Theorem cutmin 27944

Description: If 𝐵 has a minimum, then the minimum may be used alone in the cut. (Contributed by Scott Fenton, 20-Aug-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
cutmin.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 <<s 𝐵)
cutmin.2	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
cutmin.3	⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑋 ≤s 𝑦)

Assertion

Ref	Expression
cutmin	⊢ (𝜑 → (𝐴 |s 𝐵) = (𝐴 |s {𝑋}))

Distinct variable groups:   𝑦,𝐴   𝑦,𝐵   𝑦,𝑋   𝜑,𝑦

Proof of Theorem cutmin

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cutmin.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 <<s 𝐵)
2		simpr 484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ 𝐴)
3		sltsss1 27774	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 <<s 𝐵 → 𝐴 ⊆ No )
4	1, 3	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ No )
5	4	sselda 3922	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ No )
6		lesid 27748	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ No → 𝑥 ≤s 𝑥)
7	5, 6	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ≤s 𝑥)
8		breq2 5090	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (𝑥 ≤s 𝑦 ↔ 𝑥 ≤s 𝑥))
9	8	rspcev 3565	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ≤s 𝑥) → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤s 𝑦)
10	2, 7, 9	syl2anc 585	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤s 𝑦)
11	10	ralrimiva 3130	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤s 𝑦)
12		cutmin.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑋 ≤s 𝑦)
13		cutmin.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
14		breq1 5089	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝑥 ≤s 𝑦 ↔ 𝑋 ≤s 𝑦))
15	14	rexsng 4621	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → (∃𝑥 ∈ {𝑋}𝑥 ≤s 𝑦 ↔ 𝑋 ≤s 𝑦))
16	13, 15	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∃𝑥 ∈ {𝑋}𝑥 ≤s 𝑦 ↔ 𝑋 ≤s 𝑦))
17	16	ralbidv 3161	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∀𝑦 ∈ 𝐵 ∃𝑥 ∈ {𝑋}𝑥 ≤s 𝑦 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑋 ≤s 𝑦))
18	12, 17	mpbird 257	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ 𝐵 ∃𝑥 ∈ {𝑋}𝑥 ≤s 𝑦)
19		cutcuts 27790	. . . 4 ⊢ (𝐴 <<s 𝐵 → ((𝐴 |s 𝐵) ∈ No ∧ 𝐴 <<s {(𝐴 |s 𝐵)} ∧ {(𝐴 |s 𝐵)} <<s 𝐵))
20	1, 19	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 |s 𝐵) ∈ No ∧ 𝐴 <<s {(𝐴 |s 𝐵)} ∧ {(𝐴 |s 𝐵)} <<s 𝐵))
21	20	simp2d 1144	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 <<s {(𝐴 |s 𝐵)})
22	20	simp3d 1145	. . 3 ⊢ (𝜑 → {(𝐴 |s 𝐵)} <<s 𝐵)
23	13	snssd 4753	. . 3 ⊢ (𝜑 → {𝑋} ⊆ 𝐵)
24		ssslts2 27783	. . 3 ⊢ (({(𝐴 |s 𝐵)} <<s 𝐵 ∧ {𝑋} ⊆ 𝐵) → {(𝐴 |s 𝐵)} <<s {𝑋})
25	22, 23, 24	syl2anc 585	. 2 ⊢ (𝜑 → {(𝐴 |s 𝐵)} <<s {𝑋})
26	1, 11, 18, 21, 25	cofcut1d 27930	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 |s 𝐵) = (𝐴 |s {𝑋}))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∀wral 3052  ∃wrex 3062   ⊆ wss 3890  {csn 4568   class class class wbr 5086  (class class class)co 7361   No csur 27620   ≤s cles 27725   <<s cslts 27766   |s ccuts 27768

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5213  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5303  ax-pr 5371  ax-un 7683

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-tp 4573  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-ord 6321  df-on 6322  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7318  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-1o 8399  df-2o 8400  df-no 27623  df-lts 27624  df-bday 27625  df-les 27726  df-slts 27767  df-cuts 27769

This theorem is referenced by:  cutminmax  27945