Theorem cntzsubrng 20567

Description: Centralizers in a non-unital ring are subrings. (Contributed by AV, 17-Feb-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
cntzsubrng.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
cntzsubrng.m	⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑅)
cntzsubrng.z	⊢ 𝑍 = (Cntz‘𝑀)

Assertion

Ref	Expression
cntzsubrng	⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → (𝑍‘𝑆) ∈ (SubRng‘𝑅))

Proof of Theorem cntzsubrng

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cntzsubrng.m	. . . . . 6 ⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑅)
2		cntzsubrng.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
3	1, 2	mgpbas 20142	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
4		cntzsubrng.z	. . . . 5 ⊢ 𝑍 = (Cntz‘𝑀)
5	3, 4	cntzssv 19346	. . . 4 ⊢ (𝑍‘𝑆) ⊆ 𝐵
6	5	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → (𝑍‘𝑆) ⊆ 𝐵)
7		simpll 767	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → 𝑅 ∈ Rng)
8		ssel2 3978	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → 𝑧 ∈ 𝐵)
9	8	adantll 714	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → 𝑧 ∈ 𝐵)
10		eqid 2737	. . . . . . . . 9 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
11		eqid 2737	. . . . . . . . 9 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
12	2, 10, 11	rnglz 20162	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → ((0g‘𝑅)(.r‘𝑅)𝑧) = (0g‘𝑅))
13	7, 9, 12	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → ((0g‘𝑅)(.r‘𝑅)𝑧) = (0g‘𝑅))
14	2, 10, 11	rngrz 20163	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → (𝑧(.r‘𝑅)(0g‘𝑅)) = (0g‘𝑅))
15	7, 9, 14	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → (𝑧(.r‘𝑅)(0g‘𝑅)) = (0g‘𝑅))
16	13, 15	eqtr4d 2780	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → ((0g‘𝑅)(.r‘𝑅)𝑧) = (𝑧(.r‘𝑅)(0g‘𝑅)))
17	16	ralrimiva 3146	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → ∀𝑧 ∈ 𝑆 ((0g‘𝑅)(.r‘𝑅)𝑧) = (𝑧(.r‘𝑅)(0g‘𝑅)))
18		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → 𝑆 ⊆ 𝐵)
19	2, 11	rng0cl 20160	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Rng → (0g‘𝑅) ∈ 𝐵)
20	19	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → (0g‘𝑅) ∈ 𝐵)
21	1, 10	mgpplusg 20141	. . . . . . 7 ⊢ (.r‘𝑅) = (+g‘𝑀)
22	3, 21, 4	cntzel 19341	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ (0g‘𝑅) ∈ 𝐵) → ((0g‘𝑅) ∈ (𝑍‘𝑆) ↔ ∀𝑧 ∈ 𝑆 ((0g‘𝑅)(.r‘𝑅)𝑧) = (𝑧(.r‘𝑅)(0g‘𝑅))))
23	18, 20, 22	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → ((0g‘𝑅) ∈ (𝑍‘𝑆) ↔ ∀𝑧 ∈ 𝑆 ((0g‘𝑅)(.r‘𝑅)𝑧) = (𝑧(.r‘𝑅)(0g‘𝑅))))
24	17, 23	mpbird 257	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → (0g‘𝑅) ∈ (𝑍‘𝑆))
25	24	ne0d 4342	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → (𝑍‘𝑆) ≠ ∅)
26		simpl2 1193	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍‘𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝑍‘𝑆)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → 𝑥 ∈ (𝑍‘𝑆))
27	21, 4	cntzi 19347	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝑍‘𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → (𝑥(.r‘𝑅)𝑧) = (𝑧(.r‘𝑅)𝑥))
28	26, 27	sylancom 588	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍‘𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝑍‘𝑆)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → (𝑥(.r‘𝑅)𝑧) = (𝑧(.r‘𝑅)𝑥))
29		simpl3 1194	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍‘𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝑍‘𝑆)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → 𝑦 ∈ (𝑍‘𝑆))
30	21, 4	cntzi 19347	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑦 ∈ (𝑍‘𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → (𝑦(.r‘𝑅)𝑧) = (𝑧(.r‘𝑅)𝑦))
31	29, 30	sylancom 588	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍‘𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝑍‘𝑆)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → (𝑦(.r‘𝑅)𝑧) = (𝑧(.r‘𝑅)𝑦))
32	28, 31	oveq12d 7449	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍‘𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝑍‘𝑆)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → ((𝑥(.r‘𝑅)𝑧)(+g‘𝑅)(𝑦(.r‘𝑅)𝑧)) = ((𝑧(.r‘𝑅)𝑥)(+g‘𝑅)(𝑧(.r‘𝑅)𝑦)))
33		simpl1l 1225	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍‘𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝑍‘𝑆)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → 𝑅 ∈ Rng)
34	5, 26	sselid 3981	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍‘𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝑍‘𝑆)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → 𝑥 ∈ 𝐵)
35	5, 29	sselid 3981	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍‘𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝑍‘𝑆)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → 𝑦 ∈ 𝐵)
36		simp1r 1199	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍‘𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝑍‘𝑆)) → 𝑆 ⊆ 𝐵)
37	36	sselda 3983	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍‘𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝑍‘𝑆)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → 𝑧 ∈ 𝐵)
38		eqid 2737	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
39	2, 38, 10	rngdir 20158	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → ((𝑥(+g‘𝑅)𝑦)(.r‘𝑅)𝑧) = ((𝑥(.r‘𝑅)𝑧)(+g‘𝑅)(𝑦(.r‘𝑅)𝑧)))
40	33, 34, 35, 37, 39	syl13anc 1374	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍‘𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝑍‘𝑆)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → ((𝑥(+g‘𝑅)𝑦)(.r‘𝑅)𝑧) = ((𝑥(.r‘𝑅)𝑧)(+g‘𝑅)(𝑦(.r‘𝑅)𝑧)))
41	2, 38, 10	rngdi 20157	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑧(.r‘𝑅)(𝑥(+g‘𝑅)𝑦)) = ((𝑧(.r‘𝑅)𝑥)(+g‘𝑅)(𝑧(.r‘𝑅)𝑦)))
42	33, 37, 34, 35, 41	syl13anc 1374	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍‘𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝑍‘𝑆)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → (𝑧(.r‘𝑅)(𝑥(+g‘𝑅)𝑦)) = ((𝑧(.r‘𝑅)𝑥)(+g‘𝑅)(𝑧(.r‘𝑅)𝑦)))
43	32, 40, 42	3eqtr4d 2787	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍‘𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝑍‘𝑆)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → ((𝑥(+g‘𝑅)𝑦)(.r‘𝑅)𝑧) = (𝑧(.r‘𝑅)(𝑥(+g‘𝑅)𝑦)))
44	43	ralrimiva 3146	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍‘𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝑍‘𝑆)) → ∀𝑧 ∈ 𝑆 ((𝑥(+g‘𝑅)𝑦)(.r‘𝑅)𝑧) = (𝑧(.r‘𝑅)(𝑥(+g‘𝑅)𝑦)))
45		simp1l 1198	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍‘𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝑍‘𝑆)) → 𝑅 ∈ Rng)
46		simp2 1138	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍‘𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝑍‘𝑆)) → 𝑥 ∈ (𝑍‘𝑆))
47	5, 46	sselid 3981	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍‘𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝑍‘𝑆)) → 𝑥 ∈ 𝐵)
48		simp3 1139	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍‘𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝑍‘𝑆)) → 𝑦 ∈ (𝑍‘𝑆))
49	5, 48	sselid 3981	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍‘𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝑍‘𝑆)) → 𝑦 ∈ 𝐵)
50	2, 38	rngacl 20159	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑥(+g‘𝑅)𝑦) ∈ 𝐵)
51	45, 47, 49, 50	syl3anc 1373	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍‘𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝑍‘𝑆)) → (𝑥(+g‘𝑅)𝑦) ∈ 𝐵)
52	3, 21, 4	cntzel 19341	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ (𝑥(+g‘𝑅)𝑦) ∈ 𝐵) → ((𝑥(+g‘𝑅)𝑦) ∈ (𝑍‘𝑆) ↔ ∀𝑧 ∈ 𝑆 ((𝑥(+g‘𝑅)𝑦)(.r‘𝑅)𝑧) = (𝑧(.r‘𝑅)(𝑥(+g‘𝑅)𝑦))))
53	36, 51, 52	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍‘𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝑍‘𝑆)) → ((𝑥(+g‘𝑅)𝑦) ∈ (𝑍‘𝑆) ↔ ∀𝑧 ∈ 𝑆 ((𝑥(+g‘𝑅)𝑦)(.r‘𝑅)𝑧) = (𝑧(.r‘𝑅)(𝑥(+g‘𝑅)𝑦))))
54	44, 53	mpbird 257	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍‘𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝑍‘𝑆)) → (𝑥(+g‘𝑅)𝑦) ∈ (𝑍‘𝑆))
55	54	3expa 1119	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍‘𝑆)) ∧ 𝑦 ∈ (𝑍‘𝑆)) → (𝑥(+g‘𝑅)𝑦) ∈ (𝑍‘𝑆))
56	55	ralrimiva 3146	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍‘𝑆)) → ∀𝑦 ∈ (𝑍‘𝑆)(𝑥(+g‘𝑅)𝑦) ∈ (𝑍‘𝑆))
57	27	adantll 714	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍‘𝑆)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → (𝑥(.r‘𝑅)𝑧) = (𝑧(.r‘𝑅)𝑥))
58	57	fveq2d 6910	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍‘𝑆)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → ((invg‘𝑅)‘(𝑥(.r‘𝑅)𝑧)) = ((invg‘𝑅)‘(𝑧(.r‘𝑅)𝑥)))
59		eqid 2737	. . . . . . . . 9 ⊢ (invg‘𝑅) = (invg‘𝑅)
60		simplll 775	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍‘𝑆)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → 𝑅 ∈ Rng)
61		simplr 769	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍‘𝑆)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → 𝑥 ∈ (𝑍‘𝑆))
62	5, 61	sselid 3981	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍‘𝑆)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → 𝑥 ∈ 𝐵)
63		simplr 769	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍‘𝑆)) → 𝑆 ⊆ 𝐵)
64	63	sselda 3983	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍‘𝑆)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → 𝑧 ∈ 𝐵)
65	2, 10, 59, 60, 62, 64	rngmneg1 20164	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍‘𝑆)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → (((invg‘𝑅)‘𝑥)(.r‘𝑅)𝑧) = ((invg‘𝑅)‘(𝑥(.r‘𝑅)𝑧)))
66	2, 10, 59, 60, 64, 62	rngmneg2 20165	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍‘𝑆)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → (𝑧(.r‘𝑅)((invg‘𝑅)‘𝑥)) = ((invg‘𝑅)‘(𝑧(.r‘𝑅)𝑥)))
67	58, 65, 66	3eqtr4d 2787	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍‘𝑆)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → (((invg‘𝑅)‘𝑥)(.r‘𝑅)𝑧) = (𝑧(.r‘𝑅)((invg‘𝑅)‘𝑥)))
68	67	ralrimiva 3146	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍‘𝑆)) → ∀𝑧 ∈ 𝑆 (((invg‘𝑅)‘𝑥)(.r‘𝑅)𝑧) = (𝑧(.r‘𝑅)((invg‘𝑅)‘𝑥)))
69		rnggrp 20155	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ Rng → 𝑅 ∈ Grp)
70	69	ad2antrr 726	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍‘𝑆)) → 𝑅 ∈ Grp)
71		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍‘𝑆)) → 𝑥 ∈ (𝑍‘𝑆))
72	5, 71	sselid 3981	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍‘𝑆)) → 𝑥 ∈ 𝐵)
73	2, 59, 70, 72	grpinvcld 19006	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍‘𝑆)) → ((invg‘𝑅)‘𝑥) ∈ 𝐵)
74	3, 21, 4	cntzel 19341	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ ((invg‘𝑅)‘𝑥) ∈ 𝐵) → (((invg‘𝑅)‘𝑥) ∈ (𝑍‘𝑆) ↔ ∀𝑧 ∈ 𝑆 (((invg‘𝑅)‘𝑥)(.r‘𝑅)𝑧) = (𝑧(.r‘𝑅)((invg‘𝑅)‘𝑥))))
75	63, 73, 74	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍‘𝑆)) → (((invg‘𝑅)‘𝑥) ∈ (𝑍‘𝑆) ↔ ∀𝑧 ∈ 𝑆 (((invg‘𝑅)‘𝑥)(.r‘𝑅)𝑧) = (𝑧(.r‘𝑅)((invg‘𝑅)‘𝑥))))
76	68, 75	mpbird 257	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍‘𝑆)) → ((invg‘𝑅)‘𝑥) ∈ (𝑍‘𝑆))
77	56, 76	jca 511	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍‘𝑆)) → (∀𝑦 ∈ (𝑍‘𝑆)(𝑥(+g‘𝑅)𝑦) ∈ (𝑍‘𝑆) ∧ ((invg‘𝑅)‘𝑥) ∈ (𝑍‘𝑆)))
78	77	ralrimiva 3146	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → ∀𝑥 ∈ (𝑍‘𝑆)(∀𝑦 ∈ (𝑍‘𝑆)(𝑥(+g‘𝑅)𝑦) ∈ (𝑍‘𝑆) ∧ ((invg‘𝑅)‘𝑥) ∈ (𝑍‘𝑆)))
79	69	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → 𝑅 ∈ Grp)
80	2, 38, 59	issubg2 19159	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Grp → ((𝑍‘𝑆) ∈ (SubGrp‘𝑅) ↔ ((𝑍‘𝑆) ⊆ 𝐵 ∧ (𝑍‘𝑆) ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ (𝑍‘𝑆)(∀𝑦 ∈ (𝑍‘𝑆)(𝑥(+g‘𝑅)𝑦) ∈ (𝑍‘𝑆) ∧ ((invg‘𝑅)‘𝑥) ∈ (𝑍‘𝑆)))))
81	79, 80	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → ((𝑍‘𝑆) ∈ (SubGrp‘𝑅) ↔ ((𝑍‘𝑆) ⊆ 𝐵 ∧ (𝑍‘𝑆) ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ (𝑍‘𝑆)(∀𝑦 ∈ (𝑍‘𝑆)(𝑥(+g‘𝑅)𝑦) ∈ (𝑍‘𝑆) ∧ ((invg‘𝑅)‘𝑥) ∈ (𝑍‘𝑆)))))
82	6, 25, 78, 81	mpbir3and 1343	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → (𝑍‘𝑆) ∈ (SubGrp‘𝑅))
83		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
84	83	rngmgp 20153	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Rng → (mulGrp‘𝑅) ∈ Smgrp)
85	83, 2	mgpbas 20142	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘(mulGrp‘𝑅))
86	85	sseq2i 4013	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ⊆ 𝐵 ↔ 𝑆 ⊆ (Base‘(mulGrp‘𝑅)))
87	86	biimpi 216	. . . 4 ⊢ (𝑆 ⊆ 𝐵 → 𝑆 ⊆ (Base‘(mulGrp‘𝑅)))
88		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (Base‘(mulGrp‘𝑅)) = (Base‘(mulGrp‘𝑅))
89	1	fveq2i 6909	. . . . . 6 ⊢ (Cntz‘𝑀) = (Cntz‘(mulGrp‘𝑅))
90	4, 89	eqtri 2765	. . . . 5 ⊢ 𝑍 = (Cntz‘(mulGrp‘𝑅))
91		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (𝑍‘𝑆) = (𝑍‘𝑆)
92	88, 90, 91	cntzsgrpcl 19352	. . . 4 ⊢ (((mulGrp‘𝑅) ∈ Smgrp ∧ 𝑆 ⊆ (Base‘(mulGrp‘𝑅))) → ∀𝑥 ∈ (𝑍‘𝑆)∀𝑦 ∈ (𝑍‘𝑆)(𝑥(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝑦) ∈ (𝑍‘𝑆))
93	84, 87, 92	syl2an 596	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → ∀𝑥 ∈ (𝑍‘𝑆)∀𝑦 ∈ (𝑍‘𝑆)(𝑥(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝑦) ∈ (𝑍‘𝑆))
94	83, 10	mgpplusg 20141	. . . . . 6 ⊢ (.r‘𝑅) = (+g‘(mulGrp‘𝑅))
95	94	oveqi 7444	. . . . 5 ⊢ (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = (𝑥(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝑦)
96	95	eleq1i 2832	. . . 4 ⊢ ((𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ (𝑍‘𝑆) ↔ (𝑥(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝑦) ∈ (𝑍‘𝑆))
97	96	2ralbii 3128	. . 3 ⊢ (∀𝑥 ∈ (𝑍‘𝑆)∀𝑦 ∈ (𝑍‘𝑆)(𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ (𝑍‘𝑆) ↔ ∀𝑥 ∈ (𝑍‘𝑆)∀𝑦 ∈ (𝑍‘𝑆)(𝑥(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝑦) ∈ (𝑍‘𝑆))
98	93, 97	sylibr 234	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → ∀𝑥 ∈ (𝑍‘𝑆)∀𝑦 ∈ (𝑍‘𝑆)(𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ (𝑍‘𝑆))
99	2, 10	issubrng2 20558	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Rng → ((𝑍‘𝑆) ∈ (SubRng‘𝑅) ↔ ((𝑍‘𝑆) ∈ (SubGrp‘𝑅) ∧ ∀𝑥 ∈ (𝑍‘𝑆)∀𝑦 ∈ (𝑍‘𝑆)(𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ (𝑍‘𝑆))))
100	99	adantr 480	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → ((𝑍‘𝑆) ∈ (SubRng‘𝑅) ↔ ((𝑍‘𝑆) ∈ (SubGrp‘𝑅) ∧ ∀𝑥 ∈ (𝑍‘𝑆)∀𝑦 ∈ (𝑍‘𝑆)(𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ (𝑍‘𝑆))))
101	82, 98, 100	mpbir2and 713	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → (𝑍‘𝑆) ∈ (SubRng‘𝑅))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2940  ∀wral 3061   ⊆ wss 3951  ∅c0 4333  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431  Basecbs 17247  +_gcplusg 17297  ._rcmulr 17298  0_gc0g 17484  Smgrpcsgrp 18731  Grpcgrp 18951  inv_gcminusg 18952  SubGrpcsubg 19138  Cntzccntz 19333  mulGrpcmgp 20137  Rngcrng 20149  SubRngcsubrng 20545

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-0g 17486  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-grp 18954  df-minusg 18955  df-subg 19141  df-cntz 19335  df-cmn 19800  df-abl 19801  df-mgp 20138  df-rng 20150  df-subrng 20546

This theorem is referenced by: (None)