Theorem xrltnle 11179

Description: "Less than" expressed in terms of "less than or equal to", for extended reals. (Contributed by NM, 6-Feb-2007.)

Assertion

Ref	Expression
xrltnle	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 < 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 ≤ 𝐴))

Proof of Theorem xrltnle

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xrlenlt 11177	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) → (𝐵 ≤ 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 < 𝐵))
2	1	con2bid 354	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) → (𝐴 < 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 ≤ 𝐴))
3	2	ancoms 458	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 < 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 ≤ 𝐴))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∈ wcel 2111   class class class wbr 5091  ℝ^*cxr 11145   < clt 11146   ≤ cle 11147

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-ext 2703  ax-sep 5234  ax-nul 5244  ax-pr 5370

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-sb 2068  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rab 3396  df-v 3438  df-dif 3905  df-un 3907  df-ss 3919  df-nul 4284  df-if 4476  df-sn 4577  df-pr 4579  df-op 4583  df-br 5092  df-opab 5154  df-xp 5622  df-cnv 5624  df-le 11152

This theorem is referenced by:  xrltnled  11180  xrletri  13052  qextltlem  13101  xralrple  13104  xltadd1  13155  xsubge0  13160  xposdif  13161  xltmul1  13191  ioo0  13270  ico0  13291  ioc0  13292  snunioo  13378  snunioc  13380  difreicc  13384  hashbnd  14243  limsuplt  15386  pcadd  16801  pcadd2  16802  ramubcl  16930  ramlb  16931  leordtvallem1  23126  leordtvallem2  23127  leordtval2  23128  leordtval  23129  lecldbas  23135  blcld  24421  stdbdbl  24433  tmsxpsval2  24455  iocmnfcld  24684  xrsxmet  24726  metdsge  24766  bndth  24885  ovolgelb  25409  ovolunnul  25429  ioombl  25494  volsup2  25534  mbfmax  25578  ismbf3d  25583  itg2seq  25671  itg2monolem2  25680  itg2monolem3  25681  lhop2  25948  mdegleb  25997  deg1ge  26031  deg1add  26036  ig1pdvds  26113  plypf1  26145  radcnvlt1  26355  upgrfi  29070  xrdifh  32761  xrge00  32993  gsumesum  34070  itg2gt0cn  37721  asindmre  37749  dvasin  37750  aks6d1c6lem3  42211  aks6d1c7lem2  42220  iocioodisjd  42359  radcnvrat  44353  supxrgelem  45382  infrpge  45396  xrlexaddrp  45397  xrpnf  45529  gtnelioc  45537  ltnelicc  45543  gtnelicc  45546  snunioo1  45558  eliccnelico  45575  xrgtnelicc  45584  lptioo2  45677  stoweidlem34  46078  fourierdlem20  46171  fouriersw  46275  nltle2tri  47350  iccelpart  47470