MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cutmin Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cutmin 27989
Description: If 𝐵 has a minimum, then the minimum may be used alone in the cut. (Contributed by Scott Fenton, 20-Aug-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
cutmin.1 (𝜑𝐴 <<s 𝐵)
cutmin.2 (𝜑𝑋𝐵)
cutmin.3 (𝜑 → ∀𝑦𝐵 𝑋 ≤s 𝑦)
Assertion
Ref Expression
cutmin (𝜑 → (𝐴 |s 𝐵) = (𝐴 |s {𝑋}))
Distinct variable groups:   𝑦,𝐴   𝑦,𝐵   𝑦,𝑋   𝜑,𝑦

Proof of Theorem cutmin
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cutmin.1 . 2 (𝜑𝐴 <<s 𝐵)
2 simpr 484 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝑥𝐴)
3 ssltss1 27853 . . . . . . 7 (𝐴 <<s 𝐵𝐴 No )
41, 3syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝐴 No )
54sselda 4008 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝑥 No )
6 slerflex 27828 . . . . 5 (𝑥 No 𝑥 ≤s 𝑥)
75, 6syl 17 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝑥 ≤s 𝑥)
8 breq2 5170 . . . . 5 (𝑦 = 𝑥 → (𝑥 ≤s 𝑦𝑥 ≤s 𝑥))
98rspcev 3635 . . . 4 ((𝑥𝐴𝑥 ≤s 𝑥) → ∃𝑦𝐴 𝑥 ≤s 𝑦)
102, 7, 9syl2anc 583 . . 3 ((𝜑𝑥𝐴) → ∃𝑦𝐴 𝑥 ≤s 𝑦)
1110ralrimiva 3152 . 2 (𝜑 → ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 𝑥 ≤s 𝑦)
12 cutmin.3 . . 3 (𝜑 → ∀𝑦𝐵 𝑋 ≤s 𝑦)
13 cutmin.2 . . . . 5 (𝜑𝑋𝐵)
14 breq1 5169 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑋 → (𝑥 ≤s 𝑦𝑋 ≤s 𝑦))
1514rexsng 4698 . . . . 5 (𝑋𝐵 → (∃𝑥 ∈ {𝑋}𝑥 ≤s 𝑦𝑋 ≤s 𝑦))
1613, 15syl 17 . . . 4 (𝜑 → (∃𝑥 ∈ {𝑋}𝑥 ≤s 𝑦𝑋 ≤s 𝑦))
1716ralbidv 3184 . . 3 (𝜑 → (∀𝑦𝐵𝑥 ∈ {𝑋}𝑥 ≤s 𝑦 ↔ ∀𝑦𝐵 𝑋 ≤s 𝑦))
1812, 17mpbird 257 . 2 (𝜑 → ∀𝑦𝐵𝑥 ∈ {𝑋}𝑥 ≤s 𝑦)
19 scutcut 27866 . . . 4 (𝐴 <<s 𝐵 → ((𝐴 |s 𝐵) ∈ No 𝐴 <<s {(𝐴 |s 𝐵)} ∧ {(𝐴 |s 𝐵)} <<s 𝐵))
201, 19syl 17 . . 3 (𝜑 → ((𝐴 |s 𝐵) ∈ No 𝐴 <<s {(𝐴 |s 𝐵)} ∧ {(𝐴 |s 𝐵)} <<s 𝐵))
2120simp2d 1143 . 2 (𝜑𝐴 <<s {(𝐴 |s 𝐵)})
2220simp3d 1144 . . 3 (𝜑 → {(𝐴 |s 𝐵)} <<s 𝐵)
2313snssd 4834 . . 3 (𝜑 → {𝑋} ⊆ 𝐵)
24 sssslt2 27861 . . 3 (({(𝐴 |s 𝐵)} <<s 𝐵 ∧ {𝑋} ⊆ 𝐵) → {(𝐴 |s 𝐵)} <<s {𝑋})
2522, 23, 24syl2anc 583 . 2 (𝜑 → {(𝐴 |s 𝐵)} <<s {𝑋})
261, 11, 18, 21, 25cofcut1d 27975 1 (𝜑 → (𝐴 |s 𝐵) = (𝐴 |s {𝑋}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1087   = wceq 1537  wcel 2108  wral 3067  wrex 3076  wss 3976  {csn 4648   class class class wbr 5166  (class class class)co 7450   No csur 27704   ≤s csle 27809   <<s csslt 27845   |s cscut 27847
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7772
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-tp 4653  df-op 4655  df-uni 4932  df-int 4971  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-ord 6400  df-on 6401  df-suc 6403  df-iota 6527  df-fun 6577  df-fn 6578  df-f 6579  df-f1 6580  df-fo 6581  df-f1o 6582  df-fv 6583  df-riota 7406  df-ov 7453  df-oprab 7454  df-mpo 7455  df-1o 8524  df-2o 8525  df-no 27707  df-slt 27708  df-bday 27709  df-sle 27810  df-sslt 27846  df-scut 27848
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator