Theorem opprrng 46660

Description: An opposite non-unital ring is a non-unital ring. (Contributed by AV, 15-Feb-2025.)

Hypothesis

Ref	Expression
opprrng.o	⊢ 𝑂 = (oppr‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
opprrng	⊢ (𝑅 ∈ Rng → 𝑂 ∈ Rng)

Proof of Theorem opprrng

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opprrng.o	. . . 4 ⊢ 𝑂 = (oppr‘𝑅)
2		eqid 2732	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
3	1, 2	opprbas 20149	. . 3 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑂)
4	3	a1i 11	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Rng → (Base‘𝑅) = (Base‘𝑂))
5		eqid 2732	. . . 4 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
6	1, 5	oppradd 20151	. . 3 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑂)
7	6	a1i 11	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Rng → (+g‘𝑅) = (+g‘𝑂))
8		eqidd 2733	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Rng → (.r‘𝑂) = (.r‘𝑂))
9		rngabl 46637	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Rng → 𝑅 ∈ Abel)
10	3, 6	ablprop 19655	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Abel ↔ 𝑂 ∈ Abel)
11	9, 10	sylib 217	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Rng → 𝑂 ∈ Abel)
12		eqid 2732	. . . 4 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
13		eqid 2732	. . . 4 ⊢ (.r‘𝑂) = (.r‘𝑂)
14	2, 12, 1, 13	opprmul 20145	. . 3 ⊢ (𝑥(.r‘𝑂)𝑦) = (𝑦(.r‘𝑅)𝑥)
15	2, 12	rngcl 46649	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑦(.r‘𝑅)𝑥) ∈ (Base‘𝑅))
16	15	3com23 1126	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑦(.r‘𝑅)𝑥) ∈ (Base‘𝑅))
17	14, 16	eqeltrid 2837	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑥(.r‘𝑂)𝑦) ∈ (Base‘𝑅))
18		simpl 483	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑅))) → 𝑅 ∈ Rng)
19		simpr3 1196	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑅))) → 𝑧 ∈ (Base‘𝑅))
20		simpr2 1195	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑅))) → 𝑦 ∈ (Base‘𝑅))
21		simpr1 1194	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑅))) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑅))
22	2, 12	rngass 46644	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ (𝑧 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅))) → ((𝑧(.r‘𝑅)𝑦)(.r‘𝑅)𝑥) = (𝑧(.r‘𝑅)(𝑦(.r‘𝑅)𝑥)))
23	18, 19, 20, 21, 22	syl13anc 1372	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑅))) → ((𝑧(.r‘𝑅)𝑦)(.r‘𝑅)𝑥) = (𝑧(.r‘𝑅)(𝑦(.r‘𝑅)𝑥)))
24	23	eqcomd 2738	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑅))) → (𝑧(.r‘𝑅)(𝑦(.r‘𝑅)𝑥)) = ((𝑧(.r‘𝑅)𝑦)(.r‘𝑅)𝑥))
25	14	oveq1i 7415	. . . 4 ⊢ ((𝑥(.r‘𝑂)𝑦)(.r‘𝑂)𝑧) = ((𝑦(.r‘𝑅)𝑥)(.r‘𝑂)𝑧)
26	2, 12, 1, 13	opprmul 20145	. . . 4 ⊢ ((𝑦(.r‘𝑅)𝑥)(.r‘𝑂)𝑧) = (𝑧(.r‘𝑅)(𝑦(.r‘𝑅)𝑥))
27	25, 26	eqtri 2760	. . 3 ⊢ ((𝑥(.r‘𝑂)𝑦)(.r‘𝑂)𝑧) = (𝑧(.r‘𝑅)(𝑦(.r‘𝑅)𝑥))
28	2, 12, 1, 13	opprmul 20145	. . . . 5 ⊢ (𝑦(.r‘𝑂)𝑧) = (𝑧(.r‘𝑅)𝑦)
29	28	oveq2i 7416	. . . 4 ⊢ (𝑥(.r‘𝑂)(𝑦(.r‘𝑂)𝑧)) = (𝑥(.r‘𝑂)(𝑧(.r‘𝑅)𝑦))
30	2, 12, 1, 13	opprmul 20145	. . . 4 ⊢ (𝑥(.r‘𝑂)(𝑧(.r‘𝑅)𝑦)) = ((𝑧(.r‘𝑅)𝑦)(.r‘𝑅)𝑥)
31	29, 30	eqtri 2760	. . 3 ⊢ (𝑥(.r‘𝑂)(𝑦(.r‘𝑂)𝑧)) = ((𝑧(.r‘𝑅)𝑦)(.r‘𝑅)𝑥)
32	24, 27, 31	3eqtr4g 2797	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑅))) → ((𝑥(.r‘𝑂)𝑦)(.r‘𝑂)𝑧) = (𝑥(.r‘𝑂)(𝑦(.r‘𝑂)𝑧)))
33	2, 5, 12	rngdir 46646	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ (𝑦 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅))) → ((𝑦(+g‘𝑅)𝑧)(.r‘𝑅)𝑥) = ((𝑦(.r‘𝑅)𝑥)(+g‘𝑅)(𝑧(.r‘𝑅)𝑥)))
34	18, 20, 19, 21, 33	syl13anc 1372	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑅))) → ((𝑦(+g‘𝑅)𝑧)(.r‘𝑅)𝑥) = ((𝑦(.r‘𝑅)𝑥)(+g‘𝑅)(𝑧(.r‘𝑅)𝑥)))
35	2, 12, 1, 13	opprmul 20145	. . 3 ⊢ (𝑥(.r‘𝑂)(𝑦(+g‘𝑅)𝑧)) = ((𝑦(+g‘𝑅)𝑧)(.r‘𝑅)𝑥)
36	2, 12, 1, 13	opprmul 20145	. . . 4 ⊢ (𝑥(.r‘𝑂)𝑧) = (𝑧(.r‘𝑅)𝑥)
37	14, 36	oveq12i 7417	. . 3 ⊢ ((𝑥(.r‘𝑂)𝑦)(+g‘𝑅)(𝑥(.r‘𝑂)𝑧)) = ((𝑦(.r‘𝑅)𝑥)(+g‘𝑅)(𝑧(.r‘𝑅)𝑥))
38	34, 35, 37	3eqtr4g 2797	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑅))) → (𝑥(.r‘𝑂)(𝑦(+g‘𝑅)𝑧)) = ((𝑥(.r‘𝑂)𝑦)(+g‘𝑅)(𝑥(.r‘𝑂)𝑧)))
39	2, 5, 12	rngdi 46645	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ (𝑧 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅))) → (𝑧(.r‘𝑅)(𝑥(+g‘𝑅)𝑦)) = ((𝑧(.r‘𝑅)𝑥)(+g‘𝑅)(𝑧(.r‘𝑅)𝑦)))
40	18, 19, 21, 20, 39	syl13anc 1372	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑅))) → (𝑧(.r‘𝑅)(𝑥(+g‘𝑅)𝑦)) = ((𝑧(.r‘𝑅)𝑥)(+g‘𝑅)(𝑧(.r‘𝑅)𝑦)))
41	2, 12, 1, 13	opprmul 20145	. . 3 ⊢ ((𝑥(+g‘𝑅)𝑦)(.r‘𝑂)𝑧) = (𝑧(.r‘𝑅)(𝑥(+g‘𝑅)𝑦))
42	36, 28	oveq12i 7417	. . 3 ⊢ ((𝑥(.r‘𝑂)𝑧)(+g‘𝑅)(𝑦(.r‘𝑂)𝑧)) = ((𝑧(.r‘𝑅)𝑥)(+g‘𝑅)(𝑧(.r‘𝑅)𝑦))
43	40, 41, 42	3eqtr4g 2797	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑅))) → ((𝑥(+g‘𝑅)𝑦)(.r‘𝑂)𝑧) = ((𝑥(.r‘𝑂)𝑧)(+g‘𝑅)(𝑦(.r‘𝑂)𝑧)))
44	4, 7, 8, 11, 17, 32, 38, 43	isrngd 46658	1 ⊢ (𝑅 ∈ Rng → 𝑂 ∈ Rng)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  ‘cfv 6540  (class class class)co 7405  Basecbs 17140  +_gcplusg 17193  ._rcmulr 17194  Abelcabl 19643  opp_rcoppr 20141  Rngcrng 46634

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-2nd 7972  df-tpos 8207  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-plusg 17206  df-mulr 17207  df-0g 17383  df-mgm 18557  df-sgrp 18606  df-mnd 18622  df-grp 18818  df-cmn 19644  df-abl 19645  df-mgp 19982  df-oppr 20142  df-rng 46635

This theorem is referenced by:  opprrngb  46661  rngridlmcl  46733  2idlcpblrng  46747