Theorem wfis3 6375

Description: Well-Ordered Induction schema, using implicit substitution. (Contributed by Scott Fenton, 29-Jan-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
wfis3.1	⊢ 𝑅 We 𝐴
wfis3.2	⊢ 𝑅 Se 𝐴
wfis3.3	⊢ (𝑦 = 𝑧 → (𝜑 ↔ 𝜓))
wfis3.4	⊢ (𝑦 = 𝐵 → (𝜑 ↔ 𝜒))
wfis3.5	⊢ (𝑦 ∈ 𝐴 → (∀𝑧 ∈ Pred (𝑅, 𝐴, 𝑦)𝜓 → 𝜑))

Assertion

Ref	Expression
wfis3	⊢ (𝐵 ∈ 𝐴 → 𝜒)

Distinct variable groups:   𝑦,𝐴,𝑧   𝑦,𝐵   𝜒,𝑦   𝜑,𝑧   𝜓,𝑦   𝑦,𝑅,𝑧

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑦)   𝜓(𝑧)   𝜒(𝑧)   𝐵(𝑧)

Proof of Theorem wfis3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		wfis3.4	. 2 ⊢ (𝑦 = 𝐵 → (𝜑 ↔ 𝜒))
2		wfis3.1	. . 3 ⊢ 𝑅 We 𝐴
3		wfis3.2	. . 3 ⊢ 𝑅 Se 𝐴
4		wfis3.3	. . 3 ⊢ (𝑦 = 𝑧 → (𝜑 ↔ 𝜓))
5		wfis3.5	. . 3 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐴 → (∀𝑧 ∈ Pred (𝑅, 𝐴, 𝑦)𝜓 → 𝜑))
6	2, 3, 4, 5	wfis2 6374	. 2 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐴 → 𝜑)
7	1, 6	vtoclga 3540	1 ⊢ (𝐵 ∈ 𝐴 → 𝜒)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  ∀wral 3080   Se wse 5606   We wwe 5607  Predcpred 6318

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5252  ax-pr 5395

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-br 5107  df-opab 5171  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-se 5609  df-we 5610  df-xp 5661  df-cnv 5663  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6319

This theorem is used by:  omsinds  7919  uzsinds  14154  onsis  28687