Theorem xrltnle 11212

Description: "Less than" expressed in terms of "less than or equal to", for extended reals. (Contributed by NM, 6-Feb-2007.)

Assertion

Ref	Expression
xrltnle	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 < 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 ≤ 𝐴))

Proof of Theorem xrltnle

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xrlenlt 11210	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) → (𝐵 ≤ 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 < 𝐵))
2	1	con2bid 354	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) → (𝐴 < 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 ≤ 𝐴))
3	2	ancoms 458	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 < 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 ≤ 𝐴))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5085  ℝ^*cxr 11178   < clt 11179   ≤ cle 11180

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-pr 5375

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-sb 2069  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rab 3390  df-v 3431  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-nul 4274  df-if 4467  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-br 5086  df-opab 5148  df-xp 5637  df-cnv 5639  df-le 11185

This theorem is referenced by:  xrltnled  11213  xrletri  13104  qextltlem  13154  xralrple  13157  xltadd1  13208  xsubge0  13213  xposdif  13214  xltmul1  13244  ioo0  13323  ico0  13344  ioc0  13345  snunioo  13431  snunioc  13433  difreicc  13437  hashbnd  14298  limsuplt  15441  pcadd  16860  pcadd2  16861  ramubcl  16989  ramlb  16990  leordtvallem1  23175  leordtvallem2  23176  leordtval2  23177  leordtval  23178  lecldbas  23184  blcld  24470  stdbdbl  24482  tmsxpsval2  24504  iocmnfcld  24733  xrsxmet  24775  metdsge  24815  bndth  24925  ovolgelb  25447  ovolunnul  25467  ioombl  25532  volsup2  25572  mbfmax  25616  ismbf3d  25621  itg2seq  25709  itg2monolem2  25718  itg2monolem3  25719  lhop2  25982  mdegleb  26029  deg1ge  26063  deg1add  26068  ig1pdvds  26145  plypf1  26177  radcnvlt1  26383  upgrfi  29160  xrdifh  32853  xrge00  33074  gsumesum  34203  itg2gt0cn  37996  asindmre  38024  dvasin  38025  aks6d1c6lem3  42611  aks6d1c7lem2  42620  iocioodisjd  42752  radcnvrat  44741  supxrgelem  45767  infrpge  45781  xrlexaddrp  45782  xrpnf  45913  gtnelioc  45921  ltnelicc  45927  gtnelicc  45930  snunioo1  45942  eliccnelico  45959  xrgtnelicc  45968  lptioo2  46061  stoweidlem34  46462  fourierdlem20  46555  fouriersw  46659  nltle2tri  47761  iccelpart  47893