Theorem cntzsubrng 20452

Description: Centralizers in a non-unital ring are subrings. (Contributed by AV, 17-Feb-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
cntzsubrng.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
cntzsubrng.m	⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑅)
cntzsubrng.z	⊢ 𝑍 = (Cntz‘𝑀)

Assertion

Ref	Expression
cntzsubrng	⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → (𝑍‘𝑆) ∈ (SubRng‘𝑅))

Proof of Theorem cntzsubrng

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cntzsubrng.m	. . . . . 6 ⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑅)
2		cntzsubrng.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
3	1, 2	mgpbas 20030	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
4		cntzsubrng.z	. . . . 5 ⊢ 𝑍 = (Cntz‘𝑀)
5	3, 4	cntzssv 19207	. . . 4 ⊢ (𝑍‘𝑆) ⊆ 𝐵
6	5	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → (𝑍‘𝑆) ⊆ 𝐵)
7		simpll 766	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → 𝑅 ∈ Rng)
8		ssel2 3930	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → 𝑧 ∈ 𝐵)
9	8	adantll 714	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → 𝑧 ∈ 𝐵)
10		eqid 2729	. . . . . . . . 9 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
11		eqid 2729	. . . . . . . . 9 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
12	2, 10, 11	rnglz 20050	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → ((0g‘𝑅)(.r‘𝑅)𝑧) = (0g‘𝑅))
13	7, 9, 12	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → ((0g‘𝑅)(.r‘𝑅)𝑧) = (0g‘𝑅))
14	2, 10, 11	rngrz 20051	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → (𝑧(.r‘𝑅)(0g‘𝑅)) = (0g‘𝑅))
15	7, 9, 14	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → (𝑧(.r‘𝑅)(0g‘𝑅)) = (0g‘𝑅))
16	13, 15	eqtr4d 2767	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → ((0g‘𝑅)(.r‘𝑅)𝑧) = (𝑧(.r‘𝑅)(0g‘𝑅)))
17	16	ralrimiva 3121	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → ∀𝑧 ∈ 𝑆 ((0g‘𝑅)(.r‘𝑅)𝑧) = (𝑧(.r‘𝑅)(0g‘𝑅)))
18		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → 𝑆 ⊆ 𝐵)
19	2, 11	rng0cl 20048	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Rng → (0g‘𝑅) ∈ 𝐵)
20	19	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → (0g‘𝑅) ∈ 𝐵)
21	1, 10	mgpplusg 20029	. . . . . . 7 ⊢ (.r‘𝑅) = (+g‘𝑀)
22	3, 21, 4	cntzel 19202	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ (0g‘𝑅) ∈ 𝐵) → ((0g‘𝑅) ∈ (𝑍‘𝑆) ↔ ∀𝑧 ∈ 𝑆 ((0g‘𝑅)(.r‘𝑅)𝑧) = (𝑧(.r‘𝑅)(0g‘𝑅))))
23	18, 20, 22	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → ((0g‘𝑅) ∈ (𝑍‘𝑆) ↔ ∀𝑧 ∈ 𝑆 ((0g‘𝑅)(.r‘𝑅)𝑧) = (𝑧(.r‘𝑅)(0g‘𝑅))))
24	17, 23	mpbird 257	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → (0g‘𝑅) ∈ (𝑍‘𝑆))
25	24	ne0d 4293	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → (𝑍‘𝑆) ≠ ∅)
26		simpl2 1193	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍‘𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝑍‘𝑆)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → 𝑥 ∈ (𝑍‘𝑆))
27	21, 4	cntzi 19208	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝑍‘𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → (𝑥(.r‘𝑅)𝑧) = (𝑧(.r‘𝑅)𝑥))
28	26, 27	sylancom 588	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍‘𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝑍‘𝑆)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → (𝑥(.r‘𝑅)𝑧) = (𝑧(.r‘𝑅)𝑥))
29		simpl3 1194	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍‘𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝑍‘𝑆)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → 𝑦 ∈ (𝑍‘𝑆))
30	21, 4	cntzi 19208	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑦 ∈ (𝑍‘𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → (𝑦(.r‘𝑅)𝑧) = (𝑧(.r‘𝑅)𝑦))
31	29, 30	sylancom 588	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍‘𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝑍‘𝑆)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → (𝑦(.r‘𝑅)𝑧) = (𝑧(.r‘𝑅)𝑦))
32	28, 31	oveq12d 7367	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍‘𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝑍‘𝑆)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → ((𝑥(.r‘𝑅)𝑧)(+g‘𝑅)(𝑦(.r‘𝑅)𝑧)) = ((𝑧(.r‘𝑅)𝑥)(+g‘𝑅)(𝑧(.r‘𝑅)𝑦)))
33		simpl1l 1225	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍‘𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝑍‘𝑆)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → 𝑅 ∈ Rng)
34	5, 26	sselid 3933	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍‘𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝑍‘𝑆)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → 𝑥 ∈ 𝐵)
35	5, 29	sselid 3933	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍‘𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝑍‘𝑆)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → 𝑦 ∈ 𝐵)
36		simp1r 1199	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍‘𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝑍‘𝑆)) → 𝑆 ⊆ 𝐵)
37	36	sselda 3935	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍‘𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝑍‘𝑆)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → 𝑧 ∈ 𝐵)
38		eqid 2729	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
39	2, 38, 10	rngdir 20046	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → ((𝑥(+g‘𝑅)𝑦)(.r‘𝑅)𝑧) = ((𝑥(.r‘𝑅)𝑧)(+g‘𝑅)(𝑦(.r‘𝑅)𝑧)))
40	33, 34, 35, 37, 39	syl13anc 1374	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍‘𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝑍‘𝑆)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → ((𝑥(+g‘𝑅)𝑦)(.r‘𝑅)𝑧) = ((𝑥(.r‘𝑅)𝑧)(+g‘𝑅)(𝑦(.r‘𝑅)𝑧)))
41	2, 38, 10	rngdi 20045	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑧(.r‘𝑅)(𝑥(+g‘𝑅)𝑦)) = ((𝑧(.r‘𝑅)𝑥)(+g‘𝑅)(𝑧(.r‘𝑅)𝑦)))
42	33, 37, 34, 35, 41	syl13anc 1374	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍‘𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝑍‘𝑆)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → (𝑧(.r‘𝑅)(𝑥(+g‘𝑅)𝑦)) = ((𝑧(.r‘𝑅)𝑥)(+g‘𝑅)(𝑧(.r‘𝑅)𝑦)))
43	32, 40, 42	3eqtr4d 2774	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍‘𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝑍‘𝑆)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → ((𝑥(+g‘𝑅)𝑦)(.r‘𝑅)𝑧) = (𝑧(.r‘𝑅)(𝑥(+g‘𝑅)𝑦)))
44	43	ralrimiva 3121	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍‘𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝑍‘𝑆)) → ∀𝑧 ∈ 𝑆 ((𝑥(+g‘𝑅)𝑦)(.r‘𝑅)𝑧) = (𝑧(.r‘𝑅)(𝑥(+g‘𝑅)𝑦)))
45		simp1l 1198	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍‘𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝑍‘𝑆)) → 𝑅 ∈ Rng)
46		simp2 1137	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍‘𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝑍‘𝑆)) → 𝑥 ∈ (𝑍‘𝑆))
47	5, 46	sselid 3933	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍‘𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝑍‘𝑆)) → 𝑥 ∈ 𝐵)
48		simp3 1138	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍‘𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝑍‘𝑆)) → 𝑦 ∈ (𝑍‘𝑆))
49	5, 48	sselid 3933	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍‘𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝑍‘𝑆)) → 𝑦 ∈ 𝐵)
50	2, 38	rngacl 20047	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑥(+g‘𝑅)𝑦) ∈ 𝐵)
51	45, 47, 49, 50	syl3anc 1373	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍‘𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝑍‘𝑆)) → (𝑥(+g‘𝑅)𝑦) ∈ 𝐵)
52	3, 21, 4	cntzel 19202	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ (𝑥(+g‘𝑅)𝑦) ∈ 𝐵) → ((𝑥(+g‘𝑅)𝑦) ∈ (𝑍‘𝑆) ↔ ∀𝑧 ∈ 𝑆 ((𝑥(+g‘𝑅)𝑦)(.r‘𝑅)𝑧) = (𝑧(.r‘𝑅)(𝑥(+g‘𝑅)𝑦))))
53	36, 51, 52	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍‘𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝑍‘𝑆)) → ((𝑥(+g‘𝑅)𝑦) ∈ (𝑍‘𝑆) ↔ ∀𝑧 ∈ 𝑆 ((𝑥(+g‘𝑅)𝑦)(.r‘𝑅)𝑧) = (𝑧(.r‘𝑅)(𝑥(+g‘𝑅)𝑦))))
54	44, 53	mpbird 257	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍‘𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝑍‘𝑆)) → (𝑥(+g‘𝑅)𝑦) ∈ (𝑍‘𝑆))
55	54	3expa 1118	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍‘𝑆)) ∧ 𝑦 ∈ (𝑍‘𝑆)) → (𝑥(+g‘𝑅)𝑦) ∈ (𝑍‘𝑆))
56	55	ralrimiva 3121	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍‘𝑆)) → ∀𝑦 ∈ (𝑍‘𝑆)(𝑥(+g‘𝑅)𝑦) ∈ (𝑍‘𝑆))
57	27	adantll 714	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍‘𝑆)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → (𝑥(.r‘𝑅)𝑧) = (𝑧(.r‘𝑅)𝑥))
58	57	fveq2d 6826	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍‘𝑆)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → ((invg‘𝑅)‘(𝑥(.r‘𝑅)𝑧)) = ((invg‘𝑅)‘(𝑧(.r‘𝑅)𝑥)))
59		eqid 2729	. . . . . . . . 9 ⊢ (invg‘𝑅) = (invg‘𝑅)
60		simplll 774	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍‘𝑆)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → 𝑅 ∈ Rng)
61		simplr 768	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍‘𝑆)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → 𝑥 ∈ (𝑍‘𝑆))
62	5, 61	sselid 3933	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍‘𝑆)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → 𝑥 ∈ 𝐵)
63		simplr 768	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍‘𝑆)) → 𝑆 ⊆ 𝐵)
64	63	sselda 3935	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍‘𝑆)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → 𝑧 ∈ 𝐵)
65	2, 10, 59, 60, 62, 64	rngmneg1 20052	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍‘𝑆)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → (((invg‘𝑅)‘𝑥)(.r‘𝑅)𝑧) = ((invg‘𝑅)‘(𝑥(.r‘𝑅)𝑧)))
66	2, 10, 59, 60, 64, 62	rngmneg2 20053	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍‘𝑆)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → (𝑧(.r‘𝑅)((invg‘𝑅)‘𝑥)) = ((invg‘𝑅)‘(𝑧(.r‘𝑅)𝑥)))
67	58, 65, 66	3eqtr4d 2774	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍‘𝑆)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → (((invg‘𝑅)‘𝑥)(.r‘𝑅)𝑧) = (𝑧(.r‘𝑅)((invg‘𝑅)‘𝑥)))
68	67	ralrimiva 3121	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍‘𝑆)) → ∀𝑧 ∈ 𝑆 (((invg‘𝑅)‘𝑥)(.r‘𝑅)𝑧) = (𝑧(.r‘𝑅)((invg‘𝑅)‘𝑥)))
69		rnggrp 20043	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ Rng → 𝑅 ∈ Grp)
70	69	ad2antrr 726	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍‘𝑆)) → 𝑅 ∈ Grp)
71		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍‘𝑆)) → 𝑥 ∈ (𝑍‘𝑆))
72	5, 71	sselid 3933	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍‘𝑆)) → 𝑥 ∈ 𝐵)
73	2, 59, 70, 72	grpinvcld 18867	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍‘𝑆)) → ((invg‘𝑅)‘𝑥) ∈ 𝐵)
74	3, 21, 4	cntzel 19202	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ ((invg‘𝑅)‘𝑥) ∈ 𝐵) → (((invg‘𝑅)‘𝑥) ∈ (𝑍‘𝑆) ↔ ∀𝑧 ∈ 𝑆 (((invg‘𝑅)‘𝑥)(.r‘𝑅)𝑧) = (𝑧(.r‘𝑅)((invg‘𝑅)‘𝑥))))
75	63, 73, 74	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍‘𝑆)) → (((invg‘𝑅)‘𝑥) ∈ (𝑍‘𝑆) ↔ ∀𝑧 ∈ 𝑆 (((invg‘𝑅)‘𝑥)(.r‘𝑅)𝑧) = (𝑧(.r‘𝑅)((invg‘𝑅)‘𝑥))))
76	68, 75	mpbird 257	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍‘𝑆)) → ((invg‘𝑅)‘𝑥) ∈ (𝑍‘𝑆))
77	56, 76	jca 511	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍‘𝑆)) → (∀𝑦 ∈ (𝑍‘𝑆)(𝑥(+g‘𝑅)𝑦) ∈ (𝑍‘𝑆) ∧ ((invg‘𝑅)‘𝑥) ∈ (𝑍‘𝑆)))
78	77	ralrimiva 3121	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → ∀𝑥 ∈ (𝑍‘𝑆)(∀𝑦 ∈ (𝑍‘𝑆)(𝑥(+g‘𝑅)𝑦) ∈ (𝑍‘𝑆) ∧ ((invg‘𝑅)‘𝑥) ∈ (𝑍‘𝑆)))
79	69	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → 𝑅 ∈ Grp)
80	2, 38, 59	issubg2 19020	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Grp → ((𝑍‘𝑆) ∈ (SubGrp‘𝑅) ↔ ((𝑍‘𝑆) ⊆ 𝐵 ∧ (𝑍‘𝑆) ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ (𝑍‘𝑆)(∀𝑦 ∈ (𝑍‘𝑆)(𝑥(+g‘𝑅)𝑦) ∈ (𝑍‘𝑆) ∧ ((invg‘𝑅)‘𝑥) ∈ (𝑍‘𝑆)))))
81	79, 80	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → ((𝑍‘𝑆) ∈ (SubGrp‘𝑅) ↔ ((𝑍‘𝑆) ⊆ 𝐵 ∧ (𝑍‘𝑆) ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ (𝑍‘𝑆)(∀𝑦 ∈ (𝑍‘𝑆)(𝑥(+g‘𝑅)𝑦) ∈ (𝑍‘𝑆) ∧ ((invg‘𝑅)‘𝑥) ∈ (𝑍‘𝑆)))))
82	6, 25, 78, 81	mpbir3and 1343	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → (𝑍‘𝑆) ∈ (SubGrp‘𝑅))
83		eqid 2729	. . . . 5 ⊢ (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
84	83	rngmgp 20041	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Rng → (mulGrp‘𝑅) ∈ Smgrp)
85	83, 2	mgpbas 20030	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘(mulGrp‘𝑅))
86	85	sseq2i 3965	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ⊆ 𝐵 ↔ 𝑆 ⊆ (Base‘(mulGrp‘𝑅)))
87	86	biimpi 216	. . . 4 ⊢ (𝑆 ⊆ 𝐵 → 𝑆 ⊆ (Base‘(mulGrp‘𝑅)))
88		eqid 2729	. . . . 5 ⊢ (Base‘(mulGrp‘𝑅)) = (Base‘(mulGrp‘𝑅))
89	1	fveq2i 6825	. . . . . 6 ⊢ (Cntz‘𝑀) = (Cntz‘(mulGrp‘𝑅))
90	4, 89	eqtri 2752	. . . . 5 ⊢ 𝑍 = (Cntz‘(mulGrp‘𝑅))
91		eqid 2729	. . . . 5 ⊢ (𝑍‘𝑆) = (𝑍‘𝑆)
92	88, 90, 91	cntzsgrpcl 19213	. . . 4 ⊢ (((mulGrp‘𝑅) ∈ Smgrp ∧ 𝑆 ⊆ (Base‘(mulGrp‘𝑅))) → ∀𝑥 ∈ (𝑍‘𝑆)∀𝑦 ∈ (𝑍‘𝑆)(𝑥(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝑦) ∈ (𝑍‘𝑆))
93	84, 87, 92	syl2an 596	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → ∀𝑥 ∈ (𝑍‘𝑆)∀𝑦 ∈ (𝑍‘𝑆)(𝑥(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝑦) ∈ (𝑍‘𝑆))
94	83, 10	mgpplusg 20029	. . . . . 6 ⊢ (.r‘𝑅) = (+g‘(mulGrp‘𝑅))
95	94	oveqi 7362	. . . . 5 ⊢ (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = (𝑥(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝑦)
96	95	eleq1i 2819	. . . 4 ⊢ ((𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ (𝑍‘𝑆) ↔ (𝑥(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝑦) ∈ (𝑍‘𝑆))
97	96	2ralbii 3104	. . 3 ⊢ (∀𝑥 ∈ (𝑍‘𝑆)∀𝑦 ∈ (𝑍‘𝑆)(𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ (𝑍‘𝑆) ↔ ∀𝑥 ∈ (𝑍‘𝑆)∀𝑦 ∈ (𝑍‘𝑆)(𝑥(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝑦) ∈ (𝑍‘𝑆))
98	93, 97	sylibr 234	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → ∀𝑥 ∈ (𝑍‘𝑆)∀𝑦 ∈ (𝑍‘𝑆)(𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ (𝑍‘𝑆))
99	2, 10	issubrng2 20443	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Rng → ((𝑍‘𝑆) ∈ (SubRng‘𝑅) ↔ ((𝑍‘𝑆) ∈ (SubGrp‘𝑅) ∧ ∀𝑥 ∈ (𝑍‘𝑆)∀𝑦 ∈ (𝑍‘𝑆)(𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ (𝑍‘𝑆))))
100	99	adantr 480	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → ((𝑍‘𝑆) ∈ (SubRng‘𝑅) ↔ ((𝑍‘𝑆) ∈ (SubGrp‘𝑅) ∧ ∀𝑥 ∈ (𝑍‘𝑆)∀𝑦 ∈ (𝑍‘𝑆)(𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ (𝑍‘𝑆))))
101	82, 98, 100	mpbir2and 713	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → (𝑍‘𝑆) ∈ (SubRng‘𝑅))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  ∀wral 3044   ⊆ wss 3903  ∅c0 4284  ‘cfv 6482  (class class class)co 7349  Basecbs 17120  +_gcplusg 17161  ._rcmulr 17162  0_gc0g 17343  Smgrpcsgrp 18592  Grpcgrp 18812  inv_gcminusg 18813  SubGrpcsubg 18999  Cntzccntz 19194  mulGrpcmgp 20025  Rngcrng 20037  SubRngcsubrng 20430

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5218  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4859  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-tr 5200  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6249  df-ord 6310  df-on 6311  df-lim 6312  df-suc 6313  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-riota 7306  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-om 7800  df-2nd 7925  df-frecs 8214  df-wrecs 8245  df-recs 8294  df-rdg 8332  df-er 8625  df-en 8873  df-dom 8874  df-sdom 8875  df-pnf 11151  df-mnf 11152  df-xr 11153  df-ltxr 11154  df-le 11155  df-sub 11349  df-neg 11350  df-nn 12129  df-2 12191  df-3 12192  df-sets 17075  df-slot 17093  df-ndx 17105  df-base 17121  df-ress 17142  df-plusg 17174  df-mulr 17175  df-0g 17345  df-mgm 18514  df-sgrp 18593  df-mnd 18609  df-grp 18815  df-minusg 18816  df-subg 19002  df-cntz 19196  df-cmn 19661  df-abl 19662  df-mgp 20026  df-rng 20038  df-subrng 20431

This theorem is referenced by: (None)