Theorem xrge0infssd 32853

Description: Inequality deduction for infimum of a nonnegative extended real subset. (Contributed by Thierry Arnoux, 16-Sep-2019.) (Revised by AV, 4-Oct-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
xrge0infssd.1	⊢ (𝜑 → 𝐶 ⊆ 𝐵)
xrge0infssd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ (0[,]+∞))

Assertion

Ref	Expression
xrge0infssd	⊢ (𝜑 → inf(𝐵, (0[,]+∞), < ) ≤ inf(𝐶, (0[,]+∞), < ))

Proof of Theorem xrge0infssd

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iccssxr 13374	. . 3 ⊢ (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
2		xrltso 13083	. . . . . 6 ⊢ < Or ℝ*
3		soss 5546	. . . . . 6 ⊢ ((0[,]+∞) ⊆ ℝ* → ( < Or ℝ* → < Or (0[,]+∞)))
4	1, 2, 3	mp2 9	. . . . 5 ⊢ < Or (0[,]+∞)
5	4	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → < Or (0[,]+∞))
6		xrge0infssd.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ (0[,]+∞))
7		xrge0infss 32852	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ⊆ (0[,]+∞) → ∃𝑥 ∈ (0[,]+∞)(∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 < 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ (0[,]+∞)(𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝐵 𝑧 < 𝑦)))
8	6, 7	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ (0[,]+∞)(∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 < 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ (0[,]+∞)(𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝐵 𝑧 < 𝑦)))
9	5, 8	infcl 9392	. . 3 ⊢ (𝜑 → inf(𝐵, (0[,]+∞), < ) ∈ (0[,]+∞))
10	1, 9	sselid 3913	. 2 ⊢ (𝜑 → inf(𝐵, (0[,]+∞), < ) ∈ ℝ*)
11		xrge0infssd.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ⊆ 𝐵)
12	11, 6	sstrd 3925	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ⊆ (0[,]+∞))
13		xrge0infss 32852	. . . . 5 ⊢ (𝐶 ⊆ (0[,]+∞) → ∃𝑥 ∈ (0[,]+∞)(∀𝑦 ∈ 𝐶 ¬ 𝑦 < 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ (0[,]+∞)(𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝐶 𝑧 < 𝑦)))
14	12, 13	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ (0[,]+∞)(∀𝑦 ∈ 𝐶 ¬ 𝑦 < 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ (0[,]+∞)(𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝐶 𝑧 < 𝑦)))
15	5, 14	infcl 9392	. . 3 ⊢ (𝜑 → inf(𝐶, (0[,]+∞), < ) ∈ (0[,]+∞))
16	1, 15	sselid 3913	. 2 ⊢ (𝜑 → inf(𝐶, (0[,]+∞), < ) ∈ ℝ*)
17	5, 11, 14, 8	infssd 9397	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ inf(𝐶, (0[,]+∞), < ) < inf(𝐵, (0[,]+∞), < ))
18	10, 16, 17	xrnltled 11205	1 ⊢ (𝜑 → inf(𝐵, (0[,]+∞), < ) ≤ inf(𝐶, (0[,]+∞), < ))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 396  ∀wral 3053  ∃wrex 3063   ⊆ wss 3883   class class class wbr 5072   Or wor 5525  (class class class)co 7356  infcinf 9344  0cc0 11029  +∞cpnf 11167  ℝ^*cxr 11169   < clt 11170   ≤ cle 11171  [,]cicc 13292

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pow 5294  ax-pr 5362  ax-un 7678  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106  ax-pre-sup 11107

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rmo 3344  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-uni 4839  df-iun 4923  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-id 5513  df-po 5526  df-so 5527  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-er 8633  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-sup 9345  df-inf 9346  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-icc 13296

This theorem is referenced by:  omsmon  34482