Theorem liminflbuz2 46825

Description: A sequence with values in the extended reals, and with liminf that is not -∞, is eventually greater than -∞. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Apr-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
liminflbuz2.1	⊢ Ⅎ𝑗𝜑
liminflbuz2.2	⊢ Ⅎ𝑗𝐹
liminflbuz2.3	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
liminflbuz2.4	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
liminflbuz2.5	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶ℝ*)
liminflbuz2.6	⊢ (𝜑 → (lim inf‘𝐹) ≠ -∞)

Assertion

Ref	Expression
liminflbuz2	⊢ (𝜑 → ∃𝑘 ∈ 𝑍 ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)-∞ < (𝐹‘𝑗))

Distinct variable groups:   𝑘,𝐹   𝑗,𝑀,𝑘   𝑗,𝑍,𝑘   𝜑,𝑘

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑗)   𝐹(𝑗)

Proof of Theorem liminflbuz2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		liminflbuz2.1	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑗𝜑
2		nfv 1946	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑗 𝑘 ∈ 𝑍
3	1, 2	nfan 1931	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑗(𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍)
4		simpll 779	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)) → 𝜑)
5		liminflbuz2.4	. . . . . . 7 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
6	5	uztrn2 12984	. . . . . 6 ⊢ ((𝑘 ∈ 𝑍 ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)) → 𝑗 ∈ 𝑍)
7	6	adantll 727	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)) → 𝑗 ∈ 𝑍)
8		liminflbuz2.5	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶ℝ*)
9	8	ffvelcdmda 7084	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑗) ∈ ℝ*)
10	9	adantr 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ ¬ -∞ < (𝐹‘𝑗)) → (𝐹‘𝑗) ∈ ℝ*)
11		mnfxr 11366	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ -∞ ∈ ℝ*
12	11	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ ¬ -∞ < (𝐹‘𝑗)) → -∞ ∈ ℝ*)
13		simpr 490	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ ¬ -∞ < (𝐹‘𝑗)) → ¬ -∞ < (𝐹‘𝑗))
14	10, 12, 13	xrnltled 11378	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ ¬ -∞ < (𝐹‘𝑗)) → (𝐹‘𝑗) ≤ -∞)
15		xlemnf 13297	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐹‘𝑗) ∈ ℝ* → ((𝐹‘𝑗) ≤ -∞ ↔ (𝐹‘𝑗) = -∞))
16	10, 15	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ ¬ -∞ < (𝐹‘𝑗)) → ((𝐹‘𝑗) ≤ -∞ ↔ (𝐹‘𝑗) = -∞))
17	14, 16	mpbid 235	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ ¬ -∞ < (𝐹‘𝑗)) → (𝐹‘𝑗) = -∞)
18		xnegeq 13337	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹‘𝑗) = -∞ → -e(𝐹‘𝑗) = -e-∞)
19		xnegmnf 13340	. . . . . . . . . 10 ⊢ -e-∞ = +∞
20	18, 19	eqtrdi 2811	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹‘𝑗) = -∞ → -e(𝐹‘𝑗) = +∞)
21	17, 20	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ ¬ -∞ < (𝐹‘𝑗)) → -e(𝐹‘𝑗) = +∞)
22	21	adantlr 728	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ -e(𝐹‘𝑗) ≠ +∞) ∧ ¬ -∞ < (𝐹‘𝑗)) → -e(𝐹‘𝑗) = +∞)
23		neneq 2961	. . . . . . . 8 ⊢ ( -e(𝐹‘𝑗) ≠ +∞ → ¬ -e(𝐹‘𝑗) = +∞)
24	23	ad2antlr 740	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ -e(𝐹‘𝑗) ≠ +∞) ∧ ¬ -∞ < (𝐹‘𝑗)) → ¬ -e(𝐹‘𝑗) = +∞)
25	22, 24	condan 830	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ -e(𝐹‘𝑗) ≠ +∞) → -∞ < (𝐹‘𝑗))
26	25	ex 418	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → ( -e(𝐹‘𝑗) ≠ +∞ → -∞ < (𝐹‘𝑗)))
27	4, 7, 26	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)) → ( -e(𝐹‘𝑗) ≠ +∞ → -∞ < (𝐹‘𝑗)))
28	3, 27	ralimdaa 3263	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘) -e(𝐹‘𝑗) ≠ +∞ → ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)-∞ < (𝐹‘𝑗)))
29	28	imp 412	. 2 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘) -e(𝐹‘𝑗) ≠ +∞) → ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)-∞ < (𝐹‘𝑗))
30	9	xnegcld 13430	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → -e(𝐹‘𝑗) ∈ ℝ*)
31	30	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ ((𝑗 ∈ 𝑍 ↦ -e(𝐹‘𝑗))‘𝑗) < +∞) → -e(𝐹‘𝑗) ∈ ℝ*)
32		pnfxr 11363	. . . . . . . . 9 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
33	32	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ ((𝑗 ∈ 𝑍 ↦ -e(𝐹‘𝑗))‘𝑗) < +∞) → +∞ ∈ ℝ*)
34		eqidd 2761	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑗 ∈ 𝑍 ↦ -e(𝐹‘𝑗)) = (𝑗 ∈ 𝑍 ↦ -e(𝐹‘𝑗)))
35	34, 30	fvmpt2d 7007	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → ((𝑗 ∈ 𝑍 ↦ -e(𝐹‘𝑗))‘𝑗) = -e(𝐹‘𝑗))
36	35	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ ((𝑗 ∈ 𝑍 ↦ -e(𝐹‘𝑗))‘𝑗) < +∞) → ((𝑗 ∈ 𝑍 ↦ -e(𝐹‘𝑗))‘𝑗) = -e(𝐹‘𝑗))
37		simpr 490	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ ((𝑗 ∈ 𝑍 ↦ -e(𝐹‘𝑗))‘𝑗) < +∞) → ((𝑗 ∈ 𝑍 ↦ -e(𝐹‘𝑗))‘𝑗) < +∞)
38	36, 37	eqbrtrrd 5128	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ ((𝑗 ∈ 𝑍 ↦ -e(𝐹‘𝑗))‘𝑗) < +∞) → -e(𝐹‘𝑗) < +∞)
39	31, 33, 38	xrltned 46369	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ ((𝑗 ∈ 𝑍 ↦ -e(𝐹‘𝑗))‘𝑗) < +∞) → -e(𝐹‘𝑗) ≠ +∞)
40	39	ex 418	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → (((𝑗 ∈ 𝑍 ↦ -e(𝐹‘𝑗))‘𝑗) < +∞ → -e(𝐹‘𝑗) ≠ +∞))
41	4, 7, 40	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)) → (((𝑗 ∈ 𝑍 ↦ -e(𝐹‘𝑗))‘𝑗) < +∞ → -e(𝐹‘𝑗) ≠ +∞))
42	3, 41	ralimdaa 3263	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)((𝑗 ∈ 𝑍 ↦ -e(𝐹‘𝑗))‘𝑗) < +∞ → ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘) -e(𝐹‘𝑗) ≠ +∞))
43	42	imp 412	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)((𝑗 ∈ 𝑍 ↦ -e(𝐹‘𝑗))‘𝑗) < +∞) → ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘) -e(𝐹‘𝑗) ≠ +∞)
44		nfmpt1 5203	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑗(𝑗 ∈ 𝑍 ↦ -e(𝐹‘𝑗))
45		liminflbuz2.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
46	1, 30	fmptd2f 46247	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑗 ∈ 𝑍 ↦ -e(𝐹‘𝑗)):𝑍⟶ℝ*)
47	5	fvexi 6899	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑍 ∈ V
48	47	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ V)
49	8, 48	fexd 7233	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ V)
50	49	liminfcld 46780	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (lim inf‘𝐹) ∈ ℝ*)
51	50	xnegnegd 46452	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → -e -e(lim inf‘𝐹) = (lim inf‘𝐹))
52		liminflbuz2.2	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑗𝐹
53	1, 52, 45, 5, 8	liminfvaluz3 46806	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (lim inf‘𝐹) = -e(lim sup‘(𝑗 ∈ 𝑍 ↦ -e(𝐹‘𝑗))))
54	51, 53	eqtr2d 2796	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → -e(lim sup‘(𝑗 ∈ 𝑍 ↦ -e(𝐹‘𝑗))) = -e -e(lim inf‘𝐹))
55	48	mptexd 7230	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑗 ∈ 𝑍 ↦ -e(𝐹‘𝑗)) ∈ V)
56	55	limsupcld 46700	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (lim sup‘(𝑗 ∈ 𝑍 ↦ -e(𝐹‘𝑗))) ∈ ℝ*)
57	50	xnegcld 13430	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → -e(lim inf‘𝐹) ∈ ℝ*)
58		xneg11 13345	. . . . . . 7 ⊢ (((lim sup‘(𝑗 ∈ 𝑍 ↦ -e(𝐹‘𝑗))) ∈ ℝ* ∧ -e(lim inf‘𝐹) ∈ ℝ*) → ( -e(lim sup‘(𝑗 ∈ 𝑍 ↦ -e(𝐹‘𝑗))) = -e -e(lim inf‘𝐹) ↔ (lim sup‘(𝑗 ∈ 𝑍 ↦ -e(𝐹‘𝑗))) = -e(lim inf‘𝐹)))
59	56, 57, 58	syl2anc 596	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ( -e(lim sup‘(𝑗 ∈ 𝑍 ↦ -e(𝐹‘𝑗))) = -e -e(lim inf‘𝐹) ↔ (lim sup‘(𝑗 ∈ 𝑍 ↦ -e(𝐹‘𝑗))) = -e(lim inf‘𝐹)))
60	54, 59	mpbid 235	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (lim sup‘(𝑗 ∈ 𝑍 ↦ -e(𝐹‘𝑗))) = -e(lim inf‘𝐹))
61		nne 2959	. . . . . . 7 ⊢ (¬ -e(lim inf‘𝐹) ≠ +∞ ↔ -e(lim inf‘𝐹) = +∞)
62	51	eqcomd 2766	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (lim inf‘𝐹) = -e -e(lim inf‘𝐹))
63	62	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ -e(lim inf‘𝐹) = +∞) → (lim inf‘𝐹) = -e -e(lim inf‘𝐹))
64		xnegeq 13337	. . . . . . . . 9 ⊢ ( -e(lim inf‘𝐹) = +∞ → -e -e(lim inf‘𝐹) = -e+∞)
65	64	adantl 487	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ -e(lim inf‘𝐹) = +∞) → -e -e(lim inf‘𝐹) = -e+∞)
66		xnegpnf 13339	. . . . . . . . 9 ⊢ -e+∞ = -∞
67	66	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ -e(lim inf‘𝐹) = +∞) → -e+∞ = -∞)
68	63, 65, 67	3eqtrd 2799	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ -e(lim inf‘𝐹) = +∞) → (lim inf‘𝐹) = -∞)
69	61, 68	sylan2b 606	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ -e(lim inf‘𝐹) ≠ +∞) → (lim inf‘𝐹) = -∞)
70		liminflbuz2.6	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (lim inf‘𝐹) ≠ -∞)
71	70	neneqd 2960	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ¬ (lim inf‘𝐹) = -∞)
72	71	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ -e(lim inf‘𝐹) ≠ +∞) → ¬ (lim inf‘𝐹) = -∞)
73	69, 72	condan 830	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → -e(lim inf‘𝐹) ≠ +∞)
74	60, 73	eqnetrd 3022	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (lim sup‘(𝑗 ∈ 𝑍 ↦ -e(𝐹‘𝑗))) ≠ +∞)
75	1, 44, 45, 5, 46, 74	limsupubuz2 46823	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑘 ∈ 𝑍 ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)((𝑗 ∈ 𝑍 ↦ -e(𝐹‘𝑗))‘𝑗) < +∞)
76	43, 75	reximddv3 3179	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑘 ∈ 𝑍 ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘) -e(𝐹‘𝑗) ≠ +∞)
77	29, 76	reximddv3 3179	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑘 ∈ 𝑍 ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)-∞ < (𝐹‘𝑗))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1569  Ⅎwnf 1815   ∈ wcel 2144  Ⅎwnfc 2907   ≠ wne 2955  ∀wral 3076  ∃wrex 3086  Vcvv 3450   class class class wbr 5102   ↦ cmpt 5185  ⟶wf 6534  ‘cfv 6538  +∞cpnf 11340  -∞cmnf 11341  ℝ^*cxr 11342   < clt 11343   ≤ cle 11344  ℤcz 12693  ℤ_≥cuz 12965   -_ecxne 13238  lim supclsp 15637  lim infclsi 46761

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277  ax-pre-sup 11278

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-isom 6547  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-er 8717  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-sup 9434  df-inf 9435  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-div 11974  df-nn 12336  df-n0 12607  df-z 12694  df-uz 12966  df-q 13076  df-xneg 13241  df-ico 13482  df-fl 13932  df-limsup 15638  df-liminf 46762

This theorem is used by:  liminflimsupxrre  46827