Theorem cutmin 27849

Description: If 𝐵 has a minimum, then the minimum may be used alone in the cut. (Contributed by Scott Fenton, 20-Aug-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
cutmin.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 <<s 𝐵)
cutmin.2	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
cutmin.3	⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑋 ≤s 𝑦)

Assertion

Ref	Expression
cutmin	⊢ (𝜑 → (𝐴 |s 𝐵) = (𝐴 |s {𝑋}))

Distinct variable groups:   𝑦,𝐴   𝑦,𝐵   𝑦,𝑋   𝜑,𝑦

Proof of Theorem cutmin

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cutmin.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 <<s 𝐵)
2		simpr 484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ 𝐴)
3		ssltss1 27706	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 <<s 𝐵 → 𝐴 ⊆ No )
4	1, 3	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ No )
5	4	sselda 3948	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ No )
6		slerflex 27681	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ No → 𝑥 ≤s 𝑥)
7	5, 6	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ≤s 𝑥)
8		breq2 5113	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (𝑥 ≤s 𝑦 ↔ 𝑥 ≤s 𝑥))
9	8	rspcev 3591	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ≤s 𝑥) → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤s 𝑦)
10	2, 7, 9	syl2anc 584	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤s 𝑦)
11	10	ralrimiva 3126	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤s 𝑦)
12		cutmin.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑋 ≤s 𝑦)
13		cutmin.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
14		breq1 5112	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝑥 ≤s 𝑦 ↔ 𝑋 ≤s 𝑦))
15	14	rexsng 4642	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → (∃𝑥 ∈ {𝑋}𝑥 ≤s 𝑦 ↔ 𝑋 ≤s 𝑦))
16	13, 15	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∃𝑥 ∈ {𝑋}𝑥 ≤s 𝑦 ↔ 𝑋 ≤s 𝑦))
17	16	ralbidv 3157	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∀𝑦 ∈ 𝐵 ∃𝑥 ∈ {𝑋}𝑥 ≤s 𝑦 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑋 ≤s 𝑦))
18	12, 17	mpbird 257	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ 𝐵 ∃𝑥 ∈ {𝑋}𝑥 ≤s 𝑦)
19		scutcut 27719	. . . 4 ⊢ (𝐴 <<s 𝐵 → ((𝐴 |s 𝐵) ∈ No ∧ 𝐴 <<s {(𝐴 |s 𝐵)} ∧ {(𝐴 |s 𝐵)} <<s 𝐵))
20	1, 19	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 |s 𝐵) ∈ No ∧ 𝐴 <<s {(𝐴 |s 𝐵)} ∧ {(𝐴 |s 𝐵)} <<s 𝐵))
21	20	simp2d 1143	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 <<s {(𝐴 |s 𝐵)})
22	20	simp3d 1144	. . 3 ⊢ (𝜑 → {(𝐴 |s 𝐵)} <<s 𝐵)
23	13	snssd 4775	. . 3 ⊢ (𝜑 → {𝑋} ⊆ 𝐵)
24		sssslt2 27714	. . 3 ⊢ (({(𝐴 |s 𝐵)} <<s 𝐵 ∧ {𝑋} ⊆ 𝐵) → {(𝐴 |s 𝐵)} <<s {𝑋})
25	22, 23, 24	syl2anc 584	. 2 ⊢ (𝜑 → {(𝐴 |s 𝐵)} <<s {𝑋})
26	1, 11, 18, 21, 25	cofcut1d 27835	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 |s 𝐵) = (𝐴 |s {𝑋}))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∀wral 3045  ∃wrex 3054   ⊆ wss 3916  {csn 4591   class class class wbr 5109  (class class class)co 7389   No csur 27557   ≤s csle 27662   <<s csslt 27698   |s cscut 27700

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5236  ax-sep 5253  ax-nul 5263  ax-pow 5322  ax-pr 5389  ax-un 7713

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3756  df-csb 3865  df-dif 3919  df-un 3921  df-in 3923  df-ss 3933  df-pss 3936  df-nul 4299  df-if 4491  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4874  df-int 4913  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5535  df-eprel 5540  df-po 5548  df-so 5549  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5646  df-rel 5647  df-cnv 5648  df-co 5649  df-dm 5650  df-rn 5651  df-res 5652  df-ima 5653  df-ord 6337  df-on 6338  df-suc 6340  df-iota 6466  df-fun 6515  df-fn 6516  df-f 6517  df-f1 6518  df-fo 6519  df-f1o 6520  df-fv 6521  df-riota 7346  df-ov 7392  df-oprab 7393  df-mpo 7394  df-1o 8436  df-2o 8437  df-no 27560  df-slt 27561  df-bday 27562  df-sle 27663  df-sslt 27699  df-scut 27701

This theorem is referenced by: (None)