MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  imasrng Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem imasrng 20082
Description: The image structure of a non-unital ring is a non-unital ring (imasring 20229 analog). (Contributed by AV, 22-Feb-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
imasrng.u (๐œ‘ โ†’ ๐‘ˆ = (๐น โ€œs ๐‘…))
imasrng.v (๐œ‘ โ†’ ๐‘‰ = (Baseโ€˜๐‘…))
imasrng.p + = (+gโ€˜๐‘…)
imasrng.t ยท = (.rโ€˜๐‘…)
imasrng.f (๐œ‘ โ†’ ๐น:๐‘‰โ€“ontoโ†’๐ต)
imasrng.e1 ((๐œ‘ โˆง (๐‘Ž โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘‰) โˆง (๐‘ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ž โˆˆ ๐‘‰)) โ†’ (((๐นโ€˜๐‘Ž) = (๐นโ€˜๐‘) โˆง (๐นโ€˜๐‘) = (๐นโ€˜๐‘ž)) โ†’ (๐นโ€˜(๐‘Ž + ๐‘)) = (๐นโ€˜(๐‘ + ๐‘ž))))
imasrng.e2 ((๐œ‘ โˆง (๐‘Ž โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘‰) โˆง (๐‘ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ž โˆˆ ๐‘‰)) โ†’ (((๐นโ€˜๐‘Ž) = (๐นโ€˜๐‘) โˆง (๐นโ€˜๐‘) = (๐นโ€˜๐‘ž)) โ†’ (๐นโ€˜(๐‘Ž ยท ๐‘)) = (๐นโ€˜(๐‘ ยท ๐‘ž))))
imasrng.r (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ Rng)
Assertion
Ref Expression
imasrng (๐œ‘ โ†’ ๐‘ˆ โˆˆ Rng)
Distinct variable groups:   + ,๐‘,๐‘ž   ๐œ‘,๐‘Ž,๐‘,๐‘,๐‘ž   ๐‘ˆ,๐‘Ž,๐‘,๐‘,๐‘ž   ๐ต,๐‘Ž,๐‘,๐‘,๐‘ž   ๐น,๐‘Ž,๐‘,๐‘,๐‘ž   ๐‘…,๐‘Ž,๐‘,๐‘,๐‘ž   ๐‘‰,๐‘Ž,๐‘,๐‘,๐‘ž   ยท ,๐‘,๐‘ž
Allowed substitution hints:   + (๐‘Ž,๐‘)   ยท (๐‘Ž,๐‘)

Proof of Theorem imasrng
Dummy variables ๐‘ข ๐‘ฃ ๐‘ค ๐‘ฅ ๐‘ฆ ๐‘ง are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 imasrng.u . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ˆ = (๐น โ€œs ๐‘…))
2 imasrng.v . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‰ = (Baseโ€˜๐‘…))
3 imasrng.f . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐น:๐‘‰โ€“ontoโ†’๐ต)
4 imasrng.r . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ Rng)
51, 2, 3, 4imasbas 17467 . 2 (๐œ‘ โ†’ ๐ต = (Baseโ€˜๐‘ˆ))
6 eqidd 2727 . 2 (๐œ‘ โ†’ (+gโ€˜๐‘ˆ) = (+gโ€˜๐‘ˆ))
7 eqidd 2727 . 2 (๐œ‘ โ†’ (.rโ€˜๐‘ˆ) = (.rโ€˜๐‘ˆ))
8 imasrng.p . . . . 5 + = (+gโ€˜๐‘…)
98a1i 11 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ + = (+gโ€˜๐‘…))
10 imasrng.e1 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง (๐‘Ž โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘‰) โˆง (๐‘ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ž โˆˆ ๐‘‰)) โ†’ (((๐นโ€˜๐‘Ž) = (๐นโ€˜๐‘) โˆง (๐นโ€˜๐‘) = (๐นโ€˜๐‘ž)) โ†’ (๐นโ€˜(๐‘Ž + ๐‘)) = (๐นโ€˜(๐‘ + ๐‘ž))))
11 rngabl 20060 . . . . 5 (๐‘… โˆˆ Rng โ†’ ๐‘… โˆˆ Abel)
124, 11syl 17 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ Abel)
13 eqid 2726 . . . 4 (0gโ€˜๐‘…) = (0gโ€˜๐‘…)
141, 2, 9, 3, 10, 12, 13imasabl 19796 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ˆ โˆˆ Abel โˆง (๐นโ€˜(0gโ€˜๐‘…)) = (0gโ€˜๐‘ˆ)))
1514simpld 494 . 2 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ˆ โˆˆ Abel)
16 imasrng.e2 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง (๐‘Ž โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘‰) โˆง (๐‘ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ž โˆˆ ๐‘‰)) โ†’ (((๐นโ€˜๐‘Ž) = (๐นโ€˜๐‘) โˆง (๐นโ€˜๐‘) = (๐นโ€˜๐‘ž)) โ†’ (๐นโ€˜(๐‘Ž ยท ๐‘)) = (๐นโ€˜(๐‘ ยท ๐‘ž))))
17 imasrng.t . . . 4 ยท = (.rโ€˜๐‘…)
18 eqid 2726 . . . 4 (.rโ€˜๐‘ˆ) = (.rโ€˜๐‘ˆ)
194adantr 480 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ข โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ฃ โˆˆ ๐‘‰)) โ†’ ๐‘… โˆˆ Rng)
20 simprl 768 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ข โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ฃ โˆˆ ๐‘‰)) โ†’ ๐‘ข โˆˆ ๐‘‰)
212adantr 480 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ข โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ฃ โˆˆ ๐‘‰)) โ†’ ๐‘‰ = (Baseโ€˜๐‘…))
2220, 21eleqtrd 2829 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ข โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ฃ โˆˆ ๐‘‰)) โ†’ ๐‘ข โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))
23 simprr 770 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ข โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ฃ โˆˆ ๐‘‰)) โ†’ ๐‘ฃ โˆˆ ๐‘‰)
2423, 21eleqtrd 2829 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ข โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ฃ โˆˆ ๐‘‰)) โ†’ ๐‘ฃ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))
25 eqid 2726 . . . . . . . 8 (Baseโ€˜๐‘…) = (Baseโ€˜๐‘…)
2625, 17rngcl 20069 . . . . . . 7 ((๐‘… โˆˆ Rng โˆง ๐‘ข โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…) โˆง ๐‘ฃ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…)) โ†’ (๐‘ข ยท ๐‘ฃ) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))
2719, 22, 24, 26syl3anc 1368 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ข โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ฃ โˆˆ ๐‘‰)) โ†’ (๐‘ข ยท ๐‘ฃ) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))
2827, 21eleqtrrd 2830 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ข โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ฃ โˆˆ ๐‘‰)) โ†’ (๐‘ข ยท ๐‘ฃ) โˆˆ ๐‘‰)
2928caovclg 7596 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ž โˆˆ ๐‘‰)) โ†’ (๐‘ ยท ๐‘ž) โˆˆ ๐‘‰)
303, 16, 1, 2, 4, 17, 18, 29imasmulf 17491 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (.rโ€˜๐‘ˆ):(๐ต ร— ๐ต)โŸถ๐ต)
3130fovcld 7532 . 2 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ข โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฃ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘ข(.rโ€˜๐‘ˆ)๐‘ฃ) โˆˆ ๐ต)
32 forn 6802 . . . . . . . . 9 (๐น:๐‘‰โ€“ontoโ†’๐ต โ†’ ran ๐น = ๐ต)
333, 32syl 17 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ran ๐น = ๐ต)
3433eleq2d 2813 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ข โˆˆ ran ๐น โ†” ๐‘ข โˆˆ ๐ต))
3533eleq2d 2813 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฃ โˆˆ ran ๐น โ†” ๐‘ฃ โˆˆ ๐ต))
3633eleq2d 2813 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ค โˆˆ ran ๐น โ†” ๐‘ค โˆˆ ๐ต))
3734, 35, 363anbi123d 1432 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ข โˆˆ ran ๐น โˆง ๐‘ฃ โˆˆ ran ๐น โˆง ๐‘ค โˆˆ ran ๐น) โ†” (๐‘ข โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฃ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐ต)))
38 fofn 6801 . . . . . . 7 (๐น:๐‘‰โ€“ontoโ†’๐ต โ†’ ๐น Fn ๐‘‰)
39 fvelrnb 6946 . . . . . . . 8 (๐น Fn ๐‘‰ โ†’ (๐‘ข โˆˆ ran ๐น โ†” โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‰ (๐นโ€˜๐‘ฅ) = ๐‘ข))
40 fvelrnb 6946 . . . . . . . 8 (๐น Fn ๐‘‰ โ†’ (๐‘ฃ โˆˆ ran ๐น โ†” โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‰ (๐นโ€˜๐‘ฆ) = ๐‘ฃ))
41 fvelrnb 6946 . . . . . . . 8 (๐น Fn ๐‘‰ โ†’ (๐‘ค โˆˆ ran ๐น โ†” โˆƒ๐‘ง โˆˆ ๐‘‰ (๐นโ€˜๐‘ง) = ๐‘ค))
4239, 40, 413anbi123d 1432 . . . . . . 7 (๐น Fn ๐‘‰ โ†’ ((๐‘ข โˆˆ ran ๐น โˆง ๐‘ฃ โˆˆ ran ๐น โˆง ๐‘ค โˆˆ ran ๐น) โ†” (โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‰ (๐นโ€˜๐‘ฅ) = ๐‘ข โˆง โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‰ (๐นโ€˜๐‘ฆ) = ๐‘ฃ โˆง โˆƒ๐‘ง โˆˆ ๐‘‰ (๐นโ€˜๐‘ง) = ๐‘ค)))
433, 38, 423syl 18 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ข โˆˆ ran ๐น โˆง ๐‘ฃ โˆˆ ran ๐น โˆง ๐‘ค โˆˆ ran ๐น) โ†” (โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‰ (๐นโ€˜๐‘ฅ) = ๐‘ข โˆง โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‰ (๐นโ€˜๐‘ฆ) = ๐‘ฃ โˆง โˆƒ๐‘ง โˆˆ ๐‘‰ (๐นโ€˜๐‘ง) = ๐‘ค)))
4437, 43bitr3d 281 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ข โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฃ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐ต) โ†” (โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‰ (๐นโ€˜๐‘ฅ) = ๐‘ข โˆง โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‰ (๐นโ€˜๐‘ฆ) = ๐‘ฃ โˆง โˆƒ๐‘ง โˆˆ ๐‘‰ (๐นโ€˜๐‘ง) = ๐‘ค)))
45 3reeanv 3221 . . . . 5 (โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‰ โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‰ โˆƒ๐‘ง โˆˆ ๐‘‰ ((๐นโ€˜๐‘ฅ) = ๐‘ข โˆง (๐นโ€˜๐‘ฆ) = ๐‘ฃ โˆง (๐นโ€˜๐‘ง) = ๐‘ค) โ†” (โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‰ (๐นโ€˜๐‘ฅ) = ๐‘ข โˆง โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‰ (๐นโ€˜๐‘ฆ) = ๐‘ฃ โˆง โˆƒ๐‘ง โˆˆ ๐‘‰ (๐นโ€˜๐‘ง) = ๐‘ค))
4644, 45bitr4di 289 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ข โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฃ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐ต) โ†” โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‰ โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‰ โˆƒ๐‘ง โˆˆ ๐‘‰ ((๐นโ€˜๐‘ฅ) = ๐‘ข โˆง (๐นโ€˜๐‘ฆ) = ๐‘ฃ โˆง (๐นโ€˜๐‘ง) = ๐‘ค)))
474adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐‘‰)) โ†’ ๐‘… โˆˆ Rng)
48 simp2 1134 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‰) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‰)
4923ad2ant1 1130 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‰) โ†’ ๐‘‰ = (Baseโ€˜๐‘…))
5048, 49eleqtrd 2829 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‰) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))
51503adant3r3 1181 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐‘‰)) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))
52 simp3 1135 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‰) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‰)
5352, 49eleqtrd 2829 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‰) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))
54533adant3r3 1181 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐‘‰)) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))
55 simpr3 1193 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐‘‰)) โ†’ ๐‘ง โˆˆ ๐‘‰)
562adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐‘‰)) โ†’ ๐‘‰ = (Baseโ€˜๐‘…))
5755, 56eleqtrd 2829 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐‘‰)) โ†’ ๐‘ง โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))
5825, 17rngass 20064 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘… โˆˆ Rng โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…) โˆง ๐‘ง โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))) โ†’ ((๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) ยท ๐‘ง) = (๐‘ฅ ยท (๐‘ฆ ยท ๐‘ง)))
5947, 51, 54, 57, 58syl13anc 1369 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐‘‰)) โ†’ ((๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) ยท ๐‘ง) = (๐‘ฅ ยท (๐‘ฆ ยท ๐‘ง)))
6059fveq2d 6889 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐‘‰)) โ†’ (๐นโ€˜((๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) ยท ๐‘ง)) = (๐นโ€˜(๐‘ฅ ยท (๐‘ฆ ยท ๐‘ง))))
61 simpl 482 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐‘‰)) โ†’ ๐œ‘)
6228caovclg 7596 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‰)) โ†’ (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) โˆˆ ๐‘‰)
63623adantr3 1168 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐‘‰)) โ†’ (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) โˆˆ ๐‘‰)
643, 16, 1, 2, 4, 17, 18imasmulval 17490 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐‘‰) โ†’ ((๐นโ€˜(๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ))(.rโ€˜๐‘ˆ)(๐นโ€˜๐‘ง)) = (๐นโ€˜((๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) ยท ๐‘ง)))
6561, 63, 55, 64syl3anc 1368 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐‘‰)) โ†’ ((๐นโ€˜(๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ))(.rโ€˜๐‘ˆ)(๐นโ€˜๐‘ง)) = (๐นโ€˜((๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) ยท ๐‘ง)))
66 simpr1 1191 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐‘‰)) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‰)
6728caovclg 7596 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐‘‰)) โ†’ (๐‘ฆ ยท ๐‘ง) โˆˆ ๐‘‰)
68673adantr1 1166 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐‘‰)) โ†’ (๐‘ฆ ยท ๐‘ง) โˆˆ ๐‘‰)
693, 16, 1, 2, 4, 17, 18imasmulval 17490 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‰ โˆง (๐‘ฆ ยท ๐‘ง) โˆˆ ๐‘‰) โ†’ ((๐นโ€˜๐‘ฅ)(.rโ€˜๐‘ˆ)(๐นโ€˜(๐‘ฆ ยท ๐‘ง))) = (๐นโ€˜(๐‘ฅ ยท (๐‘ฆ ยท ๐‘ง))))
7061, 66, 68, 69syl3anc 1368 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐‘‰)) โ†’ ((๐นโ€˜๐‘ฅ)(.rโ€˜๐‘ˆ)(๐นโ€˜(๐‘ฆ ยท ๐‘ง))) = (๐นโ€˜(๐‘ฅ ยท (๐‘ฆ ยท ๐‘ง))))
7160, 65, 703eqtr4d 2776 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐‘‰)) โ†’ ((๐นโ€˜(๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ))(.rโ€˜๐‘ˆ)(๐นโ€˜๐‘ง)) = ((๐นโ€˜๐‘ฅ)(.rโ€˜๐‘ˆ)(๐นโ€˜(๐‘ฆ ยท ๐‘ง))))
723, 16, 1, 2, 4, 17, 18imasmulval 17490 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‰) โ†’ ((๐นโ€˜๐‘ฅ)(.rโ€˜๐‘ˆ)(๐นโ€˜๐‘ฆ)) = (๐นโ€˜(๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ)))
73723adant3r3 1181 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐‘‰)) โ†’ ((๐นโ€˜๐‘ฅ)(.rโ€˜๐‘ˆ)(๐นโ€˜๐‘ฆ)) = (๐นโ€˜(๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ)))
7473oveq1d 7420 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐‘‰)) โ†’ (((๐นโ€˜๐‘ฅ)(.rโ€˜๐‘ˆ)(๐นโ€˜๐‘ฆ))(.rโ€˜๐‘ˆ)(๐นโ€˜๐‘ง)) = ((๐นโ€˜(๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ))(.rโ€˜๐‘ˆ)(๐นโ€˜๐‘ง)))
753, 16, 1, 2, 4, 17, 18imasmulval 17490 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐‘‰) โ†’ ((๐นโ€˜๐‘ฆ)(.rโ€˜๐‘ˆ)(๐นโ€˜๐‘ง)) = (๐นโ€˜(๐‘ฆ ยท ๐‘ง)))
76753adant3r1 1179 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐‘‰)) โ†’ ((๐นโ€˜๐‘ฆ)(.rโ€˜๐‘ˆ)(๐นโ€˜๐‘ง)) = (๐นโ€˜(๐‘ฆ ยท ๐‘ง)))
7776oveq2d 7421 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐‘‰)) โ†’ ((๐นโ€˜๐‘ฅ)(.rโ€˜๐‘ˆ)((๐นโ€˜๐‘ฆ)(.rโ€˜๐‘ˆ)(๐นโ€˜๐‘ง))) = ((๐นโ€˜๐‘ฅ)(.rโ€˜๐‘ˆ)(๐นโ€˜(๐‘ฆ ยท ๐‘ง))))
7871, 74, 773eqtr4d 2776 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐‘‰)) โ†’ (((๐นโ€˜๐‘ฅ)(.rโ€˜๐‘ˆ)(๐นโ€˜๐‘ฆ))(.rโ€˜๐‘ˆ)(๐นโ€˜๐‘ง)) = ((๐นโ€˜๐‘ฅ)(.rโ€˜๐‘ˆ)((๐นโ€˜๐‘ฆ)(.rโ€˜๐‘ˆ)(๐นโ€˜๐‘ง))))
79 simp1 1133 . . . . . . . . . . . 12 (((๐นโ€˜๐‘ฅ) = ๐‘ข โˆง (๐นโ€˜๐‘ฆ) = ๐‘ฃ โˆง (๐นโ€˜๐‘ง) = ๐‘ค) โ†’ (๐นโ€˜๐‘ฅ) = ๐‘ข)
80 simp2 1134 . . . . . . . . . . . 12 (((๐นโ€˜๐‘ฅ) = ๐‘ข โˆง (๐นโ€˜๐‘ฆ) = ๐‘ฃ โˆง (๐นโ€˜๐‘ง) = ๐‘ค) โ†’ (๐นโ€˜๐‘ฆ) = ๐‘ฃ)
8179, 80oveq12d 7423 . . . . . . . . . . 11 (((๐นโ€˜๐‘ฅ) = ๐‘ข โˆง (๐นโ€˜๐‘ฆ) = ๐‘ฃ โˆง (๐นโ€˜๐‘ง) = ๐‘ค) โ†’ ((๐นโ€˜๐‘ฅ)(.rโ€˜๐‘ˆ)(๐นโ€˜๐‘ฆ)) = (๐‘ข(.rโ€˜๐‘ˆ)๐‘ฃ))
82 simp3 1135 . . . . . . . . . . 11 (((๐นโ€˜๐‘ฅ) = ๐‘ข โˆง (๐นโ€˜๐‘ฆ) = ๐‘ฃ โˆง (๐นโ€˜๐‘ง) = ๐‘ค) โ†’ (๐นโ€˜๐‘ง) = ๐‘ค)
8381, 82oveq12d 7423 . . . . . . . . . 10 (((๐นโ€˜๐‘ฅ) = ๐‘ข โˆง (๐นโ€˜๐‘ฆ) = ๐‘ฃ โˆง (๐นโ€˜๐‘ง) = ๐‘ค) โ†’ (((๐นโ€˜๐‘ฅ)(.rโ€˜๐‘ˆ)(๐นโ€˜๐‘ฆ))(.rโ€˜๐‘ˆ)(๐นโ€˜๐‘ง)) = ((๐‘ข(.rโ€˜๐‘ˆ)๐‘ฃ)(.rโ€˜๐‘ˆ)๐‘ค))
8480, 82oveq12d 7423 . . . . . . . . . . 11 (((๐นโ€˜๐‘ฅ) = ๐‘ข โˆง (๐นโ€˜๐‘ฆ) = ๐‘ฃ โˆง (๐นโ€˜๐‘ง) = ๐‘ค) โ†’ ((๐นโ€˜๐‘ฆ)(.rโ€˜๐‘ˆ)(๐นโ€˜๐‘ง)) = (๐‘ฃ(.rโ€˜๐‘ˆ)๐‘ค))
8579, 84oveq12d 7423 . . . . . . . . . 10 (((๐นโ€˜๐‘ฅ) = ๐‘ข โˆง (๐นโ€˜๐‘ฆ) = ๐‘ฃ โˆง (๐นโ€˜๐‘ง) = ๐‘ค) โ†’ ((๐นโ€˜๐‘ฅ)(.rโ€˜๐‘ˆ)((๐นโ€˜๐‘ฆ)(.rโ€˜๐‘ˆ)(๐นโ€˜๐‘ง))) = (๐‘ข(.rโ€˜๐‘ˆ)(๐‘ฃ(.rโ€˜๐‘ˆ)๐‘ค)))
8683, 85eqeq12d 2742 . . . . . . . . 9 (((๐นโ€˜๐‘ฅ) = ๐‘ข โˆง (๐นโ€˜๐‘ฆ) = ๐‘ฃ โˆง (๐นโ€˜๐‘ง) = ๐‘ค) โ†’ ((((๐นโ€˜๐‘ฅ)(.rโ€˜๐‘ˆ)(๐นโ€˜๐‘ฆ))(.rโ€˜๐‘ˆ)(๐นโ€˜๐‘ง)) = ((๐นโ€˜๐‘ฅ)(.rโ€˜๐‘ˆ)((๐นโ€˜๐‘ฆ)(.rโ€˜๐‘ˆ)(๐นโ€˜๐‘ง))) โ†” ((๐‘ข(.rโ€˜๐‘ˆ)๐‘ฃ)(.rโ€˜๐‘ˆ)๐‘ค) = (๐‘ข(.rโ€˜๐‘ˆ)(๐‘ฃ(.rโ€˜๐‘ˆ)๐‘ค))))
8778, 86syl5ibcom 244 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐‘‰)) โ†’ (((๐นโ€˜๐‘ฅ) = ๐‘ข โˆง (๐นโ€˜๐‘ฆ) = ๐‘ฃ โˆง (๐นโ€˜๐‘ง) = ๐‘ค) โ†’ ((๐‘ข(.rโ€˜๐‘ˆ)๐‘ฃ)(.rโ€˜๐‘ˆ)๐‘ค) = (๐‘ข(.rโ€˜๐‘ˆ)(๐‘ฃ(.rโ€˜๐‘ˆ)๐‘ค))))
88873exp2 1351 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‰ โ†’ (๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‰ โ†’ (๐‘ง โˆˆ ๐‘‰ โ†’ (((๐นโ€˜๐‘ฅ) = ๐‘ข โˆง (๐นโ€˜๐‘ฆ) = ๐‘ฃ โˆง (๐นโ€˜๐‘ง) = ๐‘ค) โ†’ ((๐‘ข(.rโ€˜๐‘ˆ)๐‘ฃ)(.rโ€˜๐‘ˆ)๐‘ค) = (๐‘ข(.rโ€˜๐‘ˆ)(๐‘ฃ(.rโ€˜๐‘ˆ)๐‘ค)))))))
8988imp32 418 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‰)) โ†’ (๐‘ง โˆˆ ๐‘‰ โ†’ (((๐นโ€˜๐‘ฅ) = ๐‘ข โˆง (๐นโ€˜๐‘ฆ) = ๐‘ฃ โˆง (๐นโ€˜๐‘ง) = ๐‘ค) โ†’ ((๐‘ข(.rโ€˜๐‘ˆ)๐‘ฃ)(.rโ€˜๐‘ˆ)๐‘ค) = (๐‘ข(.rโ€˜๐‘ˆ)(๐‘ฃ(.rโ€˜๐‘ˆ)๐‘ค)))))
9089rexlimdv 3147 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‰)) โ†’ (โˆƒ๐‘ง โˆˆ ๐‘‰ ((๐นโ€˜๐‘ฅ) = ๐‘ข โˆง (๐นโ€˜๐‘ฆ) = ๐‘ฃ โˆง (๐นโ€˜๐‘ง) = ๐‘ค) โ†’ ((๐‘ข(.rโ€˜๐‘ˆ)๐‘ฃ)(.rโ€˜๐‘ˆ)๐‘ค) = (๐‘ข(.rโ€˜๐‘ˆ)(๐‘ฃ(.rโ€˜๐‘ˆ)๐‘ค))))
9190rexlimdvva 3205 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‰ โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‰ โˆƒ๐‘ง โˆˆ ๐‘‰ ((๐นโ€˜๐‘ฅ) = ๐‘ข โˆง (๐นโ€˜๐‘ฆ) = ๐‘ฃ โˆง (๐นโ€˜๐‘ง) = ๐‘ค) โ†’ ((๐‘ข(.rโ€˜๐‘ˆ)๐‘ฃ)(.rโ€˜๐‘ˆ)๐‘ค) = (๐‘ข(.rโ€˜๐‘ˆ)(๐‘ฃ(.rโ€˜๐‘ˆ)๐‘ค))))
9246, 91sylbid 239 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ข โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฃ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐ต) โ†’ ((๐‘ข(.rโ€˜๐‘ˆ)๐‘ฃ)(.rโ€˜๐‘ˆ)๐‘ค) = (๐‘ข(.rโ€˜๐‘ˆ)(๐‘ฃ(.rโ€˜๐‘ˆ)๐‘ค))))
9392imp 406 . 2 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ข โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฃ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐ต)) โ†’ ((๐‘ข(.rโ€˜๐‘ˆ)๐‘ฃ)(.rโ€˜๐‘ˆ)๐‘ค) = (๐‘ข(.rโ€˜๐‘ˆ)(๐‘ฃ(.rโ€˜๐‘ˆ)๐‘ค)))
9425, 8, 17rngdi 20065 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘… โˆˆ Rng โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…) โˆง ๐‘ง โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))) โ†’ (๐‘ฅ ยท (๐‘ฆ + ๐‘ง)) = ((๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) + (๐‘ฅ ยท ๐‘ง)))
9547, 51, 54, 57, 94syl13anc 1369 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐‘‰)) โ†’ (๐‘ฅ ยท (๐‘ฆ + ๐‘ง)) = ((๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) + (๐‘ฅ ยท ๐‘ง)))
9695fveq2d 6889 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐‘‰)) โ†’ (๐นโ€˜(๐‘ฅ ยท (๐‘ฆ + ๐‘ง))) = (๐นโ€˜((๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) + (๐‘ฅ ยท ๐‘ง))))
9725, 8rngacl 20067 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐‘… โˆˆ Rng โˆง ๐‘ข โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…) โˆง ๐‘ฃ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…)) โ†’ (๐‘ข + ๐‘ฃ) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))
9819, 22, 24, 97syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ข โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ฃ โˆˆ ๐‘‰)) โ†’ (๐‘ข + ๐‘ฃ) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))
9998, 21eleqtrrd 2830 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ข โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ฃ โˆˆ ๐‘‰)) โ†’ (๐‘ข + ๐‘ฃ) โˆˆ ๐‘‰)
10099caovclg 7596 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐‘‰)) โ†’ (๐‘ฆ + ๐‘ง) โˆˆ ๐‘‰)
1011003adantr1 1166 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐‘‰)) โ†’ (๐‘ฆ + ๐‘ง) โˆˆ ๐‘‰)
1023, 16, 1, 2, 4, 17, 18imasmulval 17490 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‰ โˆง (๐‘ฆ + ๐‘ง) โˆˆ ๐‘‰) โ†’ ((๐นโ€˜๐‘ฅ)(.rโ€˜๐‘ˆ)(๐นโ€˜(๐‘ฆ + ๐‘ง))) = (๐นโ€˜(๐‘ฅ ยท (๐‘ฆ + ๐‘ง))))
10361, 66, 101, 102syl3anc 1368 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐‘‰)) โ†’ ((๐นโ€˜๐‘ฅ)(.rโ€˜๐‘ˆ)(๐นโ€˜(๐‘ฆ + ๐‘ง))) = (๐นโ€˜(๐‘ฅ ยท (๐‘ฆ + ๐‘ง))))
10428caovclg 7596 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐‘‰)) โ†’ (๐‘ฅ ยท ๐‘ง) โˆˆ ๐‘‰)
1051043adantr2 1167 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐‘‰)) โ†’ (๐‘ฅ ยท ๐‘ง) โˆˆ ๐‘‰)
106 eqid 2726 . . . . . . . . . . . . 13 (+gโ€˜๐‘ˆ) = (+gโ€˜๐‘ˆ)
1073, 10, 1, 2, 4, 8, 106imasaddval 17487 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) โˆˆ ๐‘‰ โˆง (๐‘ฅ ยท ๐‘ง) โˆˆ ๐‘‰) โ†’ ((๐นโ€˜(๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ))(+gโ€˜๐‘ˆ)(๐นโ€˜(๐‘ฅ ยท ๐‘ง))) = (๐นโ€˜((๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) + (๐‘ฅ ยท ๐‘ง))))
10861, 63, 105, 107syl3anc 1368 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐‘‰)) โ†’ ((๐นโ€˜(๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ))(+gโ€˜๐‘ˆ)(๐นโ€˜(๐‘ฅ ยท ๐‘ง))) = (๐นโ€˜((๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) + (๐‘ฅ ยท ๐‘ง))))
10996, 103, 1083eqtr4d 2776 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐‘‰)) โ†’ ((๐นโ€˜๐‘ฅ)(.rโ€˜๐‘ˆ)(๐นโ€˜(๐‘ฆ + ๐‘ง))) = ((๐นโ€˜(๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ))(+gโ€˜๐‘ˆ)(๐นโ€˜(๐‘ฅ ยท ๐‘ง))))
1103, 10, 1, 2, 4, 8, 106imasaddval 17487 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐‘‰) โ†’ ((๐นโ€˜๐‘ฆ)(+gโ€˜๐‘ˆ)(๐นโ€˜๐‘ง)) = (๐นโ€˜(๐‘ฆ + ๐‘ง)))
1111103adant3r1 1179 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐‘‰)) โ†’ ((๐นโ€˜๐‘ฆ)(+gโ€˜๐‘ˆ)(๐นโ€˜๐‘ง)) = (๐นโ€˜(๐‘ฆ + ๐‘ง)))
112111oveq2d 7421 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐‘‰)) โ†’ ((๐นโ€˜๐‘ฅ)(.rโ€˜๐‘ˆ)((๐นโ€˜๐‘ฆ)(+gโ€˜๐‘ˆ)(๐นโ€˜๐‘ง))) = ((๐นโ€˜๐‘ฅ)(.rโ€˜๐‘ˆ)(๐นโ€˜(๐‘ฆ + ๐‘ง))))
1133, 16, 1, 2, 4, 17, 18imasmulval 17490 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐‘‰) โ†’ ((๐นโ€˜๐‘ฅ)(.rโ€˜๐‘ˆ)(๐นโ€˜๐‘ง)) = (๐นโ€˜(๐‘ฅ ยท ๐‘ง)))
1141133adant3r2 1180 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐‘‰)) โ†’ ((๐นโ€˜๐‘ฅ)(.rโ€˜๐‘ˆ)(๐นโ€˜๐‘ง)) = (๐นโ€˜(๐‘ฅ ยท ๐‘ง)))
11573, 114oveq12d 7423 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐‘‰)) โ†’ (((๐นโ€˜๐‘ฅ)(.rโ€˜๐‘ˆ)(๐นโ€˜๐‘ฆ))(+gโ€˜๐‘ˆ)((๐นโ€˜๐‘ฅ)(.rโ€˜๐‘ˆ)(๐นโ€˜๐‘ง))) = ((๐นโ€˜(๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ))(+gโ€˜๐‘ˆ)(๐นโ€˜(๐‘ฅ ยท ๐‘ง))))
116109, 112, 1153eqtr4d 2776 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐‘‰)) โ†’ ((๐นโ€˜๐‘ฅ)(.rโ€˜๐‘ˆ)((๐นโ€˜๐‘ฆ)(+gโ€˜๐‘ˆ)(๐นโ€˜๐‘ง))) = (((๐นโ€˜๐‘ฅ)(.rโ€˜๐‘ˆ)(๐นโ€˜๐‘ฆ))(+gโ€˜๐‘ˆ)((๐นโ€˜๐‘ฅ)(.rโ€˜๐‘ˆ)(๐นโ€˜๐‘ง))))
11780, 82oveq12d 7423 . . . . . . . . . . 11 (((๐นโ€˜๐‘ฅ) = ๐‘ข โˆง (๐นโ€˜๐‘ฆ) = ๐‘ฃ โˆง (๐นโ€˜๐‘ง) = ๐‘ค) โ†’ ((๐นโ€˜๐‘ฆ)(+gโ€˜๐‘ˆ)(๐นโ€˜๐‘ง)) = (๐‘ฃ(+gโ€˜๐‘ˆ)๐‘ค))
11879, 117oveq12d 7423 . . . . . . . . . 10 (((๐นโ€˜๐‘ฅ) = ๐‘ข โˆง (๐นโ€˜๐‘ฆ) = ๐‘ฃ โˆง (๐นโ€˜๐‘ง) = ๐‘ค) โ†’ ((๐นโ€˜๐‘ฅ)(.rโ€˜๐‘ˆ)((๐นโ€˜๐‘ฆ)(+gโ€˜๐‘ˆ)(๐นโ€˜๐‘ง))) = (๐‘ข(.rโ€˜๐‘ˆ)(๐‘ฃ(+gโ€˜๐‘ˆ)๐‘ค)))
11979, 82oveq12d 7423 . . . . . . . . . . 11 (((๐นโ€˜๐‘ฅ) = ๐‘ข โˆง (๐นโ€˜๐‘ฆ) = ๐‘ฃ โˆง (๐นโ€˜๐‘ง) = ๐‘ค) โ†’ ((๐นโ€˜๐‘ฅ)(.rโ€˜๐‘ˆ)(๐นโ€˜๐‘ง)) = (๐‘ข(.rโ€˜๐‘ˆ)๐‘ค))
12081, 119oveq12d 7423 . . . . . . . . . 10 (((๐นโ€˜๐‘ฅ) = ๐‘ข โˆง (๐นโ€˜๐‘ฆ) = ๐‘ฃ โˆง (๐นโ€˜๐‘ง) = ๐‘ค) โ†’ (((๐นโ€˜๐‘ฅ)(.rโ€˜๐‘ˆ)(๐นโ€˜๐‘ฆ))(+gโ€˜๐‘ˆ)((๐นโ€˜๐‘ฅ)(.rโ€˜๐‘ˆ)(๐นโ€˜๐‘ง))) = ((๐‘ข(.rโ€˜๐‘ˆ)๐‘ฃ)(+gโ€˜๐‘ˆ)(๐‘ข(.rโ€˜๐‘ˆ)๐‘ค)))
121118, 120eqeq12d 2742 . . . . . . . . 9 (((๐นโ€˜๐‘ฅ) = ๐‘ข โˆง (๐นโ€˜๐‘ฆ) = ๐‘ฃ โˆง (๐นโ€˜๐‘ง) = ๐‘ค) โ†’ (((๐นโ€˜๐‘ฅ)(.rโ€˜๐‘ˆ)((๐นโ€˜๐‘ฆ)(+gโ€˜๐‘ˆ)(๐นโ€˜๐‘ง))) = (((๐นโ€˜๐‘ฅ)(.rโ€˜๐‘ˆ)(๐นโ€˜๐‘ฆ))(+gโ€˜๐‘ˆ)((๐นโ€˜๐‘ฅ)(.rโ€˜๐‘ˆ)(๐นโ€˜๐‘ง))) โ†” (๐‘ข(.rโ€˜๐‘ˆ)(๐‘ฃ(+gโ€˜๐‘ˆ)๐‘ค)) = ((๐‘ข(.rโ€˜๐‘ˆ)๐‘ฃ)(+gโ€˜๐‘ˆ)(๐‘ข(.rโ€˜๐‘ˆ)๐‘ค))))
122116, 121syl5ibcom 244 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐‘‰)) โ†’ (((๐นโ€˜๐‘ฅ) = ๐‘ข โˆง (๐นโ€˜๐‘ฆ) = ๐‘ฃ โˆง (๐นโ€˜๐‘ง) = ๐‘ค) โ†’ (๐‘ข(.rโ€˜๐‘ˆ)(๐‘ฃ(+gโ€˜๐‘ˆ)๐‘ค)) = ((๐‘ข(.rโ€˜๐‘ˆ)๐‘ฃ)(+gโ€˜๐‘ˆ)(๐‘ข(.rโ€˜๐‘ˆ)๐‘ค))))
1231223exp2 1351 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‰ โ†’ (๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‰ โ†’ (๐‘ง โˆˆ ๐‘‰ โ†’ (((๐นโ€˜๐‘ฅ) = ๐‘ข โˆง (๐นโ€˜๐‘ฆ) = ๐‘ฃ โˆง (๐นโ€˜๐‘ง) = ๐‘ค) โ†’ (๐‘ข(.rโ€˜๐‘ˆ)(๐‘ฃ(+gโ€˜๐‘ˆ)๐‘ค)) = ((๐‘ข(.rโ€˜๐‘ˆ)๐‘ฃ)(+gโ€˜๐‘ˆ)(๐‘ข(.rโ€˜๐‘ˆ)๐‘ค)))))))
124123imp32 418 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‰)) โ†’ (๐‘ง โˆˆ ๐‘‰ โ†’ (((๐นโ€˜๐‘ฅ) = ๐‘ข โˆง (๐นโ€˜๐‘ฆ) = ๐‘ฃ โˆง (๐นโ€˜๐‘ง) = ๐‘ค) โ†’ (๐‘ข(.rโ€˜๐‘ˆ)(๐‘ฃ(+gโ€˜๐‘ˆ)๐‘ค)) = ((๐‘ข(.rโ€˜๐‘ˆ)๐‘ฃ)(+gโ€˜๐‘ˆ)(๐‘ข(.rโ€˜๐‘ˆ)๐‘ค)))))
125124rexlimdv 3147 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‰)) โ†’ (โˆƒ๐‘ง โˆˆ ๐‘‰ ((๐นโ€˜๐‘ฅ) = ๐‘ข โˆง (๐นโ€˜๐‘ฆ) = ๐‘ฃ โˆง (๐นโ€˜๐‘ง) = ๐‘ค) โ†’ (๐‘ข(.rโ€˜๐‘ˆ)(๐‘ฃ(+gโ€˜๐‘ˆ)๐‘ค)) = ((๐‘ข(.rโ€˜๐‘ˆ)๐‘ฃ)(+gโ€˜๐‘ˆ)(๐‘ข(.rโ€˜๐‘ˆ)๐‘ค))))
126125rexlimdvva 3205 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‰ โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‰ โˆƒ๐‘ง โˆˆ ๐‘‰ ((๐นโ€˜๐‘ฅ) = ๐‘ข โˆง (๐นโ€˜๐‘ฆ) = ๐‘ฃ โˆง (๐นโ€˜๐‘ง) = ๐‘ค) โ†’ (๐‘ข(.rโ€˜๐‘ˆ)(๐‘ฃ(+gโ€˜๐‘ˆ)๐‘ค)) = ((๐‘ข(.rโ€˜๐‘ˆ)๐‘ฃ)(+gโ€˜๐‘ˆ)(๐‘ข(.rโ€˜๐‘ˆ)๐‘ค))))
12746, 126sylbid 239 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ข โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฃ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘ข(.rโ€˜๐‘ˆ)(๐‘ฃ(+gโ€˜๐‘ˆ)๐‘ค)) = ((๐‘ข(.rโ€˜๐‘ˆ)๐‘ฃ)(+gโ€˜๐‘ˆ)(๐‘ข(.rโ€˜๐‘ˆ)๐‘ค))))
128127imp 406 . 2 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ข โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฃ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐ต)) โ†’ (๐‘ข(.rโ€˜๐‘ˆ)(๐‘ฃ(+gโ€˜๐‘ˆ)๐‘ค)) = ((๐‘ข(.rโ€˜๐‘ˆ)๐‘ฃ)(+gโ€˜๐‘ˆ)(๐‘ข(.rโ€˜๐‘ˆ)๐‘ค)))
12925, 8, 17rngdir 20066 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘… โˆˆ Rng โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…) โˆง ๐‘ง โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))) โ†’ ((๐‘ฅ + ๐‘ฆ) ยท ๐‘ง) = ((๐‘ฅ ยท ๐‘ง) + (๐‘ฆ ยท ๐‘ง)))
13047, 51, 54, 57, 129syl13anc 1369 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐‘‰)) โ†’ ((๐‘ฅ + ๐‘ฆ) ยท ๐‘ง) = ((๐‘ฅ ยท ๐‘ง) + (๐‘ฆ ยท ๐‘ง)))
131130fveq2d 6889 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐‘‰)) โ†’ (๐นโ€˜((๐‘ฅ + ๐‘ฆ) ยท ๐‘ง)) = (๐นโ€˜((๐‘ฅ ยท ๐‘ง) + (๐‘ฆ ยท ๐‘ง))))
13299caovclg 7596 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‰)) โ†’ (๐‘ฅ + ๐‘ฆ) โˆˆ ๐‘‰)
1331323adantr3 1168 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐‘‰)) โ†’ (๐‘ฅ + ๐‘ฆ) โˆˆ ๐‘‰)
1343, 16, 1, 2, 4, 17, 18imasmulval 17490 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ + ๐‘ฆ) โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐‘‰) โ†’ ((๐นโ€˜(๐‘ฅ + ๐‘ฆ))(.rโ€˜๐‘ˆ)(๐นโ€˜๐‘ง)) = (๐นโ€˜((๐‘ฅ + ๐‘ฆ) ยท ๐‘ง)))
13561, 133, 55, 134syl3anc 1368 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐‘‰)) โ†’ ((๐นโ€˜(๐‘ฅ + ๐‘ฆ))(.rโ€˜๐‘ˆ)(๐นโ€˜๐‘ง)) = (๐นโ€˜((๐‘ฅ + ๐‘ฆ) ยท ๐‘ง)))
1363, 10, 1, 2, 4, 8, 106imasaddval 17487 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ ยท ๐‘ง) โˆˆ ๐‘‰ โˆง (๐‘ฆ ยท ๐‘ง) โˆˆ ๐‘‰) โ†’ ((๐นโ€˜(๐‘ฅ ยท ๐‘ง))(+gโ€˜๐‘ˆ)(๐นโ€˜(๐‘ฆ ยท ๐‘ง))) = (๐นโ€˜((๐‘ฅ ยท ๐‘ง) + (๐‘ฆ ยท ๐‘ง))))
13761, 105, 68, 136syl3anc 1368 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐‘‰)) โ†’ ((๐นโ€˜(๐‘ฅ ยท ๐‘ง))(+gโ€˜๐‘ˆ)(๐นโ€˜(๐‘ฆ ยท ๐‘ง))) = (๐นโ€˜((๐‘ฅ ยท ๐‘ง) + (๐‘ฆ ยท ๐‘ง))))
138131, 135, 1373eqtr4d 2776 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐‘‰)) โ†’ ((๐นโ€˜(๐‘ฅ + ๐‘ฆ))(.rโ€˜๐‘ˆ)(๐นโ€˜๐‘ง)) = ((๐นโ€˜(๐‘ฅ ยท ๐‘ง))(+gโ€˜๐‘ˆ)(๐นโ€˜(๐‘ฆ ยท ๐‘ง))))
1393, 10, 1, 2, 4, 8, 106imasaddval 17487 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‰) โ†’ ((๐นโ€˜๐‘ฅ)(+gโ€˜๐‘ˆ)(๐นโ€˜๐‘ฆ)) = (๐นโ€˜(๐‘ฅ + ๐‘ฆ)))
1401393adant3r3 1181 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐‘‰)) โ†’ ((๐นโ€˜๐‘ฅ)(+gโ€˜๐‘ˆ)(๐นโ€˜๐‘ฆ)) = (๐นโ€˜(๐‘ฅ + ๐‘ฆ)))
141140oveq1d 7420 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐‘‰)) โ†’ (((๐นโ€˜๐‘ฅ)(+gโ€˜๐‘ˆ)(๐นโ€˜๐‘ฆ))(.rโ€˜๐‘ˆ)(๐นโ€˜๐‘ง)) = ((๐นโ€˜(๐‘ฅ + ๐‘ฆ))(.rโ€˜๐‘ˆ)(๐นโ€˜๐‘ง)))
142114, 76oveq12d 7423 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐‘‰)) โ†’ (((๐นโ€˜๐‘ฅ)(.rโ€˜๐‘ˆ)(๐นโ€˜๐‘ง))(+gโ€˜๐‘ˆ)((๐นโ€˜๐‘ฆ)(.rโ€˜๐‘ˆ)(๐นโ€˜๐‘ง))) = ((๐นโ€˜(๐‘ฅ ยท ๐‘ง))(+gโ€˜๐‘ˆ)(๐นโ€˜(๐‘ฆ ยท ๐‘ง))))
143138, 141, 1423eqtr4d 2776 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐‘‰)) โ†’ (((๐นโ€˜๐‘ฅ)(+gโ€˜๐‘ˆ)(๐นโ€˜๐‘ฆ))(.rโ€˜๐‘ˆ)(๐นโ€˜๐‘ง)) = (((๐นโ€˜๐‘ฅ)(.rโ€˜๐‘ˆ)(๐นโ€˜๐‘ง))(+gโ€˜๐‘ˆ)((๐นโ€˜๐‘ฆ)(.rโ€˜๐‘ˆ)(๐นโ€˜๐‘ง))))
14479, 80oveq12d 7423 . . . . . . . . . . 11 (((๐นโ€˜๐‘ฅ) = ๐‘ข โˆง (๐นโ€˜๐‘ฆ) = ๐‘ฃ โˆง (๐นโ€˜๐‘ง) = ๐‘ค) โ†’ ((๐นโ€˜๐‘ฅ)(+gโ€˜๐‘ˆ)(๐นโ€˜๐‘ฆ)) = (๐‘ข(+gโ€˜๐‘ˆ)๐‘ฃ))
145144, 82oveq12d 7423 . . . . . . . . . 10 (((๐นโ€˜๐‘ฅ) = ๐‘ข โˆง (๐นโ€˜๐‘ฆ) = ๐‘ฃ โˆง (๐นโ€˜๐‘ง) = ๐‘ค) โ†’ (((๐นโ€˜๐‘ฅ)(+gโ€˜๐‘ˆ)(๐นโ€˜๐‘ฆ))(.rโ€˜๐‘ˆ)(๐นโ€˜๐‘ง)) = ((๐‘ข(+gโ€˜๐‘ˆ)๐‘ฃ)(.rโ€˜๐‘ˆ)๐‘ค))
146119, 84oveq12d 7423 . . . . . . . . . 10 (((๐นโ€˜๐‘ฅ) = ๐‘ข โˆง (๐นโ€˜๐‘ฆ) = ๐‘ฃ โˆง (๐นโ€˜๐‘ง) = ๐‘ค) โ†’ (((๐นโ€˜๐‘ฅ)(.rโ€˜๐‘ˆ)(๐นโ€˜๐‘ง))(+gโ€˜๐‘ˆ)((๐นโ€˜๐‘ฆ)(.rโ€˜๐‘ˆ)(๐นโ€˜๐‘ง))) = ((๐‘ข(.rโ€˜๐‘ˆ)๐‘ค)(+gโ€˜๐‘ˆ)(๐‘ฃ(.rโ€˜๐‘ˆ)๐‘ค)))
147145, 146eqeq12d 2742 . . . . . . . . 9 (((๐นโ€˜๐‘ฅ) = ๐‘ข โˆง (๐นโ€˜๐‘ฆ) = ๐‘ฃ โˆง (๐นโ€˜๐‘ง) = ๐‘ค) โ†’ ((((๐นโ€˜๐‘ฅ)(+gโ€˜๐‘ˆ)(๐นโ€˜๐‘ฆ))(.rโ€˜๐‘ˆ)(๐นโ€˜๐‘ง)) = (((๐นโ€˜๐‘ฅ)(.rโ€˜๐‘ˆ)(๐นโ€˜๐‘ง))(+gโ€˜๐‘ˆ)((๐นโ€˜๐‘ฆ)(.rโ€˜๐‘ˆ)(๐นโ€˜๐‘ง))) โ†” ((๐‘ข(+gโ€˜๐‘ˆ)๐‘ฃ)(.rโ€˜๐‘ˆ)๐‘ค) = ((๐‘ข(.rโ€˜๐‘ˆ)๐‘ค)(+gโ€˜๐‘ˆ)(๐‘ฃ(.rโ€˜๐‘ˆ)๐‘ค))))
148143, 147syl5ibcom 244 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐‘‰)) โ†’ (((๐นโ€˜๐‘ฅ) = ๐‘ข โˆง (๐นโ€˜๐‘ฆ) = ๐‘ฃ โˆง (๐นโ€˜๐‘ง) = ๐‘ค) โ†’ ((๐‘ข(+gโ€˜๐‘ˆ)๐‘ฃ)(.rโ€˜๐‘ˆ)๐‘ค) = ((๐‘ข(.rโ€˜๐‘ˆ)๐‘ค)(+gโ€˜๐‘ˆ)(๐‘ฃ(.rโ€˜๐‘ˆ)๐‘ค))))
1491483exp2 1351 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‰ โ†’ (๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‰ โ†’ (๐‘ง โˆˆ ๐‘‰ โ†’ (((๐นโ€˜๐‘ฅ) = ๐‘ข โˆง (๐นโ€˜๐‘ฆ) = ๐‘ฃ โˆง (๐นโ€˜๐‘ง) = ๐‘ค) โ†’ ((๐‘ข(+gโ€˜๐‘ˆ)๐‘ฃ)(.rโ€˜๐‘ˆ)๐‘ค) = ((๐‘ข(.rโ€˜๐‘ˆ)๐‘ค)(+gโ€˜๐‘ˆ)(๐‘ฃ(.rโ€˜๐‘ˆ)๐‘ค)))))))
150149imp32 418 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‰)) โ†’ (๐‘ง โˆˆ ๐‘‰ โ†’ (((๐นโ€˜๐‘ฅ) = ๐‘ข โˆง (๐นโ€˜๐‘ฆ) = ๐‘ฃ โˆง (๐นโ€˜๐‘ง) = ๐‘ค) โ†’ ((๐‘ข(+gโ€˜๐‘ˆ)๐‘ฃ)(.rโ€˜๐‘ˆ)๐‘ค) = ((๐‘ข(.rโ€˜๐‘ˆ)๐‘ค)(+gโ€˜๐‘ˆ)(๐‘ฃ(.rโ€˜๐‘ˆ)๐‘ค)))))
151150rexlimdv 3147 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‰)) โ†’ (โˆƒ๐‘ง โˆˆ ๐‘‰ ((๐นโ€˜๐‘ฅ) = ๐‘ข โˆง (๐นโ€˜๐‘ฆ) = ๐‘ฃ โˆง (๐นโ€˜๐‘ง) = ๐‘ค) โ†’ ((๐‘ข(+gโ€˜๐‘ˆ)๐‘ฃ)(.rโ€˜๐‘ˆ)๐‘ค) = ((๐‘ข(.rโ€˜๐‘ˆ)๐‘ค)(+gโ€˜๐‘ˆ)(๐‘ฃ(.rโ€˜๐‘ˆ)๐‘ค))))
152151rexlimdvva 3205 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‰ โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‰ โˆƒ๐‘ง โˆˆ ๐‘‰ ((๐นโ€˜๐‘ฅ) = ๐‘ข โˆง (๐นโ€˜๐‘ฆ) = ๐‘ฃ โˆง (๐นโ€˜๐‘ง) = ๐‘ค) โ†’ ((๐‘ข(+gโ€˜๐‘ˆ)๐‘ฃ)(.rโ€˜๐‘ˆ)๐‘ค) = ((๐‘ข(.rโ€˜๐‘ˆ)๐‘ค)(+gโ€˜๐‘ˆ)(๐‘ฃ(.rโ€˜๐‘ˆ)๐‘ค))))
15346, 152sylbid 239 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ข โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฃ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐ต) โ†’ ((๐‘ข(+gโ€˜๐‘ˆ)๐‘ฃ)(.rโ€˜๐‘ˆ)๐‘ค) = ((๐‘ข(.rโ€˜๐‘ˆ)๐‘ค)(+gโ€˜๐‘ˆ)(๐‘ฃ(.rโ€˜๐‘ˆ)๐‘ค))))
154153imp 406 . 2 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ข โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฃ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐ต)) โ†’ ((๐‘ข(+gโ€˜๐‘ˆ)๐‘ฃ)(.rโ€˜๐‘ˆ)๐‘ค) = ((๐‘ข(.rโ€˜๐‘ˆ)๐‘ค)(+gโ€˜๐‘ˆ)(๐‘ฃ(.rโ€˜๐‘ˆ)๐‘ค)))
1555, 6, 7, 15, 31, 93, 128, 154isrngd 20078 1 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ˆ โˆˆ Rng)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 395   โˆง w3a 1084   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098  โˆƒwrex 3064  ran crn 5670   Fn wfn 6532  โ€“ontoโ†’wfo 6535  โ€˜cfv 6537  (class class class)co 7405  Basecbs 17153  +gcplusg 17206  .rcmulr 17207  0gc0g 17394   โ€œs cimas 17459  Abelcabl 19701  Rngcrng 20057
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-sup 9439  df-inf 9440  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-fz 13491  df-struct 17089  df-sets 17106  df-slot 17124  df-ndx 17136  df-base 17154  df-plusg 17219  df-mulr 17220  df-sca 17222  df-vsca 17223  df-ip 17224  df-tset 17225  df-ple 17226  df-ds 17228  df-0g 17396  df-imas 17463  df-mgm 18573  df-sgrp 18652  df-mnd 18668  df-grp 18866  df-minusg 18867  df-cmn 19702  df-abl 19703  df-mgp 20040  df-rng 20058
This theorem is referenced by:  imasrngf1  20083  qusrng  20085
  Copyright terms: Public domain W3C validator