MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cntzsubrng Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cntzsubrng 20567
Description: Centralizers in a non-unital ring are subrings. (Contributed by AV, 17-Feb-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
cntzsubrng.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
cntzsubrng.m 𝑀 = (mulGrp‘𝑅)
cntzsubrng.z 𝑍 = (Cntz‘𝑀)
Assertion
Ref Expression
cntzsubrng ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆𝐵) → (𝑍𝑆) ∈ (SubRng‘𝑅))

Proof of Theorem cntzsubrng
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cntzsubrng.m . . . . . 6 𝑀 = (mulGrp‘𝑅)
2 cntzsubrng.b . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝑅)
31, 2mgpbas 20142 . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝑀)
4 cntzsubrng.z . . . . 5 𝑍 = (Cntz‘𝑀)
53, 4cntzssv 19346 . . . 4 (𝑍𝑆) ⊆ 𝐵
65a1i 11 . . 3 ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆𝐵) → (𝑍𝑆) ⊆ 𝐵)
7 simpll 767 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆𝐵) ∧ 𝑧𝑆) → 𝑅 ∈ Rng)
8 ssel2 3978 . . . . . . . . 9 ((𝑆𝐵𝑧𝑆) → 𝑧𝐵)
98adantll 714 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆𝐵) ∧ 𝑧𝑆) → 𝑧𝐵)
10 eqid 2737 . . . . . . . . 9 (.r𝑅) = (.r𝑅)
11 eqid 2737 . . . . . . . . 9 (0g𝑅) = (0g𝑅)
122, 10, 11rnglz 20162 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑧𝐵) → ((0g𝑅)(.r𝑅)𝑧) = (0g𝑅))
137, 9, 12syl2anc 584 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆𝐵) ∧ 𝑧𝑆) → ((0g𝑅)(.r𝑅)𝑧) = (0g𝑅))
142, 10, 11rngrz 20163 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑧𝐵) → (𝑧(.r𝑅)(0g𝑅)) = (0g𝑅))
157, 9, 14syl2anc 584 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆𝐵) ∧ 𝑧𝑆) → (𝑧(.r𝑅)(0g𝑅)) = (0g𝑅))
1613, 15eqtr4d 2780 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆𝐵) ∧ 𝑧𝑆) → ((0g𝑅)(.r𝑅)𝑧) = (𝑧(.r𝑅)(0g𝑅)))
1716ralrimiva 3146 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆𝐵) → ∀𝑧𝑆 ((0g𝑅)(.r𝑅)𝑧) = (𝑧(.r𝑅)(0g𝑅)))
18 simpr 484 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆𝐵) → 𝑆𝐵)
192, 11rng0cl 20160 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ Rng → (0g𝑅) ∈ 𝐵)
2019adantr 480 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆𝐵) → (0g𝑅) ∈ 𝐵)
211, 10mgpplusg 20141 . . . . . . 7 (.r𝑅) = (+g𝑀)
223, 21, 4cntzel 19341 . . . . . 6 ((𝑆𝐵 ∧ (0g𝑅) ∈ 𝐵) → ((0g𝑅) ∈ (𝑍𝑆) ↔ ∀𝑧𝑆 ((0g𝑅)(.r𝑅)𝑧) = (𝑧(.r𝑅)(0g𝑅))))
2318, 20, 22syl2anc 584 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆𝐵) → ((0g𝑅) ∈ (𝑍𝑆) ↔ ∀𝑧𝑆 ((0g𝑅)(.r𝑅)𝑧) = (𝑧(.r𝑅)(0g𝑅))))
2417, 23mpbird 257 . . . 4 ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆𝐵) → (0g𝑅) ∈ (𝑍𝑆))
2524ne0d 4342 . . 3 ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆𝐵) → (𝑍𝑆) ≠ ∅)
26 simpl2 1193 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝑍𝑆)) ∧ 𝑧𝑆) → 𝑥 ∈ (𝑍𝑆))
2721, 4cntzi 19347 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ (𝑍𝑆) ∧ 𝑧𝑆) → (𝑥(.r𝑅)𝑧) = (𝑧(.r𝑅)𝑥))
2826, 27sylancom 588 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝑍𝑆)) ∧ 𝑧𝑆) → (𝑥(.r𝑅)𝑧) = (𝑧(.r𝑅)𝑥))
29 simpl3 1194 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝑍𝑆)) ∧ 𝑧𝑆) → 𝑦 ∈ (𝑍𝑆))
3021, 4cntzi 19347 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑦 ∈ (𝑍𝑆) ∧ 𝑧𝑆) → (𝑦(.r𝑅)𝑧) = (𝑧(.r𝑅)𝑦))
3129, 30sylancom 588 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝑍𝑆)) ∧ 𝑧𝑆) → (𝑦(.r𝑅)𝑧) = (𝑧(.r𝑅)𝑦))
3228, 31oveq12d 7449 . . . . . . . . . 10 ((((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝑍𝑆)) ∧ 𝑧𝑆) → ((𝑥(.r𝑅)𝑧)(+g𝑅)(𝑦(.r𝑅)𝑧)) = ((𝑧(.r𝑅)𝑥)(+g𝑅)(𝑧(.r𝑅)𝑦)))
33 simpl1l 1225 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝑍𝑆)) ∧ 𝑧𝑆) → 𝑅 ∈ Rng)
345, 26sselid 3981 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝑍𝑆)) ∧ 𝑧𝑆) → 𝑥𝐵)
355, 29sselid 3981 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝑍𝑆)) ∧ 𝑧𝑆) → 𝑦𝐵)
36 simp1r 1199 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝑍𝑆)) → 𝑆𝐵)
3736sselda 3983 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝑍𝑆)) ∧ 𝑧𝑆) → 𝑧𝐵)
38 eqid 2737 . . . . . . . . . . . 12 (+g𝑅) = (+g𝑅)
392, 38, 10rngdir 20158 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ Rng ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵𝑧𝐵)) → ((𝑥(+g𝑅)𝑦)(.r𝑅)𝑧) = ((𝑥(.r𝑅)𝑧)(+g𝑅)(𝑦(.r𝑅)𝑧)))
4033, 34, 35, 37, 39syl13anc 1374 . . . . . . . . . 10 ((((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝑍𝑆)) ∧ 𝑧𝑆) → ((𝑥(+g𝑅)𝑦)(.r𝑅)𝑧) = ((𝑥(.r𝑅)𝑧)(+g𝑅)(𝑦(.r𝑅)𝑧)))
412, 38, 10rngdi 20157 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ Rng ∧ (𝑧𝐵𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝑧(.r𝑅)(𝑥(+g𝑅)𝑦)) = ((𝑧(.r𝑅)𝑥)(+g𝑅)(𝑧(.r𝑅)𝑦)))
4233, 37, 34, 35, 41syl13anc 1374 . . . . . . . . . 10 ((((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝑍𝑆)) ∧ 𝑧𝑆) → (𝑧(.r𝑅)(𝑥(+g𝑅)𝑦)) = ((𝑧(.r𝑅)𝑥)(+g𝑅)(𝑧(.r𝑅)𝑦)))
4332, 40, 423eqtr4d 2787 . . . . . . . . 9 ((((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝑍𝑆)) ∧ 𝑧𝑆) → ((𝑥(+g𝑅)𝑦)(.r𝑅)𝑧) = (𝑧(.r𝑅)(𝑥(+g𝑅)𝑦)))
4443ralrimiva 3146 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝑍𝑆)) → ∀𝑧𝑆 ((𝑥(+g𝑅)𝑦)(.r𝑅)𝑧) = (𝑧(.r𝑅)(𝑥(+g𝑅)𝑦)))
45 simp1l 1198 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝑍𝑆)) → 𝑅 ∈ Rng)
46 simp2 1138 . . . . . . . . . . 11 (((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝑍𝑆)) → 𝑥 ∈ (𝑍𝑆))
475, 46sselid 3981 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝑍𝑆)) → 𝑥𝐵)
48 simp3 1139 . . . . . . . . . . 11 (((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝑍𝑆)) → 𝑦 ∈ (𝑍𝑆))
495, 48sselid 3981 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝑍𝑆)) → 𝑦𝐵)
502, 38rngacl 20159 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑥𝐵𝑦𝐵) → (𝑥(+g𝑅)𝑦) ∈ 𝐵)
5145, 47, 49, 50syl3anc 1373 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝑍𝑆)) → (𝑥(+g𝑅)𝑦) ∈ 𝐵)
523, 21, 4cntzel 19341 . . . . . . . . 9 ((𝑆𝐵 ∧ (𝑥(+g𝑅)𝑦) ∈ 𝐵) → ((𝑥(+g𝑅)𝑦) ∈ (𝑍𝑆) ↔ ∀𝑧𝑆 ((𝑥(+g𝑅)𝑦)(.r𝑅)𝑧) = (𝑧(.r𝑅)(𝑥(+g𝑅)𝑦))))
5336, 51, 52syl2anc 584 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝑍𝑆)) → ((𝑥(+g𝑅)𝑦) ∈ (𝑍𝑆) ↔ ∀𝑧𝑆 ((𝑥(+g𝑅)𝑦)(.r𝑅)𝑧) = (𝑧(.r𝑅)(𝑥(+g𝑅)𝑦))))
5444, 53mpbird 257 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝑍𝑆)) → (𝑥(+g𝑅)𝑦) ∈ (𝑍𝑆))
55543expa 1119 . . . . . 6 ((((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍𝑆)) ∧ 𝑦 ∈ (𝑍𝑆)) → (𝑥(+g𝑅)𝑦) ∈ (𝑍𝑆))
5655ralrimiva 3146 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍𝑆)) → ∀𝑦 ∈ (𝑍𝑆)(𝑥(+g𝑅)𝑦) ∈ (𝑍𝑆))
5727adantll 714 . . . . . . . . 9 ((((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍𝑆)) ∧ 𝑧𝑆) → (𝑥(.r𝑅)𝑧) = (𝑧(.r𝑅)𝑥))
5857fveq2d 6910 . . . . . . . 8 ((((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍𝑆)) ∧ 𝑧𝑆) → ((invg𝑅)‘(𝑥(.r𝑅)𝑧)) = ((invg𝑅)‘(𝑧(.r𝑅)𝑥)))
59 eqid 2737 . . . . . . . . 9 (invg𝑅) = (invg𝑅)
60 simplll 775 . . . . . . . . 9 ((((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍𝑆)) ∧ 𝑧𝑆) → 𝑅 ∈ Rng)
61 simplr 769 . . . . . . . . . 10 ((((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍𝑆)) ∧ 𝑧𝑆) → 𝑥 ∈ (𝑍𝑆))
625, 61sselid 3981 . . . . . . . . 9 ((((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍𝑆)) ∧ 𝑧𝑆) → 𝑥𝐵)
63 simplr 769 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍𝑆)) → 𝑆𝐵)
6463sselda 3983 . . . . . . . . 9 ((((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍𝑆)) ∧ 𝑧𝑆) → 𝑧𝐵)
652, 10, 59, 60, 62, 64rngmneg1 20164 . . . . . . . 8 ((((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍𝑆)) ∧ 𝑧𝑆) → (((invg𝑅)‘𝑥)(.r𝑅)𝑧) = ((invg𝑅)‘(𝑥(.r𝑅)𝑧)))
662, 10, 59, 60, 64, 62rngmneg2 20165 . . . . . . . 8 ((((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍𝑆)) ∧ 𝑧𝑆) → (𝑧(.r𝑅)((invg𝑅)‘𝑥)) = ((invg𝑅)‘(𝑧(.r𝑅)𝑥)))
6758, 65, 663eqtr4d 2787 . . . . . . 7 ((((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍𝑆)) ∧ 𝑧𝑆) → (((invg𝑅)‘𝑥)(.r𝑅)𝑧) = (𝑧(.r𝑅)((invg𝑅)‘𝑥)))
6867ralrimiva 3146 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍𝑆)) → ∀𝑧𝑆 (((invg𝑅)‘𝑥)(.r𝑅)𝑧) = (𝑧(.r𝑅)((invg𝑅)‘𝑥)))
69 rnggrp 20155 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ Rng → 𝑅 ∈ Grp)
7069ad2antrr 726 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍𝑆)) → 𝑅 ∈ Grp)
71 simpr 484 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍𝑆)) → 𝑥 ∈ (𝑍𝑆))
725, 71sselid 3981 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍𝑆)) → 𝑥𝐵)
732, 59, 70, 72grpinvcld 19006 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍𝑆)) → ((invg𝑅)‘𝑥) ∈ 𝐵)
743, 21, 4cntzel 19341 . . . . . . 7 ((𝑆𝐵 ∧ ((invg𝑅)‘𝑥) ∈ 𝐵) → (((invg𝑅)‘𝑥) ∈ (𝑍𝑆) ↔ ∀𝑧𝑆 (((invg𝑅)‘𝑥)(.r𝑅)𝑧) = (𝑧(.r𝑅)((invg𝑅)‘𝑥))))
7563, 73, 74syl2anc 584 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍𝑆)) → (((invg𝑅)‘𝑥) ∈ (𝑍𝑆) ↔ ∀𝑧𝑆 (((invg𝑅)‘𝑥)(.r𝑅)𝑧) = (𝑧(.r𝑅)((invg𝑅)‘𝑥))))
7668, 75mpbird 257 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍𝑆)) → ((invg𝑅)‘𝑥) ∈ (𝑍𝑆))
7756, 76jca 511 . . . 4 (((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍𝑆)) → (∀𝑦 ∈ (𝑍𝑆)(𝑥(+g𝑅)𝑦) ∈ (𝑍𝑆) ∧ ((invg𝑅)‘𝑥) ∈ (𝑍𝑆)))
7877ralrimiva 3146 . . 3 ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆𝐵) → ∀𝑥 ∈ (𝑍𝑆)(∀𝑦 ∈ (𝑍𝑆)(𝑥(+g𝑅)𝑦) ∈ (𝑍𝑆) ∧ ((invg𝑅)‘𝑥) ∈ (𝑍𝑆)))
7969adantr 480 . . . 4 ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆𝐵) → 𝑅 ∈ Grp)
802, 38, 59issubg2 19159 . . . 4 (𝑅 ∈ Grp → ((𝑍𝑆) ∈ (SubGrp‘𝑅) ↔ ((𝑍𝑆) ⊆ 𝐵 ∧ (𝑍𝑆) ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ (𝑍𝑆)(∀𝑦 ∈ (𝑍𝑆)(𝑥(+g𝑅)𝑦) ∈ (𝑍𝑆) ∧ ((invg𝑅)‘𝑥) ∈ (𝑍𝑆)))))
8179, 80syl 17 . . 3 ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆𝐵) → ((𝑍𝑆) ∈ (SubGrp‘𝑅) ↔ ((𝑍𝑆) ⊆ 𝐵 ∧ (𝑍𝑆) ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ (𝑍𝑆)(∀𝑦 ∈ (𝑍𝑆)(𝑥(+g𝑅)𝑦) ∈ (𝑍𝑆) ∧ ((invg𝑅)‘𝑥) ∈ (𝑍𝑆)))))
826, 25, 78, 81mpbir3and 1343 . 2 ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆𝐵) → (𝑍𝑆) ∈ (SubGrp‘𝑅))
83 eqid 2737 . . . . 5 (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
8483rngmgp 20153 . . . 4 (𝑅 ∈ Rng → (mulGrp‘𝑅) ∈ Smgrp)
8583, 2mgpbas 20142 . . . . . 6 𝐵 = (Base‘(mulGrp‘𝑅))
8685sseq2i 4013 . . . . 5 (𝑆𝐵𝑆 ⊆ (Base‘(mulGrp‘𝑅)))
8786biimpi 216 . . . 4 (𝑆𝐵𝑆 ⊆ (Base‘(mulGrp‘𝑅)))
88 eqid 2737 . . . . 5 (Base‘(mulGrp‘𝑅)) = (Base‘(mulGrp‘𝑅))
891fveq2i 6909 . . . . . 6 (Cntz‘𝑀) = (Cntz‘(mulGrp‘𝑅))
904, 89eqtri 2765 . . . . 5 𝑍 = (Cntz‘(mulGrp‘𝑅))
91 eqid 2737 . . . . 5 (𝑍𝑆) = (𝑍𝑆)
9288, 90, 91cntzsgrpcl 19352 . . . 4 (((mulGrp‘𝑅) ∈ Smgrp ∧ 𝑆 ⊆ (Base‘(mulGrp‘𝑅))) → ∀𝑥 ∈ (𝑍𝑆)∀𝑦 ∈ (𝑍𝑆)(𝑥(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝑦) ∈ (𝑍𝑆))
9384, 87, 92syl2an 596 . . 3 ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆𝐵) → ∀𝑥 ∈ (𝑍𝑆)∀𝑦 ∈ (𝑍𝑆)(𝑥(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝑦) ∈ (𝑍𝑆))
9483, 10mgpplusg 20141 . . . . . 6 (.r𝑅) = (+g‘(mulGrp‘𝑅))
9594oveqi 7444 . . . . 5 (𝑥(.r𝑅)𝑦) = (𝑥(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝑦)
9695eleq1i 2832 . . . 4 ((𝑥(.r𝑅)𝑦) ∈ (𝑍𝑆) ↔ (𝑥(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝑦) ∈ (𝑍𝑆))
97962ralbii 3128 . . 3 (∀𝑥 ∈ (𝑍𝑆)∀𝑦 ∈ (𝑍𝑆)(𝑥(.r𝑅)𝑦) ∈ (𝑍𝑆) ↔ ∀𝑥 ∈ (𝑍𝑆)∀𝑦 ∈ (𝑍𝑆)(𝑥(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝑦) ∈ (𝑍𝑆))
9893, 97sylibr 234 . 2 ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆𝐵) → ∀𝑥 ∈ (𝑍𝑆)∀𝑦 ∈ (𝑍𝑆)(𝑥(.r𝑅)𝑦) ∈ (𝑍𝑆))
992, 10issubrng2 20558 . . 3 (𝑅 ∈ Rng → ((𝑍𝑆) ∈ (SubRng‘𝑅) ↔ ((𝑍𝑆) ∈ (SubGrp‘𝑅) ∧ ∀𝑥 ∈ (𝑍𝑆)∀𝑦 ∈ (𝑍𝑆)(𝑥(.r𝑅)𝑦) ∈ (𝑍𝑆))))
10099adantr 480 . 2 ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆𝐵) → ((𝑍𝑆) ∈ (SubRng‘𝑅) ↔ ((𝑍𝑆) ∈ (SubGrp‘𝑅) ∧ ∀𝑥 ∈ (𝑍𝑆)∀𝑦 ∈ (𝑍𝑆)(𝑥(.r𝑅)𝑦) ∈ (𝑍𝑆))))
10182, 98, 100mpbir2and 713 1 ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆𝐵) → (𝑍𝑆) ∈ (SubRng‘𝑅))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1087   = wceq 1540  wcel 2108  wne 2940  wral 3061  wss 3951  c0 4333  cfv 6561  (class class class)co 7431  Basecbs 17247  +gcplusg 17297  .rcmulr 17298  0gc0g 17484  Smgrpcsgrp 18731  Grpcgrp 18951  invgcminusg 18952  SubGrpcsubg 19138  Cntzccntz 19333  mulGrpcmgp 20137  Rngcrng 20149  SubRngcsubrng 20545
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-0g 17486  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-grp 18954  df-minusg 18955  df-subg 19141  df-cntz 19335  df-cmn 19800  df-abl 19801  df-mgp 20138  df-rng 20150  df-subrng 20546
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator