Theorem prdsrngd 20312

Description: A product of non-unital rings is a non-unital ring. (Contributed by AV, 22-Feb-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
prdsrngd.y	⊢ 𝑌 = (𝑆Xs𝑅)
prdsrngd.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
prdsrngd.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑉)
prdsrngd.r	⊢ (𝜑 → 𝑅:𝐼⟶Rng)

Assertion

Ref	Expression
prdsrngd	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ Rng)

Proof of Theorem prdsrngd

Dummy variables 𝑤 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prdsrngd.y	. . 3 ⊢ 𝑌 = (𝑆Xs𝑅)
2		prdsrngd.i	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
3		prdsrngd.s	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑉)
4		prdsrngd.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅:𝐼⟶Rng)
5		rngabl 20291	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ Rng → 𝑥 ∈ Abel)
6	5	ssriv 3938	. . . 4 ⊢ Rng ⊆ Abel
7		fss 6723	. . . 4 ⊢ ((𝑅:𝐼⟶Rng ∧ Rng ⊆ Abel) → 𝑅:𝐼⟶Abel)
8	4, 6, 7	sylancl 598	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅:𝐼⟶Abel)
9	1, 2, 3, 8	prdsabld 19990	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ Abel)
10		eqid 2762	. . . 4 ⊢ (𝑆Xs(mulGrp ∘ 𝑅)) = (𝑆Xs(mulGrp ∘ 𝑅))
11		rngmgpf 20293	. . . . 5 ⊢ (mulGrp ↾ Rng):Rng⟶Smgrp
12		fco2 6733	. . . . 5 ⊢ (((mulGrp ↾ Rng):Rng⟶Smgrp ∧ 𝑅:𝐼⟶Rng) → (mulGrp ∘ 𝑅):𝐼⟶Smgrp)
13	11, 4, 12	sylancr 599	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (mulGrp ∘ 𝑅):𝐼⟶Smgrp)
14	10, 2, 3, 13	prdssgrpd 18837	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑆Xs(mulGrp ∘ 𝑅)) ∈ Smgrp)
15		fvexd 6897	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (mulGrp‘𝑌) ∈ V)
16		ovexd 7451	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑆Xs(mulGrp ∘ 𝑅)) ∈ V)
17		eqidd 2763	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Base‘(mulGrp‘𝑌)) = (Base‘(mulGrp‘𝑌)))
18		eqid 2762	. . . . . 6 ⊢ (mulGrp‘𝑌) = (mulGrp‘𝑌)
19	4	ffnd 6707	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 Fn 𝐼)
20	1, 18, 10, 2, 3, 19	prdsmgp 20285	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((Base‘(mulGrp‘𝑌)) = (Base‘(𝑆Xs(mulGrp ∘ 𝑅))) ∧ (+g‘(mulGrp‘𝑌)) = (+g‘(𝑆Xs(mulGrp ∘ 𝑅)))))
21	20	simpld 500	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Base‘(mulGrp‘𝑌)) = (Base‘(𝑆Xs(mulGrp ∘ 𝑅))))
22	20	simprd 501	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (+g‘(mulGrp‘𝑌)) = (+g‘(𝑆Xs(mulGrp ∘ 𝑅))))
23	22	oveqdr 7444	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑌)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑌)))) → (𝑥(+g‘(mulGrp‘𝑌))𝑦) = (𝑥(+g‘(𝑆Xs(mulGrp ∘ 𝑅)))𝑦))
24	15, 16, 17, 21, 23	sgrppropd 18835	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((mulGrp‘𝑌) ∈ Smgrp ↔ (𝑆Xs(mulGrp ∘ 𝑅)) ∈ Smgrp))
25	14, 24	mpbird 260	. 2 ⊢ (𝜑 → (mulGrp‘𝑌) ∈ Smgrp)
26	4	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑌) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑌) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑌))) → 𝑅:𝐼⟶Rng)
27	26	ffvelcdmda 7080	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑌) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑌) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑌))) ∧ 𝑤 ∈ 𝐼) → (𝑅‘𝑤) ∈ Rng)
28		eqid 2762	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘𝑌) = (Base‘𝑌)
29	3	adantr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑌) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑌) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑌))) → 𝑆 ∈ 𝑉)
30	29	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑌) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑌) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑌))) ∧ 𝑤 ∈ 𝐼) → 𝑆 ∈ 𝑉)
31	2	adantr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑌) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑌) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑌))) → 𝐼 ∈ 𝑊)
32	31	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑌) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑌) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑌))) ∧ 𝑤 ∈ 𝐼) → 𝐼 ∈ 𝑊)
33	19	adantr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑌) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑌) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑌))) → 𝑅 Fn 𝐼)
34	33	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑌) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑌) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑌))) ∧ 𝑤 ∈ 𝐼) → 𝑅 Fn 𝐼)
35		simplr1 1234	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑌) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑌) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑌))) ∧ 𝑤 ∈ 𝐼) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑌))
36		simpr 490	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑌) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑌) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑌))) ∧ 𝑤 ∈ 𝐼) → 𝑤 ∈ 𝐼)
37	1, 28, 30, 32, 34, 35, 36	prdsbasprj 17561	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑌) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑌) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑌))) ∧ 𝑤 ∈ 𝐼) → (𝑥‘𝑤) ∈ (Base‘(𝑅‘𝑤)))
38		simpr2 1214	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑌) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑌) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑌))) → 𝑦 ∈ (Base‘𝑌))
39	38	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑌) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑌) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑌))) ∧ 𝑤 ∈ 𝐼) → 𝑦 ∈ (Base‘𝑌))
40	1, 28, 30, 32, 34, 39, 36	prdsbasprj 17561	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑌) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑌) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑌))) ∧ 𝑤 ∈ 𝐼) → (𝑦‘𝑤) ∈ (Base‘(𝑅‘𝑤)))
41		simpr3 1215	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑌) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑌) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑌))) → 𝑧 ∈ (Base‘𝑌))
42	41	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑌) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑌) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑌))) ∧ 𝑤 ∈ 𝐼) → 𝑧 ∈ (Base‘𝑌))
43	1, 28, 30, 32, 34, 42, 36	prdsbasprj 17561	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑌) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑌) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑌))) ∧ 𝑤 ∈ 𝐼) → (𝑧‘𝑤) ∈ (Base‘(𝑅‘𝑤)))
44		eqid 2762	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘(𝑅‘𝑤)) = (Base‘(𝑅‘𝑤))
45		eqid 2762	. . . . . . . . 9 ⊢ (+g‘(𝑅‘𝑤)) = (+g‘(𝑅‘𝑤))
46		eqid 2762	. . . . . . . . 9 ⊢ (.r‘(𝑅‘𝑤)) = (.r‘(𝑅‘𝑤))
47	44, 45, 46	rngdi 20296	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅‘𝑤) ∈ Rng ∧ ((𝑥‘𝑤) ∈ (Base‘(𝑅‘𝑤)) ∧ (𝑦‘𝑤) ∈ (Base‘(𝑅‘𝑤)) ∧ (𝑧‘𝑤) ∈ (Base‘(𝑅‘𝑤)))) → ((𝑥‘𝑤)(.r‘(𝑅‘𝑤))((𝑦‘𝑤)(+g‘(𝑅‘𝑤))(𝑧‘𝑤))) = (((𝑥‘𝑤)(.r‘(𝑅‘𝑤))(𝑦‘𝑤))(+g‘(𝑅‘𝑤))((𝑥‘𝑤)(.r‘(𝑅‘𝑤))(𝑧‘𝑤))))
48	27, 37, 40, 43, 47	syl13anc 1399	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑌) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑌) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑌))) ∧ 𝑤 ∈ 𝐼) → ((𝑥‘𝑤)(.r‘(𝑅‘𝑤))((𝑦‘𝑤)(+g‘(𝑅‘𝑤))(𝑧‘𝑤))) = (((𝑥‘𝑤)(.r‘(𝑅‘𝑤))(𝑦‘𝑤))(+g‘(𝑅‘𝑤))((𝑥‘𝑤)(.r‘(𝑅‘𝑤))(𝑧‘𝑤))))
49		eqid 2762	. . . . . . . . 9 ⊢ (+g‘𝑌) = (+g‘𝑌)
50	1, 28, 30, 32, 34, 39, 42, 49, 36	prdsplusgfval 17563	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑌) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑌) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑌))) ∧ 𝑤 ∈ 𝐼) → ((𝑦(+g‘𝑌)𝑧)‘𝑤) = ((𝑦‘𝑤)(+g‘(𝑅‘𝑤))(𝑧‘𝑤)))
51	50	oveq2d 7432	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑌) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑌) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑌))) ∧ 𝑤 ∈ 𝐼) → ((𝑥‘𝑤)(.r‘(𝑅‘𝑤))((𝑦(+g‘𝑌)𝑧)‘𝑤)) = ((𝑥‘𝑤)(.r‘(𝑅‘𝑤))((𝑦‘𝑤)(+g‘(𝑅‘𝑤))(𝑧‘𝑤))))
52		eqid 2762	. . . . . . . . 9 ⊢ (.r‘𝑌) = (.r‘𝑌)
53	1, 28, 30, 32, 34, 35, 39, 52, 36	prdsmulrfval 17565	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑌) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑌) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑌))) ∧ 𝑤 ∈ 𝐼) → ((𝑥(.r‘𝑌)𝑦)‘𝑤) = ((𝑥‘𝑤)(.r‘(𝑅‘𝑤))(𝑦‘𝑤)))
54	1, 28, 30, 32, 34, 35, 42, 52, 36	prdsmulrfval 17565	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑌) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑌) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑌))) ∧ 𝑤 ∈ 𝐼) → ((𝑥(.r‘𝑌)𝑧)‘𝑤) = ((𝑥‘𝑤)(.r‘(𝑅‘𝑤))(𝑧‘𝑤)))
55	53, 54	oveq12d 7434	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑌) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑌) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑌))) ∧ 𝑤 ∈ 𝐼) → (((𝑥(.r‘𝑌)𝑦)‘𝑤)(+g‘(𝑅‘𝑤))((𝑥(.r‘𝑌)𝑧)‘𝑤)) = (((𝑥‘𝑤)(.r‘(𝑅‘𝑤))(𝑦‘𝑤))(+g‘(𝑅‘𝑤))((𝑥‘𝑤)(.r‘(𝑅‘𝑤))(𝑧‘𝑤))))
56	48, 51, 55	3eqtr4d 2807	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑌) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑌) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑌))) ∧ 𝑤 ∈ 𝐼) → ((𝑥‘𝑤)(.r‘(𝑅‘𝑤))((𝑦(+g‘𝑌)𝑧)‘𝑤)) = (((𝑥(.r‘𝑌)𝑦)‘𝑤)(+g‘(𝑅‘𝑤))((𝑥(.r‘𝑌)𝑧)‘𝑤)))
57	56	mpteq2dva 5202	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑌) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑌) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑌))) → (𝑤 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑥‘𝑤)(.r‘(𝑅‘𝑤))((𝑦(+g‘𝑌)𝑧)‘𝑤))) = (𝑤 ∈ 𝐼 ↦ (((𝑥(.r‘𝑌)𝑦)‘𝑤)(+g‘(𝑅‘𝑤))((𝑥(.r‘𝑌)𝑧)‘𝑤))))
58		simpr1 1213	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑌) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑌) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑌))) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑌))
59		rnggrp 20294	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ Rng → 𝑥 ∈ Grp)
60	59	grpmndd 19071	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ Rng → 𝑥 ∈ Mnd)
61	60	ssriv 3938	. . . . . . . . 9 ⊢ Rng ⊆ Mnd
62		fss 6723	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅:𝐼⟶Rng ∧ Rng ⊆ Mnd) → 𝑅:𝐼⟶Mnd)
63	4, 61, 62	sylancl 598	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑅:𝐼⟶Mnd)
64	63	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑌) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑌) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑌))) → 𝑅:𝐼⟶Mnd)
65	1, 28, 49, 29, 31, 64, 38, 41	prdsplusgcl 18877	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑌) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑌) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑌))) → (𝑦(+g‘𝑌)𝑧) ∈ (Base‘𝑌))
66	1, 28, 29, 31, 33, 58, 65, 52	prdsmulrval 17564	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑌) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑌) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑌))) → (𝑥(.r‘𝑌)(𝑦(+g‘𝑌)𝑧)) = (𝑤 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑥‘𝑤)(.r‘(𝑅‘𝑤))((𝑦(+g‘𝑌)𝑧)‘𝑤))))
67	1, 28, 52, 29, 31, 26, 58, 38	prdsmulrngcl 20311	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑌) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑌) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑌))) → (𝑥(.r‘𝑌)𝑦) ∈ (Base‘𝑌))
68	1, 28, 52, 29, 31, 26, 58, 41	prdsmulrngcl 20311	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑌) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑌) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑌))) → (𝑥(.r‘𝑌)𝑧) ∈ (Base‘𝑌))
69	1, 28, 29, 31, 33, 67, 68, 49	prdsplusgval 17562	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑌) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑌) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑌))) → ((𝑥(.r‘𝑌)𝑦)(+g‘𝑌)(𝑥(.r‘𝑌)𝑧)) = (𝑤 ∈ 𝐼 ↦ (((𝑥(.r‘𝑌)𝑦)‘𝑤)(+g‘(𝑅‘𝑤))((𝑥(.r‘𝑌)𝑧)‘𝑤))))
70	57, 66, 69	3eqtr4d 2807	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑌) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑌) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑌))) → (𝑥(.r‘𝑌)(𝑦(+g‘𝑌)𝑧)) = ((𝑥(.r‘𝑌)𝑦)(+g‘𝑌)(𝑥(.r‘𝑌)𝑧)))
71	44, 45, 46	rngdir 20297	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅‘𝑤) ∈ Rng ∧ ((𝑥‘𝑤) ∈ (Base‘(𝑅‘𝑤)) ∧ (𝑦‘𝑤) ∈ (Base‘(𝑅‘𝑤)) ∧ (𝑧‘𝑤) ∈ (Base‘(𝑅‘𝑤)))) → (((𝑥‘𝑤)(+g‘(𝑅‘𝑤))(𝑦‘𝑤))(.r‘(𝑅‘𝑤))(𝑧‘𝑤)) = (((𝑥‘𝑤)(.r‘(𝑅‘𝑤))(𝑧‘𝑤))(+g‘(𝑅‘𝑤))((𝑦‘𝑤)(.r‘(𝑅‘𝑤))(𝑧‘𝑤))))
72	27, 37, 40, 43, 71	syl13anc 1399	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑌) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑌) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑌))) ∧ 𝑤 ∈ 𝐼) → (((𝑥‘𝑤)(+g‘(𝑅‘𝑤))(𝑦‘𝑤))(.r‘(𝑅‘𝑤))(𝑧‘𝑤)) = (((𝑥‘𝑤)(.r‘(𝑅‘𝑤))(𝑧‘𝑤))(+g‘(𝑅‘𝑤))((𝑦‘𝑤)(.r‘(𝑅‘𝑤))(𝑧‘𝑤))))
73	1, 28, 30, 32, 34, 35, 39, 49, 36	prdsplusgfval 17563	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑌) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑌) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑌))) ∧ 𝑤 ∈ 𝐼) → ((𝑥(+g‘𝑌)𝑦)‘𝑤) = ((𝑥‘𝑤)(+g‘(𝑅‘𝑤))(𝑦‘𝑤)))
74	73	oveq1d 7431	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑌) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑌) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑌))) ∧ 𝑤 ∈ 𝐼) → (((𝑥(+g‘𝑌)𝑦)‘𝑤)(.r‘(𝑅‘𝑤))(𝑧‘𝑤)) = (((𝑥‘𝑤)(+g‘(𝑅‘𝑤))(𝑦‘𝑤))(.r‘(𝑅‘𝑤))(𝑧‘𝑤)))
75	1, 28, 30, 32, 34, 39, 42, 52, 36	prdsmulrfval 17565	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑌) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑌) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑌))) ∧ 𝑤 ∈ 𝐼) → ((𝑦(.r‘𝑌)𝑧)‘𝑤) = ((𝑦‘𝑤)(.r‘(𝑅‘𝑤))(𝑧‘𝑤)))
76	54, 75	oveq12d 7434	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑌) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑌) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑌))) ∧ 𝑤 ∈ 𝐼) → (((𝑥(.r‘𝑌)𝑧)‘𝑤)(+g‘(𝑅‘𝑤))((𝑦(.r‘𝑌)𝑧)‘𝑤)) = (((𝑥‘𝑤)(.r‘(𝑅‘𝑤))(𝑧‘𝑤))(+g‘(𝑅‘𝑤))((𝑦‘𝑤)(.r‘(𝑅‘𝑤))(𝑧‘𝑤))))
77	72, 74, 76	3eqtr4d 2807	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑌) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑌) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑌))) ∧ 𝑤 ∈ 𝐼) → (((𝑥(+g‘𝑌)𝑦)‘𝑤)(.r‘(𝑅‘𝑤))(𝑧‘𝑤)) = (((𝑥(.r‘𝑌)𝑧)‘𝑤)(+g‘(𝑅‘𝑤))((𝑦(.r‘𝑌)𝑧)‘𝑤)))
78	77	mpteq2dva 5202	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑌) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑌) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑌))) → (𝑤 ∈ 𝐼 ↦ (((𝑥(+g‘𝑌)𝑦)‘𝑤)(.r‘(𝑅‘𝑤))(𝑧‘𝑤))) = (𝑤 ∈ 𝐼 ↦ (((𝑥(.r‘𝑌)𝑧)‘𝑤)(+g‘(𝑅‘𝑤))((𝑦(.r‘𝑌)𝑧)‘𝑤))))
79	1, 28, 49, 29, 31, 64, 58, 38	prdsplusgcl 18877	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑌) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑌) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑌))) → (𝑥(+g‘𝑌)𝑦) ∈ (Base‘𝑌))
80	1, 28, 29, 31, 33, 79, 41, 52	prdsmulrval 17564	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑌) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑌) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑌))) → ((𝑥(+g‘𝑌)𝑦)(.r‘𝑌)𝑧) = (𝑤 ∈ 𝐼 ↦ (((𝑥(+g‘𝑌)𝑦)‘𝑤)(.r‘(𝑅‘𝑤))(𝑧‘𝑤))))
81	1, 28, 52, 29, 31, 26, 38, 41	prdsmulrngcl 20311	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑌) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑌) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑌))) → (𝑦(.r‘𝑌)𝑧) ∈ (Base‘𝑌))
82	1, 28, 29, 31, 33, 68, 81, 49	prdsplusgval 17562	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑌) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑌) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑌))) → ((𝑥(.r‘𝑌)𝑧)(+g‘𝑌)(𝑦(.r‘𝑌)𝑧)) = (𝑤 ∈ 𝐼 ↦ (((𝑥(.r‘𝑌)𝑧)‘𝑤)(+g‘(𝑅‘𝑤))((𝑦(.r‘𝑌)𝑧)‘𝑤))))
83	78, 80, 82	3eqtr4d 2807	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑌) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑌) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑌))) → ((𝑥(+g‘𝑌)𝑦)(.r‘𝑌)𝑧) = ((𝑥(.r‘𝑌)𝑧)(+g‘𝑌)(𝑦(.r‘𝑌)𝑧)))
84	70, 83	jca 521	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑌) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑌) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑌))) → ((𝑥(.r‘𝑌)(𝑦(+g‘𝑌)𝑧)) = ((𝑥(.r‘𝑌)𝑦)(+g‘𝑌)(𝑥(.r‘𝑌)𝑧)) ∧ ((𝑥(+g‘𝑌)𝑦)(.r‘𝑌)𝑧) = ((𝑥(.r‘𝑌)𝑧)(+g‘𝑌)(𝑦(.r‘𝑌)𝑧))))
85	84	ralrimivvva 3210	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑌)∀𝑦 ∈ (Base‘𝑌)∀𝑧 ∈ (Base‘𝑌)((𝑥(.r‘𝑌)(𝑦(+g‘𝑌)𝑧)) = ((𝑥(.r‘𝑌)𝑦)(+g‘𝑌)(𝑥(.r‘𝑌)𝑧)) ∧ ((𝑥(+g‘𝑌)𝑦)(.r‘𝑌)𝑧) = ((𝑥(.r‘𝑌)𝑧)(+g‘𝑌)(𝑦(.r‘𝑌)𝑧))))
86	28, 18, 49, 52	isrng 20290	. 2 ⊢ (𝑌 ∈ Rng ↔ (𝑌 ∈ Abel ∧ (mulGrp‘𝑌) ∈ Smgrp ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑌)∀𝑦 ∈ (Base‘𝑌)∀𝑧 ∈ (Base‘𝑌)((𝑥(.r‘𝑌)(𝑦(+g‘𝑌)𝑧)) = ((𝑥(.r‘𝑌)𝑦)(+g‘𝑌)(𝑥(.r‘𝑌)𝑧)) ∧ ((𝑥(+g‘𝑌)𝑦)(.r‘𝑌)𝑧) = ((𝑥(.r‘𝑌)𝑧)(+g‘𝑌)(𝑦(.r‘𝑌)𝑧)))))
87	9, 25, 85, 86	syl3anbrc 1362	1 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ Rng)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∀wral 3078  Vcvv 3453   ⊆ wss 3902   ↦ cmpt 5190   ↾ cres 5661   ∘ ccom 5663   Fn wfn 6532  ⟶wf 6533  ‘cfv 6537  (class class class)co 7416  Basecbs 17305  +_gcplusg 17346  ._rcmulr 17347  X_scprds 17534  Smgrpcsgrp 18822  Mndcmnd 18838  Abelcabl 19909  mulGrpcmgp 20274  Rngcrng 20288

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7739  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7866  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-1o 8458  df-er 8699  df-map 8831  df-ixp 8908  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-sup 9415  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11470  df-neg 11471  df-nn 12261  df-2 12330  df-3 12331  df-4 12332  df-5 12333  df-6 12334  df-7 12335  df-8 12336  df-9 12337  df-n0 12532  df-z 12619  df-dec 12740  df-uz 12891  df-fz 13564  df-struct 17243  df-sets 17260  df-slot 17278  df-ndx 17290  df-base 17306  df-plusg 17359  df-mulr 17360  df-sca 17362  df-vsca 17363  df-ip 17364  df-tset 17365  df-ple 17366  df-ds 17368  df-hom 17370  df-cco 17371  df-0g 17530  df-prds 17536  df-mgm 18734  df-sgrp 18823  df-mnd 18839  df-grp 19061  df-minusg 19062  df-cmn 19910  df-abl 19911  df-mgp 20275  df-rng 20289

This theorem is used by:  xpsrngd  20315