Theorem cutmin 27978

Description: If 𝐵 has a minimum, then the minimum may be used alone in the cut. (Contributed by Scott Fenton, 20-Aug-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
cutmin.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 <<s 𝐵)
cutmin.2	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
cutmin.3	⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑋 ≤s 𝑦)

Assertion

Ref	Expression
cutmin	⊢ (𝜑 → (𝐴 |s 𝐵) = (𝐴 |s {𝑋}))

Distinct variable groups:   𝑦,𝐴   𝑦,𝐵   𝑦,𝑋   𝜑,𝑦

Proof of Theorem cutmin

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cutmin.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 <<s 𝐵)
2		simpr 484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ 𝐴)
3		ssltss1 27842	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 <<s 𝐵 → 𝐴 ⊆ No )
4	1, 3	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ No )
5	4	sselda 4002	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ No )
6		slerflex 27817	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ No → 𝑥 ≤s 𝑥)
7	5, 6	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ≤s 𝑥)
8		breq2 5173	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (𝑥 ≤s 𝑦 ↔ 𝑥 ≤s 𝑥))
9	8	rspcev 3631	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ≤s 𝑥) → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤s 𝑦)
10	2, 7, 9	syl2anc 583	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤s 𝑦)
11	10	ralrimiva 3148	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤s 𝑦)
12		cutmin.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑋 ≤s 𝑦)
13		cutmin.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
14		breq1 5172	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝑥 ≤s 𝑦 ↔ 𝑋 ≤s 𝑦))
15	14	rexsng 4698	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → (∃𝑥 ∈ {𝑋}𝑥 ≤s 𝑦 ↔ 𝑋 ≤s 𝑦))
16	13, 15	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∃𝑥 ∈ {𝑋}𝑥 ≤s 𝑦 ↔ 𝑋 ≤s 𝑦))
17	16	ralbidv 3180	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∀𝑦 ∈ 𝐵 ∃𝑥 ∈ {𝑋}𝑥 ≤s 𝑦 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑋 ≤s 𝑦))
18	12, 17	mpbird 257	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ 𝐵 ∃𝑥 ∈ {𝑋}𝑥 ≤s 𝑦)
19		scutcut 27855	. . . 4 ⊢ (𝐴 <<s 𝐵 → ((𝐴 |s 𝐵) ∈ No ∧ 𝐴 <<s {(𝐴 |s 𝐵)} ∧ {(𝐴 |s 𝐵)} <<s 𝐵))
20	1, 19	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 |s 𝐵) ∈ No ∧ 𝐴 <<s {(𝐴 |s 𝐵)} ∧ {(𝐴 |s 𝐵)} <<s 𝐵))
21	20	simp2d 1143	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 <<s {(𝐴 |s 𝐵)})
22	20	simp3d 1144	. . 3 ⊢ (𝜑 → {(𝐴 |s 𝐵)} <<s 𝐵)
23	13	snssd 4834	. . 3 ⊢ (𝜑 → {𝑋} ⊆ 𝐵)
24		sssslt2 27850	. . 3 ⊢ (({(𝐴 |s 𝐵)} <<s 𝐵 ∧ {𝑋} ⊆ 𝐵) → {(𝐴 |s 𝐵)} <<s {𝑋})
25	22, 23, 24	syl2anc 583	. 2 ⊢ (𝜑 → {(𝐴 |s 𝐵)} <<s {𝑋})
26	1, 11, 18, 21, 25	cofcut1d 27964	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 |s 𝐵) = (𝐴 |s {𝑋}))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1537   ∈ wcel 2103  ∀wral 3063  ∃wrex 3072   ⊆ wss 3970  {csn 4648   class class class wbr 5169  (class class class)co 7445   No csur 27693   ≤s csle 27798   <<s csslt 27834   |s cscut 27836

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2105  ax-9 2113  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2173  ax-ext 2705  ax-rep 5306  ax-sep 5320  ax-nul 5327  ax-pow 5386  ax-pr 5450  ax-un 7766

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2890  df-ne 2943  df-ral 3064  df-rex 3073  df-rmo 3383  df-reu 3384  df-rab 3439  df-v 3484  df-sbc 3799  df-csb 3916  df-dif 3973  df-un 3975  df-in 3977  df-ss 3987  df-pss 3990  df-nul 4348  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-tp 4653  df-op 4655  df-uni 4932  df-int 4973  df-br 5170  df-opab 5232  df-mpt 5253  df-tr 5287  df-id 5597  df-eprel 5603  df-po 5611  df-so 5612  df-fr 5654  df-we 5656  df-xp 5705  df-rel 5706  df-cnv 5707  df-co 5708  df-dm 5709  df-rn 5710  df-res 5711  df-ima 5712  df-ord 6397  df-on 6398  df-suc 6400  df-iota 6524  df-fun 6574  df-fn 6575  df-f 6576  df-f1 6577  df-fo 6578  df-f1o 6579  df-fv 6580  df-riota 7401  df-ov 7448  df-oprab 7449  df-mpo 7450  df-1o 8518  df-2o 8519  df-no 27696  df-slt 27697  df-bday 27698  df-sle 27799  df-sslt 27835  df-scut 27837

This theorem is referenced by: (None)