Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  liminflbuz2 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem liminflbuz2 44517
Description: A sequence with values in the extended reals, and with liminf that is not -∞, is eventually greater than -∞. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Apr-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
liminflbuz2.1 β„²π‘—πœ‘
liminflbuz2.2 Ⅎ𝑗𝐹
liminflbuz2.3 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
liminflbuz2.4 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
liminflbuz2.5 (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘βŸΆβ„*)
liminflbuz2.6 (πœ‘ β†’ (lim infβ€˜πΉ) β‰  -∞)
Assertion
Ref Expression
liminflbuz2 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ 𝑍 βˆ€π‘— ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)-∞ < (πΉβ€˜π‘—))
Distinct variable groups:   π‘˜,𝐹   𝑗,𝑀,π‘˜   𝑗,𝑍,π‘˜   πœ‘,π‘˜
Allowed substitution hints:   πœ‘(𝑗)   𝐹(𝑗)
Proof of Theorem liminflbuz2
StepHypRef Expression
1 liminflbuz2.1 . . . . 5 β„²π‘—πœ‘
2 nfv 1917 . . . . 5 Ⅎ𝑗 π‘˜ ∈ 𝑍
31, 2nfan 1902 . . . 4 Ⅎ𝑗(πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍)
4 simpll 765 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) ∧ 𝑗 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)) β†’ πœ‘)
5 liminflbuz2.4 . . . . . . 7 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
65uztrn2 12837 . . . . . 6 ((π‘˜ ∈ 𝑍 ∧ 𝑗 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)) β†’ 𝑗 ∈ 𝑍)
76adantll 712 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) ∧ 𝑗 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)) β†’ 𝑗 ∈ 𝑍)
8 liminflbuz2.5 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘βŸΆβ„*)
98ffvelcdmda 7083 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) β†’ (πΉβ€˜π‘—) ∈ ℝ*)
109adantr 481 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ Β¬ -∞ < (πΉβ€˜π‘—)) β†’ (πΉβ€˜π‘—) ∈ ℝ*)
11 mnfxr 11267 . . . . . . . . . . . 12 -∞ ∈ ℝ*
1211a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ Β¬ -∞ < (πΉβ€˜π‘—)) β†’ -∞ ∈ ℝ*)
13 simpr 485 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ Β¬ -∞ < (πΉβ€˜π‘—)) β†’ Β¬ -∞ < (πΉβ€˜π‘—))
1410, 12, 13xrnltled 11278 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ Β¬ -∞ < (πΉβ€˜π‘—)) β†’ (πΉβ€˜π‘—) ≀ -∞)
15 xlemnf 13142 . . . . . . . . . . 11 ((πΉβ€˜π‘—) ∈ ℝ* β†’ ((πΉβ€˜π‘—) ≀ -∞ ↔ (πΉβ€˜π‘—) = -∞))
1610, 15syl 17 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ Β¬ -∞ < (πΉβ€˜π‘—)) β†’ ((πΉβ€˜π‘—) ≀ -∞ ↔ (πΉβ€˜π‘—) = -∞))
1714, 16mpbid 231 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ Β¬ -∞ < (πΉβ€˜π‘—)) β†’ (πΉβ€˜π‘—) = -∞)
18 xnegeq 13182 . . . . . . . . . 10 ((πΉβ€˜π‘—) = -∞ β†’ -𝑒(πΉβ€˜π‘—) = -𝑒-∞)
19 xnegmnf 13185 . . . . . . . . . 10 -𝑒-∞ = +∞
2018, 19eqtrdi 2788 . . . . . . . . 9 ((πΉβ€˜π‘—) = -∞ β†’ -𝑒(πΉβ€˜π‘—) = +∞)
2117, 20syl 17 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ Β¬ -∞ < (πΉβ€˜π‘—)) β†’ -𝑒(πΉβ€˜π‘—) = +∞)
2221adantlr 713 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ -𝑒(πΉβ€˜π‘—) β‰  +∞) ∧ Β¬ -∞ < (πΉβ€˜π‘—)) β†’ -𝑒(πΉβ€˜π‘—) = +∞)
23 neneq 2946 . . . . . . . 8 (-𝑒(πΉβ€˜π‘—) β‰  +∞ β†’ Β¬ -𝑒(πΉβ€˜π‘—) = +∞)
2423ad2antlr 725 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ -𝑒(πΉβ€˜π‘—) β‰  +∞) ∧ Β¬ -∞ < (πΉβ€˜π‘—)) β†’ Β¬ -𝑒(πΉβ€˜π‘—) = +∞)
2522, 24condan 816 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ -𝑒(πΉβ€˜π‘—) β‰  +∞) β†’ -∞ < (πΉβ€˜π‘—))
2625ex 413 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) β†’ (-𝑒(πΉβ€˜π‘—) β‰  +∞ β†’ -∞ < (πΉβ€˜π‘—)))
274, 7, 26syl2anc 584 . . . 4 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) ∧ 𝑗 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)) β†’ (-𝑒(πΉβ€˜π‘—) β‰  +∞ β†’ -∞ < (πΉβ€˜π‘—)))
283, 27ralimdaa 3257 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ (βˆ€π‘— ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)-𝑒(πΉβ€˜π‘—) β‰  +∞ β†’ βˆ€π‘— ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)-∞ < (πΉβ€˜π‘—)))
2928imp 407 . 2 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) ∧ βˆ€π‘— ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)-𝑒(πΉβ€˜π‘—) β‰  +∞) β†’ βˆ€π‘— ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)-∞ < (πΉβ€˜π‘—))
309xnegcld 13275 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) β†’ -𝑒(πΉβ€˜π‘—) ∈ ℝ*)
3130adantr 481 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ ((𝑗 ∈ 𝑍 ↦ -𝑒(πΉβ€˜π‘—))β€˜π‘—) < +∞) β†’ -𝑒(πΉβ€˜π‘—) ∈ ℝ*)
32 pnfxr 11264 . . . . . . . . 9 +∞ ∈ ℝ*
3332a1i 11 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ ((𝑗 ∈ 𝑍 ↦ -𝑒(πΉβ€˜π‘—))β€˜π‘—) < +∞) β†’ +∞ ∈ ℝ*)
34 eqidd 2733 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (𝑗 ∈ 𝑍 ↦ -𝑒(πΉβ€˜π‘—)) = (𝑗 ∈ 𝑍 ↦ -𝑒(πΉβ€˜π‘—)))
3534, 30fvmpt2d 7008 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) β†’ ((𝑗 ∈ 𝑍 ↦ -𝑒(πΉβ€˜π‘—))β€˜π‘—) = -𝑒(πΉβ€˜π‘—))
3635adantr 481 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ ((𝑗 ∈ 𝑍 ↦ -𝑒(πΉβ€˜π‘—))β€˜π‘—) < +∞) β†’ ((𝑗 ∈ 𝑍 ↦ -𝑒(πΉβ€˜π‘—))β€˜π‘—) = -𝑒(πΉβ€˜π‘—))
37 simpr 485 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ ((𝑗 ∈ 𝑍 ↦ -𝑒(πΉβ€˜π‘—))β€˜π‘—) < +∞) β†’ ((𝑗 ∈ 𝑍 ↦ -𝑒(πΉβ€˜π‘—))β€˜π‘—) < +∞)
3836, 37eqbrtrrd 5171 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ ((𝑗 ∈ 𝑍 ↦ -𝑒(πΉβ€˜π‘—))β€˜π‘—) < +∞) β†’ -𝑒(πΉβ€˜π‘—) < +∞)
3931, 33, 38xrltned 44053 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ ((𝑗 ∈ 𝑍 ↦ -𝑒(πΉβ€˜π‘—))β€˜π‘—) < +∞) β†’ -𝑒(πΉβ€˜π‘—) β‰  +∞)
4039ex 413 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) β†’ (((𝑗 ∈ 𝑍 ↦ -𝑒(πΉβ€˜π‘—))β€˜π‘—) < +∞ β†’ -𝑒(πΉβ€˜π‘—) β‰  +∞))
414, 7, 40syl2anc 584 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) ∧ 𝑗 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)) β†’ (((𝑗 ∈ 𝑍 ↦ -𝑒(πΉβ€˜π‘—))β€˜π‘—) < +∞ β†’ -𝑒(πΉβ€˜π‘—) β‰  +∞))
423, 41ralimdaa 3257 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ (βˆ€π‘— ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)((𝑗 ∈ 𝑍 ↦ -𝑒(πΉβ€˜π‘—))β€˜π‘—) < +∞ β†’ βˆ€π‘— ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)-𝑒(πΉβ€˜π‘—) β‰  +∞))
4342imp 407 . . 3 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) ∧ βˆ€π‘— ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)((𝑗 ∈ 𝑍 ↦ -𝑒(πΉβ€˜π‘—))β€˜π‘—) < +∞) β†’ βˆ€π‘— ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)-𝑒(πΉβ€˜π‘—) β‰  +∞)
44 nfmpt1 5255 . . . 4 Ⅎ𝑗(𝑗 ∈ 𝑍 ↦ -𝑒(πΉβ€˜π‘—))
45 liminflbuz2.3 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
461, 30fmptd2f 43922 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑗 ∈ 𝑍 ↦ -𝑒(πΉβ€˜π‘—)):π‘βŸΆβ„*)
475fvexi 6902 . . . . . . . . . . 11 𝑍 ∈ V
4847a1i 11 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝑍 ∈ V)
498, 48fexd 7225 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ V)
5049liminfcld 44472 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (lim infβ€˜πΉ) ∈ ℝ*)
5150xnegnegd 44138 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ -𝑒-𝑒(lim infβ€˜πΉ) = (lim infβ€˜πΉ))
52 liminflbuz2.2 . . . . . . . 8 Ⅎ𝑗𝐹
531, 52, 45, 5, 8liminfvaluz3 44498 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (lim infβ€˜πΉ) = -𝑒(lim supβ€˜(𝑗 ∈ 𝑍 ↦ -𝑒(πΉβ€˜π‘—))))
5451, 53eqtr2d 2773 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ -𝑒(lim supβ€˜(𝑗 ∈ 𝑍 ↦ -𝑒(πΉβ€˜π‘—))) = -𝑒-𝑒(lim infβ€˜πΉ))
5548mptexd 7222 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝑗 ∈ 𝑍 ↦ -𝑒(πΉβ€˜π‘—)) ∈ V)
5655limsupcld 44392 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (lim supβ€˜(𝑗 ∈ 𝑍 ↦ -𝑒(πΉβ€˜π‘—))) ∈ ℝ*)
5750xnegcld 13275 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ -𝑒(lim infβ€˜πΉ) ∈ ℝ*)
58 xneg11 13190 . . . . . . 7 (((lim supβ€˜(𝑗 ∈ 𝑍 ↦ -𝑒(πΉβ€˜π‘—))) ∈ ℝ* ∧ -𝑒(lim infβ€˜πΉ) ∈ ℝ*) β†’ (-𝑒(lim supβ€˜(𝑗 ∈ 𝑍 ↦ -𝑒(πΉβ€˜π‘—))) = -𝑒-𝑒(lim infβ€˜πΉ) ↔ (lim supβ€˜(𝑗 ∈ 𝑍 ↦ -𝑒(πΉβ€˜π‘—))) = -𝑒(lim infβ€˜πΉ)))
5956, 57, 58syl2anc 584 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (-𝑒(lim supβ€˜(𝑗 ∈ 𝑍 ↦ -𝑒(πΉβ€˜π‘—))) = -𝑒-𝑒(lim infβ€˜πΉ) ↔ (lim supβ€˜(𝑗 ∈ 𝑍 ↦ -𝑒(πΉβ€˜π‘—))) = -𝑒(lim infβ€˜πΉ)))
6054, 59mpbid 231 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (lim supβ€˜(𝑗 ∈ 𝑍 ↦ -𝑒(πΉβ€˜π‘—))) = -𝑒(lim infβ€˜πΉ))
61 nne 2944 . . . . . . 7 (Β¬ -𝑒(lim infβ€˜πΉ) β‰  +∞ ↔ -𝑒(lim infβ€˜πΉ) = +∞)
6251eqcomd 2738 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (lim infβ€˜πΉ) = -𝑒-𝑒(lim infβ€˜πΉ))
6362adantr 481 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ -𝑒(lim infβ€˜πΉ) = +∞) β†’ (lim infβ€˜πΉ) = -𝑒-𝑒(lim infβ€˜πΉ))
64 xnegeq 13182 . . . . . . . . 9 (-𝑒(lim infβ€˜πΉ) = +∞ β†’ -𝑒-𝑒(lim infβ€˜πΉ) = -𝑒+∞)
6564adantl 482 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ -𝑒(lim infβ€˜πΉ) = +∞) β†’ -𝑒-𝑒(lim infβ€˜πΉ) = -𝑒+∞)
66 xnegpnf 13184 . . . . . . . . 9 -𝑒+∞ = -∞
6766a1i 11 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ -𝑒(lim infβ€˜πΉ) = +∞) β†’ -𝑒+∞ = -∞)
6863, 65, 673eqtrd 2776 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ -𝑒(lim infβ€˜πΉ) = +∞) β†’ (lim infβ€˜πΉ) = -∞)
6961, 68sylan2b 594 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ Β¬ -𝑒(lim infβ€˜πΉ) β‰  +∞) β†’ (lim infβ€˜πΉ) = -∞)
70 liminflbuz2.6 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (lim infβ€˜πΉ) β‰  -∞)
7170neneqd 2945 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ Β¬ (lim infβ€˜πΉ) = -∞)
7271adantr 481 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ Β¬ -𝑒(lim infβ€˜πΉ) β‰  +∞) β†’ Β¬ (lim infβ€˜πΉ) = -∞)
7369, 72condan 816 . . . . 5 (πœ‘ β†’ -𝑒(lim infβ€˜πΉ) β‰  +∞)
7460, 73eqnetrd 3008 . . . 4 (πœ‘ β†’ (lim supβ€˜(𝑗 ∈ 𝑍 ↦ -𝑒(πΉβ€˜π‘—))) β‰  +∞)
751, 44, 45, 5, 46, 74limsupubuz2 44515 . . 3 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ 𝑍 βˆ€π‘— ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)((𝑗 ∈ 𝑍 ↦ -𝑒(πΉβ€˜π‘—))β€˜π‘—) < +∞)
7643, 75reximddv3 43825 . 2 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ 𝑍 βˆ€π‘— ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)-𝑒(πΉβ€˜π‘—) β‰  +∞)
7729, 76reximddv3 43825 1 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ 𝑍 βˆ€π‘— ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)-∞ < (πΉβ€˜π‘—))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541  β„²wnf 1785   ∈ wcel 2106  β„²wnfc 2883   β‰  wne 2940  βˆ€wral 3061  βˆƒwrex 3070  Vcvv 3474   class class class wbr 5147   ↦ cmpt 5230  βŸΆwf 6536  β€˜cfv 6540  +∞cpnf 11241  -∞cmnf 11242  β„*cxr 11243   < clt 11244   ≀ cle 11245  β„€cz 12554  β„€β‰₯cuz 12818  -𝑒cxne 13085  lim supclsp 15410  lim infclsi 44453
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-sup 9433  df-inf 9434  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-n0 12469  df-z 12555  df-uz 12819  df-q 12929  df-xneg 13088  df-ico 13326  df-fl 13753  df-limsup 15411  df-liminf 44454
This theorem is referenced by:  liminflimsupxrre  44519
  Copyright terms: Public domain W3C validator