Theorem opprrng 20345

Description: An opposite non-unital ring is a non-unital ring. (Contributed by AV, 15-Feb-2025.)

Hypothesis

Ref	Expression
opprbas.1	⊢ 𝑂 = (oppr‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
opprrng	⊢ (𝑅 ∈ Rng → 𝑂 ∈ Rng)

Proof of Theorem opprrng

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opprbas.1	. . . 4 ⊢ 𝑂 = (oppr‘𝑅)
2		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
3	1, 2	opprbas 20341	. . 3 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑂)
4	3	a1i 11	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Rng → (Base‘𝑅) = (Base‘𝑂))
5		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
6	1, 5	oppradd 20343	. . 3 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑂)
7	6	a1i 11	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Rng → (+g‘𝑅) = (+g‘𝑂))
8		eqidd 2738	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Rng → (.r‘𝑂) = (.r‘𝑂))
9		rngabl 20152	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Rng → 𝑅 ∈ Abel)
10	3, 6	ablprop 19811	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Abel ↔ 𝑂 ∈ Abel)
11	9, 10	sylib 218	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Rng → 𝑂 ∈ Abel)
12		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
13		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (.r‘𝑂) = (.r‘𝑂)
14	2, 12, 1, 13	opprmul 20337	. . 3 ⊢ (𝑥(.r‘𝑂)𝑦) = (𝑦(.r‘𝑅)𝑥)
15	2, 12	rngcl 20161	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑦(.r‘𝑅)𝑥) ∈ (Base‘𝑅))
16	15	3com23 1127	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑦(.r‘𝑅)𝑥) ∈ (Base‘𝑅))
17	14, 16	eqeltrid 2845	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑥(.r‘𝑂)𝑦) ∈ (Base‘𝑅))
18		simpl 482	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑅))) → 𝑅 ∈ Rng)
19		simpr3 1197	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑅))) → 𝑧 ∈ (Base‘𝑅))
20		simpr2 1196	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑅))) → 𝑦 ∈ (Base‘𝑅))
21		simpr1 1195	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑅))) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑅))
22	2, 12	rngass 20156	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ (𝑧 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅))) → ((𝑧(.r‘𝑅)𝑦)(.r‘𝑅)𝑥) = (𝑧(.r‘𝑅)(𝑦(.r‘𝑅)𝑥)))
23	18, 19, 20, 21, 22	syl13anc 1374	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑅))) → ((𝑧(.r‘𝑅)𝑦)(.r‘𝑅)𝑥) = (𝑧(.r‘𝑅)(𝑦(.r‘𝑅)𝑥)))
24	23	eqcomd 2743	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑅))) → (𝑧(.r‘𝑅)(𝑦(.r‘𝑅)𝑥)) = ((𝑧(.r‘𝑅)𝑦)(.r‘𝑅)𝑥))
25	14	oveq1i 7441	. . . 4 ⊢ ((𝑥(.r‘𝑂)𝑦)(.r‘𝑂)𝑧) = ((𝑦(.r‘𝑅)𝑥)(.r‘𝑂)𝑧)
26	2, 12, 1, 13	opprmul 20337	. . . 4 ⊢ ((𝑦(.r‘𝑅)𝑥)(.r‘𝑂)𝑧) = (𝑧(.r‘𝑅)(𝑦(.r‘𝑅)𝑥))
27	25, 26	eqtri 2765	. . 3 ⊢ ((𝑥(.r‘𝑂)𝑦)(.r‘𝑂)𝑧) = (𝑧(.r‘𝑅)(𝑦(.r‘𝑅)𝑥))
28	2, 12, 1, 13	opprmul 20337	. . . . 5 ⊢ (𝑦(.r‘𝑂)𝑧) = (𝑧(.r‘𝑅)𝑦)
29	28	oveq2i 7442	. . . 4 ⊢ (𝑥(.r‘𝑂)(𝑦(.r‘𝑂)𝑧)) = (𝑥(.r‘𝑂)(𝑧(.r‘𝑅)𝑦))
30	2, 12, 1, 13	opprmul 20337	. . . 4 ⊢ (𝑥(.r‘𝑂)(𝑧(.r‘𝑅)𝑦)) = ((𝑧(.r‘𝑅)𝑦)(.r‘𝑅)𝑥)
31	29, 30	eqtri 2765	. . 3 ⊢ (𝑥(.r‘𝑂)(𝑦(.r‘𝑂)𝑧)) = ((𝑧(.r‘𝑅)𝑦)(.r‘𝑅)𝑥)
32	24, 27, 31	3eqtr4g 2802	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑅))) → ((𝑥(.r‘𝑂)𝑦)(.r‘𝑂)𝑧) = (𝑥(.r‘𝑂)(𝑦(.r‘𝑂)𝑧)))
33	2, 5, 12	rngdir 20158	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ (𝑦 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅))) → ((𝑦(+g‘𝑅)𝑧)(.r‘𝑅)𝑥) = ((𝑦(.r‘𝑅)𝑥)(+g‘𝑅)(𝑧(.r‘𝑅)𝑥)))
34	18, 20, 19, 21, 33	syl13anc 1374	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑅))) → ((𝑦(+g‘𝑅)𝑧)(.r‘𝑅)𝑥) = ((𝑦(.r‘𝑅)𝑥)(+g‘𝑅)(𝑧(.r‘𝑅)𝑥)))
35	2, 12, 1, 13	opprmul 20337	. . 3 ⊢ (𝑥(.r‘𝑂)(𝑦(+g‘𝑅)𝑧)) = ((𝑦(+g‘𝑅)𝑧)(.r‘𝑅)𝑥)
36	2, 12, 1, 13	opprmul 20337	. . . 4 ⊢ (𝑥(.r‘𝑂)𝑧) = (𝑧(.r‘𝑅)𝑥)
37	14, 36	oveq12i 7443	. . 3 ⊢ ((𝑥(.r‘𝑂)𝑦)(+g‘𝑅)(𝑥(.r‘𝑂)𝑧)) = ((𝑦(.r‘𝑅)𝑥)(+g‘𝑅)(𝑧(.r‘𝑅)𝑥))
38	34, 35, 37	3eqtr4g 2802	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑅))) → (𝑥(.r‘𝑂)(𝑦(+g‘𝑅)𝑧)) = ((𝑥(.r‘𝑂)𝑦)(+g‘𝑅)(𝑥(.r‘𝑂)𝑧)))
39	2, 5, 12	rngdi 20157	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ (𝑧 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅))) → (𝑧(.r‘𝑅)(𝑥(+g‘𝑅)𝑦)) = ((𝑧(.r‘𝑅)𝑥)(+g‘𝑅)(𝑧(.r‘𝑅)𝑦)))
40	18, 19, 21, 20, 39	syl13anc 1374	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑅))) → (𝑧(.r‘𝑅)(𝑥(+g‘𝑅)𝑦)) = ((𝑧(.r‘𝑅)𝑥)(+g‘𝑅)(𝑧(.r‘𝑅)𝑦)))
41	2, 12, 1, 13	opprmul 20337	. . 3 ⊢ ((𝑥(+g‘𝑅)𝑦)(.r‘𝑂)𝑧) = (𝑧(.r‘𝑅)(𝑥(+g‘𝑅)𝑦))
42	36, 28	oveq12i 7443	. . 3 ⊢ ((𝑥(.r‘𝑂)𝑧)(+g‘𝑅)(𝑦(.r‘𝑂)𝑧)) = ((𝑧(.r‘𝑅)𝑥)(+g‘𝑅)(𝑧(.r‘𝑅)𝑦))
43	40, 41, 42	3eqtr4g 2802	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑅))) → ((𝑥(+g‘𝑅)𝑦)(.r‘𝑂)𝑧) = ((𝑥(.r‘𝑂)𝑧)(+g‘𝑅)(𝑦(.r‘𝑂)𝑧)))
44	4, 7, 8, 11, 17, 32, 38, 43	isrngd 20170	1 ⊢ (𝑅 ∈ Rng → 𝑂 ∈ Rng)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431  Basecbs 17247  +_gcplusg 17297  ._rcmulr 17298  Abelcabl 19799  Rngcrng 20149  opp_rcoppr 20333

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8015  df-tpos 8251  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-0g 17486  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-grp 18954  df-cmn 19800  df-abl 19801  df-mgp 20138  df-rng 20150  df-oppr 20334

This theorem is referenced by:  opprrngb  20346  opprring  20347  rngridlmcl  21227  isridlrng  21229  2idlcpblrng  21281