MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rnglidlrng Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rnglidlrng 21146
Description: A (left) ideal of a non-unital ring is a non-unital ring. (Contributed by AV, 17-Feb-2020.) Generalization for non-unital rings. The assumption π‘ˆ ∈ (SubGrpβ€˜π‘…) is required because a left ideal of a non-unital ring does not have to be a subgroup. (Revised by AV, 11-Mar-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
rnglidlabl.l 𝐿 = (LIdealβ€˜π‘…)
rnglidlabl.i 𝐼 = (𝑅 β†Ύs π‘ˆ)
Assertion
Ref Expression
rnglidlrng ((𝑅 ∈ Rng ∧ π‘ˆ ∈ 𝐿 ∧ π‘ˆ ∈ (SubGrpβ€˜π‘…)) β†’ 𝐼 ∈ Rng)

Proof of Theorem rnglidlrng
Dummy variables π‘Ž 𝑏 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rngabl 20099 . . . 4 (𝑅 ∈ Rng β†’ 𝑅 ∈ Abel)
213ad2ant1 1130 . . 3 ((𝑅 ∈ Rng ∧ π‘ˆ ∈ 𝐿 ∧ π‘ˆ ∈ (SubGrpβ€˜π‘…)) β†’ 𝑅 ∈ Abel)
3 simp3 1135 . . 3 ((𝑅 ∈ Rng ∧ π‘ˆ ∈ 𝐿 ∧ π‘ˆ ∈ (SubGrpβ€˜π‘…)) β†’ π‘ˆ ∈ (SubGrpβ€˜π‘…))
4 rnglidlabl.i . . . 4 𝐼 = (𝑅 β†Ύs π‘ˆ)
54subgabl 19795 . . 3 ((𝑅 ∈ Abel ∧ π‘ˆ ∈ (SubGrpβ€˜π‘…)) β†’ 𝐼 ∈ Abel)
62, 3, 5syl2anc 582 . 2 ((𝑅 ∈ Rng ∧ π‘ˆ ∈ 𝐿 ∧ π‘ˆ ∈ (SubGrpβ€˜π‘…)) β†’ 𝐼 ∈ Abel)
7 eqid 2725 . . . 4 (0gβ€˜π‘…) = (0gβ€˜π‘…)
87subg0cl 19093 . . 3 (π‘ˆ ∈ (SubGrpβ€˜π‘…) β†’ (0gβ€˜π‘…) ∈ π‘ˆ)
9 rnglidlabl.l . . . 4 𝐿 = (LIdealβ€˜π‘…)
109, 4, 7rnglidlmsgrp 21145 . . 3 ((𝑅 ∈ Rng ∧ π‘ˆ ∈ 𝐿 ∧ (0gβ€˜π‘…) ∈ π‘ˆ) β†’ (mulGrpβ€˜πΌ) ∈ Smgrp)
118, 10syl3an3 1162 . 2 ((𝑅 ∈ Rng ∧ π‘ˆ ∈ 𝐿 ∧ π‘ˆ ∈ (SubGrpβ€˜π‘…)) β†’ (mulGrpβ€˜πΌ) ∈ Smgrp)
12 simpl1 1188 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Rng ∧ π‘ˆ ∈ 𝐿 ∧ π‘ˆ ∈ (SubGrpβ€˜π‘…)) ∧ (π‘Ž ∈ (Baseβ€˜πΌ) ∧ 𝑏 ∈ (Baseβ€˜πΌ) ∧ 𝑐 ∈ (Baseβ€˜πΌ))) β†’ 𝑅 ∈ Rng)
139, 4lidlssbas 21113 . . . . . . . . 9 (π‘ˆ ∈ 𝐿 β†’ (Baseβ€˜πΌ) βŠ† (Baseβ€˜π‘…))
1413sseld 3971 . . . . . . . 8 (π‘ˆ ∈ 𝐿 β†’ (π‘Ž ∈ (Baseβ€˜πΌ) β†’ π‘Ž ∈ (Baseβ€˜π‘…)))
1513sseld 3971 . . . . . . . 8 (π‘ˆ ∈ 𝐿 β†’ (𝑏 ∈ (Baseβ€˜πΌ) β†’ 𝑏 ∈ (Baseβ€˜π‘…)))
1613sseld 3971 . . . . . . . 8 (π‘ˆ ∈ 𝐿 β†’ (𝑐 ∈ (Baseβ€˜πΌ) β†’ 𝑐 ∈ (Baseβ€˜π‘…)))
1714, 15, 163anim123d 1439 . . . . . . 7 (π‘ˆ ∈ 𝐿 β†’ ((π‘Ž ∈ (Baseβ€˜πΌ) ∧ 𝑏 ∈ (Baseβ€˜πΌ) ∧ 𝑐 ∈ (Baseβ€˜πΌ)) β†’ (π‘Ž ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ 𝑏 ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ 𝑐 ∈ (Baseβ€˜π‘…))))
18173ad2ant2 1131 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Rng ∧ π‘ˆ ∈ 𝐿 ∧ π‘ˆ ∈ (SubGrpβ€˜π‘…)) β†’ ((π‘Ž ∈ (Baseβ€˜πΌ) ∧ 𝑏 ∈ (Baseβ€˜πΌ) ∧ 𝑐 ∈ (Baseβ€˜πΌ)) β†’ (π‘Ž ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ 𝑏 ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ 𝑐 ∈ (Baseβ€˜π‘…))))
1918imp 405 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Rng ∧ π‘ˆ ∈ 𝐿 ∧ π‘ˆ ∈ (SubGrpβ€˜π‘…)) ∧ (π‘Ž ∈ (Baseβ€˜πΌ) ∧ 𝑏 ∈ (Baseβ€˜πΌ) ∧ 𝑐 ∈ (Baseβ€˜πΌ))) β†’ (π‘Ž ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ 𝑏 ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ 𝑐 ∈ (Baseβ€˜π‘…)))
20 eqid 2725 . . . . . 6 (Baseβ€˜π‘…) = (Baseβ€˜π‘…)
21 eqid 2725 . . . . . 6 (+gβ€˜π‘…) = (+gβ€˜π‘…)
22 eqid 2725 . . . . . 6 (.rβ€˜π‘…) = (.rβ€˜π‘…)
2320, 21, 22rngdi 20104 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Rng ∧ (π‘Ž ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ 𝑏 ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ 𝑐 ∈ (Baseβ€˜π‘…))) β†’ (π‘Ž(.rβ€˜π‘…)(𝑏(+gβ€˜π‘…)𝑐)) = ((π‘Ž(.rβ€˜π‘…)𝑏)(+gβ€˜π‘…)(π‘Ž(.rβ€˜π‘…)𝑐)))
2412, 19, 23syl2anc 582 . . . 4 (((𝑅 ∈ Rng ∧ π‘ˆ ∈ 𝐿 ∧ π‘ˆ ∈ (SubGrpβ€˜π‘…)) ∧ (π‘Ž ∈ (Baseβ€˜πΌ) ∧ 𝑏 ∈ (Baseβ€˜πΌ) ∧ 𝑐 ∈ (Baseβ€˜πΌ))) β†’ (π‘Ž(.rβ€˜π‘…)(𝑏(+gβ€˜π‘…)𝑐)) = ((π‘Ž(.rβ€˜π‘…)𝑏)(+gβ€˜π‘…)(π‘Ž(.rβ€˜π‘…)𝑐)))
2520, 21, 22rngdir 20105 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Rng ∧ (π‘Ž ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ 𝑏 ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ 𝑐 ∈ (Baseβ€˜π‘…))) β†’ ((π‘Ž(+gβ€˜π‘…)𝑏)(.rβ€˜π‘…)𝑐) = ((π‘Ž(.rβ€˜π‘…)𝑐)(+gβ€˜π‘…)(𝑏(.rβ€˜π‘…)𝑐)))
2612, 19, 25syl2anc 582 . . . 4 (((𝑅 ∈ Rng ∧ π‘ˆ ∈ 𝐿 ∧ π‘ˆ ∈ (SubGrpβ€˜π‘…)) ∧ (π‘Ž ∈ (Baseβ€˜πΌ) ∧ 𝑏 ∈ (Baseβ€˜πΌ) ∧ 𝑐 ∈ (Baseβ€˜πΌ))) β†’ ((π‘Ž(+gβ€˜π‘…)𝑏)(.rβ€˜π‘…)𝑐) = ((π‘Ž(.rβ€˜π‘…)𝑐)(+gβ€˜π‘…)(𝑏(.rβ€˜π‘…)𝑐)))
274, 22ressmulr 17287 . . . . . . . . . 10 (π‘ˆ ∈ 𝐿 β†’ (.rβ€˜π‘…) = (.rβ€˜πΌ))
2827eqcomd 2731 . . . . . . . . 9 (π‘ˆ ∈ 𝐿 β†’ (.rβ€˜πΌ) = (.rβ€˜π‘…))
29 eqidd 2726 . . . . . . . . 9 (π‘ˆ ∈ 𝐿 β†’ π‘Ž = π‘Ž)
304, 21ressplusg 17270 . . . . . . . . . . 11 (π‘ˆ ∈ 𝐿 β†’ (+gβ€˜π‘…) = (+gβ€˜πΌ))
3130eqcomd 2731 . . . . . . . . . 10 (π‘ˆ ∈ 𝐿 β†’ (+gβ€˜πΌ) = (+gβ€˜π‘…))
3231oveqd 7433 . . . . . . . . 9 (π‘ˆ ∈ 𝐿 β†’ (𝑏(+gβ€˜πΌ)𝑐) = (𝑏(+gβ€˜π‘…)𝑐))
3328, 29, 32oveq123d 7437 . . . . . . . 8 (π‘ˆ ∈ 𝐿 β†’ (π‘Ž(.rβ€˜πΌ)(𝑏(+gβ€˜πΌ)𝑐)) = (π‘Ž(.rβ€˜π‘…)(𝑏(+gβ€˜π‘…)𝑐)))
3428oveqd 7433 . . . . . . . . 9 (π‘ˆ ∈ 𝐿 β†’ (π‘Ž(.rβ€˜πΌ)𝑏) = (π‘Ž(.rβ€˜π‘…)𝑏))
3528oveqd 7433 . . . . . . . . 9 (π‘ˆ ∈ 𝐿 β†’ (π‘Ž(.rβ€˜πΌ)𝑐) = (π‘Ž(.rβ€˜π‘…)𝑐))
3631, 34, 35oveq123d 7437 . . . . . . . 8 (π‘ˆ ∈ 𝐿 β†’ ((π‘Ž(.rβ€˜πΌ)𝑏)(+gβ€˜πΌ)(π‘Ž(.rβ€˜πΌ)𝑐)) = ((π‘Ž(.rβ€˜π‘…)𝑏)(+gβ€˜π‘…)(π‘Ž(.rβ€˜π‘…)𝑐)))
3733, 36eqeq12d 2741 . . . . . . 7 (π‘ˆ ∈ 𝐿 β†’ ((π‘Ž(.rβ€˜πΌ)(𝑏(+gβ€˜πΌ)𝑐)) = ((π‘Ž(.rβ€˜πΌ)𝑏)(+gβ€˜πΌ)(π‘Ž(.rβ€˜πΌ)𝑐)) ↔ (π‘Ž(.rβ€˜π‘…)(𝑏(+gβ€˜π‘…)𝑐)) = ((π‘Ž(.rβ€˜π‘…)𝑏)(+gβ€˜π‘…)(π‘Ž(.rβ€˜π‘…)𝑐))))
3831oveqd 7433 . . . . . . . . 9 (π‘ˆ ∈ 𝐿 β†’ (π‘Ž(+gβ€˜πΌ)𝑏) = (π‘Ž(+gβ€˜π‘…)𝑏))
39 eqidd 2726 . . . . . . . . 9 (π‘ˆ ∈ 𝐿 β†’ 𝑐 = 𝑐)
4028, 38, 39oveq123d 7437 . . . . . . . 8 (π‘ˆ ∈ 𝐿 β†’ ((π‘Ž(+gβ€˜πΌ)𝑏)(.rβ€˜πΌ)𝑐) = ((π‘Ž(+gβ€˜π‘…)𝑏)(.rβ€˜π‘…)𝑐))
4128oveqd 7433 . . . . . . . . 9 (π‘ˆ ∈ 𝐿 β†’ (𝑏(.rβ€˜πΌ)𝑐) = (𝑏(.rβ€˜π‘…)𝑐))
4231, 35, 41oveq123d 7437 . . . . . . . 8 (π‘ˆ ∈ 𝐿 β†’ ((π‘Ž(.rβ€˜πΌ)𝑐)(+gβ€˜πΌ)(𝑏(.rβ€˜πΌ)𝑐)) = ((π‘Ž(.rβ€˜π‘…)𝑐)(+gβ€˜π‘…)(𝑏(.rβ€˜π‘…)𝑐)))
4340, 42eqeq12d 2741 . . . . . . 7 (π‘ˆ ∈ 𝐿 β†’ (((π‘Ž(+gβ€˜πΌ)𝑏)(.rβ€˜πΌ)𝑐) = ((π‘Ž(.rβ€˜πΌ)𝑐)(+gβ€˜πΌ)(𝑏(.rβ€˜πΌ)𝑐)) ↔ ((π‘Ž(+gβ€˜π‘…)𝑏)(.rβ€˜π‘…)𝑐) = ((π‘Ž(.rβ€˜π‘…)𝑐)(+gβ€˜π‘…)(𝑏(.rβ€˜π‘…)𝑐))))
4437, 43anbi12d 630 . . . . . 6 (π‘ˆ ∈ 𝐿 β†’ (((π‘Ž(.rβ€˜πΌ)(𝑏(+gβ€˜πΌ)𝑐)) = ((π‘Ž(.rβ€˜πΌ)𝑏)(+gβ€˜πΌ)(π‘Ž(.rβ€˜πΌ)𝑐)) ∧ ((π‘Ž(+gβ€˜πΌ)𝑏)(.rβ€˜πΌ)𝑐) = ((π‘Ž(.rβ€˜πΌ)𝑐)(+gβ€˜πΌ)(𝑏(.rβ€˜πΌ)𝑐))) ↔ ((π‘Ž(.rβ€˜π‘…)(𝑏(+gβ€˜π‘…)𝑐)) = ((π‘Ž(.rβ€˜π‘…)𝑏)(+gβ€˜π‘…)(π‘Ž(.rβ€˜π‘…)𝑐)) ∧ ((π‘Ž(+gβ€˜π‘…)𝑏)(.rβ€˜π‘…)𝑐) = ((π‘Ž(.rβ€˜π‘…)𝑐)(+gβ€˜π‘…)(𝑏(.rβ€˜π‘…)𝑐)))))
45443ad2ant2 1131 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Rng ∧ π‘ˆ ∈ 𝐿 ∧ π‘ˆ ∈ (SubGrpβ€˜π‘…)) β†’ (((π‘Ž(.rβ€˜πΌ)(𝑏(+gβ€˜πΌ)𝑐)) = ((π‘Ž(.rβ€˜πΌ)𝑏)(+gβ€˜πΌ)(π‘Ž(.rβ€˜πΌ)𝑐)) ∧ ((π‘Ž(+gβ€˜πΌ)𝑏)(.rβ€˜πΌ)𝑐) = ((π‘Ž(.rβ€˜πΌ)𝑐)(+gβ€˜πΌ)(𝑏(.rβ€˜πΌ)𝑐))) ↔ ((π‘Ž(.rβ€˜π‘…)(𝑏(+gβ€˜π‘…)𝑐)) = ((π‘Ž(.rβ€˜π‘…)𝑏)(+gβ€˜π‘…)(π‘Ž(.rβ€˜π‘…)𝑐)) ∧ ((π‘Ž(+gβ€˜π‘…)𝑏)(.rβ€˜π‘…)𝑐) = ((π‘Ž(.rβ€˜π‘…)𝑐)(+gβ€˜π‘…)(𝑏(.rβ€˜π‘…)𝑐)))))
4645adantr 479 . . . 4 (((𝑅 ∈ Rng ∧ π‘ˆ ∈ 𝐿 ∧ π‘ˆ ∈ (SubGrpβ€˜π‘…)) ∧ (π‘Ž ∈ (Baseβ€˜πΌ) ∧ 𝑏 ∈ (Baseβ€˜πΌ) ∧ 𝑐 ∈ (Baseβ€˜πΌ))) β†’ (((π‘Ž(.rβ€˜πΌ)(𝑏(+gβ€˜πΌ)𝑐)) = ((π‘Ž(.rβ€˜πΌ)𝑏)(+gβ€˜πΌ)(π‘Ž(.rβ€˜πΌ)𝑐)) ∧ ((π‘Ž(+gβ€˜πΌ)𝑏)(.rβ€˜πΌ)𝑐) = ((π‘Ž(.rβ€˜πΌ)𝑐)(+gβ€˜πΌ)(𝑏(.rβ€˜πΌ)𝑐))) ↔ ((π‘Ž(.rβ€˜π‘…)(𝑏(+gβ€˜π‘…)𝑐)) = ((π‘Ž(.rβ€˜π‘…)𝑏)(+gβ€˜π‘…)(π‘Ž(.rβ€˜π‘…)𝑐)) ∧ ((π‘Ž(+gβ€˜π‘…)𝑏)(.rβ€˜π‘…)𝑐) = ((π‘Ž(.rβ€˜π‘…)𝑐)(+gβ€˜π‘…)(𝑏(.rβ€˜π‘…)𝑐)))))
4724, 26, 46mpbir2and 711 . . 3 (((𝑅 ∈ Rng ∧ π‘ˆ ∈ 𝐿 ∧ π‘ˆ ∈ (SubGrpβ€˜π‘…)) ∧ (π‘Ž ∈ (Baseβ€˜πΌ) ∧ 𝑏 ∈ (Baseβ€˜πΌ) ∧ 𝑐 ∈ (Baseβ€˜πΌ))) β†’ ((π‘Ž(.rβ€˜πΌ)(𝑏(+gβ€˜πΌ)𝑐)) = ((π‘Ž(.rβ€˜πΌ)𝑏)(+gβ€˜πΌ)(π‘Ž(.rβ€˜πΌ)𝑐)) ∧ ((π‘Ž(+gβ€˜πΌ)𝑏)(.rβ€˜πΌ)𝑐) = ((π‘Ž(.rβ€˜πΌ)𝑐)(+gβ€˜πΌ)(𝑏(.rβ€˜πΌ)𝑐))))
4847ralrimivvva 3194 . 2 ((𝑅 ∈ Rng ∧ π‘ˆ ∈ 𝐿 ∧ π‘ˆ ∈ (SubGrpβ€˜π‘…)) β†’ βˆ€π‘Ž ∈ (Baseβ€˜πΌ)βˆ€π‘ ∈ (Baseβ€˜πΌ)βˆ€π‘ ∈ (Baseβ€˜πΌ)((π‘Ž(.rβ€˜πΌ)(𝑏(+gβ€˜πΌ)𝑐)) = ((π‘Ž(.rβ€˜πΌ)𝑏)(+gβ€˜πΌ)(π‘Ž(.rβ€˜πΌ)𝑐)) ∧ ((π‘Ž(+gβ€˜πΌ)𝑏)(.rβ€˜πΌ)𝑐) = ((π‘Ž(.rβ€˜πΌ)𝑐)(+gβ€˜πΌ)(𝑏(.rβ€˜πΌ)𝑐))))
49 eqid 2725 . . 3 (Baseβ€˜πΌ) = (Baseβ€˜πΌ)
50 eqid 2725 . . 3 (mulGrpβ€˜πΌ) = (mulGrpβ€˜πΌ)
51 eqid 2725 . . 3 (+gβ€˜πΌ) = (+gβ€˜πΌ)
52 eqid 2725 . . 3 (.rβ€˜πΌ) = (.rβ€˜πΌ)
5349, 50, 51, 52isrng 20098 . 2 (𝐼 ∈ Rng ↔ (𝐼 ∈ Abel ∧ (mulGrpβ€˜πΌ) ∈ Smgrp ∧ βˆ€π‘Ž ∈ (Baseβ€˜πΌ)βˆ€π‘ ∈ (Baseβ€˜πΌ)βˆ€π‘ ∈ (Baseβ€˜πΌ)((π‘Ž(.rβ€˜πΌ)(𝑏(+gβ€˜πΌ)𝑐)) = ((π‘Ž(.rβ€˜πΌ)𝑏)(+gβ€˜πΌ)(π‘Ž(.rβ€˜πΌ)𝑐)) ∧ ((π‘Ž(+gβ€˜πΌ)𝑏)(.rβ€˜πΌ)𝑐) = ((π‘Ž(.rβ€˜πΌ)𝑐)(+gβ€˜πΌ)(𝑏(.rβ€˜πΌ)𝑐)))))
546, 11, 48, 53syl3anbrc 1340 1 ((𝑅 ∈ Rng ∧ π‘ˆ ∈ 𝐿 ∧ π‘ˆ ∈ (SubGrpβ€˜π‘…)) β†’ 𝐼 ∈ Rng)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆ€wral 3051  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7416  Basecbs 17179   β†Ύs cress 17208  +gcplusg 17232  .rcmulr 17233  0gc0g 17420  Smgrpcsgrp 18677  SubGrpcsubg 19079  Abelcabl 19740  mulGrpcmgp 20078  Rngcrng 20096  LIdealclidl 21106
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7738  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-pss 3959  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7869  df-2nd 7992  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-er 8723  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-nn 12243  df-2 12305  df-3 12306  df-4 12307  df-5 12308  df-6 12309  df-7 12310  df-8 12311  df-sets 17132  df-slot 17150  df-ndx 17162  df-base 17180  df-ress 17209  df-plusg 17245  df-mulr 17246  df-sca 17248  df-vsca 17249  df-ip 17250  df-0g 17422  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-grp 18897  df-subg 19082  df-cmn 19741  df-abl 19742  df-mgp 20079  df-rng 20097  df-lss 20820  df-sra 21062  df-rgmod 21063  df-lidl 21108
This theorem is referenced by:  rng2idlsubgsubrng  21166  lidlrng  47407
  Copyright terms: Public domain W3C validator