Theorem rngmneg1 20301

Description: Negation of a product in a non-unital ring (mulneg1 11675 analog). In contrast to ringmneg1 20445, the proof does not (and cannot) make use of the existence of a ring unity. (Contributed by AV, 17-Feb-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
rngneglmul.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
rngneglmul.t	⊢ · = (.r‘𝑅)
rngneglmul.n	⊢ 𝑁 = (invg‘𝑅)
rngneglmul.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Rng)
rngneglmul.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
rngneglmul.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
rngmneg1	⊢ (𝜑 → ((𝑁‘𝑋) · 𝑌) = (𝑁‘(𝑋 · 𝑌)))

Proof of Theorem rngmneg1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rngneglmul.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
2		eqid 2762	. . . . . 6 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
3		eqid 2762	. . . . . 6 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
4		rngneglmul.n	. . . . . 6 ⊢ 𝑁 = (invg‘𝑅)
5		rngneglmul.r	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Rng)
6		rnggrp 20292	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Rng → 𝑅 ∈ Grp)
7	5, 6	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Grp)
8		rngneglmul.x	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
9	1, 2, 3, 4, 7, 8	grprinvd 19118	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑋(+g‘𝑅)(𝑁‘𝑋)) = (0g‘𝑅))
10	9	oveq1d 7431	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑋(+g‘𝑅)(𝑁‘𝑋)) · 𝑌) = ((0g‘𝑅) · 𝑌))
11		rngneglmul.y	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
12		rngneglmul.t	. . . . . 6 ⊢ · = (.r‘𝑅)
13	1, 12, 3	rnglz 20299	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((0g‘𝑅) · 𝑌) = (0g‘𝑅))
14	5, 11, 13	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((0g‘𝑅) · 𝑌) = (0g‘𝑅))
15	10, 14	eqtrd 2797	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑋(+g‘𝑅)(𝑁‘𝑋)) · 𝑌) = (0g‘𝑅))
16	1, 12	rngcl 20298	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝐵)
17	5, 8, 11, 16	syl3anc 1398	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝐵)
18	1, 4, 7, 8	grpinvcld 19111	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘𝑋) ∈ 𝐵)
19	1, 12	rngcl 20298	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ (𝑁‘𝑋) ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((𝑁‘𝑋) · 𝑌) ∈ 𝐵)
20	5, 18, 11, 19	syl3anc 1398	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘𝑋) · 𝑌) ∈ 𝐵)
21	1, 2, 3, 4	grpinvid1 19114	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝐵 ∧ ((𝑁‘𝑋) · 𝑌) ∈ 𝐵) → ((𝑁‘(𝑋 · 𝑌)) = ((𝑁‘𝑋) · 𝑌) ↔ ((𝑋 · 𝑌)(+g‘𝑅)((𝑁‘𝑋) · 𝑌)) = (0g‘𝑅)))
22	7, 17, 20, 21	syl3anc 1398	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘(𝑋 · 𝑌)) = ((𝑁‘𝑋) · 𝑌) ↔ ((𝑋 · 𝑌)(+g‘𝑅)((𝑁‘𝑋) · 𝑌)) = (0g‘𝑅)))
23	1, 2, 12	rngdir 20295	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝑁‘𝑋) ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → ((𝑋(+g‘𝑅)(𝑁‘𝑋)) · 𝑌) = ((𝑋 · 𝑌)(+g‘𝑅)((𝑁‘𝑋) · 𝑌)))
24	23	eqcomd 2768	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝑁‘𝑋) ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 · 𝑌)(+g‘𝑅)((𝑁‘𝑋) · 𝑌)) = ((𝑋(+g‘𝑅)(𝑁‘𝑋)) · 𝑌))
25	5, 8, 18, 11, 24	syl13anc 1399	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 · 𝑌)(+g‘𝑅)((𝑁‘𝑋) · 𝑌)) = ((𝑋(+g‘𝑅)(𝑁‘𝑋)) · 𝑌))
26	25	eqeq1d 2764	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝑋 · 𝑌)(+g‘𝑅)((𝑁‘𝑋) · 𝑌)) = (0g‘𝑅) ↔ ((𝑋(+g‘𝑅)(𝑁‘𝑋)) · 𝑌) = (0g‘𝑅)))
27	22, 26	bitrd 282	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘(𝑋 · 𝑌)) = ((𝑁‘𝑋) · 𝑌) ↔ ((𝑋(+g‘𝑅)(𝑁‘𝑋)) · 𝑌) = (0g‘𝑅)))
28	15, 27	mpbird 260	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘(𝑋 · 𝑌)) = ((𝑁‘𝑋) · 𝑌))
29	28	eqcomd 2768	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘𝑋) · 𝑌) = (𝑁‘(𝑋 · 𝑌)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ‘cfv 6537  (class class class)co 7416  Basecbs 17303  +_gcplusg 17344  ._rcmulr 17345  0_gc0g 17526  Grpcgrp 19056  inv_gcminusg 19057  Rngcrng 20286

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7739  ax-cnex 11181  ax-resscn 11182  ax-1cn 11183  ax-icn 11184  ax-addcl 11185  ax-addrcl 11186  ax-mulcl 11187  ax-mulrcl 11188  ax-mulcom 11189  ax-addass 11190  ax-mulass 11191  ax-distr 11192  ax-i2m1 11193  ax-1ne0 11194  ax-1rid 11195  ax-rnegex 11196  ax-rrecex 11197  ax-cnre 11198  ax-pre-lttri 11199  ax-pre-lttrn 11200  ax-pre-ltadd 11201  ax-pre-mulgt0 11202

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7866  df-2nd 7990  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-er 8699  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-pnf 11270  df-mnf 11271  df-xr 11272  df-ltxr 11273  df-le 11274  df-sub 11468  df-neg 11469  df-nn 12259  df-2 12328  df-sets 17258  df-slot 17276  df-ndx 17288  df-base 17304  df-plusg 17357  df-0g 17528  df-mgm 18732  df-sgrp 18821  df-mnd 18837  df-grp 19059  df-minusg 19060  df-abl 19909  df-mgp 20273  df-rng 20287

This theorem is used by:  rngm2neg  20303  rngsubdir  20306  cntzsubrng  20728