Theorem rngsubdir 20075

Description: Ring multiplication distributes over subtraction. (subdir 11572 analog.) (Contributed by Jeff Madsen, 19-Jun-2010.) (Revised by Mario Carneiro, 2-Jul-2014.) Generalization of ringsubdir 20211. (Revised by AV, 23-Feb-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
rngsubdi.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
rngsubdi.t	⊢ · = (.r‘𝑅)
rngsubdi.m	⊢ − = (-g‘𝑅)
rngsubdi.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Rng)
rngsubdi.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
rngsubdi.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
rngsubdi.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
rngsubdir	⊢ (𝜑 → ((𝑋 − 𝑌) · 𝑍) = ((𝑋 · 𝑍) − (𝑌 · 𝑍)))

Proof of Theorem rngsubdir

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rngsubdi.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Rng)
2		rngsubdi.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
3		rngsubdi.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
4		eqid 2729	. . . . 5 ⊢ (invg‘𝑅) = (invg‘𝑅)
5		rnggrp 20061	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Rng → 𝑅 ∈ Grp)
6	1, 5	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Grp)
7		rngsubdi.y	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
8	3, 4, 6, 7	grpinvcld 18885	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((invg‘𝑅)‘𝑌) ∈ 𝐵)
9		rngsubdi.z	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝐵)
10		eqid 2729	. . . . 5 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
11		rngsubdi.t	. . . . 5 ⊢ · = (.r‘𝑅)
12	3, 10, 11	rngdir 20064	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ((invg‘𝑅)‘𝑌) ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑋(+g‘𝑅)((invg‘𝑅)‘𝑌)) · 𝑍) = ((𝑋 · 𝑍)(+g‘𝑅)(((invg‘𝑅)‘𝑌) · 𝑍)))
13	1, 2, 8, 9, 12	syl13anc 1374	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑋(+g‘𝑅)((invg‘𝑅)‘𝑌)) · 𝑍) = ((𝑋 · 𝑍)(+g‘𝑅)(((invg‘𝑅)‘𝑌) · 𝑍)))
14	3, 11, 4, 1, 7, 9	rngmneg1 20070	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((invg‘𝑅)‘𝑌) · 𝑍) = ((invg‘𝑅)‘(𝑌 · 𝑍)))
15	14	oveq2d 7369	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 · 𝑍)(+g‘𝑅)(((invg‘𝑅)‘𝑌) · 𝑍)) = ((𝑋 · 𝑍)(+g‘𝑅)((invg‘𝑅)‘(𝑌 · 𝑍))))
16	13, 15	eqtrd 2764	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑋(+g‘𝑅)((invg‘𝑅)‘𝑌)) · 𝑍) = ((𝑋 · 𝑍)(+g‘𝑅)((invg‘𝑅)‘(𝑌 · 𝑍))))
17		rngsubdi.m	. . . . 5 ⊢ − = (-g‘𝑅)
18	3, 10, 4, 17	grpsubval 18882	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 − 𝑌) = (𝑋(+g‘𝑅)((invg‘𝑅)‘𝑌)))
19	2, 7, 18	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 − 𝑌) = (𝑋(+g‘𝑅)((invg‘𝑅)‘𝑌)))
20	19	oveq1d 7368	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 − 𝑌) · 𝑍) = ((𝑋(+g‘𝑅)((invg‘𝑅)‘𝑌)) · 𝑍))
21	3, 11	rngcl 20067	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) → (𝑋 · 𝑍) ∈ 𝐵)
22	1, 2, 9, 21	syl3anc 1373	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · 𝑍) ∈ 𝐵)
23	3, 11	rngcl 20067	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) → (𝑌 · 𝑍) ∈ 𝐵)
24	1, 7, 9, 23	syl3anc 1373	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑌 · 𝑍) ∈ 𝐵)
25	3, 10, 4, 17	grpsubval 18882	. . 3 ⊢ (((𝑋 · 𝑍) ∈ 𝐵 ∧ (𝑌 · 𝑍) ∈ 𝐵) → ((𝑋 · 𝑍) − (𝑌 · 𝑍)) = ((𝑋 · 𝑍)(+g‘𝑅)((invg‘𝑅)‘(𝑌 · 𝑍))))
26	22, 24, 25	syl2anc 584	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 · 𝑍) − (𝑌 · 𝑍)) = ((𝑋 · 𝑍)(+g‘𝑅)((invg‘𝑅)‘(𝑌 · 𝑍))))
27	16, 20, 26	3eqtr4d 2774	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 − 𝑌) · 𝑍) = ((𝑋 · 𝑍) − (𝑌 · 𝑍)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ‘cfv 6486  (class class class)co 7353  Basecbs 17138  +_gcplusg 17179  ._rcmulr 17180  Grpcgrp 18830  inv_gcminusg 18831  -_gcsg 18832  Rngcrng 20055

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4862  df-iun 4946  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7310  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-er 8632  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11367  df-neg 11368  df-nn 12147  df-2 12209  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17139  df-plusg 17192  df-0g 17363  df-mgm 18532  df-sgrp 18611  df-mnd 18627  df-grp 18833  df-minusg 18834  df-sbg 18835  df-abl 19680  df-mgp 20044  df-rng 20056

This theorem is referenced by:  ringsubdir  20211  2idlcpblrng  21196