Theorem xrge0infssd 30511

Description: Inequality deduction for infimum of a nonnegative extended real subset. (Contributed by Thierry Arnoux, 16-Sep-2019.) (Revised by AV, 4-Oct-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
xrge0infssd.1	⊢ (𝜑 → 𝐶 ⊆ 𝐵)
xrge0infssd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ (0[,]+∞))

Assertion

Ref	Expression
xrge0infssd	⊢ (𝜑 → inf(𝐵, (0[,]+∞), < ) ≤ inf(𝐶, (0[,]+∞), < ))

Proof of Theorem xrge0infssd

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iccssxr 12808	. . 3 ⊢ (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
2		xrltso 12522	. . . . . 6 ⊢ < Or ℝ*
3		soss 5457	. . . . . 6 ⊢ ((0[,]+∞) ⊆ ℝ* → ( < Or ℝ* → < Or (0[,]+∞)))
4	1, 2, 3	mp2 9	. . . . 5 ⊢ < Or (0[,]+∞)
5	4	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → < Or (0[,]+∞))
6		xrge0infssd.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ (0[,]+∞))
7		xrge0infss 30510	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ⊆ (0[,]+∞) → ∃𝑥 ∈ (0[,]+∞)(∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 < 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ (0[,]+∞)(𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝐵 𝑧 < 𝑦)))
8	6, 7	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ (0[,]+∞)(∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 < 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ (0[,]+∞)(𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝐵 𝑧 < 𝑦)))
9	5, 8	infcl 8936	. . 3 ⊢ (𝜑 → inf(𝐵, (0[,]+∞), < ) ∈ (0[,]+∞))
10	1, 9	sseldi 3913	. 2 ⊢ (𝜑 → inf(𝐵, (0[,]+∞), < ) ∈ ℝ*)
11		xrge0infssd.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ⊆ 𝐵)
12	11, 6	sstrd 3925	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ⊆ (0[,]+∞))
13		xrge0infss 30510	. . . . 5 ⊢ (𝐶 ⊆ (0[,]+∞) → ∃𝑥 ∈ (0[,]+∞)(∀𝑦 ∈ 𝐶 ¬ 𝑦 < 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ (0[,]+∞)(𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝐶 𝑧 < 𝑦)))
14	12, 13	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ (0[,]+∞)(∀𝑦 ∈ 𝐶 ¬ 𝑦 < 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ (0[,]+∞)(𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝐶 𝑧 < 𝑦)))
15	5, 14	infcl 8936	. . 3 ⊢ (𝜑 → inf(𝐶, (0[,]+∞), < ) ∈ (0[,]+∞))
16	1, 15	sseldi 3913	. 2 ⊢ (𝜑 → inf(𝐶, (0[,]+∞), < ) ∈ ℝ*)
17	5, 11, 14, 8	infssd 30472	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ inf(𝐶, (0[,]+∞), < ) < inf(𝐵, (0[,]+∞), < ))
18	10, 16, 17	xrnltled 10698	1 ⊢ (𝜑 → inf(𝐵, (0[,]+∞), < ) ≤ inf(𝐶, (0[,]+∞), < ))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 399  ∀wral 3106  ∃wrex 3107   ⊆ wss 3881   class class class wbr 5030   Or wor 5437  (class class class)co 7135  infcinf 8889  0cc0 10526  +∞cpnf 10661  ℝ^*cxr 10663   < clt 10664   ≤ cle 10665  [,]cicc 12729

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603  ax-pre-sup 10604

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-op 4532  df-uni 4801  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-id 5425  df-po 5438  df-so 5439  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-1st 7671  df-2nd 7672  df-er 8272  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-sup 8890  df-inf 8891  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-icc 12733

This theorem is referenced by:  omsmon  31666