Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | mulsuniflem.3 |
. . . 4
โข (๐ โ ๐ด = (๐ฟ |s ๐
)) |
2 | | mulsuniflem.1 |
. . . . 5
โข (๐ โ ๐ฟ <<s ๐
) |
3 | 2 | scutcld 27230 |
. . . 4
โข (๐ โ (๐ฟ |s ๐
) โ No
) |
4 | 1, 3 | eqeltrd 2832 |
. . 3
โข (๐ โ ๐ด โ No
) |
5 | | mulsuniflem.4 |
. . . 4
โข (๐ โ ๐ต = (๐ |s ๐)) |
6 | | mulsuniflem.2 |
. . . . 5
โข (๐ โ ๐ <<s ๐) |
7 | 6 | scutcld 27230 |
. . . 4
โข (๐ โ (๐ |s ๐) โ No
) |
8 | 5, 7 | eqeltrd 2832 |
. . 3
โข (๐ โ ๐ต โ No
) |
9 | | mulsval 27479 |
. . 3
โข ((๐ด โ
No โง ๐ต โ
No ) โ (๐ด ยทs ๐ต) = (({๐ โฃ โ๐ โ ( L โ๐ด)โ๐ โ ( L โ๐ต)๐ = (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐)) -s (๐ ยทs ๐))} โช {โ โฃ โ๐ โ ( R โ๐ด)โ๐ โ ( R โ๐ต)โ = (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐)) -s (๐ ยทs ๐))}) |s ({๐ โฃ โ๐ โ ( L โ๐ด)โ๐ โ ( R โ๐ต)๐ = (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐)) -s (๐ ยทs ๐))} โช {๐ โฃ โ๐ฅ โ ( R โ๐ด)โ๐ฆ โ ( L โ๐ต)๐ = (((๐ฅ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ฆ)) -s (๐ฅ ยทs ๐ฆ))}))) |
10 | 4, 8, 9 | syl2anc 584 |
. 2
โข (๐ โ (๐ด ยทs ๐ต) = (({๐ โฃ โ๐ โ ( L โ๐ด)โ๐ โ ( L โ๐ต)๐ = (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐)) -s (๐ ยทs ๐))} โช {โ โฃ โ๐ โ ( R โ๐ด)โ๐ โ ( R โ๐ต)โ = (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐)) -s (๐ ยทs ๐))}) |s ({๐ โฃ โ๐ โ ( L โ๐ด)โ๐ โ ( R โ๐ต)๐ = (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐)) -s (๐ ยทs ๐))} โช {๐ โฃ โ๐ฅ โ ( R โ๐ด)โ๐ฆ โ ( L โ๐ต)๐ = (((๐ฅ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ฆ)) -s (๐ฅ ยทs ๐ฆ))}))) |
11 | 4, 8 | mulscut2 27502 |
. . 3
โข (๐ โ ({๐ โฃ โ๐ โ ( L โ๐ด)โ๐ โ ( L โ๐ต)๐ = (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐)) -s (๐ ยทs ๐))} โช {โ โฃ โ๐ โ ( R โ๐ด)โ๐ โ ( R โ๐ต)โ = (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐)) -s (๐ ยทs ๐))}) <<s ({๐ โฃ โ๐ โ ( L โ๐ด)โ๐ โ ( R โ๐ต)๐ = (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐)) -s (๐ ยทs ๐))} โช {๐ โฃ โ๐ฅ โ ( R โ๐ด)โ๐ฆ โ ( L โ๐ต)๐ = (((๐ฅ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ฆ)) -s (๐ฅ ยทs ๐ฆ))})) |
12 | 2, 1 | cofcutr1d 27332 |
. . . . . 6
โข (๐ โ โ๐ โ ( L โ๐ด)โ๐ โ ๐ฟ ๐ โคs ๐) |
13 | 6, 5 | cofcutr1d 27332 |
. . . . . . . . . 10
โข (๐ โ โ๐ โ ( L โ๐ต)โ๐ โ ๐ ๐ โคs ๐) |
14 | 13 | adantr 481 |
. . . . . . . . 9
โข ((๐ โง (๐ โ ( L โ๐ด) โง โ๐ โ ๐ฟ ๐ โคs ๐)) โ โ๐ โ ( L โ๐ต)โ๐ โ ๐ ๐ โคs ๐) |
15 | | reeanv 3225 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
โข
(โ๐ โ
๐ฟ โ๐ โ ๐ (๐ โคs ๐ โง ๐ โคs ๐) โ (โ๐ โ ๐ฟ ๐ โคs ๐ โง โ๐ โ ๐ ๐ โคs ๐)) |
16 | | leftssno 27298 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
โข ( L
โ๐ด) โ No |
17 | | simprl 769 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
โข ((๐ โง (๐ โ ( L โ๐ด) โง ๐ โ ( L โ๐ต))) โ ๐ โ ( L โ๐ด)) |
18 | 16, 17 | sselid 3976 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
โข ((๐ โง (๐ โ ( L โ๐ด) โง ๐ โ ( L โ๐ต))) โ ๐ โ No
) |
19 | 18 | adantrr 715 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
โข ((๐ โง ((๐ โ ( L โ๐ด) โง ๐ โ ( L โ๐ต)) โง (๐ โ ๐ฟ โง ๐ โ ๐))) โ ๐ โ No
) |
20 | 8 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
โข ((๐ โง ((๐ โ ( L โ๐ด) โง ๐ โ ( L โ๐ต)) โง (๐ โ ๐ฟ โง ๐ โ ๐))) โ ๐ต โ No
) |
21 | 19, 20 | mulscld 27504 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
โข ((๐ โง ((๐ โ ( L โ๐ด) โง ๐ โ ( L โ๐ต)) โง (๐ โ ๐ฟ โง ๐ โ ๐))) โ (๐ ยทs ๐ต) โ No
) |
22 | 4 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
โข ((๐ โง ((๐ โ ( L โ๐ด) โง ๐ โ ( L โ๐ต)) โง (๐ โ ๐ฟ โง ๐ โ ๐))) โ ๐ด โ No
) |
23 | | leftssno 27298 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
โข ( L
โ๐ต) โ No |
24 | | simprr 771 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
โข ((๐ โง (๐ โ ( L โ๐ด) โง ๐ โ ( L โ๐ต))) โ ๐ โ ( L โ๐ต)) |
25 | 23, 24 | sselid 3976 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
โข ((๐ โง (๐ โ ( L โ๐ด) โง ๐ โ ( L โ๐ต))) โ ๐ โ No
) |
26 | 25 | adantrr 715 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
โข ((๐ โง ((๐ โ ( L โ๐ด) โง ๐ โ ( L โ๐ต)) โง (๐ โ ๐ฟ โง ๐ โ ๐))) โ ๐ โ No
) |
27 | 22, 26 | mulscld 27504 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
โข ((๐ โง ((๐ โ ( L โ๐ด) โง ๐ โ ( L โ๐ต)) โง (๐ โ ๐ฟ โง ๐ โ ๐))) โ (๐ด ยทs ๐) โ No
) |
28 | 21, 27 | addscld 27380 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
โข ((๐ โง ((๐ โ ( L โ๐ด) โง ๐ โ ( L โ๐ต)) โง (๐ โ ๐ฟ โง ๐ โ ๐))) โ ((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐)) โ No
) |
29 | 19, 26 | mulscld 27504 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
โข ((๐ โง ((๐ โ ( L โ๐ด) โง ๐ โ ( L โ๐ต)) โง (๐ โ ๐ฟ โง ๐ โ ๐))) โ (๐ ยทs ๐) โ No
) |
30 | 28, 29 | subscld 27449 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
โข ((๐ โง ((๐ โ ( L โ๐ด) โง ๐ โ ( L โ๐ต)) โง (๐ โ ๐ฟ โง ๐ โ ๐))) โ (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐)) -s (๐ ยทs ๐)) โ No
) |
31 | 30 | adantrrr 723 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
โข ((๐ โง ((๐ โ ( L โ๐ด) โง ๐ โ ( L โ๐ต)) โง ((๐ โ ๐ฟ โง ๐ โ ๐) โง (๐ โคs ๐ โง ๐ โคs ๐)))) โ (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐)) -s (๐ ยทs ๐)) โ No
) |
32 | | ssltss1 27216 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
โข (๐ฟ <<s ๐
โ ๐ฟ โ No
) |
33 | 2, 32 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
โข (๐ โ ๐ฟ โ No
) |
34 | 33 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
โข ((๐ โง (๐ โ ๐ฟ โง ๐ โ ๐)) โ ๐ฟ โ No
) |
35 | | simprl 769 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
โข ((๐ โง (๐ โ ๐ฟ โง ๐ โ ๐)) โ ๐ โ ๐ฟ) |
36 | 34, 35 | sseldd 3979 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
โข ((๐ โง (๐ โ ๐ฟ โง ๐ โ ๐)) โ ๐ โ No
) |
37 | 36 | adantrl 714 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
โข ((๐ โง ((๐ โ ( L โ๐ด) โง ๐ โ ( L โ๐ต)) โง (๐ โ ๐ฟ โง ๐ โ ๐))) โ ๐ โ No
) |
38 | 37, 20 | mulscld 27504 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
โข ((๐ โง ((๐ โ ( L โ๐ด) โง ๐ โ ( L โ๐ต)) โง (๐ โ ๐ฟ โง ๐ โ ๐))) โ (๐ ยทs ๐ต) โ No
) |
39 | 38, 27 | addscld 27380 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
โข ((๐ โง ((๐ โ ( L โ๐ด) โง ๐ โ ( L โ๐ต)) โง (๐ โ ๐ฟ โง ๐ โ ๐))) โ ((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐)) โ No
) |
40 | 37, 26 | mulscld 27504 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
โข ((๐ โง ((๐ โ ( L โ๐ด) โง ๐ โ ( L โ๐ต)) โง (๐ โ ๐ฟ โง ๐ โ ๐))) โ (๐ ยทs ๐) โ No
) |
41 | 39, 40 | subscld 27449 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
โข ((๐ โง ((๐ โ ( L โ๐ด) โง ๐ โ ( L โ๐ต)) โง (๐ โ ๐ฟ โง ๐ โ ๐))) โ (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐)) -s (๐ ยทs ๐)) โ No
) |
42 | 41 | adantrrr 723 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
โข ((๐ โง ((๐ โ ( L โ๐ด) โง ๐ โ ( L โ๐ต)) โง ((๐ โ ๐ฟ โง ๐ โ ๐) โง (๐ โคs ๐ โง ๐ โคs ๐)))) โ (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐)) -s (๐ ยทs ๐)) โ No
) |
43 | | ssltss1 27216 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
โข (๐ <<s ๐ โ ๐ โ No
) |
44 | 6, 43 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
โข (๐ โ ๐ โ No
) |
45 | 44 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
โข ((๐ โง (๐ โ ๐ฟ โง ๐ โ ๐)) โ ๐ โ No
) |
46 | | simprr 771 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
โข ((๐ โง (๐ โ ๐ฟ โง ๐ โ ๐)) โ ๐ โ ๐) |
47 | 45, 46 | sseldd 3979 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
โข ((๐ โง (๐ โ ๐ฟ โง ๐ โ ๐)) โ ๐ โ No
) |
48 | 47 | adantrl 714 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
โข ((๐ โง ((๐ โ ( L โ๐ด) โง ๐ โ ( L โ๐ต)) โง (๐ โ ๐ฟ โง ๐ โ ๐))) โ ๐ โ No
) |
49 | 22, 48 | mulscld 27504 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
โข ((๐ โง ((๐ โ ( L โ๐ด) โง ๐ โ ( L โ๐ต)) โง (๐ โ ๐ฟ โง ๐ โ ๐))) โ (๐ด ยทs ๐) โ No
) |
50 | 38, 49 | addscld 27380 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
โข ((๐ โง ((๐ โ ( L โ๐ด) โง ๐ โ ( L โ๐ต)) โง (๐ โ ๐ฟ โง ๐ โ ๐))) โ ((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐)) โ No
) |
51 | 37, 48 | mulscld 27504 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
โข ((๐ โง ((๐ โ ( L โ๐ด) โง ๐ โ ( L โ๐ต)) โง (๐ โ ๐ฟ โง ๐ โ ๐))) โ (๐ ยทs ๐) โ No
) |
52 | 50, 51 | subscld 27449 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
โข ((๐ โง ((๐ โ ( L โ๐ด) โง ๐ โ ( L โ๐ต)) โง (๐ โ ๐ฟ โง ๐ โ ๐))) โ (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐)) -s (๐ ยทs ๐)) โ No
) |
53 | 52 | adantrrr 723 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
โข ((๐ โง ((๐ โ ( L โ๐ด) โง ๐ โ ( L โ๐ต)) โง ((๐ โ ๐ฟ โง ๐ โ ๐) โง (๐ โคs ๐ โง ๐ โคs ๐)))) โ (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐)) -s (๐ ยทs ๐)) โ No
) |
54 | 18 | adantrr 715 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
โข ((๐ โง ((๐ โ ( L โ๐ด) โง ๐ โ ( L โ๐ต)) โง ((๐ โ ๐ฟ โง ๐ โ ๐) โง (๐ โคs ๐ โง ๐ โคs ๐)))) โ ๐ โ No
) |
55 | 37 | adantrrr 723 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
โข ((๐ โง ((๐ โ ( L โ๐ด) โง ๐ โ ( L โ๐ต)) โง ((๐ โ ๐ฟ โง ๐ โ ๐) โง (๐ โคs ๐ โง ๐ โคs ๐)))) โ ๐ โ No
) |
56 | 25 | adantrr 715 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
โข ((๐ โง ((๐ โ ( L โ๐ด) โง ๐ โ ( L โ๐ต)) โง ((๐ โ ๐ฟ โง ๐ โ ๐) โง (๐ โคs ๐ โง ๐ โคs ๐)))) โ ๐ โ No
) |
57 | 8 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
โข ((๐ โง ((๐ โ ( L โ๐ด) โง ๐ โ ( L โ๐ต)) โง ((๐ โ ๐ฟ โง ๐ โ ๐) โง (๐ โคs ๐ โง ๐ โคs ๐)))) โ ๐ต โ No
) |
58 | | simprrl 779 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
โข (((๐ โ ( L โ๐ด) โง ๐ โ ( L โ๐ต)) โง ((๐ โ ๐ฟ โง ๐ โ ๐) โง (๐ โคs ๐ โง ๐ โคs ๐))) โ ๐ โคs ๐) |
59 | 58 | adantl 482 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
โข ((๐ โง ((๐ โ ( L โ๐ด) โง ๐ โ ( L โ๐ต)) โง ((๐ โ ๐ฟ โง ๐ โ ๐) โง (๐ โคs ๐ โง ๐ โคs ๐)))) โ ๐ โคs ๐) |
60 | 8 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
โข ((๐ โง (๐ โ ( L โ๐ด) โง ๐ โ ( L โ๐ต))) โ ๐ต โ No
) |
61 | | ssltleft 27288 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
โข (๐ต โ
No โ ( L โ๐ต) <<s {๐ต}) |
62 | 8, 61 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
โข (๐ โ ( L โ๐ต) <<s {๐ต}) |
63 | 62 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
โข ((๐ โง (๐ โ ( L โ๐ด) โง ๐ โ ( L โ๐ต))) โ ( L โ๐ต) <<s {๐ต}) |
64 | | snidg 4656 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
โข (๐ต โ
No โ ๐ต โ
{๐ต}) |
65 | 8, 64 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
โข (๐ โ ๐ต โ {๐ต}) |
66 | 65 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
โข ((๐ โง (๐ โ ( L โ๐ด) โง ๐ โ ( L โ๐ต))) โ ๐ต โ {๐ต}) |
67 | 63, 24, 66 | ssltsepcd 27221 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
โข ((๐ โง (๐ โ ( L โ๐ด) โง ๐ โ ( L โ๐ต))) โ ๐ <s ๐ต) |
68 | 25, 60, 67 | sltled 27199 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
โข ((๐ โง (๐ โ ( L โ๐ด) โง ๐ โ ( L โ๐ต))) โ ๐ โคs ๐ต) |
69 | 68 | adantrr 715 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
โข ((๐ โง ((๐ โ ( L โ๐ด) โง ๐ โ ( L โ๐ต)) โง ((๐ โ ๐ฟ โง ๐ โ ๐) โง (๐ โคs ๐ โง ๐ โคs ๐)))) โ ๐ โคs ๐ต) |
70 | 54, 55, 56, 57, 59, 69 | slemuld 27507 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
โข ((๐ โง ((๐ โ ( L โ๐ด) โง ๐ โ ( L โ๐ต)) โง ((๐ โ ๐ฟ โง ๐ โ ๐) โง (๐ โคs ๐ โง ๐ โคs ๐)))) โ ((๐ ยทs ๐ต) -s (๐ ยทs ๐)) โคs ((๐ ยทs ๐ต) -s (๐ ยทs ๐))) |
71 | 21, 29 | subscld 27449 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
โข ((๐ โง ((๐ โ ( L โ๐ด) โง ๐ โ ( L โ๐ต)) โง (๐ โ ๐ฟ โง ๐ โ ๐))) โ ((๐ ยทs ๐ต) -s (๐ ยทs ๐)) โ No
) |
72 | 38, 40 | subscld 27449 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
โข ((๐ โง ((๐ โ ( L โ๐ด) โง ๐ โ ( L โ๐ต)) โง (๐ โ ๐ฟ โง ๐ โ ๐))) โ ((๐ ยทs ๐ต) -s (๐ ยทs ๐)) โ No
) |
73 | 71, 72, 27 | sleadd1d 27394 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
โข ((๐ โง ((๐ โ ( L โ๐ด) โง ๐ โ ( L โ๐ต)) โง (๐ โ ๐ฟ โง ๐ โ ๐))) โ (((๐ ยทs ๐ต) -s (๐ ยทs ๐)) โคs ((๐ ยทs ๐ต) -s (๐ ยทs ๐)) โ (((๐ ยทs ๐ต) -s (๐ ยทs ๐)) +s (๐ด ยทs ๐)) โคs (((๐ ยทs ๐ต) -s (๐ ยทs ๐)) +s (๐ด ยทs ๐)))) |
74 | 73 | adantrrr 723 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
โข ((๐ โง ((๐ โ ( L โ๐ด) โง ๐ โ ( L โ๐ต)) โง ((๐ โ ๐ฟ โง ๐ โ ๐) โง (๐ โคs ๐ โง ๐ โคs ๐)))) โ (((๐ ยทs ๐ต) -s (๐ ยทs ๐)) โคs ((๐ ยทs ๐ต) -s (๐ ยทs ๐)) โ (((๐ ยทs ๐ต) -s (๐ ยทs ๐)) +s (๐ด ยทs ๐)) โคs (((๐ ยทs ๐ต) -s (๐ ยทs ๐)) +s (๐ด ยทs ๐)))) |
75 | 70, 74 | mpbid 231 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
โข ((๐ โง ((๐ โ ( L โ๐ด) โง ๐ โ ( L โ๐ต)) โง ((๐ โ ๐ฟ โง ๐ โ ๐) โง (๐ โคs ๐ โง ๐ โคs ๐)))) โ (((๐ ยทs ๐ต) -s (๐ ยทs ๐)) +s (๐ด ยทs ๐)) โคs (((๐ ยทs ๐ต) -s (๐ ยทs ๐)) +s (๐ด ยทs ๐))) |
76 | 21, 27, 29 | addsubsd 27463 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
โข ((๐ โง ((๐ โ ( L โ๐ด) โง ๐ โ ( L โ๐ต)) โง (๐ โ ๐ฟ โง ๐ โ ๐))) โ (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐)) -s (๐ ยทs ๐)) = (((๐ ยทs ๐ต) -s (๐ ยทs ๐)) +s (๐ด ยทs ๐))) |
77 | 76 | adantrrr 723 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
โข ((๐ โง ((๐ โ ( L โ๐ด) โง ๐ โ ( L โ๐ต)) โง ((๐ โ ๐ฟ โง ๐ โ ๐) โง (๐ โคs ๐ โง ๐ โคs ๐)))) โ (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐)) -s (๐ ยทs ๐)) = (((๐ ยทs ๐ต) -s (๐ ยทs ๐)) +s (๐ด ยทs ๐))) |
78 | 38, 27, 40 | addsubsd 27463 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
โข ((๐ โง ((๐ โ ( L โ๐ด) โง ๐ โ ( L โ๐ต)) โง (๐ โ ๐ฟ โง ๐ โ ๐))) โ (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐)) -s (๐ ยทs ๐)) = (((๐ ยทs ๐ต) -s (๐ ยทs ๐)) +s (๐ด ยทs ๐))) |
79 | 78 | adantrrr 723 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
โข ((๐ โง ((๐ โ ( L โ๐ด) โง ๐ โ ( L โ๐ต)) โง ((๐ โ ๐ฟ โง ๐ โ ๐) โง (๐ โคs ๐ โง ๐ โคs ๐)))) โ (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐)) -s (๐ ยทs ๐)) = (((๐ ยทs ๐ต) -s (๐ ยทs ๐)) +s (๐ด ยทs ๐))) |
80 | 75, 77, 79 | 3brtr4d 5173 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
โข ((๐ โง ((๐ โ ( L โ๐ด) โง ๐ โ ( L โ๐ต)) โง ((๐ โ ๐ฟ โง ๐ โ ๐) โง (๐ โคs ๐ โง ๐ โคs ๐)))) โ (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐)) -s (๐ ยทs ๐)) โคs (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐)) -s (๐ ยทs ๐))) |
81 | 4 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
โข ((๐ โง ((๐ โ ( L โ๐ด) โง ๐ โ ( L โ๐ต)) โง ((๐ โ ๐ฟ โง ๐ โ ๐) โง (๐ โคs ๐ โง ๐ โคs ๐)))) โ ๐ด โ No
) |
82 | 48 | adantrrr 723 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
โข ((๐ โง ((๐ โ ( L โ๐ด) โง ๐ โ ( L โ๐ต)) โง ((๐ โ ๐ฟ โง ๐ โ ๐) โง (๐ โคs ๐ โง ๐ โคs ๐)))) โ ๐ โ No
) |
83 | 4 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
โข ((๐ โง (๐ โ ๐ฟ โง ๐ โ ๐)) โ ๐ด โ No
) |
84 | | scutcut 27228 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
โข (๐ฟ <<s ๐
โ ((๐ฟ |s ๐
) โ No
โง ๐ฟ <<s {(๐ฟ |s ๐
)} โง {(๐ฟ |s ๐
)} <<s ๐
)) |
85 | 2, 84 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
โข (๐ โ ((๐ฟ |s ๐
) โ No
โง ๐ฟ <<s {(๐ฟ |s ๐
)} โง {(๐ฟ |s ๐
)} <<s ๐
)) |
86 | 85 | simp2d 1143 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
โข (๐ โ ๐ฟ <<s {(๐ฟ |s ๐
)}) |
87 | 86 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
โข ((๐ โง (๐ โ ๐ฟ โง ๐ โ ๐)) โ ๐ฟ <<s {(๐ฟ |s ๐
)}) |
88 | | ovex 7426 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
โข (๐ฟ |s ๐
) โ V |
89 | 88 | snid 4658 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
โข (๐ฟ |s ๐
) โ {(๐ฟ |s ๐
)} |
90 | 1, 89 | eqeltrdi 2840 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
โข (๐ โ ๐ด โ {(๐ฟ |s ๐
)}) |
91 | 90 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
โข ((๐ โง (๐ โ ๐ฟ โง ๐ โ ๐)) โ ๐ด โ {(๐ฟ |s ๐
)}) |
92 | 87, 35, 91 | ssltsepcd 27221 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
โข ((๐ โง (๐ โ ๐ฟ โง ๐ โ ๐)) โ ๐ <s ๐ด) |
93 | 36, 83, 92 | sltled 27199 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
โข ((๐ โง (๐ โ ๐ฟ โง ๐ โ ๐)) โ ๐ โคs ๐ด) |
94 | 93 | adantrl 714 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
โข ((๐ โง ((๐ โ ( L โ๐ด) โง ๐ โ ( L โ๐ต)) โง (๐ โ ๐ฟ โง ๐ โ ๐))) โ ๐ โคs ๐ด) |
95 | 94 | adantrrr 723 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
โข ((๐ โง ((๐ โ ( L โ๐ด) โง ๐ โ ( L โ๐ต)) โง ((๐ โ ๐ฟ โง ๐ โ ๐) โง (๐ โคs ๐ โง ๐ โคs ๐)))) โ ๐ โคs ๐ด) |
96 | | simprrr 780 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
โข (((๐ โ ( L โ๐ด) โง ๐ โ ( L โ๐ต)) โง ((๐ โ ๐ฟ โง ๐ โ ๐) โง (๐ โคs ๐ โง ๐ โคs ๐))) โ ๐ โคs ๐) |
97 | 96 | adantl 482 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
โข ((๐ โง ((๐ โ ( L โ๐ด) โง ๐ โ ( L โ๐ต)) โง ((๐ โ ๐ฟ โง ๐ โ ๐) โง (๐ โคs ๐ โง ๐ โคs ๐)))) โ ๐ โคs ๐) |
98 | 55, 81, 56, 82, 95, 97 | slemuld 27507 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
โข ((๐ โง ((๐ โ ( L โ๐ด) โง ๐ โ ( L โ๐ต)) โง ((๐ โ ๐ฟ โง ๐ โ ๐) โง (๐ โคs ๐ โง ๐ โคs ๐)))) โ ((๐ ยทs ๐) -s (๐ ยทs ๐)) โคs ((๐ด ยทs ๐) -s (๐ด ยทs ๐))) |
99 | 51, 49, 40, 27 | slesubsub3bd 27469 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
โข ((๐ โง ((๐ โ ( L โ๐ด) โง ๐ โ ( L โ๐ต)) โง (๐ โ ๐ฟ โง ๐ โ ๐))) โ (((๐ ยทs ๐) -s (๐ ยทs ๐)) โคs ((๐ด ยทs ๐) -s (๐ด ยทs ๐)) โ ((๐ด ยทs ๐) -s (๐ ยทs ๐)) โคs ((๐ด ยทs ๐) -s (๐ ยทs ๐)))) |
100 | 27, 40 | subscld 27449 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
โข ((๐ โง ((๐ โ ( L โ๐ด) โง ๐ โ ( L โ๐ต)) โง (๐ โ ๐ฟ โง ๐ โ ๐))) โ ((๐ด ยทs ๐) -s (๐ ยทs ๐)) โ No
) |
101 | 49, 51 | subscld 27449 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
โข ((๐ โง ((๐ โ ( L โ๐ด) โง ๐ โ ( L โ๐ต)) โง (๐ โ ๐ฟ โง ๐ โ ๐))) โ ((๐ด ยทs ๐) -s (๐ ยทs ๐)) โ No
) |
102 | 100, 101,
38 | sleadd2d 27395 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
โข ((๐ โง ((๐ โ ( L โ๐ด) โง ๐ โ ( L โ๐ต)) โง (๐ โ ๐ฟ โง ๐ โ ๐))) โ (((๐ด ยทs ๐) -s (๐ ยทs ๐)) โคs ((๐ด ยทs ๐) -s (๐ ยทs ๐)) โ ((๐ ยทs ๐ต) +s ((๐ด ยทs ๐) -s (๐ ยทs ๐))) โคs ((๐ ยทs ๐ต) +s ((๐ด ยทs ๐) -s (๐ ยทs ๐))))) |
103 | 99, 102 | bitrd 278 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
โข ((๐ โง ((๐ โ ( L โ๐ด) โง ๐ โ ( L โ๐ต)) โง (๐ โ ๐ฟ โง ๐ โ ๐))) โ (((๐ ยทs ๐) -s (๐ ยทs ๐)) โคs ((๐ด ยทs ๐) -s (๐ด ยทs ๐)) โ ((๐ ยทs ๐ต) +s ((๐ด ยทs ๐) -s (๐ ยทs ๐))) โคs ((๐ ยทs ๐ต) +s ((๐ด ยทs ๐) -s (๐ ยทs ๐))))) |
104 | 103 | adantrrr 723 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
โข ((๐ โง ((๐ โ ( L โ๐ด) โง ๐ โ ( L โ๐ต)) โง ((๐ โ ๐ฟ โง ๐ โ ๐) โง (๐ โคs ๐ โง ๐ โคs ๐)))) โ (((๐ ยทs ๐) -s (๐ ยทs ๐)) โคs ((๐ด ยทs ๐) -s (๐ด ยทs ๐)) โ ((๐ ยทs ๐ต) +s ((๐ด ยทs ๐) -s (๐ ยทs ๐))) โคs ((๐ ยทs ๐ต) +s ((๐ด ยทs ๐) -s (๐ ยทs ๐))))) |
105 | 98, 104 | mpbid 231 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
โข ((๐ โง ((๐ โ ( L โ๐ด) โง ๐ โ ( L โ๐ต)) โง ((๐ โ ๐ฟ โง ๐ โ ๐) โง (๐ โคs ๐ โง ๐ โคs ๐)))) โ ((๐ ยทs ๐ต) +s ((๐ด ยทs ๐) -s (๐ ยทs ๐))) โคs ((๐ ยทs ๐ต) +s ((๐ด ยทs ๐) -s (๐ ยทs ๐)))) |
106 | 38, 27, 40 | addsubsassd 27462 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
โข ((๐ โง ((๐ โ ( L โ๐ด) โง ๐ โ ( L โ๐ต)) โง (๐ โ ๐ฟ โง ๐ โ ๐))) โ (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐)) -s (๐ ยทs ๐)) = ((๐ ยทs ๐ต) +s ((๐ด ยทs ๐) -s (๐ ยทs ๐)))) |
107 | 106 | adantrrr 723 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
โข ((๐ โง ((๐ โ ( L โ๐ด) โง ๐ โ ( L โ๐ต)) โง ((๐ โ ๐ฟ โง ๐ โ ๐) โง (๐ โคs ๐ โง ๐ โคs ๐)))) โ (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐)) -s (๐ ยทs ๐)) = ((๐ ยทs ๐ต) +s ((๐ด ยทs ๐) -s (๐ ยทs ๐)))) |
108 | 38, 49, 51 | addsubsassd 27462 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
โข ((๐ โง ((๐ โ ( L โ๐ด) โง ๐ โ ( L โ๐ต)) โง (๐ โ ๐ฟ โง ๐ โ ๐))) โ (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐)) -s (๐ ยทs ๐)) = ((๐ ยทs ๐ต) +s ((๐ด ยทs ๐) -s (๐ ยทs ๐)))) |
109 | 108 | adantrrr 723 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
โข ((๐ โง ((๐ โ ( L โ๐ด) โง ๐ โ ( L โ๐ต)) โง ((๐ โ ๐ฟ โง ๐ โ ๐) โง (๐ โคs ๐ โง ๐ โคs ๐)))) โ (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐)) -s (๐ ยทs ๐)) = ((๐ ยทs ๐ต) +s ((๐ด ยทs ๐) -s (๐ ยทs ๐)))) |
110 | 105, 107,
109 | 3brtr4d 5173 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
โข ((๐ โง ((๐ โ ( L โ๐ด) โง ๐ โ ( L โ๐ต)) โง ((๐ โ ๐ฟ โง ๐ โ ๐) โง (๐ โคs ๐ โง ๐ โคs ๐)))) โ (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐)) -s (๐ ยทs ๐)) โคs (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐)) -s (๐ ยทs ๐))) |
111 | 31, 42, 53, 80, 110 | sletrd 27192 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
โข ((๐ โง ((๐ โ ( L โ๐ด) โง ๐ โ ( L โ๐ต)) โง ((๐ โ ๐ฟ โง ๐ โ ๐) โง (๐ โคs ๐ โง ๐ โคs ๐)))) โ (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐)) -s (๐ ยทs ๐)) โคs (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐)) -s (๐ ยทs ๐))) |
112 | 111 | anassrs 468 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
โข (((๐ โง (๐ โ ( L โ๐ด) โง ๐ โ ( L โ๐ต))) โง ((๐ โ ๐ฟ โง ๐ โ ๐) โง (๐ โคs ๐ โง ๐ โคs ๐))) โ (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐)) -s (๐ ยทs ๐)) โคs (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐)) -s (๐ ยทs ๐))) |
113 | 112 | expr 457 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
โข (((๐ โง (๐ โ ( L โ๐ด) โง ๐ โ ( L โ๐ต))) โง (๐ โ ๐ฟ โง ๐ โ ๐)) โ ((๐ โคs ๐ โง ๐ โคs ๐) โ (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐)) -s (๐ ยทs ๐)) โคs (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐)) -s (๐ ยทs ๐)))) |
114 | 113 | reximdvva 3204 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
โข ((๐ โง (๐ โ ( L โ๐ด) โง ๐ โ ( L โ๐ต))) โ (โ๐ โ ๐ฟ โ๐ โ ๐ (๐ โคs ๐ โง ๐ โคs ๐) โ โ๐ โ ๐ฟ โ๐ โ ๐ (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐)) -s (๐ ยทs ๐)) โคs (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐)) -s (๐ ยทs ๐)))) |
115 | 114 | expcom 414 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
โข ((๐ โ ( L โ๐ด) โง ๐ โ ( L โ๐ต)) โ (๐ โ (โ๐ โ ๐ฟ โ๐ โ ๐ (๐ โคs ๐ โง ๐ โคs ๐) โ โ๐ โ ๐ฟ โ๐ โ ๐ (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐)) -s (๐ ยทs ๐)) โคs (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐)) -s (๐ ยทs ๐))))) |
116 | 115 | com23 86 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
โข ((๐ โ ( L โ๐ด) โง ๐ โ ( L โ๐ต)) โ (โ๐ โ ๐ฟ โ๐ โ ๐ (๐ โคs ๐ โง ๐ โคs ๐) โ (๐ โ โ๐ โ ๐ฟ โ๐ โ ๐ (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐)) -s (๐ ยทs ๐)) โคs (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐)) -s (๐ ยทs ๐))))) |
117 | 116 | imp 407 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
โข (((๐ โ ( L โ๐ด) โง ๐ โ ( L โ๐ต)) โง โ๐ โ ๐ฟ โ๐ โ ๐ (๐ โคs ๐ โง ๐ โคs ๐)) โ (๐ โ โ๐ โ ๐ฟ โ๐ โ ๐ (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐)) -s (๐ ยทs ๐)) โคs (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐)) -s (๐ ยทs ๐)))) |
118 | 15, 117 | sylan2br 595 |
. . . . . . . . . . . . . 14
โข (((๐ โ ( L โ๐ด) โง ๐ โ ( L โ๐ต)) โง (โ๐ โ ๐ฟ ๐ โคs ๐ โง โ๐ โ ๐ ๐ โคs ๐)) โ (๐ โ โ๐ โ ๐ฟ โ๐ โ ๐ (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐)) -s (๐ ยทs ๐)) โคs (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐)) -s (๐ ยทs ๐)))) |
119 | 118 | an4s 658 |
. . . . . . . . . . . . 13
โข (((๐ โ ( L โ๐ด) โง โ๐ โ ๐ฟ ๐ โคs ๐) โง (๐ โ ( L โ๐ต) โง โ๐ โ ๐ ๐ โคs ๐)) โ (๐ โ โ๐ โ ๐ฟ โ๐ โ ๐ (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐)) -s (๐ ยทs ๐)) โคs (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐)) -s (๐ ยทs ๐)))) |
120 | 119 | impcom 408 |
. . . . . . . . . . . 12
โข ((๐ โง ((๐ โ ( L โ๐ด) โง โ๐ โ ๐ฟ ๐ โคs ๐) โง (๐ โ ( L โ๐ต) โง โ๐ โ ๐ ๐ โคs ๐))) โ โ๐ โ ๐ฟ โ๐ โ ๐ (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐)) -s (๐ ยทs ๐)) โคs (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐)) -s (๐ ยทs ๐))) |
121 | 120 | anassrs 468 |
. . . . . . . . . . 11
โข (((๐ โง (๐ โ ( L โ๐ด) โง โ๐ โ ๐ฟ ๐ โคs ๐)) โง (๐ โ ( L โ๐ต) โง โ๐ โ ๐ ๐ โคs ๐)) โ โ๐ โ ๐ฟ โ๐ โ ๐ (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐)) -s (๐ ยทs ๐)) โคs (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐)) -s (๐ ยทs ๐))) |
122 | 121 | expr 457 |
. . . . . . . . . 10
โข (((๐ โง (๐ โ ( L โ๐ด) โง โ๐ โ ๐ฟ ๐ โคs ๐)) โง ๐ โ ( L โ๐ต)) โ (โ๐ โ ๐ ๐ โคs ๐ โ โ๐ โ ๐ฟ โ๐ โ ๐ (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐)) -s (๐ ยทs ๐)) โคs (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐)) -s (๐ ยทs ๐)))) |
123 | 122 | ralimdva 3166 |
. . . . . . . . 9
โข ((๐ โง (๐ โ ( L โ๐ด) โง โ๐ โ ๐ฟ ๐ โคs ๐)) โ (โ๐ โ ( L โ๐ต)โ๐ โ ๐ ๐ โคs ๐ โ โ๐ โ ( L โ๐ต)โ๐ โ ๐ฟ โ๐ โ ๐ (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐)) -s (๐ ยทs ๐)) โคs (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐)) -s (๐ ยทs ๐)))) |
124 | 14, 123 | mpd 15 |
. . . . . . . 8
โข ((๐ โง (๐ โ ( L โ๐ด) โง โ๐ โ ๐ฟ ๐ โคs ๐)) โ โ๐ โ ( L โ๐ต)โ๐ โ ๐ฟ โ๐ โ ๐ (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐)) -s (๐ ยทs ๐)) โคs (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐)) -s (๐ ยทs ๐))) |
125 | 124 | expr 457 |
. . . . . . 7
โข ((๐ โง ๐ โ ( L โ๐ด)) โ (โ๐ โ ๐ฟ ๐ โคs ๐ โ โ๐ โ ( L โ๐ต)โ๐ โ ๐ฟ โ๐ โ ๐ (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐)) -s (๐ ยทs ๐)) โคs (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐)) -s (๐ ยทs ๐)))) |
126 | 125 | ralimdva 3166 |
. . . . . 6
โข (๐ โ (โ๐ โ ( L โ๐ด)โ๐ โ ๐ฟ ๐ โคs ๐ โ โ๐ โ ( L โ๐ด)โ๐ โ ( L โ๐ต)โ๐ โ ๐ฟ โ๐ โ ๐ (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐)) -s (๐ ยทs ๐)) โคs (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐)) -s (๐ ยทs ๐)))) |
127 | 12, 126 | mpd 15 |
. . . . 5
โข (๐ โ โ๐ โ ( L โ๐ด)โ๐ โ ( L โ๐ต)โ๐ โ ๐ฟ โ๐ โ ๐ (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐)) -s (๐ ยทs ๐)) โคs (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐)) -s (๐ ยทs ๐))) |
128 | | eqeq1 2735 |
. . . . . . . . . 10
โข (๐ = ๐ง โ (๐ = (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐)) -s (๐ ยทs ๐)) โ ๐ง = (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐)) -s (๐ ยทs ๐)))) |
129 | 128 | 2rexbidv 3218 |
. . . . . . . . 9
โข (๐ = ๐ง โ (โ๐ โ ๐ฟ โ๐ โ ๐ ๐ = (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐)) -s (๐ ยทs ๐)) โ โ๐ โ ๐ฟ โ๐ โ ๐ ๐ง = (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐)) -s (๐ ยทs ๐)))) |
130 | 129 | rexab 3686 |
. . . . . . . 8
โข
(โ๐ง โ
{๐ โฃ โ๐ โ ๐ฟ โ๐ โ ๐ ๐ = (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐)) -s (๐ ยทs ๐))} (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐)) -s (๐ ยทs ๐)) โคs ๐ง โ โ๐ง(โ๐ โ ๐ฟ โ๐ โ ๐ ๐ง = (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐)) -s (๐ ยทs ๐)) โง (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐)) -s (๐ ยทs ๐)) โคs ๐ง)) |
131 | | r19.41vv 3223 |
. . . . . . . . 9
โข
(โ๐ โ
๐ฟ โ๐ โ ๐ (๐ง = (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐)) -s (๐ ยทs ๐)) โง (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐)) -s (๐ ยทs ๐)) โคs ๐ง) โ (โ๐ โ ๐ฟ โ๐ โ ๐ ๐ง = (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐)) -s (๐ ยทs ๐)) โง (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐)) -s (๐ ยทs ๐)) โคs ๐ง)) |
132 | 131 | exbii 1850 |
. . . . . . . 8
โข
(โ๐งโ๐ โ ๐ฟ โ๐ โ ๐ (๐ง = (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐)) -s (๐ ยทs ๐)) โง (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐)) -s (๐ ยทs ๐)) โคs ๐ง) โ โ๐ง(โ๐ โ ๐ฟ โ๐ โ ๐ ๐ง = (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐)) -s (๐ ยทs ๐)) โง (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐)) -s (๐ ยทs ๐)) โคs ๐ง)) |
133 | | rexcom4 3284 |
. . . . . . . . 9
โข
(โ๐ โ
๐ฟ โ๐งโ๐ โ ๐ (๐ง = (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐)) -s (๐ ยทs ๐)) โง (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐)) -s (๐ ยทs ๐)) โคs ๐ง) โ โ๐งโ๐ โ ๐ฟ โ๐ โ ๐ (๐ง = (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐)) -s (๐ ยทs ๐)) โง (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐)) -s (๐ ยทs ๐)) โคs ๐ง)) |
134 | | rexcom4 3284 |
. . . . . . . . . . 11
โข
(โ๐ โ
๐ โ๐ง(๐ง = (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐)) -s (๐ ยทs ๐)) โง (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐)) -s (๐ ยทs ๐)) โคs ๐ง) โ โ๐งโ๐ โ ๐ (๐ง = (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐)) -s (๐ ยทs ๐)) โง (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐)) -s (๐ ยทs ๐)) โคs ๐ง)) |
135 | | ovex 7426 |
. . . . . . . . . . . . 13
โข (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐)) -s (๐ ยทs ๐)) โ V |
136 | | breq2 5145 |
. . . . . . . . . . . . 13
โข (๐ง = (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐)) -s (๐ ยทs ๐)) โ ((((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐)) -s (๐ ยทs ๐)) โคs ๐ง โ (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐)) -s (๐ ยทs ๐)) โคs (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐)) -s (๐ ยทs ๐)))) |
137 | 135, 136 | ceqsexv 3522 |
. . . . . . . . . . . 12
โข
(โ๐ง(๐ง = (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐)) -s (๐ ยทs ๐)) โง (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐)) -s (๐ ยทs ๐)) โคs ๐ง) โ (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐)) -s (๐ ยทs ๐)) โคs (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐)) -s (๐ ยทs ๐))) |
138 | 137 | rexbii 3093 |
. . . . . . . . . . 11
โข
(โ๐ โ
๐ โ๐ง(๐ง = (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐)) -s (๐ ยทs ๐)) โง (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐)) -s (๐ ยทs ๐)) โคs ๐ง) โ โ๐ โ ๐ (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐)) -s (๐ ยทs ๐)) โคs (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐)) -s (๐ ยทs ๐))) |
139 | 134, 138 | bitr3i 276 |
. . . . . . . . . 10
โข
(โ๐งโ๐ โ ๐ (๐ง = (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐)) -s (๐ ยทs ๐)) โง (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐)) -s (๐ ยทs ๐)) โคs ๐ง) โ โ๐ โ ๐ (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐)) -s (๐ ยทs ๐)) โคs (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐)) -s (๐ ยทs ๐))) |
140 | 139 | rexbii 3093 |
. . . . . . . . 9
โข
(โ๐ โ
๐ฟ โ๐งโ๐ โ ๐ (๐ง = (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐)) -s (๐ ยทs ๐)) โง (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐)) -s (๐ ยทs ๐)) โคs ๐ง) โ โ๐ โ ๐ฟ โ๐ โ ๐ (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐)) -s (๐ ยทs ๐)) โคs (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐)) -s (๐ ยทs ๐))) |
141 | 133, 140 | bitr3i 276 |
. . . . . . . 8
โข
(โ๐งโ๐ โ ๐ฟ โ๐ โ ๐ (๐ง = (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐)) -s (๐ ยทs ๐)) โง (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐)) -s (๐ ยทs ๐)) โคs ๐ง) โ โ๐ โ ๐ฟ โ๐ โ ๐ (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐)) -s (๐ ยทs ๐)) โคs (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐)) -s (๐ ยทs ๐))) |
142 | 130, 132,
141 | 3bitr2i 298 |
. . . . . . 7
โข
(โ๐ง โ
{๐ โฃ โ๐ โ ๐ฟ โ๐ โ ๐ ๐ = (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐)) -s (๐ ยทs ๐))} (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐)) -s (๐ ยทs ๐)) โคs ๐ง โ โ๐ โ ๐ฟ โ๐ โ ๐ (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐)) -s (๐ ยทs ๐)) โคs (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐)) -s (๐ ยทs ๐))) |
143 | | ssun1 4168 |
. . . . . . . 8
โข {๐ โฃ โ๐ โ ๐ฟ โ๐ โ ๐ ๐ = (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐)) -s (๐ ยทs ๐))} โ ({๐ โฃ โ๐ โ ๐ฟ โ๐ โ ๐ ๐ = (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐)) -s (๐ ยทs ๐))} โช {๐ โฃ โ๐ โ ๐
โ๐ โ ๐ ๐ = (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ )) -s (๐ ยทs ๐ ))}) |
144 | | ssrexv 4047 |
. . . . . . . 8
โข ({๐ โฃ โ๐ โ ๐ฟ โ๐ โ ๐ ๐ = (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐)) -s (๐ ยทs ๐))} โ ({๐ โฃ โ๐ โ ๐ฟ โ๐ โ ๐ ๐ = (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐)) -s (๐ ยทs ๐))} โช {๐ โฃ โ๐ โ ๐
โ๐ โ ๐ ๐ = (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ )) -s (๐ ยทs ๐ ))}) โ (โ๐ง โ {๐ โฃ โ๐ โ ๐ฟ โ๐ โ ๐ ๐ = (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐)) -s (๐ ยทs ๐))} (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐)) -s (๐ ยทs ๐)) โคs ๐ง โ โ๐ง โ ({๐ โฃ โ๐ โ ๐ฟ โ๐ โ ๐ ๐ = (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐)) -s (๐ ยทs ๐))} โช {๐ โฃ โ๐ โ ๐
โ๐ โ ๐ ๐ = (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ )) -s (๐ ยทs ๐ ))})(((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐)) -s (๐ ยทs ๐)) โคs ๐ง)) |
145 | 143, 144 | ax-mp 5 |
. . . . . . 7
โข
(โ๐ง โ
{๐ โฃ โ๐ โ ๐ฟ โ๐ โ ๐ ๐ = (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐)) -s (๐ ยทs ๐))} (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐)) -s (๐ ยทs ๐)) โคs ๐ง โ โ๐ง โ ({๐ โฃ โ๐ โ ๐ฟ โ๐ โ ๐ ๐ = (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐)) -s (๐ ยทs ๐))} โช {๐ โฃ โ๐ โ ๐
โ๐ โ ๐ ๐ = (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ )) -s (๐ ยทs ๐ ))})(((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐)) -s (๐ ยทs ๐)) โคs ๐ง) |
146 | 142, 145 | sylbir 234 |
. . . . . 6
โข
(โ๐ โ
๐ฟ โ๐ โ ๐ (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐)) -s (๐ ยทs ๐)) โคs (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐)) -s (๐ ยทs ๐)) โ โ๐ง โ ({๐ โฃ โ๐ โ ๐ฟ โ๐ โ ๐ ๐ = (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐)) -s (๐ ยทs ๐))} โช {๐ โฃ โ๐ โ ๐
โ๐ โ ๐ ๐ = (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ )) -s (๐ ยทs ๐ ))})(((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐)) -s (๐ ยทs ๐)) โคs ๐ง) |
147 | 146 | 2ralimi 3122 |
. . . . 5
โข
(โ๐ โ (
L โ๐ด)โ๐ โ ( L โ๐ต)โ๐ โ ๐ฟ โ๐ โ ๐ (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐)) -s (๐ ยทs ๐)) โคs (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐)) -s (๐ ยทs ๐)) โ โ๐ โ ( L โ๐ด)โ๐ โ ( L โ๐ต)โ๐ง โ ({๐ โฃ โ๐ โ ๐ฟ โ๐ โ ๐ ๐ = (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐)) -s (๐ ยทs ๐))} โช {๐ โฃ โ๐ โ ๐
โ๐ โ ๐ ๐ = (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ )) -s (๐ ยทs ๐ ))})(((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐)) -s (๐ ยทs ๐)) โคs ๐ง) |
148 | 127, 147 | syl 17 |
. . . 4
โข (๐ โ โ๐ โ ( L โ๐ด)โ๐ โ ( L โ๐ต)โ๐ง โ ({๐ โฃ โ๐ โ ๐ฟ โ๐ โ ๐ ๐ = (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐)) -s (๐ ยทs ๐))} โช {๐ โฃ โ๐ โ ๐
โ๐ โ ๐ ๐ = (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ )) -s (๐ ยทs ๐ ))})(((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐)) -s (๐ ยทs ๐)) โคs ๐ง) |
149 | 2, 1 | cofcutr2d 27333 |
. . . . . 6
โข (๐ โ โ๐ โ ( R โ๐ด)โ๐ โ ๐
๐ โคs ๐) |
150 | 6, 5 | cofcutr2d 27333 |
. . . . . . . . . 10
โข (๐ โ โ๐ โ ( R โ๐ต)โ๐ โ ๐ ๐ โคs ๐) |
151 | 150 | adantr 481 |
. . . . . . . . 9
โข ((๐ โง (๐ โ ( R โ๐ด) โง โ๐ โ ๐
๐ โคs ๐)) โ โ๐ โ ( R โ๐ต)โ๐ โ ๐ ๐ โคs ๐) |
152 | | reeanv 3225 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
โข
(โ๐ โ
๐
โ๐ โ ๐ (๐ โคs ๐ โง ๐ โคs ๐) โ (โ๐ โ ๐
๐ โคs ๐ โง โ๐ โ ๐ ๐ โคs ๐)) |
153 | | rightssno 27299 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
โข ( R
โ๐ด) โ No |
154 | | simprl 769 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
โข ((๐ โง (๐ โ ( R โ๐ด) โง ๐ โ ( R โ๐ต))) โ ๐ โ ( R โ๐ด)) |
155 | 153, 154 | sselid 3976 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
โข ((๐ โง (๐ โ ( R โ๐ด) โง ๐ โ ( R โ๐ต))) โ ๐ โ No
) |
156 | 155 | adantrr 715 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
โข ((๐ โง ((๐ โ ( R โ๐ด) โง ๐ โ ( R โ๐ต)) โง (๐ โ ๐
โง ๐ โ ๐))) โ ๐ โ No
) |
157 | 8 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
โข ((๐ โง ((๐ โ ( R โ๐ด) โง ๐ โ ( R โ๐ต)) โง (๐ โ ๐
โง ๐ โ ๐))) โ ๐ต โ No
) |
158 | 156, 157 | mulscld 27504 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
โข ((๐ โง ((๐ โ ( R โ๐ด) โง ๐ โ ( R โ๐ต)) โง (๐ โ ๐
โง ๐ โ ๐))) โ (๐ ยทs ๐ต) โ No
) |
159 | 4 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
โข ((๐ โง ((๐ โ ( R โ๐ด) โง ๐ โ ( R โ๐ต)) โง (๐ โ ๐
โง ๐ โ ๐))) โ ๐ด โ No
) |
160 | | rightssno 27299 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
โข ( R
โ๐ต) โ No |
161 | | simprr 771 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
โข ((๐ โง (๐ โ ( R โ๐ด) โง ๐ โ ( R โ๐ต))) โ ๐ โ ( R โ๐ต)) |
162 | 160, 161 | sselid 3976 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
โข ((๐ โง (๐ โ ( R โ๐ด) โง ๐ โ ( R โ๐ต))) โ ๐ โ No
) |
163 | 162 | adantrr 715 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
โข ((๐ โง ((๐ โ ( R โ๐ด) โง ๐ โ ( R โ๐ต)) โง (๐ โ ๐
โง ๐ โ ๐))) โ ๐ โ No
) |
164 | 159, 163 | mulscld 27504 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
โข ((๐ โง ((๐ โ ( R โ๐ด) โง ๐ โ ( R โ๐ต)) โง (๐ โ ๐
โง ๐ โ ๐))) โ (๐ด ยทs ๐) โ No
) |
165 | 158, 164 | addscld 27380 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
โข ((๐ โง ((๐ โ ( R โ๐ด) โง ๐ โ ( R โ๐ต)) โง (๐ โ ๐
โง ๐ โ ๐))) โ ((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐)) โ No
) |
166 | 156, 163 | mulscld 27504 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
โข ((๐ โง ((๐ โ ( R โ๐ด) โง ๐ โ ( R โ๐ต)) โง (๐ โ ๐
โง ๐ โ ๐))) โ (๐ ยทs ๐) โ No
) |
167 | 165, 166 | subscld 27449 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
โข ((๐ โง ((๐ โ ( R โ๐ด) โง ๐ โ ( R โ๐ต)) โง (๐ โ ๐
โง ๐ โ ๐))) โ (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐)) -s (๐ ยทs ๐)) โ No
) |
168 | 167 | adantrrr 723 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
โข ((๐ โง ((๐ โ ( R โ๐ด) โง ๐ โ ( R โ๐ต)) โง ((๐ โ ๐
โง ๐ โ ๐) โง (๐ โคs ๐ โง ๐ โคs ๐)))) โ (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐)) -s (๐ ยทs ๐)) โ No
) |
169 | | ssltss2 27217 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
โข (๐ฟ <<s ๐
โ ๐
โ No
) |
170 | 2, 169 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
โข (๐ โ ๐
โ No
) |
171 | 170 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
โข ((๐ โง (๐ โ ๐
โง ๐ โ ๐)) โ ๐
โ No
) |
172 | | simprl 769 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
โข ((๐ โง (๐ โ ๐
โง ๐ โ ๐)) โ ๐ โ ๐
) |
173 | 171, 172 | sseldd 3979 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
โข ((๐ โง (๐ โ ๐
โง ๐ โ ๐)) โ ๐ โ No
) |
174 | 173 | adantrl 714 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
โข ((๐ โง ((๐ โ ( R โ๐ด) โง ๐ โ ( R โ๐ต)) โง (๐ โ ๐
โง ๐ โ ๐))) โ ๐ โ No
) |
175 | 174, 157 | mulscld 27504 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
โข ((๐ โง ((๐ โ ( R โ๐ด) โง ๐ โ ( R โ๐ต)) โง (๐ โ ๐
โง ๐ โ ๐))) โ (๐ ยทs ๐ต) โ No
) |
176 | 175, 164 | addscld 27380 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
โข ((๐ โง ((๐ โ ( R โ๐ด) โง ๐ โ ( R โ๐ต)) โง (๐ โ ๐
โง ๐ โ ๐))) โ ((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐)) โ No
) |
177 | 174, 163 | mulscld 27504 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
โข ((๐ โง ((๐ โ ( R โ๐ด) โง ๐ โ ( R โ๐ต)) โง (๐ โ ๐
โง ๐ โ ๐))) โ (๐ ยทs ๐) โ No
) |
178 | 176, 177 | subscld 27449 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
โข ((๐ โง ((๐ โ ( R โ๐ด) โง ๐ โ ( R โ๐ต)) โง (๐ โ ๐
โง ๐ โ ๐))) โ (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐)) -s (๐ ยทs ๐)) โ No
) |
179 | 178 | adantrrr 723 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
โข ((๐ โง ((๐ โ ( R โ๐ด) โง ๐ โ ( R โ๐ต)) โง ((๐ โ ๐
โง ๐ โ ๐) โง (๐ โคs ๐ โง ๐ โคs ๐)))) โ (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐)) -s (๐ ยทs ๐)) โ No
) |
180 | | ssltss2 27217 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
โข (๐ <<s ๐ โ ๐ โ No
) |
181 | 6, 180 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
โข (๐ โ ๐ โ No
) |
182 | 181 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
โข ((๐ โง (๐ โ ๐
โง ๐ โ ๐)) โ ๐ โ No
) |
183 | | simprr 771 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
โข ((๐ โง (๐ โ ๐
โง ๐ โ ๐)) โ ๐ โ ๐) |
184 | 182, 183 | sseldd 3979 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
โข ((๐ โง (๐ โ ๐
โง ๐ โ ๐)) โ ๐ โ No
) |
185 | 184 | adantrl 714 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
โข ((๐ โง ((๐ โ ( R โ๐ด) โง ๐ โ ( R โ๐ต)) โง (๐ โ ๐
โง ๐ โ ๐))) โ ๐ โ No
) |
186 | 159, 185 | mulscld 27504 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
โข ((๐ โง ((๐ โ ( R โ๐ด) โง ๐ โ ( R โ๐ต)) โง (๐ โ ๐
โง ๐ โ ๐))) โ (๐ด ยทs ๐ ) โ No
) |
187 | 175, 186 | addscld 27380 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
โข ((๐ โง ((๐ โ ( R โ๐ด) โง ๐ โ ( R โ๐ต)) โง (๐ โ ๐
โง ๐ โ ๐))) โ ((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ )) โ No
) |
188 | 173, 184 | mulscld 27504 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
โข ((๐ โง (๐ โ ๐
โง ๐ โ ๐)) โ (๐ ยทs ๐ ) โ No
) |
189 | 188 | adantrl 714 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
โข ((๐ โง ((๐ โ ( R โ๐ด) โง ๐ โ ( R โ๐ต)) โง (๐ โ ๐
โง ๐ โ ๐))) โ (๐ ยทs ๐ ) โ No
) |
190 | 187, 189 | subscld 27449 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
โข ((๐ โง ((๐ โ ( R โ๐ด) โง ๐ โ ( R โ๐ต)) โง (๐ โ ๐
โง ๐ โ ๐))) โ (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ )) -s (๐ ยทs ๐ )) โ No
) |
191 | 190 | adantrrr 723 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
โข ((๐ โง ((๐ โ ( R โ๐ด) โง ๐ โ ( R โ๐ต)) โง ((๐ โ ๐
โง ๐ โ ๐) โง (๐ โคs ๐ โง ๐ โคs ๐)))) โ (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ )) -s (๐ ยทs ๐ )) โ No
) |
192 | 174 | adantrrr 723 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
โข ((๐ โง ((๐ โ ( R โ๐ด) โง ๐ โ ( R โ๐ต)) โง ((๐ โ ๐
โง ๐ โ ๐) โง (๐ โคs ๐ โง ๐ โคs ๐)))) โ ๐ โ No
) |
193 | 155 | adantrr 715 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
โข ((๐ โง ((๐ โ ( R โ๐ด) โง ๐ โ ( R โ๐ต)) โง ((๐ โ ๐
โง ๐ โ ๐) โง (๐ โคs ๐ โง ๐ โคs ๐)))) โ ๐ โ No
) |
194 | 8 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
โข ((๐ โง ((๐ โ ( R โ๐ด) โง ๐ โ ( R โ๐ต)) โง ((๐ โ ๐
โง ๐ โ ๐) โง (๐ โคs ๐ โง ๐ โคs ๐)))) โ ๐ต โ No
) |
195 | 162 | adantrr 715 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
โข ((๐ โง ((๐ โ ( R โ๐ด) โง ๐ โ ( R โ๐ต)) โง ((๐ โ ๐
โง ๐ โ ๐) โง (๐ โคs ๐ โง ๐ โคs ๐)))) โ ๐ โ No
) |
196 | | simprrl 779 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
โข (((๐ โ ( R โ๐ด) โง ๐ โ ( R โ๐ต)) โง ((๐ โ ๐
โง ๐ โ ๐) โง (๐ โคs ๐ โง ๐ โคs ๐))) โ ๐ โคs ๐) |
197 | 196 | adantl 482 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
โข ((๐ โง ((๐ โ ( R โ๐ด) โง ๐ โ ( R โ๐ต)) โง ((๐ โ ๐
โง ๐ โ ๐) โง (๐ โคs ๐ โง ๐ โคs ๐)))) โ ๐ โคs ๐) |
198 | 8 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
โข ((๐ โง (๐ โ ( R โ๐ด) โง ๐ โ ( R โ๐ต))) โ ๐ต โ No
) |
199 | | ssltright 27289 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
โข (๐ต โ
No โ {๐ต}
<<s ( R โ๐ต)) |
200 | 8, 199 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
โข (๐ โ {๐ต} <<s ( R โ๐ต)) |
201 | 200 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
โข ((๐ โง (๐ โ ( R โ๐ด) โง ๐ โ ( R โ๐ต))) โ {๐ต} <<s ( R โ๐ต)) |
202 | 65 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
โข ((๐ โง (๐ โ ( R โ๐ด) โง ๐ โ ( R โ๐ต))) โ ๐ต โ {๐ต}) |
203 | 201, 202,
161 | ssltsepcd 27221 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
โข ((๐ โง (๐ โ ( R โ๐ด) โง ๐ โ ( R โ๐ต))) โ ๐ต <s ๐) |
204 | 198, 162,
203 | sltled 27199 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
โข ((๐ โง (๐ โ ( R โ๐ด) โง ๐ โ ( R โ๐ต))) โ ๐ต โคs ๐) |
205 | 204 | adantrr 715 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
โข ((๐ โง ((๐ โ ( R โ๐ด) โง ๐ โ ( R โ๐ต)) โง ((๐ โ ๐
โง ๐ โ ๐) โง (๐ โคs ๐ โง ๐ โคs ๐)))) โ ๐ต โคs ๐) |
206 | 192, 193,
194, 195, 197, 205 | slemuld 27507 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
โข ((๐ โง ((๐ โ ( R โ๐ด) โง ๐ โ ( R โ๐ต)) โง ((๐ โ ๐
โง ๐ โ ๐) โง (๐ โคs ๐ โง ๐ โคs ๐)))) โ ((๐ ยทs ๐) -s (๐ ยทs ๐ต)) โคs ((๐ ยทs ๐) -s (๐ ยทs ๐ต))) |
207 | 177, 175,
166, 158 | slesubsub2bd 27468 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
โข ((๐ โง ((๐ โ ( R โ๐ด) โง ๐ โ ( R โ๐ต)) โง (๐ โ ๐
โง ๐ โ ๐))) โ (((๐ ยทs ๐) -s (๐ ยทs ๐ต)) โคs ((๐ ยทs ๐) -s (๐ ยทs ๐ต)) โ ((๐ ยทs ๐ต) -s (๐ ยทs ๐)) โคs ((๐ ยทs ๐ต) -s (๐ ยทs ๐)))) |
208 | 158, 166 | subscld 27449 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
โข ((๐ โง ((๐ โ ( R โ๐ด) โง ๐ โ ( R โ๐ต)) โง (๐ โ ๐
โง ๐ โ ๐))) โ ((๐ ยทs ๐ต) -s (๐ ยทs ๐)) โ No
) |
209 | 175, 177 | subscld 27449 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
โข ((๐ โง ((๐ โ ( R โ๐ด) โง ๐ โ ( R โ๐ต)) โง (๐ โ ๐
โง ๐ โ ๐))) โ ((๐ ยทs ๐ต) -s (๐ ยทs ๐)) โ No
) |
210 | 208, 209,
164 | sleadd1d 27394 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
โข ((๐ โง ((๐ โ ( R โ๐ด) โง ๐ โ ( R โ๐ต)) โง (๐ โ ๐
โง ๐ โ ๐))) โ (((๐ ยทs ๐ต) -s (๐ ยทs ๐)) โคs ((๐ ยทs ๐ต) -s (๐ ยทs ๐)) โ (((๐ ยทs ๐ต) -s (๐ ยทs ๐)) +s (๐ด ยทs ๐)) โคs (((๐ ยทs ๐ต) -s (๐ ยทs ๐)) +s (๐ด ยทs ๐)))) |
211 | 207, 210 | bitrd 278 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
โข ((๐ โง ((๐ โ ( R โ๐ด) โง ๐ โ ( R โ๐ต)) โง (๐ โ ๐
โง ๐ โ ๐))) โ (((๐ ยทs ๐) -s (๐ ยทs ๐ต)) โคs ((๐ ยทs ๐) -s (๐ ยทs ๐ต)) โ (((๐ ยทs ๐ต) -s (๐ ยทs ๐)) +s (๐ด ยทs ๐)) โคs (((๐ ยทs ๐ต) -s (๐ ยทs ๐)) +s (๐ด ยทs ๐)))) |
212 | 211 | adantrrr 723 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
โข ((๐ โง ((๐ โ ( R โ๐ด) โง ๐ โ ( R โ๐ต)) โง ((๐ โ ๐
โง ๐ โ ๐) โง (๐ โคs ๐ โง ๐ โคs ๐)))) โ (((๐ ยทs ๐) -s (๐ ยทs ๐ต)) โคs ((๐ ยทs ๐) -s (๐ ยทs ๐ต)) โ (((๐ ยทs ๐ต) -s (๐ ยทs ๐)) +s (๐ด ยทs ๐)) โคs (((๐ ยทs ๐ต) -s (๐ ยทs ๐)) +s (๐ด ยทs ๐)))) |
213 | 206, 212 | mpbid 231 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
โข ((๐ โง ((๐ โ ( R โ๐ด) โง ๐ โ ( R โ๐ต)) โง ((๐ โ ๐
โง ๐ โ ๐) โง (๐ โคs ๐ โง ๐ โคs ๐)))) โ (((๐ ยทs ๐ต) -s (๐ ยทs ๐)) +s (๐ด ยทs ๐)) โคs (((๐ ยทs ๐ต) -s (๐ ยทs ๐)) +s (๐ด ยทs ๐))) |
214 | 158, 164,
166 | addsubsd 27463 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
โข ((๐ โง ((๐ โ ( R โ๐ด) โง ๐ โ ( R โ๐ต)) โง (๐ โ ๐
โง ๐ โ ๐))) โ (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐)) -s (๐ ยทs ๐)) = (((๐ ยทs ๐ต) -s (๐ ยทs ๐)) +s (๐ด ยทs ๐))) |
215 | 214 | adantrrr 723 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
โข ((๐ โง ((๐ โ ( R โ๐ด) โง ๐ โ ( R โ๐ต)) โง ((๐ โ ๐
โง ๐ โ ๐) โง (๐ โคs ๐ โง ๐ โคs ๐)))) โ (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐)) -s (๐ ยทs ๐)) = (((๐ ยทs ๐ต) -s (๐ ยทs ๐)) +s (๐ด ยทs ๐))) |
216 | 175, 164,
177 | addsubsd 27463 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
โข ((๐ โง ((๐ โ ( R โ๐ด) โง ๐ โ ( R โ๐ต)) โง (๐ โ ๐
โง ๐ โ ๐))) โ (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐)) -s (๐ ยทs ๐)) = (((๐ ยทs ๐ต) -s (๐ ยทs ๐)) +s (๐ด ยทs ๐))) |
217 | 216 | adantrrr 723 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
โข ((๐ โง ((๐ โ ( R โ๐ด) โง ๐ โ ( R โ๐ต)) โง ((๐ โ ๐
โง ๐ โ ๐) โง (๐ โคs ๐ โง ๐ โคs ๐)))) โ (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐)) -s (๐ ยทs ๐)) = (((๐ ยทs ๐ต) -s (๐ ยทs ๐)) +s (๐ด ยทs ๐))) |
218 | 213, 215,
217 | 3brtr4d 5173 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
โข ((๐ โง ((๐ โ ( R โ๐ด) โง ๐ โ ( R โ๐ต)) โง ((๐ โ ๐
โง ๐ โ ๐) โง (๐ โคs ๐ โง ๐ โคs ๐)))) โ (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐)) -s (๐ ยทs ๐)) โคs (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐)) -s (๐ ยทs ๐))) |
219 | 4 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
โข ((๐ โง ((๐ โ ( R โ๐ด) โง ๐ โ ( R โ๐ต)) โง ((๐ โ ๐
โง ๐ โ ๐) โง (๐ โคs ๐ โง ๐ โคs ๐)))) โ ๐ด โ No
) |
220 | 185 | adantrrr 723 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
โข ((๐ โง ((๐ โ ( R โ๐ด) โง ๐ โ ( R โ๐ต)) โง ((๐ โ ๐
โง ๐ โ ๐) โง (๐ โคs ๐ โง ๐ โคs ๐)))) โ ๐ โ No
) |
221 | 4 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
โข ((๐ โง (๐ โ ๐
โง ๐ โ ๐)) โ ๐ด โ No
) |
222 | 85 | simp3d 1144 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
โข (๐ โ {(๐ฟ |s ๐
)} <<s ๐
) |
223 | 222 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
โข ((๐ โง (๐ โ ๐
โง ๐ โ ๐)) โ {(๐ฟ |s ๐
)} <<s ๐
) |
224 | 90 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
โข ((๐ โง (๐ โ ๐
โง ๐ โ ๐)) โ ๐ด โ {(๐ฟ |s ๐
)}) |
225 | 223, 224,
172 | ssltsepcd 27221 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
โข ((๐ โง (๐ โ ๐
โง ๐ โ ๐)) โ ๐ด <s ๐) |
226 | 221, 173,
225 | sltled 27199 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
โข ((๐ โง (๐ โ ๐
โง ๐ โ ๐)) โ ๐ด โคs ๐) |
227 | 226 | adantrl 714 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
โข ((๐ โง ((๐ โ ( R โ๐ด) โง ๐ โ ( R โ๐ต)) โง (๐ โ ๐
โง ๐ โ ๐))) โ ๐ด โคs ๐) |
228 | 227 | adantrrr 723 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
โข ((๐ โง ((๐ โ ( R โ๐ด) โง ๐ โ ( R โ๐ต)) โง ((๐ โ ๐
โง ๐ โ ๐) โง (๐ โคs ๐ โง ๐ โคs ๐)))) โ ๐ด โคs ๐) |
229 | | simprrr 780 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
โข (((๐ โ ( R โ๐ด) โง ๐ โ ( R โ๐ต)) โง ((๐ โ ๐
โง ๐ โ ๐) โง (๐ โคs ๐ โง ๐ โคs ๐))) โ ๐ โคs ๐) |
230 | 229 | adantl 482 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
โข ((๐ โง ((๐ โ ( R โ๐ด) โง ๐ โ ( R โ๐ต)) โง ((๐ โ ๐
โง ๐ โ ๐) โง (๐ โคs ๐ โง ๐ โคs ๐)))) โ ๐ โคs ๐) |
231 | 219, 192,
220, 195, 228, 230 | slemuld 27507 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
โข ((๐ โง ((๐ โ ( R โ๐ด) โง ๐ โ ( R โ๐ต)) โง ((๐ โ ๐
โง ๐ โ ๐) โง (๐ โคs ๐ โง ๐ โคs ๐)))) โ ((๐ด ยทs ๐) -s (๐ด ยทs ๐ )) โคs ((๐ ยทs ๐) -s (๐ ยทs ๐ ))) |
232 | 164, 177,
186, 189 | slesubsubbd 27467 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
โข ((๐ โง ((๐ โ ( R โ๐ด) โง ๐ โ ( R โ๐ต)) โง (๐ โ ๐
โง ๐ โ ๐))) โ (((๐ด ยทs ๐) -s (๐ด ยทs ๐ )) โคs ((๐ ยทs ๐) -s (๐ ยทs ๐ )) โ ((๐ด ยทs ๐) -s (๐ ยทs ๐)) โคs ((๐ด ยทs ๐ ) -s (๐ ยทs ๐ )))) |
233 | 164, 177 | subscld 27449 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
โข ((๐ โง ((๐ โ ( R โ๐ด) โง ๐ โ ( R โ๐ต)) โง (๐ โ ๐
โง ๐ โ ๐))) โ ((๐ด ยทs ๐) -s (๐ ยทs ๐)) โ No
) |
234 | 186, 189 | subscld 27449 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
โข ((๐ โง ((๐ โ ( R โ๐ด) โง ๐ โ ( R โ๐ต)) โง (๐ โ ๐
โง ๐ โ ๐))) โ ((๐ด ยทs ๐ ) -s (๐ ยทs ๐ )) โ No
) |
235 | 233, 234,
175 | sleadd2d 27395 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
โข ((๐ โง ((๐ โ ( R โ๐ด) โง ๐ โ ( R โ๐ต)) โง (๐ โ ๐
โง ๐ โ ๐))) โ (((๐ด ยทs ๐) -s (๐ ยทs ๐)) โคs ((๐ด ยทs ๐ ) -s (๐ ยทs ๐ )) โ ((๐ ยทs ๐ต) +s ((๐ด ยทs ๐) -s (๐ ยทs ๐))) โคs ((๐ ยทs ๐ต) +s ((๐ด ยทs ๐ ) -s (๐ ยทs ๐ ))))) |
236 | 232, 235 | bitrd 278 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
โข ((๐ โง ((๐ โ ( R โ๐ด) โง ๐ โ ( R โ๐ต)) โง (๐ โ ๐
โง ๐ โ ๐))) โ (((๐ด ยทs ๐) -s (๐ด ยทs ๐ )) โคs ((๐ ยทs ๐) -s (๐ ยทs ๐ )) โ ((๐ ยทs ๐ต) +s ((๐ด ยทs ๐) -s (๐ ยทs ๐))) โคs ((๐ ยทs ๐ต) +s ((๐ด ยทs ๐ ) -s (๐ ยทs ๐ ))))) |
237 | 236 | adantrrr 723 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
โข ((๐ โง ((๐ โ ( R โ๐ด) โง ๐ โ ( R โ๐ต)) โง ((๐ โ ๐
โง ๐ โ ๐) โง (๐ โคs ๐ โง ๐ โคs ๐)))) โ (((๐ด ยทs ๐) -s (๐ด ยทs ๐ )) โคs ((๐ ยทs ๐) -s (๐ ยทs ๐ )) โ ((๐ ยทs ๐ต) +s ((๐ด ยทs ๐) -s (๐ ยทs ๐))) โคs ((๐ ยทs ๐ต) +s ((๐ด ยทs ๐ ) -s (๐ ยทs ๐ ))))) |
238 | 231, 237 | mpbid 231 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
โข ((๐ โง ((๐ โ ( R โ๐ด) โง ๐ โ ( R โ๐ต)) โง ((๐ โ ๐
โง ๐ โ ๐) โง (๐ โคs ๐ โง ๐ โคs ๐)))) โ ((๐ ยทs ๐ต) +s ((๐ด ยทs ๐) -s (๐ ยทs ๐))) โคs ((๐ ยทs ๐ต) +s ((๐ด ยทs ๐ ) -s (๐ ยทs ๐ )))) |
239 | 175, 164,
177 | addsubsassd 27462 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
โข ((๐ โง ((๐ โ ( R โ๐ด) โง ๐ โ ( R โ๐ต)) โง (๐ โ ๐
โง ๐ โ ๐))) โ (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐)) -s (๐ ยทs ๐)) = ((๐ ยทs ๐ต) +s ((๐ด ยทs ๐) -s (๐ ยทs ๐)))) |
240 | 239 | adantrrr 723 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
โข ((๐ โง ((๐ โ ( R โ๐ด) โง ๐ โ ( R โ๐ต)) โง ((๐ โ ๐
โง ๐ โ ๐) โง (๐ โคs ๐ โง ๐ โคs ๐)))) โ (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐)) -s (๐ ยทs ๐)) = ((๐ ยทs ๐ต) +s ((๐ด ยทs ๐) -s (๐ ยทs ๐)))) |
241 | 175, 186,
189 | addsubsassd 27462 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
โข ((๐ โง ((๐ โ ( R โ๐ด) โง ๐ โ ( R โ๐ต)) โง (๐ โ ๐
โง ๐ โ ๐))) โ (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ )) -s (๐ ยทs ๐ )) = ((๐ ยทs ๐ต) +s ((๐ด ยทs ๐ ) -s (๐ ยทs ๐ )))) |
242 | 241 | adantrrr 723 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
โข ((๐ โง ((๐ โ ( R โ๐ด) โง ๐ โ ( R โ๐ต)) โง ((๐ โ ๐
โง ๐ โ ๐) โง (๐ โคs ๐ โง ๐ โคs ๐)))) โ (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ )) -s (๐ ยทs ๐ )) = ((๐ ยทs ๐ต) +s ((๐ด ยทs ๐ ) -s (๐ ยทs ๐ )))) |
243 | 238, 240,
242 | 3brtr4d 5173 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
โข ((๐ โง ((๐ โ ( R โ๐ด) โง ๐ โ ( R โ๐ต)) โง ((๐ โ ๐
โง ๐ โ ๐) โง (๐ โคs ๐ โง ๐ โคs ๐)))) โ (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐)) -s (๐ ยทs ๐)) โคs (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ )) -s (๐ ยทs ๐ ))) |
244 | 168, 179,
191, 218, 243 | sletrd 27192 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
โข ((๐ โง ((๐ โ ( R โ๐ด) โง ๐ โ ( R โ๐ต)) โง ((๐ โ ๐
โง ๐ โ ๐) โง (๐ โคs ๐ โง ๐ โคs ๐)))) โ (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐)) -s (๐ ยทs ๐)) โคs (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ )) -s (๐ ยทs ๐ ))) |
245 | 244 | anassrs 468 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
โข (((๐ โง (๐ โ ( R โ๐ด) โง ๐ โ ( R โ๐ต))) โง ((๐ โ ๐
โง ๐ โ ๐) โง (๐ โคs ๐ โง ๐ โคs ๐))) โ (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐)) -s (๐ ยทs ๐)) โคs (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ )) -s (๐ ยทs ๐ ))) |
246 | 245 | expr 457 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
โข (((๐ โง (๐ โ ( R โ๐ด) โง ๐ โ ( R โ๐ต))) โง (๐ โ ๐
โง ๐ โ ๐)) โ ((๐ โคs ๐ โง ๐ โคs ๐) โ (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐)) -s (๐ ยทs ๐)) โคs (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ )) -s (๐ ยทs ๐ )))) |
247 | 246 | reximdvva 3204 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
โข ((๐ โง (๐ โ ( R โ๐ด) โง ๐ โ ( R โ๐ต))) โ (โ๐ โ ๐
โ๐ โ ๐ (๐ โคs ๐ โง ๐ โคs ๐) โ โ๐ โ ๐
โ๐ โ ๐ (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐)) -s (๐ ยทs ๐)) โคs (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ )) -s (๐ ยทs ๐ )))) |
248 | 247 | expcom 414 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
โข ((๐ โ ( R โ๐ด) โง ๐ โ ( R โ๐ต)) โ (๐ โ (โ๐ โ ๐
โ๐ โ ๐ (๐ โคs ๐ โง ๐ โคs ๐) โ โ๐ โ ๐
โ๐ โ ๐ (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐)) -s (๐ ยทs ๐)) โคs (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ )) -s (๐ ยทs ๐ ))))) |
249 | 248 | com23 86 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
โข ((๐ โ ( R โ๐ด) โง ๐ โ ( R โ๐ต)) โ (โ๐ โ ๐
โ๐ โ ๐ (๐ โคs ๐ โง ๐ โคs ๐) โ (๐ โ โ๐ โ ๐
โ๐ โ ๐ (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐)) -s (๐ ยทs ๐)) โคs (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ )) -s (๐ ยทs ๐ ))))) |
250 | 249 | imp 407 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
โข (((๐ โ ( R โ๐ด) โง ๐ โ ( R โ๐ต)) โง โ๐ โ ๐
โ๐ โ ๐ (๐ โคs ๐ โง ๐ โคs ๐)) โ (๐ โ โ๐ โ ๐
โ๐ โ ๐ (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐)) -s (๐ ยทs ๐)) โคs (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ )) -s (๐ ยทs ๐ )))) |
251 | 152, 250 | sylan2br 595 |
. . . . . . . . . . . . . 14
โข (((๐ โ ( R โ๐ด) โง ๐ โ ( R โ๐ต)) โง (โ๐ โ ๐
๐ โคs ๐ โง โ๐ โ ๐ ๐ โคs ๐)) โ (๐ โ โ๐ โ ๐
โ๐ โ ๐ (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐)) -s (๐ ยทs ๐)) โคs (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ )) -s (๐ ยทs ๐ )))) |
252 | 251 | an4s 658 |
. . . . . . . . . . . . 13
โข (((๐ โ ( R โ๐ด) โง โ๐ โ ๐
๐ โคs ๐) โง (๐ โ ( R โ๐ต) โง โ๐ โ ๐ ๐ โคs ๐)) โ (๐ โ โ๐ โ ๐
โ๐ โ ๐ (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐)) -s (๐ ยทs ๐)) โคs (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ )) -s (๐ ยทs ๐ )))) |
253 | 252 | impcom 408 |
. . . . . . . . . . . 12
โข ((๐ โง ((๐ โ ( R โ๐ด) โง โ๐ โ ๐
๐ โคs ๐) โง (๐ โ ( R โ๐ต) โง โ๐ โ ๐ ๐ โคs ๐))) โ โ๐ โ ๐
โ๐ โ ๐ (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐)) -s (๐ ยทs ๐)) โคs (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ )) -s (๐ ยทs ๐ ))) |
254 | 253 | anassrs 468 |
. . . . . . . . . . 11
โข (((๐ โง (๐ โ ( R โ๐ด) โง โ๐ โ ๐
๐ โคs ๐)) โง (๐ โ ( R โ๐ต) โง โ๐ โ ๐ ๐ โคs ๐)) โ โ๐ โ ๐
โ๐ โ ๐ (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐)) -s (๐ ยทs ๐)) โคs (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ )) -s (๐ ยทs ๐ ))) |
255 | 254 | expr 457 |
. . . . . . . . . 10
โข (((๐ โง (๐ โ ( R โ๐ด) โง โ๐ โ ๐
๐ โคs ๐)) โง ๐ โ ( R โ๐ต)) โ (โ๐ โ ๐ ๐ โคs ๐ โ โ๐ โ ๐
โ๐ โ ๐ (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐)) -s (๐ ยทs ๐)) โคs (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ )) -s (๐ ยทs ๐ )))) |
256 | 255 | ralimdva 3166 |
. . . . . . . . 9
โข ((๐ โง (๐ โ ( R โ๐ด) โง โ๐ โ ๐
๐ โคs ๐)) โ (โ๐ โ ( R โ๐ต)โ๐ โ ๐ ๐ โคs ๐ โ โ๐ โ ( R โ๐ต)โ๐ โ ๐
โ๐ โ ๐ (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐)) -s (๐ ยทs ๐)) โคs (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ )) -s (๐ ยทs ๐ )))) |
257 | 151, 256 | mpd 15 |
. . . . . . . 8
โข ((๐ โง (๐ โ ( R โ๐ด) โง โ๐ โ ๐
๐ โคs ๐)) โ โ๐ โ ( R โ๐ต)โ๐ โ ๐
โ๐ โ ๐ (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐)) -s (๐ ยทs ๐)) โคs (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ )) -s (๐ ยทs ๐ ))) |
258 | 257 | expr 457 |
. . . . . . 7
โข ((๐ โง ๐ โ ( R โ๐ด)) โ (โ๐ โ ๐
๐ โคs ๐ โ โ๐ โ ( R โ๐ต)โ๐ โ ๐
โ๐ โ ๐ (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐)) -s (๐ ยทs ๐)) โคs (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ )) -s (๐ ยทs ๐ )))) |
259 | 258 | ralimdva 3166 |
. . . . . 6
โข (๐ โ (โ๐ โ ( R โ๐ด)โ๐ โ ๐
๐ โคs ๐ โ โ๐ โ ( R โ๐ด)โ๐ โ ( R โ๐ต)โ๐ โ ๐
โ๐ โ ๐ (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐)) -s (๐ ยทs ๐)) โคs (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ )) -s (๐ ยทs ๐ )))) |
260 | 149, 259 | mpd 15 |
. . . . 5
โข (๐ โ โ๐ โ ( R โ๐ด)โ๐ โ ( R โ๐ต)โ๐ โ ๐
โ๐ โ ๐ (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐)) -s (๐ ยทs ๐)) โคs (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ )) -s (๐ ยทs ๐ ))) |
261 | | eqeq1 2735 |
. . . . . . . . . 10
โข (๐ = ๐ง โ (๐ = (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ )) -s (๐ ยทs ๐ )) โ ๐ง = (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ )) -s (๐ ยทs ๐ )))) |
262 | 261 | 2rexbidv 3218 |
. . . . . . . . 9
โข (๐ = ๐ง โ (โ๐ โ ๐
โ๐ โ ๐ ๐ = (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ )) -s (๐ ยทs ๐ )) โ โ๐ โ ๐
โ๐ โ ๐ ๐ง = (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ )) -s (๐ ยทs ๐ )))) |
263 | 262 | rexab 3686 |
. . . . . . . 8
โข
(โ๐ง โ
{๐ โฃ โ๐ โ ๐
โ๐ โ ๐ ๐ = (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ )) -s (๐ ยทs ๐ ))} (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐)) -s (๐ ยทs ๐)) โคs ๐ง โ โ๐ง(โ๐ โ ๐
โ๐ โ ๐ ๐ง = (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ )) -s (๐ ยทs ๐ )) โง (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐)) -s (๐ ยทs ๐)) โคs ๐ง)) |
264 | | r19.41vv 3223 |
. . . . . . . . 9
โข
(โ๐ โ
๐
โ๐ โ ๐ (๐ง = (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ )) -s (๐ ยทs ๐ )) โง (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐)) -s (๐ ยทs ๐)) โคs ๐ง) โ (โ๐ โ ๐
โ๐ โ ๐ ๐ง = (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ )) -s (๐ ยทs ๐ )) โง (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐)) -s (๐ ยทs ๐)) โคs ๐ง)) |
265 | 264 | exbii 1850 |
. . . . . . . 8
โข
(โ๐งโ๐ โ ๐
โ๐ โ ๐ (๐ง = (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ )) -s (๐ ยทs ๐ )) โง (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐)) -s (๐ ยทs ๐)) โคs ๐ง) โ โ๐ง(โ๐ โ ๐
โ๐ โ ๐ ๐ง = (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ )) -s (๐ ยทs ๐ )) โง (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐)) -s (๐ ยทs ๐)) โคs ๐ง)) |
266 | | rexcom4 3284 |
. . . . . . . . 9
โข
(โ๐ โ
๐
โ๐งโ๐ โ ๐ (๐ง = (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ )) -s (๐ ยทs ๐ )) โง (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐)) -s (๐ ยทs ๐)) โคs ๐ง) โ โ๐งโ๐ โ ๐
โ๐ โ ๐ (๐ง = (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ )) -s (๐ ยทs ๐ )) โง (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐)) -s (๐ ยทs ๐)) โคs ๐ง)) |
267 | | rexcom4 3284 |
. . . . . . . . . . 11
โข
(โ๐ โ
๐ โ๐ง(๐ง = (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ )) -s (๐ ยทs ๐ )) โง (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐)) -s (๐ ยทs ๐)) โคs ๐ง) โ โ๐งโ๐ โ ๐ (๐ง = (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ )) -s (๐ ยทs ๐ )) โง (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐)) -s (๐ ยทs ๐)) โคs ๐ง)) |
268 | | ovex 7426 |
. . . . . . . . . . . . 13
โข (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ )) -s (๐ ยทs ๐ )) โ V |
269 | | breq2 5145 |
. . . . . . . . . . . . 13
โข (๐ง = (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ )) -s (๐ ยทs ๐ )) โ ((((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐)) -s (๐ ยทs ๐)) โคs ๐ง โ (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐)) -s (๐ ยทs ๐)) โคs (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ )) -s (๐ ยทs ๐ )))) |
270 | 268, 269 | ceqsexv 3522 |
. . . . . . . . . . . 12
โข
(โ๐ง(๐ง = (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ )) -s (๐ ยทs ๐ )) โง (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐)) -s (๐ ยทs ๐)) โคs ๐ง) โ (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐)) -s (๐ ยทs ๐)) โคs (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ )) -s (๐ ยทs ๐ ))) |
271 | 270 | rexbii 3093 |
. . . . . . . . . . 11
โข
(โ๐ โ
๐ โ๐ง(๐ง = (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ )) -s (๐ ยทs ๐ )) โง (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐)) -s (๐ ยทs ๐)) โคs ๐ง) โ โ๐ โ ๐ (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐)) -s (๐ ยทs ๐)) โคs (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ )) -s (๐ ยทs ๐ ))) |
272 | 267, 271 | bitr3i 276 |
. . . . . . . . . 10
โข
(โ๐งโ๐ โ ๐ (๐ง = (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ )) -s (๐ ยทs ๐ )) โง (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐)) -s (๐ ยทs ๐)) โคs ๐ง) โ โ๐ โ ๐ (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐)) -s (๐ ยทs ๐)) โคs (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ )) -s (๐ ยทs ๐ ))) |
273 | 272 | rexbii 3093 |
. . . . . . . . 9
โข
(โ๐ โ
๐
โ๐งโ๐ โ ๐ (๐ง = (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ )) -s (๐ ยทs ๐ )) โง (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐)) -s (๐ ยทs ๐)) โคs ๐ง) โ โ๐ โ ๐
โ๐ โ ๐ (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐)) -s (๐ ยทs ๐)) โคs (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ )) -s (๐ ยทs ๐ ))) |
274 | 266, 273 | bitr3i 276 |
. . . . . . . 8
โข
(โ๐งโ๐ โ ๐
โ๐ โ ๐ (๐ง = (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ )) -s (๐ ยทs ๐ )) โง (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐)) -s (๐ ยทs ๐)) โคs ๐ง) โ โ๐ โ ๐
โ๐ โ ๐ (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐)) -s (๐ ยทs ๐)) โคs (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ )) -s (๐ ยทs ๐ ))) |
275 | 263, 265,
274 | 3bitr2i 298 |
. . . . . . 7
โข
(โ๐ง โ
{๐ โฃ โ๐ โ ๐
โ๐ โ ๐ ๐ = (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ )) -s (๐ ยทs ๐ ))} (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐)) -s (๐ ยทs ๐)) โคs ๐ง โ โ๐ โ ๐
โ๐ โ ๐ (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐)) -s (๐ ยทs ๐)) โคs (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ )) -s (๐ ยทs ๐ ))) |
276 | | ssun2 4169 |
. . . . . . . 8
โข {๐ โฃ โ๐ โ ๐
โ๐ โ ๐ ๐ = (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ )) -s (๐ ยทs ๐ ))} โ ({๐ โฃ โ๐ โ ๐ฟ โ๐ โ ๐ ๐ = (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐)) -s (๐ ยทs ๐))} โช {๐ โฃ โ๐ โ ๐
โ๐ โ ๐ ๐ = (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ )) -s (๐ ยทs ๐ ))}) |
277 | | ssrexv 4047 |
. . . . . . . 8
โข ({๐ โฃ โ๐ โ ๐
โ๐ โ ๐ ๐ = (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ )) -s (๐ ยทs ๐ ))} โ ({๐ โฃ โ๐ โ ๐ฟ โ๐ โ ๐ ๐ = (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐)) -s (๐ ยทs ๐))} โช {๐ โฃ โ๐ โ ๐
โ๐ โ ๐ ๐ = (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ )) -s (๐ ยทs ๐ ))}) โ (โ๐ง โ {๐ โฃ โ๐ โ ๐
โ๐ โ ๐ ๐ = (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ )) -s (๐ ยทs ๐ ))} (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐)) -s (๐ ยทs ๐)) โคs ๐ง โ โ๐ง โ ({๐ โฃ โ๐ โ ๐ฟ โ๐ โ ๐ ๐ = (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐)) -s (๐ ยทs ๐))} โช {๐ โฃ โ๐ โ ๐
โ๐ โ ๐ ๐ = (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ )) -s (๐ ยทs ๐ ))})(((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐)) -s (๐ ยทs ๐)) โคs ๐ง)) |
278 | 276, 277 | ax-mp 5 |
. . . . . . 7
โข
(โ๐ง โ
{๐ โฃ โ๐ โ ๐
โ๐ โ ๐ ๐ = (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ )) -s (๐ ยทs ๐ ))} (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐)) -s (๐ ยทs ๐)) โคs ๐ง โ โ๐ง โ ({๐ โฃ โ๐ โ ๐ฟ โ๐ โ ๐ ๐ = (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐)) -s (๐ ยทs ๐))} โช {๐ โฃ โ๐ โ ๐
โ๐ โ ๐ ๐ = (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ )) -s (๐ ยทs ๐ ))})(((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐)) -s (๐ ยทs ๐)) โคs ๐ง) |
279 | 275, 278 | sylbir 234 |
. . . . . 6
โข
(โ๐ โ
๐
โ๐ โ ๐ (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐)) -s (๐ ยทs ๐)) โคs (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ )) -s (๐ ยทs ๐ )) โ โ๐ง โ ({๐ โฃ โ๐ โ ๐ฟ โ๐ โ ๐ ๐ = (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐)) -s (๐ ยทs ๐))} โช {๐ โฃ โ๐ โ ๐
โ๐ โ ๐ ๐ = (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ )) -s (๐ ยทs ๐ ))})(((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐)) -s (๐ ยทs ๐)) โคs ๐ง) |
280 | 279 | 2ralimi 3122 |
. . . . 5
โข
(โ๐ โ (
R โ๐ด)โ๐ โ ( R โ๐ต)โ๐ โ ๐
โ๐ โ ๐ (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐)) -s (๐ ยทs ๐)) โคs (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ )) -s (๐ ยทs ๐ )) โ โ๐ โ ( R โ๐ด)โ๐ โ ( R โ๐ต)โ๐ง โ ({๐ โฃ โ๐ โ ๐ฟ โ๐ โ ๐ ๐ = (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐)) -s (๐ ยทs ๐))} โช {๐ โฃ โ๐ โ ๐
โ๐ โ ๐ ๐ = (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ )) -s (๐ ยทs ๐ ))})(((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐)) -s (๐ ยทs ๐)) โคs ๐ง) |
281 | 260, 280 | syl 17 |
. . . 4
โข (๐ โ โ๐ โ ( R โ๐ด)โ๐ โ ( R โ๐ต)โ๐ง โ ({๐ โฃ โ๐ โ ๐ฟ โ๐ โ ๐ ๐ = (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐)) -s (๐ ยทs ๐))} โช {๐ โฃ โ๐ โ ๐
โ๐ โ ๐ ๐ = (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ )) -s (๐ ยทs ๐ ))})(((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐)) -s (๐ ยทs ๐)) โคs ๐ง) |
282 | | ralunb 4187 |
. . . . 5
โข
(โ๐ฅ๐ โ ({๐ โฃ โ๐ โ ( L โ๐ด)โ๐ โ ( L โ๐ต)๐ = (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐)) -s (๐ ยทs ๐))} โช {โ โฃ โ๐ โ ( R โ๐ด)โ๐ โ ( R โ๐ต)โ = (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐)) -s (๐ ยทs ๐))})โ๐ง โ ({๐ โฃ โ๐ โ ๐ฟ โ๐ โ ๐ ๐ = (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐)) -s (๐ ยทs ๐))} โช {๐ โฃ โ๐ โ ๐
โ๐ โ ๐ ๐ = (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ )) -s (๐ ยทs ๐ ))})๐ฅ๐ โคs ๐ง โ (โ๐ฅ๐ โ {๐ โฃ โ๐ โ ( L โ๐ด)โ๐ โ ( L โ๐ต)๐ = (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐)) -s (๐ ยทs ๐))}โ๐ง โ ({๐ โฃ โ๐ โ ๐ฟ โ๐ โ ๐ ๐ = (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐)) -s (๐ ยทs ๐))} โช {๐ โฃ โ๐ โ ๐
โ๐ โ ๐ ๐ = (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ )) -s (๐ ยทs ๐ ))})๐ฅ๐ โคs ๐ง โง โ๐ฅ๐ โ {โ โฃ โ๐ โ ( R โ๐ด)โ๐ โ ( R โ๐ต)โ = (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐)) -s (๐ ยทs ๐))}โ๐ง โ ({๐ โฃ โ๐ โ ๐ฟ โ๐ โ ๐ ๐ = (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐)) -s (๐ ยทs ๐))} โช {๐ โฃ โ๐ โ ๐
โ๐ โ ๐ ๐ = (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ )) -s (๐ ยทs ๐ ))})๐ฅ๐ โคs ๐ง)) |
283 | | eqeq1 2735 |
. . . . . . . . 9
โข (๐ = ๐ฅ๐ โ (๐ = (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐)) -s (๐ ยทs ๐)) โ ๐ฅ๐ = (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐)) -s (๐ ยทs ๐)))) |
284 | 283 | 2rexbidv 3218 |
. . . . . . . 8
โข (๐ = ๐ฅ๐ โ (โ๐ โ ( L โ๐ด)โ๐ โ ( L โ๐ต)๐ = (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐)) -s (๐ ยทs ๐)) โ โ๐ โ ( L โ๐ด)โ๐ โ ( L โ๐ต)๐ฅ๐ = (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐)) -s (๐ ยทs ๐)))) |
285 | 284 | ralab 3683 |
. . . . . . 7
โข
(โ๐ฅ๐ โ {๐ โฃ โ๐ โ ( L โ๐ด)โ๐ โ ( L โ๐ต)๐ = (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐)) -s (๐ ยทs ๐))}โ๐ง โ ({๐ โฃ โ๐ โ ๐ฟ โ๐ โ ๐ ๐ = (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐)) -s (๐ ยทs ๐))} โช {๐ โฃ โ๐ โ ๐
โ๐ โ ๐ ๐ = (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ )) -s (๐ ยทs ๐ ))})๐ฅ๐ โคs ๐ง โ โ๐ฅ๐(โ๐ โ ( L โ๐ด)โ๐ โ ( L โ๐ต)๐ฅ๐ = (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐)) -s (๐ ยทs ๐)) โ โ๐ง โ ({๐ โฃ โ๐ โ ๐ฟ โ๐ โ ๐ ๐ = (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐)) -s (๐ ยทs ๐))} โช {๐ โฃ โ๐ โ ๐
โ๐ โ ๐ ๐ = (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ )) -s (๐ ยทs ๐ ))})๐ฅ๐ โคs ๐ง)) |
286 | | r19.23v 3181 |
. . . . . . . . . 10
โข
(โ๐ โ (
L โ๐ต)(๐ฅ๐ = (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐)) -s (๐ ยทs ๐)) โ โ๐ง โ ({๐ โฃ โ๐ โ ๐ฟ โ๐ โ ๐ ๐ = (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐)) -s (๐ ยทs ๐))} โช {๐ โฃ โ๐ โ ๐
โ๐ โ ๐ ๐ = (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ )) -s (๐ ยทs ๐ ))})๐ฅ๐ โคs ๐ง) โ (โ๐ โ ( L โ๐ต)๐ฅ๐ = (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐)) -s (๐ ยทs ๐)) โ โ๐ง โ ({๐ โฃ โ๐ โ ๐ฟ โ๐ โ ๐ ๐ = (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐)) -s (๐ ยทs ๐))} โช {๐ โฃ โ๐ โ ๐
โ๐ โ ๐ ๐ = (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ )) -s (๐ ยทs ๐ ))})๐ฅ๐ โคs ๐ง)) |
287 | 286 | ralbii 3092 |
. . . . . . . . 9
โข
(โ๐ โ (
L โ๐ด)โ๐ โ ( L โ๐ต)(๐ฅ๐ = (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐)) -s (๐ ยทs ๐)) โ โ๐ง โ ({๐ โฃ โ๐ โ ๐ฟ โ๐ โ ๐ ๐ = (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐)) -s (๐ ยทs ๐))} โช {๐ โฃ โ๐ โ ๐
โ๐ โ ๐ ๐ = (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ )) -s (๐ ยทs ๐ ))})๐ฅ๐ โคs ๐ง) โ โ๐ โ ( L โ๐ด)(โ๐ โ ( L โ๐ต)๐ฅ๐ = (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐)) -s (๐ ยทs ๐)) โ โ๐ง โ ({๐ โฃ โ๐ โ ๐ฟ โ๐ โ ๐ ๐ = (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐)) -s (๐ ยทs ๐))} โช {๐ โฃ โ๐ โ ๐
โ๐ โ ๐ ๐ = (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ )) -s (๐ ยทs ๐ ))})๐ฅ๐ โคs ๐ง)) |
288 | | r19.23v 3181 |
. . . . . . . . 9
โข
(โ๐ โ (
L โ๐ด)(โ๐ โ ( L โ๐ต)๐ฅ๐ = (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐)) -s (๐ ยทs ๐)) โ โ๐ง โ ({๐ โฃ โ๐ โ ๐ฟ โ๐ โ ๐ ๐ = (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐)) -s (๐ ยทs ๐))} โช {๐ โฃ โ๐ โ ๐
โ๐ โ ๐ ๐ = (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ )) -s (๐ ยทs ๐ ))})๐ฅ๐ โคs ๐ง) โ (โ๐ โ ( L โ๐ด)โ๐ โ ( L โ๐ต)๐ฅ๐ = (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐)) -s (๐ ยทs ๐)) โ โ๐ง โ ({๐ โฃ โ๐ โ ๐ฟ โ๐ โ ๐ ๐ = (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐)) -s (๐ ยทs ๐))} โช {๐ โฃ โ๐ โ ๐
โ๐ โ ๐ ๐ = (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ )) -s (๐ ยทs ๐ ))})๐ฅ๐ โคs ๐ง)) |
289 | 287, 288 | bitri 274 |
. . . . . . . 8
โข
(โ๐ โ (
L โ๐ด)โ๐ โ ( L โ๐ต)(๐ฅ๐ = (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐)) -s (๐ ยทs ๐)) โ โ๐ง โ ({๐ โฃ โ๐ โ ๐ฟ โ๐ โ ๐ ๐ = (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐)) -s (๐ ยทs ๐))} โช {๐ โฃ โ๐ โ ๐
โ๐ โ ๐ ๐ = (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ )) -s (๐ ยทs ๐ ))})๐ฅ๐ โคs ๐ง) โ (โ๐ โ ( L โ๐ด)โ๐ โ ( L โ๐ต)๐ฅ๐ = (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐)) -s (๐ ยทs ๐)) โ โ๐ง โ ({๐ โฃ โ๐ โ ๐ฟ โ๐ โ ๐ ๐ = (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐)) -s (๐ ยทs ๐))} โช {๐ โฃ โ๐ โ ๐
โ๐ โ ๐ ๐ = (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ )) -s (๐ ยทs ๐ ))})๐ฅ๐ โคs ๐ง)) |
290 | 289 | albii 1821 |
. . . . . . 7
โข
(โ๐ฅ๐โ๐ โ ( L โ๐ด)โ๐ โ ( L โ๐ต)(๐ฅ๐ = (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐)) -s (๐ ยทs ๐)) โ โ๐ง โ ({๐ โฃ โ๐ โ ๐ฟ โ๐ โ ๐ ๐ = (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐)) -s (๐ ยทs ๐))} โช {๐ โฃ โ๐ โ ๐
โ๐ โ ๐ ๐ = (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ )) -s (๐ ยทs ๐ ))})๐ฅ๐ โคs ๐ง) โ โ๐ฅ๐(โ๐ โ ( L โ๐ด)โ๐ โ ( L โ๐ต)๐ฅ๐ = (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐)) -s (๐ ยทs ๐)) โ โ๐ง โ ({๐ โฃ โ๐ โ ๐ฟ โ๐ โ ๐ ๐ = (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐)) -s (๐ ยทs ๐))} โช {๐ โฃ โ๐ โ ๐
โ๐ โ ๐ ๐ = (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ )) -s (๐ ยทs ๐ ))})๐ฅ๐ โคs ๐ง)) |
291 | | ralcom4 3282 |
. . . . . . . 8
โข
(โ๐ โ (
L โ๐ด)โ๐ฅ๐โ๐ โ ( L โ๐ต)(๐ฅ๐ = (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐)) -s (๐ ยทs ๐)) โ โ๐ง โ ({๐ โฃ โ๐ โ ๐ฟ โ๐ โ ๐ ๐ = (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐)) -s (๐ ยทs ๐))} โช {๐ โฃ โ๐ โ ๐
โ๐ โ ๐ ๐ = (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ )) -s (๐ ยทs ๐ ))})๐ฅ๐ โคs ๐ง) โ โ๐ฅ๐โ๐ โ ( L โ๐ด)โ๐ โ ( L โ๐ต)(๐ฅ๐ = (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐)) -s (๐ ยทs ๐)) โ โ๐ง โ ({๐ โฃ โ๐ โ ๐ฟ โ๐ โ ๐ ๐ = (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐)) -s (๐ ยทs ๐))} โช {๐ โฃ โ๐ โ ๐
โ๐ โ ๐ ๐ = (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ )) -s (๐ ยทs ๐ ))})๐ฅ๐ โคs ๐ง)) |
292 | | ralcom4 3282 |
. . . . . . . . . 10
โข
(โ๐ โ (
L โ๐ต)โ๐ฅ๐(๐ฅ๐ = (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐)) -s (๐ ยทs ๐)) โ โ๐ง โ ({๐ โฃ โ๐ โ ๐ฟ โ๐ โ ๐ ๐ = (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐)) -s (๐ ยทs ๐))} โช {๐ โฃ โ๐ โ ๐
โ๐ โ ๐ ๐ = (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ )) -s (๐ ยทs ๐ ))})๐ฅ๐ โคs ๐ง) โ โ๐ฅ๐โ๐ โ ( L โ๐ต)(๐ฅ๐ = (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐)) -s (๐ ยทs ๐)) โ โ๐ง โ ({๐ โฃ โ๐ โ ๐ฟ โ๐ โ ๐ ๐ = (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐)) -s (๐ ยทs ๐))} โช {๐ โฃ โ๐ โ ๐
โ๐ โ ๐ ๐ = (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ )) -s (๐ ยทs ๐ ))})๐ฅ๐ โคs ๐ง)) |
293 | | ovex 7426 |
. . . . . . . . . . . 12
โข (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐)) -s (๐ ยทs ๐)) โ V |
294 | | breq1 5144 |
. . . . . . . . . . . . 13
โข (๐ฅ๐ = (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐)) -s (๐ ยทs ๐)) โ (๐ฅ๐ โคs ๐ง โ (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐)) -s (๐ ยทs ๐)) โคs ๐ง)) |
295 | 294 | rexbidv 3177 |
. . . . . . . . . . . 12
โข (๐ฅ๐ = (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐)) -s (๐ ยทs ๐)) โ (โ๐ง โ ({๐ โฃ โ๐ โ ๐ฟ โ๐ โ ๐ ๐ = (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐)) -s (๐ ยทs ๐))} โช {๐ โฃ โ๐ โ ๐
โ๐ โ ๐ ๐ = (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ )) -s (๐ ยทs ๐ ))})๐ฅ๐ โคs ๐ง โ โ๐ง โ ({๐ โฃ โ๐ โ ๐ฟ โ๐ โ ๐ ๐ = (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐)) -s (๐ ยทs ๐))} โช {๐ โฃ โ๐ โ ๐
โ๐ โ ๐ ๐ = (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ )) -s (๐ ยทs ๐ ))})(((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐)) -s (๐ ยทs ๐)) โคs ๐ง)) |
296 | 293, 295 | ceqsalv 3509 |
. . . . . . . . . . 11
โข
(โ๐ฅ๐(๐ฅ๐ = (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐)) -s (๐ ยทs ๐)) โ โ๐ง โ ({๐ โฃ โ๐ โ ๐ฟ โ๐ โ ๐ ๐ = (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐)) -s (๐ ยทs ๐))} โช {๐ โฃ โ๐ โ ๐
โ๐ โ ๐ ๐ = (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ )) -s (๐ ยทs ๐ ))})๐ฅ๐ โคs ๐ง) โ โ๐ง โ ({๐ โฃ โ๐ โ ๐ฟ โ๐ โ ๐ ๐ = (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐)) -s (๐ ยทs ๐))} โช {๐ โฃ โ๐ โ ๐
โ๐ โ ๐ ๐ = (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ )) -s (๐ ยทs ๐ ))})(((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐)) -s (๐ ยทs ๐)) โคs ๐ง) |
297 | 296 | ralbii 3092 |
. . . . . . . . . 10
โข
(โ๐ โ (
L โ๐ต)โ๐ฅ๐(๐ฅ๐ = (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐)) -s (๐ ยทs ๐)) โ โ๐ง โ ({๐ โฃ โ๐ โ ๐ฟ โ๐ โ ๐ ๐ = (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐)) -s (๐ ยทs ๐))} โช {๐ โฃ โ๐ โ ๐
โ๐ โ ๐ ๐ = (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ )) -s (๐ ยทs ๐ ))})๐ฅ๐ โคs ๐ง) โ โ๐ โ ( L โ๐ต)โ๐ง โ ({๐ โฃ โ๐ โ ๐ฟ โ๐ โ ๐ ๐ = (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐)) -s (๐ ยทs ๐))} โช {๐ โฃ โ๐ โ ๐
โ๐ โ ๐ ๐ = (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ )) -s (๐ ยทs ๐ ))})(((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐)) -s (๐ ยทs ๐)) โคs ๐ง) |
298 | 292, 297 | bitr3i 276 |
. . . . . . . . 9
โข
(โ๐ฅ๐โ๐ โ ( L โ๐ต)(๐ฅ๐ = (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐)) -s (๐ ยทs ๐)) โ โ๐ง โ ({๐ โฃ โ๐ โ ๐ฟ โ๐ โ ๐ ๐ = (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐)) -s (๐ ยทs ๐))} โช {๐ โฃ โ๐ โ ๐
โ๐ โ ๐ ๐ = (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ )) -s (๐ ยทs ๐ ))})๐ฅ๐ โคs ๐ง) โ โ๐ โ ( L โ๐ต)โ๐ง โ ({๐ โฃ โ๐ โ ๐ฟ โ๐ โ ๐ ๐ = (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐)) -s (๐ ยทs ๐))} โช {๐ โฃ โ๐ โ ๐
โ๐ โ ๐ ๐ = (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ )) -s (๐ ยทs ๐ ))})(((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐)) -s (๐ ยทs ๐)) โคs ๐ง) |
299 | 298 | ralbii 3092 |
. . . . . . . 8
โข
(โ๐ โ (
L โ๐ด)โ๐ฅ๐โ๐ โ ( L โ๐ต)(๐ฅ๐ = (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐)) -s (๐ ยทs ๐)) โ โ๐ง โ ({๐ โฃ โ๐ โ ๐ฟ โ๐ โ ๐ ๐ = (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐)) -s (๐ ยทs ๐))} โช {๐ โฃ โ๐ โ ๐
โ๐ โ ๐ ๐ = (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ )) -s (๐ ยทs ๐ ))})๐ฅ๐ โคs ๐ง) โ โ๐ โ ( L โ๐ด)โ๐ โ ( L โ๐ต)โ๐ง โ ({๐ โฃ โ๐ โ ๐ฟ โ๐ โ ๐ ๐ = (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐)) -s (๐ ยทs ๐))} โช {๐ โฃ โ๐ โ ๐
โ๐ โ ๐ ๐ = (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ )) -s (๐ ยทs ๐ ))})(((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐)) -s (๐ ยทs ๐)) โคs ๐ง) |
300 | 291, 299 | bitr3i 276 |
. . . . . . 7
โข
(โ๐ฅ๐โ๐ โ ( L โ๐ด)โ๐ โ ( L โ๐ต)(๐ฅ๐ = (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐)) -s (๐ ยทs ๐)) โ โ๐ง โ ({๐ โฃ โ๐ โ ๐ฟ โ๐ โ ๐ ๐ = (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐)) -s (๐ ยทs ๐))} โช {๐ โฃ โ๐ โ ๐
โ๐ โ ๐ ๐ = (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ )) -s (๐ ยทs ๐ ))})๐ฅ๐ โคs ๐ง) โ โ๐ โ ( L โ๐ด)โ๐ โ ( L โ๐ต)โ๐ง โ ({๐ โฃ โ๐ โ ๐ฟ โ๐ โ ๐ ๐ = (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐)) -s (๐ ยทs ๐))} โช {๐ โฃ โ๐ โ ๐
โ๐ โ ๐ ๐ = (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ )) -s (๐ ยทs ๐ ))})(((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐)) -s (๐ ยทs ๐)) โคs ๐ง) |
301 | 285, 290,
300 | 3bitr2i 298 |
. . . . . 6
โข
(โ๐ฅ๐ โ {๐ โฃ โ๐ โ ( L โ๐ด)โ๐ โ ( L โ๐ต)๐ = (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐)) -s (๐ ยทs ๐))}โ๐ง โ ({๐ โฃ โ๐ โ ๐ฟ โ๐ โ ๐ ๐ = (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐)) -s (๐ ยทs ๐))} โช {๐ โฃ โ๐ โ ๐
โ๐ โ ๐ ๐ = (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ )) -s (๐ ยทs ๐ ))})๐ฅ๐ โคs ๐ง โ โ๐ โ ( L โ๐ด)โ๐ โ ( L โ๐ต)โ๐ง โ ({๐ โฃ โ๐ โ ๐ฟ โ๐ โ ๐ ๐ = (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐)) -s (๐ ยทs ๐))} โช {๐ โฃ โ๐ โ ๐
โ๐ โ ๐ ๐ = (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ )) -s (๐ ยทs ๐ ))})(((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐)) -s (๐ ยทs ๐)) โคs ๐ง) |
302 | | eqeq1 2735 |
. . . . . . . . 9
โข (โ = ๐ฅ๐ โ (โ = (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐)) -s (๐ ยทs ๐)) โ ๐ฅ๐ = (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐)) -s (๐ ยทs ๐)))) |
303 | 302 | 2rexbidv 3218 |
. . . . . . . 8
โข (โ = ๐ฅ๐ โ (โ๐ โ ( R โ๐ด)โ๐ โ ( R โ๐ต)โ = (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐)) -s (๐ ยทs ๐)) โ โ๐ โ ( R โ๐ด)โ๐ โ ( R โ๐ต)๐ฅ๐ = (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐)) -s (๐ ยทs ๐)))) |
304 | 303 | ralab 3683 |
. . . . . . 7
โข
(โ๐ฅ๐ โ {โ โฃ โ๐ โ ( R โ๐ด)โ๐ โ ( R โ๐ต)โ = (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐)) -s (๐ ยทs ๐))}โ๐ง โ ({๐ โฃ โ๐ โ ๐ฟ โ๐ โ ๐ ๐ = (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐)) -s (๐ ยทs ๐))} โช {๐ โฃ โ๐ โ ๐
โ๐ โ ๐ ๐ = (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ )) -s (๐ ยทs ๐ ))})๐ฅ๐ โคs ๐ง โ โ๐ฅ๐(โ๐ โ ( R โ๐ด)โ๐ โ ( R โ๐ต)๐ฅ๐ = (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐)) -s (๐ ยทs ๐)) โ โ๐ง โ ({๐ โฃ โ๐ โ ๐ฟ โ๐ โ ๐ ๐ = (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐)) -s (๐ ยทs ๐))} โช {๐ โฃ โ๐ โ ๐
โ๐ โ ๐ ๐ = (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ )) -s (๐ ยทs ๐ ))})๐ฅ๐ โคs ๐ง)) |
305 | | r19.23v 3181 |
. . . . . . . . . 10
โข
(โ๐ โ (
R โ๐ต)(๐ฅ๐ = (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐)) -s (๐ ยทs ๐)) โ โ๐ง โ ({๐ โฃ โ๐ โ ๐ฟ โ๐ โ ๐ ๐ = (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐)) -s (๐ ยทs ๐))} โช {๐ โฃ โ๐ โ ๐
โ๐ โ ๐ ๐ = (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ )) -s (๐ ยทs ๐ ))})๐ฅ๐ โคs ๐ง) โ (โ๐ โ ( R โ๐ต)๐ฅ๐ = (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐)) -s (๐ ยทs ๐)) โ โ๐ง โ ({๐ โฃ โ๐ โ ๐ฟ โ๐ โ ๐ ๐ = (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐)) -s (๐ ยทs ๐))} โช {๐ โฃ โ๐ โ ๐
โ๐ โ ๐ ๐ = (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ )) -s (๐ ยทs ๐ ))})๐ฅ๐ โคs ๐ง)) |
306 | 305 | ralbii 3092 |
. . . . . . . . 9
โข
(โ๐ โ (
R โ๐ด)โ๐ โ ( R โ๐ต)(๐ฅ๐ = (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐)) -s (๐ ยทs ๐)) โ โ๐ง โ ({๐ โฃ โ๐ โ ๐ฟ โ๐ โ ๐ ๐ = (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐)) -s (๐ ยทs ๐))} โช {๐ โฃ โ๐ โ ๐
โ๐ โ ๐ ๐ = (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ )) -s (๐ ยทs ๐ ))})๐ฅ๐ โคs ๐ง) โ โ๐ โ ( R โ๐ด)(โ๐ โ ( R โ๐ต)๐ฅ๐ = (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐)) -s (๐ ยทs ๐)) โ โ๐ง โ ({๐ โฃ โ๐ โ ๐ฟ โ๐ โ ๐ ๐ = (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐)) -s (๐ ยทs ๐))} โช {๐ โฃ โ๐ โ ๐
โ๐ โ ๐ ๐ = (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ )) -s (๐ ยทs ๐ ))})๐ฅ๐ โคs ๐ง)) |
307 | | r19.23v 3181 |
. . . . . . . . 9
โข
(โ๐ โ (
R โ๐ด)(โ๐ โ ( R โ๐ต)๐ฅ๐ = (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐)) -s (๐ ยทs ๐)) โ โ๐ง โ ({๐ โฃ โ๐ โ ๐ฟ โ๐ โ ๐ ๐ = (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐)) -s (๐ ยทs ๐))} โช {๐ โฃ โ๐ โ ๐
โ๐ โ ๐ ๐ = (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ )) -s (๐ ยทs ๐ ))})๐ฅ๐ โคs ๐ง) โ (โ๐ โ ( R โ๐ด)โ๐ โ ( R โ๐ต)๐ฅ๐ = (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐)) -s (๐ ยทs ๐)) โ โ๐ง โ ({๐ โฃ โ๐ โ ๐ฟ โ๐ โ ๐ ๐ = (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐)) -s (๐ ยทs ๐))} โช {๐ โฃ โ๐ โ ๐
โ๐ โ ๐ ๐ = (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ )) -s (๐ ยทs ๐ ))})๐ฅ๐ โคs ๐ง)) |
308 | 306, 307 | bitri 274 |
. . . . . . . 8
โข
(โ๐ โ (
R โ๐ด)โ๐ โ ( R โ๐ต)(๐ฅ๐ = (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐)) -s (๐ ยทs ๐)) โ โ๐ง โ ({๐ โฃ โ๐ โ ๐ฟ โ๐ โ ๐ ๐ = (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐)) -s (๐ ยทs ๐))} โช {๐ โฃ โ๐ โ ๐
โ๐ โ ๐ ๐ = (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ )) -s (๐ ยทs ๐ ))})๐ฅ๐ โคs ๐ง) โ (โ๐ โ ( R โ๐ด)โ๐ โ ( R โ๐ต)๐ฅ๐ = (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐)) -s (๐ ยทs ๐)) โ โ๐ง โ ({๐ โฃ โ๐ โ ๐ฟ โ๐ โ ๐ ๐ = (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐)) -s (๐ ยทs ๐))} โช {๐ โฃ โ๐ โ ๐
โ๐ โ ๐ ๐ = (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ )) -s (๐ ยทs ๐ ))})๐ฅ๐ โคs ๐ง)) |
309 | 308 | albii 1821 |
. . . . . . 7
โข
(โ๐ฅ๐โ๐ โ ( R โ๐ด)โ๐ โ ( R โ๐ต)(๐ฅ๐ = (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐)) -s (๐ ยทs ๐)) โ โ๐ง โ ({๐ โฃ โ๐ โ ๐ฟ โ๐ โ ๐ ๐ = (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐)) -s (๐ ยทs ๐))} โช {๐ โฃ โ๐ โ ๐
โ๐ โ ๐ ๐ = (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ )) -s (๐ ยทs ๐ ))})๐ฅ๐ โคs ๐ง) โ โ๐ฅ๐(โ๐ โ ( R โ๐ด)โ๐ โ ( R โ๐ต)๐ฅ๐ = (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐)) -s (๐ ยทs ๐)) โ โ๐ง โ ({๐ โฃ โ๐ โ ๐ฟ โ๐ โ ๐ ๐ = (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐)) -s (๐ ยทs ๐))} โช {๐ โฃ โ๐ โ ๐
โ๐ โ ๐ ๐ = (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ )) -s (๐ ยทs ๐ ))})๐ฅ๐ โคs ๐ง)) |
310 | | ralcom4 3282 |
. . . . . . . 8
โข
(โ๐ โ (
R โ๐ด)โ๐ฅ๐โ๐ โ ( R โ๐ต)(๐ฅ๐ = (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐)) -s (๐ ยทs ๐)) โ โ๐ง โ ({๐ โฃ โ๐ โ ๐ฟ โ๐ โ ๐ ๐ = (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐)) -s (๐ ยทs ๐))} โช {๐ โฃ โ๐ โ ๐
โ๐ โ ๐ ๐ = (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ )) -s (๐ ยทs ๐ ))})๐ฅ๐ โคs ๐ง) โ โ๐ฅ๐โ๐ โ ( R โ๐ด)โ๐ โ ( R โ๐ต)(๐ฅ๐ = (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐)) -s (๐ ยทs ๐)) โ โ๐ง โ ({๐ โฃ โ๐ โ ๐ฟ โ๐ โ ๐ ๐ = (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐)) -s (๐ ยทs ๐))} โช {๐ โฃ โ๐ โ ๐
โ๐ โ ๐ ๐ = (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ )) -s (๐ ยทs ๐ ))})๐ฅ๐ โคs ๐ง)) |
311 | | ralcom4 3282 |
. . . . . . . . . 10
โข
(โ๐ โ (
R โ๐ต)โ๐ฅ๐(๐ฅ๐ = (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐)) -s (๐ ยทs ๐)) โ โ๐ง โ ({๐ โฃ โ๐ โ ๐ฟ โ๐ โ ๐ ๐ = (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐)) -s (๐ ยทs ๐))} โช {๐ โฃ โ๐ โ ๐
โ๐ โ ๐ ๐ = (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ )) -s (๐ ยทs ๐ ))})๐ฅ๐ โคs ๐ง) โ โ๐ฅ๐โ๐ โ ( R โ๐ต)(๐ฅ๐ = (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐)) -s (๐ ยทs ๐)) โ โ๐ง โ ({๐ โฃ โ๐ โ ๐ฟ โ๐ โ ๐ ๐ = (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐)) -s (๐ ยทs ๐))} โช {๐ โฃ โ๐ โ ๐
โ๐ โ ๐ ๐ = (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ )) -s (๐ ยทs ๐ ))})๐ฅ๐ โคs ๐ง)) |
312 | | ovex 7426 |
. . . . . . . . . . . 12
โข (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐)) -s (๐ ยทs ๐)) โ V |
313 | | breq1 5144 |
. . . . . . . . . . . . 13
โข (๐ฅ๐ = (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐)) -s (๐ ยทs ๐)) โ (๐ฅ๐ โคs ๐ง โ (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐)) -s (๐ ยทs ๐)) โคs ๐ง)) |
314 | 313 | rexbidv 3177 |
. . . . . . . . . . . 12
โข (๐ฅ๐ = (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐)) -s (๐ ยทs ๐)) โ (โ๐ง โ ({๐ โฃ โ๐ โ ๐ฟ โ๐ โ ๐ ๐ = (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐)) -s (๐ ยทs ๐))} โช {๐ โฃ โ๐ โ ๐
โ๐ โ ๐ ๐ = (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ )) -s (๐ ยทs ๐ ))})๐ฅ๐ โคs ๐ง โ โ๐ง โ ({๐ โฃ โ๐ โ ๐ฟ โ๐ โ ๐ ๐ = (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐)) -s (๐ ยทs ๐))} โช {๐ โฃ โ๐ โ ๐
โ๐ โ ๐ ๐ = (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ )) -s (๐ ยทs ๐ ))})(((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐)) -s (๐ ยทs ๐)) โคs ๐ง)) |
315 | 312, 314 | ceqsalv 3509 |
. . . . . . . . . . 11
โข
(โ๐ฅ๐(๐ฅ๐ = (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐)) -s (๐ ยทs ๐)) โ โ๐ง โ ({๐ โฃ โ๐ โ ๐ฟ โ๐ โ ๐ ๐ = (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐)) -s (๐ ยทs ๐))} โช {๐ โฃ โ๐ โ ๐
โ๐ โ ๐ ๐ = (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ )) -s (๐ ยทs ๐ ))})๐ฅ๐ โคs ๐ง) โ โ๐ง โ ({๐ โฃ โ๐ โ ๐ฟ โ๐ โ ๐ ๐ = (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐)) -s (๐ ยทs ๐))} โช {๐ โฃ โ๐ โ ๐
โ๐ โ ๐ ๐ = (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ )) -s (๐ ยทs ๐ ))})(((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐)) -s (๐ ยทs ๐)) โคs ๐ง) |
316 | 315 | ralbii 3092 |
. . . . . . . . . 10
โข
(โ๐ โ (
R โ๐ต)โ๐ฅ๐(๐ฅ๐ = (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐)) -s (๐ ยทs ๐)) โ โ๐ง โ ({๐ โฃ โ๐ โ ๐ฟ โ๐ โ ๐ ๐ = (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐)) -s (๐ ยทs ๐))} โช {๐ โฃ โ๐ โ ๐
โ๐ โ ๐ ๐ = (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ )) -s (๐ ยทs ๐ ))})๐ฅ๐ โคs ๐ง) โ โ๐ โ ( R โ๐ต)โ๐ง โ ({๐ โฃ โ๐ โ ๐ฟ โ๐ โ ๐ ๐ = (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐)) -s (๐ ยทs ๐))} โช {๐ โฃ โ๐ โ ๐
โ๐ โ ๐ ๐ = (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ )) -s (๐ ยทs ๐ ))})(((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐)) -s (๐ ยทs ๐)) โคs ๐ง) |
317 | 311, 316 | bitr3i 276 |
. . . . . . . . 9
โข
(โ๐ฅ๐โ๐ โ ( R โ๐ต)(๐ฅ๐ = (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐)) -s (๐ ยทs ๐)) โ โ๐ง โ ({๐ โฃ โ๐ โ ๐ฟ โ๐ โ ๐ ๐ = (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐)) -s (๐ ยทs ๐))} โช {๐ โฃ โ๐ โ ๐
โ๐ โ ๐ ๐ = (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ )) -s (๐ ยทs ๐ ))})๐ฅ๐ โคs ๐ง) โ โ๐ โ ( R โ๐ต)โ๐ง โ ({๐ โฃ โ๐ โ ๐ฟ โ๐ โ ๐ ๐ = (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐)) -s (๐ ยทs ๐))} โช {๐ โฃ โ๐ โ ๐
โ๐ โ ๐ ๐ = (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ )) -s (๐ ยทs ๐ ))})(((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐)) -s (๐ ยทs ๐)) โคs ๐ง) |
318 | 317 | ralbii 3092 |
. . . . . . . 8
โข
(โ๐ โ (
R โ๐ด)โ๐ฅ๐โ๐ โ ( R โ๐ต)(๐ฅ๐ = (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐)) -s (๐ ยทs ๐)) โ โ๐ง โ ({๐ โฃ โ๐ โ ๐ฟ โ๐ โ ๐ ๐ = (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐)) -s (๐ ยทs ๐))} โช {๐ โฃ โ๐ โ ๐
โ๐ โ ๐ ๐ = (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ )) -s (๐ ยทs ๐ ))})๐ฅ๐ โคs ๐ง) โ โ๐ โ ( R โ๐ด)โ๐ โ ( R โ๐ต)โ๐ง โ ({๐ โฃ โ๐ โ ๐ฟ โ๐ โ ๐ ๐ = (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐)) -s (๐ ยทs ๐))} โช {๐ โฃ โ๐ โ ๐
โ๐ โ ๐ ๐ = (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ )) -s (๐ ยทs ๐ ))})(((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐)) -s (๐ ยทs ๐)) โคs ๐ง) |
319 | 310, 318 | bitr3i 276 |
. . . . . . 7
โข
(โ๐ฅ๐โ๐ โ ( R โ๐ด)โ๐ โ ( R โ๐ต)(๐ฅ๐ = (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐)) -s (๐ ยทs ๐)) โ โ๐ง โ ({๐ โฃ โ๐ โ ๐ฟ โ๐ โ ๐ ๐ = (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐)) -s (๐ ยทs ๐))} โช {๐ โฃ โ๐ โ ๐
โ๐ โ ๐ ๐ = (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ )) -s (๐ ยทs ๐ ))})๐ฅ๐ โคs ๐ง) โ โ๐ โ ( R โ๐ด)โ๐ โ ( R โ๐ต)โ๐ง โ ({๐ โฃ โ๐ โ ๐ฟ โ๐ โ ๐ ๐ = (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐)) -s (๐ ยทs ๐))} โช {๐ โฃ โ๐ โ ๐
โ๐ โ ๐ ๐ = (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ )) -s (๐ ยทs ๐ ))})(((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐)) -s (๐ ยทs ๐)) โคs ๐ง) |
320 | 304, 309,
319 | 3bitr2i 298 |
. . . . . 6
โข
(โ๐ฅ๐ โ {โ โฃ โ๐ โ ( R โ๐ด)โ๐ โ ( R โ๐ต)โ = (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐)) -s (๐ ยทs ๐))}โ๐ง โ ({๐ โฃ โ๐ โ ๐ฟ โ๐ โ ๐ ๐ = (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐)) -s (๐ ยทs ๐))} โช {๐ โฃ โ๐ โ ๐
โ๐ โ ๐ ๐ = (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ )) -s (๐ ยทs ๐ ))})๐ฅ๐ โคs ๐ง โ โ๐ โ ( R โ๐ด)โ๐ โ ( R โ๐ต)โ๐ง โ ({๐ โฃ โ๐ โ ๐ฟ โ๐ โ ๐ ๐ = (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐)) -s (๐ ยทs ๐))} โช {๐ โฃ โ๐ โ ๐
โ๐ โ ๐ ๐ = (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ )) -s (๐ ยทs ๐ ))})(((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐)) -s (๐ ยทs ๐)) โคs ๐ง) |
321 | 301, 320 | anbi12i 627 |
. . . . 5
โข
((โ๐ฅ๐ โ {๐ โฃ โ๐ โ ( L โ๐ด)โ๐ โ ( L โ๐ต)๐ = (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐)) -s (๐ ยทs ๐))}โ๐ง โ ({๐ โฃ โ๐ โ ๐ฟ โ๐ โ ๐ ๐ = (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐)) -s (๐ ยทs ๐))} โช {๐ โฃ โ๐ โ ๐
โ๐ โ ๐ ๐ = (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ )) -s (๐ ยทs ๐ ))})๐ฅ๐ โคs ๐ง โง โ๐ฅ๐ โ {โ โฃ โ๐ โ ( R โ๐ด)โ๐ โ ( R โ๐ต)โ = (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐)) -s (๐ ยทs ๐))}โ๐ง โ ({๐ โฃ โ๐ โ ๐ฟ โ๐ โ ๐ ๐ = (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐)) -s (๐ ยทs ๐))} โช {๐ โฃ โ๐ โ ๐
โ๐ โ ๐ ๐ = (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ )) -s (๐ ยทs ๐ ))})๐ฅ๐ โคs ๐ง) โ (โ๐ โ ( L โ๐ด)โ๐ โ ( L โ๐ต)โ๐ง โ ({๐ โฃ โ๐ โ ๐ฟ โ๐ โ ๐ ๐ = (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐)) -s (๐ ยทs ๐))} โช {๐ โฃ โ๐ โ ๐
โ๐ โ ๐ ๐ = (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ )) -s (๐ ยทs ๐ ))})(((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐)) -s (๐ ยทs ๐)) โคs ๐ง โง โ๐ โ ( R โ๐ด)โ๐ โ ( R โ๐ต)โ๐ง โ ({๐ โฃ โ๐ โ ๐ฟ โ๐ โ ๐ ๐ = (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐)) -s (๐ ยทs ๐))} โช {๐ โฃ โ๐ โ ๐
โ๐ โ ๐ ๐ = (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ )) -s (๐ ยทs ๐ ))})(((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐)) -s (๐ ยทs ๐)) โคs ๐ง)) |
322 | 282, 321 | bitri 274 |
. . . 4
โข
(โ๐ฅ๐ โ ({๐ โฃ โ๐ โ ( L โ๐ด)โ๐ โ ( L โ๐ต)๐ = (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐)) -s (๐ ยทs ๐))} โช {โ โฃ โ๐ โ ( R โ๐ด)โ๐ โ ( R โ๐ต)โ = (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐)) -s (๐ ยทs ๐))})โ๐ง โ ({๐ โฃ โ๐ โ ๐ฟ โ๐ โ ๐ ๐ = (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐)) -s (๐ ยทs ๐))} โช {๐ โฃ โ๐ โ ๐
โ๐ โ ๐ ๐ = (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ )) -s (๐ ยทs ๐ ))})๐ฅ๐ โคs ๐ง โ (โ๐ โ ( L โ๐ด)โ๐ โ ( L โ๐ต)โ๐ง โ ({๐ โฃ โ๐ โ ๐ฟ โ๐ โ ๐ ๐ = (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐)) -s (๐ ยทs ๐))} โช {๐ โฃ โ๐ โ ๐
โ๐ โ ๐ ๐ = (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ )) -s (๐ ยทs ๐ ))})(((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐)) -s (๐ ยทs ๐)) โคs ๐ง โง โ๐ โ ( R โ๐ด)โ๐ โ ( R โ๐ต)โ๐ง โ ({๐ โฃ โ๐ โ ๐ฟ โ๐ โ ๐ ๐ = (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐)) -s (๐ ยทs ๐))} โช {๐ โฃ โ๐ โ ๐
โ๐ โ ๐ ๐ = (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ )) -s (๐ ยทs ๐ ))})(((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐)) -s (๐ ยทs ๐)) โคs ๐ง)) |
323 | 148, 281,
322 | sylanbrc 583 |
. . 3
โข (๐ โ โ๐ฅ๐ โ ({๐ โฃ โ๐ โ ( L โ๐ด)โ๐ โ ( L โ๐ต)๐ = (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐)) -s (๐ ยทs ๐))} โช {โ โฃ โ๐ โ ( R โ๐ด)โ๐ โ ( R โ๐ต)โ = (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐)) -s (๐ ยทs ๐))})โ๐ง โ ({๐ โฃ โ๐ โ ๐ฟ โ๐ โ ๐ ๐ = (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐)) -s (๐ ยทs ๐))} โช {๐ โฃ โ๐ โ ๐
โ๐ โ ๐ ๐ = (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ )) -s (๐ ยทs ๐ ))})๐ฅ๐ โคs ๐ง) |
324 | 2, 1 | cofcutr1d 27332 |
. . . . . 6
โข (๐ โ โ๐ โ ( L โ๐ด)โ๐ก โ ๐ฟ ๐ โคs ๐ก) |
325 | 6, 5 | cofcutr2d 27333 |
. . . . . . . . . 10
โข (๐ โ โ๐ โ ( R โ๐ต)โ๐ข โ ๐ ๐ข โคs ๐) |
326 | 325 | adantr 481 |
. . . . . . . . 9
โข ((๐ โง (๐ โ ( L โ๐ด) โง โ๐ก โ ๐ฟ ๐ โคs ๐ก)) โ โ๐ โ ( R โ๐ต)โ๐ข โ ๐ ๐ข โคs ๐) |
327 | | reeanv 3225 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
โข
(โ๐ก โ
๐ฟ โ๐ข โ ๐ (๐ โคs ๐ก โง ๐ข โคs ๐) โ (โ๐ก โ ๐ฟ ๐ โคs ๐ก โง โ๐ข โ ๐ ๐ข โคs ๐)) |
328 | 33 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
โข ((๐ โง (๐ก โ ๐ฟ โง ๐ข โ ๐)) โ ๐ฟ โ No
) |
329 | | simprl 769 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
โข ((๐ โง (๐ก โ ๐ฟ โง ๐ข โ ๐)) โ ๐ก โ ๐ฟ) |
330 | 328, 329 | sseldd 3979 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
โข ((๐ โง (๐ก โ ๐ฟ โง ๐ข โ ๐)) โ ๐ก โ No
) |
331 | 330 | adantrl 714 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
โข ((๐ โง ((๐ โ ( L โ๐ด) โง ๐ โ ( R โ๐ต)) โง (๐ก โ ๐ฟ โง ๐ข โ ๐))) โ ๐ก โ No
) |
332 | 8 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
โข ((๐ โง ((๐ โ ( L โ๐ด) โง ๐ โ ( R โ๐ต)) โง (๐ก โ ๐ฟ โง ๐ข โ ๐))) โ ๐ต โ No
) |
333 | 331, 332 | mulscld 27504 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
โข ((๐ โง ((๐ โ ( L โ๐ด) โง ๐ โ ( R โ๐ต)) โง (๐ก โ ๐ฟ โง ๐ข โ ๐))) โ (๐ก ยทs ๐ต) โ No
) |
334 | 4 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
โข ((๐ โง ((๐ โ ( L โ๐ด) โง ๐ โ ( R โ๐ต)) โง (๐ก โ ๐ฟ โง ๐ข โ ๐))) โ ๐ด โ No
) |
335 | 181 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
โข ((๐ โง (๐ก โ ๐ฟ โง ๐ข โ ๐)) โ ๐ โ No
) |
336 | | simprr 771 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
โข ((๐ โง (๐ก โ ๐ฟ โง ๐ข โ ๐)) โ ๐ข โ ๐) |
337 | 335, 336 | sseldd 3979 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
โข ((๐ โง (๐ก โ ๐ฟ โง ๐ข โ ๐)) โ ๐ข โ No
) |
338 | 337 | adantrl 714 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
โข ((๐ โง ((๐ โ ( L โ๐ด) โง ๐ โ ( R โ๐ต)) โง (๐ก โ ๐ฟ โง ๐ข โ ๐))) โ ๐ข โ No
) |
339 | 334, 338 | mulscld 27504 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
โข ((๐ โง ((๐ โ ( L โ๐ด) โง ๐ โ ( R โ๐ต)) โง (๐ก โ ๐ฟ โง ๐ข โ ๐))) โ (๐ด ยทs ๐ข) โ No
) |
340 | 333, 339 | addscld 27380 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
โข ((๐ โง ((๐ โ ( L โ๐ด) โง ๐ โ ( R โ๐ต)) โง (๐ก โ ๐ฟ โง ๐ข โ ๐))) โ ((๐ก ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ข)) โ No
) |
341 | 331, 338 | mulscld 27504 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
โข ((๐ โง ((๐ โ ( L โ๐ด) โง ๐ โ ( R โ๐ต)) โง (๐ก โ ๐ฟ โง ๐ข โ ๐))) โ (๐ก ยทs ๐ข) โ No
) |
342 | 340, 341 | subscld 27449 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
โข ((๐ โง ((๐ โ ( L โ๐ด) โง ๐ โ ( R โ๐ต)) โง (๐ก โ ๐ฟ โง ๐ข โ ๐))) โ (((๐ก ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ข)) -s (๐ก ยทs ๐ข)) โ No
) |
343 | 342 | adantrrr 723 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
โข ((๐ โง ((๐ โ ( L โ๐ด) โง ๐ โ ( R โ๐ต)) โง ((๐ก โ ๐ฟ โง ๐ข โ ๐) โง (๐ โคs ๐ก โง ๐ข โคs ๐)))) โ (((๐ก ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ข)) -s (๐ก ยทs ๐ข)) โ No
) |
344 | | simprl 769 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
โข ((๐ โง (๐ โ ( L โ๐ด) โง ๐ โ ( R โ๐ต))) โ ๐ โ ( L โ๐ด)) |
345 | 16, 344 | sselid 3976 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
โข ((๐ โง (๐ โ ( L โ๐ด) โง ๐ โ ( R โ๐ต))) โ ๐ โ No
) |
346 | 8 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
โข ((๐ โง (๐ โ ( L โ๐ด) โง ๐ โ ( R โ๐ต))) โ ๐ต โ No
) |
347 | 345, 346 | mulscld 27504 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
โข ((๐ โง (๐ โ ( L โ๐ด) โง ๐ โ ( R โ๐ต))) โ (๐ ยทs ๐ต) โ No
) |
348 | 347 | adantrr 715 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
โข ((๐ โง ((๐ โ ( L โ๐ด) โง ๐ โ ( R โ๐ต)) โง (๐ก โ ๐ฟ โง ๐ข โ ๐))) โ (๐ ยทs ๐ต) โ No
) |
349 | 348, 339 | addscld 27380 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
โข ((๐ โง ((๐ โ ( L โ๐ด) โง ๐ โ ( R โ๐ต)) โง (๐ก โ ๐ฟ โง ๐ข โ ๐))) โ ((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ข)) โ No
) |
350 | 345 | adantrr 715 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
โข ((๐ โง ((๐ โ ( L โ๐ด) โง ๐ โ ( R โ๐ต)) โง (๐ก โ ๐ฟ โง ๐ข โ ๐))) โ ๐ โ No
) |
351 | 350, 338 | mulscld 27504 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
โข ((๐ โง ((๐ โ ( L โ๐ด) โง ๐ โ ( R โ๐ต)) โง (๐ก โ ๐ฟ โง ๐ข โ ๐))) โ (๐ ยทs ๐ข) โ No
) |
352 | 349, 351 | subscld 27449 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
โข ((๐ โง ((๐ โ ( L โ๐ด) โง ๐ โ ( R โ๐ต)) โง (๐ก โ ๐ฟ โง ๐ข โ ๐))) โ (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ข)) -s (๐ ยทs ๐ข)) โ No
) |
353 | 352 | adantrrr 723 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
โข ((๐ โง ((๐ โ ( L โ๐ด) โง ๐ โ ( R โ๐ต)) โง ((๐ก โ ๐ฟ โง ๐ข โ ๐) โง (๐ โคs ๐ก โง ๐ข โคs ๐)))) โ (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ข)) -s (๐ ยทs ๐ข)) โ No
) |
354 | 4 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
โข ((๐ โง (๐ โ ( L โ๐ด) โง ๐ โ ( R โ๐ต))) โ ๐ด โ No
) |
355 | | simprr 771 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
โข ((๐ โง (๐ โ ( L โ๐ด) โง ๐ โ ( R โ๐ต))) โ ๐ โ ( R โ๐ต)) |
356 | 160, 355 | sselid 3976 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
โข ((๐ โง (๐ โ ( L โ๐ด) โง ๐ โ ( R โ๐ต))) โ ๐ โ No
) |
357 | 354, 356 | mulscld 27504 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
โข ((๐ โง (๐ โ ( L โ๐ด) โง ๐ โ ( R โ๐ต))) โ (๐ด ยทs ๐) โ No
) |
358 | 357 | adantrr 715 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
โข ((๐ โง ((๐ โ ( L โ๐ด) โง ๐ โ ( R โ๐ต)) โง (๐ก โ ๐ฟ โง ๐ข โ ๐))) โ (๐ด ยทs ๐) โ No
) |
359 | 348, 358 | addscld 27380 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
โข ((๐ โง ((๐ โ ( L โ๐ด) โง ๐ โ ( R โ๐ต)) โง (๐ก โ ๐ฟ โง ๐ข โ ๐))) โ ((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐)) โ No
) |
360 | 345, 356 | mulscld 27504 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
โข ((๐ โง (๐ โ ( L โ๐ด) โง ๐ โ ( R โ๐ต))) โ (๐ ยทs ๐) โ No
) |
361 | 360 | adantrr 715 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
โข ((๐ โง ((๐ โ ( L โ๐ด) โง ๐ โ ( R โ๐ต)) โง (๐ก โ ๐ฟ โง ๐ข โ ๐))) โ (๐ ยทs ๐) โ No
) |
362 | 359, 361 | subscld 27449 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
โข ((๐ โง ((๐ โ ( L โ๐ด) โง ๐ โ ( R โ๐ต)) โง (๐ก โ ๐ฟ โง ๐ข โ ๐))) โ (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐)) -s (๐ ยทs ๐)) โ No
) |
363 | 362 | adantrrr 723 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
โข ((๐ โง ((๐ โ ( L โ๐ด) โง ๐ โ ( R โ๐ต)) โง ((๐ก โ ๐ฟ โง ๐ข โ ๐) โง (๐ โคs ๐ก โง ๐ข โคs ๐)))) โ (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐)) -s (๐ ยทs ๐)) โ No
) |
364 | 345 | adantrr 715 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
โข ((๐ โง ((๐ โ ( L โ๐ด) โง ๐ โ ( R โ๐ต)) โง ((๐ก โ ๐ฟ โง ๐ข โ ๐) โง (๐ โคs ๐ก โง ๐ข โคs ๐)))) โ ๐ โ No
) |
365 | 331 | adantrrr 723 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
โข ((๐ โง ((๐ โ ( L โ๐ด) โง ๐ โ ( R โ๐ต)) โง ((๐ก โ ๐ฟ โง ๐ข โ ๐) โง (๐ โคs ๐ก โง ๐ข โคs ๐)))) โ ๐ก โ No
) |
366 | 8 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
โข ((๐ โง ((๐ โ ( L โ๐ด) โง ๐ โ ( R โ๐ต)) โง ((๐ก โ ๐ฟ โง ๐ข โ ๐) โง (๐ โคs ๐ก โง ๐ข โคs ๐)))) โ ๐ต โ No
) |
367 | 338 | adantrrr 723 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
โข ((๐ โง ((๐ โ ( L โ๐ด) โง ๐ โ ( R โ๐ต)) โง ((๐ก โ ๐ฟ โง ๐ข โ ๐) โง (๐ โคs ๐ก โง ๐ข โคs ๐)))) โ ๐ข โ No
) |
368 | | simprrl 779 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
โข (((๐ โ ( L โ๐ด) โง ๐ โ ( R โ๐ต)) โง ((๐ก โ ๐ฟ โง ๐ข โ ๐) โง (๐ โคs ๐ก โง ๐ข โคs ๐))) โ ๐ โคs ๐ก) |
369 | 368 | adantl 482 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
โข ((๐ โง ((๐ โ ( L โ๐ด) โง ๐ โ ( R โ๐ต)) โง ((๐ก โ ๐ฟ โง ๐ข โ ๐) โง (๐ โคs ๐ก โง ๐ข โคs ๐)))) โ ๐ โคs ๐ก) |
370 | 8 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
โข ((๐ โง (๐ก โ ๐ฟ โง ๐ข โ ๐)) โ ๐ต โ No
) |
371 | | scutcut 27228 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
โข (๐ <<s ๐ โ ((๐ |s ๐) โ No
โง ๐ <<s {(๐ |s ๐)} โง {(๐ |s ๐)} <<s ๐)) |
372 | 6, 371 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
โข (๐ โ ((๐ |s ๐) โ No
โง ๐ <<s {(๐ |s ๐)} โง {(๐ |s ๐)} <<s ๐)) |
373 | 372 | simp3d 1144 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
โข (๐ โ {(๐ |s ๐)} <<s ๐) |
374 | 373 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
โข ((๐ โง (๐ก โ ๐ฟ โง ๐ข โ ๐)) โ {(๐ |s ๐)} <<s ๐) |
375 | | ovex 7426 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
โข (๐ |s ๐) โ V |
376 | 375 | snid 4658 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
โข (๐ |s ๐) โ {(๐ |s ๐)} |
377 | 5, 376 | eqeltrdi 2840 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
โข (๐ โ ๐ต โ {(๐ |s ๐)}) |
378 | 377 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
โข ((๐ โง (๐ก โ ๐ฟ โง ๐ข โ ๐)) โ ๐ต โ {(๐ |s ๐)}) |
379 | 374, 378,
336 | ssltsepcd 27221 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
โข ((๐ โง (๐ก โ ๐ฟ โง ๐ข โ ๐)) โ ๐ต <s ๐ข) |
380 | 370, 337,
379 | sltled 27199 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
โข ((๐ โง (๐ก โ ๐ฟ โง ๐ข โ ๐)) โ ๐ต โคs ๐ข) |
381 | 380 | adantrl 714 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
โข ((๐ โง ((๐ โ ( L โ๐ด) โง ๐ โ ( R โ๐ต)) โง (๐ก โ ๐ฟ โง ๐ข โ ๐))) โ ๐ต โคs ๐ข) |
382 | 381 | adantrrr 723 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
โข ((๐ โง ((๐ โ ( L โ๐ด) โง ๐ โ ( R โ๐ต)) โง ((๐ก โ ๐ฟ โง ๐ข โ ๐) โง (๐ โคs ๐ก โง ๐ข โคs ๐)))) โ ๐ต โคs ๐ข) |
383 | 364, 365,
366, 367, 369, 382 | slemuld 27507 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
โข ((๐ โง ((๐ โ ( L โ๐ด) โง ๐ โ ( R โ๐ต)) โง ((๐ก โ ๐ฟ โง ๐ข โ ๐) โง (๐ โคs ๐ก โง ๐ข โคs ๐)))) โ ((๐ ยทs ๐ข) -s (๐ ยทs ๐ต)) โคs ((๐ก ยทs ๐ข) -s (๐ก ยทs ๐ต))) |
384 | 351, 348,
341, 333 | slesubsub2bd 27468 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
โข ((๐ โง ((๐ โ ( L โ๐ด) โง ๐ โ ( R โ๐ต)) โง (๐ก โ ๐ฟ โง ๐ข โ ๐))) โ (((๐ ยทs ๐ข) -s (๐ ยทs ๐ต)) โคs ((๐ก ยทs ๐ข) -s (๐ก ยทs ๐ต)) โ ((๐ก ยทs ๐ต) -s (๐ก ยทs ๐ข)) โคs ((๐ ยทs ๐ต) -s (๐ ยทs ๐ข)))) |
385 | 333, 341 | subscld 27449 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
โข ((๐ โง ((๐ โ ( L โ๐ด) โง ๐ โ ( R โ๐ต)) โง (๐ก โ ๐ฟ โง ๐ข โ ๐))) โ ((๐ก ยทs ๐ต) -s (๐ก ยทs ๐ข)) โ No
) |
386 | 348, 351 | subscld 27449 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
โข ((๐ โง ((๐ โ ( L โ๐ด) โง ๐ โ ( R โ๐ต)) โง (๐ก โ ๐ฟ โง ๐ข โ ๐))) โ ((๐ ยทs ๐ต) -s (๐ ยทs ๐ข)) โ No
) |
387 | 385, 386,
339 | sleadd1d 27394 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
โข ((๐ โง ((๐ โ ( L โ๐ด) โง ๐ โ ( R โ๐ต)) โง (๐ก โ ๐ฟ โง ๐ข โ ๐))) โ (((๐ก ยทs ๐ต) -s (๐ก ยทs ๐ข)) โคs ((๐ ยทs ๐ต) -s (๐ ยทs ๐ข)) โ (((๐ก ยทs ๐ต) -s (๐ก ยทs ๐ข)) +s (๐ด ยทs ๐ข)) โคs (((๐ ยทs ๐ต) -s (๐ ยทs ๐ข)) +s (๐ด ยทs ๐ข)))) |
388 | 384, 387 | bitrd 278 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
โข ((๐ โง ((๐ โ ( L โ๐ด) โง ๐ โ ( R โ๐ต)) โง (๐ก โ ๐ฟ โง ๐ข โ ๐))) โ (((๐ ยทs ๐ข) -s (๐ ยทs ๐ต)) โคs ((๐ก ยทs ๐ข) -s (๐ก ยทs ๐ต)) โ (((๐ก ยทs ๐ต) -s (๐ก ยทs ๐ข)) +s (๐ด ยทs ๐ข)) โคs (((๐ ยทs ๐ต) -s (๐ ยทs ๐ข)) +s (๐ด ยทs ๐ข)))) |
389 | 388 | adantrrr 723 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
โข ((๐ โง ((๐ โ ( L โ๐ด) โง ๐ โ ( R โ๐ต)) โง ((๐ก โ ๐ฟ โง ๐ข โ ๐) โง (๐ โคs ๐ก โง ๐ข โคs ๐)))) โ (((๐ ยทs ๐ข) -s (๐ ยทs ๐ต)) โคs ((๐ก ยทs ๐ข) -s (๐ก ยทs ๐ต)) โ (((๐ก ยทs ๐ต) -s (๐ก ยทs ๐ข)) +s (๐ด ยทs ๐ข)) โคs (((๐ ยทs ๐ต) -s (๐ ยทs ๐ข)) +s (๐ด ยทs ๐ข)))) |
390 | 383, 389 | mpbid 231 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
โข ((๐ โง ((๐ โ ( L โ๐ด) โง ๐ โ ( R โ๐ต)) โง ((๐ก โ ๐ฟ โง ๐ข โ ๐) โง (๐ โคs ๐ก โง ๐ข โคs ๐)))) โ (((๐ก ยทs ๐ต) -s (๐ก ยทs ๐ข)) +s (๐ด ยทs ๐ข)) โคs (((๐ ยทs ๐ต) -s (๐ ยทs ๐ข)) +s (๐ด ยทs ๐ข))) |
391 | 333, 339,
341 | addsubsd 27463 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
โข ((๐ โง ((๐ โ ( L โ๐ด) โง ๐ โ ( R โ๐ต)) โง (๐ก โ ๐ฟ โง ๐ข โ ๐))) โ (((๐ก ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ข)) -s (๐ก ยทs ๐ข)) = (((๐ก ยทs ๐ต) -s (๐ก ยทs ๐ข)) +s (๐ด ยทs ๐ข))) |
392 | 391 | adantrrr 723 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
โข ((๐ โง ((๐ โ ( L โ๐ด) โง ๐ โ ( R โ๐ต)) โง ((๐ก โ ๐ฟ โง ๐ข โ ๐) โง (๐ โคs ๐ก โง ๐ข โคs ๐)))) โ (((๐ก ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ข)) -s (๐ก ยทs ๐ข)) = (((๐ก ยทs ๐ต) -s (๐ก ยทs ๐ข)) +s (๐ด ยทs ๐ข))) |
393 | 348, 339,
351 | addsubsd 27463 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
โข ((๐ โง ((๐ โ ( L โ๐ด) โง ๐ โ ( R โ๐ต)) โง (๐ก โ ๐ฟ โง ๐ข โ ๐))) โ (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ข)) -s (๐ ยทs ๐ข)) = (((๐ ยทs ๐ต) -s (๐ ยทs ๐ข)) +s (๐ด ยทs ๐ข))) |
394 | 393 | adantrrr 723 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
โข ((๐ โง ((๐ โ ( L โ๐ด) โง ๐ โ ( R โ๐ต)) โง ((๐ก โ ๐ฟ โง ๐ข โ ๐) โง (๐ โคs ๐ก โง ๐ข โคs ๐)))) โ (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ข)) -s (๐ ยทs ๐ข)) = (((๐ ยทs ๐ต) -s (๐ ยทs ๐ข)) +s (๐ด ยทs ๐ข))) |
395 | 390, 392,
394 | 3brtr4d 5173 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
โข ((๐ โง ((๐ โ ( L โ๐ด) โง ๐ โ ( R โ๐ต)) โง ((๐ก โ ๐ฟ โง ๐ข โ ๐) โง (๐ โคs ๐ก โง ๐ข โคs ๐)))) โ (((๐ก ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ข)) -s (๐ก ยทs ๐ข)) โคs (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ข)) -s (๐ ยทs ๐ข))) |
396 | 4 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
โข ((๐ โง ((๐ โ ( L โ๐ด) โง ๐ โ ( R โ๐ต)) โง ((๐ก โ ๐ฟ โง ๐ข โ ๐) โง (๐ โคs ๐ก โง ๐ข โคs ๐)))) โ ๐ด โ No
) |
397 | 356 | adantrr 715 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
โข ((๐ โง ((๐ โ ( L โ๐ด) โง ๐ โ ( R โ๐ต)) โง ((๐ก โ ๐ฟ โง ๐ข โ ๐) โง (๐ โคs ๐ก โง ๐ข โคs ๐)))) โ ๐ โ No
) |
398 | | ssltleft 27288 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
โข (๐ด โ
No โ ( L โ๐ด) <<s {๐ด}) |
399 | 4, 398 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
โข (๐ โ ( L โ๐ด) <<s {๐ด}) |
400 | 399 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
โข ((๐ โง (๐ โ ( L โ๐ด) โง ๐ โ ( R โ๐ต))) โ ( L โ๐ด) <<s {๐ด}) |
401 | | snidg 4656 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
โข (๐ด โ
No โ ๐ด โ
{๐ด}) |
402 | 4, 401 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
โข (๐ โ ๐ด โ {๐ด}) |
403 | 402 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
โข ((๐ โง (๐ โ ( L โ๐ด) โง ๐ โ ( R โ๐ต))) โ ๐ด โ {๐ด}) |
404 | 400, 344,
403 | ssltsepcd 27221 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
โข ((๐ โง (๐ โ ( L โ๐ด) โง ๐ โ ( R โ๐ต))) โ ๐ <s ๐ด) |
405 | 345, 354,
404 | sltled 27199 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
โข ((๐ โง (๐ โ ( L โ๐ด) โง ๐ โ ( R โ๐ต))) โ ๐ โคs ๐ด) |
406 | 405 | adantrr 715 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
โข ((๐ โง ((๐ โ ( L โ๐ด) โง ๐ โ ( R โ๐ต)) โง ((๐ก โ ๐ฟ โง ๐ข โ ๐) โง (๐ โคs ๐ก โง ๐ข โคs ๐)))) โ ๐ โคs ๐ด) |
407 | | simprrr 780 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
โข (((๐ โ ( L โ๐ด) โง ๐ โ ( R โ๐ต)) โง ((๐ก โ ๐ฟ โง ๐ข โ ๐) โง (๐ โคs ๐ก โง ๐ข โคs ๐))) โ ๐ข โคs ๐) |
408 | 407 | adantl 482 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
โข ((๐ โง ((๐ โ ( L โ๐ด) โง ๐ โ ( R โ๐ต)) โง ((๐ก โ ๐ฟ โง ๐ข โ ๐) โง (๐ โคs ๐ก โง ๐ข โคs ๐)))) โ ๐ข โคs ๐) |
409 | 364, 396,
367, 397, 406, 408 | slemuld 27507 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
โข ((๐ โง ((๐ โ ( L โ๐ด) โง ๐ โ ( R โ๐ต)) โง ((๐ก โ ๐ฟ โง ๐ข โ ๐) โง (๐ โคs ๐ก โง ๐ข โคs ๐)))) โ ((๐ ยทs ๐) -s (๐ ยทs ๐ข)) โคs ((๐ด ยทs ๐) -s (๐ด ยทs ๐ข))) |
410 | 361, 358,
351, 339 | slesubsub3bd 27469 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
โข ((๐ โง ((๐ โ ( L โ๐ด) โง ๐ โ ( R โ๐ต)) โง (๐ก โ ๐ฟ โง ๐ข โ ๐))) โ (((๐ ยทs ๐) -s (๐ ยทs ๐ข)) โคs ((๐ด ยทs ๐) -s (๐ด ยทs ๐ข)) โ ((๐ด ยทs ๐ข) -s (๐ ยทs ๐ข)) โคs ((๐ด ยทs ๐) -s (๐ ยทs ๐)))) |
411 | 339, 351 | subscld 27449 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
โข ((๐ โง ((๐ โ ( L โ๐ด) โง ๐ โ ( R โ๐ต)) โง (๐ก โ ๐ฟ โง ๐ข โ ๐))) โ ((๐ด ยทs ๐ข) -s (๐ ยทs ๐ข)) โ No
) |
412 | 358, 361 | subscld 27449 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
โข ((๐ โง ((๐ โ ( L โ๐ด) โง ๐ โ ( R โ๐ต)) โง (๐ก โ ๐ฟ โง ๐ข โ ๐))) โ ((๐ด ยทs ๐) -s (๐ ยทs ๐)) โ No
) |
413 | 411, 412,
348 | sleadd2d 27395 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
โข ((๐ โง ((๐ โ ( L โ๐ด) โง ๐ โ ( R โ๐ต)) โง (๐ก โ ๐ฟ โง ๐ข โ ๐))) โ (((๐ด ยทs ๐ข) -s (๐ ยทs ๐ข)) โคs ((๐ด ยทs ๐) -s (๐ ยทs ๐)) โ ((๐ ยทs ๐ต) +s ((๐ด ยทs ๐ข) -s (๐ ยทs ๐ข))) โคs ((๐ ยทs ๐ต) +s ((๐ด ยทs ๐) -s (๐ ยทs ๐))))) |
414 | 410, 413 | bitrd 278 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
โข ((๐ โง ((๐ โ ( L โ๐ด) โง ๐ โ ( R โ๐ต)) โง (๐ก โ ๐ฟ โง ๐ข โ ๐))) โ (((๐ ยทs ๐) -s (๐ ยทs ๐ข)) โคs ((๐ด ยทs ๐) -s (๐ด ยทs ๐ข)) โ ((๐ ยทs ๐ต) +s ((๐ด ยทs ๐ข) -s (๐ ยทs ๐ข))) โคs ((๐ ยทs ๐ต) +s ((๐ด ยทs ๐) -s (๐ ยทs ๐))))) |
415 | 414 | adantrrr 723 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
โข ((๐ โง ((๐ โ ( L โ๐ด) โง ๐ โ ( R โ๐ต)) โง ((๐ก โ ๐ฟ โง ๐ข โ ๐) โง (๐ โคs ๐ก โง ๐ข โคs ๐)))) โ (((๐ ยทs ๐) -s (๐ ยทs ๐ข)) โคs ((๐ด ยทs ๐) -s (๐ด ยทs ๐ข)) โ ((๐ ยทs ๐ต) +s ((๐ด ยทs ๐ข) -s (๐ ยทs ๐ข))) โคs ((๐ ยทs ๐ต) +s ((๐ด ยทs ๐) -s (๐ ยทs ๐))))) |
416 | 409, 415 | mpbid 231 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
โข ((๐ โง ((๐ โ ( L โ๐ด) โง ๐ โ ( R โ๐ต)) โง ((๐ก โ ๐ฟ โง ๐ข โ ๐) โง (๐ โคs ๐ก โง ๐ข โคs ๐)))) โ ((๐ ยทs ๐ต) +s ((๐ด ยทs ๐ข) -s (๐ ยทs ๐ข))) โคs ((๐ ยทs ๐ต) +s ((๐ด ยทs ๐) -s (๐ ยทs ๐)))) |
417 | 348, 339,
351 | addsubsassd 27462 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
โข ((๐ โง ((๐ โ ( L โ๐ด) โง ๐ โ ( R โ๐ต)) โง (๐ก โ ๐ฟ โง ๐ข โ ๐))) โ (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ข)) -s (๐ ยทs ๐ข)) = ((๐ ยทs ๐ต) +s ((๐ด ยทs ๐ข) -s (๐ ยทs ๐ข)))) |
418 | 417 | adantrrr 723 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
โข ((๐ โง ((๐ โ ( L โ๐ด) โง ๐ โ ( R โ๐ต)) โง ((๐ก โ ๐ฟ โง ๐ข โ ๐) โง (๐ โคs ๐ก โง ๐ข โคs ๐)))) โ (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ข)) -s (๐ ยทs ๐ข)) = ((๐ ยทs ๐ต) +s ((๐ด ยทs ๐ข) -s (๐ ยทs ๐ข)))) |
419 | 348, 358,
361 | addsubsassd 27462 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
โข ((๐ โง ((๐ โ ( L โ๐ด) โง ๐ โ ( R โ๐ต)) โง (๐ก โ ๐ฟ โง ๐ข โ ๐))) โ (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐)) -s (๐ ยทs ๐)) = ((๐ ยทs ๐ต) +s ((๐ด ยทs ๐) -s (๐ ยทs ๐)))) |
420 | 419 | adantrrr 723 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
โข ((๐ โง ((๐ โ ( L โ๐ด) โง ๐ โ ( R โ๐ต)) โง ((๐ก โ ๐ฟ โง ๐ข โ ๐) โง (๐ โคs ๐ก โง ๐ข โคs ๐)))) โ (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐)) -s (๐ ยทs ๐)) = ((๐ ยทs ๐ต) +s ((๐ด ยทs ๐) -s (๐ ยทs ๐)))) |
421 | 416, 418,
420 | 3brtr4d 5173 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
โข ((๐ โง ((๐ โ ( L โ๐ด) โง ๐ โ ( R โ๐ต)) โง ((๐ก โ ๐ฟ โง ๐ข โ ๐) โง (๐ โคs ๐ก โง ๐ข โคs ๐)))) โ (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ข)) -s (๐ ยทs ๐ข)) โคs (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐)) -s (๐ ยทs ๐))) |
422 | 343, 353,
363, 395, 421 | sletrd 27192 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
โข ((๐ โง ((๐ โ ( L โ๐ด) โง ๐ โ ( R โ๐ต)) โง ((๐ก โ ๐ฟ โง ๐ข โ ๐) โง (๐ โคs ๐ก โง ๐ข โคs ๐)))) โ (((๐ก ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ข)) -s (๐ก ยทs ๐ข)) โคs (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐)) -s (๐ ยทs ๐))) |
423 | 422 | anassrs 468 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
โข (((๐ โง (๐ โ ( L โ๐ด) โง ๐ โ ( R โ๐ต))) โง ((๐ก โ ๐ฟ โง ๐ข โ ๐) โง (๐ โคs ๐ก โง ๐ข โคs ๐))) โ (((๐ก ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ข)) -s (๐ก ยทs ๐ข)) โคs (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐)) -s (๐ ยทs ๐))) |
424 | 423 | expr 457 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
โข (((๐ โง (๐ โ ( L โ๐ด) โง ๐ โ ( R โ๐ต))) โง (๐ก โ ๐ฟ โง ๐ข โ ๐)) โ ((๐ โคs ๐ก โง ๐ข โคs ๐) โ (((๐ก ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ข)) -s (๐ก ยทs ๐ข)) โคs (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐)) -s (๐ ยทs ๐)))) |
425 | 424 | reximdvva 3204 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
โข ((๐ โง (๐ โ ( L โ๐ด) โง ๐ โ ( R โ๐ต))) โ (โ๐ก โ ๐ฟ โ๐ข โ ๐ (๐ โคs ๐ก โง ๐ข โคs ๐) โ โ๐ก โ ๐ฟ โ๐ข โ ๐ (((๐ก ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ข)) -s (๐ก ยทs ๐ข)) โคs (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐)) -s (๐ ยทs ๐)))) |
426 | 425 | expcom 414 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
โข ((๐ โ ( L โ๐ด) โง ๐ โ ( R โ๐ต)) โ (๐ โ (โ๐ก โ ๐ฟ โ๐ข โ ๐ (๐ โคs ๐ก โง ๐ข โคs ๐) โ โ๐ก โ ๐ฟ โ๐ข โ ๐ (((๐ก ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ข)) -s (๐ก ยทs ๐ข)) โคs (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐)) -s (๐ ยทs ๐))))) |
427 | 426 | com23 86 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
โข ((๐ โ ( L โ๐ด) โง ๐ โ ( R โ๐ต)) โ (โ๐ก โ ๐ฟ โ๐ข โ ๐ (๐ โคs ๐ก โง ๐ข โคs ๐) โ (๐ โ โ๐ก โ ๐ฟ โ๐ข โ ๐ (((๐ก ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ข)) -s (๐ก ยทs ๐ข)) โคs (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐)) -s (๐ ยทs ๐))))) |
428 | 427 | imp 407 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
โข (((๐ โ ( L โ๐ด) โง ๐ โ ( R โ๐ต)) โง โ๐ก โ ๐ฟ โ๐ข โ ๐ (๐ โคs ๐ก โง ๐ข โคs ๐)) โ (๐ โ โ๐ก โ ๐ฟ โ๐ข โ ๐ (((๐ก ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ข)) -s (๐ก ยทs ๐ข)) โคs (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐)) -s (๐ ยทs ๐)))) |
429 | 327, 428 | sylan2br 595 |
. . . . . . . . . . . . . 14
โข (((๐ โ ( L โ๐ด) โง ๐ โ ( R โ๐ต)) โง (โ๐ก โ ๐ฟ ๐ โคs ๐ก โง โ๐ข โ ๐ ๐ข โคs ๐)) โ (๐ โ โ๐ก โ ๐ฟ โ๐ข โ ๐ (((๐ก ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ข)) -s (๐ก ยทs ๐ข)) โคs (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐)) -s (๐ ยทs ๐)))) |
430 | 429 | an4s 658 |
. . . . . . . . . . . . 13
โข (((๐ โ ( L โ๐ด) โง โ๐ก โ ๐ฟ ๐ โคs ๐ก) โง (๐ โ ( R โ๐ต) โง โ๐ข โ ๐ ๐ข โคs ๐)) โ (๐ โ โ๐ก โ ๐ฟ โ๐ข โ ๐ (((๐ก ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ข)) -s (๐ก ยทs ๐ข)) โคs (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐)) -s (๐ ยทs ๐)))) |
431 | 430 | impcom 408 |
. . . . . . . . . . . 12
โข ((๐ โง ((๐ โ ( L โ๐ด) โง โ๐ก โ ๐ฟ ๐ โคs ๐ก) โง (๐ โ ( R โ๐ต) โง โ๐ข โ ๐ ๐ข โคs ๐))) โ โ๐ก โ ๐ฟ โ๐ข โ ๐ (((๐ก ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ข)) -s (๐ก ยทs ๐ข)) โคs (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐)) -s (๐ ยทs ๐))) |
432 | 431 | anassrs 468 |
. . . . . . . . . . 11
โข (((๐ โง (๐ โ ( L โ๐ด) โง โ๐ก โ ๐ฟ ๐ โคs ๐ก)) โง (๐ โ ( R โ๐ต) โง โ๐ข โ ๐ ๐ข โคs ๐)) โ โ๐ก โ ๐ฟ โ๐ข โ ๐ (((๐ก ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ข)) -s (๐ก ยทs ๐ข)) โคs (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐)) -s (๐ ยทs ๐))) |
433 | 432 | expr 457 |
. . . . . . . . . 10
โข (((๐ โง (๐ โ ( L โ๐ด) โง โ๐ก โ ๐ฟ ๐ โคs ๐ก)) โง ๐ โ ( R โ๐ต)) โ (โ๐ข โ ๐ ๐ข โคs ๐ โ โ๐ก โ ๐ฟ โ๐ข โ ๐ (((๐ก ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ข)) -s (๐ก ยทs ๐ข)) โคs (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐)) -s (๐ ยทs ๐)))) |
434 | 433 | ralimdva 3166 |
. . . . . . . . 9
โข ((๐ โง (๐ โ ( L โ๐ด) โง โ๐ก โ ๐ฟ ๐ โคs ๐ก)) โ (โ๐ โ ( R โ๐ต)โ๐ข โ ๐ ๐ข โคs ๐ โ โ๐ โ ( R โ๐ต)โ๐ก โ ๐ฟ โ๐ข โ ๐ (((๐ก ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ข)) -s (๐ก ยทs ๐ข)) โคs (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐)) -s (๐ ยทs ๐)))) |
435 | 326, 434 | mpd 15 |
. . . . . . . 8
โข ((๐ โง (๐ โ ( L โ๐ด) โง โ๐ก โ ๐ฟ ๐ โคs ๐ก)) โ โ๐ โ ( R โ๐ต)โ๐ก โ ๐ฟ โ๐ข โ ๐ (((๐ก ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ข)) -s (๐ก ยทs ๐ข)) โคs (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐)) -s (๐ ยทs ๐))) |
436 | 435 | expr 457 |
. . . . . . 7
โข ((๐ โง ๐ โ ( L โ๐ด)) โ (โ๐ก โ ๐ฟ ๐ โคs ๐ก โ โ๐ โ ( R โ๐ต)โ๐ก โ ๐ฟ โ๐ข โ ๐ (((๐ก ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ข)) -s (๐ก ยทs ๐ข)) โคs (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐)) -s (๐ ยทs ๐)))) |
437 | 436 | ralimdva 3166 |
. . . . . 6
โข (๐ โ (โ๐ โ ( L โ๐ด)โ๐ก โ ๐ฟ ๐ โคs ๐ก โ โ๐ โ ( L โ๐ด)โ๐ โ ( R โ๐ต)โ๐ก โ ๐ฟ โ๐ข โ ๐ (((๐ก ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ข)) -s (๐ก ยทs ๐ข)) โคs (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐)) -s (๐ ยทs ๐)))) |
438 | 324, 437 | mpd 15 |
. . . . 5
โข (๐ โ โ๐ โ ( L โ๐ด)โ๐ โ ( R โ๐ต)โ๐ก โ ๐ฟ โ๐ข โ ๐ (((๐ก ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ข)) -s (๐ก ยทs ๐ข)) โคs (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐)) -s (๐ ยทs ๐))) |
439 | | eqeq1 2735 |
. . . . . . . . . 10
โข (๐ = ๐ง โ (๐ = (((๐ก ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ข)) -s (๐ก ยทs ๐ข)) โ ๐ง = (((๐ก ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ข)) -s (๐ก ยทs ๐ข)))) |
440 | 439 | 2rexbidv 3218 |
. . . . . . . . 9
โข (๐ = ๐ง โ (โ๐ก โ ๐ฟ โ๐ข โ ๐ ๐ = (((๐ก ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ข)) -s (๐ก ยทs ๐ข)) โ โ๐ก โ ๐ฟ โ๐ข โ ๐ ๐ง = (((๐ก ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ข)) -s (๐ก ยทs ๐ข)))) |
441 | 440 | rexab 3686 |
. . . . . . . 8
โข
(โ๐ง โ
{๐ โฃ โ๐ก โ ๐ฟ โ๐ข โ ๐ ๐ = (((๐ก ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ข)) -s (๐ก ยทs ๐ข))}๐ง โคs (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐)) -s (๐ ยทs ๐)) โ โ๐ง(โ๐ก โ ๐ฟ โ๐ข โ ๐ ๐ง = (((๐ก ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ข)) -s (๐ก ยทs ๐ข)) โง ๐ง โคs (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐)) -s (๐ ยทs ๐)))) |
442 | | r19.41vv 3223 |
. . . . . . . . 9
โข
(โ๐ก โ
๐ฟ โ๐ข โ ๐ (๐ง = (((๐ก ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ข)) -s (๐ก ยทs ๐ข)) โง ๐ง โคs (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐)) -s (๐ ยทs ๐))) โ (โ๐ก โ ๐ฟ โ๐ข โ ๐ ๐ง = (((๐ก ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ข)) -s (๐ก ยทs ๐ข)) โง ๐ง โคs (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐)) -s (๐ ยทs ๐)))) |
443 | 442 | exbii 1850 |
. . . . . . . 8
โข
(โ๐งโ๐ก โ ๐ฟ โ๐ข โ ๐ (๐ง = (((๐ก ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ข)) -s (๐ก ยทs ๐ข)) โง ๐ง โคs (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐)) -s (๐ ยทs ๐))) โ โ๐ง(โ๐ก โ ๐ฟ โ๐ข โ ๐ ๐ง = (((๐ก ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ข)) -s (๐ก ยทs ๐ข)) โง ๐ง โคs (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐)) -s (๐ ยทs ๐)))) |
444 | | rexcom4 3284 |
. . . . . . . . 9
โข
(โ๐ก โ
๐ฟ โ๐งโ๐ข โ ๐ (๐ง = (((๐ก ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ข)) -s (๐ก ยทs ๐ข)) โง ๐ง โคs (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐)) -s (๐ ยทs ๐))) โ โ๐งโ๐ก โ ๐ฟ โ๐ข โ ๐ (๐ง = (((๐ก ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ข)) -s (๐ก ยทs ๐ข)) โง ๐ง โคs (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐)) -s (๐ ยทs ๐)))) |
445 | | rexcom4 3284 |
. . . . . . . . . . 11
โข
(โ๐ข โ
๐ โ๐ง(๐ง = (((๐ก ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ข)) -s (๐ก ยทs ๐ข)) โง ๐ง โคs (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐)) -s (๐ ยทs ๐))) โ โ๐งโ๐ข โ ๐ (๐ง = (((๐ก ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ข)) -s (๐ก ยทs ๐ข)) โง ๐ง โคs (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐)) -s (๐ ยทs ๐)))) |
446 | | ovex 7426 |
. . . . . . . . . . . . 13
โข (((๐ก ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ข)) -s (๐ก ยทs ๐ข)) โ V |
447 | | breq1 5144 |
. . . . . . . . . . . . 13
โข (๐ง = (((๐ก ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ข)) -s (๐ก ยทs ๐ข)) โ (๐ง โคs (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐)) -s (๐ ยทs ๐)) โ (((๐ก ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ข)) -s (๐ก ยทs ๐ข)) โคs (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐)) -s (๐ ยทs ๐)))) |
448 | 446, 447 | ceqsexv 3522 |
. . . . . . . . . . . 12
โข
(โ๐ง(๐ง = (((๐ก ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ข)) -s (๐ก ยทs ๐ข)) โง ๐ง โคs (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐)) -s (๐ ยทs ๐))) โ (((๐ก ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ข)) -s (๐ก ยทs ๐ข)) โคs (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐)) -s (๐ ยทs ๐))) |
449 | 448 | rexbii 3093 |
. . . . . . . . . . 11
โข
(โ๐ข โ
๐ โ๐ง(๐ง = (((๐ก ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ข)) -s (๐ก ยทs ๐ข)) โง ๐ง โคs (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐)) -s (๐ ยทs ๐))) โ โ๐ข โ ๐ (((๐ก ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ข)) -s (๐ก ยทs ๐ข)) โคs (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐)) -s (๐ ยทs ๐))) |
450 | 445, 449 | bitr3i 276 |
. . . . . . . . . 10
โข
(โ๐งโ๐ข โ ๐ (๐ง = (((๐ก ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ข)) -s (๐ก ยทs ๐ข)) โง ๐ง โคs (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐)) -s (๐ ยทs ๐))) โ โ๐ข โ ๐ (((๐ก ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ข)) -s (๐ก ยทs ๐ข)) โคs (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐)) -s (๐ ยทs ๐))) |
451 | 450 | rexbii 3093 |
. . . . . . . . 9
โข
(โ๐ก โ
๐ฟ โ๐งโ๐ข โ ๐ (๐ง = (((๐ก ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ข)) -s (๐ก ยทs ๐ข)) โง ๐ง โคs (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐)) -s (๐ ยทs ๐))) โ โ๐ก โ ๐ฟ โ๐ข โ ๐ (((๐ก ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ข)) -s (๐ก ยทs ๐ข)) โคs (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐)) -s (๐ ยทs ๐))) |
452 | 444, 451 | bitr3i 276 |
. . . . . . . 8
โข
(โ๐งโ๐ก โ ๐ฟ โ๐ข โ ๐ (๐ง = (((๐ก ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ข)) -s (๐ก ยทs ๐ข)) โง ๐ง โคs (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐)) -s (๐ ยทs ๐))) โ โ๐ก โ ๐ฟ โ๐ข โ ๐ (((๐ก ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ข)) -s (๐ก ยทs ๐ข)) โคs (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐)) -s (๐ ยทs ๐))) |
453 | 441, 443,
452 | 3bitr2i 298 |
. . . . . . 7
โข
(โ๐ง โ
{๐ โฃ โ๐ก โ ๐ฟ โ๐ข โ ๐ ๐ = (((๐ก ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ข)) -s (๐ก ยทs ๐ข))}๐ง โคs (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐)) -s (๐ ยทs ๐)) โ โ๐ก โ ๐ฟ โ๐ข โ ๐ (((๐ก ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ข)) -s (๐ก ยทs ๐ข)) โคs (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐)) -s (๐ ยทs ๐))) |
454 | | ssun1 4168 |
. . . . . . . 8
โข {๐ โฃ โ๐ก โ ๐ฟ โ๐ข โ ๐ ๐ = (((๐ก ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ข)) -s (๐ก ยทs ๐ข))} โ ({๐ โฃ โ๐ก โ ๐ฟ โ๐ข โ ๐ ๐ = (((๐ก ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ข)) -s (๐ก ยทs ๐ข))} โช {๐ โฃ โ๐ฃ โ ๐
โ๐ค โ ๐ ๐ = (((๐ฃ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ค)) -s (๐ฃ ยทs ๐ค))}) |
455 | | ssrexv 4047 |
. . . . . . . 8
โข ({๐ โฃ โ๐ก โ ๐ฟ โ๐ข โ ๐ ๐ = (((๐ก ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ข)) -s (๐ก ยทs ๐ข))} โ ({๐ โฃ โ๐ก โ ๐ฟ โ๐ข โ ๐ ๐ = (((๐ก ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ข)) -s (๐ก ยทs ๐ข))} โช {๐ โฃ โ๐ฃ โ ๐
โ๐ค โ ๐ ๐ = (((๐ฃ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ค)) -s (๐ฃ ยทs ๐ค))}) โ (โ๐ง โ {๐ โฃ โ๐ก โ ๐ฟ โ๐ข โ ๐ ๐ = (((๐ก ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ข)) -s (๐ก ยทs ๐ข))}๐ง โคs (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐)) -s (๐ ยทs ๐)) โ โ๐ง โ ({๐ โฃ โ๐ก โ ๐ฟ โ๐ข โ ๐ ๐ = (((๐ก ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ข)) -s (๐ก ยทs ๐ข))} โช {๐ โฃ โ๐ฃ โ ๐
โ๐ค โ ๐ ๐ = (((๐ฃ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ค)) -s (๐ฃ ยทs ๐ค))})๐ง โคs (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐)) -s (๐ ยทs ๐)))) |
456 | 454, 455 | ax-mp 5 |
. . . . . . 7
โข
(โ๐ง โ
{๐ โฃ โ๐ก โ ๐ฟ โ๐ข โ ๐ ๐ = (((๐ก ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ข)) -s (๐ก ยทs ๐ข))}๐ง โคs (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐)) -s (๐ ยทs ๐)) โ โ๐ง โ ({๐ โฃ โ๐ก โ ๐ฟ โ๐ข โ ๐ ๐ = (((๐ก ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ข)) -s (๐ก ยทs ๐ข))} โช {๐ โฃ โ๐ฃ โ ๐
โ๐ค โ ๐ ๐ = (((๐ฃ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ค)) -s (๐ฃ ยทs ๐ค))})๐ง โคs (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐)) -s (๐ ยทs ๐))) |
457 | 453, 456 | sylbir 234 |
. . . . . 6
โข
(โ๐ก โ
๐ฟ โ๐ข โ ๐ (((๐ก ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ข)) -s (๐ก ยทs ๐ข)) โคs (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐)) -s (๐ ยทs ๐)) โ โ๐ง โ ({๐ โฃ โ๐ก โ ๐ฟ โ๐ข โ ๐ ๐ = (((๐ก ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ข)) -s (๐ก ยทs ๐ข))} โช {๐ โฃ โ๐ฃ โ ๐
โ๐ค โ ๐ ๐ = (((๐ฃ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ค)) -s (๐ฃ ยทs ๐ค))})๐ง โคs (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐)) -s (๐ ยทs ๐))) |
458 | 457 | 2ralimi 3122 |
. . . . 5
โข
(โ๐ โ (
L โ๐ด)โ๐ โ ( R โ๐ต)โ๐ก โ ๐ฟ โ๐ข โ ๐ (((๐ก ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ข)) -s (๐ก ยทs ๐ข)) โคs (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐)) -s (๐ ยทs ๐)) โ โ๐ โ ( L โ๐ด)โ๐ โ ( R โ๐ต)โ๐ง โ ({๐ โฃ โ๐ก โ ๐ฟ โ๐ข โ ๐ ๐ = (((๐ก ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ข)) -s (๐ก ยทs ๐ข))} โช {๐ โฃ โ๐ฃ โ ๐
โ๐ค โ ๐ ๐ = (((๐ฃ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ค)) -s (๐ฃ ยทs ๐ค))})๐ง โคs (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐)) -s (๐ ยทs ๐))) |
459 | 438, 458 | syl 17 |
. . . 4
โข (๐ โ โ๐ โ ( L โ๐ด)โ๐ โ ( R โ๐ต)โ๐ง โ ({๐ โฃ โ๐ก โ ๐ฟ โ๐ข โ ๐ ๐ = (((๐ก ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ข)) -s (๐ก ยทs ๐ข))} โช {๐ โฃ โ๐ฃ โ ๐
โ๐ค โ ๐ ๐ = (((๐ฃ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ค)) -s (๐ฃ ยทs ๐ค))})๐ง โคs (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐)) -s (๐ ยทs ๐))) |
460 | 2, 1 | cofcutr2d 27333 |
. . . . . 6
โข (๐ โ โ๐ฅ โ ( R โ๐ด)โ๐ฃ โ ๐
๐ฃ โคs ๐ฅ) |
461 | 6, 5 | cofcutr1d 27332 |
. . . . . . . . . 10
โข (๐ โ โ๐ฆ โ ( L โ๐ต)โ๐ค โ ๐ ๐ฆ โคs ๐ค) |
462 | 461 | adantr 481 |
. . . . . . . . 9
โข ((๐ โง (๐ฅ โ ( R โ๐ด) โง โ๐ฃ โ ๐
๐ฃ โคs ๐ฅ)) โ โ๐ฆ โ ( L โ๐ต)โ๐ค โ ๐ ๐ฆ โคs ๐ค) |
463 | | reeanv 3225 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
โข
(โ๐ฃ โ
๐
โ๐ค โ ๐ (๐ฃ โคs ๐ฅ โง ๐ฆ โคs ๐ค) โ (โ๐ฃ โ ๐
๐ฃ โคs ๐ฅ โง โ๐ค โ ๐ ๐ฆ โคs ๐ค)) |
464 | 170 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
โข ((๐ โง (๐ฃ โ ๐
โง ๐ค โ ๐)) โ ๐
โ No
) |
465 | | simprl 769 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
โข ((๐ โง (๐ฃ โ ๐
โง ๐ค โ ๐)) โ ๐ฃ โ ๐
) |
466 | 464, 465 | sseldd 3979 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
โข ((๐ โง (๐ฃ โ ๐
โง ๐ค โ ๐)) โ ๐ฃ โ No
) |
467 | 8 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
โข ((๐ โง (๐ฃ โ ๐
โง ๐ค โ ๐)) โ ๐ต โ No
) |
468 | 466, 467 | mulscld 27504 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
โข ((๐ โง (๐ฃ โ ๐
โง ๐ค โ ๐)) โ (๐ฃ ยทs ๐ต) โ No
) |
469 | 468 | adantrl 714 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
โข ((๐ โง ((๐ฅ โ ( R โ๐ด) โง ๐ฆ โ ( L โ๐ต)) โง (๐ฃ โ ๐
โง ๐ค โ ๐))) โ (๐ฃ ยทs ๐ต) โ No
) |
470 | 4 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
โข ((๐ โง (๐ฃ โ ๐
โง ๐ค โ ๐)) โ ๐ด โ No
) |
471 | 44 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
โข ((๐ โง (๐ฃ โ ๐
โง ๐ค โ ๐)) โ ๐ โ No
) |
472 | | simprr 771 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
โข ((๐ โง (๐ฃ โ ๐
โง ๐ค โ ๐)) โ ๐ค โ ๐) |
473 | 471, 472 | sseldd 3979 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
โข ((๐ โง (๐ฃ โ ๐
โง ๐ค โ ๐)) โ ๐ค โ No
) |
474 | 470, 473 | mulscld 27504 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
โข ((๐ โง (๐ฃ โ ๐
โง ๐ค โ ๐)) โ (๐ด ยทs ๐ค) โ No
) |
475 | 474 | adantrl 714 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
โข ((๐ โง ((๐ฅ โ ( R โ๐ด) โง ๐ฆ โ ( L โ๐ต)) โง (๐ฃ โ ๐
โง ๐ค โ ๐))) โ (๐ด ยทs ๐ค) โ No
) |
476 | 469, 475 | addscld 27380 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
โข ((๐ โง ((๐ฅ โ ( R โ๐ด) โง ๐ฆ โ ( L โ๐ต)) โง (๐ฃ โ ๐
โง ๐ค โ ๐))) โ ((๐ฃ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ค)) โ No
) |
477 | 466, 473 | mulscld 27504 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
โข ((๐ โง (๐ฃ โ ๐
โง ๐ค โ ๐)) โ (๐ฃ ยทs ๐ค) โ No
) |
478 | 477 | adantrl 714 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
โข ((๐ โง ((๐ฅ โ ( R โ๐ด) โง ๐ฆ โ ( L โ๐ต)) โง (๐ฃ โ ๐
โง ๐ค โ ๐))) โ (๐ฃ ยทs ๐ค) โ No
) |
479 | 476, 478 | subscld 27449 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
โข ((๐ โง ((๐ฅ โ ( R โ๐ด) โง ๐ฆ โ ( L โ๐ต)) โง (๐ฃ โ ๐
โง ๐ค โ ๐))) โ (((๐ฃ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ค)) -s (๐ฃ ยทs ๐ค)) โ No
) |
480 | 479 | adantrrr 723 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
โข ((๐ โง ((๐ฅ โ ( R โ๐ด) โง ๐ฆ โ ( L โ๐ต)) โง ((๐ฃ โ ๐
โง ๐ค โ ๐) โง (๐ฃ โคs ๐ฅ โง ๐ฆ โคs ๐ค)))) โ (((๐ฃ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ค)) -s (๐ฃ ยทs ๐ค)) โ No
) |
481 | 4 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
โข ((๐ โง ((๐ฅ โ ( R โ๐ด) โง ๐ฆ โ ( L โ๐ต)) โง (๐ฃ โ ๐
โง ๐ค โ ๐))) โ ๐ด โ No
) |
482 | | simprr 771 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
โข ((๐ โง (๐ฅ โ ( R โ๐ด) โง ๐ฆ โ ( L โ๐ต))) โ ๐ฆ โ ( L โ๐ต)) |
483 | 23, 482 | sselid 3976 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
โข ((๐ โง (๐ฅ โ ( R โ๐ด) โง ๐ฆ โ ( L โ๐ต))) โ ๐ฆ โ No
) |
484 | 483 | adantrr 715 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
โข ((๐ โง ((๐ฅ โ ( R โ๐ด) โง ๐ฆ โ ( L โ๐ต)) โง (๐ฃ โ ๐
โง ๐ค โ ๐))) โ ๐ฆ โ No
) |
485 | 481, 484 | mulscld 27504 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
โข ((๐ โง ((๐ฅ โ ( R โ๐ด) โง ๐ฆ โ ( L โ๐ต)) โง (๐ฃ โ ๐
โง ๐ค โ ๐))) โ (๐ด ยทs ๐ฆ) โ No
) |
486 | 469, 485 | addscld 27380 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
โข ((๐ โง ((๐ฅ โ ( R โ๐ด) โง ๐ฆ โ ( L โ๐ต)) โง (๐ฃ โ ๐
โง ๐ค โ ๐))) โ ((๐ฃ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ฆ)) โ No
) |
487 | 466 | adantrl 714 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
โข ((๐ โง ((๐ฅ โ ( R โ๐ด) โง ๐ฆ โ ( L โ๐ต)) โง (๐ฃ โ ๐
โง ๐ค โ ๐))) โ ๐ฃ โ No
) |
488 | 487, 484 | mulscld 27504 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
โข ((๐ โง ((๐ฅ โ ( R โ๐ด) โง ๐ฆ โ ( L โ๐ต)) โง (๐ฃ โ ๐
โง ๐ค โ ๐))) โ (๐ฃ ยทs ๐ฆ) โ No
) |
489 | 486, 488 | subscld 27449 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
โข ((๐ โง ((๐ฅ โ ( R โ๐ด) โง ๐ฆ โ ( L โ๐ต)) โง (๐ฃ โ ๐
โง ๐ค โ ๐))) โ (((๐ฃ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ฆ)) -s (๐ฃ ยทs ๐ฆ)) โ No
) |
490 | 489 | adantrrr 723 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
โข ((๐ โง ((๐ฅ โ ( R โ๐ด) โง ๐ฆ โ ( L โ๐ต)) โง ((๐ฃ โ ๐
โง ๐ค โ ๐) โง (๐ฃ โคs ๐ฅ โง ๐ฆ โคs ๐ค)))) โ (((๐ฃ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ฆ)) -s (๐ฃ ยทs ๐ฆ)) โ No
) |
491 | | simprl 769 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
โข ((๐ โง (๐ฅ โ ( R โ๐ด) โง ๐ฆ โ ( L โ๐ต))) โ ๐ฅ โ ( R โ๐ด)) |
492 | 153, 491 | sselid 3976 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
โข ((๐ โง (๐ฅ โ ( R โ๐ด) โง ๐ฆ โ ( L โ๐ต))) โ ๐ฅ โ No
) |
493 | 8 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
โข ((๐ โง (๐ฅ โ ( R โ๐ด) โง ๐ฆ โ ( L โ๐ต))) โ ๐ต โ No
) |
494 | 492, 493 | mulscld 27504 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
โข ((๐ โง (๐ฅ โ ( R โ๐ด) โง ๐ฆ โ ( L โ๐ต))) โ (๐ฅ ยทs ๐ต) โ No
) |
495 | 494 | adantrr 715 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
โข ((๐ โง ((๐ฅ โ ( R โ๐ด) โง ๐ฆ โ ( L โ๐ต)) โง (๐ฃ โ ๐
โง ๐ค โ ๐))) โ (๐ฅ ยทs ๐ต) โ No
) |
496 | 495, 485 | addscld 27380 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
โข ((๐ โง ((๐ฅ โ ( R โ๐ด) โง ๐ฆ โ ( L โ๐ต)) โง (๐ฃ โ ๐
โง ๐ค โ ๐))) โ ((๐ฅ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ฆ)) โ No
) |
497 | 492, 483 | mulscld 27504 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
โข ((๐ โง (๐ฅ โ ( R โ๐ด) โง ๐ฆ โ ( L โ๐ต))) โ (๐ฅ ยทs ๐ฆ) โ No
) |
498 | 497 | adantrr 715 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
โข ((๐ โง ((๐ฅ โ ( R โ๐ด) โง ๐ฆ โ ( L โ๐ต)) โง (๐ฃ โ ๐
โง ๐ค โ ๐))) โ (๐ฅ ยทs ๐ฆ) โ No
) |
499 | 496, 498 | subscld 27449 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
โข ((๐ โง ((๐ฅ โ ( R โ๐ด) โง ๐ฆ โ ( L โ๐ต)) โง (๐ฃ โ ๐
โง ๐ค โ ๐))) โ (((๐ฅ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ฆ)) -s (๐ฅ ยทs ๐ฆ)) โ No
) |
500 | 499 | adantrrr 723 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
โข ((๐ โง ((๐ฅ โ ( R โ๐ด) โง ๐ฆ โ ( L โ๐ต)) โง ((๐ฃ โ ๐
โง ๐ค โ ๐) โง (๐ฃ โคs ๐ฅ โง ๐ฆ โคs ๐ค)))) โ (((๐ฅ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ฆ)) -s (๐ฅ ยทs ๐ฆ)) โ No
) |
501 | 4 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
โข ((๐ โง ((๐ฅ โ ( R โ๐ด) โง ๐ฆ โ ( L โ๐ต)) โง ((๐ฃ โ ๐
โง ๐ค โ ๐) โง (๐ฃ โคs ๐ฅ โง ๐ฆ โคs ๐ค)))) โ ๐ด โ No
) |
502 | 487 | adantrrr 723 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
โข ((๐ โง ((๐ฅ โ ( R โ๐ด) โง ๐ฆ โ ( L โ๐ต)) โง ((๐ฃ โ ๐
โง ๐ค โ ๐) โง (๐ฃ โคs ๐ฅ โง ๐ฆ โคs ๐ค)))) โ ๐ฃ โ No
) |
503 | 483 | adantrr 715 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
โข ((๐ โง ((๐ฅ โ ( R โ๐ด) โง ๐ฆ โ ( L โ๐ต)) โง ((๐ฃ โ ๐
โง ๐ค โ ๐) โง (๐ฃ โคs ๐ฅ โง ๐ฆ โคs ๐ค)))) โ ๐ฆ โ No
) |
504 | 473 | adantrl 714 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
โข ((๐ โง ((๐ฅ โ ( R โ๐ด) โง ๐ฆ โ ( L โ๐ต)) โง (๐ฃ โ ๐
โง ๐ค โ ๐))) โ ๐ค โ No
) |
505 | 504 | adantrrr 723 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
โข ((๐ โง ((๐ฅ โ ( R โ๐ด) โง ๐ฆ โ ( L โ๐ต)) โง ((๐ฃ โ ๐
โง ๐ค โ ๐) โง (๐ฃ โคs ๐ฅ โง ๐ฆ โคs ๐ค)))) โ ๐ค โ No
) |
506 | 1 | sneqd 4634 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
โข (๐ โ {๐ด} = {(๐ฟ |s ๐
)}) |
507 | 506, 222 | eqbrtrd 5163 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
โข (๐ โ {๐ด} <<s ๐
) |
508 | 507 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
โข ((๐ โง ((๐ฅ โ ( R โ๐ด) โง ๐ฆ โ ( L โ๐ต)) โง (๐ฃ โ ๐
โง ๐ค โ ๐))) โ {๐ด} <<s ๐
) |
509 | 481, 401 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
โข ((๐ โง ((๐ฅ โ ( R โ๐ด) โง ๐ฆ โ ( L โ๐ต)) โง (๐ฃ โ ๐
โง ๐ค โ ๐))) โ ๐ด โ {๐ด}) |
510 | | simprrl 779 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
โข ((๐ โง ((๐ฅ โ ( R โ๐ด) โง ๐ฆ โ ( L โ๐ต)) โง (๐ฃ โ ๐
โง ๐ค โ ๐))) โ ๐ฃ โ ๐
) |
511 | 508, 509,
510 | ssltsepcd 27221 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
โข ((๐ โง ((๐ฅ โ ( R โ๐ด) โง ๐ฆ โ ( L โ๐ต)) โง (๐ฃ โ ๐
โง ๐ค โ ๐))) โ ๐ด <s ๐ฃ) |
512 | 481, 487,
511 | sltled 27199 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
โข ((๐ โง ((๐ฅ โ ( R โ๐ด) โง ๐ฆ โ ( L โ๐ต)) โง (๐ฃ โ ๐
โง ๐ค โ ๐))) โ ๐ด โคs ๐ฃ) |
513 | 512 | adantrrr 723 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
โข ((๐ โง ((๐ฅ โ ( R โ๐ด) โง ๐ฆ โ ( L โ๐ต)) โง ((๐ฃ โ ๐
โง ๐ค โ ๐) โง (๐ฃ โคs ๐ฅ โง ๐ฆ โคs ๐ค)))) โ ๐ด โคs ๐ฃ) |
514 | | simprrr 780 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
โข (((๐ฅ โ ( R โ๐ด) โง ๐ฆ โ ( L โ๐ต)) โง ((๐ฃ โ ๐
โง ๐ค โ ๐) โง (๐ฃ โคs ๐ฅ โง ๐ฆ โคs ๐ค))) โ ๐ฆ โคs ๐ค) |
515 | 514 | adantl 482 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
โข ((๐ โง ((๐ฅ โ ( R โ๐ด) โง ๐ฆ โ ( L โ๐ต)) โง ((๐ฃ โ ๐
โง ๐ค โ ๐) โง (๐ฃ โคs ๐ฅ โง ๐ฆ โคs ๐ค)))) โ ๐ฆ โคs ๐ค) |
516 | 501, 502,
503, 505, 513, 515 | slemuld 27507 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
โข ((๐ โง ((๐ฅ โ ( R โ๐ด) โง ๐ฆ โ ( L โ๐ต)) โง ((๐ฃ โ ๐
โง ๐ค โ ๐) โง (๐ฃ โคs ๐ฅ โง ๐ฆ โคs ๐ค)))) โ ((๐ด ยทs ๐ค) -s (๐ด ยทs ๐ฆ)) โคs ((๐ฃ ยทs ๐ค) -s (๐ฃ ยทs ๐ฆ))) |
517 | 475, 478,
485, 488 | slesubsubbd 27467 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
โข ((๐ โง ((๐ฅ โ ( R โ๐ด) โง ๐ฆ โ ( L โ๐ต)) โง (๐ฃ โ ๐
โง ๐ค โ ๐))) โ (((๐ด ยทs ๐ค) -s (๐ด ยทs ๐ฆ)) โคs ((๐ฃ ยทs ๐ค) -s (๐ฃ ยทs ๐ฆ)) โ ((๐ด ยทs ๐ค) -s (๐ฃ ยทs ๐ค)) โคs ((๐ด ยทs ๐ฆ) -s (๐ฃ ยทs ๐ฆ)))) |
518 | 475, 478 | subscld 27449 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
โข ((๐ โง ((๐ฅ โ ( R โ๐ด) โง ๐ฆ โ ( L โ๐ต)) โง (๐ฃ โ ๐
โง ๐ค โ ๐))) โ ((๐ด ยทs ๐ค) -s (๐ฃ ยทs ๐ค)) โ No
) |
519 | 485, 488 | subscld 27449 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
โข ((๐ โง ((๐ฅ โ ( R โ๐ด) โง ๐ฆ โ ( L โ๐ต)) โง (๐ฃ โ ๐
โง ๐ค โ ๐))) โ ((๐ด ยทs ๐ฆ) -s (๐ฃ ยทs ๐ฆ)) โ No
) |
520 | 518, 519,
469 | sleadd2d 27395 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
โข ((๐ โง ((๐ฅ โ ( R โ๐ด) โง ๐ฆ โ ( L โ๐ต)) โง (๐ฃ โ ๐
โง ๐ค โ ๐))) โ (((๐ด ยทs ๐ค) -s (๐ฃ ยทs ๐ค)) โคs ((๐ด ยทs ๐ฆ) -s (๐ฃ ยทs ๐ฆ)) โ ((๐ฃ ยทs ๐ต) +s ((๐ด ยทs ๐ค) -s (๐ฃ ยทs ๐ค))) โคs ((๐ฃ ยทs ๐ต) +s ((๐ด ยทs ๐ฆ) -s (๐ฃ ยทs ๐ฆ))))) |
521 | 517, 520 | bitrd 278 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
โข ((๐ โง ((๐ฅ โ ( R โ๐ด) โง ๐ฆ โ ( L โ๐ต)) โง (๐ฃ โ ๐
โง ๐ค โ ๐))) โ (((๐ด ยทs ๐ค) -s (๐ด ยทs ๐ฆ)) โคs ((๐ฃ ยทs ๐ค) -s (๐ฃ ยทs ๐ฆ)) โ ((๐ฃ ยทs ๐ต) +s ((๐ด ยทs ๐ค) -s (๐ฃ ยทs ๐ค))) โคs ((๐ฃ ยทs ๐ต) +s ((๐ด ยทs ๐ฆ) -s (๐ฃ ยทs ๐ฆ))))) |
522 | 521 | adantrrr 723 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
โข ((๐ โง ((๐ฅ โ ( R โ๐ด) โง ๐ฆ โ ( L โ๐ต)) โง ((๐ฃ โ ๐
โง ๐ค โ ๐) โง (๐ฃ โคs ๐ฅ โง ๐ฆ โคs ๐ค)))) โ (((๐ด ยทs ๐ค) -s (๐ด ยทs ๐ฆ)) โคs ((๐ฃ ยทs ๐ค) -s (๐ฃ ยทs ๐ฆ)) โ ((๐ฃ ยทs ๐ต) +s ((๐ด ยทs ๐ค) -s (๐ฃ ยทs ๐ค))) โคs ((๐ฃ ยทs ๐ต) +s ((๐ด ยทs ๐ฆ) -s (๐ฃ ยทs ๐ฆ))))) |
523 | 516, 522 | mpbid 231 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
โข ((๐ โง ((๐ฅ โ ( R โ๐ด) โง ๐ฆ โ ( L โ๐ต)) โง ((๐ฃ โ ๐
โง ๐ค โ ๐) โง (๐ฃ โคs ๐ฅ โง ๐ฆ โคs ๐ค)))) โ ((๐ฃ ยทs ๐ต) +s ((๐ด ยทs ๐ค) -s (๐ฃ ยทs ๐ค))) โคs ((๐ฃ ยทs ๐ต) +s ((๐ด ยทs ๐ฆ) -s (๐ฃ ยทs ๐ฆ)))) |
524 | 469, 475,
478 | addsubsassd 27462 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
โข ((๐ โง ((๐ฅ โ ( R โ๐ด) โง ๐ฆ โ ( L โ๐ต)) โง (๐ฃ โ ๐
โง ๐ค โ ๐))) โ (((๐ฃ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ค)) -s (๐ฃ ยทs ๐ค)) = ((๐ฃ ยทs ๐ต) +s ((๐ด ยทs ๐ค) -s (๐ฃ ยทs ๐ค)))) |
525 | 524 | adantrrr 723 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
โข ((๐ โง ((๐ฅ โ ( R โ๐ด) โง ๐ฆ โ ( L โ๐ต)) โง ((๐ฃ โ ๐
โง ๐ค โ ๐) โง (๐ฃ โคs ๐ฅ โง ๐ฆ โคs ๐ค)))) โ (((๐ฃ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ค)) -s (๐ฃ ยทs ๐ค)) = ((๐ฃ ยทs ๐ต) +s ((๐ด ยทs ๐ค) -s (๐ฃ ยทs ๐ค)))) |
526 | 469, 485,
488 | addsubsassd 27462 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
โข ((๐ โง ((๐ฅ โ ( R โ๐ด) โง ๐ฆ โ ( L โ๐ต)) โง (๐ฃ โ ๐
โง ๐ค โ ๐))) โ (((๐ฃ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ฆ)) -s (๐ฃ ยทs ๐ฆ)) = ((๐ฃ ยทs ๐ต) +s ((๐ด ยทs ๐ฆ) -s (๐ฃ ยทs ๐ฆ)))) |
527 | 526 | adantrrr 723 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
โข ((๐ โง ((๐ฅ โ ( R โ๐ด) โง ๐ฆ โ ( L โ๐ต)) โง ((๐ฃ โ ๐
โง ๐ค โ ๐) โง (๐ฃ โคs ๐ฅ โง ๐ฆ โคs ๐ค)))) โ (((๐ฃ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ฆ)) -s (๐ฃ ยทs ๐ฆ)) = ((๐ฃ ยทs ๐ต) +s ((๐ด ยทs ๐ฆ) -s (๐ฃ ยทs ๐ฆ)))) |
528 | 523, 525,
527 | 3brtr4d 5173 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
โข ((๐ โง ((๐ฅ โ ( R โ๐ด) โง ๐ฆ โ ( L โ๐ต)) โง ((๐ฃ โ ๐
โง ๐ค โ ๐) โง (๐ฃ โคs ๐ฅ โง ๐ฆ โคs ๐ค)))) โ (((๐ฃ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ค)) -s (๐ฃ ยทs ๐ค)) โคs (((๐ฃ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ฆ)) -s (๐ฃ ยทs ๐ฆ))) |
529 | 492 | adantrr 715 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
โข ((๐ โง ((๐ฅ โ ( R โ๐ด) โง ๐ฆ โ ( L โ๐ต)) โง ((๐ฃ โ ๐
โง ๐ค โ ๐) โง (๐ฃ โคs ๐ฅ โง ๐ฆ โคs ๐ค)))) โ ๐ฅ โ No
) |
530 | 8 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
โข ((๐ โง ((๐ฅ โ ( R โ๐ด) โง ๐ฆ โ ( L โ๐ต)) โง ((๐ฃ โ ๐
โง ๐ค โ ๐) โง (๐ฃ โคs ๐ฅ โง ๐ฆ โคs ๐ค)))) โ ๐ต โ No
) |
531 | | simprrl 779 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
โข (((๐ฅ โ ( R โ๐ด) โง ๐ฆ โ ( L โ๐ต)) โง ((๐ฃ โ ๐
โง ๐ค โ ๐) โง (๐ฃ โคs ๐ฅ โง ๐ฆ โคs ๐ค))) โ ๐ฃ โคs ๐ฅ) |
532 | 531 | adantl 482 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
โข ((๐ โง ((๐ฅ โ ( R โ๐ด) โง ๐ฆ โ ( L โ๐ต)) โง ((๐ฃ โ ๐
โง ๐ค โ ๐) โง (๐ฃ โคs ๐ฅ โง ๐ฆ โคs ๐ค)))) โ ๐ฃ โคs ๐ฅ) |
533 | 493, 61 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
โข ((๐ โง (๐ฅ โ ( R โ๐ด) โง ๐ฆ โ ( L โ๐ต))) โ ( L โ๐ต) <<s {๐ต}) |
534 | 65 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
โข ((๐ โง (๐ฅ โ ( R โ๐ด) โง ๐ฆ โ ( L โ๐ต))) โ ๐ต โ {๐ต}) |
535 | 533, 482,
534 | ssltsepcd 27221 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
โข ((๐ โง (๐ฅ โ ( R โ๐ด) โง ๐ฆ โ ( L โ๐ต))) โ ๐ฆ <s ๐ต) |
536 | 483, 493,
535 | sltled 27199 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
โข ((๐ โง (๐ฅ โ ( R โ๐ด) โง ๐ฆ โ ( L โ๐ต))) โ ๐ฆ โคs ๐ต) |
537 | 536 | adantrr 715 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
โข ((๐ โง ((๐ฅ โ ( R โ๐ด) โง ๐ฆ โ ( L โ๐ต)) โง ((๐ฃ โ ๐
โง ๐ค โ ๐) โง (๐ฃ โคs ๐ฅ โง ๐ฆ โคs ๐ค)))) โ ๐ฆ โคs ๐ต) |
538 | 502, 529,
503, 530, 532, 537 | slemuld 27507 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
โข ((๐ โง ((๐ฅ โ ( R โ๐ด) โง ๐ฆ โ ( L โ๐ต)) โง ((๐ฃ โ ๐
โง ๐ค โ ๐) โง (๐ฃ โคs ๐ฅ โง ๐ฆ โคs ๐ค)))) โ ((๐ฃ ยทs ๐ต) -s (๐ฃ ยทs ๐ฆ)) โคs ((๐ฅ ยทs ๐ต) -s (๐ฅ ยทs ๐ฆ))) |
539 | 469, 488 | subscld 27449 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
โข ((๐ โง ((๐ฅ โ ( R โ๐ด) โง ๐ฆ โ ( L โ๐ต)) โง (๐ฃ โ ๐
โง ๐ค โ ๐))) โ ((๐ฃ ยทs ๐ต) -s (๐ฃ ยทs ๐ฆ)) โ No
) |
540 | 539 | adantrrr 723 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
โข ((๐ โง ((๐ฅ โ ( R โ๐ด) โง ๐ฆ โ ( L โ๐ต)) โง ((๐ฃ โ ๐
โง ๐ค โ ๐) โง (๐ฃ โคs ๐ฅ โง ๐ฆ โคs ๐ค)))) โ ((๐ฃ ยทs ๐ต) -s (๐ฃ ยทs ๐ฆ)) โ No
) |
541 | 495, 498 | subscld 27449 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
โข ((๐ โง ((๐ฅ โ ( R โ๐ด) โง ๐ฆ โ ( L โ๐ต)) โง (๐ฃ โ ๐
โง ๐ค โ ๐))) โ ((๐ฅ ยทs ๐ต) -s (๐ฅ ยทs ๐ฆ)) โ No
) |
542 | 541 | adantrrr 723 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
โข ((๐ โง ((๐ฅ โ ( R โ๐ด) โง ๐ฆ โ ( L โ๐ต)) โง ((๐ฃ โ ๐
โง ๐ค โ ๐) โง (๐ฃ โคs ๐ฅ โง ๐ฆ โคs ๐ค)))) โ ((๐ฅ ยทs ๐ต) -s (๐ฅ ยทs ๐ฆ)) โ No
) |
543 | 485 | adantrrr 723 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
โข ((๐ โง ((๐ฅ โ ( R โ๐ด) โง ๐ฆ โ ( L โ๐ต)) โง ((๐ฃ โ ๐
โง ๐ค โ ๐) โง (๐ฃ โคs ๐ฅ โง ๐ฆ โคs ๐ค)))) โ (๐ด ยทs ๐ฆ) โ No
) |
544 | 540, 542,
543 | sleadd1d 27394 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
โข ((๐ โง ((๐ฅ โ ( R โ๐ด) โง ๐ฆ โ ( L โ๐ต)) โง ((๐ฃ โ ๐
โง ๐ค โ ๐) โง (๐ฃ โคs ๐ฅ โง ๐ฆ โคs ๐ค)))) โ (((๐ฃ ยทs ๐ต) -s (๐ฃ ยทs ๐ฆ)) โคs ((๐ฅ ยทs ๐ต) -s (๐ฅ ยทs ๐ฆ)) โ (((๐ฃ ยทs ๐ต) -s (๐ฃ ยทs ๐ฆ)) +s (๐ด ยทs ๐ฆ)) โคs (((๐ฅ ยทs ๐ต) -s (๐ฅ ยทs ๐ฆ)) +s (๐ด ยทs ๐ฆ)))) |
545 | 538, 544 | mpbid 231 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
โข ((๐ โง ((๐ฅ โ ( R โ๐ด) โง ๐ฆ โ ( L โ๐ต)) โง ((๐ฃ โ ๐
โง ๐ค โ ๐) โง (๐ฃ โคs ๐ฅ โง ๐ฆ โคs ๐ค)))) โ (((๐ฃ ยทs ๐ต) -s (๐ฃ ยทs ๐ฆ)) +s (๐ด ยทs ๐ฆ)) โคs (((๐ฅ ยทs ๐ต) -s (๐ฅ ยทs ๐ฆ)) +s (๐ด ยทs ๐ฆ))) |
546 | 469, 485,
488 | addsubsd 27463 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
โข ((๐ โง ((๐ฅ โ ( R โ๐ด) โง ๐ฆ โ ( L โ๐ต)) โง (๐ฃ โ ๐
โง ๐ค โ ๐))) โ (((๐ฃ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ฆ)) -s (๐ฃ ยทs ๐ฆ)) = (((๐ฃ ยทs ๐ต) -s (๐ฃ ยทs ๐ฆ)) +s (๐ด ยทs ๐ฆ))) |
547 | 546 | adantrrr 723 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
โข ((๐ โง ((๐ฅ โ ( R โ๐ด) โง ๐ฆ โ ( L โ๐ต)) โง ((๐ฃ โ ๐
โง ๐ค โ ๐) โง (๐ฃ โคs ๐ฅ โง ๐ฆ โคs ๐ค)))) โ (((๐ฃ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ฆ)) -s (๐ฃ ยทs ๐ฆ)) = (((๐ฃ ยทs ๐ต) -s (๐ฃ ยทs ๐ฆ)) +s (๐ด ยทs ๐ฆ))) |
548 | 4 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
โข ((๐ โง (๐ฅ โ ( R โ๐ด) โง ๐ฆ โ ( L โ๐ต))) โ ๐ด โ No
) |
549 | 548, 483 | mulscld 27504 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
โข ((๐ โง (๐ฅ โ ( R โ๐ด) โง ๐ฆ โ ( L โ๐ต))) โ (๐ด ยทs ๐ฆ) โ No
) |
550 | 494, 549,
497 | addsubsd 27463 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
โข ((๐ โง (๐ฅ โ ( R โ๐ด) โง ๐ฆ โ ( L โ๐ต))) โ (((๐ฅ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ฆ)) -s (๐ฅ ยทs ๐ฆ)) = (((๐ฅ ยทs ๐ต) -s (๐ฅ ยทs ๐ฆ)) +s (๐ด ยทs ๐ฆ))) |
551 | 550 | adantrr 715 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
โข ((๐ โง ((๐ฅ โ ( R โ๐ด) โง ๐ฆ โ ( L โ๐ต)) โง ((๐ฃ โ ๐
โง ๐ค โ ๐) โง (๐ฃ โคs ๐ฅ โง ๐ฆ โคs ๐ค)))) โ (((๐ฅ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ฆ)) -s (๐ฅ ยทs ๐ฆ)) = (((๐ฅ ยทs ๐ต) -s (๐ฅ ยทs ๐ฆ)) +s (๐ด ยทs ๐ฆ))) |
552 | 545, 547,
551 | 3brtr4d 5173 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
โข ((๐ โง ((๐ฅ โ ( R โ๐ด) โง ๐ฆ โ ( L โ๐ต)) โง ((๐ฃ โ ๐
โง ๐ค โ ๐) โง (๐ฃ โคs ๐ฅ โง ๐ฆ โคs ๐ค)))) โ (((๐ฃ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ฆ)) -s (๐ฃ ยทs ๐ฆ)) โคs (((๐ฅ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ฆ)) -s (๐ฅ ยทs ๐ฆ))) |
553 | 480, 490,
500, 528, 552 | sletrd 27192 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
โข ((๐ โง ((๐ฅ โ ( R โ๐ด) โง ๐ฆ โ ( L โ๐ต)) โง ((๐ฃ โ ๐
โง ๐ค โ ๐) โง (๐ฃ โคs ๐ฅ โง ๐ฆ โคs ๐ค)))) โ (((๐ฃ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ค)) -s (๐ฃ ยทs ๐ค)) โคs (((๐ฅ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ฆ)) -s (๐ฅ ยทs ๐ฆ))) |
554 | 553 | anassrs 468 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
โข (((๐ โง (๐ฅ โ ( R โ๐ด) โง ๐ฆ โ ( L โ๐ต))) โง ((๐ฃ โ ๐
โง ๐ค โ ๐) โง (๐ฃ โคs ๐ฅ โง ๐ฆ โคs ๐ค))) โ (((๐ฃ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ค)) -s (๐ฃ ยทs ๐ค)) โคs (((๐ฅ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ฆ)) -s (๐ฅ ยทs ๐ฆ))) |
555 | 554 | expr 457 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
โข (((๐ โง (๐ฅ โ ( R โ๐ด) โง ๐ฆ โ ( L โ๐ต))) โง (๐ฃ โ ๐
โง ๐ค โ ๐)) โ ((๐ฃ โคs ๐ฅ โง ๐ฆ โคs ๐ค) โ (((๐ฃ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ค)) -s (๐ฃ ยทs ๐ค)) โคs (((๐ฅ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ฆ)) -s (๐ฅ ยทs ๐ฆ)))) |
556 | 555 | reximdvva 3204 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
โข ((๐ โง (๐ฅ โ ( R โ๐ด) โง ๐ฆ โ ( L โ๐ต))) โ (โ๐ฃ โ ๐
โ๐ค โ ๐ (๐ฃ โคs ๐ฅ โง ๐ฆ โคs ๐ค) โ โ๐ฃ โ ๐
โ๐ค โ ๐ (((๐ฃ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ค)) -s (๐ฃ ยทs ๐ค)) โคs (((๐ฅ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ฆ)) -s (๐ฅ ยทs ๐ฆ)))) |
557 | 556 | expcom 414 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
โข ((๐ฅ โ ( R โ๐ด) โง ๐ฆ โ ( L โ๐ต)) โ (๐ โ (โ๐ฃ โ ๐
โ๐ค โ ๐ (๐ฃ โคs ๐ฅ โง ๐ฆ โคs ๐ค) โ โ๐ฃ โ ๐
โ๐ค โ ๐ (((๐ฃ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ค)) -s (๐ฃ ยทs ๐ค)) โคs (((๐ฅ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ฆ)) -s (๐ฅ ยทs ๐ฆ))))) |
558 | 557 | com23 86 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
โข ((๐ฅ โ ( R โ๐ด) โง ๐ฆ โ ( L โ๐ต)) โ (โ๐ฃ โ ๐
โ๐ค โ ๐ (๐ฃ โคs ๐ฅ โง ๐ฆ โคs ๐ค) โ (๐ โ โ๐ฃ โ ๐
โ๐ค โ ๐ (((๐ฃ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ค)) -s (๐ฃ ยทs ๐ค)) โคs (((๐ฅ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ฆ)) -s (๐ฅ ยทs ๐ฆ))))) |
559 | 558 | imp 407 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
โข (((๐ฅ โ ( R โ๐ด) โง ๐ฆ โ ( L โ๐ต)) โง โ๐ฃ โ ๐
โ๐ค โ ๐ (๐ฃ โคs ๐ฅ โง ๐ฆ โคs ๐ค)) โ (๐ โ โ๐ฃ โ ๐
โ๐ค โ ๐ (((๐ฃ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ค)) -s (๐ฃ ยทs ๐ค)) โคs (((๐ฅ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ฆ)) -s (๐ฅ ยทs ๐ฆ)))) |
560 | 463, 559 | sylan2br 595 |
. . . . . . . . . . . . . 14
โข (((๐ฅ โ ( R โ๐ด) โง ๐ฆ โ ( L โ๐ต)) โง (โ๐ฃ โ ๐
๐ฃ โคs ๐ฅ โง โ๐ค โ ๐ ๐ฆ โคs ๐ค)) โ (๐ โ โ๐ฃ โ ๐
โ๐ค โ ๐ (((๐ฃ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ค)) -s (๐ฃ ยทs ๐ค)) โคs (((๐ฅ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ฆ)) -s (๐ฅ ยทs ๐ฆ)))) |
561 | 560 | an4s 658 |
. . . . . . . . . . . . 13
โข (((๐ฅ โ ( R โ๐ด) โง โ๐ฃ โ ๐
๐ฃ โคs ๐ฅ) โง (๐ฆ โ ( L โ๐ต) โง โ๐ค โ ๐ ๐ฆ โคs ๐ค)) โ (๐ โ โ๐ฃ โ ๐
โ๐ค โ ๐ (((๐ฃ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ค)) -s (๐ฃ ยทs ๐ค)) โคs (((๐ฅ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ฆ)) -s (๐ฅ ยทs ๐ฆ)))) |
562 | 561 | impcom 408 |
. . . . . . . . . . . 12
โข ((๐ โง ((๐ฅ โ ( R โ๐ด) โง โ๐ฃ โ ๐
๐ฃ โคs ๐ฅ) โง (๐ฆ โ ( L โ๐ต) โง โ๐ค โ ๐ ๐ฆ โคs ๐ค))) โ โ๐ฃ โ ๐
โ๐ค โ ๐ (((๐ฃ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ค)) -s (๐ฃ ยทs ๐ค)) โคs (((๐ฅ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ฆ)) -s (๐ฅ ยทs ๐ฆ))) |
563 | 562 | anassrs 468 |
. . . . . . . . . . 11
โข (((๐ โง (๐ฅ โ ( R โ๐ด) โง โ๐ฃ โ ๐
๐ฃ โคs ๐ฅ)) โง (๐ฆ โ ( L โ๐ต) โง โ๐ค โ ๐ ๐ฆ โคs ๐ค)) โ โ๐ฃ โ ๐
โ๐ค โ ๐ (((๐ฃ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ค)) -s (๐ฃ ยทs ๐ค)) โคs (((๐ฅ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ฆ)) -s (๐ฅ ยทs ๐ฆ))) |
564 | 563 | expr 457 |
. . . . . . . . . 10
โข (((๐ โง (๐ฅ โ ( R โ๐ด) โง โ๐ฃ โ ๐
๐ฃ โคs ๐ฅ)) โง ๐ฆ โ ( L โ๐ต)) โ (โ๐ค โ ๐ ๐ฆ โคs ๐ค โ โ๐ฃ โ ๐
โ๐ค โ ๐ (((๐ฃ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ค)) -s (๐ฃ ยทs ๐ค)) โคs (((๐ฅ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ฆ)) -s (๐ฅ ยทs ๐ฆ)))) |
565 | 564 | ralimdva 3166 |
. . . . . . . . 9
โข ((๐ โง (๐ฅ โ ( R โ๐ด) โง โ๐ฃ โ ๐
๐ฃ โคs ๐ฅ)) โ (โ๐ฆ โ ( L โ๐ต)โ๐ค โ ๐ ๐ฆ โคs ๐ค โ โ๐ฆ โ ( L โ๐ต)โ๐ฃ โ ๐
โ๐ค โ ๐ (((๐ฃ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ค)) -s (๐ฃ ยทs ๐ค)) โคs (((๐ฅ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ฆ)) -s (๐ฅ ยทs ๐ฆ)))) |
566 | 462, 565 | mpd 15 |
. . . . . . . 8
โข ((๐ โง (๐ฅ โ ( R โ๐ด) โง โ๐ฃ โ ๐
๐ฃ โคs ๐ฅ)) โ โ๐ฆ โ ( L โ๐ต)โ๐ฃ โ ๐
โ๐ค โ ๐ (((๐ฃ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ค)) -s (๐ฃ ยทs ๐ค)) โคs (((๐ฅ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ฆ)) -s (๐ฅ ยทs ๐ฆ))) |
567 | 566 | expr 457 |
. . . . . . 7
โข ((๐ โง ๐ฅ โ ( R โ๐ด)) โ (โ๐ฃ โ ๐
๐ฃ โคs ๐ฅ โ โ๐ฆ โ ( L โ๐ต)โ๐ฃ โ ๐
โ๐ค โ ๐ (((๐ฃ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ค)) -s (๐ฃ ยทs ๐ค)) โคs (((๐ฅ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ฆ)) -s (๐ฅ ยทs ๐ฆ)))) |
568 | 567 | ralimdva 3166 |
. . . . . 6
โข (๐ โ (โ๐ฅ โ ( R โ๐ด)โ๐ฃ โ ๐
๐ฃ โคs ๐ฅ โ โ๐ฅ โ ( R โ๐ด)โ๐ฆ โ ( L โ๐ต)โ๐ฃ โ ๐
โ๐ค โ ๐ (((๐ฃ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ค)) -s (๐ฃ ยทs ๐ค)) โคs (((๐ฅ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ฆ)) -s (๐ฅ ยทs ๐ฆ)))) |
569 | 460, 568 | mpd 15 |
. . . . 5
โข (๐ โ โ๐ฅ โ ( R โ๐ด)โ๐ฆ โ ( L โ๐ต)โ๐ฃ โ ๐
โ๐ค โ ๐ (((๐ฃ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ค)) -s (๐ฃ ยทs ๐ค)) โคs (((๐ฅ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ฆ)) -s (๐ฅ ยทs ๐ฆ))) |
570 | | eqeq1 2735 |
. . . . . . . . . 10
โข (๐ = ๐ง โ (๐ = (((๐ฃ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ค)) -s (๐ฃ ยทs ๐ค)) โ ๐ง = (((๐ฃ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ค)) -s (๐ฃ ยทs ๐ค)))) |
571 | 570 | 2rexbidv 3218 |
. . . . . . . . 9
โข (๐ = ๐ง โ (โ๐ฃ โ ๐
โ๐ค โ ๐ ๐ = (((๐ฃ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ค)) -s (๐ฃ ยทs ๐ค)) โ โ๐ฃ โ ๐
โ๐ค โ ๐ ๐ง = (((๐ฃ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ค)) -s (๐ฃ ยทs ๐ค)))) |
572 | 571 | rexab 3686 |
. . . . . . . 8
โข
(โ๐ง โ
{๐ โฃ โ๐ฃ โ ๐
โ๐ค โ ๐ ๐ = (((๐ฃ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ค)) -s (๐ฃ ยทs ๐ค))}๐ง โคs (((๐ฅ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ฆ)) -s (๐ฅ ยทs ๐ฆ)) โ โ๐ง(โ๐ฃ โ ๐
โ๐ค โ ๐ ๐ง = (((๐ฃ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ค)) -s (๐ฃ ยทs ๐ค)) โง ๐ง โคs (((๐ฅ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ฆ)) -s (๐ฅ ยทs ๐ฆ)))) |
573 | | r19.41vv 3223 |
. . . . . . . . 9
โข
(โ๐ฃ โ
๐
โ๐ค โ ๐ (๐ง = (((๐ฃ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ค)) -s (๐ฃ ยทs ๐ค)) โง ๐ง โคs (((๐ฅ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ฆ)) -s (๐ฅ ยทs ๐ฆ))) โ (โ๐ฃ โ ๐
โ๐ค โ ๐ ๐ง = (((๐ฃ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ค)) -s (๐ฃ ยทs ๐ค)) โง ๐ง โคs (((๐ฅ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ฆ)) -s (๐ฅ ยทs ๐ฆ)))) |
574 | 573 | exbii 1850 |
. . . . . . . 8
โข
(โ๐งโ๐ฃ โ ๐
โ๐ค โ ๐ (๐ง = (((๐ฃ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ค)) -s (๐ฃ ยทs ๐ค)) โง ๐ง โคs (((๐ฅ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ฆ)) -s (๐ฅ ยทs ๐ฆ))) โ โ๐ง(โ๐ฃ โ ๐
โ๐ค โ ๐ ๐ง = (((๐ฃ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ค)) -s (๐ฃ ยทs ๐ค)) โง ๐ง โคs (((๐ฅ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ฆ)) -s (๐ฅ ยทs ๐ฆ)))) |
575 | | rexcom4 3284 |
. . . . . . . . 9
โข
(โ๐ฃ โ
๐
โ๐งโ๐ค โ ๐ (๐ง = (((๐ฃ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ค)) -s (๐ฃ ยทs ๐ค)) โง ๐ง โคs (((๐ฅ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ฆ)) -s (๐ฅ ยทs ๐ฆ))) โ โ๐งโ๐ฃ โ ๐
โ๐ค โ ๐ (๐ง = (((๐ฃ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ค)) -s (๐ฃ ยทs ๐ค)) โง ๐ง โคs (((๐ฅ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ฆ)) -s (๐ฅ ยทs ๐ฆ)))) |
576 | | rexcom4 3284 |
. . . . . . . . . . 11
โข
(โ๐ค โ
๐ โ๐ง(๐ง = (((๐ฃ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ค)) -s (๐ฃ ยทs ๐ค)) โง ๐ง โคs (((๐ฅ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ฆ)) -s (๐ฅ ยทs ๐ฆ))) โ โ๐งโ๐ค โ ๐ (๐ง = (((๐ฃ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ค)) -s (๐ฃ ยทs ๐ค)) โง ๐ง โคs (((๐ฅ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ฆ)) -s (๐ฅ ยทs ๐ฆ)))) |
577 | | ovex 7426 |
. . . . . . . . . . . . 13
โข (((๐ฃ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ค)) -s (๐ฃ ยทs ๐ค)) โ V |
578 | | breq1 5144 |
. . . . . . . . . . . . 13
โข (๐ง = (((๐ฃ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ค)) -s (๐ฃ ยทs ๐ค)) โ (๐ง โคs (((๐ฅ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ฆ)) -s (๐ฅ ยทs ๐ฆ)) โ (((๐ฃ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ค)) -s (๐ฃ ยทs ๐ค)) โคs (((๐ฅ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ฆ)) -s (๐ฅ ยทs ๐ฆ)))) |
579 | 577, 578 | ceqsexv 3522 |
. . . . . . . . . . . 12
โข
(โ๐ง(๐ง = (((๐ฃ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ค)) -s (๐ฃ ยทs ๐ค)) โง ๐ง โคs (((๐ฅ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ฆ)) -s (๐ฅ ยทs ๐ฆ))) โ (((๐ฃ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ค)) -s (๐ฃ ยทs ๐ค)) โคs (((๐ฅ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ฆ)) -s (๐ฅ ยทs ๐ฆ))) |
580 | 579 | rexbii 3093 |
. . . . . . . . . . 11
โข
(โ๐ค โ
๐ โ๐ง(๐ง = (((๐ฃ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ค)) -s (๐ฃ ยทs ๐ค)) โง ๐ง โคs (((๐ฅ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ฆ)) -s (๐ฅ ยทs ๐ฆ))) โ โ๐ค โ ๐ (((๐ฃ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ค)) -s (๐ฃ ยทs ๐ค)) โคs (((๐ฅ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ฆ)) -s (๐ฅ ยทs ๐ฆ))) |
581 | 576, 580 | bitr3i 276 |
. . . . . . . . . 10
โข
(โ๐งโ๐ค โ ๐ (๐ง = (((๐ฃ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ค)) -s (๐ฃ ยทs ๐ค)) โง ๐ง โคs (((๐ฅ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ฆ)) -s (๐ฅ ยทs ๐ฆ))) โ โ๐ค โ ๐ (((๐ฃ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ค)) -s (๐ฃ ยทs ๐ค)) โคs (((๐ฅ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ฆ)) -s (๐ฅ ยทs ๐ฆ))) |
582 | 581 | rexbii 3093 |
. . . . . . . . 9
โข
(โ๐ฃ โ
๐
โ๐งโ๐ค โ ๐ (๐ง = (((๐ฃ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ค)) -s (๐ฃ ยทs ๐ค)) โง ๐ง โคs (((๐ฅ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ฆ)) -s (๐ฅ ยทs ๐ฆ))) โ โ๐ฃ โ ๐
โ๐ค โ ๐ (((๐ฃ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ค)) -s (๐ฃ ยทs ๐ค)) โคs (((๐ฅ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ฆ)) -s (๐ฅ ยทs ๐ฆ))) |
583 | 575, 582 | bitr3i 276 |
. . . . . . . 8
โข
(โ๐งโ๐ฃ โ ๐
โ๐ค โ ๐ (๐ง = (((๐ฃ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ค)) -s (๐ฃ ยทs ๐ค)) โง ๐ง โคs (((๐ฅ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ฆ)) -s (๐ฅ ยทs ๐ฆ))) โ โ๐ฃ โ ๐
โ๐ค โ ๐ (((๐ฃ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ค)) -s (๐ฃ ยทs ๐ค)) โคs (((๐ฅ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ฆ)) -s (๐ฅ ยทs ๐ฆ))) |
584 | 572, 574,
583 | 3bitr2i 298 |
. . . . . . 7
โข
(โ๐ง โ
{๐ โฃ โ๐ฃ โ ๐
โ๐ค โ ๐ ๐ = (((๐ฃ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ค)) -s (๐ฃ ยทs ๐ค))}๐ง โคs (((๐ฅ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ฆ)) -s (๐ฅ ยทs ๐ฆ)) โ โ๐ฃ โ ๐
โ๐ค โ ๐ (((๐ฃ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ค)) -s (๐ฃ ยทs ๐ค)) โคs (((๐ฅ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ฆ)) -s (๐ฅ ยทs ๐ฆ))) |
585 | | ssun2 4169 |
. . . . . . . 8
โข {๐ โฃ โ๐ฃ โ ๐
โ๐ค โ ๐ ๐ = (((๐ฃ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ค)) -s (๐ฃ ยทs ๐ค))} โ ({๐ โฃ โ๐ก โ ๐ฟ โ๐ข โ ๐ ๐ = (((๐ก ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ข)) -s (๐ก ยทs ๐ข))} โช {๐ โฃ โ๐ฃ โ ๐
โ๐ค โ ๐ ๐ = (((๐ฃ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ค)) -s (๐ฃ ยทs ๐ค))}) |
586 | | ssrexv 4047 |
. . . . . . . 8
โข ({๐ โฃ โ๐ฃ โ ๐
โ๐ค โ ๐ ๐ = (((๐ฃ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ค)) -s (๐ฃ ยทs ๐ค))} โ ({๐ โฃ โ๐ก โ ๐ฟ โ๐ข โ ๐ ๐ = (((๐ก ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ข)) -s (๐ก ยทs ๐ข))} โช {๐ โฃ โ๐ฃ โ ๐
โ๐ค โ ๐ ๐ = (((๐ฃ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ค)) -s (๐ฃ ยทs ๐ค))}) โ (โ๐ง โ {๐ โฃ โ๐ฃ โ ๐
โ๐ค โ ๐ ๐ = (((๐ฃ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ค)) -s (๐ฃ ยทs ๐ค))}๐ง โคs (((๐ฅ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ฆ)) -s (๐ฅ ยทs ๐ฆ)) โ โ๐ง โ ({๐ โฃ โ๐ก โ ๐ฟ โ๐ข โ ๐ ๐ = (((๐ก ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ข)) -s (๐ก ยทs ๐ข))} โช {๐ โฃ โ๐ฃ โ ๐
โ๐ค โ ๐ ๐ = (((๐ฃ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ค)) -s (๐ฃ ยทs ๐ค))})๐ง โคs (((๐ฅ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ฆ)) -s (๐ฅ ยทs ๐ฆ)))) |
587 | 585, 586 | ax-mp 5 |
. . . . . . 7
โข
(โ๐ง โ
{๐ โฃ โ๐ฃ โ ๐
โ๐ค โ ๐ ๐ = (((๐ฃ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ค)) -s (๐ฃ ยทs ๐ค))}๐ง โคs (((๐ฅ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ฆ)) -s (๐ฅ ยทs ๐ฆ)) โ โ๐ง โ ({๐ โฃ โ๐ก โ ๐ฟ โ๐ข โ ๐ ๐ = (((๐ก ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ข)) -s (๐ก ยทs ๐ข))} โช {๐ โฃ โ๐ฃ โ ๐
โ๐ค โ ๐ ๐ = (((๐ฃ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ค)) -s (๐ฃ ยทs ๐ค))})๐ง โคs (((๐ฅ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ฆ)) -s (๐ฅ ยทs ๐ฆ))) |
588 | 584, 587 | sylbir 234 |
. . . . . 6
โข
(โ๐ฃ โ
๐
โ๐ค โ ๐ (((๐ฃ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ค)) -s (๐ฃ ยทs ๐ค)) โคs (((๐ฅ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ฆ)) -s (๐ฅ ยทs ๐ฆ)) โ โ๐ง โ ({๐ โฃ โ๐ก โ ๐ฟ โ๐ข โ ๐ ๐ = (((๐ก ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ข)) -s (๐ก ยทs ๐ข))} โช {๐ โฃ โ๐ฃ โ ๐
โ๐ค โ ๐ ๐ = (((๐ฃ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ค)) -s (๐ฃ ยทs ๐ค))})๐ง โคs (((๐ฅ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ฆ)) -s (๐ฅ ยทs ๐ฆ))) |
589 | 588 | 2ralimi 3122 |
. . . . 5
โข
(โ๐ฅ โ (
R โ๐ด)โ๐ฆ โ ( L โ๐ต)โ๐ฃ โ ๐
โ๐ค โ ๐ (((๐ฃ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ค)) -s (๐ฃ ยทs ๐ค)) โคs (((๐ฅ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ฆ)) -s (๐ฅ ยทs ๐ฆ)) โ โ๐ฅ โ ( R โ๐ด)โ๐ฆ โ ( L โ๐ต)โ๐ง โ ({๐ โฃ โ๐ก โ ๐ฟ โ๐ข โ ๐ ๐ = (((๐ก ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ข)) -s (๐ก ยทs ๐ข))} โช {๐ โฃ โ๐ฃ โ ๐
โ๐ค โ ๐ ๐ = (((๐ฃ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ค)) -s (๐ฃ ยทs ๐ค))})๐ง โคs (((๐ฅ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ฆ)) -s (๐ฅ ยทs ๐ฆ))) |
590 | 569, 589 | syl 17 |
. . . 4
โข (๐ โ โ๐ฅ โ ( R โ๐ด)โ๐ฆ โ ( L โ๐ต)โ๐ง โ ({๐ โฃ โ๐ก โ ๐ฟ โ๐ข โ ๐ ๐ = (((๐ก ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ข)) -s (๐ก ยทs ๐ข))} โช {๐ โฃ โ๐ฃ โ ๐
โ๐ค โ ๐ ๐ = (((๐ฃ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ค)) -s (๐ฃ ยทs ๐ค))})๐ง โคs (((๐ฅ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ฆ)) -s (๐ฅ ยทs ๐ฆ))) |
591 | | ralunb 4187 |
. . . . 5
โข
(โ๐ฅ๐ โ ({๐ โฃ โ๐ โ ( L โ๐ด)โ๐ โ ( R โ๐ต)๐ = (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐)) -s (๐ ยทs ๐))} โช {๐ โฃ โ๐ฅ โ ( R โ๐ด)โ๐ฆ โ ( L โ๐ต)๐ = (((๐ฅ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ฆ)) -s (๐ฅ ยทs ๐ฆ))})โ๐ง โ ({๐ โฃ โ๐ก โ ๐ฟ โ๐ข โ ๐ ๐ = (((๐ก ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ข)) -s (๐ก ยทs ๐ข))} โช {๐ โฃ โ๐ฃ โ ๐
โ๐ค โ ๐ ๐ = (((๐ฃ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ค)) -s (๐ฃ ยทs ๐ค))})๐ง โคs ๐ฅ๐ โ (โ๐ฅ๐ โ
{๐ โฃ โ๐ โ ( L โ๐ด)โ๐ โ ( R โ๐ต)๐ = (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐)) -s (๐ ยทs ๐))}โ๐ง โ ({๐ โฃ โ๐ก โ ๐ฟ โ๐ข โ ๐ ๐ = (((๐ก ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ข)) -s (๐ก ยทs ๐ข))} โช {๐ โฃ โ๐ฃ โ ๐
โ๐ค โ ๐ ๐ = (((๐ฃ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ค)) -s (๐ฃ ยทs ๐ค))})๐ง โคs ๐ฅ๐ โง โ๐ฅ๐ โ
{๐ โฃ โ๐ฅ โ ( R โ๐ด)โ๐ฆ โ ( L โ๐ต)๐ = (((๐ฅ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ฆ)) -s (๐ฅ ยทs ๐ฆ))}โ๐ง โ ({๐ โฃ โ๐ก โ ๐ฟ โ๐ข โ ๐ ๐ = (((๐ก ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ข)) -s (๐ก ยทs ๐ข))} โช {๐ โฃ โ๐ฃ โ ๐
โ๐ค โ ๐ ๐ = (((๐ฃ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ค)) -s (๐ฃ ยทs ๐ค))})๐ง โคs ๐ฅ๐)) |
592 | | eqeq1 2735 |
. . . . . . . . 9
โข (๐ = ๐ฅ๐ โ (๐ = (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐)) -s (๐ ยทs ๐)) โ ๐ฅ๐ = (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐)) -s (๐ ยทs ๐)))) |
593 | 592 | 2rexbidv 3218 |
. . . . . . . 8
โข (๐ = ๐ฅ๐ โ (โ๐ โ ( L โ๐ด)โ๐ โ ( R โ๐ต)๐ = (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐)) -s (๐ ยทs ๐)) โ โ๐ โ ( L โ๐ด)โ๐ โ ( R โ๐ต)๐ฅ๐ = (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐)) -s (๐ ยทs ๐)))) |
594 | 593 | ralab 3683 |
. . . . . . 7
โข
(โ๐ฅ๐ โ {๐ โฃ โ๐ โ ( L โ๐ด)โ๐ โ ( R โ๐ต)๐ = (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐)) -s (๐ ยทs ๐))}โ๐ง โ ({๐ โฃ โ๐ก โ ๐ฟ โ๐ข โ ๐ ๐ = (((๐ก ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ข)) -s (๐ก ยทs ๐ข))} โช {๐ โฃ โ๐ฃ โ ๐
โ๐ค โ ๐ ๐ = (((๐ฃ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ค)) -s (๐ฃ ยทs ๐ค))})๐ง โคs ๐ฅ๐ โ โ๐ฅ๐(โ๐ โ ( L โ๐ด)โ๐ โ ( R โ๐ต)๐ฅ๐ = (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐)) -s (๐ ยทs ๐)) โ โ๐ง โ ({๐ โฃ โ๐ก โ ๐ฟ โ๐ข โ ๐ ๐ = (((๐ก ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ข)) -s (๐ก ยทs ๐ข))} โช {๐ โฃ โ๐ฃ โ ๐
โ๐ค โ ๐ ๐ = (((๐ฃ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ค)) -s (๐ฃ ยทs ๐ค))})๐ง โคs ๐ฅ๐)) |
595 | | r19.23v 3181 |
. . . . . . . . . 10
โข
(โ๐ โ (
R โ๐ต)(๐ฅ๐ = (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐)) -s (๐ ยทs ๐)) โ โ๐ง โ ({๐ โฃ โ๐ก โ ๐ฟ โ๐ข โ ๐ ๐ = (((๐ก ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ข)) -s (๐ก ยทs ๐ข))} โช {๐ โฃ โ๐ฃ โ ๐
โ๐ค โ ๐ ๐ = (((๐ฃ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ค)) -s (๐ฃ ยทs ๐ค))})๐ง โคs ๐ฅ๐) โ (โ๐ โ ( R โ๐ต)๐ฅ๐ = (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐)) -s (๐ ยทs ๐)) โ โ๐ง โ ({๐ โฃ โ๐ก โ ๐ฟ โ๐ข โ ๐ ๐ = (((๐ก ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ข)) -s (๐ก ยทs ๐ข))} โช {๐ โฃ โ๐ฃ โ ๐
โ๐ค โ ๐ ๐ = (((๐ฃ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ค)) -s (๐ฃ ยทs ๐ค))})๐ง โคs ๐ฅ๐)) |
596 | 595 | ralbii 3092 |
. . . . . . . . 9
โข
(โ๐ โ (
L โ๐ด)โ๐ โ ( R โ๐ต)(๐ฅ๐ = (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐)) -s (๐ ยทs ๐)) โ โ๐ง โ ({๐ โฃ โ๐ก โ ๐ฟ โ๐ข โ ๐ ๐ = (((๐ก ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ข)) -s (๐ก ยทs ๐ข))} โช {๐ โฃ โ๐ฃ โ ๐
โ๐ค โ ๐ ๐ = (((๐ฃ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ค)) -s (๐ฃ ยทs ๐ค))})๐ง โคs ๐ฅ๐) โ โ๐ โ ( L โ๐ด)(โ๐ โ ( R โ๐ต)๐ฅ๐ = (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐)) -s (๐ ยทs ๐)) โ โ๐ง โ ({๐ โฃ โ๐ก โ ๐ฟ โ๐ข โ ๐ ๐ = (((๐ก ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ข)) -s (๐ก ยทs ๐ข))} โช {๐ โฃ โ๐ฃ โ ๐
โ๐ค โ ๐ ๐ = (((๐ฃ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ค)) -s (๐ฃ ยทs ๐ค))})๐ง โคs ๐ฅ๐)) |
597 | | r19.23v 3181 |
. . . . . . . . 9
โข
(โ๐ โ (
L โ๐ด)(โ๐ โ ( R โ๐ต)๐ฅ๐ = (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐)) -s (๐ ยทs ๐)) โ โ๐ง โ ({๐ โฃ โ๐ก โ ๐ฟ โ๐ข โ ๐ ๐ = (((๐ก ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ข)) -s (๐ก ยทs ๐ข))} โช {๐ โฃ โ๐ฃ โ ๐
โ๐ค โ ๐ ๐ = (((๐ฃ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ค)) -s (๐ฃ ยทs ๐ค))})๐ง โคs ๐ฅ๐) โ (โ๐ โ ( L โ๐ด)โ๐ โ ( R โ๐ต)๐ฅ๐ = (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐)) -s (๐ ยทs ๐)) โ โ๐ง โ ({๐ โฃ โ๐ก โ ๐ฟ โ๐ข โ ๐ ๐ = (((๐ก ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ข)) -s (๐ก ยทs ๐ข))} โช {๐ โฃ โ๐ฃ โ ๐
โ๐ค โ ๐ ๐ = (((๐ฃ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ค)) -s (๐ฃ ยทs ๐ค))})๐ง โคs ๐ฅ๐)) |
598 | 596, 597 | bitri 274 |
. . . . . . . 8
โข
(โ๐ โ (
L โ๐ด)โ๐ โ ( R โ๐ต)(๐ฅ๐ = (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐)) -s (๐ ยทs ๐)) โ โ๐ง โ ({๐ โฃ โ๐ก โ ๐ฟ โ๐ข โ ๐ ๐ = (((๐ก ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ข)) -s (๐ก ยทs ๐ข))} โช {๐ โฃ โ๐ฃ โ ๐
โ๐ค โ ๐ ๐ = (((๐ฃ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ค)) -s (๐ฃ ยทs ๐ค))})๐ง โคs ๐ฅ๐) โ (โ๐ โ ( L โ๐ด)โ๐ โ ( R โ๐ต)๐ฅ๐ = (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐)) -s (๐ ยทs ๐)) โ โ๐ง โ ({๐ โฃ โ๐ก โ ๐ฟ โ๐ข โ ๐ ๐ = (((๐ก ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ข)) -s (๐ก ยทs ๐ข))} โช {๐ โฃ โ๐ฃ โ ๐
โ๐ค โ ๐ ๐ = (((๐ฃ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ค)) -s (๐ฃ ยทs ๐ค))})๐ง โคs ๐ฅ๐)) |
599 | 598 | albii 1821 |
. . . . . . 7
โข
(โ๐ฅ๐โ๐ โ ( L โ๐ด)โ๐ โ ( R โ๐ต)(๐ฅ๐ = (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐)) -s (๐ ยทs ๐)) โ โ๐ง โ ({๐ โฃ โ๐ก โ ๐ฟ โ๐ข โ ๐ ๐ = (((๐ก ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ข)) -s (๐ก ยทs ๐ข))} โช {๐ โฃ โ๐ฃ โ ๐
โ๐ค โ ๐ ๐ = (((๐ฃ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ค)) -s (๐ฃ ยทs ๐ค))})๐ง โคs ๐ฅ๐) โ โ๐ฅ๐(โ๐ โ ( L โ๐ด)โ๐ โ ( R โ๐ต)๐ฅ๐ = (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐)) -s (๐ ยทs ๐)) โ โ๐ง โ ({๐ โฃ โ๐ก โ ๐ฟ โ๐ข โ ๐ ๐ = (((๐ก ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ข)) -s (๐ก ยทs ๐ข))} โช {๐ โฃ โ๐ฃ โ ๐
โ๐ค โ ๐ ๐ = (((๐ฃ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ค)) -s (๐ฃ ยทs ๐ค))})๐ง โคs ๐ฅ๐)) |
600 | | ralcom4 3282 |
. . . . . . . 8
โข
(โ๐ โ (
L โ๐ด)โ๐ฅ๐โ๐ โ ( R โ๐ต)(๐ฅ๐ = (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐)) -s (๐ ยทs ๐)) โ โ๐ง โ ({๐ โฃ โ๐ก โ ๐ฟ โ๐ข โ ๐ ๐ = (((๐ก ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ข)) -s (๐ก ยทs ๐ข))} โช {๐ โฃ โ๐ฃ โ ๐
โ๐ค โ ๐ ๐ = (((๐ฃ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ค)) -s (๐ฃ ยทs ๐ค))})๐ง โคs ๐ฅ๐) โ โ๐ฅ๐โ๐ โ ( L โ๐ด)โ๐ โ ( R โ๐ต)(๐ฅ๐ = (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐)) -s (๐ ยทs ๐)) โ โ๐ง โ ({๐ โฃ โ๐ก โ ๐ฟ โ๐ข โ ๐ ๐ = (((๐ก ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ข)) -s (๐ก ยทs ๐ข))} โช {๐ โฃ โ๐ฃ โ ๐
โ๐ค โ ๐ ๐ = (((๐ฃ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ค)) -s (๐ฃ ยทs ๐ค))})๐ง โคs ๐ฅ๐)) |
601 | | ralcom4 3282 |
. . . . . . . . . 10
โข
(โ๐ โ (
R โ๐ต)โ๐ฅ๐(๐ฅ๐ = (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐)) -s (๐ ยทs ๐)) โ โ๐ง โ ({๐ โฃ โ๐ก โ ๐ฟ โ๐ข โ ๐ ๐ = (((๐ก ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ข)) -s (๐ก ยทs ๐ข))} โช {๐ โฃ โ๐ฃ โ ๐
โ๐ค โ ๐ ๐ = (((๐ฃ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ค)) -s (๐ฃ ยทs ๐ค))})๐ง โคs ๐ฅ๐) โ โ๐ฅ๐โ๐ โ ( R โ๐ต)(๐ฅ๐ = (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐)) -s (๐ ยทs ๐)) โ โ๐ง โ ({๐ โฃ โ๐ก โ ๐ฟ โ๐ข โ ๐ ๐ = (((๐ก ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ข)) -s (๐ก ยทs ๐ข))} โช {๐ โฃ โ๐ฃ โ ๐
โ๐ค โ ๐ ๐ = (((๐ฃ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ค)) -s (๐ฃ ยทs ๐ค))})๐ง โคs ๐ฅ๐)) |
602 | | ovex 7426 |
. . . . . . . . . . . 12
โข (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐)) -s (๐ ยทs ๐)) โ V |
603 | | breq2 5145 |
. . . . . . . . . . . . 13
โข (๐ฅ๐ = (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐)) -s (๐ ยทs ๐)) โ (๐ง โคs ๐ฅ๐ โ ๐ง โคs (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐)) -s (๐ ยทs ๐)))) |
604 | 603 | rexbidv 3177 |
. . . . . . . . . . . 12
โข (๐ฅ๐ = (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐)) -s (๐ ยทs ๐)) โ (โ๐ง โ ({๐ โฃ โ๐ก โ ๐ฟ โ๐ข โ ๐ ๐ = (((๐ก ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ข)) -s (๐ก ยทs ๐ข))} โช {๐ โฃ โ๐ฃ โ ๐
โ๐ค โ ๐ ๐ = (((๐ฃ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ค)) -s (๐ฃ ยทs ๐ค))})๐ง โคs ๐ฅ๐ โ โ๐ง โ ({๐ โฃ โ๐ก โ ๐ฟ โ๐ข โ ๐ ๐ = (((๐ก ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ข)) -s (๐ก ยทs ๐ข))} โช {๐ โฃ โ๐ฃ โ ๐
โ๐ค โ ๐ ๐ = (((๐ฃ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ค)) -s (๐ฃ ยทs ๐ค))})๐ง โคs (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐)) -s (๐ ยทs ๐)))) |
605 | 602, 604 | ceqsalv 3509 |
. . . . . . . . . . 11
โข
(โ๐ฅ๐(๐ฅ๐ = (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐)) -s (๐ ยทs ๐)) โ โ๐ง โ ({๐ โฃ โ๐ก โ ๐ฟ โ๐ข โ ๐ ๐ = (((๐ก ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ข)) -s (๐ก ยทs ๐ข))} โช {๐ โฃ โ๐ฃ โ ๐
โ๐ค โ ๐ ๐ = (((๐ฃ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ค)) -s (๐ฃ ยทs ๐ค))})๐ง โคs ๐ฅ๐) โ โ๐ง โ ({๐ โฃ โ๐ก โ ๐ฟ โ๐ข โ ๐ ๐ = (((๐ก ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ข)) -s (๐ก ยทs ๐ข))} โช {๐ โฃ โ๐ฃ โ ๐
โ๐ค โ ๐ ๐ = (((๐ฃ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ค)) -s (๐ฃ ยทs ๐ค))})๐ง โคs (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐)) -s (๐ ยทs ๐))) |
606 | 605 | ralbii 3092 |
. . . . . . . . . 10
โข
(โ๐ โ (
R โ๐ต)โ๐ฅ๐(๐ฅ๐ = (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐)) -s (๐ ยทs ๐)) โ โ๐ง โ ({๐ โฃ โ๐ก โ ๐ฟ โ๐ข โ ๐ ๐ = (((๐ก ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ข)) -s (๐ก ยทs ๐ข))} โช {๐ โฃ โ๐ฃ โ ๐
โ๐ค โ ๐ ๐ = (((๐ฃ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ค)) -s (๐ฃ ยทs ๐ค))})๐ง โคs ๐ฅ๐) โ โ๐ โ ( R โ๐ต)โ๐ง โ ({๐ โฃ โ๐ก โ ๐ฟ โ๐ข โ ๐ ๐ = (((๐ก ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ข)) -s (๐ก ยทs ๐ข))} โช {๐ โฃ โ๐ฃ โ ๐
โ๐ค โ ๐ ๐ = (((๐ฃ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ค)) -s (๐ฃ ยทs ๐ค))})๐ง โคs (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐)) -s (๐ ยทs ๐))) |
607 | 601, 606 | bitr3i 276 |
. . . . . . . . 9
โข
(โ๐ฅ๐โ๐ โ ( R โ๐ต)(๐ฅ๐ = (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐)) -s (๐ ยทs ๐)) โ โ๐ง โ ({๐ โฃ โ๐ก โ ๐ฟ โ๐ข โ ๐ ๐ = (((๐ก ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ข)) -s (๐ก ยทs ๐ข))} โช {๐ โฃ โ๐ฃ โ ๐
โ๐ค โ ๐ ๐ = (((๐ฃ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ค)) -s (๐ฃ ยทs ๐ค))})๐ง โคs ๐ฅ๐) โ โ๐ โ ( R โ๐ต)โ๐ง โ ({๐ โฃ โ๐ก โ ๐ฟ โ๐ข โ ๐ ๐ = (((๐ก ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ข)) -s (๐ก ยทs ๐ข))} โช {๐ โฃ โ๐ฃ โ ๐
โ๐ค โ ๐ ๐ = (((๐ฃ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ค)) -s (๐ฃ ยทs ๐ค))})๐ง โคs (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐)) -s (๐ ยทs ๐))) |
608 | 607 | ralbii 3092 |
. . . . . . . 8
โข
(โ๐ โ (
L โ๐ด)โ๐ฅ๐โ๐ โ ( R โ๐ต)(๐ฅ๐ = (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐)) -s (๐ ยทs ๐)) โ โ๐ง โ ({๐ โฃ โ๐ก โ ๐ฟ โ๐ข โ ๐ ๐ = (((๐ก ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ข)) -s (๐ก ยทs ๐ข))} โช {๐ โฃ โ๐ฃ โ ๐
โ๐ค โ ๐ ๐ = (((๐ฃ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ค)) -s (๐ฃ ยทs ๐ค))})๐ง โคs ๐ฅ๐) โ โ๐ โ ( L โ๐ด)โ๐ โ ( R โ๐ต)โ๐ง โ ({๐ โฃ โ๐ก โ ๐ฟ โ๐ข โ ๐ ๐ = (((๐ก ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ข)) -s (๐ก ยทs ๐ข))} โช {๐ โฃ โ๐ฃ โ ๐
โ๐ค โ ๐ ๐ = (((๐ฃ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ค)) -s (๐ฃ ยทs ๐ค))})๐ง โคs (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐)) -s (๐ ยทs ๐))) |
609 | 600, 608 | bitr3i 276 |
. . . . . . 7
โข
(โ๐ฅ๐โ๐ โ ( L โ๐ด)โ๐ โ ( R โ๐ต)(๐ฅ๐ = (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐)) -s (๐ ยทs ๐)) โ โ๐ง โ ({๐ โฃ โ๐ก โ ๐ฟ โ๐ข โ ๐ ๐ = (((๐ก ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ข)) -s (๐ก ยทs ๐ข))} โช {๐ โฃ โ๐ฃ โ ๐
โ๐ค โ ๐ ๐ = (((๐ฃ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ค)) -s (๐ฃ ยทs ๐ค))})๐ง โคs ๐ฅ๐) โ โ๐ โ ( L โ๐ด)โ๐ โ ( R โ๐ต)โ๐ง โ ({๐ โฃ โ๐ก โ ๐ฟ โ๐ข โ ๐ ๐ = (((๐ก ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ข)) -s (๐ก ยทs ๐ข))} โช {๐ โฃ โ๐ฃ โ ๐
โ๐ค โ ๐ ๐ = (((๐ฃ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ค)) -s (๐ฃ ยทs ๐ค))})๐ง โคs (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐)) -s (๐ ยทs ๐))) |
610 | 594, 599,
609 | 3bitr2i 298 |
. . . . . 6
โข
(โ๐ฅ๐ โ {๐ โฃ โ๐ โ ( L โ๐ด)โ๐ โ ( R โ๐ต)๐ = (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐)) -s (๐ ยทs ๐))}โ๐ง โ ({๐ โฃ โ๐ก โ ๐ฟ โ๐ข โ ๐ ๐ = (((๐ก ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ข)) -s (๐ก ยทs ๐ข))} โช {๐ โฃ โ๐ฃ โ ๐
โ๐ค โ ๐ ๐ = (((๐ฃ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ค)) -s (๐ฃ ยทs ๐ค))})๐ง โคs ๐ฅ๐ โ โ๐ โ ( L โ๐ด)โ๐ โ ( R โ๐ต)โ๐ง โ ({๐ โฃ โ๐ก โ ๐ฟ โ๐ข โ ๐ ๐ = (((๐ก ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ข)) -s (๐ก ยทs ๐ข))} โช {๐ โฃ โ๐ฃ โ ๐
โ๐ค โ ๐ ๐ = (((๐ฃ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ค)) -s (๐ฃ ยทs ๐ค))})๐ง โคs (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐)) -s (๐ ยทs ๐))) |
611 | | eqeq1 2735 |
. . . . . . . . 9
โข (๐ = ๐ฅ๐ โ (๐ = (((๐ฅ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ฆ)) -s (๐ฅ ยทs ๐ฆ)) โ ๐ฅ๐ = (((๐ฅ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ฆ)) -s (๐ฅ ยทs ๐ฆ)))) |
612 | 611 | 2rexbidv 3218 |
. . . . . . . 8
โข (๐ = ๐ฅ๐ โ (โ๐ฅ โ ( R โ๐ด)โ๐ฆ โ ( L โ๐ต)๐ = (((๐ฅ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ฆ)) -s (๐ฅ ยทs ๐ฆ)) โ โ๐ฅ โ ( R โ๐ด)โ๐ฆ โ ( L โ๐ต)๐ฅ๐ = (((๐ฅ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ฆ)) -s (๐ฅ ยทs ๐ฆ)))) |
613 | 612 | ralab 3683 |
. . . . . . 7
โข
(โ๐ฅ๐ โ {๐ โฃ โ๐ฅ โ ( R โ๐ด)โ๐ฆ โ ( L โ๐ต)๐ = (((๐ฅ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ฆ)) -s (๐ฅ ยทs ๐ฆ))}โ๐ง โ ({๐ โฃ โ๐ก โ ๐ฟ โ๐ข โ ๐ ๐ = (((๐ก ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ข)) -s (๐ก ยทs ๐ข))} โช {๐ โฃ โ๐ฃ โ ๐
โ๐ค โ ๐ ๐ = (((๐ฃ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ค)) -s (๐ฃ ยทs ๐ค))})๐ง โคs ๐ฅ๐ โ โ๐ฅ๐(โ๐ฅ โ ( R โ๐ด)โ๐ฆ โ ( L โ๐ต)๐ฅ๐ = (((๐ฅ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ฆ)) -s (๐ฅ ยทs ๐ฆ)) โ โ๐ง โ ({๐ โฃ โ๐ก โ ๐ฟ โ๐ข โ ๐ ๐ = (((๐ก ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ข)) -s (๐ก ยทs ๐ข))} โช {๐ โฃ โ๐ฃ โ ๐
โ๐ค โ ๐ ๐ = (((๐ฃ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ค)) -s (๐ฃ ยทs ๐ค))})๐ง โคs ๐ฅ๐)) |
614 | | r19.23v 3181 |
. . . . . . . . . 10
โข
(โ๐ฆ โ (
L โ๐ต)(๐ฅ๐ = (((๐ฅ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ฆ)) -s (๐ฅ ยทs ๐ฆ)) โ โ๐ง โ ({๐ โฃ โ๐ก โ ๐ฟ โ๐ข โ ๐ ๐ = (((๐ก ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ข)) -s (๐ก ยทs ๐ข))} โช {๐ โฃ โ๐ฃ โ ๐
โ๐ค โ ๐ ๐ = (((๐ฃ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ค)) -s (๐ฃ ยทs ๐ค))})๐ง โคs ๐ฅ๐) โ (โ๐ฆ โ ( L โ๐ต)๐ฅ๐ = (((๐ฅ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ฆ)) -s (๐ฅ ยทs ๐ฆ)) โ โ๐ง โ ({๐ โฃ โ๐ก โ ๐ฟ โ๐ข โ ๐ ๐ = (((๐ก ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ข)) -s (๐ก ยทs ๐ข))} โช {๐ โฃ โ๐ฃ โ ๐
โ๐ค โ ๐ ๐ = (((๐ฃ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ค)) -s (๐ฃ ยทs ๐ค))})๐ง โคs ๐ฅ๐)) |
615 | 614 | ralbii 3092 |
. . . . . . . . 9
โข
(โ๐ฅ โ (
R โ๐ด)โ๐ฆ โ ( L โ๐ต)(๐ฅ๐ = (((๐ฅ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ฆ)) -s (๐ฅ ยทs ๐ฆ)) โ โ๐ง โ ({๐ โฃ โ๐ก โ ๐ฟ โ๐ข โ ๐ ๐ = (((๐ก ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ข)) -s (๐ก ยทs ๐ข))} โช {๐ โฃ โ๐ฃ โ ๐
โ๐ค โ ๐ ๐ = (((๐ฃ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ค)) -s (๐ฃ ยทs ๐ค))})๐ง โคs ๐ฅ๐) โ โ๐ฅ โ ( R โ๐ด)(โ๐ฆ โ ( L โ๐ต)๐ฅ๐ = (((๐ฅ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ฆ)) -s (๐ฅ ยทs ๐ฆ)) โ โ๐ง โ ({๐ โฃ โ๐ก โ ๐ฟ โ๐ข โ ๐ ๐ = (((๐ก ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ข)) -s (๐ก ยทs ๐ข))} โช {๐ โฃ โ๐ฃ โ ๐
โ๐ค โ ๐ ๐ = (((๐ฃ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ค)) -s (๐ฃ ยทs ๐ค))})๐ง โคs ๐ฅ๐)) |
616 | | r19.23v 3181 |
. . . . . . . . 9
โข
(โ๐ฅ โ (
R โ๐ด)(โ๐ฆ โ ( L โ๐ต)๐ฅ๐ = (((๐ฅ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ฆ)) -s (๐ฅ ยทs ๐ฆ)) โ โ๐ง โ ({๐ โฃ โ๐ก โ ๐ฟ โ๐ข โ ๐ ๐ = (((๐ก ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ข)) -s (๐ก ยทs ๐ข))} โช {๐ โฃ โ๐ฃ โ ๐
โ๐ค โ ๐ ๐ = (((๐ฃ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ค)) -s (๐ฃ ยทs ๐ค))})๐ง โคs ๐ฅ๐) โ (โ๐ฅ โ ( R โ๐ด)โ๐ฆ โ ( L โ๐ต)๐ฅ๐ = (((๐ฅ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ฆ)) -s (๐ฅ ยทs ๐ฆ)) โ โ๐ง โ ({๐ โฃ โ๐ก โ ๐ฟ โ๐ข โ ๐ ๐ = (((๐ก ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ข)) -s (๐ก ยทs ๐ข))} โช {๐ โฃ โ๐ฃ โ ๐
โ๐ค โ ๐ ๐ = (((๐ฃ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ค)) -s (๐ฃ ยทs ๐ค))})๐ง โคs ๐ฅ๐)) |
617 | 615, 616 | bitri 274 |
. . . . . . . 8
โข
(โ๐ฅ โ (
R โ๐ด)โ๐ฆ โ ( L โ๐ต)(๐ฅ๐ = (((๐ฅ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ฆ)) -s (๐ฅ ยทs ๐ฆ)) โ โ๐ง โ ({๐ โฃ โ๐ก โ ๐ฟ โ๐ข โ ๐ ๐ = (((๐ก ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ข)) -s (๐ก ยทs ๐ข))} โช {๐ โฃ โ๐ฃ โ ๐
โ๐ค โ ๐ ๐ = (((๐ฃ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ค)) -s (๐ฃ ยทs ๐ค))})๐ง โคs ๐ฅ๐) โ (โ๐ฅ โ ( R โ๐ด)โ๐ฆ โ ( L โ๐ต)๐ฅ๐ = (((๐ฅ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ฆ)) -s (๐ฅ ยทs ๐ฆ)) โ โ๐ง โ ({๐ โฃ โ๐ก โ ๐ฟ โ๐ข โ ๐ ๐ = (((๐ก ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ข)) -s (๐ก ยทs ๐ข))} โช {๐ โฃ โ๐ฃ โ ๐
โ๐ค โ ๐ ๐ = (((๐ฃ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ค)) -s (๐ฃ ยทs ๐ค))})๐ง โคs ๐ฅ๐)) |
618 | 617 | albii 1821 |
. . . . . . 7
โข
(โ๐ฅ๐โ๐ฅ โ ( R โ๐ด)โ๐ฆ โ ( L โ๐ต)(๐ฅ๐ = (((๐ฅ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ฆ)) -s (๐ฅ ยทs ๐ฆ)) โ โ๐ง โ ({๐ โฃ โ๐ก โ ๐ฟ โ๐ข โ ๐ ๐ = (((๐ก ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ข)) -s (๐ก ยทs ๐ข))} โช {๐ โฃ โ๐ฃ โ ๐
โ๐ค โ ๐ ๐ = (((๐ฃ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ค)) -s (๐ฃ ยทs ๐ค))})๐ง โคs ๐ฅ๐) โ โ๐ฅ๐(โ๐ฅ โ ( R โ๐ด)โ๐ฆ โ ( L โ๐ต)๐ฅ๐ = (((๐ฅ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ฆ)) -s (๐ฅ ยทs ๐ฆ)) โ โ๐ง โ ({๐ โฃ โ๐ก โ ๐ฟ โ๐ข โ ๐ ๐ = (((๐ก ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ข)) -s (๐ก ยทs ๐ข))} โช {๐ โฃ โ๐ฃ โ ๐
โ๐ค โ ๐ ๐ = (((๐ฃ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ค)) -s (๐ฃ ยทs ๐ค))})๐ง โคs ๐ฅ๐)) |
619 | | ralcom4 3282 |
. . . . . . . 8
โข
(โ๐ฅ โ (
R โ๐ด)โ๐ฅ๐โ๐ฆ โ ( L โ๐ต)(๐ฅ๐ = (((๐ฅ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ฆ)) -s (๐ฅ ยทs ๐ฆ)) โ โ๐ง โ ({๐ โฃ โ๐ก โ ๐ฟ โ๐ข โ ๐ ๐ = (((๐ก ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ข)) -s (๐ก ยทs ๐ข))} โช {๐ โฃ โ๐ฃ โ ๐
โ๐ค โ ๐ ๐ = (((๐ฃ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ค)) -s (๐ฃ ยทs ๐ค))})๐ง โคs ๐ฅ๐) โ โ๐ฅ๐โ๐ฅ โ ( R โ๐ด)โ๐ฆ โ ( L โ๐ต)(๐ฅ๐ = (((๐ฅ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ฆ)) -s (๐ฅ ยทs ๐ฆ)) โ โ๐ง โ ({๐ โฃ โ๐ก โ ๐ฟ โ๐ข โ ๐ ๐ = (((๐ก ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ข)) -s (๐ก ยทs ๐ข))} โช {๐ โฃ โ๐ฃ โ ๐
โ๐ค โ ๐ ๐ = (((๐ฃ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ค)) -s (๐ฃ ยทs ๐ค))})๐ง โคs ๐ฅ๐)) |
620 | | ralcom4 3282 |
. . . . . . . . . 10
โข
(โ๐ฆ โ (
L โ๐ต)โ๐ฅ๐(๐ฅ๐ = (((๐ฅ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ฆ)) -s (๐ฅ ยทs ๐ฆ)) โ โ๐ง โ ({๐ โฃ โ๐ก โ ๐ฟ โ๐ข โ ๐ ๐ = (((๐ก ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ข)) -s (๐ก ยทs ๐ข))} โช {๐ โฃ โ๐ฃ โ ๐
โ๐ค โ ๐ ๐ = (((๐ฃ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ค)) -s (๐ฃ ยทs ๐ค))})๐ง โคs ๐ฅ๐) โ โ๐ฅ๐โ๐ฆ โ ( L โ๐ต)(๐ฅ๐ = (((๐ฅ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ฆ)) -s (๐ฅ ยทs ๐ฆ)) โ โ๐ง โ ({๐ โฃ โ๐ก โ ๐ฟ โ๐ข โ ๐ ๐ = (((๐ก ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ข)) -s (๐ก ยทs ๐ข))} โช {๐ โฃ โ๐ฃ โ ๐
โ๐ค โ ๐ ๐ = (((๐ฃ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ค)) -s (๐ฃ ยทs ๐ค))})๐ง โคs ๐ฅ๐)) |
621 | | ovex 7426 |
. . . . . . . . . . . 12
โข (((๐ฅ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ฆ)) -s (๐ฅ ยทs ๐ฆ)) โ V |
622 | | breq2 5145 |
. . . . . . . . . . . . 13
โข (๐ฅ๐ = (((๐ฅ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ฆ)) -s (๐ฅ ยทs ๐ฆ)) โ (๐ง โคs ๐ฅ๐ โ ๐ง โคs (((๐ฅ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ฆ)) -s (๐ฅ ยทs ๐ฆ)))) |
623 | 622 | rexbidv 3177 |
. . . . . . . . . . . 12
โข (๐ฅ๐ = (((๐ฅ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ฆ)) -s (๐ฅ ยทs ๐ฆ)) โ (โ๐ง โ ({๐ โฃ โ๐ก โ ๐ฟ โ๐ข โ ๐ ๐ = (((๐ก ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ข)) -s (๐ก ยทs ๐ข))} โช {๐ โฃ โ๐ฃ โ ๐
โ๐ค โ ๐ ๐ = (((๐ฃ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ค)) -s (๐ฃ ยทs ๐ค))})๐ง โคs ๐ฅ๐ โ โ๐ง โ ({๐ โฃ โ๐ก โ ๐ฟ โ๐ข โ ๐ ๐ = (((๐ก ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ข)) -s (๐ก ยทs ๐ข))} โช {๐ โฃ โ๐ฃ โ ๐
โ๐ค โ ๐ ๐ = (((๐ฃ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ค)) -s (๐ฃ ยทs ๐ค))})๐ง โคs (((๐ฅ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ฆ)) -s (๐ฅ ยทs ๐ฆ)))) |
624 | 621, 623 | ceqsalv 3509 |
. . . . . . . . . . 11
โข
(โ๐ฅ๐(๐ฅ๐ = (((๐ฅ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ฆ)) -s (๐ฅ ยทs ๐ฆ)) โ โ๐ง โ ({๐ โฃ โ๐ก โ ๐ฟ โ๐ข โ ๐ ๐ = (((๐ก ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ข)) -s (๐ก ยทs ๐ข))} โช {๐ โฃ โ๐ฃ โ ๐
โ๐ค โ ๐ ๐ = (((๐ฃ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ค)) -s (๐ฃ ยทs ๐ค))})๐ง โคs ๐ฅ๐) โ โ๐ง โ ({๐ โฃ โ๐ก โ ๐ฟ โ๐ข โ ๐ ๐ = (((๐ก ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ข)) -s (๐ก ยทs ๐ข))} โช {๐ โฃ โ๐ฃ โ ๐
โ๐ค โ ๐ ๐ = (((๐ฃ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ค)) -s (๐ฃ ยทs ๐ค))})๐ง โคs (((๐ฅ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ฆ)) -s (๐ฅ ยทs ๐ฆ))) |
625 | 624 | ralbii 3092 |
. . . . . . . . . 10
โข
(โ๐ฆ โ (
L โ๐ต)โ๐ฅ๐(๐ฅ๐ = (((๐ฅ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ฆ)) -s (๐ฅ ยทs ๐ฆ)) โ โ๐ง โ ({๐ โฃ โ๐ก โ ๐ฟ โ๐ข โ ๐ ๐ = (((๐ก ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ข)) -s (๐ก ยทs ๐ข))} โช {๐ โฃ โ๐ฃ โ ๐
โ๐ค โ ๐ ๐ = (((๐ฃ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ค)) -s (๐ฃ ยทs ๐ค))})๐ง โคs ๐ฅ๐) โ โ๐ฆ โ ( L โ๐ต)โ๐ง โ ({๐ โฃ โ๐ก โ ๐ฟ โ๐ข โ ๐ ๐ = (((๐ก ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ข)) -s (๐ก ยทs ๐ข))} โช {๐ โฃ โ๐ฃ โ ๐
โ๐ค โ ๐ ๐ = (((๐ฃ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ค)) -s (๐ฃ ยทs ๐ค))})๐ง โคs (((๐ฅ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ฆ)) -s (๐ฅ ยทs ๐ฆ))) |
626 | 620, 625 | bitr3i 276 |
. . . . . . . . 9
โข
(โ๐ฅ๐โ๐ฆ โ ( L โ๐ต)(๐ฅ๐ = (((๐ฅ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ฆ)) -s (๐ฅ ยทs ๐ฆ)) โ โ๐ง โ ({๐ โฃ โ๐ก โ ๐ฟ โ๐ข โ ๐ ๐ = (((๐ก ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ข)) -s (๐ก ยทs ๐ข))} โช {๐ โฃ โ๐ฃ โ ๐
โ๐ค โ ๐ ๐ = (((๐ฃ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ค)) -s (๐ฃ ยทs ๐ค))})๐ง โคs ๐ฅ๐) โ โ๐ฆ โ ( L โ๐ต)โ๐ง โ ({๐ โฃ โ๐ก โ ๐ฟ โ๐ข โ ๐ ๐ = (((๐ก ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ข)) -s (๐ก ยทs ๐ข))} โช {๐ โฃ โ๐ฃ โ ๐
โ๐ค โ ๐ ๐ = (((๐ฃ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ค)) -s (๐ฃ ยทs ๐ค))})๐ง โคs (((๐ฅ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ฆ)) -s (๐ฅ ยทs ๐ฆ))) |
627 | 626 | ralbii 3092 |
. . . . . . . 8
โข
(โ๐ฅ โ (
R โ๐ด)โ๐ฅ๐โ๐ฆ โ ( L โ๐ต)(๐ฅ๐ = (((๐ฅ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ฆ)) -s (๐ฅ ยทs ๐ฆ)) โ โ๐ง โ ({๐ โฃ โ๐ก โ ๐ฟ โ๐ข โ ๐ ๐ = (((๐ก ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ข)) -s (๐ก ยทs ๐ข))} โช {๐ โฃ โ๐ฃ โ ๐
โ๐ค โ ๐ ๐ = (((๐ฃ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ค)) -s (๐ฃ ยทs ๐ค))})๐ง โคs ๐ฅ๐) โ โ๐ฅ โ ( R โ๐ด)โ๐ฆ โ ( L โ๐ต)โ๐ง โ ({๐ โฃ โ๐ก โ ๐ฟ โ๐ข โ ๐ ๐ = (((๐ก ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ข)) -s (๐ก ยทs ๐ข))} โช {๐ โฃ โ๐ฃ โ ๐
โ๐ค โ ๐ ๐ = (((๐ฃ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ค)) -s (๐ฃ ยทs ๐ค))})๐ง โคs (((๐ฅ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ฆ)) -s (๐ฅ ยทs ๐ฆ))) |
628 | 619, 627 | bitr3i 276 |
. . . . . . 7
โข
(โ๐ฅ๐โ๐ฅ โ ( R โ๐ด)โ๐ฆ โ ( L โ๐ต)(๐ฅ๐ = (((๐ฅ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ฆ)) -s (๐ฅ ยทs ๐ฆ)) โ โ๐ง โ ({๐ โฃ โ๐ก โ ๐ฟ โ๐ข โ ๐ ๐ = (((๐ก ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ข)) -s (๐ก ยทs ๐ข))} โช {๐ โฃ โ๐ฃ โ ๐
โ๐ค โ ๐ ๐ = (((๐ฃ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ค)) -s (๐ฃ ยทs ๐ค))})๐ง โคs ๐ฅ๐) โ โ๐ฅ โ ( R โ๐ด)โ๐ฆ โ ( L โ๐ต)โ๐ง โ ({๐ โฃ โ๐ก โ ๐ฟ โ๐ข โ ๐ ๐ = (((๐ก ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ข)) -s (๐ก ยทs ๐ข))} โช {๐ โฃ โ๐ฃ โ ๐
โ๐ค โ ๐ ๐ = (((๐ฃ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ค)) -s (๐ฃ ยทs ๐ค))})๐ง โคs (((๐ฅ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ฆ)) -s (๐ฅ ยทs ๐ฆ))) |
629 | 613, 618,
628 | 3bitr2i 298 |
. . . . . 6
โข
(โ๐ฅ๐ โ {๐ โฃ โ๐ฅ โ ( R โ๐ด)โ๐ฆ โ ( L โ๐ต)๐ = (((๐ฅ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ฆ)) -s (๐ฅ ยทs ๐ฆ))}โ๐ง โ ({๐ โฃ โ๐ก โ ๐ฟ โ๐ข โ ๐ ๐ = (((๐ก ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ข)) -s (๐ก ยทs ๐ข))} โช {๐ โฃ โ๐ฃ โ ๐
โ๐ค โ ๐ ๐ = (((๐ฃ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ค)) -s (๐ฃ ยทs ๐ค))})๐ง โคs ๐ฅ๐ โ โ๐ฅ โ ( R โ๐ด)โ๐ฆ โ ( L โ๐ต)โ๐ง โ ({๐ โฃ โ๐ก โ ๐ฟ โ๐ข โ ๐ ๐ = (((๐ก ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ข)) -s (๐ก ยทs ๐ข))} โช {๐ โฃ โ๐ฃ โ ๐
โ๐ค โ ๐ ๐ = (((๐ฃ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ค)) -s (๐ฃ ยทs ๐ค))})๐ง โคs (((๐ฅ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ฆ)) -s (๐ฅ ยทs ๐ฆ))) |
630 | 610, 629 | anbi12i 627 |
. . . . 5
โข
((โ๐ฅ๐ โ {๐ โฃ โ๐ โ ( L โ๐ด)โ๐ โ ( R โ๐ต)๐ = (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐)) -s (๐ ยทs ๐))}โ๐ง โ ({๐ โฃ โ๐ก โ ๐ฟ โ๐ข โ ๐ ๐ = (((๐ก ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ข)) -s (๐ก ยทs ๐ข))} โช {๐ โฃ โ๐ฃ โ ๐
โ๐ค โ ๐ ๐ = (((๐ฃ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ค)) -s (๐ฃ ยทs ๐ค))})๐ง โคs ๐ฅ๐ โง โ๐ฅ๐ โ
{๐ โฃ โ๐ฅ โ ( R โ๐ด)โ๐ฆ โ ( L โ๐ต)๐ = (((๐ฅ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ฆ)) -s (๐ฅ ยทs ๐ฆ))}โ๐ง โ ({๐ โฃ โ๐ก โ ๐ฟ โ๐ข โ ๐ ๐ = (((๐ก ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ข)) -s (๐ก ยทs ๐ข))} โช {๐ โฃ โ๐ฃ โ ๐
โ๐ค โ ๐ ๐ = (((๐ฃ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ค)) -s (๐ฃ ยทs ๐ค))})๐ง โคs ๐ฅ๐) โ (โ๐ โ ( L โ๐ด)โ๐ โ ( R โ๐ต)โ๐ง โ ({๐ โฃ โ๐ก โ ๐ฟ โ๐ข โ ๐ ๐ = (((๐ก ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ข)) -s (๐ก ยทs ๐ข))} โช {๐ โฃ โ๐ฃ โ ๐
โ๐ค โ ๐ ๐ = (((๐ฃ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ค)) -s (๐ฃ ยทs ๐ค))})๐ง โคs (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐)) -s (๐ ยทs ๐)) โง โ๐ฅ โ ( R โ๐ด)โ๐ฆ โ ( L โ๐ต)โ๐ง โ ({๐ โฃ โ๐ก โ ๐ฟ โ๐ข โ ๐ ๐ = (((๐ก ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ข)) -s (๐ก ยทs ๐ข))} โช {๐ โฃ โ๐ฃ โ ๐
โ๐ค โ ๐ ๐ = (((๐ฃ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ค)) -s (๐ฃ ยทs ๐ค))})๐ง โคs (((๐ฅ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ฆ)) -s (๐ฅ ยทs ๐ฆ)))) |
631 | 591, 630 | bitri 274 |
. . . 4
โข
(โ๐ฅ๐ โ ({๐ โฃ โ๐ โ ( L โ๐ด)โ๐ โ ( R โ๐ต)๐ = (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐)) -s (๐ ยทs ๐))} โช {๐ โฃ โ๐ฅ โ ( R โ๐ด)โ๐ฆ โ ( L โ๐ต)๐ = (((๐ฅ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ฆ)) -s (๐ฅ ยทs ๐ฆ))})โ๐ง โ ({๐ โฃ โ๐ก โ ๐ฟ โ๐ข โ ๐ ๐ = (((๐ก ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ข)) -s (๐ก ยทs ๐ข))} โช {๐ โฃ โ๐ฃ โ ๐
โ๐ค โ ๐ ๐ = (((๐ฃ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ค)) -s (๐ฃ ยทs ๐ค))})๐ง โคs ๐ฅ๐ โ (โ๐ โ ( L โ๐ด)โ๐ โ ( R โ๐ต)โ๐ง โ ({๐ โฃ โ๐ก โ ๐ฟ โ๐ข โ ๐ ๐ = (((๐ก ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ข)) -s (๐ก ยทs ๐ข))} โช {๐ โฃ โ๐ฃ โ ๐
โ๐ค โ ๐ ๐ = (((๐ฃ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ค)) -s (๐ฃ ยทs ๐ค))})๐ง โคs (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐)) -s (๐ ยทs ๐)) โง โ๐ฅ โ ( R โ๐ด)โ๐ฆ โ ( L โ๐ต)โ๐ง โ ({๐ โฃ โ๐ก โ ๐ฟ โ๐ข โ ๐ ๐ = (((๐ก ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ข)) -s (๐ก ยทs ๐ข))} โช {๐ โฃ โ๐ฃ โ ๐
โ๐ค โ ๐ ๐ = (((๐ฃ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ค)) -s (๐ฃ ยทs ๐ค))})๐ง โคs (((๐ฅ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ฆ)) -s (๐ฅ ยทs ๐ฆ)))) |
632 | 459, 590,
631 | sylanbrc 583 |
. . 3
โข (๐ โ โ๐ฅ๐ โ ({๐ โฃ โ๐ โ ( L โ๐ด)โ๐ โ ( R โ๐ต)๐ = (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐)) -s (๐ ยทs ๐))} โช {๐ โฃ โ๐ฅ โ ( R โ๐ด)โ๐ฆ โ ( L โ๐ต)๐ = (((๐ฅ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ฆ)) -s (๐ฅ ยทs ๐ฆ))})โ๐ง โ ({๐ โฃ โ๐ก โ ๐ฟ โ๐ข โ ๐ ๐ = (((๐ก ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ข)) -s (๐ก ยทs ๐ข))} โช {๐ โฃ โ๐ฃ โ ๐
โ๐ค โ ๐ ๐ = (((๐ฃ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ค)) -s (๐ฃ ยทs ๐ค))})๐ง โคs ๐ฅ๐) |
633 | 2, 6, 1, 5 | ssltmul1 27514 |
. . . 4
โข (๐ โ ({๐ โฃ โ๐ โ ๐ฟ โ๐ โ ๐ ๐ = (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐)) -s (๐ ยทs ๐))} โช {๐ โฃ โ๐ โ ๐
โ๐ โ ๐ ๐ = (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ )) -s (๐ ยทs ๐ ))}) <<s {(๐ด ยทs ๐ต)}) |
634 | 10 | sneqd 4634 |
. . . 4
โข (๐ โ {(๐ด ยทs ๐ต)} = {(({๐ โฃ โ๐ โ ( L โ๐ด)โ๐ โ ( L โ๐ต)๐ = (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐)) -s (๐ ยทs ๐))} โช {โ โฃ โ๐ โ ( R โ๐ด)โ๐ โ ( R โ๐ต)โ = (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐)) -s (๐ ยทs ๐))}) |s ({๐ โฃ โ๐ โ ( L โ๐ด)โ๐ โ ( R โ๐ต)๐ = (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐)) -s (๐ ยทs ๐))} โช {๐ โฃ โ๐ฅ โ ( R โ๐ด)โ๐ฆ โ ( L โ๐ต)๐ = (((๐ฅ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ฆ)) -s (๐ฅ ยทs ๐ฆ))}))}) |
635 | 633, 634 | breqtrd 5167 |
. . 3
โข (๐ โ ({๐ โฃ โ๐ โ ๐ฟ โ๐ โ ๐ ๐ = (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐)) -s (๐ ยทs ๐))} โช {๐ โฃ โ๐ โ ๐
โ๐ โ ๐ ๐ = (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ )) -s (๐ ยทs ๐ ))}) <<s {(({๐ โฃ โ๐ โ ( L โ๐ด)โ๐ โ ( L โ๐ต)๐ = (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐)) -s (๐ ยทs ๐))} โช {โ โฃ โ๐ โ ( R โ๐ด)โ๐ โ ( R โ๐ต)โ = (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐)) -s (๐ ยทs ๐))}) |s ({๐ โฃ โ๐ โ ( L โ๐ด)โ๐ โ ( R โ๐ต)๐ = (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐)) -s (๐ ยทs ๐))} โช {๐ โฃ โ๐ฅ โ ( R โ๐ด)โ๐ฆ โ ( L โ๐ต)๐ = (((๐ฅ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ฆ)) -s (๐ฅ ยทs ๐ฆ))}))}) |
636 | 2, 6, 1, 5 | ssltmul2 27515 |
. . . 4
โข (๐ โ {(๐ด ยทs ๐ต)} <<s ({๐ โฃ โ๐ก โ ๐ฟ โ๐ข โ ๐ ๐ = (((๐ก ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ข)) -s (๐ก ยทs ๐ข))} โช {๐ โฃ โ๐ฃ โ ๐
โ๐ค โ ๐ ๐ = (((๐ฃ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ค)) -s (๐ฃ ยทs ๐ค))})) |
637 | 634, 636 | eqbrtrrd 5165 |
. . 3
โข (๐ โ {(({๐ โฃ โ๐ โ ( L โ๐ด)โ๐ โ ( L โ๐ต)๐ = (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐)) -s (๐ ยทs ๐))} โช {โ โฃ โ๐ โ ( R โ๐ด)โ๐ โ ( R โ๐ต)โ = (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐)) -s (๐ ยทs ๐))}) |s ({๐ โฃ โ๐ โ ( L โ๐ด)โ๐ โ ( R โ๐ต)๐ = (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐)) -s (๐ ยทs ๐))} โช {๐ โฃ โ๐ฅ โ ( R โ๐ด)โ๐ฆ โ ( L โ๐ต)๐ = (((๐ฅ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ฆ)) -s (๐ฅ ยทs ๐ฆ))}))} <<s ({๐ โฃ โ๐ก โ ๐ฟ โ๐ข โ ๐ ๐ = (((๐ก ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ข)) -s (๐ก ยทs ๐ข))} โช {๐ โฃ โ๐ฃ โ ๐
โ๐ค โ ๐ ๐ = (((๐ฃ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ค)) -s (๐ฃ ยทs ๐ค))})) |
638 | 11, 323, 632, 635, 637 | cofcut1d 27328 |
. 2
โข (๐ โ (({๐ โฃ โ๐ โ ( L โ๐ด)โ๐ โ ( L โ๐ต)๐ = (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐)) -s (๐ ยทs ๐))} โช {โ โฃ โ๐ โ ( R โ๐ด)โ๐ โ ( R โ๐ต)โ = (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐)) -s (๐ ยทs ๐))}) |s ({๐ โฃ โ๐ โ ( L โ๐ด)โ๐ โ ( R โ๐ต)๐ = (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐)) -s (๐ ยทs ๐))} โช {๐ โฃ โ๐ฅ โ ( R โ๐ด)โ๐ฆ โ ( L โ๐ต)๐ = (((๐ฅ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ฆ)) -s (๐ฅ ยทs ๐ฆ))})) = (({๐ โฃ โ๐ โ ๐ฟ โ๐ โ ๐ ๐ = (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐)) -s (๐ ยทs ๐))} โช {๐ โฃ โ๐ โ ๐
โ๐ โ ๐ ๐ = (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ )) -s (๐ ยทs ๐ ))}) |s ({๐ โฃ โ๐ก โ ๐ฟ โ๐ข โ ๐ ๐ = (((๐ก ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ข)) -s (๐ก ยทs ๐ข))} โช {๐ โฃ โ๐ฃ โ ๐
โ๐ค โ ๐ ๐ = (((๐ฃ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ค)) -s (๐ฃ ยทs ๐ค))}))) |
639 | 10, 638 | eqtrd 2771 |
1
โข (๐ โ (๐ด ยทs ๐ต) = (({๐ โฃ โ๐ โ ๐ฟ โ๐ โ ๐ ๐ = (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐)) -s (๐ ยทs ๐))} โช {๐ โฃ โ๐ โ ๐
โ๐ โ ๐ ๐ = (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ )) -s (๐ ยทs ๐ ))}) |s ({๐ โฃ โ๐ก โ ๐ฟ โ๐ข โ ๐ ๐ = (((๐ก ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ข)) -s (๐ก ยทs ๐ข))} โช {๐ โฃ โ๐ฃ โ ๐
โ๐ค โ ๐ ๐ = (((๐ฃ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ค)) -s (๐ฃ ยทs ๐ค))}))) |