MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mulsunif2lem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mulsunif2lem 28024
Description: Lemma for mulsunif2 28025. State the theorem with extra disjoint variable conditions. (Contributed by Scott Fenton, 16-Mar-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
mulsunif2.1 (๐œ‘ โ†’ ๐ฟ <<s ๐‘…)
mulsunif2.2 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ <<s ๐‘†)
mulsunif2.3 (๐œ‘ โ†’ ๐ด = (๐ฟ |s ๐‘…))
mulsunif2.4 (๐œ‘ โ†’ ๐ต = (๐‘€ |s ๐‘†))
Assertion
Ref Expression
mulsunif2lem (๐œ‘ โ†’ (๐ด ยทs ๐ต) = (({๐‘Ž โˆฃ โˆƒ๐‘ โˆˆ ๐ฟ โˆƒ๐‘ž โˆˆ ๐‘€ ๐‘Ž = ((๐ด ยทs ๐ต) -s ((๐ด -s ๐‘) ยทs (๐ต -s ๐‘ž)))} โˆช {๐‘ โˆฃ โˆƒ๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘… โˆƒ๐‘  โˆˆ ๐‘† ๐‘ = ((๐ด ยทs ๐ต) -s ((๐‘Ÿ -s ๐ด) ยทs (๐‘  -s ๐ต)))}) |s ({๐‘ โˆฃ โˆƒ๐‘ก โˆˆ ๐ฟ โˆƒ๐‘ข โˆˆ ๐‘† ๐‘ = ((๐ด ยทs ๐ต) +s ((๐ด -s ๐‘ก) ยทs (๐‘ข -s ๐ต)))} โˆช {๐‘‘ โˆฃ โˆƒ๐‘ฃ โˆˆ ๐‘… โˆƒ๐‘ค โˆˆ ๐‘€ ๐‘‘ = ((๐ด ยทs ๐ต) +s ((๐‘ฃ -s ๐ด) ยทs (๐ต -s ๐‘ค)))})))
Distinct variable groups:   ๐ด,๐‘Ž,๐‘,๐‘,๐‘‘,๐‘,๐‘ž,๐‘Ÿ,๐‘ ,๐‘ก,๐‘ข,๐‘ฃ,๐‘ค   ๐ต,๐‘Ž,๐‘,๐‘,๐‘‘,๐‘,๐‘ž,๐‘Ÿ,๐‘ ,๐‘ก,๐‘ข,๐‘ฃ,๐‘ค   ๐ฟ,๐‘Ž,๐‘,๐‘,๐‘‘,๐‘,๐‘ž,๐‘Ÿ,๐‘ ,๐‘ก,๐‘ข,๐‘ฃ,๐‘ค   ๐‘…,๐‘Ž,๐‘,๐‘,๐‘‘,๐‘,๐‘ž,๐‘Ÿ,๐‘ ,๐‘ก,๐‘ข,๐‘ฃ,๐‘ค   ๐‘€,๐‘Ž,๐‘,๐‘,๐‘‘,๐‘,๐‘ž,๐‘Ÿ,๐‘ ,๐‘ก,๐‘ข,๐‘ฃ,๐‘ค   ๐‘†,๐‘Ž,๐‘,๐‘,๐‘‘,๐‘,๐‘ž,๐‘Ÿ,๐‘ ,๐‘ก,๐‘ข,๐‘ฃ,๐‘ค   ๐œ‘,๐‘Ž,๐‘,๐‘,๐‘‘,๐‘,๐‘ž,๐‘Ÿ,๐‘ ,๐‘ก,๐‘ข,๐‘ฃ,๐‘ค

Proof of Theorem mulsunif2lem
StepHypRef Expression
1 mulsunif2.1 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐ฟ <<s ๐‘…)
2 mulsunif2.2 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ <<s ๐‘†)
3 mulsunif2.3 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐ด = (๐ฟ |s ๐‘…))
4 mulsunif2.4 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐ต = (๐‘€ |s ๐‘†))
51, 2, 3, 4mulsunif 28005 . 2 (๐œ‘ โ†’ (๐ด ยทs ๐ต) = (({๐‘Ž โˆฃ โˆƒ๐‘ โˆˆ ๐ฟ โˆƒ๐‘ž โˆˆ ๐‘€ ๐‘Ž = (((๐‘ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ž)) -s (๐‘ ยทs ๐‘ž))} โˆช {๐‘ โˆฃ โˆƒ๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘… โˆƒ๐‘  โˆˆ ๐‘† ๐‘ = (((๐‘Ÿ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ )) -s (๐‘Ÿ ยทs ๐‘ ))}) |s ({๐‘ โˆฃ โˆƒ๐‘ก โˆˆ ๐ฟ โˆƒ๐‘ข โˆˆ ๐‘† ๐‘ = (((๐‘ก ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ข)) -s (๐‘ก ยทs ๐‘ข))} โˆช {๐‘‘ โˆฃ โˆƒ๐‘ฃ โˆˆ ๐‘… โˆƒ๐‘ค โˆˆ ๐‘€ ๐‘‘ = (((๐‘ฃ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ค)) -s (๐‘ฃ ยทs ๐‘ค))})))
61scutcld 27691 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ (๐ฟ |s ๐‘…) โˆˆ No )
73, 6eqeltrd 2827 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ No )
82scutcld 27691 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ (๐‘€ |s ๐‘†) โˆˆ No )
94, 8eqeltrd 2827 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ No )
107, 9mulscld 27990 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ (๐ด ยทs ๐ต) โˆˆ No )
1110adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆˆ ๐ฟ โˆง ๐‘ž โˆˆ ๐‘€)) โ†’ (๐ด ยทs ๐ต) โˆˆ No )
12 ssltss1 27676 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐ฟ <<s ๐‘… โ†’ ๐ฟ โІ No )
131, 12syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ ๐ฟ โІ No )
1413sselda 3977 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ฟ) โ†’ ๐‘ โˆˆ No )
1514adantrr 714 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆˆ ๐ฟ โˆง ๐‘ž โˆˆ ๐‘€)) โ†’ ๐‘ โˆˆ No )
169adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆˆ ๐ฟ โˆง ๐‘ž โˆˆ ๐‘€)) โ†’ ๐ต โˆˆ No )
1715, 16mulscld 27990 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆˆ ๐ฟ โˆง ๐‘ž โˆˆ ๐‘€)) โ†’ (๐‘ ยทs ๐ต) โˆˆ No )
187adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆˆ ๐ฟ โˆง ๐‘ž โˆˆ ๐‘€)) โ†’ ๐ด โˆˆ No )
19 ssltss1 27676 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘€ <<s ๐‘† โ†’ ๐‘€ โІ No )
202, 19syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โІ No )
2120sselda 3977 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ž โˆˆ ๐‘€) โ†’ ๐‘ž โˆˆ No )
2221adantrl 713 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆˆ ๐ฟ โˆง ๐‘ž โˆˆ ๐‘€)) โ†’ ๐‘ž โˆˆ No )
2318, 22mulscld 27990 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆˆ ๐ฟ โˆง ๐‘ž โˆˆ ๐‘€)) โ†’ (๐ด ยทs ๐‘ž) โˆˆ No )
2415, 22mulscld 27990 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆˆ ๐ฟ โˆง ๐‘ž โˆˆ ๐‘€)) โ†’ (๐‘ ยทs ๐‘ž) โˆˆ No )
2523, 24subscld 27928 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆˆ ๐ฟ โˆง ๐‘ž โˆˆ ๐‘€)) โ†’ ((๐ด ยทs ๐‘ž) -s (๐‘ ยทs ๐‘ž)) โˆˆ No )
2611, 17, 25subsubs4d 27956 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆˆ ๐ฟ โˆง ๐‘ž โˆˆ ๐‘€)) โ†’ (((๐ด ยทs ๐ต) -s (๐‘ ยทs ๐ต)) -s ((๐ด ยทs ๐‘ž) -s (๐‘ ยทs ๐‘ž))) = ((๐ด ยทs ๐ต) -s ((๐‘ ยทs ๐ต) +s ((๐ด ยทs ๐‘ž) -s (๐‘ ยทs ๐‘ž)))))
2726oveq2d 7421 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆˆ ๐ฟ โˆง ๐‘ž โˆˆ ๐‘€)) โ†’ ((๐ด ยทs ๐ต) -s (((๐ด ยทs ๐ต) -s (๐‘ ยทs ๐ต)) -s ((๐ด ยทs ๐‘ž) -s (๐‘ ยทs ๐‘ž)))) = ((๐ด ยทs ๐ต) -s ((๐ด ยทs ๐ต) -s ((๐‘ ยทs ๐ต) +s ((๐ด ยทs ๐‘ž) -s (๐‘ ยทs ๐‘ž))))))
2817, 25addscld 27852 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆˆ ๐ฟ โˆง ๐‘ž โˆˆ ๐‘€)) โ†’ ((๐‘ ยทs ๐ต) +s ((๐ด ยทs ๐‘ž) -s (๐‘ ยทs ๐‘ž))) โˆˆ No )
2911, 28nncansd 27958 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆˆ ๐ฟ โˆง ๐‘ž โˆˆ ๐‘€)) โ†’ ((๐ด ยทs ๐ต) -s ((๐ด ยทs ๐ต) -s ((๐‘ ยทs ๐ต) +s ((๐ด ยทs ๐‘ž) -s (๐‘ ยทs ๐‘ž))))) = ((๐‘ ยทs ๐ต) +s ((๐ด ยทs ๐‘ž) -s (๐‘ ยทs ๐‘ž))))
3027, 29eqtrd 2766 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆˆ ๐ฟ โˆง ๐‘ž โˆˆ ๐‘€)) โ†’ ((๐ด ยทs ๐ต) -s (((๐ด ยทs ๐ต) -s (๐‘ ยทs ๐ต)) -s ((๐ด ยทs ๐‘ž) -s (๐‘ ยทs ๐‘ž)))) = ((๐‘ ยทs ๐ต) +s ((๐ด ยทs ๐‘ž) -s (๐‘ ยทs ๐‘ž))))
3118, 15subscld 27928 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆˆ ๐ฟ โˆง ๐‘ž โˆˆ ๐‘€)) โ†’ (๐ด -s ๐‘) โˆˆ No )
3231, 16, 22subsdid 28013 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆˆ ๐ฟ โˆง ๐‘ž โˆˆ ๐‘€)) โ†’ ((๐ด -s ๐‘) ยทs (๐ต -s ๐‘ž)) = (((๐ด -s ๐‘) ยทs ๐ต) -s ((๐ด -s ๐‘) ยทs ๐‘ž)))
3318, 15, 16subsdird 28014 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆˆ ๐ฟ โˆง ๐‘ž โˆˆ ๐‘€)) โ†’ ((๐ด -s ๐‘) ยทs ๐ต) = ((๐ด ยทs ๐ต) -s (๐‘ ยทs ๐ต)))
3418, 15, 22subsdird 28014 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆˆ ๐ฟ โˆง ๐‘ž โˆˆ ๐‘€)) โ†’ ((๐ด -s ๐‘) ยทs ๐‘ž) = ((๐ด ยทs ๐‘ž) -s (๐‘ ยทs ๐‘ž)))
3533, 34oveq12d 7423 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆˆ ๐ฟ โˆง ๐‘ž โˆˆ ๐‘€)) โ†’ (((๐ด -s ๐‘) ยทs ๐ต) -s ((๐ด -s ๐‘) ยทs ๐‘ž)) = (((๐ด ยทs ๐ต) -s (๐‘ ยทs ๐ต)) -s ((๐ด ยทs ๐‘ž) -s (๐‘ ยทs ๐‘ž))))
3632, 35eqtrd 2766 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆˆ ๐ฟ โˆง ๐‘ž โˆˆ ๐‘€)) โ†’ ((๐ด -s ๐‘) ยทs (๐ต -s ๐‘ž)) = (((๐ด ยทs ๐ต) -s (๐‘ ยทs ๐ต)) -s ((๐ด ยทs ๐‘ž) -s (๐‘ ยทs ๐‘ž))))
3736oveq2d 7421 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆˆ ๐ฟ โˆง ๐‘ž โˆˆ ๐‘€)) โ†’ ((๐ด ยทs ๐ต) -s ((๐ด -s ๐‘) ยทs (๐ต -s ๐‘ž))) = ((๐ด ยทs ๐ต) -s (((๐ด ยทs ๐ต) -s (๐‘ ยทs ๐ต)) -s ((๐ด ยทs ๐‘ž) -s (๐‘ ยทs ๐‘ž)))))
3817, 23, 24addsubsassd 27944 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆˆ ๐ฟ โˆง ๐‘ž โˆˆ ๐‘€)) โ†’ (((๐‘ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ž)) -s (๐‘ ยทs ๐‘ž)) = ((๐‘ ยทs ๐ต) +s ((๐ด ยทs ๐‘ž) -s (๐‘ ยทs ๐‘ž))))
3930, 37, 383eqtr4rd 2777 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆˆ ๐ฟ โˆง ๐‘ž โˆˆ ๐‘€)) โ†’ (((๐‘ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ž)) -s (๐‘ ยทs ๐‘ž)) = ((๐ด ยทs ๐ต) -s ((๐ด -s ๐‘) ยทs (๐ต -s ๐‘ž))))
4039eqeq2d 2737 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆˆ ๐ฟ โˆง ๐‘ž โˆˆ ๐‘€)) โ†’ (๐‘Ž = (((๐‘ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ž)) -s (๐‘ ยทs ๐‘ž)) โ†” ๐‘Ž = ((๐ด ยทs ๐ต) -s ((๐ด -s ๐‘) ยทs (๐ต -s ๐‘ž)))))
41402rexbidva 3211 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (โˆƒ๐‘ โˆˆ ๐ฟ โˆƒ๐‘ž โˆˆ ๐‘€ ๐‘Ž = (((๐‘ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ž)) -s (๐‘ ยทs ๐‘ž)) โ†” โˆƒ๐‘ โˆˆ ๐ฟ โˆƒ๐‘ž โˆˆ ๐‘€ ๐‘Ž = ((๐ด ยทs ๐ต) -s ((๐ด -s ๐‘) ยทs (๐ต -s ๐‘ž)))))
4241abbidv 2795 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ {๐‘Ž โˆฃ โˆƒ๐‘ โˆˆ ๐ฟ โˆƒ๐‘ž โˆˆ ๐‘€ ๐‘Ž = (((๐‘ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ž)) -s (๐‘ ยทs ๐‘ž))} = {๐‘Ž โˆฃ โˆƒ๐‘ โˆˆ ๐ฟ โˆƒ๐‘ž โˆˆ ๐‘€ ๐‘Ž = ((๐ด ยทs ๐ต) -s ((๐ด -s ๐‘) ยทs (๐ต -s ๐‘ž)))})
4310adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง (๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘… โˆง ๐‘  โˆˆ ๐‘†)) โ†’ (๐ด ยทs ๐ต) โˆˆ No )
44 ssltss2 27677 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐ฟ <<s ๐‘… โ†’ ๐‘… โІ No )
451, 44syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โІ No )
4645sselda 3977 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘…) โ†’ ๐‘Ÿ โˆˆ No )
4746adantrr 714 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง (๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘… โˆง ๐‘  โˆˆ ๐‘†)) โ†’ ๐‘Ÿ โˆˆ No )
48 ssltss2 27677 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘€ <<s ๐‘† โ†’ ๐‘† โІ No )
492, 48syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ ๐‘† โІ No )
5049sselda 3977 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง ๐‘  โˆˆ ๐‘†) โ†’ ๐‘  โˆˆ No )
5150adantrl 713 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง (๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘… โˆง ๐‘  โˆˆ ๐‘†)) โ†’ ๐‘  โˆˆ No )
5247, 51mulscld 27990 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง (๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘… โˆง ๐‘  โˆˆ ๐‘†)) โ†’ (๐‘Ÿ ยทs ๐‘ ) โˆˆ No )
537adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง (๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘… โˆง ๐‘  โˆˆ ๐‘†)) โ†’ ๐ด โˆˆ No )
5453, 51mulscld 27990 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง (๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘… โˆง ๐‘  โˆˆ ๐‘†)) โ†’ (๐ด ยทs ๐‘ ) โˆˆ No )
5552, 54subscld 27928 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง (๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘… โˆง ๐‘  โˆˆ ๐‘†)) โ†’ ((๐‘Ÿ ยทs ๐‘ ) -s (๐ด ยทs ๐‘ )) โˆˆ No )
569adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง (๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘… โˆง ๐‘  โˆˆ ๐‘†)) โ†’ ๐ต โˆˆ No )
5747, 56mulscld 27990 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง (๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘… โˆง ๐‘  โˆˆ ๐‘†)) โ†’ (๐‘Ÿ ยทs ๐ต) โˆˆ No )
5857, 43subscld 27928 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง (๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘… โˆง ๐‘  โˆˆ ๐‘†)) โ†’ ((๐‘Ÿ ยทs ๐ต) -s (๐ด ยทs ๐ต)) โˆˆ No )
5943, 55, 58subsubs2d 27957 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง (๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘… โˆง ๐‘  โˆˆ ๐‘†)) โ†’ ((๐ด ยทs ๐ต) -s (((๐‘Ÿ ยทs ๐‘ ) -s (๐ด ยทs ๐‘ )) -s ((๐‘Ÿ ยทs ๐ต) -s (๐ด ยทs ๐ต)))) = ((๐ด ยทs ๐ต) +s (((๐‘Ÿ ยทs ๐ต) -s (๐ด ยทs ๐ต)) -s ((๐‘Ÿ ยทs ๐‘ ) -s (๐ด ยทs ๐‘ )))))
6043, 58, 55addsubsassd 27944 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง (๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘… โˆง ๐‘  โˆˆ ๐‘†)) โ†’ (((๐ด ยทs ๐ต) +s ((๐‘Ÿ ยทs ๐ต) -s (๐ด ยทs ๐ต))) -s ((๐‘Ÿ ยทs ๐‘ ) -s (๐ด ยทs ๐‘ ))) = ((๐ด ยทs ๐ต) +s (((๐‘Ÿ ยทs ๐ต) -s (๐ด ยทs ๐ต)) -s ((๐‘Ÿ ยทs ๐‘ ) -s (๐ด ยทs ๐‘ )))))
61 pncan3s 27936 . . . . . . . . . . 11 (((๐ด ยทs ๐ต) โˆˆ No โˆง (๐‘Ÿ ยทs ๐ต) โˆˆ No ) โ†’ ((๐ด ยทs ๐ต) +s ((๐‘Ÿ ยทs ๐ต) -s (๐ด ยทs ๐ต))) = (๐‘Ÿ ยทs ๐ต))
6243, 57, 61syl2anc 583 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง (๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘… โˆง ๐‘  โˆˆ ๐‘†)) โ†’ ((๐ด ยทs ๐ต) +s ((๐‘Ÿ ยทs ๐ต) -s (๐ด ยทs ๐ต))) = (๐‘Ÿ ยทs ๐ต))
6362oveq1d 7420 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง (๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘… โˆง ๐‘  โˆˆ ๐‘†)) โ†’ (((๐ด ยทs ๐ต) +s ((๐‘Ÿ ยทs ๐ต) -s (๐ด ยทs ๐ต))) -s ((๐‘Ÿ ยทs ๐‘ ) -s (๐ด ยทs ๐‘ ))) = ((๐‘Ÿ ยทs ๐ต) -s ((๐‘Ÿ ยทs ๐‘ ) -s (๐ด ยทs ๐‘ ))))
6459, 60, 633eqtr2d 2772 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง (๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘… โˆง ๐‘  โˆˆ ๐‘†)) โ†’ ((๐ด ยทs ๐ต) -s (((๐‘Ÿ ยทs ๐‘ ) -s (๐ด ยทs ๐‘ )) -s ((๐‘Ÿ ยทs ๐ต) -s (๐ด ยทs ๐ต)))) = ((๐‘Ÿ ยทs ๐ต) -s ((๐‘Ÿ ยทs ๐‘ ) -s (๐ด ยทs ๐‘ ))))
6547, 53subscld 27928 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง (๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘… โˆง ๐‘  โˆˆ ๐‘†)) โ†’ (๐‘Ÿ -s ๐ด) โˆˆ No )
6665, 51, 56subsdid 28013 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง (๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘… โˆง ๐‘  โˆˆ ๐‘†)) โ†’ ((๐‘Ÿ -s ๐ด) ยทs (๐‘  -s ๐ต)) = (((๐‘Ÿ -s ๐ด) ยทs ๐‘ ) -s ((๐‘Ÿ -s ๐ด) ยทs ๐ต)))
6747, 53, 51subsdird 28014 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง (๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘… โˆง ๐‘  โˆˆ ๐‘†)) โ†’ ((๐‘Ÿ -s ๐ด) ยทs ๐‘ ) = ((๐‘Ÿ ยทs ๐‘ ) -s (๐ด ยทs ๐‘ )))
6847, 53, 56subsdird 28014 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง (๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘… โˆง ๐‘  โˆˆ ๐‘†)) โ†’ ((๐‘Ÿ -s ๐ด) ยทs ๐ต) = ((๐‘Ÿ ยทs ๐ต) -s (๐ด ยทs ๐ต)))
6967, 68oveq12d 7423 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง (๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘… โˆง ๐‘  โˆˆ ๐‘†)) โ†’ (((๐‘Ÿ -s ๐ด) ยทs ๐‘ ) -s ((๐‘Ÿ -s ๐ด) ยทs ๐ต)) = (((๐‘Ÿ ยทs ๐‘ ) -s (๐ด ยทs ๐‘ )) -s ((๐‘Ÿ ยทs ๐ต) -s (๐ด ยทs ๐ต))))
7066, 69eqtrd 2766 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง (๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘… โˆง ๐‘  โˆˆ ๐‘†)) โ†’ ((๐‘Ÿ -s ๐ด) ยทs (๐‘  -s ๐ต)) = (((๐‘Ÿ ยทs ๐‘ ) -s (๐ด ยทs ๐‘ )) -s ((๐‘Ÿ ยทs ๐ต) -s (๐ด ยทs ๐ต))))
7170oveq2d 7421 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง (๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘… โˆง ๐‘  โˆˆ ๐‘†)) โ†’ ((๐ด ยทs ๐ต) -s ((๐‘Ÿ -s ๐ด) ยทs (๐‘  -s ๐ต))) = ((๐ด ยทs ๐ต) -s (((๐‘Ÿ ยทs ๐‘ ) -s (๐ด ยทs ๐‘ )) -s ((๐‘Ÿ ยทs ๐ต) -s (๐ด ยทs ๐ต)))))
7257, 54, 52addsubsassd 27944 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง (๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘… โˆง ๐‘  โˆˆ ๐‘†)) โ†’ (((๐‘Ÿ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ )) -s (๐‘Ÿ ยทs ๐‘ )) = ((๐‘Ÿ ยทs ๐ต) +s ((๐ด ยทs ๐‘ ) -s (๐‘Ÿ ยทs ๐‘ ))))
7357, 52, 54subsubs2d 27957 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง (๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘… โˆง ๐‘  โˆˆ ๐‘†)) โ†’ ((๐‘Ÿ ยทs ๐ต) -s ((๐‘Ÿ ยทs ๐‘ ) -s (๐ด ยทs ๐‘ ))) = ((๐‘Ÿ ยทs ๐ต) +s ((๐ด ยทs ๐‘ ) -s (๐‘Ÿ ยทs ๐‘ ))))
7472, 73eqtr4d 2769 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง (๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘… โˆง ๐‘  โˆˆ ๐‘†)) โ†’ (((๐‘Ÿ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ )) -s (๐‘Ÿ ยทs ๐‘ )) = ((๐‘Ÿ ยทs ๐ต) -s ((๐‘Ÿ ยทs ๐‘ ) -s (๐ด ยทs ๐‘ ))))
7564, 71, 743eqtr4rd 2777 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง (๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘… โˆง ๐‘  โˆˆ ๐‘†)) โ†’ (((๐‘Ÿ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ )) -s (๐‘Ÿ ยทs ๐‘ )) = ((๐ด ยทs ๐ต) -s ((๐‘Ÿ -s ๐ด) ยทs (๐‘  -s ๐ต))))
7675eqeq2d 2737 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง (๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘… โˆง ๐‘  โˆˆ ๐‘†)) โ†’ (๐‘ = (((๐‘Ÿ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ )) -s (๐‘Ÿ ยทs ๐‘ )) โ†” ๐‘ = ((๐ด ยทs ๐ต) -s ((๐‘Ÿ -s ๐ด) ยทs (๐‘  -s ๐ต)))))
77762rexbidva 3211 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (โˆƒ๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘… โˆƒ๐‘  โˆˆ ๐‘† ๐‘ = (((๐‘Ÿ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ )) -s (๐‘Ÿ ยทs ๐‘ )) โ†” โˆƒ๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘… โˆƒ๐‘  โˆˆ ๐‘† ๐‘ = ((๐ด ยทs ๐ต) -s ((๐‘Ÿ -s ๐ด) ยทs (๐‘  -s ๐ต)))))
7877abbidv 2795 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ {๐‘ โˆฃ โˆƒ๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘… โˆƒ๐‘  โˆˆ ๐‘† ๐‘ = (((๐‘Ÿ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ )) -s (๐‘Ÿ ยทs ๐‘ ))} = {๐‘ โˆฃ โˆƒ๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘… โˆƒ๐‘  โˆˆ ๐‘† ๐‘ = ((๐ด ยทs ๐ต) -s ((๐‘Ÿ -s ๐ด) ยทs (๐‘  -s ๐ต)))})
7942, 78uneq12d 4159 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ({๐‘Ž โˆฃ โˆƒ๐‘ โˆˆ ๐ฟ โˆƒ๐‘ž โˆˆ ๐‘€ ๐‘Ž = (((๐‘ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ž)) -s (๐‘ ยทs ๐‘ž))} โˆช {๐‘ โˆฃ โˆƒ๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘… โˆƒ๐‘  โˆˆ ๐‘† ๐‘ = (((๐‘Ÿ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ )) -s (๐‘Ÿ ยทs ๐‘ ))}) = ({๐‘Ž โˆฃ โˆƒ๐‘ โˆˆ ๐ฟ โˆƒ๐‘ž โˆˆ ๐‘€ ๐‘Ž = ((๐ด ยทs ๐ต) -s ((๐ด -s ๐‘) ยทs (๐ต -s ๐‘ž)))} โˆช {๐‘ โˆฃ โˆƒ๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘… โˆƒ๐‘  โˆˆ ๐‘† ๐‘ = ((๐ด ยทs ๐ต) -s ((๐‘Ÿ -s ๐ด) ยทs (๐‘  -s ๐ต)))}))
807adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ก โˆˆ ๐ฟ โˆง ๐‘ข โˆˆ ๐‘†)) โ†’ ๐ด โˆˆ No )
8149sselda 3977 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ข โˆˆ ๐‘†) โ†’ ๐‘ข โˆˆ No )
8281adantrl 713 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ก โˆˆ ๐ฟ โˆง ๐‘ข โˆˆ ๐‘†)) โ†’ ๐‘ข โˆˆ No )
8380, 82mulscld 27990 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ก โˆˆ ๐ฟ โˆง ๐‘ข โˆˆ ๐‘†)) โ†’ (๐ด ยทs ๐‘ข) โˆˆ No )
8410adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ก โˆˆ ๐ฟ โˆง ๐‘ข โˆˆ ๐‘†)) โ†’ (๐ด ยทs ๐ต) โˆˆ No )
8583, 84subscld 27928 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ก โˆˆ ๐ฟ โˆง ๐‘ข โˆˆ ๐‘†)) โ†’ ((๐ด ยทs ๐‘ข) -s (๐ด ยทs ๐ต)) โˆˆ No )
8613sselda 3977 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ก โˆˆ ๐ฟ) โ†’ ๐‘ก โˆˆ No )
8786adantrr 714 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ก โˆˆ ๐ฟ โˆง ๐‘ข โˆˆ ๐‘†)) โ†’ ๐‘ก โˆˆ No )
8887, 82mulscld 27990 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ก โˆˆ ๐ฟ โˆง ๐‘ข โˆˆ ๐‘†)) โ†’ (๐‘ก ยทs ๐‘ข) โˆˆ No )
899adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ก โˆˆ ๐ฟ โˆง ๐‘ข โˆˆ ๐‘†)) โ†’ ๐ต โˆˆ No )
9087, 89mulscld 27990 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ก โˆˆ ๐ฟ โˆง ๐‘ข โˆˆ ๐‘†)) โ†’ (๐‘ก ยทs ๐ต) โˆˆ No )
9185, 88, 90subsubs2d 27957 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ก โˆˆ ๐ฟ โˆง ๐‘ข โˆˆ ๐‘†)) โ†’ (((๐ด ยทs ๐‘ข) -s (๐ด ยทs ๐ต)) -s ((๐‘ก ยทs ๐‘ข) -s (๐‘ก ยทs ๐ต))) = (((๐ด ยทs ๐‘ข) -s (๐ด ยทs ๐ต)) +s ((๐‘ก ยทs ๐ต) -s (๐‘ก ยทs ๐‘ข))))
9290, 88subscld 27928 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ก โˆˆ ๐ฟ โˆง ๐‘ข โˆˆ ๐‘†)) โ†’ ((๐‘ก ยทs ๐ต) -s (๐‘ก ยทs ๐‘ข)) โˆˆ No )
9383, 92, 84addsubsd 27945 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ก โˆˆ ๐ฟ โˆง ๐‘ข โˆˆ ๐‘†)) โ†’ (((๐ด ยทs ๐‘ข) +s ((๐‘ก ยทs ๐ต) -s (๐‘ก ยทs ๐‘ข))) -s (๐ด ยทs ๐ต)) = (((๐ด ยทs ๐‘ข) -s (๐ด ยทs ๐ต)) +s ((๐‘ก ยทs ๐ต) -s (๐‘ก ยทs ๐‘ข))))
9491, 93eqtr4d 2769 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ก โˆˆ ๐ฟ โˆง ๐‘ข โˆˆ ๐‘†)) โ†’ (((๐ด ยทs ๐‘ข) -s (๐ด ยทs ๐ต)) -s ((๐‘ก ยทs ๐‘ข) -s (๐‘ก ยทs ๐ต))) = (((๐ด ยทs ๐‘ข) +s ((๐‘ก ยทs ๐ต) -s (๐‘ก ยทs ๐‘ข))) -s (๐ด ยทs ๐ต)))
9594oveq2d 7421 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ก โˆˆ ๐ฟ โˆง ๐‘ข โˆˆ ๐‘†)) โ†’ ((๐ด ยทs ๐ต) +s (((๐ด ยทs ๐‘ข) -s (๐ด ยทs ๐ต)) -s ((๐‘ก ยทs ๐‘ข) -s (๐‘ก ยทs ๐ต)))) = ((๐ด ยทs ๐ต) +s (((๐ด ยทs ๐‘ข) +s ((๐‘ก ยทs ๐ต) -s (๐‘ก ยทs ๐‘ข))) -s (๐ด ยทs ๐ต))))
9683, 92addscld 27852 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ก โˆˆ ๐ฟ โˆง ๐‘ข โˆˆ ๐‘†)) โ†’ ((๐ด ยทs ๐‘ข) +s ((๐‘ก ยทs ๐ต) -s (๐‘ก ยทs ๐‘ข))) โˆˆ No )
97 pncan3s 27936 . . . . . . . . . 10 (((๐ด ยทs ๐ต) โˆˆ No โˆง ((๐ด ยทs ๐‘ข) +s ((๐‘ก ยทs ๐ต) -s (๐‘ก ยทs ๐‘ข))) โˆˆ No ) โ†’ ((๐ด ยทs ๐ต) +s (((๐ด ยทs ๐‘ข) +s ((๐‘ก ยทs ๐ต) -s (๐‘ก ยทs ๐‘ข))) -s (๐ด ยทs ๐ต))) = ((๐ด ยทs ๐‘ข) +s ((๐‘ก ยทs ๐ต) -s (๐‘ก ยทs ๐‘ข))))
9884, 96, 97syl2anc 583 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ก โˆˆ ๐ฟ โˆง ๐‘ข โˆˆ ๐‘†)) โ†’ ((๐ด ยทs ๐ต) +s (((๐ด ยทs ๐‘ข) +s ((๐‘ก ยทs ๐ต) -s (๐‘ก ยทs ๐‘ข))) -s (๐ด ยทs ๐ต))) = ((๐ด ยทs ๐‘ข) +s ((๐‘ก ยทs ๐ต) -s (๐‘ก ยทs ๐‘ข))))
9995, 98eqtrd 2766 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ก โˆˆ ๐ฟ โˆง ๐‘ข โˆˆ ๐‘†)) โ†’ ((๐ด ยทs ๐ต) +s (((๐ด ยทs ๐‘ข) -s (๐ด ยทs ๐ต)) -s ((๐‘ก ยทs ๐‘ข) -s (๐‘ก ยทs ๐ต)))) = ((๐ด ยทs ๐‘ข) +s ((๐‘ก ยทs ๐ต) -s (๐‘ก ยทs ๐‘ข))))
10082, 89subscld 27928 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ก โˆˆ ๐ฟ โˆง ๐‘ข โˆˆ ๐‘†)) โ†’ (๐‘ข -s ๐ต) โˆˆ No )
10180, 87, 100subsdird 28014 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ก โˆˆ ๐ฟ โˆง ๐‘ข โˆˆ ๐‘†)) โ†’ ((๐ด -s ๐‘ก) ยทs (๐‘ข -s ๐ต)) = ((๐ด ยทs (๐‘ข -s ๐ต)) -s (๐‘ก ยทs (๐‘ข -s ๐ต))))
10280, 82, 89subsdid 28013 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ก โˆˆ ๐ฟ โˆง ๐‘ข โˆˆ ๐‘†)) โ†’ (๐ด ยทs (๐‘ข -s ๐ต)) = ((๐ด ยทs ๐‘ข) -s (๐ด ยทs ๐ต)))
10387, 82, 89subsdid 28013 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ก โˆˆ ๐ฟ โˆง ๐‘ข โˆˆ ๐‘†)) โ†’ (๐‘ก ยทs (๐‘ข -s ๐ต)) = ((๐‘ก ยทs ๐‘ข) -s (๐‘ก ยทs ๐ต)))
104102, 103oveq12d 7423 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ก โˆˆ ๐ฟ โˆง ๐‘ข โˆˆ ๐‘†)) โ†’ ((๐ด ยทs (๐‘ข -s ๐ต)) -s (๐‘ก ยทs (๐‘ข -s ๐ต))) = (((๐ด ยทs ๐‘ข) -s (๐ด ยทs ๐ต)) -s ((๐‘ก ยทs ๐‘ข) -s (๐‘ก ยทs ๐ต))))
105101, 104eqtrd 2766 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ก โˆˆ ๐ฟ โˆง ๐‘ข โˆˆ ๐‘†)) โ†’ ((๐ด -s ๐‘ก) ยทs (๐‘ข -s ๐ต)) = (((๐ด ยทs ๐‘ข) -s (๐ด ยทs ๐ต)) -s ((๐‘ก ยทs ๐‘ข) -s (๐‘ก ยทs ๐ต))))
106105oveq2d 7421 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ก โˆˆ ๐ฟ โˆง ๐‘ข โˆˆ ๐‘†)) โ†’ ((๐ด ยทs ๐ต) +s ((๐ด -s ๐‘ก) ยทs (๐‘ข -s ๐ต))) = ((๐ด ยทs ๐ต) +s (((๐ด ยทs ๐‘ข) -s (๐ด ยทs ๐ต)) -s ((๐‘ก ยทs ๐‘ข) -s (๐‘ก ยทs ๐ต)))))
10790, 83addscomd 27839 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ก โˆˆ ๐ฟ โˆง ๐‘ข โˆˆ ๐‘†)) โ†’ ((๐‘ก ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ข)) = ((๐ด ยทs ๐‘ข) +s (๐‘ก ยทs ๐ต)))
108107oveq1d 7420 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ก โˆˆ ๐ฟ โˆง ๐‘ข โˆˆ ๐‘†)) โ†’ (((๐‘ก ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ข)) -s (๐‘ก ยทs ๐‘ข)) = (((๐ด ยทs ๐‘ข) +s (๐‘ก ยทs ๐ต)) -s (๐‘ก ยทs ๐‘ข)))
10983, 90, 88addsubsassd 27944 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ก โˆˆ ๐ฟ โˆง ๐‘ข โˆˆ ๐‘†)) โ†’ (((๐ด ยทs ๐‘ข) +s (๐‘ก ยทs ๐ต)) -s (๐‘ก ยทs ๐‘ข)) = ((๐ด ยทs ๐‘ข) +s ((๐‘ก ยทs ๐ต) -s (๐‘ก ยทs ๐‘ข))))
110108, 109eqtrd 2766 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ก โˆˆ ๐ฟ โˆง ๐‘ข โˆˆ ๐‘†)) โ†’ (((๐‘ก ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ข)) -s (๐‘ก ยทs ๐‘ข)) = ((๐ด ยทs ๐‘ข) +s ((๐‘ก ยทs ๐ต) -s (๐‘ก ยทs ๐‘ข))))
11199, 106, 1103eqtr4rd 2777 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ก โˆˆ ๐ฟ โˆง ๐‘ข โˆˆ ๐‘†)) โ†’ (((๐‘ก ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ข)) -s (๐‘ก ยทs ๐‘ข)) = ((๐ด ยทs ๐ต) +s ((๐ด -s ๐‘ก) ยทs (๐‘ข -s ๐ต))))
112111eqeq2d 2737 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ก โˆˆ ๐ฟ โˆง ๐‘ข โˆˆ ๐‘†)) โ†’ (๐‘ = (((๐‘ก ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ข)) -s (๐‘ก ยทs ๐‘ข)) โ†” ๐‘ = ((๐ด ยทs ๐ต) +s ((๐ด -s ๐‘ก) ยทs (๐‘ข -s ๐ต)))))
1131122rexbidva 3211 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (โˆƒ๐‘ก โˆˆ ๐ฟ โˆƒ๐‘ข โˆˆ ๐‘† ๐‘ = (((๐‘ก ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ข)) -s (๐‘ก ยทs ๐‘ข)) โ†” โˆƒ๐‘ก โˆˆ ๐ฟ โˆƒ๐‘ข โˆˆ ๐‘† ๐‘ = ((๐ด ยทs ๐ต) +s ((๐ด -s ๐‘ก) ยทs (๐‘ข -s ๐ต)))))
114113abbidv 2795 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ {๐‘ โˆฃ โˆƒ๐‘ก โˆˆ ๐ฟ โˆƒ๐‘ข โˆˆ ๐‘† ๐‘ = (((๐‘ก ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ข)) -s (๐‘ก ยทs ๐‘ข))} = {๐‘ โˆฃ โˆƒ๐‘ก โˆˆ ๐ฟ โˆƒ๐‘ข โˆˆ ๐‘† ๐‘ = ((๐ด ยทs ๐ต) +s ((๐ด -s ๐‘ก) ยทs (๐‘ข -s ๐ต)))})
11545sselda 3977 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฃ โˆˆ ๐‘…) โ†’ ๐‘ฃ โˆˆ No )
116115adantrr 714 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฃ โˆˆ ๐‘… โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐‘€)) โ†’ ๐‘ฃ โˆˆ No )
1179adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฃ โˆˆ ๐‘… โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐‘€)) โ†’ ๐ต โˆˆ No )
118116, 117mulscld 27990 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฃ โˆˆ ๐‘… โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐‘€)) โ†’ (๐‘ฃ ยทs ๐ต) โˆˆ No )
11920sselda 3977 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐‘€) โ†’ ๐‘ค โˆˆ No )
120119adantrl 713 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฃ โˆˆ ๐‘… โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐‘€)) โ†’ ๐‘ค โˆˆ No )
121116, 120mulscld 27990 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฃ โˆˆ ๐‘… โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐‘€)) โ†’ (๐‘ฃ ยทs ๐‘ค) โˆˆ No )
122118, 121subscld 27928 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฃ โˆˆ ๐‘… โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐‘€)) โ†’ ((๐‘ฃ ยทs ๐ต) -s (๐‘ฃ ยทs ๐‘ค)) โˆˆ No )
12310adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฃ โˆˆ ๐‘… โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐‘€)) โ†’ (๐ด ยทs ๐ต) โˆˆ No )
1247adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฃ โˆˆ ๐‘… โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐‘€)) โ†’ ๐ด โˆˆ No )
125124, 120mulscld 27990 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฃ โˆˆ ๐‘… โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐‘€)) โ†’ (๐ด ยทs ๐‘ค) โˆˆ No )
126122, 123, 125subsubs2d 27957 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฃ โˆˆ ๐‘… โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐‘€)) โ†’ (((๐‘ฃ ยทs ๐ต) -s (๐‘ฃ ยทs ๐‘ค)) -s ((๐ด ยทs ๐ต) -s (๐ด ยทs ๐‘ค))) = (((๐‘ฃ ยทs ๐ต) -s (๐‘ฃ ยทs ๐‘ค)) +s ((๐ด ยทs ๐‘ค) -s (๐ด ยทs ๐ต))))
127122, 125, 123addsubsassd 27944 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฃ โˆˆ ๐‘… โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐‘€)) โ†’ ((((๐‘ฃ ยทs ๐ต) -s (๐‘ฃ ยทs ๐‘ค)) +s (๐ด ยทs ๐‘ค)) -s (๐ด ยทs ๐ต)) = (((๐‘ฃ ยทs ๐ต) -s (๐‘ฃ ยทs ๐‘ค)) +s ((๐ด ยทs ๐‘ค) -s (๐ด ยทs ๐ต))))
128126, 127eqtr4d 2769 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฃ โˆˆ ๐‘… โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐‘€)) โ†’ (((๐‘ฃ ยทs ๐ต) -s (๐‘ฃ ยทs ๐‘ค)) -s ((๐ด ยทs ๐ต) -s (๐ด ยทs ๐‘ค))) = ((((๐‘ฃ ยทs ๐ต) -s (๐‘ฃ ยทs ๐‘ค)) +s (๐ด ยทs ๐‘ค)) -s (๐ด ยทs ๐ต)))
129128oveq2d 7421 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฃ โˆˆ ๐‘… โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐‘€)) โ†’ ((๐ด ยทs ๐ต) +s (((๐‘ฃ ยทs ๐ต) -s (๐‘ฃ ยทs ๐‘ค)) -s ((๐ด ยทs ๐ต) -s (๐ด ยทs ๐‘ค)))) = ((๐ด ยทs ๐ต) +s ((((๐‘ฃ ยทs ๐ต) -s (๐‘ฃ ยทs ๐‘ค)) +s (๐ด ยทs ๐‘ค)) -s (๐ด ยทs ๐ต))))
130122, 125addscld 27852 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฃ โˆˆ ๐‘… โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐‘€)) โ†’ (((๐‘ฃ ยทs ๐ต) -s (๐‘ฃ ยทs ๐‘ค)) +s (๐ด ยทs ๐‘ค)) โˆˆ No )
131 pncan3s 27936 . . . . . . . . . 10 (((๐ด ยทs ๐ต) โˆˆ No โˆง (((๐‘ฃ ยทs ๐ต) -s (๐‘ฃ ยทs ๐‘ค)) +s (๐ด ยทs ๐‘ค)) โˆˆ No ) โ†’ ((๐ด ยทs ๐ต) +s ((((๐‘ฃ ยทs ๐ต) -s (๐‘ฃ ยทs ๐‘ค)) +s (๐ด ยทs ๐‘ค)) -s (๐ด ยทs ๐ต))) = (((๐‘ฃ ยทs ๐ต) -s (๐‘ฃ ยทs ๐‘ค)) +s (๐ด ยทs ๐‘ค)))
132123, 130, 131syl2anc 583 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฃ โˆˆ ๐‘… โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐‘€)) โ†’ ((๐ด ยทs ๐ต) +s ((((๐‘ฃ ยทs ๐ต) -s (๐‘ฃ ยทs ๐‘ค)) +s (๐ด ยทs ๐‘ค)) -s (๐ด ยทs ๐ต))) = (((๐‘ฃ ยทs ๐ต) -s (๐‘ฃ ยทs ๐‘ค)) +s (๐ด ยทs ๐‘ค)))
133129, 132eqtrd 2766 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฃ โˆˆ ๐‘… โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐‘€)) โ†’ ((๐ด ยทs ๐ต) +s (((๐‘ฃ ยทs ๐ต) -s (๐‘ฃ ยทs ๐‘ค)) -s ((๐ด ยทs ๐ต) -s (๐ด ยทs ๐‘ค)))) = (((๐‘ฃ ยทs ๐ต) -s (๐‘ฃ ยทs ๐‘ค)) +s (๐ด ยทs ๐‘ค)))
134117, 120subscld 27928 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฃ โˆˆ ๐‘… โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐‘€)) โ†’ (๐ต -s ๐‘ค) โˆˆ No )
135116, 124, 134subsdird 28014 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฃ โˆˆ ๐‘… โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐‘€)) โ†’ ((๐‘ฃ -s ๐ด) ยทs (๐ต -s ๐‘ค)) = ((๐‘ฃ ยทs (๐ต -s ๐‘ค)) -s (๐ด ยทs (๐ต -s ๐‘ค))))
136116, 117, 120subsdid 28013 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฃ โˆˆ ๐‘… โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐‘€)) โ†’ (๐‘ฃ ยทs (๐ต -s ๐‘ค)) = ((๐‘ฃ ยทs ๐ต) -s (๐‘ฃ ยทs ๐‘ค)))
137124, 117, 120subsdid 28013 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฃ โˆˆ ๐‘… โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐‘€)) โ†’ (๐ด ยทs (๐ต -s ๐‘ค)) = ((๐ด ยทs ๐ต) -s (๐ด ยทs ๐‘ค)))
138136, 137oveq12d 7423 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฃ โˆˆ ๐‘… โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐‘€)) โ†’ ((๐‘ฃ ยทs (๐ต -s ๐‘ค)) -s (๐ด ยทs (๐ต -s ๐‘ค))) = (((๐‘ฃ ยทs ๐ต) -s (๐‘ฃ ยทs ๐‘ค)) -s ((๐ด ยทs ๐ต) -s (๐ด ยทs ๐‘ค))))
139135, 138eqtrd 2766 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฃ โˆˆ ๐‘… โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐‘€)) โ†’ ((๐‘ฃ -s ๐ด) ยทs (๐ต -s ๐‘ค)) = (((๐‘ฃ ยทs ๐ต) -s (๐‘ฃ ยทs ๐‘ค)) -s ((๐ด ยทs ๐ต) -s (๐ด ยทs ๐‘ค))))
140139oveq2d 7421 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฃ โˆˆ ๐‘… โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐‘€)) โ†’ ((๐ด ยทs ๐ต) +s ((๐‘ฃ -s ๐ด) ยทs (๐ต -s ๐‘ค))) = ((๐ด ยทs ๐ต) +s (((๐‘ฃ ยทs ๐ต) -s (๐‘ฃ ยทs ๐‘ค)) -s ((๐ด ยทs ๐ต) -s (๐ด ยทs ๐‘ค)))))
141118, 125, 121addsubsd 27945 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฃ โˆˆ ๐‘… โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐‘€)) โ†’ (((๐‘ฃ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ค)) -s (๐‘ฃ ยทs ๐‘ค)) = (((๐‘ฃ ยทs ๐ต) -s (๐‘ฃ ยทs ๐‘ค)) +s (๐ด ยทs ๐‘ค)))
142133, 140, 1413eqtr4rd 2777 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฃ โˆˆ ๐‘… โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐‘€)) โ†’ (((๐‘ฃ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ค)) -s (๐‘ฃ ยทs ๐‘ค)) = ((๐ด ยทs ๐ต) +s ((๐‘ฃ -s ๐ด) ยทs (๐ต -s ๐‘ค))))
143142eqeq2d 2737 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฃ โˆˆ ๐‘… โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐‘€)) โ†’ (๐‘‘ = (((๐‘ฃ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ค)) -s (๐‘ฃ ยทs ๐‘ค)) โ†” ๐‘‘ = ((๐ด ยทs ๐ต) +s ((๐‘ฃ -s ๐ด) ยทs (๐ต -s ๐‘ค)))))
1441432rexbidva 3211 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (โˆƒ๐‘ฃ โˆˆ ๐‘… โˆƒ๐‘ค โˆˆ ๐‘€ ๐‘‘ = (((๐‘ฃ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ค)) -s (๐‘ฃ ยทs ๐‘ค)) โ†” โˆƒ๐‘ฃ โˆˆ ๐‘… โˆƒ๐‘ค โˆˆ ๐‘€ ๐‘‘ = ((๐ด ยทs ๐ต) +s ((๐‘ฃ -s ๐ด) ยทs (๐ต -s ๐‘ค)))))
145144abbidv 2795 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ {๐‘‘ โˆฃ โˆƒ๐‘ฃ โˆˆ ๐‘… โˆƒ๐‘ค โˆˆ ๐‘€ ๐‘‘ = (((๐‘ฃ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ค)) -s (๐‘ฃ ยทs ๐‘ค))} = {๐‘‘ โˆฃ โˆƒ๐‘ฃ โˆˆ ๐‘… โˆƒ๐‘ค โˆˆ ๐‘€ ๐‘‘ = ((๐ด ยทs ๐ต) +s ((๐‘ฃ -s ๐ด) ยทs (๐ต -s ๐‘ค)))})
146114, 145uneq12d 4159 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ({๐‘ โˆฃ โˆƒ๐‘ก โˆˆ ๐ฟ โˆƒ๐‘ข โˆˆ ๐‘† ๐‘ = (((๐‘ก ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ข)) -s (๐‘ก ยทs ๐‘ข))} โˆช {๐‘‘ โˆฃ โˆƒ๐‘ฃ โˆˆ ๐‘… โˆƒ๐‘ค โˆˆ ๐‘€ ๐‘‘ = (((๐‘ฃ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ค)) -s (๐‘ฃ ยทs ๐‘ค))}) = ({๐‘ โˆฃ โˆƒ๐‘ก โˆˆ ๐ฟ โˆƒ๐‘ข โˆˆ ๐‘† ๐‘ = ((๐ด ยทs ๐ต) +s ((๐ด -s ๐‘ก) ยทs (๐‘ข -s ๐ต)))} โˆช {๐‘‘ โˆฃ โˆƒ๐‘ฃ โˆˆ ๐‘… โˆƒ๐‘ค โˆˆ ๐‘€ ๐‘‘ = ((๐ด ยทs ๐ต) +s ((๐‘ฃ -s ๐ด) ยทs (๐ต -s ๐‘ค)))}))
14779, 146oveq12d 7423 . 2 (๐œ‘ โ†’ (({๐‘Ž โˆฃ โˆƒ๐‘ โˆˆ ๐ฟ โˆƒ๐‘ž โˆˆ ๐‘€ ๐‘Ž = (((๐‘ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ž)) -s (๐‘ ยทs ๐‘ž))} โˆช {๐‘ โˆฃ โˆƒ๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘… โˆƒ๐‘  โˆˆ ๐‘† ๐‘ = (((๐‘Ÿ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ )) -s (๐‘Ÿ ยทs ๐‘ ))}) |s ({๐‘ โˆฃ โˆƒ๐‘ก โˆˆ ๐ฟ โˆƒ๐‘ข โˆˆ ๐‘† ๐‘ = (((๐‘ก ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ข)) -s (๐‘ก ยทs ๐‘ข))} โˆช {๐‘‘ โˆฃ โˆƒ๐‘ฃ โˆˆ ๐‘… โˆƒ๐‘ค โˆˆ ๐‘€ ๐‘‘ = (((๐‘ฃ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ค)) -s (๐‘ฃ ยทs ๐‘ค))})) = (({๐‘Ž โˆฃ โˆƒ๐‘ โˆˆ ๐ฟ โˆƒ๐‘ž โˆˆ ๐‘€ ๐‘Ž = ((๐ด ยทs ๐ต) -s ((๐ด -s ๐‘) ยทs (๐ต -s ๐‘ž)))} โˆช {๐‘ โˆฃ โˆƒ๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘… โˆƒ๐‘  โˆˆ ๐‘† ๐‘ = ((๐ด ยทs ๐ต) -s ((๐‘Ÿ -s ๐ด) ยทs (๐‘  -s ๐ต)))}) |s ({๐‘ โˆฃ โˆƒ๐‘ก โˆˆ ๐ฟ โˆƒ๐‘ข โˆˆ ๐‘† ๐‘ = ((๐ด ยทs ๐ต) +s ((๐ด -s ๐‘ก) ยทs (๐‘ข -s ๐ต)))} โˆช {๐‘‘ โˆฃ โˆƒ๐‘ฃ โˆˆ ๐‘… โˆƒ๐‘ค โˆˆ ๐‘€ ๐‘‘ = ((๐ด ยทs ๐ต) +s ((๐‘ฃ -s ๐ด) ยทs (๐ต -s ๐‘ค)))})))
1485, 147eqtrd 2766 1 (๐œ‘ โ†’ (๐ด ยทs ๐ต) = (({๐‘Ž โˆฃ โˆƒ๐‘ โˆˆ ๐ฟ โˆƒ๐‘ž โˆˆ ๐‘€ ๐‘Ž = ((๐ด ยทs ๐ต) -s ((๐ด -s ๐‘) ยทs (๐ต -s ๐‘ž)))} โˆช {๐‘ โˆฃ โˆƒ๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘… โˆƒ๐‘  โˆˆ ๐‘† ๐‘ = ((๐ด ยทs ๐ต) -s ((๐‘Ÿ -s ๐ด) ยทs (๐‘  -s ๐ต)))}) |s ({๐‘ โˆฃ โˆƒ๐‘ก โˆˆ ๐ฟ โˆƒ๐‘ข โˆˆ ๐‘† ๐‘ = ((๐ด ยทs ๐ต) +s ((๐ด -s ๐‘ก) ยทs (๐‘ข -s ๐ต)))} โˆช {๐‘‘ โˆฃ โˆƒ๐‘ฃ โˆˆ ๐‘… โˆƒ๐‘ค โˆˆ ๐‘€ ๐‘‘ = ((๐ด ยทs ๐ต) +s ((๐‘ฃ -s ๐ด) ยทs (๐ต -s ๐‘ค)))})))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 395   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098  {cab 2703  โˆƒwrex 3064   โˆช cun 3941   โІ wss 3943   class class class wbr 5141  (class class class)co 7405   No csur 27528   <<s csslt 27668   |s cscut 27670   +s cadds 27831   -s csubs 27888   ยทs cmuls 27961
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-ot 4632  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-1o 8467  df-2o 8468  df-nadd 8667  df-no 27531  df-slt 27532  df-bday 27533  df-sle 27633  df-sslt 27669  df-scut 27671  df-0s 27712  df-made 27729  df-old 27730  df-left 27732  df-right 27733  df-norec 27810  df-norec2 27821  df-adds 27832  df-negs 27889  df-subs 27890  df-muls 27962
This theorem is referenced by:  mulsunif2  28025
  Copyright terms: Public domain W3C validator