MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  opprrng Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem opprrng 20244
Description: An opposite non-unital ring is a non-unital ring. (Contributed by AV, 15-Feb-2025.)
Hypothesis
Ref Expression
opprbas.1 𝑂 = (oppr𝑅)
Assertion
Ref Expression
opprrng (𝑅 ∈ Rng → 𝑂 ∈ Rng)

Proof of Theorem opprrng
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 opprbas.1 . . . 4 𝑂 = (oppr𝑅)
2 eqid 2726 . . . 4 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
31, 2opprbas 20240 . . 3 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑂)
43a1i 11 . 2 (𝑅 ∈ Rng → (Base‘𝑅) = (Base‘𝑂))
5 eqid 2726 . . . 4 (+g𝑅) = (+g𝑅)
61, 5oppradd 20242 . . 3 (+g𝑅) = (+g𝑂)
76a1i 11 . 2 (𝑅 ∈ Rng → (+g𝑅) = (+g𝑂))
8 eqidd 2727 . 2 (𝑅 ∈ Rng → (.r𝑂) = (.r𝑂))
9 rngabl 20057 . . 3 (𝑅 ∈ Rng → 𝑅 ∈ Abel)
103, 6ablprop 19710 . . 3 (𝑅 ∈ Abel ↔ 𝑂 ∈ Abel)
119, 10sylib 217 . 2 (𝑅 ∈ Rng → 𝑂 ∈ Abel)
12 eqid 2726 . . . 4 (.r𝑅) = (.r𝑅)
13 eqid 2726 . . . 4 (.r𝑂) = (.r𝑂)
142, 12, 1, 13opprmul 20236 . . 3 (𝑥(.r𝑂)𝑦) = (𝑦(.r𝑅)𝑥)
152, 12rngcl 20066 . . . 4 ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑦(.r𝑅)𝑥) ∈ (Base‘𝑅))
16153com23 1123 . . 3 ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑦(.r𝑅)𝑥) ∈ (Base‘𝑅))
1714, 16eqeltrid 2831 . 2 ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑥(.r𝑂)𝑦) ∈ (Base‘𝑅))
18 simpl 482 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Rng ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑅))) → 𝑅 ∈ Rng)
19 simpr3 1193 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Rng ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑅))) → 𝑧 ∈ (Base‘𝑅))
20 simpr2 1192 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Rng ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑅))) → 𝑦 ∈ (Base‘𝑅))
21 simpr1 1191 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Rng ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑅))) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑅))
222, 12rngass 20061 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Rng ∧ (𝑧 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅))) → ((𝑧(.r𝑅)𝑦)(.r𝑅)𝑥) = (𝑧(.r𝑅)(𝑦(.r𝑅)𝑥)))
2318, 19, 20, 21, 22syl13anc 1369 . . . 4 ((𝑅 ∈ Rng ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑅))) → ((𝑧(.r𝑅)𝑦)(.r𝑅)𝑥) = (𝑧(.r𝑅)(𝑦(.r𝑅)𝑥)))
2423eqcomd 2732 . . 3 ((𝑅 ∈ Rng ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑅))) → (𝑧(.r𝑅)(𝑦(.r𝑅)𝑥)) = ((𝑧(.r𝑅)𝑦)(.r𝑅)𝑥))
2514oveq1i 7414 . . . 4 ((𝑥(.r𝑂)𝑦)(.r𝑂)𝑧) = ((𝑦(.r𝑅)𝑥)(.r𝑂)𝑧)
262, 12, 1, 13opprmul 20236 . . . 4 ((𝑦(.r𝑅)𝑥)(.r𝑂)𝑧) = (𝑧(.r𝑅)(𝑦(.r𝑅)𝑥))
2725, 26eqtri 2754 . . 3 ((𝑥(.r𝑂)𝑦)(.r𝑂)𝑧) = (𝑧(.r𝑅)(𝑦(.r𝑅)𝑥))
282, 12, 1, 13opprmul 20236 . . . . 5 (𝑦(.r𝑂)𝑧) = (𝑧(.r𝑅)𝑦)
2928oveq2i 7415 . . . 4 (𝑥(.r𝑂)(𝑦(.r𝑂)𝑧)) = (𝑥(.r𝑂)(𝑧(.r𝑅)𝑦))
302, 12, 1, 13opprmul 20236 . . . 4 (𝑥(.r𝑂)(𝑧(.r𝑅)𝑦)) = ((𝑧(.r𝑅)𝑦)(.r𝑅)𝑥)
3129, 30eqtri 2754 . . 3 (𝑥(.r𝑂)(𝑦(.r𝑂)𝑧)) = ((𝑧(.r𝑅)𝑦)(.r𝑅)𝑥)
3224, 27, 313eqtr4g 2791 . 2 ((𝑅 ∈ Rng ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑅))) → ((𝑥(.r𝑂)𝑦)(.r𝑂)𝑧) = (𝑥(.r𝑂)(𝑦(.r𝑂)𝑧)))
332, 5, 12rngdir 20063 . . . 4 ((𝑅 ∈ Rng ∧ (𝑦 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅))) → ((𝑦(+g𝑅)𝑧)(.r𝑅)𝑥) = ((𝑦(.r𝑅)𝑥)(+g𝑅)(𝑧(.r𝑅)𝑥)))
3418, 20, 19, 21, 33syl13anc 1369 . . 3 ((𝑅 ∈ Rng ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑅))) → ((𝑦(+g𝑅)𝑧)(.r𝑅)𝑥) = ((𝑦(.r𝑅)𝑥)(+g𝑅)(𝑧(.r𝑅)𝑥)))
352, 12, 1, 13opprmul 20236 . . 3 (𝑥(.r𝑂)(𝑦(+g𝑅)𝑧)) = ((𝑦(+g𝑅)𝑧)(.r𝑅)𝑥)
362, 12, 1, 13opprmul 20236 . . . 4 (𝑥(.r𝑂)𝑧) = (𝑧(.r𝑅)𝑥)
3714, 36oveq12i 7416 . . 3 ((𝑥(.r𝑂)𝑦)(+g𝑅)(𝑥(.r𝑂)𝑧)) = ((𝑦(.r𝑅)𝑥)(+g𝑅)(𝑧(.r𝑅)𝑥))
3834, 35, 373eqtr4g 2791 . 2 ((𝑅 ∈ Rng ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑅))) → (𝑥(.r𝑂)(𝑦(+g𝑅)𝑧)) = ((𝑥(.r𝑂)𝑦)(+g𝑅)(𝑥(.r𝑂)𝑧)))
392, 5, 12rngdi 20062 . . . 4 ((𝑅 ∈ Rng ∧ (𝑧 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅))) → (𝑧(.r𝑅)(𝑥(+g𝑅)𝑦)) = ((𝑧(.r𝑅)𝑥)(+g𝑅)(𝑧(.r𝑅)𝑦)))
4018, 19, 21, 20, 39syl13anc 1369 . . 3 ((𝑅 ∈ Rng ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑅))) → (𝑧(.r𝑅)(𝑥(+g𝑅)𝑦)) = ((𝑧(.r𝑅)𝑥)(+g𝑅)(𝑧(.r𝑅)𝑦)))
412, 12, 1, 13opprmul 20236 . . 3 ((𝑥(+g𝑅)𝑦)(.r𝑂)𝑧) = (𝑧(.r𝑅)(𝑥(+g𝑅)𝑦))
4236, 28oveq12i 7416 . . 3 ((𝑥(.r𝑂)𝑧)(+g𝑅)(𝑦(.r𝑂)𝑧)) = ((𝑧(.r𝑅)𝑥)(+g𝑅)(𝑧(.r𝑅)𝑦))
4340, 41, 423eqtr4g 2791 . 2 ((𝑅 ∈ Rng ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑅))) → ((𝑥(+g𝑅)𝑦)(.r𝑂)𝑧) = ((𝑥(.r𝑂)𝑧)(+g𝑅)(𝑦(.r𝑂)𝑧)))
444, 7, 8, 11, 17, 32, 38, 43isrngd 20075 1 (𝑅 ∈ Rng → 𝑂 ∈ Rng)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  w3a 1084   = wceq 1533  wcel 2098  cfv 6536  (class class class)co 7404  Basecbs 17150  +gcplusg 17203  .rcmulr 17204  Abelcabl 19698  Rngcrng 20054  opprcoppr 20232
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7852  df-2nd 7972  df-tpos 8209  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-nn 12214  df-2 12276  df-3 12277  df-sets 17103  df-slot 17121  df-ndx 17133  df-base 17151  df-plusg 17216  df-mulr 17217  df-0g 17393  df-mgm 18570  df-sgrp 18649  df-mnd 18665  df-grp 18863  df-cmn 19699  df-abl 19700  df-mgp 20037  df-rng 20055  df-oppr 20233
This theorem is referenced by:  opprrngb  20245  opprring  20246  rngridlmcl  21073  isridlrng  21075  2idlcpblrng  21125
  Copyright terms: Public domain W3C validator