MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xrltnle Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xrltnle 10697
Description: "Less than" expressed in terms of "less than or equal to", for extended reals. (Contributed by NM, 6-Feb-2007.)
Assertion
Ref Expression
xrltnle ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 < 𝐵 ↔ ¬ 𝐵𝐴))

Proof of Theorem xrltnle
StepHypRef Expression
1 xrlenlt 10695 . . 3 ((𝐵 ∈ ℝ*𝐴 ∈ ℝ*) → (𝐵𝐴 ↔ ¬ 𝐴 < 𝐵))
21con2bid 356 . 2 ((𝐵 ∈ ℝ*𝐴 ∈ ℝ*) → (𝐴 < 𝐵 ↔ ¬ 𝐵𝐴))
32ancoms 459 1 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 < 𝐵 ↔ ¬ 𝐵𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 207  wa 396  wcel 2107   class class class wbr 5063  *cxr 10663   < clt 10664  cle 10665
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2798  ax-sep 5200  ax-nul 5207  ax-pr 5326
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2620  df-eu 2652  df-clab 2805  df-cleq 2819  df-clel 2898  df-nfc 2968  df-ral 3148  df-rex 3149  df-rab 3152  df-v 3502  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3956  df-nul 4296  df-if 4471  df-sn 4565  df-pr 4567  df-op 4571  df-br 5064  df-opab 5126  df-xp 5560  df-cnv 5562  df-le 10670
This theorem is referenced by:  xrletri  12536  qextltlem  12585  xralrple  12588  xltadd1  12639  xsubge0  12644  xposdif  12645  xltmul1  12675  ioo0  12753  ico0  12774  ioc0  12775  snunioo  12854  snunioc  12856  difreicc  12860  hashbnd  13686  limsuplt  14826  pcadd  16215  pcadd2  16216  ramubcl  16344  ramlb  16345  leordtvallem1  21737  leordtvallem2  21738  leordtval2  21739  leordtval  21740  lecldbas  21746  blcld  23033  stdbdbl  23045  tmsxpsval2  23067  iocmnfcld  23295  xrsxmet  23335  metdsge  23375  bndth  23480  ovolgelb  23999  ovolunnul  24019  ioombl  24084  volsup2  24124  mbfmax  24168  ismbf3d  24173  itg2seq  24261  itg2monolem2  24270  itg2monolem3  24271  lhop2  24530  mdegleb  24576  deg1ge  24610  deg1add  24615  ig1pdvds  24688  plypf1  24720  radcnvlt1  24924  upgrfi  26793  xrdifh  30419  xrge00  30590  gsumesum  31207  itg2gt0cn  34817  asindmre  34847  dvasin  34848  radcnvrat  40514  supxrgelem  41473  infrpge  41487  xrlexaddrp  41488  xrltnled  41499  xrpnf  41630  gtnelioc  41633  ltnelicc  41640  gtnelicc  41643  snunioo1  41656  eliccnelico  41673  xrgtnelicc  41682  lptioo2  41780  stoweidlem34  42188  fourierdlem20  42281  fouriersw  42385  nltle2tri  43382  iccelpart  43428
  Copyright terms: Public domain W3C validator