Theorem wfis3 6360

Description: Well-Ordered Induction schema, using implicit substitution. (Contributed by Scott Fenton, 29-Jan-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
wfis3.1	⊢ 𝑅 We 𝐴
wfis3.2	⊢ 𝑅 Se 𝐴
wfis3.3	⊢ (𝑦 = 𝑧 → (𝜑 ↔ 𝜓))
wfis3.4	⊢ (𝑦 = 𝐵 → (𝜑 ↔ 𝜒))
wfis3.5	⊢ (𝑦 ∈ 𝐴 → (∀𝑧 ∈ Pred (𝑅, 𝐴, 𝑦)𝜓 → 𝜑))

Assertion

Ref	Expression
wfis3	⊢ (𝐵 ∈ 𝐴 → 𝜒)

Distinct variable groups:   𝑦,𝐴,𝑧   𝑦,𝐵   𝜒,𝑦   𝜑,𝑧   𝜓,𝑦   𝑦,𝑅,𝑧

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑦)   𝜓(𝑧)   𝜒(𝑧)   𝐵(𝑧)

Proof of Theorem wfis3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		wfis3.4	. 2 ⊢ (𝑦 = 𝐵 → (𝜑 ↔ 𝜒))
2		wfis3.1	. . 3 ⊢ 𝑅 We 𝐴
3		wfis3.2	. . 3 ⊢ 𝑅 Se 𝐴
4		wfis3.3	. . 3 ⊢ (𝑦 = 𝑧 → (𝜑 ↔ 𝜓))
5		wfis3.5	. . 3 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐴 → (∀𝑧 ∈ Pred (𝑅, 𝐴, 𝑦)𝜓 → 𝜑))
6	2, 3, 4, 5	wfis2 6359	. 2 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐴 → 𝜑)
7	1, 6	vtoclga 3536	1 ⊢ (𝐵 ∈ 𝐴 → 𝜒)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  ∀wral 3076   Se wse 5601   We wwe 5602  Predcpred 6303

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-pr 5390

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-ss 3896  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-br 5103  df-opab 5167  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-se 5604  df-we 5605  df-xp 5656  df-cnv 5658  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304

This theorem is used by:  omsinds  7898  uzsinds  14130  onsis  28660