Theorem xrlenltd 11299

Description: "Less than or equal to" expressed in terms of "less than", for extended reals. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
xrlenltd.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
xrlenltd.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)

Assertion

Ref	Expression
xrlenltd	⊢ (𝜑 → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 < 𝐴))

Proof of Theorem xrlenltd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xrlenltd.a	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
2		xrlenltd.b	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
3		xrlenlt 11298	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 < 𝐴))
4	1, 2, 3	syl2anc 596	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 < 𝐴))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∈ wcel 2145   class class class wbr 5103  ℝ^*cxr 11266   < clt 11267   ≤ cle 11268

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-pr 5398

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-sb 2100  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-br 5104  df-opab 5168  df-xp 5661  df-cnv 5663  df-le 11273

This theorem is used by:  xrnltled  11302  supxrleub  13378  infxrgelb  13388  ixxub  13419  ixxlb  13420  icodisj  13529  supicclub2  13557  bldisj  24624  icombl  25792  ioorcl2  25800  ply1divmo  26361  ig1peu  26400  psercnlem1  26661  infxrge0gelb  33237  supxrgere  46163  supxrgelem  46167  lenelioc  46366  iccdificc  46369  limsupub  46532  fge0iccico  47198  sge0sn  47207  sge0rpcpnf  47249  pimltmnf2f  47525  pimconstlt0  47529  pimgtpnf2f  47533  pimdecfgtioo  47545  pimincfltioo  47546