Theorem cntzsubrng 20512

Description: Centralizers in a non-unital ring are subrings. (Contributed by AV, 17-Feb-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
cntzsubrng.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
cntzsubrng.m	⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑅)
cntzsubrng.z	⊢ 𝑍 = (Cntz‘𝑀)

Assertion

Ref	Expression
cntzsubrng	⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → (𝑍‘𝑆) ∈ (SubRng‘𝑅))

Proof of Theorem cntzsubrng

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cntzsubrng.m	. . . . . 6 ⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑅)
2		cntzsubrng.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
3	1, 2	mgpbas 20092	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
4		cntzsubrng.z	. . . . 5 ⊢ 𝑍 = (Cntz‘𝑀)
5	3, 4	cntzssv 19269	. . . 4 ⊢ (𝑍‘𝑆) ⊆ 𝐵
6	5	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → (𝑍‘𝑆) ⊆ 𝐵)
7		simpll 767	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → 𝑅 ∈ Rng)
8		ssel2 3930	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → 𝑧 ∈ 𝐵)
9	8	adantll 715	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → 𝑧 ∈ 𝐵)
10		eqid 2737	. . . . . . . . 9 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
11		eqid 2737	. . . . . . . . 9 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
12	2, 10, 11	rnglz 20112	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → ((0g‘𝑅)(.r‘𝑅)𝑧) = (0g‘𝑅))
13	7, 9, 12	syl2anc 585	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → ((0g‘𝑅)(.r‘𝑅)𝑧) = (0g‘𝑅))
14	2, 10, 11	rngrz 20113	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → (𝑧(.r‘𝑅)(0g‘𝑅)) = (0g‘𝑅))
15	7, 9, 14	syl2anc 585	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → (𝑧(.r‘𝑅)(0g‘𝑅)) = (0g‘𝑅))
16	13, 15	eqtr4d 2775	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → ((0g‘𝑅)(.r‘𝑅)𝑧) = (𝑧(.r‘𝑅)(0g‘𝑅)))
17	16	ralrimiva 3130	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → ∀𝑧 ∈ 𝑆 ((0g‘𝑅)(.r‘𝑅)𝑧) = (𝑧(.r‘𝑅)(0g‘𝑅)))
18		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → 𝑆 ⊆ 𝐵)
19	2, 11	rng0cl 20110	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Rng → (0g‘𝑅) ∈ 𝐵)
20	19	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → (0g‘𝑅) ∈ 𝐵)
21	1, 10	mgpplusg 20091	. . . . . . 7 ⊢ (.r‘𝑅) = (+g‘𝑀)
22	3, 21, 4	cntzel 19264	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ (0g‘𝑅) ∈ 𝐵) → ((0g‘𝑅) ∈ (𝑍‘𝑆) ↔ ∀𝑧 ∈ 𝑆 ((0g‘𝑅)(.r‘𝑅)𝑧) = (𝑧(.r‘𝑅)(0g‘𝑅))))
23	18, 20, 22	syl2anc 585	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → ((0g‘𝑅) ∈ (𝑍‘𝑆) ↔ ∀𝑧 ∈ 𝑆 ((0g‘𝑅)(.r‘𝑅)𝑧) = (𝑧(.r‘𝑅)(0g‘𝑅))))
24	17, 23	mpbird 257	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → (0g‘𝑅) ∈ (𝑍‘𝑆))
25	24	ne0d 4296	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → (𝑍‘𝑆) ≠ ∅)
26		simpl2 1194	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍‘𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝑍‘𝑆)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → 𝑥 ∈ (𝑍‘𝑆))
27	21, 4	cntzi 19270	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝑍‘𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → (𝑥(.r‘𝑅)𝑧) = (𝑧(.r‘𝑅)𝑥))
28	26, 27	sylancom 589	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍‘𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝑍‘𝑆)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → (𝑥(.r‘𝑅)𝑧) = (𝑧(.r‘𝑅)𝑥))
29		simpl3 1195	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍‘𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝑍‘𝑆)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → 𝑦 ∈ (𝑍‘𝑆))
30	21, 4	cntzi 19270	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑦 ∈ (𝑍‘𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → (𝑦(.r‘𝑅)𝑧) = (𝑧(.r‘𝑅)𝑦))
31	29, 30	sylancom 589	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍‘𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝑍‘𝑆)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → (𝑦(.r‘𝑅)𝑧) = (𝑧(.r‘𝑅)𝑦))
32	28, 31	oveq12d 7386	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍‘𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝑍‘𝑆)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → ((𝑥(.r‘𝑅)𝑧)(+g‘𝑅)(𝑦(.r‘𝑅)𝑧)) = ((𝑧(.r‘𝑅)𝑥)(+g‘𝑅)(𝑧(.r‘𝑅)𝑦)))
33		simpl1l 1226	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍‘𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝑍‘𝑆)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → 𝑅 ∈ Rng)
34	5, 26	sselid 3933	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍‘𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝑍‘𝑆)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → 𝑥 ∈ 𝐵)
35	5, 29	sselid 3933	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍‘𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝑍‘𝑆)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → 𝑦 ∈ 𝐵)
36		simp1r 1200	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍‘𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝑍‘𝑆)) → 𝑆 ⊆ 𝐵)
37	36	sselda 3935	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍‘𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝑍‘𝑆)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → 𝑧 ∈ 𝐵)
38		eqid 2737	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
39	2, 38, 10	rngdir 20108	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → ((𝑥(+g‘𝑅)𝑦)(.r‘𝑅)𝑧) = ((𝑥(.r‘𝑅)𝑧)(+g‘𝑅)(𝑦(.r‘𝑅)𝑧)))
40	33, 34, 35, 37, 39	syl13anc 1375	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍‘𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝑍‘𝑆)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → ((𝑥(+g‘𝑅)𝑦)(.r‘𝑅)𝑧) = ((𝑥(.r‘𝑅)𝑧)(+g‘𝑅)(𝑦(.r‘𝑅)𝑧)))
41	2, 38, 10	rngdi 20107	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑧(.r‘𝑅)(𝑥(+g‘𝑅)𝑦)) = ((𝑧(.r‘𝑅)𝑥)(+g‘𝑅)(𝑧(.r‘𝑅)𝑦)))
42	33, 37, 34, 35, 41	syl13anc 1375	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍‘𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝑍‘𝑆)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → (𝑧(.r‘𝑅)(𝑥(+g‘𝑅)𝑦)) = ((𝑧(.r‘𝑅)𝑥)(+g‘𝑅)(𝑧(.r‘𝑅)𝑦)))
43	32, 40, 42	3eqtr4d 2782	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍‘𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝑍‘𝑆)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → ((𝑥(+g‘𝑅)𝑦)(.r‘𝑅)𝑧) = (𝑧(.r‘𝑅)(𝑥(+g‘𝑅)𝑦)))
44	43	ralrimiva 3130	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍‘𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝑍‘𝑆)) → ∀𝑧 ∈ 𝑆 ((𝑥(+g‘𝑅)𝑦)(.r‘𝑅)𝑧) = (𝑧(.r‘𝑅)(𝑥(+g‘𝑅)𝑦)))
45		simp1l 1199	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍‘𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝑍‘𝑆)) → 𝑅 ∈ Rng)
46		simp2 1138	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍‘𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝑍‘𝑆)) → 𝑥 ∈ (𝑍‘𝑆))
47	5, 46	sselid 3933	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍‘𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝑍‘𝑆)) → 𝑥 ∈ 𝐵)
48		simp3 1139	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍‘𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝑍‘𝑆)) → 𝑦 ∈ (𝑍‘𝑆))
49	5, 48	sselid 3933	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍‘𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝑍‘𝑆)) → 𝑦 ∈ 𝐵)
50	2, 38	rngacl 20109	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑥(+g‘𝑅)𝑦) ∈ 𝐵)
51	45, 47, 49, 50	syl3anc 1374	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍‘𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝑍‘𝑆)) → (𝑥(+g‘𝑅)𝑦) ∈ 𝐵)
52	3, 21, 4	cntzel 19264	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ (𝑥(+g‘𝑅)𝑦) ∈ 𝐵) → ((𝑥(+g‘𝑅)𝑦) ∈ (𝑍‘𝑆) ↔ ∀𝑧 ∈ 𝑆 ((𝑥(+g‘𝑅)𝑦)(.r‘𝑅)𝑧) = (𝑧(.r‘𝑅)(𝑥(+g‘𝑅)𝑦))))
53	36, 51, 52	syl2anc 585	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍‘𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝑍‘𝑆)) → ((𝑥(+g‘𝑅)𝑦) ∈ (𝑍‘𝑆) ↔ ∀𝑧 ∈ 𝑆 ((𝑥(+g‘𝑅)𝑦)(.r‘𝑅)𝑧) = (𝑧(.r‘𝑅)(𝑥(+g‘𝑅)𝑦))))
54	44, 53	mpbird 257	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍‘𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝑍‘𝑆)) → (𝑥(+g‘𝑅)𝑦) ∈ (𝑍‘𝑆))
55	54	3expa 1119	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍‘𝑆)) ∧ 𝑦 ∈ (𝑍‘𝑆)) → (𝑥(+g‘𝑅)𝑦) ∈ (𝑍‘𝑆))
56	55	ralrimiva 3130	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍‘𝑆)) → ∀𝑦 ∈ (𝑍‘𝑆)(𝑥(+g‘𝑅)𝑦) ∈ (𝑍‘𝑆))
57	27	adantll 715	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍‘𝑆)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → (𝑥(.r‘𝑅)𝑧) = (𝑧(.r‘𝑅)𝑥))
58	57	fveq2d 6846	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍‘𝑆)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → ((invg‘𝑅)‘(𝑥(.r‘𝑅)𝑧)) = ((invg‘𝑅)‘(𝑧(.r‘𝑅)𝑥)))
59		eqid 2737	. . . . . . . . 9 ⊢ (invg‘𝑅) = (invg‘𝑅)
60		simplll 775	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍‘𝑆)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → 𝑅 ∈ Rng)
61		simplr 769	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍‘𝑆)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → 𝑥 ∈ (𝑍‘𝑆))
62	5, 61	sselid 3933	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍‘𝑆)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → 𝑥 ∈ 𝐵)
63		simplr 769	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍‘𝑆)) → 𝑆 ⊆ 𝐵)
64	63	sselda 3935	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍‘𝑆)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → 𝑧 ∈ 𝐵)
65	2, 10, 59, 60, 62, 64	rngmneg1 20114	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍‘𝑆)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → (((invg‘𝑅)‘𝑥)(.r‘𝑅)𝑧) = ((invg‘𝑅)‘(𝑥(.r‘𝑅)𝑧)))
66	2, 10, 59, 60, 64, 62	rngmneg2 20115	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍‘𝑆)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → (𝑧(.r‘𝑅)((invg‘𝑅)‘𝑥)) = ((invg‘𝑅)‘(𝑧(.r‘𝑅)𝑥)))
67	58, 65, 66	3eqtr4d 2782	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍‘𝑆)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → (((invg‘𝑅)‘𝑥)(.r‘𝑅)𝑧) = (𝑧(.r‘𝑅)((invg‘𝑅)‘𝑥)))
68	67	ralrimiva 3130	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍‘𝑆)) → ∀𝑧 ∈ 𝑆 (((invg‘𝑅)‘𝑥)(.r‘𝑅)𝑧) = (𝑧(.r‘𝑅)((invg‘𝑅)‘𝑥)))
69		rnggrp 20105	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ Rng → 𝑅 ∈ Grp)
70	69	ad2antrr 727	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍‘𝑆)) → 𝑅 ∈ Grp)
71		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍‘𝑆)) → 𝑥 ∈ (𝑍‘𝑆))
72	5, 71	sselid 3933	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍‘𝑆)) → 𝑥 ∈ 𝐵)
73	2, 59, 70, 72	grpinvcld 18930	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍‘𝑆)) → ((invg‘𝑅)‘𝑥) ∈ 𝐵)
74	3, 21, 4	cntzel 19264	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ ((invg‘𝑅)‘𝑥) ∈ 𝐵) → (((invg‘𝑅)‘𝑥) ∈ (𝑍‘𝑆) ↔ ∀𝑧 ∈ 𝑆 (((invg‘𝑅)‘𝑥)(.r‘𝑅)𝑧) = (𝑧(.r‘𝑅)((invg‘𝑅)‘𝑥))))
75	63, 73, 74	syl2anc 585	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍‘𝑆)) → (((invg‘𝑅)‘𝑥) ∈ (𝑍‘𝑆) ↔ ∀𝑧 ∈ 𝑆 (((invg‘𝑅)‘𝑥)(.r‘𝑅)𝑧) = (𝑧(.r‘𝑅)((invg‘𝑅)‘𝑥))))
76	68, 75	mpbird 257	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍‘𝑆)) → ((invg‘𝑅)‘𝑥) ∈ (𝑍‘𝑆))
77	56, 76	jca 511	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍‘𝑆)) → (∀𝑦 ∈ (𝑍‘𝑆)(𝑥(+g‘𝑅)𝑦) ∈ (𝑍‘𝑆) ∧ ((invg‘𝑅)‘𝑥) ∈ (𝑍‘𝑆)))
78	77	ralrimiva 3130	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → ∀𝑥 ∈ (𝑍‘𝑆)(∀𝑦 ∈ (𝑍‘𝑆)(𝑥(+g‘𝑅)𝑦) ∈ (𝑍‘𝑆) ∧ ((invg‘𝑅)‘𝑥) ∈ (𝑍‘𝑆)))
79	69	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → 𝑅 ∈ Grp)
80	2, 38, 59	issubg2 19083	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Grp → ((𝑍‘𝑆) ∈ (SubGrp‘𝑅) ↔ ((𝑍‘𝑆) ⊆ 𝐵 ∧ (𝑍‘𝑆) ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ (𝑍‘𝑆)(∀𝑦 ∈ (𝑍‘𝑆)(𝑥(+g‘𝑅)𝑦) ∈ (𝑍‘𝑆) ∧ ((invg‘𝑅)‘𝑥) ∈ (𝑍‘𝑆)))))
81	79, 80	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → ((𝑍‘𝑆) ∈ (SubGrp‘𝑅) ↔ ((𝑍‘𝑆) ⊆ 𝐵 ∧ (𝑍‘𝑆) ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ (𝑍‘𝑆)(∀𝑦 ∈ (𝑍‘𝑆)(𝑥(+g‘𝑅)𝑦) ∈ (𝑍‘𝑆) ∧ ((invg‘𝑅)‘𝑥) ∈ (𝑍‘𝑆)))))
82	6, 25, 78, 81	mpbir3and 1344	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → (𝑍‘𝑆) ∈ (SubGrp‘𝑅))
83		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
84	83	rngmgp 20103	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Rng → (mulGrp‘𝑅) ∈ Smgrp)
85	83, 2	mgpbas 20092	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘(mulGrp‘𝑅))
86	85	sseq2i 3965	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ⊆ 𝐵 ↔ 𝑆 ⊆ (Base‘(mulGrp‘𝑅)))
87	86	biimpi 216	. . . 4 ⊢ (𝑆 ⊆ 𝐵 → 𝑆 ⊆ (Base‘(mulGrp‘𝑅)))
88		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (Base‘(mulGrp‘𝑅)) = (Base‘(mulGrp‘𝑅))
89	1	fveq2i 6845	. . . . . 6 ⊢ (Cntz‘𝑀) = (Cntz‘(mulGrp‘𝑅))
90	4, 89	eqtri 2760	. . . . 5 ⊢ 𝑍 = (Cntz‘(mulGrp‘𝑅))
91		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (𝑍‘𝑆) = (𝑍‘𝑆)
92	88, 90, 91	cntzsgrpcl 19275	. . . 4 ⊢ (((mulGrp‘𝑅) ∈ Smgrp ∧ 𝑆 ⊆ (Base‘(mulGrp‘𝑅))) → ∀𝑥 ∈ (𝑍‘𝑆)∀𝑦 ∈ (𝑍‘𝑆)(𝑥(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝑦) ∈ (𝑍‘𝑆))
93	84, 87, 92	syl2an 597	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → ∀𝑥 ∈ (𝑍‘𝑆)∀𝑦 ∈ (𝑍‘𝑆)(𝑥(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝑦) ∈ (𝑍‘𝑆))
94	83, 10	mgpplusg 20091	. . . . . 6 ⊢ (.r‘𝑅) = (+g‘(mulGrp‘𝑅))
95	94	oveqi 7381	. . . . 5 ⊢ (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = (𝑥(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝑦)
96	95	eleq1i 2828	. . . 4 ⊢ ((𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ (𝑍‘𝑆) ↔ (𝑥(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝑦) ∈ (𝑍‘𝑆))
97	96	2ralbii 3113	. . 3 ⊢ (∀𝑥 ∈ (𝑍‘𝑆)∀𝑦 ∈ (𝑍‘𝑆)(𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ (𝑍‘𝑆) ↔ ∀𝑥 ∈ (𝑍‘𝑆)∀𝑦 ∈ (𝑍‘𝑆)(𝑥(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝑦) ∈ (𝑍‘𝑆))
98	93, 97	sylibr 234	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → ∀𝑥 ∈ (𝑍‘𝑆)∀𝑦 ∈ (𝑍‘𝑆)(𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ (𝑍‘𝑆))
99	2, 10	issubrng2 20503	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Rng → ((𝑍‘𝑆) ∈ (SubRng‘𝑅) ↔ ((𝑍‘𝑆) ∈ (SubGrp‘𝑅) ∧ ∀𝑥 ∈ (𝑍‘𝑆)∀𝑦 ∈ (𝑍‘𝑆)(𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ (𝑍‘𝑆))))
100	99	adantr 480	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → ((𝑍‘𝑆) ∈ (SubRng‘𝑅) ↔ ((𝑍‘𝑆) ∈ (SubGrp‘𝑅) ∧ ∀𝑥 ∈ (𝑍‘𝑆)∀𝑦 ∈ (𝑍‘𝑆)(𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ (𝑍‘𝑆))))
101	82, 98, 100	mpbir2and 714	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → (𝑍‘𝑆) ∈ (SubRng‘𝑅))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  ∀wral 3052   ⊆ wss 3903  ∅c0 4287  ‘cfv 6500  (class class class)co 7368  Basecbs 17148  +_gcplusg 17189  ._rcmulr 17190  0_gc0g 17371  Smgrpcsgrp 18655  Grpcgrp 18875  inv_gcminusg 18876  SubGrpcsubg 19062  Cntzccntz 19256  mulGrpcmgp 20087  Rngcrng 20099  SubRngcsubrng 20490

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-om 7819  df-2nd 7944  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-er 8645  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-nn 12158  df-2 12220  df-3 12221  df-sets 17103  df-slot 17121  df-ndx 17133  df-base 17149  df-ress 17170  df-plusg 17202  df-mulr 17203  df-0g 17373  df-mgm 18577  df-sgrp 18656  df-mnd 18672  df-grp 18878  df-minusg 18879  df-subg 19065  df-cntz 19258  df-cmn 19723  df-abl 19724  df-mgp 20088  df-rng 20100  df-subrng 20491

This theorem is referenced by: (None)