| Step | Hyp | Ref | Expression | 
|---|
| 1 |  | ssel 3976 | . . . 4
⊢ (𝑅 ⊆ 𝑆 → (〈𝑥, 𝑦〉 ∈ 𝑅 → 〈𝑥, 𝑦〉 ∈ 𝑆)) | 
| 2 | 1 | a1d 25 | . . 3
⊢ (𝑅 ⊆ 𝑆 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (〈𝑥, 𝑦〉 ∈ 𝑅 → 〈𝑥, 𝑦〉 ∈ 𝑆))) | 
| 3 | 2 | ralrimivv 3199 | . 2
⊢ (𝑅 ⊆ 𝑆 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (〈𝑥, 𝑦〉 ∈ 𝑅 → 〈𝑥, 𝑦〉 ∈ 𝑆)) | 
| 4 |  | eleq1 2828 | . . . . . . . . . . 11
⊢ (𝑧 = 〈𝑥, 𝑦〉 → (𝑧 ∈ 𝑅 ↔ 〈𝑥, 𝑦〉 ∈ 𝑅)) | 
| 5 |  | eleq1 2828 | . . . . . . . . . . 11
⊢ (𝑧 = 〈𝑥, 𝑦〉 → (𝑧 ∈ 𝑆 ↔ 〈𝑥, 𝑦〉 ∈ 𝑆)) | 
| 6 | 4, 5 | imbi12d 344 | . . . . . . . . . 10
⊢ (𝑧 = 〈𝑥, 𝑦〉 → ((𝑧 ∈ 𝑅 → 𝑧 ∈ 𝑆) ↔ (〈𝑥, 𝑦〉 ∈ 𝑅 → 〈𝑥, 𝑦〉 ∈ 𝑆))) | 
| 7 | 6 | biimprcd 250 | . . . . . . . . 9
⊢
((〈𝑥, 𝑦〉 ∈ 𝑅 → 〈𝑥, 𝑦〉 ∈ 𝑆) → (𝑧 = 〈𝑥, 𝑦〉 → (𝑧 ∈ 𝑅 → 𝑧 ∈ 𝑆))) | 
| 8 | 7 | 2ralimi 3122 | . . . . . . . 8
⊢
(∀𝑥 ∈
𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (〈𝑥, 𝑦〉 ∈ 𝑅 → 〈𝑥, 𝑦〉 ∈ 𝑆) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑧 = 〈𝑥, 𝑦〉 → (𝑧 ∈ 𝑅 → 𝑧 ∈ 𝑆))) | 
| 9 |  | r19.23v 3182 | . . . . . . . . . 10
⊢
(∀𝑦 ∈
𝐵 (𝑧 = 〈𝑥, 𝑦〉 → (𝑧 ∈ 𝑅 → 𝑧 ∈ 𝑆)) ↔ (∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑧 = 〈𝑥, 𝑦〉 → (𝑧 ∈ 𝑅 → 𝑧 ∈ 𝑆))) | 
| 10 | 9 | ralbii 3092 | . . . . . . . . 9
⊢
(∀𝑥 ∈
𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑧 = 〈𝑥, 𝑦〉 → (𝑧 ∈ 𝑅 → 𝑧 ∈ 𝑆)) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑧 = 〈𝑥, 𝑦〉 → (𝑧 ∈ 𝑅 → 𝑧 ∈ 𝑆))) | 
| 11 |  | r19.23v 3182 | . . . . . . . . 9
⊢
(∀𝑥 ∈
𝐴 (∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑧 = 〈𝑥, 𝑦〉 → (𝑧 ∈ 𝑅 → 𝑧 ∈ 𝑆)) ↔ (∃𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑧 = 〈𝑥, 𝑦〉 → (𝑧 ∈ 𝑅 → 𝑧 ∈ 𝑆))) | 
| 12 | 10, 11 | bitri 275 | . . . . . . . 8
⊢
(∀𝑥 ∈
𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑧 = 〈𝑥, 𝑦〉 → (𝑧 ∈ 𝑅 → 𝑧 ∈ 𝑆)) ↔ (∃𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑧 = 〈𝑥, 𝑦〉 → (𝑧 ∈ 𝑅 → 𝑧 ∈ 𝑆))) | 
| 13 | 8, 12 | sylib 218 | . . . . . . 7
⊢
(∀𝑥 ∈
𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (〈𝑥, 𝑦〉 ∈ 𝑅 → 〈𝑥, 𝑦〉 ∈ 𝑆) → (∃𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑧 = 〈𝑥, 𝑦〉 → (𝑧 ∈ 𝑅 → 𝑧 ∈ 𝑆))) | 
| 14 | 13 | com23 86 | . . . . . 6
⊢
(∀𝑥 ∈
𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (〈𝑥, 𝑦〉 ∈ 𝑅 → 〈𝑥, 𝑦〉 ∈ 𝑆) → (𝑧 ∈ 𝑅 → (∃𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑧 = 〈𝑥, 𝑦〉 → 𝑧 ∈ 𝑆))) | 
| 15 | 14 | a2d 29 | . . . . 5
⊢
(∀𝑥 ∈
𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (〈𝑥, 𝑦〉 ∈ 𝑅 → 〈𝑥, 𝑦〉 ∈ 𝑆) → ((𝑧 ∈ 𝑅 → ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑧 = 〈𝑥, 𝑦〉) → (𝑧 ∈ 𝑅 → 𝑧 ∈ 𝑆))) | 
| 16 | 15 | alimdv 1915 | . . . 4
⊢
(∀𝑥 ∈
𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (〈𝑥, 𝑦〉 ∈ 𝑅 → 〈𝑥, 𝑦〉 ∈ 𝑆) → (∀𝑧(𝑧 ∈ 𝑅 → ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑧 = 〈𝑥, 𝑦〉) → ∀𝑧(𝑧 ∈ 𝑅 → 𝑧 ∈ 𝑆))) | 
| 17 |  | df-ss 3967 | . . . . 5
⊢ (𝑅 ⊆ (𝐴 × 𝐵) ↔ ∀𝑧(𝑧 ∈ 𝑅 → 𝑧 ∈ (𝐴 × 𝐵))) | 
| 18 |  | elxp2 5708 | . . . . . . 7
⊢ (𝑧 ∈ (𝐴 × 𝐵) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑧 = 〈𝑥, 𝑦〉) | 
| 19 | 18 | imbi2i 336 | . . . . . 6
⊢ ((𝑧 ∈ 𝑅 → 𝑧 ∈ (𝐴 × 𝐵)) ↔ (𝑧 ∈ 𝑅 → ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑧 = 〈𝑥, 𝑦〉)) | 
| 20 | 19 | albii 1818 | . . . . 5
⊢
(∀𝑧(𝑧 ∈ 𝑅 → 𝑧 ∈ (𝐴 × 𝐵)) ↔ ∀𝑧(𝑧 ∈ 𝑅 → ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑧 = 〈𝑥, 𝑦〉)) | 
| 21 | 17, 20 | bitri 275 | . . . 4
⊢ (𝑅 ⊆ (𝐴 × 𝐵) ↔ ∀𝑧(𝑧 ∈ 𝑅 → ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑧 = 〈𝑥, 𝑦〉)) | 
| 22 |  | df-ss 3967 | . . . 4
⊢ (𝑅 ⊆ 𝑆 ↔ ∀𝑧(𝑧 ∈ 𝑅 → 𝑧 ∈ 𝑆)) | 
| 23 | 16, 21, 22 | 3imtr4g 296 | . . 3
⊢
(∀𝑥 ∈
𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (〈𝑥, 𝑦〉 ∈ 𝑅 → 〈𝑥, 𝑦〉 ∈ 𝑆) → (𝑅 ⊆ (𝐴 × 𝐵) → 𝑅 ⊆ 𝑆)) | 
| 24 | 23 | com12 32 | . 2
⊢ (𝑅 ⊆ (𝐴 × 𝐵) → (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (〈𝑥, 𝑦〉 ∈ 𝑅 → 〈𝑥, 𝑦〉 ∈ 𝑆) → 𝑅 ⊆ 𝑆)) | 
| 25 | 3, 24 | impbid2 226 | 1
⊢ (𝑅 ⊆ (𝐴 × 𝐵) → (𝑅 ⊆ 𝑆 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (〈𝑥, 𝑦〉 ∈ 𝑅 → 〈𝑥, 𝑦〉 ∈ 𝑆))) |