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  ‘cfv 6485  (class class class)co 7356  Basecbs 17170  +_gcplusg 17211  ._rcmulr 17212  Grpcgrp 18900  inv_gcminusg 18901  -_gcsg 18902  Rngcrng 20124

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pow 5294  ax-pr 5362  ax-un 7678  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rmo 3344  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-uni 4839  df-iun 4923  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-tr 5180  df-id 5513  df-eprel 5518  df-po 5526  df-so 5527  df-fr 5571  df-we 5573  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-pred 6252  df-ord 6313  df-on 6314  df-lim 6315  df-suc 6316  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-er 8633  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-nn 12166  df-2 12235  df-sets 17125  df-slot 17143  df-ndx 17155  df-base 17171  df-plusg 17224  df-0g 17395  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-grp 18903  df-minusg 18904  df-sbg 18905  df-abl 19749  df-mgp 20113  df-rng 20125

This theorem is referenced by:  ringsubdir  20280  2idlcpblrng  21264