Theorem xrltnle 11406

Description: "Less than" expressed in terms of "less than or equal to", for extended reals. (Contributed by NM, 6-Feb-2007.)

Assertion

Ref	Expression
xrltnle	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 < 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 ≤ 𝐴))

Proof of Theorem xrltnle

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xrlenlt 11404	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) → (𝐵 ≤ 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 < 𝐵))
2	1	con2bid 357	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) → (𝐴 < 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 ≤ 𝐴))
3	2	ancoms 464	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 < 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 ≤ 𝐴))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∈ wcel 2147   class class class wbr 5106  ℝ^*cxr 11372   < clt 11373   ≤ cle 11374

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-ext 2735  ax-sep 5253  ax-pr 5396

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-sb 2102  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rab 3417  df-v 3456  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-br 5107  df-opab 5172  df-xp 5662  df-cnv 5664  df-le 11379

This theorem is used by:  xrltnled  11407  xrletri  13312  qextltlem  13362  xralrple  13365  xltadd1  13416  xsubge0  13421  xposdif  13422  xltmul1  13452  ioo0  13531  ico0  13552  ioc0  13553  snunioo  13639  snunioc  13641  difreicc  13645  hashbnd  14510  limsuplt  15678  pcadd  17099  pcadd2  17100  ramubcl  17228  ramlb  17229  leordtvallem1  23561  leordtvallem2  23562  leordtval2  23563  leordtval  23564  lecldbas  23570  blcld  24857  stdbdbl  24869  tmsxpsval2  24891  iocmnfcld  25120  xrsxmet  25162  metdsge  25202  bndth  25312  ovolgelb  25834  ovolunnul  25854  ioombl  25919  volsup2  25959  mbfmax  26003  ismbf3d  26008  itg2seq  26096  itg2monolem2  26105  itg2monolem3  26106  lhop2  26368  mdegleb  26415  deg1ge  26449  deg1add  26454  ig1pdvds  26531  plypf1  26564  radcnvlt1  26778  upgrfi  29702  xrdifh  33445  xrge00  33651  gsumesum  34774  itg2gt0cn  38798  asindmre  38826  dvasin  38827  aks6d1c6lem3  43425  aks6d1c7lem2  43434  iocioodisjd  43581  radcnvrat  45501  supxrgelem  46564  infrpge  46578  xrlexaddrp  46579  xrpnf  46710  gtnelioc  46718  ltnelicc  46724  gtnelicc  46727  snunioo1  46739  eliccnelico  46756  xrgtnelicc  46765  lptioo2  46858  stoweidlem34  47259  fourierdlem20  47352  fouriersw  47456  nltle2tri  48598  iccelpart  48730