Theorem cutmin 27946

Description: If 𝐵 has a minimum, then the minimum may be used alone in the cut. (Contributed by Scott Fenton, 20-Aug-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
cutmin.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 <<s 𝐵)
cutmin.2	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
cutmin.3	⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑋 ≤s 𝑦)

Assertion

Ref	Expression
cutmin	⊢ (𝜑 → (𝐴 |s 𝐵) = (𝐴 |s {𝑋}))

Distinct variable groups:   𝑦,𝐴   𝑦,𝐵   𝑦,𝑋   𝜑,𝑦

Proof of Theorem cutmin

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cutmin.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 <<s 𝐵)
2		simpr 485	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ 𝐴)
3		sltsss1 27776	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 <<s 𝐵 → 𝐴 ⊆ No )
4	1, 3	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ No )
5	4	sselda 3915	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ No )
6		lesid 27750	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ No → 𝑥 ≤s 𝑥)
7	5, 6	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ≤s 𝑥)
8		breq2 5077	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (𝑥 ≤s 𝑦 ↔ 𝑥 ≤s 𝑥))
9	8	rspcev 3560	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ≤s 𝑥) → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤s 𝑦)
10	2, 7, 9	syl2anc 590	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤s 𝑦)
11	10	ralrimiva 3131	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤s 𝑦)
12		cutmin.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑋 ≤s 𝑦)
13		cutmin.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
14		breq1 5076	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝑥 ≤s 𝑦 ↔ 𝑋 ≤s 𝑦))
15	14	rexsng 4609	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → (∃𝑥 ∈ {𝑋}𝑥 ≤s 𝑦 ↔ 𝑋 ≤s 𝑦))
16	13, 15	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∃𝑥 ∈ {𝑋}𝑥 ≤s 𝑦 ↔ 𝑋 ≤s 𝑦))
17	16	ralbidv 3162	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∀𝑦 ∈ 𝐵 ∃𝑥 ∈ {𝑋}𝑥 ≤s 𝑦 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑋 ≤s 𝑦))
18	12, 17	mpbird 258	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ 𝐵 ∃𝑥 ∈ {𝑋}𝑥 ≤s 𝑦)
19		cutcuts 27792	. . . 4 ⊢ (𝐴 <<s 𝐵 → ((𝐴 |s 𝐵) ∈ No ∧ 𝐴 <<s {(𝐴 |s 𝐵)} ∧ {(𝐴 |s 𝐵)} <<s 𝐵))
20	1, 19	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 |s 𝐵) ∈ No ∧ 𝐴 <<s {(𝐴 |s 𝐵)} ∧ {(𝐴 |s 𝐵)} <<s 𝐵))
21	20	simp2d 1149	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 <<s {(𝐴 |s 𝐵)})
22	20	simp3d 1150	. . 3 ⊢ (𝜑 → {(𝐴 |s 𝐵)} <<s 𝐵)
23	13	snssd 4719	. . 3 ⊢ (𝜑 → {𝑋} ⊆ 𝐵)
24		ssslts2 27785	. . 3 ⊢ (({(𝐴 |s 𝐵)} <<s 𝐵 ∧ {𝑋} ⊆ 𝐵) → {(𝐴 |s 𝐵)} <<s {𝑋})
25	22, 23, 24	syl2anc 590	. 2 ⊢ (𝜑 → {(𝐴 |s 𝐵)} <<s {𝑋})
26	1, 11, 18, 21, 25	cofcut1d 27932	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 |s 𝐵) = (𝐴 |s {𝑋}))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 207   ∧ wa 396   ∧ w3a 1092   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  ∀wral 3053  ∃wrex 3063   ⊆ wss 3883  {csn 4556   class class class wbr 5073  (class class class)co 7357   No csur 27622   ≤s cles 27727   <<s cslts 27768   |s ccuts 27770

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-rep 5200  ax-sep 5219  ax-nul 5229  ax-pow 5295  ax-pr 5363  ax-un 7679

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rmo 3344  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4263  df-if 4456  df-pw 4532  df-sn 4557  df-pr 4559  df-tp 4561  df-op 4563  df-uni 4840  df-int 4879  df-br 5074  df-opab 5136  df-mpt 5155  df-tr 5181  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-ord 6314  df-on 6315  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7314  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-1o 8396  df-2o 8397  df-no 27625  df-lts 27626  df-bday 27627  df-les 27728  df-slts 27769  df-cuts 27771

This theorem is referenced by:  cutminmax  27947