Theorem wfis2 6312

Description: Well-Ordered Induction schema, using implicit substitution. (Contributed by Scott Fenton, 29-Jan-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
wfis2.1	⊢ 𝑅 We 𝐴
wfis2.2	⊢ 𝑅 Se 𝐴
wfis2.3	⊢ (𝑦 = 𝑧 → (𝜑 ↔ 𝜓))
wfis2.4	⊢ (𝑦 ∈ 𝐴 → (∀𝑧 ∈ Pred (𝑅, 𝐴, 𝑦)𝜓 → 𝜑))

Assertion

Ref	Expression
wfis2	⊢ (𝑦 ∈ 𝐴 → 𝜑)

Distinct variable groups:   𝑦,𝐴,𝑧   𝜑,𝑧   𝜓,𝑦   𝑦,𝑅,𝑧

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑦)   𝜓(𝑧)

Proof of Theorem wfis2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		wfis2.1	. . 3 ⊢ 𝑅 We 𝐴
2		wfis2.2	. . 3 ⊢ 𝑅 Se 𝐴
3		wfis2.3	. . . 4 ⊢ (𝑦 = 𝑧 → (𝜑 ↔ 𝜓))
4		wfis2.4	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐴 → (∀𝑧 ∈ Pred (𝑅, 𝐴, 𝑦)𝜓 → 𝜑))
5	3, 4	wfis2g 6311	. . 3 ⊢ ((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) → ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝜑)
6	1, 2, 5	mp2an 692	. 2 ⊢ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝜑
7	6	rspec 3225	1 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐴 → 𝜑)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∈ wcel 2113  ∀wral 3049   Se wse 5573   We wwe 5574  Predcpred 6256

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2706  ax-sep 5239  ax-nul 5249  ax-pr 5375

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2809  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-ral 3050  df-rex 3059  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-op 4585  df-br 5097  df-opab 5159  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-se 5576  df-we 5577  df-xp 5628  df-cnv 5630  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257

This theorem is referenced by:  wfis3  6313