Theorem xrltnle 11285

Description: "Less than" expressed in terms of "less than or equal to", for extended reals. (Contributed by NM, 6-Feb-2007.)

Assertion

Ref	Expression
xrltnle	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 < 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 ≤ 𝐴))

Proof of Theorem xrltnle

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xrlenlt 11283	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) → (𝐵 ≤ 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 < 𝐵))
2	1	con2bid 354	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) → (𝐴 < 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 ≤ 𝐴))
3	2	ancoms 459	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 < 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 ≤ 𝐴))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∈ wcel 2106   class class class wbr 5148  ℝ^*cxr 11251   < clt 11252   ≤ cle 11253

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pr 5427

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-sb 2068  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3433  df-v 3476  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-br 5149  df-opab 5211  df-xp 5682  df-cnv 5684  df-le 11258

This theorem is referenced by:  xrletri  13136  qextltlem  13185  xralrple  13188  xltadd1  13239  xsubge0  13244  xposdif  13245  xltmul1  13275  ioo0  13353  ico0  13374  ioc0  13375  snunioo  13459  snunioc  13461  difreicc  13465  hashbnd  14300  limsuplt  15427  pcadd  16826  pcadd2  16827  ramubcl  16955  ramlb  16956  leordtvallem1  22934  leordtvallem2  22935  leordtval2  22936  leordtval  22937  lecldbas  22943  blcld  24234  stdbdbl  24246  tmsxpsval2  24268  iocmnfcld  24505  xrsxmet  24545  metdsge  24585  bndth  24698  ovolgelb  25221  ovolunnul  25241  ioombl  25306  volsup2  25346  mbfmax  25390  ismbf3d  25395  itg2seq  25484  itg2monolem2  25493  itg2monolem3  25494  lhop2  25756  mdegleb  25806  deg1ge  25840  deg1add  25845  ig1pdvds  25918  plypf1  25950  radcnvlt1  26154  upgrfi  28606  xrdifh  32246  xrge00  32442  gsumesum  33343  itg2gt0cn  36846  asindmre  36874  dvasin  36875  radcnvrat  43375  supxrgelem  44346  infrpge  44360  xrlexaddrp  44361  xrltnled  44372  xrpnf  44495  gtnelioc  44503  ltnelicc  44509  gtnelicc  44512  snunioo1  44524  eliccnelico  44541  xrgtnelicc  44550  lptioo2  44646  stoweidlem34  45049  fourierdlem20  45142  fouriersw  45246  nltle2tri  46320  iccelpart  46400