MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xrlenltd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xrlenltd 11284
Description: "Less than or equal to" expressed in terms of "less than", for extended reals. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
xrlenltd.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
xrlenltd.b (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
Assertion
Ref Expression
xrlenltd (𝜑 → (𝐴𝐵 ↔ ¬ 𝐵 < 𝐴))

Proof of Theorem xrlenltd
StepHypRef Expression
1 xrlenltd.a . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
2 xrlenltd.b . 2 (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
3 xrlenlt 11283 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴𝐵 ↔ ¬ 𝐵 < 𝐴))
41, 2, 3syl2anc 582 1 (𝜑 → (𝐴𝐵 ↔ ¬ 𝐵 < 𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wcel 2104   class class class wbr 5147  *cxr 11251   < clt 11252  cle 11253
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-ext 2701  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pr 5426
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-sb 2066  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3431  df-v 3474  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-br 5148  df-opab 5210  df-xp 5681  df-cnv 5683  df-le 11258
This theorem is referenced by:  xrnltled  11286  supxrleub  13309  infxrgelb  13318  ixxub  13349  ixxlb  13350  icodisj  13457  supicclub2  13485  bldisj  24124  icombl  25313  ioorcl2  25321  ply1divmo  25888  ig1peu  25924  psercnlem1  26173  infxrge0gelb  32246  supxrgere  44341  supxrgelem  44345  lenelioc  44547  iccdificc  44550  limsupub  44718  fge0iccico  45384  sge0sn  45393  sge0rpcpnf  45435  pimltmnf2f  45711  pimconstlt0  45715  pimgtpnf2f  45719  pimdecfgtioo  45731  pimincfltioo  45732
  Copyright terms: Public domain W3C validator