Theorem cntzsubrng 20516

Description: Centralizers in a non-unital ring are subrings. (Contributed by AV, 17-Feb-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
cntzsubrng.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
cntzsubrng.m	⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑅)
cntzsubrng.z	⊢ 𝑍 = (Cntz‘𝑀)

Assertion

Ref	Expression
cntzsubrng	⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → (𝑍‘𝑆) ∈ (SubRng‘𝑅))

Proof of Theorem cntzsubrng

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cntzsubrng.m	. . . . . 6 ⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑅)
2		cntzsubrng.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
3	1, 2	mgpbas 20092	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
4		cntzsubrng.z	. . . . 5 ⊢ 𝑍 = (Cntz‘𝑀)
5	3, 4	cntzssv 19291	. . . 4 ⊢ (𝑍‘𝑆) ⊆ 𝐵
6	5	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → (𝑍‘𝑆) ⊆ 𝐵)
7		simpll 765	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → 𝑅 ∈ Rng)
8		ssel2 3971	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → 𝑧 ∈ 𝐵)
9	8	adantll 712	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → 𝑧 ∈ 𝐵)
10		eqid 2725	. . . . . . . . 9 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
11		eqid 2725	. . . . . . . . 9 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
12	2, 10, 11	rnglz 20117	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → ((0g‘𝑅)(.r‘𝑅)𝑧) = (0g‘𝑅))
13	7, 9, 12	syl2anc 582	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → ((0g‘𝑅)(.r‘𝑅)𝑧) = (0g‘𝑅))
14	2, 10, 11	rngrz 20118	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → (𝑧(.r‘𝑅)(0g‘𝑅)) = (0g‘𝑅))
15	7, 9, 14	syl2anc 582	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → (𝑧(.r‘𝑅)(0g‘𝑅)) = (0g‘𝑅))
16	13, 15	eqtr4d 2768	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → ((0g‘𝑅)(.r‘𝑅)𝑧) = (𝑧(.r‘𝑅)(0g‘𝑅)))
17	16	ralrimiva 3135	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → ∀𝑧 ∈ 𝑆 ((0g‘𝑅)(.r‘𝑅)𝑧) = (𝑧(.r‘𝑅)(0g‘𝑅)))
18		simpr 483	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → 𝑆 ⊆ 𝐵)
19	2, 11	rng0cl 20115	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Rng → (0g‘𝑅) ∈ 𝐵)
20	19	adantr 479	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → (0g‘𝑅) ∈ 𝐵)
21	1, 10	mgpplusg 20090	. . . . . . 7 ⊢ (.r‘𝑅) = (+g‘𝑀)
22	3, 21, 4	cntzel 19286	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ (0g‘𝑅) ∈ 𝐵) → ((0g‘𝑅) ∈ (𝑍‘𝑆) ↔ ∀𝑧 ∈ 𝑆 ((0g‘𝑅)(.r‘𝑅)𝑧) = (𝑧(.r‘𝑅)(0g‘𝑅))))
23	18, 20, 22	syl2anc 582	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → ((0g‘𝑅) ∈ (𝑍‘𝑆) ↔ ∀𝑧 ∈ 𝑆 ((0g‘𝑅)(.r‘𝑅)𝑧) = (𝑧(.r‘𝑅)(0g‘𝑅))))
24	17, 23	mpbird 256	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → (0g‘𝑅) ∈ (𝑍‘𝑆))
25	24	ne0d 4335	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → (𝑍‘𝑆) ≠ ∅)
26		simpl2 1189	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍‘𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝑍‘𝑆)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → 𝑥 ∈ (𝑍‘𝑆))
27	21, 4	cntzi 19292	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝑍‘𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → (𝑥(.r‘𝑅)𝑧) = (𝑧(.r‘𝑅)𝑥))
28	26, 27	sylancom 586	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍‘𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝑍‘𝑆)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → (𝑥(.r‘𝑅)𝑧) = (𝑧(.r‘𝑅)𝑥))
29		simpl3 1190	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍‘𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝑍‘𝑆)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → 𝑦 ∈ (𝑍‘𝑆))
30	21, 4	cntzi 19292	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑦 ∈ (𝑍‘𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → (𝑦(.r‘𝑅)𝑧) = (𝑧(.r‘𝑅)𝑦))
31	29, 30	sylancom 586	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍‘𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝑍‘𝑆)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → (𝑦(.r‘𝑅)𝑧) = (𝑧(.r‘𝑅)𝑦))
32	28, 31	oveq12d 7437	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍‘𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝑍‘𝑆)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → ((𝑥(.r‘𝑅)𝑧)(+g‘𝑅)(𝑦(.r‘𝑅)𝑧)) = ((𝑧(.r‘𝑅)𝑥)(+g‘𝑅)(𝑧(.r‘𝑅)𝑦)))
33		simpl1l 1221	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍‘𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝑍‘𝑆)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → 𝑅 ∈ Rng)
34	5, 26	sselid 3974	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍‘𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝑍‘𝑆)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → 𝑥 ∈ 𝐵)
35	5, 29	sselid 3974	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍‘𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝑍‘𝑆)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → 𝑦 ∈ 𝐵)
36		simp1r 1195	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍‘𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝑍‘𝑆)) → 𝑆 ⊆ 𝐵)
37	36	sselda 3976	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍‘𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝑍‘𝑆)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → 𝑧 ∈ 𝐵)
38		eqid 2725	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
39	2, 38, 10	rngdir 20113	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → ((𝑥(+g‘𝑅)𝑦)(.r‘𝑅)𝑧) = ((𝑥(.r‘𝑅)𝑧)(+g‘𝑅)(𝑦(.r‘𝑅)𝑧)))
40	33, 34, 35, 37, 39	syl13anc 1369	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍‘𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝑍‘𝑆)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → ((𝑥(+g‘𝑅)𝑦)(.r‘𝑅)𝑧) = ((𝑥(.r‘𝑅)𝑧)(+g‘𝑅)(𝑦(.r‘𝑅)𝑧)))
41	2, 38, 10	rngdi 20112	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑧(.r‘𝑅)(𝑥(+g‘𝑅)𝑦)) = ((𝑧(.r‘𝑅)𝑥)(+g‘𝑅)(𝑧(.r‘𝑅)𝑦)))
42	33, 37, 34, 35, 41	syl13anc 1369	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍‘𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝑍‘𝑆)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → (𝑧(.r‘𝑅)(𝑥(+g‘𝑅)𝑦)) = ((𝑧(.r‘𝑅)𝑥)(+g‘𝑅)(𝑧(.r‘𝑅)𝑦)))
43	32, 40, 42	3eqtr4d 2775	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍‘𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝑍‘𝑆)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → ((𝑥(+g‘𝑅)𝑦)(.r‘𝑅)𝑧) = (𝑧(.r‘𝑅)(𝑥(+g‘𝑅)𝑦)))
44	43	ralrimiva 3135	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍‘𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝑍‘𝑆)) → ∀𝑧 ∈ 𝑆 ((𝑥(+g‘𝑅)𝑦)(.r‘𝑅)𝑧) = (𝑧(.r‘𝑅)(𝑥(+g‘𝑅)𝑦)))
45		simp1l 1194	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍‘𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝑍‘𝑆)) → 𝑅 ∈ Rng)
46		simp2 1134	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍‘𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝑍‘𝑆)) → 𝑥 ∈ (𝑍‘𝑆))
47	5, 46	sselid 3974	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍‘𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝑍‘𝑆)) → 𝑥 ∈ 𝐵)
48		simp3 1135	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍‘𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝑍‘𝑆)) → 𝑦 ∈ (𝑍‘𝑆))
49	5, 48	sselid 3974	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍‘𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝑍‘𝑆)) → 𝑦 ∈ 𝐵)
50	2, 38	rngacl 20114	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑥(+g‘𝑅)𝑦) ∈ 𝐵)
51	45, 47, 49, 50	syl3anc 1368	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍‘𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝑍‘𝑆)) → (𝑥(+g‘𝑅)𝑦) ∈ 𝐵)
52	3, 21, 4	cntzel 19286	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ (𝑥(+g‘𝑅)𝑦) ∈ 𝐵) → ((𝑥(+g‘𝑅)𝑦) ∈ (𝑍‘𝑆) ↔ ∀𝑧 ∈ 𝑆 ((𝑥(+g‘𝑅)𝑦)(.r‘𝑅)𝑧) = (𝑧(.r‘𝑅)(𝑥(+g‘𝑅)𝑦))))
53	36, 51, 52	syl2anc 582	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍‘𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝑍‘𝑆)) → ((𝑥(+g‘𝑅)𝑦) ∈ (𝑍‘𝑆) ↔ ∀𝑧 ∈ 𝑆 ((𝑥(+g‘𝑅)𝑦)(.r‘𝑅)𝑧) = (𝑧(.r‘𝑅)(𝑥(+g‘𝑅)𝑦))))
54	44, 53	mpbird 256	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍‘𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝑍‘𝑆)) → (𝑥(+g‘𝑅)𝑦) ∈ (𝑍‘𝑆))
55	54	3expa 1115	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍‘𝑆)) ∧ 𝑦 ∈ (𝑍‘𝑆)) → (𝑥(+g‘𝑅)𝑦) ∈ (𝑍‘𝑆))
56	55	ralrimiva 3135	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍‘𝑆)) → ∀𝑦 ∈ (𝑍‘𝑆)(𝑥(+g‘𝑅)𝑦) ∈ (𝑍‘𝑆))
57	27	adantll 712	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍‘𝑆)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → (𝑥(.r‘𝑅)𝑧) = (𝑧(.r‘𝑅)𝑥))
58	57	fveq2d 6900	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍‘𝑆)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → ((invg‘𝑅)‘(𝑥(.r‘𝑅)𝑧)) = ((invg‘𝑅)‘(𝑧(.r‘𝑅)𝑥)))
59		eqid 2725	. . . . . . . . 9 ⊢ (invg‘𝑅) = (invg‘𝑅)
60		simplll 773	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍‘𝑆)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → 𝑅 ∈ Rng)
61		simplr 767	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍‘𝑆)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → 𝑥 ∈ (𝑍‘𝑆))
62	5, 61	sselid 3974	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍‘𝑆)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → 𝑥 ∈ 𝐵)
63		simplr 767	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍‘𝑆)) → 𝑆 ⊆ 𝐵)
64	63	sselda 3976	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍‘𝑆)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → 𝑧 ∈ 𝐵)
65	2, 10, 59, 60, 62, 64	rngmneg1 20119	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍‘𝑆)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → (((invg‘𝑅)‘𝑥)(.r‘𝑅)𝑧) = ((invg‘𝑅)‘(𝑥(.r‘𝑅)𝑧)))
66	2, 10, 59, 60, 64, 62	rngmneg2 20120	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍‘𝑆)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → (𝑧(.r‘𝑅)((invg‘𝑅)‘𝑥)) = ((invg‘𝑅)‘(𝑧(.r‘𝑅)𝑥)))
67	58, 65, 66	3eqtr4d 2775	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍‘𝑆)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → (((invg‘𝑅)‘𝑥)(.r‘𝑅)𝑧) = (𝑧(.r‘𝑅)((invg‘𝑅)‘𝑥)))
68	67	ralrimiva 3135	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍‘𝑆)) → ∀𝑧 ∈ 𝑆 (((invg‘𝑅)‘𝑥)(.r‘𝑅)𝑧) = (𝑧(.r‘𝑅)((invg‘𝑅)‘𝑥)))
69		rnggrp 20110	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ Rng → 𝑅 ∈ Grp)
70	69	ad2antrr 724	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍‘𝑆)) → 𝑅 ∈ Grp)
71		simpr 483	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍‘𝑆)) → 𝑥 ∈ (𝑍‘𝑆))
72	5, 71	sselid 3974	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍‘𝑆)) → 𝑥 ∈ 𝐵)
73	2, 59, 70, 72	grpinvcld 18953	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍‘𝑆)) → ((invg‘𝑅)‘𝑥) ∈ 𝐵)
74	3, 21, 4	cntzel 19286	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ ((invg‘𝑅)‘𝑥) ∈ 𝐵) → (((invg‘𝑅)‘𝑥) ∈ (𝑍‘𝑆) ↔ ∀𝑧 ∈ 𝑆 (((invg‘𝑅)‘𝑥)(.r‘𝑅)𝑧) = (𝑧(.r‘𝑅)((invg‘𝑅)‘𝑥))))
75	63, 73, 74	syl2anc 582	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍‘𝑆)) → (((invg‘𝑅)‘𝑥) ∈ (𝑍‘𝑆) ↔ ∀𝑧 ∈ 𝑆 (((invg‘𝑅)‘𝑥)(.r‘𝑅)𝑧) = (𝑧(.r‘𝑅)((invg‘𝑅)‘𝑥))))
76	68, 75	mpbird 256	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍‘𝑆)) → ((invg‘𝑅)‘𝑥) ∈ (𝑍‘𝑆))
77	56, 76	jca 510	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍‘𝑆)) → (∀𝑦 ∈ (𝑍‘𝑆)(𝑥(+g‘𝑅)𝑦) ∈ (𝑍‘𝑆) ∧ ((invg‘𝑅)‘𝑥) ∈ (𝑍‘𝑆)))
78	77	ralrimiva 3135	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → ∀𝑥 ∈ (𝑍‘𝑆)(∀𝑦 ∈ (𝑍‘𝑆)(𝑥(+g‘𝑅)𝑦) ∈ (𝑍‘𝑆) ∧ ((invg‘𝑅)‘𝑥) ∈ (𝑍‘𝑆)))
79	69	adantr 479	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → 𝑅 ∈ Grp)
80	2, 38, 59	issubg2 19104	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Grp → ((𝑍‘𝑆) ∈ (SubGrp‘𝑅) ↔ ((𝑍‘𝑆) ⊆ 𝐵 ∧ (𝑍‘𝑆) ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ (𝑍‘𝑆)(∀𝑦 ∈ (𝑍‘𝑆)(𝑥(+g‘𝑅)𝑦) ∈ (𝑍‘𝑆) ∧ ((invg‘𝑅)‘𝑥) ∈ (𝑍‘𝑆)))))
81	79, 80	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → ((𝑍‘𝑆) ∈ (SubGrp‘𝑅) ↔ ((𝑍‘𝑆) ⊆ 𝐵 ∧ (𝑍‘𝑆) ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ (𝑍‘𝑆)(∀𝑦 ∈ (𝑍‘𝑆)(𝑥(+g‘𝑅)𝑦) ∈ (𝑍‘𝑆) ∧ ((invg‘𝑅)‘𝑥) ∈ (𝑍‘𝑆)))))
82	6, 25, 78, 81	mpbir3and 1339	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → (𝑍‘𝑆) ∈ (SubGrp‘𝑅))
83		eqid 2725	. . . . 5 ⊢ (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
84	83	rngmgp 20108	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Rng → (mulGrp‘𝑅) ∈ Smgrp)
85	83, 2	mgpbas 20092	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘(mulGrp‘𝑅))
86	85	sseq2i 4006	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ⊆ 𝐵 ↔ 𝑆 ⊆ (Base‘(mulGrp‘𝑅)))
87	86	biimpi 215	. . . 4 ⊢ (𝑆 ⊆ 𝐵 → 𝑆 ⊆ (Base‘(mulGrp‘𝑅)))
88		eqid 2725	. . . . 5 ⊢ (Base‘(mulGrp‘𝑅)) = (Base‘(mulGrp‘𝑅))
89	1	fveq2i 6899	. . . . . 6 ⊢ (Cntz‘𝑀) = (Cntz‘(mulGrp‘𝑅))
90	4, 89	eqtri 2753	. . . . 5 ⊢ 𝑍 = (Cntz‘(mulGrp‘𝑅))
91		eqid 2725	. . . . 5 ⊢ (𝑍‘𝑆) = (𝑍‘𝑆)
92	88, 90, 91	cntzsgrpcl 19297	. . . 4 ⊢ (((mulGrp‘𝑅) ∈ Smgrp ∧ 𝑆 ⊆ (Base‘(mulGrp‘𝑅))) → ∀𝑥 ∈ (𝑍‘𝑆)∀𝑦 ∈ (𝑍‘𝑆)(𝑥(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝑦) ∈ (𝑍‘𝑆))
93	84, 87, 92	syl2an 594	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → ∀𝑥 ∈ (𝑍‘𝑆)∀𝑦 ∈ (𝑍‘𝑆)(𝑥(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝑦) ∈ (𝑍‘𝑆))
94	83, 10	mgpplusg 20090	. . . . . 6 ⊢ (.r‘𝑅) = (+g‘(mulGrp‘𝑅))
95	94	oveqi 7432	. . . . 5 ⊢ (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = (𝑥(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝑦)
96	95	eleq1i 2816	. . . 4 ⊢ ((𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ (𝑍‘𝑆) ↔ (𝑥(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝑦) ∈ (𝑍‘𝑆))
97	96	2ralbii 3117	. . 3 ⊢ (∀𝑥 ∈ (𝑍‘𝑆)∀𝑦 ∈ (𝑍‘𝑆)(𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ (𝑍‘𝑆) ↔ ∀𝑥 ∈ (𝑍‘𝑆)∀𝑦 ∈ (𝑍‘𝑆)(𝑥(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝑦) ∈ (𝑍‘𝑆))
98	93, 97	sylibr 233	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → ∀𝑥 ∈ (𝑍‘𝑆)∀𝑦 ∈ (𝑍‘𝑆)(𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ (𝑍‘𝑆))
99	2, 10	issubrng2 20507	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Rng → ((𝑍‘𝑆) ∈ (SubRng‘𝑅) ↔ ((𝑍‘𝑆) ∈ (SubGrp‘𝑅) ∧ ∀𝑥 ∈ (𝑍‘𝑆)∀𝑦 ∈ (𝑍‘𝑆)(𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ (𝑍‘𝑆))))
100	99	adantr 479	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → ((𝑍‘𝑆) ∈ (SubRng‘𝑅) ↔ ((𝑍‘𝑆) ∈ (SubGrp‘𝑅) ∧ ∀𝑥 ∈ (𝑍‘𝑆)∀𝑦 ∈ (𝑍‘𝑆)(𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ (𝑍‘𝑆))))
101	82, 98, 100	mpbir2and 711	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → (𝑍‘𝑆) ∈ (SubRng‘𝑅))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ≠ wne 2929  ∀wral 3050   ⊆ wss 3944  ∅c0 4322  ‘cfv 6549  (class class class)co 7419  Basecbs 17183  +_gcplusg 17236  ._rcmulr 17237  0_gc0g 17424  Smgrpcsgrp 18681  Grpcgrp 18898  inv_gcminusg 18899  SubGrpcsubg 19083  Cntzccntz 19278  mulGrpcmgp 20086  Rngcrng 20104  SubRngcsubrng 20494

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741  ax-cnex 11196  ax-resscn 11197  ax-1cn 11198  ax-icn 11199  ax-addcl 11200  ax-addrcl 11201  ax-mulcl 11202  ax-mulrcl 11203  ax-mulcom 11204  ax-addass 11205  ax-mulass 11206  ax-distr 11207  ax-i2m1 11208  ax-1ne0 11209  ax-1rid 11210  ax-rnegex 11211  ax-rrecex 11212  ax-cnre 11213  ax-pre-lttri 11214  ax-pre-lttrn 11215  ax-pre-ltadd 11216  ax-pre-mulgt0 11217

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3964  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4910  df-iun 4999  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6307  df-ord 6374  df-on 6375  df-lim 6376  df-suc 6377  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-riota 7375  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7872  df-2nd 7995  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-er 8725  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-pnf 11282  df-mnf 11283  df-xr 11284  df-ltxr 11285  df-le 11286  df-sub 11478  df-neg 11479  df-nn 12246  df-2 12308  df-3 12309  df-sets 17136  df-slot 17154  df-ndx 17166  df-base 17184  df-ress 17213  df-plusg 17249  df-mulr 17250  df-0g 17426  df-mgm 18603  df-sgrp 18682  df-mnd 18698  df-grp 18901  df-minusg 18902  df-subg 19086  df-cntz 19280  df-cmn 19749  df-abl 19750  df-mgp 20087  df-rng 20105  df-subrng 20495

This theorem is referenced by: (None)