Theorem wfis2 6344

Description: Well-Ordered Induction schema, using implicit substitution. (Contributed by Scott Fenton, 29-Jan-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
wfis2.1	⊢ 𝑅 We 𝐴
wfis2.2	⊢ 𝑅 Se 𝐴
wfis2.3	⊢ (𝑦 = 𝑧 → (𝜑 ↔ 𝜓))
wfis2.4	⊢ (𝑦 ∈ 𝐴 → (∀𝑧 ∈ Pred (𝑅, 𝐴, 𝑦)𝜓 → 𝜑))

Assertion

Ref	Expression
wfis2	⊢ (𝑦 ∈ 𝐴 → 𝜑)

Distinct variable groups:   𝑦,𝐴,𝑧   𝜑,𝑧   𝜓,𝑦   𝑦,𝑅,𝑧

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑦)   𝜓(𝑧)

Proof of Theorem wfis2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		wfis2.1	. . 3 ⊢ 𝑅 We 𝐴
2		wfis2.2	. . 3 ⊢ 𝑅 Se 𝐴
3		wfis2.3	. . . 4 ⊢ (𝑦 = 𝑧 → (𝜑 ↔ 𝜓))
4		wfis2.4	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐴 → (∀𝑧 ∈ Pred (𝑅, 𝐴, 𝑦)𝜓 → 𝜑))
5	3, 4	wfis2g 6343	. . 3 ⊢ ((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) → ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝜑)
6	1, 2, 5	mp2an 702	. 2 ⊢ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝜑
7	6	rspec 3254	1 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐴 → 𝜑)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∈ wcel 2143  ∀wral 3077   Se wse 5599   We wwe 5600  Predcpred 6288

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1816  ax-4 1830  ax-5 1931  ax-6 1988  ax-7 2029  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5247  ax-pr 5391

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3an 1101  df-tru 1564  df-fal 1574  df-ex 1801  df-nf 1805  df-sb 2092  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rab 3416  df-v 3457  df-sbc 3746  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-br 5102  df-opab 5164  df-po 5556  df-so 5557  df-fr 5601  df-se 5602  df-we 5603  df-xp 5654  df-cnv 5656  df-dm 5658  df-rn 5659  df-res 5660  df-ima 5661  df-pred 6289

This theorem is referenced by:  wfis3  6345