MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  metuel2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem metuel2 24074
Description: Elementhood in the uniform structure generated by a metric 𝐷 (Contributed by Thierry Arnoux, 24-Jan-2018.) (Revised by Thierry Arnoux, 11-Feb-2018.)
Hypothesis
Ref Expression
metuel2.u π‘ˆ = (metUnifβ€˜π·)
Assertion
Ref Expression
metuel2 ((𝑋 β‰  βˆ… ∧ 𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹)) β†’ (𝑉 ∈ π‘ˆ ↔ (𝑉 βŠ† (𝑋 Γ— 𝑋) ∧ βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 ((π‘₯𝐷𝑦) < 𝑑 β†’ π‘₯𝑉𝑦))))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑑,𝑦,𝐷   𝑉,𝑑,π‘₯,𝑦   𝑋,𝑑,π‘₯,𝑦
Allowed substitution hints:   π‘ˆ(π‘₯,𝑦,𝑑)

Proof of Theorem metuel2
Dummy variables π‘Ž 𝑀 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 metuel2.u . . . 4 π‘ˆ = (metUnifβ€˜π·)
21eleq2i 2826 . . 3 (𝑉 ∈ π‘ˆ ↔ 𝑉 ∈ (metUnifβ€˜π·))
32a1i 11 . 2 ((𝑋 β‰  βˆ… ∧ 𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹)) β†’ (𝑉 ∈ π‘ˆ ↔ 𝑉 ∈ (metUnifβ€˜π·)))
4 metuel 24073 . 2 ((𝑋 β‰  βˆ… ∧ 𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹)) β†’ (𝑉 ∈ (metUnifβ€˜π·) ↔ (𝑉 βŠ† (𝑋 Γ— 𝑋) ∧ βˆƒπ‘€ ∈ ran (π‘Ž ∈ ℝ+ ↦ (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ž)))𝑀 βŠ† 𝑉)))
5 oveq2 7417 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘Ž = 𝑑 β†’ (0[,)π‘Ž) = (0[,)𝑑))
65imaeq2d 6060 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘Ž = 𝑑 β†’ (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ž)) = (◑𝐷 β€œ (0[,)𝑑)))
76cbvmptv 5262 . . . . . . . . . . . 12 (π‘Ž ∈ ℝ+ ↦ (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ž))) = (𝑑 ∈ ℝ+ ↦ (◑𝐷 β€œ (0[,)𝑑)))
87elrnmpt 5956 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ V β†’ (𝑀 ∈ ran (π‘Ž ∈ ℝ+ ↦ (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ž))) ↔ βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ 𝑀 = (◑𝐷 β€œ (0[,)𝑑))))
98elv 3481 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ ran (π‘Ž ∈ ℝ+ ↦ (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ž))) ↔ βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ 𝑀 = (◑𝐷 β€œ (0[,)𝑑)))
109anbi1i 625 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ ran (π‘Ž ∈ ℝ+ ↦ (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ž))) ∧ 𝑀 βŠ† 𝑉) ↔ (βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ 𝑀 = (◑𝐷 β€œ (0[,)𝑑)) ∧ 𝑀 βŠ† 𝑉))
11 r19.41v 3189 . . . . . . . . 9 (βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑀 = (◑𝐷 β€œ (0[,)𝑑)) ∧ 𝑀 βŠ† 𝑉) ↔ (βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ 𝑀 = (◑𝐷 β€œ (0[,)𝑑)) ∧ 𝑀 βŠ† 𝑉))
1210, 11bitr4i 278 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ran (π‘Ž ∈ ℝ+ ↦ (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ž))) ∧ 𝑀 βŠ† 𝑉) ↔ βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑀 = (◑𝐷 β€œ (0[,)𝑑)) ∧ 𝑀 βŠ† 𝑉))
1312exbii 1851 . . . . . . 7 (βˆƒπ‘€(𝑀 ∈ ran (π‘Ž ∈ ℝ+ ↦ (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ž))) ∧ 𝑀 βŠ† 𝑉) ↔ βˆƒπ‘€βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑀 = (◑𝐷 β€œ (0[,)𝑑)) ∧ 𝑀 βŠ† 𝑉))
14 df-rex 3072 . . . . . . 7 (βˆƒπ‘€ ∈ ran (π‘Ž ∈ ℝ+ ↦ (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ž)))𝑀 βŠ† 𝑉 ↔ βˆƒπ‘€(𝑀 ∈ ran (π‘Ž ∈ ℝ+ ↦ (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ž))) ∧ 𝑀 βŠ† 𝑉))
15 rexcom4 3286 . . . . . . 7 (βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘€(𝑀 = (◑𝐷 β€œ (0[,)𝑑)) ∧ 𝑀 βŠ† 𝑉) ↔ βˆƒπ‘€βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑀 = (◑𝐷 β€œ (0[,)𝑑)) ∧ 𝑀 βŠ† 𝑉))
1613, 14, 153bitr4i 303 . . . . . 6 (βˆƒπ‘€ ∈ ran (π‘Ž ∈ ℝ+ ↦ (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ž)))𝑀 βŠ† 𝑉 ↔ βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘€(𝑀 = (◑𝐷 β€œ (0[,)𝑑)) ∧ 𝑀 βŠ† 𝑉))
17 cnvexg 7915 . . . . . . . . 9 (𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) β†’ ◑𝐷 ∈ V)
18 imaexg 7906 . . . . . . . . 9 (◑𝐷 ∈ V β†’ (◑𝐷 β€œ (0[,)𝑑)) ∈ V)
19 sseq1 4008 . . . . . . . . . 10 (𝑀 = (◑𝐷 β€œ (0[,)𝑑)) β†’ (𝑀 βŠ† 𝑉 ↔ (◑𝐷 β€œ (0[,)𝑑)) βŠ† 𝑉))
2019ceqsexgv 3643 . . . . . . . . 9 ((◑𝐷 β€œ (0[,)𝑑)) ∈ V β†’ (βˆƒπ‘€(𝑀 = (◑𝐷 β€œ (0[,)𝑑)) ∧ 𝑀 βŠ† 𝑉) ↔ (◑𝐷 β€œ (0[,)𝑑)) βŠ† 𝑉))
2117, 18, 203syl 18 . . . . . . . 8 (𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) β†’ (βˆƒπ‘€(𝑀 = (◑𝐷 β€œ (0[,)𝑑)) ∧ 𝑀 βŠ† 𝑉) ↔ (◑𝐷 β€œ (0[,)𝑑)) βŠ† 𝑉))
2221rexbidv 3179 . . . . . . 7 (𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) β†’ (βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘€(𝑀 = (◑𝐷 β€œ (0[,)𝑑)) ∧ 𝑀 βŠ† 𝑉) ↔ βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (◑𝐷 β€œ (0[,)𝑑)) βŠ† 𝑉))
2322adantr 482 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝑉 βŠ† (𝑋 Γ— 𝑋)) β†’ (βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘€(𝑀 = (◑𝐷 β€œ (0[,)𝑑)) ∧ 𝑀 βŠ† 𝑉) ↔ βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (◑𝐷 β€œ (0[,)𝑑)) βŠ† 𝑉))
2416, 23bitrid 283 . . . . 5 ((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝑉 βŠ† (𝑋 Γ— 𝑋)) β†’ (βˆƒπ‘€ ∈ ran (π‘Ž ∈ ℝ+ ↦ (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ž)))𝑀 βŠ† 𝑉 ↔ βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (◑𝐷 β€œ (0[,)𝑑)) βŠ† 𝑉))
25 cnvimass 6081 . . . . . . . . 9 (◑𝐷 β€œ (0[,)𝑑)) βŠ† dom 𝐷
26 simpll 766 . . . . . . . . . 10 (((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝑉 βŠ† (𝑋 Γ— 𝑋)) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) β†’ 𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹))
27 psmetf 23812 . . . . . . . . . 10 (𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) β†’ 𝐷:(𝑋 Γ— 𝑋)βŸΆβ„*)
28 fdm 6727 . . . . . . . . . 10 (𝐷:(𝑋 Γ— 𝑋)βŸΆβ„* β†’ dom 𝐷 = (𝑋 Γ— 𝑋))
2926, 27, 283syl 18 . . . . . . . . 9 (((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝑉 βŠ† (𝑋 Γ— 𝑋)) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) β†’ dom 𝐷 = (𝑋 Γ— 𝑋))
3025, 29sseqtrid 4035 . . . . . . . 8 (((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝑉 βŠ† (𝑋 Γ— 𝑋)) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) β†’ (◑𝐷 β€œ (0[,)𝑑)) βŠ† (𝑋 Γ— 𝑋))
31 ssrel2 5786 . . . . . . . 8 ((◑𝐷 β€œ (0[,)𝑑)) βŠ† (𝑋 Γ— 𝑋) β†’ ((◑𝐷 β€œ (0[,)𝑑)) βŠ† 𝑉 ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∈ (◑𝐷 β€œ (0[,)𝑑)) β†’ ⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∈ 𝑉)))
3230, 31syl 17 . . . . . . 7 (((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝑉 βŠ† (𝑋 Γ— 𝑋)) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) β†’ ((◑𝐷 β€œ (0[,)𝑑)) βŠ† 𝑉 ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∈ (◑𝐷 β€œ (0[,)𝑑)) β†’ ⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∈ 𝑉)))
33 simplr 768 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝑉 βŠ† (𝑋 Γ— 𝑋)) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ π‘₯ ∈ 𝑋)
34 simpr 486 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝑉 βŠ† (𝑋 Γ— 𝑋)) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ 𝑦 ∈ 𝑋)
3533, 34opelxpd 5716 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝑉 βŠ† (𝑋 Γ— 𝑋)) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ ⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∈ (𝑋 Γ— 𝑋))
3635biantrurd 534 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝑉 βŠ† (𝑋 Γ— 𝑋)) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ ((π·β€˜βŸ¨π‘₯, π‘¦βŸ©) ∈ (0[,)𝑑) ↔ (⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∈ (𝑋 Γ— 𝑋) ∧ (π·β€˜βŸ¨π‘₯, π‘¦βŸ©) ∈ (0[,)𝑑))))
37 psmetcl 23813 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ (π‘₯𝐷𝑦) ∈ ℝ*)
3837ad5ant145 1370 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝑉 βŠ† (𝑋 Γ— 𝑋)) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ (π‘₯𝐷𝑦) ∈ ℝ*)
39383biant1d 1479 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝑉 βŠ† (𝑋 Γ— 𝑋)) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ ((0 ≀ (π‘₯𝐷𝑦) ∧ (π‘₯𝐷𝑦) < 𝑑) ↔ ((π‘₯𝐷𝑦) ∈ ℝ* ∧ 0 ≀ (π‘₯𝐷𝑦) ∧ (π‘₯𝐷𝑦) < 𝑑)))
40 psmetge0 23818 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ 0 ≀ (π‘₯𝐷𝑦))
4140biantrurd 534 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ ((π‘₯𝐷𝑦) < 𝑑 ↔ (0 ≀ (π‘₯𝐷𝑦) ∧ (π‘₯𝐷𝑦) < 𝑑)))
4241ad5ant145 1370 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝑉 βŠ† (𝑋 Γ— 𝑋)) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ ((π‘₯𝐷𝑦) < 𝑑 ↔ (0 ≀ (π‘₯𝐷𝑦) ∧ (π‘₯𝐷𝑦) < 𝑑)))
43 0xr 11261 . . . . . . . . . . . . . 14 0 ∈ ℝ*
44 simpllr 775 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝑉 βŠ† (𝑋 Γ— 𝑋)) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ 𝑑 ∈ ℝ+)
4544rpxrd 13017 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝑉 βŠ† (𝑋 Γ— 𝑋)) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ 𝑑 ∈ ℝ*)
46 elico1 13367 . . . . . . . . . . . . . 14 ((0 ∈ ℝ* ∧ 𝑑 ∈ ℝ*) β†’ ((π‘₯𝐷𝑦) ∈ (0[,)𝑑) ↔ ((π‘₯𝐷𝑦) ∈ ℝ* ∧ 0 ≀ (π‘₯𝐷𝑦) ∧ (π‘₯𝐷𝑦) < 𝑑)))
4743, 45, 46sylancr 588 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝑉 βŠ† (𝑋 Γ— 𝑋)) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ ((π‘₯𝐷𝑦) ∈ (0[,)𝑑) ↔ ((π‘₯𝐷𝑦) ∈ ℝ* ∧ 0 ≀ (π‘₯𝐷𝑦) ∧ (π‘₯𝐷𝑦) < 𝑑)))
4839, 42, 473bitr4d 311 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝑉 βŠ† (𝑋 Γ— 𝑋)) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ ((π‘₯𝐷𝑦) < 𝑑 ↔ (π‘₯𝐷𝑦) ∈ (0[,)𝑑)))
49 df-ov 7412 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘₯𝐷𝑦) = (π·β€˜βŸ¨π‘₯, π‘¦βŸ©)
5049eleq1i 2825 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘₯𝐷𝑦) ∈ (0[,)𝑑) ↔ (π·β€˜βŸ¨π‘₯, π‘¦βŸ©) ∈ (0[,)𝑑))
5148, 50bitrdi 287 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝑉 βŠ† (𝑋 Γ— 𝑋)) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ ((π‘₯𝐷𝑦) < 𝑑 ↔ (π·β€˜βŸ¨π‘₯, π‘¦βŸ©) ∈ (0[,)𝑑)))
52 simp-4l 782 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝑉 βŠ† (𝑋 Γ— 𝑋)) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ 𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹))
53 ffn 6718 . . . . . . . . . . . 12 (𝐷:(𝑋 Γ— 𝑋)βŸΆβ„* β†’ 𝐷 Fn (𝑋 Γ— 𝑋))
54 elpreima 7060 . . . . . . . . . . . 12 (𝐷 Fn (𝑋 Γ— 𝑋) β†’ (⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∈ (◑𝐷 β€œ (0[,)𝑑)) ↔ (⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∈ (𝑋 Γ— 𝑋) ∧ (π·β€˜βŸ¨π‘₯, π‘¦βŸ©) ∈ (0[,)𝑑))))
5552, 27, 53, 544syl 19 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝑉 βŠ† (𝑋 Γ— 𝑋)) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ (⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∈ (◑𝐷 β€œ (0[,)𝑑)) ↔ (⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∈ (𝑋 Γ— 𝑋) ∧ (π·β€˜βŸ¨π‘₯, π‘¦βŸ©) ∈ (0[,)𝑑))))
5636, 51, 553bitr4d 311 . . . . . . . . . 10 (((((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝑉 βŠ† (𝑋 Γ— 𝑋)) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ ((π‘₯𝐷𝑦) < 𝑑 ↔ ⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∈ (◑𝐷 β€œ (0[,)𝑑))))
5756anasss 468 . . . . . . . . 9 ((((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝑉 βŠ† (𝑋 Γ— 𝑋)) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) β†’ ((π‘₯𝐷𝑦) < 𝑑 ↔ ⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∈ (◑𝐷 β€œ (0[,)𝑑))))
58 df-br 5150 . . . . . . . . . 10 (π‘₯𝑉𝑦 ↔ ⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∈ 𝑉)
5958a1i 11 . . . . . . . . 9 ((((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝑉 βŠ† (𝑋 Γ— 𝑋)) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) β†’ (π‘₯𝑉𝑦 ↔ ⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∈ 𝑉))
6057, 59imbi12d 345 . . . . . . . 8 ((((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝑉 βŠ† (𝑋 Γ— 𝑋)) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) β†’ (((π‘₯𝐷𝑦) < 𝑑 β†’ π‘₯𝑉𝑦) ↔ (⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∈ (◑𝐷 β€œ (0[,)𝑑)) β†’ ⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∈ 𝑉)))
61602ralbidva 3217 . . . . . . 7 (((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝑉 βŠ† (𝑋 Γ— 𝑋)) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 ((π‘₯𝐷𝑦) < 𝑑 β†’ π‘₯𝑉𝑦) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∈ (◑𝐷 β€œ (0[,)𝑑)) β†’ ⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∈ 𝑉)))
6232, 61bitr4d 282 . . . . . 6 (((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝑉 βŠ† (𝑋 Γ— 𝑋)) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) β†’ ((◑𝐷 β€œ (0[,)𝑑)) βŠ† 𝑉 ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 ((π‘₯𝐷𝑦) < 𝑑 β†’ π‘₯𝑉𝑦)))
6362rexbidva 3177 . . . . 5 ((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝑉 βŠ† (𝑋 Γ— 𝑋)) β†’ (βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (◑𝐷 β€œ (0[,)𝑑)) βŠ† 𝑉 ↔ βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 ((π‘₯𝐷𝑦) < 𝑑 β†’ π‘₯𝑉𝑦)))
6424, 63bitrd 279 . . . 4 ((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝑉 βŠ† (𝑋 Γ— 𝑋)) β†’ (βˆƒπ‘€ ∈ ran (π‘Ž ∈ ℝ+ ↦ (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ž)))𝑀 βŠ† 𝑉 ↔ βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 ((π‘₯𝐷𝑦) < 𝑑 β†’ π‘₯𝑉𝑦)))
6564pm5.32da 580 . . 3 (𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) β†’ ((𝑉 βŠ† (𝑋 Γ— 𝑋) ∧ βˆƒπ‘€ ∈ ran (π‘Ž ∈ ℝ+ ↦ (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ž)))𝑀 βŠ† 𝑉) ↔ (𝑉 βŠ† (𝑋 Γ— 𝑋) ∧ βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 ((π‘₯𝐷𝑦) < 𝑑 β†’ π‘₯𝑉𝑦))))
6665adantl 483 . 2 ((𝑋 β‰  βˆ… ∧ 𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹)) β†’ ((𝑉 βŠ† (𝑋 Γ— 𝑋) ∧ βˆƒπ‘€ ∈ ran (π‘Ž ∈ ℝ+ ↦ (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ž)))𝑀 βŠ† 𝑉) ↔ (𝑉 βŠ† (𝑋 Γ— 𝑋) ∧ βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 ((π‘₯𝐷𝑦) < 𝑑 β†’ π‘₯𝑉𝑦))))
673, 4, 663bitrd 305 1 ((𝑋 β‰  βˆ… ∧ 𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹)) β†’ (𝑉 ∈ π‘ˆ ↔ (𝑉 βŠ† (𝑋 Γ— 𝑋) ∧ βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 ((π‘₯𝐷𝑦) < 𝑑 β†’ π‘₯𝑉𝑦))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542  βˆƒwex 1782   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2941  βˆ€wral 3062  βˆƒwrex 3071  Vcvv 3475   βŠ† wss 3949  βˆ…c0 4323  βŸ¨cop 4635   class class class wbr 5149   ↦ cmpt 5232   Γ— cxp 5675  β—‘ccnv 5676  dom cdm 5677  ran crn 5678   β€œ cima 5680   Fn wfn 6539  βŸΆwf 6540  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  0cc0 11110  β„*cxr 11247   < clt 11248   ≀ cle 11249  β„+crp 12974  [,)cico 13326  PsMetcpsmet 20928  metUnifcmetu 20935
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-po 5589  df-so 5590  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-er 8703  df-map 8822  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-2 12275  df-rp 12975  df-xneg 13092  df-xadd 13093  df-xmul 13094  df-ico 13330  df-psmet 20936  df-fbas 20941  df-fg 20942  df-metu 20943
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator