Theorem xrltnle 11242

Description: "Less than" expressed in terms of "less than or equal to", for extended reals. (Contributed by NM, 6-Feb-2007.)

Assertion

Ref	Expression
xrltnle	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 < 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 ≤ 𝐴))

Proof of Theorem xrltnle

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xrlenlt 11240	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) → (𝐵 ≤ 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 < 𝐵))
2	1	con2bid 356	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) → (𝐴 < 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 ≤ 𝐴))
3	2	ancoms 462	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 < 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 ≤ 𝐴))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 399   ∈ wcel 2141   class class class wbr 5097  ℝ^*cxr 11208   < clt 11209   ≤ cle 11210

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-ext 2733  ax-sep 5243  ax-pr 5387

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-sb 2090  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rab 3414  df-v 3455  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4284  df-if 4478  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-br 5098  df-opab 5160  df-xp 5649  df-cnv 5651  df-le 11215

This theorem is referenced by:  xrltnled  11243  xrletri  13148  qextltlem  13198  xralrple  13201  xltadd1  13252  xsubge0  13257  xposdif  13258  xltmul1  13288  ioo0  13367  ico0  13388  ioc0  13389  snunioo  13475  snunioc  13477  difreicc  13481  hashbnd  14342  limsuplt  15496  pcadd  16915  pcadd2  16916  ramubcl  17044  ramlb  17045  leordtvallem1  23257  leordtvallem2  23258  leordtval2  23259  leordtval  23260  lecldbas  23266  blcld  24552  stdbdbl  24564  tmsxpsval2  24586  iocmnfcld  24815  xrsxmet  24857  metdsge  24897  bndth  25007  ovolgelb  25529  ovolunnul  25549  ioombl  25614  volsup2  25654  mbfmax  25698  ismbf3d  25703  itg2seq  25791  itg2monolem2  25800  itg2monolem3  25801  lhop2  26064  mdegleb  26111  deg1ge  26145  deg1add  26150  ig1pdvds  26227  plypf1  26259  radcnvlt1  26468  upgrfi  29248  xrdifh  32942  xrge00  33152  gsumesum  34316  itg2gt0cn  38134  asindmre  38162  dvasin  38163  aks6d1c6lem3  42749  aks6d1c7lem2  42758  iocioodisjd  42889  radcnvrat  44850  supxrgelem  45873  infrpge  45887  xrlexaddrp  45888  xrpnf  46019  gtnelioc  46027  ltnelicc  46033  gtnelicc  46036  snunioo1  46048  eliccnelico  46065  xrgtnelicc  46074  lptioo2  46167  stoweidlem34  46568  fourierdlem20  46661  fouriersw  46765  nltle2tri  47867  iccelpart  47999