Theorem xrltnle 10395

Description: "Less than" expressed in terms of "less than or equal to", for extended reals. (Contributed by NM, 6-Feb-2007.)

Assertion

Ref	Expression
xrltnle	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 < 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 ≤ 𝐴))

Proof of Theorem xrltnle

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xrlenlt 10393	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) → (𝐵 ≤ 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 < 𝐵))
2	1	con2bid 346	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) → (𝐴 < 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 ≤ 𝐴))
3	2	ancoms 451	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 < 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 ≤ 𝐴))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 198   ∧ wa 385   ∈ wcel 2157   class class class wbr 4843  ℝ^*cxr 10362   < clt 10363   ≤ cle 10364

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2377  ax-ext 2777  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pr 5097

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2591  df-eu 2609  df-clab 2786  df-cleq 2792  df-clel 2795  df-nfc 2930  df-ral 3094  df-rex 3095  df-rab 3098  df-v 3387  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-nul 4116  df-if 4278  df-sn 4369  df-pr 4371  df-op 4375  df-br 4844  df-opab 4906  df-xp 5318  df-cnv 5320  df-le 10369

This theorem is referenced by:  xrletri  12233  qextltlem  12282  xralrple  12285  xltadd1  12335  xsubge0  12340  xposdif  12341  xltmul1  12371  ioo0  12449  ico0  12470  ioc0  12471  xrge0neqmnfOLD  12527  snunioo  12552  snunioc  12554  difreicc  12558  hashbnd  13376  limsuplt  14551  pcadd  15926  pcadd2  15927  ramubcl  16055  ramlb  16056  leordtvallem1  21343  leordtvallem2  21344  leordtval2  21345  leordtval  21346  lecldbas  21352  blcld  22638  stdbdbl  22650  tmsxpsval2  22672  iocmnfcld  22900  xrsxmet  22940  metdsge  22980  bndth  23085  ovolgelb  23588  ovolunnul  23608  ioombl  23673  volsup2  23713  mbfmax  23757  ismbf3d  23762  itg2seq  23850  itg2monolem2  23859  itg2monolem3  23860  lhop2  24119  mdegleb  24165  deg1ge  24199  deg1add  24204  ig1pdvds  24277  plypf1  24309  radcnvlt1  24513  upgrfi  26326  xrdifh  30060  xrge00  30202  gsumesum  30637  itg2gt0cn  33953  asindmre  33983  dvasin  33984  radcnvrat  39295  supxrgelem  40297  infrpge  40311  xrlexaddrp  40312  xrltnled  40323  xrpnf  40459  gtnelioc  40460  ltnelicc  40467  gtnelicc  40470  snunioo1  40483  eliccnelico  40500  xrgtnelicc  40509  lptioo2  40607  stoweidlem34  40994  fourierdlem20  41087  fouriersw  41191  nltle2tri  42163  iccelpart  42209