Theorem liminflbuz2 41562

Description: A sequence with values in the extended reals, and with liminf that is not -∞, is eventually greater than -∞. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Apr-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
liminflbuz2.1	⊢ Ⅎ𝑗𝜑
liminflbuz2.2	⊢ Ⅎ𝑗𝐹
liminflbuz2.3	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
liminflbuz2.4	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
liminflbuz2.5	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶ℝ*)
liminflbuz2.6	⊢ (𝜑 → (lim inf‘𝐹) ≠ -∞)

Assertion

Ref	Expression
liminflbuz2	⊢ (𝜑 → ∃𝑘 ∈ 𝑍 ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)-∞ < (𝐹‘𝑗))

Distinct variable groups:   𝑘,𝐹   𝑗,𝑀,𝑘   𝑗,𝑍,𝑘   𝜑,𝑘

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑗)   𝐹(𝑗)

Proof of Theorem liminflbuz2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		liminflbuz2.1	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑗𝜑
2		nfv 1874	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑗 𝑘 ∈ 𝑍
3	1, 2	nfan 1863	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑗(𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍)
4		simpll 755	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)) → 𝜑)
5		liminflbuz2.4	. . . . . . 7 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
6	5	uztrn2 12082	. . . . . 6 ⊢ ((𝑘 ∈ 𝑍 ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)) → 𝑗 ∈ 𝑍)
7	6	adantll 702	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)) → 𝑗 ∈ 𝑍)
8		liminflbuz2.5	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶ℝ*)
9	8	ffvelrnda 6682	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑗) ∈ ℝ*)
10	9	adantr 473	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ ¬ -∞ < (𝐹‘𝑗)) → (𝐹‘𝑗) ∈ ℝ*)
11		mnfxr 10504	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ -∞ ∈ ℝ*
12	11	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ ¬ -∞ < (𝐹‘𝑗)) → -∞ ∈ ℝ*)
13		simpr 477	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ ¬ -∞ < (𝐹‘𝑗)) → ¬ -∞ < (𝐹‘𝑗))
14	10, 12, 13	xrnltled 10515	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ ¬ -∞ < (𝐹‘𝑗)) → (𝐹‘𝑗) ≤ -∞)
15		xlemnf 12383	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐹‘𝑗) ∈ ℝ* → ((𝐹‘𝑗) ≤ -∞ ↔ (𝐹‘𝑗) = -∞))
16	10, 15	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ ¬ -∞ < (𝐹‘𝑗)) → ((𝐹‘𝑗) ≤ -∞ ↔ (𝐹‘𝑗) = -∞))
17	14, 16	mpbid 224	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ ¬ -∞ < (𝐹‘𝑗)) → (𝐹‘𝑗) = -∞)
18		xnegeq 12423	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹‘𝑗) = -∞ → -𝑒(𝐹‘𝑗) = -𝑒-∞)
19		xnegmnf 12426	. . . . . . . . . 10 ⊢ -𝑒-∞ = +∞
20	18, 19	syl6eq 2832	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹‘𝑗) = -∞ → -𝑒(𝐹‘𝑗) = +∞)
21	17, 20	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ ¬ -∞ < (𝐹‘𝑗)) → -𝑒(𝐹‘𝑗) = +∞)
22	21	adantlr 703	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ -𝑒(𝐹‘𝑗) ≠ +∞) ∧ ¬ -∞ < (𝐹‘𝑗)) → -𝑒(𝐹‘𝑗) = +∞)
23		neneq 2975	. . . . . . . 8 ⊢ (-𝑒(𝐹‘𝑗) ≠ +∞ → ¬ -𝑒(𝐹‘𝑗) = +∞)
24	23	ad2antlr 715	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ -𝑒(𝐹‘𝑗) ≠ +∞) ∧ ¬ -∞ < (𝐹‘𝑗)) → ¬ -𝑒(𝐹‘𝑗) = +∞)
25	22, 24	condan 806	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ -𝑒(𝐹‘𝑗) ≠ +∞) → -∞ < (𝐹‘𝑗))
26	25	ex 405	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → (-𝑒(𝐹‘𝑗) ≠ +∞ → -∞ < (𝐹‘𝑗)))
27	4, 7, 26	syl2anc 576	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)) → (-𝑒(𝐹‘𝑗) ≠ +∞ → -∞ < (𝐹‘𝑗)))
28	3, 27	ralimdaa 3169	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)-𝑒(𝐹‘𝑗) ≠ +∞ → ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)-∞ < (𝐹‘𝑗)))
29	28	imp 398	. 2 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)-𝑒(𝐹‘𝑗) ≠ +∞) → ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)-∞ < (𝐹‘𝑗))
30	9	xnegcld 12515	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → -𝑒(𝐹‘𝑗) ∈ ℝ*)
31	30	adantr 473	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ ((𝑗 ∈ 𝑍 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑗))‘𝑗) < +∞) → -𝑒(𝐹‘𝑗) ∈ ℝ*)
32		pnfxr 10500	. . . . . . . . 9 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
33	32	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ ((𝑗 ∈ 𝑍 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑗))‘𝑗) < +∞) → +∞ ∈ ℝ*)
34		eqidd 2781	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑗 ∈ 𝑍 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑗)) = (𝑗 ∈ 𝑍 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑗)))
35	34, 30	fvmpt2d 6613	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → ((𝑗 ∈ 𝑍 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑗))‘𝑗) = -𝑒(𝐹‘𝑗))
36	35	adantr 473	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ ((𝑗 ∈ 𝑍 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑗))‘𝑗) < +∞) → ((𝑗 ∈ 𝑍 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑗))‘𝑗) = -𝑒(𝐹‘𝑗))
37		simpr 477	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ ((𝑗 ∈ 𝑍 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑗))‘𝑗) < +∞) → ((𝑗 ∈ 𝑍 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑗))‘𝑗) < +∞)
38	36, 37	eqbrtrrd 4958	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ ((𝑗 ∈ 𝑍 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑗))‘𝑗) < +∞) → -𝑒(𝐹‘𝑗) < +∞)
39	31, 33, 38	xrltned 41089	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ ((𝑗 ∈ 𝑍 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑗))‘𝑗) < +∞) → -𝑒(𝐹‘𝑗) ≠ +∞)
40	39	ex 405	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → (((𝑗 ∈ 𝑍 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑗))‘𝑗) < +∞ → -𝑒(𝐹‘𝑗) ≠ +∞))
41	4, 7, 40	syl2anc 576	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)) → (((𝑗 ∈ 𝑍 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑗))‘𝑗) < +∞ → -𝑒(𝐹‘𝑗) ≠ +∞))
42	3, 41	ralimdaa 3169	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)((𝑗 ∈ 𝑍 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑗))‘𝑗) < +∞ → ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)-𝑒(𝐹‘𝑗) ≠ +∞))
43	42	imp 398	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)((𝑗 ∈ 𝑍 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑗))‘𝑗) < +∞) → ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)-𝑒(𝐹‘𝑗) ≠ +∞)
44		nfmpt1 5030	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑗(𝑗 ∈ 𝑍 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑗))
45		liminflbuz2.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
46	1, 30	fmptd2f 40968	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑗 ∈ 𝑍 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑗)):𝑍⟶ℝ*)
47	5	fvexi 6518	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑍 ∈ V
48	47	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ V)
49	8, 48	fexd 40840	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ V)
50	49	liminfcld 41517	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (lim inf‘𝐹) ∈ ℝ*)
51	50	xnegnegd 41182	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → -𝑒-𝑒(lim inf‘𝐹) = (lim inf‘𝐹))
52		liminflbuz2.2	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑗𝐹
53	1, 52, 45, 5, 8	liminfvaluz3 41543	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (lim inf‘𝐹) = -𝑒(lim sup‘(𝑗 ∈ 𝑍 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑗))))
54	51, 53	eqtr2d 2817	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → -𝑒(lim sup‘(𝑗 ∈ 𝑍 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑗))) = -𝑒-𝑒(lim inf‘𝐹))
55	48	mptexd 6819	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑗 ∈ 𝑍 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑗)) ∈ V)
56	55	limsupcld 41437	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (lim sup‘(𝑗 ∈ 𝑍 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑗))) ∈ ℝ*)
57	50	xnegcld 12515	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → -𝑒(lim inf‘𝐹) ∈ ℝ*)
58		xneg11 12431	. . . . . . 7 ⊢ (((lim sup‘(𝑗 ∈ 𝑍 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑗))) ∈ ℝ* ∧ -𝑒(lim inf‘𝐹) ∈ ℝ*) → (-𝑒(lim sup‘(𝑗 ∈ 𝑍 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑗))) = -𝑒-𝑒(lim inf‘𝐹) ↔ (lim sup‘(𝑗 ∈ 𝑍 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑗))) = -𝑒(lim inf‘𝐹)))
59	56, 57, 58	syl2anc 576	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (-𝑒(lim sup‘(𝑗 ∈ 𝑍 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑗))) = -𝑒-𝑒(lim inf‘𝐹) ↔ (lim sup‘(𝑗 ∈ 𝑍 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑗))) = -𝑒(lim inf‘𝐹)))
60	54, 59	mpbid 224	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (lim sup‘(𝑗 ∈ 𝑍 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑗))) = -𝑒(lim inf‘𝐹))
61		nne 2973	. . . . . . 7 ⊢ (¬ -𝑒(lim inf‘𝐹) ≠ +∞ ↔ -𝑒(lim inf‘𝐹) = +∞)
62	51	eqcomd 2786	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (lim inf‘𝐹) = -𝑒-𝑒(lim inf‘𝐹))
63	62	adantr 473	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ -𝑒(lim inf‘𝐹) = +∞) → (lim inf‘𝐹) = -𝑒-𝑒(lim inf‘𝐹))
64		xnegeq 12423	. . . . . . . . 9 ⊢ (-𝑒(lim inf‘𝐹) = +∞ → -𝑒-𝑒(lim inf‘𝐹) = -𝑒+∞)
65	64	adantl 474	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ -𝑒(lim inf‘𝐹) = +∞) → -𝑒-𝑒(lim inf‘𝐹) = -𝑒+∞)
66		xnegpnf 12425	. . . . . . . . 9 ⊢ -𝑒+∞ = -∞
67	66	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ -𝑒(lim inf‘𝐹) = +∞) → -𝑒+∞ = -∞)
68	63, 65, 67	3eqtrd 2820	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ -𝑒(lim inf‘𝐹) = +∞) → (lim inf‘𝐹) = -∞)
69	61, 68	sylan2b 585	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ -𝑒(lim inf‘𝐹) ≠ +∞) → (lim inf‘𝐹) = -∞)
70		liminflbuz2.6	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (lim inf‘𝐹) ≠ -∞)
71	70	neneqd 2974	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ¬ (lim inf‘𝐹) = -∞)
72	71	adantr 473	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ -𝑒(lim inf‘𝐹) ≠ +∞) → ¬ (lim inf‘𝐹) = -∞)
73	69, 72	condan 806	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → -𝑒(lim inf‘𝐹) ≠ +∞)
74	60, 73	eqnetrd 3036	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (lim sup‘(𝑗 ∈ 𝑍 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑗))) ≠ +∞)
75	1, 44, 45, 5, 46, 74	limsupubuz2 41560	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑘 ∈ 𝑍 ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)((𝑗 ∈ 𝑍 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑗))‘𝑗) < +∞)
76	43, 75	reximddv3 40880	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑘 ∈ 𝑍 ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)-𝑒(𝐹‘𝑗) ≠ +∞)
77	29, 76	reximddv3 40880	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑘 ∈ 𝑍 ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)-∞ < (𝐹‘𝑗))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 198   ∧ wa 387   = wceq 1508  Ⅎwnf 1747   ∈ wcel 2051  Ⅎwnfc 2918   ≠ wne 2969  ∀wral 3090  ∃wrex 3091  Vcvv 3417   class class class wbr 4934   ↦ cmpt 5013  ⟶wf 6189  ‘cfv 6193  +∞cpnf 10477  -∞cmnf 10478  ℝ^*cxr 10479   < clt 10480   ≤ cle 10481  ℤcz 11799  ℤ_≥cuz 12064  -_𝑒cxne 12327  lim supclsp 14694  lim infclsi 41498

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1759  ax-4 1773  ax-5 1870  ax-6 1929  ax-7 1966  ax-8 2053  ax-9 2060  ax-10 2080  ax-11 2094  ax-12 2107  ax-13 2302  ax-ext 2752  ax-rep 5053  ax-sep 5064  ax-nul 5071  ax-pow 5123  ax-pr 5190  ax-un 7285  ax-cnex 10397  ax-resscn 10398  ax-1cn 10399  ax-icn 10400  ax-addcl 10401  ax-addrcl 10402  ax-mulcl 10403  ax-mulrcl 10404  ax-mulcom 10405  ax-addass 10406  ax-mulass 10407  ax-distr 10408  ax-i2m1 10409  ax-1ne0 10410  ax-1rid 10411  ax-rnegex 10412  ax-rrecex 10413  ax-cnre 10414  ax-pre-lttri 10415  ax-pre-lttrn 10416  ax-pre-ltadd 10417  ax-pre-mulgt0 10418  ax-pre-sup 10419

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 835  df-3or 1070  df-3an 1071  df-tru 1511  df-ex 1744  df-nf 1748  df-sb 2017  df-mo 2551  df-eu 2589  df-clab 2761  df-cleq 2773  df-clel 2848  df-nfc 2920  df-ne 2970  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rmo 3098  df-rab 3099  df-v 3419  df-sbc 3684  df-csb 3789  df-dif 3834  df-un 3836  df-in 3838  df-ss 3845  df-pss 3847  df-nul 4182  df-if 4354  df-pw 4427  df-sn 4445  df-pr 4447  df-tp 4449  df-op 4451  df-uni 4718  df-iun 4799  df-br 4935  df-opab 4997  df-mpt 5014  df-tr 5036  df-id 5316  df-eprel 5321  df-po 5330  df-so 5331  df-fr 5370  df-we 5372  df-xp 5417  df-rel 5418  df-cnv 5419  df-co 5420  df-dm 5421  df-rn 5422  df-res 5423  df-ima 5424  df-pred 5991  df-ord 6037  df-on 6038  df-lim 6039  df-suc 6040  df-iota 6157  df-fun 6195  df-fn 6196  df-f 6197  df-f1 6198  df-fo 6199  df-f1o 6200  df-fv 6201  df-isom 6202  df-riota 6943  df-ov 6985  df-oprab 6986  df-mpo 6987  df-om 7403  df-1st 7507  df-2nd 7508  df-wrecs 7756  df-recs 7818  df-rdg 7856  df-er 8095  df-en 8313  df-dom 8314  df-sdom 8315  df-sup 8707  df-inf 8708  df-pnf 10482  df-mnf 10483  df-xr 10484  df-ltxr 10485  df-le 10486  df-sub 10678  df-neg 10679  df-div 11105  df-nn 11446  df-n0 11714  df-z 11800  df-uz 12065  df-q 12169  df-xneg 12330  df-ico 12566  df-fl 12983  df-limsup 14695  df-liminf 41499

This theorem is referenced by:  liminflimsupxrre  41564