Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  xrge0infssd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xrge0infssd 32668
Description: Inequality deduction for infimum of a nonnegative extended real subset. (Contributed by Thierry Arnoux, 16-Sep-2019.) (Revised by AV, 4-Oct-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
xrge0infssd.1 (𝜑𝐶𝐵)
xrge0infssd.2 (𝜑𝐵 ⊆ (0[,]+∞))
Assertion
Ref Expression
xrge0infssd (𝜑 → inf(𝐵, (0[,]+∞), < ) ≤ inf(𝐶, (0[,]+∞), < ))

Proof of Theorem xrge0infssd
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iccssxr 13455 . . 3 (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
2 xrltso 13168 . . . . . 6 < Or ℝ*
3 soss 5606 . . . . . 6 ((0[,]+∞) ⊆ ℝ* → ( < Or ℝ* → < Or (0[,]+∞)))
41, 2, 3mp2 9 . . . . 5 < Or (0[,]+∞)
54a1i 11 . . . 4 (𝜑 → < Or (0[,]+∞))
6 xrge0infssd.2 . . . . 5 (𝜑𝐵 ⊆ (0[,]+∞))
7 xrge0infss 32667 . . . . 5 (𝐵 ⊆ (0[,]+∞) → ∃𝑥 ∈ (0[,]+∞)(∀𝑦𝐵 ¬ 𝑦 < 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ (0[,]+∞)(𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧𝐵 𝑧 < 𝑦)))
86, 7syl 17 . . . 4 (𝜑 → ∃𝑥 ∈ (0[,]+∞)(∀𝑦𝐵 ¬ 𝑦 < 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ (0[,]+∞)(𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧𝐵 𝑧 < 𝑦)))
95, 8infcl 9524 . . 3 (𝜑 → inf(𝐵, (0[,]+∞), < ) ∈ (0[,]+∞))
101, 9sselid 3976 . 2 (𝜑 → inf(𝐵, (0[,]+∞), < ) ∈ ℝ*)
11 xrge0infssd.1 . . . . . 6 (𝜑𝐶𝐵)
1211, 6sstrd 3989 . . . . 5 (𝜑𝐶 ⊆ (0[,]+∞))
13 xrge0infss 32667 . . . . 5 (𝐶 ⊆ (0[,]+∞) → ∃𝑥 ∈ (0[,]+∞)(∀𝑦𝐶 ¬ 𝑦 < 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ (0[,]+∞)(𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧𝐶 𝑧 < 𝑦)))
1412, 13syl 17 . . . 4 (𝜑 → ∃𝑥 ∈ (0[,]+∞)(∀𝑦𝐶 ¬ 𝑦 < 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ (0[,]+∞)(𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧𝐶 𝑧 < 𝑦)))
155, 14infcl 9524 . . 3 (𝜑 → inf(𝐶, (0[,]+∞), < ) ∈ (0[,]+∞))
161, 15sselid 3976 . 2 (𝜑 → inf(𝐶, (0[,]+∞), < ) ∈ ℝ*)
175, 11, 14, 8infssd 32624 . 2 (𝜑 → ¬ inf(𝐶, (0[,]+∞), < ) < inf(𝐵, (0[,]+∞), < ))
1810, 16, 17xrnltled 11323 1 (𝜑 → inf(𝐵, (0[,]+∞), < ) ≤ inf(𝐶, (0[,]+∞), < ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 394  wral 3051  wrex 3060  wss 3946   class class class wbr 5145   Or wor 5585  (class class class)co 7416  infcinf 9477  0cc0 11149  +∞cpnf 11286  *cxr 11288   < clt 11289  cle 11290  [,]cicc 13375
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-sep 5296  ax-nul 5303  ax-pow 5361  ax-pr 5425  ax-un 7738  ax-cnex 11205  ax-resscn 11206  ax-1cn 11207  ax-icn 11208  ax-addcl 11209  ax-addrcl 11210  ax-mulcl 11211  ax-mulrcl 11212  ax-mulcom 11213  ax-addass 11214  ax-mulass 11215  ax-distr 11216  ax-i2m1 11217  ax-1ne0 11218  ax-1rid 11219  ax-rnegex 11220  ax-rrecex 11221  ax-cnre 11222  ax-pre-lttri 11223  ax-pre-lttrn 11224  ax-pre-ltadd 11225  ax-pre-mulgt0 11226  ax-pre-sup 11227
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3776  df-csb 3892  df-dif 3949  df-un 3951  df-in 3953  df-ss 3963  df-nul 4323  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4906  df-iun 4995  df-br 5146  df-opab 5208  df-mpt 5229  df-id 5572  df-po 5586  df-so 5587  df-xp 5680  df-rel 5681  df-cnv 5682  df-co 5683  df-dm 5684  df-rn 5685  df-res 5686  df-ima 5687  df-iota 6498  df-fun 6548  df-fn 6549  df-f 6550  df-f1 6551  df-fo 6552  df-f1o 6553  df-fv 6554  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-1st 7995  df-2nd 7996  df-er 8726  df-en 8967  df-dom 8968  df-sdom 8969  df-sup 9478  df-inf 9479  df-pnf 11291  df-mnf 11292  df-xr 11293  df-ltxr 11294  df-le 11295  df-sub 11487  df-neg 11488  df-icc 13379
This theorem is referenced by:  omsmon  34145
  Copyright terms: Public domain W3C validator