MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  metuel2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem metuel2 23921
Description: Elementhood in the uniform structure generated by a metric 𝐷 (Contributed by Thierry Arnoux, 24-Jan-2018.) (Revised by Thierry Arnoux, 11-Feb-2018.)
Hypothesis
Ref Expression
metuel2.u 𝑈 = (metUnif‘𝐷)
Assertion
Ref Expression
metuel2 ((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋)) → (𝑉𝑈 ↔ (𝑉 ⊆ (𝑋 × 𝑋) ∧ ∃𝑑 ∈ ℝ+𝑥𝑋𝑦𝑋 ((𝑥𝐷𝑦) < 𝑑𝑥𝑉𝑦))))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑑,𝑦,𝐷   𝑉,𝑑,𝑥,𝑦   𝑋,𝑑,𝑥,𝑦
Allowed substitution hints:   𝑈(𝑥,𝑦,𝑑)

Proof of Theorem metuel2
Dummy variables 𝑎 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 metuel2.u . . . 4 𝑈 = (metUnif‘𝐷)
21eleq2i 2829 . . 3 (𝑉𝑈𝑉 ∈ (metUnif‘𝐷))
32a1i 11 . 2 ((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋)) → (𝑉𝑈𝑉 ∈ (metUnif‘𝐷)))
4 metuel 23920 . 2 ((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋)) → (𝑉 ∈ (metUnif‘𝐷) ↔ (𝑉 ⊆ (𝑋 × 𝑋) ∧ ∃𝑤 ∈ ran (𝑎 ∈ ℝ+ ↦ (𝐷 “ (0[,)𝑎)))𝑤𝑉)))
5 oveq2 7365 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑎 = 𝑑 → (0[,)𝑎) = (0[,)𝑑))
65imaeq2d 6013 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑎 = 𝑑 → (𝐷 “ (0[,)𝑎)) = (𝐷 “ (0[,)𝑑)))
76cbvmptv 5218 . . . . . . . . . . . 12 (𝑎 ∈ ℝ+ ↦ (𝐷 “ (0[,)𝑎))) = (𝑑 ∈ ℝ+ ↦ (𝐷 “ (0[,)𝑑)))
87elrnmpt 5911 . . . . . . . . . . 11 (𝑤 ∈ V → (𝑤 ∈ ran (𝑎 ∈ ℝ+ ↦ (𝐷 “ (0[,)𝑎))) ↔ ∃𝑑 ∈ ℝ+ 𝑤 = (𝐷 “ (0[,)𝑑))))
98elv 3451 . . . . . . . . . 10 (𝑤 ∈ ran (𝑎 ∈ ℝ+ ↦ (𝐷 “ (0[,)𝑎))) ↔ ∃𝑑 ∈ ℝ+ 𝑤 = (𝐷 “ (0[,)𝑑)))
109anbi1i 624 . . . . . . . . 9 ((𝑤 ∈ ran (𝑎 ∈ ℝ+ ↦ (𝐷 “ (0[,)𝑎))) ∧ 𝑤𝑉) ↔ (∃𝑑 ∈ ℝ+ 𝑤 = (𝐷 “ (0[,)𝑑)) ∧ 𝑤𝑉))
11 r19.41v 3185 . . . . . . . . 9 (∃𝑑 ∈ ℝ+ (𝑤 = (𝐷 “ (0[,)𝑑)) ∧ 𝑤𝑉) ↔ (∃𝑑 ∈ ℝ+ 𝑤 = (𝐷 “ (0[,)𝑑)) ∧ 𝑤𝑉))
1210, 11bitr4i 277 . . . . . . . 8 ((𝑤 ∈ ran (𝑎 ∈ ℝ+ ↦ (𝐷 “ (0[,)𝑎))) ∧ 𝑤𝑉) ↔ ∃𝑑 ∈ ℝ+ (𝑤 = (𝐷 “ (0[,)𝑑)) ∧ 𝑤𝑉))
1312exbii 1850 . . . . . . 7 (∃𝑤(𝑤 ∈ ran (𝑎 ∈ ℝ+ ↦ (𝐷 “ (0[,)𝑎))) ∧ 𝑤𝑉) ↔ ∃𝑤𝑑 ∈ ℝ+ (𝑤 = (𝐷 “ (0[,)𝑑)) ∧ 𝑤𝑉))
14 df-rex 3074 . . . . . . 7 (∃𝑤 ∈ ran (𝑎 ∈ ℝ+ ↦ (𝐷 “ (0[,)𝑎)))𝑤𝑉 ↔ ∃𝑤(𝑤 ∈ ran (𝑎 ∈ ℝ+ ↦ (𝐷 “ (0[,)𝑎))) ∧ 𝑤𝑉))
15 rexcom4 3271 . . . . . . 7 (∃𝑑 ∈ ℝ+𝑤(𝑤 = (𝐷 “ (0[,)𝑑)) ∧ 𝑤𝑉) ↔ ∃𝑤𝑑 ∈ ℝ+ (𝑤 = (𝐷 “ (0[,)𝑑)) ∧ 𝑤𝑉))
1613, 14, 153bitr4i 302 . . . . . 6 (∃𝑤 ∈ ran (𝑎 ∈ ℝ+ ↦ (𝐷 “ (0[,)𝑎)))𝑤𝑉 ↔ ∃𝑑 ∈ ℝ+𝑤(𝑤 = (𝐷 “ (0[,)𝑑)) ∧ 𝑤𝑉))
17 cnvexg 7861 . . . . . . . . 9 (𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) → 𝐷 ∈ V)
18 imaexg 7852 . . . . . . . . 9 (𝐷 ∈ V → (𝐷 “ (0[,)𝑑)) ∈ V)
19 sseq1 3969 . . . . . . . . . 10 (𝑤 = (𝐷 “ (0[,)𝑑)) → (𝑤𝑉 ↔ (𝐷 “ (0[,)𝑑)) ⊆ 𝑉))
2019ceqsexgv 3604 . . . . . . . . 9 ((𝐷 “ (0[,)𝑑)) ∈ V → (∃𝑤(𝑤 = (𝐷 “ (0[,)𝑑)) ∧ 𝑤𝑉) ↔ (𝐷 “ (0[,)𝑑)) ⊆ 𝑉))
2117, 18, 203syl 18 . . . . . . . 8 (𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) → (∃𝑤(𝑤 = (𝐷 “ (0[,)𝑑)) ∧ 𝑤𝑉) ↔ (𝐷 “ (0[,)𝑑)) ⊆ 𝑉))
2221rexbidv 3175 . . . . . . 7 (𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) → (∃𝑑 ∈ ℝ+𝑤(𝑤 = (𝐷 “ (0[,)𝑑)) ∧ 𝑤𝑉) ↔ ∃𝑑 ∈ ℝ+ (𝐷 “ (0[,)𝑑)) ⊆ 𝑉))
2322adantr 481 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑉 ⊆ (𝑋 × 𝑋)) → (∃𝑑 ∈ ℝ+𝑤(𝑤 = (𝐷 “ (0[,)𝑑)) ∧ 𝑤𝑉) ↔ ∃𝑑 ∈ ℝ+ (𝐷 “ (0[,)𝑑)) ⊆ 𝑉))
2416, 23bitrid 282 . . . . 5 ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑉 ⊆ (𝑋 × 𝑋)) → (∃𝑤 ∈ ran (𝑎 ∈ ℝ+ ↦ (𝐷 “ (0[,)𝑎)))𝑤𝑉 ↔ ∃𝑑 ∈ ℝ+ (𝐷 “ (0[,)𝑑)) ⊆ 𝑉))
25 cnvimass 6033 . . . . . . . . 9 (𝐷 “ (0[,)𝑑)) ⊆ dom 𝐷
26 simpll 765 . . . . . . . . . 10 (((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑉 ⊆ (𝑋 × 𝑋)) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) → 𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋))
27 psmetf 23659 . . . . . . . . . 10 (𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) → 𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ*)
28 fdm 6677 . . . . . . . . . 10 (𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ* → dom 𝐷 = (𝑋 × 𝑋))
2926, 27, 283syl 18 . . . . . . . . 9 (((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑉 ⊆ (𝑋 × 𝑋)) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) → dom 𝐷 = (𝑋 × 𝑋))
3025, 29sseqtrid 3996 . . . . . . . 8 (((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑉 ⊆ (𝑋 × 𝑋)) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) → (𝐷 “ (0[,)𝑑)) ⊆ (𝑋 × 𝑋))
31 ssrel2 5741 . . . . . . . 8 ((𝐷 “ (0[,)𝑑)) ⊆ (𝑋 × 𝑋) → ((𝐷 “ (0[,)𝑑)) ⊆ 𝑉 ↔ ∀𝑥𝑋𝑦𝑋 (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ (𝐷 “ (0[,)𝑑)) → ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝑉)))
3230, 31syl 17 . . . . . . 7 (((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑉 ⊆ (𝑋 × 𝑋)) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) → ((𝐷 “ (0[,)𝑑)) ⊆ 𝑉 ↔ ∀𝑥𝑋𝑦𝑋 (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ (𝐷 “ (0[,)𝑑)) → ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝑉)))
33 simplr 767 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑉 ⊆ (𝑋 × 𝑋)) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥𝑋) ∧ 𝑦𝑋) → 𝑥𝑋)
34 simpr 485 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑉 ⊆ (𝑋 × 𝑋)) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥𝑋) ∧ 𝑦𝑋) → 𝑦𝑋)
3533, 34opelxpd 5671 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑉 ⊆ (𝑋 × 𝑋)) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥𝑋) ∧ 𝑦𝑋) → ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ (𝑋 × 𝑋))
3635biantrurd 533 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑉 ⊆ (𝑋 × 𝑋)) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥𝑋) ∧ 𝑦𝑋) → ((𝐷‘⟨𝑥, 𝑦⟩) ∈ (0[,)𝑑) ↔ (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ (𝑋 × 𝑋) ∧ (𝐷‘⟨𝑥, 𝑦⟩) ∈ (0[,)𝑑))))
37 psmetcl 23660 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑥𝑋𝑦𝑋) → (𝑥𝐷𝑦) ∈ ℝ*)
3837ad5ant145 1369 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑉 ⊆ (𝑋 × 𝑋)) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥𝑋) ∧ 𝑦𝑋) → (𝑥𝐷𝑦) ∈ ℝ*)
39383biant1d 1478 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑉 ⊆ (𝑋 × 𝑋)) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥𝑋) ∧ 𝑦𝑋) → ((0 ≤ (𝑥𝐷𝑦) ∧ (𝑥𝐷𝑦) < 𝑑) ↔ ((𝑥𝐷𝑦) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (𝑥𝐷𝑦) ∧ (𝑥𝐷𝑦) < 𝑑)))
40 psmetge0 23665 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑥𝑋𝑦𝑋) → 0 ≤ (𝑥𝐷𝑦))
4140biantrurd 533 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑥𝑋𝑦𝑋) → ((𝑥𝐷𝑦) < 𝑑 ↔ (0 ≤ (𝑥𝐷𝑦) ∧ (𝑥𝐷𝑦) < 𝑑)))
4241ad5ant145 1369 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑉 ⊆ (𝑋 × 𝑋)) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥𝑋) ∧ 𝑦𝑋) → ((𝑥𝐷𝑦) < 𝑑 ↔ (0 ≤ (𝑥𝐷𝑦) ∧ (𝑥𝐷𝑦) < 𝑑)))
43 0xr 11202 . . . . . . . . . . . . . 14 0 ∈ ℝ*
44 simpllr 774 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑉 ⊆ (𝑋 × 𝑋)) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥𝑋) ∧ 𝑦𝑋) → 𝑑 ∈ ℝ+)
4544rpxrd 12958 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑉 ⊆ (𝑋 × 𝑋)) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥𝑋) ∧ 𝑦𝑋) → 𝑑 ∈ ℝ*)
46 elico1 13307 . . . . . . . . . . . . . 14 ((0 ∈ ℝ*𝑑 ∈ ℝ*) → ((𝑥𝐷𝑦) ∈ (0[,)𝑑) ↔ ((𝑥𝐷𝑦) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (𝑥𝐷𝑦) ∧ (𝑥𝐷𝑦) < 𝑑)))
4743, 45, 46sylancr 587 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑉 ⊆ (𝑋 × 𝑋)) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥𝑋) ∧ 𝑦𝑋) → ((𝑥𝐷𝑦) ∈ (0[,)𝑑) ↔ ((𝑥𝐷𝑦) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (𝑥𝐷𝑦) ∧ (𝑥𝐷𝑦) < 𝑑)))
4839, 42, 473bitr4d 310 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑉 ⊆ (𝑋 × 𝑋)) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥𝑋) ∧ 𝑦𝑋) → ((𝑥𝐷𝑦) < 𝑑 ↔ (𝑥𝐷𝑦) ∈ (0[,)𝑑)))
49 df-ov 7360 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥𝐷𝑦) = (𝐷‘⟨𝑥, 𝑦⟩)
5049eleq1i 2828 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥𝐷𝑦) ∈ (0[,)𝑑) ↔ (𝐷‘⟨𝑥, 𝑦⟩) ∈ (0[,)𝑑))
5148, 50bitrdi 286 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑉 ⊆ (𝑋 × 𝑋)) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥𝑋) ∧ 𝑦𝑋) → ((𝑥𝐷𝑦) < 𝑑 ↔ (𝐷‘⟨𝑥, 𝑦⟩) ∈ (0[,)𝑑)))
52 simp-4l 781 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑉 ⊆ (𝑋 × 𝑋)) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥𝑋) ∧ 𝑦𝑋) → 𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋))
53 ffn 6668 . . . . . . . . . . . 12 (𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ*𝐷 Fn (𝑋 × 𝑋))
54 elpreima 7008 . . . . . . . . . . . 12 (𝐷 Fn (𝑋 × 𝑋) → (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ (𝐷 “ (0[,)𝑑)) ↔ (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ (𝑋 × 𝑋) ∧ (𝐷‘⟨𝑥, 𝑦⟩) ∈ (0[,)𝑑))))
5552, 27, 53, 544syl 19 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑉 ⊆ (𝑋 × 𝑋)) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥𝑋) ∧ 𝑦𝑋) → (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ (𝐷 “ (0[,)𝑑)) ↔ (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ (𝑋 × 𝑋) ∧ (𝐷‘⟨𝑥, 𝑦⟩) ∈ (0[,)𝑑))))
5636, 51, 553bitr4d 310 . . . . . . . . . 10 (((((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑉 ⊆ (𝑋 × 𝑋)) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥𝑋) ∧ 𝑦𝑋) → ((𝑥𝐷𝑦) < 𝑑 ↔ ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ (𝐷 “ (0[,)𝑑))))
5756anasss 467 . . . . . . . . 9 ((((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑉 ⊆ (𝑋 × 𝑋)) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → ((𝑥𝐷𝑦) < 𝑑 ↔ ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ (𝐷 “ (0[,)𝑑))))
58 df-br 5106 . . . . . . . . . 10 (𝑥𝑉𝑦 ↔ ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝑉)
5958a1i 11 . . . . . . . . 9 ((((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑉 ⊆ (𝑋 × 𝑋)) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → (𝑥𝑉𝑦 ↔ ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝑉))
6057, 59imbi12d 344 . . . . . . . 8 ((((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑉 ⊆ (𝑋 × 𝑋)) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → (((𝑥𝐷𝑦) < 𝑑𝑥𝑉𝑦) ↔ (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ (𝐷 “ (0[,)𝑑)) → ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝑉)))
61602ralbidva 3210 . . . . . . 7 (((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑉 ⊆ (𝑋 × 𝑋)) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) → (∀𝑥𝑋𝑦𝑋 ((𝑥𝐷𝑦) < 𝑑𝑥𝑉𝑦) ↔ ∀𝑥𝑋𝑦𝑋 (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ (𝐷 “ (0[,)𝑑)) → ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝑉)))
6232, 61bitr4d 281 . . . . . 6 (((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑉 ⊆ (𝑋 × 𝑋)) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) → ((𝐷 “ (0[,)𝑑)) ⊆ 𝑉 ↔ ∀𝑥𝑋𝑦𝑋 ((𝑥𝐷𝑦) < 𝑑𝑥𝑉𝑦)))
6362rexbidva 3173 . . . . 5 ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑉 ⊆ (𝑋 × 𝑋)) → (∃𝑑 ∈ ℝ+ (𝐷 “ (0[,)𝑑)) ⊆ 𝑉 ↔ ∃𝑑 ∈ ℝ+𝑥𝑋𝑦𝑋 ((𝑥𝐷𝑦) < 𝑑𝑥𝑉𝑦)))
6424, 63bitrd 278 . . . 4 ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑉 ⊆ (𝑋 × 𝑋)) → (∃𝑤 ∈ ran (𝑎 ∈ ℝ+ ↦ (𝐷 “ (0[,)𝑎)))𝑤𝑉 ↔ ∃𝑑 ∈ ℝ+𝑥𝑋𝑦𝑋 ((𝑥𝐷𝑦) < 𝑑𝑥𝑉𝑦)))
6564pm5.32da 579 . . 3 (𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) → ((𝑉 ⊆ (𝑋 × 𝑋) ∧ ∃𝑤 ∈ ran (𝑎 ∈ ℝ+ ↦ (𝐷 “ (0[,)𝑎)))𝑤𝑉) ↔ (𝑉 ⊆ (𝑋 × 𝑋) ∧ ∃𝑑 ∈ ℝ+𝑥𝑋𝑦𝑋 ((𝑥𝐷𝑦) < 𝑑𝑥𝑉𝑦))))
6665adantl 482 . 2 ((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋)) → ((𝑉 ⊆ (𝑋 × 𝑋) ∧ ∃𝑤 ∈ ran (𝑎 ∈ ℝ+ ↦ (𝐷 “ (0[,)𝑎)))𝑤𝑉) ↔ (𝑉 ⊆ (𝑋 × 𝑋) ∧ ∃𝑑 ∈ ℝ+𝑥𝑋𝑦𝑋 ((𝑥𝐷𝑦) < 𝑑𝑥𝑉𝑦))))
673, 4, 663bitrd 304 1 ((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋)) → (𝑉𝑈 ↔ (𝑉 ⊆ (𝑋 × 𝑋) ∧ ∃𝑑 ∈ ℝ+𝑥𝑋𝑦𝑋 ((𝑥𝐷𝑦) < 𝑑𝑥𝑉𝑦))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396  w3a 1087   = wceq 1541  wex 1781  wcel 2106  wne 2943  wral 3064  wrex 3073  Vcvv 3445  wss 3910  c0 4282  cop 4592   class class class wbr 5105  cmpt 5188   × cxp 5631  ccnv 5632  dom cdm 5633  ran crn 5634  cima 5636   Fn wfn 6491  wf 6492  cfv 6496  (class class class)co 7357  0cc0 11051  *cxr 11188   < clt 11189  cle 11190  +crp 12915  [,)cico 13266  PsMetcpsmet 20780  metUnifcmetu 20787
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-id 5531  df-po 5545  df-so 5546  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-er 8648  df-map 8767  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-2 12216  df-rp 12916  df-xneg 13033  df-xadd 13034  df-xmul 13035  df-ico 13270  df-psmet 20788  df-fbas 20793  df-fg 20794  df-metu 20795
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator