MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  issubrng2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem issubrng2 20499
Description: Characterize the subrings of a ring by closure properties. (Contributed by AV, 15-Feb-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
issubrng2.b ๐ต = (Baseโ€˜๐‘…)
issubrng2.t ยท = (.rโ€˜๐‘…)
Assertion
Ref Expression
issubrng2 (๐‘… โˆˆ Rng โ†’ (๐ด โˆˆ (SubRngโ€˜๐‘…) โ†” (๐ด โˆˆ (SubGrpโ€˜๐‘…) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ด (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) โˆˆ ๐ด)))
Distinct variable groups:   ๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐ด   ๐‘ฅ,๐‘…,๐‘ฆ   ๐‘ฅ, ยท ,๐‘ฆ
Allowed substitution hints:   ๐ต(๐‘ฅ,๐‘ฆ)

Proof of Theorem issubrng2
Dummy variables ๐‘ฃ ๐‘ข ๐‘ค are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 subrngsubg 20493 . . 3 (๐ด โˆˆ (SubRngโ€˜๐‘…) โ†’ ๐ด โˆˆ (SubGrpโ€˜๐‘…))
2 issubrng2.t . . . . . 6 ยท = (.rโ€˜๐‘…)
32subrngmcl 20498 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ (SubRngโ€˜๐‘…) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ด) โ†’ (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) โˆˆ ๐ด)
433expb 1117 . . . 4 ((๐ด โˆˆ (SubRngโ€˜๐‘…) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ด)) โ†’ (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) โˆˆ ๐ด)
54ralrimivva 3191 . . 3 (๐ด โˆˆ (SubRngโ€˜๐‘…) โ†’ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ด (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) โˆˆ ๐ด)
61, 5jca 510 . 2 (๐ด โˆˆ (SubRngโ€˜๐‘…) โ†’ (๐ด โˆˆ (SubGrpโ€˜๐‘…) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ด (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) โˆˆ ๐ด))
7 simpl 481 . . . 4 ((๐‘… โˆˆ Rng โˆง (๐ด โˆˆ (SubGrpโ€˜๐‘…) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ด (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) โˆˆ ๐ด)) โ†’ ๐‘… โˆˆ Rng)
8 simprl 769 . . . . . 6 ((๐‘… โˆˆ Rng โˆง (๐ด โˆˆ (SubGrpโ€˜๐‘…) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ด (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) โˆˆ ๐ด)) โ†’ ๐ด โˆˆ (SubGrpโ€˜๐‘…))
9 eqid 2725 . . . . . . 7 (๐‘… โ†พs ๐ด) = (๐‘… โ†พs ๐ด)
109subgbas 19089 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ (SubGrpโ€˜๐‘…) โ†’ ๐ด = (Baseโ€˜(๐‘… โ†พs ๐ด)))
118, 10syl 17 . . . . 5 ((๐‘… โˆˆ Rng โˆง (๐ด โˆˆ (SubGrpโ€˜๐‘…) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ด (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) โˆˆ ๐ด)) โ†’ ๐ด = (Baseโ€˜(๐‘… โ†พs ๐ด)))
12 eqid 2725 . . . . . . 7 (+gโ€˜๐‘…) = (+gโ€˜๐‘…)
139, 12ressplusg 17270 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ (SubGrpโ€˜๐‘…) โ†’ (+gโ€˜๐‘…) = (+gโ€˜(๐‘… โ†พs ๐ด)))
148, 13syl 17 . . . . 5 ((๐‘… โˆˆ Rng โˆง (๐ด โˆˆ (SubGrpโ€˜๐‘…) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ด (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) โˆˆ ๐ด)) โ†’ (+gโ€˜๐‘…) = (+gโ€˜(๐‘… โ†พs ๐ด)))
159, 2ressmulr 17287 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ (SubGrpโ€˜๐‘…) โ†’ ยท = (.rโ€˜(๐‘… โ†พs ๐ด)))
168, 15syl 17 . . . . 5 ((๐‘… โˆˆ Rng โˆง (๐ด โˆˆ (SubGrpโ€˜๐‘…) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ด (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) โˆˆ ๐ด)) โ†’ ยท = (.rโ€˜(๐‘… โ†พs ๐ด)))
17 rngabl 20099 . . . . . 6 (๐‘… โˆˆ Rng โ†’ ๐‘… โˆˆ Abel)
189subgabl 19795 . . . . . 6 ((๐‘… โˆˆ Abel โˆง ๐ด โˆˆ (SubGrpโ€˜๐‘…)) โ†’ (๐‘… โ†พs ๐ด) โˆˆ Abel)
1917, 8, 18syl2an2r 683 . . . . 5 ((๐‘… โˆˆ Rng โˆง (๐ด โˆˆ (SubGrpโ€˜๐‘…) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ด (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) โˆˆ ๐ด)) โ†’ (๐‘… โ†พs ๐ด) โˆˆ Abel)
20 simprr 771 . . . . . . 7 ((๐‘… โˆˆ Rng โˆง (๐ด โˆˆ (SubGrpโ€˜๐‘…) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ด (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) โˆˆ ๐ด)) โ†’ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ด (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) โˆˆ ๐ด)
21 oveq1 7423 . . . . . . . . 9 (๐‘ฅ = ๐‘ข โ†’ (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) = (๐‘ข ยท ๐‘ฆ))
2221eleq1d 2810 . . . . . . . 8 (๐‘ฅ = ๐‘ข โ†’ ((๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) โˆˆ ๐ด โ†” (๐‘ข ยท ๐‘ฆ) โˆˆ ๐ด))
23 oveq2 7424 . . . . . . . . 9 (๐‘ฆ = ๐‘ฃ โ†’ (๐‘ข ยท ๐‘ฆ) = (๐‘ข ยท ๐‘ฃ))
2423eleq1d 2810 . . . . . . . 8 (๐‘ฆ = ๐‘ฃ โ†’ ((๐‘ข ยท ๐‘ฆ) โˆˆ ๐ด โ†” (๐‘ข ยท ๐‘ฃ) โˆˆ ๐ด))
2522, 24rspc2v 3612 . . . . . . 7 ((๐‘ข โˆˆ ๐ด โˆง ๐‘ฃ โˆˆ ๐ด) โ†’ (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ด (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) โˆˆ ๐ด โ†’ (๐‘ข ยท ๐‘ฃ) โˆˆ ๐ด))
2620, 25syl5com 31 . . . . . 6 ((๐‘… โˆˆ Rng โˆง (๐ด โˆˆ (SubGrpโ€˜๐‘…) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ด (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) โˆˆ ๐ด)) โ†’ ((๐‘ข โˆˆ ๐ด โˆง ๐‘ฃ โˆˆ ๐ด) โ†’ (๐‘ข ยท ๐‘ฃ) โˆˆ ๐ด))
27263impib 1113 . . . . 5 (((๐‘… โˆˆ Rng โˆง (๐ด โˆˆ (SubGrpโ€˜๐‘…) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ด (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) โˆˆ ๐ด)) โˆง ๐‘ข โˆˆ ๐ด โˆง ๐‘ฃ โˆˆ ๐ด) โ†’ (๐‘ข ยท ๐‘ฃ) โˆˆ ๐ด)
28 issubrng2.b . . . . . . . . . . 11 ๐ต = (Baseโ€˜๐‘…)
2928subgss 19086 . . . . . . . . . 10 (๐ด โˆˆ (SubGrpโ€˜๐‘…) โ†’ ๐ด โІ ๐ต)
308, 29syl 17 . . . . . . . . 9 ((๐‘… โˆˆ Rng โˆง (๐ด โˆˆ (SubGrpโ€˜๐‘…) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ด (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) โˆˆ ๐ด)) โ†’ ๐ด โІ ๐ต)
3130sseld 3971 . . . . . . . 8 ((๐‘… โˆˆ Rng โˆง (๐ด โˆˆ (SubGrpโ€˜๐‘…) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ด (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) โˆˆ ๐ด)) โ†’ (๐‘ข โˆˆ ๐ด โ†’ ๐‘ข โˆˆ ๐ต))
3230sseld 3971 . . . . . . . 8 ((๐‘… โˆˆ Rng โˆง (๐ด โˆˆ (SubGrpโ€˜๐‘…) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ด (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) โˆˆ ๐ด)) โ†’ (๐‘ฃ โˆˆ ๐ด โ†’ ๐‘ฃ โˆˆ ๐ต))
3330sseld 3971 . . . . . . . 8 ((๐‘… โˆˆ Rng โˆง (๐ด โˆˆ (SubGrpโ€˜๐‘…) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ด (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) โˆˆ ๐ด)) โ†’ (๐‘ค โˆˆ ๐ด โ†’ ๐‘ค โˆˆ ๐ต))
3431, 32, 333anim123d 1439 . . . . . . 7 ((๐‘… โˆˆ Rng โˆง (๐ด โˆˆ (SubGrpโ€˜๐‘…) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ด (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) โˆˆ ๐ด)) โ†’ ((๐‘ข โˆˆ ๐ด โˆง ๐‘ฃ โˆˆ ๐ด โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐ด) โ†’ (๐‘ข โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฃ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐ต)))
3534imp 405 . . . . . 6 (((๐‘… โˆˆ Rng โˆง (๐ด โˆˆ (SubGrpโ€˜๐‘…) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ด (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) โˆˆ ๐ด)) โˆง (๐‘ข โˆˆ ๐ด โˆง ๐‘ฃ โˆˆ ๐ด โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐ด)) โ†’ (๐‘ข โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฃ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐ต))
3628, 2rngass 20103 . . . . . . 7 ((๐‘… โˆˆ Rng โˆง (๐‘ข โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฃ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐ต)) โ†’ ((๐‘ข ยท ๐‘ฃ) ยท ๐‘ค) = (๐‘ข ยท (๐‘ฃ ยท ๐‘ค)))
3736adantlr 713 . . . . . 6 (((๐‘… โˆˆ Rng โˆง (๐ด โˆˆ (SubGrpโ€˜๐‘…) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ด (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) โˆˆ ๐ด)) โˆง (๐‘ข โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฃ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐ต)) โ†’ ((๐‘ข ยท ๐‘ฃ) ยท ๐‘ค) = (๐‘ข ยท (๐‘ฃ ยท ๐‘ค)))
3835, 37syldan 589 . . . . 5 (((๐‘… โˆˆ Rng โˆง (๐ด โˆˆ (SubGrpโ€˜๐‘…) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ด (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) โˆˆ ๐ด)) โˆง (๐‘ข โˆˆ ๐ด โˆง ๐‘ฃ โˆˆ ๐ด โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐ด)) โ†’ ((๐‘ข ยท ๐‘ฃ) ยท ๐‘ค) = (๐‘ข ยท (๐‘ฃ ยท ๐‘ค)))
3928, 12, 2rngdi 20104 . . . . . . 7 ((๐‘… โˆˆ Rng โˆง (๐‘ข โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฃ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐ต)) โ†’ (๐‘ข ยท (๐‘ฃ(+gโ€˜๐‘…)๐‘ค)) = ((๐‘ข ยท ๐‘ฃ)(+gโ€˜๐‘…)(๐‘ข ยท ๐‘ค)))
4039adantlr 713 . . . . . 6 (((๐‘… โˆˆ Rng โˆง (๐ด โˆˆ (SubGrpโ€˜๐‘…) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ด (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) โˆˆ ๐ด)) โˆง (๐‘ข โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฃ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐ต)) โ†’ (๐‘ข ยท (๐‘ฃ(+gโ€˜๐‘…)๐‘ค)) = ((๐‘ข ยท ๐‘ฃ)(+gโ€˜๐‘…)(๐‘ข ยท ๐‘ค)))
4135, 40syldan 589 . . . . 5 (((๐‘… โˆˆ Rng โˆง (๐ด โˆˆ (SubGrpโ€˜๐‘…) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ด (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) โˆˆ ๐ด)) โˆง (๐‘ข โˆˆ ๐ด โˆง ๐‘ฃ โˆˆ ๐ด โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐ด)) โ†’ (๐‘ข ยท (๐‘ฃ(+gโ€˜๐‘…)๐‘ค)) = ((๐‘ข ยท ๐‘ฃ)(+gโ€˜๐‘…)(๐‘ข ยท ๐‘ค)))
4228, 12, 2rngdir 20105 . . . . . . 7 ((๐‘… โˆˆ Rng โˆง (๐‘ข โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฃ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐ต)) โ†’ ((๐‘ข(+gโ€˜๐‘…)๐‘ฃ) ยท ๐‘ค) = ((๐‘ข ยท ๐‘ค)(+gโ€˜๐‘…)(๐‘ฃ ยท ๐‘ค)))
4342adantlr 713 . . . . . 6 (((๐‘… โˆˆ Rng โˆง (๐ด โˆˆ (SubGrpโ€˜๐‘…) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ด (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) โˆˆ ๐ด)) โˆง (๐‘ข โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฃ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐ต)) โ†’ ((๐‘ข(+gโ€˜๐‘…)๐‘ฃ) ยท ๐‘ค) = ((๐‘ข ยท ๐‘ค)(+gโ€˜๐‘…)(๐‘ฃ ยท ๐‘ค)))
4435, 43syldan 589 . . . . 5 (((๐‘… โˆˆ Rng โˆง (๐ด โˆˆ (SubGrpโ€˜๐‘…) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ด (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) โˆˆ ๐ด)) โˆง (๐‘ข โˆˆ ๐ด โˆง ๐‘ฃ โˆˆ ๐ด โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐ด)) โ†’ ((๐‘ข(+gโ€˜๐‘…)๐‘ฃ) ยท ๐‘ค) = ((๐‘ข ยท ๐‘ค)(+gโ€˜๐‘…)(๐‘ฃ ยท ๐‘ค)))
4511, 14, 16, 19, 27, 38, 41, 44isrngd 20117 . . . 4 ((๐‘… โˆˆ Rng โˆง (๐ด โˆˆ (SubGrpโ€˜๐‘…) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ด (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) โˆˆ ๐ด)) โ†’ (๐‘… โ†พs ๐ด) โˆˆ Rng)
4628issubrng 20488 . . . 4 (๐ด โˆˆ (SubRngโ€˜๐‘…) โ†” (๐‘… โˆˆ Rng โˆง (๐‘… โ†พs ๐ด) โˆˆ Rng โˆง ๐ด โІ ๐ต))
477, 45, 30, 46syl3anbrc 1340 . . 3 ((๐‘… โˆˆ Rng โˆง (๐ด โˆˆ (SubGrpโ€˜๐‘…) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ด (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) โˆˆ ๐ด)) โ†’ ๐ด โˆˆ (SubRngโ€˜๐‘…))
4847ex 411 . 2 (๐‘… โˆˆ Rng โ†’ ((๐ด โˆˆ (SubGrpโ€˜๐‘…) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ด (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ด โˆˆ (SubRngโ€˜๐‘…)))
496, 48impbid2 225 1 (๐‘… โˆˆ Rng โ†’ (๐ด โˆˆ (SubRngโ€˜๐‘…) โ†” (๐ด โˆˆ (SubGrpโ€˜๐‘…) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ด (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) โˆˆ ๐ด)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 394   โˆง w3a 1084   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098  โˆ€wral 3051   โІ wss 3939  โ€˜cfv 6543  (class class class)co 7416  Basecbs 17179   โ†พs cress 17208  +gcplusg 17232  .rcmulr 17233  SubGrpcsubg 19079  Abelcabl 19740  Rngcrng 20096  SubRngcsubrng 20486
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7738  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-pss 3959  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7869  df-2nd 7992  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-er 8723  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-nn 12243  df-2 12305  df-3 12306  df-sets 17132  df-slot 17150  df-ndx 17162  df-base 17180  df-ress 17209  df-plusg 17245  df-mulr 17246  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-grp 18897  df-subg 19082  df-cmn 19741  df-abl 19742  df-mgp 20079  df-rng 20097  df-subrng 20487
This theorem is referenced by:  opprsubrng  20500  subrngint  20501  rhmimasubrng  20507  cntzsubrng  20508  pzriprnglem5  21415
  Copyright terms: Public domain W3C validator