Theorem rngmneg1 20111

Description: Negation of a product in a non-unital ring (mulneg1 11680 analog). In contrast to ringmneg1 20244, the proof does not (and cannot) make use of the existence of a ring unity. (Contributed by AV, 17-Feb-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
rngneglmul.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
rngneglmul.t	⊢ · = (.r‘𝑅)
rngneglmul.n	⊢ 𝑁 = (invg‘𝑅)
rngneglmul.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Rng)
rngneglmul.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
rngneglmul.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
rngmneg1	⊢ (𝜑 → ((𝑁‘𝑋) · 𝑌) = (𝑁‘(𝑋 · 𝑌)))

Proof of Theorem rngmneg1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rngneglmul.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
2		eqid 2725	. . . . . 6 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
3		eqid 2725	. . . . . 6 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
4		rngneglmul.n	. . . . . 6 ⊢ 𝑁 = (invg‘𝑅)
5		rngneglmul.r	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Rng)
6		rnggrp 20102	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Rng → 𝑅 ∈ Grp)
7	5, 6	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Grp)
8		rngneglmul.x	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
9	1, 2, 3, 4, 7, 8	grprinvd 18956	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑋(+g‘𝑅)(𝑁‘𝑋)) = (0g‘𝑅))
10	9	oveq1d 7431	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑋(+g‘𝑅)(𝑁‘𝑋)) · 𝑌) = ((0g‘𝑅) · 𝑌))
11		rngneglmul.y	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
12		rngneglmul.t	. . . . . 6 ⊢ · = (.r‘𝑅)
13	1, 12, 3	rnglz 20109	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((0g‘𝑅) · 𝑌) = (0g‘𝑅))
14	5, 11, 13	syl2anc 582	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((0g‘𝑅) · 𝑌) = (0g‘𝑅))
15	10, 14	eqtrd 2765	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑋(+g‘𝑅)(𝑁‘𝑋)) · 𝑌) = (0g‘𝑅))
16	1, 12	rngcl 20108	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝐵)
17	5, 8, 11, 16	syl3anc 1368	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝐵)
18	1, 4, 7, 8	grpinvcld 18949	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘𝑋) ∈ 𝐵)
19	1, 12	rngcl 20108	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ (𝑁‘𝑋) ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((𝑁‘𝑋) · 𝑌) ∈ 𝐵)
20	5, 18, 11, 19	syl3anc 1368	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘𝑋) · 𝑌) ∈ 𝐵)
21	1, 2, 3, 4	grpinvid1 18952	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝐵 ∧ ((𝑁‘𝑋) · 𝑌) ∈ 𝐵) → ((𝑁‘(𝑋 · 𝑌)) = ((𝑁‘𝑋) · 𝑌) ↔ ((𝑋 · 𝑌)(+g‘𝑅)((𝑁‘𝑋) · 𝑌)) = (0g‘𝑅)))
22	7, 17, 20, 21	syl3anc 1368	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘(𝑋 · 𝑌)) = ((𝑁‘𝑋) · 𝑌) ↔ ((𝑋 · 𝑌)(+g‘𝑅)((𝑁‘𝑋) · 𝑌)) = (0g‘𝑅)))
23	1, 2, 12	rngdir 20105	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝑁‘𝑋) ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → ((𝑋(+g‘𝑅)(𝑁‘𝑋)) · 𝑌) = ((𝑋 · 𝑌)(+g‘𝑅)((𝑁‘𝑋) · 𝑌)))
24	23	eqcomd 2731	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝑁‘𝑋) ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 · 𝑌)(+g‘𝑅)((𝑁‘𝑋) · 𝑌)) = ((𝑋(+g‘𝑅)(𝑁‘𝑋)) · 𝑌))
25	5, 8, 18, 11, 24	syl13anc 1369	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 · 𝑌)(+g‘𝑅)((𝑁‘𝑋) · 𝑌)) = ((𝑋(+g‘𝑅)(𝑁‘𝑋)) · 𝑌))
26	25	eqeq1d 2727	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝑋 · 𝑌)(+g‘𝑅)((𝑁‘𝑋) · 𝑌)) = (0g‘𝑅) ↔ ((𝑋(+g‘𝑅)(𝑁‘𝑋)) · 𝑌) = (0g‘𝑅)))
27	22, 26	bitrd 278	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘(𝑋 · 𝑌)) = ((𝑁‘𝑋) · 𝑌) ↔ ((𝑋(+g‘𝑅)(𝑁‘𝑋)) · 𝑌) = (0g‘𝑅)))
28	15, 27	mpbird 256	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘(𝑋 · 𝑌)) = ((𝑁‘𝑋) · 𝑌))
29	28	eqcomd 2731	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘𝑋) · 𝑌) = (𝑁‘(𝑋 · 𝑌)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  ‘cfv 6543  (class class class)co 7416  Basecbs 17179  +_gcplusg 17232  ._rcmulr 17233  0_gc0g 17420  Grpcgrp 18894  inv_gcminusg 18895  Rngcrng 20096

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7738  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-pss 3959  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7869  df-2nd 7992  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-er 8723  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-nn 12243  df-2 12305  df-sets 17132  df-slot 17150  df-ndx 17162  df-base 17180  df-plusg 17245  df-0g 17422  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-grp 18897  df-minusg 18898  df-abl 19742  df-mgp 20079  df-rng 20097

This theorem is referenced by:  rngm2neg  20113  rngsubdir  20116  cntzsubrng  20508