MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  imasrng Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem imasrng 20124
Description: The image structure of a non-unital ring is a non-unital ring (imasring 20273 analog). (Contributed by AV, 22-Feb-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
imasrng.u (๐œ‘ โ†’ ๐‘ˆ = (๐น โ€œs ๐‘…))
imasrng.v (๐œ‘ โ†’ ๐‘‰ = (Baseโ€˜๐‘…))
imasrng.p + = (+gโ€˜๐‘…)
imasrng.t ยท = (.rโ€˜๐‘…)
imasrng.f (๐œ‘ โ†’ ๐น:๐‘‰โ€“ontoโ†’๐ต)
imasrng.e1 ((๐œ‘ โˆง (๐‘Ž โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘‰) โˆง (๐‘ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ž โˆˆ ๐‘‰)) โ†’ (((๐นโ€˜๐‘Ž) = (๐นโ€˜๐‘) โˆง (๐นโ€˜๐‘) = (๐นโ€˜๐‘ž)) โ†’ (๐นโ€˜(๐‘Ž + ๐‘)) = (๐นโ€˜(๐‘ + ๐‘ž))))
imasrng.e2 ((๐œ‘ โˆง (๐‘Ž โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘‰) โˆง (๐‘ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ž โˆˆ ๐‘‰)) โ†’ (((๐นโ€˜๐‘Ž) = (๐นโ€˜๐‘) โˆง (๐นโ€˜๐‘) = (๐นโ€˜๐‘ž)) โ†’ (๐นโ€˜(๐‘Ž ยท ๐‘)) = (๐นโ€˜(๐‘ ยท ๐‘ž))))
imasrng.r (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ Rng)
Assertion
Ref Expression
imasrng (๐œ‘ โ†’ ๐‘ˆ โˆˆ Rng)
Distinct variable groups:   + ,๐‘,๐‘ž   ๐œ‘,๐‘Ž,๐‘,๐‘,๐‘ž   ๐‘ˆ,๐‘Ž,๐‘,๐‘,๐‘ž   ๐ต,๐‘Ž,๐‘,๐‘,๐‘ž   ๐น,๐‘Ž,๐‘,๐‘,๐‘ž   ๐‘…,๐‘Ž,๐‘,๐‘,๐‘ž   ๐‘‰,๐‘Ž,๐‘,๐‘,๐‘ž   ยท ,๐‘,๐‘ž
Allowed substitution hints:   + (๐‘Ž,๐‘)   ยท (๐‘Ž,๐‘)

Proof of Theorem imasrng
Dummy variables ๐‘ข ๐‘ฃ ๐‘ค ๐‘ฅ ๐‘ฆ ๐‘ง are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 imasrng.u . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ˆ = (๐น โ€œs ๐‘…))
2 imasrng.v . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‰ = (Baseโ€˜๐‘…))
3 imasrng.f . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐น:๐‘‰โ€“ontoโ†’๐ต)
4 imasrng.r . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ Rng)
51, 2, 3, 4imasbas 17501 . 2 (๐œ‘ โ†’ ๐ต = (Baseโ€˜๐‘ˆ))
6 eqidd 2729 . 2 (๐œ‘ โ†’ (+gโ€˜๐‘ˆ) = (+gโ€˜๐‘ˆ))
7 eqidd 2729 . 2 (๐œ‘ โ†’ (.rโ€˜๐‘ˆ) = (.rโ€˜๐‘ˆ))
8 imasrng.p . . . . 5 + = (+gโ€˜๐‘…)
98a1i 11 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ + = (+gโ€˜๐‘…))
10 imasrng.e1 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง (๐‘Ž โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘‰) โˆง (๐‘ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ž โˆˆ ๐‘‰)) โ†’ (((๐นโ€˜๐‘Ž) = (๐นโ€˜๐‘) โˆง (๐นโ€˜๐‘) = (๐นโ€˜๐‘ž)) โ†’ (๐นโ€˜(๐‘Ž + ๐‘)) = (๐นโ€˜(๐‘ + ๐‘ž))))
11 rngabl 20102 . . . . 5 (๐‘… โˆˆ Rng โ†’ ๐‘… โˆˆ Abel)
124, 11syl 17 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ Abel)
13 eqid 2728 . . . 4 (0gโ€˜๐‘…) = (0gโ€˜๐‘…)
141, 2, 9, 3, 10, 12, 13imasabl 19838 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ˆ โˆˆ Abel โˆง (๐นโ€˜(0gโ€˜๐‘…)) = (0gโ€˜๐‘ˆ)))
1514simpld 493 . 2 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ˆ โˆˆ Abel)
16 imasrng.e2 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง (๐‘Ž โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘‰) โˆง (๐‘ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ž โˆˆ ๐‘‰)) โ†’ (((๐นโ€˜๐‘Ž) = (๐นโ€˜๐‘) โˆง (๐นโ€˜๐‘) = (๐นโ€˜๐‘ž)) โ†’ (๐นโ€˜(๐‘Ž ยท ๐‘)) = (๐นโ€˜(๐‘ ยท ๐‘ž))))
17 imasrng.t . . . 4 ยท = (.rโ€˜๐‘…)
18 eqid 2728 . . . 4 (.rโ€˜๐‘ˆ) = (.rโ€˜๐‘ˆ)
194adantr 479 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ข โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ฃ โˆˆ ๐‘‰)) โ†’ ๐‘… โˆˆ Rng)
20 simprl 769 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ข โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ฃ โˆˆ ๐‘‰)) โ†’ ๐‘ข โˆˆ ๐‘‰)
212adantr 479 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ข โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ฃ โˆˆ ๐‘‰)) โ†’ ๐‘‰ = (Baseโ€˜๐‘…))
2220, 21eleqtrd 2831 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ข โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ฃ โˆˆ ๐‘‰)) โ†’ ๐‘ข โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))
23 simprr 771 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ข โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ฃ โˆˆ ๐‘‰)) โ†’ ๐‘ฃ โˆˆ ๐‘‰)
2423, 21eleqtrd 2831 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ข โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ฃ โˆˆ ๐‘‰)) โ†’ ๐‘ฃ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))
25 eqid 2728 . . . . . . . 8 (Baseโ€˜๐‘…) = (Baseโ€˜๐‘…)
2625, 17rngcl 20111 . . . . . . 7 ((๐‘… โˆˆ Rng โˆง ๐‘ข โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…) โˆง ๐‘ฃ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…)) โ†’ (๐‘ข ยท ๐‘ฃ) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))
2719, 22, 24, 26syl3anc 1368 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ข โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ฃ โˆˆ ๐‘‰)) โ†’ (๐‘ข ยท ๐‘ฃ) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))
2827, 21eleqtrrd 2832 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ข โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ฃ โˆˆ ๐‘‰)) โ†’ (๐‘ข ยท ๐‘ฃ) โˆˆ ๐‘‰)
2928caovclg 7619 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ž โˆˆ ๐‘‰)) โ†’ (๐‘ ยท ๐‘ž) โˆˆ ๐‘‰)
303, 16, 1, 2, 4, 17, 18, 29imasmulf 17525 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (.rโ€˜๐‘ˆ):(๐ต ร— ๐ต)โŸถ๐ต)
3130fovcld 7554 . 2 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ข โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฃ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘ข(.rโ€˜๐‘ˆ)๐‘ฃ) โˆˆ ๐ต)
32 forn 6819 . . . . . . . . 9 (๐น:๐‘‰โ€“ontoโ†’๐ต โ†’ ran ๐น = ๐ต)
333, 32syl 17 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ran ๐น = ๐ต)
3433eleq2d 2815 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ข โˆˆ ran ๐น โ†” ๐‘ข โˆˆ ๐ต))
3533eleq2d 2815 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฃ โˆˆ ran ๐น โ†” ๐‘ฃ โˆˆ ๐ต))
3633eleq2d 2815 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ค โˆˆ ran ๐น โ†” ๐‘ค โˆˆ ๐ต))
3734, 35, 363anbi123d 1432 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ข โˆˆ ran ๐น โˆง ๐‘ฃ โˆˆ ran ๐น โˆง ๐‘ค โˆˆ ran ๐น) โ†” (๐‘ข โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฃ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐ต)))
38 fofn 6818 . . . . . . 7 (๐น:๐‘‰โ€“ontoโ†’๐ต โ†’ ๐น Fn ๐‘‰)
39 fvelrnb 6964 . . . . . . . 8 (๐น Fn ๐‘‰ โ†’ (๐‘ข โˆˆ ran ๐น โ†” โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‰ (๐นโ€˜๐‘ฅ) = ๐‘ข))
40 fvelrnb 6964 . . . . . . . 8 (๐น Fn ๐‘‰ โ†’ (๐‘ฃ โˆˆ ran ๐น โ†” โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‰ (๐นโ€˜๐‘ฆ) = ๐‘ฃ))
41 fvelrnb 6964 . . . . . . . 8 (๐น Fn ๐‘‰ โ†’ (๐‘ค โˆˆ ran ๐น โ†” โˆƒ๐‘ง โˆˆ ๐‘‰ (๐นโ€˜๐‘ง) = ๐‘ค))
4239, 40, 413anbi123d 1432 . . . . . . 7 (๐น Fn ๐‘‰ โ†’ ((๐‘ข โˆˆ ran ๐น โˆง ๐‘ฃ โˆˆ ran ๐น โˆง ๐‘ค โˆˆ ran ๐น) โ†” (โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‰ (๐นโ€˜๐‘ฅ) = ๐‘ข โˆง โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‰ (๐นโ€˜๐‘ฆ) = ๐‘ฃ โˆง โˆƒ๐‘ง โˆˆ ๐‘‰ (๐นโ€˜๐‘ง) = ๐‘ค)))
433, 38, 423syl 18 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ข โˆˆ ran ๐น โˆง ๐‘ฃ โˆˆ ran ๐น โˆง ๐‘ค โˆˆ ran ๐น) โ†” (โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‰ (๐นโ€˜๐‘ฅ) = ๐‘ข โˆง โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‰ (๐นโ€˜๐‘ฆ) = ๐‘ฃ โˆง โˆƒ๐‘ง โˆˆ ๐‘‰ (๐นโ€˜๐‘ง) = ๐‘ค)))
4437, 43bitr3d 280 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ข โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฃ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐ต) โ†” (โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‰ (๐นโ€˜๐‘ฅ) = ๐‘ข โˆง โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‰ (๐นโ€˜๐‘ฆ) = ๐‘ฃ โˆง โˆƒ๐‘ง โˆˆ ๐‘‰ (๐นโ€˜๐‘ง) = ๐‘ค)))
45 3reeanv 3225 . . . . 5 (โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‰ โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‰ โˆƒ๐‘ง โˆˆ ๐‘‰ ((๐นโ€˜๐‘ฅ) = ๐‘ข โˆง (๐นโ€˜๐‘ฆ) = ๐‘ฃ โˆง (๐นโ€˜๐‘ง) = ๐‘ค) โ†” (โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‰ (๐นโ€˜๐‘ฅ) = ๐‘ข โˆง โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‰ (๐นโ€˜๐‘ฆ) = ๐‘ฃ โˆง โˆƒ๐‘ง โˆˆ ๐‘‰ (๐นโ€˜๐‘ง) = ๐‘ค))
4644, 45bitr4di 288 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ข โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฃ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐ต) โ†” โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‰ โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‰ โˆƒ๐‘ง โˆˆ ๐‘‰ ((๐นโ€˜๐‘ฅ) = ๐‘ข โˆง (๐นโ€˜๐‘ฆ) = ๐‘ฃ โˆง (๐นโ€˜๐‘ง) = ๐‘ค)))
474adantr 479 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐‘‰)) โ†’ ๐‘… โˆˆ Rng)
48 simp2 1134 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‰) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‰)
4923ad2ant1 1130 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‰) โ†’ ๐‘‰ = (Baseโ€˜๐‘…))
5048, 49eleqtrd 2831 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‰) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))
51503adant3r3 1181 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐‘‰)) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))
52 simp3 1135 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‰) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‰)
5352, 49eleqtrd 2831 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‰) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))
54533adant3r3 1181 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐‘‰)) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))
55 simpr3 1193 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐‘‰)) โ†’ ๐‘ง โˆˆ ๐‘‰)
562adantr 479 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐‘‰)) โ†’ ๐‘‰ = (Baseโ€˜๐‘…))
5755, 56eleqtrd 2831 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐‘‰)) โ†’ ๐‘ง โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))
5825, 17rngass 20106 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘… โˆˆ Rng โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…) โˆง ๐‘ง โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))) โ†’ ((๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) ยท ๐‘ง) = (๐‘ฅ ยท (๐‘ฆ ยท ๐‘ง)))
5947, 51, 54, 57, 58syl13anc 1369 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐‘‰)) โ†’ ((๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) ยท ๐‘ง) = (๐‘ฅ ยท (๐‘ฆ ยท ๐‘ง)))
6059fveq2d 6906 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐‘‰)) โ†’ (๐นโ€˜((๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) ยท ๐‘ง)) = (๐นโ€˜(๐‘ฅ ยท (๐‘ฆ ยท ๐‘ง))))
61 simpl 481 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐‘‰)) โ†’ ๐œ‘)
6228caovclg 7619 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‰)) โ†’ (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) โˆˆ ๐‘‰)
63623adantr3 1168 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐‘‰)) โ†’ (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) โˆˆ ๐‘‰)
643, 16, 1, 2, 4, 17, 18imasmulval 17524 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐‘‰) โ†’ ((๐นโ€˜(๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ))(.rโ€˜๐‘ˆ)(๐นโ€˜๐‘ง)) = (๐นโ€˜((๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) ยท ๐‘ง)))
6561, 63, 55, 64syl3anc 1368 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐‘‰)) โ†’ ((๐นโ€˜(๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ))(.rโ€˜๐‘ˆ)(๐นโ€˜๐‘ง)) = (๐นโ€˜((๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) ยท ๐‘ง)))
66 simpr1 1191 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐‘‰)) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‰)
6728caovclg 7619 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐‘‰)) โ†’ (๐‘ฆ ยท ๐‘ง) โˆˆ ๐‘‰)
68673adantr1 1166 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐‘‰)) โ†’ (๐‘ฆ ยท ๐‘ง) โˆˆ ๐‘‰)
693, 16, 1, 2, 4, 17, 18imasmulval 17524 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‰ โˆง (๐‘ฆ ยท ๐‘ง) โˆˆ ๐‘‰) โ†’ ((๐นโ€˜๐‘ฅ)(.rโ€˜๐‘ˆ)(๐นโ€˜(๐‘ฆ ยท ๐‘ง))) = (๐นโ€˜(๐‘ฅ ยท (๐‘ฆ ยท ๐‘ง))))
7061, 66, 68, 69syl3anc 1368 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐‘‰)) โ†’ ((๐นโ€˜๐‘ฅ)(.rโ€˜๐‘ˆ)(๐นโ€˜(๐‘ฆ ยท ๐‘ง))) = (๐นโ€˜(๐‘ฅ ยท (๐‘ฆ ยท ๐‘ง))))
7160, 65, 703eqtr4d 2778 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐‘‰)) โ†’ ((๐นโ€˜(๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ))(.rโ€˜๐‘ˆ)(๐นโ€˜๐‘ง)) = ((๐นโ€˜๐‘ฅ)(.rโ€˜๐‘ˆ)(๐นโ€˜(๐‘ฆ ยท ๐‘ง))))
723, 16, 1, 2, 4, 17, 18imasmulval 17524 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‰) โ†’ ((๐นโ€˜๐‘ฅ)(.rโ€˜๐‘ˆ)(๐นโ€˜๐‘ฆ)) = (๐นโ€˜(๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ)))
73723adant3r3 1181 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐‘‰)) โ†’ ((๐นโ€˜๐‘ฅ)(.rโ€˜๐‘ˆ)(๐นโ€˜๐‘ฆ)) = (๐นโ€˜(๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ)))
7473oveq1d 7441 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐‘‰)) โ†’ (((๐นโ€˜๐‘ฅ)(.rโ€˜๐‘ˆ)(๐นโ€˜๐‘ฆ))(.rโ€˜๐‘ˆ)(๐นโ€˜๐‘ง)) = ((๐นโ€˜(๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ))(.rโ€˜๐‘ˆ)(๐นโ€˜๐‘ง)))
753, 16, 1, 2, 4, 17, 18imasmulval 17524 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐‘‰) โ†’ ((๐นโ€˜๐‘ฆ)(.rโ€˜๐‘ˆ)(๐นโ€˜๐‘ง)) = (๐นโ€˜(๐‘ฆ ยท ๐‘ง)))
76753adant3r1 1179 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐‘‰)) โ†’ ((๐นโ€˜๐‘ฆ)(.rโ€˜๐‘ˆ)(๐นโ€˜๐‘ง)) = (๐นโ€˜(๐‘ฆ ยท ๐‘ง)))
7776oveq2d 7442 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐‘‰)) โ†’ ((๐นโ€˜๐‘ฅ)(.rโ€˜๐‘ˆ)((๐นโ€˜๐‘ฆ)(.rโ€˜๐‘ˆ)(๐นโ€˜๐‘ง))) = ((๐นโ€˜๐‘ฅ)(.rโ€˜๐‘ˆ)(๐นโ€˜(๐‘ฆ ยท ๐‘ง))))
7871, 74, 773eqtr4d 2778 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐‘‰)) โ†’ (((๐นโ€˜๐‘ฅ)(.rโ€˜๐‘ˆ)(๐นโ€˜๐‘ฆ))(.rโ€˜๐‘ˆ)(๐นโ€˜๐‘ง)) = ((๐นโ€˜๐‘ฅ)(.rโ€˜๐‘ˆ)((๐นโ€˜๐‘ฆ)(.rโ€˜๐‘ˆ)(๐นโ€˜๐‘ง))))
79 simp1 1133 . . . . . . . . . . . 12 (((๐นโ€˜๐‘ฅ) = ๐‘ข โˆง (๐นโ€˜๐‘ฆ) = ๐‘ฃ โˆง (๐นโ€˜๐‘ง) = ๐‘ค) โ†’ (๐นโ€˜๐‘ฅ) = ๐‘ข)
80 simp2 1134 . . . . . . . . . . . 12 (((๐นโ€˜๐‘ฅ) = ๐‘ข โˆง (๐นโ€˜๐‘ฆ) = ๐‘ฃ โˆง (๐นโ€˜๐‘ง) = ๐‘ค) โ†’ (๐นโ€˜๐‘ฆ) = ๐‘ฃ)
8179, 80oveq12d 7444 . . . . . . . . . . 11 (((๐นโ€˜๐‘ฅ) = ๐‘ข โˆง (๐นโ€˜๐‘ฆ) = ๐‘ฃ โˆง (๐นโ€˜๐‘ง) = ๐‘ค) โ†’ ((๐นโ€˜๐‘ฅ)(.rโ€˜๐‘ˆ)(๐นโ€˜๐‘ฆ)) = (๐‘ข(.rโ€˜๐‘ˆ)๐‘ฃ))
82 simp3 1135 . . . . . . . . . . 11 (((๐นโ€˜๐‘ฅ) = ๐‘ข โˆง (๐นโ€˜๐‘ฆ) = ๐‘ฃ โˆง (๐นโ€˜๐‘ง) = ๐‘ค) โ†’ (๐นโ€˜๐‘ง) = ๐‘ค)
8381, 82oveq12d 7444 . . . . . . . . . 10 (((๐นโ€˜๐‘ฅ) = ๐‘ข โˆง (๐นโ€˜๐‘ฆ) = ๐‘ฃ โˆง (๐นโ€˜๐‘ง) = ๐‘ค) โ†’ (((๐นโ€˜๐‘ฅ)(.rโ€˜๐‘ˆ)(๐นโ€˜๐‘ฆ))(.rโ€˜๐‘ˆ)(๐นโ€˜๐‘ง)) = ((๐‘ข(.rโ€˜๐‘ˆ)๐‘ฃ)(.rโ€˜๐‘ˆ)๐‘ค))
8480, 82oveq12d 7444 . . . . . . . . . . 11 (((๐นโ€˜๐‘ฅ) = ๐‘ข โˆง (๐นโ€˜๐‘ฆ) = ๐‘ฃ โˆง (๐นโ€˜๐‘ง) = ๐‘ค) โ†’ ((๐นโ€˜๐‘ฆ)(.rโ€˜๐‘ˆ)(๐นโ€˜๐‘ง)) = (๐‘ฃ(.rโ€˜๐‘ˆ)๐‘ค))
8579, 84oveq12d 7444 . . . . . . . . . 10 (((๐นโ€˜๐‘ฅ) = ๐‘ข โˆง (๐นโ€˜๐‘ฆ) = ๐‘ฃ โˆง (๐นโ€˜๐‘ง) = ๐‘ค) โ†’ ((๐นโ€˜๐‘ฅ)(.rโ€˜๐‘ˆ)((๐นโ€˜๐‘ฆ)(.rโ€˜๐‘ˆ)(๐นโ€˜๐‘ง))) = (๐‘ข(.rโ€˜๐‘ˆ)(๐‘ฃ(.rโ€˜๐‘ˆ)๐‘ค)))
8683, 85eqeq12d 2744 . . . . . . . . 9 (((๐นโ€˜๐‘ฅ) = ๐‘ข โˆง (๐นโ€˜๐‘ฆ) = ๐‘ฃ โˆง (๐นโ€˜๐‘ง) = ๐‘ค) โ†’ ((((๐นโ€˜๐‘ฅ)(.rโ€˜๐‘ˆ)(๐นโ€˜๐‘ฆ))(.rโ€˜๐‘ˆ)(๐นโ€˜๐‘ง)) = ((๐นโ€˜๐‘ฅ)(.rโ€˜๐‘ˆ)((๐นโ€˜๐‘ฆ)(.rโ€˜๐‘ˆ)(๐นโ€˜๐‘ง))) โ†” ((๐‘ข(.rโ€˜๐‘ˆ)๐‘ฃ)(.rโ€˜๐‘ˆ)๐‘ค) = (๐‘ข(.rโ€˜๐‘ˆ)(๐‘ฃ(.rโ€˜๐‘ˆ)๐‘ค))))
8778, 86syl5ibcom 244 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐‘‰)) โ†’ (((๐นโ€˜๐‘ฅ) = ๐‘ข โˆง (๐นโ€˜๐‘ฆ) = ๐‘ฃ โˆง (๐นโ€˜๐‘ง) = ๐‘ค) โ†’ ((๐‘ข(.rโ€˜๐‘ˆ)๐‘ฃ)(.rโ€˜๐‘ˆ)๐‘ค) = (๐‘ข(.rโ€˜๐‘ˆ)(๐‘ฃ(.rโ€˜๐‘ˆ)๐‘ค))))
88873exp2 1351 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‰ โ†’ (๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‰ โ†’ (๐‘ง โˆˆ ๐‘‰ โ†’ (((๐นโ€˜๐‘ฅ) = ๐‘ข โˆง (๐นโ€˜๐‘ฆ) = ๐‘ฃ โˆง (๐นโ€˜๐‘ง) = ๐‘ค) โ†’ ((๐‘ข(.rโ€˜๐‘ˆ)๐‘ฃ)(.rโ€˜๐‘ˆ)๐‘ค) = (๐‘ข(.rโ€˜๐‘ˆ)(๐‘ฃ(.rโ€˜๐‘ˆ)๐‘ค)))))))
8988imp32 417 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‰)) โ†’ (๐‘ง โˆˆ ๐‘‰ โ†’ (((๐นโ€˜๐‘ฅ) = ๐‘ข โˆง (๐นโ€˜๐‘ฆ) = ๐‘ฃ โˆง (๐นโ€˜๐‘ง) = ๐‘ค) โ†’ ((๐‘ข(.rโ€˜๐‘ˆ)๐‘ฃ)(.rโ€˜๐‘ˆ)๐‘ค) = (๐‘ข(.rโ€˜๐‘ˆ)(๐‘ฃ(.rโ€˜๐‘ˆ)๐‘ค)))))
9089rexlimdv 3150 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‰)) โ†’ (โˆƒ๐‘ง โˆˆ ๐‘‰ ((๐นโ€˜๐‘ฅ) = ๐‘ข โˆง (๐นโ€˜๐‘ฆ) = ๐‘ฃ โˆง (๐นโ€˜๐‘ง) = ๐‘ค) โ†’ ((๐‘ข(.rโ€˜๐‘ˆ)๐‘ฃ)(.rโ€˜๐‘ˆ)๐‘ค) = (๐‘ข(.rโ€˜๐‘ˆ)(๐‘ฃ(.rโ€˜๐‘ˆ)๐‘ค))))
9190rexlimdvva 3209 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‰ โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‰ โˆƒ๐‘ง โˆˆ ๐‘‰ ((๐นโ€˜๐‘ฅ) = ๐‘ข โˆง (๐นโ€˜๐‘ฆ) = ๐‘ฃ โˆง (๐นโ€˜๐‘ง) = ๐‘ค) โ†’ ((๐‘ข(.rโ€˜๐‘ˆ)๐‘ฃ)(.rโ€˜๐‘ˆ)๐‘ค) = (๐‘ข(.rโ€˜๐‘ˆ)(๐‘ฃ(.rโ€˜๐‘ˆ)๐‘ค))))
9246, 91sylbid 239 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ข โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฃ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐ต) โ†’ ((๐‘ข(.rโ€˜๐‘ˆ)๐‘ฃ)(.rโ€˜๐‘ˆ)๐‘ค) = (๐‘ข(.rโ€˜๐‘ˆ)(๐‘ฃ(.rโ€˜๐‘ˆ)๐‘ค))))
9392imp 405 . 2 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ข โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฃ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐ต)) โ†’ ((๐‘ข(.rโ€˜๐‘ˆ)๐‘ฃ)(.rโ€˜๐‘ˆ)๐‘ค) = (๐‘ข(.rโ€˜๐‘ˆ)(๐‘ฃ(.rโ€˜๐‘ˆ)๐‘ค)))
9425, 8, 17rngdi 20107 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘… โˆˆ Rng โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…) โˆง ๐‘ง โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))) โ†’ (๐‘ฅ ยท (๐‘ฆ + ๐‘ง)) = ((๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) + (๐‘ฅ ยท ๐‘ง)))
9547, 51, 54, 57, 94syl13anc 1369 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐‘‰)) โ†’ (๐‘ฅ ยท (๐‘ฆ + ๐‘ง)) = ((๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) + (๐‘ฅ ยท ๐‘ง)))
9695fveq2d 6906 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐‘‰)) โ†’ (๐นโ€˜(๐‘ฅ ยท (๐‘ฆ + ๐‘ง))) = (๐นโ€˜((๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) + (๐‘ฅ ยท ๐‘ง))))
9725, 8rngacl 20109 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐‘… โˆˆ Rng โˆง ๐‘ข โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…) โˆง ๐‘ฃ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…)) โ†’ (๐‘ข + ๐‘ฃ) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))
9819, 22, 24, 97syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ข โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ฃ โˆˆ ๐‘‰)) โ†’ (๐‘ข + ๐‘ฃ) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))
9998, 21eleqtrrd 2832 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ข โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ฃ โˆˆ ๐‘‰)) โ†’ (๐‘ข + ๐‘ฃ) โˆˆ ๐‘‰)
10099caovclg 7619 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐‘‰)) โ†’ (๐‘ฆ + ๐‘ง) โˆˆ ๐‘‰)
1011003adantr1 1166 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐‘‰)) โ†’ (๐‘ฆ + ๐‘ง) โˆˆ ๐‘‰)
1023, 16, 1, 2, 4, 17, 18imasmulval 17524 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‰ โˆง (๐‘ฆ + ๐‘ง) โˆˆ ๐‘‰) โ†’ ((๐นโ€˜๐‘ฅ)(.rโ€˜๐‘ˆ)(๐นโ€˜(๐‘ฆ + ๐‘ง))) = (๐นโ€˜(๐‘ฅ ยท (๐‘ฆ + ๐‘ง))))
10361, 66, 101, 102syl3anc 1368 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐‘‰)) โ†’ ((๐นโ€˜๐‘ฅ)(.rโ€˜๐‘ˆ)(๐นโ€˜(๐‘ฆ + ๐‘ง))) = (๐นโ€˜(๐‘ฅ ยท (๐‘ฆ + ๐‘ง))))
10428caovclg 7619 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐‘‰)) โ†’ (๐‘ฅ ยท ๐‘ง) โˆˆ ๐‘‰)
1051043adantr2 1167 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐‘‰)) โ†’ (๐‘ฅ ยท ๐‘ง) โˆˆ ๐‘‰)
106 eqid 2728 . . . . . . . . . . . . 13 (+gโ€˜๐‘ˆ) = (+gโ€˜๐‘ˆ)
1073, 10, 1, 2, 4, 8, 106imasaddval 17521 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) โˆˆ ๐‘‰ โˆง (๐‘ฅ ยท ๐‘ง) โˆˆ ๐‘‰) โ†’ ((๐นโ€˜(๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ))(+gโ€˜๐‘ˆ)(๐นโ€˜(๐‘ฅ ยท ๐‘ง))) = (๐นโ€˜((๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) + (๐‘ฅ ยท ๐‘ง))))
10861, 63, 105, 107syl3anc 1368 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐‘‰)) โ†’ ((๐นโ€˜(๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ))(+gโ€˜๐‘ˆ)(๐นโ€˜(๐‘ฅ ยท ๐‘ง))) = (๐นโ€˜((๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) + (๐‘ฅ ยท ๐‘ง))))
10996, 103, 1083eqtr4d 2778 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐‘‰)) โ†’ ((๐นโ€˜๐‘ฅ)(.rโ€˜๐‘ˆ)(๐นโ€˜(๐‘ฆ + ๐‘ง))) = ((๐นโ€˜(๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ))(+gโ€˜๐‘ˆ)(๐นโ€˜(๐‘ฅ ยท ๐‘ง))))
1103, 10, 1, 2, 4, 8, 106imasaddval 17521 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐‘‰) โ†’ ((๐นโ€˜๐‘ฆ)(+gโ€˜๐‘ˆ)(๐นโ€˜๐‘ง)) = (๐นโ€˜(๐‘ฆ + ๐‘ง)))
1111103adant3r1 1179 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐‘‰)) โ†’ ((๐นโ€˜๐‘ฆ)(+gโ€˜๐‘ˆ)(๐นโ€˜๐‘ง)) = (๐นโ€˜(๐‘ฆ + ๐‘ง)))
112111oveq2d 7442 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐‘‰)) โ†’ ((๐นโ€˜๐‘ฅ)(.rโ€˜๐‘ˆ)((๐นโ€˜๐‘ฆ)(+gโ€˜๐‘ˆ)(๐นโ€˜๐‘ง))) = ((๐นโ€˜๐‘ฅ)(.rโ€˜๐‘ˆ)(๐นโ€˜(๐‘ฆ + ๐‘ง))))
1133, 16, 1, 2, 4, 17, 18imasmulval 17524 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐‘‰) โ†’ ((๐นโ€˜๐‘ฅ)(.rโ€˜๐‘ˆ)(๐นโ€˜๐‘ง)) = (๐นโ€˜(๐‘ฅ ยท ๐‘ง)))
1141133adant3r2 1180 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐‘‰)) โ†’ ((๐นโ€˜๐‘ฅ)(.rโ€˜๐‘ˆ)(๐นโ€˜๐‘ง)) = (๐นโ€˜(๐‘ฅ ยท ๐‘ง)))
11573, 114oveq12d 7444 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐‘‰)) โ†’ (((๐นโ€˜๐‘ฅ)(.rโ€˜๐‘ˆ)(๐นโ€˜๐‘ฆ))(+gโ€˜๐‘ˆ)((๐นโ€˜๐‘ฅ)(.rโ€˜๐‘ˆ)(๐นโ€˜๐‘ง))) = ((๐นโ€˜(๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ))(+gโ€˜๐‘ˆ)(๐นโ€˜(๐‘ฅ ยท ๐‘ง))))
116109, 112, 1153eqtr4d 2778 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐‘‰)) โ†’ ((๐นโ€˜๐‘ฅ)(.rโ€˜๐‘ˆ)((๐นโ€˜๐‘ฆ)(+gโ€˜๐‘ˆ)(๐นโ€˜๐‘ง))) = (((๐นโ€˜๐‘ฅ)(.rโ€˜๐‘ˆ)(๐นโ€˜๐‘ฆ))(+gโ€˜๐‘ˆ)((๐นโ€˜๐‘ฅ)(.rโ€˜๐‘ˆ)(๐นโ€˜๐‘ง))))
11780, 82oveq12d 7444 . . . . . . . . . . 11 (((๐นโ€˜๐‘ฅ) = ๐‘ข โˆง (๐นโ€˜๐‘ฆ) = ๐‘ฃ โˆง (๐นโ€˜๐‘ง) = ๐‘ค) โ†’ ((๐นโ€˜๐‘ฆ)(+gโ€˜๐‘ˆ)(๐นโ€˜๐‘ง)) = (๐‘ฃ(+gโ€˜๐‘ˆ)๐‘ค))
11879, 117oveq12d 7444 . . . . . . . . . 10 (((๐นโ€˜๐‘ฅ) = ๐‘ข โˆง (๐นโ€˜๐‘ฆ) = ๐‘ฃ โˆง (๐นโ€˜๐‘ง) = ๐‘ค) โ†’ ((๐นโ€˜๐‘ฅ)(.rโ€˜๐‘ˆ)((๐นโ€˜๐‘ฆ)(+gโ€˜๐‘ˆ)(๐นโ€˜๐‘ง))) = (๐‘ข(.rโ€˜๐‘ˆ)(๐‘ฃ(+gโ€˜๐‘ˆ)๐‘ค)))
11979, 82oveq12d 7444 . . . . . . . . . . 11 (((๐นโ€˜๐‘ฅ) = ๐‘ข โˆง (๐นโ€˜๐‘ฆ) = ๐‘ฃ โˆง (๐นโ€˜๐‘ง) = ๐‘ค) โ†’ ((๐นโ€˜๐‘ฅ)(.rโ€˜๐‘ˆ)(๐นโ€˜๐‘ง)) = (๐‘ข(.rโ€˜๐‘ˆ)๐‘ค))
12081, 119oveq12d 7444 . . . . . . . . . 10 (((๐นโ€˜๐‘ฅ) = ๐‘ข โˆง (๐นโ€˜๐‘ฆ) = ๐‘ฃ โˆง (๐นโ€˜๐‘ง) = ๐‘ค) โ†’ (((๐นโ€˜๐‘ฅ)(.rโ€˜๐‘ˆ)(๐นโ€˜๐‘ฆ))(+gโ€˜๐‘ˆ)((๐นโ€˜๐‘ฅ)(.rโ€˜๐‘ˆ)(๐นโ€˜๐‘ง))) = ((๐‘ข(.rโ€˜๐‘ˆ)๐‘ฃ)(+gโ€˜๐‘ˆ)(๐‘ข(.rโ€˜๐‘ˆ)๐‘ค)))
121118, 120eqeq12d 2744 . . . . . . . . 9 (((๐นโ€˜๐‘ฅ) = ๐‘ข โˆง (๐นโ€˜๐‘ฆ) = ๐‘ฃ โˆง (๐นโ€˜๐‘ง) = ๐‘ค) โ†’ (((๐นโ€˜๐‘ฅ)(.rโ€˜๐‘ˆ)((๐นโ€˜๐‘ฆ)(+gโ€˜๐‘ˆ)(๐นโ€˜๐‘ง))) = (((๐นโ€˜๐‘ฅ)(.rโ€˜๐‘ˆ)(๐นโ€˜๐‘ฆ))(+gโ€˜๐‘ˆ)((๐นโ€˜๐‘ฅ)(.rโ€˜๐‘ˆ)(๐นโ€˜๐‘ง))) โ†” (๐‘ข(.rโ€˜๐‘ˆ)(๐‘ฃ(+gโ€˜๐‘ˆ)๐‘ค)) = ((๐‘ข(.rโ€˜๐‘ˆ)๐‘ฃ)(+gโ€˜๐‘ˆ)(๐‘ข(.rโ€˜๐‘ˆ)๐‘ค))))
122116, 121syl5ibcom 244 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐‘‰)) โ†’ (((๐นโ€˜๐‘ฅ) = ๐‘ข โˆง (๐นโ€˜๐‘ฆ) = ๐‘ฃ โˆง (๐นโ€˜๐‘ง) = ๐‘ค) โ†’ (๐‘ข(.rโ€˜๐‘ˆ)(๐‘ฃ(+gโ€˜๐‘ˆ)๐‘ค)) = ((๐‘ข(.rโ€˜๐‘ˆ)๐‘ฃ)(+gโ€˜๐‘ˆ)(๐‘ข(.rโ€˜๐‘ˆ)๐‘ค))))
1231223exp2 1351 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‰ โ†’ (๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‰ โ†’ (๐‘ง โˆˆ ๐‘‰ โ†’ (((๐นโ€˜๐‘ฅ) = ๐‘ข โˆง (๐นโ€˜๐‘ฆ) = ๐‘ฃ โˆง (๐นโ€˜๐‘ง) = ๐‘ค) โ†’ (๐‘ข(.rโ€˜๐‘ˆ)(๐‘ฃ(+gโ€˜๐‘ˆ)๐‘ค)) = ((๐‘ข(.rโ€˜๐‘ˆ)๐‘ฃ)(+gโ€˜๐‘ˆ)(๐‘ข(.rโ€˜๐‘ˆ)๐‘ค)))))))
124123imp32 417 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‰)) โ†’ (๐‘ง โˆˆ ๐‘‰ โ†’ (((๐นโ€˜๐‘ฅ) = ๐‘ข โˆง (๐นโ€˜๐‘ฆ) = ๐‘ฃ โˆง (๐นโ€˜๐‘ง) = ๐‘ค) โ†’ (๐‘ข(.rโ€˜๐‘ˆ)(๐‘ฃ(+gโ€˜๐‘ˆ)๐‘ค)) = ((๐‘ข(.rโ€˜๐‘ˆ)๐‘ฃ)(+gโ€˜๐‘ˆ)(๐‘ข(.rโ€˜๐‘ˆ)๐‘ค)))))
125124rexlimdv 3150 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‰)) โ†’ (โˆƒ๐‘ง โˆˆ ๐‘‰ ((๐นโ€˜๐‘ฅ) = ๐‘ข โˆง (๐นโ€˜๐‘ฆ) = ๐‘ฃ โˆง (๐นโ€˜๐‘ง) = ๐‘ค) โ†’ (๐‘ข(.rโ€˜๐‘ˆ)(๐‘ฃ(+gโ€˜๐‘ˆ)๐‘ค)) = ((๐‘ข(.rโ€˜๐‘ˆ)๐‘ฃ)(+gโ€˜๐‘ˆ)(๐‘ข(.rโ€˜๐‘ˆ)๐‘ค))))
126125rexlimdvva 3209 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‰ โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‰ โˆƒ๐‘ง โˆˆ ๐‘‰ ((๐นโ€˜๐‘ฅ) = ๐‘ข โˆง (๐นโ€˜๐‘ฆ) = ๐‘ฃ โˆง (๐นโ€˜๐‘ง) = ๐‘ค) โ†’ (๐‘ข(.rโ€˜๐‘ˆ)(๐‘ฃ(+gโ€˜๐‘ˆ)๐‘ค)) = ((๐‘ข(.rโ€˜๐‘ˆ)๐‘ฃ)(+gโ€˜๐‘ˆ)(๐‘ข(.rโ€˜๐‘ˆ)๐‘ค))))
12746, 126sylbid 239 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ข โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฃ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘ข(.rโ€˜๐‘ˆ)(๐‘ฃ(+gโ€˜๐‘ˆ)๐‘ค)) = ((๐‘ข(.rโ€˜๐‘ˆ)๐‘ฃ)(+gโ€˜๐‘ˆ)(๐‘ข(.rโ€˜๐‘ˆ)๐‘ค))))
128127imp 405 . 2 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ข โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฃ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐ต)) โ†’ (๐‘ข(.rโ€˜๐‘ˆ)(๐‘ฃ(+gโ€˜๐‘ˆ)๐‘ค)) = ((๐‘ข(.rโ€˜๐‘ˆ)๐‘ฃ)(+gโ€˜๐‘ˆ)(๐‘ข(.rโ€˜๐‘ˆ)๐‘ค)))
12925, 8, 17rngdir 20108 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘… โˆˆ Rng โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…) โˆง ๐‘ง โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))) โ†’ ((๐‘ฅ + ๐‘ฆ) ยท ๐‘ง) = ((๐‘ฅ ยท ๐‘ง) + (๐‘ฆ ยท ๐‘ง)))
13047, 51, 54, 57, 129syl13anc 1369 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐‘‰)) โ†’ ((๐‘ฅ + ๐‘ฆ) ยท ๐‘ง) = ((๐‘ฅ ยท ๐‘ง) + (๐‘ฆ ยท ๐‘ง)))
131130fveq2d 6906 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐‘‰)) โ†’ (๐นโ€˜((๐‘ฅ + ๐‘ฆ) ยท ๐‘ง)) = (๐นโ€˜((๐‘ฅ ยท ๐‘ง) + (๐‘ฆ ยท ๐‘ง))))
13299caovclg 7619 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‰)) โ†’ (๐‘ฅ + ๐‘ฆ) โˆˆ ๐‘‰)
1331323adantr3 1168 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐‘‰)) โ†’ (๐‘ฅ + ๐‘ฆ) โˆˆ ๐‘‰)
1343, 16, 1, 2, 4, 17, 18imasmulval 17524 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ + ๐‘ฆ) โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐‘‰) โ†’ ((๐นโ€˜(๐‘ฅ + ๐‘ฆ))(.rโ€˜๐‘ˆ)(๐นโ€˜๐‘ง)) = (๐นโ€˜((๐‘ฅ + ๐‘ฆ) ยท ๐‘ง)))
13561, 133, 55, 134syl3anc 1368 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐‘‰)) โ†’ ((๐นโ€˜(๐‘ฅ + ๐‘ฆ))(.rโ€˜๐‘ˆ)(๐นโ€˜๐‘ง)) = (๐นโ€˜((๐‘ฅ + ๐‘ฆ) ยท ๐‘ง)))
1363, 10, 1, 2, 4, 8, 106imasaddval 17521 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ ยท ๐‘ง) โˆˆ ๐‘‰ โˆง (๐‘ฆ ยท ๐‘ง) โˆˆ ๐‘‰) โ†’ ((๐นโ€˜(๐‘ฅ ยท ๐‘ง))(+gโ€˜๐‘ˆ)(๐นโ€˜(๐‘ฆ ยท ๐‘ง))) = (๐นโ€˜((๐‘ฅ ยท ๐‘ง) + (๐‘ฆ ยท ๐‘ง))))
13761, 105, 68, 136syl3anc 1368 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐‘‰)) โ†’ ((๐นโ€˜(๐‘ฅ ยท ๐‘ง))(+gโ€˜๐‘ˆ)(๐นโ€˜(๐‘ฆ ยท ๐‘ง))) = (๐นโ€˜((๐‘ฅ ยท ๐‘ง) + (๐‘ฆ ยท ๐‘ง))))
138131, 135, 1373eqtr4d 2778 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐‘‰)) โ†’ ((๐นโ€˜(๐‘ฅ + ๐‘ฆ))(.rโ€˜๐‘ˆ)(๐นโ€˜๐‘ง)) = ((๐นโ€˜(๐‘ฅ ยท ๐‘ง))(+gโ€˜๐‘ˆ)(๐นโ€˜(๐‘ฆ ยท ๐‘ง))))
1393, 10, 1, 2, 4, 8, 106imasaddval 17521 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‰) โ†’ ((๐นโ€˜๐‘ฅ)(+gโ€˜๐‘ˆ)(๐นโ€˜๐‘ฆ)) = (๐นโ€˜(๐‘ฅ + ๐‘ฆ)))
1401393adant3r3 1181 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐‘‰)) โ†’ ((๐นโ€˜๐‘ฅ)(+gโ€˜๐‘ˆ)(๐นโ€˜๐‘ฆ)) = (๐นโ€˜(๐‘ฅ + ๐‘ฆ)))
141140oveq1d 7441 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐‘‰)) โ†’ (((๐นโ€˜๐‘ฅ)(+gโ€˜๐‘ˆ)(๐นโ€˜๐‘ฆ))(.rโ€˜๐‘ˆ)(๐นโ€˜๐‘ง)) = ((๐นโ€˜(๐‘ฅ + ๐‘ฆ))(.rโ€˜๐‘ˆ)(๐นโ€˜๐‘ง)))
142114, 76oveq12d 7444 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐‘‰)) โ†’ (((๐นโ€˜๐‘ฅ)(.rโ€˜๐‘ˆ)(๐นโ€˜๐‘ง))(+gโ€˜๐‘ˆ)((๐นโ€˜๐‘ฆ)(.rโ€˜๐‘ˆ)(๐นโ€˜๐‘ง))) = ((๐นโ€˜(๐‘ฅ ยท ๐‘ง))(+gโ€˜๐‘ˆ)(๐นโ€˜(๐‘ฆ ยท ๐‘ง))))
143138, 141, 1423eqtr4d 2778 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐‘‰)) โ†’ (((๐นโ€˜๐‘ฅ)(+gโ€˜๐‘ˆ)(๐นโ€˜๐‘ฆ))(.rโ€˜๐‘ˆ)(๐นโ€˜๐‘ง)) = (((๐นโ€˜๐‘ฅ)(.rโ€˜๐‘ˆ)(๐นโ€˜๐‘ง))(+gโ€˜๐‘ˆ)((๐นโ€˜๐‘ฆ)(.rโ€˜๐‘ˆ)(๐นโ€˜๐‘ง))))
14479, 80oveq12d 7444 . . . . . . . . . . 11 (((๐นโ€˜๐‘ฅ) = ๐‘ข โˆง (๐นโ€˜๐‘ฆ) = ๐‘ฃ โˆง (๐นโ€˜๐‘ง) = ๐‘ค) โ†’ ((๐นโ€˜๐‘ฅ)(+gโ€˜๐‘ˆ)(๐นโ€˜๐‘ฆ)) = (๐‘ข(+gโ€˜๐‘ˆ)๐‘ฃ))
145144, 82oveq12d 7444 . . . . . . . . . 10 (((๐นโ€˜๐‘ฅ) = ๐‘ข โˆง (๐นโ€˜๐‘ฆ) = ๐‘ฃ โˆง (๐นโ€˜๐‘ง) = ๐‘ค) โ†’ (((๐นโ€˜๐‘ฅ)(+gโ€˜๐‘ˆ)(๐นโ€˜๐‘ฆ))(.rโ€˜๐‘ˆ)(๐นโ€˜๐‘ง)) = ((๐‘ข(+gโ€˜๐‘ˆ)๐‘ฃ)(.rโ€˜๐‘ˆ)๐‘ค))
146119, 84oveq12d 7444 . . . . . . . . . 10 (((๐นโ€˜๐‘ฅ) = ๐‘ข โˆง (๐นโ€˜๐‘ฆ) = ๐‘ฃ โˆง (๐นโ€˜๐‘ง) = ๐‘ค) โ†’ (((๐นโ€˜๐‘ฅ)(.rโ€˜๐‘ˆ)(๐นโ€˜๐‘ง))(+gโ€˜๐‘ˆ)((๐นโ€˜๐‘ฆ)(.rโ€˜๐‘ˆ)(๐นโ€˜๐‘ง))) = ((๐‘ข(.rโ€˜๐‘ˆ)๐‘ค)(+gโ€˜๐‘ˆ)(๐‘ฃ(.rโ€˜๐‘ˆ)๐‘ค)))
147145, 146eqeq12d 2744 . . . . . . . . 9 (((๐นโ€˜๐‘ฅ) = ๐‘ข โˆง (๐นโ€˜๐‘ฆ) = ๐‘ฃ โˆง (๐นโ€˜๐‘ง) = ๐‘ค) โ†’ ((((๐นโ€˜๐‘ฅ)(+gโ€˜๐‘ˆ)(๐นโ€˜๐‘ฆ))(.rโ€˜๐‘ˆ)(๐นโ€˜๐‘ง)) = (((๐นโ€˜๐‘ฅ)(.rโ€˜๐‘ˆ)(๐นโ€˜๐‘ง))(+gโ€˜๐‘ˆ)((๐นโ€˜๐‘ฆ)(.rโ€˜๐‘ˆ)(๐นโ€˜๐‘ง))) โ†” ((๐‘ข(+gโ€˜๐‘ˆ)๐‘ฃ)(.rโ€˜๐‘ˆ)๐‘ค) = ((๐‘ข(.rโ€˜๐‘ˆ)๐‘ค)(+gโ€˜๐‘ˆ)(๐‘ฃ(.rโ€˜๐‘ˆ)๐‘ค))))
148143, 147syl5ibcom 244 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐‘‰)) โ†’ (((๐นโ€˜๐‘ฅ) = ๐‘ข โˆง (๐นโ€˜๐‘ฆ) = ๐‘ฃ โˆง (๐นโ€˜๐‘ง) = ๐‘ค) โ†’ ((๐‘ข(+gโ€˜๐‘ˆ)๐‘ฃ)(.rโ€˜๐‘ˆ)๐‘ค) = ((๐‘ข(.rโ€˜๐‘ˆ)๐‘ค)(+gโ€˜๐‘ˆ)(๐‘ฃ(.rโ€˜๐‘ˆ)๐‘ค))))
1491483exp2 1351 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‰ โ†’ (๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‰ โ†’ (๐‘ง โˆˆ ๐‘‰ โ†’ (((๐นโ€˜๐‘ฅ) = ๐‘ข โˆง (๐นโ€˜๐‘ฆ) = ๐‘ฃ โˆง (๐นโ€˜๐‘ง) = ๐‘ค) โ†’ ((๐‘ข(+gโ€˜๐‘ˆ)๐‘ฃ)(.rโ€˜๐‘ˆ)๐‘ค) = ((๐‘ข(.rโ€˜๐‘ˆ)๐‘ค)(+gโ€˜๐‘ˆ)(๐‘ฃ(.rโ€˜๐‘ˆ)๐‘ค)))))))
150149imp32 417 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‰)) โ†’ (๐‘ง โˆˆ ๐‘‰ โ†’ (((๐นโ€˜๐‘ฅ) = ๐‘ข โˆง (๐นโ€˜๐‘ฆ) = ๐‘ฃ โˆง (๐นโ€˜๐‘ง) = ๐‘ค) โ†’ ((๐‘ข(+gโ€˜๐‘ˆ)๐‘ฃ)(.rโ€˜๐‘ˆ)๐‘ค) = ((๐‘ข(.rโ€˜๐‘ˆ)๐‘ค)(+gโ€˜๐‘ˆ)(๐‘ฃ(.rโ€˜๐‘ˆ)๐‘ค)))))
151150rexlimdv 3150 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‰)) โ†’ (โˆƒ๐‘ง โˆˆ ๐‘‰ ((๐นโ€˜๐‘ฅ) = ๐‘ข โˆง (๐นโ€˜๐‘ฆ) = ๐‘ฃ โˆง (๐นโ€˜๐‘ง) = ๐‘ค) โ†’ ((๐‘ข(+gโ€˜๐‘ˆ)๐‘ฃ)(.rโ€˜๐‘ˆ)๐‘ค) = ((๐‘ข(.rโ€˜๐‘ˆ)๐‘ค)(+gโ€˜๐‘ˆ)(๐‘ฃ(.rโ€˜๐‘ˆ)๐‘ค))))
152151rexlimdvva 3209 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‰ โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‰ โˆƒ๐‘ง โˆˆ ๐‘‰ ((๐นโ€˜๐‘ฅ) = ๐‘ข โˆง (๐นโ€˜๐‘ฆ) = ๐‘ฃ โˆง (๐นโ€˜๐‘ง) = ๐‘ค) โ†’ ((๐‘ข(+gโ€˜๐‘ˆ)๐‘ฃ)(.rโ€˜๐‘ˆ)๐‘ค) = ((๐‘ข(.rโ€˜๐‘ˆ)๐‘ค)(+gโ€˜๐‘ˆ)(๐‘ฃ(.rโ€˜๐‘ˆ)๐‘ค))))
15346, 152sylbid 239 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ข โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฃ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐ต) โ†’ ((๐‘ข(+gโ€˜๐‘ˆ)๐‘ฃ)(.rโ€˜๐‘ˆ)๐‘ค) = ((๐‘ข(.rโ€˜๐‘ˆ)๐‘ค)(+gโ€˜๐‘ˆ)(๐‘ฃ(.rโ€˜๐‘ˆ)๐‘ค))))
154153imp 405 . 2 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ข โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฃ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐ต)) โ†’ ((๐‘ข(+gโ€˜๐‘ˆ)๐‘ฃ)(.rโ€˜๐‘ˆ)๐‘ค) = ((๐‘ข(.rโ€˜๐‘ˆ)๐‘ค)(+gโ€˜๐‘ˆ)(๐‘ฃ(.rโ€˜๐‘ˆ)๐‘ค)))
1555, 6, 7, 15, 31, 93, 128, 154isrngd 20120 1 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ˆ โˆˆ Rng)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 394   โˆง w3a 1084   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098  โˆƒwrex 3067  ran crn 5683   Fn wfn 6548  โ€“ontoโ†’wfo 6551  โ€˜cfv 6553  (class class class)co 7426  Basecbs 17187  +gcplusg 17240  .rcmulr 17241  0gc0g 17428   โ€œs cimas 17493  Abelcabl 19743  Rngcrng 20099
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-tp 4637  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7877  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-1o 8493  df-er 8731  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-fin 8974  df-sup 9473  df-inf 9474  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-nn 12251  df-2 12313  df-3 12314  df-4 12315  df-5 12316  df-6 12317  df-7 12318  df-8 12319  df-9 12320  df-n0 12511  df-z 12597  df-dec 12716  df-uz 12861  df-fz 13525  df-struct 17123  df-sets 17140  df-slot 17158  df-ndx 17170  df-base 17188  df-plusg 17253  df-mulr 17254  df-sca 17256  df-vsca 17257  df-ip 17258  df-tset 17259  df-ple 17260  df-ds 17262  df-0g 17430  df-imas 17497  df-mgm 18607  df-sgrp 18686  df-mnd 18702  df-grp 18900  df-minusg 18901  df-cmn 19744  df-abl 19745  df-mgp 20082  df-rng 20100
This theorem is referenced by:  imasrngf1  20125  qusrng  20127
  Copyright terms: Public domain W3C validator