MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rngsubdir Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rngsubdir 20073
Description: Ring multiplication distributes over subtraction. (subdir 11647 analog.) (Contributed by Jeff Madsen, 19-Jun-2010.) (Revised by Mario Carneiro, 2-Jul-2014.) Generalization of ringsubdir 20203. (Revised by AV, 23-Feb-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
rngsubdi.b ๐ต = (Baseโ€˜๐‘…)
rngsubdi.t ยท = (.rโ€˜๐‘…)
rngsubdi.m โˆ’ = (-gโ€˜๐‘…)
rngsubdi.r (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ Rng)
rngsubdi.x (๐œ‘ โ†’ ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)
rngsubdi.y (๐œ‘ โ†’ ๐‘Œ โˆˆ ๐ต)
rngsubdi.z (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ ๐ต)
Assertion
Ref Expression
rngsubdir (๐œ‘ โ†’ ((๐‘‹ โˆ’ ๐‘Œ) ยท ๐‘) = ((๐‘‹ ยท ๐‘) โˆ’ (๐‘Œ ยท ๐‘)))

Proof of Theorem rngsubdir
StepHypRef Expression
1 rngsubdi.r . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ Rng)
2 rngsubdi.x . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)
3 rngsubdi.b . . . . 5 ๐ต = (Baseโ€˜๐‘…)
4 eqid 2724 . . . . 5 (invgโ€˜๐‘…) = (invgโ€˜๐‘…)
5 rnggrp 20059 . . . . . 6 (๐‘… โˆˆ Rng โ†’ ๐‘… โˆˆ Grp)
61, 5syl 17 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ Grp)
7 rngsubdi.y . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐‘Œ โˆˆ ๐ต)
83, 4, 6, 7grpinvcld 18914 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((invgโ€˜๐‘…)โ€˜๐‘Œ) โˆˆ ๐ต)
9 rngsubdi.z . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ ๐ต)
10 eqid 2724 . . . . 5 (+gโ€˜๐‘…) = (+gโ€˜๐‘…)
11 rngsubdi.t . . . . 5 ยท = (.rโ€˜๐‘…)
123, 10, 11rngdir 20062 . . . 4 ((๐‘… โˆˆ Rng โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ((invgโ€˜๐‘…)โ€˜๐‘Œ) โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต)) โ†’ ((๐‘‹(+gโ€˜๐‘…)((invgโ€˜๐‘…)โ€˜๐‘Œ)) ยท ๐‘) = ((๐‘‹ ยท ๐‘)(+gโ€˜๐‘…)(((invgโ€˜๐‘…)โ€˜๐‘Œ) ยท ๐‘)))
131, 2, 8, 9, 12syl13anc 1369 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘‹(+gโ€˜๐‘…)((invgโ€˜๐‘…)โ€˜๐‘Œ)) ยท ๐‘) = ((๐‘‹ ยท ๐‘)(+gโ€˜๐‘…)(((invgโ€˜๐‘…)โ€˜๐‘Œ) ยท ๐‘)))
143, 11, 4, 1, 7, 9rngmneg1 20068 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (((invgโ€˜๐‘…)โ€˜๐‘Œ) ยท ๐‘) = ((invgโ€˜๐‘…)โ€˜(๐‘Œ ยท ๐‘)))
1514oveq2d 7418 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘‹ ยท ๐‘)(+gโ€˜๐‘…)(((invgโ€˜๐‘…)โ€˜๐‘Œ) ยท ๐‘)) = ((๐‘‹ ยท ๐‘)(+gโ€˜๐‘…)((invgโ€˜๐‘…)โ€˜(๐‘Œ ยท ๐‘))))
1613, 15eqtrd 2764 . 2 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘‹(+gโ€˜๐‘…)((invgโ€˜๐‘…)โ€˜๐‘Œ)) ยท ๐‘) = ((๐‘‹ ยท ๐‘)(+gโ€˜๐‘…)((invgโ€˜๐‘…)โ€˜(๐‘Œ ยท ๐‘))))
17 rngsubdi.m . . . . 5 โˆ’ = (-gโ€˜๐‘…)
183, 10, 4, 17grpsubval 18911 . . . 4 ((๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘‹ โˆ’ ๐‘Œ) = (๐‘‹(+gโ€˜๐‘…)((invgโ€˜๐‘…)โ€˜๐‘Œ)))
192, 7, 18syl2anc 583 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐‘‹ โˆ’ ๐‘Œ) = (๐‘‹(+gโ€˜๐‘…)((invgโ€˜๐‘…)โ€˜๐‘Œ)))
2019oveq1d 7417 . 2 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘‹ โˆ’ ๐‘Œ) ยท ๐‘) = ((๐‘‹(+gโ€˜๐‘…)((invgโ€˜๐‘…)โ€˜๐‘Œ)) ยท ๐‘))
213, 11rngcl 20065 . . . 4 ((๐‘… โˆˆ Rng โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘‹ ยท ๐‘) โˆˆ ๐ต)
221, 2, 9, 21syl3anc 1368 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐‘‹ ยท ๐‘) โˆˆ ๐ต)
233, 11rngcl 20065 . . . 4 ((๐‘… โˆˆ Rng โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘Œ ยท ๐‘) โˆˆ ๐ต)
241, 7, 9, 23syl3anc 1368 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐‘Œ ยท ๐‘) โˆˆ ๐ต)
253, 10, 4, 17grpsubval 18911 . . 3 (((๐‘‹ ยท ๐‘) โˆˆ ๐ต โˆง (๐‘Œ ยท ๐‘) โˆˆ ๐ต) โ†’ ((๐‘‹ ยท ๐‘) โˆ’ (๐‘Œ ยท ๐‘)) = ((๐‘‹ ยท ๐‘)(+gโ€˜๐‘…)((invgโ€˜๐‘…)โ€˜(๐‘Œ ยท ๐‘))))
2622, 24, 25syl2anc 583 . 2 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘‹ ยท ๐‘) โˆ’ (๐‘Œ ยท ๐‘)) = ((๐‘‹ ยท ๐‘)(+gโ€˜๐‘…)((invgโ€˜๐‘…)โ€˜(๐‘Œ ยท ๐‘))))
2716, 20, 263eqtr4d 2774 1 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘‹ โˆ’ ๐‘Œ) ยท ๐‘) = ((๐‘‹ ยท ๐‘) โˆ’ (๐‘Œ ยท ๐‘)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098  โ€˜cfv 6534  (class class class)co 7402  Basecbs 17149  +gcplusg 17202  .rcmulr 17203  Grpcgrp 18859  invgcminusg 18860  -gcsg 18861  Rngcrng 20053
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3960  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-op 4628  df-uni 4901  df-iun 4990  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-tr 5257  df-id 5565  df-eprel 5571  df-po 5579  df-so 5580  df-fr 5622  df-we 5624  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-pred 6291  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-riota 7358  df-ov 7405  df-oprab 7406  df-mpo 7407  df-om 7850  df-1st 7969  df-2nd 7970  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8700  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-nn 12212  df-2 12274  df-sets 17102  df-slot 17120  df-ndx 17132  df-base 17150  df-plusg 17215  df-0g 17392  df-mgm 18569  df-sgrp 18648  df-mnd 18664  df-grp 18862  df-minusg 18863  df-sbg 18864  df-abl 19699  df-mgp 20036  df-rng 20054
This theorem is referenced by:  ringsubdir  20203  2idlcpblrng  21124
  Copyright terms: Public domain W3C validator