Theorem xrge0infssd 32574

Description: Inequality deduction for infimum of a nonnegative extended real subset. (Contributed by Thierry Arnoux, 16-Sep-2019.) (Revised by AV, 4-Oct-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
xrge0infssd.1	⊢ (𝜑 → 𝐶 ⊆ 𝐵)
xrge0infssd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ (0[,]+∞))

Assertion

Ref	Expression
xrge0infssd	⊢ (𝜑 → inf(𝐵, (0[,]+∞), < ) ≤ inf(𝐶, (0[,]+∞), < ))

Proof of Theorem xrge0infssd

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iccssxr 13437	. . 3 ⊢ (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
2		xrltso 13150	. . . . . 6 ⊢ < Or ℝ*
3		soss 5604	. . . . . 6 ⊢ ((0[,]+∞) ⊆ ℝ* → ( < Or ℝ* → < Or (0[,]+∞)))
4	1, 2, 3	mp2 9	. . . . 5 ⊢ < Or (0[,]+∞)
5	4	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → < Or (0[,]+∞))
6		xrge0infssd.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ (0[,]+∞))
7		xrge0infss 32573	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ⊆ (0[,]+∞) → ∃𝑥 ∈ (0[,]+∞)(∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 < 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ (0[,]+∞)(𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝐵 𝑧 < 𝑦)))
8	6, 7	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ (0[,]+∞)(∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 < 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ (0[,]+∞)(𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝐵 𝑧 < 𝑦)))
9	5, 8	infcl 9509	. . 3 ⊢ (𝜑 → inf(𝐵, (0[,]+∞), < ) ∈ (0[,]+∞))
10	1, 9	sselid 3970	. 2 ⊢ (𝜑 → inf(𝐵, (0[,]+∞), < ) ∈ ℝ*)
11		xrge0infssd.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ⊆ 𝐵)
12	11, 6	sstrd 3983	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ⊆ (0[,]+∞))
13		xrge0infss 32573	. . . . 5 ⊢ (𝐶 ⊆ (0[,]+∞) → ∃𝑥 ∈ (0[,]+∞)(∀𝑦 ∈ 𝐶 ¬ 𝑦 < 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ (0[,]+∞)(𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝐶 𝑧 < 𝑦)))
14	12, 13	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ (0[,]+∞)(∀𝑦 ∈ 𝐶 ¬ 𝑦 < 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ (0[,]+∞)(𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝐶 𝑧 < 𝑦)))
15	5, 14	infcl 9509	. . 3 ⊢ (𝜑 → inf(𝐶, (0[,]+∞), < ) ∈ (0[,]+∞))
16	1, 15	sselid 3970	. 2 ⊢ (𝜑 → inf(𝐶, (0[,]+∞), < ) ∈ ℝ*)
17	5, 11, 14, 8	infssd 32535	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ inf(𝐶, (0[,]+∞), < ) < inf(𝐵, (0[,]+∞), < ))
18	10, 16, 17	xrnltled 11310	1 ⊢ (𝜑 → inf(𝐵, (0[,]+∞), < ) ≤ inf(𝐶, (0[,]+∞), < ))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 394  ∀wral 3051  ∃wrex 3060   ⊆ wss 3940   class class class wbr 5143   Or wor 5583  (class class class)co 7415  infcinf 9462  0cc0 11136  +∞cpnf 11273  ℝ^*cxr 11275   < clt 11276   ≤ cle 11277  [,]cicc 13357

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7737  ax-cnex 11192  ax-resscn 11193  ax-1cn 11194  ax-icn 11195  ax-addcl 11196  ax-addrcl 11197  ax-mulcl 11198  ax-mulrcl 11199  ax-mulcom 11200  ax-addass 11201  ax-mulass 11202  ax-distr 11203  ax-i2m1 11204  ax-1ne0 11205  ax-1rid 11206  ax-rnegex 11207  ax-rrecex 11208  ax-cnre 11209  ax-pre-lttri 11210  ax-pre-lttrn 11211  ax-pre-ltadd 11212  ax-pre-mulgt0 11213  ax-pre-sup 11214

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-id 5570  df-po 5584  df-so 5585  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7371  df-ov 7418  df-oprab 7419  df-mpo 7420  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-er 8721  df-en 8961  df-dom 8962  df-sdom 8963  df-sup 9463  df-inf 9464  df-pnf 11278  df-mnf 11279  df-xr 11280  df-ltxr 11281  df-le 11282  df-sub 11474  df-neg 11475  df-icc 13361

This theorem is referenced by:  omsmon  33974