Theorem wfis3 6393

Description: Well-Ordered Induction schema, using implicit substitution. (Contributed by Scott Fenton, 29-Jan-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
wfis3.1	⊢ 𝑅 We 𝐴
wfis3.2	⊢ 𝑅 Se 𝐴
wfis3.3	⊢ (𝑦 = 𝑧 → (𝜑 ↔ 𝜓))
wfis3.4	⊢ (𝑦 = 𝐵 → (𝜑 ↔ 𝜒))
wfis3.5	⊢ (𝑦 ∈ 𝐴 → (∀𝑧 ∈ Pred (𝑅, 𝐴, 𝑦)𝜓 → 𝜑))

Assertion

Ref	Expression
wfis3	⊢ (𝐵 ∈ 𝐴 → 𝜒)

Distinct variable groups:   𝑦,𝐴,𝑧   𝑦,𝐵   𝜒,𝑦   𝜑,𝑧   𝜓,𝑦   𝑦,𝑅,𝑧

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑦)   𝜓(𝑧)   𝜒(𝑧)   𝐵(𝑧)

Proof of Theorem wfis3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		wfis3.4	. 2 ⊢ (𝑦 = 𝐵 → (𝜑 ↔ 𝜒))
2		wfis3.1	. . 3 ⊢ 𝑅 We 𝐴
3		wfis3.2	. . 3 ⊢ 𝑅 Se 𝐴
4		wfis3.3	. . 3 ⊢ (𝑦 = 𝑧 → (𝜑 ↔ 𝜓))
5		wfis3.5	. . 3 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐴 → (∀𝑧 ∈ Pred (𝑅, 𝐴, 𝑦)𝜓 → 𝜑))
6	2, 3, 4, 5	wfis2 6392	. 2 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐴 → 𝜑)
7	1, 6	vtoclga 3589	1 ⊢ (𝐵 ∈ 𝐴 → 𝜒)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   = wceq 1537   ∈ wcel 2108  ∀wral 3067   Se wse 5650   We wwe 5651  Predcpred 6331

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pr 5447

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-br 5167  df-opab 5229  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-se 5653  df-we 5654  df-xp 5706  df-cnv 5708  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332

This theorem is referenced by:  omsinds  7924  omsindsOLD  7925  uzsinds  14038