Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  rnglz Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rnglz 46256
Description: The zero of a non-unital ring is a left-absorbing element. (Contributed by AV, 17-Apr-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
rngcl.b ๐ต = (Baseโ€˜๐‘…)
rngcl.t ยท = (.rโ€˜๐‘…)
rnglz.z 0 = (0gโ€˜๐‘…)
Assertion
Ref Expression
rnglz ((๐‘… โˆˆ Rng โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โ†’ ( 0 ยท ๐‘‹) = 0 )

Proof of Theorem rnglz
StepHypRef Expression
1 rngabl 46249 . . . . . . 7 (๐‘… โˆˆ Rng โ†’ ๐‘… โˆˆ Abel)
2 ablgrp 19574 . . . . . . 7 (๐‘… โˆˆ Abel โ†’ ๐‘… โˆˆ Grp)
31, 2syl 17 . . . . . 6 (๐‘… โˆˆ Rng โ†’ ๐‘… โˆˆ Grp)
4 rngcl.b . . . . . . 7 ๐ต = (Baseโ€˜๐‘…)
5 rnglz.z . . . . . . 7 0 = (0gโ€˜๐‘…)
64, 5grpidcl 18785 . . . . . 6 (๐‘… โˆˆ Grp โ†’ 0 โˆˆ ๐ต)
7 eqid 2737 . . . . . . 7 (+gโ€˜๐‘…) = (+gโ€˜๐‘…)
84, 7, 5grplid 18787 . . . . . 6 ((๐‘… โˆˆ Grp โˆง 0 โˆˆ ๐ต) โ†’ ( 0 (+gโ€˜๐‘…) 0 ) = 0 )
93, 6, 8syl2anc2 586 . . . . 5 (๐‘… โˆˆ Rng โ†’ ( 0 (+gโ€˜๐‘…) 0 ) = 0 )
109adantr 482 . . . 4 ((๐‘… โˆˆ Rng โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โ†’ ( 0 (+gโ€˜๐‘…) 0 ) = 0 )
1110oveq1d 7377 . . 3 ((๐‘… โˆˆ Rng โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โ†’ (( 0 (+gโ€˜๐‘…) 0 ) ยท ๐‘‹) = ( 0 ยท ๐‘‹))
12 simpl 484 . . . 4 ((๐‘… โˆˆ Rng โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โ†’ ๐‘… โˆˆ Rng)
133, 6syl 17 . . . . . . 7 (๐‘… โˆˆ Rng โ†’ 0 โˆˆ ๐ต)
1413, 13jca 513 . . . . . 6 (๐‘… โˆˆ Rng โ†’ ( 0 โˆˆ ๐ต โˆง 0 โˆˆ ๐ต))
1514anim1i 616 . . . . 5 ((๐‘… โˆˆ Rng โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โ†’ (( 0 โˆˆ ๐ต โˆง 0 โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต))
16 df-3an 1090 . . . . 5 (( 0 โˆˆ ๐ต โˆง 0 โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โ†” (( 0 โˆˆ ๐ต โˆง 0 โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต))
1715, 16sylibr 233 . . . 4 ((๐‘… โˆˆ Rng โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โ†’ ( 0 โˆˆ ๐ต โˆง 0 โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต))
18 rngcl.t . . . . 5 ยท = (.rโ€˜๐‘…)
194, 7, 18rngdir 46254 . . . 4 ((๐‘… โˆˆ Rng โˆง ( 0 โˆˆ ๐ต โˆง 0 โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)) โ†’ (( 0 (+gโ€˜๐‘…) 0 ) ยท ๐‘‹) = (( 0 ยท ๐‘‹)(+gโ€˜๐‘…)( 0 ยท ๐‘‹)))
2012, 17, 19syl2anc 585 . . 3 ((๐‘… โˆˆ Rng โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โ†’ (( 0 (+gโ€˜๐‘…) 0 ) ยท ๐‘‹) = (( 0 ยท ๐‘‹)(+gโ€˜๐‘…)( 0 ยท ๐‘‹)))
213adantr 482 . . . 4 ((๐‘… โˆˆ Rng โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โ†’ ๐‘… โˆˆ Grp)
2213adantr 482 . . . . 5 ((๐‘… โˆˆ Rng โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โ†’ 0 โˆˆ ๐ต)
23 simpr 486 . . . . 5 ((๐‘… โˆˆ Rng โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โ†’ ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)
244, 18rngcl 46255 . . . . 5 ((๐‘… โˆˆ Rng โˆง 0 โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โ†’ ( 0 ยท ๐‘‹) โˆˆ ๐ต)
2512, 22, 23, 24syl3anc 1372 . . . 4 ((๐‘… โˆˆ Rng โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โ†’ ( 0 ยท ๐‘‹) โˆˆ ๐ต)
264, 7, 5grprid 18788 . . . . 5 ((๐‘… โˆˆ Grp โˆง ( 0 ยท ๐‘‹) โˆˆ ๐ต) โ†’ (( 0 ยท ๐‘‹)(+gโ€˜๐‘…) 0 ) = ( 0 ยท ๐‘‹))
2726eqcomd 2743 . . . 4 ((๐‘… โˆˆ Grp โˆง ( 0 ยท ๐‘‹) โˆˆ ๐ต) โ†’ ( 0 ยท ๐‘‹) = (( 0 ยท ๐‘‹)(+gโ€˜๐‘…) 0 ))
2821, 25, 27syl2anc 585 . . 3 ((๐‘… โˆˆ Rng โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โ†’ ( 0 ยท ๐‘‹) = (( 0 ยท ๐‘‹)(+gโ€˜๐‘…) 0 ))
2911, 20, 283eqtr3d 2785 . 2 ((๐‘… โˆˆ Rng โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โ†’ (( 0 ยท ๐‘‹)(+gโ€˜๐‘…)( 0 ยท ๐‘‹)) = (( 0 ยท ๐‘‹)(+gโ€˜๐‘…) 0 ))
304, 7grplcan 18816 . . 3 ((๐‘… โˆˆ Grp โˆง (( 0 ยท ๐‘‹) โˆˆ ๐ต โˆง 0 โˆˆ ๐ต โˆง ( 0 ยท ๐‘‹) โˆˆ ๐ต)) โ†’ ((( 0 ยท ๐‘‹)(+gโ€˜๐‘…)( 0 ยท ๐‘‹)) = (( 0 ยท ๐‘‹)(+gโ€˜๐‘…) 0 ) โ†” ( 0 ยท ๐‘‹) = 0 ))
3121, 25, 22, 25, 30syl13anc 1373 . 2 ((๐‘… โˆˆ Rng โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โ†’ ((( 0 ยท ๐‘‹)(+gโ€˜๐‘…)( 0 ยท ๐‘‹)) = (( 0 ยท ๐‘‹)(+gโ€˜๐‘…) 0 ) โ†” ( 0 ยท ๐‘‹) = 0 ))
3229, 31mpbid 231 1 ((๐‘… โˆˆ Rng โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โ†’ ( 0 ยท ๐‘‹) = 0 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 397   โˆง w3a 1088   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107  โ€˜cfv 6501  (class class class)co 7362  Basecbs 17090  +gcplusg 17140  .rcmulr 17141  0gc0g 17328  Grpcgrp 18755  Abelcabl 19570  Rngcrng 46246
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-er 8655  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-nn 12161  df-2 12223  df-sets 17043  df-slot 17061  df-ndx 17073  df-base 17091  df-plusg 17153  df-0g 17330  df-mgm 18504  df-sgrp 18553  df-mnd 18564  df-grp 18758  df-minusg 18759  df-abl 19572  df-mgp 19904  df-rng 46247
This theorem is referenced by:  zrrnghm  46289
  Copyright terms: Public domain W3C validator