Theorem xrlenltd 11198

Description: "Less than or equal to" expressed in terms of "less than", for extended reals. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
xrlenltd.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
xrlenltd.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)

Assertion

Ref	Expression
xrlenltd	⊢ (𝜑 → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 < 𝐴))

Proof of Theorem xrlenltd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xrlenltd.a	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
2		xrlenltd.b	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
3		xrlenlt 11197	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 < 𝐴))
4	1, 2, 3	syl2anc 584	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 < 𝐴))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∈ wcel 2113   class class class wbr 5098  ℝ^*cxr 11165   < clt 11166   ≤ cle 11167

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pr 5377

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-sb 2068  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3400  df-v 3442  df-dif 3904  df-un 3906  df-ss 3918  df-nul 4286  df-if 4480  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-br 5099  df-opab 5161  df-xp 5630  df-cnv 5632  df-le 11172

This theorem is referenced by:  xrnltled  11201  supxrleub  13241  infxrgelb  13251  ixxub  13282  ixxlb  13283  icodisj  13392  supicclub2  13420  bldisj  24342  icombl  25521  ioorcl2  25529  ply1divmo  26097  ig1peu  26136  psercnlem1  26391  infxrge0gelb  32846  supxrgere  45578  supxrgelem  45582  lenelioc  45782  iccdificc  45785  limsupub  45948  fge0iccico  46614  sge0sn  46623  sge0rpcpnf  46665  pimltmnf2f  46941  pimconstlt0  46945  pimgtpnf2f  46949  pimdecfgtioo  46961  pimincfltioo  46962