Theorem liminflbuz2 45816

Description: A sequence with values in the extended reals, and with liminf that is not -∞, is eventually greater than -∞. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Apr-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
liminflbuz2.1	⊢ Ⅎ𝑗𝜑
liminflbuz2.2	⊢ Ⅎ𝑗𝐹
liminflbuz2.3	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
liminflbuz2.4	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
liminflbuz2.5	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶ℝ*)
liminflbuz2.6	⊢ (𝜑 → (lim inf‘𝐹) ≠ -∞)

Assertion

Ref	Expression
liminflbuz2	⊢ (𝜑 → ∃𝑘 ∈ 𝑍 ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)-∞ < (𝐹‘𝑗))

Distinct variable groups:   𝑘,𝐹   𝑗,𝑀,𝑘   𝑗,𝑍,𝑘   𝜑,𝑘

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑗)   𝐹(𝑗)

Proof of Theorem liminflbuz2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		liminflbuz2.1	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑗𝜑
2		nfv 1914	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑗 𝑘 ∈ 𝑍
3	1, 2	nfan 1899	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑗(𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍)
4		simpll 766	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)) → 𝜑)
5		liminflbuz2.4	. . . . . . 7 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
6	5	uztrn2 12754	. . . . . 6 ⊢ ((𝑘 ∈ 𝑍 ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)) → 𝑗 ∈ 𝑍)
7	6	adantll 714	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)) → 𝑗 ∈ 𝑍)
8		liminflbuz2.5	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶ℝ*)
9	8	ffvelcdmda 7018	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑗) ∈ ℝ*)
10	9	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ ¬ -∞ < (𝐹‘𝑗)) → (𝐹‘𝑗) ∈ ℝ*)
11		mnfxr 11172	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ -∞ ∈ ℝ*
12	11	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ ¬ -∞ < (𝐹‘𝑗)) → -∞ ∈ ℝ*)
13		simpr 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ ¬ -∞ < (𝐹‘𝑗)) → ¬ -∞ < (𝐹‘𝑗))
14	10, 12, 13	xrnltled 11184	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ ¬ -∞ < (𝐹‘𝑗)) → (𝐹‘𝑗) ≤ -∞)
15		xlemnf 13069	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐹‘𝑗) ∈ ℝ* → ((𝐹‘𝑗) ≤ -∞ ↔ (𝐹‘𝑗) = -∞))
16	10, 15	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ ¬ -∞ < (𝐹‘𝑗)) → ((𝐹‘𝑗) ≤ -∞ ↔ (𝐹‘𝑗) = -∞))
17	14, 16	mpbid 232	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ ¬ -∞ < (𝐹‘𝑗)) → (𝐹‘𝑗) = -∞)
18		xnegeq 13109	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹‘𝑗) = -∞ → -𝑒(𝐹‘𝑗) = -𝑒-∞)
19		xnegmnf 13112	. . . . . . . . . 10 ⊢ -𝑒-∞ = +∞
20	18, 19	eqtrdi 2780	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹‘𝑗) = -∞ → -𝑒(𝐹‘𝑗) = +∞)
21	17, 20	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ ¬ -∞ < (𝐹‘𝑗)) → -𝑒(𝐹‘𝑗) = +∞)
22	21	adantlr 715	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ -𝑒(𝐹‘𝑗) ≠ +∞) ∧ ¬ -∞ < (𝐹‘𝑗)) → -𝑒(𝐹‘𝑗) = +∞)
23		neneq 2931	. . . . . . . 8 ⊢ (-𝑒(𝐹‘𝑗) ≠ +∞ → ¬ -𝑒(𝐹‘𝑗) = +∞)
24	23	ad2antlr 727	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ -𝑒(𝐹‘𝑗) ≠ +∞) ∧ ¬ -∞ < (𝐹‘𝑗)) → ¬ -𝑒(𝐹‘𝑗) = +∞)
25	22, 24	condan 817	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ -𝑒(𝐹‘𝑗) ≠ +∞) → -∞ < (𝐹‘𝑗))
26	25	ex 412	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → (-𝑒(𝐹‘𝑗) ≠ +∞ → -∞ < (𝐹‘𝑗)))
27	4, 7, 26	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)) → (-𝑒(𝐹‘𝑗) ≠ +∞ → -∞ < (𝐹‘𝑗)))
28	3, 27	ralimdaa 3230	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)-𝑒(𝐹‘𝑗) ≠ +∞ → ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)-∞ < (𝐹‘𝑗)))
29	28	imp 406	. 2 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)-𝑒(𝐹‘𝑗) ≠ +∞) → ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)-∞ < (𝐹‘𝑗))
30	9	xnegcld 13202	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → -𝑒(𝐹‘𝑗) ∈ ℝ*)
31	30	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ ((𝑗 ∈ 𝑍 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑗))‘𝑗) < +∞) → -𝑒(𝐹‘𝑗) ∈ ℝ*)
32		pnfxr 11169	. . . . . . . . 9 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
33	32	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ ((𝑗 ∈ 𝑍 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑗))‘𝑗) < +∞) → +∞ ∈ ℝ*)
34		eqidd 2730	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑗 ∈ 𝑍 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑗)) = (𝑗 ∈ 𝑍 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑗)))
35	34, 30	fvmpt2d 6943	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → ((𝑗 ∈ 𝑍 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑗))‘𝑗) = -𝑒(𝐹‘𝑗))
36	35	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ ((𝑗 ∈ 𝑍 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑗))‘𝑗) < +∞) → ((𝑗 ∈ 𝑍 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑗))‘𝑗) = -𝑒(𝐹‘𝑗))
37		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ ((𝑗 ∈ 𝑍 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑗))‘𝑗) < +∞) → ((𝑗 ∈ 𝑍 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑗))‘𝑗) < +∞)
38	36, 37	eqbrtrrd 5116	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ ((𝑗 ∈ 𝑍 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑗))‘𝑗) < +∞) → -𝑒(𝐹‘𝑗) < +∞)
39	31, 33, 38	xrltned 45357	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ ((𝑗 ∈ 𝑍 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑗))‘𝑗) < +∞) → -𝑒(𝐹‘𝑗) ≠ +∞)
40	39	ex 412	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → (((𝑗 ∈ 𝑍 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑗))‘𝑗) < +∞ → -𝑒(𝐹‘𝑗) ≠ +∞))
41	4, 7, 40	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)) → (((𝑗 ∈ 𝑍 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑗))‘𝑗) < +∞ → -𝑒(𝐹‘𝑗) ≠ +∞))
42	3, 41	ralimdaa 3230	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)((𝑗 ∈ 𝑍 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑗))‘𝑗) < +∞ → ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)-𝑒(𝐹‘𝑗) ≠ +∞))
43	42	imp 406	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)((𝑗 ∈ 𝑍 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑗))‘𝑗) < +∞) → ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)-𝑒(𝐹‘𝑗) ≠ +∞)
44		nfmpt1 5191	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑗(𝑗 ∈ 𝑍 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑗))
45		liminflbuz2.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
46	1, 30	fmptd2f 45233	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑗 ∈ 𝑍 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑗)):𝑍⟶ℝ*)
47	5	fvexi 6836	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑍 ∈ V
48	47	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ V)
49	8, 48	fexd 7163	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ V)
50	49	liminfcld 45771	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (lim inf‘𝐹) ∈ ℝ*)
51	50	xnegnegd 45441	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → -𝑒-𝑒(lim inf‘𝐹) = (lim inf‘𝐹))
52		liminflbuz2.2	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑗𝐹
53	1, 52, 45, 5, 8	liminfvaluz3 45797	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (lim inf‘𝐹) = -𝑒(lim sup‘(𝑗 ∈ 𝑍 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑗))))
54	51, 53	eqtr2d 2765	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → -𝑒(lim sup‘(𝑗 ∈ 𝑍 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑗))) = -𝑒-𝑒(lim inf‘𝐹))
55	48	mptexd 7160	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑗 ∈ 𝑍 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑗)) ∈ V)
56	55	limsupcld 45691	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (lim sup‘(𝑗 ∈ 𝑍 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑗))) ∈ ℝ*)
57	50	xnegcld 13202	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → -𝑒(lim inf‘𝐹) ∈ ℝ*)
58		xneg11 13117	. . . . . . 7 ⊢ (((lim sup‘(𝑗 ∈ 𝑍 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑗))) ∈ ℝ* ∧ -𝑒(lim inf‘𝐹) ∈ ℝ*) → (-𝑒(lim sup‘(𝑗 ∈ 𝑍 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑗))) = -𝑒-𝑒(lim inf‘𝐹) ↔ (lim sup‘(𝑗 ∈ 𝑍 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑗))) = -𝑒(lim inf‘𝐹)))
59	56, 57, 58	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (-𝑒(lim sup‘(𝑗 ∈ 𝑍 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑗))) = -𝑒-𝑒(lim inf‘𝐹) ↔ (lim sup‘(𝑗 ∈ 𝑍 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑗))) = -𝑒(lim inf‘𝐹)))
60	54, 59	mpbid 232	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (lim sup‘(𝑗 ∈ 𝑍 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑗))) = -𝑒(lim inf‘𝐹))
61		nne 2929	. . . . . . 7 ⊢ (¬ -𝑒(lim inf‘𝐹) ≠ +∞ ↔ -𝑒(lim inf‘𝐹) = +∞)
62	51	eqcomd 2735	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (lim inf‘𝐹) = -𝑒-𝑒(lim inf‘𝐹))
63	62	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ -𝑒(lim inf‘𝐹) = +∞) → (lim inf‘𝐹) = -𝑒-𝑒(lim inf‘𝐹))
64		xnegeq 13109	. . . . . . . . 9 ⊢ (-𝑒(lim inf‘𝐹) = +∞ → -𝑒-𝑒(lim inf‘𝐹) = -𝑒+∞)
65	64	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ -𝑒(lim inf‘𝐹) = +∞) → -𝑒-𝑒(lim inf‘𝐹) = -𝑒+∞)
66		xnegpnf 13111	. . . . . . . . 9 ⊢ -𝑒+∞ = -∞
67	66	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ -𝑒(lim inf‘𝐹) = +∞) → -𝑒+∞ = -∞)
68	63, 65, 67	3eqtrd 2768	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ -𝑒(lim inf‘𝐹) = +∞) → (lim inf‘𝐹) = -∞)
69	61, 68	sylan2b 594	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ -𝑒(lim inf‘𝐹) ≠ +∞) → (lim inf‘𝐹) = -∞)
70		liminflbuz2.6	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (lim inf‘𝐹) ≠ -∞)
71	70	neneqd 2930	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ¬ (lim inf‘𝐹) = -∞)
72	71	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ -𝑒(lim inf‘𝐹) ≠ +∞) → ¬ (lim inf‘𝐹) = -∞)
73	69, 72	condan 817	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → -𝑒(lim inf‘𝐹) ≠ +∞)
74	60, 73	eqnetrd 2992	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (lim sup‘(𝑗 ∈ 𝑍 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑗))) ≠ +∞)
75	1, 44, 45, 5, 46, 74	limsupubuz2 45814	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑘 ∈ 𝑍 ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)((𝑗 ∈ 𝑍 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑗))‘𝑗) < +∞)
76	43, 75	reximddv3 3146	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑘 ∈ 𝑍 ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)-𝑒(𝐹‘𝑗) ≠ +∞)
77	29, 76	reximddv3 3146	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑘 ∈ 𝑍 ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)-∞ < (𝐹‘𝑗))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540  Ⅎwnf 1783   ∈ wcel 2109  Ⅎwnfc 2876   ≠ wne 2925  ∀wral 3044  ∃wrex 3053  Vcvv 3436   class class class wbr 5092   ↦ cmpt 5173  ⟶wf 6478  ‘cfv 6482  +∞cpnf 11146  -∞cmnf 11147  ℝ^*cxr 11148   < clt 11149   ≤ cle 11150  ℤcz 12471  ℤ_≥cuz 12735  -_𝑒cxne 13011  lim supclsp 15377  lim infclsi 45752

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5218  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086  ax-pre-sup 11087

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4859  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-tr 5200  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6249  df-ord 6310  df-on 6311  df-lim 6312  df-suc 6313  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-isom 6491  df-riota 7306  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-om 7800  df-1st 7924  df-2nd 7925  df-frecs 8214  df-wrecs 8245  df-recs 8294  df-rdg 8332  df-er 8625  df-en 8873  df-dom 8874  df-sdom 8875  df-sup 9332  df-inf 9333  df-pnf 11151  df-mnf 11152  df-xr 11153  df-ltxr 11154  df-le 11155  df-sub 11349  df-neg 11350  df-div 11778  df-nn 12129  df-n0 12385  df-z 12472  df-uz 12736  df-q 12850  df-xneg 13014  df-ico 13254  df-fl 13696  df-limsup 15378  df-liminf 45753

This theorem is referenced by:  liminflimsupxrre  45818