Theorem xrltnle 11179

Description: "Less than" expressed in terms of "less than or equal to", for extended reals. (Contributed by NM, 6-Feb-2007.)

Assertion

Ref	Expression
xrltnle	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 < 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 ≤ 𝐴))

Proof of Theorem xrltnle

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xrlenlt 11177	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) → (𝐵 ≤ 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 < 𝐵))
2	1	con2bid 354	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) → (𝐴 < 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 ≤ 𝐴))
3	2	ancoms 458	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 < 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 ≤ 𝐴))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∈ wcel 2111   class class class wbr 5089  ℝ^*cxr 11145   < clt 11146   ≤ cle 11147

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-ext 2703  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pr 5368

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-sb 2068  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rab 3396  df-v 3438  df-dif 3900  df-un 3902  df-ss 3914  df-nul 4281  df-if 4473  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-br 5090  df-opab 5152  df-xp 5620  df-cnv 5622  df-le 11152

This theorem is referenced by:  xrltnled  11180  xrletri  13052  qextltlem  13101  xralrple  13104  xltadd1  13155  xsubge0  13160  xposdif  13161  xltmul1  13191  ioo0  13270  ico0  13291  ioc0  13292  snunioo  13378  snunioc  13380  difreicc  13384  hashbnd  14243  limsuplt  15386  pcadd  16801  pcadd2  16802  ramubcl  16930  ramlb  16931  leordtvallem1  23125  leordtvallem2  23126  leordtval2  23127  leordtval  23128  lecldbas  23134  blcld  24420  stdbdbl  24432  tmsxpsval2  24454  iocmnfcld  24683  xrsxmet  24725  metdsge  24765  bndth  24884  ovolgelb  25408  ovolunnul  25428  ioombl  25493  volsup2  25533  mbfmax  25577  ismbf3d  25582  itg2seq  25670  itg2monolem2  25679  itg2monolem3  25680  lhop2  25947  mdegleb  25996  deg1ge  26030  deg1add  26035  ig1pdvds  26112  plypf1  26144  radcnvlt1  26354  upgrfi  29069  xrdifh  32763  xrge00  32995  gsumesum  34072  itg2gt0cn  37725  asindmre  37753  dvasin  37754  aks6d1c6lem3  42275  aks6d1c7lem2  42284  iocioodisjd  42423  radcnvrat  44417  supxrgelem  45446  infrpge  45460  xrlexaddrp  45461  xrpnf  45593  gtnelioc  45601  ltnelicc  45607  gtnelicc  45610  snunioo1  45622  eliccnelico  45639  xrgtnelicc  45648  lptioo2  45741  stoweidlem34  46142  fourierdlem20  46235  fouriersw  46339  nltle2tri  47423  iccelpart  47543