Theorem xrltnle 11201

Description: "Less than" expressed in terms of "less than or equal to", for extended reals. (Contributed by NM, 6-Feb-2007.)

Assertion

Ref	Expression
xrltnle	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 < 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 ≤ 𝐴))

Proof of Theorem xrltnle

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xrlenlt 11199	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) → (𝐵 ≤ 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 < 𝐵))
2	1	con2bid 354	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) → (𝐴 < 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 ≤ 𝐴))
3	2	ancoms 458	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 < 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 ≤ 𝐴))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5095  ℝ^*cxr 11167   < clt 11168   ≤ cle 11169

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-ext 2701  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pr 5374

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-sb 2066  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3397  df-v 3440  df-dif 3908  df-un 3910  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4479  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-br 5096  df-opab 5158  df-xp 5629  df-cnv 5631  df-le 11174

This theorem is referenced by:  xrletri  13073  qextltlem  13122  xralrple  13125  xltadd1  13176  xsubge0  13181  xposdif  13182  xltmul1  13212  ioo0  13291  ico0  13312  ioc0  13313  snunioo  13399  snunioc  13401  difreicc  13405  hashbnd  14261  limsuplt  15404  pcadd  16819  pcadd2  16820  ramubcl  16948  ramlb  16949  leordtvallem1  23113  leordtvallem2  23114  leordtval2  23115  leordtval  23116  lecldbas  23122  blcld  24409  stdbdbl  24421  tmsxpsval2  24443  iocmnfcld  24672  xrsxmet  24714  metdsge  24754  bndth  24873  ovolgelb  25397  ovolunnul  25417  ioombl  25482  volsup2  25522  mbfmax  25566  ismbf3d  25571  itg2seq  25659  itg2monolem2  25668  itg2monolem3  25669  lhop2  25936  mdegleb  25985  deg1ge  26019  deg1add  26024  ig1pdvds  26101  plypf1  26133  radcnvlt1  26343  upgrfi  29054  xrdifh  32736  xrge00  32981  gsumesum  34028  itg2gt0cn  37657  asindmre  37685  dvasin  37686  aks6d1c6lem3  42148  aks6d1c7lem2  42157  iocioodisjd  42296  radcnvrat  44290  supxrgelem  45320  infrpge  45334  xrlexaddrp  45335  xrltnled  45346  xrpnf  45468  gtnelioc  45476  ltnelicc  45482  gtnelicc  45485  snunioo1  45497  eliccnelico  45514  xrgtnelicc  45523  lptioo2  45616  stoweidlem34  46019  fourierdlem20  46112  fouriersw  46216  nltle2tri  47301  iccelpart  47421