MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mulsuniflem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mulsuniflem 27844
Description: Lemma for mulsunif 27845. State the theorem with some extra distinct variable conditions. (Contributed by Scott Fenton, 8-Mar-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
mulsuniflem.1 (๐œ‘ โ†’ ๐ฟ <<s ๐‘…)
mulsuniflem.2 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ <<s ๐‘†)
mulsuniflem.3 (๐œ‘ โ†’ ๐ด = (๐ฟ |s ๐‘…))
mulsuniflem.4 (๐œ‘ โ†’ ๐ต = (๐‘€ |s ๐‘†))
Assertion
Ref Expression
mulsuniflem (๐œ‘ โ†’ (๐ด ยทs ๐ต) = (({๐‘Ž โˆฃ โˆƒ๐‘ โˆˆ ๐ฟ โˆƒ๐‘ž โˆˆ ๐‘€ ๐‘Ž = (((๐‘ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ž)) -s (๐‘ ยทs ๐‘ž))} โˆช {๐‘ โˆฃ โˆƒ๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘… โˆƒ๐‘  โˆˆ ๐‘† ๐‘ = (((๐‘Ÿ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ )) -s (๐‘Ÿ ยทs ๐‘ ))}) |s ({๐‘ โˆฃ โˆƒ๐‘ก โˆˆ ๐ฟ โˆƒ๐‘ข โˆˆ ๐‘† ๐‘ = (((๐‘ก ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ข)) -s (๐‘ก ยทs ๐‘ข))} โˆช {๐‘‘ โˆฃ โˆƒ๐‘ฃ โˆˆ ๐‘… โˆƒ๐‘ค โˆˆ ๐‘€ ๐‘‘ = (((๐‘ฃ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ค)) -s (๐‘ฃ ยทs ๐‘ค))})))
Distinct variable groups:   ๐ด,๐‘Ž,๐‘,๐‘ž   ๐ด,๐‘,๐‘Ÿ,๐‘    ๐ด,๐‘,๐‘ก,๐‘ข   ๐ด,๐‘‘,๐‘ฃ,๐‘ค   ๐ต,๐‘Ž,๐‘,๐‘ž   ๐ต,๐‘,๐‘Ÿ,๐‘    ๐ต,๐‘,๐‘ก,๐‘ข   ๐ต,๐‘‘,๐‘ฃ,๐‘ค   ๐ฟ,๐‘Ž,๐‘,๐‘ž   ๐ฟ,๐‘,๐‘ก,๐‘ข   ๐‘ฃ,๐ฟ   ๐ฟ,๐‘Ÿ   ๐‘€,๐‘Ž,๐‘,๐‘ž   ๐‘ข,๐‘€   ๐‘€,๐‘‘,๐‘ฃ,๐‘ค   ๐‘€,๐‘    ๐‘…,๐‘   ๐‘…,๐‘,๐‘Ÿ,๐‘    ๐‘ก,๐‘…   ๐‘…,๐‘‘,๐‘ฃ,๐‘ค   ๐‘†,๐‘,๐‘Ÿ,๐‘    ๐‘†,๐‘,๐‘ก,๐‘ข   ๐‘ค,๐‘†   ๐‘†,๐‘ž   ๐œ‘,๐‘Ž,๐‘,๐‘ž   ๐œ‘,๐‘,๐‘Ÿ,๐‘    ๐œ‘,๐‘,๐‘ก,๐‘ข   ๐œ‘,๐‘‘,๐‘ฃ,๐‘ค
Allowed substitution hints:   ๐‘…(๐‘ข,๐‘ž,๐‘Ž,๐‘)   ๐‘†(๐‘ฃ,๐‘,๐‘Ž,๐‘‘)   ๐ฟ(๐‘ค,๐‘ ,๐‘,๐‘‘)   ๐‘€(๐‘ก,๐‘Ÿ,๐‘,๐‘)

Proof of Theorem mulsuniflem
Dummy variables ๐‘’ ๐‘“ ๐‘” โ„Ž ๐‘– ๐‘— ๐‘˜ ๐‘™ ๐‘š ๐‘› ๐‘ฅ ๐‘ฆ ๐‘ง ๐‘ฅ๐‘‚ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mulsuniflem.3 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐ด = (๐ฟ |s ๐‘…))
2 mulsuniflem.1 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐ฟ <<s ๐‘…)
32scutcld 27542 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐ฟ |s ๐‘…) โˆˆ No )
41, 3eqeltrd 2832 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ No )
5 mulsuniflem.4 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐ต = (๐‘€ |s ๐‘†))
6 mulsuniflem.2 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ <<s ๐‘†)
76scutcld 27542 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐‘€ |s ๐‘†) โˆˆ No )
85, 7eqeltrd 2832 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ No )
9 mulsval 27805 . . 3 ((๐ด โˆˆ No โˆง ๐ต โˆˆ No ) โ†’ (๐ด ยทs ๐ต) = (({๐‘’ โˆฃ โˆƒ๐‘“ โˆˆ ( L โ€˜๐ด)โˆƒ๐‘” โˆˆ ( L โ€˜๐ต)๐‘’ = (((๐‘“ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘”)) -s (๐‘“ ยทs ๐‘”))} โˆช {โ„Ž โˆฃ โˆƒ๐‘– โˆˆ ( R โ€˜๐ด)โˆƒ๐‘— โˆˆ ( R โ€˜๐ต)โ„Ž = (((๐‘– ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘—)) -s (๐‘– ยทs ๐‘—))}) |s ({๐‘˜ โˆฃ โˆƒ๐‘™ โˆˆ ( L โ€˜๐ด)โˆƒ๐‘š โˆˆ ( R โ€˜๐ต)๐‘˜ = (((๐‘™ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘š)) -s (๐‘™ ยทs ๐‘š))} โˆช {๐‘› โˆฃ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ ( R โ€˜๐ด)โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ ( L โ€˜๐ต)๐‘› = (((๐‘ฅ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ฆ)) -s (๐‘ฅ ยทs ๐‘ฆ))})))
104, 8, 9syl2anc 583 . 2 (๐œ‘ โ†’ (๐ด ยทs ๐ต) = (({๐‘’ โˆฃ โˆƒ๐‘“ โˆˆ ( L โ€˜๐ด)โˆƒ๐‘” โˆˆ ( L โ€˜๐ต)๐‘’ = (((๐‘“ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘”)) -s (๐‘“ ยทs ๐‘”))} โˆช {โ„Ž โˆฃ โˆƒ๐‘– โˆˆ ( R โ€˜๐ด)โˆƒ๐‘— โˆˆ ( R โ€˜๐ต)โ„Ž = (((๐‘– ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘—)) -s (๐‘– ยทs ๐‘—))}) |s ({๐‘˜ โˆฃ โˆƒ๐‘™ โˆˆ ( L โ€˜๐ด)โˆƒ๐‘š โˆˆ ( R โ€˜๐ต)๐‘˜ = (((๐‘™ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘š)) -s (๐‘™ ยทs ๐‘š))} โˆช {๐‘› โˆฃ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ ( R โ€˜๐ด)โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ ( L โ€˜๐ต)๐‘› = (((๐‘ฅ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ฆ)) -s (๐‘ฅ ยทs ๐‘ฆ))})))
114, 8mulscut2 27829 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ({๐‘’ โˆฃ โˆƒ๐‘“ โˆˆ ( L โ€˜๐ด)โˆƒ๐‘” โˆˆ ( L โ€˜๐ต)๐‘’ = (((๐‘“ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘”)) -s (๐‘“ ยทs ๐‘”))} โˆช {โ„Ž โˆฃ โˆƒ๐‘– โˆˆ ( R โ€˜๐ด)โˆƒ๐‘— โˆˆ ( R โ€˜๐ต)โ„Ž = (((๐‘– ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘—)) -s (๐‘– ยทs ๐‘—))}) <<s ({๐‘˜ โˆฃ โˆƒ๐‘™ โˆˆ ( L โ€˜๐ด)โˆƒ๐‘š โˆˆ ( R โ€˜๐ต)๐‘˜ = (((๐‘™ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘š)) -s (๐‘™ ยทs ๐‘š))} โˆช {๐‘› โˆฃ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ ( R โ€˜๐ด)โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ ( L โ€˜๐ต)๐‘› = (((๐‘ฅ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ฆ)) -s (๐‘ฅ ยทs ๐‘ฆ))}))
122, 1cofcutr1d 27651 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ โˆ€๐‘“ โˆˆ ( L โ€˜๐ด)โˆƒ๐‘ โˆˆ ๐ฟ ๐‘“ โ‰คs ๐‘)
136, 5cofcutr1d 27651 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ โˆ€๐‘” โˆˆ ( L โ€˜๐ต)โˆƒ๐‘ž โˆˆ ๐‘€ ๐‘” โ‰คs ๐‘ž)
1413adantr 480 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง (๐‘“ โˆˆ ( L โ€˜๐ด) โˆง โˆƒ๐‘ โˆˆ ๐ฟ ๐‘“ โ‰คs ๐‘)) โ†’ โˆ€๐‘” โˆˆ ( L โ€˜๐ต)โˆƒ๐‘ž โˆˆ ๐‘€ ๐‘” โ‰คs ๐‘ž)
15 reeanv 3225 . . . . . . . . . . . . . . 15 (โˆƒ๐‘ โˆˆ ๐ฟ โˆƒ๐‘ž โˆˆ ๐‘€ (๐‘“ โ‰คs ๐‘ โˆง ๐‘” โ‰คs ๐‘ž) โ†” (โˆƒ๐‘ โˆˆ ๐ฟ ๐‘“ โ‰คs ๐‘ โˆง โˆƒ๐‘ž โˆˆ ๐‘€ ๐‘” โ‰คs ๐‘ž))
16 leftssno 27613 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ( L โ€˜๐ด) โІ No
17 simprl 768 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((๐œ‘ โˆง (๐‘“ โˆˆ ( L โ€˜๐ด) โˆง ๐‘” โˆˆ ( L โ€˜๐ต))) โ†’ ๐‘“ โˆˆ ( L โ€˜๐ด))
1816, 17sselid 3980 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((๐œ‘ โˆง (๐‘“ โˆˆ ( L โ€˜๐ด) โˆง ๐‘” โˆˆ ( L โ€˜๐ต))) โ†’ ๐‘“ โˆˆ No )
1918adantrr 714 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘“ โˆˆ ( L โ€˜๐ด) โˆง ๐‘” โˆˆ ( L โ€˜๐ต)) โˆง (๐‘ โˆˆ ๐ฟ โˆง ๐‘ž โˆˆ ๐‘€))) โ†’ ๐‘“ โˆˆ No )
208adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘“ โˆˆ ( L โ€˜๐ด) โˆง ๐‘” โˆˆ ( L โ€˜๐ต)) โˆง (๐‘ โˆˆ ๐ฟ โˆง ๐‘ž โˆˆ ๐‘€))) โ†’ ๐ต โˆˆ No )
2119, 20mulscld 27831 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘“ โˆˆ ( L โ€˜๐ด) โˆง ๐‘” โˆˆ ( L โ€˜๐ต)) โˆง (๐‘ โˆˆ ๐ฟ โˆง ๐‘ž โˆˆ ๐‘€))) โ†’ (๐‘“ ยทs ๐ต) โˆˆ No )
224adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘“ โˆˆ ( L โ€˜๐ด) โˆง ๐‘” โˆˆ ( L โ€˜๐ต)) โˆง (๐‘ โˆˆ ๐ฟ โˆง ๐‘ž โˆˆ ๐‘€))) โ†’ ๐ด โˆˆ No )
23 leftssno 27613 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ( L โ€˜๐ต) โІ No
24 simprr 770 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((๐œ‘ โˆง (๐‘“ โˆˆ ( L โ€˜๐ด) โˆง ๐‘” โˆˆ ( L โ€˜๐ต))) โ†’ ๐‘” โˆˆ ( L โ€˜๐ต))
2523, 24sselid 3980 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((๐œ‘ โˆง (๐‘“ โˆˆ ( L โ€˜๐ด) โˆง ๐‘” โˆˆ ( L โ€˜๐ต))) โ†’ ๐‘” โˆˆ No )
2625adantrr 714 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘“ โˆˆ ( L โ€˜๐ด) โˆง ๐‘” โˆˆ ( L โ€˜๐ต)) โˆง (๐‘ โˆˆ ๐ฟ โˆง ๐‘ž โˆˆ ๐‘€))) โ†’ ๐‘” โˆˆ No )
2722, 26mulscld 27831 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘“ โˆˆ ( L โ€˜๐ด) โˆง ๐‘” โˆˆ ( L โ€˜๐ต)) โˆง (๐‘ โˆˆ ๐ฟ โˆง ๐‘ž โˆˆ ๐‘€))) โ†’ (๐ด ยทs ๐‘”) โˆˆ No )
2821, 27addscld 27703 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘“ โˆˆ ( L โ€˜๐ด) โˆง ๐‘” โˆˆ ( L โ€˜๐ต)) โˆง (๐‘ โˆˆ ๐ฟ โˆง ๐‘ž โˆˆ ๐‘€))) โ†’ ((๐‘“ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘”)) โˆˆ No )
2919, 26mulscld 27831 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘“ โˆˆ ( L โ€˜๐ด) โˆง ๐‘” โˆˆ ( L โ€˜๐ต)) โˆง (๐‘ โˆˆ ๐ฟ โˆง ๐‘ž โˆˆ ๐‘€))) โ†’ (๐‘“ ยทs ๐‘”) โˆˆ No )
3028, 29subscld 27775 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘“ โˆˆ ( L โ€˜๐ด) โˆง ๐‘” โˆˆ ( L โ€˜๐ต)) โˆง (๐‘ โˆˆ ๐ฟ โˆง ๐‘ž โˆˆ ๐‘€))) โ†’ (((๐‘“ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘”)) -s (๐‘“ ยทs ๐‘”)) โˆˆ No )
3130adantrrr 722 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘“ โˆˆ ( L โ€˜๐ด) โˆง ๐‘” โˆˆ ( L โ€˜๐ต)) โˆง ((๐‘ โˆˆ ๐ฟ โˆง ๐‘ž โˆˆ ๐‘€) โˆง (๐‘“ โ‰คs ๐‘ โˆง ๐‘” โ‰คs ๐‘ž)))) โ†’ (((๐‘“ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘”)) -s (๐‘“ ยทs ๐‘”)) โˆˆ No )
32 ssltss1 27527 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (๐ฟ <<s ๐‘… โ†’ ๐ฟ โІ No )
332, 32syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (๐œ‘ โ†’ ๐ฟ โІ No )
3433adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆˆ ๐ฟ โˆง ๐‘ž โˆˆ ๐‘€)) โ†’ ๐ฟ โІ No )
35 simprl 768 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆˆ ๐ฟ โˆง ๐‘ž โˆˆ ๐‘€)) โ†’ ๐‘ โˆˆ ๐ฟ)
3634, 35sseldd 3983 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆˆ ๐ฟ โˆง ๐‘ž โˆˆ ๐‘€)) โ†’ ๐‘ โˆˆ No )
3736adantrl 713 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘“ โˆˆ ( L โ€˜๐ด) โˆง ๐‘” โˆˆ ( L โ€˜๐ต)) โˆง (๐‘ โˆˆ ๐ฟ โˆง ๐‘ž โˆˆ ๐‘€))) โ†’ ๐‘ โˆˆ No )
3837, 20mulscld 27831 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘“ โˆˆ ( L โ€˜๐ด) โˆง ๐‘” โˆˆ ( L โ€˜๐ต)) โˆง (๐‘ โˆˆ ๐ฟ โˆง ๐‘ž โˆˆ ๐‘€))) โ†’ (๐‘ ยทs ๐ต) โˆˆ No )
3938, 27addscld 27703 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘“ โˆˆ ( L โ€˜๐ด) โˆง ๐‘” โˆˆ ( L โ€˜๐ต)) โˆง (๐‘ โˆˆ ๐ฟ โˆง ๐‘ž โˆˆ ๐‘€))) โ†’ ((๐‘ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘”)) โˆˆ No )
4037, 26mulscld 27831 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘“ โˆˆ ( L โ€˜๐ด) โˆง ๐‘” โˆˆ ( L โ€˜๐ต)) โˆง (๐‘ โˆˆ ๐ฟ โˆง ๐‘ž โˆˆ ๐‘€))) โ†’ (๐‘ ยทs ๐‘”) โˆˆ No )
4139, 40subscld 27775 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘“ โˆˆ ( L โ€˜๐ด) โˆง ๐‘” โˆˆ ( L โ€˜๐ต)) โˆง (๐‘ โˆˆ ๐ฟ โˆง ๐‘ž โˆˆ ๐‘€))) โ†’ (((๐‘ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘”)) -s (๐‘ ยทs ๐‘”)) โˆˆ No )
4241adantrrr 722 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘“ โˆˆ ( L โ€˜๐ด) โˆง ๐‘” โˆˆ ( L โ€˜๐ต)) โˆง ((๐‘ โˆˆ ๐ฟ โˆง ๐‘ž โˆˆ ๐‘€) โˆง (๐‘“ โ‰คs ๐‘ โˆง ๐‘” โ‰คs ๐‘ž)))) โ†’ (((๐‘ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘”)) -s (๐‘ ยทs ๐‘”)) โˆˆ No )
43 ssltss1 27527 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (๐‘€ <<s ๐‘† โ†’ ๐‘€ โІ No )
446, 43syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โІ No )
4544adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆˆ ๐ฟ โˆง ๐‘ž โˆˆ ๐‘€)) โ†’ ๐‘€ โІ No )
46 simprr 770 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆˆ ๐ฟ โˆง ๐‘ž โˆˆ ๐‘€)) โ†’ ๐‘ž โˆˆ ๐‘€)
4745, 46sseldd 3983 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆˆ ๐ฟ โˆง ๐‘ž โˆˆ ๐‘€)) โ†’ ๐‘ž โˆˆ No )
4847adantrl 713 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘“ โˆˆ ( L โ€˜๐ด) โˆง ๐‘” โˆˆ ( L โ€˜๐ต)) โˆง (๐‘ โˆˆ ๐ฟ โˆง ๐‘ž โˆˆ ๐‘€))) โ†’ ๐‘ž โˆˆ No )
4922, 48mulscld 27831 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘“ โˆˆ ( L โ€˜๐ด) โˆง ๐‘” โˆˆ ( L โ€˜๐ต)) โˆง (๐‘ โˆˆ ๐ฟ โˆง ๐‘ž โˆˆ ๐‘€))) โ†’ (๐ด ยทs ๐‘ž) โˆˆ No )
5038, 49addscld 27703 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘“ โˆˆ ( L โ€˜๐ด) โˆง ๐‘” โˆˆ ( L โ€˜๐ต)) โˆง (๐‘ โˆˆ ๐ฟ โˆง ๐‘ž โˆˆ ๐‘€))) โ†’ ((๐‘ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ž)) โˆˆ No )
5137, 48mulscld 27831 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘“ โˆˆ ( L โ€˜๐ด) โˆง ๐‘” โˆˆ ( L โ€˜๐ต)) โˆง (๐‘ โˆˆ ๐ฟ โˆง ๐‘ž โˆˆ ๐‘€))) โ†’ (๐‘ ยทs ๐‘ž) โˆˆ No )
5250, 51subscld 27775 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘“ โˆˆ ( L โ€˜๐ด) โˆง ๐‘” โˆˆ ( L โ€˜๐ต)) โˆง (๐‘ โˆˆ ๐ฟ โˆง ๐‘ž โˆˆ ๐‘€))) โ†’ (((๐‘ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ž)) -s (๐‘ ยทs ๐‘ž)) โˆˆ No )
5352adantrrr 722 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘“ โˆˆ ( L โ€˜๐ด) โˆง ๐‘” โˆˆ ( L โ€˜๐ต)) โˆง ((๐‘ โˆˆ ๐ฟ โˆง ๐‘ž โˆˆ ๐‘€) โˆง (๐‘“ โ‰คs ๐‘ โˆง ๐‘” โ‰คs ๐‘ž)))) โ†’ (((๐‘ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ž)) -s (๐‘ ยทs ๐‘ž)) โˆˆ No )
5418adantrr 714 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘“ โˆˆ ( L โ€˜๐ด) โˆง ๐‘” โˆˆ ( L โ€˜๐ต)) โˆง ((๐‘ โˆˆ ๐ฟ โˆง ๐‘ž โˆˆ ๐‘€) โˆง (๐‘“ โ‰คs ๐‘ โˆง ๐‘” โ‰คs ๐‘ž)))) โ†’ ๐‘“ โˆˆ No )
5537adantrrr 722 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘“ โˆˆ ( L โ€˜๐ด) โˆง ๐‘” โˆˆ ( L โ€˜๐ต)) โˆง ((๐‘ โˆˆ ๐ฟ โˆง ๐‘ž โˆˆ ๐‘€) โˆง (๐‘“ โ‰คs ๐‘ โˆง ๐‘” โ‰คs ๐‘ž)))) โ†’ ๐‘ โˆˆ No )
5625adantrr 714 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘“ โˆˆ ( L โ€˜๐ด) โˆง ๐‘” โˆˆ ( L โ€˜๐ต)) โˆง ((๐‘ โˆˆ ๐ฟ โˆง ๐‘ž โˆˆ ๐‘€) โˆง (๐‘“ โ‰คs ๐‘ โˆง ๐‘” โ‰คs ๐‘ž)))) โ†’ ๐‘” โˆˆ No )
578adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘“ โˆˆ ( L โ€˜๐ด) โˆง ๐‘” โˆˆ ( L โ€˜๐ต)) โˆง ((๐‘ โˆˆ ๐ฟ โˆง ๐‘ž โˆˆ ๐‘€) โˆง (๐‘“ โ‰คs ๐‘ โˆง ๐‘” โ‰คs ๐‘ž)))) โ†’ ๐ต โˆˆ No )
58 simprrl 778 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((๐‘“ โˆˆ ( L โ€˜๐ด) โˆง ๐‘” โˆˆ ( L โ€˜๐ต)) โˆง ((๐‘ โˆˆ ๐ฟ โˆง ๐‘ž โˆˆ ๐‘€) โˆง (๐‘“ โ‰คs ๐‘ โˆง ๐‘” โ‰คs ๐‘ž))) โ†’ ๐‘“ โ‰คs ๐‘)
5958adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘“ โˆˆ ( L โ€˜๐ด) โˆง ๐‘” โˆˆ ( L โ€˜๐ต)) โˆง ((๐‘ โˆˆ ๐ฟ โˆง ๐‘ž โˆˆ ๐‘€) โˆง (๐‘“ โ‰คs ๐‘ โˆง ๐‘” โ‰คs ๐‘ž)))) โ†’ ๐‘“ โ‰คs ๐‘)
608adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((๐œ‘ โˆง (๐‘“ โˆˆ ( L โ€˜๐ด) โˆง ๐‘” โˆˆ ( L โ€˜๐ต))) โ†’ ๐ต โˆˆ No )
61 ssltleft 27603 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (๐ต โˆˆ No โ†’ ( L โ€˜๐ต) <<s {๐ต})
628, 61syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (๐œ‘ โ†’ ( L โ€˜๐ต) <<s {๐ต})
6362adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((๐œ‘ โˆง (๐‘“ โˆˆ ( L โ€˜๐ด) โˆง ๐‘” โˆˆ ( L โ€˜๐ต))) โ†’ ( L โ€˜๐ต) <<s {๐ต})
64 snidg 4662 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (๐ต โˆˆ No โ†’ ๐ต โˆˆ {๐ต})
658, 64syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ {๐ต})
6665adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((๐œ‘ โˆง (๐‘“ โˆˆ ( L โ€˜๐ด) โˆง ๐‘” โˆˆ ( L โ€˜๐ต))) โ†’ ๐ต โˆˆ {๐ต})
6763, 24, 66ssltsepcd 27533 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((๐œ‘ โˆง (๐‘“ โˆˆ ( L โ€˜๐ด) โˆง ๐‘” โˆˆ ( L โ€˜๐ต))) โ†’ ๐‘” <s ๐ต)
6825, 60, 67sltled 27509 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((๐œ‘ โˆง (๐‘“ โˆˆ ( L โ€˜๐ด) โˆง ๐‘” โˆˆ ( L โ€˜๐ต))) โ†’ ๐‘” โ‰คs ๐ต)
6968adantrr 714 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘“ โˆˆ ( L โ€˜๐ด) โˆง ๐‘” โˆˆ ( L โ€˜๐ต)) โˆง ((๐‘ โˆˆ ๐ฟ โˆง ๐‘ž โˆˆ ๐‘€) โˆง (๐‘“ โ‰คs ๐‘ โˆง ๐‘” โ‰คs ๐‘ž)))) โ†’ ๐‘” โ‰คs ๐ต)
7054, 55, 56, 57, 59, 69slemuld 27834 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘“ โˆˆ ( L โ€˜๐ด) โˆง ๐‘” โˆˆ ( L โ€˜๐ต)) โˆง ((๐‘ โˆˆ ๐ฟ โˆง ๐‘ž โˆˆ ๐‘€) โˆง (๐‘“ โ‰คs ๐‘ โˆง ๐‘” โ‰คs ๐‘ž)))) โ†’ ((๐‘“ ยทs ๐ต) -s (๐‘“ ยทs ๐‘”)) โ‰คs ((๐‘ ยทs ๐ต) -s (๐‘ ยทs ๐‘”)))
7121, 29subscld 27775 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘“ โˆˆ ( L โ€˜๐ด) โˆง ๐‘” โˆˆ ( L โ€˜๐ต)) โˆง (๐‘ โˆˆ ๐ฟ โˆง ๐‘ž โˆˆ ๐‘€))) โ†’ ((๐‘“ ยทs ๐ต) -s (๐‘“ ยทs ๐‘”)) โˆˆ No )
7238, 40subscld 27775 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘“ โˆˆ ( L โ€˜๐ด) โˆง ๐‘” โˆˆ ( L โ€˜๐ต)) โˆง (๐‘ โˆˆ ๐ฟ โˆง ๐‘ž โˆˆ ๐‘€))) โ†’ ((๐‘ ยทs ๐ต) -s (๐‘ ยทs ๐‘”)) โˆˆ No )
7371, 72, 27sleadd1d 27718 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘“ โˆˆ ( L โ€˜๐ด) โˆง ๐‘” โˆˆ ( L โ€˜๐ต)) โˆง (๐‘ โˆˆ ๐ฟ โˆง ๐‘ž โˆˆ ๐‘€))) โ†’ (((๐‘“ ยทs ๐ต) -s (๐‘“ ยทs ๐‘”)) โ‰คs ((๐‘ ยทs ๐ต) -s (๐‘ ยทs ๐‘”)) โ†” (((๐‘“ ยทs ๐ต) -s (๐‘“ ยทs ๐‘”)) +s (๐ด ยทs ๐‘”)) โ‰คs (((๐‘ ยทs ๐ต) -s (๐‘ ยทs ๐‘”)) +s (๐ด ยทs ๐‘”))))
7473adantrrr 722 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘“ โˆˆ ( L โ€˜๐ด) โˆง ๐‘” โˆˆ ( L โ€˜๐ต)) โˆง ((๐‘ โˆˆ ๐ฟ โˆง ๐‘ž โˆˆ ๐‘€) โˆง (๐‘“ โ‰คs ๐‘ โˆง ๐‘” โ‰คs ๐‘ž)))) โ†’ (((๐‘“ ยทs ๐ต) -s (๐‘“ ยทs ๐‘”)) โ‰คs ((๐‘ ยทs ๐ต) -s (๐‘ ยทs ๐‘”)) โ†” (((๐‘“ ยทs ๐ต) -s (๐‘“ ยทs ๐‘”)) +s (๐ด ยทs ๐‘”)) โ‰คs (((๐‘ ยทs ๐ต) -s (๐‘ ยทs ๐‘”)) +s (๐ด ยทs ๐‘”))))
7570, 74mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘“ โˆˆ ( L โ€˜๐ด) โˆง ๐‘” โˆˆ ( L โ€˜๐ต)) โˆง ((๐‘ โˆˆ ๐ฟ โˆง ๐‘ž โˆˆ ๐‘€) โˆง (๐‘“ โ‰คs ๐‘ โˆง ๐‘” โ‰คs ๐‘ž)))) โ†’ (((๐‘“ ยทs ๐ต) -s (๐‘“ ยทs ๐‘”)) +s (๐ด ยทs ๐‘”)) โ‰คs (((๐‘ ยทs ๐ต) -s (๐‘ ยทs ๐‘”)) +s (๐ด ยทs ๐‘”)))
7621, 27, 29addsubsd 27789 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘“ โˆˆ ( L โ€˜๐ด) โˆง ๐‘” โˆˆ ( L โ€˜๐ต)) โˆง (๐‘ โˆˆ ๐ฟ โˆง ๐‘ž โˆˆ ๐‘€))) โ†’ (((๐‘“ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘”)) -s (๐‘“ ยทs ๐‘”)) = (((๐‘“ ยทs ๐ต) -s (๐‘“ ยทs ๐‘”)) +s (๐ด ยทs ๐‘”)))
7776adantrrr 722 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘“ โˆˆ ( L โ€˜๐ด) โˆง ๐‘” โˆˆ ( L โ€˜๐ต)) โˆง ((๐‘ โˆˆ ๐ฟ โˆง ๐‘ž โˆˆ ๐‘€) โˆง (๐‘“ โ‰คs ๐‘ โˆง ๐‘” โ‰คs ๐‘ž)))) โ†’ (((๐‘“ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘”)) -s (๐‘“ ยทs ๐‘”)) = (((๐‘“ ยทs ๐ต) -s (๐‘“ ยทs ๐‘”)) +s (๐ด ยทs ๐‘”)))
7838, 27, 40addsubsd 27789 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘“ โˆˆ ( L โ€˜๐ด) โˆง ๐‘” โˆˆ ( L โ€˜๐ต)) โˆง (๐‘ โˆˆ ๐ฟ โˆง ๐‘ž โˆˆ ๐‘€))) โ†’ (((๐‘ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘”)) -s (๐‘ ยทs ๐‘”)) = (((๐‘ ยทs ๐ต) -s (๐‘ ยทs ๐‘”)) +s (๐ด ยทs ๐‘”)))
7978adantrrr 722 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘“ โˆˆ ( L โ€˜๐ด) โˆง ๐‘” โˆˆ ( L โ€˜๐ต)) โˆง ((๐‘ โˆˆ ๐ฟ โˆง ๐‘ž โˆˆ ๐‘€) โˆง (๐‘“ โ‰คs ๐‘ โˆง ๐‘” โ‰คs ๐‘ž)))) โ†’ (((๐‘ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘”)) -s (๐‘ ยทs ๐‘”)) = (((๐‘ ยทs ๐ต) -s (๐‘ ยทs ๐‘”)) +s (๐ด ยทs ๐‘”)))
8075, 77, 793brtr4d 5180 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘“ โˆˆ ( L โ€˜๐ด) โˆง ๐‘” โˆˆ ( L โ€˜๐ต)) โˆง ((๐‘ โˆˆ ๐ฟ โˆง ๐‘ž โˆˆ ๐‘€) โˆง (๐‘“ โ‰คs ๐‘ โˆง ๐‘” โ‰คs ๐‘ž)))) โ†’ (((๐‘“ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘”)) -s (๐‘“ ยทs ๐‘”)) โ‰คs (((๐‘ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘”)) -s (๐‘ ยทs ๐‘”)))
814adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘“ โˆˆ ( L โ€˜๐ด) โˆง ๐‘” โˆˆ ( L โ€˜๐ต)) โˆง ((๐‘ โˆˆ ๐ฟ โˆง ๐‘ž โˆˆ ๐‘€) โˆง (๐‘“ โ‰คs ๐‘ โˆง ๐‘” โ‰คs ๐‘ž)))) โ†’ ๐ด โˆˆ No )
8248adantrrr 722 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘“ โˆˆ ( L โ€˜๐ด) โˆง ๐‘” โˆˆ ( L โ€˜๐ต)) โˆง ((๐‘ โˆˆ ๐ฟ โˆง ๐‘ž โˆˆ ๐‘€) โˆง (๐‘“ โ‰คs ๐‘ โˆง ๐‘” โ‰คs ๐‘ž)))) โ†’ ๐‘ž โˆˆ No )
834adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆˆ ๐ฟ โˆง ๐‘ž โˆˆ ๐‘€)) โ†’ ๐ด โˆˆ No )
84 scutcut 27540 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (๐ฟ <<s ๐‘… โ†’ ((๐ฟ |s ๐‘…) โˆˆ No โˆง ๐ฟ <<s {(๐ฟ |s ๐‘…)} โˆง {(๐ฟ |s ๐‘…)} <<s ๐‘…))
852, 84syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (๐œ‘ โ†’ ((๐ฟ |s ๐‘…) โˆˆ No โˆง ๐ฟ <<s {(๐ฟ |s ๐‘…)} โˆง {(๐ฟ |s ๐‘…)} <<s ๐‘…))
8685simp2d 1142 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (๐œ‘ โ†’ ๐ฟ <<s {(๐ฟ |s ๐‘…)})
8786adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆˆ ๐ฟ โˆง ๐‘ž โˆˆ ๐‘€)) โ†’ ๐ฟ <<s {(๐ฟ |s ๐‘…)})
88 ovex 7445 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (๐ฟ |s ๐‘…) โˆˆ V
8988snid 4664 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (๐ฟ |s ๐‘…) โˆˆ {(๐ฟ |s ๐‘…)}
901, 89eqeltrdi 2840 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ {(๐ฟ |s ๐‘…)})
9190adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆˆ ๐ฟ โˆง ๐‘ž โˆˆ ๐‘€)) โ†’ ๐ด โˆˆ {(๐ฟ |s ๐‘…)})
9287, 35, 91ssltsepcd 27533 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆˆ ๐ฟ โˆง ๐‘ž โˆˆ ๐‘€)) โ†’ ๐‘ <s ๐ด)
9336, 83, 92sltled 27509 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆˆ ๐ฟ โˆง ๐‘ž โˆˆ ๐‘€)) โ†’ ๐‘ โ‰คs ๐ด)
9493adantrl 713 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘“ โˆˆ ( L โ€˜๐ด) โˆง ๐‘” โˆˆ ( L โ€˜๐ต)) โˆง (๐‘ โˆˆ ๐ฟ โˆง ๐‘ž โˆˆ ๐‘€))) โ†’ ๐‘ โ‰คs ๐ด)
9594adantrrr 722 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘“ โˆˆ ( L โ€˜๐ด) โˆง ๐‘” โˆˆ ( L โ€˜๐ต)) โˆง ((๐‘ โˆˆ ๐ฟ โˆง ๐‘ž โˆˆ ๐‘€) โˆง (๐‘“ โ‰คs ๐‘ โˆง ๐‘” โ‰คs ๐‘ž)))) โ†’ ๐‘ โ‰คs ๐ด)
96 simprrr 779 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((๐‘“ โˆˆ ( L โ€˜๐ด) โˆง ๐‘” โˆˆ ( L โ€˜๐ต)) โˆง ((๐‘ โˆˆ ๐ฟ โˆง ๐‘ž โˆˆ ๐‘€) โˆง (๐‘“ โ‰คs ๐‘ โˆง ๐‘” โ‰คs ๐‘ž))) โ†’ ๐‘” โ‰คs ๐‘ž)
9796adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘“ โˆˆ ( L โ€˜๐ด) โˆง ๐‘” โˆˆ ( L โ€˜๐ต)) โˆง ((๐‘ โˆˆ ๐ฟ โˆง ๐‘ž โˆˆ ๐‘€) โˆง (๐‘“ โ‰คs ๐‘ โˆง ๐‘” โ‰คs ๐‘ž)))) โ†’ ๐‘” โ‰คs ๐‘ž)
9855, 81, 56, 82, 95, 97slemuld 27834 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘“ โˆˆ ( L โ€˜๐ด) โˆง ๐‘” โˆˆ ( L โ€˜๐ต)) โˆง ((๐‘ โˆˆ ๐ฟ โˆง ๐‘ž โˆˆ ๐‘€) โˆง (๐‘“ โ‰คs ๐‘ โˆง ๐‘” โ‰คs ๐‘ž)))) โ†’ ((๐‘ ยทs ๐‘ž) -s (๐‘ ยทs ๐‘”)) โ‰คs ((๐ด ยทs ๐‘ž) -s (๐ด ยทs ๐‘”)))
9951, 49, 40, 27slesubsub3bd 27795 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘“ โˆˆ ( L โ€˜๐ด) โˆง ๐‘” โˆˆ ( L โ€˜๐ต)) โˆง (๐‘ โˆˆ ๐ฟ โˆง ๐‘ž โˆˆ ๐‘€))) โ†’ (((๐‘ ยทs ๐‘ž) -s (๐‘ ยทs ๐‘”)) โ‰คs ((๐ด ยทs ๐‘ž) -s (๐ด ยทs ๐‘”)) โ†” ((๐ด ยทs ๐‘”) -s (๐‘ ยทs ๐‘”)) โ‰คs ((๐ด ยทs ๐‘ž) -s (๐‘ ยทs ๐‘ž))))
10027, 40subscld 27775 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘“ โˆˆ ( L โ€˜๐ด) โˆง ๐‘” โˆˆ ( L โ€˜๐ต)) โˆง (๐‘ โˆˆ ๐ฟ โˆง ๐‘ž โˆˆ ๐‘€))) โ†’ ((๐ด ยทs ๐‘”) -s (๐‘ ยทs ๐‘”)) โˆˆ No )
10149, 51subscld 27775 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘“ โˆˆ ( L โ€˜๐ด) โˆง ๐‘” โˆˆ ( L โ€˜๐ต)) โˆง (๐‘ โˆˆ ๐ฟ โˆง ๐‘ž โˆˆ ๐‘€))) โ†’ ((๐ด ยทs ๐‘ž) -s (๐‘ ยทs ๐‘ž)) โˆˆ No )
102100, 101, 38sleadd2d 27719 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘“ โˆˆ ( L โ€˜๐ด) โˆง ๐‘” โˆˆ ( L โ€˜๐ต)) โˆง (๐‘ โˆˆ ๐ฟ โˆง ๐‘ž โˆˆ ๐‘€))) โ†’ (((๐ด ยทs ๐‘”) -s (๐‘ ยทs ๐‘”)) โ‰คs ((๐ด ยทs ๐‘ž) -s (๐‘ ยทs ๐‘ž)) โ†” ((๐‘ ยทs ๐ต) +s ((๐ด ยทs ๐‘”) -s (๐‘ ยทs ๐‘”))) โ‰คs ((๐‘ ยทs ๐ต) +s ((๐ด ยทs ๐‘ž) -s (๐‘ ยทs ๐‘ž)))))
10399, 102bitrd 279 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘“ โˆˆ ( L โ€˜๐ด) โˆง ๐‘” โˆˆ ( L โ€˜๐ต)) โˆง (๐‘ โˆˆ ๐ฟ โˆง ๐‘ž โˆˆ ๐‘€))) โ†’ (((๐‘ ยทs ๐‘ž) -s (๐‘ ยทs ๐‘”)) โ‰คs ((๐ด ยทs ๐‘ž) -s (๐ด ยทs ๐‘”)) โ†” ((๐‘ ยทs ๐ต) +s ((๐ด ยทs ๐‘”) -s (๐‘ ยทs ๐‘”))) โ‰คs ((๐‘ ยทs ๐ต) +s ((๐ด ยทs ๐‘ž) -s (๐‘ ยทs ๐‘ž)))))
104103adantrrr 722 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘“ โˆˆ ( L โ€˜๐ด) โˆง ๐‘” โˆˆ ( L โ€˜๐ต)) โˆง ((๐‘ โˆˆ ๐ฟ โˆง ๐‘ž โˆˆ ๐‘€) โˆง (๐‘“ โ‰คs ๐‘ โˆง ๐‘” โ‰คs ๐‘ž)))) โ†’ (((๐‘ ยทs ๐‘ž) -s (๐‘ ยทs ๐‘”)) โ‰คs ((๐ด ยทs ๐‘ž) -s (๐ด ยทs ๐‘”)) โ†” ((๐‘ ยทs ๐ต) +s ((๐ด ยทs ๐‘”) -s (๐‘ ยทs ๐‘”))) โ‰คs ((๐‘ ยทs ๐ต) +s ((๐ด ยทs ๐‘ž) -s (๐‘ ยทs ๐‘ž)))))
10598, 104mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘“ โˆˆ ( L โ€˜๐ด) โˆง ๐‘” โˆˆ ( L โ€˜๐ต)) โˆง ((๐‘ โˆˆ ๐ฟ โˆง ๐‘ž โˆˆ ๐‘€) โˆง (๐‘“ โ‰คs ๐‘ โˆง ๐‘” โ‰คs ๐‘ž)))) โ†’ ((๐‘ ยทs ๐ต) +s ((๐ด ยทs ๐‘”) -s (๐‘ ยทs ๐‘”))) โ‰คs ((๐‘ ยทs ๐ต) +s ((๐ด ยทs ๐‘ž) -s (๐‘ ยทs ๐‘ž))))
10638, 27, 40addsubsassd 27788 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘“ โˆˆ ( L โ€˜๐ด) โˆง ๐‘” โˆˆ ( L โ€˜๐ต)) โˆง (๐‘ โˆˆ ๐ฟ โˆง ๐‘ž โˆˆ ๐‘€))) โ†’ (((๐‘ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘”)) -s (๐‘ ยทs ๐‘”)) = ((๐‘ ยทs ๐ต) +s ((๐ด ยทs ๐‘”) -s (๐‘ ยทs ๐‘”))))
107106adantrrr 722 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘“ โˆˆ ( L โ€˜๐ด) โˆง ๐‘” โˆˆ ( L โ€˜๐ต)) โˆง ((๐‘ โˆˆ ๐ฟ โˆง ๐‘ž โˆˆ ๐‘€) โˆง (๐‘“ โ‰คs ๐‘ โˆง ๐‘” โ‰คs ๐‘ž)))) โ†’ (((๐‘ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘”)) -s (๐‘ ยทs ๐‘”)) = ((๐‘ ยทs ๐ต) +s ((๐ด ยทs ๐‘”) -s (๐‘ ยทs ๐‘”))))
10838, 49, 51addsubsassd 27788 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘“ โˆˆ ( L โ€˜๐ด) โˆง ๐‘” โˆˆ ( L โ€˜๐ต)) โˆง (๐‘ โˆˆ ๐ฟ โˆง ๐‘ž โˆˆ ๐‘€))) โ†’ (((๐‘ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ž)) -s (๐‘ ยทs ๐‘ž)) = ((๐‘ ยทs ๐ต) +s ((๐ด ยทs ๐‘ž) -s (๐‘ ยทs ๐‘ž))))
109108adantrrr 722 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘“ โˆˆ ( L โ€˜๐ด) โˆง ๐‘” โˆˆ ( L โ€˜๐ต)) โˆง ((๐‘ โˆˆ ๐ฟ โˆง ๐‘ž โˆˆ ๐‘€) โˆง (๐‘“ โ‰คs ๐‘ โˆง ๐‘” โ‰คs ๐‘ž)))) โ†’ (((๐‘ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ž)) -s (๐‘ ยทs ๐‘ž)) = ((๐‘ ยทs ๐ต) +s ((๐ด ยทs ๐‘ž) -s (๐‘ ยทs ๐‘ž))))
110105, 107, 1093brtr4d 5180 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘“ โˆˆ ( L โ€˜๐ด) โˆง ๐‘” โˆˆ ( L โ€˜๐ต)) โˆง ((๐‘ โˆˆ ๐ฟ โˆง ๐‘ž โˆˆ ๐‘€) โˆง (๐‘“ โ‰คs ๐‘ โˆง ๐‘” โ‰คs ๐‘ž)))) โ†’ (((๐‘ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘”)) -s (๐‘ ยทs ๐‘”)) โ‰คs (((๐‘ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ž)) -s (๐‘ ยทs ๐‘ž)))
11131, 42, 53, 80, 110sletrd 27502 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘“ โˆˆ ( L โ€˜๐ด) โˆง ๐‘” โˆˆ ( L โ€˜๐ต)) โˆง ((๐‘ โˆˆ ๐ฟ โˆง ๐‘ž โˆˆ ๐‘€) โˆง (๐‘“ โ‰คs ๐‘ โˆง ๐‘” โ‰คs ๐‘ž)))) โ†’ (((๐‘“ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘”)) -s (๐‘“ ยทs ๐‘”)) โ‰คs (((๐‘ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ž)) -s (๐‘ ยทs ๐‘ž)))
112111anassrs 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((๐œ‘ โˆง (๐‘“ โˆˆ ( L โ€˜๐ด) โˆง ๐‘” โˆˆ ( L โ€˜๐ต))) โˆง ((๐‘ โˆˆ ๐ฟ โˆง ๐‘ž โˆˆ ๐‘€) โˆง (๐‘“ โ‰คs ๐‘ โˆง ๐‘” โ‰คs ๐‘ž))) โ†’ (((๐‘“ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘”)) -s (๐‘“ ยทs ๐‘”)) โ‰คs (((๐‘ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ž)) -s (๐‘ ยทs ๐‘ž)))
113112expr 456 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((๐œ‘ โˆง (๐‘“ โˆˆ ( L โ€˜๐ด) โˆง ๐‘” โˆˆ ( L โ€˜๐ต))) โˆง (๐‘ โˆˆ ๐ฟ โˆง ๐‘ž โˆˆ ๐‘€)) โ†’ ((๐‘“ โ‰คs ๐‘ โˆง ๐‘” โ‰คs ๐‘ž) โ†’ (((๐‘“ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘”)) -s (๐‘“ ยทs ๐‘”)) โ‰คs (((๐‘ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ž)) -s (๐‘ ยทs ๐‘ž))))
114113reximdvva 3204 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐œ‘ โˆง (๐‘“ โˆˆ ( L โ€˜๐ด) โˆง ๐‘” โˆˆ ( L โ€˜๐ต))) โ†’ (โˆƒ๐‘ โˆˆ ๐ฟ โˆƒ๐‘ž โˆˆ ๐‘€ (๐‘“ โ‰คs ๐‘ โˆง ๐‘” โ‰คs ๐‘ž) โ†’ โˆƒ๐‘ โˆˆ ๐ฟ โˆƒ๐‘ž โˆˆ ๐‘€ (((๐‘“ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘”)) -s (๐‘“ ยทs ๐‘”)) โ‰คs (((๐‘ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ž)) -s (๐‘ ยทs ๐‘ž))))
115114expcom 413 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐‘“ โˆˆ ( L โ€˜๐ด) โˆง ๐‘” โˆˆ ( L โ€˜๐ต)) โ†’ (๐œ‘ โ†’ (โˆƒ๐‘ โˆˆ ๐ฟ โˆƒ๐‘ž โˆˆ ๐‘€ (๐‘“ โ‰คs ๐‘ โˆง ๐‘” โ‰คs ๐‘ž) โ†’ โˆƒ๐‘ โˆˆ ๐ฟ โˆƒ๐‘ž โˆˆ ๐‘€ (((๐‘“ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘”)) -s (๐‘“ ยทs ๐‘”)) โ‰คs (((๐‘ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ž)) -s (๐‘ ยทs ๐‘ž)))))
116115com23 86 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐‘“ โˆˆ ( L โ€˜๐ด) โˆง ๐‘” โˆˆ ( L โ€˜๐ต)) โ†’ (โˆƒ๐‘ โˆˆ ๐ฟ โˆƒ๐‘ž โˆˆ ๐‘€ (๐‘“ โ‰คs ๐‘ โˆง ๐‘” โ‰คs ๐‘ž) โ†’ (๐œ‘ โ†’ โˆƒ๐‘ โˆˆ ๐ฟ โˆƒ๐‘ž โˆˆ ๐‘€ (((๐‘“ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘”)) -s (๐‘“ ยทs ๐‘”)) โ‰คs (((๐‘ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ž)) -s (๐‘ ยทs ๐‘ž)))))
117116imp 406 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐‘“ โˆˆ ( L โ€˜๐ด) โˆง ๐‘” โˆˆ ( L โ€˜๐ต)) โˆง โˆƒ๐‘ โˆˆ ๐ฟ โˆƒ๐‘ž โˆˆ ๐‘€ (๐‘“ โ‰คs ๐‘ โˆง ๐‘” โ‰คs ๐‘ž)) โ†’ (๐œ‘ โ†’ โˆƒ๐‘ โˆˆ ๐ฟ โˆƒ๐‘ž โˆˆ ๐‘€ (((๐‘“ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘”)) -s (๐‘“ ยทs ๐‘”)) โ‰คs (((๐‘ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ž)) -s (๐‘ ยทs ๐‘ž))))
11815, 117sylan2br 594 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐‘“ โˆˆ ( L โ€˜๐ด) โˆง ๐‘” โˆˆ ( L โ€˜๐ต)) โˆง (โˆƒ๐‘ โˆˆ ๐ฟ ๐‘“ โ‰คs ๐‘ โˆง โˆƒ๐‘ž โˆˆ ๐‘€ ๐‘” โ‰คs ๐‘ž)) โ†’ (๐œ‘ โ†’ โˆƒ๐‘ โˆˆ ๐ฟ โˆƒ๐‘ž โˆˆ ๐‘€ (((๐‘“ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘”)) -s (๐‘“ ยทs ๐‘”)) โ‰คs (((๐‘ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ž)) -s (๐‘ ยทs ๐‘ž))))
119118an4s 657 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐‘“ โˆˆ ( L โ€˜๐ด) โˆง โˆƒ๐‘ โˆˆ ๐ฟ ๐‘“ โ‰คs ๐‘) โˆง (๐‘” โˆˆ ( L โ€˜๐ต) โˆง โˆƒ๐‘ž โˆˆ ๐‘€ ๐‘” โ‰คs ๐‘ž)) โ†’ (๐œ‘ โ†’ โˆƒ๐‘ โˆˆ ๐ฟ โˆƒ๐‘ž โˆˆ ๐‘€ (((๐‘“ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘”)) -s (๐‘“ ยทs ๐‘”)) โ‰คs (((๐‘ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ž)) -s (๐‘ ยทs ๐‘ž))))
120119impcom 407 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘“ โˆˆ ( L โ€˜๐ด) โˆง โˆƒ๐‘ โˆˆ ๐ฟ ๐‘“ โ‰คs ๐‘) โˆง (๐‘” โˆˆ ( L โ€˜๐ต) โˆง โˆƒ๐‘ž โˆˆ ๐‘€ ๐‘” โ‰คs ๐‘ž))) โ†’ โˆƒ๐‘ โˆˆ ๐ฟ โˆƒ๐‘ž โˆˆ ๐‘€ (((๐‘“ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘”)) -s (๐‘“ ยทs ๐‘”)) โ‰คs (((๐‘ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ž)) -s (๐‘ ยทs ๐‘ž)))
121120anassrs 467 . . . . . . . . . . 11 (((๐œ‘ โˆง (๐‘“ โˆˆ ( L โ€˜๐ด) โˆง โˆƒ๐‘ โˆˆ ๐ฟ ๐‘“ โ‰คs ๐‘)) โˆง (๐‘” โˆˆ ( L โ€˜๐ต) โˆง โˆƒ๐‘ž โˆˆ ๐‘€ ๐‘” โ‰คs ๐‘ž)) โ†’ โˆƒ๐‘ โˆˆ ๐ฟ โˆƒ๐‘ž โˆˆ ๐‘€ (((๐‘“ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘”)) -s (๐‘“ ยทs ๐‘”)) โ‰คs (((๐‘ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ž)) -s (๐‘ ยทs ๐‘ž)))
122121expr 456 . . . . . . . . . 10 (((๐œ‘ โˆง (๐‘“ โˆˆ ( L โ€˜๐ด) โˆง โˆƒ๐‘ โˆˆ ๐ฟ ๐‘“ โ‰คs ๐‘)) โˆง ๐‘” โˆˆ ( L โ€˜๐ต)) โ†’ (โˆƒ๐‘ž โˆˆ ๐‘€ ๐‘” โ‰คs ๐‘ž โ†’ โˆƒ๐‘ โˆˆ ๐ฟ โˆƒ๐‘ž โˆˆ ๐‘€ (((๐‘“ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘”)) -s (๐‘“ ยทs ๐‘”)) โ‰คs (((๐‘ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ž)) -s (๐‘ ยทs ๐‘ž))))
123122ralimdva 3166 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง (๐‘“ โˆˆ ( L โ€˜๐ด) โˆง โˆƒ๐‘ โˆˆ ๐ฟ ๐‘“ โ‰คs ๐‘)) โ†’ (โˆ€๐‘” โˆˆ ( L โ€˜๐ต)โˆƒ๐‘ž โˆˆ ๐‘€ ๐‘” โ‰คs ๐‘ž โ†’ โˆ€๐‘” โˆˆ ( L โ€˜๐ต)โˆƒ๐‘ โˆˆ ๐ฟ โˆƒ๐‘ž โˆˆ ๐‘€ (((๐‘“ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘”)) -s (๐‘“ ยทs ๐‘”)) โ‰คs (((๐‘ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ž)) -s (๐‘ ยทs ๐‘ž))))
12414, 123mpd 15 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง (๐‘“ โˆˆ ( L โ€˜๐ด) โˆง โˆƒ๐‘ โˆˆ ๐ฟ ๐‘“ โ‰คs ๐‘)) โ†’ โˆ€๐‘” โˆˆ ( L โ€˜๐ต)โˆƒ๐‘ โˆˆ ๐ฟ โˆƒ๐‘ž โˆˆ ๐‘€ (((๐‘“ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘”)) -s (๐‘“ ยทs ๐‘”)) โ‰คs (((๐‘ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ž)) -s (๐‘ ยทs ๐‘ž)))
125124expr 456 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘“ โˆˆ ( L โ€˜๐ด)) โ†’ (โˆƒ๐‘ โˆˆ ๐ฟ ๐‘“ โ‰คs ๐‘ โ†’ โˆ€๐‘” โˆˆ ( L โ€˜๐ต)โˆƒ๐‘ โˆˆ ๐ฟ โˆƒ๐‘ž โˆˆ ๐‘€ (((๐‘“ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘”)) -s (๐‘“ ยทs ๐‘”)) โ‰คs (((๐‘ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ž)) -s (๐‘ ยทs ๐‘ž))))
126125ralimdva 3166 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (โˆ€๐‘“ โˆˆ ( L โ€˜๐ด)โˆƒ๐‘ โˆˆ ๐ฟ ๐‘“ โ‰คs ๐‘ โ†’ โˆ€๐‘“ โˆˆ ( L โ€˜๐ด)โˆ€๐‘” โˆˆ ( L โ€˜๐ต)โˆƒ๐‘ โˆˆ ๐ฟ โˆƒ๐‘ž โˆˆ ๐‘€ (((๐‘“ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘”)) -s (๐‘“ ยทs ๐‘”)) โ‰คs (((๐‘ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ž)) -s (๐‘ ยทs ๐‘ž))))
12712, 126mpd 15 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ โˆ€๐‘“ โˆˆ ( L โ€˜๐ด)โˆ€๐‘” โˆˆ ( L โ€˜๐ต)โˆƒ๐‘ โˆˆ ๐ฟ โˆƒ๐‘ž โˆˆ ๐‘€ (((๐‘“ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘”)) -s (๐‘“ ยทs ๐‘”)) โ‰คs (((๐‘ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ž)) -s (๐‘ ยทs ๐‘ž)))
128 eqeq1 2735 . . . . . . . . . 10 (๐‘Ž = ๐‘ง โ†’ (๐‘Ž = (((๐‘ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ž)) -s (๐‘ ยทs ๐‘ž)) โ†” ๐‘ง = (((๐‘ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ž)) -s (๐‘ ยทs ๐‘ž))))
1291282rexbidv 3218 . . . . . . . . 9 (๐‘Ž = ๐‘ง โ†’ (โˆƒ๐‘ โˆˆ ๐ฟ โˆƒ๐‘ž โˆˆ ๐‘€ ๐‘Ž = (((๐‘ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ž)) -s (๐‘ ยทs ๐‘ž)) โ†” โˆƒ๐‘ โˆˆ ๐ฟ โˆƒ๐‘ž โˆˆ ๐‘€ ๐‘ง = (((๐‘ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ž)) -s (๐‘ ยทs ๐‘ž))))
130129rexab 3690 . . . . . . . 8 (โˆƒ๐‘ง โˆˆ {๐‘Ž โˆฃ โˆƒ๐‘ โˆˆ ๐ฟ โˆƒ๐‘ž โˆˆ ๐‘€ ๐‘Ž = (((๐‘ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ž)) -s (๐‘ ยทs ๐‘ž))} (((๐‘“ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘”)) -s (๐‘“ ยทs ๐‘”)) โ‰คs ๐‘ง โ†” โˆƒ๐‘ง(โˆƒ๐‘ โˆˆ ๐ฟ โˆƒ๐‘ž โˆˆ ๐‘€ ๐‘ง = (((๐‘ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ž)) -s (๐‘ ยทs ๐‘ž)) โˆง (((๐‘“ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘”)) -s (๐‘“ ยทs ๐‘”)) โ‰คs ๐‘ง))
131 r19.41vv 3223 . . . . . . . . 9 (โˆƒ๐‘ โˆˆ ๐ฟ โˆƒ๐‘ž โˆˆ ๐‘€ (๐‘ง = (((๐‘ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ž)) -s (๐‘ ยทs ๐‘ž)) โˆง (((๐‘“ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘”)) -s (๐‘“ ยทs ๐‘”)) โ‰คs ๐‘ง) โ†” (โˆƒ๐‘ โˆˆ ๐ฟ โˆƒ๐‘ž โˆˆ ๐‘€ ๐‘ง = (((๐‘ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ž)) -s (๐‘ ยทs ๐‘ž)) โˆง (((๐‘“ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘”)) -s (๐‘“ ยทs ๐‘”)) โ‰คs ๐‘ง))
132131exbii 1849 . . . . . . . 8 (โˆƒ๐‘งโˆƒ๐‘ โˆˆ ๐ฟ โˆƒ๐‘ž โˆˆ ๐‘€ (๐‘ง = (((๐‘ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ž)) -s (๐‘ ยทs ๐‘ž)) โˆง (((๐‘“ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘”)) -s (๐‘“ ยทs ๐‘”)) โ‰คs ๐‘ง) โ†” โˆƒ๐‘ง(โˆƒ๐‘ โˆˆ ๐ฟ โˆƒ๐‘ž โˆˆ ๐‘€ ๐‘ง = (((๐‘ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ž)) -s (๐‘ ยทs ๐‘ž)) โˆง (((๐‘“ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘”)) -s (๐‘“ ยทs ๐‘”)) โ‰คs ๐‘ง))
133 rexcom4 3284 . . . . . . . . 9 (โˆƒ๐‘ โˆˆ ๐ฟ โˆƒ๐‘งโˆƒ๐‘ž โˆˆ ๐‘€ (๐‘ง = (((๐‘ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ž)) -s (๐‘ ยทs ๐‘ž)) โˆง (((๐‘“ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘”)) -s (๐‘“ ยทs ๐‘”)) โ‰คs ๐‘ง) โ†” โˆƒ๐‘งโˆƒ๐‘ โˆˆ ๐ฟ โˆƒ๐‘ž โˆˆ ๐‘€ (๐‘ง = (((๐‘ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ž)) -s (๐‘ ยทs ๐‘ž)) โˆง (((๐‘“ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘”)) -s (๐‘“ ยทs ๐‘”)) โ‰คs ๐‘ง))
134 rexcom4 3284 . . . . . . . . . . 11 (โˆƒ๐‘ž โˆˆ ๐‘€ โˆƒ๐‘ง(๐‘ง = (((๐‘ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ž)) -s (๐‘ ยทs ๐‘ž)) โˆง (((๐‘“ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘”)) -s (๐‘“ ยทs ๐‘”)) โ‰คs ๐‘ง) โ†” โˆƒ๐‘งโˆƒ๐‘ž โˆˆ ๐‘€ (๐‘ง = (((๐‘ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ž)) -s (๐‘ ยทs ๐‘ž)) โˆง (((๐‘“ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘”)) -s (๐‘“ ยทs ๐‘”)) โ‰คs ๐‘ง))
135 ovex 7445 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐‘ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ž)) -s (๐‘ ยทs ๐‘ž)) โˆˆ V
136 breq2 5152 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ง = (((๐‘ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ž)) -s (๐‘ ยทs ๐‘ž)) โ†’ ((((๐‘“ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘”)) -s (๐‘“ ยทs ๐‘”)) โ‰คs ๐‘ง โ†” (((๐‘“ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘”)) -s (๐‘“ ยทs ๐‘”)) โ‰คs (((๐‘ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ž)) -s (๐‘ ยทs ๐‘ž))))
137135, 136ceqsexv 3525 . . . . . . . . . . . 12 (โˆƒ๐‘ง(๐‘ง = (((๐‘ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ž)) -s (๐‘ ยทs ๐‘ž)) โˆง (((๐‘“ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘”)) -s (๐‘“ ยทs ๐‘”)) โ‰คs ๐‘ง) โ†” (((๐‘“ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘”)) -s (๐‘“ ยทs ๐‘”)) โ‰คs (((๐‘ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ž)) -s (๐‘ ยทs ๐‘ž)))
138137rexbii 3093 . . . . . . . . . . 11 (โˆƒ๐‘ž โˆˆ ๐‘€ โˆƒ๐‘ง(๐‘ง = (((๐‘ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ž)) -s (๐‘ ยทs ๐‘ž)) โˆง (((๐‘“ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘”)) -s (๐‘“ ยทs ๐‘”)) โ‰คs ๐‘ง) โ†” โˆƒ๐‘ž โˆˆ ๐‘€ (((๐‘“ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘”)) -s (๐‘“ ยทs ๐‘”)) โ‰คs (((๐‘ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ž)) -s (๐‘ ยทs ๐‘ž)))
139134, 138bitr3i 277 . . . . . . . . . 10 (โˆƒ๐‘งโˆƒ๐‘ž โˆˆ ๐‘€ (๐‘ง = (((๐‘ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ž)) -s (๐‘ ยทs ๐‘ž)) โˆง (((๐‘“ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘”)) -s (๐‘“ ยทs ๐‘”)) โ‰คs ๐‘ง) โ†” โˆƒ๐‘ž โˆˆ ๐‘€ (((๐‘“ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘”)) -s (๐‘“ ยทs ๐‘”)) โ‰คs (((๐‘ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ž)) -s (๐‘ ยทs ๐‘ž)))
140139rexbii 3093 . . . . . . . . 9 (โˆƒ๐‘ โˆˆ ๐ฟ โˆƒ๐‘งโˆƒ๐‘ž โˆˆ ๐‘€ (๐‘ง = (((๐‘ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ž)) -s (๐‘ ยทs ๐‘ž)) โˆง (((๐‘“ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘”)) -s (๐‘“ ยทs ๐‘”)) โ‰คs ๐‘ง) โ†” โˆƒ๐‘ โˆˆ ๐ฟ โˆƒ๐‘ž โˆˆ ๐‘€ (((๐‘“ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘”)) -s (๐‘“ ยทs ๐‘”)) โ‰คs (((๐‘ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ž)) -s (๐‘ ยทs ๐‘ž)))
141133, 140bitr3i 277 . . . . . . . 8 (โˆƒ๐‘งโˆƒ๐‘ โˆˆ ๐ฟ โˆƒ๐‘ž โˆˆ ๐‘€ (๐‘ง = (((๐‘ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ž)) -s (๐‘ ยทs ๐‘ž)) โˆง (((๐‘“ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘”)) -s (๐‘“ ยทs ๐‘”)) โ‰คs ๐‘ง) โ†” โˆƒ๐‘ โˆˆ ๐ฟ โˆƒ๐‘ž โˆˆ ๐‘€ (((๐‘“ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘”)) -s (๐‘“ ยทs ๐‘”)) โ‰คs (((๐‘ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ž)) -s (๐‘ ยทs ๐‘ž)))
142130, 132, 1413bitr2i 299 . . . . . . 7 (โˆƒ๐‘ง โˆˆ {๐‘Ž โˆฃ โˆƒ๐‘ โˆˆ ๐ฟ โˆƒ๐‘ž โˆˆ ๐‘€ ๐‘Ž = (((๐‘ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ž)) -s (๐‘ ยทs ๐‘ž))} (((๐‘“ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘”)) -s (๐‘“ ยทs ๐‘”)) โ‰คs ๐‘ง โ†” โˆƒ๐‘ โˆˆ ๐ฟ โˆƒ๐‘ž โˆˆ ๐‘€ (((๐‘“ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘”)) -s (๐‘“ ยทs ๐‘”)) โ‰คs (((๐‘ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ž)) -s (๐‘ ยทs ๐‘ž)))
143 ssun1 4172 . . . . . . . 8 {๐‘Ž โˆฃ โˆƒ๐‘ โˆˆ ๐ฟ โˆƒ๐‘ž โˆˆ ๐‘€ ๐‘Ž = (((๐‘ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ž)) -s (๐‘ ยทs ๐‘ž))} โІ ({๐‘Ž โˆฃ โˆƒ๐‘ โˆˆ ๐ฟ โˆƒ๐‘ž โˆˆ ๐‘€ ๐‘Ž = (((๐‘ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ž)) -s (๐‘ ยทs ๐‘ž))} โˆช {๐‘ โˆฃ โˆƒ๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘… โˆƒ๐‘  โˆˆ ๐‘† ๐‘ = (((๐‘Ÿ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ )) -s (๐‘Ÿ ยทs ๐‘ ))})
144 ssrexv 4051 . . . . . . . 8 ({๐‘Ž โˆฃ โˆƒ๐‘ โˆˆ ๐ฟ โˆƒ๐‘ž โˆˆ ๐‘€ ๐‘Ž = (((๐‘ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ž)) -s (๐‘ ยทs ๐‘ž))} โІ ({๐‘Ž โˆฃ โˆƒ๐‘ โˆˆ ๐ฟ โˆƒ๐‘ž โˆˆ ๐‘€ ๐‘Ž = (((๐‘ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ž)) -s (๐‘ ยทs ๐‘ž))} โˆช {๐‘ โˆฃ โˆƒ๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘… โˆƒ๐‘  โˆˆ ๐‘† ๐‘ = (((๐‘Ÿ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ )) -s (๐‘Ÿ ยทs ๐‘ ))}) โ†’ (โˆƒ๐‘ง โˆˆ {๐‘Ž โˆฃ โˆƒ๐‘ โˆˆ ๐ฟ โˆƒ๐‘ž โˆˆ ๐‘€ ๐‘Ž = (((๐‘ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ž)) -s (๐‘ ยทs ๐‘ž))} (((๐‘“ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘”)) -s (๐‘“ ยทs ๐‘”)) โ‰คs ๐‘ง โ†’ โˆƒ๐‘ง โˆˆ ({๐‘Ž โˆฃ โˆƒ๐‘ โˆˆ ๐ฟ โˆƒ๐‘ž โˆˆ ๐‘€ ๐‘Ž = (((๐‘ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ž)) -s (๐‘ ยทs ๐‘ž))} โˆช {๐‘ โˆฃ โˆƒ๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘… โˆƒ๐‘  โˆˆ ๐‘† ๐‘ = (((๐‘Ÿ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ )) -s (๐‘Ÿ ยทs ๐‘ ))})(((๐‘“ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘”)) -s (๐‘“ ยทs ๐‘”)) โ‰คs ๐‘ง))
145143, 144ax-mp 5 . . . . . . 7 (โˆƒ๐‘ง โˆˆ {๐‘Ž โˆฃ โˆƒ๐‘ โˆˆ ๐ฟ โˆƒ๐‘ž โˆˆ ๐‘€ ๐‘Ž = (((๐‘ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ž)) -s (๐‘ ยทs ๐‘ž))} (((๐‘“ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘”)) -s (๐‘“ ยทs ๐‘”)) โ‰คs ๐‘ง โ†’ โˆƒ๐‘ง โˆˆ ({๐‘Ž โˆฃ โˆƒ๐‘ โˆˆ ๐ฟ โˆƒ๐‘ž โˆˆ ๐‘€ ๐‘Ž = (((๐‘ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ž)) -s (๐‘ ยทs ๐‘ž))} โˆช {๐‘ โˆฃ โˆƒ๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘… โˆƒ๐‘  โˆˆ ๐‘† ๐‘ = (((๐‘Ÿ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ )) -s (๐‘Ÿ ยทs ๐‘ ))})(((๐‘“ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘”)) -s (๐‘“ ยทs ๐‘”)) โ‰คs ๐‘ง)
146142, 145sylbir 234 . . . . . 6 (โˆƒ๐‘ โˆˆ ๐ฟ โˆƒ๐‘ž โˆˆ ๐‘€ (((๐‘“ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘”)) -s (๐‘“ ยทs ๐‘”)) โ‰คs (((๐‘ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ž)) -s (๐‘ ยทs ๐‘ž)) โ†’ โˆƒ๐‘ง โˆˆ ({๐‘Ž โˆฃ โˆƒ๐‘ โˆˆ ๐ฟ โˆƒ๐‘ž โˆˆ ๐‘€ ๐‘Ž = (((๐‘ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ž)) -s (๐‘ ยทs ๐‘ž))} โˆช {๐‘ โˆฃ โˆƒ๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘… โˆƒ๐‘  โˆˆ ๐‘† ๐‘ = (((๐‘Ÿ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ )) -s (๐‘Ÿ ยทs ๐‘ ))})(((๐‘“ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘”)) -s (๐‘“ ยทs ๐‘”)) โ‰คs ๐‘ง)
1471462ralimi 3122 . . . . 5 (โˆ€๐‘“ โˆˆ ( L โ€˜๐ด)โˆ€๐‘” โˆˆ ( L โ€˜๐ต)โˆƒ๐‘ โˆˆ ๐ฟ โˆƒ๐‘ž โˆˆ ๐‘€ (((๐‘“ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘”)) -s (๐‘“ ยทs ๐‘”)) โ‰คs (((๐‘ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ž)) -s (๐‘ ยทs ๐‘ž)) โ†’ โˆ€๐‘“ โˆˆ ( L โ€˜๐ด)โˆ€๐‘” โˆˆ ( L โ€˜๐ต)โˆƒ๐‘ง โˆˆ ({๐‘Ž โˆฃ โˆƒ๐‘ โˆˆ ๐ฟ โˆƒ๐‘ž โˆˆ ๐‘€ ๐‘Ž = (((๐‘ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ž)) -s (๐‘ ยทs ๐‘ž))} โˆช {๐‘ โˆฃ โˆƒ๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘… โˆƒ๐‘  โˆˆ ๐‘† ๐‘ = (((๐‘Ÿ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ )) -s (๐‘Ÿ ยทs ๐‘ ))})(((๐‘“ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘”)) -s (๐‘“ ยทs ๐‘”)) โ‰คs ๐‘ง)
148127, 147syl 17 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ โˆ€๐‘“ โˆˆ ( L โ€˜๐ด)โˆ€๐‘” โˆˆ ( L โ€˜๐ต)โˆƒ๐‘ง โˆˆ ({๐‘Ž โˆฃ โˆƒ๐‘ โˆˆ ๐ฟ โˆƒ๐‘ž โˆˆ ๐‘€ ๐‘Ž = (((๐‘ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ž)) -s (๐‘ ยทs ๐‘ž))} โˆช {๐‘ โˆฃ โˆƒ๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘… โˆƒ๐‘  โˆˆ ๐‘† ๐‘ = (((๐‘Ÿ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ )) -s (๐‘Ÿ ยทs ๐‘ ))})(((๐‘“ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘”)) -s (๐‘“ ยทs ๐‘”)) โ‰คs ๐‘ง)
1492, 1cofcutr2d 27652 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ โˆ€๐‘– โˆˆ ( R โ€˜๐ด)โˆƒ๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘… ๐‘Ÿ โ‰คs ๐‘–)
1506, 5cofcutr2d 27652 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ โˆ€๐‘— โˆˆ ( R โ€˜๐ต)โˆƒ๐‘  โˆˆ ๐‘† ๐‘  โ‰คs ๐‘—)
151150adantr 480 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง (๐‘– โˆˆ ( R โ€˜๐ด) โˆง โˆƒ๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘… ๐‘Ÿ โ‰คs ๐‘–)) โ†’ โˆ€๐‘— โˆˆ ( R โ€˜๐ต)โˆƒ๐‘  โˆˆ ๐‘† ๐‘  โ‰คs ๐‘—)
152 reeanv 3225 . . . . . . . . . . . . . . 15 (โˆƒ๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘… โˆƒ๐‘  โˆˆ ๐‘† (๐‘Ÿ โ‰คs ๐‘– โˆง ๐‘  โ‰คs ๐‘—) โ†” (โˆƒ๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘… ๐‘Ÿ โ‰คs ๐‘– โˆง โˆƒ๐‘  โˆˆ ๐‘† ๐‘  โ‰คs ๐‘—))
153 rightssno 27614 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ( R โ€˜๐ด) โІ No
154 simprl 768 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((๐œ‘ โˆง (๐‘– โˆˆ ( R โ€˜๐ด) โˆง ๐‘— โˆˆ ( R โ€˜๐ต))) โ†’ ๐‘– โˆˆ ( R โ€˜๐ด))
155153, 154sselid 3980 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((๐œ‘ โˆง (๐‘– โˆˆ ( R โ€˜๐ด) โˆง ๐‘— โˆˆ ( R โ€˜๐ต))) โ†’ ๐‘– โˆˆ No )
156155adantrr 714 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘– โˆˆ ( R โ€˜๐ด) โˆง ๐‘— โˆˆ ( R โ€˜๐ต)) โˆง (๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘… โˆง ๐‘  โˆˆ ๐‘†))) โ†’ ๐‘– โˆˆ No )
1578adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘– โˆˆ ( R โ€˜๐ด) โˆง ๐‘— โˆˆ ( R โ€˜๐ต)) โˆง (๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘… โˆง ๐‘  โˆˆ ๐‘†))) โ†’ ๐ต โˆˆ No )
158156, 157mulscld 27831 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘– โˆˆ ( R โ€˜๐ด) โˆง ๐‘— โˆˆ ( R โ€˜๐ต)) โˆง (๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘… โˆง ๐‘  โˆˆ ๐‘†))) โ†’ (๐‘– ยทs ๐ต) โˆˆ No )
1594adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘– โˆˆ ( R โ€˜๐ด) โˆง ๐‘— โˆˆ ( R โ€˜๐ต)) โˆง (๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘… โˆง ๐‘  โˆˆ ๐‘†))) โ†’ ๐ด โˆˆ No )
160 rightssno 27614 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ( R โ€˜๐ต) โІ No
161 simprr 770 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((๐œ‘ โˆง (๐‘– โˆˆ ( R โ€˜๐ด) โˆง ๐‘— โˆˆ ( R โ€˜๐ต))) โ†’ ๐‘— โˆˆ ( R โ€˜๐ต))
162160, 161sselid 3980 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((๐œ‘ โˆง (๐‘– โˆˆ ( R โ€˜๐ด) โˆง ๐‘— โˆˆ ( R โ€˜๐ต))) โ†’ ๐‘— โˆˆ No )
163162adantrr 714 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘– โˆˆ ( R โ€˜๐ด) โˆง ๐‘— โˆˆ ( R โ€˜๐ต)) โˆง (๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘… โˆง ๐‘  โˆˆ ๐‘†))) โ†’ ๐‘— โˆˆ No )
164159, 163mulscld 27831 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘– โˆˆ ( R โ€˜๐ด) โˆง ๐‘— โˆˆ ( R โ€˜๐ต)) โˆง (๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘… โˆง ๐‘  โˆˆ ๐‘†))) โ†’ (๐ด ยทs ๐‘—) โˆˆ No )
165158, 164addscld 27703 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘– โˆˆ ( R โ€˜๐ด) โˆง ๐‘— โˆˆ ( R โ€˜๐ต)) โˆง (๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘… โˆง ๐‘  โˆˆ ๐‘†))) โ†’ ((๐‘– ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘—)) โˆˆ No )
166156, 163mulscld 27831 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘– โˆˆ ( R โ€˜๐ด) โˆง ๐‘— โˆˆ ( R โ€˜๐ต)) โˆง (๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘… โˆง ๐‘  โˆˆ ๐‘†))) โ†’ (๐‘– ยทs ๐‘—) โˆˆ No )
167165, 166subscld 27775 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘– โˆˆ ( R โ€˜๐ด) โˆง ๐‘— โˆˆ ( R โ€˜๐ต)) โˆง (๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘… โˆง ๐‘  โˆˆ ๐‘†))) โ†’ (((๐‘– ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘—)) -s (๐‘– ยทs ๐‘—)) โˆˆ No )
168167adantrrr 722 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘– โˆˆ ( R โ€˜๐ด) โˆง ๐‘— โˆˆ ( R โ€˜๐ต)) โˆง ((๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘… โˆง ๐‘  โˆˆ ๐‘†) โˆง (๐‘Ÿ โ‰คs ๐‘– โˆง ๐‘  โ‰คs ๐‘—)))) โ†’ (((๐‘– ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘—)) -s (๐‘– ยทs ๐‘—)) โˆˆ No )
169 ssltss2 27528 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (๐ฟ <<s ๐‘… โ†’ ๐‘… โІ No )
1702, 169syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โІ No )
171170adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((๐œ‘ โˆง (๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘… โˆง ๐‘  โˆˆ ๐‘†)) โ†’ ๐‘… โІ No )
172 simprl 768 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((๐œ‘ โˆง (๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘… โˆง ๐‘  โˆˆ ๐‘†)) โ†’ ๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘…)
173171, 172sseldd 3983 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((๐œ‘ โˆง (๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘… โˆง ๐‘  โˆˆ ๐‘†)) โ†’ ๐‘Ÿ โˆˆ No )
174173adantrl 713 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘– โˆˆ ( R โ€˜๐ด) โˆง ๐‘— โˆˆ ( R โ€˜๐ต)) โˆง (๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘… โˆง ๐‘  โˆˆ ๐‘†))) โ†’ ๐‘Ÿ โˆˆ No )
175174, 157mulscld 27831 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘– โˆˆ ( R โ€˜๐ด) โˆง ๐‘— โˆˆ ( R โ€˜๐ต)) โˆง (๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘… โˆง ๐‘  โˆˆ ๐‘†))) โ†’ (๐‘Ÿ ยทs ๐ต) โˆˆ No )
176175, 164addscld 27703 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘– โˆˆ ( R โ€˜๐ด) โˆง ๐‘— โˆˆ ( R โ€˜๐ต)) โˆง (๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘… โˆง ๐‘  โˆˆ ๐‘†))) โ†’ ((๐‘Ÿ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘—)) โˆˆ No )
177174, 163mulscld 27831 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘– โˆˆ ( R โ€˜๐ด) โˆง ๐‘— โˆˆ ( R โ€˜๐ต)) โˆง (๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘… โˆง ๐‘  โˆˆ ๐‘†))) โ†’ (๐‘Ÿ ยทs ๐‘—) โˆˆ No )
178176, 177subscld 27775 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘– โˆˆ ( R โ€˜๐ด) โˆง ๐‘— โˆˆ ( R โ€˜๐ต)) โˆง (๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘… โˆง ๐‘  โˆˆ ๐‘†))) โ†’ (((๐‘Ÿ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘—)) -s (๐‘Ÿ ยทs ๐‘—)) โˆˆ No )
179178adantrrr 722 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘– โˆˆ ( R โ€˜๐ด) โˆง ๐‘— โˆˆ ( R โ€˜๐ต)) โˆง ((๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘… โˆง ๐‘  โˆˆ ๐‘†) โˆง (๐‘Ÿ โ‰คs ๐‘– โˆง ๐‘  โ‰คs ๐‘—)))) โ†’ (((๐‘Ÿ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘—)) -s (๐‘Ÿ ยทs ๐‘—)) โˆˆ No )
180 ssltss2 27528 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (๐‘€ <<s ๐‘† โ†’ ๐‘† โІ No )
1816, 180syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (๐œ‘ โ†’ ๐‘† โІ No )
182181adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((๐œ‘ โˆง (๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘… โˆง ๐‘  โˆˆ ๐‘†)) โ†’ ๐‘† โІ No )
183 simprr 770 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((๐œ‘ โˆง (๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘… โˆง ๐‘  โˆˆ ๐‘†)) โ†’ ๐‘  โˆˆ ๐‘†)
184182, 183sseldd 3983 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((๐œ‘ โˆง (๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘… โˆง ๐‘  โˆˆ ๐‘†)) โ†’ ๐‘  โˆˆ No )
185184adantrl 713 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘– โˆˆ ( R โ€˜๐ด) โˆง ๐‘— โˆˆ ( R โ€˜๐ต)) โˆง (๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘… โˆง ๐‘  โˆˆ ๐‘†))) โ†’ ๐‘  โˆˆ No )
186159, 185mulscld 27831 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘– โˆˆ ( R โ€˜๐ด) โˆง ๐‘— โˆˆ ( R โ€˜๐ต)) โˆง (๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘… โˆง ๐‘  โˆˆ ๐‘†))) โ†’ (๐ด ยทs ๐‘ ) โˆˆ No )
187175, 186addscld 27703 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘– โˆˆ ( R โ€˜๐ด) โˆง ๐‘— โˆˆ ( R โ€˜๐ต)) โˆง (๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘… โˆง ๐‘  โˆˆ ๐‘†))) โ†’ ((๐‘Ÿ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ )) โˆˆ No )
188173, 184mulscld 27831 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((๐œ‘ โˆง (๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘… โˆง ๐‘  โˆˆ ๐‘†)) โ†’ (๐‘Ÿ ยทs ๐‘ ) โˆˆ No )
189188adantrl 713 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘– โˆˆ ( R โ€˜๐ด) โˆง ๐‘— โˆˆ ( R โ€˜๐ต)) โˆง (๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘… โˆง ๐‘  โˆˆ ๐‘†))) โ†’ (๐‘Ÿ ยทs ๐‘ ) โˆˆ No )
190187, 189subscld 27775 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘– โˆˆ ( R โ€˜๐ด) โˆง ๐‘— โˆˆ ( R โ€˜๐ต)) โˆง (๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘… โˆง ๐‘  โˆˆ ๐‘†))) โ†’ (((๐‘Ÿ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ )) -s (๐‘Ÿ ยทs ๐‘ )) โˆˆ No )
191190adantrrr 722 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘– โˆˆ ( R โ€˜๐ด) โˆง ๐‘— โˆˆ ( R โ€˜๐ต)) โˆง ((๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘… โˆง ๐‘  โˆˆ ๐‘†) โˆง (๐‘Ÿ โ‰คs ๐‘– โˆง ๐‘  โ‰คs ๐‘—)))) โ†’ (((๐‘Ÿ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ )) -s (๐‘Ÿ ยทs ๐‘ )) โˆˆ No )
192174adantrrr 722 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘– โˆˆ ( R โ€˜๐ด) โˆง ๐‘— โˆˆ ( R โ€˜๐ต)) โˆง ((๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘… โˆง ๐‘  โˆˆ ๐‘†) โˆง (๐‘Ÿ โ‰คs ๐‘– โˆง ๐‘  โ‰คs ๐‘—)))) โ†’ ๐‘Ÿ โˆˆ No )
193155adantrr 714 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘– โˆˆ ( R โ€˜๐ด) โˆง ๐‘— โˆˆ ( R โ€˜๐ต)) โˆง ((๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘… โˆง ๐‘  โˆˆ ๐‘†) โˆง (๐‘Ÿ โ‰คs ๐‘– โˆง ๐‘  โ‰คs ๐‘—)))) โ†’ ๐‘– โˆˆ No )
1948adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘– โˆˆ ( R โ€˜๐ด) โˆง ๐‘— โˆˆ ( R โ€˜๐ต)) โˆง ((๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘… โˆง ๐‘  โˆˆ ๐‘†) โˆง (๐‘Ÿ โ‰คs ๐‘– โˆง ๐‘  โ‰คs ๐‘—)))) โ†’ ๐ต โˆˆ No )
195162adantrr 714 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘– โˆˆ ( R โ€˜๐ด) โˆง ๐‘— โˆˆ ( R โ€˜๐ต)) โˆง ((๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘… โˆง ๐‘  โˆˆ ๐‘†) โˆง (๐‘Ÿ โ‰คs ๐‘– โˆง ๐‘  โ‰คs ๐‘—)))) โ†’ ๐‘— โˆˆ No )
196 simprrl 778 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((๐‘– โˆˆ ( R โ€˜๐ด) โˆง ๐‘— โˆˆ ( R โ€˜๐ต)) โˆง ((๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘… โˆง ๐‘  โˆˆ ๐‘†) โˆง (๐‘Ÿ โ‰คs ๐‘– โˆง ๐‘  โ‰คs ๐‘—))) โ†’ ๐‘Ÿ โ‰คs ๐‘–)
197196adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘– โˆˆ ( R โ€˜๐ด) โˆง ๐‘— โˆˆ ( R โ€˜๐ต)) โˆง ((๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘… โˆง ๐‘  โˆˆ ๐‘†) โˆง (๐‘Ÿ โ‰คs ๐‘– โˆง ๐‘  โ‰คs ๐‘—)))) โ†’ ๐‘Ÿ โ‰คs ๐‘–)
1988adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((๐œ‘ โˆง (๐‘– โˆˆ ( R โ€˜๐ด) โˆง ๐‘— โˆˆ ( R โ€˜๐ต))) โ†’ ๐ต โˆˆ No )
199 ssltright 27604 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (๐ต โˆˆ No โ†’ {๐ต} <<s ( R โ€˜๐ต))
2008, 199syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (๐œ‘ โ†’ {๐ต} <<s ( R โ€˜๐ต))
201200adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((๐œ‘ โˆง (๐‘– โˆˆ ( R โ€˜๐ด) โˆง ๐‘— โˆˆ ( R โ€˜๐ต))) โ†’ {๐ต} <<s ( R โ€˜๐ต))
20265adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((๐œ‘ โˆง (๐‘– โˆˆ ( R โ€˜๐ด) โˆง ๐‘— โˆˆ ( R โ€˜๐ต))) โ†’ ๐ต โˆˆ {๐ต})
203201, 202, 161ssltsepcd 27533 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((๐œ‘ โˆง (๐‘– โˆˆ ( R โ€˜๐ด) โˆง ๐‘— โˆˆ ( R โ€˜๐ต))) โ†’ ๐ต <s ๐‘—)
204198, 162, 203sltled 27509 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((๐œ‘ โˆง (๐‘– โˆˆ ( R โ€˜๐ด) โˆง ๐‘— โˆˆ ( R โ€˜๐ต))) โ†’ ๐ต โ‰คs ๐‘—)
205204adantrr 714 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘– โˆˆ ( R โ€˜๐ด) โˆง ๐‘— โˆˆ ( R โ€˜๐ต)) โˆง ((๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘… โˆง ๐‘  โˆˆ ๐‘†) โˆง (๐‘Ÿ โ‰คs ๐‘– โˆง ๐‘  โ‰คs ๐‘—)))) โ†’ ๐ต โ‰คs ๐‘—)
206192, 193, 194, 195, 197, 205slemuld 27834 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘– โˆˆ ( R โ€˜๐ด) โˆง ๐‘— โˆˆ ( R โ€˜๐ต)) โˆง ((๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘… โˆง ๐‘  โˆˆ ๐‘†) โˆง (๐‘Ÿ โ‰คs ๐‘– โˆง ๐‘  โ‰คs ๐‘—)))) โ†’ ((๐‘Ÿ ยทs ๐‘—) -s (๐‘Ÿ ยทs ๐ต)) โ‰คs ((๐‘– ยทs ๐‘—) -s (๐‘– ยทs ๐ต)))
207177, 175, 166, 158slesubsub2bd 27794 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘– โˆˆ ( R โ€˜๐ด) โˆง ๐‘— โˆˆ ( R โ€˜๐ต)) โˆง (๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘… โˆง ๐‘  โˆˆ ๐‘†))) โ†’ (((๐‘Ÿ ยทs ๐‘—) -s (๐‘Ÿ ยทs ๐ต)) โ‰คs ((๐‘– ยทs ๐‘—) -s (๐‘– ยทs ๐ต)) โ†” ((๐‘– ยทs ๐ต) -s (๐‘– ยทs ๐‘—)) โ‰คs ((๐‘Ÿ ยทs ๐ต) -s (๐‘Ÿ ยทs ๐‘—))))
208158, 166subscld 27775 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘– โˆˆ ( R โ€˜๐ด) โˆง ๐‘— โˆˆ ( R โ€˜๐ต)) โˆง (๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘… โˆง ๐‘  โˆˆ ๐‘†))) โ†’ ((๐‘– ยทs ๐ต) -s (๐‘– ยทs ๐‘—)) โˆˆ No )
209175, 177subscld 27775 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘– โˆˆ ( R โ€˜๐ด) โˆง ๐‘— โˆˆ ( R โ€˜๐ต)) โˆง (๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘… โˆง ๐‘  โˆˆ ๐‘†))) โ†’ ((๐‘Ÿ ยทs ๐ต) -s (๐‘Ÿ ยทs ๐‘—)) โˆˆ No )
210208, 209, 164sleadd1d 27718 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘– โˆˆ ( R โ€˜๐ด) โˆง ๐‘— โˆˆ ( R โ€˜๐ต)) โˆง (๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘… โˆง ๐‘  โˆˆ ๐‘†))) โ†’ (((๐‘– ยทs ๐ต) -s (๐‘– ยทs ๐‘—)) โ‰คs ((๐‘Ÿ ยทs ๐ต) -s (๐‘Ÿ ยทs ๐‘—)) โ†” (((๐‘– ยทs ๐ต) -s (๐‘– ยทs ๐‘—)) +s (๐ด ยทs ๐‘—)) โ‰คs (((๐‘Ÿ ยทs ๐ต) -s (๐‘Ÿ ยทs ๐‘—)) +s (๐ด ยทs ๐‘—))))
211207, 210bitrd 279 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘– โˆˆ ( R โ€˜๐ด) โˆง ๐‘— โˆˆ ( R โ€˜๐ต)) โˆง (๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘… โˆง ๐‘  โˆˆ ๐‘†))) โ†’ (((๐‘Ÿ ยทs ๐‘—) -s (๐‘Ÿ ยทs ๐ต)) โ‰คs ((๐‘– ยทs ๐‘—) -s (๐‘– ยทs ๐ต)) โ†” (((๐‘– ยทs ๐ต) -s (๐‘– ยทs ๐‘—)) +s (๐ด ยทs ๐‘—)) โ‰คs (((๐‘Ÿ ยทs ๐ต) -s (๐‘Ÿ ยทs ๐‘—)) +s (๐ด ยทs ๐‘—))))
212211adantrrr 722 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘– โˆˆ ( R โ€˜๐ด) โˆง ๐‘— โˆˆ ( R โ€˜๐ต)) โˆง ((๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘… โˆง ๐‘  โˆˆ ๐‘†) โˆง (๐‘Ÿ โ‰คs ๐‘– โˆง ๐‘  โ‰คs ๐‘—)))) โ†’ (((๐‘Ÿ ยทs ๐‘—) -s (๐‘Ÿ ยทs ๐ต)) โ‰คs ((๐‘– ยทs ๐‘—) -s (๐‘– ยทs ๐ต)) โ†” (((๐‘– ยทs ๐ต) -s (๐‘– ยทs ๐‘—)) +s (๐ด ยทs ๐‘—)) โ‰คs (((๐‘Ÿ ยทs ๐ต) -s (๐‘Ÿ ยทs ๐‘—)) +s (๐ด ยทs ๐‘—))))
213206, 212mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘– โˆˆ ( R โ€˜๐ด) โˆง ๐‘— โˆˆ ( R โ€˜๐ต)) โˆง ((๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘… โˆง ๐‘  โˆˆ ๐‘†) โˆง (๐‘Ÿ โ‰คs ๐‘– โˆง ๐‘  โ‰คs ๐‘—)))) โ†’ (((๐‘– ยทs ๐ต) -s (๐‘– ยทs ๐‘—)) +s (๐ด ยทs ๐‘—)) โ‰คs (((๐‘Ÿ ยทs ๐ต) -s (๐‘Ÿ ยทs ๐‘—)) +s (๐ด ยทs ๐‘—)))
214158, 164, 166addsubsd 27789 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘– โˆˆ ( R โ€˜๐ด) โˆง ๐‘— โˆˆ ( R โ€˜๐ต)) โˆง (๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘… โˆง ๐‘  โˆˆ ๐‘†))) โ†’ (((๐‘– ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘—)) -s (๐‘– ยทs ๐‘—)) = (((๐‘– ยทs ๐ต) -s (๐‘– ยทs ๐‘—)) +s (๐ด ยทs ๐‘—)))
215214adantrrr 722 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘– โˆˆ ( R โ€˜๐ด) โˆง ๐‘— โˆˆ ( R โ€˜๐ต)) โˆง ((๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘… โˆง ๐‘  โˆˆ ๐‘†) โˆง (๐‘Ÿ โ‰คs ๐‘– โˆง ๐‘  โ‰คs ๐‘—)))) โ†’ (((๐‘– ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘—)) -s (๐‘– ยทs ๐‘—)) = (((๐‘– ยทs ๐ต) -s (๐‘– ยทs ๐‘—)) +s (๐ด ยทs ๐‘—)))
216175, 164, 177addsubsd 27789 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘– โˆˆ ( R โ€˜๐ด) โˆง ๐‘— โˆˆ ( R โ€˜๐ต)) โˆง (๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘… โˆง ๐‘  โˆˆ ๐‘†))) โ†’ (((๐‘Ÿ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘—)) -s (๐‘Ÿ ยทs ๐‘—)) = (((๐‘Ÿ ยทs ๐ต) -s (๐‘Ÿ ยทs ๐‘—)) +s (๐ด ยทs ๐‘—)))
217216adantrrr 722 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘– โˆˆ ( R โ€˜๐ด) โˆง ๐‘— โˆˆ ( R โ€˜๐ต)) โˆง ((๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘… โˆง ๐‘  โˆˆ ๐‘†) โˆง (๐‘Ÿ โ‰คs ๐‘– โˆง ๐‘  โ‰คs ๐‘—)))) โ†’ (((๐‘Ÿ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘—)) -s (๐‘Ÿ ยทs ๐‘—)) = (((๐‘Ÿ ยทs ๐ต) -s (๐‘Ÿ ยทs ๐‘—)) +s (๐ด ยทs ๐‘—)))
218213, 215, 2173brtr4d 5180 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘– โˆˆ ( R โ€˜๐ด) โˆง ๐‘— โˆˆ ( R โ€˜๐ต)) โˆง ((๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘… โˆง ๐‘  โˆˆ ๐‘†) โˆง (๐‘Ÿ โ‰คs ๐‘– โˆง ๐‘  โ‰คs ๐‘—)))) โ†’ (((๐‘– ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘—)) -s (๐‘– ยทs ๐‘—)) โ‰คs (((๐‘Ÿ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘—)) -s (๐‘Ÿ ยทs ๐‘—)))
2194adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘– โˆˆ ( R โ€˜๐ด) โˆง ๐‘— โˆˆ ( R โ€˜๐ต)) โˆง ((๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘… โˆง ๐‘  โˆˆ ๐‘†) โˆง (๐‘Ÿ โ‰คs ๐‘– โˆง ๐‘  โ‰คs ๐‘—)))) โ†’ ๐ด โˆˆ No )
220185adantrrr 722 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘– โˆˆ ( R โ€˜๐ด) โˆง ๐‘— โˆˆ ( R โ€˜๐ต)) โˆง ((๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘… โˆง ๐‘  โˆˆ ๐‘†) โˆง (๐‘Ÿ โ‰คs ๐‘– โˆง ๐‘  โ‰คs ๐‘—)))) โ†’ ๐‘  โˆˆ No )
2214adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((๐œ‘ โˆง (๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘… โˆง ๐‘  โˆˆ ๐‘†)) โ†’ ๐ด โˆˆ No )
22285simp3d 1143 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (๐œ‘ โ†’ {(๐ฟ |s ๐‘…)} <<s ๐‘…)
223222adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((๐œ‘ โˆง (๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘… โˆง ๐‘  โˆˆ ๐‘†)) โ†’ {(๐ฟ |s ๐‘…)} <<s ๐‘…)
22490adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((๐œ‘ โˆง (๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘… โˆง ๐‘  โˆˆ ๐‘†)) โ†’ ๐ด โˆˆ {(๐ฟ |s ๐‘…)})
225223, 224, 172ssltsepcd 27533 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((๐œ‘ โˆง (๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘… โˆง ๐‘  โˆˆ ๐‘†)) โ†’ ๐ด <s ๐‘Ÿ)
226221, 173, 225sltled 27509 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((๐œ‘ โˆง (๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘… โˆง ๐‘  โˆˆ ๐‘†)) โ†’ ๐ด โ‰คs ๐‘Ÿ)
227226adantrl 713 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘– โˆˆ ( R โ€˜๐ด) โˆง ๐‘— โˆˆ ( R โ€˜๐ต)) โˆง (๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘… โˆง ๐‘  โˆˆ ๐‘†))) โ†’ ๐ด โ‰คs ๐‘Ÿ)
228227adantrrr 722 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘– โˆˆ ( R โ€˜๐ด) โˆง ๐‘— โˆˆ ( R โ€˜๐ต)) โˆง ((๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘… โˆง ๐‘  โˆˆ ๐‘†) โˆง (๐‘Ÿ โ‰คs ๐‘– โˆง ๐‘  โ‰คs ๐‘—)))) โ†’ ๐ด โ‰คs ๐‘Ÿ)
229 simprrr 779 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((๐‘– โˆˆ ( R โ€˜๐ด) โˆง ๐‘— โˆˆ ( R โ€˜๐ต)) โˆง ((๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘… โˆง ๐‘  โˆˆ ๐‘†) โˆง (๐‘Ÿ โ‰คs ๐‘– โˆง ๐‘  โ‰คs ๐‘—))) โ†’ ๐‘  โ‰คs ๐‘—)
230229adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘– โˆˆ ( R โ€˜๐ด) โˆง ๐‘— โˆˆ ( R โ€˜๐ต)) โˆง ((๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘… โˆง ๐‘  โˆˆ ๐‘†) โˆง (๐‘Ÿ โ‰คs ๐‘– โˆง ๐‘  โ‰คs ๐‘—)))) โ†’ ๐‘  โ‰คs ๐‘—)
231219, 192, 220, 195, 228, 230slemuld 27834 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘– โˆˆ ( R โ€˜๐ด) โˆง ๐‘— โˆˆ ( R โ€˜๐ต)) โˆง ((๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘… โˆง ๐‘  โˆˆ ๐‘†) โˆง (๐‘Ÿ โ‰คs ๐‘– โˆง ๐‘  โ‰คs ๐‘—)))) โ†’ ((๐ด ยทs ๐‘—) -s (๐ด ยทs ๐‘ )) โ‰คs ((๐‘Ÿ ยทs ๐‘—) -s (๐‘Ÿ ยทs ๐‘ )))
232164, 177, 186, 189slesubsubbd 27793 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘– โˆˆ ( R โ€˜๐ด) โˆง ๐‘— โˆˆ ( R โ€˜๐ต)) โˆง (๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘… โˆง ๐‘  โˆˆ ๐‘†))) โ†’ (((๐ด ยทs ๐‘—) -s (๐ด ยทs ๐‘ )) โ‰คs ((๐‘Ÿ ยทs ๐‘—) -s (๐‘Ÿ ยทs ๐‘ )) โ†” ((๐ด ยทs ๐‘—) -s (๐‘Ÿ ยทs ๐‘—)) โ‰คs ((๐ด ยทs ๐‘ ) -s (๐‘Ÿ ยทs ๐‘ ))))
233164, 177subscld 27775 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘– โˆˆ ( R โ€˜๐ด) โˆง ๐‘— โˆˆ ( R โ€˜๐ต)) โˆง (๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘… โˆง ๐‘  โˆˆ ๐‘†))) โ†’ ((๐ด ยทs ๐‘—) -s (๐‘Ÿ ยทs ๐‘—)) โˆˆ No )
234186, 189subscld 27775 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘– โˆˆ ( R โ€˜๐ด) โˆง ๐‘— โˆˆ ( R โ€˜๐ต)) โˆง (๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘… โˆง ๐‘  โˆˆ ๐‘†))) โ†’ ((๐ด ยทs ๐‘ ) -s (๐‘Ÿ ยทs ๐‘ )) โˆˆ No )
235233, 234, 175sleadd2d 27719 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘– โˆˆ ( R โ€˜๐ด) โˆง ๐‘— โˆˆ ( R โ€˜๐ต)) โˆง (๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘… โˆง ๐‘  โˆˆ ๐‘†))) โ†’ (((๐ด ยทs ๐‘—) -s (๐‘Ÿ ยทs ๐‘—)) โ‰คs ((๐ด ยทs ๐‘ ) -s (๐‘Ÿ ยทs ๐‘ )) โ†” ((๐‘Ÿ ยทs ๐ต) +s ((๐ด ยทs ๐‘—) -s (๐‘Ÿ ยทs ๐‘—))) โ‰คs ((๐‘Ÿ ยทs ๐ต) +s ((๐ด ยทs ๐‘ ) -s (๐‘Ÿ ยทs ๐‘ )))))
236232, 235bitrd 279 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘– โˆˆ ( R โ€˜๐ด) โˆง ๐‘— โˆˆ ( R โ€˜๐ต)) โˆง (๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘… โˆง ๐‘  โˆˆ ๐‘†))) โ†’ (((๐ด ยทs ๐‘—) -s (๐ด ยทs ๐‘ )) โ‰คs ((๐‘Ÿ ยทs ๐‘—) -s (๐‘Ÿ ยทs ๐‘ )) โ†” ((๐‘Ÿ ยทs ๐ต) +s ((๐ด ยทs ๐‘—) -s (๐‘Ÿ ยทs ๐‘—))) โ‰คs ((๐‘Ÿ ยทs ๐ต) +s ((๐ด ยทs ๐‘ ) -s (๐‘Ÿ ยทs ๐‘ )))))
237236adantrrr 722 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘– โˆˆ ( R โ€˜๐ด) โˆง ๐‘— โˆˆ ( R โ€˜๐ต)) โˆง ((๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘… โˆง ๐‘  โˆˆ ๐‘†) โˆง (๐‘Ÿ โ‰คs ๐‘– โˆง ๐‘  โ‰คs ๐‘—)))) โ†’ (((๐ด ยทs ๐‘—) -s (๐ด ยทs ๐‘ )) โ‰คs ((๐‘Ÿ ยทs ๐‘—) -s (๐‘Ÿ ยทs ๐‘ )) โ†” ((๐‘Ÿ ยทs ๐ต) +s ((๐ด ยทs ๐‘—) -s (๐‘Ÿ ยทs ๐‘—))) โ‰คs ((๐‘Ÿ ยทs ๐ต) +s ((๐ด ยทs ๐‘ ) -s (๐‘Ÿ ยทs ๐‘ )))))
238231, 237mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘– โˆˆ ( R โ€˜๐ด) โˆง ๐‘— โˆˆ ( R โ€˜๐ต)) โˆง ((๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘… โˆง ๐‘  โˆˆ ๐‘†) โˆง (๐‘Ÿ โ‰คs ๐‘– โˆง ๐‘  โ‰คs ๐‘—)))) โ†’ ((๐‘Ÿ ยทs ๐ต) +s ((๐ด ยทs ๐‘—) -s (๐‘Ÿ ยทs ๐‘—))) โ‰คs ((๐‘Ÿ ยทs ๐ต) +s ((๐ด ยทs ๐‘ ) -s (๐‘Ÿ ยทs ๐‘ ))))
239175, 164, 177addsubsassd 27788 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘– โˆˆ ( R โ€˜๐ด) โˆง ๐‘— โˆˆ ( R โ€˜๐ต)) โˆง (๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘… โˆง ๐‘  โˆˆ ๐‘†))) โ†’ (((๐‘Ÿ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘—)) -s (๐‘Ÿ ยทs ๐‘—)) = ((๐‘Ÿ ยทs ๐ต) +s ((๐ด ยทs ๐‘—) -s (๐‘Ÿ ยทs ๐‘—))))
240239adantrrr 722 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘– โˆˆ ( R โ€˜๐ด) โˆง ๐‘— โˆˆ ( R โ€˜๐ต)) โˆง ((๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘… โˆง ๐‘  โˆˆ ๐‘†) โˆง (๐‘Ÿ โ‰คs ๐‘– โˆง ๐‘  โ‰คs ๐‘—)))) โ†’ (((๐‘Ÿ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘—)) -s (๐‘Ÿ ยทs ๐‘—)) = ((๐‘Ÿ ยทs ๐ต) +s ((๐ด ยทs ๐‘—) -s (๐‘Ÿ ยทs ๐‘—))))
241175, 186, 189addsubsassd 27788 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘– โˆˆ ( R โ€˜๐ด) โˆง ๐‘— โˆˆ ( R โ€˜๐ต)) โˆง (๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘… โˆง ๐‘  โˆˆ ๐‘†))) โ†’ (((๐‘Ÿ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ )) -s (๐‘Ÿ ยทs ๐‘ )) = ((๐‘Ÿ ยทs ๐ต) +s ((๐ด ยทs ๐‘ ) -s (๐‘Ÿ ยทs ๐‘ ))))
242241adantrrr 722 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘– โˆˆ ( R โ€˜๐ด) โˆง ๐‘— โˆˆ ( R โ€˜๐ต)) โˆง ((๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘… โˆง ๐‘  โˆˆ ๐‘†) โˆง (๐‘Ÿ โ‰คs ๐‘– โˆง ๐‘  โ‰คs ๐‘—)))) โ†’ (((๐‘Ÿ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ )) -s (๐‘Ÿ ยทs ๐‘ )) = ((๐‘Ÿ ยทs ๐ต) +s ((๐ด ยทs ๐‘ ) -s (๐‘Ÿ ยทs ๐‘ ))))
243238, 240, 2423brtr4d 5180 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘– โˆˆ ( R โ€˜๐ด) โˆง ๐‘— โˆˆ ( R โ€˜๐ต)) โˆง ((๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘… โˆง ๐‘  โˆˆ ๐‘†) โˆง (๐‘Ÿ โ‰คs ๐‘– โˆง ๐‘  โ‰คs ๐‘—)))) โ†’ (((๐‘Ÿ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘—)) -s (๐‘Ÿ ยทs ๐‘—)) โ‰คs (((๐‘Ÿ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ )) -s (๐‘Ÿ ยทs ๐‘ )))
244168, 179, 191, 218, 243sletrd 27502 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘– โˆˆ ( R โ€˜๐ด) โˆง ๐‘— โˆˆ ( R โ€˜๐ต)) โˆง ((๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘… โˆง ๐‘  โˆˆ ๐‘†) โˆง (๐‘Ÿ โ‰คs ๐‘– โˆง ๐‘  โ‰คs ๐‘—)))) โ†’ (((๐‘– ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘—)) -s (๐‘– ยทs ๐‘—)) โ‰คs (((๐‘Ÿ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ )) -s (๐‘Ÿ ยทs ๐‘ )))
245244anassrs 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((๐œ‘ โˆง (๐‘– โˆˆ ( R โ€˜๐ด) โˆง ๐‘— โˆˆ ( R โ€˜๐ต))) โˆง ((๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘… โˆง ๐‘  โˆˆ ๐‘†) โˆง (๐‘Ÿ โ‰คs ๐‘– โˆง ๐‘  โ‰คs ๐‘—))) โ†’ (((๐‘– ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘—)) -s (๐‘– ยทs ๐‘—)) โ‰คs (((๐‘Ÿ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ )) -s (๐‘Ÿ ยทs ๐‘ )))
246245expr 456 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((๐œ‘ โˆง (๐‘– โˆˆ ( R โ€˜๐ด) โˆง ๐‘— โˆˆ ( R โ€˜๐ต))) โˆง (๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘… โˆง ๐‘  โˆˆ ๐‘†)) โ†’ ((๐‘Ÿ โ‰คs ๐‘– โˆง ๐‘  โ‰คs ๐‘—) โ†’ (((๐‘– ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘—)) -s (๐‘– ยทs ๐‘—)) โ‰คs (((๐‘Ÿ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ )) -s (๐‘Ÿ ยทs ๐‘ ))))
247246reximdvva 3204 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐œ‘ โˆง (๐‘– โˆˆ ( R โ€˜๐ด) โˆง ๐‘— โˆˆ ( R โ€˜๐ต))) โ†’ (โˆƒ๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘… โˆƒ๐‘  โˆˆ ๐‘† (๐‘Ÿ โ‰คs ๐‘– โˆง ๐‘  โ‰คs ๐‘—) โ†’ โˆƒ๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘… โˆƒ๐‘  โˆˆ ๐‘† (((๐‘– ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘—)) -s (๐‘– ยทs ๐‘—)) โ‰คs (((๐‘Ÿ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ )) -s (๐‘Ÿ ยทs ๐‘ ))))
248247expcom 413 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐‘– โˆˆ ( R โ€˜๐ด) โˆง ๐‘— โˆˆ ( R โ€˜๐ต)) โ†’ (๐œ‘ โ†’ (โˆƒ๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘… โˆƒ๐‘  โˆˆ ๐‘† (๐‘Ÿ โ‰คs ๐‘– โˆง ๐‘  โ‰คs ๐‘—) โ†’ โˆƒ๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘… โˆƒ๐‘  โˆˆ ๐‘† (((๐‘– ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘—)) -s (๐‘– ยทs ๐‘—)) โ‰คs (((๐‘Ÿ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ )) -s (๐‘Ÿ ยทs ๐‘ )))))
249248com23 86 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐‘– โˆˆ ( R โ€˜๐ด) โˆง ๐‘— โˆˆ ( R โ€˜๐ต)) โ†’ (โˆƒ๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘… โˆƒ๐‘  โˆˆ ๐‘† (๐‘Ÿ โ‰คs ๐‘– โˆง ๐‘  โ‰คs ๐‘—) โ†’ (๐œ‘ โ†’ โˆƒ๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘… โˆƒ๐‘  โˆˆ ๐‘† (((๐‘– ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘—)) -s (๐‘– ยทs ๐‘—)) โ‰คs (((๐‘Ÿ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ )) -s (๐‘Ÿ ยทs ๐‘ )))))
250249imp 406 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐‘– โˆˆ ( R โ€˜๐ด) โˆง ๐‘— โˆˆ ( R โ€˜๐ต)) โˆง โˆƒ๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘… โˆƒ๐‘  โˆˆ ๐‘† (๐‘Ÿ โ‰คs ๐‘– โˆง ๐‘  โ‰คs ๐‘—)) โ†’ (๐œ‘ โ†’ โˆƒ๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘… โˆƒ๐‘  โˆˆ ๐‘† (((๐‘– ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘—)) -s (๐‘– ยทs ๐‘—)) โ‰คs (((๐‘Ÿ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ )) -s (๐‘Ÿ ยทs ๐‘ ))))
251152, 250sylan2br 594 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐‘– โˆˆ ( R โ€˜๐ด) โˆง ๐‘— โˆˆ ( R โ€˜๐ต)) โˆง (โˆƒ๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘… ๐‘Ÿ โ‰คs ๐‘– โˆง โˆƒ๐‘  โˆˆ ๐‘† ๐‘  โ‰คs ๐‘—)) โ†’ (๐œ‘ โ†’ โˆƒ๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘… โˆƒ๐‘  โˆˆ ๐‘† (((๐‘– ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘—)) -s (๐‘– ยทs ๐‘—)) โ‰คs (((๐‘Ÿ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ )) -s (๐‘Ÿ ยทs ๐‘ ))))
252251an4s 657 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐‘– โˆˆ ( R โ€˜๐ด) โˆง โˆƒ๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘… ๐‘Ÿ โ‰คs ๐‘–) โˆง (๐‘— โˆˆ ( R โ€˜๐ต) โˆง โˆƒ๐‘  โˆˆ ๐‘† ๐‘  โ‰คs ๐‘—)) โ†’ (๐œ‘ โ†’ โˆƒ๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘… โˆƒ๐‘  โˆˆ ๐‘† (((๐‘– ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘—)) -s (๐‘– ยทs ๐‘—)) โ‰คs (((๐‘Ÿ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ )) -s (๐‘Ÿ ยทs ๐‘ ))))
253252impcom 407 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘– โˆˆ ( R โ€˜๐ด) โˆง โˆƒ๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘… ๐‘Ÿ โ‰คs ๐‘–) โˆง (๐‘— โˆˆ ( R โ€˜๐ต) โˆง โˆƒ๐‘  โˆˆ ๐‘† ๐‘  โ‰คs ๐‘—))) โ†’ โˆƒ๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘… โˆƒ๐‘  โˆˆ ๐‘† (((๐‘– ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘—)) -s (๐‘– ยทs ๐‘—)) โ‰คs (((๐‘Ÿ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ )) -s (๐‘Ÿ ยทs ๐‘ )))
254253anassrs 467 . . . . . . . . . . 11 (((๐œ‘ โˆง (๐‘– โˆˆ ( R โ€˜๐ด) โˆง โˆƒ๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘… ๐‘Ÿ โ‰คs ๐‘–)) โˆง (๐‘— โˆˆ ( R โ€˜๐ต) โˆง โˆƒ๐‘  โˆˆ ๐‘† ๐‘  โ‰คs ๐‘—)) โ†’ โˆƒ๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘… โˆƒ๐‘  โˆˆ ๐‘† (((๐‘– ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘—)) -s (๐‘– ยทs ๐‘—)) โ‰คs (((๐‘Ÿ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ )) -s (๐‘Ÿ ยทs ๐‘ )))
255254expr 456 . . . . . . . . . 10 (((๐œ‘ โˆง (๐‘– โˆˆ ( R โ€˜๐ด) โˆง โˆƒ๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘… ๐‘Ÿ โ‰คs ๐‘–)) โˆง ๐‘— โˆˆ ( R โ€˜๐ต)) โ†’ (โˆƒ๐‘  โˆˆ ๐‘† ๐‘  โ‰คs ๐‘— โ†’ โˆƒ๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘… โˆƒ๐‘  โˆˆ ๐‘† (((๐‘– ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘—)) -s (๐‘– ยทs ๐‘—)) โ‰คs (((๐‘Ÿ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ )) -s (๐‘Ÿ ยทs ๐‘ ))))
256255ralimdva 3166 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง (๐‘– โˆˆ ( R โ€˜๐ด) โˆง โˆƒ๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘… ๐‘Ÿ โ‰คs ๐‘–)) โ†’ (โˆ€๐‘— โˆˆ ( R โ€˜๐ต)โˆƒ๐‘  โˆˆ ๐‘† ๐‘  โ‰คs ๐‘— โ†’ โˆ€๐‘— โˆˆ ( R โ€˜๐ต)โˆƒ๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘… โˆƒ๐‘  โˆˆ ๐‘† (((๐‘– ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘—)) -s (๐‘– ยทs ๐‘—)) โ‰คs (((๐‘Ÿ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ )) -s (๐‘Ÿ ยทs ๐‘ ))))
257151, 256mpd 15 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง (๐‘– โˆˆ ( R โ€˜๐ด) โˆง โˆƒ๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘… ๐‘Ÿ โ‰คs ๐‘–)) โ†’ โˆ€๐‘— โˆˆ ( R โ€˜๐ต)โˆƒ๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘… โˆƒ๐‘  โˆˆ ๐‘† (((๐‘– ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘—)) -s (๐‘– ยทs ๐‘—)) โ‰คs (((๐‘Ÿ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ )) -s (๐‘Ÿ ยทs ๐‘ )))
258257expr 456 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ ( R โ€˜๐ด)) โ†’ (โˆƒ๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘… ๐‘Ÿ โ‰คs ๐‘– โ†’ โˆ€๐‘— โˆˆ ( R โ€˜๐ต)โˆƒ๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘… โˆƒ๐‘  โˆˆ ๐‘† (((๐‘– ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘—)) -s (๐‘– ยทs ๐‘—)) โ‰คs (((๐‘Ÿ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ )) -s (๐‘Ÿ ยทs ๐‘ ))))
259258ralimdva 3166 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (โˆ€๐‘– โˆˆ ( R โ€˜๐ด)โˆƒ๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘… ๐‘Ÿ โ‰คs ๐‘– โ†’ โˆ€๐‘– โˆˆ ( R โ€˜๐ด)โˆ€๐‘— โˆˆ ( R โ€˜๐ต)โˆƒ๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘… โˆƒ๐‘  โˆˆ ๐‘† (((๐‘– ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘—)) -s (๐‘– ยทs ๐‘—)) โ‰คs (((๐‘Ÿ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ )) -s (๐‘Ÿ ยทs ๐‘ ))))
260149, 259mpd 15 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ โˆ€๐‘– โˆˆ ( R โ€˜๐ด)โˆ€๐‘— โˆˆ ( R โ€˜๐ต)โˆƒ๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘… โˆƒ๐‘  โˆˆ ๐‘† (((๐‘– ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘—)) -s (๐‘– ยทs ๐‘—)) โ‰คs (((๐‘Ÿ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ )) -s (๐‘Ÿ ยทs ๐‘ )))
261 eqeq1 2735 . . . . . . . . . 10 (๐‘ = ๐‘ง โ†’ (๐‘ = (((๐‘Ÿ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ )) -s (๐‘Ÿ ยทs ๐‘ )) โ†” ๐‘ง = (((๐‘Ÿ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ )) -s (๐‘Ÿ ยทs ๐‘ ))))
2622612rexbidv 3218 . . . . . . . . 9 (๐‘ = ๐‘ง โ†’ (โˆƒ๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘… โˆƒ๐‘  โˆˆ ๐‘† ๐‘ = (((๐‘Ÿ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ )) -s (๐‘Ÿ ยทs ๐‘ )) โ†” โˆƒ๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘… โˆƒ๐‘  โˆˆ ๐‘† ๐‘ง = (((๐‘Ÿ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ )) -s (๐‘Ÿ ยทs ๐‘ ))))
263262rexab 3690 . . . . . . . 8 (โˆƒ๐‘ง โˆˆ {๐‘ โˆฃ โˆƒ๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘… โˆƒ๐‘  โˆˆ ๐‘† ๐‘ = (((๐‘Ÿ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ )) -s (๐‘Ÿ ยทs ๐‘ ))} (((๐‘– ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘—)) -s (๐‘– ยทs ๐‘—)) โ‰คs ๐‘ง โ†” โˆƒ๐‘ง(โˆƒ๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘… โˆƒ๐‘  โˆˆ ๐‘† ๐‘ง = (((๐‘Ÿ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ )) -s (๐‘Ÿ ยทs ๐‘ )) โˆง (((๐‘– ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘—)) -s (๐‘– ยทs ๐‘—)) โ‰คs ๐‘ง))
264 r19.41vv 3223 . . . . . . . . 9 (โˆƒ๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘… โˆƒ๐‘  โˆˆ ๐‘† (๐‘ง = (((๐‘Ÿ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ )) -s (๐‘Ÿ ยทs ๐‘ )) โˆง (((๐‘– ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘—)) -s (๐‘– ยทs ๐‘—)) โ‰คs ๐‘ง) โ†” (โˆƒ๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘… โˆƒ๐‘  โˆˆ ๐‘† ๐‘ง = (((๐‘Ÿ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ )) -s (๐‘Ÿ ยทs ๐‘ )) โˆง (((๐‘– ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘—)) -s (๐‘– ยทs ๐‘—)) โ‰คs ๐‘ง))
265264exbii 1849 . . . . . . . 8 (โˆƒ๐‘งโˆƒ๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘… โˆƒ๐‘  โˆˆ ๐‘† (๐‘ง = (((๐‘Ÿ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ )) -s (๐‘Ÿ ยทs ๐‘ )) โˆง (((๐‘– ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘—)) -s (๐‘– ยทs ๐‘—)) โ‰คs ๐‘ง) โ†” โˆƒ๐‘ง(โˆƒ๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘… โˆƒ๐‘  โˆˆ ๐‘† ๐‘ง = (((๐‘Ÿ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ )) -s (๐‘Ÿ ยทs ๐‘ )) โˆง (((๐‘– ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘—)) -s (๐‘– ยทs ๐‘—)) โ‰คs ๐‘ง))
266 rexcom4 3284 . . . . . . . . 9 (โˆƒ๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘… โˆƒ๐‘งโˆƒ๐‘  โˆˆ ๐‘† (๐‘ง = (((๐‘Ÿ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ )) -s (๐‘Ÿ ยทs ๐‘ )) โˆง (((๐‘– ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘—)) -s (๐‘– ยทs ๐‘—)) โ‰คs ๐‘ง) โ†” โˆƒ๐‘งโˆƒ๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘… โˆƒ๐‘  โˆˆ ๐‘† (๐‘ง = (((๐‘Ÿ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ )) -s (๐‘Ÿ ยทs ๐‘ )) โˆง (((๐‘– ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘—)) -s (๐‘– ยทs ๐‘—)) โ‰คs ๐‘ง))
267 rexcom4 3284 . . . . . . . . . . 11 (โˆƒ๐‘  โˆˆ ๐‘† โˆƒ๐‘ง(๐‘ง = (((๐‘Ÿ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ )) -s (๐‘Ÿ ยทs ๐‘ )) โˆง (((๐‘– ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘—)) -s (๐‘– ยทs ๐‘—)) โ‰คs ๐‘ง) โ†” โˆƒ๐‘งโˆƒ๐‘  โˆˆ ๐‘† (๐‘ง = (((๐‘Ÿ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ )) -s (๐‘Ÿ ยทs ๐‘ )) โˆง (((๐‘– ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘—)) -s (๐‘– ยทs ๐‘—)) โ‰คs ๐‘ง))
268 ovex 7445 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐‘Ÿ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ )) -s (๐‘Ÿ ยทs ๐‘ )) โˆˆ V
269 breq2 5152 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ง = (((๐‘Ÿ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ )) -s (๐‘Ÿ ยทs ๐‘ )) โ†’ ((((๐‘– ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘—)) -s (๐‘– ยทs ๐‘—)) โ‰คs ๐‘ง โ†” (((๐‘– ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘—)) -s (๐‘– ยทs ๐‘—)) โ‰คs (((๐‘Ÿ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ )) -s (๐‘Ÿ ยทs ๐‘ ))))
270268, 269ceqsexv 3525 . . . . . . . . . . . 12 (โˆƒ๐‘ง(๐‘ง = (((๐‘Ÿ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ )) -s (๐‘Ÿ ยทs ๐‘ )) โˆง (((๐‘– ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘—)) -s (๐‘– ยทs ๐‘—)) โ‰คs ๐‘ง) โ†” (((๐‘– ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘—)) -s (๐‘– ยทs ๐‘—)) โ‰คs (((๐‘Ÿ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ )) -s (๐‘Ÿ ยทs ๐‘ )))
271270rexbii 3093 . . . . . . . . . . 11 (โˆƒ๐‘  โˆˆ ๐‘† โˆƒ๐‘ง(๐‘ง = (((๐‘Ÿ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ )) -s (๐‘Ÿ ยทs ๐‘ )) โˆง (((๐‘– ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘—)) -s (๐‘– ยทs ๐‘—)) โ‰คs ๐‘ง) โ†” โˆƒ๐‘  โˆˆ ๐‘† (((๐‘– ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘—)) -s (๐‘– ยทs ๐‘—)) โ‰คs (((๐‘Ÿ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ )) -s (๐‘Ÿ ยทs ๐‘ )))
272267, 271bitr3i 277 . . . . . . . . . 10 (โˆƒ๐‘งโˆƒ๐‘  โˆˆ ๐‘† (๐‘ง = (((๐‘Ÿ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ )) -s (๐‘Ÿ ยทs ๐‘ )) โˆง (((๐‘– ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘—)) -s (๐‘– ยทs ๐‘—)) โ‰คs ๐‘ง) โ†” โˆƒ๐‘  โˆˆ ๐‘† (((๐‘– ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘—)) -s (๐‘– ยทs ๐‘—)) โ‰คs (((๐‘Ÿ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ )) -s (๐‘Ÿ ยทs ๐‘ )))
273272rexbii 3093 . . . . . . . . 9 (โˆƒ๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘… โˆƒ๐‘งโˆƒ๐‘  โˆˆ ๐‘† (๐‘ง = (((๐‘Ÿ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ )) -s (๐‘Ÿ ยทs ๐‘ )) โˆง (((๐‘– ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘—)) -s (๐‘– ยทs ๐‘—)) โ‰คs ๐‘ง) โ†” โˆƒ๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘… โˆƒ๐‘  โˆˆ ๐‘† (((๐‘– ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘—)) -s (๐‘– ยทs ๐‘—)) โ‰คs (((๐‘Ÿ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ )) -s (๐‘Ÿ ยทs ๐‘ )))
274266, 273bitr3i 277 . . . . . . . 8 (โˆƒ๐‘งโˆƒ๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘… โˆƒ๐‘  โˆˆ ๐‘† (๐‘ง = (((๐‘Ÿ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ )) -s (๐‘Ÿ ยทs ๐‘ )) โˆง (((๐‘– ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘—)) -s (๐‘– ยทs ๐‘—)) โ‰คs ๐‘ง) โ†” โˆƒ๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘… โˆƒ๐‘  โˆˆ ๐‘† (((๐‘– ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘—)) -s (๐‘– ยทs ๐‘—)) โ‰คs (((๐‘Ÿ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ )) -s (๐‘Ÿ ยทs ๐‘ )))
275263, 265, 2743bitr2i 299 . . . . . . 7 (โˆƒ๐‘ง โˆˆ {๐‘ โˆฃ โˆƒ๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘… โˆƒ๐‘  โˆˆ ๐‘† ๐‘ = (((๐‘Ÿ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ )) -s (๐‘Ÿ ยทs ๐‘ ))} (((๐‘– ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘—)) -s (๐‘– ยทs ๐‘—)) โ‰คs ๐‘ง โ†” โˆƒ๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘… โˆƒ๐‘  โˆˆ ๐‘† (((๐‘– ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘—)) -s (๐‘– ยทs ๐‘—)) โ‰คs (((๐‘Ÿ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ )) -s (๐‘Ÿ ยทs ๐‘ )))
276 ssun2 4173 . . . . . . . 8 {๐‘ โˆฃ โˆƒ๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘… โˆƒ๐‘  โˆˆ ๐‘† ๐‘ = (((๐‘Ÿ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ )) -s (๐‘Ÿ ยทs ๐‘ ))} โІ ({๐‘Ž โˆฃ โˆƒ๐‘ โˆˆ ๐ฟ โˆƒ๐‘ž โˆˆ ๐‘€ ๐‘Ž = (((๐‘ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ž)) -s (๐‘ ยทs ๐‘ž))} โˆช {๐‘ โˆฃ โˆƒ๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘… โˆƒ๐‘  โˆˆ ๐‘† ๐‘ = (((๐‘Ÿ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ )) -s (๐‘Ÿ ยทs ๐‘ ))})
277 ssrexv 4051 . . . . . . . 8 ({๐‘ โˆฃ โˆƒ๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘… โˆƒ๐‘  โˆˆ ๐‘† ๐‘ = (((๐‘Ÿ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ )) -s (๐‘Ÿ ยทs ๐‘ ))} โІ ({๐‘Ž โˆฃ โˆƒ๐‘ โˆˆ ๐ฟ โˆƒ๐‘ž โˆˆ ๐‘€ ๐‘Ž = (((๐‘ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ž)) -s (๐‘ ยทs ๐‘ž))} โˆช {๐‘ โˆฃ โˆƒ๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘… โˆƒ๐‘  โˆˆ ๐‘† ๐‘ = (((๐‘Ÿ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ )) -s (๐‘Ÿ ยทs ๐‘ ))}) โ†’ (โˆƒ๐‘ง โˆˆ {๐‘ โˆฃ โˆƒ๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘… โˆƒ๐‘  โˆˆ ๐‘† ๐‘ = (((๐‘Ÿ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ )) -s (๐‘Ÿ ยทs ๐‘ ))} (((๐‘– ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘—)) -s (๐‘– ยทs ๐‘—)) โ‰คs ๐‘ง โ†’ โˆƒ๐‘ง โˆˆ ({๐‘Ž โˆฃ โˆƒ๐‘ โˆˆ ๐ฟ โˆƒ๐‘ž โˆˆ ๐‘€ ๐‘Ž = (((๐‘ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ž)) -s (๐‘ ยทs ๐‘ž))} โˆช {๐‘ โˆฃ โˆƒ๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘… โˆƒ๐‘  โˆˆ ๐‘† ๐‘ = (((๐‘Ÿ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ )) -s (๐‘Ÿ ยทs ๐‘ ))})(((๐‘– ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘—)) -s (๐‘– ยทs ๐‘—)) โ‰คs ๐‘ง))
278276, 277ax-mp 5 . . . . . . 7 (โˆƒ๐‘ง โˆˆ {๐‘ โˆฃ โˆƒ๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘… โˆƒ๐‘  โˆˆ ๐‘† ๐‘ = (((๐‘Ÿ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ )) -s (๐‘Ÿ ยทs ๐‘ ))} (((๐‘– ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘—)) -s (๐‘– ยทs ๐‘—)) โ‰คs ๐‘ง โ†’ โˆƒ๐‘ง โˆˆ ({๐‘Ž โˆฃ โˆƒ๐‘ โˆˆ ๐ฟ โˆƒ๐‘ž โˆˆ ๐‘€ ๐‘Ž = (((๐‘ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ž)) -s (๐‘ ยทs ๐‘ž))} โˆช {๐‘ โˆฃ โˆƒ๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘… โˆƒ๐‘  โˆˆ ๐‘† ๐‘ = (((๐‘Ÿ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ )) -s (๐‘Ÿ ยทs ๐‘ ))})(((๐‘– ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘—)) -s (๐‘– ยทs ๐‘—)) โ‰คs ๐‘ง)
279275, 278sylbir 234 . . . . . 6 (โˆƒ๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘… โˆƒ๐‘  โˆˆ ๐‘† (((๐‘– ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘—)) -s (๐‘– ยทs ๐‘—)) โ‰คs (((๐‘Ÿ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ )) -s (๐‘Ÿ ยทs ๐‘ )) โ†’ โˆƒ๐‘ง โˆˆ ({๐‘Ž โˆฃ โˆƒ๐‘ โˆˆ ๐ฟ โˆƒ๐‘ž โˆˆ ๐‘€ ๐‘Ž = (((๐‘ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ž)) -s (๐‘ ยทs ๐‘ž))} โˆช {๐‘ โˆฃ โˆƒ๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘… โˆƒ๐‘  โˆˆ ๐‘† ๐‘ = (((๐‘Ÿ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ )) -s (๐‘Ÿ ยทs ๐‘ ))})(((๐‘– ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘—)) -s (๐‘– ยทs ๐‘—)) โ‰คs ๐‘ง)
2802792ralimi 3122 . . . . 5 (โˆ€๐‘– โˆˆ ( R โ€˜๐ด)โˆ€๐‘— โˆˆ ( R โ€˜๐ต)โˆƒ๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘… โˆƒ๐‘  โˆˆ ๐‘† (((๐‘– ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘—)) -s (๐‘– ยทs ๐‘—)) โ‰คs (((๐‘Ÿ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ )) -s (๐‘Ÿ ยทs ๐‘ )) โ†’ โˆ€๐‘– โˆˆ ( R โ€˜๐ด)โˆ€๐‘— โˆˆ ( R โ€˜๐ต)โˆƒ๐‘ง โˆˆ ({๐‘Ž โˆฃ โˆƒ๐‘ โˆˆ ๐ฟ โˆƒ๐‘ž โˆˆ ๐‘€ ๐‘Ž = (((๐‘ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ž)) -s (๐‘ ยทs ๐‘ž))} โˆช {๐‘ โˆฃ โˆƒ๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘… โˆƒ๐‘  โˆˆ ๐‘† ๐‘ = (((๐‘Ÿ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ )) -s (๐‘Ÿ ยทs ๐‘ ))})(((๐‘– ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘—)) -s (๐‘– ยทs ๐‘—)) โ‰คs ๐‘ง)
281260, 280syl 17 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ โˆ€๐‘– โˆˆ ( R โ€˜๐ด)โˆ€๐‘— โˆˆ ( R โ€˜๐ต)โˆƒ๐‘ง โˆˆ ({๐‘Ž โˆฃ โˆƒ๐‘ โˆˆ ๐ฟ โˆƒ๐‘ž โˆˆ ๐‘€ ๐‘Ž = (((๐‘ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ž)) -s (๐‘ ยทs ๐‘ž))} โˆช {๐‘ โˆฃ โˆƒ๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘… โˆƒ๐‘  โˆˆ ๐‘† ๐‘ = (((๐‘Ÿ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ )) -s (๐‘Ÿ ยทs ๐‘ ))})(((๐‘– ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘—)) -s (๐‘– ยทs ๐‘—)) โ‰คs ๐‘ง)
282 ralunb 4191 . . . . 5 (โˆ€๐‘ฅ๐‘‚ โˆˆ ({๐‘’ โˆฃ โˆƒ๐‘“ โˆˆ ( L โ€˜๐ด)โˆƒ๐‘” โˆˆ ( L โ€˜๐ต)๐‘’ = (((๐‘“ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘”)) -s (๐‘“ ยทs ๐‘”))} โˆช {โ„Ž โˆฃ โˆƒ๐‘– โˆˆ ( R โ€˜๐ด)โˆƒ๐‘— โˆˆ ( R โ€˜๐ต)โ„Ž = (((๐‘– ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘—)) -s (๐‘– ยทs ๐‘—))})โˆƒ๐‘ง โˆˆ ({๐‘Ž โˆฃ โˆƒ๐‘ โˆˆ ๐ฟ โˆƒ๐‘ž โˆˆ ๐‘€ ๐‘Ž = (((๐‘ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ž)) -s (๐‘ ยทs ๐‘ž))} โˆช {๐‘ โˆฃ โˆƒ๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘… โˆƒ๐‘  โˆˆ ๐‘† ๐‘ = (((๐‘Ÿ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ )) -s (๐‘Ÿ ยทs ๐‘ ))})๐‘ฅ๐‘‚ โ‰คs ๐‘ง โ†” (โˆ€๐‘ฅ๐‘‚ โˆˆ {๐‘’ โˆฃ โˆƒ๐‘“ โˆˆ ( L โ€˜๐ด)โˆƒ๐‘” โˆˆ ( L โ€˜๐ต)๐‘’ = (((๐‘“ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘”)) -s (๐‘“ ยทs ๐‘”))}โˆƒ๐‘ง โˆˆ ({๐‘Ž โˆฃ โˆƒ๐‘ โˆˆ ๐ฟ โˆƒ๐‘ž โˆˆ ๐‘€ ๐‘Ž = (((๐‘ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ž)) -s (๐‘ ยทs ๐‘ž))} โˆช {๐‘ โˆฃ โˆƒ๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘… โˆƒ๐‘  โˆˆ ๐‘† ๐‘ = (((๐‘Ÿ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ )) -s (๐‘Ÿ ยทs ๐‘ ))})๐‘ฅ๐‘‚ โ‰คs ๐‘ง โˆง โˆ€๐‘ฅ๐‘‚ โˆˆ {โ„Ž โˆฃ โˆƒ๐‘– โˆˆ ( R โ€˜๐ด)โˆƒ๐‘— โˆˆ ( R โ€˜๐ต)โ„Ž = (((๐‘– ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘—)) -s (๐‘– ยทs ๐‘—))}โˆƒ๐‘ง โˆˆ ({๐‘Ž โˆฃ โˆƒ๐‘ โˆˆ ๐ฟ โˆƒ๐‘ž โˆˆ ๐‘€ ๐‘Ž = (((๐‘ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ž)) -s (๐‘ ยทs ๐‘ž))} โˆช {๐‘ โˆฃ โˆƒ๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘… โˆƒ๐‘  โˆˆ ๐‘† ๐‘ = (((๐‘Ÿ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ )) -s (๐‘Ÿ ยทs ๐‘ ))})๐‘ฅ๐‘‚ โ‰คs ๐‘ง))
283 eqeq1 2735 . . . . . . . . 9 (๐‘’ = ๐‘ฅ๐‘‚ โ†’ (๐‘’ = (((๐‘“ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘”)) -s (๐‘“ ยทs ๐‘”)) โ†” ๐‘ฅ๐‘‚ = (((๐‘“ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘”)) -s (๐‘“ ยทs ๐‘”))))
2842832rexbidv 3218 . . . . . . . 8 (๐‘’ = ๐‘ฅ๐‘‚ โ†’ (โˆƒ๐‘“ โˆˆ ( L โ€˜๐ด)โˆƒ๐‘” โˆˆ ( L โ€˜๐ต)๐‘’ = (((๐‘“ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘”)) -s (๐‘“ ยทs ๐‘”)) โ†” โˆƒ๐‘“ โˆˆ ( L โ€˜๐ด)โˆƒ๐‘” โˆˆ ( L โ€˜๐ต)๐‘ฅ๐‘‚ = (((๐‘“ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘”)) -s (๐‘“ ยทs ๐‘”))))
285284ralab 3687 . . . . . . 7 (โˆ€๐‘ฅ๐‘‚ โˆˆ {๐‘’ โˆฃ โˆƒ๐‘“ โˆˆ ( L โ€˜๐ด)โˆƒ๐‘” โˆˆ ( L โ€˜๐ต)๐‘’ = (((๐‘“ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘”)) -s (๐‘“ ยทs ๐‘”))}โˆƒ๐‘ง โˆˆ ({๐‘Ž โˆฃ โˆƒ๐‘ โˆˆ ๐ฟ โˆƒ๐‘ž โˆˆ ๐‘€ ๐‘Ž = (((๐‘ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ž)) -s (๐‘ ยทs ๐‘ž))} โˆช {๐‘ โˆฃ โˆƒ๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘… โˆƒ๐‘  โˆˆ ๐‘† ๐‘ = (((๐‘Ÿ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ )) -s (๐‘Ÿ ยทs ๐‘ ))})๐‘ฅ๐‘‚ โ‰คs ๐‘ง โ†” โˆ€๐‘ฅ๐‘‚(โˆƒ๐‘“ โˆˆ ( L โ€˜๐ด)โˆƒ๐‘” โˆˆ ( L โ€˜๐ต)๐‘ฅ๐‘‚ = (((๐‘“ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘”)) -s (๐‘“ ยทs ๐‘”)) โ†’ โˆƒ๐‘ง โˆˆ ({๐‘Ž โˆฃ โˆƒ๐‘ โˆˆ ๐ฟ โˆƒ๐‘ž โˆˆ ๐‘€ ๐‘Ž = (((๐‘ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ž)) -s (๐‘ ยทs ๐‘ž))} โˆช {๐‘ โˆฃ โˆƒ๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘… โˆƒ๐‘  โˆˆ ๐‘† ๐‘ = (((๐‘Ÿ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ )) -s (๐‘Ÿ ยทs ๐‘ ))})๐‘ฅ๐‘‚ โ‰คs ๐‘ง))
286 r19.23v 3181 . . . . . . . . . 10 (โˆ€๐‘” โˆˆ ( L โ€˜๐ต)(๐‘ฅ๐‘‚ = (((๐‘“ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘”)) -s (๐‘“ ยทs ๐‘”)) โ†’ โˆƒ๐‘ง โˆˆ ({๐‘Ž โˆฃ โˆƒ๐‘ โˆˆ ๐ฟ โˆƒ๐‘ž โˆˆ ๐‘€ ๐‘Ž = (((๐‘ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ž)) -s (๐‘ ยทs ๐‘ž))} โˆช {๐‘ โˆฃ โˆƒ๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘… โˆƒ๐‘  โˆˆ ๐‘† ๐‘ = (((๐‘Ÿ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ )) -s (๐‘Ÿ ยทs ๐‘ ))})๐‘ฅ๐‘‚ โ‰คs ๐‘ง) โ†” (โˆƒ๐‘” โˆˆ ( L โ€˜๐ต)๐‘ฅ๐‘‚ = (((๐‘“ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘”)) -s (๐‘“ ยทs ๐‘”)) โ†’ โˆƒ๐‘ง โˆˆ ({๐‘Ž โˆฃ โˆƒ๐‘ โˆˆ ๐ฟ โˆƒ๐‘ž โˆˆ ๐‘€ ๐‘Ž = (((๐‘ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ž)) -s (๐‘ ยทs ๐‘ž))} โˆช {๐‘ โˆฃ โˆƒ๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘… โˆƒ๐‘  โˆˆ ๐‘† ๐‘ = (((๐‘Ÿ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ )) -s (๐‘Ÿ ยทs ๐‘ ))})๐‘ฅ๐‘‚ โ‰คs ๐‘ง))
287286ralbii 3092 . . . . . . . . 9 (โˆ€๐‘“ โˆˆ ( L โ€˜๐ด)โˆ€๐‘” โˆˆ ( L โ€˜๐ต)(๐‘ฅ๐‘‚ = (((๐‘“ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘”)) -s (๐‘“ ยทs ๐‘”)) โ†’ โˆƒ๐‘ง โˆˆ ({๐‘Ž โˆฃ โˆƒ๐‘ โˆˆ ๐ฟ โˆƒ๐‘ž โˆˆ ๐‘€ ๐‘Ž = (((๐‘ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ž)) -s (๐‘ ยทs ๐‘ž))} โˆช {๐‘ โˆฃ โˆƒ๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘… โˆƒ๐‘  โˆˆ ๐‘† ๐‘ = (((๐‘Ÿ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ )) -s (๐‘Ÿ ยทs ๐‘ ))})๐‘ฅ๐‘‚ โ‰คs ๐‘ง) โ†” โˆ€๐‘“ โˆˆ ( L โ€˜๐ด)(โˆƒ๐‘” โˆˆ ( L โ€˜๐ต)๐‘ฅ๐‘‚ = (((๐‘“ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘”)) -s (๐‘“ ยทs ๐‘”)) โ†’ โˆƒ๐‘ง โˆˆ ({๐‘Ž โˆฃ โˆƒ๐‘ โˆˆ ๐ฟ โˆƒ๐‘ž โˆˆ ๐‘€ ๐‘Ž = (((๐‘ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ž)) -s (๐‘ ยทs ๐‘ž))} โˆช {๐‘ โˆฃ โˆƒ๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘… โˆƒ๐‘  โˆˆ ๐‘† ๐‘ = (((๐‘Ÿ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ )) -s (๐‘Ÿ ยทs ๐‘ ))})๐‘ฅ๐‘‚ โ‰คs ๐‘ง))
288 r19.23v 3181 . . . . . . . . 9 (โˆ€๐‘“ โˆˆ ( L โ€˜๐ด)(โˆƒ๐‘” โˆˆ ( L โ€˜๐ต)๐‘ฅ๐‘‚ = (((๐‘“ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘”)) -s (๐‘“ ยทs ๐‘”)) โ†’ โˆƒ๐‘ง โˆˆ ({๐‘Ž โˆฃ โˆƒ๐‘ โˆˆ ๐ฟ โˆƒ๐‘ž โˆˆ ๐‘€ ๐‘Ž = (((๐‘ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ž)) -s (๐‘ ยทs ๐‘ž))} โˆช {๐‘ โˆฃ โˆƒ๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘… โˆƒ๐‘  โˆˆ ๐‘† ๐‘ = (((๐‘Ÿ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ )) -s (๐‘Ÿ ยทs ๐‘ ))})๐‘ฅ๐‘‚ โ‰คs ๐‘ง) โ†” (โˆƒ๐‘“ โˆˆ ( L โ€˜๐ด)โˆƒ๐‘” โˆˆ ( L โ€˜๐ต)๐‘ฅ๐‘‚ = (((๐‘“ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘”)) -s (๐‘“ ยทs ๐‘”)) โ†’ โˆƒ๐‘ง โˆˆ ({๐‘Ž โˆฃ โˆƒ๐‘ โˆˆ ๐ฟ โˆƒ๐‘ž โˆˆ ๐‘€ ๐‘Ž = (((๐‘ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ž)) -s (๐‘ ยทs ๐‘ž))} โˆช {๐‘ โˆฃ โˆƒ๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘… โˆƒ๐‘  โˆˆ ๐‘† ๐‘ = (((๐‘Ÿ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ )) -s (๐‘Ÿ ยทs ๐‘ ))})๐‘ฅ๐‘‚ โ‰คs ๐‘ง))
289287, 288bitri 275 . . . . . . . 8 (โˆ€๐‘“ โˆˆ ( L โ€˜๐ด)โˆ€๐‘” โˆˆ ( L โ€˜๐ต)(๐‘ฅ๐‘‚ = (((๐‘“ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘”)) -s (๐‘“ ยทs ๐‘”)) โ†’ โˆƒ๐‘ง โˆˆ ({๐‘Ž โˆฃ โˆƒ๐‘ โˆˆ ๐ฟ โˆƒ๐‘ž โˆˆ ๐‘€ ๐‘Ž = (((๐‘ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ž)) -s (๐‘ ยทs ๐‘ž))} โˆช {๐‘ โˆฃ โˆƒ๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘… โˆƒ๐‘  โˆˆ ๐‘† ๐‘ = (((๐‘Ÿ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ )) -s (๐‘Ÿ ยทs ๐‘ ))})๐‘ฅ๐‘‚ โ‰คs ๐‘ง) โ†” (โˆƒ๐‘“ โˆˆ ( L โ€˜๐ด)โˆƒ๐‘” โˆˆ ( L โ€˜๐ต)๐‘ฅ๐‘‚ = (((๐‘“ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘”)) -s (๐‘“ ยทs ๐‘”)) โ†’ โˆƒ๐‘ง โˆˆ ({๐‘Ž โˆฃ โˆƒ๐‘ โˆˆ ๐ฟ โˆƒ๐‘ž โˆˆ ๐‘€ ๐‘Ž = (((๐‘ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ž)) -s (๐‘ ยทs ๐‘ž))} โˆช {๐‘ โˆฃ โˆƒ๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘… โˆƒ๐‘  โˆˆ ๐‘† ๐‘ = (((๐‘Ÿ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ )) -s (๐‘Ÿ ยทs ๐‘ ))})๐‘ฅ๐‘‚ โ‰คs ๐‘ง))
290289albii 1820 . . . . . . 7 (โˆ€๐‘ฅ๐‘‚โˆ€๐‘“ โˆˆ ( L โ€˜๐ด)โˆ€๐‘” โˆˆ ( L โ€˜๐ต)(๐‘ฅ๐‘‚ = (((๐‘“ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘”)) -s (๐‘“ ยทs ๐‘”)) โ†’ โˆƒ๐‘ง โˆˆ ({๐‘Ž โˆฃ โˆƒ๐‘ โˆˆ ๐ฟ โˆƒ๐‘ž โˆˆ ๐‘€ ๐‘Ž = (((๐‘ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ž)) -s (๐‘ ยทs ๐‘ž))} โˆช {๐‘ โˆฃ โˆƒ๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘… โˆƒ๐‘  โˆˆ ๐‘† ๐‘ = (((๐‘Ÿ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ )) -s (๐‘Ÿ ยทs ๐‘ ))})๐‘ฅ๐‘‚ โ‰คs ๐‘ง) โ†” โˆ€๐‘ฅ๐‘‚(โˆƒ๐‘“ โˆˆ ( L โ€˜๐ด)โˆƒ๐‘” โˆˆ ( L โ€˜๐ต)๐‘ฅ๐‘‚ = (((๐‘“ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘”)) -s (๐‘“ ยทs ๐‘”)) โ†’ โˆƒ๐‘ง โˆˆ ({๐‘Ž โˆฃ โˆƒ๐‘ โˆˆ ๐ฟ โˆƒ๐‘ž โˆˆ ๐‘€ ๐‘Ž = (((๐‘ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ž)) -s (๐‘ ยทs ๐‘ž))} โˆช {๐‘ โˆฃ โˆƒ๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘… โˆƒ๐‘  โˆˆ ๐‘† ๐‘ = (((๐‘Ÿ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ )) -s (๐‘Ÿ ยทs ๐‘ ))})๐‘ฅ๐‘‚ โ‰คs ๐‘ง))
291 ralcom4 3282 . . . . . . . 8 (โˆ€๐‘“ โˆˆ ( L โ€˜๐ด)โˆ€๐‘ฅ๐‘‚โˆ€๐‘” โˆˆ ( L โ€˜๐ต)(๐‘ฅ๐‘‚ = (((๐‘“ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘”)) -s (๐‘“ ยทs ๐‘”)) โ†’ โˆƒ๐‘ง โˆˆ ({๐‘Ž โˆฃ โˆƒ๐‘ โˆˆ ๐ฟ โˆƒ๐‘ž โˆˆ ๐‘€ ๐‘Ž = (((๐‘ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ž)) -s (๐‘ ยทs ๐‘ž))} โˆช {๐‘ โˆฃ โˆƒ๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘… โˆƒ๐‘  โˆˆ ๐‘† ๐‘ = (((๐‘Ÿ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ )) -s (๐‘Ÿ ยทs ๐‘ ))})๐‘ฅ๐‘‚ โ‰คs ๐‘ง) โ†” โˆ€๐‘ฅ๐‘‚โˆ€๐‘“ โˆˆ ( L โ€˜๐ด)โˆ€๐‘” โˆˆ ( L โ€˜๐ต)(๐‘ฅ๐‘‚ = (((๐‘“ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘”)) -s (๐‘“ ยทs ๐‘”)) โ†’ โˆƒ๐‘ง โˆˆ ({๐‘Ž โˆฃ โˆƒ๐‘ โˆˆ ๐ฟ โˆƒ๐‘ž โˆˆ ๐‘€ ๐‘Ž = (((๐‘ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ž)) -s (๐‘ ยทs ๐‘ž))} โˆช {๐‘ โˆฃ โˆƒ๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘… โˆƒ๐‘  โˆˆ ๐‘† ๐‘ = (((๐‘Ÿ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ )) -s (๐‘Ÿ ยทs ๐‘ ))})๐‘ฅ๐‘‚ โ‰คs ๐‘ง))
292 ralcom4 3282 . . . . . . . . . 10 (โˆ€๐‘” โˆˆ ( L โ€˜๐ต)โˆ€๐‘ฅ๐‘‚(๐‘ฅ๐‘‚ = (((๐‘“ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘”)) -s (๐‘“ ยทs ๐‘”)) โ†’ โˆƒ๐‘ง โˆˆ ({๐‘Ž โˆฃ โˆƒ๐‘ โˆˆ ๐ฟ โˆƒ๐‘ž โˆˆ ๐‘€ ๐‘Ž = (((๐‘ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ž)) -s (๐‘ ยทs ๐‘ž))} โˆช {๐‘ โˆฃ โˆƒ๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘… โˆƒ๐‘  โˆˆ ๐‘† ๐‘ = (((๐‘Ÿ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ )) -s (๐‘Ÿ ยทs ๐‘ ))})๐‘ฅ๐‘‚ โ‰คs ๐‘ง) โ†” โˆ€๐‘ฅ๐‘‚โˆ€๐‘” โˆˆ ( L โ€˜๐ต)(๐‘ฅ๐‘‚ = (((๐‘“ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘”)) -s (๐‘“ ยทs ๐‘”)) โ†’ โˆƒ๐‘ง โˆˆ ({๐‘Ž โˆฃ โˆƒ๐‘ โˆˆ ๐ฟ โˆƒ๐‘ž โˆˆ ๐‘€ ๐‘Ž = (((๐‘ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ž)) -s (๐‘ ยทs ๐‘ž))} โˆช {๐‘ โˆฃ โˆƒ๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘… โˆƒ๐‘  โˆˆ ๐‘† ๐‘ = (((๐‘Ÿ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ )) -s (๐‘Ÿ ยทs ๐‘ ))})๐‘ฅ๐‘‚ โ‰คs ๐‘ง))
293 ovex 7445 . . . . . . . . . . . 12 (((๐‘“ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘”)) -s (๐‘“ ยทs ๐‘”)) โˆˆ V
294 breq1 5151 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ฅ๐‘‚ = (((๐‘“ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘”)) -s (๐‘“ ยทs ๐‘”)) โ†’ (๐‘ฅ๐‘‚ โ‰คs ๐‘ง โ†” (((๐‘“ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘”)) -s (๐‘“ ยทs ๐‘”)) โ‰คs ๐‘ง))
295294rexbidv 3177 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ฅ๐‘‚ = (((๐‘“ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘”)) -s (๐‘“ ยทs ๐‘”)) โ†’ (โˆƒ๐‘ง โˆˆ ({๐‘Ž โˆฃ โˆƒ๐‘ โˆˆ ๐ฟ โˆƒ๐‘ž โˆˆ ๐‘€ ๐‘Ž = (((๐‘ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ž)) -s (๐‘ ยทs ๐‘ž))} โˆช {๐‘ โˆฃ โˆƒ๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘… โˆƒ๐‘  โˆˆ ๐‘† ๐‘ = (((๐‘Ÿ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ )) -s (๐‘Ÿ ยทs ๐‘ ))})๐‘ฅ๐‘‚ โ‰คs ๐‘ง โ†” โˆƒ๐‘ง โˆˆ ({๐‘Ž โˆฃ โˆƒ๐‘ โˆˆ ๐ฟ โˆƒ๐‘ž โˆˆ ๐‘€ ๐‘Ž = (((๐‘ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ž)) -s (๐‘ ยทs ๐‘ž))} โˆช {๐‘ โˆฃ โˆƒ๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘… โˆƒ๐‘  โˆˆ ๐‘† ๐‘ = (((๐‘Ÿ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ )) -s (๐‘Ÿ ยทs ๐‘ ))})(((๐‘“ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘”)) -s (๐‘“ ยทs ๐‘”)) โ‰คs ๐‘ง))
296293, 295ceqsalv 3511 . . . . . . . . . . 11 (โˆ€๐‘ฅ๐‘‚(๐‘ฅ๐‘‚ = (((๐‘“ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘”)) -s (๐‘“ ยทs ๐‘”)) โ†’ โˆƒ๐‘ง โˆˆ ({๐‘Ž โˆฃ โˆƒ๐‘ โˆˆ ๐ฟ โˆƒ๐‘ž โˆˆ ๐‘€ ๐‘Ž = (((๐‘ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ž)) -s (๐‘ ยทs ๐‘ž))} โˆช {๐‘ โˆฃ โˆƒ๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘… โˆƒ๐‘  โˆˆ ๐‘† ๐‘ = (((๐‘Ÿ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ )) -s (๐‘Ÿ ยทs ๐‘ ))})๐‘ฅ๐‘‚ โ‰คs ๐‘ง) โ†” โˆƒ๐‘ง โˆˆ ({๐‘Ž โˆฃ โˆƒ๐‘ โˆˆ ๐ฟ โˆƒ๐‘ž โˆˆ ๐‘€ ๐‘Ž = (((๐‘ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ž)) -s (๐‘ ยทs ๐‘ž))} โˆช {๐‘ โˆฃ โˆƒ๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘… โˆƒ๐‘  โˆˆ ๐‘† ๐‘ = (((๐‘Ÿ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ )) -s (๐‘Ÿ ยทs ๐‘ ))})(((๐‘“ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘”)) -s (๐‘“ ยทs ๐‘”)) โ‰คs ๐‘ง)
297296ralbii 3092 . . . . . . . . . 10 (โˆ€๐‘” โˆˆ ( L โ€˜๐ต)โˆ€๐‘ฅ๐‘‚(๐‘ฅ๐‘‚ = (((๐‘“ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘”)) -s (๐‘“ ยทs ๐‘”)) โ†’ โˆƒ๐‘ง โˆˆ ({๐‘Ž โˆฃ โˆƒ๐‘ โˆˆ ๐ฟ โˆƒ๐‘ž โˆˆ ๐‘€ ๐‘Ž = (((๐‘ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ž)) -s (๐‘ ยทs ๐‘ž))} โˆช {๐‘ โˆฃ โˆƒ๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘… โˆƒ๐‘  โˆˆ ๐‘† ๐‘ = (((๐‘Ÿ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ )) -s (๐‘Ÿ ยทs ๐‘ ))})๐‘ฅ๐‘‚ โ‰คs ๐‘ง) โ†” โˆ€๐‘” โˆˆ ( L โ€˜๐ต)โˆƒ๐‘ง โˆˆ ({๐‘Ž โˆฃ โˆƒ๐‘ โˆˆ ๐ฟ โˆƒ๐‘ž โˆˆ ๐‘€ ๐‘Ž = (((๐‘ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ž)) -s (๐‘ ยทs ๐‘ž))} โˆช {๐‘ โˆฃ โˆƒ๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘… โˆƒ๐‘  โˆˆ ๐‘† ๐‘ = (((๐‘Ÿ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ )) -s (๐‘Ÿ ยทs ๐‘ ))})(((๐‘“ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘”)) -s (๐‘“ ยทs ๐‘”)) โ‰คs ๐‘ง)
298292, 297bitr3i 277 . . . . . . . . 9 (โˆ€๐‘ฅ๐‘‚โˆ€๐‘” โˆˆ ( L โ€˜๐ต)(๐‘ฅ๐‘‚ = (((๐‘“ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘”)) -s (๐‘“ ยทs ๐‘”)) โ†’ โˆƒ๐‘ง โˆˆ ({๐‘Ž โˆฃ โˆƒ๐‘ โˆˆ ๐ฟ โˆƒ๐‘ž โˆˆ ๐‘€ ๐‘Ž = (((๐‘ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ž)) -s (๐‘ ยทs ๐‘ž))} โˆช {๐‘ โˆฃ โˆƒ๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘… โˆƒ๐‘  โˆˆ ๐‘† ๐‘ = (((๐‘Ÿ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ )) -s (๐‘Ÿ ยทs ๐‘ ))})๐‘ฅ๐‘‚ โ‰คs ๐‘ง) โ†” โˆ€๐‘” โˆˆ ( L โ€˜๐ต)โˆƒ๐‘ง โˆˆ ({๐‘Ž โˆฃ โˆƒ๐‘ โˆˆ ๐ฟ โˆƒ๐‘ž โˆˆ ๐‘€ ๐‘Ž = (((๐‘ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ž)) -s (๐‘ ยทs ๐‘ž))} โˆช {๐‘ โˆฃ โˆƒ๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘… โˆƒ๐‘  โˆˆ ๐‘† ๐‘ = (((๐‘Ÿ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ )) -s (๐‘Ÿ ยทs ๐‘ ))})(((๐‘“ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘”)) -s (๐‘“ ยทs ๐‘”)) โ‰คs ๐‘ง)
299298ralbii 3092 . . . . . . . 8 (โˆ€๐‘“ โˆˆ ( L โ€˜๐ด)โˆ€๐‘ฅ๐‘‚โˆ€๐‘” โˆˆ ( L โ€˜๐ต)(๐‘ฅ๐‘‚ = (((๐‘“ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘”)) -s (๐‘“ ยทs ๐‘”)) โ†’ โˆƒ๐‘ง โˆˆ ({๐‘Ž โˆฃ โˆƒ๐‘ โˆˆ ๐ฟ โˆƒ๐‘ž โˆˆ ๐‘€ ๐‘Ž = (((๐‘ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ž)) -s (๐‘ ยทs ๐‘ž))} โˆช {๐‘ โˆฃ โˆƒ๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘… โˆƒ๐‘  โˆˆ ๐‘† ๐‘ = (((๐‘Ÿ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ )) -s (๐‘Ÿ ยทs ๐‘ ))})๐‘ฅ๐‘‚ โ‰คs ๐‘ง) โ†” โˆ€๐‘“ โˆˆ ( L โ€˜๐ด)โˆ€๐‘” โˆˆ ( L โ€˜๐ต)โˆƒ๐‘ง โˆˆ ({๐‘Ž โˆฃ โˆƒ๐‘ โˆˆ ๐ฟ โˆƒ๐‘ž โˆˆ ๐‘€ ๐‘Ž = (((๐‘ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ž)) -s (๐‘ ยทs ๐‘ž))} โˆช {๐‘ โˆฃ โˆƒ๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘… โˆƒ๐‘  โˆˆ ๐‘† ๐‘ = (((๐‘Ÿ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ )) -s (๐‘Ÿ ยทs ๐‘ ))})(((๐‘“ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘”)) -s (๐‘“ ยทs ๐‘”)) โ‰คs ๐‘ง)
300291, 299bitr3i 277 . . . . . . 7 (โˆ€๐‘ฅ๐‘‚โˆ€๐‘“ โˆˆ ( L โ€˜๐ด)โˆ€๐‘” โˆˆ ( L โ€˜๐ต)(๐‘ฅ๐‘‚ = (((๐‘“ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘”)) -s (๐‘“ ยทs ๐‘”)) โ†’ โˆƒ๐‘ง โˆˆ ({๐‘Ž โˆฃ โˆƒ๐‘ โˆˆ ๐ฟ โˆƒ๐‘ž โˆˆ ๐‘€ ๐‘Ž = (((๐‘ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ž)) -s (๐‘ ยทs ๐‘ž))} โˆช {๐‘ โˆฃ โˆƒ๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘… โˆƒ๐‘  โˆˆ ๐‘† ๐‘ = (((๐‘Ÿ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ )) -s (๐‘Ÿ ยทs ๐‘ ))})๐‘ฅ๐‘‚ โ‰คs ๐‘ง) โ†” โˆ€๐‘“ โˆˆ ( L โ€˜๐ด)โˆ€๐‘” โˆˆ ( L โ€˜๐ต)โˆƒ๐‘ง โˆˆ ({๐‘Ž โˆฃ โˆƒ๐‘ โˆˆ ๐ฟ โˆƒ๐‘ž โˆˆ ๐‘€ ๐‘Ž = (((๐‘ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ž)) -s (๐‘ ยทs ๐‘ž))} โˆช {๐‘ โˆฃ โˆƒ๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘… โˆƒ๐‘  โˆˆ ๐‘† ๐‘ = (((๐‘Ÿ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ )) -s (๐‘Ÿ ยทs ๐‘ ))})(((๐‘“ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘”)) -s (๐‘“ ยทs ๐‘”)) โ‰คs ๐‘ง)
301285, 290, 3003bitr2i 299 . . . . . 6 (โˆ€๐‘ฅ๐‘‚ โˆˆ {๐‘’ โˆฃ โˆƒ๐‘“ โˆˆ ( L โ€˜๐ด)โˆƒ๐‘” โˆˆ ( L โ€˜๐ต)๐‘’ = (((๐‘“ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘”)) -s (๐‘“ ยทs ๐‘”))}โˆƒ๐‘ง โˆˆ ({๐‘Ž โˆฃ โˆƒ๐‘ โˆˆ ๐ฟ โˆƒ๐‘ž โˆˆ ๐‘€ ๐‘Ž = (((๐‘ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ž)) -s (๐‘ ยทs ๐‘ž))} โˆช {๐‘ โˆฃ โˆƒ๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘… โˆƒ๐‘  โˆˆ ๐‘† ๐‘ = (((๐‘Ÿ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ )) -s (๐‘Ÿ ยทs ๐‘ ))})๐‘ฅ๐‘‚ โ‰คs ๐‘ง โ†” โˆ€๐‘“ โˆˆ ( L โ€˜๐ด)โˆ€๐‘” โˆˆ ( L โ€˜๐ต)โˆƒ๐‘ง โˆˆ ({๐‘Ž โˆฃ โˆƒ๐‘ โˆˆ ๐ฟ โˆƒ๐‘ž โˆˆ ๐‘€ ๐‘Ž = (((๐‘ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ž)) -s (๐‘ ยทs ๐‘ž))} โˆช {๐‘ โˆฃ โˆƒ๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘… โˆƒ๐‘  โˆˆ ๐‘† ๐‘ = (((๐‘Ÿ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ )) -s (๐‘Ÿ ยทs ๐‘ ))})(((๐‘“ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘”)) -s (๐‘“ ยทs ๐‘”)) โ‰คs ๐‘ง)
302 eqeq1 2735 . . . . . . . . 9 (โ„Ž = ๐‘ฅ๐‘‚ โ†’ (โ„Ž = (((๐‘– ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘—)) -s (๐‘– ยทs ๐‘—)) โ†” ๐‘ฅ๐‘‚ = (((๐‘– ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘—)) -s (๐‘– ยทs ๐‘—))))
3033022rexbidv 3218 . . . . . . . 8 (โ„Ž = ๐‘ฅ๐‘‚ โ†’ (โˆƒ๐‘– โˆˆ ( R โ€˜๐ด)โˆƒ๐‘— โˆˆ ( R โ€˜๐ต)โ„Ž = (((๐‘– ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘—)) -s (๐‘– ยทs ๐‘—)) โ†” โˆƒ๐‘– โˆˆ ( R โ€˜๐ด)โˆƒ๐‘— โˆˆ ( R โ€˜๐ต)๐‘ฅ๐‘‚ = (((๐‘– ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘—)) -s (๐‘– ยทs ๐‘—))))
304303ralab 3687 . . . . . . 7 (โˆ€๐‘ฅ๐‘‚ โˆˆ {โ„Ž โˆฃ โˆƒ๐‘– โˆˆ ( R โ€˜๐ด)โˆƒ๐‘— โˆˆ ( R โ€˜๐ต)โ„Ž = (((๐‘– ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘—)) -s (๐‘– ยทs ๐‘—))}โˆƒ๐‘ง โˆˆ ({๐‘Ž โˆฃ โˆƒ๐‘ โˆˆ ๐ฟ โˆƒ๐‘ž โˆˆ ๐‘€ ๐‘Ž = (((๐‘ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ž)) -s (๐‘ ยทs ๐‘ž))} โˆช {๐‘ โˆฃ โˆƒ๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘… โˆƒ๐‘  โˆˆ ๐‘† ๐‘ = (((๐‘Ÿ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ )) -s (๐‘Ÿ ยทs ๐‘ ))})๐‘ฅ๐‘‚ โ‰คs ๐‘ง โ†” โˆ€๐‘ฅ๐‘‚(โˆƒ๐‘– โˆˆ ( R โ€˜๐ด)โˆƒ๐‘— โˆˆ ( R โ€˜๐ต)๐‘ฅ๐‘‚ = (((๐‘– ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘—)) -s (๐‘– ยทs ๐‘—)) โ†’ โˆƒ๐‘ง โˆˆ ({๐‘Ž โˆฃ โˆƒ๐‘ โˆˆ ๐ฟ โˆƒ๐‘ž โˆˆ ๐‘€ ๐‘Ž = (((๐‘ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ž)) -s (๐‘ ยทs ๐‘ž))} โˆช {๐‘ โˆฃ โˆƒ๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘… โˆƒ๐‘  โˆˆ ๐‘† ๐‘ = (((๐‘Ÿ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ )) -s (๐‘Ÿ ยทs ๐‘ ))})๐‘ฅ๐‘‚ โ‰คs ๐‘ง))
305 r19.23v 3181 . . . . . . . . . 10 (โˆ€๐‘— โˆˆ ( R โ€˜๐ต)(๐‘ฅ๐‘‚ = (((๐‘– ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘—)) -s (๐‘– ยทs ๐‘—)) โ†’ โˆƒ๐‘ง โˆˆ ({๐‘Ž โˆฃ โˆƒ๐‘ โˆˆ ๐ฟ โˆƒ๐‘ž โˆˆ ๐‘€ ๐‘Ž = (((๐‘ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ž)) -s (๐‘ ยทs ๐‘ž))} โˆช {๐‘ โˆฃ โˆƒ๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘… โˆƒ๐‘  โˆˆ ๐‘† ๐‘ = (((๐‘Ÿ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ )) -s (๐‘Ÿ ยทs ๐‘ ))})๐‘ฅ๐‘‚ โ‰คs ๐‘ง) โ†” (โˆƒ๐‘— โˆˆ ( R โ€˜๐ต)๐‘ฅ๐‘‚ = (((๐‘– ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘—)) -s (๐‘– ยทs ๐‘—)) โ†’ โˆƒ๐‘ง โˆˆ ({๐‘Ž โˆฃ โˆƒ๐‘ โˆˆ ๐ฟ โˆƒ๐‘ž โˆˆ ๐‘€ ๐‘Ž = (((๐‘ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ž)) -s (๐‘ ยทs ๐‘ž))} โˆช {๐‘ โˆฃ โˆƒ๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘… โˆƒ๐‘  โˆˆ ๐‘† ๐‘ = (((๐‘Ÿ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ )) -s (๐‘Ÿ ยทs ๐‘ ))})๐‘ฅ๐‘‚ โ‰คs ๐‘ง))
306305ralbii 3092 . . . . . . . . 9 (โˆ€๐‘– โˆˆ ( R โ€˜๐ด)โˆ€๐‘— โˆˆ ( R โ€˜๐ต)(๐‘ฅ๐‘‚ = (((๐‘– ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘—)) -s (๐‘– ยทs ๐‘—)) โ†’ โˆƒ๐‘ง โˆˆ ({๐‘Ž โˆฃ โˆƒ๐‘ โˆˆ ๐ฟ โˆƒ๐‘ž โˆˆ ๐‘€ ๐‘Ž = (((๐‘ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ž)) -s (๐‘ ยทs ๐‘ž))} โˆช {๐‘ โˆฃ โˆƒ๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘… โˆƒ๐‘  โˆˆ ๐‘† ๐‘ = (((๐‘Ÿ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ )) -s (๐‘Ÿ ยทs ๐‘ ))})๐‘ฅ๐‘‚ โ‰คs ๐‘ง) โ†” โˆ€๐‘– โˆˆ ( R โ€˜๐ด)(โˆƒ๐‘— โˆˆ ( R โ€˜๐ต)๐‘ฅ๐‘‚ = (((๐‘– ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘—)) -s (๐‘– ยทs ๐‘—)) โ†’ โˆƒ๐‘ง โˆˆ ({๐‘Ž โˆฃ โˆƒ๐‘ โˆˆ ๐ฟ โˆƒ๐‘ž โˆˆ ๐‘€ ๐‘Ž = (((๐‘ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ž)) -s (๐‘ ยทs ๐‘ž))} โˆช {๐‘ โˆฃ โˆƒ๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘… โˆƒ๐‘  โˆˆ ๐‘† ๐‘ = (((๐‘Ÿ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ )) -s (๐‘Ÿ ยทs ๐‘ ))})๐‘ฅ๐‘‚ โ‰คs ๐‘ง))
307 r19.23v 3181 . . . . . . . . 9 (โˆ€๐‘– โˆˆ ( R โ€˜๐ด)(โˆƒ๐‘— โˆˆ ( R โ€˜๐ต)๐‘ฅ๐‘‚ = (((๐‘– ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘—)) -s (๐‘– ยทs ๐‘—)) โ†’ โˆƒ๐‘ง โˆˆ ({๐‘Ž โˆฃ โˆƒ๐‘ โˆˆ ๐ฟ โˆƒ๐‘ž โˆˆ ๐‘€ ๐‘Ž = (((๐‘ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ž)) -s (๐‘ ยทs ๐‘ž))} โˆช {๐‘ โˆฃ โˆƒ๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘… โˆƒ๐‘  โˆˆ ๐‘† ๐‘ = (((๐‘Ÿ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ )) -s (๐‘Ÿ ยทs ๐‘ ))})๐‘ฅ๐‘‚ โ‰คs ๐‘ง) โ†” (โˆƒ๐‘– โˆˆ ( R โ€˜๐ด)โˆƒ๐‘— โˆˆ ( R โ€˜๐ต)๐‘ฅ๐‘‚ = (((๐‘– ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘—)) -s (๐‘– ยทs ๐‘—)) โ†’ โˆƒ๐‘ง โˆˆ ({๐‘Ž โˆฃ โˆƒ๐‘ โˆˆ ๐ฟ โˆƒ๐‘ž โˆˆ ๐‘€ ๐‘Ž = (((๐‘ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ž)) -s (๐‘ ยทs ๐‘ž))} โˆช {๐‘ โˆฃ โˆƒ๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘… โˆƒ๐‘  โˆˆ ๐‘† ๐‘ = (((๐‘Ÿ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ )) -s (๐‘Ÿ ยทs ๐‘ ))})๐‘ฅ๐‘‚ โ‰คs ๐‘ง))
308306, 307bitri 275 . . . . . . . 8 (โˆ€๐‘– โˆˆ ( R โ€˜๐ด)โˆ€๐‘— โˆˆ ( R โ€˜๐ต)(๐‘ฅ๐‘‚ = (((๐‘– ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘—)) -s (๐‘– ยทs ๐‘—)) โ†’ โˆƒ๐‘ง โˆˆ ({๐‘Ž โˆฃ โˆƒ๐‘ โˆˆ ๐ฟ โˆƒ๐‘ž โˆˆ ๐‘€ ๐‘Ž = (((๐‘ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ž)) -s (๐‘ ยทs ๐‘ž))} โˆช {๐‘ โˆฃ โˆƒ๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘… โˆƒ๐‘  โˆˆ ๐‘† ๐‘ = (((๐‘Ÿ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ )) -s (๐‘Ÿ ยทs ๐‘ ))})๐‘ฅ๐‘‚ โ‰คs ๐‘ง) โ†” (โˆƒ๐‘– โˆˆ ( R โ€˜๐ด)โˆƒ๐‘— โˆˆ ( R โ€˜๐ต)๐‘ฅ๐‘‚ = (((๐‘– ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘—)) -s (๐‘– ยทs ๐‘—)) โ†’ โˆƒ๐‘ง โˆˆ ({๐‘Ž โˆฃ โˆƒ๐‘ โˆˆ ๐ฟ โˆƒ๐‘ž โˆˆ ๐‘€ ๐‘Ž = (((๐‘ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ž)) -s (๐‘ ยทs ๐‘ž))} โˆช {๐‘ โˆฃ โˆƒ๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘… โˆƒ๐‘  โˆˆ ๐‘† ๐‘ = (((๐‘Ÿ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ )) -s (๐‘Ÿ ยทs ๐‘ ))})๐‘ฅ๐‘‚ โ‰คs ๐‘ง))
309308albii 1820 . . . . . . 7 (โˆ€๐‘ฅ๐‘‚โˆ€๐‘– โˆˆ ( R โ€˜๐ด)โˆ€๐‘— โˆˆ ( R โ€˜๐ต)(๐‘ฅ๐‘‚ = (((๐‘– ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘—)) -s (๐‘– ยทs ๐‘—)) โ†’ โˆƒ๐‘ง โˆˆ ({๐‘Ž โˆฃ โˆƒ๐‘ โˆˆ ๐ฟ โˆƒ๐‘ž โˆˆ ๐‘€ ๐‘Ž = (((๐‘ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ž)) -s (๐‘ ยทs ๐‘ž))} โˆช {๐‘ โˆฃ โˆƒ๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘… โˆƒ๐‘  โˆˆ ๐‘† ๐‘ = (((๐‘Ÿ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ )) -s (๐‘Ÿ ยทs ๐‘ ))})๐‘ฅ๐‘‚ โ‰คs ๐‘ง) โ†” โˆ€๐‘ฅ๐‘‚(โˆƒ๐‘– โˆˆ ( R โ€˜๐ด)โˆƒ๐‘— โˆˆ ( R โ€˜๐ต)๐‘ฅ๐‘‚ = (((๐‘– ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘—)) -s (๐‘– ยทs ๐‘—)) โ†’ โˆƒ๐‘ง โˆˆ ({๐‘Ž โˆฃ โˆƒ๐‘ โˆˆ ๐ฟ โˆƒ๐‘ž โˆˆ ๐‘€ ๐‘Ž = (((๐‘ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ž)) -s (๐‘ ยทs ๐‘ž))} โˆช {๐‘ โˆฃ โˆƒ๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘… โˆƒ๐‘  โˆˆ ๐‘† ๐‘ = (((๐‘Ÿ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ )) -s (๐‘Ÿ ยทs ๐‘ ))})๐‘ฅ๐‘‚ โ‰คs ๐‘ง))
310 ralcom4 3282 . . . . . . . 8 (โˆ€๐‘– โˆˆ ( R โ€˜๐ด)โˆ€๐‘ฅ๐‘‚โˆ€๐‘— โˆˆ ( R โ€˜๐ต)(๐‘ฅ๐‘‚ = (((๐‘– ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘—)) -s (๐‘– ยทs ๐‘—)) โ†’ โˆƒ๐‘ง โˆˆ ({๐‘Ž โˆฃ โˆƒ๐‘ โˆˆ ๐ฟ โˆƒ๐‘ž โˆˆ ๐‘€ ๐‘Ž = (((๐‘ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ž)) -s (๐‘ ยทs ๐‘ž))} โˆช {๐‘ โˆฃ โˆƒ๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘… โˆƒ๐‘  โˆˆ ๐‘† ๐‘ = (((๐‘Ÿ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ )) -s (๐‘Ÿ ยทs ๐‘ ))})๐‘ฅ๐‘‚ โ‰คs ๐‘ง) โ†” โˆ€๐‘ฅ๐‘‚โˆ€๐‘– โˆˆ ( R โ€˜๐ด)โˆ€๐‘— โˆˆ ( R โ€˜๐ต)(๐‘ฅ๐‘‚ = (((๐‘– ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘—)) -s (๐‘– ยทs ๐‘—)) โ†’ โˆƒ๐‘ง โˆˆ ({๐‘Ž โˆฃ โˆƒ๐‘ โˆˆ ๐ฟ โˆƒ๐‘ž โˆˆ ๐‘€ ๐‘Ž = (((๐‘ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ž)) -s (๐‘ ยทs ๐‘ž))} โˆช {๐‘ โˆฃ โˆƒ๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘… โˆƒ๐‘  โˆˆ ๐‘† ๐‘ = (((๐‘Ÿ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ )) -s (๐‘Ÿ ยทs ๐‘ ))})๐‘ฅ๐‘‚ โ‰คs ๐‘ง))
311 ralcom4 3282 . . . . . . . . . 10 (โˆ€๐‘— โˆˆ ( R โ€˜๐ต)โˆ€๐‘ฅ๐‘‚(๐‘ฅ๐‘‚ = (((๐‘– ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘—)) -s (๐‘– ยทs ๐‘—)) โ†’ โˆƒ๐‘ง โˆˆ ({๐‘Ž โˆฃ โˆƒ๐‘ โˆˆ ๐ฟ โˆƒ๐‘ž โˆˆ ๐‘€ ๐‘Ž = (((๐‘ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ž)) -s (๐‘ ยทs ๐‘ž))} โˆช {๐‘ โˆฃ โˆƒ๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘… โˆƒ๐‘  โˆˆ ๐‘† ๐‘ = (((๐‘Ÿ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ )) -s (๐‘Ÿ ยทs ๐‘ ))})๐‘ฅ๐‘‚ โ‰คs ๐‘ง) โ†” โˆ€๐‘ฅ๐‘‚โˆ€๐‘— โˆˆ ( R โ€˜๐ต)(๐‘ฅ๐‘‚ = (((๐‘– ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘—)) -s (๐‘– ยทs ๐‘—)) โ†’ โˆƒ๐‘ง โˆˆ ({๐‘Ž โˆฃ โˆƒ๐‘ โˆˆ ๐ฟ โˆƒ๐‘ž โˆˆ ๐‘€ ๐‘Ž = (((๐‘ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ž)) -s (๐‘ ยทs ๐‘ž))} โˆช {๐‘ โˆฃ โˆƒ๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘… โˆƒ๐‘  โˆˆ ๐‘† ๐‘ = (((๐‘Ÿ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ )) -s (๐‘Ÿ ยทs ๐‘ ))})๐‘ฅ๐‘‚ โ‰คs ๐‘ง))
312 ovex 7445 . . . . . . . . . . . 12 (((๐‘– ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘—)) -s (๐‘– ยทs ๐‘—)) โˆˆ V
313 breq1 5151 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ฅ๐‘‚ = (((๐‘– ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘—)) -s (๐‘– ยทs ๐‘—)) โ†’ (๐‘ฅ๐‘‚ โ‰คs ๐‘ง โ†” (((๐‘– ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘—)) -s (๐‘– ยทs ๐‘—)) โ‰คs ๐‘ง))
314313rexbidv 3177 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ฅ๐‘‚ = (((๐‘– ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘—)) -s (๐‘– ยทs ๐‘—)) โ†’ (โˆƒ๐‘ง โˆˆ ({๐‘Ž โˆฃ โˆƒ๐‘ โˆˆ ๐ฟ โˆƒ๐‘ž โˆˆ ๐‘€ ๐‘Ž = (((๐‘ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ž)) -s (๐‘ ยทs ๐‘ž))} โˆช {๐‘ โˆฃ โˆƒ๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘… โˆƒ๐‘  โˆˆ ๐‘† ๐‘ = (((๐‘Ÿ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ )) -s (๐‘Ÿ ยทs ๐‘ ))})๐‘ฅ๐‘‚ โ‰คs ๐‘ง โ†” โˆƒ๐‘ง โˆˆ ({๐‘Ž โˆฃ โˆƒ๐‘ โˆˆ ๐ฟ โˆƒ๐‘ž โˆˆ ๐‘€ ๐‘Ž = (((๐‘ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ž)) -s (๐‘ ยทs ๐‘ž))} โˆช {๐‘ โˆฃ โˆƒ๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘… โˆƒ๐‘  โˆˆ ๐‘† ๐‘ = (((๐‘Ÿ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ )) -s (๐‘Ÿ ยทs ๐‘ ))})(((๐‘– ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘—)) -s (๐‘– ยทs ๐‘—)) โ‰คs ๐‘ง))
315312, 314ceqsalv 3511 . . . . . . . . . . 11 (โˆ€๐‘ฅ๐‘‚(๐‘ฅ๐‘‚ = (((๐‘– ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘—)) -s (๐‘– ยทs ๐‘—)) โ†’ โˆƒ๐‘ง โˆˆ ({๐‘Ž โˆฃ โˆƒ๐‘ โˆˆ ๐ฟ โˆƒ๐‘ž โˆˆ ๐‘€ ๐‘Ž = (((๐‘ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ž)) -s (๐‘ ยทs ๐‘ž))} โˆช {๐‘ โˆฃ โˆƒ๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘… โˆƒ๐‘  โˆˆ ๐‘† ๐‘ = (((๐‘Ÿ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ )) -s (๐‘Ÿ ยทs ๐‘ ))})๐‘ฅ๐‘‚ โ‰คs ๐‘ง) โ†” โˆƒ๐‘ง โˆˆ ({๐‘Ž โˆฃ โˆƒ๐‘ โˆˆ ๐ฟ โˆƒ๐‘ž โˆˆ ๐‘€ ๐‘Ž = (((๐‘ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ž)) -s (๐‘ ยทs ๐‘ž))} โˆช {๐‘ โˆฃ โˆƒ๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘… โˆƒ๐‘  โˆˆ ๐‘† ๐‘ = (((๐‘Ÿ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ )) -s (๐‘Ÿ ยทs ๐‘ ))})(((๐‘– ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘—)) -s (๐‘– ยทs ๐‘—)) โ‰คs ๐‘ง)
316315ralbii 3092 . . . . . . . . . 10 (โˆ€๐‘— โˆˆ ( R โ€˜๐ต)โˆ€๐‘ฅ๐‘‚(๐‘ฅ๐‘‚ = (((๐‘– ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘—)) -s (๐‘– ยทs ๐‘—)) โ†’ โˆƒ๐‘ง โˆˆ ({๐‘Ž โˆฃ โˆƒ๐‘ โˆˆ ๐ฟ โˆƒ๐‘ž โˆˆ ๐‘€ ๐‘Ž = (((๐‘ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ž)) -s (๐‘ ยทs ๐‘ž))} โˆช {๐‘ โˆฃ โˆƒ๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘… โˆƒ๐‘  โˆˆ ๐‘† ๐‘ = (((๐‘Ÿ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ )) -s (๐‘Ÿ ยทs ๐‘ ))})๐‘ฅ๐‘‚ โ‰คs ๐‘ง) โ†” โˆ€๐‘— โˆˆ ( R โ€˜๐ต)โˆƒ๐‘ง โˆˆ ({๐‘Ž โˆฃ โˆƒ๐‘ โˆˆ ๐ฟ โˆƒ๐‘ž โˆˆ ๐‘€ ๐‘Ž = (((๐‘ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ž)) -s (๐‘ ยทs ๐‘ž))} โˆช {๐‘ โˆฃ โˆƒ๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘… โˆƒ๐‘  โˆˆ ๐‘† ๐‘ = (((๐‘Ÿ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ )) -s (๐‘Ÿ ยทs ๐‘ ))})(((๐‘– ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘—)) -s (๐‘– ยทs ๐‘—)) โ‰คs ๐‘ง)
317311, 316bitr3i 277 . . . . . . . . 9 (โˆ€๐‘ฅ๐‘‚โˆ€๐‘— โˆˆ ( R โ€˜๐ต)(๐‘ฅ๐‘‚ = (((๐‘– ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘—)) -s (๐‘– ยทs ๐‘—)) โ†’ โˆƒ๐‘ง โˆˆ ({๐‘Ž โˆฃ โˆƒ๐‘ โˆˆ ๐ฟ โˆƒ๐‘ž โˆˆ ๐‘€ ๐‘Ž = (((๐‘ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ž)) -s (๐‘ ยทs ๐‘ž))} โˆช {๐‘ โˆฃ โˆƒ๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘… โˆƒ๐‘  โˆˆ ๐‘† ๐‘ = (((๐‘Ÿ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ )) -s (๐‘Ÿ ยทs ๐‘ ))})๐‘ฅ๐‘‚ โ‰คs ๐‘ง) โ†” โˆ€๐‘— โˆˆ ( R โ€˜๐ต)โˆƒ๐‘ง โˆˆ ({๐‘Ž โˆฃ โˆƒ๐‘ โˆˆ ๐ฟ โˆƒ๐‘ž โˆˆ ๐‘€ ๐‘Ž = (((๐‘ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ž)) -s (๐‘ ยทs ๐‘ž))} โˆช {๐‘ โˆฃ โˆƒ๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘… โˆƒ๐‘  โˆˆ ๐‘† ๐‘ = (((๐‘Ÿ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ )) -s (๐‘Ÿ ยทs ๐‘ ))})(((๐‘– ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘—)) -s (๐‘– ยทs ๐‘—)) โ‰คs ๐‘ง)
318317ralbii 3092 . . . . . . . 8 (โˆ€๐‘– โˆˆ ( R โ€˜๐ด)โˆ€๐‘ฅ๐‘‚โˆ€๐‘— โˆˆ ( R โ€˜๐ต)(๐‘ฅ๐‘‚ = (((๐‘– ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘—)) -s (๐‘– ยทs ๐‘—)) โ†’ โˆƒ๐‘ง โˆˆ ({๐‘Ž โˆฃ โˆƒ๐‘ โˆˆ ๐ฟ โˆƒ๐‘ž โˆˆ ๐‘€ ๐‘Ž = (((๐‘ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ž)) -s (๐‘ ยทs ๐‘ž))} โˆช {๐‘ โˆฃ โˆƒ๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘… โˆƒ๐‘  โˆˆ ๐‘† ๐‘ = (((๐‘Ÿ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ )) -s (๐‘Ÿ ยทs ๐‘ ))})๐‘ฅ๐‘‚ โ‰คs ๐‘ง) โ†” โˆ€๐‘– โˆˆ ( R โ€˜๐ด)โˆ€๐‘— โˆˆ ( R โ€˜๐ต)โˆƒ๐‘ง โˆˆ ({๐‘Ž โˆฃ โˆƒ๐‘ โˆˆ ๐ฟ โˆƒ๐‘ž โˆˆ ๐‘€ ๐‘Ž = (((๐‘ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ž)) -s (๐‘ ยทs ๐‘ž))} โˆช {๐‘ โˆฃ โˆƒ๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘… โˆƒ๐‘  โˆˆ ๐‘† ๐‘ = (((๐‘Ÿ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ )) -s (๐‘Ÿ ยทs ๐‘ ))})(((๐‘– ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘—)) -s (๐‘– ยทs ๐‘—)) โ‰คs ๐‘ง)
319310, 318bitr3i 277 . . . . . . 7 (โˆ€๐‘ฅ๐‘‚โˆ€๐‘– โˆˆ ( R โ€˜๐ด)โˆ€๐‘— โˆˆ ( R โ€˜๐ต)(๐‘ฅ๐‘‚ = (((๐‘– ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘—)) -s (๐‘– ยทs ๐‘—)) โ†’ โˆƒ๐‘ง โˆˆ ({๐‘Ž โˆฃ โˆƒ๐‘ โˆˆ ๐ฟ โˆƒ๐‘ž โˆˆ ๐‘€ ๐‘Ž = (((๐‘ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ž)) -s (๐‘ ยทs ๐‘ž))} โˆช {๐‘ โˆฃ โˆƒ๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘… โˆƒ๐‘  โˆˆ ๐‘† ๐‘ = (((๐‘Ÿ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ )) -s (๐‘Ÿ ยทs ๐‘ ))})๐‘ฅ๐‘‚ โ‰คs ๐‘ง) โ†” โˆ€๐‘– โˆˆ ( R โ€˜๐ด)โˆ€๐‘— โˆˆ ( R โ€˜๐ต)โˆƒ๐‘ง โˆˆ ({๐‘Ž โˆฃ โˆƒ๐‘ โˆˆ ๐ฟ โˆƒ๐‘ž โˆˆ ๐‘€ ๐‘Ž = (((๐‘ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ž)) -s (๐‘ ยทs ๐‘ž))} โˆช {๐‘ โˆฃ โˆƒ๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘… โˆƒ๐‘  โˆˆ ๐‘† ๐‘ = (((๐‘Ÿ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ )) -s (๐‘Ÿ ยทs ๐‘ ))})(((๐‘– ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘—)) -s (๐‘– ยทs ๐‘—)) โ‰คs ๐‘ง)
320304, 309, 3193bitr2i 299 . . . . . 6 (โˆ€๐‘ฅ๐‘‚ โˆˆ {โ„Ž โˆฃ โˆƒ๐‘– โˆˆ ( R โ€˜๐ด)โˆƒ๐‘— โˆˆ ( R โ€˜๐ต)โ„Ž = (((๐‘– ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘—)) -s (๐‘– ยทs ๐‘—))}โˆƒ๐‘ง โˆˆ ({๐‘Ž โˆฃ โˆƒ๐‘ โˆˆ ๐ฟ โˆƒ๐‘ž โˆˆ ๐‘€ ๐‘Ž = (((๐‘ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ž)) -s (๐‘ ยทs ๐‘ž))} โˆช {๐‘ โˆฃ โˆƒ๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘… โˆƒ๐‘  โˆˆ ๐‘† ๐‘ = (((๐‘Ÿ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ )) -s (๐‘Ÿ ยทs ๐‘ ))})๐‘ฅ๐‘‚ โ‰คs ๐‘ง โ†” โˆ€๐‘– โˆˆ ( R โ€˜๐ด)โˆ€๐‘— โˆˆ ( R โ€˜๐ต)โˆƒ๐‘ง โˆˆ ({๐‘Ž โˆฃ โˆƒ๐‘ โˆˆ ๐ฟ โˆƒ๐‘ž โˆˆ ๐‘€ ๐‘Ž = (((๐‘ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ž)) -s (๐‘ ยทs ๐‘ž))} โˆช {๐‘ โˆฃ โˆƒ๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘… โˆƒ๐‘  โˆˆ ๐‘† ๐‘ = (((๐‘Ÿ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ )) -s (๐‘Ÿ ยทs ๐‘ ))})(((๐‘– ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘—)) -s (๐‘– ยทs ๐‘—)) โ‰คs ๐‘ง)
321301, 320anbi12i 626 . . . . 5 ((โˆ€๐‘ฅ๐‘‚ โˆˆ {๐‘’ โˆฃ โˆƒ๐‘“ โˆˆ ( L โ€˜๐ด)โˆƒ๐‘” โˆˆ ( L โ€˜๐ต)๐‘’ = (((๐‘“ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘”)) -s (๐‘“ ยทs ๐‘”))}โˆƒ๐‘ง โˆˆ ({๐‘Ž โˆฃ โˆƒ๐‘ โˆˆ ๐ฟ โˆƒ๐‘ž โˆˆ ๐‘€ ๐‘Ž = (((๐‘ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ž)) -s (๐‘ ยทs ๐‘ž))} โˆช {๐‘ โˆฃ โˆƒ๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘… โˆƒ๐‘  โˆˆ ๐‘† ๐‘ = (((๐‘Ÿ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ )) -s (๐‘Ÿ ยทs ๐‘ ))})๐‘ฅ๐‘‚ โ‰คs ๐‘ง โˆง โˆ€๐‘ฅ๐‘‚ โˆˆ {โ„Ž โˆฃ โˆƒ๐‘– โˆˆ ( R โ€˜๐ด)โˆƒ๐‘— โˆˆ ( R โ€˜๐ต)โ„Ž = (((๐‘– ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘—)) -s (๐‘– ยทs ๐‘—))}โˆƒ๐‘ง โˆˆ ({๐‘Ž โˆฃ โˆƒ๐‘ โˆˆ ๐ฟ โˆƒ๐‘ž โˆˆ ๐‘€ ๐‘Ž = (((๐‘ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ž)) -s (๐‘ ยทs ๐‘ž))} โˆช {๐‘ โˆฃ โˆƒ๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘… โˆƒ๐‘  โˆˆ ๐‘† ๐‘ = (((๐‘Ÿ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ )) -s (๐‘Ÿ ยทs ๐‘ ))})๐‘ฅ๐‘‚ โ‰คs ๐‘ง) โ†” (โˆ€๐‘“ โˆˆ ( L โ€˜๐ด)โˆ€๐‘” โˆˆ ( L โ€˜๐ต)โˆƒ๐‘ง โˆˆ ({๐‘Ž โˆฃ โˆƒ๐‘ โˆˆ ๐ฟ โˆƒ๐‘ž โˆˆ ๐‘€ ๐‘Ž = (((๐‘ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ž)) -s (๐‘ ยทs ๐‘ž))} โˆช {๐‘ โˆฃ โˆƒ๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘… โˆƒ๐‘  โˆˆ ๐‘† ๐‘ = (((๐‘Ÿ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ )) -s (๐‘Ÿ ยทs ๐‘ ))})(((๐‘“ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘”)) -s (๐‘“ ยทs ๐‘”)) โ‰คs ๐‘ง โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ ( R โ€˜๐ด)โˆ€๐‘— โˆˆ ( R โ€˜๐ต)โˆƒ๐‘ง โˆˆ ({๐‘Ž โˆฃ โˆƒ๐‘ โˆˆ ๐ฟ โˆƒ๐‘ž โˆˆ ๐‘€ ๐‘Ž = (((๐‘ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ž)) -s (๐‘ ยทs ๐‘ž))} โˆช {๐‘ โˆฃ โˆƒ๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘… โˆƒ๐‘  โˆˆ ๐‘† ๐‘ = (((๐‘Ÿ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ )) -s (๐‘Ÿ ยทs ๐‘ ))})(((๐‘– ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘—)) -s (๐‘– ยทs ๐‘—)) โ‰คs ๐‘ง))
322282, 321bitri 275 . . . 4 (โˆ€๐‘ฅ๐‘‚ โˆˆ ({๐‘’ โˆฃ โˆƒ๐‘“ โˆˆ ( L โ€˜๐ด)โˆƒ๐‘” โˆˆ ( L โ€˜๐ต)๐‘’ = (((๐‘“ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘”)) -s (๐‘“ ยทs ๐‘”))} โˆช {โ„Ž โˆฃ โˆƒ๐‘– โˆˆ ( R โ€˜๐ด)โˆƒ๐‘— โˆˆ ( R โ€˜๐ต)โ„Ž = (((๐‘– ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘—)) -s (๐‘– ยทs ๐‘—))})โˆƒ๐‘ง โˆˆ ({๐‘Ž โˆฃ โˆƒ๐‘ โˆˆ ๐ฟ โˆƒ๐‘ž โˆˆ ๐‘€ ๐‘Ž = (((๐‘ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ž)) -s (๐‘ ยทs ๐‘ž))} โˆช {๐‘ โˆฃ โˆƒ๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘… โˆƒ๐‘  โˆˆ ๐‘† ๐‘ = (((๐‘Ÿ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ )) -s (๐‘Ÿ ยทs ๐‘ ))})๐‘ฅ๐‘‚ โ‰คs ๐‘ง โ†” (โˆ€๐‘“ โˆˆ ( L โ€˜๐ด)โˆ€๐‘” โˆˆ ( L โ€˜๐ต)โˆƒ๐‘ง โˆˆ ({๐‘Ž โˆฃ โˆƒ๐‘ โˆˆ ๐ฟ โˆƒ๐‘ž โˆˆ ๐‘€ ๐‘Ž = (((๐‘ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ž)) -s (๐‘ ยทs ๐‘ž))} โˆช {๐‘ โˆฃ โˆƒ๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘… โˆƒ๐‘  โˆˆ ๐‘† ๐‘ = (((๐‘Ÿ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ )) -s (๐‘Ÿ ยทs ๐‘ ))})(((๐‘“ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘”)) -s (๐‘“ ยทs ๐‘”)) โ‰คs ๐‘ง โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ ( R โ€˜๐ด)โˆ€๐‘— โˆˆ ( R โ€˜๐ต)โˆƒ๐‘ง โˆˆ ({๐‘Ž โˆฃ โˆƒ๐‘ โˆˆ ๐ฟ โˆƒ๐‘ž โˆˆ ๐‘€ ๐‘Ž = (((๐‘ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ž)) -s (๐‘ ยทs ๐‘ž))} โˆช {๐‘ โˆฃ โˆƒ๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘… โˆƒ๐‘  โˆˆ ๐‘† ๐‘ = (((๐‘Ÿ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ )) -s (๐‘Ÿ ยทs ๐‘ ))})(((๐‘– ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘—)) -s (๐‘– ยทs ๐‘—)) โ‰คs ๐‘ง))
323148, 281, 322sylanbrc 582 . . 3 (๐œ‘ โ†’ โˆ€๐‘ฅ๐‘‚ โˆˆ ({๐‘’ โˆฃ โˆƒ๐‘“ โˆˆ ( L โ€˜๐ด)โˆƒ๐‘” โˆˆ ( L โ€˜๐ต)๐‘’ = (((๐‘“ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘”)) -s (๐‘“ ยทs ๐‘”))} โˆช {โ„Ž โˆฃ โˆƒ๐‘– โˆˆ ( R โ€˜๐ด)โˆƒ๐‘— โˆˆ ( R โ€˜๐ต)โ„Ž = (((๐‘– ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘—)) -s (๐‘– ยทs ๐‘—))})โˆƒ๐‘ง โˆˆ ({๐‘Ž โˆฃ โˆƒ๐‘ โˆˆ ๐ฟ โˆƒ๐‘ž โˆˆ ๐‘€ ๐‘Ž = (((๐‘ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ž)) -s (๐‘ ยทs ๐‘ž))} โˆช {๐‘ โˆฃ โˆƒ๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘… โˆƒ๐‘  โˆˆ ๐‘† ๐‘ = (((๐‘Ÿ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ )) -s (๐‘Ÿ ยทs ๐‘ ))})๐‘ฅ๐‘‚ โ‰คs ๐‘ง)
3242, 1cofcutr1d 27651 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ โˆ€๐‘™ โˆˆ ( L โ€˜๐ด)โˆƒ๐‘ก โˆˆ ๐ฟ ๐‘™ โ‰คs ๐‘ก)
3256, 5cofcutr2d 27652 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ โˆ€๐‘š โˆˆ ( R โ€˜๐ต)โˆƒ๐‘ข โˆˆ ๐‘† ๐‘ข โ‰คs ๐‘š)
326325adantr 480 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง (๐‘™ โˆˆ ( L โ€˜๐ด) โˆง โˆƒ๐‘ก โˆˆ ๐ฟ ๐‘™ โ‰คs ๐‘ก)) โ†’ โˆ€๐‘š โˆˆ ( R โ€˜๐ต)โˆƒ๐‘ข โˆˆ ๐‘† ๐‘ข โ‰คs ๐‘š)
327 reeanv 3225 . . . . . . . . . . . . . . 15 (โˆƒ๐‘ก โˆˆ ๐ฟ โˆƒ๐‘ข โˆˆ ๐‘† (๐‘™ โ‰คs ๐‘ก โˆง ๐‘ข โ‰คs ๐‘š) โ†” (โˆƒ๐‘ก โˆˆ ๐ฟ ๐‘™ โ‰คs ๐‘ก โˆง โˆƒ๐‘ข โˆˆ ๐‘† ๐‘ข โ‰คs ๐‘š))
32833adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ก โˆˆ ๐ฟ โˆง ๐‘ข โˆˆ ๐‘†)) โ†’ ๐ฟ โІ No )
329 simprl 768 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ก โˆˆ ๐ฟ โˆง ๐‘ข โˆˆ ๐‘†)) โ†’ ๐‘ก โˆˆ ๐ฟ)
330328, 329sseldd 3983 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ก โˆˆ ๐ฟ โˆง ๐‘ข โˆˆ ๐‘†)) โ†’ ๐‘ก โˆˆ No )
331330adantrl 713 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘™ โˆˆ ( L โ€˜๐ด) โˆง ๐‘š โˆˆ ( R โ€˜๐ต)) โˆง (๐‘ก โˆˆ ๐ฟ โˆง ๐‘ข โˆˆ ๐‘†))) โ†’ ๐‘ก โˆˆ No )
3328adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘™ โˆˆ ( L โ€˜๐ด) โˆง ๐‘š โˆˆ ( R โ€˜๐ต)) โˆง (๐‘ก โˆˆ ๐ฟ โˆง ๐‘ข โˆˆ ๐‘†))) โ†’ ๐ต โˆˆ No )
333331, 332mulscld 27831 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘™ โˆˆ ( L โ€˜๐ด) โˆง ๐‘š โˆˆ ( R โ€˜๐ต)) โˆง (๐‘ก โˆˆ ๐ฟ โˆง ๐‘ข โˆˆ ๐‘†))) โ†’ (๐‘ก ยทs ๐ต) โˆˆ No )
3344adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘™ โˆˆ ( L โ€˜๐ด) โˆง ๐‘š โˆˆ ( R โ€˜๐ต)) โˆง (๐‘ก โˆˆ ๐ฟ โˆง ๐‘ข โˆˆ ๐‘†))) โ†’ ๐ด โˆˆ No )
335181adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ก โˆˆ ๐ฟ โˆง ๐‘ข โˆˆ ๐‘†)) โ†’ ๐‘† โІ No )
336 simprr 770 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ก โˆˆ ๐ฟ โˆง ๐‘ข โˆˆ ๐‘†)) โ†’ ๐‘ข โˆˆ ๐‘†)
337335, 336sseldd 3983 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ก โˆˆ ๐ฟ โˆง ๐‘ข โˆˆ ๐‘†)) โ†’ ๐‘ข โˆˆ No )
338337adantrl 713 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘™ โˆˆ ( L โ€˜๐ด) โˆง ๐‘š โˆˆ ( R โ€˜๐ต)) โˆง (๐‘ก โˆˆ ๐ฟ โˆง ๐‘ข โˆˆ ๐‘†))) โ†’ ๐‘ข โˆˆ No )
339334, 338mulscld 27831 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘™ โˆˆ ( L โ€˜๐ด) โˆง ๐‘š โˆˆ ( R โ€˜๐ต)) โˆง (๐‘ก โˆˆ ๐ฟ โˆง ๐‘ข โˆˆ ๐‘†))) โ†’ (๐ด ยทs ๐‘ข) โˆˆ No )
340333, 339addscld 27703 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘™ โˆˆ ( L โ€˜๐ด) โˆง ๐‘š โˆˆ ( R โ€˜๐ต)) โˆง (๐‘ก โˆˆ ๐ฟ โˆง ๐‘ข โˆˆ ๐‘†))) โ†’ ((๐‘ก ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ข)) โˆˆ No )
341331, 338mulscld 27831 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘™ โˆˆ ( L โ€˜๐ด) โˆง ๐‘š โˆˆ ( R โ€˜๐ต)) โˆง (๐‘ก โˆˆ ๐ฟ โˆง ๐‘ข โˆˆ ๐‘†))) โ†’ (๐‘ก ยทs ๐‘ข) โˆˆ No )
342340, 341subscld 27775 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘™ โˆˆ ( L โ€˜๐ด) โˆง ๐‘š โˆˆ ( R โ€˜๐ต)) โˆง (๐‘ก โˆˆ ๐ฟ โˆง ๐‘ข โˆˆ ๐‘†))) โ†’ (((๐‘ก ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ข)) -s (๐‘ก ยทs ๐‘ข)) โˆˆ No )
343342adantrrr 722 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘™ โˆˆ ( L โ€˜๐ด) โˆง ๐‘š โˆˆ ( R โ€˜๐ต)) โˆง ((๐‘ก โˆˆ ๐ฟ โˆง ๐‘ข โˆˆ ๐‘†) โˆง (๐‘™ โ‰คs ๐‘ก โˆง ๐‘ข โ‰คs ๐‘š)))) โ†’ (((๐‘ก ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ข)) -s (๐‘ก ยทs ๐‘ข)) โˆˆ No )
344 simprl 768 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((๐œ‘ โˆง (๐‘™ โˆˆ ( L โ€˜๐ด) โˆง ๐‘š โˆˆ ( R โ€˜๐ต))) โ†’ ๐‘™ โˆˆ ( L โ€˜๐ด))
34516, 344sselid 3980 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((๐œ‘ โˆง (๐‘™ โˆˆ ( L โ€˜๐ด) โˆง ๐‘š โˆˆ ( R โ€˜๐ต))) โ†’ ๐‘™ โˆˆ No )
3468adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((๐œ‘ โˆง (๐‘™ โˆˆ ( L โ€˜๐ด) โˆง ๐‘š โˆˆ ( R โ€˜๐ต))) โ†’ ๐ต โˆˆ No )
347345, 346mulscld 27831 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((๐œ‘ โˆง (๐‘™ โˆˆ ( L โ€˜๐ด) โˆง ๐‘š โˆˆ ( R โ€˜๐ต))) โ†’ (๐‘™ ยทs ๐ต) โˆˆ No )
348347adantrr 714 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘™ โˆˆ ( L โ€˜๐ด) โˆง ๐‘š โˆˆ ( R โ€˜๐ต)) โˆง (๐‘ก โˆˆ ๐ฟ โˆง ๐‘ข โˆˆ ๐‘†))) โ†’ (๐‘™ ยทs ๐ต) โˆˆ No )
349348, 339addscld 27703 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘™ โˆˆ ( L โ€˜๐ด) โˆง ๐‘š โˆˆ ( R โ€˜๐ต)) โˆง (๐‘ก โˆˆ ๐ฟ โˆง ๐‘ข โˆˆ ๐‘†))) โ†’ ((๐‘™ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ข)) โˆˆ No )
350345adantrr 714 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘™ โˆˆ ( L โ€˜๐ด) โˆง ๐‘š โˆˆ ( R โ€˜๐ต)) โˆง (๐‘ก โˆˆ ๐ฟ โˆง ๐‘ข โˆˆ ๐‘†))) โ†’ ๐‘™ โˆˆ No )
351350, 338mulscld 27831 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘™ โˆˆ ( L โ€˜๐ด) โˆง ๐‘š โˆˆ ( R โ€˜๐ต)) โˆง (๐‘ก โˆˆ ๐ฟ โˆง ๐‘ข โˆˆ ๐‘†))) โ†’ (๐‘™ ยทs ๐‘ข) โˆˆ No )
352349, 351subscld 27775 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘™ โˆˆ ( L โ€˜๐ด) โˆง ๐‘š โˆˆ ( R โ€˜๐ต)) โˆง (๐‘ก โˆˆ ๐ฟ โˆง ๐‘ข โˆˆ ๐‘†))) โ†’ (((๐‘™ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ข)) -s (๐‘™ ยทs ๐‘ข)) โˆˆ No )
353352adantrrr 722 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘™ โˆˆ ( L โ€˜๐ด) โˆง ๐‘š โˆˆ ( R โ€˜๐ต)) โˆง ((๐‘ก โˆˆ ๐ฟ โˆง ๐‘ข โˆˆ ๐‘†) โˆง (๐‘™ โ‰คs ๐‘ก โˆง ๐‘ข โ‰คs ๐‘š)))) โ†’ (((๐‘™ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ข)) -s (๐‘™ ยทs ๐‘ข)) โˆˆ No )
3544adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((๐œ‘ โˆง (๐‘™ โˆˆ ( L โ€˜๐ด) โˆง ๐‘š โˆˆ ( R โ€˜๐ต))) โ†’ ๐ด โˆˆ No )
355 simprr 770 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((๐œ‘ โˆง (๐‘™ โˆˆ ( L โ€˜๐ด) โˆง ๐‘š โˆˆ ( R โ€˜๐ต))) โ†’ ๐‘š โˆˆ ( R โ€˜๐ต))
356160, 355sselid 3980 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((๐œ‘ โˆง (๐‘™ โˆˆ ( L โ€˜๐ด) โˆง ๐‘š โˆˆ ( R โ€˜๐ต))) โ†’ ๐‘š โˆˆ No )
357354, 356mulscld 27831 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((๐œ‘ โˆง (๐‘™ โˆˆ ( L โ€˜๐ด) โˆง ๐‘š โˆˆ ( R โ€˜๐ต))) โ†’ (๐ด ยทs ๐‘š) โˆˆ No )
358357adantrr 714 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘™ โˆˆ ( L โ€˜๐ด) โˆง ๐‘š โˆˆ ( R โ€˜๐ต)) โˆง (๐‘ก โˆˆ ๐ฟ โˆง ๐‘ข โˆˆ ๐‘†))) โ†’ (๐ด ยทs ๐‘š) โˆˆ No )
359348, 358addscld 27703 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘™ โˆˆ ( L โ€˜๐ด) โˆง ๐‘š โˆˆ ( R โ€˜๐ต)) โˆง (๐‘ก โˆˆ ๐ฟ โˆง ๐‘ข โˆˆ ๐‘†))) โ†’ ((๐‘™ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘š)) โˆˆ No )
360345, 356mulscld 27831 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((๐œ‘ โˆง (๐‘™ โˆˆ ( L โ€˜๐ด) โˆง ๐‘š โˆˆ ( R โ€˜๐ต))) โ†’ (๐‘™ ยทs ๐‘š) โˆˆ No )
361360adantrr 714 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘™ โˆˆ ( L โ€˜๐ด) โˆง ๐‘š โˆˆ ( R โ€˜๐ต)) โˆง (๐‘ก โˆˆ ๐ฟ โˆง ๐‘ข โˆˆ ๐‘†))) โ†’ (๐‘™ ยทs ๐‘š) โˆˆ No )
362359, 361subscld 27775 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘™ โˆˆ ( L โ€˜๐ด) โˆง ๐‘š โˆˆ ( R โ€˜๐ต)) โˆง (๐‘ก โˆˆ ๐ฟ โˆง ๐‘ข โˆˆ ๐‘†))) โ†’ (((๐‘™ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘š)) -s (๐‘™ ยทs ๐‘š)) โˆˆ No )
363362adantrrr 722 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘™ โˆˆ ( L โ€˜๐ด) โˆง ๐‘š โˆˆ ( R โ€˜๐ต)) โˆง ((๐‘ก โˆˆ ๐ฟ โˆง ๐‘ข โˆˆ ๐‘†) โˆง (๐‘™ โ‰คs ๐‘ก โˆง ๐‘ข โ‰คs ๐‘š)))) โ†’ (((๐‘™ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘š)) -s (๐‘™ ยทs ๐‘š)) โˆˆ No )
364345adantrr 714 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘™ โˆˆ ( L โ€˜๐ด) โˆง ๐‘š โˆˆ ( R โ€˜๐ต)) โˆง ((๐‘ก โˆˆ ๐ฟ โˆง ๐‘ข โˆˆ ๐‘†) โˆง (๐‘™ โ‰คs ๐‘ก โˆง ๐‘ข โ‰คs ๐‘š)))) โ†’ ๐‘™ โˆˆ No )
365331adantrrr 722 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘™ โˆˆ ( L โ€˜๐ด) โˆง ๐‘š โˆˆ ( R โ€˜๐ต)) โˆง ((๐‘ก โˆˆ ๐ฟ โˆง ๐‘ข โˆˆ ๐‘†) โˆง (๐‘™ โ‰คs ๐‘ก โˆง ๐‘ข โ‰คs ๐‘š)))) โ†’ ๐‘ก โˆˆ No )
3668adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘™ โˆˆ ( L โ€˜๐ด) โˆง ๐‘š โˆˆ ( R โ€˜๐ต)) โˆง ((๐‘ก โˆˆ ๐ฟ โˆง ๐‘ข โˆˆ ๐‘†) โˆง (๐‘™ โ‰คs ๐‘ก โˆง ๐‘ข โ‰คs ๐‘š)))) โ†’ ๐ต โˆˆ No )
367338adantrrr 722 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘™ โˆˆ ( L โ€˜๐ด) โˆง ๐‘š โˆˆ ( R โ€˜๐ต)) โˆง ((๐‘ก โˆˆ ๐ฟ โˆง ๐‘ข โˆˆ ๐‘†) โˆง (๐‘™ โ‰คs ๐‘ก โˆง ๐‘ข โ‰คs ๐‘š)))) โ†’ ๐‘ข โˆˆ No )
368 simprrl 778 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((๐‘™ โˆˆ ( L โ€˜๐ด) โˆง ๐‘š โˆˆ ( R โ€˜๐ต)) โˆง ((๐‘ก โˆˆ ๐ฟ โˆง ๐‘ข โˆˆ ๐‘†) โˆง (๐‘™ โ‰คs ๐‘ก โˆง ๐‘ข โ‰คs ๐‘š))) โ†’ ๐‘™ โ‰คs ๐‘ก)
369368adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘™ โˆˆ ( L โ€˜๐ด) โˆง ๐‘š โˆˆ ( R โ€˜๐ต)) โˆง ((๐‘ก โˆˆ ๐ฟ โˆง ๐‘ข โˆˆ ๐‘†) โˆง (๐‘™ โ‰คs ๐‘ก โˆง ๐‘ข โ‰คs ๐‘š)))) โ†’ ๐‘™ โ‰คs ๐‘ก)
3708adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ก โˆˆ ๐ฟ โˆง ๐‘ข โˆˆ ๐‘†)) โ†’ ๐ต โˆˆ No )
371 scutcut 27540 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (๐‘€ <<s ๐‘† โ†’ ((๐‘€ |s ๐‘†) โˆˆ No โˆง ๐‘€ <<s {(๐‘€ |s ๐‘†)} โˆง {(๐‘€ |s ๐‘†)} <<s ๐‘†))
3726, 371syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘€ |s ๐‘†) โˆˆ No โˆง ๐‘€ <<s {(๐‘€ |s ๐‘†)} โˆง {(๐‘€ |s ๐‘†)} <<s ๐‘†))
373372simp3d 1143 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (๐œ‘ โ†’ {(๐‘€ |s ๐‘†)} <<s ๐‘†)
374373adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ก โˆˆ ๐ฟ โˆง ๐‘ข โˆˆ ๐‘†)) โ†’ {(๐‘€ |s ๐‘†)} <<s ๐‘†)
375 ovex 7445 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (๐‘€ |s ๐‘†) โˆˆ V
376375snid 4664 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (๐‘€ |s ๐‘†) โˆˆ {(๐‘€ |s ๐‘†)}
3775, 376eqeltrdi 2840 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ {(๐‘€ |s ๐‘†)})
378377adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ก โˆˆ ๐ฟ โˆง ๐‘ข โˆˆ ๐‘†)) โ†’ ๐ต โˆˆ {(๐‘€ |s ๐‘†)})
379374, 378, 336ssltsepcd 27533 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ก โˆˆ ๐ฟ โˆง ๐‘ข โˆˆ ๐‘†)) โ†’ ๐ต <s ๐‘ข)
380370, 337, 379sltled 27509 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ก โˆˆ ๐ฟ โˆง ๐‘ข โˆˆ ๐‘†)) โ†’ ๐ต โ‰คs ๐‘ข)
381380adantrl 713 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘™ โˆˆ ( L โ€˜๐ด) โˆง ๐‘š โˆˆ ( R โ€˜๐ต)) โˆง (๐‘ก โˆˆ ๐ฟ โˆง ๐‘ข โˆˆ ๐‘†))) โ†’ ๐ต โ‰คs ๐‘ข)
382381adantrrr 722 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘™ โˆˆ ( L โ€˜๐ด) โˆง ๐‘š โˆˆ ( R โ€˜๐ต)) โˆง ((๐‘ก โˆˆ ๐ฟ โˆง ๐‘ข โˆˆ ๐‘†) โˆง (๐‘™ โ‰คs ๐‘ก โˆง ๐‘ข โ‰คs ๐‘š)))) โ†’ ๐ต โ‰คs ๐‘ข)
383364, 365, 366, 367, 369, 382slemuld 27834 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘™ โˆˆ ( L โ€˜๐ด) โˆง ๐‘š โˆˆ ( R โ€˜๐ต)) โˆง ((๐‘ก โˆˆ ๐ฟ โˆง ๐‘ข โˆˆ ๐‘†) โˆง (๐‘™ โ‰คs ๐‘ก โˆง ๐‘ข โ‰คs ๐‘š)))) โ†’ ((๐‘™ ยทs ๐‘ข) -s (๐‘™ ยทs ๐ต)) โ‰คs ((๐‘ก ยทs ๐‘ข) -s (๐‘ก ยทs ๐ต)))
384351, 348, 341, 333slesubsub2bd 27794 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘™ โˆˆ ( L โ€˜๐ด) โˆง ๐‘š โˆˆ ( R โ€˜๐ต)) โˆง (๐‘ก โˆˆ ๐ฟ โˆง ๐‘ข โˆˆ ๐‘†))) โ†’ (((๐‘™ ยทs ๐‘ข) -s (๐‘™ ยทs ๐ต)) โ‰คs ((๐‘ก ยทs ๐‘ข) -s (๐‘ก ยทs ๐ต)) โ†” ((๐‘ก ยทs ๐ต) -s (๐‘ก ยทs ๐‘ข)) โ‰คs ((๐‘™ ยทs ๐ต) -s (๐‘™ ยทs ๐‘ข))))
385333, 341subscld 27775 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘™ โˆˆ ( L โ€˜๐ด) โˆง ๐‘š โˆˆ ( R โ€˜๐ต)) โˆง (๐‘ก โˆˆ ๐ฟ โˆง ๐‘ข โˆˆ ๐‘†))) โ†’ ((๐‘ก ยทs ๐ต) -s (๐‘ก ยทs ๐‘ข)) โˆˆ No )
386348, 351subscld 27775 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘™ โˆˆ ( L โ€˜๐ด) โˆง ๐‘š โˆˆ ( R โ€˜๐ต)) โˆง (๐‘ก โˆˆ ๐ฟ โˆง ๐‘ข โˆˆ ๐‘†))) โ†’ ((๐‘™ ยทs ๐ต) -s (๐‘™ ยทs ๐‘ข)) โˆˆ No )
387385, 386, 339sleadd1d 27718 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘™ โˆˆ ( L โ€˜๐ด) โˆง ๐‘š โˆˆ ( R โ€˜๐ต)) โˆง (๐‘ก โˆˆ ๐ฟ โˆง ๐‘ข โˆˆ ๐‘†))) โ†’ (((๐‘ก ยทs ๐ต) -s (๐‘ก ยทs ๐‘ข)) โ‰คs ((๐‘™ ยทs ๐ต) -s (๐‘™ ยทs ๐‘ข)) โ†” (((๐‘ก ยทs ๐ต) -s (๐‘ก ยทs ๐‘ข)) +s (๐ด ยทs ๐‘ข)) โ‰คs (((๐‘™ ยทs ๐ต) -s (๐‘™ ยทs ๐‘ข)) +s (๐ด ยทs ๐‘ข))))
388384, 387bitrd 279 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘™ โˆˆ ( L โ€˜๐ด) โˆง ๐‘š โˆˆ ( R โ€˜๐ต)) โˆง (๐‘ก โˆˆ ๐ฟ โˆง ๐‘ข โˆˆ ๐‘†))) โ†’ (((๐‘™ ยทs ๐‘ข) -s (๐‘™ ยทs ๐ต)) โ‰คs ((๐‘ก ยทs ๐‘ข) -s (๐‘ก ยทs ๐ต)) โ†” (((๐‘ก ยทs ๐ต) -s (๐‘ก ยทs ๐‘ข)) +s (๐ด ยทs ๐‘ข)) โ‰คs (((๐‘™ ยทs ๐ต) -s (๐‘™ ยทs ๐‘ข)) +s (๐ด ยทs ๐‘ข))))
389388adantrrr 722 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘™ โˆˆ ( L โ€˜๐ด) โˆง ๐‘š โˆˆ ( R โ€˜๐ต)) โˆง ((๐‘ก โˆˆ ๐ฟ โˆง ๐‘ข โˆˆ ๐‘†) โˆง (๐‘™ โ‰คs ๐‘ก โˆง ๐‘ข โ‰คs ๐‘š)))) โ†’ (((๐‘™ ยทs ๐‘ข) -s (๐‘™ ยทs ๐ต)) โ‰คs ((๐‘ก ยทs ๐‘ข) -s (๐‘ก ยทs ๐ต)) โ†” (((๐‘ก ยทs ๐ต) -s (๐‘ก ยทs ๐‘ข)) +s (๐ด ยทs ๐‘ข)) โ‰คs (((๐‘™ ยทs ๐ต) -s (๐‘™ ยทs ๐‘ข)) +s (๐ด ยทs ๐‘ข))))
390383, 389mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘™ โˆˆ ( L โ€˜๐ด) โˆง ๐‘š โˆˆ ( R โ€˜๐ต)) โˆง ((๐‘ก โˆˆ ๐ฟ โˆง ๐‘ข โˆˆ ๐‘†) โˆง (๐‘™ โ‰คs ๐‘ก โˆง ๐‘ข โ‰คs ๐‘š)))) โ†’ (((๐‘ก ยทs ๐ต) -s (๐‘ก ยทs ๐‘ข)) +s (๐ด ยทs ๐‘ข)) โ‰คs (((๐‘™ ยทs ๐ต) -s (๐‘™ ยทs ๐‘ข)) +s (๐ด ยทs ๐‘ข)))
391333, 339, 341addsubsd 27789 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘™ โˆˆ ( L โ€˜๐ด) โˆง ๐‘š โˆˆ ( R โ€˜๐ต)) โˆง (๐‘ก โˆˆ ๐ฟ โˆง ๐‘ข โˆˆ ๐‘†))) โ†’ (((๐‘ก ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ข)) -s (๐‘ก ยทs ๐‘ข)) = (((๐‘ก ยทs ๐ต) -s (๐‘ก ยทs ๐‘ข)) +s (๐ด ยทs ๐‘ข)))
392391adantrrr 722 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘™ โˆˆ ( L โ€˜๐ด) โˆง ๐‘š โˆˆ ( R โ€˜๐ต)) โˆง ((๐‘ก โˆˆ ๐ฟ โˆง ๐‘ข โˆˆ ๐‘†) โˆง (๐‘™ โ‰คs ๐‘ก โˆง ๐‘ข โ‰คs ๐‘š)))) โ†’ (((๐‘ก ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ข)) -s (๐‘ก ยทs ๐‘ข)) = (((๐‘ก ยทs ๐ต) -s (๐‘ก ยทs ๐‘ข)) +s (๐ด ยทs ๐‘ข)))
393348, 339, 351addsubsd 27789 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘™ โˆˆ ( L โ€˜๐ด) โˆง ๐‘š โˆˆ ( R โ€˜๐ต)) โˆง (๐‘ก โˆˆ ๐ฟ โˆง ๐‘ข โˆˆ ๐‘†))) โ†’ (((๐‘™ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ข)) -s (๐‘™ ยทs ๐‘ข)) = (((๐‘™ ยทs ๐ต) -s (๐‘™ ยทs ๐‘ข)) +s (๐ด ยทs ๐‘ข)))
394393adantrrr 722 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘™ โˆˆ ( L โ€˜๐ด) โˆง ๐‘š โˆˆ ( R โ€˜๐ต)) โˆง ((๐‘ก โˆˆ ๐ฟ โˆง ๐‘ข โˆˆ ๐‘†) โˆง (๐‘™ โ‰คs ๐‘ก โˆง ๐‘ข โ‰คs ๐‘š)))) โ†’ (((๐‘™ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ข)) -s (๐‘™ ยทs ๐‘ข)) = (((๐‘™ ยทs ๐ต) -s (๐‘™ ยทs ๐‘ข)) +s (๐ด ยทs ๐‘ข)))
395390, 392, 3943brtr4d 5180 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘™ โˆˆ ( L โ€˜๐ด) โˆง ๐‘š โˆˆ ( R โ€˜๐ต)) โˆง ((๐‘ก โˆˆ ๐ฟ โˆง ๐‘ข โˆˆ ๐‘†) โˆง (๐‘™ โ‰คs ๐‘ก โˆง ๐‘ข โ‰คs ๐‘š)))) โ†’ (((๐‘ก ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ข)) -s (๐‘ก ยทs ๐‘ข)) โ‰คs (((๐‘™ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ข)) -s (๐‘™ ยทs ๐‘ข)))
3964adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘™ โˆˆ ( L โ€˜๐ด) โˆง ๐‘š โˆˆ ( R โ€˜๐ต)) โˆง ((๐‘ก โˆˆ ๐ฟ โˆง ๐‘ข โˆˆ ๐‘†) โˆง (๐‘™ โ‰คs ๐‘ก โˆง ๐‘ข โ‰คs ๐‘š)))) โ†’ ๐ด โˆˆ No )
397356adantrr 714 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘™ โˆˆ ( L โ€˜๐ด) โˆง ๐‘š โˆˆ ( R โ€˜๐ต)) โˆง ((๐‘ก โˆˆ ๐ฟ โˆง ๐‘ข โˆˆ ๐‘†) โˆง (๐‘™ โ‰คs ๐‘ก โˆง ๐‘ข โ‰คs ๐‘š)))) โ†’ ๐‘š โˆˆ No )
398 ssltleft 27603 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (๐ด โˆˆ No โ†’ ( L โ€˜๐ด) <<s {๐ด})
3994, 398syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (๐œ‘ โ†’ ( L โ€˜๐ด) <<s {๐ด})
400399adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((๐œ‘ โˆง (๐‘™ โˆˆ ( L โ€˜๐ด) โˆง ๐‘š โˆˆ ( R โ€˜๐ต))) โ†’ ( L โ€˜๐ด) <<s {๐ด})
401 snidg 4662 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (๐ด โˆˆ No โ†’ ๐ด โˆˆ {๐ด})
4024, 401syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ {๐ด})
403402adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((๐œ‘ โˆง (๐‘™ โˆˆ ( L โ€˜๐ด) โˆง ๐‘š โˆˆ ( R โ€˜๐ต))) โ†’ ๐ด โˆˆ {๐ด})
404400, 344, 403ssltsepcd 27533 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((๐œ‘ โˆง (๐‘™ โˆˆ ( L โ€˜๐ด) โˆง ๐‘š โˆˆ ( R โ€˜๐ต))) โ†’ ๐‘™ <s ๐ด)
405345, 354, 404sltled 27509 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((๐œ‘ โˆง (๐‘™ โˆˆ ( L โ€˜๐ด) โˆง ๐‘š โˆˆ ( R โ€˜๐ต))) โ†’ ๐‘™ โ‰คs ๐ด)
406405adantrr 714 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘™ โˆˆ ( L โ€˜๐ด) โˆง ๐‘š โˆˆ ( R โ€˜๐ต)) โˆง ((๐‘ก โˆˆ ๐ฟ โˆง ๐‘ข โˆˆ ๐‘†) โˆง (๐‘™ โ‰คs ๐‘ก โˆง ๐‘ข โ‰คs ๐‘š)))) โ†’ ๐‘™ โ‰คs ๐ด)
407 simprrr 779 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((๐‘™ โˆˆ ( L โ€˜๐ด) โˆง ๐‘š โˆˆ ( R โ€˜๐ต)) โˆง ((๐‘ก โˆˆ ๐ฟ โˆง ๐‘ข โˆˆ ๐‘†) โˆง (๐‘™ โ‰คs ๐‘ก โˆง ๐‘ข โ‰คs ๐‘š))) โ†’ ๐‘ข โ‰คs ๐‘š)
408407adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘™ โˆˆ ( L โ€˜๐ด) โˆง ๐‘š โˆˆ ( R โ€˜๐ต)) โˆง ((๐‘ก โˆˆ ๐ฟ โˆง ๐‘ข โˆˆ ๐‘†) โˆง (๐‘™ โ‰คs ๐‘ก โˆง ๐‘ข โ‰คs ๐‘š)))) โ†’ ๐‘ข โ‰คs ๐‘š)
409364, 396, 367, 397, 406, 408slemuld 27834 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘™ โˆˆ ( L โ€˜๐ด) โˆง ๐‘š โˆˆ ( R โ€˜๐ต)) โˆง ((๐‘ก โˆˆ ๐ฟ โˆง ๐‘ข โˆˆ ๐‘†) โˆง (๐‘™ โ‰คs ๐‘ก โˆง ๐‘ข โ‰คs ๐‘š)))) โ†’ ((๐‘™ ยทs ๐‘š) -s (๐‘™ ยทs ๐‘ข)) โ‰คs ((๐ด ยทs ๐‘š) -s (๐ด ยทs ๐‘ข)))
410361, 358, 351, 339slesubsub3bd 27795 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘™ โˆˆ ( L โ€˜๐ด) โˆง ๐‘š โˆˆ ( R โ€˜๐ต)) โˆง (๐‘ก โˆˆ ๐ฟ โˆง ๐‘ข โˆˆ ๐‘†))) โ†’ (((๐‘™ ยทs ๐‘š) -s (๐‘™ ยทs ๐‘ข)) โ‰คs ((๐ด ยทs ๐‘š) -s (๐ด ยทs ๐‘ข)) โ†” ((๐ด ยทs ๐‘ข) -s (๐‘™ ยทs ๐‘ข)) โ‰คs ((๐ด ยทs ๐‘š) -s (๐‘™ ยทs ๐‘š))))
411339, 351subscld 27775 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘™ โˆˆ ( L โ€˜๐ด) โˆง ๐‘š โˆˆ ( R โ€˜๐ต)) โˆง (๐‘ก โˆˆ ๐ฟ โˆง ๐‘ข โˆˆ ๐‘†))) โ†’ ((๐ด ยทs ๐‘ข) -s (๐‘™ ยทs ๐‘ข)) โˆˆ No )
412358, 361subscld 27775 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘™ โˆˆ ( L โ€˜๐ด) โˆง ๐‘š โˆˆ ( R โ€˜๐ต)) โˆง (๐‘ก โˆˆ ๐ฟ โˆง ๐‘ข โˆˆ ๐‘†))) โ†’ ((๐ด ยทs ๐‘š) -s (๐‘™ ยทs ๐‘š)) โˆˆ No )
413411, 412, 348sleadd2d 27719 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘™ โˆˆ ( L โ€˜๐ด) โˆง ๐‘š โˆˆ ( R โ€˜๐ต)) โˆง (๐‘ก โˆˆ ๐ฟ โˆง ๐‘ข โˆˆ ๐‘†))) โ†’ (((๐ด ยทs ๐‘ข) -s (๐‘™ ยทs ๐‘ข)) โ‰คs ((๐ด ยทs ๐‘š) -s (๐‘™ ยทs ๐‘š)) โ†” ((๐‘™ ยทs ๐ต) +s ((๐ด ยทs ๐‘ข) -s (๐‘™ ยทs ๐‘ข))) โ‰คs ((๐‘™ ยทs ๐ต) +s ((๐ด ยทs ๐‘š) -s (๐‘™ ยทs ๐‘š)))))
414410, 413bitrd 279 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘™ โˆˆ ( L โ€˜๐ด) โˆง ๐‘š โˆˆ ( R โ€˜๐ต)) โˆง (๐‘ก โˆˆ ๐ฟ โˆง ๐‘ข โˆˆ ๐‘†))) โ†’ (((๐‘™ ยทs ๐‘š) -s (๐‘™ ยทs ๐‘ข)) โ‰คs ((๐ด ยทs ๐‘š) -s (๐ด ยทs ๐‘ข)) โ†” ((๐‘™ ยทs ๐ต) +s ((๐ด ยทs ๐‘ข) -s (๐‘™ ยทs ๐‘ข))) โ‰คs ((๐‘™ ยทs ๐ต) +s ((๐ด ยทs ๐‘š) -s (๐‘™ ยทs ๐‘š)))))
415414adantrrr 722 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘™ โˆˆ ( L โ€˜๐ด) โˆง ๐‘š โˆˆ ( R โ€˜๐ต)) โˆง ((๐‘ก โˆˆ ๐ฟ โˆง ๐‘ข โˆˆ ๐‘†) โˆง (๐‘™ โ‰คs ๐‘ก โˆง ๐‘ข โ‰คs ๐‘š)))) โ†’ (((๐‘™ ยทs ๐‘š) -s (๐‘™ ยทs ๐‘ข)) โ‰คs ((๐ด ยทs ๐‘š) -s (๐ด ยทs ๐‘ข)) โ†” ((๐‘™ ยทs ๐ต) +s ((๐ด ยทs ๐‘ข) -s (๐‘™ ยทs ๐‘ข))) โ‰คs ((๐‘™ ยทs ๐ต) +s ((๐ด ยทs ๐‘š) -s (๐‘™ ยทs ๐‘š)))))
416409, 415mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘™ โˆˆ ( L โ€˜๐ด) โˆง ๐‘š โˆˆ ( R โ€˜๐ต)) โˆง ((๐‘ก โˆˆ ๐ฟ โˆง ๐‘ข โˆˆ ๐‘†) โˆง (๐‘™ โ‰คs ๐‘ก โˆง ๐‘ข โ‰คs ๐‘š)))) โ†’ ((๐‘™ ยทs ๐ต) +s ((๐ด ยทs ๐‘ข) -s (๐‘™ ยทs ๐‘ข))) โ‰คs ((๐‘™ ยทs ๐ต) +s ((๐ด ยทs ๐‘š) -s (๐‘™ ยทs ๐‘š))))
417348, 339, 351addsubsassd 27788 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘™ โˆˆ ( L โ€˜๐ด) โˆง ๐‘š โˆˆ ( R โ€˜๐ต)) โˆง (๐‘ก โˆˆ ๐ฟ โˆง ๐‘ข โˆˆ ๐‘†))) โ†’ (((๐‘™ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ข)) -s (๐‘™ ยทs ๐‘ข)) = ((๐‘™ ยทs ๐ต) +s ((๐ด ยทs ๐‘ข) -s (๐‘™ ยทs ๐‘ข))))
418417adantrrr 722 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘™ โˆˆ ( L โ€˜๐ด) โˆง ๐‘š โˆˆ ( R โ€˜๐ต)) โˆง ((๐‘ก โˆˆ ๐ฟ โˆง ๐‘ข โˆˆ ๐‘†) โˆง (๐‘™ โ‰คs ๐‘ก โˆง ๐‘ข โ‰คs ๐‘š)))) โ†’ (((๐‘™ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ข)) -s (๐‘™ ยทs ๐‘ข)) = ((๐‘™ ยทs ๐ต) +s ((๐ด ยทs ๐‘ข) -s (๐‘™ ยทs ๐‘ข))))
419348, 358, 361addsubsassd 27788 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘™ โˆˆ ( L โ€˜๐ด) โˆง ๐‘š โˆˆ ( R โ€˜๐ต)) โˆง (๐‘ก โˆˆ ๐ฟ โˆง ๐‘ข โˆˆ ๐‘†))) โ†’ (((๐‘™ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘š)) -s (๐‘™ ยทs ๐‘š)) = ((๐‘™ ยทs ๐ต) +s ((๐ด ยทs ๐‘š) -s (๐‘™ ยทs ๐‘š))))
420419adantrrr 722 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘™ โˆˆ ( L โ€˜๐ด) โˆง ๐‘š โˆˆ ( R โ€˜๐ต)) โˆง ((๐‘ก โˆˆ ๐ฟ โˆง ๐‘ข โˆˆ ๐‘†) โˆง (๐‘™ โ‰คs ๐‘ก โˆง ๐‘ข โ‰คs ๐‘š)))) โ†’ (((๐‘™ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘š)) -s (๐‘™ ยทs ๐‘š)) = ((๐‘™ ยทs ๐ต) +s ((๐ด ยทs ๐‘š) -s (๐‘™ ยทs ๐‘š))))
421416, 418, 4203brtr4d 5180 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘™ โˆˆ ( L โ€˜๐ด) โˆง ๐‘š โˆˆ ( R โ€˜๐ต)) โˆง ((๐‘ก โˆˆ ๐ฟ โˆง ๐‘ข โˆˆ ๐‘†) โˆง (๐‘™ โ‰คs ๐‘ก โˆง ๐‘ข โ‰คs ๐‘š)))) โ†’ (((๐‘™ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ข)) -s (๐‘™ ยทs ๐‘ข)) โ‰คs (((๐‘™ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘š)) -s (๐‘™ ยทs ๐‘š)))
422343, 353, 363, 395, 421sletrd 27502 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘™ โˆˆ ( L โ€˜๐ด) โˆง ๐‘š โˆˆ ( R โ€˜๐ต)) โˆง ((๐‘ก โˆˆ ๐ฟ โˆง ๐‘ข โˆˆ ๐‘†) โˆง (๐‘™ โ‰คs ๐‘ก โˆง ๐‘ข โ‰คs ๐‘š)))) โ†’ (((๐‘ก ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ข)) -s (๐‘ก ยทs ๐‘ข)) โ‰คs (((๐‘™ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘š)) -s (๐‘™ ยทs ๐‘š)))
423422anassrs 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((๐œ‘ โˆง (๐‘™ โˆˆ ( L โ€˜๐ด) โˆง ๐‘š โˆˆ ( R โ€˜๐ต))) โˆง ((๐‘ก โˆˆ ๐ฟ โˆง ๐‘ข โˆˆ ๐‘†) โˆง (๐‘™ โ‰คs ๐‘ก โˆง ๐‘ข โ‰คs ๐‘š))) โ†’ (((๐‘ก ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ข)) -s (๐‘ก ยทs ๐‘ข)) โ‰คs (((๐‘™ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘š)) -s (๐‘™ ยทs ๐‘š)))
424423expr 456 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((๐œ‘ โˆง (๐‘™ โˆˆ ( L โ€˜๐ด) โˆง ๐‘š โˆˆ ( R โ€˜๐ต))) โˆง (๐‘ก โˆˆ ๐ฟ โˆง ๐‘ข โˆˆ ๐‘†)) โ†’ ((๐‘™ โ‰คs ๐‘ก โˆง ๐‘ข โ‰คs ๐‘š) โ†’ (((๐‘ก ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ข)) -s (๐‘ก ยทs ๐‘ข)) โ‰คs (((๐‘™ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘š)) -s (๐‘™ ยทs ๐‘š))))
425424reximdvva 3204 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐œ‘ โˆง (๐‘™ โˆˆ ( L โ€˜๐ด) โˆง ๐‘š โˆˆ ( R โ€˜๐ต))) โ†’ (โˆƒ๐‘ก โˆˆ ๐ฟ โˆƒ๐‘ข โˆˆ ๐‘† (๐‘™ โ‰คs ๐‘ก โˆง ๐‘ข โ‰คs ๐‘š) โ†’ โˆƒ๐‘ก โˆˆ ๐ฟ โˆƒ๐‘ข โˆˆ ๐‘† (((๐‘ก ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ข)) -s (๐‘ก ยทs ๐‘ข)) โ‰คs (((๐‘™ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘š)) -s (๐‘™ ยทs ๐‘š))))
426425expcom 413 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐‘™ โˆˆ ( L โ€˜๐ด) โˆง ๐‘š โˆˆ ( R โ€˜๐ต)) โ†’ (๐œ‘ โ†’ (โˆƒ๐‘ก โˆˆ ๐ฟ โˆƒ๐‘ข โˆˆ ๐‘† (๐‘™ โ‰คs ๐‘ก โˆง ๐‘ข โ‰คs ๐‘š) โ†’ โˆƒ๐‘ก โˆˆ ๐ฟ โˆƒ๐‘ข โˆˆ ๐‘† (((๐‘ก ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ข)) -s (๐‘ก ยทs ๐‘ข)) โ‰คs (((๐‘™ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘š)) -s (๐‘™ ยทs ๐‘š)))))
427426com23 86 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐‘™ โˆˆ ( L โ€˜๐ด) โˆง ๐‘š โˆˆ ( R โ€˜๐ต)) โ†’ (โˆƒ๐‘ก โˆˆ ๐ฟ โˆƒ๐‘ข โˆˆ ๐‘† (๐‘™ โ‰คs ๐‘ก โˆง ๐‘ข โ‰คs ๐‘š) โ†’ (๐œ‘ โ†’ โˆƒ๐‘ก โˆˆ ๐ฟ โˆƒ๐‘ข โˆˆ ๐‘† (((๐‘ก ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ข)) -s (๐‘ก ยทs ๐‘ข)) โ‰คs (((๐‘™ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘š)) -s (๐‘™ ยทs ๐‘š)))))
428427imp 406 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐‘™ โˆˆ ( L โ€˜๐ด) โˆง ๐‘š โˆˆ ( R โ€˜๐ต)) โˆง โˆƒ๐‘ก โˆˆ ๐ฟ โˆƒ๐‘ข โˆˆ ๐‘† (๐‘™ โ‰คs ๐‘ก โˆง ๐‘ข โ‰คs ๐‘š)) โ†’ (๐œ‘ โ†’ โˆƒ๐‘ก โˆˆ ๐ฟ โˆƒ๐‘ข โˆˆ ๐‘† (((๐‘ก ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ข)) -s (๐‘ก ยทs ๐‘ข)) โ‰คs (((๐‘™ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘š)) -s (๐‘™ ยทs ๐‘š))))
429327, 428sylan2br 594 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐‘™ โˆˆ ( L โ€˜๐ด) โˆง ๐‘š โˆˆ ( R โ€˜๐ต)) โˆง (โˆƒ๐‘ก โˆˆ ๐ฟ ๐‘™ โ‰คs ๐‘ก โˆง โˆƒ๐‘ข โˆˆ ๐‘† ๐‘ข โ‰คs ๐‘š)) โ†’ (๐œ‘ โ†’ โˆƒ๐‘ก โˆˆ ๐ฟ โˆƒ๐‘ข โˆˆ ๐‘† (((๐‘ก ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ข)) -s (๐‘ก ยทs ๐‘ข)) โ‰คs (((๐‘™ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘š)) -s (๐‘™ ยทs ๐‘š))))
430429an4s 657 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐‘™ โˆˆ ( L โ€˜๐ด) โˆง โˆƒ๐‘ก โˆˆ ๐ฟ ๐‘™ โ‰คs ๐‘ก) โˆง (๐‘š โˆˆ ( R โ€˜๐ต) โˆง โˆƒ๐‘ข โˆˆ ๐‘† ๐‘ข โ‰คs ๐‘š)) โ†’ (๐œ‘ โ†’ โˆƒ๐‘ก โˆˆ ๐ฟ โˆƒ๐‘ข โˆˆ ๐‘† (((๐‘ก ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ข)) -s (๐‘ก ยทs ๐‘ข)) โ‰คs (((๐‘™ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘š)) -s (๐‘™ ยทs ๐‘š))))
431430impcom 407 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘™ โˆˆ ( L โ€˜๐ด) โˆง โˆƒ๐‘ก โˆˆ ๐ฟ ๐‘™ โ‰คs ๐‘ก) โˆง (๐‘š โˆˆ ( R โ€˜๐ต) โˆง โˆƒ๐‘ข โˆˆ ๐‘† ๐‘ข โ‰คs ๐‘š))) โ†’ โˆƒ๐‘ก โˆˆ ๐ฟ โˆƒ๐‘ข โˆˆ ๐‘† (((๐‘ก ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ข)) -s (๐‘ก ยทs ๐‘ข)) โ‰คs (((๐‘™ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘š)) -s (๐‘™ ยทs ๐‘š)))
432431anassrs 467 . . . . . . . . . . 11 (((๐œ‘ โˆง (๐‘™ โˆˆ ( L โ€˜๐ด) โˆง โˆƒ๐‘ก โˆˆ ๐ฟ ๐‘™ โ‰คs ๐‘ก)) โˆง (๐‘š โˆˆ ( R โ€˜๐ต) โˆง โˆƒ๐‘ข โˆˆ ๐‘† ๐‘ข โ‰คs ๐‘š)) โ†’ โˆƒ๐‘ก โˆˆ ๐ฟ โˆƒ๐‘ข โˆˆ ๐‘† (((๐‘ก ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ข)) -s (๐‘ก ยทs ๐‘ข)) โ‰คs (((๐‘™ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘š)) -s (๐‘™ ยทs ๐‘š)))
433432expr 456 . . . . . . . . . 10 (((๐œ‘ โˆง (๐‘™ โˆˆ ( L โ€˜๐ด) โˆง โˆƒ๐‘ก โˆˆ ๐ฟ ๐‘™ โ‰คs ๐‘ก)) โˆง ๐‘š โˆˆ ( R โ€˜๐ต)) โ†’ (โˆƒ๐‘ข โˆˆ ๐‘† ๐‘ข โ‰คs ๐‘š โ†’ โˆƒ๐‘ก โˆˆ ๐ฟ โˆƒ๐‘ข โˆˆ ๐‘† (((๐‘ก ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ข)) -s (๐‘ก ยทs ๐‘ข)) โ‰คs (((๐‘™ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘š)) -s (๐‘™ ยทs ๐‘š))))
434433ralimdva 3166 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง (๐‘™ โˆˆ ( L โ€˜๐ด) โˆง โˆƒ๐‘ก โˆˆ ๐ฟ ๐‘™ โ‰คs ๐‘ก)) โ†’ (โˆ€๐‘š โˆˆ ( R โ€˜๐ต)โˆƒ๐‘ข โˆˆ ๐‘† ๐‘ข โ‰คs ๐‘š โ†’ โˆ€๐‘š โˆˆ ( R โ€˜๐ต)โˆƒ๐‘ก โˆˆ ๐ฟ โˆƒ๐‘ข โˆˆ ๐‘† (((๐‘ก ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ข)) -s (๐‘ก ยทs ๐‘ข)) โ‰คs (((๐‘™ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘š)) -s (๐‘™ ยทs ๐‘š))))
435326, 434mpd 15 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง (๐‘™ โˆˆ ( L โ€˜๐ด) โˆง โˆƒ๐‘ก โˆˆ ๐ฟ ๐‘™ โ‰คs ๐‘ก)) โ†’ โˆ€๐‘š โˆˆ ( R โ€˜๐ต)โˆƒ๐‘ก โˆˆ ๐ฟ โˆƒ๐‘ข โˆˆ ๐‘† (((๐‘ก ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ข)) -s (๐‘ก ยทs ๐‘ข)) โ‰คs (((๐‘™ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘š)) -s (๐‘™ ยทs ๐‘š)))
436435expr 456 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘™ โˆˆ ( L โ€˜๐ด)) โ†’ (โˆƒ๐‘ก โˆˆ ๐ฟ ๐‘™ โ‰คs ๐‘ก โ†’ โˆ€๐‘š โˆˆ ( R โ€˜๐ต)โˆƒ๐‘ก โˆˆ ๐ฟ โˆƒ๐‘ข โˆˆ ๐‘† (((๐‘ก ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ข)) -s (๐‘ก ยทs ๐‘ข)) โ‰คs (((๐‘™ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘š)) -s (๐‘™ ยทs ๐‘š))))
437436ralimdva 3166 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (โˆ€๐‘™ โˆˆ ( L โ€˜๐ด)โˆƒ๐‘ก โˆˆ ๐ฟ ๐‘™ โ‰คs ๐‘ก โ†’ โˆ€๐‘™ โˆˆ ( L โ€˜๐ด)โˆ€๐‘š โˆˆ ( R โ€˜๐ต)โˆƒ๐‘ก โˆˆ ๐ฟ โˆƒ๐‘ข โˆˆ ๐‘† (((๐‘ก ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ข)) -s (๐‘ก ยทs ๐‘ข)) โ‰คs (((๐‘™ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘š)) -s (๐‘™ ยทs ๐‘š))))
438324, 437mpd 15 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ โˆ€๐‘™ โˆˆ ( L โ€˜๐ด)โˆ€๐‘š โˆˆ ( R โ€˜๐ต)โˆƒ๐‘ก โˆˆ ๐ฟ โˆƒ๐‘ข โˆˆ ๐‘† (((๐‘ก ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ข)) -s (๐‘ก ยทs ๐‘ข)) โ‰คs (((๐‘™ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘š)) -s (๐‘™ ยทs ๐‘š)))
439 eqeq1 2735 . . . . . . . . . 10 (๐‘ = ๐‘ง โ†’ (๐‘ = (((๐‘ก ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ข)) -s (๐‘ก ยทs ๐‘ข)) โ†” ๐‘ง = (((๐‘ก ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ข)) -s (๐‘ก ยทs ๐‘ข))))
4404392rexbidv 3218 . . . . . . . . 9 (๐‘ = ๐‘ง โ†’ (โˆƒ๐‘ก โˆˆ ๐ฟ โˆƒ๐‘ข โˆˆ ๐‘† ๐‘ = (((๐‘ก ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ข)) -s (๐‘ก ยทs ๐‘ข)) โ†” โˆƒ๐‘ก โˆˆ ๐ฟ โˆƒ๐‘ข โˆˆ ๐‘† ๐‘ง = (((๐‘ก ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ข)) -s (๐‘ก ยทs ๐‘ข))))
441440rexab 3690 . . . . . . . 8 (โˆƒ๐‘ง โˆˆ {๐‘ โˆฃ โˆƒ๐‘ก โˆˆ ๐ฟ โˆƒ๐‘ข โˆˆ ๐‘† ๐‘ = (((๐‘ก ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ข)) -s (๐‘ก ยทs ๐‘ข))}๐‘ง โ‰คs (((๐‘™ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘š)) -s (๐‘™ ยทs ๐‘š)) โ†” โˆƒ๐‘ง(โˆƒ๐‘ก โˆˆ ๐ฟ โˆƒ๐‘ข โˆˆ ๐‘† ๐‘ง = (((๐‘ก ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ข)) -s (๐‘ก ยทs ๐‘ข)) โˆง ๐‘ง โ‰คs (((๐‘™ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘š)) -s (๐‘™ ยทs ๐‘š))))
442 r19.41vv 3223 . . . . . . . . 9 (โˆƒ๐‘ก โˆˆ ๐ฟ โˆƒ๐‘ข โˆˆ ๐‘† (๐‘ง = (((๐‘ก ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ข)) -s (๐‘ก ยทs ๐‘ข)) โˆง ๐‘ง โ‰คs (((๐‘™ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘š)) -s (๐‘™ ยทs ๐‘š))) โ†” (โˆƒ๐‘ก โˆˆ ๐ฟ โˆƒ๐‘ข โˆˆ ๐‘† ๐‘ง = (((๐‘ก ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ข)) -s (๐‘ก ยทs ๐‘ข)) โˆง ๐‘ง โ‰คs (((๐‘™ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘š)) -s (๐‘™ ยทs ๐‘š))))
443442exbii 1849 . . . . . . . 8 (โˆƒ๐‘งโˆƒ๐‘ก โˆˆ ๐ฟ โˆƒ๐‘ข โˆˆ ๐‘† (๐‘ง = (((๐‘ก ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ข)) -s (๐‘ก ยทs ๐‘ข)) โˆง ๐‘ง โ‰คs (((๐‘™ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘š)) -s (๐‘™ ยทs ๐‘š))) โ†” โˆƒ๐‘ง(โˆƒ๐‘ก โˆˆ ๐ฟ โˆƒ๐‘ข โˆˆ ๐‘† ๐‘ง = (((๐‘ก ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ข)) -s (๐‘ก ยทs ๐‘ข)) โˆง ๐‘ง โ‰คs (((๐‘™ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘š)) -s (๐‘™ ยทs ๐‘š))))
444 rexcom4 3284 . . . . . . . . 9 (โˆƒ๐‘ก โˆˆ ๐ฟ โˆƒ๐‘งโˆƒ๐‘ข โˆˆ ๐‘† (๐‘ง = (((๐‘ก ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ข)) -s (๐‘ก ยทs ๐‘ข)) โˆง ๐‘ง โ‰คs (((๐‘™ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘š)) -s (๐‘™ ยทs ๐‘š))) โ†” โˆƒ๐‘งโˆƒ๐‘ก โˆˆ ๐ฟ โˆƒ๐‘ข โˆˆ ๐‘† (๐‘ง = (((๐‘ก ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ข)) -s (๐‘ก ยทs ๐‘ข)) โˆง ๐‘ง โ‰คs (((๐‘™ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘š)) -s (๐‘™ ยทs ๐‘š))))
445 rexcom4 3284 . . . . . . . . . . 11 (โˆƒ๐‘ข โˆˆ ๐‘† โˆƒ๐‘ง(๐‘ง = (((๐‘ก ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ข)) -s (๐‘ก ยทs ๐‘ข)) โˆง ๐‘ง โ‰คs (((๐‘™ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘š)) -s (๐‘™ ยทs ๐‘š))) โ†” โˆƒ๐‘งโˆƒ๐‘ข โˆˆ ๐‘† (๐‘ง = (((๐‘ก ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ข)) -s (๐‘ก ยทs ๐‘ข)) โˆง ๐‘ง โ‰คs (((๐‘™ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘š)) -s (๐‘™ ยทs ๐‘š))))
446 ovex 7445 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐‘ก ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ข)) -s (๐‘ก ยทs ๐‘ข)) โˆˆ V
447 breq1 5151 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ง = (((๐‘ก ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ข)) -s (๐‘ก ยทs ๐‘ข)) โ†’ (๐‘ง โ‰คs (((๐‘™ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘š)) -s (๐‘™ ยทs ๐‘š)) โ†” (((๐‘ก ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ข)) -s (๐‘ก ยทs ๐‘ข)) โ‰คs (((๐‘™ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘š)) -s (๐‘™ ยทs ๐‘š))))
448446, 447ceqsexv 3525 . . . . . . . . . . . 12 (โˆƒ๐‘ง(๐‘ง = (((๐‘ก ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ข)) -s (๐‘ก ยทs ๐‘ข)) โˆง ๐‘ง โ‰คs (((๐‘™ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘š)) -s (๐‘™ ยทs ๐‘š))) โ†” (((๐‘ก ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ข)) -s (๐‘ก ยทs ๐‘ข)) โ‰คs (((๐‘™ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘š)) -s (๐‘™ ยทs ๐‘š)))
449448rexbii 3093 . . . . . . . . . . 11 (โˆƒ๐‘ข โˆˆ ๐‘† โˆƒ๐‘ง(๐‘ง = (((๐‘ก ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ข)) -s (๐‘ก ยทs ๐‘ข)) โˆง ๐‘ง โ‰คs (((๐‘™ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘š)) -s (๐‘™ ยทs ๐‘š))) โ†” โˆƒ๐‘ข โˆˆ ๐‘† (((๐‘ก ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ข)) -s (๐‘ก ยทs ๐‘ข)) โ‰คs (((๐‘™ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘š)) -s (๐‘™ ยทs ๐‘š)))
450445, 449bitr3i 277 . . . . . . . . . 10 (โˆƒ๐‘งโˆƒ๐‘ข โˆˆ ๐‘† (๐‘ง = (((๐‘ก ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ข)) -s (๐‘ก ยทs ๐‘ข)) โˆง ๐‘ง โ‰คs (((๐‘™ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘š)) -s (๐‘™ ยทs ๐‘š))) โ†” โˆƒ๐‘ข โˆˆ ๐‘† (((๐‘ก ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ข)) -s (๐‘ก ยทs ๐‘ข)) โ‰คs (((๐‘™ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘š)) -s (๐‘™ ยทs ๐‘š)))
451450rexbii 3093 . . . . . . . . 9 (โˆƒ๐‘ก โˆˆ ๐ฟ โˆƒ๐‘งโˆƒ๐‘ข โˆˆ ๐‘† (๐‘ง = (((๐‘ก ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ข)) -s (๐‘ก ยทs ๐‘ข)) โˆง ๐‘ง โ‰คs (((๐‘™ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘š)) -s (๐‘™ ยทs ๐‘š))) โ†” โˆƒ๐‘ก โˆˆ ๐ฟ โˆƒ๐‘ข โˆˆ ๐‘† (((๐‘ก ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ข)) -s (๐‘ก ยทs ๐‘ข)) โ‰คs (((๐‘™ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘š)) -s (๐‘™ ยทs ๐‘š)))
452444, 451bitr3i 277 . . . . . . . 8 (โˆƒ๐‘งโˆƒ๐‘ก โˆˆ ๐ฟ โˆƒ๐‘ข โˆˆ ๐‘† (๐‘ง = (((๐‘ก ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ข)) -s (๐‘ก ยทs ๐‘ข)) โˆง ๐‘ง โ‰คs (((๐‘™ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘š)) -s (๐‘™ ยทs ๐‘š))) โ†” โˆƒ๐‘ก โˆˆ ๐ฟ โˆƒ๐‘ข โˆˆ ๐‘† (((๐‘ก ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ข)) -s (๐‘ก ยทs ๐‘ข)) โ‰คs (((๐‘™ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘š)) -s (๐‘™ ยทs ๐‘š)))
453441, 443, 4523bitr2i 299 . . . . . . 7 (โˆƒ๐‘ง โˆˆ {๐‘ โˆฃ โˆƒ๐‘ก โˆˆ ๐ฟ โˆƒ๐‘ข โˆˆ ๐‘† ๐‘ = (((๐‘ก ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ข)) -s (๐‘ก ยทs ๐‘ข))}๐‘ง โ‰คs (((๐‘™ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘š)) -s (๐‘™ ยทs ๐‘š)) โ†” โˆƒ๐‘ก โˆˆ ๐ฟ โˆƒ๐‘ข โˆˆ ๐‘† (((๐‘ก ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ข)) -s (๐‘ก ยทs ๐‘ข)) โ‰คs (((๐‘™ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘š)) -s (๐‘™ ยทs ๐‘š)))
454 ssun1 4172 . . . . . . . 8 {๐‘ โˆฃ โˆƒ๐‘ก โˆˆ ๐ฟ โˆƒ๐‘ข โˆˆ ๐‘† ๐‘ = (((๐‘ก ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ข)) -s (๐‘ก ยทs ๐‘ข))} โІ ({๐‘ โˆฃ โˆƒ๐‘ก โˆˆ ๐ฟ โˆƒ๐‘ข โˆˆ ๐‘† ๐‘ = (((๐‘ก ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ข)) -s (๐‘ก ยทs ๐‘ข))} โˆช {๐‘‘ โˆฃ โˆƒ๐‘ฃ โˆˆ ๐‘… โˆƒ๐‘ค โˆˆ ๐‘€ ๐‘‘ = (((๐‘ฃ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ค)) -s (๐‘ฃ ยทs ๐‘ค))})
455 ssrexv 4051 . . . . . . . 8 ({๐‘ โˆฃ โˆƒ๐‘ก โˆˆ ๐ฟ โˆƒ๐‘ข โˆˆ ๐‘† ๐‘ = (((๐‘ก ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ข)) -s (๐‘ก ยทs ๐‘ข))} โІ ({๐‘ โˆฃ โˆƒ๐‘ก โˆˆ ๐ฟ โˆƒ๐‘ข โˆˆ ๐‘† ๐‘ = (((๐‘ก ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ข)) -s (๐‘ก ยทs ๐‘ข))} โˆช {๐‘‘ โˆฃ โˆƒ๐‘ฃ โˆˆ ๐‘… โˆƒ๐‘ค โˆˆ ๐‘€ ๐‘‘ = (((๐‘ฃ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ค)) -s (๐‘ฃ ยทs ๐‘ค))}) โ†’ (โˆƒ๐‘ง โˆˆ {๐‘ โˆฃ โˆƒ๐‘ก โˆˆ ๐ฟ โˆƒ๐‘ข โˆˆ ๐‘† ๐‘ = (((๐‘ก ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ข)) -s (๐‘ก ยทs ๐‘ข))}๐‘ง โ‰คs (((๐‘™ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘š)) -s (๐‘™ ยทs ๐‘š)) โ†’ โˆƒ๐‘ง โˆˆ ({๐‘ โˆฃ โˆƒ๐‘ก โˆˆ ๐ฟ โˆƒ๐‘ข โˆˆ ๐‘† ๐‘ = (((๐‘ก ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ข)) -s (๐‘ก ยทs ๐‘ข))} โˆช {๐‘‘ โˆฃ โˆƒ๐‘ฃ โˆˆ ๐‘… โˆƒ๐‘ค โˆˆ ๐‘€ ๐‘‘ = (((๐‘ฃ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ค)) -s (๐‘ฃ ยทs ๐‘ค))})๐‘ง โ‰คs (((๐‘™ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘š)) -s (๐‘™ ยทs ๐‘š))))
456454, 455ax-mp 5 . . . . . . 7 (โˆƒ๐‘ง โˆˆ {๐‘ โˆฃ โˆƒ๐‘ก โˆˆ ๐ฟ โˆƒ๐‘ข โˆˆ ๐‘† ๐‘ = (((๐‘ก ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ข)) -s (๐‘ก ยทs ๐‘ข))}๐‘ง โ‰คs (((๐‘™ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘š)) -s (๐‘™ ยทs ๐‘š)) โ†’ โˆƒ๐‘ง โˆˆ ({๐‘ โˆฃ โˆƒ๐‘ก โˆˆ ๐ฟ โˆƒ๐‘ข โˆˆ ๐‘† ๐‘ = (((๐‘ก ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ข)) -s (๐‘ก ยทs ๐‘ข))} โˆช {๐‘‘ โˆฃ โˆƒ๐‘ฃ โˆˆ ๐‘… โˆƒ๐‘ค โˆˆ ๐‘€ ๐‘‘ = (((๐‘ฃ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ค)) -s (๐‘ฃ ยทs ๐‘ค))})๐‘ง โ‰คs (((๐‘™ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘š)) -s (๐‘™ ยทs ๐‘š)))
457453, 456sylbir 234 . . . . . 6 (โˆƒ๐‘ก โˆˆ ๐ฟ โˆƒ๐‘ข โˆˆ ๐‘† (((๐‘ก ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ข)) -s (๐‘ก ยทs ๐‘ข)) โ‰คs (((๐‘™ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘š)) -s (๐‘™ ยทs ๐‘š)) โ†’ โˆƒ๐‘ง โˆˆ ({๐‘ โˆฃ โˆƒ๐‘ก โˆˆ ๐ฟ โˆƒ๐‘ข โˆˆ ๐‘† ๐‘ = (((๐‘ก ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ข)) -s (๐‘ก ยทs ๐‘ข))} โˆช {๐‘‘ โˆฃ โˆƒ๐‘ฃ โˆˆ ๐‘… โˆƒ๐‘ค โˆˆ ๐‘€ ๐‘‘ = (((๐‘ฃ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ค)) -s (๐‘ฃ ยทs ๐‘ค))})๐‘ง โ‰คs (((๐‘™ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘š)) -s (๐‘™ ยทs ๐‘š)))
4584572ralimi 3122 . . . . 5 (โˆ€๐‘™ โˆˆ ( L โ€˜๐ด)โˆ€๐‘š โˆˆ ( R โ€˜๐ต)โˆƒ๐‘ก โˆˆ ๐ฟ โˆƒ๐‘ข โˆˆ ๐‘† (((๐‘ก ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ข)) -s (๐‘ก ยทs ๐‘ข)) โ‰คs (((๐‘™ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘š)) -s (๐‘™ ยทs ๐‘š)) โ†’ โˆ€๐‘™ โˆˆ ( L โ€˜๐ด)โˆ€๐‘š โˆˆ ( R โ€˜๐ต)โˆƒ๐‘ง โˆˆ ({๐‘ โˆฃ โˆƒ๐‘ก โˆˆ ๐ฟ โˆƒ๐‘ข โˆˆ ๐‘† ๐‘ = (((๐‘ก ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ข)) -s (๐‘ก ยทs ๐‘ข))} โˆช {๐‘‘ โˆฃ โˆƒ๐‘ฃ โˆˆ ๐‘… โˆƒ๐‘ค โˆˆ ๐‘€ ๐‘‘ = (((๐‘ฃ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ค)) -s (๐‘ฃ ยทs ๐‘ค))})๐‘ง โ‰คs (((๐‘™ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘š)) -s (๐‘™ ยทs ๐‘š)))
459438, 458syl 17 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ โˆ€๐‘™ โˆˆ ( L โ€˜๐ด)โˆ€๐‘š โˆˆ ( R โ€˜๐ต)โˆƒ๐‘ง โˆˆ ({๐‘ โˆฃ โˆƒ๐‘ก โˆˆ ๐ฟ โˆƒ๐‘ข โˆˆ ๐‘† ๐‘ = (((๐‘ก ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ข)) -s (๐‘ก ยทs ๐‘ข))} โˆช {๐‘‘ โˆฃ โˆƒ๐‘ฃ โˆˆ ๐‘… โˆƒ๐‘ค โˆˆ ๐‘€ ๐‘‘ = (((๐‘ฃ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ค)) -s (๐‘ฃ ยทs ๐‘ค))})๐‘ง โ‰คs (((๐‘™ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘š)) -s (๐‘™ ยทs ๐‘š)))
4602, 1cofcutr2d 27652 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ( R โ€˜๐ด)โˆƒ๐‘ฃ โˆˆ ๐‘… ๐‘ฃ โ‰คs ๐‘ฅ)
4616, 5cofcutr1d 27651 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ( L โ€˜๐ต)โˆƒ๐‘ค โˆˆ ๐‘€ ๐‘ฆ โ‰คs ๐‘ค)
462461adantr 480 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ( R โ€˜๐ด) โˆง โˆƒ๐‘ฃ โˆˆ ๐‘… ๐‘ฃ โ‰คs ๐‘ฅ)) โ†’ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ( L โ€˜๐ต)โˆƒ๐‘ค โˆˆ ๐‘€ ๐‘ฆ โ‰คs ๐‘ค)
463 reeanv 3225 . . . . . . . . . . . . . . 15 (โˆƒ๐‘ฃ โˆˆ ๐‘… โˆƒ๐‘ค โˆˆ ๐‘€ (๐‘ฃ โ‰คs ๐‘ฅ โˆง ๐‘ฆ โ‰คs ๐‘ค) โ†” (โˆƒ๐‘ฃ โˆˆ ๐‘… ๐‘ฃ โ‰คs ๐‘ฅ โˆง โˆƒ๐‘ค โˆˆ ๐‘€ ๐‘ฆ โ‰คs ๐‘ค))
464170adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฃ โˆˆ ๐‘… โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐‘€)) โ†’ ๐‘… โІ No )
465 simprl 768 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฃ โˆˆ ๐‘… โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐‘€)) โ†’ ๐‘ฃ โˆˆ ๐‘…)
466464, 465sseldd 3983 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฃ โˆˆ ๐‘… โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐‘€)) โ†’ ๐‘ฃ โˆˆ No )
4678adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฃ โˆˆ ๐‘… โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐‘€)) โ†’ ๐ต โˆˆ No )
468466, 467mulscld 27831 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฃ โˆˆ ๐‘… โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐‘€)) โ†’ (๐‘ฃ ยทs ๐ต) โˆˆ No )
469468adantrl 713 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘ฅ โˆˆ ( R โ€˜๐ด) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ( L โ€˜๐ต)) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ ๐‘… โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐‘€))) โ†’ (๐‘ฃ ยทs ๐ต) โˆˆ No )
4704adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฃ โˆˆ ๐‘… โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐‘€)) โ†’ ๐ด โˆˆ No )
47144adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฃ โˆˆ ๐‘… โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐‘€)) โ†’ ๐‘€ โІ No )
472 simprr 770 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฃ โˆˆ ๐‘… โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐‘€)) โ†’ ๐‘ค โˆˆ ๐‘€)
473471, 472sseldd 3983 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฃ โˆˆ ๐‘… โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐‘€)) โ†’ ๐‘ค โˆˆ No )
474470, 473mulscld 27831 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฃ โˆˆ ๐‘… โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐‘€)) โ†’ (๐ด ยทs ๐‘ค) โˆˆ No )
475474adantrl 713 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘ฅ โˆˆ ( R โ€˜๐ด) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ( L โ€˜๐ต)) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ ๐‘… โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐‘€))) โ†’ (๐ด ยทs ๐‘ค) โˆˆ No )
476469, 475addscld 27703 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘ฅ โˆˆ ( R โ€˜๐ด) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ( L โ€˜๐ต)) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ ๐‘… โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐‘€))) โ†’ ((๐‘ฃ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ค)) โˆˆ No )
477466, 473mulscld 27831 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฃ โˆˆ ๐‘… โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐‘€)) โ†’ (๐‘ฃ ยทs ๐‘ค) โˆˆ No )
478477adantrl 713 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘ฅ โˆˆ ( R โ€˜๐ด) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ( L โ€˜๐ต)) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ ๐‘… โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐‘€))) โ†’ (๐‘ฃ ยทs ๐‘ค) โˆˆ No )
479476, 478subscld 27775 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘ฅ โˆˆ ( R โ€˜๐ด) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ( L โ€˜๐ต)) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ ๐‘… โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐‘€))) โ†’ (((๐‘ฃ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ค)) -s (๐‘ฃ ยทs ๐‘ค)) โˆˆ No )
480479adantrrr 722 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘ฅ โˆˆ ( R โ€˜๐ด) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ( L โ€˜๐ต)) โˆง ((๐‘ฃ โˆˆ ๐‘… โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐‘€) โˆง (๐‘ฃ โ‰คs ๐‘ฅ โˆง ๐‘ฆ โ‰คs ๐‘ค)))) โ†’ (((๐‘ฃ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ค)) -s (๐‘ฃ ยทs ๐‘ค)) โˆˆ No )
4814adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘ฅ โˆˆ ( R โ€˜๐ด) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ( L โ€˜๐ต)) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ ๐‘… โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐‘€))) โ†’ ๐ด โˆˆ No )
482 simprr 770 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ( R โ€˜๐ด) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ( L โ€˜๐ต))) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ ( L โ€˜๐ต))
48323, 482sselid 3980 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ( R โ€˜๐ด) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ( L โ€˜๐ต))) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ No )
484483adantrr 714 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘ฅ โˆˆ ( R โ€˜๐ด) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ( L โ€˜๐ต)) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ ๐‘… โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐‘€))) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ No )
485481, 484mulscld 27831 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘ฅ โˆˆ ( R โ€˜๐ด) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ( L โ€˜๐ต)) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ ๐‘… โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐‘€))) โ†’ (๐ด ยทs ๐‘ฆ) โˆˆ No )
486469, 485addscld 27703 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘ฅ โˆˆ ( R โ€˜๐ด) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ( L โ€˜๐ต)) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ ๐‘… โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐‘€))) โ†’ ((๐‘ฃ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ฆ)) โˆˆ No )
487466adantrl 713 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘ฅ โˆˆ ( R โ€˜๐ด) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ( L โ€˜๐ต)) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ ๐‘… โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐‘€))) โ†’ ๐‘ฃ โˆˆ No )
488487, 484mulscld 27831 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘ฅ โˆˆ ( R โ€˜๐ด) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ( L โ€˜๐ต)) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ ๐‘… โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐‘€))) โ†’ (๐‘ฃ ยทs ๐‘ฆ) โˆˆ No )
489486, 488subscld 27775 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘ฅ โˆˆ ( R โ€˜๐ด) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ( L โ€˜๐ต)) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ ๐‘… โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐‘€))) โ†’ (((๐‘ฃ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ฆ)) -s (๐‘ฃ ยทs ๐‘ฆ)) โˆˆ No )
490489adantrrr 722 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘ฅ โˆˆ ( R โ€˜๐ด) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ( L โ€˜๐ต)) โˆง ((๐‘ฃ โˆˆ ๐‘… โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐‘€) โˆง (๐‘ฃ โ‰คs ๐‘ฅ โˆง ๐‘ฆ โ‰คs ๐‘ค)))) โ†’ (((๐‘ฃ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ฆ)) -s (๐‘ฃ ยทs ๐‘ฆ)) โˆˆ No )
491 simprl 768 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ( R โ€˜๐ด) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ( L โ€˜๐ต))) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ ( R โ€˜๐ด))
492153, 491sselid 3980 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ( R โ€˜๐ด) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ( L โ€˜๐ต))) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ No )
4938adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ( R โ€˜๐ด) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ( L โ€˜๐ต))) โ†’ ๐ต โˆˆ No )
494492, 493mulscld 27831 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ( R โ€˜๐ด) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ( L โ€˜๐ต))) โ†’ (๐‘ฅ ยทs ๐ต) โˆˆ No )
495494adantrr 714 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘ฅ โˆˆ ( R โ€˜๐ด) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ( L โ€˜๐ต)) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ ๐‘… โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐‘€))) โ†’ (๐‘ฅ ยทs ๐ต) โˆˆ No )
496495, 485addscld 27703 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘ฅ โˆˆ ( R โ€˜๐ด) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ( L โ€˜๐ต)) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ ๐‘… โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐‘€))) โ†’ ((๐‘ฅ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ฆ)) โˆˆ No )
497492, 483mulscld 27831 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ( R โ€˜๐ด) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ( L โ€˜๐ต))) โ†’ (๐‘ฅ ยทs ๐‘ฆ) โˆˆ No )
498497adantrr 714 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘ฅ โˆˆ ( R โ€˜๐ด) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ( L โ€˜๐ต)) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ ๐‘… โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐‘€))) โ†’ (๐‘ฅ ยทs ๐‘ฆ) โˆˆ No )
499496, 498subscld 27775 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘ฅ โˆˆ ( R โ€˜๐ด) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ( L โ€˜๐ต)) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ ๐‘… โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐‘€))) โ†’ (((๐‘ฅ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ฆ)) -s (๐‘ฅ ยทs ๐‘ฆ)) โˆˆ No )
500499adantrrr 722 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘ฅ โˆˆ ( R โ€˜๐ด) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ( L โ€˜๐ต)) โˆง ((๐‘ฃ โˆˆ ๐‘… โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐‘€) โˆง (๐‘ฃ โ‰คs ๐‘ฅ โˆง ๐‘ฆ โ‰คs ๐‘ค)))) โ†’ (((๐‘ฅ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ฆ)) -s (๐‘ฅ ยทs ๐‘ฆ)) โˆˆ No )
5014adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘ฅ โˆˆ ( R โ€˜๐ด) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ( L โ€˜๐ต)) โˆง ((๐‘ฃ โˆˆ ๐‘… โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐‘€) โˆง (๐‘ฃ โ‰คs ๐‘ฅ โˆง ๐‘ฆ โ‰คs ๐‘ค)))) โ†’ ๐ด โˆˆ No )
502487adantrrr 722 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘ฅ โˆˆ ( R โ€˜๐ด) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ( L โ€˜๐ต)) โˆง ((๐‘ฃ โˆˆ ๐‘… โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐‘€) โˆง (๐‘ฃ โ‰คs ๐‘ฅ โˆง ๐‘ฆ โ‰คs ๐‘ค)))) โ†’ ๐‘ฃ โˆˆ No )
503483adantrr 714 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘ฅ โˆˆ ( R โ€˜๐ด) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ( L โ€˜๐ต)) โˆง ((๐‘ฃ โˆˆ ๐‘… โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐‘€) โˆง (๐‘ฃ โ‰คs ๐‘ฅ โˆง ๐‘ฆ โ‰คs ๐‘ค)))) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ No )
504473adantrl 713 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘ฅ โˆˆ ( R โ€˜๐ด) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ( L โ€˜๐ต)) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ ๐‘… โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐‘€))) โ†’ ๐‘ค โˆˆ No )
505504adantrrr 722 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘ฅ โˆˆ ( R โ€˜๐ด) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ( L โ€˜๐ต)) โˆง ((๐‘ฃ โˆˆ ๐‘… โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐‘€) โˆง (๐‘ฃ โ‰คs ๐‘ฅ โˆง ๐‘ฆ โ‰คs ๐‘ค)))) โ†’ ๐‘ค โˆˆ No )
5061sneqd 4640 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (๐œ‘ โ†’ {๐ด} = {(๐ฟ |s ๐‘…)})
507506, 222eqbrtrd 5170 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (๐œ‘ โ†’ {๐ด} <<s ๐‘…)
508507adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘ฅ โˆˆ ( R โ€˜๐ด) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ( L โ€˜๐ต)) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ ๐‘… โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐‘€))) โ†’ {๐ด} <<s ๐‘…)
509481, 401syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘ฅ โˆˆ ( R โ€˜๐ด) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ( L โ€˜๐ต)) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ ๐‘… โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐‘€))) โ†’ ๐ด โˆˆ {๐ด})
510 simprrl 778 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘ฅ โˆˆ ( R โ€˜๐ด) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ( L โ€˜๐ต)) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ ๐‘… โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐‘€))) โ†’ ๐‘ฃ โˆˆ ๐‘…)
511508, 509, 510ssltsepcd 27533 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘ฅ โˆˆ ( R โ€˜๐ด) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ( L โ€˜๐ต)) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ ๐‘… โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐‘€))) โ†’ ๐ด <s ๐‘ฃ)
512481, 487, 511sltled 27509 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘ฅ โˆˆ ( R โ€˜๐ด) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ( L โ€˜๐ต)) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ ๐‘… โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐‘€))) โ†’ ๐ด โ‰คs ๐‘ฃ)
513512adantrrr 722 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘ฅ โˆˆ ( R โ€˜๐ด) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ( L โ€˜๐ต)) โˆง ((๐‘ฃ โˆˆ ๐‘… โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐‘€) โˆง (๐‘ฃ โ‰คs ๐‘ฅ โˆง ๐‘ฆ โ‰คs ๐‘ค)))) โ†’ ๐ด โ‰คs ๐‘ฃ)
514 simprrr 779 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((๐‘ฅ โˆˆ ( R โ€˜๐ด) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ( L โ€˜๐ต)) โˆง ((๐‘ฃ โˆˆ ๐‘… โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐‘€) โˆง (๐‘ฃ โ‰คs ๐‘ฅ โˆง ๐‘ฆ โ‰คs ๐‘ค))) โ†’ ๐‘ฆ โ‰คs ๐‘ค)
515514adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘ฅ โˆˆ ( R โ€˜๐ด) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ( L โ€˜๐ต)) โˆง ((๐‘ฃ โˆˆ ๐‘… โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐‘€) โˆง (๐‘ฃ โ‰คs ๐‘ฅ โˆง ๐‘ฆ โ‰คs ๐‘ค)))) โ†’ ๐‘ฆ โ‰คs ๐‘ค)
516501, 502, 503, 505, 513, 515slemuld 27834 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘ฅ โˆˆ ( R โ€˜๐ด) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ( L โ€˜๐ต)) โˆง ((๐‘ฃ โˆˆ ๐‘… โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐‘€) โˆง (๐‘ฃ โ‰คs ๐‘ฅ โˆง ๐‘ฆ โ‰คs ๐‘ค)))) โ†’ ((๐ด ยทs ๐‘ค) -s (๐ด ยทs ๐‘ฆ)) โ‰คs ((๐‘ฃ ยทs ๐‘ค) -s (๐‘ฃ ยทs ๐‘ฆ)))
517475, 478, 485, 488slesubsubbd 27793 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘ฅ โˆˆ ( R โ€˜๐ด) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ( L โ€˜๐ต)) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ ๐‘… โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐‘€))) โ†’ (((๐ด ยทs ๐‘ค) -s (๐ด ยทs ๐‘ฆ)) โ‰คs ((๐‘ฃ ยทs ๐‘ค) -s (๐‘ฃ ยทs ๐‘ฆ)) โ†” ((๐ด ยทs ๐‘ค) -s (๐‘ฃ ยทs ๐‘ค)) โ‰คs ((๐ด ยทs ๐‘ฆ) -s (๐‘ฃ ยทs ๐‘ฆ))))
518475, 478subscld 27775 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘ฅ โˆˆ ( R โ€˜๐ด) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ( L โ€˜๐ต)) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ ๐‘… โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐‘€))) โ†’ ((๐ด ยทs ๐‘ค) -s (๐‘ฃ ยทs ๐‘ค)) โˆˆ No )
519485, 488subscld 27775 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘ฅ โˆˆ ( R โ€˜๐ด) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ( L โ€˜๐ต)) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ ๐‘… โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐‘€))) โ†’ ((๐ด ยทs ๐‘ฆ) -s (๐‘ฃ ยทs ๐‘ฆ)) โˆˆ No )
520518, 519, 469sleadd2d 27719 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘ฅ โˆˆ ( R โ€˜๐ด) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ( L โ€˜๐ต)) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ ๐‘… โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐‘€))) โ†’ (((๐ด ยทs ๐‘ค) -s (๐‘ฃ ยทs ๐‘ค)) โ‰คs ((๐ด ยทs ๐‘ฆ) -s (๐‘ฃ ยทs ๐‘ฆ)) โ†” ((๐‘ฃ ยทs ๐ต) +s ((๐ด ยทs ๐‘ค) -s (๐‘ฃ ยทs ๐‘ค))) โ‰คs ((๐‘ฃ ยทs ๐ต) +s ((๐ด ยทs ๐‘ฆ) -s (๐‘ฃ ยทs ๐‘ฆ)))))
521517, 520bitrd 279 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘ฅ โˆˆ ( R โ€˜๐ด) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ( L โ€˜๐ต)) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ ๐‘… โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐‘€))) โ†’ (((๐ด ยทs ๐‘ค) -s (๐ด ยทs ๐‘ฆ)) โ‰คs ((๐‘ฃ ยทs ๐‘ค) -s (๐‘ฃ ยทs ๐‘ฆ)) โ†” ((๐‘ฃ ยทs ๐ต) +s ((๐ด ยทs ๐‘ค) -s (๐‘ฃ ยทs ๐‘ค))) โ‰คs ((๐‘ฃ ยทs ๐ต) +s ((๐ด ยทs ๐‘ฆ) -s (๐‘ฃ ยทs ๐‘ฆ)))))
522521adantrrr 722 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘ฅ โˆˆ ( R โ€˜๐ด) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ( L โ€˜๐ต)) โˆง ((๐‘ฃ โˆˆ ๐‘… โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐‘€) โˆง (๐‘ฃ โ‰คs ๐‘ฅ โˆง ๐‘ฆ โ‰คs ๐‘ค)))) โ†’ (((๐ด ยทs ๐‘ค) -s (๐ด ยทs ๐‘ฆ)) โ‰คs ((๐‘ฃ ยทs ๐‘ค) -s (๐‘ฃ ยทs ๐‘ฆ)) โ†” ((๐‘ฃ ยทs ๐ต) +s ((๐ด ยทs ๐‘ค) -s (๐‘ฃ ยทs ๐‘ค))) โ‰คs ((๐‘ฃ ยทs ๐ต) +s ((๐ด ยทs ๐‘ฆ) -s (๐‘ฃ ยทs ๐‘ฆ)))))
523516, 522mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘ฅ โˆˆ ( R โ€˜๐ด) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ( L โ€˜๐ต)) โˆง ((๐‘ฃ โˆˆ ๐‘… โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐‘€) โˆง (๐‘ฃ โ‰คs ๐‘ฅ โˆง ๐‘ฆ โ‰คs ๐‘ค)))) โ†’ ((๐‘ฃ ยทs ๐ต) +s ((๐ด ยทs ๐‘ค) -s (๐‘ฃ ยทs ๐‘ค))) โ‰คs ((๐‘ฃ ยทs ๐ต) +s ((๐ด ยทs ๐‘ฆ) -s (๐‘ฃ ยทs ๐‘ฆ))))
524469, 475, 478addsubsassd 27788 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘ฅ โˆˆ ( R โ€˜๐ด) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ( L โ€˜๐ต)) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ ๐‘… โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐‘€))) โ†’ (((๐‘ฃ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ค)) -s (๐‘ฃ ยทs ๐‘ค)) = ((๐‘ฃ ยทs ๐ต) +s ((๐ด ยทs ๐‘ค) -s (๐‘ฃ ยทs ๐‘ค))))
525524adantrrr 722 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘ฅ โˆˆ ( R โ€˜๐ด) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ( L โ€˜๐ต)) โˆง ((๐‘ฃ โˆˆ ๐‘… โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐‘€) โˆง (๐‘ฃ โ‰คs ๐‘ฅ โˆง ๐‘ฆ โ‰คs ๐‘ค)))) โ†’ (((๐‘ฃ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ค)) -s (๐‘ฃ ยทs ๐‘ค)) = ((๐‘ฃ ยทs ๐ต) +s ((๐ด ยทs ๐‘ค) -s (๐‘ฃ ยทs ๐‘ค))))
526469, 485, 488addsubsassd 27788 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘ฅ โˆˆ ( R โ€˜๐ด) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ( L โ€˜๐ต)) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ ๐‘… โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐‘€))) โ†’ (((๐‘ฃ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ฆ)) -s (๐‘ฃ ยทs ๐‘ฆ)) = ((๐‘ฃ ยทs ๐ต) +s ((๐ด ยทs ๐‘ฆ) -s (๐‘ฃ ยทs ๐‘ฆ))))
527526adantrrr 722 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘ฅ โˆˆ ( R โ€˜๐ด) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ( L โ€˜๐ต)) โˆง ((๐‘ฃ โˆˆ ๐‘… โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐‘€) โˆง (๐‘ฃ โ‰คs ๐‘ฅ โˆง ๐‘ฆ โ‰คs ๐‘ค)))) โ†’ (((๐‘ฃ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ฆ)) -s (๐‘ฃ ยทs ๐‘ฆ)) = ((๐‘ฃ ยทs ๐ต) +s ((๐ด ยทs ๐‘ฆ) -s (๐‘ฃ ยทs ๐‘ฆ))))
528523, 525, 5273brtr4d 5180 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘ฅ โˆˆ ( R โ€˜๐ด) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ( L โ€˜๐ต)) โˆง ((๐‘ฃ โˆˆ ๐‘… โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐‘€) โˆง (๐‘ฃ โ‰คs ๐‘ฅ โˆง ๐‘ฆ โ‰คs ๐‘ค)))) โ†’ (((๐‘ฃ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ค)) -s (๐‘ฃ ยทs ๐‘ค)) โ‰คs (((๐‘ฃ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ฆ)) -s (๐‘ฃ ยทs ๐‘ฆ)))
529492adantrr 714 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘ฅ โˆˆ ( R โ€˜๐ด) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ( L โ€˜๐ต)) โˆง ((๐‘ฃ โˆˆ ๐‘… โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐‘€) โˆง (๐‘ฃ โ‰คs ๐‘ฅ โˆง ๐‘ฆ โ‰คs ๐‘ค)))) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ No )
5308adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘ฅ โˆˆ ( R โ€˜๐ด) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ( L โ€˜๐ต)) โˆง ((๐‘ฃ โˆˆ ๐‘… โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐‘€) โˆง (๐‘ฃ โ‰คs ๐‘ฅ โˆง ๐‘ฆ โ‰คs ๐‘ค)))) โ†’ ๐ต โˆˆ No )
531 simprrl 778 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((๐‘ฅ โˆˆ ( R โ€˜๐ด) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ( L โ€˜๐ต)) โˆง ((๐‘ฃ โˆˆ ๐‘… โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐‘€) โˆง (๐‘ฃ โ‰คs ๐‘ฅ โˆง ๐‘ฆ โ‰คs ๐‘ค))) โ†’ ๐‘ฃ โ‰คs ๐‘ฅ)
532531adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘ฅ โˆˆ ( R โ€˜๐ด) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ( L โ€˜๐ต)) โˆง ((๐‘ฃ โˆˆ ๐‘… โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐‘€) โˆง (๐‘ฃ โ‰คs ๐‘ฅ โˆง ๐‘ฆ โ‰คs ๐‘ค)))) โ†’ ๐‘ฃ โ‰คs ๐‘ฅ)
533493, 61syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ( R โ€˜๐ด) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ( L โ€˜๐ต))) โ†’ ( L โ€˜๐ต) <<s {๐ต})
53465adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ( R โ€˜๐ด) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ( L โ€˜๐ต))) โ†’ ๐ต โˆˆ {๐ต})
535533, 482, 534ssltsepcd 27533 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ( R โ€˜๐ด) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ( L โ€˜๐ต))) โ†’ ๐‘ฆ <s ๐ต)
536483, 493, 535sltled 27509 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ( R โ€˜๐ด) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ( L โ€˜๐ต))) โ†’ ๐‘ฆ โ‰คs ๐ต)
537536adantrr 714 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘ฅ โˆˆ ( R โ€˜๐ด) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ( L โ€˜๐ต)) โˆง ((๐‘ฃ โˆˆ ๐‘… โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐‘€) โˆง (๐‘ฃ โ‰คs ๐‘ฅ โˆง ๐‘ฆ โ‰คs ๐‘ค)))) โ†’ ๐‘ฆ โ‰คs ๐ต)
538502, 529, 503, 530, 532, 537slemuld 27834 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘ฅ โˆˆ ( R โ€˜๐ด) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ( L โ€˜๐ต)) โˆง ((๐‘ฃ โˆˆ ๐‘… โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐‘€) โˆง (๐‘ฃ โ‰คs ๐‘ฅ โˆง ๐‘ฆ โ‰คs ๐‘ค)))) โ†’ ((๐‘ฃ ยทs ๐ต) -s (๐‘ฃ ยทs ๐‘ฆ)) โ‰คs ((๐‘ฅ ยทs ๐ต) -s (๐‘ฅ ยทs ๐‘ฆ)))
539469, 488subscld 27775 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘ฅ โˆˆ ( R โ€˜๐ด) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ( L โ€˜๐ต)) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ ๐‘… โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐‘€))) โ†’ ((๐‘ฃ ยทs ๐ต) -s (๐‘ฃ ยทs ๐‘ฆ)) โˆˆ No )
540539adantrrr 722 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘ฅ โˆˆ ( R โ€˜๐ด) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ( L โ€˜๐ต)) โˆง ((๐‘ฃ โˆˆ ๐‘… โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐‘€) โˆง (๐‘ฃ โ‰คs ๐‘ฅ โˆง ๐‘ฆ โ‰คs ๐‘ค)))) โ†’ ((๐‘ฃ ยทs ๐ต) -s (๐‘ฃ ยทs ๐‘ฆ)) โˆˆ No )
541495, 498subscld 27775 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘ฅ โˆˆ ( R โ€˜๐ด) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ( L โ€˜๐ต)) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ ๐‘… โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐‘€))) โ†’ ((๐‘ฅ ยทs ๐ต) -s (๐‘ฅ ยทs ๐‘ฆ)) โˆˆ No )
542541adantrrr 722 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘ฅ โˆˆ ( R โ€˜๐ด) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ( L โ€˜๐ต)) โˆง ((๐‘ฃ โˆˆ ๐‘… โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐‘€) โˆง (๐‘ฃ โ‰คs ๐‘ฅ โˆง ๐‘ฆ โ‰คs ๐‘ค)))) โ†’ ((๐‘ฅ ยทs ๐ต) -s (๐‘ฅ ยทs ๐‘ฆ)) โˆˆ No )
543485adantrrr 722 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘ฅ โˆˆ ( R โ€˜๐ด) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ( L โ€˜๐ต)) โˆง ((๐‘ฃ โˆˆ ๐‘… โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐‘€) โˆง (๐‘ฃ โ‰คs ๐‘ฅ โˆง ๐‘ฆ โ‰คs ๐‘ค)))) โ†’ (๐ด ยทs ๐‘ฆ) โˆˆ No )
544540, 542, 543sleadd1d 27718 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘ฅ โˆˆ ( R โ€˜๐ด) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ( L โ€˜๐ต)) โˆง ((๐‘ฃ โˆˆ ๐‘… โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐‘€) โˆง (๐‘ฃ โ‰คs ๐‘ฅ โˆง ๐‘ฆ โ‰คs ๐‘ค)))) โ†’ (((๐‘ฃ ยทs ๐ต) -s (๐‘ฃ ยทs ๐‘ฆ)) โ‰คs ((๐‘ฅ ยทs ๐ต) -s (๐‘ฅ ยทs ๐‘ฆ)) โ†” (((๐‘ฃ ยทs ๐ต) -s (๐‘ฃ ยทs ๐‘ฆ)) +s (๐ด ยทs ๐‘ฆ)) โ‰คs (((๐‘ฅ ยทs ๐ต) -s (๐‘ฅ ยทs ๐‘ฆ)) +s (๐ด ยทs ๐‘ฆ))))
545538, 544mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘ฅ โˆˆ ( R โ€˜๐ด) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ( L โ€˜๐ต)) โˆง ((๐‘ฃ โˆˆ ๐‘… โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐‘€) โˆง (๐‘ฃ โ‰คs ๐‘ฅ โˆง ๐‘ฆ โ‰คs ๐‘ค)))) โ†’ (((๐‘ฃ ยทs ๐ต) -s (๐‘ฃ ยทs ๐‘ฆ)) +s (๐ด ยทs ๐‘ฆ)) โ‰คs (((๐‘ฅ ยทs ๐ต) -s (๐‘ฅ ยทs ๐‘ฆ)) +s (๐ด ยทs ๐‘ฆ)))
546469, 485, 488addsubsd 27789 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘ฅ โˆˆ ( R โ€˜๐ด) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ( L โ€˜๐ต)) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ ๐‘… โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐‘€))) โ†’ (((๐‘ฃ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ฆ)) -s (๐‘ฃ ยทs ๐‘ฆ)) = (((๐‘ฃ ยทs ๐ต) -s (๐‘ฃ ยทs ๐‘ฆ)) +s (๐ด ยทs ๐‘ฆ)))
547546adantrrr 722 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘ฅ โˆˆ ( R โ€˜๐ด) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ( L โ€˜๐ต)) โˆง ((๐‘ฃ โˆˆ ๐‘… โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐‘€) โˆง (๐‘ฃ โ‰คs ๐‘ฅ โˆง ๐‘ฆ โ‰คs ๐‘ค)))) โ†’ (((๐‘ฃ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ฆ)) -s (๐‘ฃ ยทs ๐‘ฆ)) = (((๐‘ฃ ยทs ๐ต) -s (๐‘ฃ ยทs ๐‘ฆ)) +s (๐ด ยทs ๐‘ฆ)))
5484adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ( R โ€˜๐ด) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ( L โ€˜๐ต))) โ†’ ๐ด โˆˆ No )
549548, 483mulscld 27831 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ( R โ€˜๐ด) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ( L โ€˜๐ต))) โ†’ (๐ด ยทs ๐‘ฆ) โˆˆ No )
550494, 549, 497addsubsd 27789 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ( R โ€˜๐ด) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ( L โ€˜๐ต))) โ†’ (((๐‘ฅ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ฆ)) -s (๐‘ฅ ยทs ๐‘ฆ)) = (((๐‘ฅ ยทs ๐ต) -s (๐‘ฅ ยทs ๐‘ฆ)) +s (๐ด ยทs ๐‘ฆ)))
551550adantrr 714 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘ฅ โˆˆ ( R โ€˜๐ด) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ( L โ€˜๐ต)) โˆง ((๐‘ฃ โˆˆ ๐‘… โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐‘€) โˆง (๐‘ฃ โ‰คs ๐‘ฅ โˆง ๐‘ฆ โ‰คs ๐‘ค)))) โ†’ (((๐‘ฅ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ฆ)) -s (๐‘ฅ ยทs ๐‘ฆ)) = (((๐‘ฅ ยทs ๐ต) -s (๐‘ฅ ยทs ๐‘ฆ)) +s (๐ด ยทs ๐‘ฆ)))
552545, 547, 5513brtr4d 5180 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘ฅ โˆˆ ( R โ€˜๐ด) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ( L โ€˜๐ต)) โˆง ((๐‘ฃ โˆˆ ๐‘… โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐‘€) โˆง (๐‘ฃ โ‰คs ๐‘ฅ โˆง ๐‘ฆ โ‰คs ๐‘ค)))) โ†’ (((๐‘ฃ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ฆ)) -s (๐‘ฃ ยทs ๐‘ฆ)) โ‰คs (((๐‘ฅ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ฆ)) -s (๐‘ฅ ยทs ๐‘ฆ)))
553480, 490, 500, 528, 552sletrd 27502 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘ฅ โˆˆ ( R โ€˜๐ด) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ( L โ€˜๐ต)) โˆง ((๐‘ฃ โˆˆ ๐‘… โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐‘€) โˆง (๐‘ฃ โ‰คs ๐‘ฅ โˆง ๐‘ฆ โ‰คs ๐‘ค)))) โ†’ (((๐‘ฃ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ค)) -s (๐‘ฃ ยทs ๐‘ค)) โ‰คs (((๐‘ฅ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ฆ)) -s (๐‘ฅ ยทs ๐‘ฆ)))
554553anassrs 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ( R โ€˜๐ด) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ( L โ€˜๐ต))) โˆง ((๐‘ฃ โˆˆ ๐‘… โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐‘€) โˆง (๐‘ฃ โ‰คs ๐‘ฅ โˆง ๐‘ฆ โ‰คs ๐‘ค))) โ†’ (((๐‘ฃ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ค)) -s (๐‘ฃ ยทs ๐‘ค)) โ‰คs (((๐‘ฅ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ฆ)) -s (๐‘ฅ ยทs ๐‘ฆ)))
555554expr 456 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ( R โ€˜๐ด) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ( L โ€˜๐ต))) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ ๐‘… โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐‘€)) โ†’ ((๐‘ฃ โ‰คs ๐‘ฅ โˆง ๐‘ฆ โ‰คs ๐‘ค) โ†’ (((๐‘ฃ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ค)) -s (๐‘ฃ ยทs ๐‘ค)) โ‰คs (((๐‘ฅ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ฆ)) -s (๐‘ฅ ยทs ๐‘ฆ))))
556555reximdvva 3204 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ( R โ€˜๐ด) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ( L โ€˜๐ต))) โ†’ (โˆƒ๐‘ฃ โˆˆ ๐‘… โˆƒ๐‘ค โˆˆ ๐‘€ (๐‘ฃ โ‰คs ๐‘ฅ โˆง ๐‘ฆ โ‰คs ๐‘ค) โ†’ โˆƒ๐‘ฃ โˆˆ ๐‘… โˆƒ๐‘ค โˆˆ ๐‘€ (((๐‘ฃ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ค)) -s (๐‘ฃ ยทs ๐‘ค)) โ‰คs (((๐‘ฅ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ฆ)) -s (๐‘ฅ ยทs ๐‘ฆ))))
557556expcom 413 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐‘ฅ โˆˆ ( R โ€˜๐ด) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ( L โ€˜๐ต)) โ†’ (๐œ‘ โ†’ (โˆƒ๐‘ฃ โˆˆ ๐‘… โˆƒ๐‘ค โˆˆ ๐‘€ (๐‘ฃ โ‰คs ๐‘ฅ โˆง ๐‘ฆ โ‰คs ๐‘ค) โ†’ โˆƒ๐‘ฃ โˆˆ ๐‘… โˆƒ๐‘ค โˆˆ ๐‘€ (((๐‘ฃ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ค)) -s (๐‘ฃ ยทs ๐‘ค)) โ‰คs (((๐‘ฅ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ฆ)) -s (๐‘ฅ ยทs ๐‘ฆ)))))
558557com23 86 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐‘ฅ โˆˆ ( R โ€˜๐ด) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ( L โ€˜๐ต)) โ†’ (โˆƒ๐‘ฃ โˆˆ ๐‘… โˆƒ๐‘ค โˆˆ ๐‘€ (๐‘ฃ โ‰คs ๐‘ฅ โˆง ๐‘ฆ โ‰คs ๐‘ค) โ†’ (๐œ‘ โ†’ โˆƒ๐‘ฃ โˆˆ ๐‘… โˆƒ๐‘ค โˆˆ ๐‘€ (((๐‘ฃ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ค)) -s (๐‘ฃ ยทs ๐‘ค)) โ‰คs (((๐‘ฅ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ฆ)) -s (๐‘ฅ ยทs ๐‘ฆ)))))
559558imp 406 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐‘ฅ โˆˆ ( R โ€˜๐ด) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ( L โ€˜๐ต)) โˆง โˆƒ๐‘ฃ โˆˆ ๐‘… โˆƒ๐‘ค โˆˆ ๐‘€ (๐‘ฃ โ‰คs ๐‘ฅ โˆง ๐‘ฆ โ‰คs ๐‘ค)) โ†’ (๐œ‘ โ†’ โˆƒ๐‘ฃ โˆˆ ๐‘… โˆƒ๐‘ค โˆˆ ๐‘€ (((๐‘ฃ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ค)) -s (๐‘ฃ ยทs ๐‘ค)) โ‰คs (((๐‘ฅ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ฆ)) -s (๐‘ฅ ยทs ๐‘ฆ))))
560463, 559sylan2br 594 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐‘ฅ โˆˆ ( R โ€˜๐ด) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ( L โ€˜๐ต)) โˆง (โˆƒ๐‘ฃ โˆˆ ๐‘… ๐‘ฃ โ‰คs ๐‘ฅ โˆง โˆƒ๐‘ค โˆˆ ๐‘€ ๐‘ฆ โ‰คs ๐‘ค)) โ†’ (๐œ‘ โ†’ โˆƒ๐‘ฃ โˆˆ ๐‘… โˆƒ๐‘ค โˆˆ ๐‘€ (((๐‘ฃ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ค)) -s (๐‘ฃ ยทs ๐‘ค)) โ‰คs (((๐‘ฅ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ฆ)) -s (๐‘ฅ ยทs ๐‘ฆ))))
561560an4s 657 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐‘ฅ โˆˆ ( R โ€˜๐ด) โˆง โˆƒ๐‘ฃ โˆˆ ๐‘… ๐‘ฃ โ‰คs ๐‘ฅ) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ ( L โ€˜๐ต) โˆง โˆƒ๐‘ค โˆˆ ๐‘€ ๐‘ฆ โ‰คs ๐‘ค)) โ†’ (๐œ‘ โ†’ โˆƒ๐‘ฃ โˆˆ ๐‘… โˆƒ๐‘ค โˆˆ ๐‘€ (((๐‘ฃ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ค)) -s (๐‘ฃ ยทs ๐‘ค)) โ‰คs (((๐‘ฅ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ฆ)) -s (๐‘ฅ ยทs ๐‘ฆ))))
562561impcom 407 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘ฅ โˆˆ ( R โ€˜๐ด) โˆง โˆƒ๐‘ฃ โˆˆ ๐‘… ๐‘ฃ โ‰คs ๐‘ฅ) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ ( L โ€˜๐ต) โˆง โˆƒ๐‘ค โˆˆ ๐‘€ ๐‘ฆ โ‰คs ๐‘ค))) โ†’ โˆƒ๐‘ฃ โˆˆ ๐‘… โˆƒ๐‘ค โˆˆ ๐‘€ (((๐‘ฃ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ค)) -s (๐‘ฃ ยทs ๐‘ค)) โ‰คs (((๐‘ฅ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ฆ)) -s (๐‘ฅ ยทs ๐‘ฆ)))
563562anassrs 467 . . . . . . . . . . 11 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ( R โ€˜๐ด) โˆง โˆƒ๐‘ฃ โˆˆ ๐‘… ๐‘ฃ โ‰คs ๐‘ฅ)) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ ( L โ€˜๐ต) โˆง โˆƒ๐‘ค โˆˆ ๐‘€ ๐‘ฆ โ‰คs ๐‘ค)) โ†’ โˆƒ๐‘ฃ โˆˆ ๐‘… โˆƒ๐‘ค โˆˆ ๐‘€ (((๐‘ฃ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ค)) -s (๐‘ฃ ยทs ๐‘ค)) โ‰คs (((๐‘ฅ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ฆ)) -s (๐‘ฅ ยทs ๐‘ฆ)))
564563expr 456 . . . . . . . . . 10 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ( R โ€˜๐ด) โˆง โˆƒ๐‘ฃ โˆˆ ๐‘… ๐‘ฃ โ‰คs ๐‘ฅ)) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ( L โ€˜๐ต)) โ†’ (โˆƒ๐‘ค โˆˆ ๐‘€ ๐‘ฆ โ‰คs ๐‘ค โ†’ โˆƒ๐‘ฃ โˆˆ ๐‘… โˆƒ๐‘ค โˆˆ ๐‘€ (((๐‘ฃ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ค)) -s (๐‘ฃ ยทs ๐‘ค)) โ‰คs (((๐‘ฅ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ฆ)) -s (๐‘ฅ ยทs ๐‘ฆ))))
565564ralimdva 3166 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ( R โ€˜๐ด) โˆง โˆƒ๐‘ฃ โˆˆ ๐‘… ๐‘ฃ โ‰คs ๐‘ฅ)) โ†’ (โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ( L โ€˜๐ต)โˆƒ๐‘ค โˆˆ ๐‘€ ๐‘ฆ โ‰คs ๐‘ค โ†’ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ( L โ€˜๐ต)โˆƒ๐‘ฃ โˆˆ ๐‘… โˆƒ๐‘ค โˆˆ ๐‘€ (((๐‘ฃ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ค)) -s (๐‘ฃ ยทs ๐‘ค)) โ‰คs (((๐‘ฅ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ฆ)) -s (๐‘ฅ ยทs ๐‘ฆ))))
566462, 565mpd 15 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ( R โ€˜๐ด) โˆง โˆƒ๐‘ฃ โˆˆ ๐‘… ๐‘ฃ โ‰คs ๐‘ฅ)) โ†’ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ( L โ€˜๐ต)โˆƒ๐‘ฃ โˆˆ ๐‘… โˆƒ๐‘ค โˆˆ ๐‘€ (((๐‘ฃ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ค)) -s (๐‘ฃ ยทs ๐‘ค)) โ‰คs (((๐‘ฅ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ฆ)) -s (๐‘ฅ ยทs ๐‘ฆ)))
567566expr 456 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ( R โ€˜๐ด)) โ†’ (โˆƒ๐‘ฃ โˆˆ ๐‘… ๐‘ฃ โ‰คs ๐‘ฅ โ†’ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ( L โ€˜๐ต)โˆƒ๐‘ฃ โˆˆ ๐‘… โˆƒ๐‘ค โˆˆ ๐‘€ (((๐‘ฃ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ค)) -s (๐‘ฃ ยทs ๐‘ค)) โ‰คs (((๐‘ฅ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ฆ)) -s (๐‘ฅ ยทs ๐‘ฆ))))
568567ralimdva 3166 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ( R โ€˜๐ด)โˆƒ๐‘ฃ โˆˆ ๐‘… ๐‘ฃ โ‰คs ๐‘ฅ โ†’ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ( R โ€˜๐ด)โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ( L โ€˜๐ต)โˆƒ๐‘ฃ โˆˆ ๐‘… โˆƒ๐‘ค โˆˆ ๐‘€ (((๐‘ฃ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ค)) -s (๐‘ฃ ยทs ๐‘ค)) โ‰คs (((๐‘ฅ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ฆ)) -s (๐‘ฅ ยทs ๐‘ฆ))))
569460, 568mpd 15 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ( R โ€˜๐ด)โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ( L โ€˜๐ต)โˆƒ๐‘ฃ โˆˆ ๐‘… โˆƒ๐‘ค โˆˆ ๐‘€ (((๐‘ฃ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ค)) -s (๐‘ฃ ยทs ๐‘ค)) โ‰คs (((๐‘ฅ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ฆ)) -s (๐‘ฅ ยทs ๐‘ฆ)))
570 eqeq1 2735 . . . . . . . . . 10 (๐‘‘ = ๐‘ง โ†’ (๐‘‘ = (((๐‘ฃ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ค)) -s (๐‘ฃ ยทs ๐‘ค)) โ†” ๐‘ง = (((๐‘ฃ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ค)) -s (๐‘ฃ ยทs ๐‘ค))))
5715702rexbidv 3218 . . . . . . . . 9 (๐‘‘ = ๐‘ง โ†’ (โˆƒ๐‘ฃ โˆˆ ๐‘… โˆƒ๐‘ค โˆˆ ๐‘€ ๐‘‘ = (((๐‘ฃ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ค)) -s (๐‘ฃ ยทs ๐‘ค)) โ†” โˆƒ๐‘ฃ โˆˆ ๐‘… โˆƒ๐‘ค โˆˆ ๐‘€ ๐‘ง = (((๐‘ฃ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ค)) -s (๐‘ฃ ยทs ๐‘ค))))
572571rexab 3690 . . . . . . . 8 (โˆƒ๐‘ง โˆˆ {๐‘‘ โˆฃ โˆƒ๐‘ฃ โˆˆ ๐‘… โˆƒ๐‘ค โˆˆ ๐‘€ ๐‘‘ = (((๐‘ฃ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ค)) -s (๐‘ฃ ยทs ๐‘ค))}๐‘ง โ‰คs (((๐‘ฅ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ฆ)) -s (๐‘ฅ ยทs ๐‘ฆ)) โ†” โˆƒ๐‘ง(โˆƒ๐‘ฃ โˆˆ ๐‘… โˆƒ๐‘ค โˆˆ ๐‘€ ๐‘ง = (((๐‘ฃ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ค)) -s (๐‘ฃ ยทs ๐‘ค)) โˆง ๐‘ง โ‰คs (((๐‘ฅ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ฆ)) -s (๐‘ฅ ยทs ๐‘ฆ))))
573 r19.41vv 3223 . . . . . . . . 9 (โˆƒ๐‘ฃ โˆˆ ๐‘… โˆƒ๐‘ค โˆˆ ๐‘€ (๐‘ง = (((๐‘ฃ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ค)) -s (๐‘ฃ ยทs ๐‘ค)) โˆง ๐‘ง โ‰คs (((๐‘ฅ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ฆ)) -s (๐‘ฅ ยทs ๐‘ฆ))) โ†” (โˆƒ๐‘ฃ โˆˆ ๐‘… โˆƒ๐‘ค โˆˆ ๐‘€ ๐‘ง = (((๐‘ฃ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ค)) -s (๐‘ฃ ยทs ๐‘ค)) โˆง ๐‘ง โ‰คs (((๐‘ฅ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ฆ)) -s (๐‘ฅ ยทs ๐‘ฆ))))
574573exbii 1849 . . . . . . . 8 (โˆƒ๐‘งโˆƒ๐‘ฃ โˆˆ ๐‘… โˆƒ๐‘ค โˆˆ ๐‘€ (๐‘ง = (((๐‘ฃ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ค)) -s (๐‘ฃ ยทs ๐‘ค)) โˆง ๐‘ง โ‰คs (((๐‘ฅ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ฆ)) -s (๐‘ฅ ยทs ๐‘ฆ))) โ†” โˆƒ๐‘ง(โˆƒ๐‘ฃ โˆˆ ๐‘… โˆƒ๐‘ค โˆˆ ๐‘€ ๐‘ง = (((๐‘ฃ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ค)) -s (๐‘ฃ ยทs ๐‘ค)) โˆง ๐‘ง โ‰คs (((๐‘ฅ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ฆ)) -s (๐‘ฅ ยทs ๐‘ฆ))))
575 rexcom4 3284 . . . . . . . . 9 (โˆƒ๐‘ฃ โˆˆ ๐‘… โˆƒ๐‘งโˆƒ๐‘ค โˆˆ ๐‘€ (๐‘ง = (((๐‘ฃ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ค)) -s (๐‘ฃ ยทs ๐‘ค)) โˆง ๐‘ง โ‰คs (((๐‘ฅ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ฆ)) -s (๐‘ฅ ยทs ๐‘ฆ))) โ†” โˆƒ๐‘งโˆƒ๐‘ฃ โˆˆ ๐‘… โˆƒ๐‘ค โˆˆ ๐‘€ (๐‘ง = (((๐‘ฃ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ค)) -s (๐‘ฃ ยทs ๐‘ค)) โˆง ๐‘ง โ‰คs (((๐‘ฅ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ฆ)) -s (๐‘ฅ ยทs ๐‘ฆ))))
576 rexcom4 3284 . . . . . . . . . . 11 (โˆƒ๐‘ค โˆˆ ๐‘€ โˆƒ๐‘ง(๐‘ง = (((๐‘ฃ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ค)) -s (๐‘ฃ ยทs ๐‘ค)) โˆง ๐‘ง โ‰คs (((๐‘ฅ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ฆ)) -s (๐‘ฅ ยทs ๐‘ฆ))) โ†” โˆƒ๐‘งโˆƒ๐‘ค โˆˆ ๐‘€ (๐‘ง = (((๐‘ฃ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ค)) -s (๐‘ฃ ยทs ๐‘ค)) โˆง ๐‘ง โ‰คs (((๐‘ฅ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ฆ)) -s (๐‘ฅ ยทs ๐‘ฆ))))
577 ovex 7445 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐‘ฃ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ค)) -s (๐‘ฃ ยทs ๐‘ค)) โˆˆ V
578 breq1 5151 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ง = (((๐‘ฃ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ค)) -s (๐‘ฃ ยทs ๐‘ค)) โ†’ (๐‘ง โ‰คs (((๐‘ฅ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ฆ)) -s (๐‘ฅ ยทs ๐‘ฆ)) โ†” (((๐‘ฃ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ค)) -s (๐‘ฃ ยทs ๐‘ค)) โ‰คs (((๐‘ฅ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ฆ)) -s (๐‘ฅ ยทs ๐‘ฆ))))
579577, 578ceqsexv 3525 . . . . . . . . . . . 12 (โˆƒ๐‘ง(๐‘ง = (((๐‘ฃ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ค)) -s (๐‘ฃ ยทs ๐‘ค)) โˆง ๐‘ง โ‰คs (((๐‘ฅ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ฆ)) -s (๐‘ฅ ยทs ๐‘ฆ))) โ†” (((๐‘ฃ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ค)) -s (๐‘ฃ ยทs ๐‘ค)) โ‰คs (((๐‘ฅ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ฆ)) -s (๐‘ฅ ยทs ๐‘ฆ)))
580579rexbii 3093 . . . . . . . . . . 11 (โˆƒ๐‘ค โˆˆ ๐‘€ โˆƒ๐‘ง(๐‘ง = (((๐‘ฃ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ค)) -s (๐‘ฃ ยทs ๐‘ค)) โˆง ๐‘ง โ‰คs (((๐‘ฅ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ฆ)) -s (๐‘ฅ ยทs ๐‘ฆ))) โ†” โˆƒ๐‘ค โˆˆ ๐‘€ (((๐‘ฃ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ค)) -s (๐‘ฃ ยทs ๐‘ค)) โ‰คs (((๐‘ฅ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ฆ)) -s (๐‘ฅ ยทs ๐‘ฆ)))
581576, 580bitr3i 277 . . . . . . . . . 10 (โˆƒ๐‘งโˆƒ๐‘ค โˆˆ ๐‘€ (๐‘ง = (((๐‘ฃ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ค)) -s (๐‘ฃ ยทs ๐‘ค)) โˆง ๐‘ง โ‰คs (((๐‘ฅ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ฆ)) -s (๐‘ฅ ยทs ๐‘ฆ))) โ†” โˆƒ๐‘ค โˆˆ ๐‘€ (((๐‘ฃ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ค)) -s (๐‘ฃ ยทs ๐‘ค)) โ‰คs (((๐‘ฅ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ฆ)) -s (๐‘ฅ ยทs ๐‘ฆ)))
582581rexbii 3093 . . . . . . . . 9 (โˆƒ๐‘ฃ โˆˆ ๐‘… โˆƒ๐‘งโˆƒ๐‘ค โˆˆ ๐‘€ (๐‘ง = (((๐‘ฃ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ค)) -s (๐‘ฃ ยทs ๐‘ค)) โˆง ๐‘ง โ‰คs (((๐‘ฅ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ฆ)) -s (๐‘ฅ ยทs ๐‘ฆ))) โ†” โˆƒ๐‘ฃ โˆˆ ๐‘… โˆƒ๐‘ค โˆˆ ๐‘€ (((๐‘ฃ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ค)) -s (๐‘ฃ ยทs ๐‘ค)) โ‰คs (((๐‘ฅ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ฆ)) -s (๐‘ฅ ยทs ๐‘ฆ)))
583575, 582bitr3i 277 . . . . . . . 8 (โˆƒ๐‘งโˆƒ๐‘ฃ โˆˆ ๐‘… โˆƒ๐‘ค โˆˆ ๐‘€ (๐‘ง = (((๐‘ฃ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ค)) -s (๐‘ฃ ยทs ๐‘ค)) โˆง ๐‘ง โ‰คs (((๐‘ฅ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ฆ)) -s (๐‘ฅ ยทs ๐‘ฆ))) โ†” โˆƒ๐‘ฃ โˆˆ ๐‘… โˆƒ๐‘ค โˆˆ ๐‘€ (((๐‘ฃ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ค)) -s (๐‘ฃ ยทs ๐‘ค)) โ‰คs (((๐‘ฅ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ฆ)) -s (๐‘ฅ ยทs ๐‘ฆ)))
584572, 574, 5833bitr2i 299 . . . . . . 7 (โˆƒ๐‘ง โˆˆ {๐‘‘ โˆฃ โˆƒ๐‘ฃ โˆˆ ๐‘… โˆƒ๐‘ค โˆˆ ๐‘€ ๐‘‘ = (((๐‘ฃ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ค)) -s (๐‘ฃ ยทs ๐‘ค))}๐‘ง โ‰คs (((๐‘ฅ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ฆ)) -s (๐‘ฅ ยทs ๐‘ฆ)) โ†” โˆƒ๐‘ฃ โˆˆ ๐‘… โˆƒ๐‘ค โˆˆ ๐‘€ (((๐‘ฃ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ค)) -s (๐‘ฃ ยทs ๐‘ค)) โ‰คs (((๐‘ฅ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ฆ)) -s (๐‘ฅ ยทs ๐‘ฆ)))
585 ssun2 4173 . . . . . . . 8 {๐‘‘ โˆฃ โˆƒ๐‘ฃ โˆˆ ๐‘… โˆƒ๐‘ค โˆˆ ๐‘€ ๐‘‘ = (((๐‘ฃ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ค)) -s (๐‘ฃ ยทs ๐‘ค))} โІ ({๐‘ โˆฃ โˆƒ๐‘ก โˆˆ ๐ฟ โˆƒ๐‘ข โˆˆ ๐‘† ๐‘ = (((๐‘ก ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ข)) -s (๐‘ก ยทs ๐‘ข))} โˆช {๐‘‘ โˆฃ โˆƒ๐‘ฃ โˆˆ ๐‘… โˆƒ๐‘ค โˆˆ ๐‘€ ๐‘‘ = (((๐‘ฃ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ค)) -s (๐‘ฃ ยทs ๐‘ค))})
586 ssrexv 4051 . . . . . . . 8 ({๐‘‘ โˆฃ โˆƒ๐‘ฃ โˆˆ ๐‘… โˆƒ๐‘ค โˆˆ ๐‘€ ๐‘‘ = (((๐‘ฃ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ค)) -s (๐‘ฃ ยทs ๐‘ค))} โІ ({๐‘ โˆฃ โˆƒ๐‘ก โˆˆ ๐ฟ โˆƒ๐‘ข โˆˆ ๐‘† ๐‘ = (((๐‘ก ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ข)) -s (๐‘ก ยทs ๐‘ข))} โˆช {๐‘‘ โˆฃ โˆƒ๐‘ฃ โˆˆ ๐‘… โˆƒ๐‘ค โˆˆ ๐‘€ ๐‘‘ = (((๐‘ฃ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ค)) -s (๐‘ฃ ยทs ๐‘ค))}) โ†’ (โˆƒ๐‘ง โˆˆ {๐‘‘ โˆฃ โˆƒ๐‘ฃ โˆˆ ๐‘… โˆƒ๐‘ค โˆˆ ๐‘€ ๐‘‘ = (((๐‘ฃ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ค)) -s (๐‘ฃ ยทs ๐‘ค))}๐‘ง โ‰คs (((๐‘ฅ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ฆ)) -s (๐‘ฅ ยทs ๐‘ฆ)) โ†’ โˆƒ๐‘ง โˆˆ ({๐‘ โˆฃ โˆƒ๐‘ก โˆˆ ๐ฟ โˆƒ๐‘ข โˆˆ ๐‘† ๐‘ = (((๐‘ก ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ข)) -s (๐‘ก ยทs ๐‘ข))} โˆช {๐‘‘ โˆฃ โˆƒ๐‘ฃ โˆˆ ๐‘… โˆƒ๐‘ค โˆˆ ๐‘€ ๐‘‘ = (((๐‘ฃ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ค)) -s (๐‘ฃ ยทs ๐‘ค))})๐‘ง โ‰คs (((๐‘ฅ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ฆ)) -s (๐‘ฅ ยทs ๐‘ฆ))))
587585, 586ax-mp 5 . . . . . . 7 (โˆƒ๐‘ง โˆˆ {๐‘‘ โˆฃ โˆƒ๐‘ฃ โˆˆ ๐‘… โˆƒ๐‘ค โˆˆ ๐‘€ ๐‘‘ = (((๐‘ฃ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ค)) -s (๐‘ฃ ยทs ๐‘ค))}๐‘ง โ‰คs (((๐‘ฅ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ฆ)) -s (๐‘ฅ ยทs ๐‘ฆ)) โ†’ โˆƒ๐‘ง โˆˆ ({๐‘ โˆฃ โˆƒ๐‘ก โˆˆ ๐ฟ โˆƒ๐‘ข โˆˆ ๐‘† ๐‘ = (((๐‘ก ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ข)) -s (๐‘ก ยทs ๐‘ข))} โˆช {๐‘‘ โˆฃ โˆƒ๐‘ฃ โˆˆ ๐‘… โˆƒ๐‘ค โˆˆ ๐‘€ ๐‘‘ = (((๐‘ฃ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ค)) -s (๐‘ฃ ยทs ๐‘ค))})๐‘ง โ‰คs (((๐‘ฅ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ฆ)) -s (๐‘ฅ ยทs ๐‘ฆ)))
588584, 587sylbir 234 . . . . . 6 (โˆƒ๐‘ฃ โˆˆ ๐‘… โˆƒ๐‘ค โˆˆ ๐‘€ (((๐‘ฃ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ค)) -s (๐‘ฃ ยทs ๐‘ค)) โ‰คs (((๐‘ฅ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ฆ)) -s (๐‘ฅ ยทs ๐‘ฆ)) โ†’ โˆƒ๐‘ง โˆˆ ({๐‘ โˆฃ โˆƒ๐‘ก โˆˆ ๐ฟ โˆƒ๐‘ข โˆˆ ๐‘† ๐‘ = (((๐‘ก ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ข)) -s (๐‘ก ยทs ๐‘ข))} โˆช {๐‘‘ โˆฃ โˆƒ๐‘ฃ โˆˆ ๐‘… โˆƒ๐‘ค โˆˆ ๐‘€ ๐‘‘ = (((๐‘ฃ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ค)) -s (๐‘ฃ ยทs ๐‘ค))})๐‘ง โ‰คs (((๐‘ฅ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ฆ)) -s (๐‘ฅ ยทs ๐‘ฆ)))
5895882ralimi 3122 . . . . 5 (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ( R โ€˜๐ด)โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ( L โ€˜๐ต)โˆƒ๐‘ฃ โˆˆ ๐‘… โˆƒ๐‘ค โˆˆ ๐‘€ (((๐‘ฃ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ค)) -s (๐‘ฃ ยทs ๐‘ค)) โ‰คs (((๐‘ฅ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ฆ)) -s (๐‘ฅ ยทs ๐‘ฆ)) โ†’ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ( R โ€˜๐ด)โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ( L โ€˜๐ต)โˆƒ๐‘ง โˆˆ ({๐‘ โˆฃ โˆƒ๐‘ก โˆˆ ๐ฟ โˆƒ๐‘ข โˆˆ ๐‘† ๐‘ = (((๐‘ก ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ข)) -s (๐‘ก ยทs ๐‘ข))} โˆช {๐‘‘ โˆฃ โˆƒ๐‘ฃ โˆˆ ๐‘… โˆƒ๐‘ค โˆˆ ๐‘€ ๐‘‘ = (((๐‘ฃ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ค)) -s (๐‘ฃ ยทs ๐‘ค))})๐‘ง โ‰คs (((๐‘ฅ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ฆ)) -s (๐‘ฅ ยทs ๐‘ฆ)))
590569, 589syl 17 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ( R โ€˜๐ด)โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ( L โ€˜๐ต)โˆƒ๐‘ง โˆˆ ({๐‘ โˆฃ โˆƒ๐‘ก โˆˆ ๐ฟ โˆƒ๐‘ข โˆˆ ๐‘† ๐‘ = (((๐‘ก ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ข)) -s (๐‘ก ยทs ๐‘ข))} โˆช {๐‘‘ โˆฃ โˆƒ๐‘ฃ โˆˆ ๐‘… โˆƒ๐‘ค โˆˆ ๐‘€ ๐‘‘ = (((๐‘ฃ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ค)) -s (๐‘ฃ ยทs ๐‘ค))})๐‘ง โ‰คs (((๐‘ฅ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ฆ)) -s (๐‘ฅ ยทs ๐‘ฆ)))
591 ralunb 4191 . . . . 5 (โˆ€๐‘ฅ๐‘‚ โˆˆ ({๐‘˜ โˆฃ โˆƒ๐‘™ โˆˆ ( L โ€˜๐ด)โˆƒ๐‘š โˆˆ ( R โ€˜๐ต)๐‘˜ = (((๐‘™ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘š)) -s (๐‘™ ยทs ๐‘š))} โˆช {๐‘› โˆฃ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ ( R โ€˜๐ด)โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ ( L โ€˜๐ต)๐‘› = (((๐‘ฅ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ฆ)) -s (๐‘ฅ ยทs ๐‘ฆ))})โˆƒ๐‘ง โˆˆ ({๐‘ โˆฃ โˆƒ๐‘ก โˆˆ ๐ฟ โˆƒ๐‘ข โˆˆ ๐‘† ๐‘ = (((๐‘ก ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ข)) -s (๐‘ก ยทs ๐‘ข))} โˆช {๐‘‘ โˆฃ โˆƒ๐‘ฃ โˆˆ ๐‘… โˆƒ๐‘ค โˆˆ ๐‘€ ๐‘‘ = (((๐‘ฃ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ค)) -s (๐‘ฃ ยทs ๐‘ค))})๐‘ง โ‰คs ๐‘ฅ๐‘‚ โ†” (โˆ€๐‘ฅ๐‘‚ โˆˆ {๐‘˜ โˆฃ โˆƒ๐‘™ โˆˆ ( L โ€˜๐ด)โˆƒ๐‘š โˆˆ ( R โ€˜๐ต)๐‘˜ = (((๐‘™ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘š)) -s (๐‘™ ยทs ๐‘š))}โˆƒ๐‘ง โˆˆ ({๐‘ โˆฃ โˆƒ๐‘ก โˆˆ ๐ฟ โˆƒ๐‘ข โˆˆ ๐‘† ๐‘ = (((๐‘ก ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ข)) -s (๐‘ก ยทs ๐‘ข))} โˆช {๐‘‘ โˆฃ โˆƒ๐‘ฃ โˆˆ ๐‘… โˆƒ๐‘ค โˆˆ ๐‘€ ๐‘‘ = (((๐‘ฃ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ค)) -s (๐‘ฃ ยทs ๐‘ค))})๐‘ง โ‰คs ๐‘ฅ๐‘‚ โˆง โˆ€๐‘ฅ๐‘‚ โˆˆ {๐‘› โˆฃ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ ( R โ€˜๐ด)โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ ( L โ€˜๐ต)๐‘› = (((๐‘ฅ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ฆ)) -s (๐‘ฅ ยทs ๐‘ฆ))}โˆƒ๐‘ง โˆˆ ({๐‘ โˆฃ โˆƒ๐‘ก โˆˆ ๐ฟ โˆƒ๐‘ข โˆˆ ๐‘† ๐‘ = (((๐‘ก ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ข)) -s (๐‘ก ยทs ๐‘ข))} โˆช {๐‘‘ โˆฃ โˆƒ๐‘ฃ โˆˆ ๐‘… โˆƒ๐‘ค โˆˆ ๐‘€ ๐‘‘ = (((๐‘ฃ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ค)) -s (๐‘ฃ ยทs ๐‘ค))})๐‘ง โ‰คs ๐‘ฅ๐‘‚))
592 eqeq1 2735 . . . . . . . . 9 (๐‘˜ = ๐‘ฅ๐‘‚ โ†’ (๐‘˜ = (((๐‘™ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘š)) -s (๐‘™ ยทs ๐‘š)) โ†” ๐‘ฅ๐‘‚ = (((๐‘™ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘š)) -s (๐‘™ ยทs ๐‘š))))
5935922rexbidv 3218 . . . . . . . 8 (๐‘˜ = ๐‘ฅ๐‘‚ โ†’ (โˆƒ๐‘™ โˆˆ ( L โ€˜๐ด)โˆƒ๐‘š โˆˆ ( R โ€˜๐ต)๐‘˜ = (((๐‘™ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘š)) -s (๐‘™ ยทs ๐‘š)) โ†” โˆƒ๐‘™ โˆˆ ( L โ€˜๐ด)โˆƒ๐‘š โˆˆ ( R โ€˜๐ต)๐‘ฅ๐‘‚ = (((๐‘™ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘š)) -s (๐‘™ ยทs ๐‘š))))
594593ralab 3687 . . . . . . 7 (โˆ€๐‘ฅ๐‘‚ โˆˆ {๐‘˜ โˆฃ โˆƒ๐‘™ โˆˆ ( L โ€˜๐ด)โˆƒ๐‘š โˆˆ ( R โ€˜๐ต)๐‘˜ = (((๐‘™ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘š)) -s (๐‘™ ยทs ๐‘š))}โˆƒ๐‘ง โˆˆ ({๐‘ โˆฃ โˆƒ๐‘ก โˆˆ ๐ฟ โˆƒ๐‘ข โˆˆ ๐‘† ๐‘ = (((๐‘ก ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ข)) -s (๐‘ก ยทs ๐‘ข))} โˆช {๐‘‘ โˆฃ โˆƒ๐‘ฃ โˆˆ ๐‘… โˆƒ๐‘ค โˆˆ ๐‘€ ๐‘‘ = (((๐‘ฃ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ค)) -s (๐‘ฃ ยทs ๐‘ค))})๐‘ง โ‰คs ๐‘ฅ๐‘‚ โ†” โˆ€๐‘ฅ๐‘‚(โˆƒ๐‘™ โˆˆ ( L โ€˜๐ด)โˆƒ๐‘š โˆˆ ( R โ€˜๐ต)๐‘ฅ๐‘‚ = (((๐‘™ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘š)) -s (๐‘™ ยทs ๐‘š)) โ†’ โˆƒ๐‘ง โˆˆ ({๐‘ โˆฃ โˆƒ๐‘ก โˆˆ ๐ฟ โˆƒ๐‘ข โˆˆ ๐‘† ๐‘ = (((๐‘ก ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ข)) -s (๐‘ก ยทs ๐‘ข))} โˆช {๐‘‘ โˆฃ โˆƒ๐‘ฃ โˆˆ ๐‘… โˆƒ๐‘ค โˆˆ ๐‘€ ๐‘‘ = (((๐‘ฃ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ค)) -s (๐‘ฃ ยทs ๐‘ค))})๐‘ง โ‰คs ๐‘ฅ๐‘‚))
595 r19.23v 3181 . . . . . . . . . 10 (โˆ€๐‘š โˆˆ ( R โ€˜๐ต)(๐‘ฅ๐‘‚ = (((๐‘™ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘š)) -s (๐‘™ ยทs ๐‘š)) โ†’ โˆƒ๐‘ง โˆˆ ({๐‘ โˆฃ โˆƒ๐‘ก โˆˆ ๐ฟ โˆƒ๐‘ข โˆˆ ๐‘† ๐‘ = (((๐‘ก ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ข)) -s (๐‘ก ยทs ๐‘ข))} โˆช {๐‘‘ โˆฃ โˆƒ๐‘ฃ โˆˆ ๐‘… โˆƒ๐‘ค โˆˆ ๐‘€ ๐‘‘ = (((๐‘ฃ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ค)) -s (๐‘ฃ ยทs ๐‘ค))})๐‘ง โ‰คs ๐‘ฅ๐‘‚) โ†” (โˆƒ๐‘š โˆˆ ( R โ€˜๐ต)๐‘ฅ๐‘‚ = (((๐‘™ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘š)) -s (๐‘™ ยทs ๐‘š)) โ†’ โˆƒ๐‘ง โˆˆ ({๐‘ โˆฃ โˆƒ๐‘ก โˆˆ ๐ฟ โˆƒ๐‘ข โˆˆ ๐‘† ๐‘ = (((๐‘ก ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ข)) -s (๐‘ก ยทs ๐‘ข))} โˆช {๐‘‘ โˆฃ โˆƒ๐‘ฃ โˆˆ ๐‘… โˆƒ๐‘ค โˆˆ ๐‘€ ๐‘‘ = (((๐‘ฃ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ค)) -s (๐‘ฃ ยทs ๐‘ค))})๐‘ง โ‰คs ๐‘ฅ๐‘‚))
596595ralbii 3092 . . . . . . . . 9 (โˆ€๐‘™ โˆˆ ( L โ€˜๐ด)โˆ€๐‘š โˆˆ ( R โ€˜๐ต)(๐‘ฅ๐‘‚ = (((๐‘™ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘š)) -s (๐‘™ ยทs ๐‘š)) โ†’ โˆƒ๐‘ง โˆˆ ({๐‘ โˆฃ โˆƒ๐‘ก โˆˆ ๐ฟ โˆƒ๐‘ข โˆˆ ๐‘† ๐‘ = (((๐‘ก ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ข)) -s (๐‘ก ยทs ๐‘ข))} โˆช {๐‘‘ โˆฃ โˆƒ๐‘ฃ โˆˆ ๐‘… โˆƒ๐‘ค โˆˆ ๐‘€ ๐‘‘ = (((๐‘ฃ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ค)) -s (๐‘ฃ ยทs ๐‘ค))})๐‘ง โ‰คs ๐‘ฅ๐‘‚) โ†” โˆ€๐‘™ โˆˆ ( L โ€˜๐ด)(โˆƒ๐‘š โˆˆ ( R โ€˜๐ต)๐‘ฅ๐‘‚ = (((๐‘™ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘š)) -s (๐‘™ ยทs ๐‘š)) โ†’ โˆƒ๐‘ง โˆˆ ({๐‘ โˆฃ โˆƒ๐‘ก โˆˆ ๐ฟ โˆƒ๐‘ข โˆˆ ๐‘† ๐‘ = (((๐‘ก ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ข)) -s (๐‘ก ยทs ๐‘ข))} โˆช {๐‘‘ โˆฃ โˆƒ๐‘ฃ โˆˆ ๐‘… โˆƒ๐‘ค โˆˆ ๐‘€ ๐‘‘ = (((๐‘ฃ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ค)) -s (๐‘ฃ ยทs ๐‘ค))})๐‘ง โ‰คs ๐‘ฅ๐‘‚))
597 r19.23v 3181 . . . . . . . . 9 (โˆ€๐‘™ โˆˆ ( L โ€˜๐ด)(โˆƒ๐‘š โˆˆ ( R โ€˜๐ต)๐‘ฅ๐‘‚ = (((๐‘™ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘š)) -s (๐‘™ ยทs ๐‘š)) โ†’ โˆƒ๐‘ง โˆˆ ({๐‘ โˆฃ โˆƒ๐‘ก โˆˆ ๐ฟ โˆƒ๐‘ข โˆˆ ๐‘† ๐‘ = (((๐‘ก ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ข)) -s (๐‘ก ยทs ๐‘ข))} โˆช {๐‘‘ โˆฃ โˆƒ๐‘ฃ โˆˆ ๐‘… โˆƒ๐‘ค โˆˆ ๐‘€ ๐‘‘ = (((๐‘ฃ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ค)) -s (๐‘ฃ ยทs ๐‘ค))})๐‘ง โ‰คs ๐‘ฅ๐‘‚) โ†” (โˆƒ๐‘™ โˆˆ ( L โ€˜๐ด)โˆƒ๐‘š โˆˆ ( R โ€˜๐ต)๐‘ฅ๐‘‚ = (((๐‘™ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘š)) -s (๐‘™ ยทs ๐‘š)) โ†’ โˆƒ๐‘ง โˆˆ ({๐‘ โˆฃ โˆƒ๐‘ก โˆˆ ๐ฟ โˆƒ๐‘ข โˆˆ ๐‘† ๐‘ = (((๐‘ก ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ข)) -s (๐‘ก ยทs ๐‘ข))} โˆช {๐‘‘ โˆฃ โˆƒ๐‘ฃ โˆˆ ๐‘… โˆƒ๐‘ค โˆˆ ๐‘€ ๐‘‘ = (((๐‘ฃ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ค)) -s (๐‘ฃ ยทs ๐‘ค))})๐‘ง โ‰คs ๐‘ฅ๐‘‚))
598596, 597bitri 275 . . . . . . . 8 (โˆ€๐‘™ โˆˆ ( L โ€˜๐ด)โˆ€๐‘š โˆˆ ( R โ€˜๐ต)(๐‘ฅ๐‘‚ = (((๐‘™ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘š)) -s (๐‘™ ยทs ๐‘š)) โ†’ โˆƒ๐‘ง โˆˆ ({๐‘ โˆฃ โˆƒ๐‘ก โˆˆ ๐ฟ โˆƒ๐‘ข โˆˆ ๐‘† ๐‘ = (((๐‘ก ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ข)) -s (๐‘ก ยทs ๐‘ข))} โˆช {๐‘‘ โˆฃ โˆƒ๐‘ฃ โˆˆ ๐‘… โˆƒ๐‘ค โˆˆ ๐‘€ ๐‘‘ = (((๐‘ฃ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ค)) -s (๐‘ฃ ยทs ๐‘ค))})๐‘ง โ‰คs ๐‘ฅ๐‘‚) โ†” (โˆƒ๐‘™ โˆˆ ( L โ€˜๐ด)โˆƒ๐‘š โˆˆ ( R โ€˜๐ต)๐‘ฅ๐‘‚ = (((๐‘™ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘š)) -s (๐‘™ ยทs ๐‘š)) โ†’ โˆƒ๐‘ง โˆˆ ({๐‘ โˆฃ โˆƒ๐‘ก โˆˆ ๐ฟ โˆƒ๐‘ข โˆˆ ๐‘† ๐‘ = (((๐‘ก ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ข)) -s (๐‘ก ยทs ๐‘ข))} โˆช {๐‘‘ โˆฃ โˆƒ๐‘ฃ โˆˆ ๐‘… โˆƒ๐‘ค โˆˆ ๐‘€ ๐‘‘ = (((๐‘ฃ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ค)) -s (๐‘ฃ ยทs ๐‘ค))})๐‘ง โ‰คs ๐‘ฅ๐‘‚))
599598albii 1820 . . . . . . 7 (โˆ€๐‘ฅ๐‘‚โˆ€๐‘™ โˆˆ ( L โ€˜๐ด)โˆ€๐‘š โˆˆ ( R โ€˜๐ต)(๐‘ฅ๐‘‚ = (((๐‘™ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘š)) -s (๐‘™ ยทs ๐‘š)) โ†’ โˆƒ๐‘ง โˆˆ ({๐‘ โˆฃ โˆƒ๐‘ก โˆˆ ๐ฟ โˆƒ๐‘ข โˆˆ ๐‘† ๐‘ = (((๐‘ก ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ข)) -s (๐‘ก ยทs ๐‘ข))} โˆช {๐‘‘ โˆฃ โˆƒ๐‘ฃ โˆˆ ๐‘… โˆƒ๐‘ค โˆˆ ๐‘€ ๐‘‘ = (((๐‘ฃ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ค)) -s (๐‘ฃ ยทs ๐‘ค))})๐‘ง โ‰คs ๐‘ฅ๐‘‚) โ†” โˆ€๐‘ฅ๐‘‚(โˆƒ๐‘™ โˆˆ ( L โ€˜๐ด)โˆƒ๐‘š โˆˆ ( R โ€˜๐ต)๐‘ฅ๐‘‚ = (((๐‘™ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘š)) -s (๐‘™ ยทs ๐‘š)) โ†’ โˆƒ๐‘ง โˆˆ ({๐‘ โˆฃ โˆƒ๐‘ก โˆˆ ๐ฟ โˆƒ๐‘ข โˆˆ ๐‘† ๐‘ = (((๐‘ก ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ข)) -s (๐‘ก ยทs ๐‘ข))} โˆช {๐‘‘ โˆฃ โˆƒ๐‘ฃ โˆˆ ๐‘… โˆƒ๐‘ค โˆˆ ๐‘€ ๐‘‘ = (((๐‘ฃ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ค)) -s (๐‘ฃ ยทs ๐‘ค))})๐‘ง โ‰คs ๐‘ฅ๐‘‚))
600 ralcom4 3282 . . . . . . . 8 (โˆ€๐‘™ โˆˆ ( L โ€˜๐ด)โˆ€๐‘ฅ๐‘‚โˆ€๐‘š โˆˆ ( R โ€˜๐ต)(๐‘ฅ๐‘‚ = (((๐‘™ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘š)) -s (๐‘™ ยทs ๐‘š)) โ†’ โˆƒ๐‘ง โˆˆ ({๐‘ โˆฃ โˆƒ๐‘ก โˆˆ ๐ฟ โˆƒ๐‘ข โˆˆ ๐‘† ๐‘ = (((๐‘ก ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ข)) -s (๐‘ก ยทs ๐‘ข))} โˆช {๐‘‘ โˆฃ โˆƒ๐‘ฃ โˆˆ ๐‘… โˆƒ๐‘ค โˆˆ ๐‘€ ๐‘‘ = (((๐‘ฃ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ค)) -s (๐‘ฃ ยทs ๐‘ค))})๐‘ง โ‰คs ๐‘ฅ๐‘‚) โ†” โˆ€๐‘ฅ๐‘‚โˆ€๐‘™ โˆˆ ( L โ€˜๐ด)โˆ€๐‘š โˆˆ ( R โ€˜๐ต)(๐‘ฅ๐‘‚ = (((๐‘™ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘š)) -s (๐‘™ ยทs ๐‘š)) โ†’ โˆƒ๐‘ง โˆˆ ({๐‘ โˆฃ โˆƒ๐‘ก โˆˆ ๐ฟ โˆƒ๐‘ข โˆˆ ๐‘† ๐‘ = (((๐‘ก ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ข)) -s (๐‘ก ยทs ๐‘ข))} โˆช {๐‘‘ โˆฃ โˆƒ๐‘ฃ โˆˆ ๐‘… โˆƒ๐‘ค โˆˆ ๐‘€ ๐‘‘ = (((๐‘ฃ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ค)) -s (๐‘ฃ ยทs ๐‘ค))})๐‘ง โ‰คs ๐‘ฅ๐‘‚))
601 ralcom4 3282 . . . . . . . . . 10 (โˆ€๐‘š โˆˆ ( R โ€˜๐ต)โˆ€๐‘ฅ๐‘‚(๐‘ฅ๐‘‚ = (((๐‘™ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘š)) -s (๐‘™ ยทs ๐‘š)) โ†’ โˆƒ๐‘ง โˆˆ ({๐‘ โˆฃ โˆƒ๐‘ก โˆˆ ๐ฟ โˆƒ๐‘ข โˆˆ ๐‘† ๐‘ = (((๐‘ก ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ข)) -s (๐‘ก ยทs ๐‘ข))} โˆช {๐‘‘ โˆฃ โˆƒ๐‘ฃ โˆˆ ๐‘… โˆƒ๐‘ค โˆˆ ๐‘€ ๐‘‘ = (((๐‘ฃ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ค)) -s (๐‘ฃ ยทs ๐‘ค))})๐‘ง โ‰คs ๐‘ฅ๐‘‚) โ†” โˆ€๐‘ฅ๐‘‚โˆ€๐‘š โˆˆ ( R โ€˜๐ต)(๐‘ฅ๐‘‚ = (((๐‘™ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘š)) -s (๐‘™ ยทs ๐‘š)) โ†’ โˆƒ๐‘ง โˆˆ ({๐‘ โˆฃ โˆƒ๐‘ก โˆˆ ๐ฟ โˆƒ๐‘ข โˆˆ ๐‘† ๐‘ = (((๐‘ก ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ข)) -s (๐‘ก ยทs ๐‘ข))} โˆช {๐‘‘ โˆฃ โˆƒ๐‘ฃ โˆˆ ๐‘… โˆƒ๐‘ค โˆˆ ๐‘€ ๐‘‘ = (((๐‘ฃ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ค)) -s (๐‘ฃ ยทs ๐‘ค))})๐‘ง โ‰คs ๐‘ฅ๐‘‚))
602 ovex 7445 . . . . . . . . . . . 12 (((๐‘™ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘š)) -s (๐‘™ ยทs ๐‘š)) โˆˆ V
603 breq2 5152 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ฅ๐‘‚ = (((๐‘™ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘š)) -s (๐‘™ ยทs ๐‘š)) โ†’ (๐‘ง โ‰คs ๐‘ฅ๐‘‚ โ†” ๐‘ง โ‰คs (((๐‘™ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘š)) -s (๐‘™ ยทs ๐‘š))))
604603rexbidv 3177 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ฅ๐‘‚ = (((๐‘™ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘š)) -s (๐‘™ ยทs ๐‘š)) โ†’ (โˆƒ๐‘ง โˆˆ ({๐‘ โˆฃ โˆƒ๐‘ก โˆˆ ๐ฟ โˆƒ๐‘ข โˆˆ ๐‘† ๐‘ = (((๐‘ก ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ข)) -s (๐‘ก ยทs ๐‘ข))} โˆช {๐‘‘ โˆฃ โˆƒ๐‘ฃ โˆˆ ๐‘… โˆƒ๐‘ค โˆˆ ๐‘€ ๐‘‘ = (((๐‘ฃ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ค)) -s (๐‘ฃ ยทs ๐‘ค))})๐‘ง โ‰คs ๐‘ฅ๐‘‚ โ†” โˆƒ๐‘ง โˆˆ ({๐‘ โˆฃ โˆƒ๐‘ก โˆˆ ๐ฟ โˆƒ๐‘ข โˆˆ ๐‘† ๐‘ = (((๐‘ก ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ข)) -s (๐‘ก ยทs ๐‘ข))} โˆช {๐‘‘ โˆฃ โˆƒ๐‘ฃ โˆˆ ๐‘… โˆƒ๐‘ค โˆˆ ๐‘€ ๐‘‘ = (((๐‘ฃ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ค)) -s (๐‘ฃ ยทs ๐‘ค))})๐‘ง โ‰คs (((๐‘™ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘š)) -s (๐‘™ ยทs ๐‘š))))
605602, 604ceqsalv 3511 . . . . . . . . . . 11 (โˆ€๐‘ฅ๐‘‚(๐‘ฅ๐‘‚ = (((๐‘™ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘š)) -s (๐‘™ ยทs ๐‘š)) โ†’ โˆƒ๐‘ง โˆˆ ({๐‘ โˆฃ โˆƒ๐‘ก โˆˆ ๐ฟ โˆƒ๐‘ข โˆˆ ๐‘† ๐‘ = (((๐‘ก ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ข)) -s (๐‘ก ยทs ๐‘ข))} โˆช {๐‘‘ โˆฃ โˆƒ๐‘ฃ โˆˆ ๐‘… โˆƒ๐‘ค โˆˆ ๐‘€ ๐‘‘ = (((๐‘ฃ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ค)) -s (๐‘ฃ ยทs ๐‘ค))})๐‘ง โ‰คs ๐‘ฅ๐‘‚) โ†” โˆƒ๐‘ง โˆˆ ({๐‘ โˆฃ โˆƒ๐‘ก โˆˆ ๐ฟ โˆƒ๐‘ข โˆˆ ๐‘† ๐‘ = (((๐‘ก ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ข)) -s (๐‘ก ยทs ๐‘ข))} โˆช {๐‘‘ โˆฃ โˆƒ๐‘ฃ โˆˆ ๐‘… โˆƒ๐‘ค โˆˆ ๐‘€ ๐‘‘ = (((๐‘ฃ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ค)) -s (๐‘ฃ ยทs ๐‘ค))})๐‘ง โ‰คs (((๐‘™ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘š)) -s (๐‘™ ยทs ๐‘š)))
606605ralbii 3092 . . . . . . . . . 10 (โˆ€๐‘š โˆˆ ( R โ€˜๐ต)โˆ€๐‘ฅ๐‘‚(๐‘ฅ๐‘‚ = (((๐‘™ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘š)) -s (๐‘™ ยทs ๐‘š)) โ†’ โˆƒ๐‘ง โˆˆ ({๐‘ โˆฃ โˆƒ๐‘ก โˆˆ ๐ฟ โˆƒ๐‘ข โˆˆ ๐‘† ๐‘ = (((๐‘ก ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ข)) -s (๐‘ก ยทs ๐‘ข))} โˆช {๐‘‘ โˆฃ โˆƒ๐‘ฃ โˆˆ ๐‘… โˆƒ๐‘ค โˆˆ ๐‘€ ๐‘‘ = (((๐‘ฃ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ค)) -s (๐‘ฃ ยทs ๐‘ค))})๐‘ง โ‰คs ๐‘ฅ๐‘‚) โ†” โˆ€๐‘š โˆˆ ( R โ€˜๐ต)โˆƒ๐‘ง โˆˆ ({๐‘ โˆฃ โˆƒ๐‘ก โˆˆ ๐ฟ โˆƒ๐‘ข โˆˆ ๐‘† ๐‘ = (((๐‘ก ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ข)) -s (๐‘ก ยทs ๐‘ข))} โˆช {๐‘‘ โˆฃ โˆƒ๐‘ฃ โˆˆ ๐‘… โˆƒ๐‘ค โˆˆ ๐‘€ ๐‘‘ = (((๐‘ฃ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ค)) -s (๐‘ฃ ยทs ๐‘ค))})๐‘ง โ‰คs (((๐‘™ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘š)) -s (๐‘™ ยทs ๐‘š)))
607601, 606bitr3i 277 . . . . . . . . 9 (โˆ€๐‘ฅ๐‘‚โˆ€๐‘š โˆˆ ( R โ€˜๐ต)(๐‘ฅ๐‘‚ = (((๐‘™ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘š)) -s (๐‘™ ยทs ๐‘š)) โ†’ โˆƒ๐‘ง โˆˆ ({๐‘ โˆฃ โˆƒ๐‘ก โˆˆ ๐ฟ โˆƒ๐‘ข โˆˆ ๐‘† ๐‘ = (((๐‘ก ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ข)) -s (๐‘ก ยทs ๐‘ข))} โˆช {๐‘‘ โˆฃ โˆƒ๐‘ฃ โˆˆ ๐‘… โˆƒ๐‘ค โˆˆ ๐‘€ ๐‘‘ = (((๐‘ฃ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ค)) -s (๐‘ฃ ยทs ๐‘ค))})๐‘ง โ‰คs ๐‘ฅ๐‘‚) โ†” โˆ€๐‘š โˆˆ ( R โ€˜๐ต)โˆƒ๐‘ง โˆˆ ({๐‘ โˆฃ โˆƒ๐‘ก โˆˆ ๐ฟ โˆƒ๐‘ข โˆˆ ๐‘† ๐‘ = (((๐‘ก ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ข)) -s (๐‘ก ยทs ๐‘ข))} โˆช {๐‘‘ โˆฃ โˆƒ๐‘ฃ โˆˆ ๐‘… โˆƒ๐‘ค โˆˆ ๐‘€ ๐‘‘ = (((๐‘ฃ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ค)) -s (๐‘ฃ ยทs ๐‘ค))})๐‘ง โ‰คs (((๐‘™ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘š)) -s (๐‘™ ยทs ๐‘š)))
608607ralbii 3092 . . . . . . . 8 (โˆ€๐‘™ โˆˆ ( L โ€˜๐ด)โˆ€๐‘ฅ๐‘‚โˆ€๐‘š โˆˆ ( R โ€˜๐ต)(๐‘ฅ๐‘‚ = (((๐‘™ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘š)) -s (๐‘™ ยทs ๐‘š)) โ†’ โˆƒ๐‘ง โˆˆ ({๐‘ โˆฃ โˆƒ๐‘ก โˆˆ ๐ฟ โˆƒ๐‘ข โˆˆ ๐‘† ๐‘ = (((๐‘ก ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ข)) -s (๐‘ก ยทs ๐‘ข))} โˆช {๐‘‘ โˆฃ โˆƒ๐‘ฃ โˆˆ ๐‘… โˆƒ๐‘ค โˆˆ ๐‘€ ๐‘‘ = (((๐‘ฃ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ค)) -s (๐‘ฃ ยทs ๐‘ค))})๐‘ง โ‰คs ๐‘ฅ๐‘‚) โ†” โˆ€๐‘™ โˆˆ ( L โ€˜๐ด)โˆ€๐‘š โˆˆ ( R โ€˜๐ต)โˆƒ๐‘ง โˆˆ ({๐‘ โˆฃ โˆƒ๐‘ก โˆˆ ๐ฟ โˆƒ๐‘ข โˆˆ ๐‘† ๐‘ = (((๐‘ก ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ข)) -s (๐‘ก ยทs ๐‘ข))} โˆช {๐‘‘ โˆฃ โˆƒ๐‘ฃ โˆˆ ๐‘… โˆƒ๐‘ค โˆˆ ๐‘€ ๐‘‘ = (((๐‘ฃ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ค)) -s (๐‘ฃ ยทs ๐‘ค))})๐‘ง โ‰คs (((๐‘™ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘š)) -s (๐‘™ ยทs ๐‘š)))
609600, 608bitr3i 277 . . . . . . 7 (โˆ€๐‘ฅ๐‘‚โˆ€๐‘™ โˆˆ ( L โ€˜๐ด)โˆ€๐‘š โˆˆ ( R โ€˜๐ต)(๐‘ฅ๐‘‚ = (((๐‘™ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘š)) -s (๐‘™ ยทs ๐‘š)) โ†’ โˆƒ๐‘ง โˆˆ ({๐‘ โˆฃ โˆƒ๐‘ก โˆˆ ๐ฟ โˆƒ๐‘ข โˆˆ ๐‘† ๐‘ = (((๐‘ก ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ข)) -s (๐‘ก ยทs ๐‘ข))} โˆช {๐‘‘ โˆฃ โˆƒ๐‘ฃ โˆˆ ๐‘… โˆƒ๐‘ค โˆˆ ๐‘€ ๐‘‘ = (((๐‘ฃ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ค)) -s (๐‘ฃ ยทs ๐‘ค))})๐‘ง โ‰คs ๐‘ฅ๐‘‚) โ†” โˆ€๐‘™ โˆˆ ( L โ€˜๐ด)โˆ€๐‘š โˆˆ ( R โ€˜๐ต)โˆƒ๐‘ง โˆˆ ({๐‘ โˆฃ โˆƒ๐‘ก โˆˆ ๐ฟ โˆƒ๐‘ข โˆˆ ๐‘† ๐‘ = (((๐‘ก ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ข)) -s (๐‘ก ยทs ๐‘ข))} โˆช {๐‘‘ โˆฃ โˆƒ๐‘ฃ โˆˆ ๐‘… โˆƒ๐‘ค โˆˆ ๐‘€ ๐‘‘ = (((๐‘ฃ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ค)) -s (๐‘ฃ ยทs ๐‘ค))})๐‘ง โ‰คs (((๐‘™ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘š)) -s (๐‘™ ยทs ๐‘š)))
610594, 599, 6093bitr2i 299 . . . . . 6 (โˆ€๐‘ฅ๐‘‚ โˆˆ {๐‘˜ โˆฃ โˆƒ๐‘™ โˆˆ ( L โ€˜๐ด)โˆƒ๐‘š โˆˆ ( R โ€˜๐ต)๐‘˜ = (((๐‘™ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘š)) -s (๐‘™ ยทs ๐‘š))}โˆƒ๐‘ง โˆˆ ({๐‘ โˆฃ โˆƒ๐‘ก โˆˆ ๐ฟ โˆƒ๐‘ข โˆˆ ๐‘† ๐‘ = (((๐‘ก ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ข)) -s (๐‘ก ยทs ๐‘ข))} โˆช {๐‘‘ โˆฃ โˆƒ๐‘ฃ โˆˆ ๐‘… โˆƒ๐‘ค โˆˆ ๐‘€ ๐‘‘ = (((๐‘ฃ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ค)) -s (๐‘ฃ ยทs ๐‘ค))})๐‘ง โ‰คs ๐‘ฅ๐‘‚ โ†” โˆ€๐‘™ โˆˆ ( L โ€˜๐ด)โˆ€๐‘š โˆˆ ( R โ€˜๐ต)โˆƒ๐‘ง โˆˆ ({๐‘ โˆฃ โˆƒ๐‘ก โˆˆ ๐ฟ โˆƒ๐‘ข โˆˆ ๐‘† ๐‘ = (((๐‘ก ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ข)) -s (๐‘ก ยทs ๐‘ข))} โˆช {๐‘‘ โˆฃ โˆƒ๐‘ฃ โˆˆ ๐‘… โˆƒ๐‘ค โˆˆ ๐‘€ ๐‘‘ = (((๐‘ฃ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ค)) -s (๐‘ฃ ยทs ๐‘ค))})๐‘ง โ‰คs (((๐‘™ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘š)) -s (๐‘™ ยทs ๐‘š)))
611 eqeq1 2735 . . . . . . . . 9 (๐‘› = ๐‘ฅ๐‘‚ โ†’ (๐‘› = (((๐‘ฅ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ฆ)) -s (๐‘ฅ ยทs ๐‘ฆ)) โ†” ๐‘ฅ๐‘‚ = (((๐‘ฅ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ฆ)) -s (๐‘ฅ ยทs ๐‘ฆ))))
6126112rexbidv 3218 . . . . . . . 8 (๐‘› = ๐‘ฅ๐‘‚ โ†’ (โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ ( R โ€˜๐ด)โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ ( L โ€˜๐ต)๐‘› = (((๐‘ฅ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ฆ)) -s (๐‘ฅ ยทs ๐‘ฆ)) โ†” โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ ( R โ€˜๐ด)โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ ( L โ€˜๐ต)๐‘ฅ๐‘‚ = (((๐‘ฅ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ฆ)) -s (๐‘ฅ ยทs ๐‘ฆ))))
613612ralab 3687 . . . . . . 7 (โˆ€๐‘ฅ๐‘‚ โˆˆ {๐‘› โˆฃ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ ( R โ€˜๐ด)โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ ( L โ€˜๐ต)๐‘› = (((๐‘ฅ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ฆ)) -s (๐‘ฅ ยทs ๐‘ฆ))}โˆƒ๐‘ง โˆˆ ({๐‘ โˆฃ โˆƒ๐‘ก โˆˆ ๐ฟ โˆƒ๐‘ข โˆˆ ๐‘† ๐‘ = (((๐‘ก ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ข)) -s (๐‘ก ยทs ๐‘ข))} โˆช {๐‘‘ โˆฃ โˆƒ๐‘ฃ โˆˆ ๐‘… โˆƒ๐‘ค โˆˆ ๐‘€ ๐‘‘ = (((๐‘ฃ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ค)) -s (๐‘ฃ ยทs ๐‘ค))})๐‘ง โ‰คs ๐‘ฅ๐‘‚ โ†” โˆ€๐‘ฅ๐‘‚(โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ ( R โ€˜๐ด)โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ ( L โ€˜๐ต)๐‘ฅ๐‘‚ = (((๐‘ฅ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ฆ)) -s (๐‘ฅ ยทs ๐‘ฆ)) โ†’ โˆƒ๐‘ง โˆˆ ({๐‘ โˆฃ โˆƒ๐‘ก โˆˆ ๐ฟ โˆƒ๐‘ข โˆˆ ๐‘† ๐‘ = (((๐‘ก ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ข)) -s (๐‘ก ยทs ๐‘ข))} โˆช {๐‘‘ โˆฃ โˆƒ๐‘ฃ โˆˆ ๐‘… โˆƒ๐‘ค โˆˆ ๐‘€ ๐‘‘ = (((๐‘ฃ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ค)) -s (๐‘ฃ ยทs ๐‘ค))})๐‘ง โ‰คs ๐‘ฅ๐‘‚))
614 r19.23v 3181 . . . . . . . . . 10 (โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ( L โ€˜๐ต)(๐‘ฅ๐‘‚ = (((๐‘ฅ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ฆ)) -s (๐‘ฅ ยทs ๐‘ฆ)) โ†’ โˆƒ๐‘ง โˆˆ ({๐‘ โˆฃ โˆƒ๐‘ก โˆˆ ๐ฟ โˆƒ๐‘ข โˆˆ ๐‘† ๐‘ = (((๐‘ก ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ข)) -s (๐‘ก ยทs ๐‘ข))} โˆช {๐‘‘ โˆฃ โˆƒ๐‘ฃ โˆˆ ๐‘… โˆƒ๐‘ค โˆˆ ๐‘€ ๐‘‘ = (((๐‘ฃ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ค)) -s (๐‘ฃ ยทs ๐‘ค))})๐‘ง โ‰คs ๐‘ฅ๐‘‚) โ†” (โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ ( L โ€˜๐ต)๐‘ฅ๐‘‚ = (((๐‘ฅ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ฆ)) -s (๐‘ฅ ยทs ๐‘ฆ)) โ†’ โˆƒ๐‘ง โˆˆ ({๐‘ โˆฃ โˆƒ๐‘ก โˆˆ ๐ฟ โˆƒ๐‘ข โˆˆ ๐‘† ๐‘ = (((๐‘ก ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ข)) -s (๐‘ก ยทs ๐‘ข))} โˆช {๐‘‘ โˆฃ โˆƒ๐‘ฃ โˆˆ ๐‘… โˆƒ๐‘ค โˆˆ ๐‘€ ๐‘‘ = (((๐‘ฃ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ค)) -s (๐‘ฃ ยทs ๐‘ค))})๐‘ง โ‰คs ๐‘ฅ๐‘‚))
615614ralbii 3092 . . . . . . . . 9 (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ( R โ€˜๐ด)โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ( L โ€˜๐ต)(๐‘ฅ๐‘‚ = (((๐‘ฅ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ฆ)) -s (๐‘ฅ ยทs ๐‘ฆ)) โ†’ โˆƒ๐‘ง โˆˆ ({๐‘ โˆฃ โˆƒ๐‘ก โˆˆ ๐ฟ โˆƒ๐‘ข โˆˆ ๐‘† ๐‘ = (((๐‘ก ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ข)) -s (๐‘ก ยทs ๐‘ข))} โˆช {๐‘‘ โˆฃ โˆƒ๐‘ฃ โˆˆ ๐‘… โˆƒ๐‘ค โˆˆ ๐‘€ ๐‘‘ = (((๐‘ฃ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ค)) -s (๐‘ฃ ยทs ๐‘ค))})๐‘ง โ‰คs ๐‘ฅ๐‘‚) โ†” โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ( R โ€˜๐ด)(โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ ( L โ€˜๐ต)๐‘ฅ๐‘‚ = (((๐‘ฅ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ฆ)) -s (๐‘ฅ ยทs ๐‘ฆ)) โ†’ โˆƒ๐‘ง โˆˆ ({๐‘ โˆฃ โˆƒ๐‘ก โˆˆ ๐ฟ โˆƒ๐‘ข โˆˆ ๐‘† ๐‘ = (((๐‘ก ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ข)) -s (๐‘ก ยทs ๐‘ข))} โˆช {๐‘‘ โˆฃ โˆƒ๐‘ฃ โˆˆ ๐‘… โˆƒ๐‘ค โˆˆ ๐‘€ ๐‘‘ = (((๐‘ฃ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ค)) -s (๐‘ฃ ยทs ๐‘ค))})๐‘ง โ‰คs ๐‘ฅ๐‘‚))
616 r19.23v 3181 . . . . . . . . 9 (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ( R โ€˜๐ด)(โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ ( L โ€˜๐ต)๐‘ฅ๐‘‚ = (((๐‘ฅ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ฆ)) -s (๐‘ฅ ยทs ๐‘ฆ)) โ†’ โˆƒ๐‘ง โˆˆ ({๐‘ โˆฃ โˆƒ๐‘ก โˆˆ ๐ฟ โˆƒ๐‘ข โˆˆ ๐‘† ๐‘ = (((๐‘ก ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ข)) -s (๐‘ก ยทs ๐‘ข))} โˆช {๐‘‘ โˆฃ โˆƒ๐‘ฃ โˆˆ ๐‘… โˆƒ๐‘ค โˆˆ ๐‘€ ๐‘‘ = (((๐‘ฃ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ค)) -s (๐‘ฃ ยทs ๐‘ค))})๐‘ง โ‰คs ๐‘ฅ๐‘‚) โ†” (โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ ( R โ€˜๐ด)โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ ( L โ€˜๐ต)๐‘ฅ๐‘‚ = (((๐‘ฅ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ฆ)) -s (๐‘ฅ ยทs ๐‘ฆ)) โ†’ โˆƒ๐‘ง โˆˆ ({๐‘ โˆฃ โˆƒ๐‘ก โˆˆ ๐ฟ โˆƒ๐‘ข โˆˆ ๐‘† ๐‘ = (((๐‘ก ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ข)) -s (๐‘ก ยทs ๐‘ข))} โˆช {๐‘‘ โˆฃ โˆƒ๐‘ฃ โˆˆ ๐‘… โˆƒ๐‘ค โˆˆ ๐‘€ ๐‘‘ = (((๐‘ฃ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ค)) -s (๐‘ฃ ยทs ๐‘ค))})๐‘ง โ‰คs ๐‘ฅ๐‘‚))
617615, 616bitri 275 . . . . . . . 8 (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ( R โ€˜๐ด)โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ( L โ€˜๐ต)(๐‘ฅ๐‘‚ = (((๐‘ฅ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ฆ)) -s (๐‘ฅ ยทs ๐‘ฆ)) โ†’ โˆƒ๐‘ง โˆˆ ({๐‘ โˆฃ โˆƒ๐‘ก โˆˆ ๐ฟ โˆƒ๐‘ข โˆˆ ๐‘† ๐‘ = (((๐‘ก ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ข)) -s (๐‘ก ยทs ๐‘ข))} โˆช {๐‘‘ โˆฃ โˆƒ๐‘ฃ โˆˆ ๐‘… โˆƒ๐‘ค โˆˆ ๐‘€ ๐‘‘ = (((๐‘ฃ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ค)) -s (๐‘ฃ ยทs ๐‘ค))})๐‘ง โ‰คs ๐‘ฅ๐‘‚) โ†” (โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ ( R โ€˜๐ด)โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ ( L โ€˜๐ต)๐‘ฅ๐‘‚ = (((๐‘ฅ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ฆ)) -s (๐‘ฅ ยทs ๐‘ฆ)) โ†’ โˆƒ๐‘ง โˆˆ ({๐‘ โˆฃ โˆƒ๐‘ก โˆˆ ๐ฟ โˆƒ๐‘ข โˆˆ ๐‘† ๐‘ = (((๐‘ก ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ข)) -s (๐‘ก ยทs ๐‘ข))} โˆช {๐‘‘ โˆฃ โˆƒ๐‘ฃ โˆˆ ๐‘… โˆƒ๐‘ค โˆˆ ๐‘€ ๐‘‘ = (((๐‘ฃ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ค)) -s (๐‘ฃ ยทs ๐‘ค))})๐‘ง โ‰คs ๐‘ฅ๐‘‚))
618617albii 1820 . . . . . . 7 (โˆ€๐‘ฅ๐‘‚โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ( R โ€˜๐ด)โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ( L โ€˜๐ต)(๐‘ฅ๐‘‚ = (((๐‘ฅ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ฆ)) -s (๐‘ฅ ยทs ๐‘ฆ)) โ†’ โˆƒ๐‘ง โˆˆ ({๐‘ โˆฃ โˆƒ๐‘ก โˆˆ ๐ฟ โˆƒ๐‘ข โˆˆ ๐‘† ๐‘ = (((๐‘ก ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ข)) -s (๐‘ก ยทs ๐‘ข))} โˆช {๐‘‘ โˆฃ โˆƒ๐‘ฃ โˆˆ ๐‘… โˆƒ๐‘ค โˆˆ ๐‘€ ๐‘‘ = (((๐‘ฃ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ค)) -s (๐‘ฃ ยทs ๐‘ค))})๐‘ง โ‰คs ๐‘ฅ๐‘‚) โ†” โˆ€๐‘ฅ๐‘‚(โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ ( R โ€˜๐ด)โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ ( L โ€˜๐ต)๐‘ฅ๐‘‚ = (((๐‘ฅ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ฆ)) -s (๐‘ฅ ยทs ๐‘ฆ)) โ†’ โˆƒ๐‘ง โˆˆ ({๐‘ โˆฃ โˆƒ๐‘ก โˆˆ ๐ฟ โˆƒ๐‘ข โˆˆ ๐‘† ๐‘ = (((๐‘ก ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ข)) -s (๐‘ก ยทs ๐‘ข))} โˆช {๐‘‘ โˆฃ โˆƒ๐‘ฃ โˆˆ ๐‘… โˆƒ๐‘ค โˆˆ ๐‘€ ๐‘‘ = (((๐‘ฃ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ค)) -s (๐‘ฃ ยทs ๐‘ค))})๐‘ง โ‰คs ๐‘ฅ๐‘‚))
619 ralcom4 3282 . . . . . . . 8 (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ( R โ€˜๐ด)โˆ€๐‘ฅ๐‘‚โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ( L โ€˜๐ต)(๐‘ฅ๐‘‚ = (((๐‘ฅ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ฆ)) -s (๐‘ฅ ยทs ๐‘ฆ)) โ†’ โˆƒ๐‘ง โˆˆ ({๐‘ โˆฃ โˆƒ๐‘ก โˆˆ ๐ฟ โˆƒ๐‘ข โˆˆ ๐‘† ๐‘ = (((๐‘ก ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ข)) -s (๐‘ก ยทs ๐‘ข))} โˆช {๐‘‘ โˆฃ โˆƒ๐‘ฃ โˆˆ ๐‘… โˆƒ๐‘ค โˆˆ ๐‘€ ๐‘‘ = (((๐‘ฃ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ค)) -s (๐‘ฃ ยทs ๐‘ค))})๐‘ง โ‰คs ๐‘ฅ๐‘‚) โ†” โˆ€๐‘ฅ๐‘‚โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ( R โ€˜๐ด)โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ( L โ€˜๐ต)(๐‘ฅ๐‘‚ = (((๐‘ฅ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ฆ)) -s (๐‘ฅ ยทs ๐‘ฆ)) โ†’ โˆƒ๐‘ง โˆˆ ({๐‘ โˆฃ โˆƒ๐‘ก โˆˆ ๐ฟ โˆƒ๐‘ข โˆˆ ๐‘† ๐‘ = (((๐‘ก ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ข)) -s (๐‘ก ยทs ๐‘ข))} โˆช {๐‘‘ โˆฃ โˆƒ๐‘ฃ โˆˆ ๐‘… โˆƒ๐‘ค โˆˆ ๐‘€ ๐‘‘ = (((๐‘ฃ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ค)) -s (๐‘ฃ ยทs ๐‘ค))})๐‘ง โ‰คs ๐‘ฅ๐‘‚))
620 ralcom4 3282 . . . . . . . . . 10 (โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ( L โ€˜๐ต)โˆ€๐‘ฅ๐‘‚(๐‘ฅ๐‘‚ = (((๐‘ฅ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ฆ)) -s (๐‘ฅ ยทs ๐‘ฆ)) โ†’ โˆƒ๐‘ง โˆˆ ({๐‘ โˆฃ โˆƒ๐‘ก โˆˆ ๐ฟ โˆƒ๐‘ข โˆˆ ๐‘† ๐‘ = (((๐‘ก ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ข)) -s (๐‘ก ยทs ๐‘ข))} โˆช {๐‘‘ โˆฃ โˆƒ๐‘ฃ โˆˆ ๐‘… โˆƒ๐‘ค โˆˆ ๐‘€ ๐‘‘ = (((๐‘ฃ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ค)) -s (๐‘ฃ ยทs ๐‘ค))})๐‘ง โ‰คs ๐‘ฅ๐‘‚) โ†” โˆ€๐‘ฅ๐‘‚โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ( L โ€˜๐ต)(๐‘ฅ๐‘‚ = (((๐‘ฅ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ฆ)) -s (๐‘ฅ ยทs ๐‘ฆ)) โ†’ โˆƒ๐‘ง โˆˆ ({๐‘ โˆฃ โˆƒ๐‘ก โˆˆ ๐ฟ โˆƒ๐‘ข โˆˆ ๐‘† ๐‘ = (((๐‘ก ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ข)) -s (๐‘ก ยทs ๐‘ข))} โˆช {๐‘‘ โˆฃ โˆƒ๐‘ฃ โˆˆ ๐‘… โˆƒ๐‘ค โˆˆ ๐‘€ ๐‘‘ = (((๐‘ฃ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ค)) -s (๐‘ฃ ยทs ๐‘ค))})๐‘ง โ‰คs ๐‘ฅ๐‘‚))
621 ovex 7445 . . . . . . . . . . . 12 (((๐‘ฅ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ฆ)) -s (๐‘ฅ ยทs ๐‘ฆ)) โˆˆ V
622 breq2 5152 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ฅ๐‘‚ = (((๐‘ฅ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ฆ)) -s (๐‘ฅ ยทs ๐‘ฆ)) โ†’ (๐‘ง โ‰คs ๐‘ฅ๐‘‚ โ†” ๐‘ง โ‰คs (((๐‘ฅ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ฆ)) -s (๐‘ฅ ยทs ๐‘ฆ))))
623622rexbidv 3177 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ฅ๐‘‚ = (((๐‘ฅ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ฆ)) -s (๐‘ฅ ยทs ๐‘ฆ)) โ†’ (โˆƒ๐‘ง โˆˆ ({๐‘ โˆฃ โˆƒ๐‘ก โˆˆ ๐ฟ โˆƒ๐‘ข โˆˆ ๐‘† ๐‘ = (((๐‘ก ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ข)) -s (๐‘ก ยทs ๐‘ข))} โˆช {๐‘‘ โˆฃ โˆƒ๐‘ฃ โˆˆ ๐‘… โˆƒ๐‘ค โˆˆ ๐‘€ ๐‘‘ = (((๐‘ฃ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ค)) -s (๐‘ฃ ยทs ๐‘ค))})๐‘ง โ‰คs ๐‘ฅ๐‘‚ โ†” โˆƒ๐‘ง โˆˆ ({๐‘ โˆฃ โˆƒ๐‘ก โˆˆ ๐ฟ โˆƒ๐‘ข โˆˆ ๐‘† ๐‘ = (((๐‘ก ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ข)) -s (๐‘ก ยทs ๐‘ข))} โˆช {๐‘‘ โˆฃ โˆƒ๐‘ฃ โˆˆ ๐‘… โˆƒ๐‘ค โˆˆ ๐‘€ ๐‘‘ = (((๐‘ฃ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ค)) -s (๐‘ฃ ยทs ๐‘ค))})๐‘ง โ‰คs (((๐‘ฅ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ฆ)) -s (๐‘ฅ ยทs ๐‘ฆ))))
624621, 623ceqsalv 3511 . . . . . . . . . . 11 (โˆ€๐‘ฅ๐‘‚(๐‘ฅ๐‘‚ = (((๐‘ฅ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ฆ)) -s (๐‘ฅ ยทs ๐‘ฆ)) โ†’ โˆƒ๐‘ง โˆˆ ({๐‘ โˆฃ โˆƒ๐‘ก โˆˆ ๐ฟ โˆƒ๐‘ข โˆˆ ๐‘† ๐‘ = (((๐‘ก ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ข)) -s (๐‘ก ยทs ๐‘ข))} โˆช {๐‘‘ โˆฃ โˆƒ๐‘ฃ โˆˆ ๐‘… โˆƒ๐‘ค โˆˆ ๐‘€ ๐‘‘ = (((๐‘ฃ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ค)) -s (๐‘ฃ ยทs ๐‘ค))})๐‘ง โ‰คs ๐‘ฅ๐‘‚) โ†” โˆƒ๐‘ง โˆˆ ({๐‘ โˆฃ โˆƒ๐‘ก โˆˆ ๐ฟ โˆƒ๐‘ข โˆˆ ๐‘† ๐‘ = (((๐‘ก ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ข)) -s (๐‘ก ยทs ๐‘ข))} โˆช {๐‘‘ โˆฃ โˆƒ๐‘ฃ โˆˆ ๐‘… โˆƒ๐‘ค โˆˆ ๐‘€ ๐‘‘ = (((๐‘ฃ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ค)) -s (๐‘ฃ ยทs ๐‘ค))})๐‘ง โ‰คs (((๐‘ฅ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ฆ)) -s (๐‘ฅ ยทs ๐‘ฆ)))
625624ralbii 3092 . . . . . . . . . 10 (โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ( L โ€˜๐ต)โˆ€๐‘ฅ๐‘‚(๐‘ฅ๐‘‚ = (((๐‘ฅ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ฆ)) -s (๐‘ฅ ยทs ๐‘ฆ)) โ†’ โˆƒ๐‘ง โˆˆ ({๐‘ โˆฃ โˆƒ๐‘ก โˆˆ ๐ฟ โˆƒ๐‘ข โˆˆ ๐‘† ๐‘ = (((๐‘ก ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ข)) -s (๐‘ก ยทs ๐‘ข))} โˆช {๐‘‘ โˆฃ โˆƒ๐‘ฃ โˆˆ ๐‘… โˆƒ๐‘ค โˆˆ ๐‘€ ๐‘‘ = (((๐‘ฃ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ค)) -s (๐‘ฃ ยทs ๐‘ค))})๐‘ง โ‰คs ๐‘ฅ๐‘‚) โ†” โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ( L โ€˜๐ต)โˆƒ๐‘ง โˆˆ ({๐‘ โˆฃ โˆƒ๐‘ก โˆˆ ๐ฟ โˆƒ๐‘ข โˆˆ ๐‘† ๐‘ = (((๐‘ก ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ข)) -s (๐‘ก ยทs ๐‘ข))} โˆช {๐‘‘ โˆฃ โˆƒ๐‘ฃ โˆˆ ๐‘… โˆƒ๐‘ค โˆˆ ๐‘€ ๐‘‘ = (((๐‘ฃ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ค)) -s (๐‘ฃ ยทs ๐‘ค))})๐‘ง โ‰คs (((๐‘ฅ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ฆ)) -s (๐‘ฅ ยทs ๐‘ฆ)))
626620, 625bitr3i 277 . . . . . . . . 9 (โˆ€๐‘ฅ๐‘‚โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ( L โ€˜๐ต)(๐‘ฅ๐‘‚ = (((๐‘ฅ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ฆ)) -s (๐‘ฅ ยทs ๐‘ฆ)) โ†’ โˆƒ๐‘ง โˆˆ ({๐‘ โˆฃ โˆƒ๐‘ก โˆˆ ๐ฟ โˆƒ๐‘ข โˆˆ ๐‘† ๐‘ = (((๐‘ก ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ข)) -s (๐‘ก ยทs ๐‘ข))} โˆช {๐‘‘ โˆฃ โˆƒ๐‘ฃ โˆˆ ๐‘… โˆƒ๐‘ค โˆˆ ๐‘€ ๐‘‘ = (((๐‘ฃ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ค)) -s (๐‘ฃ ยทs ๐‘ค))})๐‘ง โ‰คs ๐‘ฅ๐‘‚) โ†” โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ( L โ€˜๐ต)โˆƒ๐‘ง โˆˆ ({๐‘ โˆฃ โˆƒ๐‘ก โˆˆ ๐ฟ โˆƒ๐‘ข โˆˆ ๐‘† ๐‘ = (((๐‘ก ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ข)) -s (๐‘ก ยทs ๐‘ข))} โˆช {๐‘‘ โˆฃ โˆƒ๐‘ฃ โˆˆ ๐‘… โˆƒ๐‘ค โˆˆ ๐‘€ ๐‘‘ = (((๐‘ฃ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ค)) -s (๐‘ฃ ยทs ๐‘ค))})๐‘ง โ‰คs (((๐‘ฅ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ฆ)) -s (๐‘ฅ ยทs ๐‘ฆ)))
627626ralbii 3092 . . . . . . . 8 (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ( R โ€˜๐ด)โˆ€๐‘ฅ๐‘‚โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ( L โ€˜๐ต)(๐‘ฅ๐‘‚ = (((๐‘ฅ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ฆ)) -s (๐‘ฅ ยทs ๐‘ฆ)) โ†’ โˆƒ๐‘ง โˆˆ ({๐‘ โˆฃ โˆƒ๐‘ก โˆˆ ๐ฟ โˆƒ๐‘ข โˆˆ ๐‘† ๐‘ = (((๐‘ก ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ข)) -s (๐‘ก ยทs ๐‘ข))} โˆช {๐‘‘ โˆฃ โˆƒ๐‘ฃ โˆˆ ๐‘… โˆƒ๐‘ค โˆˆ ๐‘€ ๐‘‘ = (((๐‘ฃ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ค)) -s (๐‘ฃ ยทs ๐‘ค))})๐‘ง โ‰คs ๐‘ฅ๐‘‚) โ†” โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ( R โ€˜๐ด)โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ( L โ€˜๐ต)โˆƒ๐‘ง โˆˆ ({๐‘ โˆฃ โˆƒ๐‘ก โˆˆ ๐ฟ โˆƒ๐‘ข โˆˆ ๐‘† ๐‘ = (((๐‘ก ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ข)) -s (๐‘ก ยทs ๐‘ข))} โˆช {๐‘‘ โˆฃ โˆƒ๐‘ฃ โˆˆ ๐‘… โˆƒ๐‘ค โˆˆ ๐‘€ ๐‘‘ = (((๐‘ฃ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ค)) -s (๐‘ฃ ยทs ๐‘ค))})๐‘ง โ‰คs (((๐‘ฅ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ฆ)) -s (๐‘ฅ ยทs ๐‘ฆ)))
628619, 627bitr3i 277 . . . . . . 7 (โˆ€๐‘ฅ๐‘‚โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ( R โ€˜๐ด)โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ( L โ€˜๐ต)(๐‘ฅ๐‘‚ = (((๐‘ฅ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ฆ)) -s (๐‘ฅ ยทs ๐‘ฆ)) โ†’ โˆƒ๐‘ง โˆˆ ({๐‘ โˆฃ โˆƒ๐‘ก โˆˆ ๐ฟ โˆƒ๐‘ข โˆˆ ๐‘† ๐‘ = (((๐‘ก ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ข)) -s (๐‘ก ยทs ๐‘ข))} โˆช {๐‘‘ โˆฃ โˆƒ๐‘ฃ โˆˆ ๐‘… โˆƒ๐‘ค โˆˆ ๐‘€ ๐‘‘ = (((๐‘ฃ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ค)) -s (๐‘ฃ ยทs ๐‘ค))})๐‘ง โ‰คs ๐‘ฅ๐‘‚) โ†” โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ( R โ€˜๐ด)โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ( L โ€˜๐ต)โˆƒ๐‘ง โˆˆ ({๐‘ โˆฃ โˆƒ๐‘ก โˆˆ ๐ฟ โˆƒ๐‘ข โˆˆ ๐‘† ๐‘ = (((๐‘ก ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ข)) -s (๐‘ก ยทs ๐‘ข))} โˆช {๐‘‘ โˆฃ โˆƒ๐‘ฃ โˆˆ ๐‘… โˆƒ๐‘ค โˆˆ ๐‘€ ๐‘‘ = (((๐‘ฃ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ค)) -s (๐‘ฃ ยทs ๐‘ค))})๐‘ง โ‰คs (((๐‘ฅ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ฆ)) -s (๐‘ฅ ยทs ๐‘ฆ)))
629613, 618, 6283bitr2i 299 . . . . . 6 (โˆ€๐‘ฅ๐‘‚ โˆˆ {๐‘› โˆฃ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ ( R โ€˜๐ด)โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ ( L โ€˜๐ต)๐‘› = (((๐‘ฅ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ฆ)) -s (๐‘ฅ ยทs ๐‘ฆ))}โˆƒ๐‘ง โˆˆ ({๐‘ โˆฃ โˆƒ๐‘ก โˆˆ ๐ฟ โˆƒ๐‘ข โˆˆ ๐‘† ๐‘ = (((๐‘ก ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ข)) -s (๐‘ก ยทs ๐‘ข))} โˆช {๐‘‘ โˆฃ โˆƒ๐‘ฃ โˆˆ ๐‘… โˆƒ๐‘ค โˆˆ ๐‘€ ๐‘‘ = (((๐‘ฃ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ค)) -s (๐‘ฃ ยทs ๐‘ค))})๐‘ง โ‰คs ๐‘ฅ๐‘‚ โ†” โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ( R โ€˜๐ด)โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ( L โ€˜๐ต)โˆƒ๐‘ง โˆˆ ({๐‘ โˆฃ โˆƒ๐‘ก โˆˆ ๐ฟ โˆƒ๐‘ข โˆˆ ๐‘† ๐‘ = (((๐‘ก ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ข)) -s (๐‘ก ยทs ๐‘ข))} โˆช {๐‘‘ โˆฃ โˆƒ๐‘ฃ โˆˆ ๐‘… โˆƒ๐‘ค โˆˆ ๐‘€ ๐‘‘ = (((๐‘ฃ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ค)) -s (๐‘ฃ ยทs ๐‘ค))})๐‘ง โ‰คs (((๐‘ฅ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ฆ)) -s (๐‘ฅ ยทs ๐‘ฆ)))
630610, 629anbi12i 626 . . . . 5 ((โˆ€๐‘ฅ๐‘‚ โˆˆ {๐‘˜ โˆฃ โˆƒ๐‘™ โˆˆ ( L โ€˜๐ด)โˆƒ๐‘š โˆˆ ( R โ€˜๐ต)๐‘˜ = (((๐‘™ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘š)) -s (๐‘™ ยทs ๐‘š))}โˆƒ๐‘ง โˆˆ ({๐‘ โˆฃ โˆƒ๐‘ก โˆˆ ๐ฟ โˆƒ๐‘ข โˆˆ ๐‘† ๐‘ = (((๐‘ก ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ข)) -s (๐‘ก ยทs ๐‘ข))} โˆช {๐‘‘ โˆฃ โˆƒ๐‘ฃ โˆˆ ๐‘… โˆƒ๐‘ค โˆˆ ๐‘€ ๐‘‘ = (((๐‘ฃ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ค)) -s (๐‘ฃ ยทs ๐‘ค))})๐‘ง โ‰คs ๐‘ฅ๐‘‚ โˆง โˆ€๐‘ฅ๐‘‚ โˆˆ {๐‘› โˆฃ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ ( R โ€˜๐ด)โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ ( L โ€˜๐ต)๐‘› = (((๐‘ฅ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ฆ)) -s (๐‘ฅ ยทs ๐‘ฆ))}โˆƒ๐‘ง โˆˆ ({๐‘ โˆฃ โˆƒ๐‘ก โˆˆ ๐ฟ โˆƒ๐‘ข โˆˆ ๐‘† ๐‘ = (((๐‘ก ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ข)) -s (๐‘ก ยทs ๐‘ข))} โˆช {๐‘‘ โˆฃ โˆƒ๐‘ฃ โˆˆ ๐‘… โˆƒ๐‘ค โˆˆ ๐‘€ ๐‘‘ = (((๐‘ฃ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ค)) -s (๐‘ฃ ยทs ๐‘ค))})๐‘ง โ‰คs ๐‘ฅ๐‘‚) โ†” (โˆ€๐‘™ โˆˆ ( L โ€˜๐ด)โˆ€๐‘š โˆˆ ( R โ€˜๐ต)โˆƒ๐‘ง โˆˆ ({๐‘ โˆฃ โˆƒ๐‘ก โˆˆ ๐ฟ โˆƒ๐‘ข โˆˆ ๐‘† ๐‘ = (((๐‘ก ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ข)) -s (๐‘ก ยทs ๐‘ข))} โˆช {๐‘‘ โˆฃ โˆƒ๐‘ฃ โˆˆ ๐‘… โˆƒ๐‘ค โˆˆ ๐‘€ ๐‘‘ = (((๐‘ฃ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ค)) -s (๐‘ฃ ยทs ๐‘ค))})๐‘ง โ‰คs (((๐‘™ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘š)) -s (๐‘™ ยทs ๐‘š)) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ( R โ€˜๐ด)โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ( L โ€˜๐ต)โˆƒ๐‘ง โˆˆ ({๐‘ โˆฃ โˆƒ๐‘ก โˆˆ ๐ฟ โˆƒ๐‘ข โˆˆ ๐‘† ๐‘ = (((๐‘ก ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ข)) -s (๐‘ก ยทs ๐‘ข))} โˆช {๐‘‘ โˆฃ โˆƒ๐‘ฃ โˆˆ ๐‘… โˆƒ๐‘ค โˆˆ ๐‘€ ๐‘‘ = (((๐‘ฃ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ค)) -s (๐‘ฃ ยทs ๐‘ค))})๐‘ง โ‰คs (((๐‘ฅ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ฆ)) -s (๐‘ฅ ยทs ๐‘ฆ))))
631591, 630bitri 275 . . . 4 (โˆ€๐‘ฅ๐‘‚ โˆˆ ({๐‘˜ โˆฃ โˆƒ๐‘™ โˆˆ ( L โ€˜๐ด)โˆƒ๐‘š โˆˆ ( R โ€˜๐ต)๐‘˜ = (((๐‘™ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘š)) -s (๐‘™ ยทs ๐‘š))} โˆช {๐‘› โˆฃ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ ( R โ€˜๐ด)โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ ( L โ€˜๐ต)๐‘› = (((๐‘ฅ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ฆ)) -s (๐‘ฅ ยทs ๐‘ฆ))})โˆƒ๐‘ง โˆˆ ({๐‘ โˆฃ โˆƒ๐‘ก โˆˆ ๐ฟ โˆƒ๐‘ข โˆˆ ๐‘† ๐‘ = (((๐‘ก ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ข)) -s (๐‘ก ยทs ๐‘ข))} โˆช {๐‘‘ โˆฃ โˆƒ๐‘ฃ โˆˆ ๐‘… โˆƒ๐‘ค โˆˆ ๐‘€ ๐‘‘ = (((๐‘ฃ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ค)) -s (๐‘ฃ ยทs ๐‘ค))})๐‘ง โ‰คs ๐‘ฅ๐‘‚ โ†” (โˆ€๐‘™ โˆˆ ( L โ€˜๐ด)โˆ€๐‘š โˆˆ ( R โ€˜๐ต)โˆƒ๐‘ง โˆˆ ({๐‘ โˆฃ โˆƒ๐‘ก โˆˆ ๐ฟ โˆƒ๐‘ข โˆˆ ๐‘† ๐‘ = (((๐‘ก ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ข)) -s (๐‘ก ยทs ๐‘ข))} โˆช {๐‘‘ โˆฃ โˆƒ๐‘ฃ โˆˆ ๐‘… โˆƒ๐‘ค โˆˆ ๐‘€ ๐‘‘ = (((๐‘ฃ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ค)) -s (๐‘ฃ ยทs ๐‘ค))})๐‘ง โ‰คs (((๐‘™ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘š)) -s (๐‘™ ยทs ๐‘š)) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ( R โ€˜๐ด)โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ( L โ€˜๐ต)โˆƒ๐‘ง โˆˆ ({๐‘ โˆฃ โˆƒ๐‘ก โˆˆ ๐ฟ โˆƒ๐‘ข โˆˆ ๐‘† ๐‘ = (((๐‘ก ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ข)) -s (๐‘ก ยทs ๐‘ข))} โˆช {๐‘‘ โˆฃ โˆƒ๐‘ฃ โˆˆ ๐‘… โˆƒ๐‘ค โˆˆ ๐‘€ ๐‘‘ = (((๐‘ฃ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ค)) -s (๐‘ฃ ยทs ๐‘ค))})๐‘ง โ‰คs (((๐‘ฅ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ฆ)) -s (๐‘ฅ ยทs ๐‘ฆ))))
632459, 590, 631sylanbrc 582 . . 3 (๐œ‘ โ†’ โˆ€๐‘ฅ๐‘‚ โˆˆ ({๐‘˜ โˆฃ โˆƒ๐‘™ โˆˆ ( L โ€˜๐ด)โˆƒ๐‘š โˆˆ ( R โ€˜๐ต)๐‘˜ = (((๐‘™ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘š)) -s (๐‘™ ยทs ๐‘š))} โˆช {๐‘› โˆฃ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ ( R โ€˜๐ด)โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ ( L โ€˜๐ต)๐‘› = (((๐‘ฅ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ฆ)) -s (๐‘ฅ ยทs ๐‘ฆ))})โˆƒ๐‘ง โˆˆ ({๐‘ โˆฃ โˆƒ๐‘ก โˆˆ ๐ฟ โˆƒ๐‘ข โˆˆ ๐‘† ๐‘ = (((๐‘ก ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ข)) -s (๐‘ก ยทs ๐‘ข))} โˆช {๐‘‘ โˆฃ โˆƒ๐‘ฃ โˆˆ ๐‘… โˆƒ๐‘ค โˆˆ ๐‘€ ๐‘‘ = (((๐‘ฃ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ค)) -s (๐‘ฃ ยทs ๐‘ค))})๐‘ง โ‰คs ๐‘ฅ๐‘‚)
6332, 6, 1, 5ssltmul1 27842 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ({๐‘Ž โˆฃ โˆƒ๐‘ โˆˆ ๐ฟ โˆƒ๐‘ž โˆˆ ๐‘€ ๐‘Ž = (((๐‘ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ž)) -s (๐‘ ยทs ๐‘ž))} โˆช {๐‘ โˆฃ โˆƒ๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘… โˆƒ๐‘  โˆˆ ๐‘† ๐‘ = (((๐‘Ÿ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ )) -s (๐‘Ÿ ยทs ๐‘ ))}) <<s {(๐ด ยทs ๐ต)})
63410sneqd 4640 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ {(๐ด ยทs ๐ต)} = {(({๐‘’ โˆฃ โˆƒ๐‘“ โˆˆ ( L โ€˜๐ด)โˆƒ๐‘” โˆˆ ( L โ€˜๐ต)๐‘’ = (((๐‘“ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘”)) -s (๐‘“ ยทs ๐‘”))} โˆช {โ„Ž โˆฃ โˆƒ๐‘– โˆˆ ( R โ€˜๐ด)โˆƒ๐‘— โˆˆ ( R โ€˜๐ต)โ„Ž = (((๐‘– ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘—)) -s (๐‘– ยทs ๐‘—))}) |s ({๐‘˜ โˆฃ โˆƒ๐‘™ โˆˆ ( L โ€˜๐ด)โˆƒ๐‘š โˆˆ ( R โ€˜๐ต)๐‘˜ = (((๐‘™ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘š)) -s (๐‘™ ยทs ๐‘š))} โˆช {๐‘› โˆฃ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ ( R โ€˜๐ด)โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ ( L โ€˜๐ต)๐‘› = (((๐‘ฅ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ฆ)) -s (๐‘ฅ ยทs ๐‘ฆ))}))})
635633, 634breqtrd 5174 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ({๐‘Ž โˆฃ โˆƒ๐‘ โˆˆ ๐ฟ โˆƒ๐‘ž โˆˆ ๐‘€ ๐‘Ž = (((๐‘ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ž)) -s (๐‘ ยทs ๐‘ž))} โˆช {๐‘ โˆฃ โˆƒ๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘… โˆƒ๐‘  โˆˆ ๐‘† ๐‘ = (((๐‘Ÿ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ )) -s (๐‘Ÿ ยทs ๐‘ ))}) <<s {(({๐‘’ โˆฃ โˆƒ๐‘“ โˆˆ ( L โ€˜๐ด)โˆƒ๐‘” โˆˆ ( L โ€˜๐ต)๐‘’ = (((๐‘“ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘”)) -s (๐‘“ ยทs ๐‘”))} โˆช {โ„Ž โˆฃ โˆƒ๐‘– โˆˆ ( R โ€˜๐ด)โˆƒ๐‘— โˆˆ ( R โ€˜๐ต)โ„Ž = (((๐‘– ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘—)) -s (๐‘– ยทs ๐‘—))}) |s ({๐‘˜ โˆฃ โˆƒ๐‘™ โˆˆ ( L โ€˜๐ด)โˆƒ๐‘š โˆˆ ( R โ€˜๐ต)๐‘˜ = (((๐‘™ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘š)) -s (๐‘™ ยทs ๐‘š))} โˆช {๐‘› โˆฃ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ ( R โ€˜๐ด)โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ ( L โ€˜๐ต)๐‘› = (((๐‘ฅ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ฆ)) -s (๐‘ฅ ยทs ๐‘ฆ))}))})
6362, 6, 1, 5ssltmul2 27843 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ {(๐ด ยทs ๐ต)} <<s ({๐‘ โˆฃ โˆƒ๐‘ก โˆˆ ๐ฟ โˆƒ๐‘ข โˆˆ ๐‘† ๐‘ = (((๐‘ก ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ข)) -s (๐‘ก ยทs ๐‘ข))} โˆช {๐‘‘ โˆฃ โˆƒ๐‘ฃ โˆˆ ๐‘… โˆƒ๐‘ค โˆˆ ๐‘€ ๐‘‘ = (((๐‘ฃ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ค)) -s (๐‘ฃ ยทs ๐‘ค))}))
637634, 636eqbrtrrd 5172 . . 3 (๐œ‘ โ†’ {(({๐‘’ โˆฃ โˆƒ๐‘“ โˆˆ ( L โ€˜๐ด)โˆƒ๐‘” โˆˆ ( L โ€˜๐ต)๐‘’ = (((๐‘“ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘”)) -s (๐‘“ ยทs ๐‘”))} โˆช {โ„Ž โˆฃ โˆƒ๐‘– โˆˆ ( R โ€˜๐ด)โˆƒ๐‘— โˆˆ ( R โ€˜๐ต)โ„Ž = (((๐‘– ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘—)) -s (๐‘– ยทs ๐‘—))}) |s ({๐‘˜ โˆฃ โˆƒ๐‘™ โˆˆ ( L โ€˜๐ด)โˆƒ๐‘š โˆˆ ( R โ€˜๐ต)๐‘˜ = (((๐‘™ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘š)) -s (๐‘™ ยทs ๐‘š))} โˆช {๐‘› โˆฃ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ ( R โ€˜๐ด)โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ ( L โ€˜๐ต)๐‘› = (((๐‘ฅ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ฆ)) -s (๐‘ฅ ยทs ๐‘ฆ))}))} <<s ({๐‘ โˆฃ โˆƒ๐‘ก โˆˆ ๐ฟ โˆƒ๐‘ข โˆˆ ๐‘† ๐‘ = (((๐‘ก ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ข)) -s (๐‘ก ยทs ๐‘ข))} โˆช {๐‘‘ โˆฃ โˆƒ๐‘ฃ โˆˆ ๐‘… โˆƒ๐‘ค โˆˆ ๐‘€ ๐‘‘ = (((๐‘ฃ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ค)) -s (๐‘ฃ ยทs ๐‘ค))}))
63811, 323, 632, 635, 637cofcut1d 27647 . 2 (๐œ‘ โ†’ (({๐‘’ โˆฃ โˆƒ๐‘“ โˆˆ ( L โ€˜๐ด)โˆƒ๐‘” โˆˆ ( L โ€˜๐ต)๐‘’ = (((๐‘“ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘”)) -s (๐‘“ ยทs ๐‘”))} โˆช {โ„Ž โˆฃ โˆƒ๐‘– โˆˆ ( R โ€˜๐ด)โˆƒ๐‘— โˆˆ ( R โ€˜๐ต)โ„Ž = (((๐‘– ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘—)) -s (๐‘– ยทs ๐‘—))}) |s ({๐‘˜ โˆฃ โˆƒ๐‘™ โˆˆ ( L โ€˜๐ด)โˆƒ๐‘š โˆˆ ( R โ€˜๐ต)๐‘˜ = (((๐‘™ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘š)) -s (๐‘™ ยทs ๐‘š))} โˆช {๐‘› โˆฃ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ ( R โ€˜๐ด)โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ ( L โ€˜๐ต)๐‘› = (((๐‘ฅ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ฆ)) -s (๐‘ฅ ยทs ๐‘ฆ))})) = (({๐‘Ž โˆฃ โˆƒ๐‘ โˆˆ ๐ฟ โˆƒ๐‘ž โˆˆ ๐‘€ ๐‘Ž = (((๐‘ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ž)) -s (๐‘ ยทs ๐‘ž))} โˆช {๐‘ โˆฃ โˆƒ๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘… โˆƒ๐‘  โˆˆ ๐‘† ๐‘ = (((๐‘Ÿ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ )) -s (๐‘Ÿ ยทs ๐‘ ))}) |s ({๐‘ โˆฃ โˆƒ๐‘ก โˆˆ ๐ฟ โˆƒ๐‘ข โˆˆ ๐‘† ๐‘ = (((๐‘ก ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ข)) -s (๐‘ก ยทs ๐‘ข))} โˆช {๐‘‘ โˆฃ โˆƒ๐‘ฃ โˆˆ ๐‘… โˆƒ๐‘ค โˆˆ ๐‘€ ๐‘‘ = (((๐‘ฃ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ค)) -s (๐‘ฃ ยทs ๐‘ค))})))
63910, 638eqtrd 2771 1 (๐œ‘ โ†’ (๐ด ยทs ๐ต) = (({๐‘Ž โˆฃ โˆƒ๐‘ โˆˆ ๐ฟ โˆƒ๐‘ž โˆˆ ๐‘€ ๐‘Ž = (((๐‘ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ž)) -s (๐‘ ยทs ๐‘ž))} โˆช {๐‘ โˆฃ โˆƒ๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘… โˆƒ๐‘  โˆˆ ๐‘† ๐‘ = (((๐‘Ÿ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ )) -s (๐‘Ÿ ยทs ๐‘ ))}) |s ({๐‘ โˆฃ โˆƒ๐‘ก โˆˆ ๐ฟ โˆƒ๐‘ข โˆˆ ๐‘† ๐‘ = (((๐‘ก ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ข)) -s (๐‘ก ยทs ๐‘ข))} โˆช {๐‘‘ โˆฃ โˆƒ๐‘ฃ โˆˆ ๐‘… โˆƒ๐‘ค โˆˆ ๐‘€ ๐‘‘ = (((๐‘ฃ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ค)) -s (๐‘ฃ ยทs ๐‘ค))})))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 395   โˆง w3a 1086  โˆ€wal 1538   = wceq 1540  โˆƒwex 1780   โˆˆ wcel 2105  {cab 2708  โˆ€wral 3060  โˆƒwrex 3069   โˆช cun 3946   โІ wss 3948  {csn 4628   class class class wbr 5148  โ€˜cfv 6543  (class class class)co 7412   No csur 27380   โ‰คs csle 27484   <<s csslt 27519   |s cscut 27521   L cleft 27578   R cright 27579   +s cadds 27682   -s csubs 27735   ยทs cmuls 27802
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-ot 4637  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-frecs 8270  df-wrecs 8301  df-recs 8375  df-1o 8470  df-2o 8471  df-nadd 8669  df-no 27383  df-slt 27384  df-bday 27385  df-sle 27485  df-sslt 27520  df-scut 27522  df-0s 27563  df-made 27580  df-old 27581  df-left 27583  df-right 27584  df-norec 27661  df-norec2 27672  df-adds 27683  df-negs 27736  df-subs 27737  df-muls 27803
This theorem is referenced by:  mulsunif  27845
  Copyright terms: Public domain W3C validator