Theorem xrltnle 11264

Description: "Less than" expressed in terms of "less than or equal to", for extended reals. (Contributed by NM, 6-Feb-2007.)

Assertion

Ref	Expression
xrltnle	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 < 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 ≤ 𝐴))

Proof of Theorem xrltnle

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xrlenlt 11262	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) → (𝐵 ≤ 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 < 𝐵))
2	1	con2bid 357	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) → (𝐴 < 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 ≤ 𝐴))
3	2	ancoms 463	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 < 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 ≤ 𝐴))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∈ wcel 2145   class class class wbr 5104  ℝ^*cxr 11230   < clt 11231   ≤ cle 11232

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-ext 2737  ax-sep 5250  ax-pr 5394

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-sb 2094  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rab 3418  df-v 3459  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-nul 4289  df-if 4484  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-br 5105  df-opab 5167  df-xp 5657  df-cnv 5659  df-le 11237

This theorem is referenced by:  xrltnled  11265  xrletri  13166  qextltlem  13216  xralrple  13219  xltadd1  13270  xsubge0  13275  xposdif  13276  xltmul1  13306  ioo0  13385  ico0  13406  ioc0  13407  snunioo  13493  snunioc  13495  difreicc  13499  hashbnd  14360  limsuplt  15518  pcadd  16937  pcadd2  16938  ramubcl  17066  ramlb  17067  leordtvallem1  23324  leordtvallem2  23325  leordtval2  23326  leordtval  23327  lecldbas  23333  blcld  24619  stdbdbl  24631  tmsxpsval2  24653  iocmnfcld  24882  xrsxmet  24924  metdsge  24964  bndth  25074  ovolgelb  25596  ovolunnul  25616  ioombl  25681  volsup2  25721  mbfmax  25765  ismbf3d  25770  itg2seq  25858  itg2monolem2  25867  itg2monolem3  25868  lhop2  26131  mdegleb  26178  deg1ge  26212  deg1add  26217  ig1pdvds  26294  plypf1  26326  radcnvlt1  26535  upgrfi  29346  xrdifh  33033  xrge00  33242  gsumesum  34361  itg2gt0cn  38181  asindmre  38209  dvasin  38210  aks6d1c6lem3  42796  aks6d1c7lem2  42805  iocioodisjd  42936  radcnvrat  44883  supxrgelem  45912  infrpge  45926  xrlexaddrp  45927  xrpnf  46058  gtnelioc  46066  ltnelicc  46072  gtnelicc  46075  snunioo1  46087  eliccnelico  46104  xrgtnelicc  46113  lptioo2  46206  stoweidlem34  46607  fourierdlem20  46700  fouriersw  46804  nltle2tri  47906  iccelpart  48038