MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  infxrlb Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem infxrlb 12413
Description: A member of a set of extended reals is greater than or equal to the set's infimum. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Mar-2014.) (Revised by AV, 5-Sep-2020.)
Assertion
Ref Expression
infxrlb ((𝐴 ⊆ ℝ*𝐵𝐴) → inf(𝐴, ℝ*, < ) ≤ 𝐵)

Proof of Theorem infxrlb
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 infxrcl 12412 . . 3 (𝐴 ⊆ ℝ* → inf(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
21adantr 473 . 2 ((𝐴 ⊆ ℝ*𝐵𝐴) → inf(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
3 ssel2 3793 . 2 ((𝐴 ⊆ ℝ*𝐵𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ*)
4 xrltso 12221 . . . . 5 < Or ℝ*
54a1i 11 . . . 4 (𝐴 ⊆ ℝ* → < Or ℝ*)
6 xrinfmss 12389 . . . 4 (𝐴 ⊆ ℝ* → ∃𝑥 ∈ ℝ* (∀𝑦𝐴 ¬ 𝑦 < 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧𝐴 𝑧 < 𝑦)))
75, 6inflb 8637 . . 3 (𝐴 ⊆ ℝ* → (𝐵𝐴 → ¬ 𝐵 < inf(𝐴, ℝ*, < )))
87imp 396 . 2 ((𝐴 ⊆ ℝ*𝐵𝐴) → ¬ 𝐵 < inf(𝐴, ℝ*, < ))
92, 3, 8xrnltled 10396 1 ((𝐴 ⊆ ℝ*𝐵𝐴) → inf(𝐴, ℝ*, < ) ≤ 𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 385  wcel 2157  wss 3769   class class class wbr 4843   Or wor 5232  infcinf 8589  *cxr 10362   < clt 10363  cle 10364
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2377  ax-ext 2777  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pow 5035  ax-pr 5097  ax-un 7183  ax-cnex 10280  ax-resscn 10281  ax-1cn 10282  ax-icn 10283  ax-addcl 10284  ax-addrcl 10285  ax-mulcl 10286  ax-mulrcl 10287  ax-mulcom 10288  ax-addass 10289  ax-mulass 10290  ax-distr 10291  ax-i2m1 10292  ax-1ne0 10293  ax-1rid 10294  ax-rnegex 10295  ax-rrecex 10296  ax-cnre 10297  ax-pre-lttri 10298  ax-pre-lttrn 10299  ax-pre-ltadd 10300  ax-pre-mulgt0 10301  ax-pre-sup 10302
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2591  df-eu 2609  df-clab 2786  df-cleq 2792  df-clel 2795  df-nfc 2930  df-ne 2972  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rmo 3097  df-rab 3098  df-v 3387  df-sbc 3634  df-csb 3729  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-nul 4116  df-if 4278  df-pw 4351  df-sn 4369  df-pr 4371  df-op 4375  df-uni 4629  df-br 4844  df-opab 4906  df-mpt 4923  df-id 5220  df-po 5233  df-so 5234  df-xp 5318  df-rel 5319  df-cnv 5320  df-co 5321  df-dm 5322  df-rn 5323  df-res 5324  df-ima 5325  df-iota 6064  df-fun 6103  df-fn 6104  df-f 6105  df-f1 6106  df-fo 6107  df-f1o 6108  df-fv 6109  df-riota 6839  df-ov 6881  df-oprab 6882  df-mpt2 6883  df-er 7982  df-en 8196  df-dom 8197  df-sdom 8198  df-sup 8590  df-inf 8591  df-pnf 10365  df-mnf 10366  df-xr 10367  df-ltxr 10368  df-le 10369  df-sub 10558  df-neg 10559
This theorem is referenced by:  infxrre  12415  infxrmnf  12416  infxrss  12418  ixxlb  12446  limsupval2  14552  imasdsf1olem  22506  ovollb  23587  ovolsslem  23592  infleinflem1  40330  infxrlbrnmpt2  40380  infleinf2  40384  infxrlesupxr  40406  inficc  40505  ressiooinf  40528  liminfgord  40730  cnrefiisplem  40799  ioorrnopnlem  41267  ovnlecvr  41518  ovn0lem  41525  ovnhoilem1  41561  ovnlecvr2  41570
  Copyright terms: Public domain W3C validator