MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mulsunif2lem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mulsunif2lem 28085
Description: Lemma for mulsunif2 28086. State the theorem with extra disjoint variable conditions. (Contributed by Scott Fenton, 16-Mar-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
mulsunif2.1 (๐œ‘ โ†’ ๐ฟ <<s ๐‘…)
mulsunif2.2 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ <<s ๐‘†)
mulsunif2.3 (๐œ‘ โ†’ ๐ด = (๐ฟ |s ๐‘…))
mulsunif2.4 (๐œ‘ โ†’ ๐ต = (๐‘€ |s ๐‘†))
Assertion
Ref Expression
mulsunif2lem (๐œ‘ โ†’ (๐ด ยทs ๐ต) = (({๐‘Ž โˆฃ โˆƒ๐‘ โˆˆ ๐ฟ โˆƒ๐‘ž โˆˆ ๐‘€ ๐‘Ž = ((๐ด ยทs ๐ต) -s ((๐ด -s ๐‘) ยทs (๐ต -s ๐‘ž)))} โˆช {๐‘ โˆฃ โˆƒ๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘… โˆƒ๐‘  โˆˆ ๐‘† ๐‘ = ((๐ด ยทs ๐ต) -s ((๐‘Ÿ -s ๐ด) ยทs (๐‘  -s ๐ต)))}) |s ({๐‘ โˆฃ โˆƒ๐‘ก โˆˆ ๐ฟ โˆƒ๐‘ข โˆˆ ๐‘† ๐‘ = ((๐ด ยทs ๐ต) +s ((๐ด -s ๐‘ก) ยทs (๐‘ข -s ๐ต)))} โˆช {๐‘‘ โˆฃ โˆƒ๐‘ฃ โˆˆ ๐‘… โˆƒ๐‘ค โˆˆ ๐‘€ ๐‘‘ = ((๐ด ยทs ๐ต) +s ((๐‘ฃ -s ๐ด) ยทs (๐ต -s ๐‘ค)))})))
Distinct variable groups:   ๐ด,๐‘Ž,๐‘,๐‘,๐‘‘,๐‘,๐‘ž,๐‘Ÿ,๐‘ ,๐‘ก,๐‘ข,๐‘ฃ,๐‘ค   ๐ต,๐‘Ž,๐‘,๐‘,๐‘‘,๐‘,๐‘ž,๐‘Ÿ,๐‘ ,๐‘ก,๐‘ข,๐‘ฃ,๐‘ค   ๐ฟ,๐‘Ž,๐‘,๐‘,๐‘‘,๐‘,๐‘ž,๐‘Ÿ,๐‘ ,๐‘ก,๐‘ข,๐‘ฃ,๐‘ค   ๐‘…,๐‘Ž,๐‘,๐‘,๐‘‘,๐‘,๐‘ž,๐‘Ÿ,๐‘ ,๐‘ก,๐‘ข,๐‘ฃ,๐‘ค   ๐‘€,๐‘Ž,๐‘,๐‘,๐‘‘,๐‘,๐‘ž,๐‘Ÿ,๐‘ ,๐‘ก,๐‘ข,๐‘ฃ,๐‘ค   ๐‘†,๐‘Ž,๐‘,๐‘,๐‘‘,๐‘,๐‘ž,๐‘Ÿ,๐‘ ,๐‘ก,๐‘ข,๐‘ฃ,๐‘ค   ๐œ‘,๐‘Ž,๐‘,๐‘,๐‘‘,๐‘,๐‘ž,๐‘Ÿ,๐‘ ,๐‘ก,๐‘ข,๐‘ฃ,๐‘ค

Proof of Theorem mulsunif2lem
StepHypRef Expression
1 mulsunif2.1 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐ฟ <<s ๐‘…)
2 mulsunif2.2 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ <<s ๐‘†)
3 mulsunif2.3 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐ด = (๐ฟ |s ๐‘…))
4 mulsunif2.4 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐ต = (๐‘€ |s ๐‘†))
51, 2, 3, 4mulsunif 28066 . 2 (๐œ‘ โ†’ (๐ด ยทs ๐ต) = (({๐‘Ž โˆฃ โˆƒ๐‘ โˆˆ ๐ฟ โˆƒ๐‘ž โˆˆ ๐‘€ ๐‘Ž = (((๐‘ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ž)) -s (๐‘ ยทs ๐‘ž))} โˆช {๐‘ โˆฃ โˆƒ๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘… โˆƒ๐‘  โˆˆ ๐‘† ๐‘ = (((๐‘Ÿ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ )) -s (๐‘Ÿ ยทs ๐‘ ))}) |s ({๐‘ โˆฃ โˆƒ๐‘ก โˆˆ ๐ฟ โˆƒ๐‘ข โˆˆ ๐‘† ๐‘ = (((๐‘ก ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ข)) -s (๐‘ก ยทs ๐‘ข))} โˆช {๐‘‘ โˆฃ โˆƒ๐‘ฃ โˆˆ ๐‘… โˆƒ๐‘ค โˆˆ ๐‘€ ๐‘‘ = (((๐‘ฃ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ค)) -s (๐‘ฃ ยทs ๐‘ค))})))
61scutcld 27752 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ (๐ฟ |s ๐‘…) โˆˆ No )
73, 6eqeltrd 2825 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ No )
82scutcld 27752 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ (๐‘€ |s ๐‘†) โˆˆ No )
94, 8eqeltrd 2825 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ No )
107, 9mulscld 28051 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ (๐ด ยทs ๐ต) โˆˆ No )
1110adantr 479 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆˆ ๐ฟ โˆง ๐‘ž โˆˆ ๐‘€)) โ†’ (๐ด ยทs ๐ต) โˆˆ No )
12 ssltss1 27737 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐ฟ <<s ๐‘… โ†’ ๐ฟ โІ No )
131, 12syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ ๐ฟ โІ No )
1413sselda 3972 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ฟ) โ†’ ๐‘ โˆˆ No )
1514adantrr 715 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆˆ ๐ฟ โˆง ๐‘ž โˆˆ ๐‘€)) โ†’ ๐‘ โˆˆ No )
169adantr 479 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆˆ ๐ฟ โˆง ๐‘ž โˆˆ ๐‘€)) โ†’ ๐ต โˆˆ No )
1715, 16mulscld 28051 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆˆ ๐ฟ โˆง ๐‘ž โˆˆ ๐‘€)) โ†’ (๐‘ ยทs ๐ต) โˆˆ No )
187adantr 479 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆˆ ๐ฟ โˆง ๐‘ž โˆˆ ๐‘€)) โ†’ ๐ด โˆˆ No )
19 ssltss1 27737 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘€ <<s ๐‘† โ†’ ๐‘€ โІ No )
202, 19syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โІ No )
2120sselda 3972 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ž โˆˆ ๐‘€) โ†’ ๐‘ž โˆˆ No )
2221adantrl 714 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆˆ ๐ฟ โˆง ๐‘ž โˆˆ ๐‘€)) โ†’ ๐‘ž โˆˆ No )
2318, 22mulscld 28051 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆˆ ๐ฟ โˆง ๐‘ž โˆˆ ๐‘€)) โ†’ (๐ด ยทs ๐‘ž) โˆˆ No )
2415, 22mulscld 28051 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆˆ ๐ฟ โˆง ๐‘ž โˆˆ ๐‘€)) โ†’ (๐‘ ยทs ๐‘ž) โˆˆ No )
2523, 24subscld 27989 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆˆ ๐ฟ โˆง ๐‘ž โˆˆ ๐‘€)) โ†’ ((๐ด ยทs ๐‘ž) -s (๐‘ ยทs ๐‘ž)) โˆˆ No )
2611, 17, 25subsubs4d 28017 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆˆ ๐ฟ โˆง ๐‘ž โˆˆ ๐‘€)) โ†’ (((๐ด ยทs ๐ต) -s (๐‘ ยทs ๐ต)) -s ((๐ด ยทs ๐‘ž) -s (๐‘ ยทs ๐‘ž))) = ((๐ด ยทs ๐ต) -s ((๐‘ ยทs ๐ต) +s ((๐ด ยทs ๐‘ž) -s (๐‘ ยทs ๐‘ž)))))
2726oveq2d 7430 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆˆ ๐ฟ โˆง ๐‘ž โˆˆ ๐‘€)) โ†’ ((๐ด ยทs ๐ต) -s (((๐ด ยทs ๐ต) -s (๐‘ ยทs ๐ต)) -s ((๐ด ยทs ๐‘ž) -s (๐‘ ยทs ๐‘ž)))) = ((๐ด ยทs ๐ต) -s ((๐ด ยทs ๐ต) -s ((๐‘ ยทs ๐ต) +s ((๐ด ยทs ๐‘ž) -s (๐‘ ยทs ๐‘ž))))))
2817, 25addscld 27913 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆˆ ๐ฟ โˆง ๐‘ž โˆˆ ๐‘€)) โ†’ ((๐‘ ยทs ๐ต) +s ((๐ด ยทs ๐‘ž) -s (๐‘ ยทs ๐‘ž))) โˆˆ No )
2911, 28nncansd 28019 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆˆ ๐ฟ โˆง ๐‘ž โˆˆ ๐‘€)) โ†’ ((๐ด ยทs ๐ต) -s ((๐ด ยทs ๐ต) -s ((๐‘ ยทs ๐ต) +s ((๐ด ยทs ๐‘ž) -s (๐‘ ยทs ๐‘ž))))) = ((๐‘ ยทs ๐ต) +s ((๐ด ยทs ๐‘ž) -s (๐‘ ยทs ๐‘ž))))
3027, 29eqtrd 2765 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆˆ ๐ฟ โˆง ๐‘ž โˆˆ ๐‘€)) โ†’ ((๐ด ยทs ๐ต) -s (((๐ด ยทs ๐ต) -s (๐‘ ยทs ๐ต)) -s ((๐ด ยทs ๐‘ž) -s (๐‘ ยทs ๐‘ž)))) = ((๐‘ ยทs ๐ต) +s ((๐ด ยทs ๐‘ž) -s (๐‘ ยทs ๐‘ž))))
3118, 15subscld 27989 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆˆ ๐ฟ โˆง ๐‘ž โˆˆ ๐‘€)) โ†’ (๐ด -s ๐‘) โˆˆ No )
3231, 16, 22subsdid 28074 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆˆ ๐ฟ โˆง ๐‘ž โˆˆ ๐‘€)) โ†’ ((๐ด -s ๐‘) ยทs (๐ต -s ๐‘ž)) = (((๐ด -s ๐‘) ยทs ๐ต) -s ((๐ด -s ๐‘) ยทs ๐‘ž)))
3318, 15, 16subsdird 28075 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆˆ ๐ฟ โˆง ๐‘ž โˆˆ ๐‘€)) โ†’ ((๐ด -s ๐‘) ยทs ๐ต) = ((๐ด ยทs ๐ต) -s (๐‘ ยทs ๐ต)))
3418, 15, 22subsdird 28075 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆˆ ๐ฟ โˆง ๐‘ž โˆˆ ๐‘€)) โ†’ ((๐ด -s ๐‘) ยทs ๐‘ž) = ((๐ด ยทs ๐‘ž) -s (๐‘ ยทs ๐‘ž)))
3533, 34oveq12d 7432 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆˆ ๐ฟ โˆง ๐‘ž โˆˆ ๐‘€)) โ†’ (((๐ด -s ๐‘) ยทs ๐ต) -s ((๐ด -s ๐‘) ยทs ๐‘ž)) = (((๐ด ยทs ๐ต) -s (๐‘ ยทs ๐ต)) -s ((๐ด ยทs ๐‘ž) -s (๐‘ ยทs ๐‘ž))))
3632, 35eqtrd 2765 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆˆ ๐ฟ โˆง ๐‘ž โˆˆ ๐‘€)) โ†’ ((๐ด -s ๐‘) ยทs (๐ต -s ๐‘ž)) = (((๐ด ยทs ๐ต) -s (๐‘ ยทs ๐ต)) -s ((๐ด ยทs ๐‘ž) -s (๐‘ ยทs ๐‘ž))))
3736oveq2d 7430 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆˆ ๐ฟ โˆง ๐‘ž โˆˆ ๐‘€)) โ†’ ((๐ด ยทs ๐ต) -s ((๐ด -s ๐‘) ยทs (๐ต -s ๐‘ž))) = ((๐ด ยทs ๐ต) -s (((๐ด ยทs ๐ต) -s (๐‘ ยทs ๐ต)) -s ((๐ด ยทs ๐‘ž) -s (๐‘ ยทs ๐‘ž)))))
3817, 23, 24addsubsassd 28005 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆˆ ๐ฟ โˆง ๐‘ž โˆˆ ๐‘€)) โ†’ (((๐‘ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ž)) -s (๐‘ ยทs ๐‘ž)) = ((๐‘ ยทs ๐ต) +s ((๐ด ยทs ๐‘ž) -s (๐‘ ยทs ๐‘ž))))
3930, 37, 383eqtr4rd 2776 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆˆ ๐ฟ โˆง ๐‘ž โˆˆ ๐‘€)) โ†’ (((๐‘ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ž)) -s (๐‘ ยทs ๐‘ž)) = ((๐ด ยทs ๐ต) -s ((๐ด -s ๐‘) ยทs (๐ต -s ๐‘ž))))
4039eqeq2d 2736 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆˆ ๐ฟ โˆง ๐‘ž โˆˆ ๐‘€)) โ†’ (๐‘Ž = (((๐‘ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ž)) -s (๐‘ ยทs ๐‘ž)) โ†” ๐‘Ž = ((๐ด ยทs ๐ต) -s ((๐ด -s ๐‘) ยทs (๐ต -s ๐‘ž)))))
41402rexbidva 3208 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (โˆƒ๐‘ โˆˆ ๐ฟ โˆƒ๐‘ž โˆˆ ๐‘€ ๐‘Ž = (((๐‘ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ž)) -s (๐‘ ยทs ๐‘ž)) โ†” โˆƒ๐‘ โˆˆ ๐ฟ โˆƒ๐‘ž โˆˆ ๐‘€ ๐‘Ž = ((๐ด ยทs ๐ต) -s ((๐ด -s ๐‘) ยทs (๐ต -s ๐‘ž)))))
4241abbidv 2794 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ {๐‘Ž โˆฃ โˆƒ๐‘ โˆˆ ๐ฟ โˆƒ๐‘ž โˆˆ ๐‘€ ๐‘Ž = (((๐‘ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ž)) -s (๐‘ ยทs ๐‘ž))} = {๐‘Ž โˆฃ โˆƒ๐‘ โˆˆ ๐ฟ โˆƒ๐‘ž โˆˆ ๐‘€ ๐‘Ž = ((๐ด ยทs ๐ต) -s ((๐ด -s ๐‘) ยทs (๐ต -s ๐‘ž)))})
4310adantr 479 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง (๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘… โˆง ๐‘  โˆˆ ๐‘†)) โ†’ (๐ด ยทs ๐ต) โˆˆ No )
44 ssltss2 27738 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐ฟ <<s ๐‘… โ†’ ๐‘… โІ No )
451, 44syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โІ No )
4645sselda 3972 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘…) โ†’ ๐‘Ÿ โˆˆ No )
4746adantrr 715 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง (๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘… โˆง ๐‘  โˆˆ ๐‘†)) โ†’ ๐‘Ÿ โˆˆ No )
48 ssltss2 27738 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘€ <<s ๐‘† โ†’ ๐‘† โІ No )
492, 48syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ ๐‘† โІ No )
5049sselda 3972 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง ๐‘  โˆˆ ๐‘†) โ†’ ๐‘  โˆˆ No )
5150adantrl 714 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง (๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘… โˆง ๐‘  โˆˆ ๐‘†)) โ†’ ๐‘  โˆˆ No )
5247, 51mulscld 28051 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง (๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘… โˆง ๐‘  โˆˆ ๐‘†)) โ†’ (๐‘Ÿ ยทs ๐‘ ) โˆˆ No )
537adantr 479 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง (๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘… โˆง ๐‘  โˆˆ ๐‘†)) โ†’ ๐ด โˆˆ No )
5453, 51mulscld 28051 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง (๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘… โˆง ๐‘  โˆˆ ๐‘†)) โ†’ (๐ด ยทs ๐‘ ) โˆˆ No )
5552, 54subscld 27989 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง (๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘… โˆง ๐‘  โˆˆ ๐‘†)) โ†’ ((๐‘Ÿ ยทs ๐‘ ) -s (๐ด ยทs ๐‘ )) โˆˆ No )
569adantr 479 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง (๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘… โˆง ๐‘  โˆˆ ๐‘†)) โ†’ ๐ต โˆˆ No )
5747, 56mulscld 28051 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง (๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘… โˆง ๐‘  โˆˆ ๐‘†)) โ†’ (๐‘Ÿ ยทs ๐ต) โˆˆ No )
5857, 43subscld 27989 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง (๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘… โˆง ๐‘  โˆˆ ๐‘†)) โ†’ ((๐‘Ÿ ยทs ๐ต) -s (๐ด ยทs ๐ต)) โˆˆ No )
5943, 55, 58subsubs2d 28018 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง (๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘… โˆง ๐‘  โˆˆ ๐‘†)) โ†’ ((๐ด ยทs ๐ต) -s (((๐‘Ÿ ยทs ๐‘ ) -s (๐ด ยทs ๐‘ )) -s ((๐‘Ÿ ยทs ๐ต) -s (๐ด ยทs ๐ต)))) = ((๐ด ยทs ๐ต) +s (((๐‘Ÿ ยทs ๐ต) -s (๐ด ยทs ๐ต)) -s ((๐‘Ÿ ยทs ๐‘ ) -s (๐ด ยทs ๐‘ )))))
6043, 58, 55addsubsassd 28005 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง (๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘… โˆง ๐‘  โˆˆ ๐‘†)) โ†’ (((๐ด ยทs ๐ต) +s ((๐‘Ÿ ยทs ๐ต) -s (๐ด ยทs ๐ต))) -s ((๐‘Ÿ ยทs ๐‘ ) -s (๐ด ยทs ๐‘ ))) = ((๐ด ยทs ๐ต) +s (((๐‘Ÿ ยทs ๐ต) -s (๐ด ยทs ๐ต)) -s ((๐‘Ÿ ยทs ๐‘ ) -s (๐ด ยทs ๐‘ )))))
61 pncan3s 27997 . . . . . . . . . . 11 (((๐ด ยทs ๐ต) โˆˆ No โˆง (๐‘Ÿ ยทs ๐ต) โˆˆ No ) โ†’ ((๐ด ยทs ๐ต) +s ((๐‘Ÿ ยทs ๐ต) -s (๐ด ยทs ๐ต))) = (๐‘Ÿ ยทs ๐ต))
6243, 57, 61syl2anc 582 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง (๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘… โˆง ๐‘  โˆˆ ๐‘†)) โ†’ ((๐ด ยทs ๐ต) +s ((๐‘Ÿ ยทs ๐ต) -s (๐ด ยทs ๐ต))) = (๐‘Ÿ ยทs ๐ต))
6362oveq1d 7429 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง (๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘… โˆง ๐‘  โˆˆ ๐‘†)) โ†’ (((๐ด ยทs ๐ต) +s ((๐‘Ÿ ยทs ๐ต) -s (๐ด ยทs ๐ต))) -s ((๐‘Ÿ ยทs ๐‘ ) -s (๐ด ยทs ๐‘ ))) = ((๐‘Ÿ ยทs ๐ต) -s ((๐‘Ÿ ยทs ๐‘ ) -s (๐ด ยทs ๐‘ ))))
6459, 60, 633eqtr2d 2771 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง (๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘… โˆง ๐‘  โˆˆ ๐‘†)) โ†’ ((๐ด ยทs ๐ต) -s (((๐‘Ÿ ยทs ๐‘ ) -s (๐ด ยทs ๐‘ )) -s ((๐‘Ÿ ยทs ๐ต) -s (๐ด ยทs ๐ต)))) = ((๐‘Ÿ ยทs ๐ต) -s ((๐‘Ÿ ยทs ๐‘ ) -s (๐ด ยทs ๐‘ ))))
6547, 53subscld 27989 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง (๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘… โˆง ๐‘  โˆˆ ๐‘†)) โ†’ (๐‘Ÿ -s ๐ด) โˆˆ No )
6665, 51, 56subsdid 28074 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง (๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘… โˆง ๐‘  โˆˆ ๐‘†)) โ†’ ((๐‘Ÿ -s ๐ด) ยทs (๐‘  -s ๐ต)) = (((๐‘Ÿ -s ๐ด) ยทs ๐‘ ) -s ((๐‘Ÿ -s ๐ด) ยทs ๐ต)))
6747, 53, 51subsdird 28075 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง (๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘… โˆง ๐‘  โˆˆ ๐‘†)) โ†’ ((๐‘Ÿ -s ๐ด) ยทs ๐‘ ) = ((๐‘Ÿ ยทs ๐‘ ) -s (๐ด ยทs ๐‘ )))
6847, 53, 56subsdird 28075 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง (๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘… โˆง ๐‘  โˆˆ ๐‘†)) โ†’ ((๐‘Ÿ -s ๐ด) ยทs ๐ต) = ((๐‘Ÿ ยทs ๐ต) -s (๐ด ยทs ๐ต)))
6967, 68oveq12d 7432 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง (๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘… โˆง ๐‘  โˆˆ ๐‘†)) โ†’ (((๐‘Ÿ -s ๐ด) ยทs ๐‘ ) -s ((๐‘Ÿ -s ๐ด) ยทs ๐ต)) = (((๐‘Ÿ ยทs ๐‘ ) -s (๐ด ยทs ๐‘ )) -s ((๐‘Ÿ ยทs ๐ต) -s (๐ด ยทs ๐ต))))
7066, 69eqtrd 2765 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง (๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘… โˆง ๐‘  โˆˆ ๐‘†)) โ†’ ((๐‘Ÿ -s ๐ด) ยทs (๐‘  -s ๐ต)) = (((๐‘Ÿ ยทs ๐‘ ) -s (๐ด ยทs ๐‘ )) -s ((๐‘Ÿ ยทs ๐ต) -s (๐ด ยทs ๐ต))))
7170oveq2d 7430 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง (๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘… โˆง ๐‘  โˆˆ ๐‘†)) โ†’ ((๐ด ยทs ๐ต) -s ((๐‘Ÿ -s ๐ด) ยทs (๐‘  -s ๐ต))) = ((๐ด ยทs ๐ต) -s (((๐‘Ÿ ยทs ๐‘ ) -s (๐ด ยทs ๐‘ )) -s ((๐‘Ÿ ยทs ๐ต) -s (๐ด ยทs ๐ต)))))
7257, 54, 52addsubsassd 28005 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง (๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘… โˆง ๐‘  โˆˆ ๐‘†)) โ†’ (((๐‘Ÿ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ )) -s (๐‘Ÿ ยทs ๐‘ )) = ((๐‘Ÿ ยทs ๐ต) +s ((๐ด ยทs ๐‘ ) -s (๐‘Ÿ ยทs ๐‘ ))))
7357, 52, 54subsubs2d 28018 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง (๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘… โˆง ๐‘  โˆˆ ๐‘†)) โ†’ ((๐‘Ÿ ยทs ๐ต) -s ((๐‘Ÿ ยทs ๐‘ ) -s (๐ด ยทs ๐‘ ))) = ((๐‘Ÿ ยทs ๐ต) +s ((๐ด ยทs ๐‘ ) -s (๐‘Ÿ ยทs ๐‘ ))))
7472, 73eqtr4d 2768 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง (๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘… โˆง ๐‘  โˆˆ ๐‘†)) โ†’ (((๐‘Ÿ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ )) -s (๐‘Ÿ ยทs ๐‘ )) = ((๐‘Ÿ ยทs ๐ต) -s ((๐‘Ÿ ยทs ๐‘ ) -s (๐ด ยทs ๐‘ ))))
7564, 71, 743eqtr4rd 2776 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง (๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘… โˆง ๐‘  โˆˆ ๐‘†)) โ†’ (((๐‘Ÿ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ )) -s (๐‘Ÿ ยทs ๐‘ )) = ((๐ด ยทs ๐ต) -s ((๐‘Ÿ -s ๐ด) ยทs (๐‘  -s ๐ต))))
7675eqeq2d 2736 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง (๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘… โˆง ๐‘  โˆˆ ๐‘†)) โ†’ (๐‘ = (((๐‘Ÿ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ )) -s (๐‘Ÿ ยทs ๐‘ )) โ†” ๐‘ = ((๐ด ยทs ๐ต) -s ((๐‘Ÿ -s ๐ด) ยทs (๐‘  -s ๐ต)))))
77762rexbidva 3208 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (โˆƒ๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘… โˆƒ๐‘  โˆˆ ๐‘† ๐‘ = (((๐‘Ÿ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ )) -s (๐‘Ÿ ยทs ๐‘ )) โ†” โˆƒ๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘… โˆƒ๐‘  โˆˆ ๐‘† ๐‘ = ((๐ด ยทs ๐ต) -s ((๐‘Ÿ -s ๐ด) ยทs (๐‘  -s ๐ต)))))
7877abbidv 2794 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ {๐‘ โˆฃ โˆƒ๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘… โˆƒ๐‘  โˆˆ ๐‘† ๐‘ = (((๐‘Ÿ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ )) -s (๐‘Ÿ ยทs ๐‘ ))} = {๐‘ โˆฃ โˆƒ๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘… โˆƒ๐‘  โˆˆ ๐‘† ๐‘ = ((๐ด ยทs ๐ต) -s ((๐‘Ÿ -s ๐ด) ยทs (๐‘  -s ๐ต)))})
7942, 78uneq12d 4155 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ({๐‘Ž โˆฃ โˆƒ๐‘ โˆˆ ๐ฟ โˆƒ๐‘ž โˆˆ ๐‘€ ๐‘Ž = (((๐‘ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ž)) -s (๐‘ ยทs ๐‘ž))} โˆช {๐‘ โˆฃ โˆƒ๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘… โˆƒ๐‘  โˆˆ ๐‘† ๐‘ = (((๐‘Ÿ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ )) -s (๐‘Ÿ ยทs ๐‘ ))}) = ({๐‘Ž โˆฃ โˆƒ๐‘ โˆˆ ๐ฟ โˆƒ๐‘ž โˆˆ ๐‘€ ๐‘Ž = ((๐ด ยทs ๐ต) -s ((๐ด -s ๐‘) ยทs (๐ต -s ๐‘ž)))} โˆช {๐‘ โˆฃ โˆƒ๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘… โˆƒ๐‘  โˆˆ ๐‘† ๐‘ = ((๐ด ยทs ๐ต) -s ((๐‘Ÿ -s ๐ด) ยทs (๐‘  -s ๐ต)))}))
807adantr 479 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ก โˆˆ ๐ฟ โˆง ๐‘ข โˆˆ ๐‘†)) โ†’ ๐ด โˆˆ No )
8149sselda 3972 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ข โˆˆ ๐‘†) โ†’ ๐‘ข โˆˆ No )
8281adantrl 714 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ก โˆˆ ๐ฟ โˆง ๐‘ข โˆˆ ๐‘†)) โ†’ ๐‘ข โˆˆ No )
8380, 82mulscld 28051 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ก โˆˆ ๐ฟ โˆง ๐‘ข โˆˆ ๐‘†)) โ†’ (๐ด ยทs ๐‘ข) โˆˆ No )
8410adantr 479 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ก โˆˆ ๐ฟ โˆง ๐‘ข โˆˆ ๐‘†)) โ†’ (๐ด ยทs ๐ต) โˆˆ No )
8583, 84subscld 27989 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ก โˆˆ ๐ฟ โˆง ๐‘ข โˆˆ ๐‘†)) โ†’ ((๐ด ยทs ๐‘ข) -s (๐ด ยทs ๐ต)) โˆˆ No )
8613sselda 3972 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ก โˆˆ ๐ฟ) โ†’ ๐‘ก โˆˆ No )
8786adantrr 715 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ก โˆˆ ๐ฟ โˆง ๐‘ข โˆˆ ๐‘†)) โ†’ ๐‘ก โˆˆ No )
8887, 82mulscld 28051 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ก โˆˆ ๐ฟ โˆง ๐‘ข โˆˆ ๐‘†)) โ†’ (๐‘ก ยทs ๐‘ข) โˆˆ No )
899adantr 479 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ก โˆˆ ๐ฟ โˆง ๐‘ข โˆˆ ๐‘†)) โ†’ ๐ต โˆˆ No )
9087, 89mulscld 28051 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ก โˆˆ ๐ฟ โˆง ๐‘ข โˆˆ ๐‘†)) โ†’ (๐‘ก ยทs ๐ต) โˆˆ No )
9185, 88, 90subsubs2d 28018 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ก โˆˆ ๐ฟ โˆง ๐‘ข โˆˆ ๐‘†)) โ†’ (((๐ด ยทs ๐‘ข) -s (๐ด ยทs ๐ต)) -s ((๐‘ก ยทs ๐‘ข) -s (๐‘ก ยทs ๐ต))) = (((๐ด ยทs ๐‘ข) -s (๐ด ยทs ๐ต)) +s ((๐‘ก ยทs ๐ต) -s (๐‘ก ยทs ๐‘ข))))
9290, 88subscld 27989 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ก โˆˆ ๐ฟ โˆง ๐‘ข โˆˆ ๐‘†)) โ†’ ((๐‘ก ยทs ๐ต) -s (๐‘ก ยทs ๐‘ข)) โˆˆ No )
9383, 92, 84addsubsd 28006 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ก โˆˆ ๐ฟ โˆง ๐‘ข โˆˆ ๐‘†)) โ†’ (((๐ด ยทs ๐‘ข) +s ((๐‘ก ยทs ๐ต) -s (๐‘ก ยทs ๐‘ข))) -s (๐ด ยทs ๐ต)) = (((๐ด ยทs ๐‘ข) -s (๐ด ยทs ๐ต)) +s ((๐‘ก ยทs ๐ต) -s (๐‘ก ยทs ๐‘ข))))
9491, 93eqtr4d 2768 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ก โˆˆ ๐ฟ โˆง ๐‘ข โˆˆ ๐‘†)) โ†’ (((๐ด ยทs ๐‘ข) -s (๐ด ยทs ๐ต)) -s ((๐‘ก ยทs ๐‘ข) -s (๐‘ก ยทs ๐ต))) = (((๐ด ยทs ๐‘ข) +s ((๐‘ก ยทs ๐ต) -s (๐‘ก ยทs ๐‘ข))) -s (๐ด ยทs ๐ต)))
9594oveq2d 7430 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ก โˆˆ ๐ฟ โˆง ๐‘ข โˆˆ ๐‘†)) โ†’ ((๐ด ยทs ๐ต) +s (((๐ด ยทs ๐‘ข) -s (๐ด ยทs ๐ต)) -s ((๐‘ก ยทs ๐‘ข) -s (๐‘ก ยทs ๐ต)))) = ((๐ด ยทs ๐ต) +s (((๐ด ยทs ๐‘ข) +s ((๐‘ก ยทs ๐ต) -s (๐‘ก ยทs ๐‘ข))) -s (๐ด ยทs ๐ต))))
9683, 92addscld 27913 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ก โˆˆ ๐ฟ โˆง ๐‘ข โˆˆ ๐‘†)) โ†’ ((๐ด ยทs ๐‘ข) +s ((๐‘ก ยทs ๐ต) -s (๐‘ก ยทs ๐‘ข))) โˆˆ No )
97 pncan3s 27997 . . . . . . . . . 10 (((๐ด ยทs ๐ต) โˆˆ No โˆง ((๐ด ยทs ๐‘ข) +s ((๐‘ก ยทs ๐ต) -s (๐‘ก ยทs ๐‘ข))) โˆˆ No ) โ†’ ((๐ด ยทs ๐ต) +s (((๐ด ยทs ๐‘ข) +s ((๐‘ก ยทs ๐ต) -s (๐‘ก ยทs ๐‘ข))) -s (๐ด ยทs ๐ต))) = ((๐ด ยทs ๐‘ข) +s ((๐‘ก ยทs ๐ต) -s (๐‘ก ยทs ๐‘ข))))
9884, 96, 97syl2anc 582 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ก โˆˆ ๐ฟ โˆง ๐‘ข โˆˆ ๐‘†)) โ†’ ((๐ด ยทs ๐ต) +s (((๐ด ยทs ๐‘ข) +s ((๐‘ก ยทs ๐ต) -s (๐‘ก ยทs ๐‘ข))) -s (๐ด ยทs ๐ต))) = ((๐ด ยทs ๐‘ข) +s ((๐‘ก ยทs ๐ต) -s (๐‘ก ยทs ๐‘ข))))
9995, 98eqtrd 2765 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ก โˆˆ ๐ฟ โˆง ๐‘ข โˆˆ ๐‘†)) โ†’ ((๐ด ยทs ๐ต) +s (((๐ด ยทs ๐‘ข) -s (๐ด ยทs ๐ต)) -s ((๐‘ก ยทs ๐‘ข) -s (๐‘ก ยทs ๐ต)))) = ((๐ด ยทs ๐‘ข) +s ((๐‘ก ยทs ๐ต) -s (๐‘ก ยทs ๐‘ข))))
10082, 89subscld 27989 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ก โˆˆ ๐ฟ โˆง ๐‘ข โˆˆ ๐‘†)) โ†’ (๐‘ข -s ๐ต) โˆˆ No )
10180, 87, 100subsdird 28075 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ก โˆˆ ๐ฟ โˆง ๐‘ข โˆˆ ๐‘†)) โ†’ ((๐ด -s ๐‘ก) ยทs (๐‘ข -s ๐ต)) = ((๐ด ยทs (๐‘ข -s ๐ต)) -s (๐‘ก ยทs (๐‘ข -s ๐ต))))
10280, 82, 89subsdid 28074 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ก โˆˆ ๐ฟ โˆง ๐‘ข โˆˆ ๐‘†)) โ†’ (๐ด ยทs (๐‘ข -s ๐ต)) = ((๐ด ยทs ๐‘ข) -s (๐ด ยทs ๐ต)))
10387, 82, 89subsdid 28074 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ก โˆˆ ๐ฟ โˆง ๐‘ข โˆˆ ๐‘†)) โ†’ (๐‘ก ยทs (๐‘ข -s ๐ต)) = ((๐‘ก ยทs ๐‘ข) -s (๐‘ก ยทs ๐ต)))
104102, 103oveq12d 7432 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ก โˆˆ ๐ฟ โˆง ๐‘ข โˆˆ ๐‘†)) โ†’ ((๐ด ยทs (๐‘ข -s ๐ต)) -s (๐‘ก ยทs (๐‘ข -s ๐ต))) = (((๐ด ยทs ๐‘ข) -s (๐ด ยทs ๐ต)) -s ((๐‘ก ยทs ๐‘ข) -s (๐‘ก ยทs ๐ต))))
105101, 104eqtrd 2765 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ก โˆˆ ๐ฟ โˆง ๐‘ข โˆˆ ๐‘†)) โ†’ ((๐ด -s ๐‘ก) ยทs (๐‘ข -s ๐ต)) = (((๐ด ยทs ๐‘ข) -s (๐ด ยทs ๐ต)) -s ((๐‘ก ยทs ๐‘ข) -s (๐‘ก ยทs ๐ต))))
106105oveq2d 7430 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ก โˆˆ ๐ฟ โˆง ๐‘ข โˆˆ ๐‘†)) โ†’ ((๐ด ยทs ๐ต) +s ((๐ด -s ๐‘ก) ยทs (๐‘ข -s ๐ต))) = ((๐ด ยทs ๐ต) +s (((๐ด ยทs ๐‘ข) -s (๐ด ยทs ๐ต)) -s ((๐‘ก ยทs ๐‘ข) -s (๐‘ก ยทs ๐ต)))))
10790, 83addscomd 27900 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ก โˆˆ ๐ฟ โˆง ๐‘ข โˆˆ ๐‘†)) โ†’ ((๐‘ก ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ข)) = ((๐ด ยทs ๐‘ข) +s (๐‘ก ยทs ๐ต)))
108107oveq1d 7429 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ก โˆˆ ๐ฟ โˆง ๐‘ข โˆˆ ๐‘†)) โ†’ (((๐‘ก ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ข)) -s (๐‘ก ยทs ๐‘ข)) = (((๐ด ยทs ๐‘ข) +s (๐‘ก ยทs ๐ต)) -s (๐‘ก ยทs ๐‘ข)))
10983, 90, 88addsubsassd 28005 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ก โˆˆ ๐ฟ โˆง ๐‘ข โˆˆ ๐‘†)) โ†’ (((๐ด ยทs ๐‘ข) +s (๐‘ก ยทs ๐ต)) -s (๐‘ก ยทs ๐‘ข)) = ((๐ด ยทs ๐‘ข) +s ((๐‘ก ยทs ๐ต) -s (๐‘ก ยทs ๐‘ข))))
110108, 109eqtrd 2765 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ก โˆˆ ๐ฟ โˆง ๐‘ข โˆˆ ๐‘†)) โ†’ (((๐‘ก ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ข)) -s (๐‘ก ยทs ๐‘ข)) = ((๐ด ยทs ๐‘ข) +s ((๐‘ก ยทs ๐ต) -s (๐‘ก ยทs ๐‘ข))))
11199, 106, 1103eqtr4rd 2776 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ก โˆˆ ๐ฟ โˆง ๐‘ข โˆˆ ๐‘†)) โ†’ (((๐‘ก ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ข)) -s (๐‘ก ยทs ๐‘ข)) = ((๐ด ยทs ๐ต) +s ((๐ด -s ๐‘ก) ยทs (๐‘ข -s ๐ต))))
112111eqeq2d 2736 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ก โˆˆ ๐ฟ โˆง ๐‘ข โˆˆ ๐‘†)) โ†’ (๐‘ = (((๐‘ก ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ข)) -s (๐‘ก ยทs ๐‘ข)) โ†” ๐‘ = ((๐ด ยทs ๐ต) +s ((๐ด -s ๐‘ก) ยทs (๐‘ข -s ๐ต)))))
1131122rexbidva 3208 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (โˆƒ๐‘ก โˆˆ ๐ฟ โˆƒ๐‘ข โˆˆ ๐‘† ๐‘ = (((๐‘ก ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ข)) -s (๐‘ก ยทs ๐‘ข)) โ†” โˆƒ๐‘ก โˆˆ ๐ฟ โˆƒ๐‘ข โˆˆ ๐‘† ๐‘ = ((๐ด ยทs ๐ต) +s ((๐ด -s ๐‘ก) ยทs (๐‘ข -s ๐ต)))))
114113abbidv 2794 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ {๐‘ โˆฃ โˆƒ๐‘ก โˆˆ ๐ฟ โˆƒ๐‘ข โˆˆ ๐‘† ๐‘ = (((๐‘ก ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ข)) -s (๐‘ก ยทs ๐‘ข))} = {๐‘ โˆฃ โˆƒ๐‘ก โˆˆ ๐ฟ โˆƒ๐‘ข โˆˆ ๐‘† ๐‘ = ((๐ด ยทs ๐ต) +s ((๐ด -s ๐‘ก) ยทs (๐‘ข -s ๐ต)))})
11545sselda 3972 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฃ โˆˆ ๐‘…) โ†’ ๐‘ฃ โˆˆ No )
116115adantrr 715 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฃ โˆˆ ๐‘… โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐‘€)) โ†’ ๐‘ฃ โˆˆ No )
1179adantr 479 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฃ โˆˆ ๐‘… โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐‘€)) โ†’ ๐ต โˆˆ No )
118116, 117mulscld 28051 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฃ โˆˆ ๐‘… โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐‘€)) โ†’ (๐‘ฃ ยทs ๐ต) โˆˆ No )
11920sselda 3972 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐‘€) โ†’ ๐‘ค โˆˆ No )
120119adantrl 714 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฃ โˆˆ ๐‘… โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐‘€)) โ†’ ๐‘ค โˆˆ No )
121116, 120mulscld 28051 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฃ โˆˆ ๐‘… โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐‘€)) โ†’ (๐‘ฃ ยทs ๐‘ค) โˆˆ No )
122118, 121subscld 27989 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฃ โˆˆ ๐‘… โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐‘€)) โ†’ ((๐‘ฃ ยทs ๐ต) -s (๐‘ฃ ยทs ๐‘ค)) โˆˆ No )
12310adantr 479 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฃ โˆˆ ๐‘… โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐‘€)) โ†’ (๐ด ยทs ๐ต) โˆˆ No )
1247adantr 479 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฃ โˆˆ ๐‘… โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐‘€)) โ†’ ๐ด โˆˆ No )
125124, 120mulscld 28051 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฃ โˆˆ ๐‘… โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐‘€)) โ†’ (๐ด ยทs ๐‘ค) โˆˆ No )
126122, 123, 125subsubs2d 28018 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฃ โˆˆ ๐‘… โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐‘€)) โ†’ (((๐‘ฃ ยทs ๐ต) -s (๐‘ฃ ยทs ๐‘ค)) -s ((๐ด ยทs ๐ต) -s (๐ด ยทs ๐‘ค))) = (((๐‘ฃ ยทs ๐ต) -s (๐‘ฃ ยทs ๐‘ค)) +s ((๐ด ยทs ๐‘ค) -s (๐ด ยทs ๐ต))))
127122, 125, 123addsubsassd 28005 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฃ โˆˆ ๐‘… โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐‘€)) โ†’ ((((๐‘ฃ ยทs ๐ต) -s (๐‘ฃ ยทs ๐‘ค)) +s (๐ด ยทs ๐‘ค)) -s (๐ด ยทs ๐ต)) = (((๐‘ฃ ยทs ๐ต) -s (๐‘ฃ ยทs ๐‘ค)) +s ((๐ด ยทs ๐‘ค) -s (๐ด ยทs ๐ต))))
128126, 127eqtr4d 2768 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฃ โˆˆ ๐‘… โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐‘€)) โ†’ (((๐‘ฃ ยทs ๐ต) -s (๐‘ฃ ยทs ๐‘ค)) -s ((๐ด ยทs ๐ต) -s (๐ด ยทs ๐‘ค))) = ((((๐‘ฃ ยทs ๐ต) -s (๐‘ฃ ยทs ๐‘ค)) +s (๐ด ยทs ๐‘ค)) -s (๐ด ยทs ๐ต)))
129128oveq2d 7430 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฃ โˆˆ ๐‘… โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐‘€)) โ†’ ((๐ด ยทs ๐ต) +s (((๐‘ฃ ยทs ๐ต) -s (๐‘ฃ ยทs ๐‘ค)) -s ((๐ด ยทs ๐ต) -s (๐ด ยทs ๐‘ค)))) = ((๐ด ยทs ๐ต) +s ((((๐‘ฃ ยทs ๐ต) -s (๐‘ฃ ยทs ๐‘ค)) +s (๐ด ยทs ๐‘ค)) -s (๐ด ยทs ๐ต))))
130122, 125addscld 27913 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฃ โˆˆ ๐‘… โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐‘€)) โ†’ (((๐‘ฃ ยทs ๐ต) -s (๐‘ฃ ยทs ๐‘ค)) +s (๐ด ยทs ๐‘ค)) โˆˆ No )
131 pncan3s 27997 . . . . . . . . . 10 (((๐ด ยทs ๐ต) โˆˆ No โˆง (((๐‘ฃ ยทs ๐ต) -s (๐‘ฃ ยทs ๐‘ค)) +s (๐ด ยทs ๐‘ค)) โˆˆ No ) โ†’ ((๐ด ยทs ๐ต) +s ((((๐‘ฃ ยทs ๐ต) -s (๐‘ฃ ยทs ๐‘ค)) +s (๐ด ยทs ๐‘ค)) -s (๐ด ยทs ๐ต))) = (((๐‘ฃ ยทs ๐ต) -s (๐‘ฃ ยทs ๐‘ค)) +s (๐ด ยทs ๐‘ค)))
132123, 130, 131syl2anc 582 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฃ โˆˆ ๐‘… โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐‘€)) โ†’ ((๐ด ยทs ๐ต) +s ((((๐‘ฃ ยทs ๐ต) -s (๐‘ฃ ยทs ๐‘ค)) +s (๐ด ยทs ๐‘ค)) -s (๐ด ยทs ๐ต))) = (((๐‘ฃ ยทs ๐ต) -s (๐‘ฃ ยทs ๐‘ค)) +s (๐ด ยทs ๐‘ค)))
133129, 132eqtrd 2765 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฃ โˆˆ ๐‘… โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐‘€)) โ†’ ((๐ด ยทs ๐ต) +s (((๐‘ฃ ยทs ๐ต) -s (๐‘ฃ ยทs ๐‘ค)) -s ((๐ด ยทs ๐ต) -s (๐ด ยทs ๐‘ค)))) = (((๐‘ฃ ยทs ๐ต) -s (๐‘ฃ ยทs ๐‘ค)) +s (๐ด ยทs ๐‘ค)))
134117, 120subscld 27989 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฃ โˆˆ ๐‘… โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐‘€)) โ†’ (๐ต -s ๐‘ค) โˆˆ No )
135116, 124, 134subsdird 28075 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฃ โˆˆ ๐‘… โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐‘€)) โ†’ ((๐‘ฃ -s ๐ด) ยทs (๐ต -s ๐‘ค)) = ((๐‘ฃ ยทs (๐ต -s ๐‘ค)) -s (๐ด ยทs (๐ต -s ๐‘ค))))
136116, 117, 120subsdid 28074 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฃ โˆˆ ๐‘… โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐‘€)) โ†’ (๐‘ฃ ยทs (๐ต -s ๐‘ค)) = ((๐‘ฃ ยทs ๐ต) -s (๐‘ฃ ยทs ๐‘ค)))
137124, 117, 120subsdid 28074 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฃ โˆˆ ๐‘… โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐‘€)) โ†’ (๐ด ยทs (๐ต -s ๐‘ค)) = ((๐ด ยทs ๐ต) -s (๐ด ยทs ๐‘ค)))
138136, 137oveq12d 7432 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฃ โˆˆ ๐‘… โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐‘€)) โ†’ ((๐‘ฃ ยทs (๐ต -s ๐‘ค)) -s (๐ด ยทs (๐ต -s ๐‘ค))) = (((๐‘ฃ ยทs ๐ต) -s (๐‘ฃ ยทs ๐‘ค)) -s ((๐ด ยทs ๐ต) -s (๐ด ยทs ๐‘ค))))
139135, 138eqtrd 2765 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฃ โˆˆ ๐‘… โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐‘€)) โ†’ ((๐‘ฃ -s ๐ด) ยทs (๐ต -s ๐‘ค)) = (((๐‘ฃ ยทs ๐ต) -s (๐‘ฃ ยทs ๐‘ค)) -s ((๐ด ยทs ๐ต) -s (๐ด ยทs ๐‘ค))))
140139oveq2d 7430 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฃ โˆˆ ๐‘… โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐‘€)) โ†’ ((๐ด ยทs ๐ต) +s ((๐‘ฃ -s ๐ด) ยทs (๐ต -s ๐‘ค))) = ((๐ด ยทs ๐ต) +s (((๐‘ฃ ยทs ๐ต) -s (๐‘ฃ ยทs ๐‘ค)) -s ((๐ด ยทs ๐ต) -s (๐ด ยทs ๐‘ค)))))
141118, 125, 121addsubsd 28006 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฃ โˆˆ ๐‘… โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐‘€)) โ†’ (((๐‘ฃ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ค)) -s (๐‘ฃ ยทs ๐‘ค)) = (((๐‘ฃ ยทs ๐ต) -s (๐‘ฃ ยทs ๐‘ค)) +s (๐ด ยทs ๐‘ค)))
142133, 140, 1413eqtr4rd 2776 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฃ โˆˆ ๐‘… โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐‘€)) โ†’ (((๐‘ฃ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ค)) -s (๐‘ฃ ยทs ๐‘ค)) = ((๐ด ยทs ๐ต) +s ((๐‘ฃ -s ๐ด) ยทs (๐ต -s ๐‘ค))))
143142eqeq2d 2736 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฃ โˆˆ ๐‘… โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐‘€)) โ†’ (๐‘‘ = (((๐‘ฃ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ค)) -s (๐‘ฃ ยทs ๐‘ค)) โ†” ๐‘‘ = ((๐ด ยทs ๐ต) +s ((๐‘ฃ -s ๐ด) ยทs (๐ต -s ๐‘ค)))))
1441432rexbidva 3208 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (โˆƒ๐‘ฃ โˆˆ ๐‘… โˆƒ๐‘ค โˆˆ ๐‘€ ๐‘‘ = (((๐‘ฃ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ค)) -s (๐‘ฃ ยทs ๐‘ค)) โ†” โˆƒ๐‘ฃ โˆˆ ๐‘… โˆƒ๐‘ค โˆˆ ๐‘€ ๐‘‘ = ((๐ด ยทs ๐ต) +s ((๐‘ฃ -s ๐ด) ยทs (๐ต -s ๐‘ค)))))
145144abbidv 2794 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ {๐‘‘ โˆฃ โˆƒ๐‘ฃ โˆˆ ๐‘… โˆƒ๐‘ค โˆˆ ๐‘€ ๐‘‘ = (((๐‘ฃ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ค)) -s (๐‘ฃ ยทs ๐‘ค))} = {๐‘‘ โˆฃ โˆƒ๐‘ฃ โˆˆ ๐‘… โˆƒ๐‘ค โˆˆ ๐‘€ ๐‘‘ = ((๐ด ยทs ๐ต) +s ((๐‘ฃ -s ๐ด) ยทs (๐ต -s ๐‘ค)))})
146114, 145uneq12d 4155 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ({๐‘ โˆฃ โˆƒ๐‘ก โˆˆ ๐ฟ โˆƒ๐‘ข โˆˆ ๐‘† ๐‘ = (((๐‘ก ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ข)) -s (๐‘ก ยทs ๐‘ข))} โˆช {๐‘‘ โˆฃ โˆƒ๐‘ฃ โˆˆ ๐‘… โˆƒ๐‘ค โˆˆ ๐‘€ ๐‘‘ = (((๐‘ฃ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ค)) -s (๐‘ฃ ยทs ๐‘ค))}) = ({๐‘ โˆฃ โˆƒ๐‘ก โˆˆ ๐ฟ โˆƒ๐‘ข โˆˆ ๐‘† ๐‘ = ((๐ด ยทs ๐ต) +s ((๐ด -s ๐‘ก) ยทs (๐‘ข -s ๐ต)))} โˆช {๐‘‘ โˆฃ โˆƒ๐‘ฃ โˆˆ ๐‘… โˆƒ๐‘ค โˆˆ ๐‘€ ๐‘‘ = ((๐ด ยทs ๐ต) +s ((๐‘ฃ -s ๐ด) ยทs (๐ต -s ๐‘ค)))}))
14779, 146oveq12d 7432 . 2 (๐œ‘ โ†’ (({๐‘Ž โˆฃ โˆƒ๐‘ โˆˆ ๐ฟ โˆƒ๐‘ž โˆˆ ๐‘€ ๐‘Ž = (((๐‘ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ž)) -s (๐‘ ยทs ๐‘ž))} โˆช {๐‘ โˆฃ โˆƒ๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘… โˆƒ๐‘  โˆˆ ๐‘† ๐‘ = (((๐‘Ÿ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ )) -s (๐‘Ÿ ยทs ๐‘ ))}) |s ({๐‘ โˆฃ โˆƒ๐‘ก โˆˆ ๐ฟ โˆƒ๐‘ข โˆˆ ๐‘† ๐‘ = (((๐‘ก ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ข)) -s (๐‘ก ยทs ๐‘ข))} โˆช {๐‘‘ โˆฃ โˆƒ๐‘ฃ โˆˆ ๐‘… โˆƒ๐‘ค โˆˆ ๐‘€ ๐‘‘ = (((๐‘ฃ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ค)) -s (๐‘ฃ ยทs ๐‘ค))})) = (({๐‘Ž โˆฃ โˆƒ๐‘ โˆˆ ๐ฟ โˆƒ๐‘ž โˆˆ ๐‘€ ๐‘Ž = ((๐ด ยทs ๐ต) -s ((๐ด -s ๐‘) ยทs (๐ต -s ๐‘ž)))} โˆช {๐‘ โˆฃ โˆƒ๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘… โˆƒ๐‘  โˆˆ ๐‘† ๐‘ = ((๐ด ยทs ๐ต) -s ((๐‘Ÿ -s ๐ด) ยทs (๐‘  -s ๐ต)))}) |s ({๐‘ โˆฃ โˆƒ๐‘ก โˆˆ ๐ฟ โˆƒ๐‘ข โˆˆ ๐‘† ๐‘ = ((๐ด ยทs ๐ต) +s ((๐ด -s ๐‘ก) ยทs (๐‘ข -s ๐ต)))} โˆช {๐‘‘ โˆฃ โˆƒ๐‘ฃ โˆˆ ๐‘… โˆƒ๐‘ค โˆˆ ๐‘€ ๐‘‘ = ((๐ด ยทs ๐ต) +s ((๐‘ฃ -s ๐ด) ยทs (๐ต -s ๐‘ค)))})))
1485, 147eqtrd 2765 1 (๐œ‘ โ†’ (๐ด ยทs ๐ต) = (({๐‘Ž โˆฃ โˆƒ๐‘ โˆˆ ๐ฟ โˆƒ๐‘ž โˆˆ ๐‘€ ๐‘Ž = ((๐ด ยทs ๐ต) -s ((๐ด -s ๐‘) ยทs (๐ต -s ๐‘ž)))} โˆช {๐‘ โˆฃ โˆƒ๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘… โˆƒ๐‘  โˆˆ ๐‘† ๐‘ = ((๐ด ยทs ๐ต) -s ((๐‘Ÿ -s ๐ด) ยทs (๐‘  -s ๐ต)))}) |s ({๐‘ โˆฃ โˆƒ๐‘ก โˆˆ ๐ฟ โˆƒ๐‘ข โˆˆ ๐‘† ๐‘ = ((๐ด ยทs ๐ต) +s ((๐ด -s ๐‘ก) ยทs (๐‘ข -s ๐ต)))} โˆช {๐‘‘ โˆฃ โˆƒ๐‘ฃ โˆˆ ๐‘… โˆƒ๐‘ค โˆˆ ๐‘€ ๐‘‘ = ((๐ด ยทs ๐ต) +s ((๐‘ฃ -s ๐ด) ยทs (๐ต -s ๐‘ค)))})))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 394   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098  {cab 2702  โˆƒwrex 3060   โˆช cun 3937   โІ wss 3939   class class class wbr 5141  (class class class)co 7414   No csur 27589   <<s csslt 27729   |s cscut 27731   +s cadds 27892   -s csubs 27949   ยทs cmuls 28022
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5357  ax-pr 5421  ax-un 7736
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-pss 3958  df-nul 4317  df-if 4523  df-pw 4598  df-sn 4623  df-pr 4625  df-tp 4627  df-op 4629  df-ot 4631  df-uni 4902  df-int 4943  df-iun 4991  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5568  df-eprel 5574  df-po 5582  df-so 5583  df-fr 5625  df-se 5626  df-we 5627  df-xp 5676  df-rel 5677  df-cnv 5678  df-co 5679  df-dm 5680  df-rn 5681  df-res 5682  df-ima 5683  df-pred 6298  df-ord 6365  df-on 6366  df-suc 6368  df-iota 6493  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8388  df-1o 8483  df-2o 8484  df-nadd 8683  df-no 27592  df-slt 27593  df-bday 27594  df-sle 27694  df-sslt 27730  df-scut 27732  df-0s 27773  df-made 27790  df-old 27791  df-left 27793  df-right 27794  df-norec 27871  df-norec2 27882  df-adds 27893  df-negs 27950  df-subs 27951  df-muls 28023
This theorem is referenced by:  mulsunif2  28086
  Copyright terms: Public domain W3C validator