Theorem cntzsubrng 20819

Description: Centralizers in a non-unital ring are subrings. (Contributed by AV, 17-Feb-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
cntzsubrng.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
cntzsubrng.m	⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑅)
cntzsubrng.z	⊢ 𝑍 = (Cntz‘𝑀)

Assertion

Ref	Expression
cntzsubrng	⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → (𝑍‘𝑆) ∈ (SubRng‘𝑅))

Proof of Theorem cntzsubrng

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cntzsubrng.m	. . . . . 6 ⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑅)
2		cntzsubrng.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
3	1, 2	mgpbas 20365	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
4		cntzsubrng.z	. . . . 5 ⊢ 𝑍 = (Cntz‘𝑀)
5	3, 4	cntzssv 19542	. . . 4 ⊢ (𝑍‘𝑆) ⊆ 𝐵
6	5	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → (𝑍‘𝑆) ⊆ 𝐵)
7		simpll 779	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → 𝑅 ∈ Rng)
8		ssel2 3926	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → 𝑧 ∈ 𝐵)
9	8	adantll 727	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → 𝑧 ∈ 𝐵)
10		eqid 2761	. . . . . . . . 9 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
11		eqid 2761	. . . . . . . . 9 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
12	2, 10, 11	rnglz 20387	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → ((0g‘𝑅)(.r‘𝑅)𝑧) = (0g‘𝑅))
13	7, 9, 12	syl2anc 596	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → ((0g‘𝑅)(.r‘𝑅)𝑧) = (0g‘𝑅))
14	2, 10, 11	rngrz 20388	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → (𝑧(.r‘𝑅)(0g‘𝑅)) = (0g‘𝑅))
15	7, 9, 14	syl2anc 596	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → (𝑧(.r‘𝑅)(0g‘𝑅)) = (0g‘𝑅))
16	13, 15	eqtr4d 2799	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → ((0g‘𝑅)(.r‘𝑅)𝑧) = (𝑧(.r‘𝑅)(0g‘𝑅)))
17	16	ralrimiva 3155	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → ∀𝑧 ∈ 𝑆 ((0g‘𝑅)(.r‘𝑅)𝑧) = (𝑧(.r‘𝑅)(0g‘𝑅)))
18		simpr 490	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → 𝑆 ⊆ 𝐵)
19	2, 11	rng0cl 20385	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Rng → (0g‘𝑅) ∈ 𝐵)
20	19	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → (0g‘𝑅) ∈ 𝐵)
21	1, 10	mgpplusg 20364	. . . . . . 7 ⊢ (.r‘𝑅) = (+g‘𝑀)
22	3, 21, 4	cntzel 19537	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ (0g‘𝑅) ∈ 𝐵) → ((0g‘𝑅) ∈ (𝑍‘𝑆) ↔ ∀𝑧 ∈ 𝑆 ((0g‘𝑅)(.r‘𝑅)𝑧) = (𝑧(.r‘𝑅)(0g‘𝑅))))
23	18, 20, 22	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → ((0g‘𝑅) ∈ (𝑍‘𝑆) ↔ ∀𝑧 ∈ 𝑆 ((0g‘𝑅)(.r‘𝑅)𝑧) = (𝑧(.r‘𝑅)(0g‘𝑅))))
24	17, 23	mpbird 260	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → (0g‘𝑅) ∈ (𝑍‘𝑆))
25	24	ne0d 4288	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → (𝑍‘𝑆) ≠ ∅)
26		simpl2 1211	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍‘𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝑍‘𝑆)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → 𝑥 ∈ (𝑍‘𝑆))
27	21, 4	cntzi 19543	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝑍‘𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → (𝑥(.r‘𝑅)𝑧) = (𝑧(.r‘𝑅)𝑥))
28	26, 27	sylancom 600	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍‘𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝑍‘𝑆)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → (𝑥(.r‘𝑅)𝑧) = (𝑧(.r‘𝑅)𝑥))
29		simpl3 1212	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍‘𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝑍‘𝑆)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → 𝑦 ∈ (𝑍‘𝑆))
30	21, 4	cntzi 19543	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑦 ∈ (𝑍‘𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → (𝑦(.r‘𝑅)𝑧) = (𝑧(.r‘𝑅)𝑦))
31	29, 30	sylancom 600	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍‘𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝑍‘𝑆)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → (𝑦(.r‘𝑅)𝑧) = (𝑧(.r‘𝑅)𝑦))
32	28, 31	oveq12d 7438	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍‘𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝑍‘𝑆)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → ((𝑥(.r‘𝑅)𝑧)(+g‘𝑅)(𝑦(.r‘𝑅)𝑧)) = ((𝑧(.r‘𝑅)𝑥)(+g‘𝑅)(𝑧(.r‘𝑅)𝑦)))
33		simpl1l 1243	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍‘𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝑍‘𝑆)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → 𝑅 ∈ Rng)
34	5, 26	sselid 3929	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍‘𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝑍‘𝑆)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → 𝑥 ∈ 𝐵)
35	5, 29	sselid 3929	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍‘𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝑍‘𝑆)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → 𝑦 ∈ 𝐵)
36		simp1r 1217	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍‘𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝑍‘𝑆)) → 𝑆 ⊆ 𝐵)
37	36	sselda 3931	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍‘𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝑍‘𝑆)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → 𝑧 ∈ 𝐵)
38		eqid 2761	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
39	2, 38, 10	rngdir 20383	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → ((𝑥(+g‘𝑅)𝑦)(.r‘𝑅)𝑧) = ((𝑥(.r‘𝑅)𝑧)(+g‘𝑅)(𝑦(.r‘𝑅)𝑧)))
40	33, 34, 35, 37, 39	syl13anc 1399	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍‘𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝑍‘𝑆)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → ((𝑥(+g‘𝑅)𝑦)(.r‘𝑅)𝑧) = ((𝑥(.r‘𝑅)𝑧)(+g‘𝑅)(𝑦(.r‘𝑅)𝑧)))
41	2, 38, 10	rngdi 20382	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑧(.r‘𝑅)(𝑥(+g‘𝑅)𝑦)) = ((𝑧(.r‘𝑅)𝑥)(+g‘𝑅)(𝑧(.r‘𝑅)𝑦)))
42	33, 37, 34, 35, 41	syl13anc 1399	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍‘𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝑍‘𝑆)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → (𝑧(.r‘𝑅)(𝑥(+g‘𝑅)𝑦)) = ((𝑧(.r‘𝑅)𝑥)(+g‘𝑅)(𝑧(.r‘𝑅)𝑦)))
43	32, 40, 42	3eqtr4d 2806	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍‘𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝑍‘𝑆)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → ((𝑥(+g‘𝑅)𝑦)(.r‘𝑅)𝑧) = (𝑧(.r‘𝑅)(𝑥(+g‘𝑅)𝑦)))
44	43	ralrimiva 3155	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍‘𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝑍‘𝑆)) → ∀𝑧 ∈ 𝑆 ((𝑥(+g‘𝑅)𝑦)(.r‘𝑅)𝑧) = (𝑧(.r‘𝑅)(𝑥(+g‘𝑅)𝑦)))
45		simp1l 1216	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍‘𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝑍‘𝑆)) → 𝑅 ∈ Rng)
46		simp2 1155	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍‘𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝑍‘𝑆)) → 𝑥 ∈ (𝑍‘𝑆))
47	5, 46	sselid 3929	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍‘𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝑍‘𝑆)) → 𝑥 ∈ 𝐵)
48		simp3 1156	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍‘𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝑍‘𝑆)) → 𝑦 ∈ (𝑍‘𝑆))
49	5, 48	sselid 3929	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍‘𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝑍‘𝑆)) → 𝑦 ∈ 𝐵)
50	2, 38	rngacl 20384	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑥(+g‘𝑅)𝑦) ∈ 𝐵)
51	45, 47, 49, 50	syl3anc 1398	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍‘𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝑍‘𝑆)) → (𝑥(+g‘𝑅)𝑦) ∈ 𝐵)
52	3, 21, 4	cntzel 19537	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ (𝑥(+g‘𝑅)𝑦) ∈ 𝐵) → ((𝑥(+g‘𝑅)𝑦) ∈ (𝑍‘𝑆) ↔ ∀𝑧 ∈ 𝑆 ((𝑥(+g‘𝑅)𝑦)(.r‘𝑅)𝑧) = (𝑧(.r‘𝑅)(𝑥(+g‘𝑅)𝑦))))
53	36, 51, 52	syl2anc 596	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍‘𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝑍‘𝑆)) → ((𝑥(+g‘𝑅)𝑦) ∈ (𝑍‘𝑆) ↔ ∀𝑧 ∈ 𝑆 ((𝑥(+g‘𝑅)𝑦)(.r‘𝑅)𝑧) = (𝑧(.r‘𝑅)(𝑥(+g‘𝑅)𝑦))))
54	44, 53	mpbird 260	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍‘𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝑍‘𝑆)) → (𝑥(+g‘𝑅)𝑦) ∈ (𝑍‘𝑆))
55	54	3expa 1136	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍‘𝑆)) ∧ 𝑦 ∈ (𝑍‘𝑆)) → (𝑥(+g‘𝑅)𝑦) ∈ (𝑍‘𝑆))
56	55	ralrimiva 3155	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍‘𝑆)) → ∀𝑦 ∈ (𝑍‘𝑆)(𝑥(+g‘𝑅)𝑦) ∈ (𝑍‘𝑆))
57	27	adantll 727	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍‘𝑆)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → (𝑥(.r‘𝑅)𝑧) = (𝑧(.r‘𝑅)𝑥))
58	57	fveq2d 6889	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍‘𝑆)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → ((invg‘𝑅)‘(𝑥(.r‘𝑅)𝑧)) = ((invg‘𝑅)‘(𝑧(.r‘𝑅)𝑥)))
59		eqid 2761	. . . . . . . . 9 ⊢ (invg‘𝑅) = (invg‘𝑅)
60		simplll 787	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍‘𝑆)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → 𝑅 ∈ Rng)
61		simplr 781	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍‘𝑆)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → 𝑥 ∈ (𝑍‘𝑆))
62	5, 61	sselid 3929	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍‘𝑆)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → 𝑥 ∈ 𝐵)
63		simplr 781	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍‘𝑆)) → 𝑆 ⊆ 𝐵)
64	63	sselda 3931	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍‘𝑆)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → 𝑧 ∈ 𝐵)
65	2, 10, 59, 60, 62, 64	rngmneg1 20389	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍‘𝑆)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → (((invg‘𝑅)‘𝑥)(.r‘𝑅)𝑧) = ((invg‘𝑅)‘(𝑥(.r‘𝑅)𝑧)))
66	2, 10, 59, 60, 64, 62	rngmneg2 20390	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍‘𝑆)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → (𝑧(.r‘𝑅)((invg‘𝑅)‘𝑥)) = ((invg‘𝑅)‘(𝑧(.r‘𝑅)𝑥)))
67	58, 65, 66	3eqtr4d 2806	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍‘𝑆)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → (((invg‘𝑅)‘𝑥)(.r‘𝑅)𝑧) = (𝑧(.r‘𝑅)((invg‘𝑅)‘𝑥)))
68	67	ralrimiva 3155	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍‘𝑆)) → ∀𝑧 ∈ 𝑆 (((invg‘𝑅)‘𝑥)(.r‘𝑅)𝑧) = (𝑧(.r‘𝑅)((invg‘𝑅)‘𝑥)))
69		rnggrp 20380	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ Rng → 𝑅 ∈ Grp)
70	69	ad2antrr 739	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍‘𝑆)) → 𝑅 ∈ Grp)
71		simpr 490	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍‘𝑆)) → 𝑥 ∈ (𝑍‘𝑆))
72	5, 71	sselid 3929	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍‘𝑆)) → 𝑥 ∈ 𝐵)
73	2, 59, 70, 72	grpinvcld 19199	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍‘𝑆)) → ((invg‘𝑅)‘𝑥) ∈ 𝐵)
74	3, 21, 4	cntzel 19537	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ ((invg‘𝑅)‘𝑥) ∈ 𝐵) → (((invg‘𝑅)‘𝑥) ∈ (𝑍‘𝑆) ↔ ∀𝑧 ∈ 𝑆 (((invg‘𝑅)‘𝑥)(.r‘𝑅)𝑧) = (𝑧(.r‘𝑅)((invg‘𝑅)‘𝑥))))
75	63, 73, 74	syl2anc 596	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍‘𝑆)) → (((invg‘𝑅)‘𝑥) ∈ (𝑍‘𝑆) ↔ ∀𝑧 ∈ 𝑆 (((invg‘𝑅)‘𝑥)(.r‘𝑅)𝑧) = (𝑧(.r‘𝑅)((invg‘𝑅)‘𝑥))))
76	68, 75	mpbird 260	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍‘𝑆)) → ((invg‘𝑅)‘𝑥) ∈ (𝑍‘𝑆))
77	56, 76	jca 521	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍‘𝑆)) → (∀𝑦 ∈ (𝑍‘𝑆)(𝑥(+g‘𝑅)𝑦) ∈ (𝑍‘𝑆) ∧ ((invg‘𝑅)‘𝑥) ∈ (𝑍‘𝑆)))
78	77	ralrimiva 3155	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → ∀𝑥 ∈ (𝑍‘𝑆)(∀𝑦 ∈ (𝑍‘𝑆)(𝑥(+g‘𝑅)𝑦) ∈ (𝑍‘𝑆) ∧ ((invg‘𝑅)‘𝑥) ∈ (𝑍‘𝑆)))
79	69	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → 𝑅 ∈ Grp)
80	2, 38, 59	issubg2 19352	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Grp → ((𝑍‘𝑆) ∈ (SubGrp‘𝑅) ↔ ((𝑍‘𝑆) ⊆ 𝐵 ∧ (𝑍‘𝑆) ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ (𝑍‘𝑆)(∀𝑦 ∈ (𝑍‘𝑆)(𝑥(+g‘𝑅)𝑦) ∈ (𝑍‘𝑆) ∧ ((invg‘𝑅)‘𝑥) ∈ (𝑍‘𝑆)))))
81	79, 80	syl 18	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → ((𝑍‘𝑆) ∈ (SubGrp‘𝑅) ↔ ((𝑍‘𝑆) ⊆ 𝐵 ∧ (𝑍‘𝑆) ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ (𝑍‘𝑆)(∀𝑦 ∈ (𝑍‘𝑆)(𝑥(+g‘𝑅)𝑦) ∈ (𝑍‘𝑆) ∧ ((invg‘𝑅)‘𝑥) ∈ (𝑍‘𝑆)))))
82	6, 25, 78, 81	mpbir3and 1361	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → (𝑍‘𝑆) ∈ (SubGrp‘𝑅))
83		eqid 2761	. . . . 5 ⊢ (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
84	83	rngmgp 20378	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Rng → (mulGrp‘𝑅) ∈ Smgrp)
85	83, 2	mgpbas 20365	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘(mulGrp‘𝑅))
86	85	sseq2i 3960	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ⊆ 𝐵 ↔ 𝑆 ⊆ (Base‘(mulGrp‘𝑅)))
87	86	biimpi 219	. . . 4 ⊢ (𝑆 ⊆ 𝐵 → 𝑆 ⊆ (Base‘(mulGrp‘𝑅)))
88		eqid 2761	. . . . 5 ⊢ (Base‘(mulGrp‘𝑅)) = (Base‘(mulGrp‘𝑅))
89	1	fveq2i 6888	. . . . . 6 ⊢ (Cntz‘𝑀) = (Cntz‘(mulGrp‘𝑅))
90	4, 89	eqtri 2784	. . . . 5 ⊢ 𝑍 = (Cntz‘(mulGrp‘𝑅))
91		eqid 2761	. . . . 5 ⊢ (𝑍‘𝑆) = (𝑍‘𝑆)
92	88, 90, 91	cntzsgrpcl 19548	. . . 4 ⊢ (((mulGrp‘𝑅) ∈ Smgrp ∧ 𝑆 ⊆ (Base‘(mulGrp‘𝑅))) → ∀𝑥 ∈ (𝑍‘𝑆)∀𝑦 ∈ (𝑍‘𝑆)(𝑥(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝑦) ∈ (𝑍‘𝑆))
93	84, 87, 92	syl2an 608	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → ∀𝑥 ∈ (𝑍‘𝑆)∀𝑦 ∈ (𝑍‘𝑆)(𝑥(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝑦) ∈ (𝑍‘𝑆))
94	83, 10	mgpplusg 20364	. . . . . 6 ⊢ (.r‘𝑅) = (+g‘(mulGrp‘𝑅))
95	94	oveqi 7433	. . . . 5 ⊢ (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = (𝑥(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝑦)
96	95	eleq1i 2852	. . . 4 ⊢ ((𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ (𝑍‘𝑆) ↔ (𝑥(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝑦) ∈ (𝑍‘𝑆))
97	96	2ralbii 3138	. . 3 ⊢ (∀𝑥 ∈ (𝑍‘𝑆)∀𝑦 ∈ (𝑍‘𝑆)(𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ (𝑍‘𝑆) ↔ ∀𝑥 ∈ (𝑍‘𝑆)∀𝑦 ∈ (𝑍‘𝑆)(𝑥(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝑦) ∈ (𝑍‘𝑆))
98	93, 97	sylibr 237	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → ∀𝑥 ∈ (𝑍‘𝑆)∀𝑦 ∈ (𝑍‘𝑆)(𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ (𝑍‘𝑆))
99	2, 10	issubrng2 20810	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Rng → ((𝑍‘𝑆) ∈ (SubRng‘𝑅) ↔ ((𝑍‘𝑆) ∈ (SubGrp‘𝑅) ∧ ∀𝑥 ∈ (𝑍‘𝑆)∀𝑦 ∈ (𝑍‘𝑆)(𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ (𝑍‘𝑆))))
100	99	adantr 486	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → ((𝑍‘𝑆) ∈ (SubRng‘𝑅) ↔ ((𝑍‘𝑆) ∈ (SubGrp‘𝑅) ∧ ∀𝑥 ∈ (𝑍‘𝑆)∀𝑦 ∈ (𝑍‘𝑆)(𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ (𝑍‘𝑆))))
101	82, 98, 100	mpbir2and 726	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → (𝑍‘𝑆) ∈ (SubRng‘𝑅))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2956  ∀wral 3077   ⊆ wss 3899  ∅c0 4279  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  Basecbs 17387  +_gcplusg 17428  ._rcmulr 17429  0_gc0g 17610  Smgrpcsgrp 18907  Grpcgrp 19144  inv_gcminusg 19145  SubGrpcsubg 19330  Cntzccntz 19529  mulGrpcmgp 20360  Rngcrng 20374  SubRngcsubrng 20797

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7751  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-2nd 8002  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-er 8717  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-nn 12336  df-2 12405  df-3 12406  df-sets 17342  df-slot 17360  df-ndx 17372  df-base 17388  df-ress 17409  df-plusg 17441  df-mulr 17442  df-0g 17612  df-mgm 18816  df-sgrp 18908  df-mnd 18924  df-grp 19147  df-minusg 19148  df-subg 19333  df-cntz 19531  df-cmn 19996  df-abl 19997  df-mgp 20361  df-rng 20375  df-subrng 20798

This theorem is used by: (None)