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Theorem liminflbuz2 41562
Description: A sequence with values in the extended reals, and with liminf that is not -∞, is eventually greater than -∞. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Apr-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
liminflbuz2.1 𝑗𝜑
liminflbuz2.2 𝑗𝐹
liminflbuz2.3 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
liminflbuz2.4 𝑍 = (ℤ𝑀)
liminflbuz2.5 (𝜑𝐹:𝑍⟶ℝ*)
liminflbuz2.6 (𝜑 → (lim inf‘𝐹) ≠ -∞)
Assertion
Ref Expression
liminflbuz2 (𝜑 → ∃𝑘𝑍𝑗 ∈ (ℤ𝑘)-∞ < (𝐹𝑗))
Distinct variable groups:   𝑘,𝐹   𝑗,𝑀,𝑘   𝑗,𝑍,𝑘   𝜑,𝑘
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑗)   𝐹(𝑗)

Proof of Theorem liminflbuz2
StepHypRef Expression
1 liminflbuz2.1 . . . . 5 𝑗𝜑
2 nfv 1874 . . . . 5 𝑗 𝑘𝑍
31, 2nfan 1863 . . . 4 𝑗(𝜑𝑘𝑍)
4 simpll 755 . . . . 5 (((𝜑𝑘𝑍) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ𝑘)) → 𝜑)
5 liminflbuz2.4 . . . . . . 7 𝑍 = (ℤ𝑀)
65uztrn2 12082 . . . . . 6 ((𝑘𝑍𝑗 ∈ (ℤ𝑘)) → 𝑗𝑍)
76adantll 702 . . . . 5 (((𝜑𝑘𝑍) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ𝑘)) → 𝑗𝑍)
8 liminflbuz2.5 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐹:𝑍⟶ℝ*)
98ffvelrnda 6682 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑗𝑍) → (𝐹𝑗) ∈ ℝ*)
109adantr 473 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ ¬ -∞ < (𝐹𝑗)) → (𝐹𝑗) ∈ ℝ*)
11 mnfxr 10504 . . . . . . . . . . . 12 -∞ ∈ ℝ*
1211a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ ¬ -∞ < (𝐹𝑗)) → -∞ ∈ ℝ*)
13 simpr 477 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ ¬ -∞ < (𝐹𝑗)) → ¬ -∞ < (𝐹𝑗))
1410, 12, 13xrnltled 10515 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ ¬ -∞ < (𝐹𝑗)) → (𝐹𝑗) ≤ -∞)
15 xlemnf 12383 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹𝑗) ∈ ℝ* → ((𝐹𝑗) ≤ -∞ ↔ (𝐹𝑗) = -∞))
1610, 15syl 17 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ ¬ -∞ < (𝐹𝑗)) → ((𝐹𝑗) ≤ -∞ ↔ (𝐹𝑗) = -∞))
1714, 16mpbid 224 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ ¬ -∞ < (𝐹𝑗)) → (𝐹𝑗) = -∞)
18 xnegeq 12423 . . . . . . . . . 10 ((𝐹𝑗) = -∞ → -𝑒(𝐹𝑗) = -𝑒-∞)
19 xnegmnf 12426 . . . . . . . . . 10 -𝑒-∞ = +∞
2018, 19syl6eq 2832 . . . . . . . . 9 ((𝐹𝑗) = -∞ → -𝑒(𝐹𝑗) = +∞)
2117, 20syl 17 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ ¬ -∞ < (𝐹𝑗)) → -𝑒(𝐹𝑗) = +∞)
2221adantlr 703 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑗𝑍) ∧ -𝑒(𝐹𝑗) ≠ +∞) ∧ ¬ -∞ < (𝐹𝑗)) → -𝑒(𝐹𝑗) = +∞)
23 neneq 2975 . . . . . . . 8 (-𝑒(𝐹𝑗) ≠ +∞ → ¬ -𝑒(𝐹𝑗) = +∞)
2423ad2antlr 715 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑗𝑍) ∧ -𝑒(𝐹𝑗) ≠ +∞) ∧ ¬ -∞ < (𝐹𝑗)) → ¬ -𝑒(𝐹𝑗) = +∞)
2522, 24condan 806 . . . . . 6 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ -𝑒(𝐹𝑗) ≠ +∞) → -∞ < (𝐹𝑗))
2625ex 405 . . . . 5 ((𝜑𝑗𝑍) → (-𝑒(𝐹𝑗) ≠ +∞ → -∞ < (𝐹𝑗)))
274, 7, 26syl2anc 576 . . . 4 (((𝜑𝑘𝑍) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ𝑘)) → (-𝑒(𝐹𝑗) ≠ +∞ → -∞ < (𝐹𝑗)))
283, 27ralimdaa 3169 . . 3 ((𝜑𝑘𝑍) → (∀𝑗 ∈ (ℤ𝑘)-𝑒(𝐹𝑗) ≠ +∞ → ∀𝑗 ∈ (ℤ𝑘)-∞ < (𝐹𝑗)))
2928imp 398 . 2 (((𝜑𝑘𝑍) ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ𝑘)-𝑒(𝐹𝑗) ≠ +∞) → ∀𝑗 ∈ (ℤ𝑘)-∞ < (𝐹𝑗))
309xnegcld 12515 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑗𝑍) → -𝑒(𝐹𝑗) ∈ ℝ*)
3130adantr 473 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ ((𝑗𝑍 ↦ -𝑒(𝐹𝑗))‘𝑗) < +∞) → -𝑒(𝐹𝑗) ∈ ℝ*)
32 pnfxr 10500 . . . . . . . . 9 +∞ ∈ ℝ*
3332a1i 11 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ ((𝑗𝑍 ↦ -𝑒(𝐹𝑗))‘𝑗) < +∞) → +∞ ∈ ℝ*)
34 eqidd 2781 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑗𝑍 ↦ -𝑒(𝐹𝑗)) = (𝑗𝑍 ↦ -𝑒(𝐹𝑗)))
3534, 30fvmpt2d 6613 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑗𝑍) → ((𝑗𝑍 ↦ -𝑒(𝐹𝑗))‘𝑗) = -𝑒(𝐹𝑗))
3635adantr 473 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ ((𝑗𝑍 ↦ -𝑒(𝐹𝑗))‘𝑗) < +∞) → ((𝑗𝑍 ↦ -𝑒(𝐹𝑗))‘𝑗) = -𝑒(𝐹𝑗))
37 simpr 477 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ ((𝑗𝑍 ↦ -𝑒(𝐹𝑗))‘𝑗) < +∞) → ((𝑗𝑍 ↦ -𝑒(𝐹𝑗))‘𝑗) < +∞)
3836, 37eqbrtrrd 4958 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ ((𝑗𝑍 ↦ -𝑒(𝐹𝑗))‘𝑗) < +∞) → -𝑒(𝐹𝑗) < +∞)
3931, 33, 38xrltned 41089 . . . . . . 7 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ ((𝑗𝑍 ↦ -𝑒(𝐹𝑗))‘𝑗) < +∞) → -𝑒(𝐹𝑗) ≠ +∞)
4039ex 405 . . . . . 6 ((𝜑𝑗𝑍) → (((𝑗𝑍 ↦ -𝑒(𝐹𝑗))‘𝑗) < +∞ → -𝑒(𝐹𝑗) ≠ +∞))
414, 7, 40syl2anc 576 . . . . 5 (((𝜑𝑘𝑍) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ𝑘)) → (((𝑗𝑍 ↦ -𝑒(𝐹𝑗))‘𝑗) < +∞ → -𝑒(𝐹𝑗) ≠ +∞))
423, 41ralimdaa 3169 . . . 4 ((𝜑𝑘𝑍) → (∀𝑗 ∈ (ℤ𝑘)((𝑗𝑍 ↦ -𝑒(𝐹𝑗))‘𝑗) < +∞ → ∀𝑗 ∈ (ℤ𝑘)-𝑒(𝐹𝑗) ≠ +∞))
4342imp 398 . . 3 (((𝜑𝑘𝑍) ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ𝑘)((𝑗𝑍 ↦ -𝑒(𝐹𝑗))‘𝑗) < +∞) → ∀𝑗 ∈ (ℤ𝑘)-𝑒(𝐹𝑗) ≠ +∞)
44 nfmpt1 5030 . . . 4 𝑗(𝑗𝑍 ↦ -𝑒(𝐹𝑗))
45 liminflbuz2.3 . . . 4 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
461, 30fmptd2f 40968 . . . 4 (𝜑 → (𝑗𝑍 ↦ -𝑒(𝐹𝑗)):𝑍⟶ℝ*)
475fvexi 6518 . . . . . . . . . . 11 𝑍 ∈ V
4847a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑍 ∈ V)
498, 48fexd 40840 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐹 ∈ V)
5049liminfcld 41517 . . . . . . . 8 (𝜑 → (lim inf‘𝐹) ∈ ℝ*)
5150xnegnegd 41182 . . . . . . 7 (𝜑 → -𝑒-𝑒(lim inf‘𝐹) = (lim inf‘𝐹))
52 liminflbuz2.2 . . . . . . . 8 𝑗𝐹
531, 52, 45, 5, 8liminfvaluz3 41543 . . . . . . 7 (𝜑 → (lim inf‘𝐹) = -𝑒(lim sup‘(𝑗𝑍 ↦ -𝑒(𝐹𝑗))))
5451, 53eqtr2d 2817 . . . . . 6 (𝜑 → -𝑒(lim sup‘(𝑗𝑍 ↦ -𝑒(𝐹𝑗))) = -𝑒-𝑒(lim inf‘𝐹))
5548mptexd 6819 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑗𝑍 ↦ -𝑒(𝐹𝑗)) ∈ V)
5655limsupcld 41437 . . . . . . 7 (𝜑 → (lim sup‘(𝑗𝑍 ↦ -𝑒(𝐹𝑗))) ∈ ℝ*)
5750xnegcld 12515 . . . . . . 7 (𝜑 → -𝑒(lim inf‘𝐹) ∈ ℝ*)
58 xneg11 12431 . . . . . . 7 (((lim sup‘(𝑗𝑍 ↦ -𝑒(𝐹𝑗))) ∈ ℝ* ∧ -𝑒(lim inf‘𝐹) ∈ ℝ*) → (-𝑒(lim sup‘(𝑗𝑍 ↦ -𝑒(𝐹𝑗))) = -𝑒-𝑒(lim inf‘𝐹) ↔ (lim sup‘(𝑗𝑍 ↦ -𝑒(𝐹𝑗))) = -𝑒(lim inf‘𝐹)))
5956, 57, 58syl2anc 576 . . . . . 6 (𝜑 → (-𝑒(lim sup‘(𝑗𝑍 ↦ -𝑒(𝐹𝑗))) = -𝑒-𝑒(lim inf‘𝐹) ↔ (lim sup‘(𝑗𝑍 ↦ -𝑒(𝐹𝑗))) = -𝑒(lim inf‘𝐹)))
6054, 59mpbid 224 . . . . 5 (𝜑 → (lim sup‘(𝑗𝑍 ↦ -𝑒(𝐹𝑗))) = -𝑒(lim inf‘𝐹))
61 nne 2973 . . . . . . 7 (¬ -𝑒(lim inf‘𝐹) ≠ +∞ ↔ -𝑒(lim inf‘𝐹) = +∞)
6251eqcomd 2786 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (lim inf‘𝐹) = -𝑒-𝑒(lim inf‘𝐹))
6362adantr 473 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ -𝑒(lim inf‘𝐹) = +∞) → (lim inf‘𝐹) = -𝑒-𝑒(lim inf‘𝐹))
64 xnegeq 12423 . . . . . . . . 9 (-𝑒(lim inf‘𝐹) = +∞ → -𝑒-𝑒(lim inf‘𝐹) = -𝑒+∞)
6564adantl 474 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ -𝑒(lim inf‘𝐹) = +∞) → -𝑒-𝑒(lim inf‘𝐹) = -𝑒+∞)
66 xnegpnf 12425 . . . . . . . . 9 -𝑒+∞ = -∞
6766a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ -𝑒(lim inf‘𝐹) = +∞) → -𝑒+∞ = -∞)
6863, 65, 673eqtrd 2820 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ -𝑒(lim inf‘𝐹) = +∞) → (lim inf‘𝐹) = -∞)
6961, 68sylan2b 585 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ -𝑒(lim inf‘𝐹) ≠ +∞) → (lim inf‘𝐹) = -∞)
70 liminflbuz2.6 . . . . . . . 8 (𝜑 → (lim inf‘𝐹) ≠ -∞)
7170neneqd 2974 . . . . . . 7 (𝜑 → ¬ (lim inf‘𝐹) = -∞)
7271adantr 473 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ -𝑒(lim inf‘𝐹) ≠ +∞) → ¬ (lim inf‘𝐹) = -∞)
7369, 72condan 806 . . . . 5 (𝜑 → -𝑒(lim inf‘𝐹) ≠ +∞)
7460, 73eqnetrd 3036 . . . 4 (𝜑 → (lim sup‘(𝑗𝑍 ↦ -𝑒(𝐹𝑗))) ≠ +∞)
751, 44, 45, 5, 46, 74limsupubuz2 41560 . . 3 (𝜑 → ∃𝑘𝑍𝑗 ∈ (ℤ𝑘)((𝑗𝑍 ↦ -𝑒(𝐹𝑗))‘𝑗) < +∞)
7643, 75reximddv3 40880 . 2 (𝜑 → ∃𝑘𝑍𝑗 ∈ (ℤ𝑘)-𝑒(𝐹𝑗) ≠ +∞)
7729, 76reximddv3 40880 1 (𝜑 → ∃𝑘𝑍𝑗 ∈ (ℤ𝑘)-∞ < (𝐹𝑗))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 198  wa 387   = wceq 1508  wnf 1747  wcel 2051  wnfc 2918  wne 2969  wral 3090  wrex 3091  Vcvv 3417   class class class wbr 4934  cmpt 5013  wf 6189  cfv 6193  +∞cpnf 10477  -∞cmnf 10478  *cxr 10479   < clt 10480  cle 10481  cz 11799  cuz 12064  -𝑒cxne 12327  lim supclsp 14694  lim infclsi 41498
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1759  ax-4 1773  ax-5 1870  ax-6 1929  ax-7 1966  ax-8 2053  ax-9 2060  ax-10 2080  ax-11 2094  ax-12 2107  ax-13 2302  ax-ext 2752  ax-rep 5053  ax-sep 5064  ax-nul 5071  ax-pow 5123  ax-pr 5190  ax-un 7285  ax-cnex 10397  ax-resscn 10398  ax-1cn 10399  ax-icn 10400  ax-addcl 10401  ax-addrcl 10402  ax-mulcl 10403  ax-mulrcl 10404  ax-mulcom 10405  ax-addass 10406  ax-mulass 10407  ax-distr 10408  ax-i2m1 10409  ax-1ne0 10410  ax-1rid 10411  ax-rnegex 10412  ax-rrecex 10413  ax-cnre 10414  ax-pre-lttri 10415  ax-pre-lttrn 10416  ax-pre-ltadd 10417  ax-pre-mulgt0 10418  ax-pre-sup 10419
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 835  df-3or 1070  df-3an 1071  df-tru 1511  df-ex 1744  df-nf 1748  df-sb 2017  df-mo 2551  df-eu 2589  df-clab 2761  df-cleq 2773  df-clel 2848  df-nfc 2920  df-ne 2970  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rmo 3098  df-rab 3099  df-v 3419  df-sbc 3684  df-csb 3789  df-dif 3834  df-un 3836  df-in 3838  df-ss 3845  df-pss 3847  df-nul 4182  df-if 4354  df-pw 4427  df-sn 4445  df-pr 4447  df-tp 4449  df-op 4451  df-uni 4718  df-iun 4799  df-br 4935  df-opab 4997  df-mpt 5014  df-tr 5036  df-id 5316  df-eprel 5321  df-po 5330  df-so 5331  df-fr 5370  df-we 5372  df-xp 5417  df-rel 5418  df-cnv 5419  df-co 5420  df-dm 5421  df-rn 5422  df-res 5423  df-ima 5424  df-pred 5991  df-ord 6037  df-on 6038  df-lim 6039  df-suc 6040  df-iota 6157  df-fun 6195  df-fn 6196  df-f 6197  df-f1 6198  df-fo 6199  df-f1o 6200  df-fv 6201  df-isom 6202  df-riota 6943  df-ov 6985  df-oprab 6986  df-mpo 6987  df-om 7403  df-1st 7507  df-2nd 7508  df-wrecs 7756  df-recs 7818  df-rdg 7856  df-er 8095  df-en 8313  df-dom 8314  df-sdom 8315  df-sup 8707  df-inf 8708  df-pnf 10482  df-mnf 10483  df-xr 10484  df-ltxr 10485  df-le 10486  df-sub 10678  df-neg 10679  df-div 11105  df-nn 11446  df-n0 11714  df-z 11800  df-uz 12065  df-q 12169  df-xneg 12330  df-ico 12566  df-fl 12983  df-limsup 14695  df-liminf 41499
This theorem is referenced by:  liminflimsupxrre  41564
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