![]() |
Metamath Proof Explorer |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > rngmneg1 | Structured version Visualization version GIF version |
Description: Negation of a product in a non-unital ring (mulneg1 11654 analog). In contrast to ringmneg1 20203, the proof does not (and cannot) make use of the existence of a ring unity. (Contributed by AV, 17-Feb-2025.) |
Ref | Expression |
---|---|
rngneglmul.b | โข ๐ต = (Baseโ๐ ) |
rngneglmul.t | โข ยท = (.rโ๐ ) |
rngneglmul.n | โข ๐ = (invgโ๐ ) |
rngneglmul.r | โข (๐ โ ๐ โ Rng) |
rngneglmul.x | โข (๐ โ ๐ โ ๐ต) |
rngneglmul.y | โข (๐ โ ๐ โ ๐ต) |
Ref | Expression |
---|---|
rngmneg1 | โข (๐ โ ((๐โ๐) ยท ๐) = (๐โ(๐ ยท ๐))) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | rngneglmul.b | . . . . . 6 โข ๐ต = (Baseโ๐ ) | |
2 | eqid 2726 | . . . . . 6 โข (+gโ๐ ) = (+gโ๐ ) | |
3 | eqid 2726 | . . . . . 6 โข (0gโ๐ ) = (0gโ๐ ) | |
4 | rngneglmul.n | . . . . . 6 โข ๐ = (invgโ๐ ) | |
5 | rngneglmul.r | . . . . . . 7 โข (๐ โ ๐ โ Rng) | |
6 | rnggrp 20063 | . . . . . . 7 โข (๐ โ Rng โ ๐ โ Grp) | |
7 | 5, 6 | syl 17 | . . . . . 6 โข (๐ โ ๐ โ Grp) |
8 | rngneglmul.x | . . . . . 6 โข (๐ โ ๐ โ ๐ต) | |
9 | 1, 2, 3, 4, 7, 8 | grprinvd 18925 | . . . . 5 โข (๐ โ (๐(+gโ๐ )(๐โ๐)) = (0gโ๐ )) |
10 | 9 | oveq1d 7420 | . . . 4 โข (๐ โ ((๐(+gโ๐ )(๐โ๐)) ยท ๐) = ((0gโ๐ ) ยท ๐)) |
11 | rngneglmul.y | . . . . 5 โข (๐ โ ๐ โ ๐ต) | |
12 | rngneglmul.t | . . . . . 6 โข ยท = (.rโ๐ ) | |
13 | 1, 12, 3 | rnglz 20070 | . . . . 5 โข ((๐ โ Rng โง ๐ โ ๐ต) โ ((0gโ๐ ) ยท ๐) = (0gโ๐ )) |
14 | 5, 11, 13 | syl2anc 583 | . . . 4 โข (๐ โ ((0gโ๐ ) ยท ๐) = (0gโ๐ )) |
15 | 10, 14 | eqtrd 2766 | . . 3 โข (๐ โ ((๐(+gโ๐ )(๐โ๐)) ยท ๐) = (0gโ๐ )) |
16 | 1, 12 | rngcl 20069 | . . . . . 6 โข ((๐ โ Rng โง ๐ โ ๐ต โง ๐ โ ๐ต) โ (๐ ยท ๐) โ ๐ต) |
17 | 5, 8, 11, 16 | syl3anc 1368 | . . . . 5 โข (๐ โ (๐ ยท ๐) โ ๐ต) |
18 | 1, 4, 7, 8 | grpinvcld 18918 | . . . . . 6 โข (๐ โ (๐โ๐) โ ๐ต) |
19 | 1, 12 | rngcl 20069 | . . . . . 6 โข ((๐ โ Rng โง (๐โ๐) โ ๐ต โง ๐ โ ๐ต) โ ((๐โ๐) ยท ๐) โ ๐ต) |
20 | 5, 18, 11, 19 | syl3anc 1368 | . . . . 5 โข (๐ โ ((๐โ๐) ยท ๐) โ ๐ต) |
21 | 1, 2, 3, 4 | grpinvid1 18921 | . . . . 5 โข ((๐ โ Grp โง (๐ ยท ๐) โ ๐ต โง ((๐โ๐) ยท ๐) โ ๐ต) โ ((๐โ(๐ ยท ๐)) = ((๐โ๐) ยท ๐) โ ((๐ ยท ๐)(+gโ๐ )((๐โ๐) ยท ๐)) = (0gโ๐ ))) |
22 | 7, 17, 20, 21 | syl3anc 1368 | . . . 4 โข (๐ โ ((๐โ(๐ ยท ๐)) = ((๐โ๐) ยท ๐) โ ((๐ ยท ๐)(+gโ๐ )((๐โ๐) ยท ๐)) = (0gโ๐ ))) |
23 | 1, 2, 12 | rngdir 20066 | . . . . . . 7 โข ((๐ โ Rng โง (๐ โ ๐ต โง (๐โ๐) โ ๐ต โง ๐ โ ๐ต)) โ ((๐(+gโ๐ )(๐โ๐)) ยท ๐) = ((๐ ยท ๐)(+gโ๐ )((๐โ๐) ยท ๐))) |
24 | 23 | eqcomd 2732 | . . . . . 6 โข ((๐ โ Rng โง (๐ โ ๐ต โง (๐โ๐) โ ๐ต โง ๐ โ ๐ต)) โ ((๐ ยท ๐)(+gโ๐ )((๐โ๐) ยท ๐)) = ((๐(+gโ๐ )(๐โ๐)) ยท ๐)) |
25 | 5, 8, 18, 11, 24 | syl13anc 1369 | . . . . 5 โข (๐ โ ((๐ ยท ๐)(+gโ๐ )((๐โ๐) ยท ๐)) = ((๐(+gโ๐ )(๐โ๐)) ยท ๐)) |
26 | 25 | eqeq1d 2728 | . . . 4 โข (๐ โ (((๐ ยท ๐)(+gโ๐ )((๐โ๐) ยท ๐)) = (0gโ๐ ) โ ((๐(+gโ๐ )(๐โ๐)) ยท ๐) = (0gโ๐ ))) |
27 | 22, 26 | bitrd 279 | . . 3 โข (๐ โ ((๐โ(๐ ยท ๐)) = ((๐โ๐) ยท ๐) โ ((๐(+gโ๐ )(๐โ๐)) ยท ๐) = (0gโ๐ ))) |
28 | 15, 27 | mpbird 257 | . 2 โข (๐ โ (๐โ(๐ ยท ๐)) = ((๐โ๐) ยท ๐)) |
29 | 28 | eqcomd 2732 | 1 โข (๐ โ ((๐โ๐) ยท ๐) = (๐โ(๐ ยท ๐))) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: โ wi 4 โ wb 205 โง wa 395 โง w3a 1084 = wceq 1533 โ wcel 2098 โcfv 6537 (class class class)co 7405 Basecbs 17153 +gcplusg 17206 .rcmulr 17207 0gc0g 17394 Grpcgrp 18863 invgcminusg 18864 Rngcrng 20057 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1789 ax-4 1803 ax-5 1905 ax-6 1963 ax-7 2003 ax-8 2100 ax-9 2108 ax-10 2129 ax-11 2146 ax-12 2163 ax-ext 2697 ax-sep 5292 ax-nul 5299 ax-pow 5356 ax-pr 5420 ax-un 7722 ax-cnex 11168 ax-resscn 11169 ax-1cn 11170 ax-icn 11171 ax-addcl 11172 ax-addrcl 11173 ax-mulcl 11174 ax-mulrcl 11175 ax-mulcom 11176 ax-addass 11177 ax-mulass 11178 ax-distr 11179 ax-i2m1 11180 ax-1ne0 11181 ax-1rid 11182 ax-rnegex 11183 ax-rrecex 11184 ax-cnre 11185 ax-pre-lttri 11186 ax-pre-lttrn 11187 ax-pre-ltadd 11188 ax-pre-mulgt0 11189 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 396 df-or 845 df-3or 1085 df-3an 1086 df-tru 1536 df-fal 1546 df-ex 1774 df-nf 1778 df-sb 2060 df-mo 2528 df-eu 2557 df-clab 2704 df-cleq 2718 df-clel 2804 df-nfc 2879 df-ne 2935 df-nel 3041 df-ral 3056 df-rex 3065 df-rmo 3370 df-reu 3371 df-rab 3427 df-v 3470 df-sbc 3773 df-csb 3889 df-dif 3946 df-un 3948 df-in 3950 df-ss 3960 df-pss 3962 df-nul 4318 df-if 4524 df-pw 4599 df-sn 4624 df-pr 4626 df-op 4630 df-uni 4903 df-iun 4992 df-br 5142 df-opab 5204 df-mpt 5225 df-tr 5259 df-id 5567 df-eprel 5573 df-po 5581 df-so 5582 df-fr 5624 df-we 5626 df-xp 5675 df-rel 5676 df-cnv 5677 df-co 5678 df-dm 5679 df-rn 5680 df-res 5681 df-ima 5682 df-pred 6294 df-ord 6361 df-on 6362 df-lim 6363 df-suc 6364 df-iota 6489 df-fun 6539 df-fn 6540 df-f 6541 df-f1 6542 df-fo 6543 df-f1o 6544 df-fv 6545 df-riota 7361 df-ov 7408 df-oprab 7409 df-mpo 7410 df-om 7853 df-2nd 7975 df-frecs 8267 df-wrecs 8298 df-recs 8372 df-rdg 8411 df-er 8705 df-en 8942 df-dom 8943 df-sdom 8944 df-pnf 11254 df-mnf 11255 df-xr 11256 df-ltxr 11257 df-le 11258 df-sub 11450 df-neg 11451 df-nn 12217 df-2 12279 df-sets 17106 df-slot 17124 df-ndx 17136 df-base 17154 df-plusg 17219 df-0g 17396 df-mgm 18573 df-sgrp 18652 df-mnd 18668 df-grp 18866 df-minusg 18867 df-abl 19703 df-mgp 20040 df-rng 20058 |
This theorem is referenced by: rngm2neg 20074 rngsubdir 20077 cntzsubrng 20467 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |