MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  issubrng2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem issubrng2 20458
Description: Characterize the subrings of a ring by closure properties. (Contributed by AV, 15-Feb-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
issubrng2.b ๐ต = (Baseโ€˜๐‘…)
issubrng2.t ยท = (.rโ€˜๐‘…)
Assertion
Ref Expression
issubrng2 (๐‘… โˆˆ Rng โ†’ (๐ด โˆˆ (SubRngโ€˜๐‘…) โ†” (๐ด โˆˆ (SubGrpโ€˜๐‘…) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ด (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) โˆˆ ๐ด)))
Distinct variable groups:   ๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐ด   ๐‘ฅ,๐‘…,๐‘ฆ   ๐‘ฅ, ยท ,๐‘ฆ
Allowed substitution hints:   ๐ต(๐‘ฅ,๐‘ฆ)

Proof of Theorem issubrng2
Dummy variables ๐‘ฃ ๐‘ข ๐‘ค are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 subrngsubg 20452 . . 3 (๐ด โˆˆ (SubRngโ€˜๐‘…) โ†’ ๐ด โˆˆ (SubGrpโ€˜๐‘…))
2 issubrng2.t . . . . . 6 ยท = (.rโ€˜๐‘…)
32subrngmcl 20457 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ (SubRngโ€˜๐‘…) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ด) โ†’ (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) โˆˆ ๐ด)
433expb 1117 . . . 4 ((๐ด โˆˆ (SubRngโ€˜๐‘…) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ด)) โ†’ (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) โˆˆ ๐ด)
54ralrimivva 3194 . . 3 (๐ด โˆˆ (SubRngโ€˜๐‘…) โ†’ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ด (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) โˆˆ ๐ด)
61, 5jca 511 . 2 (๐ด โˆˆ (SubRngโ€˜๐‘…) โ†’ (๐ด โˆˆ (SubGrpโ€˜๐‘…) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ด (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) โˆˆ ๐ด))
7 simpl 482 . . . 4 ((๐‘… โˆˆ Rng โˆง (๐ด โˆˆ (SubGrpโ€˜๐‘…) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ด (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) โˆˆ ๐ด)) โ†’ ๐‘… โˆˆ Rng)
8 simprl 768 . . . . . 6 ((๐‘… โˆˆ Rng โˆง (๐ด โˆˆ (SubGrpโ€˜๐‘…) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ด (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) โˆˆ ๐ด)) โ†’ ๐ด โˆˆ (SubGrpโ€˜๐‘…))
9 eqid 2726 . . . . . . 7 (๐‘… โ†พs ๐ด) = (๐‘… โ†พs ๐ด)
109subgbas 19057 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ (SubGrpโ€˜๐‘…) โ†’ ๐ด = (Baseโ€˜(๐‘… โ†พs ๐ด)))
118, 10syl 17 . . . . 5 ((๐‘… โˆˆ Rng โˆง (๐ด โˆˆ (SubGrpโ€˜๐‘…) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ด (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) โˆˆ ๐ด)) โ†’ ๐ด = (Baseโ€˜(๐‘… โ†พs ๐ด)))
12 eqid 2726 . . . . . . 7 (+gโ€˜๐‘…) = (+gโ€˜๐‘…)
139, 12ressplusg 17244 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ (SubGrpโ€˜๐‘…) โ†’ (+gโ€˜๐‘…) = (+gโ€˜(๐‘… โ†พs ๐ด)))
148, 13syl 17 . . . . 5 ((๐‘… โˆˆ Rng โˆง (๐ด โˆˆ (SubGrpโ€˜๐‘…) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ด (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) โˆˆ ๐ด)) โ†’ (+gโ€˜๐‘…) = (+gโ€˜(๐‘… โ†พs ๐ด)))
159, 2ressmulr 17261 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ (SubGrpโ€˜๐‘…) โ†’ ยท = (.rโ€˜(๐‘… โ†พs ๐ด)))
168, 15syl 17 . . . . 5 ((๐‘… โˆˆ Rng โˆง (๐ด โˆˆ (SubGrpโ€˜๐‘…) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ด (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) โˆˆ ๐ด)) โ†’ ยท = (.rโ€˜(๐‘… โ†พs ๐ด)))
17 rngabl 20060 . . . . . 6 (๐‘… โˆˆ Rng โ†’ ๐‘… โˆˆ Abel)
189subgabl 19756 . . . . . 6 ((๐‘… โˆˆ Abel โˆง ๐ด โˆˆ (SubGrpโ€˜๐‘…)) โ†’ (๐‘… โ†พs ๐ด) โˆˆ Abel)
1917, 8, 18syl2an2r 682 . . . . 5 ((๐‘… โˆˆ Rng โˆง (๐ด โˆˆ (SubGrpโ€˜๐‘…) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ด (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) โˆˆ ๐ด)) โ†’ (๐‘… โ†พs ๐ด) โˆˆ Abel)
20 simprr 770 . . . . . . 7 ((๐‘… โˆˆ Rng โˆง (๐ด โˆˆ (SubGrpโ€˜๐‘…) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ด (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) โˆˆ ๐ด)) โ†’ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ด (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) โˆˆ ๐ด)
21 oveq1 7412 . . . . . . . . 9 (๐‘ฅ = ๐‘ข โ†’ (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) = (๐‘ข ยท ๐‘ฆ))
2221eleq1d 2812 . . . . . . . 8 (๐‘ฅ = ๐‘ข โ†’ ((๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) โˆˆ ๐ด โ†” (๐‘ข ยท ๐‘ฆ) โˆˆ ๐ด))
23 oveq2 7413 . . . . . . . . 9 (๐‘ฆ = ๐‘ฃ โ†’ (๐‘ข ยท ๐‘ฆ) = (๐‘ข ยท ๐‘ฃ))
2423eleq1d 2812 . . . . . . . 8 (๐‘ฆ = ๐‘ฃ โ†’ ((๐‘ข ยท ๐‘ฆ) โˆˆ ๐ด โ†” (๐‘ข ยท ๐‘ฃ) โˆˆ ๐ด))
2522, 24rspc2v 3617 . . . . . . 7 ((๐‘ข โˆˆ ๐ด โˆง ๐‘ฃ โˆˆ ๐ด) โ†’ (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ด (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) โˆˆ ๐ด โ†’ (๐‘ข ยท ๐‘ฃ) โˆˆ ๐ด))
2620, 25syl5com 31 . . . . . 6 ((๐‘… โˆˆ Rng โˆง (๐ด โˆˆ (SubGrpโ€˜๐‘…) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ด (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) โˆˆ ๐ด)) โ†’ ((๐‘ข โˆˆ ๐ด โˆง ๐‘ฃ โˆˆ ๐ด) โ†’ (๐‘ข ยท ๐‘ฃ) โˆˆ ๐ด))
27263impib 1113 . . . . 5 (((๐‘… โˆˆ Rng โˆง (๐ด โˆˆ (SubGrpโ€˜๐‘…) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ด (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) โˆˆ ๐ด)) โˆง ๐‘ข โˆˆ ๐ด โˆง ๐‘ฃ โˆˆ ๐ด) โ†’ (๐‘ข ยท ๐‘ฃ) โˆˆ ๐ด)
28 issubrng2.b . . . . . . . . . . 11 ๐ต = (Baseโ€˜๐‘…)
2928subgss 19054 . . . . . . . . . 10 (๐ด โˆˆ (SubGrpโ€˜๐‘…) โ†’ ๐ด โІ ๐ต)
308, 29syl 17 . . . . . . . . 9 ((๐‘… โˆˆ Rng โˆง (๐ด โˆˆ (SubGrpโ€˜๐‘…) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ด (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) โˆˆ ๐ด)) โ†’ ๐ด โІ ๐ต)
3130sseld 3976 . . . . . . . 8 ((๐‘… โˆˆ Rng โˆง (๐ด โˆˆ (SubGrpโ€˜๐‘…) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ด (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) โˆˆ ๐ด)) โ†’ (๐‘ข โˆˆ ๐ด โ†’ ๐‘ข โˆˆ ๐ต))
3230sseld 3976 . . . . . . . 8 ((๐‘… โˆˆ Rng โˆง (๐ด โˆˆ (SubGrpโ€˜๐‘…) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ด (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) โˆˆ ๐ด)) โ†’ (๐‘ฃ โˆˆ ๐ด โ†’ ๐‘ฃ โˆˆ ๐ต))
3330sseld 3976 . . . . . . . 8 ((๐‘… โˆˆ Rng โˆง (๐ด โˆˆ (SubGrpโ€˜๐‘…) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ด (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) โˆˆ ๐ด)) โ†’ (๐‘ค โˆˆ ๐ด โ†’ ๐‘ค โˆˆ ๐ต))
3431, 32, 333anim123d 1439 . . . . . . 7 ((๐‘… โˆˆ Rng โˆง (๐ด โˆˆ (SubGrpโ€˜๐‘…) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ด (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) โˆˆ ๐ด)) โ†’ ((๐‘ข โˆˆ ๐ด โˆง ๐‘ฃ โˆˆ ๐ด โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐ด) โ†’ (๐‘ข โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฃ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐ต)))
3534imp 406 . . . . . 6 (((๐‘… โˆˆ Rng โˆง (๐ด โˆˆ (SubGrpโ€˜๐‘…) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ด (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) โˆˆ ๐ด)) โˆง (๐‘ข โˆˆ ๐ด โˆง ๐‘ฃ โˆˆ ๐ด โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐ด)) โ†’ (๐‘ข โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฃ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐ต))
3628, 2rngass 20064 . . . . . . 7 ((๐‘… โˆˆ Rng โˆง (๐‘ข โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฃ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐ต)) โ†’ ((๐‘ข ยท ๐‘ฃ) ยท ๐‘ค) = (๐‘ข ยท (๐‘ฃ ยท ๐‘ค)))
3736adantlr 712 . . . . . 6 (((๐‘… โˆˆ Rng โˆง (๐ด โˆˆ (SubGrpโ€˜๐‘…) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ด (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) โˆˆ ๐ด)) โˆง (๐‘ข โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฃ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐ต)) โ†’ ((๐‘ข ยท ๐‘ฃ) ยท ๐‘ค) = (๐‘ข ยท (๐‘ฃ ยท ๐‘ค)))
3835, 37syldan 590 . . . . 5 (((๐‘… โˆˆ Rng โˆง (๐ด โˆˆ (SubGrpโ€˜๐‘…) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ด (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) โˆˆ ๐ด)) โˆง (๐‘ข โˆˆ ๐ด โˆง ๐‘ฃ โˆˆ ๐ด โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐ด)) โ†’ ((๐‘ข ยท ๐‘ฃ) ยท ๐‘ค) = (๐‘ข ยท (๐‘ฃ ยท ๐‘ค)))
3928, 12, 2rngdi 20065 . . . . . . 7 ((๐‘… โˆˆ Rng โˆง (๐‘ข โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฃ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐ต)) โ†’ (๐‘ข ยท (๐‘ฃ(+gโ€˜๐‘…)๐‘ค)) = ((๐‘ข ยท ๐‘ฃ)(+gโ€˜๐‘…)(๐‘ข ยท ๐‘ค)))
4039adantlr 712 . . . . . 6 (((๐‘… โˆˆ Rng โˆง (๐ด โˆˆ (SubGrpโ€˜๐‘…) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ด (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) โˆˆ ๐ด)) โˆง (๐‘ข โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฃ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐ต)) โ†’ (๐‘ข ยท (๐‘ฃ(+gโ€˜๐‘…)๐‘ค)) = ((๐‘ข ยท ๐‘ฃ)(+gโ€˜๐‘…)(๐‘ข ยท ๐‘ค)))
4135, 40syldan 590 . . . . 5 (((๐‘… โˆˆ Rng โˆง (๐ด โˆˆ (SubGrpโ€˜๐‘…) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ด (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) โˆˆ ๐ด)) โˆง (๐‘ข โˆˆ ๐ด โˆง ๐‘ฃ โˆˆ ๐ด โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐ด)) โ†’ (๐‘ข ยท (๐‘ฃ(+gโ€˜๐‘…)๐‘ค)) = ((๐‘ข ยท ๐‘ฃ)(+gโ€˜๐‘…)(๐‘ข ยท ๐‘ค)))
4228, 12, 2rngdir 20066 . . . . . . 7 ((๐‘… โˆˆ Rng โˆง (๐‘ข โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฃ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐ต)) โ†’ ((๐‘ข(+gโ€˜๐‘…)๐‘ฃ) ยท ๐‘ค) = ((๐‘ข ยท ๐‘ค)(+gโ€˜๐‘…)(๐‘ฃ ยท ๐‘ค)))
4342adantlr 712 . . . . . 6 (((๐‘… โˆˆ Rng โˆง (๐ด โˆˆ (SubGrpโ€˜๐‘…) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ด (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) โˆˆ ๐ด)) โˆง (๐‘ข โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฃ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐ต)) โ†’ ((๐‘ข(+gโ€˜๐‘…)๐‘ฃ) ยท ๐‘ค) = ((๐‘ข ยท ๐‘ค)(+gโ€˜๐‘…)(๐‘ฃ ยท ๐‘ค)))
4435, 43syldan 590 . . . . 5 (((๐‘… โˆˆ Rng โˆง (๐ด โˆˆ (SubGrpโ€˜๐‘…) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ด (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) โˆˆ ๐ด)) โˆง (๐‘ข โˆˆ ๐ด โˆง ๐‘ฃ โˆˆ ๐ด โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐ด)) โ†’ ((๐‘ข(+gโ€˜๐‘…)๐‘ฃ) ยท ๐‘ค) = ((๐‘ข ยท ๐‘ค)(+gโ€˜๐‘…)(๐‘ฃ ยท ๐‘ค)))
4511, 14, 16, 19, 27, 38, 41, 44isrngd 20078 . . . 4 ((๐‘… โˆˆ Rng โˆง (๐ด โˆˆ (SubGrpโ€˜๐‘…) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ด (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) โˆˆ ๐ด)) โ†’ (๐‘… โ†พs ๐ด) โˆˆ Rng)
4628issubrng 20447 . . . 4 (๐ด โˆˆ (SubRngโ€˜๐‘…) โ†” (๐‘… โˆˆ Rng โˆง (๐‘… โ†พs ๐ด) โˆˆ Rng โˆง ๐ด โІ ๐ต))
477, 45, 30, 46syl3anbrc 1340 . . 3 ((๐‘… โˆˆ Rng โˆง (๐ด โˆˆ (SubGrpโ€˜๐‘…) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ด (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) โˆˆ ๐ด)) โ†’ ๐ด โˆˆ (SubRngโ€˜๐‘…))
4847ex 412 . 2 (๐‘… โˆˆ Rng โ†’ ((๐ด โˆˆ (SubGrpโ€˜๐‘…) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ด (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ด โˆˆ (SubRngโ€˜๐‘…)))
496, 48impbid2 225 1 (๐‘… โˆˆ Rng โ†’ (๐ด โˆˆ (SubRngโ€˜๐‘…) โ†” (๐ด โˆˆ (SubGrpโ€˜๐‘…) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ด (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) โˆˆ ๐ด)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 395   โˆง w3a 1084   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098  โˆ€wral 3055   โІ wss 3943  โ€˜cfv 6537  (class class class)co 7405  Basecbs 17153   โ†พs cress 17182  +gcplusg 17206  .rcmulr 17207  SubGrpcsubg 19047  Abelcabl 19701  Rngcrng 20057  SubRngcsubrng 20445
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-sets 17106  df-slot 17124  df-ndx 17136  df-base 17154  df-ress 17183  df-plusg 17219  df-mulr 17220  df-mgm 18573  df-sgrp 18652  df-grp 18866  df-subg 19050  df-cmn 19702  df-abl 19703  df-mgp 20040  df-rng 20058  df-subrng 20446
This theorem is referenced by:  opprsubrng  20459  subrngint  20460  rhmimasubrng  20466  cntzsubrng  20467  pzriprnglem5  21372
  Copyright terms: Public domain W3C validator