MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rnglidlrng Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rnglidlrng 21105
Description: A (left) ideal of a non-unital ring is a non-unital ring. (Contributed by AV, 17-Feb-2020.) Generalization for non-unital rings. The assumption π‘ˆ ∈ (SubGrpβ€˜π‘…) is required because a left ideal of a non-unital ring does not have to be a subgroup. (Revised by AV, 11-Mar-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
rnglidlabl.l 𝐿 = (LIdealβ€˜π‘…)
rnglidlabl.i 𝐼 = (𝑅 β†Ύs π‘ˆ)
Assertion
Ref Expression
rnglidlrng ((𝑅 ∈ Rng ∧ π‘ˆ ∈ 𝐿 ∧ π‘ˆ ∈ (SubGrpβ€˜π‘…)) β†’ 𝐼 ∈ Rng)

Proof of Theorem rnglidlrng
Dummy variables π‘Ž 𝑏 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rngabl 20060 . . . 4 (𝑅 ∈ Rng β†’ 𝑅 ∈ Abel)
213ad2ant1 1130 . . 3 ((𝑅 ∈ Rng ∧ π‘ˆ ∈ 𝐿 ∧ π‘ˆ ∈ (SubGrpβ€˜π‘…)) β†’ 𝑅 ∈ Abel)
3 simp3 1135 . . 3 ((𝑅 ∈ Rng ∧ π‘ˆ ∈ 𝐿 ∧ π‘ˆ ∈ (SubGrpβ€˜π‘…)) β†’ π‘ˆ ∈ (SubGrpβ€˜π‘…))
4 rnglidlabl.i . . . 4 𝐼 = (𝑅 β†Ύs π‘ˆ)
54subgabl 19756 . . 3 ((𝑅 ∈ Abel ∧ π‘ˆ ∈ (SubGrpβ€˜π‘…)) β†’ 𝐼 ∈ Abel)
62, 3, 5syl2anc 583 . 2 ((𝑅 ∈ Rng ∧ π‘ˆ ∈ 𝐿 ∧ π‘ˆ ∈ (SubGrpβ€˜π‘…)) β†’ 𝐼 ∈ Abel)
7 eqid 2726 . . . 4 (0gβ€˜π‘…) = (0gβ€˜π‘…)
87subg0cl 19061 . . 3 (π‘ˆ ∈ (SubGrpβ€˜π‘…) β†’ (0gβ€˜π‘…) ∈ π‘ˆ)
9 rnglidlabl.l . . . 4 𝐿 = (LIdealβ€˜π‘…)
109, 4, 7rnglidlmsgrp 21104 . . 3 ((𝑅 ∈ Rng ∧ π‘ˆ ∈ 𝐿 ∧ (0gβ€˜π‘…) ∈ π‘ˆ) β†’ (mulGrpβ€˜πΌ) ∈ Smgrp)
118, 10syl3an3 1162 . 2 ((𝑅 ∈ Rng ∧ π‘ˆ ∈ 𝐿 ∧ π‘ˆ ∈ (SubGrpβ€˜π‘…)) β†’ (mulGrpβ€˜πΌ) ∈ Smgrp)
12 simpl1 1188 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Rng ∧ π‘ˆ ∈ 𝐿 ∧ π‘ˆ ∈ (SubGrpβ€˜π‘…)) ∧ (π‘Ž ∈ (Baseβ€˜πΌ) ∧ 𝑏 ∈ (Baseβ€˜πΌ) ∧ 𝑐 ∈ (Baseβ€˜πΌ))) β†’ 𝑅 ∈ Rng)
139, 4lidlssbas 21072 . . . . . . . . 9 (π‘ˆ ∈ 𝐿 β†’ (Baseβ€˜πΌ) βŠ† (Baseβ€˜π‘…))
1413sseld 3976 . . . . . . . 8 (π‘ˆ ∈ 𝐿 β†’ (π‘Ž ∈ (Baseβ€˜πΌ) β†’ π‘Ž ∈ (Baseβ€˜π‘…)))
1513sseld 3976 . . . . . . . 8 (π‘ˆ ∈ 𝐿 β†’ (𝑏 ∈ (Baseβ€˜πΌ) β†’ 𝑏 ∈ (Baseβ€˜π‘…)))
1613sseld 3976 . . . . . . . 8 (π‘ˆ ∈ 𝐿 β†’ (𝑐 ∈ (Baseβ€˜πΌ) β†’ 𝑐 ∈ (Baseβ€˜π‘…)))
1714, 15, 163anim123d 1439 . . . . . . 7 (π‘ˆ ∈ 𝐿 β†’ ((π‘Ž ∈ (Baseβ€˜πΌ) ∧ 𝑏 ∈ (Baseβ€˜πΌ) ∧ 𝑐 ∈ (Baseβ€˜πΌ)) β†’ (π‘Ž ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ 𝑏 ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ 𝑐 ∈ (Baseβ€˜π‘…))))
18173ad2ant2 1131 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Rng ∧ π‘ˆ ∈ 𝐿 ∧ π‘ˆ ∈ (SubGrpβ€˜π‘…)) β†’ ((π‘Ž ∈ (Baseβ€˜πΌ) ∧ 𝑏 ∈ (Baseβ€˜πΌ) ∧ 𝑐 ∈ (Baseβ€˜πΌ)) β†’ (π‘Ž ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ 𝑏 ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ 𝑐 ∈ (Baseβ€˜π‘…))))
1918imp 406 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Rng ∧ π‘ˆ ∈ 𝐿 ∧ π‘ˆ ∈ (SubGrpβ€˜π‘…)) ∧ (π‘Ž ∈ (Baseβ€˜πΌ) ∧ 𝑏 ∈ (Baseβ€˜πΌ) ∧ 𝑐 ∈ (Baseβ€˜πΌ))) β†’ (π‘Ž ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ 𝑏 ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ 𝑐 ∈ (Baseβ€˜π‘…)))
20 eqid 2726 . . . . . 6 (Baseβ€˜π‘…) = (Baseβ€˜π‘…)
21 eqid 2726 . . . . . 6 (+gβ€˜π‘…) = (+gβ€˜π‘…)
22 eqid 2726 . . . . . 6 (.rβ€˜π‘…) = (.rβ€˜π‘…)
2320, 21, 22rngdi 20065 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Rng ∧ (π‘Ž ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ 𝑏 ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ 𝑐 ∈ (Baseβ€˜π‘…))) β†’ (π‘Ž(.rβ€˜π‘…)(𝑏(+gβ€˜π‘…)𝑐)) = ((π‘Ž(.rβ€˜π‘…)𝑏)(+gβ€˜π‘…)(π‘Ž(.rβ€˜π‘…)𝑐)))
2412, 19, 23syl2anc 583 . . . 4 (((𝑅 ∈ Rng ∧ π‘ˆ ∈ 𝐿 ∧ π‘ˆ ∈ (SubGrpβ€˜π‘…)) ∧ (π‘Ž ∈ (Baseβ€˜πΌ) ∧ 𝑏 ∈ (Baseβ€˜πΌ) ∧ 𝑐 ∈ (Baseβ€˜πΌ))) β†’ (π‘Ž(.rβ€˜π‘…)(𝑏(+gβ€˜π‘…)𝑐)) = ((π‘Ž(.rβ€˜π‘…)𝑏)(+gβ€˜π‘…)(π‘Ž(.rβ€˜π‘…)𝑐)))
2520, 21, 22rngdir 20066 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Rng ∧ (π‘Ž ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ 𝑏 ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ 𝑐 ∈ (Baseβ€˜π‘…))) β†’ ((π‘Ž(+gβ€˜π‘…)𝑏)(.rβ€˜π‘…)𝑐) = ((π‘Ž(.rβ€˜π‘…)𝑐)(+gβ€˜π‘…)(𝑏(.rβ€˜π‘…)𝑐)))
2612, 19, 25syl2anc 583 . . . 4 (((𝑅 ∈ Rng ∧ π‘ˆ ∈ 𝐿 ∧ π‘ˆ ∈ (SubGrpβ€˜π‘…)) ∧ (π‘Ž ∈ (Baseβ€˜πΌ) ∧ 𝑏 ∈ (Baseβ€˜πΌ) ∧ 𝑐 ∈ (Baseβ€˜πΌ))) β†’ ((π‘Ž(+gβ€˜π‘…)𝑏)(.rβ€˜π‘…)𝑐) = ((π‘Ž(.rβ€˜π‘…)𝑐)(+gβ€˜π‘…)(𝑏(.rβ€˜π‘…)𝑐)))
274, 22ressmulr 17261 . . . . . . . . . 10 (π‘ˆ ∈ 𝐿 β†’ (.rβ€˜π‘…) = (.rβ€˜πΌ))
2827eqcomd 2732 . . . . . . . . 9 (π‘ˆ ∈ 𝐿 β†’ (.rβ€˜πΌ) = (.rβ€˜π‘…))
29 eqidd 2727 . . . . . . . . 9 (π‘ˆ ∈ 𝐿 β†’ π‘Ž = π‘Ž)
304, 21ressplusg 17244 . . . . . . . . . . 11 (π‘ˆ ∈ 𝐿 β†’ (+gβ€˜π‘…) = (+gβ€˜πΌ))
3130eqcomd 2732 . . . . . . . . . 10 (π‘ˆ ∈ 𝐿 β†’ (+gβ€˜πΌ) = (+gβ€˜π‘…))
3231oveqd 7422 . . . . . . . . 9 (π‘ˆ ∈ 𝐿 β†’ (𝑏(+gβ€˜πΌ)𝑐) = (𝑏(+gβ€˜π‘…)𝑐))
3328, 29, 32oveq123d 7426 . . . . . . . 8 (π‘ˆ ∈ 𝐿 β†’ (π‘Ž(.rβ€˜πΌ)(𝑏(+gβ€˜πΌ)𝑐)) = (π‘Ž(.rβ€˜π‘…)(𝑏(+gβ€˜π‘…)𝑐)))
3428oveqd 7422 . . . . . . . . 9 (π‘ˆ ∈ 𝐿 β†’ (π‘Ž(.rβ€˜πΌ)𝑏) = (π‘Ž(.rβ€˜π‘…)𝑏))
3528oveqd 7422 . . . . . . . . 9 (π‘ˆ ∈ 𝐿 β†’ (π‘Ž(.rβ€˜πΌ)𝑐) = (π‘Ž(.rβ€˜π‘…)𝑐))
3631, 34, 35oveq123d 7426 . . . . . . . 8 (π‘ˆ ∈ 𝐿 β†’ ((π‘Ž(.rβ€˜πΌ)𝑏)(+gβ€˜πΌ)(π‘Ž(.rβ€˜πΌ)𝑐)) = ((π‘Ž(.rβ€˜π‘…)𝑏)(+gβ€˜π‘…)(π‘Ž(.rβ€˜π‘…)𝑐)))
3733, 36eqeq12d 2742 . . . . . . 7 (π‘ˆ ∈ 𝐿 β†’ ((π‘Ž(.rβ€˜πΌ)(𝑏(+gβ€˜πΌ)𝑐)) = ((π‘Ž(.rβ€˜πΌ)𝑏)(+gβ€˜πΌ)(π‘Ž(.rβ€˜πΌ)𝑐)) ↔ (π‘Ž(.rβ€˜π‘…)(𝑏(+gβ€˜π‘…)𝑐)) = ((π‘Ž(.rβ€˜π‘…)𝑏)(+gβ€˜π‘…)(π‘Ž(.rβ€˜π‘…)𝑐))))
3831oveqd 7422 . . . . . . . . 9 (π‘ˆ ∈ 𝐿 β†’ (π‘Ž(+gβ€˜πΌ)𝑏) = (π‘Ž(+gβ€˜π‘…)𝑏))
39 eqidd 2727 . . . . . . . . 9 (π‘ˆ ∈ 𝐿 β†’ 𝑐 = 𝑐)
4028, 38, 39oveq123d 7426 . . . . . . . 8 (π‘ˆ ∈ 𝐿 β†’ ((π‘Ž(+gβ€˜πΌ)𝑏)(.rβ€˜πΌ)𝑐) = ((π‘Ž(+gβ€˜π‘…)𝑏)(.rβ€˜π‘…)𝑐))
4128oveqd 7422 . . . . . . . . 9 (π‘ˆ ∈ 𝐿 β†’ (𝑏(.rβ€˜πΌ)𝑐) = (𝑏(.rβ€˜π‘…)𝑐))
4231, 35, 41oveq123d 7426 . . . . . . . 8 (π‘ˆ ∈ 𝐿 β†’ ((π‘Ž(.rβ€˜πΌ)𝑐)(+gβ€˜πΌ)(𝑏(.rβ€˜πΌ)𝑐)) = ((π‘Ž(.rβ€˜π‘…)𝑐)(+gβ€˜π‘…)(𝑏(.rβ€˜π‘…)𝑐)))
4340, 42eqeq12d 2742 . . . . . . 7 (π‘ˆ ∈ 𝐿 β†’ (((π‘Ž(+gβ€˜πΌ)𝑏)(.rβ€˜πΌ)𝑐) = ((π‘Ž(.rβ€˜πΌ)𝑐)(+gβ€˜πΌ)(𝑏(.rβ€˜πΌ)𝑐)) ↔ ((π‘Ž(+gβ€˜π‘…)𝑏)(.rβ€˜π‘…)𝑐) = ((π‘Ž(.rβ€˜π‘…)𝑐)(+gβ€˜π‘…)(𝑏(.rβ€˜π‘…)𝑐))))
4437, 43anbi12d 630 . . . . . 6 (π‘ˆ ∈ 𝐿 β†’ (((π‘Ž(.rβ€˜πΌ)(𝑏(+gβ€˜πΌ)𝑐)) = ((π‘Ž(.rβ€˜πΌ)𝑏)(+gβ€˜πΌ)(π‘Ž(.rβ€˜πΌ)𝑐)) ∧ ((π‘Ž(+gβ€˜πΌ)𝑏)(.rβ€˜πΌ)𝑐) = ((π‘Ž(.rβ€˜πΌ)𝑐)(+gβ€˜πΌ)(𝑏(.rβ€˜πΌ)𝑐))) ↔ ((π‘Ž(.rβ€˜π‘…)(𝑏(+gβ€˜π‘…)𝑐)) = ((π‘Ž(.rβ€˜π‘…)𝑏)(+gβ€˜π‘…)(π‘Ž(.rβ€˜π‘…)𝑐)) ∧ ((π‘Ž(+gβ€˜π‘…)𝑏)(.rβ€˜π‘…)𝑐) = ((π‘Ž(.rβ€˜π‘…)𝑐)(+gβ€˜π‘…)(𝑏(.rβ€˜π‘…)𝑐)))))
45443ad2ant2 1131 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Rng ∧ π‘ˆ ∈ 𝐿 ∧ π‘ˆ ∈ (SubGrpβ€˜π‘…)) β†’ (((π‘Ž(.rβ€˜πΌ)(𝑏(+gβ€˜πΌ)𝑐)) = ((π‘Ž(.rβ€˜πΌ)𝑏)(+gβ€˜πΌ)(π‘Ž(.rβ€˜πΌ)𝑐)) ∧ ((π‘Ž(+gβ€˜πΌ)𝑏)(.rβ€˜πΌ)𝑐) = ((π‘Ž(.rβ€˜πΌ)𝑐)(+gβ€˜πΌ)(𝑏(.rβ€˜πΌ)𝑐))) ↔ ((π‘Ž(.rβ€˜π‘…)(𝑏(+gβ€˜π‘…)𝑐)) = ((π‘Ž(.rβ€˜π‘…)𝑏)(+gβ€˜π‘…)(π‘Ž(.rβ€˜π‘…)𝑐)) ∧ ((π‘Ž(+gβ€˜π‘…)𝑏)(.rβ€˜π‘…)𝑐) = ((π‘Ž(.rβ€˜π‘…)𝑐)(+gβ€˜π‘…)(𝑏(.rβ€˜π‘…)𝑐)))))
4645adantr 480 . . . 4 (((𝑅 ∈ Rng ∧ π‘ˆ ∈ 𝐿 ∧ π‘ˆ ∈ (SubGrpβ€˜π‘…)) ∧ (π‘Ž ∈ (Baseβ€˜πΌ) ∧ 𝑏 ∈ (Baseβ€˜πΌ) ∧ 𝑐 ∈ (Baseβ€˜πΌ))) β†’ (((π‘Ž(.rβ€˜πΌ)(𝑏(+gβ€˜πΌ)𝑐)) = ((π‘Ž(.rβ€˜πΌ)𝑏)(+gβ€˜πΌ)(π‘Ž(.rβ€˜πΌ)𝑐)) ∧ ((π‘Ž(+gβ€˜πΌ)𝑏)(.rβ€˜πΌ)𝑐) = ((π‘Ž(.rβ€˜πΌ)𝑐)(+gβ€˜πΌ)(𝑏(.rβ€˜πΌ)𝑐))) ↔ ((π‘Ž(.rβ€˜π‘…)(𝑏(+gβ€˜π‘…)𝑐)) = ((π‘Ž(.rβ€˜π‘…)𝑏)(+gβ€˜π‘…)(π‘Ž(.rβ€˜π‘…)𝑐)) ∧ ((π‘Ž(+gβ€˜π‘…)𝑏)(.rβ€˜π‘…)𝑐) = ((π‘Ž(.rβ€˜π‘…)𝑐)(+gβ€˜π‘…)(𝑏(.rβ€˜π‘…)𝑐)))))
4724, 26, 46mpbir2and 710 . . 3 (((𝑅 ∈ Rng ∧ π‘ˆ ∈ 𝐿 ∧ π‘ˆ ∈ (SubGrpβ€˜π‘…)) ∧ (π‘Ž ∈ (Baseβ€˜πΌ) ∧ 𝑏 ∈ (Baseβ€˜πΌ) ∧ 𝑐 ∈ (Baseβ€˜πΌ))) β†’ ((π‘Ž(.rβ€˜πΌ)(𝑏(+gβ€˜πΌ)𝑐)) = ((π‘Ž(.rβ€˜πΌ)𝑏)(+gβ€˜πΌ)(π‘Ž(.rβ€˜πΌ)𝑐)) ∧ ((π‘Ž(+gβ€˜πΌ)𝑏)(.rβ€˜πΌ)𝑐) = ((π‘Ž(.rβ€˜πΌ)𝑐)(+gβ€˜πΌ)(𝑏(.rβ€˜πΌ)𝑐))))
4847ralrimivvva 3197 . 2 ((𝑅 ∈ Rng ∧ π‘ˆ ∈ 𝐿 ∧ π‘ˆ ∈ (SubGrpβ€˜π‘…)) β†’ βˆ€π‘Ž ∈ (Baseβ€˜πΌ)βˆ€π‘ ∈ (Baseβ€˜πΌ)βˆ€π‘ ∈ (Baseβ€˜πΌ)((π‘Ž(.rβ€˜πΌ)(𝑏(+gβ€˜πΌ)𝑐)) = ((π‘Ž(.rβ€˜πΌ)𝑏)(+gβ€˜πΌ)(π‘Ž(.rβ€˜πΌ)𝑐)) ∧ ((π‘Ž(+gβ€˜πΌ)𝑏)(.rβ€˜πΌ)𝑐) = ((π‘Ž(.rβ€˜πΌ)𝑐)(+gβ€˜πΌ)(𝑏(.rβ€˜πΌ)𝑐))))
49 eqid 2726 . . 3 (Baseβ€˜πΌ) = (Baseβ€˜πΌ)
50 eqid 2726 . . 3 (mulGrpβ€˜πΌ) = (mulGrpβ€˜πΌ)
51 eqid 2726 . . 3 (+gβ€˜πΌ) = (+gβ€˜πΌ)
52 eqid 2726 . . 3 (.rβ€˜πΌ) = (.rβ€˜πΌ)
5349, 50, 51, 52isrng 20059 . 2 (𝐼 ∈ Rng ↔ (𝐼 ∈ Abel ∧ (mulGrpβ€˜πΌ) ∈ Smgrp ∧ βˆ€π‘Ž ∈ (Baseβ€˜πΌ)βˆ€π‘ ∈ (Baseβ€˜πΌ)βˆ€π‘ ∈ (Baseβ€˜πΌ)((π‘Ž(.rβ€˜πΌ)(𝑏(+gβ€˜πΌ)𝑐)) = ((π‘Ž(.rβ€˜πΌ)𝑏)(+gβ€˜πΌ)(π‘Ž(.rβ€˜πΌ)𝑐)) ∧ ((π‘Ž(+gβ€˜πΌ)𝑏)(.rβ€˜πΌ)𝑐) = ((π‘Ž(.rβ€˜πΌ)𝑐)(+gβ€˜πΌ)(𝑏(.rβ€˜πΌ)𝑐)))))
546, 11, 48, 53syl3anbrc 1340 1 ((𝑅 ∈ Rng ∧ π‘ˆ ∈ 𝐿 ∧ π‘ˆ ∈ (SubGrpβ€˜π‘…)) β†’ 𝐼 ∈ Rng)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆ€wral 3055  β€˜cfv 6537  (class class class)co 7405  Basecbs 17153   β†Ύs cress 17182  +gcplusg 17206  .rcmulr 17207  0gc0g 17394  Smgrpcsgrp 18651  SubGrpcsubg 19047  Abelcabl 19701  mulGrpcmgp 20039  Rngcrng 20057  LIdealclidl 21065
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-sets 17106  df-slot 17124  df-ndx 17136  df-base 17154  df-ress 17183  df-plusg 17219  df-mulr 17220  df-sca 17222  df-vsca 17223  df-ip 17224  df-0g 17396  df-mgm 18573  df-sgrp 18652  df-mnd 18668  df-grp 18866  df-subg 19050  df-cmn 19702  df-abl 19703  df-mgp 20040  df-rng 20058  df-lss 20779  df-sra 21021  df-rgmod 21022  df-lidl 21067
This theorem is referenced by:  rng2idlsubgsubrng  21125  lidlrng  47188
  Copyright terms: Public domain W3C validator