Theorem rnglidlrng 21410

Description: A (left) ideal of a non-unital ring is a non-unital ring. (Contributed by AV, 17-Feb-2020.) Generalization for non-unital rings. The assumption 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑅) is required because a left ideal of a non-unital ring does not have to be a subgroup. (Revised by AV, 11-Mar-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
rnglidlabl.l	⊢ 𝐿 = (LIdeal‘𝑅)
rnglidlabl.i	⊢ 𝐼 = (𝑅 ↾s 𝑈)

Assertion

Ref	Expression
rnglidlrng	⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑅)) → 𝐼 ∈ Rng)

Proof of Theorem rnglidlrng

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rngabl 20256	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Rng → 𝑅 ∈ Abel)
2	1	3ad2ant1 1151	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑅)) → 𝑅 ∈ Abel)
3		simp3 1156	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑅)) → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑅))
4		rnglidlabl.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = (𝑅 ↾s 𝑈)
5	4	subgabl 19929	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Abel ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑅)) → 𝐼 ∈ Abel)
6	2, 3, 5	syl2anc 596	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑅)) → 𝐼 ∈ Abel)
7		eqid 2765	. . . 4 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
8	7	subg0cl 19223	. . 3 ⊢ (𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑅) → (0g‘𝑅) ∈ 𝑈)
9		rnglidlabl.l	. . . 4 ⊢ 𝐿 = (LIdeal‘𝑅)
10	9, 4, 7	rnglidlmsgrp 21409	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑈 ∈ 𝐿 ∧ (0g‘𝑅) ∈ 𝑈) → (mulGrp‘𝐼) ∈ Smgrp)
11	8, 10	syl3an3 1183	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑅)) → (mulGrp‘𝐼) ∈ Smgrp)
12		simpl1 1210	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑅)) ∧ (𝑎 ∈ (Base‘𝐼) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝐼) ∧ 𝑐 ∈ (Base‘𝐼))) → 𝑅 ∈ Rng)
13	9, 4	lidlssbas 21367	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑈 ∈ 𝐿 → (Base‘𝐼) ⊆ (Base‘𝑅))
14	13	sseld 3937	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑈 ∈ 𝐿 → (𝑎 ∈ (Base‘𝐼) → 𝑎 ∈ (Base‘𝑅)))
15	13	sseld 3937	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑈 ∈ 𝐿 → (𝑏 ∈ (Base‘𝐼) → 𝑏 ∈ (Base‘𝑅)))
16	13	sseld 3937	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑈 ∈ 𝐿 → (𝑐 ∈ (Base‘𝐼) → 𝑐 ∈ (Base‘𝑅)))
17	14, 15, 16	3anim123d 1471	. . . . . . 7 ⊢ (𝑈 ∈ 𝐿 → ((𝑎 ∈ (Base‘𝐼) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝐼) ∧ 𝑐 ∈ (Base‘𝐼)) → (𝑎 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑐 ∈ (Base‘𝑅))))
18	17	3ad2ant2 1152	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑅)) → ((𝑎 ∈ (Base‘𝐼) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝐼) ∧ 𝑐 ∈ (Base‘𝐼)) → (𝑎 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑐 ∈ (Base‘𝑅))))
19	18	imp 412	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑅)) ∧ (𝑎 ∈ (Base‘𝐼) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝐼) ∧ 𝑐 ∈ (Base‘𝐼))) → (𝑎 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑐 ∈ (Base‘𝑅)))
20		eqid 2765	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
21		eqid 2765	. . . . . 6 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
22		eqid 2765	. . . . . 6 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
23	20, 21, 22	rngdi 20261	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ (𝑎 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑐 ∈ (Base‘𝑅))) → (𝑎(.r‘𝑅)(𝑏(+g‘𝑅)𝑐)) = ((𝑎(.r‘𝑅)𝑏)(+g‘𝑅)(𝑎(.r‘𝑅)𝑐)))
24	12, 19, 23	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑅)) ∧ (𝑎 ∈ (Base‘𝐼) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝐼) ∧ 𝑐 ∈ (Base‘𝐼))) → (𝑎(.r‘𝑅)(𝑏(+g‘𝑅)𝑐)) = ((𝑎(.r‘𝑅)𝑏)(+g‘𝑅)(𝑎(.r‘𝑅)𝑐)))
25	20, 21, 22	rngdir 20262	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ (𝑎 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑐 ∈ (Base‘𝑅))) → ((𝑎(+g‘𝑅)𝑏)(.r‘𝑅)𝑐) = ((𝑎(.r‘𝑅)𝑐)(+g‘𝑅)(𝑏(.r‘𝑅)𝑐)))
26	12, 19, 25	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑅)) ∧ (𝑎 ∈ (Base‘𝐼) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝐼) ∧ 𝑐 ∈ (Base‘𝐼))) → ((𝑎(+g‘𝑅)𝑏)(.r‘𝑅)𝑐) = ((𝑎(.r‘𝑅)𝑐)(+g‘𝑅)(𝑏(.r‘𝑅)𝑐)))
27	4, 22	ressmulr 17377	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑈 ∈ 𝐿 → (.r‘𝑅) = (.r‘𝐼))
28	27	eqcomd 2771	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑈 ∈ 𝐿 → (.r‘𝐼) = (.r‘𝑅))
29		eqidd 2766	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑈 ∈ 𝐿 → 𝑎 = 𝑎)
30	4, 21	ressplusg 17361	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑈 ∈ 𝐿 → (+g‘𝑅) = (+g‘𝐼))
31	30	eqcomd 2771	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑈 ∈ 𝐿 → (+g‘𝐼) = (+g‘𝑅))
32	31	oveqd 7433	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑈 ∈ 𝐿 → (𝑏(+g‘𝐼)𝑐) = (𝑏(+g‘𝑅)𝑐))
33	28, 29, 32	oveq123d 7437	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑈 ∈ 𝐿 → (𝑎(.r‘𝐼)(𝑏(+g‘𝐼)𝑐)) = (𝑎(.r‘𝑅)(𝑏(+g‘𝑅)𝑐)))
34	28	oveqd 7433	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑈 ∈ 𝐿 → (𝑎(.r‘𝐼)𝑏) = (𝑎(.r‘𝑅)𝑏))
35	28	oveqd 7433	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑈 ∈ 𝐿 → (𝑎(.r‘𝐼)𝑐) = (𝑎(.r‘𝑅)𝑐))
36	31, 34, 35	oveq123d 7437	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑈 ∈ 𝐿 → ((𝑎(.r‘𝐼)𝑏)(+g‘𝐼)(𝑎(.r‘𝐼)𝑐)) = ((𝑎(.r‘𝑅)𝑏)(+g‘𝑅)(𝑎(.r‘𝑅)𝑐)))
37	33, 36	eqeq12d 2781	. . . . . . 7 ⊢ (𝑈 ∈ 𝐿 → ((𝑎(.r‘𝐼)(𝑏(+g‘𝐼)𝑐)) = ((𝑎(.r‘𝐼)𝑏)(+g‘𝐼)(𝑎(.r‘𝐼)𝑐)) ↔ (𝑎(.r‘𝑅)(𝑏(+g‘𝑅)𝑐)) = ((𝑎(.r‘𝑅)𝑏)(+g‘𝑅)(𝑎(.r‘𝑅)𝑐))))
38	31	oveqd 7433	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑈 ∈ 𝐿 → (𝑎(+g‘𝐼)𝑏) = (𝑎(+g‘𝑅)𝑏))
39		eqidd 2766	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑈 ∈ 𝐿 → 𝑐 = 𝑐)
40	28, 38, 39	oveq123d 7437	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑈 ∈ 𝐿 → ((𝑎(+g‘𝐼)𝑏)(.r‘𝐼)𝑐) = ((𝑎(+g‘𝑅)𝑏)(.r‘𝑅)𝑐))
41	28	oveqd 7433	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑈 ∈ 𝐿 → (𝑏(.r‘𝐼)𝑐) = (𝑏(.r‘𝑅)𝑐))
42	31, 35, 41	oveq123d 7437	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑈 ∈ 𝐿 → ((𝑎(.r‘𝐼)𝑐)(+g‘𝐼)(𝑏(.r‘𝐼)𝑐)) = ((𝑎(.r‘𝑅)𝑐)(+g‘𝑅)(𝑏(.r‘𝑅)𝑐)))
43	40, 42	eqeq12d 2781	. . . . . . 7 ⊢ (𝑈 ∈ 𝐿 → (((𝑎(+g‘𝐼)𝑏)(.r‘𝐼)𝑐) = ((𝑎(.r‘𝐼)𝑐)(+g‘𝐼)(𝑏(.r‘𝐼)𝑐)) ↔ ((𝑎(+g‘𝑅)𝑏)(.r‘𝑅)𝑐) = ((𝑎(.r‘𝑅)𝑐)(+g‘𝑅)(𝑏(.r‘𝑅)𝑐))))
44	37, 43	anbi12d 644	. . . . . 6 ⊢ (𝑈 ∈ 𝐿 → (((𝑎(.r‘𝐼)(𝑏(+g‘𝐼)𝑐)) = ((𝑎(.r‘𝐼)𝑏)(+g‘𝐼)(𝑎(.r‘𝐼)𝑐)) ∧ ((𝑎(+g‘𝐼)𝑏)(.r‘𝐼)𝑐) = ((𝑎(.r‘𝐼)𝑐)(+g‘𝐼)(𝑏(.r‘𝐼)𝑐))) ↔ ((𝑎(.r‘𝑅)(𝑏(+g‘𝑅)𝑐)) = ((𝑎(.r‘𝑅)𝑏)(+g‘𝑅)(𝑎(.r‘𝑅)𝑐)) ∧ ((𝑎(+g‘𝑅)𝑏)(.r‘𝑅)𝑐) = ((𝑎(.r‘𝑅)𝑐)(+g‘𝑅)(𝑏(.r‘𝑅)𝑐)))))
45	44	3ad2ant2 1152	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑅)) → (((𝑎(.r‘𝐼)(𝑏(+g‘𝐼)𝑐)) = ((𝑎(.r‘𝐼)𝑏)(+g‘𝐼)(𝑎(.r‘𝐼)𝑐)) ∧ ((𝑎(+g‘𝐼)𝑏)(.r‘𝐼)𝑐) = ((𝑎(.r‘𝐼)𝑐)(+g‘𝐼)(𝑏(.r‘𝐼)𝑐))) ↔ ((𝑎(.r‘𝑅)(𝑏(+g‘𝑅)𝑐)) = ((𝑎(.r‘𝑅)𝑏)(+g‘𝑅)(𝑎(.r‘𝑅)𝑐)) ∧ ((𝑎(+g‘𝑅)𝑏)(.r‘𝑅)𝑐) = ((𝑎(.r‘𝑅)𝑐)(+g‘𝑅)(𝑏(.r‘𝑅)𝑐)))))
46	45	adantr 486	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑅)) ∧ (𝑎 ∈ (Base‘𝐼) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝐼) ∧ 𝑐 ∈ (Base‘𝐼))) → (((𝑎(.r‘𝐼)(𝑏(+g‘𝐼)𝑐)) = ((𝑎(.r‘𝐼)𝑏)(+g‘𝐼)(𝑎(.r‘𝐼)𝑐)) ∧ ((𝑎(+g‘𝐼)𝑏)(.r‘𝐼)𝑐) = ((𝑎(.r‘𝐼)𝑐)(+g‘𝐼)(𝑏(.r‘𝐼)𝑐))) ↔ ((𝑎(.r‘𝑅)(𝑏(+g‘𝑅)𝑐)) = ((𝑎(.r‘𝑅)𝑏)(+g‘𝑅)(𝑎(.r‘𝑅)𝑐)) ∧ ((𝑎(+g‘𝑅)𝑏)(.r‘𝑅)𝑐) = ((𝑎(.r‘𝑅)𝑐)(+g‘𝑅)(𝑏(.r‘𝑅)𝑐)))))
47	24, 26, 46	mpbir2and 726	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑅)) ∧ (𝑎 ∈ (Base‘𝐼) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝐼) ∧ 𝑐 ∈ (Base‘𝐼))) → ((𝑎(.r‘𝐼)(𝑏(+g‘𝐼)𝑐)) = ((𝑎(.r‘𝐼)𝑏)(+g‘𝐼)(𝑎(.r‘𝐼)𝑐)) ∧ ((𝑎(+g‘𝐼)𝑏)(.r‘𝐼)𝑐) = ((𝑎(.r‘𝐼)𝑐)(+g‘𝐼)(𝑏(.r‘𝐼)𝑐))))
48	47	ralrimivvva 3213	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑅)) → ∀𝑎 ∈ (Base‘𝐼)∀𝑏 ∈ (Base‘𝐼)∀𝑐 ∈ (Base‘𝐼)((𝑎(.r‘𝐼)(𝑏(+g‘𝐼)𝑐)) = ((𝑎(.r‘𝐼)𝑏)(+g‘𝐼)(𝑎(.r‘𝐼)𝑐)) ∧ ((𝑎(+g‘𝐼)𝑏)(.r‘𝐼)𝑐) = ((𝑎(.r‘𝐼)𝑐)(+g‘𝐼)(𝑏(.r‘𝐼)𝑐))))
49		eqid 2765	. . 3 ⊢ (Base‘𝐼) = (Base‘𝐼)
50		eqid 2765	. . 3 ⊢ (mulGrp‘𝐼) = (mulGrp‘𝐼)
51		eqid 2765	. . 3 ⊢ (+g‘𝐼) = (+g‘𝐼)
52		eqid 2765	. . 3 ⊢ (.r‘𝐼) = (.r‘𝐼)
53	49, 50, 51, 52	isrng 20255	. 2 ⊢ (𝐼 ∈ Rng ↔ (𝐼 ∈ Abel ∧ (mulGrp‘𝐼) ∈ Smgrp ∧ ∀𝑎 ∈ (Base‘𝐼)∀𝑏 ∈ (Base‘𝐼)∀𝑐 ∈ (Base‘𝐼)((𝑎(.r‘𝐼)(𝑏(+g‘𝐼)𝑐)) = ((𝑎(.r‘𝐼)𝑏)(+g‘𝐼)(𝑎(.r‘𝐼)𝑐)) ∧ ((𝑎(+g‘𝐼)𝑏)(.r‘𝐼)𝑐) = ((𝑎(.r‘𝐼)𝑐)(+g‘𝐼)(𝑏(.r‘𝐼)𝑐)))))
54	6, 11, 48, 53	syl3anbrc 1362	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑅)) → 𝐼 ∈ Rng)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  ∀wral 3081  ‘cfv 6540  (class class class)co 7416  Basecbs 17286   ↾_s cress 17307  +_gcplusg 17327  ._rcmulr 17328  0_gc0g 17509  Smgrpcsgrp 18797  SubGrpcsubg 19209  Abelcabl 19874  mulGrpcmgp 20239  Rngcrng 20253  LIdealclidl 21359

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7738  ax-cnex 11167  ax-resscn 11168  ax-1cn 11169  ax-icn 11170  ax-addcl 11171  ax-addrcl 11172  ax-mulcl 11173  ax-mulrcl 11174  ax-mulcom 11175  ax-addass 11176  ax-mulass 11177  ax-distr 11178  ax-i2m1 11179  ax-1ne0 11180  ax-1rid 11181  ax-rnegex 11182  ax-rrecex 11183  ax-cnre 11184  ax-pre-lttri 11185  ax-pre-lttrn 11186  ax-pre-ltadd 11187  ax-pre-mulgt0 11188

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7865  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-er 8696  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-pnf 11256  df-mnf 11257  df-xr 11258  df-ltxr 11259  df-le 11260  df-sub 11454  df-neg 11455  df-nn 12245  df-2 12314  df-3 12315  df-4 12316  df-5 12317  df-6 12318  df-7 12319  df-8 12320  df-sets 17241  df-slot 17259  df-ndx 17271  df-base 17287  df-ress 17308  df-plusg 17340  df-mulr 17341  df-sca 17343  df-vsca 17344  df-ip 17345  df-0g 17511  df-mgm 18715  df-sgrp 18798  df-mnd 18814  df-grp 19026  df-subg 19212  df-cmn 19875  df-abl 19876  df-mgp 20240  df-rng 20254  df-lss 21082  df-sra 21323  df-rgmod 21324  df-lidl 21361

This theorem is used by:  rng2idlsubgsubrng  21436  lidlrng  49031