Theorem wfis2 6191

Description: Well Founded Induction schema, using implicit substitution. (Contributed by Scott Fenton, 29-Jan-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
wfis2.1	⊢ 𝑅 We 𝐴
wfis2.2	⊢ 𝑅 Se 𝐴
wfis2.3	⊢ (𝑦 = 𝑧 → (𝜑 ↔ 𝜓))
wfis2.4	⊢ (𝑦 ∈ 𝐴 → (∀𝑧 ∈ Pred (𝑅, 𝐴, 𝑦)𝜓 → 𝜑))

Assertion

Ref	Expression
wfis2	⊢ (𝑦 ∈ 𝐴 → 𝜑)

Distinct variable groups:   𝑦,𝐴,𝑧   𝜑,𝑧   𝜓,𝑦   𝑦,𝑅,𝑧

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑦)   𝜓(𝑧)

Proof of Theorem wfis2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		wfis2.1	. . 3 ⊢ 𝑅 We 𝐴
2		wfis2.2	. . 3 ⊢ 𝑅 Se 𝐴
3		wfis2.3	. . . 4 ⊢ (𝑦 = 𝑧 → (𝜑 ↔ 𝜓))
4		wfis2.4	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐴 → (∀𝑧 ∈ Pred (𝑅, 𝐴, 𝑦)𝜓 → 𝜑))
5	3, 4	wfis2g 6190	. . 3 ⊢ ((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) → ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝜑)
6	1, 2, 5	mp2an 690	. 2 ⊢ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝜑
7	6	rspec 3210	1 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐴 → 𝜑)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∈ wcel 2113  ∀wral 3141   Se wse 5515   We wwe 5516  Predcpred 6150

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1969  ax-7 2014  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2176  ax-ext 2796  ax-sep 5206  ax-nul 5213  ax-pr 5333

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1539  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2069  df-mo 2621  df-eu 2653  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2966  df-ne 3020  df-ral 3146  df-rex 3147  df-reu 3148  df-rmo 3149  df-rab 3150  df-v 3499  df-sbc 3776  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3955  df-nul 4295  df-if 4471  df-sn 4571  df-pr 4573  df-op 4577  df-br 5070  df-opab 5132  df-po 5477  df-so 5478  df-fr 5517  df-se 5518  df-we 5519  df-xp 5564  df-cnv 5566  df-dm 5568  df-rn 5569  df-res 5570  df-ima 5571  df-pred 6151

This theorem is referenced by:  wfis3  6192