Theorem liminflbuz2 47028

Description: A sequence with values in the extended reals, and with liminf that is not -∞, is eventually greater than -∞. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Apr-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
liminflbuz2.1	⊢ Ⅎ𝑗𝜑
liminflbuz2.2	⊢ Ⅎ𝑗𝐹
liminflbuz2.3	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
liminflbuz2.4	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
liminflbuz2.5	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶ℝ*)
liminflbuz2.6	⊢ (𝜑 → (lim inf‘𝐹) ≠ -∞)

Assertion

Ref	Expression
liminflbuz2	⊢ (𝜑 → ∃𝑘 ∈ 𝑍 ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)-∞ < (𝐹‘𝑗))

Distinct variable groups:   𝑘,𝐹   𝑗,𝑀,𝑘   𝑗,𝑍,𝑘   𝜑,𝑘

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑗)   𝐹(𝑗)

Proof of Theorem liminflbuz2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		liminflbuz2.1	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑗𝜑
2		nfv 1949	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑗 𝑘 ∈ 𝑍
3	1, 2	nfan 1934	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑗(𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍)
4		simpll 779	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)) → 𝜑)
5		liminflbuz2.4	. . . . . . 7 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
6	5	uztrn2 13008	. . . . . 6 ⊢ ((𝑘 ∈ 𝑍 ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)) → 𝑗 ∈ 𝑍)
7	6	adantll 727	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)) → 𝑗 ∈ 𝑍)
8		liminflbuz2.5	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶ℝ*)
9	8	ffvelcdmda 7105	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑗) ∈ ℝ*)
10	9	adantr 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ ¬ -∞ < (𝐹‘𝑗)) → (𝐹‘𝑗) ∈ ℝ*)
11		mnfxr 11390	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ -∞ ∈ ℝ*
12	11	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ ¬ -∞ < (𝐹‘𝑗)) → -∞ ∈ ℝ*)
13		simpr 490	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ ¬ -∞ < (𝐹‘𝑗)) → ¬ -∞ < (𝐹‘𝑗))
14	10, 12, 13	xrnltled 11402	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ ¬ -∞ < (𝐹‘𝑗)) → (𝐹‘𝑗) ≤ -∞)
15		xlemnf 13321	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐹‘𝑗) ∈ ℝ* → ((𝐹‘𝑗) ≤ -∞ ↔ (𝐹‘𝑗) = -∞))
16	10, 15	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ ¬ -∞ < (𝐹‘𝑗)) → ((𝐹‘𝑗) ≤ -∞ ↔ (𝐹‘𝑗) = -∞))
17	14, 16	mpbid 235	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ ¬ -∞ < (𝐹‘𝑗)) → (𝐹‘𝑗) = -∞)
18		xnegeq 13361	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹‘𝑗) = -∞ → -e(𝐹‘𝑗) = -e-∞)
19		xnegmnf 13364	. . . . . . . . . 10 ⊢ -e-∞ = +∞
20	18, 19	eqtrdi 2814	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹‘𝑗) = -∞ → -e(𝐹‘𝑗) = +∞)
21	17, 20	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ ¬ -∞ < (𝐹‘𝑗)) → -e(𝐹‘𝑗) = +∞)
22	21	adantlr 728	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ -e(𝐹‘𝑗) ≠ +∞) ∧ ¬ -∞ < (𝐹‘𝑗)) → -e(𝐹‘𝑗) = +∞)
23		neneq 2965	. . . . . . . 8 ⊢ ( -e(𝐹‘𝑗) ≠ +∞ → ¬ -e(𝐹‘𝑗) = +∞)
24	23	ad2antlr 740	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ -e(𝐹‘𝑗) ≠ +∞) ∧ ¬ -∞ < (𝐹‘𝑗)) → ¬ -e(𝐹‘𝑗) = +∞)
25	22, 24	condan 830	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ -e(𝐹‘𝑗) ≠ +∞) → -∞ < (𝐹‘𝑗))
26	25	ex 418	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → ( -e(𝐹‘𝑗) ≠ +∞ → -∞ < (𝐹‘𝑗)))
27	4, 7, 26	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)) → ( -e(𝐹‘𝑗) ≠ +∞ → -∞ < (𝐹‘𝑗)))
28	3, 27	ralimdaa 3267	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘) -e(𝐹‘𝑗) ≠ +∞ → ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)-∞ < (𝐹‘𝑗)))
29	28	imp 412	. 2 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘) -e(𝐹‘𝑗) ≠ +∞) → ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)-∞ < (𝐹‘𝑗))
30	9	xnegcld 13454	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → -e(𝐹‘𝑗) ∈ ℝ*)
31	30	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ ((𝑗 ∈ 𝑍 ↦ -e(𝐹‘𝑗))‘𝑗) < +∞) → -e(𝐹‘𝑗) ∈ ℝ*)
32		pnfxr 11387	. . . . . . . . 9 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
33	32	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ ((𝑗 ∈ 𝑍 ↦ -e(𝐹‘𝑗))‘𝑗) < +∞) → +∞ ∈ ℝ*)
34		eqidd 2764	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑗 ∈ 𝑍 ↦ -e(𝐹‘𝑗)) = (𝑗 ∈ 𝑍 ↦ -e(𝐹‘𝑗)))
35	34, 30	fvmpt2d 7027	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → ((𝑗 ∈ 𝑍 ↦ -e(𝐹‘𝑗))‘𝑗) = -e(𝐹‘𝑗))
36	35	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ ((𝑗 ∈ 𝑍 ↦ -e(𝐹‘𝑗))‘𝑗) < +∞) → ((𝑗 ∈ 𝑍 ↦ -e(𝐹‘𝑗))‘𝑗) = -e(𝐹‘𝑗))
37		simpr 490	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ ((𝑗 ∈ 𝑍 ↦ -e(𝐹‘𝑗))‘𝑗) < +∞) → ((𝑗 ∈ 𝑍 ↦ -e(𝐹‘𝑗))‘𝑗) < +∞)
38	36, 37	eqbrtrrd 5132	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ ((𝑗 ∈ 𝑍 ↦ -e(𝐹‘𝑗))‘𝑗) < +∞) → -e(𝐹‘𝑗) < +∞)
39	31, 33, 38	xrltned 46572	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ ((𝑗 ∈ 𝑍 ↦ -e(𝐹‘𝑗))‘𝑗) < +∞) → -e(𝐹‘𝑗) ≠ +∞)
40	39	ex 418	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → (((𝑗 ∈ 𝑍 ↦ -e(𝐹‘𝑗))‘𝑗) < +∞ → -e(𝐹‘𝑗) ≠ +∞))
41	4, 7, 40	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)) → (((𝑗 ∈ 𝑍 ↦ -e(𝐹‘𝑗))‘𝑗) < +∞ → -e(𝐹‘𝑗) ≠ +∞))
42	3, 41	ralimdaa 3267	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)((𝑗 ∈ 𝑍 ↦ -e(𝐹‘𝑗))‘𝑗) < +∞ → ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘) -e(𝐹‘𝑗) ≠ +∞))
43	42	imp 412	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)((𝑗 ∈ 𝑍 ↦ -e(𝐹‘𝑗))‘𝑗) < +∞) → ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘) -e(𝐹‘𝑗) ≠ +∞)
44		nfmpt1 5207	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑗(𝑗 ∈ 𝑍 ↦ -e(𝐹‘𝑗))
45		liminflbuz2.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
46	1, 30	fmptd2f 46450	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑗 ∈ 𝑍 ↦ -e(𝐹‘𝑗)):𝑍⟶ℝ*)
47	5	fvexi 6919	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑍 ∈ V
48	47	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ V)
49	8, 48	fexd 7253	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ V)
50	49	liminfcld 46983	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (lim inf‘𝐹) ∈ ℝ*)
51	50	xnegnegd 46655	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → -e -e(lim inf‘𝐹) = (lim inf‘𝐹))
52		liminflbuz2.2	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑗𝐹
53	1, 52, 45, 5, 8	liminfvaluz3 47009	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (lim inf‘𝐹) = -e(lim sup‘(𝑗 ∈ 𝑍 ↦ -e(𝐹‘𝑗))))
54	51, 53	eqtr2d 2799	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → -e(lim sup‘(𝑗 ∈ 𝑍 ↦ -e(𝐹‘𝑗))) = -e -e(lim inf‘𝐹))
55	48	mptexd 7250	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑗 ∈ 𝑍 ↦ -e(𝐹‘𝑗)) ∈ V)
56	55	limsupcld 46903	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (lim sup‘(𝑗 ∈ 𝑍 ↦ -e(𝐹‘𝑗))) ∈ ℝ*)
57	50	xnegcld 13454	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → -e(lim inf‘𝐹) ∈ ℝ*)
58		xneg11 13369	. . . . . . 7 ⊢ (((lim sup‘(𝑗 ∈ 𝑍 ↦ -e(𝐹‘𝑗))) ∈ ℝ* ∧ -e(lim inf‘𝐹) ∈ ℝ*) → ( -e(lim sup‘(𝑗 ∈ 𝑍 ↦ -e(𝐹‘𝑗))) = -e -e(lim inf‘𝐹) ↔ (lim sup‘(𝑗 ∈ 𝑍 ↦ -e(𝐹‘𝑗))) = -e(lim inf‘𝐹)))
59	56, 57, 58	syl2anc 596	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ( -e(lim sup‘(𝑗 ∈ 𝑍 ↦ -e(𝐹‘𝑗))) = -e -e(lim inf‘𝐹) ↔ (lim sup‘(𝑗 ∈ 𝑍 ↦ -e(𝐹‘𝑗))) = -e(lim inf‘𝐹)))
60	54, 59	mpbid 235	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (lim sup‘(𝑗 ∈ 𝑍 ↦ -e(𝐹‘𝑗))) = -e(lim inf‘𝐹))
61		nne 2963	. . . . . . 7 ⊢ (¬ -e(lim inf‘𝐹) ≠ +∞ ↔ -e(lim inf‘𝐹) = +∞)
62	51	eqcomd 2769	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (lim inf‘𝐹) = -e -e(lim inf‘𝐹))
63	62	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ -e(lim inf‘𝐹) = +∞) → (lim inf‘𝐹) = -e -e(lim inf‘𝐹))
64		xnegeq 13361	. . . . . . . . 9 ⊢ ( -e(lim inf‘𝐹) = +∞ → -e -e(lim inf‘𝐹) = -e+∞)
65	64	adantl 487	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ -e(lim inf‘𝐹) = +∞) → -e -e(lim inf‘𝐹) = -e+∞)
66		xnegpnf 13363	. . . . . . . . 9 ⊢ -e+∞ = -∞
67	66	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ -e(lim inf‘𝐹) = +∞) → -e+∞ = -∞)
68	63, 65, 67	3eqtrd 2802	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ -e(lim inf‘𝐹) = +∞) → (lim inf‘𝐹) = -∞)
69	61, 68	sylan2b 606	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ -e(lim inf‘𝐹) ≠ +∞) → (lim inf‘𝐹) = -∞)
70		liminflbuz2.6	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (lim inf‘𝐹) ≠ -∞)
71	70	neneqd 2964	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ¬ (lim inf‘𝐹) = -∞)
72	71	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ -e(lim inf‘𝐹) ≠ +∞) → ¬ (lim inf‘𝐹) = -∞)
73	69, 72	condan 830	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → -e(lim inf‘𝐹) ≠ +∞)
74	60, 73	eqnetrd 3026	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (lim sup‘(𝑗 ∈ 𝑍 ↦ -e(𝐹‘𝑗))) ≠ +∞)
75	1, 44, 45, 5, 46, 74	limsupubuz2 47026	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑘 ∈ 𝑍 ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)((𝑗 ∈ 𝑍 ↦ -e(𝐹‘𝑗))‘𝑗) < +∞)
76	43, 75	reximddv3 3183	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑘 ∈ 𝑍 ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘) -e(𝐹‘𝑗) ≠ +∞)
77	29, 76	reximddv3 3183	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑘 ∈ 𝑍 ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)-∞ < (𝐹‘𝑗))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570  Ⅎwnf 1816   ∈ wcel 2147  Ⅎwnfc 2911   ≠ wne 2959  ∀wral 3080  ∃wrex 3090  Vcvv 3454   class class class wbr 5106   ↦ cmpt 5189  ⟶wf 6551  ‘cfv 6555  +∞cpnf 11364  -∞cmnf 11365  ℝ^*cxr 11366   < clt 11367   ≤ cle 11368  ℤcz 12717  ℤ_≥cuz 12989   -_ecxne 13262  lim supclsp 15663  lim infclsi 46964

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7772  ax-cnex 11280  ax-resscn 11281  ax-1cn 11282  ax-icn 11283  ax-addcl 11284  ax-addrcl 11285  ax-mulcl 11286  ax-mulrcl 11287  ax-mulcom 11288  ax-addass 11289  ax-mulass 11290  ax-distr 11291  ax-i2m1 11292  ax-1ne0 11293  ax-1rid 11294  ax-rnegex 11295  ax-rrecex 11296  ax-cnre 11297  ax-pre-lttri 11298  ax-pre-lttrn 11299  ax-pre-ltadd 11300  ax-pre-mulgt0 11301  ax-pre-sup 11302

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6319  df-ord 6380  df-on 6381  df-lim 6382  df-suc 6383  df-iota 6509  df-fun 6557  df-fn 6558  df-f 6559  df-f1 6560  df-fo 6561  df-f1o 6562  df-fv 6563  df-isom 6564  df-riota 7397  df-ov 7443  df-oprab 7444  df-mpo 7445  df-om 7899  df-1st 8022  df-2nd 8023  df-frecs 8324  df-wrecs 8355  df-recs 8404  df-rdg 8443  df-er 8742  df-en 8999  df-dom 9000  df-sdom 9001  df-sup 9458  df-inf 9459  df-pnf 11369  df-mnf 11370  df-xr 11371  df-ltxr 11372  df-le 11373  df-sub 11567  df-neg 11568  df-div 11998  df-nn 12360  df-n0 12631  df-z 12718  df-uz 12990  df-q 13100  df-xneg 13265  df-ico 13506  df-fl 13956  df-limsup 15664  df-liminf 46965

This theorem is used by:  liminflimsupxrre  47030