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Theorem liminflbuz2 45771
Description: A sequence with values in the extended reals, and with liminf that is not -∞, is eventually greater than -∞. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Apr-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
liminflbuz2.1 𝑗𝜑
liminflbuz2.2 𝑗𝐹
liminflbuz2.3 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
liminflbuz2.4 𝑍 = (ℤ𝑀)
liminflbuz2.5 (𝜑𝐹:𝑍⟶ℝ*)
liminflbuz2.6 (𝜑 → (lim inf‘𝐹) ≠ -∞)
Assertion
Ref Expression
liminflbuz2 (𝜑 → ∃𝑘𝑍𝑗 ∈ (ℤ𝑘)-∞ < (𝐹𝑗))
Distinct variable groups:   𝑘,𝐹   𝑗,𝑀,𝑘   𝑗,𝑍,𝑘   𝜑,𝑘
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑗)   𝐹(𝑗)

Proof of Theorem liminflbuz2
StepHypRef Expression
1 liminflbuz2.1 . . . . 5 𝑗𝜑
2 nfv 1912 . . . . 5 𝑗 𝑘𝑍
31, 2nfan 1897 . . . 4 𝑗(𝜑𝑘𝑍)
4 simpll 767 . . . . 5 (((𝜑𝑘𝑍) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ𝑘)) → 𝜑)
5 liminflbuz2.4 . . . . . . 7 𝑍 = (ℤ𝑀)
65uztrn2 12895 . . . . . 6 ((𝑘𝑍𝑗 ∈ (ℤ𝑘)) → 𝑗𝑍)
76adantll 714 . . . . 5 (((𝜑𝑘𝑍) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ𝑘)) → 𝑗𝑍)
8 liminflbuz2.5 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐹:𝑍⟶ℝ*)
98ffvelcdmda 7104 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑗𝑍) → (𝐹𝑗) ∈ ℝ*)
109adantr 480 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ ¬ -∞ < (𝐹𝑗)) → (𝐹𝑗) ∈ ℝ*)
11 mnfxr 11316 . . . . . . . . . . . 12 -∞ ∈ ℝ*
1211a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ ¬ -∞ < (𝐹𝑗)) → -∞ ∈ ℝ*)
13 simpr 484 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ ¬ -∞ < (𝐹𝑗)) → ¬ -∞ < (𝐹𝑗))
1410, 12, 13xrnltled 11327 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ ¬ -∞ < (𝐹𝑗)) → (𝐹𝑗) ≤ -∞)
15 xlemnf 13206 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹𝑗) ∈ ℝ* → ((𝐹𝑗) ≤ -∞ ↔ (𝐹𝑗) = -∞))
1610, 15syl 17 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ ¬ -∞ < (𝐹𝑗)) → ((𝐹𝑗) ≤ -∞ ↔ (𝐹𝑗) = -∞))
1714, 16mpbid 232 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ ¬ -∞ < (𝐹𝑗)) → (𝐹𝑗) = -∞)
18 xnegeq 13246 . . . . . . . . . 10 ((𝐹𝑗) = -∞ → -𝑒(𝐹𝑗) = -𝑒-∞)
19 xnegmnf 13249 . . . . . . . . . 10 -𝑒-∞ = +∞
2018, 19eqtrdi 2791 . . . . . . . . 9 ((𝐹𝑗) = -∞ → -𝑒(𝐹𝑗) = +∞)
2117, 20syl 17 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ ¬ -∞ < (𝐹𝑗)) → -𝑒(𝐹𝑗) = +∞)
2221adantlr 715 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑗𝑍) ∧ -𝑒(𝐹𝑗) ≠ +∞) ∧ ¬ -∞ < (𝐹𝑗)) → -𝑒(𝐹𝑗) = +∞)
23 neneq 2944 . . . . . . . 8 (-𝑒(𝐹𝑗) ≠ +∞ → ¬ -𝑒(𝐹𝑗) = +∞)
2423ad2antlr 727 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑗𝑍) ∧ -𝑒(𝐹𝑗) ≠ +∞) ∧ ¬ -∞ < (𝐹𝑗)) → ¬ -𝑒(𝐹𝑗) = +∞)
2522, 24condan 818 . . . . . 6 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ -𝑒(𝐹𝑗) ≠ +∞) → -∞ < (𝐹𝑗))
2625ex 412 . . . . 5 ((𝜑𝑗𝑍) → (-𝑒(𝐹𝑗) ≠ +∞ → -∞ < (𝐹𝑗)))
274, 7, 26syl2anc 584 . . . 4 (((𝜑𝑘𝑍) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ𝑘)) → (-𝑒(𝐹𝑗) ≠ +∞ → -∞ < (𝐹𝑗)))
283, 27ralimdaa 3258 . . 3 ((𝜑𝑘𝑍) → (∀𝑗 ∈ (ℤ𝑘)-𝑒(𝐹𝑗) ≠ +∞ → ∀𝑗 ∈ (ℤ𝑘)-∞ < (𝐹𝑗)))
2928imp 406 . 2 (((𝜑𝑘𝑍) ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ𝑘)-𝑒(𝐹𝑗) ≠ +∞) → ∀𝑗 ∈ (ℤ𝑘)-∞ < (𝐹𝑗))
309xnegcld 13339 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑗𝑍) → -𝑒(𝐹𝑗) ∈ ℝ*)
3130adantr 480 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ ((𝑗𝑍 ↦ -𝑒(𝐹𝑗))‘𝑗) < +∞) → -𝑒(𝐹𝑗) ∈ ℝ*)
32 pnfxr 11313 . . . . . . . . 9 +∞ ∈ ℝ*
3332a1i 11 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ ((𝑗𝑍 ↦ -𝑒(𝐹𝑗))‘𝑗) < +∞) → +∞ ∈ ℝ*)
34 eqidd 2736 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑗𝑍 ↦ -𝑒(𝐹𝑗)) = (𝑗𝑍 ↦ -𝑒(𝐹𝑗)))
3534, 30fvmpt2d 7029 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑗𝑍) → ((𝑗𝑍 ↦ -𝑒(𝐹𝑗))‘𝑗) = -𝑒(𝐹𝑗))
3635adantr 480 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ ((𝑗𝑍 ↦ -𝑒(𝐹𝑗))‘𝑗) < +∞) → ((𝑗𝑍 ↦ -𝑒(𝐹𝑗))‘𝑗) = -𝑒(𝐹𝑗))
37 simpr 484 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ ((𝑗𝑍 ↦ -𝑒(𝐹𝑗))‘𝑗) < +∞) → ((𝑗𝑍 ↦ -𝑒(𝐹𝑗))‘𝑗) < +∞)
3836, 37eqbrtrrd 5172 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ ((𝑗𝑍 ↦ -𝑒(𝐹𝑗))‘𝑗) < +∞) → -𝑒(𝐹𝑗) < +∞)
3931, 33, 38xrltned 45307 . . . . . . 7 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ ((𝑗𝑍 ↦ -𝑒(𝐹𝑗))‘𝑗) < +∞) → -𝑒(𝐹𝑗) ≠ +∞)
4039ex 412 . . . . . 6 ((𝜑𝑗𝑍) → (((𝑗𝑍 ↦ -𝑒(𝐹𝑗))‘𝑗) < +∞ → -𝑒(𝐹𝑗) ≠ +∞))
414, 7, 40syl2anc 584 . . . . 5 (((𝜑𝑘𝑍) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ𝑘)) → (((𝑗𝑍 ↦ -𝑒(𝐹𝑗))‘𝑗) < +∞ → -𝑒(𝐹𝑗) ≠ +∞))
423, 41ralimdaa 3258 . . . 4 ((𝜑𝑘𝑍) → (∀𝑗 ∈ (ℤ𝑘)((𝑗𝑍 ↦ -𝑒(𝐹𝑗))‘𝑗) < +∞ → ∀𝑗 ∈ (ℤ𝑘)-𝑒(𝐹𝑗) ≠ +∞))
4342imp 406 . . 3 (((𝜑𝑘𝑍) ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ𝑘)((𝑗𝑍 ↦ -𝑒(𝐹𝑗))‘𝑗) < +∞) → ∀𝑗 ∈ (ℤ𝑘)-𝑒(𝐹𝑗) ≠ +∞)
44 nfmpt1 5256 . . . 4 𝑗(𝑗𝑍 ↦ -𝑒(𝐹𝑗))
45 liminflbuz2.3 . . . 4 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
461, 30fmptd2f 45178 . . . 4 (𝜑 → (𝑗𝑍 ↦ -𝑒(𝐹𝑗)):𝑍⟶ℝ*)
475fvexi 6921 . . . . . . . . . . 11 𝑍 ∈ V
4847a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑍 ∈ V)
498, 48fexd 7247 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐹 ∈ V)
5049liminfcld 45726 . . . . . . . 8 (𝜑 → (lim inf‘𝐹) ∈ ℝ*)
5150xnegnegd 45392 . . . . . . 7 (𝜑 → -𝑒-𝑒(lim inf‘𝐹) = (lim inf‘𝐹))
52 liminflbuz2.2 . . . . . . . 8 𝑗𝐹
531, 52, 45, 5, 8liminfvaluz3 45752 . . . . . . 7 (𝜑 → (lim inf‘𝐹) = -𝑒(lim sup‘(𝑗𝑍 ↦ -𝑒(𝐹𝑗))))
5451, 53eqtr2d 2776 . . . . . 6 (𝜑 → -𝑒(lim sup‘(𝑗𝑍 ↦ -𝑒(𝐹𝑗))) = -𝑒-𝑒(lim inf‘𝐹))
5548mptexd 7244 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑗𝑍 ↦ -𝑒(𝐹𝑗)) ∈ V)
5655limsupcld 45646 . . . . . . 7 (𝜑 → (lim sup‘(𝑗𝑍 ↦ -𝑒(𝐹𝑗))) ∈ ℝ*)
5750xnegcld 13339 . . . . . . 7 (𝜑 → -𝑒(lim inf‘𝐹) ∈ ℝ*)
58 xneg11 13254 . . . . . . 7 (((lim sup‘(𝑗𝑍 ↦ -𝑒(𝐹𝑗))) ∈ ℝ* ∧ -𝑒(lim inf‘𝐹) ∈ ℝ*) → (-𝑒(lim sup‘(𝑗𝑍 ↦ -𝑒(𝐹𝑗))) = -𝑒-𝑒(lim inf‘𝐹) ↔ (lim sup‘(𝑗𝑍 ↦ -𝑒(𝐹𝑗))) = -𝑒(lim inf‘𝐹)))
5956, 57, 58syl2anc 584 . . . . . 6 (𝜑 → (-𝑒(lim sup‘(𝑗𝑍 ↦ -𝑒(𝐹𝑗))) = -𝑒-𝑒(lim inf‘𝐹) ↔ (lim sup‘(𝑗𝑍 ↦ -𝑒(𝐹𝑗))) = -𝑒(lim inf‘𝐹)))
6054, 59mpbid 232 . . . . 5 (𝜑 → (lim sup‘(𝑗𝑍 ↦ -𝑒(𝐹𝑗))) = -𝑒(lim inf‘𝐹))
61 nne 2942 . . . . . . 7 (¬ -𝑒(lim inf‘𝐹) ≠ +∞ ↔ -𝑒(lim inf‘𝐹) = +∞)
6251eqcomd 2741 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (lim inf‘𝐹) = -𝑒-𝑒(lim inf‘𝐹))
6362adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ -𝑒(lim inf‘𝐹) = +∞) → (lim inf‘𝐹) = -𝑒-𝑒(lim inf‘𝐹))
64 xnegeq 13246 . . . . . . . . 9 (-𝑒(lim inf‘𝐹) = +∞ → -𝑒-𝑒(lim inf‘𝐹) = -𝑒+∞)
6564adantl 481 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ -𝑒(lim inf‘𝐹) = +∞) → -𝑒-𝑒(lim inf‘𝐹) = -𝑒+∞)
66 xnegpnf 13248 . . . . . . . . 9 -𝑒+∞ = -∞
6766a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ -𝑒(lim inf‘𝐹) = +∞) → -𝑒+∞ = -∞)
6863, 65, 673eqtrd 2779 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ -𝑒(lim inf‘𝐹) = +∞) → (lim inf‘𝐹) = -∞)
6961, 68sylan2b 594 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ -𝑒(lim inf‘𝐹) ≠ +∞) → (lim inf‘𝐹) = -∞)
70 liminflbuz2.6 . . . . . . . 8 (𝜑 → (lim inf‘𝐹) ≠ -∞)
7170neneqd 2943 . . . . . . 7 (𝜑 → ¬ (lim inf‘𝐹) = -∞)
7271adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ -𝑒(lim inf‘𝐹) ≠ +∞) → ¬ (lim inf‘𝐹) = -∞)
7369, 72condan 818 . . . . 5 (𝜑 → -𝑒(lim inf‘𝐹) ≠ +∞)
7460, 73eqnetrd 3006 . . . 4 (𝜑 → (lim sup‘(𝑗𝑍 ↦ -𝑒(𝐹𝑗))) ≠ +∞)
751, 44, 45, 5, 46, 74limsupubuz2 45769 . . 3 (𝜑 → ∃𝑘𝑍𝑗 ∈ (ℤ𝑘)((𝑗𝑍 ↦ -𝑒(𝐹𝑗))‘𝑗) < +∞)
7643, 75reximddv3 3170 . 2 (𝜑 → ∃𝑘𝑍𝑗 ∈ (ℤ𝑘)-𝑒(𝐹𝑗) ≠ +∞)
7729, 76reximddv3 3170 1 (𝜑 → ∃𝑘𝑍𝑗 ∈ (ℤ𝑘)-∞ < (𝐹𝑗))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1537  wnf 1780  wcel 2106  wnfc 2888  wne 2938  wral 3059  wrex 3068  Vcvv 3478   class class class wbr 5148  cmpt 5231  wf 6559  cfv 6563  +∞cpnf 11290  -∞cmnf 11291  *cxr 11292   < clt 11293  cle 11294  cz 12611  cuz 12876  -𝑒cxne 13149  lim supclsp 15503  lim infclsi 45707
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-isom 6572  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-sup 9480  df-inf 9481  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-q 12989  df-xneg 13152  df-ico 13390  df-fl 13829  df-limsup 15504  df-liminf 45708
This theorem is referenced by:  liminflimsupxrre  45773
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