Theorem rngmneg1 20215

Description: Negation of a product in a non-unital ring (mulneg1 11625 analog). In contrast to ringmneg1 20356, the proof does not (and cannot) make use of the existence of a ring unity. (Contributed by AV, 17-Feb-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
rngneglmul.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
rngneglmul.t	⊢ · = (.r‘𝑅)
rngneglmul.n	⊢ 𝑁 = (invg‘𝑅)
rngneglmul.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Rng)
rngneglmul.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
rngneglmul.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
rngmneg1	⊢ (𝜑 → ((𝑁‘𝑋) · 𝑌) = (𝑁‘(𝑋 · 𝑌)))

Proof of Theorem rngmneg1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rngneglmul.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
2		eqid 2764	. . . . . 6 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
3		eqid 2764	. . . . . 6 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
4		rngneglmul.n	. . . . . 6 ⊢ 𝑁 = (invg‘𝑅)
5		rngneglmul.r	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Rng)
6		rnggrp 20206	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Rng → 𝑅 ∈ Grp)
7	5, 6	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Grp)
8		rngneglmul.x	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
9	1, 2, 3, 4, 7, 8	grprinvd 19039	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑋(+g‘𝑅)(𝑁‘𝑋)) = (0g‘𝑅))
10	9	oveq1d 7413	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑋(+g‘𝑅)(𝑁‘𝑋)) · 𝑌) = ((0g‘𝑅) · 𝑌))
11		rngneglmul.y	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
12		rngneglmul.t	. . . . . 6 ⊢ · = (.r‘𝑅)
13	1, 12, 3	rnglz 20213	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((0g‘𝑅) · 𝑌) = (0g‘𝑅))
14	5, 11, 13	syl2anc 593	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((0g‘𝑅) · 𝑌) = (0g‘𝑅))
15	10, 14	eqtrd 2799	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑋(+g‘𝑅)(𝑁‘𝑋)) · 𝑌) = (0g‘𝑅))
16	1, 12	rngcl 20212	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝐵)
17	5, 8, 11, 16	syl3anc 1392	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝐵)
18	1, 4, 7, 8	grpinvcld 19032	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘𝑋) ∈ 𝐵)
19	1, 12	rngcl 20212	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ (𝑁‘𝑋) ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((𝑁‘𝑋) · 𝑌) ∈ 𝐵)
20	5, 18, 11, 19	syl3anc 1392	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘𝑋) · 𝑌) ∈ 𝐵)
21	1, 2, 3, 4	grpinvid1 19035	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝐵 ∧ ((𝑁‘𝑋) · 𝑌) ∈ 𝐵) → ((𝑁‘(𝑋 · 𝑌)) = ((𝑁‘𝑋) · 𝑌) ↔ ((𝑋 · 𝑌)(+g‘𝑅)((𝑁‘𝑋) · 𝑌)) = (0g‘𝑅)))
22	7, 17, 20, 21	syl3anc 1392	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘(𝑋 · 𝑌)) = ((𝑁‘𝑋) · 𝑌) ↔ ((𝑋 · 𝑌)(+g‘𝑅)((𝑁‘𝑋) · 𝑌)) = (0g‘𝑅)))
23	1, 2, 12	rngdir 20209	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝑁‘𝑋) ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → ((𝑋(+g‘𝑅)(𝑁‘𝑋)) · 𝑌) = ((𝑋 · 𝑌)(+g‘𝑅)((𝑁‘𝑋) · 𝑌)))
24	23	eqcomd 2770	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝑁‘𝑋) ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 · 𝑌)(+g‘𝑅)((𝑁‘𝑋) · 𝑌)) = ((𝑋(+g‘𝑅)(𝑁‘𝑋)) · 𝑌))
25	5, 8, 18, 11, 24	syl13anc 1393	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 · 𝑌)(+g‘𝑅)((𝑁‘𝑋) · 𝑌)) = ((𝑋(+g‘𝑅)(𝑁‘𝑋)) · 𝑌))
26	25	eqeq1d 2766	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝑋 · 𝑌)(+g‘𝑅)((𝑁‘𝑋) · 𝑌)) = (0g‘𝑅) ↔ ((𝑋(+g‘𝑅)(𝑁‘𝑋)) · 𝑌) = (0g‘𝑅)))
27	22, 26	bitrd 281	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘(𝑋 · 𝑌)) = ((𝑁‘𝑋) · 𝑌) ↔ ((𝑋(+g‘𝑅)(𝑁‘𝑋)) · 𝑌) = (0g‘𝑅)))
28	15, 27	mpbird 259	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘(𝑋 · 𝑌)) = ((𝑁‘𝑋) · 𝑌))
29	28	eqcomd 2770	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘𝑋) · 𝑌) = (𝑁‘(𝑋 · 𝑌)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 399   ∧ w3a 1099   = wceq 1562   ∈ wcel 2144  ‘cfv 6523  (class class class)co 7398  Basecbs 17247  +_gcplusg 17288  ._rcmulr 17289  0_gc0g 17470  Grpcgrp 18977  inv_gcminusg 18978  Rngcrng 20200

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1817  ax-4 1831  ax-5 1932  ax-6 1989  ax-7 2030  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2214  ax-ext 2736  ax-sep 5248  ax-nul 5258  ax-pow 5324  ax-pr 5392  ax-un 7720  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1100  df-3an 1101  df-tru 1565  df-fal 1575  df-ex 1802  df-nf 1806  df-sb 2093  df-mo 2568  df-eu 2598  df-clab 2743  df-cleq 2756  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3458  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5544  df-eprel 5549  df-po 5557  df-so 5558  df-fr 5602  df-we 5604  df-xp 5655  df-rel 5656  df-cnv 5657  df-co 5658  df-dm 5659  df-rn 5660  df-res 5661  df-ima 5662  df-pred 6290  df-ord 6351  df-on 6352  df-lim 6353  df-suc 6354  df-iota 6479  df-fun 6525  df-fn 6526  df-f 6527  df-f1 6528  df-fo 6529  df-f1o 6530  df-fv 6531  df-riota 7355  df-ov 7401  df-oprab 7402  df-mpo 7403  df-om 7849  df-2nd 7973  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8344  df-rdg 8383  df-er 8680  df-en 8930  df-dom 8931  df-sdom 8932  df-pnf 11220  df-mnf 11221  df-xr 11222  df-ltxr 11223  df-le 11224  df-sub 11418  df-neg 11419  df-nn 12213  df-2 12282  df-sets 17202  df-slot 17220  df-ndx 17232  df-base 17248  df-plusg 17301  df-0g 17472  df-mgm 18676  df-sgrp 18755  df-mnd 18771  df-grp 18980  df-minusg 18981  df-abl 19825  df-mgp 20189  df-rng 20201

This theorem is referenced by:  rngm2neg  20217  rngsubdir  20220  cntzsubrng  20619