Theorem xrlenltd 10709

Description: "Less than or equal to" expressed in terms of "less than", for extended reals. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
xrlenltd.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
xrlenltd.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)

Assertion

Ref	Expression
xrlenltd	⊢ (𝜑 → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 < 𝐴))

Proof of Theorem xrlenltd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xrlenltd.a	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
2		xrlenltd.b	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
3		xrlenlt 10708	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 < 𝐴))
4	1, 2, 3	syl2anc 586	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 < 𝐴))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 208   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5068  ℝ^*cxr 10676   < clt 10677   ≤ cle 10678

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2795  ax-sep 5205  ax-nul 5212  ax-pr 5332

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2802  df-cleq 2816  df-clel 2895  df-nfc 2965  df-ral 3145  df-rex 3146  df-rab 3149  df-v 3498  df-dif 3941  df-un 3943  df-in 3945  df-ss 3954  df-nul 4294  df-if 4470  df-sn 4570  df-pr 4572  df-op 4576  df-br 5069  df-opab 5131  df-xp 5563  df-cnv 5565  df-le 10683

This theorem is referenced by:  xrnltled  10711  supxrleub  12722  infxrgelb  12731  ixxub  12762  ixxlb  12763  icodisj  12865  supicclub2  12892  bldisj  23010  icombl  24167  ioorcl2  24175  ply1divmo  24731  ig1peu  24767  psercnlem1  25015  infxrge0gelb  30492  supxrgere  41608  supxrgelem  41612  lenelioc  41819  iccdificc  41822  limsupub  41992  fge0iccico  42659  sge0sn  42668  sge0rpcpnf  42710  pimltmnf2  42986  pimconstlt0  42989  pimgtpnf2  42992  pimdecfgtioo  43002  pimincfltioo  43003