Theorem xrlenltd 11242

Description: "Less than or equal to" expressed in terms of "less than", for extended reals. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
xrlenltd.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
xrlenltd.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)

Assertion

Ref	Expression
xrlenltd	⊢ (𝜑 → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 < 𝐴))

Proof of Theorem xrlenltd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xrlenltd.a	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
2		xrlenltd.b	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
3		xrlenlt 11241	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 < 𝐴))
4	1, 2, 3	syl2anc 593	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 < 𝐴))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 208   ∈ wcel 2141   class class class wbr 5097  ℝ^*cxr 11209   < clt 11210   ≤ cle 11211

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-ext 2733  ax-sep 5243  ax-pr 5387

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-sb 2090  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rab 3414  df-v 3455  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4284  df-if 4478  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-br 5098  df-opab 5160  df-xp 5649  df-cnv 5651  df-le 11216

This theorem is referenced by:  xrnltled  11245  supxrleub  13323  infxrgelb  13333  ixxub  13364  ixxlb  13365  icodisj  13474  supicclub2  13502  bldisj  24446  icombl  25614  ioorcl2  25622  ply1divmo  26184  ig1peu  26223  psercnlem1  26476  infxrge0gelb  32929  supxrgere  45870  supxrgelem  45874  lenelioc  46073  iccdificc  46076  limsupub  46239  fge0iccico  46905  sge0sn  46914  sge0rpcpnf  46956  pimltmnf2f  47232  pimconstlt0  47236  pimgtpnf2f  47240  pimdecfgtioo  47252  pimincfltioo  47253