Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  liminflbuz2 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem liminflbuz2 45262
Description: A sequence with values in the extended reals, and with liminf that is not -∞, is eventually greater than -∞. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Apr-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
liminflbuz2.1 β„²π‘—πœ‘
liminflbuz2.2 Ⅎ𝑗𝐹
liminflbuz2.3 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
liminflbuz2.4 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
liminflbuz2.5 (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘βŸΆβ„*)
liminflbuz2.6 (πœ‘ β†’ (lim infβ€˜πΉ) β‰  -∞)
Assertion
Ref Expression
liminflbuz2 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ 𝑍 βˆ€π‘— ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)-∞ < (πΉβ€˜π‘—))
Distinct variable groups:   π‘˜,𝐹   𝑗,𝑀,π‘˜   𝑗,𝑍,π‘˜   πœ‘,π‘˜
Allowed substitution hints:   πœ‘(𝑗)   𝐹(𝑗)
Proof of Theorem liminflbuz2
StepHypRef Expression
1 liminflbuz2.1 . . . . 5 β„²π‘—πœ‘
2 nfv 1909 . . . . 5 Ⅎ𝑗 π‘˜ ∈ 𝑍
31, 2nfan 1894 . . . 4 Ⅎ𝑗(πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍)
4 simpll 765 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) ∧ 𝑗 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)) β†’ πœ‘)
5 liminflbuz2.4 . . . . . . 7 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
65uztrn2 12866 . . . . . 6 ((π‘˜ ∈ 𝑍 ∧ 𝑗 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)) β†’ 𝑗 ∈ 𝑍)
76adantll 712 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) ∧ 𝑗 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)) β†’ 𝑗 ∈ 𝑍)
8 liminflbuz2.5 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘βŸΆβ„*)
98ffvelcdmda 7087 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) β†’ (πΉβ€˜π‘—) ∈ ℝ*)
109adantr 479 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ Β¬ -∞ < (πΉβ€˜π‘—)) β†’ (πΉβ€˜π‘—) ∈ ℝ*)
11 mnfxr 11296 . . . . . . . . . . . 12 -∞ ∈ ℝ*
1211a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ Β¬ -∞ < (πΉβ€˜π‘—)) β†’ -∞ ∈ ℝ*)
13 simpr 483 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ Β¬ -∞ < (πΉβ€˜π‘—)) β†’ Β¬ -∞ < (πΉβ€˜π‘—))
1410, 12, 13xrnltled 11307 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ Β¬ -∞ < (πΉβ€˜π‘—)) β†’ (πΉβ€˜π‘—) ≀ -∞)
15 xlemnf 13173 . . . . . . . . . . 11 ((πΉβ€˜π‘—) ∈ ℝ* β†’ ((πΉβ€˜π‘—) ≀ -∞ ↔ (πΉβ€˜π‘—) = -∞))
1610, 15syl 17 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ Β¬ -∞ < (πΉβ€˜π‘—)) β†’ ((πΉβ€˜π‘—) ≀ -∞ ↔ (πΉβ€˜π‘—) = -∞))
1714, 16mpbid 231 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ Β¬ -∞ < (πΉβ€˜π‘—)) β†’ (πΉβ€˜π‘—) = -∞)
18 xnegeq 13213 . . . . . . . . . 10 ((πΉβ€˜π‘—) = -∞ β†’ -𝑒(πΉβ€˜π‘—) = -𝑒-∞)
19 xnegmnf 13216 . . . . . . . . . 10 -𝑒-∞ = +∞
2018, 19eqtrdi 2781 . . . . . . . . 9 ((πΉβ€˜π‘—) = -∞ β†’ -𝑒(πΉβ€˜π‘—) = +∞)
2117, 20syl 17 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ Β¬ -∞ < (πΉβ€˜π‘—)) β†’ -𝑒(πΉβ€˜π‘—) = +∞)
2221adantlr 713 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ -𝑒(πΉβ€˜π‘—) β‰  +∞) ∧ Β¬ -∞ < (πΉβ€˜π‘—)) β†’ -𝑒(πΉβ€˜π‘—) = +∞)
23 neneq 2936 . . . . . . . 8 (-𝑒(πΉβ€˜π‘—) β‰  +∞ β†’ Β¬ -𝑒(πΉβ€˜π‘—) = +∞)
2423ad2antlr 725 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ -𝑒(πΉβ€˜π‘—) β‰  +∞) ∧ Β¬ -∞ < (πΉβ€˜π‘—)) β†’ Β¬ -𝑒(πΉβ€˜π‘—) = +∞)
2522, 24condan 816 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ -𝑒(πΉβ€˜π‘—) β‰  +∞) β†’ -∞ < (πΉβ€˜π‘—))
2625ex 411 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) β†’ (-𝑒(πΉβ€˜π‘—) β‰  +∞ β†’ -∞ < (πΉβ€˜π‘—)))
274, 7, 26syl2anc 582 . . . 4 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) ∧ 𝑗 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)) β†’ (-𝑒(πΉβ€˜π‘—) β‰  +∞ β†’ -∞ < (πΉβ€˜π‘—)))
283, 27ralimdaa 3248 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ (βˆ€π‘— ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)-𝑒(πΉβ€˜π‘—) β‰  +∞ β†’ βˆ€π‘— ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)-∞ < (πΉβ€˜π‘—)))
2928imp 405 . 2 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) ∧ βˆ€π‘— ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)-𝑒(πΉβ€˜π‘—) β‰  +∞) β†’ βˆ€π‘— ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)-∞ < (πΉβ€˜π‘—))
309xnegcld 13306 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) β†’ -𝑒(πΉβ€˜π‘—) ∈ ℝ*)
3130adantr 479 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ ((𝑗 ∈ 𝑍 ↦ -𝑒(πΉβ€˜π‘—))β€˜π‘—) < +∞) β†’ -𝑒(πΉβ€˜π‘—) ∈ ℝ*)
32 pnfxr 11293 . . . . . . . . 9 +∞ ∈ ℝ*
3332a1i 11 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ ((𝑗 ∈ 𝑍 ↦ -𝑒(πΉβ€˜π‘—))β€˜π‘—) < +∞) β†’ +∞ ∈ ℝ*)
34 eqidd 2726 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (𝑗 ∈ 𝑍 ↦ -𝑒(πΉβ€˜π‘—)) = (𝑗 ∈ 𝑍 ↦ -𝑒(πΉβ€˜π‘—)))
3534, 30fvmpt2d 7011 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) β†’ ((𝑗 ∈ 𝑍 ↦ -𝑒(πΉβ€˜π‘—))β€˜π‘—) = -𝑒(πΉβ€˜π‘—))
3635adantr 479 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ ((𝑗 ∈ 𝑍 ↦ -𝑒(πΉβ€˜π‘—))β€˜π‘—) < +∞) β†’ ((𝑗 ∈ 𝑍 ↦ -𝑒(πΉβ€˜π‘—))β€˜π‘—) = -𝑒(πΉβ€˜π‘—))
37 simpr 483 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ ((𝑗 ∈ 𝑍 ↦ -𝑒(πΉβ€˜π‘—))β€˜π‘—) < +∞) β†’ ((𝑗 ∈ 𝑍 ↦ -𝑒(πΉβ€˜π‘—))β€˜π‘—) < +∞)
3836, 37eqbrtrrd 5168 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ ((𝑗 ∈ 𝑍 ↦ -𝑒(πΉβ€˜π‘—))β€˜π‘—) < +∞) β†’ -𝑒(πΉβ€˜π‘—) < +∞)
3931, 33, 38xrltned 44798 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ ((𝑗 ∈ 𝑍 ↦ -𝑒(πΉβ€˜π‘—))β€˜π‘—) < +∞) β†’ -𝑒(πΉβ€˜π‘—) β‰  +∞)
4039ex 411 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) β†’ (((𝑗 ∈ 𝑍 ↦ -𝑒(πΉβ€˜π‘—))β€˜π‘—) < +∞ β†’ -𝑒(πΉβ€˜π‘—) β‰  +∞))
414, 7, 40syl2anc 582 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) ∧ 𝑗 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)) β†’ (((𝑗 ∈ 𝑍 ↦ -𝑒(πΉβ€˜π‘—))β€˜π‘—) < +∞ β†’ -𝑒(πΉβ€˜π‘—) β‰  +∞))
423, 41ralimdaa 3248 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ (βˆ€π‘— ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)((𝑗 ∈ 𝑍 ↦ -𝑒(πΉβ€˜π‘—))β€˜π‘—) < +∞ β†’ βˆ€π‘— ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)-𝑒(πΉβ€˜π‘—) β‰  +∞))
4342imp 405 . . 3 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) ∧ βˆ€π‘— ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)((𝑗 ∈ 𝑍 ↦ -𝑒(πΉβ€˜π‘—))β€˜π‘—) < +∞) β†’ βˆ€π‘— ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)-𝑒(πΉβ€˜π‘—) β‰  +∞)
44 nfmpt1 5252 . . . 4 Ⅎ𝑗(𝑗 ∈ 𝑍 ↦ -𝑒(πΉβ€˜π‘—))
45 liminflbuz2.3 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
461, 30fmptd2f 44668 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑗 ∈ 𝑍 ↦ -𝑒(πΉβ€˜π‘—)):π‘βŸΆβ„*)
475fvexi 6904 . . . . . . . . . . 11 𝑍 ∈ V
4847a1i 11 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝑍 ∈ V)
498, 48fexd 7233 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ V)
5049liminfcld 45217 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (lim infβ€˜πΉ) ∈ ℝ*)
5150xnegnegd 44883 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ -𝑒-𝑒(lim infβ€˜πΉ) = (lim infβ€˜πΉ))
52 liminflbuz2.2 . . . . . . . 8 Ⅎ𝑗𝐹
531, 52, 45, 5, 8liminfvaluz3 45243 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (lim infβ€˜πΉ) = -𝑒(lim supβ€˜(𝑗 ∈ 𝑍 ↦ -𝑒(πΉβ€˜π‘—))))
5451, 53eqtr2d 2766 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ -𝑒(lim supβ€˜(𝑗 ∈ 𝑍 ↦ -𝑒(πΉβ€˜π‘—))) = -𝑒-𝑒(lim infβ€˜πΉ))
5548mptexd 7230 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝑗 ∈ 𝑍 ↦ -𝑒(πΉβ€˜π‘—)) ∈ V)
5655limsupcld 45137 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (lim supβ€˜(𝑗 ∈ 𝑍 ↦ -𝑒(πΉβ€˜π‘—))) ∈ ℝ*)
5750xnegcld 13306 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ -𝑒(lim infβ€˜πΉ) ∈ ℝ*)
58 xneg11 13221 . . . . . . 7 (((lim supβ€˜(𝑗 ∈ 𝑍 ↦ -𝑒(πΉβ€˜π‘—))) ∈ ℝ* ∧ -𝑒(lim infβ€˜πΉ) ∈ ℝ*) β†’ (-𝑒(lim supβ€˜(𝑗 ∈ 𝑍 ↦ -𝑒(πΉβ€˜π‘—))) = -𝑒-𝑒(lim infβ€˜πΉ) ↔ (lim supβ€˜(𝑗 ∈ 𝑍 ↦ -𝑒(πΉβ€˜π‘—))) = -𝑒(lim infβ€˜πΉ)))
5956, 57, 58syl2anc 582 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (-𝑒(lim supβ€˜(𝑗 ∈ 𝑍 ↦ -𝑒(πΉβ€˜π‘—))) = -𝑒-𝑒(lim infβ€˜πΉ) ↔ (lim supβ€˜(𝑗 ∈ 𝑍 ↦ -𝑒(πΉβ€˜π‘—))) = -𝑒(lim infβ€˜πΉ)))
6054, 59mpbid 231 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (lim supβ€˜(𝑗 ∈ 𝑍 ↦ -𝑒(πΉβ€˜π‘—))) = -𝑒(lim infβ€˜πΉ))
61 nne 2934 . . . . . . 7 (Β¬ -𝑒(lim infβ€˜πΉ) β‰  +∞ ↔ -𝑒(lim infβ€˜πΉ) = +∞)
6251eqcomd 2731 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (lim infβ€˜πΉ) = -𝑒-𝑒(lim infβ€˜πΉ))
6362adantr 479 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ -𝑒(lim infβ€˜πΉ) = +∞) β†’ (lim infβ€˜πΉ) = -𝑒-𝑒(lim infβ€˜πΉ))
64 xnegeq 13213 . . . . . . . . 9 (-𝑒(lim infβ€˜πΉ) = +∞ β†’ -𝑒-𝑒(lim infβ€˜πΉ) = -𝑒+∞)
6564adantl 480 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ -𝑒(lim infβ€˜πΉ) = +∞) β†’ -𝑒-𝑒(lim infβ€˜πΉ) = -𝑒+∞)
66 xnegpnf 13215 . . . . . . . . 9 -𝑒+∞ = -∞
6766a1i 11 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ -𝑒(lim infβ€˜πΉ) = +∞) β†’ -𝑒+∞ = -∞)
6863, 65, 673eqtrd 2769 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ -𝑒(lim infβ€˜πΉ) = +∞) β†’ (lim infβ€˜πΉ) = -∞)
6961, 68sylan2b 592 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ Β¬ -𝑒(lim infβ€˜πΉ) β‰  +∞) β†’ (lim infβ€˜πΉ) = -∞)
70 liminflbuz2.6 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (lim infβ€˜πΉ) β‰  -∞)
7170neneqd 2935 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ Β¬ (lim infβ€˜πΉ) = -∞)
7271adantr 479 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ Β¬ -𝑒(lim infβ€˜πΉ) β‰  +∞) β†’ Β¬ (lim infβ€˜πΉ) = -∞)
7369, 72condan 816 . . . . 5 (πœ‘ β†’ -𝑒(lim infβ€˜πΉ) β‰  +∞)
7460, 73eqnetrd 2998 . . . 4 (πœ‘ β†’ (lim supβ€˜(𝑗 ∈ 𝑍 ↦ -𝑒(πΉβ€˜π‘—))) β‰  +∞)
751, 44, 45, 5, 46, 74limsupubuz2 45260 . . 3 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ 𝑍 βˆ€π‘— ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)((𝑗 ∈ 𝑍 ↦ -𝑒(πΉβ€˜π‘—))β€˜π‘—) < +∞)
7643, 75reximddv3 3162 . 2 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ 𝑍 βˆ€π‘— ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)-𝑒(πΉβ€˜π‘—) β‰  +∞)
7729, 76reximddv3 3162 1 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ 𝑍 βˆ€π‘— ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)-∞ < (πΉβ€˜π‘—))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1533  β„²wnf 1777   ∈ wcel 2098  β„²wnfc 2875   β‰  wne 2930  βˆ€wral 3051  βˆƒwrex 3060  Vcvv 3463   class class class wbr 5144   ↦ cmpt 5227  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  +∞cpnf 11270  -∞cmnf 11271  β„*cxr 11272   < clt 11273   ≀ cle 11274  β„€cz 12583  β„€β‰₯cuz 12847  -𝑒cxne 13116  lim supclsp 15441  lim infclsi 45198
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5281  ax-sep 5295  ax-nul 5302  ax-pow 5360  ax-pr 5424  ax-un 7735  ax-cnex 11189  ax-resscn 11190  ax-1cn 11191  ax-icn 11192  ax-addcl 11193  ax-addrcl 11194  ax-mulcl 11195  ax-mulrcl 11196  ax-mulcom 11197  ax-addass 11198  ax-mulass 11199  ax-distr 11200  ax-i2m1 11201  ax-1ne0 11202  ax-1rid 11203  ax-rnegex 11204  ax-rrecex 11205  ax-cnre 11206  ax-pre-lttri 11207  ax-pre-lttrn 11208  ax-pre-ltadd 11209  ax-pre-mulgt0 11210  ax-pre-sup 11211
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3961  df-nul 4320  df-if 4526  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4905  df-iun 4994  df-br 5145  df-opab 5207  df-mpt 5228  df-tr 5262  df-id 5571  df-eprel 5577  df-po 5585  df-so 5586  df-fr 5628  df-we 5630  df-xp 5679  df-rel 5680  df-cnv 5681  df-co 5682  df-dm 5683  df-rn 5684  df-res 5685  df-ima 5686  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7369  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7866  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-er 8718  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-sup 9460  df-inf 9461  df-pnf 11275  df-mnf 11276  df-xr 11277  df-ltxr 11278  df-le 11279  df-sub 11471  df-neg 11472  df-div 11897  df-nn 12238  df-n0 12498  df-z 12584  df-uz 12848  df-q 12958  df-xneg 13119  df-ico 13357  df-fl 13784  df-limsup 15442  df-liminf 45199
This theorem is referenced by:  liminflimsupxrre  45264
  Copyright terms: Public domain W3C validator