MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rngsubdir Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rngsubdir 20112
Description: Ring multiplication distributes over subtraction. (subdir 11679 analog.) (Contributed by Jeff Madsen, 19-Jun-2010.) (Revised by Mario Carneiro, 2-Jul-2014.) Generalization of ringsubdir 20244. (Revised by AV, 23-Feb-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
rngsubdi.b ๐ต = (Baseโ€˜๐‘…)
rngsubdi.t ยท = (.rโ€˜๐‘…)
rngsubdi.m โˆ’ = (-gโ€˜๐‘…)
rngsubdi.r (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ Rng)
rngsubdi.x (๐œ‘ โ†’ ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)
rngsubdi.y (๐œ‘ โ†’ ๐‘Œ โˆˆ ๐ต)
rngsubdi.z (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ ๐ต)
Assertion
Ref Expression
rngsubdir (๐œ‘ โ†’ ((๐‘‹ โˆ’ ๐‘Œ) ยท ๐‘) = ((๐‘‹ ยท ๐‘) โˆ’ (๐‘Œ ยท ๐‘)))

Proof of Theorem rngsubdir
StepHypRef Expression
1 rngsubdi.r . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ Rng)
2 rngsubdi.x . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)
3 rngsubdi.b . . . . 5 ๐ต = (Baseโ€˜๐‘…)
4 eqid 2728 . . . . 5 (invgโ€˜๐‘…) = (invgโ€˜๐‘…)
5 rnggrp 20098 . . . . . 6 (๐‘… โˆˆ Rng โ†’ ๐‘… โˆˆ Grp)
61, 5syl 17 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ Grp)
7 rngsubdi.y . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐‘Œ โˆˆ ๐ต)
83, 4, 6, 7grpinvcld 18945 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((invgโ€˜๐‘…)โ€˜๐‘Œ) โˆˆ ๐ต)
9 rngsubdi.z . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ ๐ต)
10 eqid 2728 . . . . 5 (+gโ€˜๐‘…) = (+gโ€˜๐‘…)
11 rngsubdi.t . . . . 5 ยท = (.rโ€˜๐‘…)
123, 10, 11rngdir 20101 . . . 4 ((๐‘… โˆˆ Rng โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ((invgโ€˜๐‘…)โ€˜๐‘Œ) โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต)) โ†’ ((๐‘‹(+gโ€˜๐‘…)((invgโ€˜๐‘…)โ€˜๐‘Œ)) ยท ๐‘) = ((๐‘‹ ยท ๐‘)(+gโ€˜๐‘…)(((invgโ€˜๐‘…)โ€˜๐‘Œ) ยท ๐‘)))
131, 2, 8, 9, 12syl13anc 1370 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘‹(+gโ€˜๐‘…)((invgโ€˜๐‘…)โ€˜๐‘Œ)) ยท ๐‘) = ((๐‘‹ ยท ๐‘)(+gโ€˜๐‘…)(((invgโ€˜๐‘…)โ€˜๐‘Œ) ยท ๐‘)))
143, 11, 4, 1, 7, 9rngmneg1 20107 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (((invgโ€˜๐‘…)โ€˜๐‘Œ) ยท ๐‘) = ((invgโ€˜๐‘…)โ€˜(๐‘Œ ยท ๐‘)))
1514oveq2d 7436 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘‹ ยท ๐‘)(+gโ€˜๐‘…)(((invgโ€˜๐‘…)โ€˜๐‘Œ) ยท ๐‘)) = ((๐‘‹ ยท ๐‘)(+gโ€˜๐‘…)((invgโ€˜๐‘…)โ€˜(๐‘Œ ยท ๐‘))))
1613, 15eqtrd 2768 . 2 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘‹(+gโ€˜๐‘…)((invgโ€˜๐‘…)โ€˜๐‘Œ)) ยท ๐‘) = ((๐‘‹ ยท ๐‘)(+gโ€˜๐‘…)((invgโ€˜๐‘…)โ€˜(๐‘Œ ยท ๐‘))))
17 rngsubdi.m . . . . 5 โˆ’ = (-gโ€˜๐‘…)
183, 10, 4, 17grpsubval 18942 . . . 4 ((๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘‹ โˆ’ ๐‘Œ) = (๐‘‹(+gโ€˜๐‘…)((invgโ€˜๐‘…)โ€˜๐‘Œ)))
192, 7, 18syl2anc 583 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐‘‹ โˆ’ ๐‘Œ) = (๐‘‹(+gโ€˜๐‘…)((invgโ€˜๐‘…)โ€˜๐‘Œ)))
2019oveq1d 7435 . 2 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘‹ โˆ’ ๐‘Œ) ยท ๐‘) = ((๐‘‹(+gโ€˜๐‘…)((invgโ€˜๐‘…)โ€˜๐‘Œ)) ยท ๐‘))
213, 11rngcl 20104 . . . 4 ((๐‘… โˆˆ Rng โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘‹ ยท ๐‘) โˆˆ ๐ต)
221, 2, 9, 21syl3anc 1369 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐‘‹ ยท ๐‘) โˆˆ ๐ต)
233, 11rngcl 20104 . . . 4 ((๐‘… โˆˆ Rng โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘Œ ยท ๐‘) โˆˆ ๐ต)
241, 7, 9, 23syl3anc 1369 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐‘Œ ยท ๐‘) โˆˆ ๐ต)
253, 10, 4, 17grpsubval 18942 . . 3 (((๐‘‹ ยท ๐‘) โˆˆ ๐ต โˆง (๐‘Œ ยท ๐‘) โˆˆ ๐ต) โ†’ ((๐‘‹ ยท ๐‘) โˆ’ (๐‘Œ ยท ๐‘)) = ((๐‘‹ ยท ๐‘)(+gโ€˜๐‘…)((invgโ€˜๐‘…)โ€˜(๐‘Œ ยท ๐‘))))
2622, 24, 25syl2anc 583 . 2 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘‹ ยท ๐‘) โˆ’ (๐‘Œ ยท ๐‘)) = ((๐‘‹ ยท ๐‘)(+gโ€˜๐‘…)((invgโ€˜๐‘…)โ€˜(๐‘Œ ยท ๐‘))))
2716, 20, 263eqtr4d 2778 1 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘‹ โˆ’ ๐‘Œ) ยท ๐‘) = ((๐‘‹ ยท ๐‘) โˆ’ (๐‘Œ ยท ๐‘)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   = wceq 1534   โˆˆ wcel 2099  โ€˜cfv 6548  (class class class)co 7420  Basecbs 17180  +gcplusg 17233  .rcmulr 17234  Grpcgrp 18890  invgcminusg 18891  -gcsg 18892  Rngcrng 20092
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-cnex 11195  ax-resscn 11196  ax-1cn 11197  ax-icn 11198  ax-addcl 11199  ax-addrcl 11200  ax-mulcl 11201  ax-mulrcl 11202  ax-mulcom 11203  ax-addass 11204  ax-mulass 11205  ax-distr 11206  ax-i2m1 11207  ax-1ne0 11208  ax-1rid 11209  ax-rnegex 11210  ax-rrecex 11211  ax-cnre 11212  ax-pre-lttri 11213  ax-pre-lttrn 11214  ax-pre-ltadd 11215  ax-pre-mulgt0 11216
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7871  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-er 8725  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-pnf 11281  df-mnf 11282  df-xr 11283  df-ltxr 11284  df-le 11285  df-sub 11477  df-neg 11478  df-nn 12244  df-2 12306  df-sets 17133  df-slot 17151  df-ndx 17163  df-base 17181  df-plusg 17246  df-0g 17423  df-mgm 18600  df-sgrp 18679  df-mnd 18695  df-grp 18893  df-minusg 18894  df-sbg 18895  df-abl 19738  df-mgp 20075  df-rng 20093
This theorem is referenced by:  ringsubdir  20244  2idlcpblrng  21165
  Copyright terms: Public domain W3C validator