Theorem xrnltled 11324

Description: "Not less than" implies "less than or equal to". (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
xrnltled.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
xrnltled.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
xrnltled.3	⊢ (𝜑 → ¬ 𝐵 < 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
xrnltled	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)

Proof of Theorem xrnltled

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xrnltled.3	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐵 < 𝐴)
2		xrnltled.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
3		xrnltled.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
4	2, 3	xrlenltd 11321	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 < 𝐴))
5	1, 4	mpbird 260	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∈ wcel 2145   class class class wbr 5103  ℝ^*cxr 11288   < clt 11289   ≤ cle 11290

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-pr 5398

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-sb 2100  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-br 5104  df-opab 5168  df-xp 5661  df-cnv 5663  df-le 11295

This theorem is used by:  supxrub  13398  infxrlb  13409  ixxub  13441  ixxlb  13442  supicclub2  13579  radcnvle  26685  xrge0infssd  33261  infxrge0lb  33264  pimxrneun  46330  liminflbuz2  46657  icccncfext  46729