MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cntzsubrng Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cntzsubrng 20467
Description: Centralizers in a non-unital ring are subrings. (Contributed by AV, 17-Feb-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
cntzsubrng.b ๐ต = (Baseโ€˜๐‘…)
cntzsubrng.m ๐‘€ = (mulGrpโ€˜๐‘…)
cntzsubrng.z ๐‘ = (Cntzโ€˜๐‘€)
Assertion
Ref Expression
cntzsubrng ((๐‘… โˆˆ Rng โˆง ๐‘† โІ ๐ต) โ†’ (๐‘โ€˜๐‘†) โˆˆ (SubRngโ€˜๐‘…))

Proof of Theorem cntzsubrng
Dummy variables ๐‘ฅ ๐‘ฆ ๐‘ง are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cntzsubrng.m . . . . . 6 ๐‘€ = (mulGrpโ€˜๐‘…)
2 cntzsubrng.b . . . . . 6 ๐ต = (Baseโ€˜๐‘…)
31, 2mgpbas 20045 . . . . 5 ๐ต = (Baseโ€˜๐‘€)
4 cntzsubrng.z . . . . 5 ๐‘ = (Cntzโ€˜๐‘€)
53, 4cntzssv 19244 . . . 4 (๐‘โ€˜๐‘†) โІ ๐ต
65a1i 11 . . 3 ((๐‘… โˆˆ Rng โˆง ๐‘† โІ ๐ต) โ†’ (๐‘โ€˜๐‘†) โІ ๐ต)
7 simpll 764 . . . . . . . 8 (((๐‘… โˆˆ Rng โˆง ๐‘† โІ ๐ต) โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐‘†) โ†’ ๐‘… โˆˆ Rng)
8 ssel2 3972 . . . . . . . . 9 ((๐‘† โІ ๐ต โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐‘†) โ†’ ๐‘ง โˆˆ ๐ต)
98adantll 711 . . . . . . . 8 (((๐‘… โˆˆ Rng โˆง ๐‘† โІ ๐ต) โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐‘†) โ†’ ๐‘ง โˆˆ ๐ต)
10 eqid 2726 . . . . . . . . 9 (.rโ€˜๐‘…) = (.rโ€˜๐‘…)
11 eqid 2726 . . . . . . . . 9 (0gโ€˜๐‘…) = (0gโ€˜๐‘…)
122, 10, 11rnglz 20070 . . . . . . . 8 ((๐‘… โˆˆ Rng โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐ต) โ†’ ((0gโ€˜๐‘…)(.rโ€˜๐‘…)๐‘ง) = (0gโ€˜๐‘…))
137, 9, 12syl2anc 583 . . . . . . 7 (((๐‘… โˆˆ Rng โˆง ๐‘† โІ ๐ต) โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐‘†) โ†’ ((0gโ€˜๐‘…)(.rโ€˜๐‘…)๐‘ง) = (0gโ€˜๐‘…))
142, 10, 11rngrz 20071 . . . . . . . 8 ((๐‘… โˆˆ Rng โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘ง(.rโ€˜๐‘…)(0gโ€˜๐‘…)) = (0gโ€˜๐‘…))
157, 9, 14syl2anc 583 . . . . . . 7 (((๐‘… โˆˆ Rng โˆง ๐‘† โІ ๐ต) โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐‘†) โ†’ (๐‘ง(.rโ€˜๐‘…)(0gโ€˜๐‘…)) = (0gโ€˜๐‘…))
1613, 15eqtr4d 2769 . . . . . 6 (((๐‘… โˆˆ Rng โˆง ๐‘† โІ ๐ต) โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐‘†) โ†’ ((0gโ€˜๐‘…)(.rโ€˜๐‘…)๐‘ง) = (๐‘ง(.rโ€˜๐‘…)(0gโ€˜๐‘…)))
1716ralrimiva 3140 . . . . 5 ((๐‘… โˆˆ Rng โˆง ๐‘† โІ ๐ต) โ†’ โˆ€๐‘ง โˆˆ ๐‘† ((0gโ€˜๐‘…)(.rโ€˜๐‘…)๐‘ง) = (๐‘ง(.rโ€˜๐‘…)(0gโ€˜๐‘…)))
18 simpr 484 . . . . . 6 ((๐‘… โˆˆ Rng โˆง ๐‘† โІ ๐ต) โ†’ ๐‘† โІ ๐ต)
192, 11rng0cl 20068 . . . . . . 7 (๐‘… โˆˆ Rng โ†’ (0gโ€˜๐‘…) โˆˆ ๐ต)
2019adantr 480 . . . . . 6 ((๐‘… โˆˆ Rng โˆง ๐‘† โІ ๐ต) โ†’ (0gโ€˜๐‘…) โˆˆ ๐ต)
211, 10mgpplusg 20043 . . . . . . 7 (.rโ€˜๐‘…) = (+gโ€˜๐‘€)
223, 21, 4cntzel 19239 . . . . . 6 ((๐‘† โІ ๐ต โˆง (0gโ€˜๐‘…) โˆˆ ๐ต) โ†’ ((0gโ€˜๐‘…) โˆˆ (๐‘โ€˜๐‘†) โ†” โˆ€๐‘ง โˆˆ ๐‘† ((0gโ€˜๐‘…)(.rโ€˜๐‘…)๐‘ง) = (๐‘ง(.rโ€˜๐‘…)(0gโ€˜๐‘…))))
2318, 20, 22syl2anc 583 . . . . 5 ((๐‘… โˆˆ Rng โˆง ๐‘† โІ ๐ต) โ†’ ((0gโ€˜๐‘…) โˆˆ (๐‘โ€˜๐‘†) โ†” โˆ€๐‘ง โˆˆ ๐‘† ((0gโ€˜๐‘…)(.rโ€˜๐‘…)๐‘ง) = (๐‘ง(.rโ€˜๐‘…)(0gโ€˜๐‘…))))
2417, 23mpbird 257 . . . 4 ((๐‘… โˆˆ Rng โˆง ๐‘† โІ ๐ต) โ†’ (0gโ€˜๐‘…) โˆˆ (๐‘โ€˜๐‘†))
2524ne0d 4330 . . 3 ((๐‘… โˆˆ Rng โˆง ๐‘† โІ ๐ต) โ†’ (๐‘โ€˜๐‘†) โ‰  โˆ…)
26 simpl2 1189 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐‘… โˆˆ Rng โˆง ๐‘† โІ ๐ต) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (๐‘โ€˜๐‘†) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐‘โ€˜๐‘†)) โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐‘†) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ (๐‘โ€˜๐‘†))
2721, 4cntzi 19245 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘โ€˜๐‘†) โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐‘†) โ†’ (๐‘ฅ(.rโ€˜๐‘…)๐‘ง) = (๐‘ง(.rโ€˜๐‘…)๐‘ฅ))
2826, 27sylancom 587 . . . . . . . . . . 11 ((((๐‘… โˆˆ Rng โˆง ๐‘† โІ ๐ต) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (๐‘โ€˜๐‘†) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐‘โ€˜๐‘†)) โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐‘†) โ†’ (๐‘ฅ(.rโ€˜๐‘…)๐‘ง) = (๐‘ง(.rโ€˜๐‘…)๐‘ฅ))
29 simpl3 1190 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐‘… โˆˆ Rng โˆง ๐‘† โІ ๐ต) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (๐‘โ€˜๐‘†) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐‘โ€˜๐‘†)) โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐‘†) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ (๐‘โ€˜๐‘†))
3021, 4cntzi 19245 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ฆ โˆˆ (๐‘โ€˜๐‘†) โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐‘†) โ†’ (๐‘ฆ(.rโ€˜๐‘…)๐‘ง) = (๐‘ง(.rโ€˜๐‘…)๐‘ฆ))
3129, 30sylancom 587 . . . . . . . . . . 11 ((((๐‘… โˆˆ Rng โˆง ๐‘† โІ ๐ต) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (๐‘โ€˜๐‘†) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐‘โ€˜๐‘†)) โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐‘†) โ†’ (๐‘ฆ(.rโ€˜๐‘…)๐‘ง) = (๐‘ง(.rโ€˜๐‘…)๐‘ฆ))
3228, 31oveq12d 7423 . . . . . . . . . 10 ((((๐‘… โˆˆ Rng โˆง ๐‘† โІ ๐ต) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (๐‘โ€˜๐‘†) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐‘โ€˜๐‘†)) โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐‘†) โ†’ ((๐‘ฅ(.rโ€˜๐‘…)๐‘ง)(+gโ€˜๐‘…)(๐‘ฆ(.rโ€˜๐‘…)๐‘ง)) = ((๐‘ง(.rโ€˜๐‘…)๐‘ฅ)(+gโ€˜๐‘…)(๐‘ง(.rโ€˜๐‘…)๐‘ฆ)))
33 simpl1l 1221 . . . . . . . . . . 11 ((((๐‘… โˆˆ Rng โˆง ๐‘† โІ ๐ต) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (๐‘โ€˜๐‘†) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐‘โ€˜๐‘†)) โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐‘†) โ†’ ๐‘… โˆˆ Rng)
345, 26sselid 3975 . . . . . . . . . . 11 ((((๐‘… โˆˆ Rng โˆง ๐‘† โІ ๐ต) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (๐‘โ€˜๐‘†) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐‘โ€˜๐‘†)) โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐‘†) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต)
355, 29sselid 3975 . . . . . . . . . . 11 ((((๐‘… โˆˆ Rng โˆง ๐‘† โІ ๐ต) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (๐‘โ€˜๐‘†) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐‘โ€˜๐‘†)) โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐‘†) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)
36 simp1r 1195 . . . . . . . . . . . 12 (((๐‘… โˆˆ Rng โˆง ๐‘† โІ ๐ต) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (๐‘โ€˜๐‘†) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐‘โ€˜๐‘†)) โ†’ ๐‘† โІ ๐ต)
3736sselda 3977 . . . . . . . . . . 11 ((((๐‘… โˆˆ Rng โˆง ๐‘† โІ ๐ต) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (๐‘โ€˜๐‘†) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐‘โ€˜๐‘†)) โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐‘†) โ†’ ๐‘ง โˆˆ ๐ต)
38 eqid 2726 . . . . . . . . . . . 12 (+gโ€˜๐‘…) = (+gโ€˜๐‘…)
392, 38, 10rngdir 20066 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘… โˆˆ Rng โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐ต)) โ†’ ((๐‘ฅ(+gโ€˜๐‘…)๐‘ฆ)(.rโ€˜๐‘…)๐‘ง) = ((๐‘ฅ(.rโ€˜๐‘…)๐‘ง)(+gโ€˜๐‘…)(๐‘ฆ(.rโ€˜๐‘…)๐‘ง)))
4033, 34, 35, 37, 39syl13anc 1369 . . . . . . . . . 10 ((((๐‘… โˆˆ Rng โˆง ๐‘† โІ ๐ต) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (๐‘โ€˜๐‘†) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐‘โ€˜๐‘†)) โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐‘†) โ†’ ((๐‘ฅ(+gโ€˜๐‘…)๐‘ฆ)(.rโ€˜๐‘…)๐‘ง) = ((๐‘ฅ(.rโ€˜๐‘…)๐‘ง)(+gโ€˜๐‘…)(๐‘ฆ(.rโ€˜๐‘…)๐‘ง)))
412, 38, 10rngdi 20065 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘… โˆˆ Rng โˆง (๐‘ง โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โ†’ (๐‘ง(.rโ€˜๐‘…)(๐‘ฅ(+gโ€˜๐‘…)๐‘ฆ)) = ((๐‘ง(.rโ€˜๐‘…)๐‘ฅ)(+gโ€˜๐‘…)(๐‘ง(.rโ€˜๐‘…)๐‘ฆ)))
4233, 37, 34, 35, 41syl13anc 1369 . . . . . . . . . 10 ((((๐‘… โˆˆ Rng โˆง ๐‘† โІ ๐ต) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (๐‘โ€˜๐‘†) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐‘โ€˜๐‘†)) โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐‘†) โ†’ (๐‘ง(.rโ€˜๐‘…)(๐‘ฅ(+gโ€˜๐‘…)๐‘ฆ)) = ((๐‘ง(.rโ€˜๐‘…)๐‘ฅ)(+gโ€˜๐‘…)(๐‘ง(.rโ€˜๐‘…)๐‘ฆ)))
4332, 40, 423eqtr4d 2776 . . . . . . . . 9 ((((๐‘… โˆˆ Rng โˆง ๐‘† โІ ๐ต) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (๐‘โ€˜๐‘†) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐‘โ€˜๐‘†)) โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐‘†) โ†’ ((๐‘ฅ(+gโ€˜๐‘…)๐‘ฆ)(.rโ€˜๐‘…)๐‘ง) = (๐‘ง(.rโ€˜๐‘…)(๐‘ฅ(+gโ€˜๐‘…)๐‘ฆ)))
4443ralrimiva 3140 . . . . . . . 8 (((๐‘… โˆˆ Rng โˆง ๐‘† โІ ๐ต) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (๐‘โ€˜๐‘†) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐‘โ€˜๐‘†)) โ†’ โˆ€๐‘ง โˆˆ ๐‘† ((๐‘ฅ(+gโ€˜๐‘…)๐‘ฆ)(.rโ€˜๐‘…)๐‘ง) = (๐‘ง(.rโ€˜๐‘…)(๐‘ฅ(+gโ€˜๐‘…)๐‘ฆ)))
45 simp1l 1194 . . . . . . . . . 10 (((๐‘… โˆˆ Rng โˆง ๐‘† โІ ๐ต) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (๐‘โ€˜๐‘†) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐‘โ€˜๐‘†)) โ†’ ๐‘… โˆˆ Rng)
46 simp2 1134 . . . . . . . . . . 11 (((๐‘… โˆˆ Rng โˆง ๐‘† โІ ๐ต) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (๐‘โ€˜๐‘†) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐‘โ€˜๐‘†)) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ (๐‘โ€˜๐‘†))
475, 46sselid 3975 . . . . . . . . . 10 (((๐‘… โˆˆ Rng โˆง ๐‘† โІ ๐ต) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (๐‘โ€˜๐‘†) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐‘โ€˜๐‘†)) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต)
48 simp3 1135 . . . . . . . . . . 11 (((๐‘… โˆˆ Rng โˆง ๐‘† โІ ๐ต) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (๐‘โ€˜๐‘†) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐‘โ€˜๐‘†)) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ (๐‘โ€˜๐‘†))
495, 48sselid 3975 . . . . . . . . . 10 (((๐‘… โˆˆ Rng โˆง ๐‘† โІ ๐ต) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (๐‘โ€˜๐‘†) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐‘โ€˜๐‘†)) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)
502, 38rngacl 20067 . . . . . . . . . 10 ((๐‘… โˆˆ Rng โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘ฅ(+gโ€˜๐‘…)๐‘ฆ) โˆˆ ๐ต)
5145, 47, 49, 50syl3anc 1368 . . . . . . . . 9 (((๐‘… โˆˆ Rng โˆง ๐‘† โІ ๐ต) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (๐‘โ€˜๐‘†) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐‘โ€˜๐‘†)) โ†’ (๐‘ฅ(+gโ€˜๐‘…)๐‘ฆ) โˆˆ ๐ต)
523, 21, 4cntzel 19239 . . . . . . . . 9 ((๐‘† โІ ๐ต โˆง (๐‘ฅ(+gโ€˜๐‘…)๐‘ฆ) โˆˆ ๐ต) โ†’ ((๐‘ฅ(+gโ€˜๐‘…)๐‘ฆ) โˆˆ (๐‘โ€˜๐‘†) โ†” โˆ€๐‘ง โˆˆ ๐‘† ((๐‘ฅ(+gโ€˜๐‘…)๐‘ฆ)(.rโ€˜๐‘…)๐‘ง) = (๐‘ง(.rโ€˜๐‘…)(๐‘ฅ(+gโ€˜๐‘…)๐‘ฆ))))
5336, 51, 52syl2anc 583 . . . . . . . 8 (((๐‘… โˆˆ Rng โˆง ๐‘† โІ ๐ต) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (๐‘โ€˜๐‘†) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐‘โ€˜๐‘†)) โ†’ ((๐‘ฅ(+gโ€˜๐‘…)๐‘ฆ) โˆˆ (๐‘โ€˜๐‘†) โ†” โˆ€๐‘ง โˆˆ ๐‘† ((๐‘ฅ(+gโ€˜๐‘…)๐‘ฆ)(.rโ€˜๐‘…)๐‘ง) = (๐‘ง(.rโ€˜๐‘…)(๐‘ฅ(+gโ€˜๐‘…)๐‘ฆ))))
5444, 53mpbird 257 . . . . . . 7 (((๐‘… โˆˆ Rng โˆง ๐‘† โІ ๐ต) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (๐‘โ€˜๐‘†) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐‘โ€˜๐‘†)) โ†’ (๐‘ฅ(+gโ€˜๐‘…)๐‘ฆ) โˆˆ (๐‘โ€˜๐‘†))
55543expa 1115 . . . . . 6 ((((๐‘… โˆˆ Rng โˆง ๐‘† โІ ๐ต) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (๐‘โ€˜๐‘†)) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐‘โ€˜๐‘†)) โ†’ (๐‘ฅ(+gโ€˜๐‘…)๐‘ฆ) โˆˆ (๐‘โ€˜๐‘†))
5655ralrimiva 3140 . . . . 5 (((๐‘… โˆˆ Rng โˆง ๐‘† โІ ๐ต) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (๐‘โ€˜๐‘†)) โ†’ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (๐‘โ€˜๐‘†)(๐‘ฅ(+gโ€˜๐‘…)๐‘ฆ) โˆˆ (๐‘โ€˜๐‘†))
5727adantll 711 . . . . . . . . 9 ((((๐‘… โˆˆ Rng โˆง ๐‘† โІ ๐ต) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (๐‘โ€˜๐‘†)) โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐‘†) โ†’ (๐‘ฅ(.rโ€˜๐‘…)๐‘ง) = (๐‘ง(.rโ€˜๐‘…)๐‘ฅ))
5857fveq2d 6889 . . . . . . . 8 ((((๐‘… โˆˆ Rng โˆง ๐‘† โІ ๐ต) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (๐‘โ€˜๐‘†)) โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐‘†) โ†’ ((invgโ€˜๐‘…)โ€˜(๐‘ฅ(.rโ€˜๐‘…)๐‘ง)) = ((invgโ€˜๐‘…)โ€˜(๐‘ง(.rโ€˜๐‘…)๐‘ฅ)))
59 eqid 2726 . . . . . . . . 9 (invgโ€˜๐‘…) = (invgโ€˜๐‘…)
60 simplll 772 . . . . . . . . 9 ((((๐‘… โˆˆ Rng โˆง ๐‘† โІ ๐ต) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (๐‘โ€˜๐‘†)) โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐‘†) โ†’ ๐‘… โˆˆ Rng)
61 simplr 766 . . . . . . . . . 10 ((((๐‘… โˆˆ Rng โˆง ๐‘† โІ ๐ต) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (๐‘โ€˜๐‘†)) โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐‘†) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ (๐‘โ€˜๐‘†))
625, 61sselid 3975 . . . . . . . . 9 ((((๐‘… โˆˆ Rng โˆง ๐‘† โІ ๐ต) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (๐‘โ€˜๐‘†)) โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐‘†) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต)
63 simplr 766 . . . . . . . . . 10 (((๐‘… โˆˆ Rng โˆง ๐‘† โІ ๐ต) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (๐‘โ€˜๐‘†)) โ†’ ๐‘† โІ ๐ต)
6463sselda 3977 . . . . . . . . 9 ((((๐‘… โˆˆ Rng โˆง ๐‘† โІ ๐ต) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (๐‘โ€˜๐‘†)) โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐‘†) โ†’ ๐‘ง โˆˆ ๐ต)
652, 10, 59, 60, 62, 64rngmneg1 20072 . . . . . . . 8 ((((๐‘… โˆˆ Rng โˆง ๐‘† โІ ๐ต) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (๐‘โ€˜๐‘†)) โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐‘†) โ†’ (((invgโ€˜๐‘…)โ€˜๐‘ฅ)(.rโ€˜๐‘…)๐‘ง) = ((invgโ€˜๐‘…)โ€˜(๐‘ฅ(.rโ€˜๐‘…)๐‘ง)))
662, 10, 59, 60, 64, 62rngmneg2 20073 . . . . . . . 8 ((((๐‘… โˆˆ Rng โˆง ๐‘† โІ ๐ต) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (๐‘โ€˜๐‘†)) โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐‘†) โ†’ (๐‘ง(.rโ€˜๐‘…)((invgโ€˜๐‘…)โ€˜๐‘ฅ)) = ((invgโ€˜๐‘…)โ€˜(๐‘ง(.rโ€˜๐‘…)๐‘ฅ)))
6758, 65, 663eqtr4d 2776 . . . . . . 7 ((((๐‘… โˆˆ Rng โˆง ๐‘† โІ ๐ต) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (๐‘โ€˜๐‘†)) โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐‘†) โ†’ (((invgโ€˜๐‘…)โ€˜๐‘ฅ)(.rโ€˜๐‘…)๐‘ง) = (๐‘ง(.rโ€˜๐‘…)((invgโ€˜๐‘…)โ€˜๐‘ฅ)))
6867ralrimiva 3140 . . . . . 6 (((๐‘… โˆˆ Rng โˆง ๐‘† โІ ๐ต) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (๐‘โ€˜๐‘†)) โ†’ โˆ€๐‘ง โˆˆ ๐‘† (((invgโ€˜๐‘…)โ€˜๐‘ฅ)(.rโ€˜๐‘…)๐‘ง) = (๐‘ง(.rโ€˜๐‘…)((invgโ€˜๐‘…)โ€˜๐‘ฅ)))
69 rnggrp 20063 . . . . . . . . 9 (๐‘… โˆˆ Rng โ†’ ๐‘… โˆˆ Grp)
7069ad2antrr 723 . . . . . . . 8 (((๐‘… โˆˆ Rng โˆง ๐‘† โІ ๐ต) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (๐‘โ€˜๐‘†)) โ†’ ๐‘… โˆˆ Grp)
71 simpr 484 . . . . . . . . 9 (((๐‘… โˆˆ Rng โˆง ๐‘† โІ ๐ต) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (๐‘โ€˜๐‘†)) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ (๐‘โ€˜๐‘†))
725, 71sselid 3975 . . . . . . . 8 (((๐‘… โˆˆ Rng โˆง ๐‘† โІ ๐ต) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (๐‘โ€˜๐‘†)) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต)
732, 59, 70, 72grpinvcld 18918 . . . . . . 7 (((๐‘… โˆˆ Rng โˆง ๐‘† โІ ๐ต) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (๐‘โ€˜๐‘†)) โ†’ ((invgโ€˜๐‘…)โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ ๐ต)
743, 21, 4cntzel 19239 . . . . . . 7 ((๐‘† โІ ๐ต โˆง ((invgโ€˜๐‘…)โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ ๐ต) โ†’ (((invgโ€˜๐‘…)โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ (๐‘โ€˜๐‘†) โ†” โˆ€๐‘ง โˆˆ ๐‘† (((invgโ€˜๐‘…)โ€˜๐‘ฅ)(.rโ€˜๐‘…)๐‘ง) = (๐‘ง(.rโ€˜๐‘…)((invgโ€˜๐‘…)โ€˜๐‘ฅ))))
7563, 73, 74syl2anc 583 . . . . . 6 (((๐‘… โˆˆ Rng โˆง ๐‘† โІ ๐ต) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (๐‘โ€˜๐‘†)) โ†’ (((invgโ€˜๐‘…)โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ (๐‘โ€˜๐‘†) โ†” โˆ€๐‘ง โˆˆ ๐‘† (((invgโ€˜๐‘…)โ€˜๐‘ฅ)(.rโ€˜๐‘…)๐‘ง) = (๐‘ง(.rโ€˜๐‘…)((invgโ€˜๐‘…)โ€˜๐‘ฅ))))
7668, 75mpbird 257 . . . . 5 (((๐‘… โˆˆ Rng โˆง ๐‘† โІ ๐ต) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (๐‘โ€˜๐‘†)) โ†’ ((invgโ€˜๐‘…)โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ (๐‘โ€˜๐‘†))
7756, 76jca 511 . . . 4 (((๐‘… โˆˆ Rng โˆง ๐‘† โІ ๐ต) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (๐‘โ€˜๐‘†)) โ†’ (โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (๐‘โ€˜๐‘†)(๐‘ฅ(+gโ€˜๐‘…)๐‘ฆ) โˆˆ (๐‘โ€˜๐‘†) โˆง ((invgโ€˜๐‘…)โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ (๐‘โ€˜๐‘†)))
7877ralrimiva 3140 . . 3 ((๐‘… โˆˆ Rng โˆง ๐‘† โІ ๐ต) โ†’ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (๐‘โ€˜๐‘†)(โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (๐‘โ€˜๐‘†)(๐‘ฅ(+gโ€˜๐‘…)๐‘ฆ) โˆˆ (๐‘โ€˜๐‘†) โˆง ((invgโ€˜๐‘…)โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ (๐‘โ€˜๐‘†)))
7969adantr 480 . . . 4 ((๐‘… โˆˆ Rng โˆง ๐‘† โІ ๐ต) โ†’ ๐‘… โˆˆ Grp)
802, 38, 59issubg2 19068 . . . 4 (๐‘… โˆˆ Grp โ†’ ((๐‘โ€˜๐‘†) โˆˆ (SubGrpโ€˜๐‘…) โ†” ((๐‘โ€˜๐‘†) โІ ๐ต โˆง (๐‘โ€˜๐‘†) โ‰  โˆ… โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (๐‘โ€˜๐‘†)(โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (๐‘โ€˜๐‘†)(๐‘ฅ(+gโ€˜๐‘…)๐‘ฆ) โˆˆ (๐‘โ€˜๐‘†) โˆง ((invgโ€˜๐‘…)โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ (๐‘โ€˜๐‘†)))))
8179, 80syl 17 . . 3 ((๐‘… โˆˆ Rng โˆง ๐‘† โІ ๐ต) โ†’ ((๐‘โ€˜๐‘†) โˆˆ (SubGrpโ€˜๐‘…) โ†” ((๐‘โ€˜๐‘†) โІ ๐ต โˆง (๐‘โ€˜๐‘†) โ‰  โˆ… โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (๐‘โ€˜๐‘†)(โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (๐‘โ€˜๐‘†)(๐‘ฅ(+gโ€˜๐‘…)๐‘ฆ) โˆˆ (๐‘โ€˜๐‘†) โˆง ((invgโ€˜๐‘…)โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ (๐‘โ€˜๐‘†)))))
826, 25, 78, 81mpbir3and 1339 . 2 ((๐‘… โˆˆ Rng โˆง ๐‘† โІ ๐ต) โ†’ (๐‘โ€˜๐‘†) โˆˆ (SubGrpโ€˜๐‘…))
83 eqid 2726 . . . . 5 (mulGrpโ€˜๐‘…) = (mulGrpโ€˜๐‘…)
8483rngmgp 20061 . . . 4 (๐‘… โˆˆ Rng โ†’ (mulGrpโ€˜๐‘…) โˆˆ Smgrp)
8583, 2mgpbas 20045 . . . . . 6 ๐ต = (Baseโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘…))
8685sseq2i 4006 . . . . 5 (๐‘† โІ ๐ต โ†” ๐‘† โІ (Baseโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘…)))
8786biimpi 215 . . . 4 (๐‘† โІ ๐ต โ†’ ๐‘† โІ (Baseโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘…)))
88 eqid 2726 . . . . 5 (Baseโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘…)) = (Baseโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘…))
891fveq2i 6888 . . . . . 6 (Cntzโ€˜๐‘€) = (Cntzโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘…))
904, 89eqtri 2754 . . . . 5 ๐‘ = (Cntzโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘…))
91 eqid 2726 . . . . 5 (๐‘โ€˜๐‘†) = (๐‘โ€˜๐‘†)
9288, 90, 91cntzsgrpcl 19250 . . . 4 (((mulGrpโ€˜๐‘…) โˆˆ Smgrp โˆง ๐‘† โІ (Baseโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘…))) โ†’ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (๐‘โ€˜๐‘†)โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (๐‘โ€˜๐‘†)(๐‘ฅ(+gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘…))๐‘ฆ) โˆˆ (๐‘โ€˜๐‘†))
9384, 87, 92syl2an 595 . . 3 ((๐‘… โˆˆ Rng โˆง ๐‘† โІ ๐ต) โ†’ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (๐‘โ€˜๐‘†)โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (๐‘โ€˜๐‘†)(๐‘ฅ(+gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘…))๐‘ฆ) โˆˆ (๐‘โ€˜๐‘†))
9483, 10mgpplusg 20043 . . . . . 6 (.rโ€˜๐‘…) = (+gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘…))
9594oveqi 7418 . . . . 5 (๐‘ฅ(.rโ€˜๐‘…)๐‘ฆ) = (๐‘ฅ(+gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘…))๐‘ฆ)
9695eleq1i 2818 . . . 4 ((๐‘ฅ(.rโ€˜๐‘…)๐‘ฆ) โˆˆ (๐‘โ€˜๐‘†) โ†” (๐‘ฅ(+gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘…))๐‘ฆ) โˆˆ (๐‘โ€˜๐‘†))
97962ralbii 3122 . . 3 (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (๐‘โ€˜๐‘†)โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (๐‘โ€˜๐‘†)(๐‘ฅ(.rโ€˜๐‘…)๐‘ฆ) โˆˆ (๐‘โ€˜๐‘†) โ†” โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (๐‘โ€˜๐‘†)โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (๐‘โ€˜๐‘†)(๐‘ฅ(+gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘…))๐‘ฆ) โˆˆ (๐‘โ€˜๐‘†))
9893, 97sylibr 233 . 2 ((๐‘… โˆˆ Rng โˆง ๐‘† โІ ๐ต) โ†’ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (๐‘โ€˜๐‘†)โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (๐‘โ€˜๐‘†)(๐‘ฅ(.rโ€˜๐‘…)๐‘ฆ) โˆˆ (๐‘โ€˜๐‘†))
992, 10issubrng2 20458 . . 3 (๐‘… โˆˆ Rng โ†’ ((๐‘โ€˜๐‘†) โˆˆ (SubRngโ€˜๐‘…) โ†” ((๐‘โ€˜๐‘†) โˆˆ (SubGrpโ€˜๐‘…) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (๐‘โ€˜๐‘†)โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (๐‘โ€˜๐‘†)(๐‘ฅ(.rโ€˜๐‘…)๐‘ฆ) โˆˆ (๐‘โ€˜๐‘†))))
10099adantr 480 . 2 ((๐‘… โˆˆ Rng โˆง ๐‘† โІ ๐ต) โ†’ ((๐‘โ€˜๐‘†) โˆˆ (SubRngโ€˜๐‘…) โ†” ((๐‘โ€˜๐‘†) โˆˆ (SubGrpโ€˜๐‘…) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (๐‘โ€˜๐‘†)โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (๐‘โ€˜๐‘†)(๐‘ฅ(.rโ€˜๐‘…)๐‘ฆ) โˆˆ (๐‘โ€˜๐‘†))))
10182, 98, 100mpbir2and 710 1 ((๐‘… โˆˆ Rng โˆง ๐‘† โІ ๐ต) โ†’ (๐‘โ€˜๐‘†) โˆˆ (SubRngโ€˜๐‘…))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 395   โˆง w3a 1084   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098   โ‰  wne 2934  โˆ€wral 3055   โІ wss 3943  โˆ…c0 4317  โ€˜cfv 6537  (class class class)co 7405  Basecbs 17153  +gcplusg 17206  .rcmulr 17207  0gc0g 17394  Smgrpcsgrp 18651  Grpcgrp 18863  invgcminusg 18864  SubGrpcsubg 19047  Cntzccntz 19231  mulGrpcmgp 20039  Rngcrng 20057  SubRngcsubrng 20445
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-sets 17106  df-slot 17124  df-ndx 17136  df-base 17154  df-ress 17183  df-plusg 17219  df-mulr 17220  df-0g 17396  df-mgm 18573  df-sgrp 18652  df-mnd 18668  df-grp 18866  df-minusg 18867  df-subg 19050  df-cntz 19233  df-cmn 19702  df-abl 19703  df-mgp 20040  df-rng 20058  df-subrng 20446
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator