Theorem liminflbuz2 46630

Description: A sequence with values in the extended reals, and with liminf that is not -∞, is eventually greater than -∞. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Apr-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
liminflbuz2.1	⊢ Ⅎ𝑗𝜑
liminflbuz2.2	⊢ Ⅎ𝑗𝐹
liminflbuz2.3	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
liminflbuz2.4	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
liminflbuz2.5	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶ℝ*)
liminflbuz2.6	⊢ (𝜑 → (lim inf‘𝐹) ≠ -∞)

Assertion

Ref	Expression
liminflbuz2	⊢ (𝜑 → ∃𝑘 ∈ 𝑍 ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)-∞ < (𝐹‘𝑗))

Distinct variable groups:   𝑘,𝐹   𝑗,𝑀,𝑘   𝑗,𝑍,𝑘   𝜑,𝑘

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑗)   𝐹(𝑗)

Proof of Theorem liminflbuz2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		liminflbuz2.1	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑗𝜑
2		nfv 1947	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑗 𝑘 ∈ 𝑍
3	1, 2	nfan 1932	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑗(𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍)
4		simpll 779	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)) → 𝜑)
5		liminflbuz2.4	. . . . . . 7 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
6	5	uztrn2 12909	. . . . . 6 ⊢ ((𝑘 ∈ 𝑍 ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)) → 𝑗 ∈ 𝑍)
7	6	adantll 727	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)) → 𝑗 ∈ 𝑍)
8		liminflbuz2.5	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶ℝ*)
9	8	ffvelcdmda 7080	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑗) ∈ ℝ*)
10	9	adantr 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ ¬ -∞ < (𝐹‘𝑗)) → (𝐹‘𝑗) ∈ ℝ*)
11		mnfxr 11293	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ -∞ ∈ ℝ*
12	11	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ ¬ -∞ < (𝐹‘𝑗)) → -∞ ∈ ℝ*)
13		simpr 490	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ ¬ -∞ < (𝐹‘𝑗)) → ¬ -∞ < (𝐹‘𝑗))
14	10, 12, 13	xrnltled 11305	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ ¬ -∞ < (𝐹‘𝑗)) → (𝐹‘𝑗) ≤ -∞)
15		xlemnf 13221	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐹‘𝑗) ∈ ℝ* → ((𝐹‘𝑗) ≤ -∞ ↔ (𝐹‘𝑗) = -∞))
16	10, 15	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ ¬ -∞ < (𝐹‘𝑗)) → ((𝐹‘𝑗) ≤ -∞ ↔ (𝐹‘𝑗) = -∞))
17	14, 16	mpbid 235	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ ¬ -∞ < (𝐹‘𝑗)) → (𝐹‘𝑗) = -∞)
18		xnegeq 13261	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹‘𝑗) = -∞ → -𝑒(𝐹‘𝑗) = -𝑒-∞)
19		xnegmnf 13264	. . . . . . . . . 10 ⊢ -𝑒-∞ = +∞
20	18, 19	eqtrdi 2813	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹‘𝑗) = -∞ → -𝑒(𝐹‘𝑗) = +∞)
21	17, 20	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ ¬ -∞ < (𝐹‘𝑗)) → -𝑒(𝐹‘𝑗) = +∞)
22	21	adantlr 728	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ -𝑒(𝐹‘𝑗) ≠ +∞) ∧ ¬ -∞ < (𝐹‘𝑗)) → -𝑒(𝐹‘𝑗) = +∞)
23		neneq 2963	. . . . . . . 8 ⊢ (-𝑒(𝐹‘𝑗) ≠ +∞ → ¬ -𝑒(𝐹‘𝑗) = +∞)
24	23	ad2antlr 740	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ -𝑒(𝐹‘𝑗) ≠ +∞) ∧ ¬ -∞ < (𝐹‘𝑗)) → ¬ -𝑒(𝐹‘𝑗) = +∞)
25	22, 24	condan 830	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ -𝑒(𝐹‘𝑗) ≠ +∞) → -∞ < (𝐹‘𝑗))
26	25	ex 418	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → (-𝑒(𝐹‘𝑗) ≠ +∞ → -∞ < (𝐹‘𝑗)))
27	4, 7, 26	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)) → (-𝑒(𝐹‘𝑗) ≠ +∞ → -∞ < (𝐹‘𝑗)))
28	3, 27	ralimdaa 3265	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)-𝑒(𝐹‘𝑗) ≠ +∞ → ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)-∞ < (𝐹‘𝑗)))
29	28	imp 412	. 2 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)-𝑒(𝐹‘𝑗) ≠ +∞) → ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)-∞ < (𝐹‘𝑗))
30	9	xnegcld 13354	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → -𝑒(𝐹‘𝑗) ∈ ℝ*)
31	30	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ ((𝑗 ∈ 𝑍 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑗))‘𝑗) < +∞) → -𝑒(𝐹‘𝑗) ∈ ℝ*)
32		pnfxr 11290	. . . . . . . . 9 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
33	32	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ ((𝑗 ∈ 𝑍 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑗))‘𝑗) < +∞) → +∞ ∈ ℝ*)
34		eqidd 2763	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑗 ∈ 𝑍 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑗)) = (𝑗 ∈ 𝑍 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑗)))
35	34, 30	fvmpt2d 7004	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → ((𝑗 ∈ 𝑍 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑗))‘𝑗) = -𝑒(𝐹‘𝑗))
36	35	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ ((𝑗 ∈ 𝑍 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑗))‘𝑗) < +∞) → ((𝑗 ∈ 𝑍 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑗))‘𝑗) = -𝑒(𝐹‘𝑗))
37		simpr 490	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ ((𝑗 ∈ 𝑍 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑗))‘𝑗) < +∞) → ((𝑗 ∈ 𝑍 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑗))‘𝑗) < +∞)
38	36, 37	eqbrtrrd 5133	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ ((𝑗 ∈ 𝑍 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑗))‘𝑗) < +∞) → -𝑒(𝐹‘𝑗) < +∞)
39	31, 33, 38	xrltned 46174	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ ((𝑗 ∈ 𝑍 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑗))‘𝑗) < +∞) → -𝑒(𝐹‘𝑗) ≠ +∞)
40	39	ex 418	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → (((𝑗 ∈ 𝑍 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑗))‘𝑗) < +∞ → -𝑒(𝐹‘𝑗) ≠ +∞))
41	4, 7, 40	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)) → (((𝑗 ∈ 𝑍 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑗))‘𝑗) < +∞ → -𝑒(𝐹‘𝑗) ≠ +∞))
42	3, 41	ralimdaa 3265	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)((𝑗 ∈ 𝑍 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑗))‘𝑗) < +∞ → ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)-𝑒(𝐹‘𝑗) ≠ +∞))
43	42	imp 412	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)((𝑗 ∈ 𝑍 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑗))‘𝑗) < +∞) → ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)-𝑒(𝐹‘𝑗) ≠ +∞)
44		nfmpt1 5208	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑗(𝑗 ∈ 𝑍 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑗))
45		liminflbuz2.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
46	1, 30	fmptd2f 46051	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑗 ∈ 𝑍 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑗)):𝑍⟶ℝ*)
47	5	fvexi 6896	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑍 ∈ V
48	47	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ V)
49	8, 48	fexd 7229	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ V)
50	49	liminfcld 46585	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (lim inf‘𝐹) ∈ ℝ*)
51	50	xnegnegd 46257	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → -𝑒-𝑒(lim inf‘𝐹) = (lim inf‘𝐹))
52		liminflbuz2.2	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑗𝐹
53	1, 52, 45, 5, 8	liminfvaluz3 46611	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (lim inf‘𝐹) = -𝑒(lim sup‘(𝑗 ∈ 𝑍 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑗))))
54	51, 53	eqtr2d 2798	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → -𝑒(lim sup‘(𝑗 ∈ 𝑍 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑗))) = -𝑒-𝑒(lim inf‘𝐹))
55	48	mptexd 7226	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑗 ∈ 𝑍 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑗)) ∈ V)
56	55	limsupcld 46505	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (lim sup‘(𝑗 ∈ 𝑍 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑗))) ∈ ℝ*)
57	50	xnegcld 13354	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → -𝑒(lim inf‘𝐹) ∈ ℝ*)
58		xneg11 13269	. . . . . . 7 ⊢ (((lim sup‘(𝑗 ∈ 𝑍 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑗))) ∈ ℝ* ∧ -𝑒(lim inf‘𝐹) ∈ ℝ*) → (-𝑒(lim sup‘(𝑗 ∈ 𝑍 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑗))) = -𝑒-𝑒(lim inf‘𝐹) ↔ (lim sup‘(𝑗 ∈ 𝑍 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑗))) = -𝑒(lim inf‘𝐹)))
59	56, 57, 58	syl2anc 596	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (-𝑒(lim sup‘(𝑗 ∈ 𝑍 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑗))) = -𝑒-𝑒(lim inf‘𝐹) ↔ (lim sup‘(𝑗 ∈ 𝑍 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑗))) = -𝑒(lim inf‘𝐹)))
60	54, 59	mpbid 235	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (lim sup‘(𝑗 ∈ 𝑍 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑗))) = -𝑒(lim inf‘𝐹))
61		nne 2961	. . . . . . 7 ⊢ (¬ -𝑒(lim inf‘𝐹) ≠ +∞ ↔ -𝑒(lim inf‘𝐹) = +∞)
62	51	eqcomd 2768	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (lim inf‘𝐹) = -𝑒-𝑒(lim inf‘𝐹))
63	62	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ -𝑒(lim inf‘𝐹) = +∞) → (lim inf‘𝐹) = -𝑒-𝑒(lim inf‘𝐹))
64		xnegeq 13261	. . . . . . . . 9 ⊢ (-𝑒(lim inf‘𝐹) = +∞ → -𝑒-𝑒(lim inf‘𝐹) = -𝑒+∞)
65	64	adantl 487	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ -𝑒(lim inf‘𝐹) = +∞) → -𝑒-𝑒(lim inf‘𝐹) = -𝑒+∞)
66		xnegpnf 13263	. . . . . . . . 9 ⊢ -𝑒+∞ = -∞
67	66	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ -𝑒(lim inf‘𝐹) = +∞) → -𝑒+∞ = -∞)
68	63, 65, 67	3eqtrd 2801	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ -𝑒(lim inf‘𝐹) = +∞) → (lim inf‘𝐹) = -∞)
69	61, 68	sylan2b 606	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ -𝑒(lim inf‘𝐹) ≠ +∞) → (lim inf‘𝐹) = -∞)
70		liminflbuz2.6	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (lim inf‘𝐹) ≠ -∞)
71	70	neneqd 2962	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ¬ (lim inf‘𝐹) = -∞)
72	71	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ -𝑒(lim inf‘𝐹) ≠ +∞) → ¬ (lim inf‘𝐹) = -∞)
73	69, 72	condan 830	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → -𝑒(lim inf‘𝐹) ≠ +∞)
74	60, 73	eqnetrd 3024	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (lim sup‘(𝑗 ∈ 𝑍 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑗))) ≠ +∞)
75	1, 44, 45, 5, 46, 74	limsupubuz2 46628	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑘 ∈ 𝑍 ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)((𝑗 ∈ 𝑍 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑗))‘𝑗) < +∞)
76	43, 75	reximddv3 3181	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑘 ∈ 𝑍 ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)-𝑒(𝐹‘𝑗) ≠ +∞)
77	29, 76	reximddv3 3181	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑘 ∈ 𝑍 ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)-∞ < (𝐹‘𝑗))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570  Ⅎwnf 1816   ∈ wcel 2145  Ⅎwnfc 2909   ≠ wne 2957  ∀wral 3078  ∃wrex 3088  Vcvv 3453   class class class wbr 5107   ↦ cmpt 5190  ⟶wf 6533  ‘cfv 6537  +∞cpnf 11267  -∞cmnf 11268  ℝ^*cxr 11269   < clt 11270   ≤ cle 11271  ℤcz 12618  ℤ_≥cuz 12890  -_𝑒cxne 13162  lim supclsp 15559  lim infclsi 46566

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7739  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204  ax-pre-sup 11205

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7866  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-er 8699  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-sup 9415  df-inf 9416  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11470  df-neg 11471  df-div 11899  df-nn 12261  df-n0 12532  df-z 12619  df-uz 12891  df-q 13001  df-xneg 13165  df-ico 13406  df-fl 13855  df-limsup 15560  df-liminf 46567

This theorem is used by:  liminflimsupxrre  46632