MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cntzsubrng Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cntzsubrng 20584
Description: Centralizers in a non-unital ring are subrings. (Contributed by AV, 17-Feb-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
cntzsubrng.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
cntzsubrng.m 𝑀 = (mulGrp‘𝑅)
cntzsubrng.z 𝑍 = (Cntz‘𝑀)
Assertion
Ref Expression
cntzsubrng ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆𝐵) → (𝑍𝑆) ∈ (SubRng‘𝑅))

Proof of Theorem cntzsubrng
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cntzsubrng.m . . . . . 6 𝑀 = (mulGrp‘𝑅)
2 cntzsubrng.b . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝑅)
31, 2mgpbas 20158 . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝑀)
4 cntzsubrng.z . . . . 5 𝑍 = (Cntz‘𝑀)
53, 4cntzssv 19359 . . . 4 (𝑍𝑆) ⊆ 𝐵
65a1i 11 . . 3 ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆𝐵) → (𝑍𝑆) ⊆ 𝐵)
7 simpll 767 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆𝐵) ∧ 𝑧𝑆) → 𝑅 ∈ Rng)
8 ssel2 3990 . . . . . . . . 9 ((𝑆𝐵𝑧𝑆) → 𝑧𝐵)
98adantll 714 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆𝐵) ∧ 𝑧𝑆) → 𝑧𝐵)
10 eqid 2735 . . . . . . . . 9 (.r𝑅) = (.r𝑅)
11 eqid 2735 . . . . . . . . 9 (0g𝑅) = (0g𝑅)
122, 10, 11rnglz 20183 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑧𝐵) → ((0g𝑅)(.r𝑅)𝑧) = (0g𝑅))
137, 9, 12syl2anc 584 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆𝐵) ∧ 𝑧𝑆) → ((0g𝑅)(.r𝑅)𝑧) = (0g𝑅))
142, 10, 11rngrz 20184 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑧𝐵) → (𝑧(.r𝑅)(0g𝑅)) = (0g𝑅))
157, 9, 14syl2anc 584 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆𝐵) ∧ 𝑧𝑆) → (𝑧(.r𝑅)(0g𝑅)) = (0g𝑅))
1613, 15eqtr4d 2778 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆𝐵) ∧ 𝑧𝑆) → ((0g𝑅)(.r𝑅)𝑧) = (𝑧(.r𝑅)(0g𝑅)))
1716ralrimiva 3144 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆𝐵) → ∀𝑧𝑆 ((0g𝑅)(.r𝑅)𝑧) = (𝑧(.r𝑅)(0g𝑅)))
18 simpr 484 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆𝐵) → 𝑆𝐵)
192, 11rng0cl 20181 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ Rng → (0g𝑅) ∈ 𝐵)
2019adantr 480 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆𝐵) → (0g𝑅) ∈ 𝐵)
211, 10mgpplusg 20156 . . . . . . 7 (.r𝑅) = (+g𝑀)
223, 21, 4cntzel 19354 . . . . . 6 ((𝑆𝐵 ∧ (0g𝑅) ∈ 𝐵) → ((0g𝑅) ∈ (𝑍𝑆) ↔ ∀𝑧𝑆 ((0g𝑅)(.r𝑅)𝑧) = (𝑧(.r𝑅)(0g𝑅))))
2318, 20, 22syl2anc 584 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆𝐵) → ((0g𝑅) ∈ (𝑍𝑆) ↔ ∀𝑧𝑆 ((0g𝑅)(.r𝑅)𝑧) = (𝑧(.r𝑅)(0g𝑅))))
2417, 23mpbird 257 . . . 4 ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆𝐵) → (0g𝑅) ∈ (𝑍𝑆))
2524ne0d 4348 . . 3 ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆𝐵) → (𝑍𝑆) ≠ ∅)
26 simpl2 1191 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝑍𝑆)) ∧ 𝑧𝑆) → 𝑥 ∈ (𝑍𝑆))
2721, 4cntzi 19360 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ (𝑍𝑆) ∧ 𝑧𝑆) → (𝑥(.r𝑅)𝑧) = (𝑧(.r𝑅)𝑥))
2826, 27sylancom 588 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝑍𝑆)) ∧ 𝑧𝑆) → (𝑥(.r𝑅)𝑧) = (𝑧(.r𝑅)𝑥))
29 simpl3 1192 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝑍𝑆)) ∧ 𝑧𝑆) → 𝑦 ∈ (𝑍𝑆))
3021, 4cntzi 19360 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑦 ∈ (𝑍𝑆) ∧ 𝑧𝑆) → (𝑦(.r𝑅)𝑧) = (𝑧(.r𝑅)𝑦))
3129, 30sylancom 588 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝑍𝑆)) ∧ 𝑧𝑆) → (𝑦(.r𝑅)𝑧) = (𝑧(.r𝑅)𝑦))
3228, 31oveq12d 7449 . . . . . . . . . 10 ((((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝑍𝑆)) ∧ 𝑧𝑆) → ((𝑥(.r𝑅)𝑧)(+g𝑅)(𝑦(.r𝑅)𝑧)) = ((𝑧(.r𝑅)𝑥)(+g𝑅)(𝑧(.r𝑅)𝑦)))
33 simpl1l 1223 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝑍𝑆)) ∧ 𝑧𝑆) → 𝑅 ∈ Rng)
345, 26sselid 3993 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝑍𝑆)) ∧ 𝑧𝑆) → 𝑥𝐵)
355, 29sselid 3993 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝑍𝑆)) ∧ 𝑧𝑆) → 𝑦𝐵)
36 simp1r 1197 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝑍𝑆)) → 𝑆𝐵)
3736sselda 3995 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝑍𝑆)) ∧ 𝑧𝑆) → 𝑧𝐵)
38 eqid 2735 . . . . . . . . . . . 12 (+g𝑅) = (+g𝑅)
392, 38, 10rngdir 20179 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ Rng ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵𝑧𝐵)) → ((𝑥(+g𝑅)𝑦)(.r𝑅)𝑧) = ((𝑥(.r𝑅)𝑧)(+g𝑅)(𝑦(.r𝑅)𝑧)))
4033, 34, 35, 37, 39syl13anc 1371 . . . . . . . . . 10 ((((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝑍𝑆)) ∧ 𝑧𝑆) → ((𝑥(+g𝑅)𝑦)(.r𝑅)𝑧) = ((𝑥(.r𝑅)𝑧)(+g𝑅)(𝑦(.r𝑅)𝑧)))
412, 38, 10rngdi 20178 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ Rng ∧ (𝑧𝐵𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝑧(.r𝑅)(𝑥(+g𝑅)𝑦)) = ((𝑧(.r𝑅)𝑥)(+g𝑅)(𝑧(.r𝑅)𝑦)))
4233, 37, 34, 35, 41syl13anc 1371 . . . . . . . . . 10 ((((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝑍𝑆)) ∧ 𝑧𝑆) → (𝑧(.r𝑅)(𝑥(+g𝑅)𝑦)) = ((𝑧(.r𝑅)𝑥)(+g𝑅)(𝑧(.r𝑅)𝑦)))
4332, 40, 423eqtr4d 2785 . . . . . . . . 9 ((((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝑍𝑆)) ∧ 𝑧𝑆) → ((𝑥(+g𝑅)𝑦)(.r𝑅)𝑧) = (𝑧(.r𝑅)(𝑥(+g𝑅)𝑦)))
4443ralrimiva 3144 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝑍𝑆)) → ∀𝑧𝑆 ((𝑥(+g𝑅)𝑦)(.r𝑅)𝑧) = (𝑧(.r𝑅)(𝑥(+g𝑅)𝑦)))
45 simp1l 1196 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝑍𝑆)) → 𝑅 ∈ Rng)
46 simp2 1136 . . . . . . . . . . 11 (((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝑍𝑆)) → 𝑥 ∈ (𝑍𝑆))
475, 46sselid 3993 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝑍𝑆)) → 𝑥𝐵)
48 simp3 1137 . . . . . . . . . . 11 (((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝑍𝑆)) → 𝑦 ∈ (𝑍𝑆))
495, 48sselid 3993 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝑍𝑆)) → 𝑦𝐵)
502, 38rngacl 20180 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑥𝐵𝑦𝐵) → (𝑥(+g𝑅)𝑦) ∈ 𝐵)
5145, 47, 49, 50syl3anc 1370 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝑍𝑆)) → (𝑥(+g𝑅)𝑦) ∈ 𝐵)
523, 21, 4cntzel 19354 . . . . . . . . 9 ((𝑆𝐵 ∧ (𝑥(+g𝑅)𝑦) ∈ 𝐵) → ((𝑥(+g𝑅)𝑦) ∈ (𝑍𝑆) ↔ ∀𝑧𝑆 ((𝑥(+g𝑅)𝑦)(.r𝑅)𝑧) = (𝑧(.r𝑅)(𝑥(+g𝑅)𝑦))))
5336, 51, 52syl2anc 584 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝑍𝑆)) → ((𝑥(+g𝑅)𝑦) ∈ (𝑍𝑆) ↔ ∀𝑧𝑆 ((𝑥(+g𝑅)𝑦)(.r𝑅)𝑧) = (𝑧(.r𝑅)(𝑥(+g𝑅)𝑦))))
5444, 53mpbird 257 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝑍𝑆)) → (𝑥(+g𝑅)𝑦) ∈ (𝑍𝑆))
55543expa 1117 . . . . . 6 ((((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍𝑆)) ∧ 𝑦 ∈ (𝑍𝑆)) → (𝑥(+g𝑅)𝑦) ∈ (𝑍𝑆))
5655ralrimiva 3144 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍𝑆)) → ∀𝑦 ∈ (𝑍𝑆)(𝑥(+g𝑅)𝑦) ∈ (𝑍𝑆))
5727adantll 714 . . . . . . . . 9 ((((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍𝑆)) ∧ 𝑧𝑆) → (𝑥(.r𝑅)𝑧) = (𝑧(.r𝑅)𝑥))
5857fveq2d 6911 . . . . . . . 8 ((((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍𝑆)) ∧ 𝑧𝑆) → ((invg𝑅)‘(𝑥(.r𝑅)𝑧)) = ((invg𝑅)‘(𝑧(.r𝑅)𝑥)))
59 eqid 2735 . . . . . . . . 9 (invg𝑅) = (invg𝑅)
60 simplll 775 . . . . . . . . 9 ((((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍𝑆)) ∧ 𝑧𝑆) → 𝑅 ∈ Rng)
61 simplr 769 . . . . . . . . . 10 ((((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍𝑆)) ∧ 𝑧𝑆) → 𝑥 ∈ (𝑍𝑆))
625, 61sselid 3993 . . . . . . . . 9 ((((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍𝑆)) ∧ 𝑧𝑆) → 𝑥𝐵)
63 simplr 769 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍𝑆)) → 𝑆𝐵)
6463sselda 3995 . . . . . . . . 9 ((((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍𝑆)) ∧ 𝑧𝑆) → 𝑧𝐵)
652, 10, 59, 60, 62, 64rngmneg1 20185 . . . . . . . 8 ((((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍𝑆)) ∧ 𝑧𝑆) → (((invg𝑅)‘𝑥)(.r𝑅)𝑧) = ((invg𝑅)‘(𝑥(.r𝑅)𝑧)))
662, 10, 59, 60, 64, 62rngmneg2 20186 . . . . . . . 8 ((((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍𝑆)) ∧ 𝑧𝑆) → (𝑧(.r𝑅)((invg𝑅)‘𝑥)) = ((invg𝑅)‘(𝑧(.r𝑅)𝑥)))
6758, 65, 663eqtr4d 2785 . . . . . . 7 ((((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍𝑆)) ∧ 𝑧𝑆) → (((invg𝑅)‘𝑥)(.r𝑅)𝑧) = (𝑧(.r𝑅)((invg𝑅)‘𝑥)))
6867ralrimiva 3144 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍𝑆)) → ∀𝑧𝑆 (((invg𝑅)‘𝑥)(.r𝑅)𝑧) = (𝑧(.r𝑅)((invg𝑅)‘𝑥)))
69 rnggrp 20176 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ Rng → 𝑅 ∈ Grp)
7069ad2antrr 726 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍𝑆)) → 𝑅 ∈ Grp)
71 simpr 484 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍𝑆)) → 𝑥 ∈ (𝑍𝑆))
725, 71sselid 3993 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍𝑆)) → 𝑥𝐵)
732, 59, 70, 72grpinvcld 19019 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍𝑆)) → ((invg𝑅)‘𝑥) ∈ 𝐵)
743, 21, 4cntzel 19354 . . . . . . 7 ((𝑆𝐵 ∧ ((invg𝑅)‘𝑥) ∈ 𝐵) → (((invg𝑅)‘𝑥) ∈ (𝑍𝑆) ↔ ∀𝑧𝑆 (((invg𝑅)‘𝑥)(.r𝑅)𝑧) = (𝑧(.r𝑅)((invg𝑅)‘𝑥))))
7563, 73, 74syl2anc 584 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍𝑆)) → (((invg𝑅)‘𝑥) ∈ (𝑍𝑆) ↔ ∀𝑧𝑆 (((invg𝑅)‘𝑥)(.r𝑅)𝑧) = (𝑧(.r𝑅)((invg𝑅)‘𝑥))))
7668, 75mpbird 257 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍𝑆)) → ((invg𝑅)‘𝑥) ∈ (𝑍𝑆))
7756, 76jca 511 . . . 4 (((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍𝑆)) → (∀𝑦 ∈ (𝑍𝑆)(𝑥(+g𝑅)𝑦) ∈ (𝑍𝑆) ∧ ((invg𝑅)‘𝑥) ∈ (𝑍𝑆)))
7877ralrimiva 3144 . . 3 ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆𝐵) → ∀𝑥 ∈ (𝑍𝑆)(∀𝑦 ∈ (𝑍𝑆)(𝑥(+g𝑅)𝑦) ∈ (𝑍𝑆) ∧ ((invg𝑅)‘𝑥) ∈ (𝑍𝑆)))
7969adantr 480 . . . 4 ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆𝐵) → 𝑅 ∈ Grp)
802, 38, 59issubg2 19172 . . . 4 (𝑅 ∈ Grp → ((𝑍𝑆) ∈ (SubGrp‘𝑅) ↔ ((𝑍𝑆) ⊆ 𝐵 ∧ (𝑍𝑆) ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ (𝑍𝑆)(∀𝑦 ∈ (𝑍𝑆)(𝑥(+g𝑅)𝑦) ∈ (𝑍𝑆) ∧ ((invg𝑅)‘𝑥) ∈ (𝑍𝑆)))))
8179, 80syl 17 . . 3 ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆𝐵) → ((𝑍𝑆) ∈ (SubGrp‘𝑅) ↔ ((𝑍𝑆) ⊆ 𝐵 ∧ (𝑍𝑆) ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ (𝑍𝑆)(∀𝑦 ∈ (𝑍𝑆)(𝑥(+g𝑅)𝑦) ∈ (𝑍𝑆) ∧ ((invg𝑅)‘𝑥) ∈ (𝑍𝑆)))))
826, 25, 78, 81mpbir3and 1341 . 2 ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆𝐵) → (𝑍𝑆) ∈ (SubGrp‘𝑅))
83 eqid 2735 . . . . 5 (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
8483rngmgp 20174 . . . 4 (𝑅 ∈ Rng → (mulGrp‘𝑅) ∈ Smgrp)
8583, 2mgpbas 20158 . . . . . 6 𝐵 = (Base‘(mulGrp‘𝑅))
8685sseq2i 4025 . . . . 5 (𝑆𝐵𝑆 ⊆ (Base‘(mulGrp‘𝑅)))
8786biimpi 216 . . . 4 (𝑆𝐵𝑆 ⊆ (Base‘(mulGrp‘𝑅)))
88 eqid 2735 . . . . 5 (Base‘(mulGrp‘𝑅)) = (Base‘(mulGrp‘𝑅))
891fveq2i 6910 . . . . . 6 (Cntz‘𝑀) = (Cntz‘(mulGrp‘𝑅))
904, 89eqtri 2763 . . . . 5 𝑍 = (Cntz‘(mulGrp‘𝑅))
91 eqid 2735 . . . . 5 (𝑍𝑆) = (𝑍𝑆)
9288, 90, 91cntzsgrpcl 19365 . . . 4 (((mulGrp‘𝑅) ∈ Smgrp ∧ 𝑆 ⊆ (Base‘(mulGrp‘𝑅))) → ∀𝑥 ∈ (𝑍𝑆)∀𝑦 ∈ (𝑍𝑆)(𝑥(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝑦) ∈ (𝑍𝑆))
9384, 87, 92syl2an 596 . . 3 ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆𝐵) → ∀𝑥 ∈ (𝑍𝑆)∀𝑦 ∈ (𝑍𝑆)(𝑥(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝑦) ∈ (𝑍𝑆))
9483, 10mgpplusg 20156 . . . . . 6 (.r𝑅) = (+g‘(mulGrp‘𝑅))
9594oveqi 7444 . . . . 5 (𝑥(.r𝑅)𝑦) = (𝑥(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝑦)
9695eleq1i 2830 . . . 4 ((𝑥(.r𝑅)𝑦) ∈ (𝑍𝑆) ↔ (𝑥(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝑦) ∈ (𝑍𝑆))
97962ralbii 3126 . . 3 (∀𝑥 ∈ (𝑍𝑆)∀𝑦 ∈ (𝑍𝑆)(𝑥(.r𝑅)𝑦) ∈ (𝑍𝑆) ↔ ∀𝑥 ∈ (𝑍𝑆)∀𝑦 ∈ (𝑍𝑆)(𝑥(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝑦) ∈ (𝑍𝑆))
9893, 97sylibr 234 . 2 ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆𝐵) → ∀𝑥 ∈ (𝑍𝑆)∀𝑦 ∈ (𝑍𝑆)(𝑥(.r𝑅)𝑦) ∈ (𝑍𝑆))
992, 10issubrng2 20575 . . 3 (𝑅 ∈ Rng → ((𝑍𝑆) ∈ (SubRng‘𝑅) ↔ ((𝑍𝑆) ∈ (SubGrp‘𝑅) ∧ ∀𝑥 ∈ (𝑍𝑆)∀𝑦 ∈ (𝑍𝑆)(𝑥(.r𝑅)𝑦) ∈ (𝑍𝑆))))
10099adantr 480 . 2 ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆𝐵) → ((𝑍𝑆) ∈ (SubRng‘𝑅) ↔ ((𝑍𝑆) ∈ (SubGrp‘𝑅) ∧ ∀𝑥 ∈ (𝑍𝑆)∀𝑦 ∈ (𝑍𝑆)(𝑥(.r𝑅)𝑦) ∈ (𝑍𝑆))))
10182, 98, 100mpbir2and 713 1 ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆𝐵) → (𝑍𝑆) ∈ (SubRng‘𝑅))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1086   = wceq 1537  wcel 2106  wne 2938  wral 3059  wss 3963  c0 4339  cfv 6563  (class class class)co 7431  Basecbs 17245  +gcplusg 17298  .rcmulr 17299  0gc0g 17486  Smgrpcsgrp 18744  Grpcgrp 18964  invgcminusg 18965  SubGrpcsubg 19151  Cntzccntz 19346  mulGrpcmgp 20152  Rngcrng 20170  SubRngcsubrng 20562
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-ress 17275  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-0g 17488  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-grp 18967  df-minusg 18968  df-subg 19154  df-cntz 19348  df-cmn 19815  df-abl 19816  df-mgp 20153  df-rng 20171  df-subrng 20563
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator