Theorem wfis2 6383

Description: Well-Ordered Induction schema, using implicit substitution. (Contributed by Scott Fenton, 29-Jan-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
wfis2.1	⊢ 𝑅 We 𝐴
wfis2.2	⊢ 𝑅 Se 𝐴
wfis2.3	⊢ (𝑦 = 𝑧 → (𝜑 ↔ 𝜓))
wfis2.4	⊢ (𝑦 ∈ 𝐴 → (∀𝑧 ∈ Pred (𝑅, 𝐴, 𝑦)𝜓 → 𝜑))

Assertion

Ref	Expression
wfis2	⊢ (𝑦 ∈ 𝐴 → 𝜑)

Distinct variable groups:   𝑦,𝐴,𝑧   𝜑,𝑧   𝜓,𝑦   𝑦,𝑅,𝑧

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑦)   𝜓(𝑧)

Proof of Theorem wfis2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		wfis2.1	. . 3 ⊢ 𝑅 We 𝐴
2		wfis2.2	. . 3 ⊢ 𝑅 Se 𝐴
3		wfis2.3	. . . 4 ⊢ (𝑦 = 𝑧 → (𝜑 ↔ 𝜓))
4		wfis2.4	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐴 → (∀𝑧 ∈ Pred (𝑅, 𝐴, 𝑦)𝜓 → 𝜑))
5	3, 4	wfis2g 6382	. . 3 ⊢ ((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) → ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝜑)
6	1, 2, 5	mp2an 692	. 2 ⊢ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝜑
7	6	rspec 3248	1 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐴 → 𝜑)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∈ wcel 2106  ∀wral 3059   Se wse 5639   We wwe 5640  Predcpred 6322

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pr 5438

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-br 5149  df-opab 5211  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-cnv 5697  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323

This theorem is referenced by:  wfis3  6384