Theorem infxrlb 13050

Description: A member of a set of extended reals is greater than or equal to the set's infimum. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Mar-2014.) (Revised by AV, 5-Sep-2020.)

Assertion

Ref	Expression
infxrlb	⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → inf(𝐴, ℝ*, < ) ≤ 𝐵)

Proof of Theorem infxrlb

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		infxrcl 13049	. . 3 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ* → inf(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
2	1	adantr 480	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → inf(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
3		ssel2 3920	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ*)
4		xrltso 12857	. . . . 5 ⊢ < Or ℝ*
5	4	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ* → < Or ℝ*)
6		xrinfmss 13026	. . . 4 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ* → ∃𝑥 ∈ ℝ* (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑦 < 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑧 < 𝑦)))
7	5, 6	inflb 9209	. . 3 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ* → (𝐵 ∈ 𝐴 → ¬ 𝐵 < inf(𝐴, ℝ*, < )))
8	7	imp 406	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → ¬ 𝐵 < inf(𝐴, ℝ*, < ))
9	2, 3, 8	xrnltled 11027	1 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → inf(𝐴, ℝ*, < ) ≤ 𝐵)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2109   ⊆ wss 3891   class class class wbr 5078   Or wor 5501  infcinf 9161  ℝ^*cxr 10992   < clt 10993   ≤ cle 10994

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1801  ax-4 1815  ax-5 1916  ax-6 1974  ax-7 2014  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2140  ax-11 2157  ax-12 2174  ax-ext 2710  ax-sep 5226  ax-nul 5233  ax-pow 5291  ax-pr 5355  ax-un 7579  ax-cnex 10911  ax-resscn 10912  ax-1cn 10913  ax-icn 10914  ax-addcl 10915  ax-addrcl 10916  ax-mulcl 10917  ax-mulrcl 10918  ax-mulcom 10919  ax-addass 10920  ax-mulass 10921  ax-distr 10922  ax-i2m1 10923  ax-1ne0 10924  ax-1rid 10925  ax-rnegex 10926  ax-rrecex 10927  ax-cnre 10928  ax-pre-lttri 10929  ax-pre-lttrn 10930  ax-pre-ltadd 10931  ax-pre-mulgt0 10932  ax-pre-sup 10933

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1786  df-nf 1790  df-sb 2071  df-mo 2541  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2731  df-clel 2817  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3070  df-rex 3071  df-reu 3072  df-rmo 3073  df-rab 3074  df-v 3432  df-sbc 3720  df-csb 3837  df-dif 3894  df-un 3896  df-in 3898  df-ss 3908  df-nul 4262  df-if 4465  df-pw 4540  df-sn 4567  df-pr 4569  df-op 4573  df-uni 4845  df-br 5079  df-opab 5141  df-mpt 5162  df-id 5488  df-po 5502  df-so 5503  df-xp 5594  df-rel 5595  df-cnv 5596  df-co 5597  df-dm 5598  df-rn 5599  df-res 5600  df-ima 5601  df-iota 6388  df-fun 6432  df-fn 6433  df-f 6434  df-f1 6435  df-fo 6436  df-f1o 6437  df-fv 6438  df-riota 7225  df-ov 7271  df-oprab 7272  df-mpo 7273  df-er 8472  df-en 8708  df-dom 8709  df-sdom 8710  df-sup 9162  df-inf 9163  df-pnf 10995  df-mnf 10996  df-xr 10997  df-ltxr 10998  df-le 10999  df-sub 11190  df-neg 11191

This theorem is referenced by:  infxrre  13052  infxrmnf  13053  infxrss  13055  ixxlb  13083  limsupval2  15170  imasdsf1olem  23507  ovollb  24624  ovolsslem  24629  infleinflem1  42863  infxrlbrnmpt2  42904  infleinf2  42908  infxrlesupxr  42930  inficc  43026  ressiooinf  43049  liminfgord  43249  cnrefiisplem  43324  ioorrnopnlem  43799  ovnlecvr  44050  ovn0lem  44057  ovnhoilem1  44093  ovnlecvr2  44102