Theorem rngmneg1 20143

Description: Negation of a product in a non-unital ring (mulneg1 11581 analog). In contrast to ringmneg1 20280, the proof does not (and cannot) make use of the existence of a ring unity. (Contributed by AV, 17-Feb-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
rngneglmul.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
rngneglmul.t	⊢ · = (.r‘𝑅)
rngneglmul.n	⊢ 𝑁 = (invg‘𝑅)
rngneglmul.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Rng)
rngneglmul.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
rngneglmul.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
rngmneg1	⊢ (𝜑 → ((𝑁‘𝑋) · 𝑌) = (𝑁‘(𝑋 · 𝑌)))

Proof of Theorem rngmneg1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rngneglmul.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
2		eqid 2741	. . . . . 6 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
3		eqid 2741	. . . . . 6 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
4		rngneglmul.n	. . . . . 6 ⊢ 𝑁 = (invg‘𝑅)
5		rngneglmul.r	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Rng)
6		rnggrp 20134	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Rng → 𝑅 ∈ Grp)
7	5, 6	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Grp)
8		rngneglmul.x	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
9	1, 2, 3, 4, 7, 8	grprinvd 18966	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑋(+g‘𝑅)(𝑁‘𝑋)) = (0g‘𝑅))
10	9	oveq1d 7375	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑋(+g‘𝑅)(𝑁‘𝑋)) · 𝑌) = ((0g‘𝑅) · 𝑌))
11		rngneglmul.y	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
12		rngneglmul.t	. . . . . 6 ⊢ · = (.r‘𝑅)
13	1, 12, 3	rnglz 20141	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((0g‘𝑅) · 𝑌) = (0g‘𝑅))
14	5, 11, 13	syl2anc 591	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((0g‘𝑅) · 𝑌) = (0g‘𝑅))
15	10, 14	eqtrd 2776	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑋(+g‘𝑅)(𝑁‘𝑋)) · 𝑌) = (0g‘𝑅))
16	1, 12	rngcl 20140	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝐵)
17	5, 8, 11, 16	syl3anc 1380	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝐵)
18	1, 4, 7, 8	grpinvcld 18959	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘𝑋) ∈ 𝐵)
19	1, 12	rngcl 20140	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ (𝑁‘𝑋) ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((𝑁‘𝑋) · 𝑌) ∈ 𝐵)
20	5, 18, 11, 19	syl3anc 1380	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘𝑋) · 𝑌) ∈ 𝐵)
21	1, 2, 3, 4	grpinvid1 18962	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝐵 ∧ ((𝑁‘𝑋) · 𝑌) ∈ 𝐵) → ((𝑁‘(𝑋 · 𝑌)) = ((𝑁‘𝑋) · 𝑌) ↔ ((𝑋 · 𝑌)(+g‘𝑅)((𝑁‘𝑋) · 𝑌)) = (0g‘𝑅)))
22	7, 17, 20, 21	syl3anc 1380	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘(𝑋 · 𝑌)) = ((𝑁‘𝑋) · 𝑌) ↔ ((𝑋 · 𝑌)(+g‘𝑅)((𝑁‘𝑋) · 𝑌)) = (0g‘𝑅)))
23	1, 2, 12	rngdir 20137	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝑁‘𝑋) ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → ((𝑋(+g‘𝑅)(𝑁‘𝑋)) · 𝑌) = ((𝑋 · 𝑌)(+g‘𝑅)((𝑁‘𝑋) · 𝑌)))
24	23	eqcomd 2747	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝑁‘𝑋) ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 · 𝑌)(+g‘𝑅)((𝑁‘𝑋) · 𝑌)) = ((𝑋(+g‘𝑅)(𝑁‘𝑋)) · 𝑌))
25	5, 8, 18, 11, 24	syl13anc 1381	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 · 𝑌)(+g‘𝑅)((𝑁‘𝑋) · 𝑌)) = ((𝑋(+g‘𝑅)(𝑁‘𝑋)) · 𝑌))
26	25	eqeq1d 2743	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝑋 · 𝑌)(+g‘𝑅)((𝑁‘𝑋) · 𝑌)) = (0g‘𝑅) ↔ ((𝑋(+g‘𝑅)(𝑁‘𝑋)) · 𝑌) = (0g‘𝑅)))
27	22, 26	bitrd 281	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘(𝑋 · 𝑌)) = ((𝑁‘𝑋) · 𝑌) ↔ ((𝑋(+g‘𝑅)(𝑁‘𝑋)) · 𝑌) = (0g‘𝑅)))
28	15, 27	mpbird 259	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘(𝑋 · 𝑌)) = ((𝑁‘𝑋) · 𝑌))
29	28	eqcomd 2747	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘𝑋) · 𝑌) = (𝑁‘(𝑋 · 𝑌)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 397   ∧ w3a 1093   = wceq 1548   ∈ wcel 2121  ‘cfv 6489  (class class class)co 7360  Basecbs 17174  +_gcplusg 17215  ._rcmulr 17216  0_gc0g 17397  Grpcgrp 18904  inv_gcminusg 18905  Rngcrng 20128

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1975  ax-7 2016  ax-8 2123  ax-9 2131  ax-10 2154  ax-11 2170  ax-12 2191  ax-ext 2713  ax-sep 5221  ax-nul 5231  ax-pow 5297  ax-pr 5365  ax-un 7682  ax-cnex 11089  ax-resscn 11090  ax-1cn 11091  ax-icn 11092  ax-addcl 11093  ax-addrcl 11094  ax-mulcl 11095  ax-mulrcl 11096  ax-mulcom 11097  ax-addass 11098  ax-mulass 11099  ax-distr 11100  ax-i2m1 11101  ax-1ne0 11102  ax-1rid 11103  ax-rnegex 11104  ax-rrecex 11105  ax-cnre 11106  ax-pre-lttri 11107  ax-pre-lttrn 11108  ax-pre-ltadd 11109  ax-pre-mulgt0 11110

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 398  df-or 855  df-3or 1094  df-3an 1095  df-tru 1551  df-fal 1561  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2075  df-mo 2545  df-eu 2575  df-clab 2720  df-cleq 2733  df-clel 2816  df-nfc 2890  df-ne 2937  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3066  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3394  df-v 3435  df-sbc 3726  df-csb 3834  df-dif 3888  df-un 3890  df-in 3892  df-ss 3902  df-pss 3905  df-nul 4265  df-if 4458  df-pw 4534  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4842  df-iun 4926  df-br 5076  df-opab 5138  df-mpt 5157  df-tr 5183  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6256  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-2nd 7936  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-er 8637  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-pnf 11176  df-mnf 11177  df-xr 11178  df-ltxr 11179  df-le 11180  df-sub 11374  df-neg 11375  df-nn 12170  df-2 12239  df-sets 17129  df-slot 17147  df-ndx 17159  df-base 17175  df-plusg 17228  df-0g 17399  df-mgm 18603  df-sgrp 18682  df-mnd 18698  df-grp 18907  df-minusg 18908  df-abl 19753  df-mgp 20117  df-rng 20129

This theorem is referenced by:  rngm2neg  20145  rngsubdir  20148  cntzsubrng  20543