Theorem xrlenltd 11181

Description: "Less than or equal to" expressed in terms of "less than", for extended reals. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
xrlenltd.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
xrlenltd.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)

Assertion

Ref	Expression
xrlenltd	⊢ (𝜑 → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 < 𝐴))

Proof of Theorem xrlenltd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xrlenltd.a	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
2		xrlenltd.b	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
3		xrlenlt 11180	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 < 𝐴))
4	1, 2, 3	syl2anc 584	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 < 𝐴))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5092  ℝ^*cxr 11148   < clt 11149   ≤ cle 11150

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-ext 2701  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pr 5371

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-sb 2066  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3395  df-v 3438  df-dif 3906  df-un 3908  df-ss 3920  df-nul 4285  df-if 4477  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-br 5093  df-opab 5155  df-xp 5625  df-cnv 5627  df-le 11155

This theorem is referenced by:  xrnltled  11184  supxrleub  13228  infxrgelb  13238  ixxub  13269  ixxlb  13270  icodisj  13379  supicclub2  13407  bldisj  24284  icombl  25463  ioorcl2  25471  ply1divmo  26039  ig1peu  26078  psercnlem1  26333  infxrge0gelb  32709  supxrgere  45313  supxrgelem  45317  lenelioc  45517  iccdificc  45520  limsupub  45685  fge0iccico  46351  sge0sn  46360  sge0rpcpnf  46402  pimltmnf2f  46678  pimconstlt0  46682  pimgtpnf2f  46686  pimdecfgtioo  46698  pimincfltioo  46699