Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  xrge0infssd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xrge0infssd 32772
Description: Inequality deduction for infimum of a nonnegative extended real subset. (Contributed by Thierry Arnoux, 16-Sep-2019.) (Revised by AV, 4-Oct-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
xrge0infssd.1 (𝜑𝐶𝐵)
xrge0infssd.2 (𝜑𝐵 ⊆ (0[,]+∞))
Assertion
Ref Expression
xrge0infssd (𝜑 → inf(𝐵, (0[,]+∞), < ) ≤ inf(𝐶, (0[,]+∞), < ))

Proof of Theorem xrge0infssd
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iccssxr 13467 . . 3 (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
2 xrltso 13180 . . . . . 6 < Or ℝ*
3 soss 5617 . . . . . 6 ((0[,]+∞) ⊆ ℝ* → ( < Or ℝ* → < Or (0[,]+∞)))
41, 2, 3mp2 9 . . . . 5 < Or (0[,]+∞)
54a1i 11 . . . 4 (𝜑 → < Or (0[,]+∞))
6 xrge0infssd.2 . . . . 5 (𝜑𝐵 ⊆ (0[,]+∞))
7 xrge0infss 32771 . . . . 5 (𝐵 ⊆ (0[,]+∞) → ∃𝑥 ∈ (0[,]+∞)(∀𝑦𝐵 ¬ 𝑦 < 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ (0[,]+∞)(𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧𝐵 𝑧 < 𝑦)))
86, 7syl 17 . . . 4 (𝜑 → ∃𝑥 ∈ (0[,]+∞)(∀𝑦𝐵 ¬ 𝑦 < 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ (0[,]+∞)(𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧𝐵 𝑧 < 𝑦)))
95, 8infcl 9526 . . 3 (𝜑 → inf(𝐵, (0[,]+∞), < ) ∈ (0[,]+∞))
101, 9sselid 3993 . 2 (𝜑 → inf(𝐵, (0[,]+∞), < ) ∈ ℝ*)
11 xrge0infssd.1 . . . . . 6 (𝜑𝐶𝐵)
1211, 6sstrd 4006 . . . . 5 (𝜑𝐶 ⊆ (0[,]+∞))
13 xrge0infss 32771 . . . . 5 (𝐶 ⊆ (0[,]+∞) → ∃𝑥 ∈ (0[,]+∞)(∀𝑦𝐶 ¬ 𝑦 < 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ (0[,]+∞)(𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧𝐶 𝑧 < 𝑦)))
1412, 13syl 17 . . . 4 (𝜑 → ∃𝑥 ∈ (0[,]+∞)(∀𝑦𝐶 ¬ 𝑦 < 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ (0[,]+∞)(𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧𝐶 𝑧 < 𝑦)))
155, 14infcl 9526 . . 3 (𝜑 → inf(𝐶, (0[,]+∞), < ) ∈ (0[,]+∞))
161, 15sselid 3993 . 2 (𝜑 → inf(𝐶, (0[,]+∞), < ) ∈ ℝ*)
175, 11, 14, 8infssd 32728 . 2 (𝜑 → ¬ inf(𝐶, (0[,]+∞), < ) < inf(𝐵, (0[,]+∞), < ))
1810, 16, 17xrnltled 11327 1 (𝜑 → inf(𝐵, (0[,]+∞), < ) ≤ inf(𝐶, (0[,]+∞), < ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 395  wral 3059  wrex 3068  wss 3963   class class class wbr 5148   Or wor 5596  (class class class)co 7431  infcinf 9479  0cc0 11153  +∞cpnf 11290  *cxr 11292   < clt 11293  cle 11294  [,]cicc 13387
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-po 5597  df-so 5598  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-sup 9480  df-inf 9481  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-icc 13391
This theorem is referenced by:  omsmon  34280
  Copyright terms: Public domain W3C validator