MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  wfis3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem wfis3 6024
Description: Well Founded Induction schema, using implicit substitution. (Contributed by Scott Fenton, 29-Jan-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
wfis3.1 𝑅 We 𝐴
wfis3.2 𝑅 Se 𝐴
wfis3.3 (𝑦 = 𝑧 → (𝜑𝜓))
wfis3.4 (𝑦 = 𝐵 → (𝜑𝜒))
wfis3.5 (𝑦𝐴 → (∀𝑧 ∈ Pred (𝑅, 𝐴, 𝑦)𝜓𝜑))
Assertion
Ref Expression
wfis3 (𝐵𝐴𝜒)
Distinct variable groups:   𝑦,𝐴,𝑧   𝑦,𝐵   𝜒,𝑦   𝜑,𝑧   𝜓,𝑦   𝑦,𝑅,𝑧
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑦)   𝜓(𝑧)   𝜒(𝑧)   𝐵(𝑧)

Proof of Theorem wfis3
StepHypRef Expression
1 wfis3.4 . 2 (𝑦 = 𝐵 → (𝜑𝜒))
2 wfis3.1 . . 3 𝑅 We 𝐴
3 wfis3.2 . . 3 𝑅 Se 𝐴
4 wfis3.3 . . 3 (𝑦 = 𝑧 → (𝜑𝜓))
5 wfis3.5 . . 3 (𝑦𝐴 → (∀𝑧 ∈ Pred (𝑅, 𝐴, 𝑦)𝜓𝜑))
62, 3, 4, 5wfis2 6023 . 2 (𝑦𝐴𝜑)
71, 6vtoclga 3486 1 (𝐵𝐴𝜒)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 198   = wceq 1508  wcel 2051  wral 3081   Se wse 5360   We wwe 5361  Predcpred 5982
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1759  ax-4 1773  ax-5 1870  ax-6 1929  ax-7 1966  ax-8 2053  ax-9 2060  ax-10 2080  ax-11 2094  ax-12 2107  ax-13 2302  ax-ext 2743  ax-sep 5056  ax-nul 5063  ax-pr 5182
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 835  df-3or 1070  df-3an 1071  df-tru 1511  df-ex 1744  df-nf 1748  df-sb 2017  df-mo 2548  df-eu 2585  df-clab 2752  df-cleq 2764  df-clel 2839  df-nfc 2911  df-ne 2961  df-ral 3086  df-rex 3087  df-reu 3088  df-rmo 3089  df-rab 3090  df-v 3410  df-sbc 3675  df-dif 3825  df-un 3827  df-in 3829  df-ss 3836  df-nul 4173  df-if 4345  df-sn 4436  df-pr 4438  df-op 4442  df-br 4926  df-opab 4988  df-po 5322  df-so 5323  df-fr 5362  df-se 5363  df-we 5364  df-xp 5409  df-cnv 5411  df-dm 5413  df-rn 5414  df-res 5415  df-ima 5416  df-pred 5983
This theorem is referenced by:  omsinds  7413  uzsinds  13168
  Copyright terms: Public domain W3C validator