Theorem wfis3 6381

Description: Well-Ordered Induction schema, using implicit substitution. (Contributed by Scott Fenton, 29-Jan-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
wfis3.1	⊢ 𝑅 We 𝐴
wfis3.2	⊢ 𝑅 Se 𝐴
wfis3.3	⊢ (𝑦 = 𝑧 → (𝜑 ↔ 𝜓))
wfis3.4	⊢ (𝑦 = 𝐵 → (𝜑 ↔ 𝜒))
wfis3.5	⊢ (𝑦 ∈ 𝐴 → (∀𝑧 ∈ Pred (𝑅, 𝐴, 𝑦)𝜓 → 𝜑))

Assertion

Ref	Expression
wfis3	⊢ (𝐵 ∈ 𝐴 → 𝜒)

Distinct variable groups:   𝑦,𝐴,𝑧   𝑦,𝐵   𝜒,𝑦   𝜑,𝑧   𝜓,𝑦   𝑦,𝑅,𝑧

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑦)   𝜓(𝑧)   𝜒(𝑧)   𝐵(𝑧)

Proof of Theorem wfis3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		wfis3.4	. 2 ⊢ (𝑦 = 𝐵 → (𝜑 ↔ 𝜒))
2		wfis3.1	. . 3 ⊢ 𝑅 We 𝐴
3		wfis3.2	. . 3 ⊢ 𝑅 Se 𝐴
4		wfis3.3	. . 3 ⊢ (𝑦 = 𝑧 → (𝜑 ↔ 𝜓))
5		wfis3.5	. . 3 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐴 → (∀𝑧 ∈ Pred (𝑅, 𝐴, 𝑦)𝜓 → 𝜑))
6	2, 3, 4, 5	wfis2 6380	. 2 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐴 → 𝜑)
7	1, 6	vtoclga 3576	1 ⊢ (𝐵 ∈ 𝐴 → 𝜒)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   = wceq 1539   ∈ wcel 2107  ∀wral 3060   Se wse 5634   We wwe 5635  Predcpred 6319

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pr 5431

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-br 5143  df-opab 5205  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-se 5637  df-we 5638  df-xp 5690  df-cnv 5692  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6320

This theorem is referenced by:  omsinds  7909  uzsinds  14029