Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  rnglz Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rnglz 44503
Description: The zero of a nonunital ring is a left-absorbing element. (Contributed by AV, 17-Apr-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
rngcl.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
rngcl.t · = (.r𝑅)
rnglz.z 0 = (0g𝑅)
Assertion
Ref Expression
rnglz ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑋𝐵) → ( 0 · 𝑋) = 0 )

Proof of Theorem rnglz
StepHypRef Expression
1 rngabl 44496 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ Rng → 𝑅 ∈ Abel)
2 ablgrp 18903 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ Abel → 𝑅 ∈ Grp)
31, 2syl 17 . . . . . 6 (𝑅 ∈ Rng → 𝑅 ∈ Grp)
4 rngcl.b . . . . . . 7 𝐵 = (Base‘𝑅)
5 rnglz.z . . . . . . 7 0 = (0g𝑅)
64, 5grpidcl 18123 . . . . . 6 (𝑅 ∈ Grp → 0𝐵)
7 eqid 2798 . . . . . . 7 (+g𝑅) = (+g𝑅)
84, 7, 5grplid 18125 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Grp ∧ 0𝐵) → ( 0 (+g𝑅) 0 ) = 0 )
93, 6, 8syl2anc2 588 . . . . 5 (𝑅 ∈ Rng → ( 0 (+g𝑅) 0 ) = 0 )
109adantr 484 . . . 4 ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑋𝐵) → ( 0 (+g𝑅) 0 ) = 0 )
1110oveq1d 7150 . . 3 ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑋𝐵) → (( 0 (+g𝑅) 0 ) · 𝑋) = ( 0 · 𝑋))
12 simpl 486 . . . 4 ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑋𝐵) → 𝑅 ∈ Rng)
133, 6syl 17 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ Rng → 0𝐵)
1413, 13jca 515 . . . . . 6 (𝑅 ∈ Rng → ( 0𝐵0𝐵))
1514anim1i 617 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑋𝐵) → (( 0𝐵0𝐵) ∧ 𝑋𝐵))
16 df-3an 1086 . . . . 5 (( 0𝐵0𝐵𝑋𝐵) ↔ (( 0𝐵0𝐵) ∧ 𝑋𝐵))
1715, 16sylibr 237 . . . 4 ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑋𝐵) → ( 0𝐵0𝐵𝑋𝐵))
18 rngcl.t . . . . 5 · = (.r𝑅)
194, 7, 18rngdir 44501 . . . 4 ((𝑅 ∈ Rng ∧ ( 0𝐵0𝐵𝑋𝐵)) → (( 0 (+g𝑅) 0 ) · 𝑋) = (( 0 · 𝑋)(+g𝑅)( 0 · 𝑋)))
2012, 17, 19syl2anc 587 . . 3 ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑋𝐵) → (( 0 (+g𝑅) 0 ) · 𝑋) = (( 0 · 𝑋)(+g𝑅)( 0 · 𝑋)))
213adantr 484 . . . 4 ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑋𝐵) → 𝑅 ∈ Grp)
2213adantr 484 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑋𝐵) → 0𝐵)
23 simpr 488 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑋𝐵) → 𝑋𝐵)
244, 18rngcl 44502 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Rng ∧ 0𝐵𝑋𝐵) → ( 0 · 𝑋) ∈ 𝐵)
2512, 22, 23, 24syl3anc 1368 . . . 4 ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑋𝐵) → ( 0 · 𝑋) ∈ 𝐵)
264, 7, 5grprid 18126 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Grp ∧ ( 0 · 𝑋) ∈ 𝐵) → (( 0 · 𝑋)(+g𝑅) 0 ) = ( 0 · 𝑋))
2726eqcomd 2804 . . . 4 ((𝑅 ∈ Grp ∧ ( 0 · 𝑋) ∈ 𝐵) → ( 0 · 𝑋) = (( 0 · 𝑋)(+g𝑅) 0 ))
2821, 25, 27syl2anc 587 . . 3 ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑋𝐵) → ( 0 · 𝑋) = (( 0 · 𝑋)(+g𝑅) 0 ))
2911, 20, 283eqtr3d 2841 . 2 ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑋𝐵) → (( 0 · 𝑋)(+g𝑅)( 0 · 𝑋)) = (( 0 · 𝑋)(+g𝑅) 0 ))
304, 7grplcan 18153 . . 3 ((𝑅 ∈ Grp ∧ (( 0 · 𝑋) ∈ 𝐵0𝐵 ∧ ( 0 · 𝑋) ∈ 𝐵)) → ((( 0 · 𝑋)(+g𝑅)( 0 · 𝑋)) = (( 0 · 𝑋)(+g𝑅) 0 ) ↔ ( 0 · 𝑋) = 0 ))
3121, 25, 22, 25, 30syl13anc 1369 . 2 ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑋𝐵) → ((( 0 · 𝑋)(+g𝑅)( 0 · 𝑋)) = (( 0 · 𝑋)(+g𝑅) 0 ) ↔ ( 0 · 𝑋) = 0 ))
3229, 31mpbid 235 1 ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑋𝐵) → ( 0 · 𝑋) = 0 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399  w3a 1084   = wceq 1538  wcel 2111  cfv 6324  (class class class)co 7135  Basecbs 16475  +gcplusg 16557  .rcmulr 16558  0gc0g 16705  Grpcgrp 18095  Abelcabl 18899  Rngcrng 44493
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-om 7561  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-er 8272  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-nn 11626  df-2 11688  df-ndx 16478  df-slot 16479  df-base 16481  df-sets 16482  df-plusg 16570  df-0g 16707  df-mgm 17844  df-sgrp 17893  df-mnd 17904  df-grp 18098  df-minusg 18099  df-abl 18901  df-mgp 19233  df-rng0 44494
This theorem is referenced by:  zrrnghm  44536
  Copyright terms: Public domain W3C validator