MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rngmneg1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rngmneg1 20072
Description: Negation of a product in a non-unital ring (mulneg1 11654 analog). In contrast to ringmneg1 20203, the proof does not (and cannot) make use of the existence of a ring unity. (Contributed by AV, 17-Feb-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
rngneglmul.b ๐ต = (Baseโ€˜๐‘…)
rngneglmul.t ยท = (.rโ€˜๐‘…)
rngneglmul.n ๐‘ = (invgโ€˜๐‘…)
rngneglmul.r (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ Rng)
rngneglmul.x (๐œ‘ โ†’ ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)
rngneglmul.y (๐œ‘ โ†’ ๐‘Œ โˆˆ ๐ต)
Assertion
Ref Expression
rngmneg1 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘โ€˜๐‘‹) ยท ๐‘Œ) = (๐‘โ€˜(๐‘‹ ยท ๐‘Œ)))

Proof of Theorem rngmneg1
StepHypRef Expression
1 rngneglmul.b . . . . . 6 ๐ต = (Baseโ€˜๐‘…)
2 eqid 2726 . . . . . 6 (+gโ€˜๐‘…) = (+gโ€˜๐‘…)
3 eqid 2726 . . . . . 6 (0gโ€˜๐‘…) = (0gโ€˜๐‘…)
4 rngneglmul.n . . . . . 6 ๐‘ = (invgโ€˜๐‘…)
5 rngneglmul.r . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ Rng)
6 rnggrp 20063 . . . . . . 7 (๐‘… โˆˆ Rng โ†’ ๐‘… โˆˆ Grp)
75, 6syl 17 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ Grp)
8 rngneglmul.x . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)
91, 2, 3, 4, 7, 8grprinvd 18925 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (๐‘‹(+gโ€˜๐‘…)(๐‘โ€˜๐‘‹)) = (0gโ€˜๐‘…))
109oveq1d 7420 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘‹(+gโ€˜๐‘…)(๐‘โ€˜๐‘‹)) ยท ๐‘Œ) = ((0gโ€˜๐‘…) ยท ๐‘Œ))
11 rngneglmul.y . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐‘Œ โˆˆ ๐ต)
12 rngneglmul.t . . . . . 6 ยท = (.rโ€˜๐‘…)
131, 12, 3rnglz 20070 . . . . 5 ((๐‘… โˆˆ Rng โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต) โ†’ ((0gโ€˜๐‘…) ยท ๐‘Œ) = (0gโ€˜๐‘…))
145, 11, 13syl2anc 583 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((0gโ€˜๐‘…) ยท ๐‘Œ) = (0gโ€˜๐‘…))
1510, 14eqtrd 2766 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘‹(+gโ€˜๐‘…)(๐‘โ€˜๐‘‹)) ยท ๐‘Œ) = (0gโ€˜๐‘…))
161, 12rngcl 20069 . . . . . 6 ((๐‘… โˆˆ Rng โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘‹ ยท ๐‘Œ) โˆˆ ๐ต)
175, 8, 11, 16syl3anc 1368 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (๐‘‹ ยท ๐‘Œ) โˆˆ ๐ต)
181, 4, 7, 8grpinvcld 18918 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (๐‘โ€˜๐‘‹) โˆˆ ๐ต)
191, 12rngcl 20069 . . . . . 6 ((๐‘… โˆˆ Rng โˆง (๐‘โ€˜๐‘‹) โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต) โ†’ ((๐‘โ€˜๐‘‹) ยท ๐‘Œ) โˆˆ ๐ต)
205, 18, 11, 19syl3anc 1368 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘โ€˜๐‘‹) ยท ๐‘Œ) โˆˆ ๐ต)
211, 2, 3, 4grpinvid1 18921 . . . . 5 ((๐‘… โˆˆ Grp โˆง (๐‘‹ ยท ๐‘Œ) โˆˆ ๐ต โˆง ((๐‘โ€˜๐‘‹) ยท ๐‘Œ) โˆˆ ๐ต) โ†’ ((๐‘โ€˜(๐‘‹ ยท ๐‘Œ)) = ((๐‘โ€˜๐‘‹) ยท ๐‘Œ) โ†” ((๐‘‹ ยท ๐‘Œ)(+gโ€˜๐‘…)((๐‘โ€˜๐‘‹) ยท ๐‘Œ)) = (0gโ€˜๐‘…)))
227, 17, 20, 21syl3anc 1368 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘โ€˜(๐‘‹ ยท ๐‘Œ)) = ((๐‘โ€˜๐‘‹) ยท ๐‘Œ) โ†” ((๐‘‹ ยท ๐‘Œ)(+gโ€˜๐‘…)((๐‘โ€˜๐‘‹) ยท ๐‘Œ)) = (0gโ€˜๐‘…)))
231, 2, 12rngdir 20066 . . . . . . 7 ((๐‘… โˆˆ Rng โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง (๐‘โ€˜๐‘‹) โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต)) โ†’ ((๐‘‹(+gโ€˜๐‘…)(๐‘โ€˜๐‘‹)) ยท ๐‘Œ) = ((๐‘‹ ยท ๐‘Œ)(+gโ€˜๐‘…)((๐‘โ€˜๐‘‹) ยท ๐‘Œ)))
2423eqcomd 2732 . . . . . 6 ((๐‘… โˆˆ Rng โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง (๐‘โ€˜๐‘‹) โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต)) โ†’ ((๐‘‹ ยท ๐‘Œ)(+gโ€˜๐‘…)((๐‘โ€˜๐‘‹) ยท ๐‘Œ)) = ((๐‘‹(+gโ€˜๐‘…)(๐‘โ€˜๐‘‹)) ยท ๐‘Œ))
255, 8, 18, 11, 24syl13anc 1369 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘‹ ยท ๐‘Œ)(+gโ€˜๐‘…)((๐‘โ€˜๐‘‹) ยท ๐‘Œ)) = ((๐‘‹(+gโ€˜๐‘…)(๐‘โ€˜๐‘‹)) ยท ๐‘Œ))
2625eqeq1d 2728 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (((๐‘‹ ยท ๐‘Œ)(+gโ€˜๐‘…)((๐‘โ€˜๐‘‹) ยท ๐‘Œ)) = (0gโ€˜๐‘…) โ†” ((๐‘‹(+gโ€˜๐‘…)(๐‘โ€˜๐‘‹)) ยท ๐‘Œ) = (0gโ€˜๐‘…)))
2722, 26bitrd 279 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘โ€˜(๐‘‹ ยท ๐‘Œ)) = ((๐‘โ€˜๐‘‹) ยท ๐‘Œ) โ†” ((๐‘‹(+gโ€˜๐‘…)(๐‘โ€˜๐‘‹)) ยท ๐‘Œ) = (0gโ€˜๐‘…)))
2815, 27mpbird 257 . 2 (๐œ‘ โ†’ (๐‘โ€˜(๐‘‹ ยท ๐‘Œ)) = ((๐‘โ€˜๐‘‹) ยท ๐‘Œ))
2928eqcomd 2732 1 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘โ€˜๐‘‹) ยท ๐‘Œ) = (๐‘โ€˜(๐‘‹ ยท ๐‘Œ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 395   โˆง w3a 1084   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098  โ€˜cfv 6537  (class class class)co 7405  Basecbs 17153  +gcplusg 17206  .rcmulr 17207  0gc0g 17394  Grpcgrp 18863  invgcminusg 18864  Rngcrng 20057
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-sets 17106  df-slot 17124  df-ndx 17136  df-base 17154  df-plusg 17219  df-0g 17396  df-mgm 18573  df-sgrp 18652  df-mnd 18668  df-grp 18866  df-minusg 18867  df-abl 19703  df-mgp 20040  df-rng 20058
This theorem is referenced by:  rngm2neg  20074  rngsubdir  20077  cntzsubrng  20467
  Copyright terms: Public domain W3C validator