MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rnglz Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rnglz 20105
Description: The zero of a non-unital ring is a left-absorbing element. (Contributed by FL, 31-Aug-2009.) Generalization of ringlz 20229. (Revised by AV, 17-Apr-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
rngcl.b ๐ต = (Baseโ€˜๐‘…)
rngcl.t ยท = (.rโ€˜๐‘…)
rnglz.z 0 = (0gโ€˜๐‘…)
Assertion
Ref Expression
rnglz ((๐‘… โˆˆ Rng โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โ†’ ( 0 ยท ๐‘‹) = 0 )

Proof of Theorem rnglz
StepHypRef Expression
1 rngabl 20095 . . . . . . 7 (๐‘… โˆˆ Rng โ†’ ๐‘… โˆˆ Abel)
2 ablgrp 19740 . . . . . . 7 (๐‘… โˆˆ Abel โ†’ ๐‘… โˆˆ Grp)
31, 2syl 17 . . . . . 6 (๐‘… โˆˆ Rng โ†’ ๐‘… โˆˆ Grp)
4 rngcl.b . . . . . . 7 ๐ต = (Baseโ€˜๐‘…)
5 rnglz.z . . . . . . 7 0 = (0gโ€˜๐‘…)
64, 5grpidcl 18922 . . . . . 6 (๐‘… โˆˆ Grp โ†’ 0 โˆˆ ๐ต)
7 eqid 2728 . . . . . . 7 (+gโ€˜๐‘…) = (+gโ€˜๐‘…)
84, 7, 5grplid 18924 . . . . . 6 ((๐‘… โˆˆ Grp โˆง 0 โˆˆ ๐ต) โ†’ ( 0 (+gโ€˜๐‘…) 0 ) = 0 )
93, 6, 8syl2anc2 584 . . . . 5 (๐‘… โˆˆ Rng โ†’ ( 0 (+gโ€˜๐‘…) 0 ) = 0 )
109adantr 480 . . . 4 ((๐‘… โˆˆ Rng โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โ†’ ( 0 (+gโ€˜๐‘…) 0 ) = 0 )
1110oveq1d 7435 . . 3 ((๐‘… โˆˆ Rng โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โ†’ (( 0 (+gโ€˜๐‘…) 0 ) ยท ๐‘‹) = ( 0 ยท ๐‘‹))
12 simpl 482 . . . 4 ((๐‘… โˆˆ Rng โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โ†’ ๐‘… โˆˆ Rng)
133, 6syl 17 . . . . . . 7 (๐‘… โˆˆ Rng โ†’ 0 โˆˆ ๐ต)
1413, 13jca 511 . . . . . 6 (๐‘… โˆˆ Rng โ†’ ( 0 โˆˆ ๐ต โˆง 0 โˆˆ ๐ต))
1514anim1i 614 . . . . 5 ((๐‘… โˆˆ Rng โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โ†’ (( 0 โˆˆ ๐ต โˆง 0 โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต))
16 df-3an 1087 . . . . 5 (( 0 โˆˆ ๐ต โˆง 0 โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โ†” (( 0 โˆˆ ๐ต โˆง 0 โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต))
1715, 16sylibr 233 . . . 4 ((๐‘… โˆˆ Rng โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โ†’ ( 0 โˆˆ ๐ต โˆง 0 โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต))
18 rngcl.t . . . . 5 ยท = (.rโ€˜๐‘…)
194, 7, 18rngdir 20101 . . . 4 ((๐‘… โˆˆ Rng โˆง ( 0 โˆˆ ๐ต โˆง 0 โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)) โ†’ (( 0 (+gโ€˜๐‘…) 0 ) ยท ๐‘‹) = (( 0 ยท ๐‘‹)(+gโ€˜๐‘…)( 0 ยท ๐‘‹)))
2012, 17, 19syl2anc 583 . . 3 ((๐‘… โˆˆ Rng โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โ†’ (( 0 (+gโ€˜๐‘…) 0 ) ยท ๐‘‹) = (( 0 ยท ๐‘‹)(+gโ€˜๐‘…)( 0 ยท ๐‘‹)))
213adantr 480 . . . 4 ((๐‘… โˆˆ Rng โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โ†’ ๐‘… โˆˆ Grp)
2213adantr 480 . . . . 5 ((๐‘… โˆˆ Rng โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โ†’ 0 โˆˆ ๐ต)
23 simpr 484 . . . . 5 ((๐‘… โˆˆ Rng โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โ†’ ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)
244, 18rngcl 20104 . . . . 5 ((๐‘… โˆˆ Rng โˆง 0 โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โ†’ ( 0 ยท ๐‘‹) โˆˆ ๐ต)
2512, 22, 23, 24syl3anc 1369 . . . 4 ((๐‘… โˆˆ Rng โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โ†’ ( 0 ยท ๐‘‹) โˆˆ ๐ต)
264, 7, 5grprid 18925 . . . . 5 ((๐‘… โˆˆ Grp โˆง ( 0 ยท ๐‘‹) โˆˆ ๐ต) โ†’ (( 0 ยท ๐‘‹)(+gโ€˜๐‘…) 0 ) = ( 0 ยท ๐‘‹))
2726eqcomd 2734 . . . 4 ((๐‘… โˆˆ Grp โˆง ( 0 ยท ๐‘‹) โˆˆ ๐ต) โ†’ ( 0 ยท ๐‘‹) = (( 0 ยท ๐‘‹)(+gโ€˜๐‘…) 0 ))
2821, 25, 27syl2anc 583 . . 3 ((๐‘… โˆˆ Rng โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โ†’ ( 0 ยท ๐‘‹) = (( 0 ยท ๐‘‹)(+gโ€˜๐‘…) 0 ))
2911, 20, 283eqtr3d 2776 . 2 ((๐‘… โˆˆ Rng โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โ†’ (( 0 ยท ๐‘‹)(+gโ€˜๐‘…)( 0 ยท ๐‘‹)) = (( 0 ยท ๐‘‹)(+gโ€˜๐‘…) 0 ))
304, 7grplcan 18957 . . 3 ((๐‘… โˆˆ Grp โˆง (( 0 ยท ๐‘‹) โˆˆ ๐ต โˆง 0 โˆˆ ๐ต โˆง ( 0 ยท ๐‘‹) โˆˆ ๐ต)) โ†’ ((( 0 ยท ๐‘‹)(+gโ€˜๐‘…)( 0 ยท ๐‘‹)) = (( 0 ยท ๐‘‹)(+gโ€˜๐‘…) 0 ) โ†” ( 0 ยท ๐‘‹) = 0 ))
3121, 25, 22, 25, 30syl13anc 1370 . 2 ((๐‘… โˆˆ Rng โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โ†’ ((( 0 ยท ๐‘‹)(+gโ€˜๐‘…)( 0 ยท ๐‘‹)) = (( 0 ยท ๐‘‹)(+gโ€˜๐‘…) 0 ) โ†” ( 0 ยท ๐‘‹) = 0 ))
3229, 31mpbid 231 1 ((๐‘… โˆˆ Rng โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โ†’ ( 0 ยท ๐‘‹) = 0 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 395   โˆง w3a 1085   = wceq 1534   โˆˆ wcel 2099  โ€˜cfv 6548  (class class class)co 7420  Basecbs 17180  +gcplusg 17233  .rcmulr 17234  0gc0g 17421  Grpcgrp 18890  Abelcabl 19736  Rngcrng 20092
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-cnex 11195  ax-resscn 11196  ax-1cn 11197  ax-icn 11198  ax-addcl 11199  ax-addrcl 11200  ax-mulcl 11201  ax-mulrcl 11202  ax-mulcom 11203  ax-addass 11204  ax-mulass 11205  ax-distr 11206  ax-i2m1 11207  ax-1ne0 11208  ax-1rid 11209  ax-rnegex 11210  ax-rrecex 11211  ax-cnre 11212  ax-pre-lttri 11213  ax-pre-lttrn 11214  ax-pre-ltadd 11215  ax-pre-mulgt0 11216
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7871  df-2nd 7994  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-er 8725  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-pnf 11281  df-mnf 11282  df-xr 11283  df-ltxr 11284  df-le 11285  df-sub 11477  df-neg 11478  df-nn 12244  df-2 12306  df-sets 17133  df-slot 17151  df-ndx 17163  df-base 17181  df-plusg 17246  df-0g 17423  df-mgm 18600  df-sgrp 18679  df-mnd 18695  df-grp 18893  df-minusg 18894  df-abl 19738  df-mgp 20075  df-rng 20093
This theorem is referenced by:  rngmneg1  20107  ringlz  20229  zrrnghm  20473  cntzsubrng  20504
  Copyright terms: Public domain W3C validator