Theorem xrge0infssd 30044

Description: Inequality deduction for infimum of a nonnegative extended real subset. (Contributed by Thierry Arnoux, 16-Sep-2019.) (Revised by AV, 4-Oct-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
xrge0infssd.1	⊢ (𝜑 → 𝐶 ⊆ 𝐵)
xrge0infssd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ (0[,]+∞))

Assertion

Ref	Expression
xrge0infssd	⊢ (𝜑 → inf(𝐵, (0[,]+∞), < ) ≤ inf(𝐶, (0[,]+∞), < ))

Proof of Theorem xrge0infssd

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iccssxr 12505	. . 3 ⊢ (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
2		xrltso 12221	. . . . . 6 ⊢ < Or ℝ*
3		soss 5251	. . . . . 6 ⊢ ((0[,]+∞) ⊆ ℝ* → ( < Or ℝ* → < Or (0[,]+∞)))
4	1, 2, 3	mp2 9	. . . . 5 ⊢ < Or (0[,]+∞)
5	4	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → < Or (0[,]+∞))
6		xrge0infssd.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ (0[,]+∞))
7		xrge0infss 30043	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ⊆ (0[,]+∞) → ∃𝑥 ∈ (0[,]+∞)(∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 < 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ (0[,]+∞)(𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝐵 𝑧 < 𝑦)))
8	6, 7	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ (0[,]+∞)(∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 < 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ (0[,]+∞)(𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝐵 𝑧 < 𝑦)))
9	5, 8	infcl 8636	. . 3 ⊢ (𝜑 → inf(𝐵, (0[,]+∞), < ) ∈ (0[,]+∞))
10	1, 9	sseldi 3796	. 2 ⊢ (𝜑 → inf(𝐵, (0[,]+∞), < ) ∈ ℝ*)
11		xrge0infssd.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ⊆ 𝐵)
12	11, 6	sstrd 3808	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ⊆ (0[,]+∞))
13		xrge0infss 30043	. . . . 5 ⊢ (𝐶 ⊆ (0[,]+∞) → ∃𝑥 ∈ (0[,]+∞)(∀𝑦 ∈ 𝐶 ¬ 𝑦 < 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ (0[,]+∞)(𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝐶 𝑧 < 𝑦)))
14	12, 13	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ (0[,]+∞)(∀𝑦 ∈ 𝐶 ¬ 𝑦 < 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ (0[,]+∞)(𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝐶 𝑧 < 𝑦)))
15	5, 14	infcl 8636	. . 3 ⊢ (𝜑 → inf(𝐶, (0[,]+∞), < ) ∈ (0[,]+∞))
16	1, 15	sseldi 3796	. 2 ⊢ (𝜑 → inf(𝐶, (0[,]+∞), < ) ∈ ℝ*)
17	5, 11, 14, 8	infssd 30006	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ inf(𝐶, (0[,]+∞), < ) < inf(𝐵, (0[,]+∞), < ))
18	10, 16, 17	xrnltled 10396	1 ⊢ (𝜑 → inf(𝐵, (0[,]+∞), < ) ≤ inf(𝐶, (0[,]+∞), < ))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 385  ∀wral 3089  ∃wrex 3090   ⊆ wss 3769   class class class wbr 4843   Or wor 5232  (class class class)co 6878  infcinf 8589  0cc0 10224  +∞cpnf 10360  ℝ^*cxr 10362   < clt 10363   ≤ cle 10364  [,]cicc 12427

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2377  ax-ext 2777  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pow 5035  ax-pr 5097  ax-un 7183  ax-cnex 10280  ax-resscn 10281  ax-1cn 10282  ax-icn 10283  ax-addcl 10284  ax-addrcl 10285  ax-mulcl 10286  ax-mulrcl 10287  ax-mulcom 10288  ax-addass 10289  ax-mulass 10290  ax-distr 10291  ax-i2m1 10292  ax-1ne0 10293  ax-1rid 10294  ax-rnegex 10295  ax-rrecex 10296  ax-cnre 10297  ax-pre-lttri 10298  ax-pre-lttrn 10299  ax-pre-ltadd 10300  ax-pre-mulgt0 10301  ax-pre-sup 10302

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2591  df-eu 2609  df-clab 2786  df-cleq 2792  df-clel 2795  df-nfc 2930  df-ne 2972  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rmo 3097  df-rab 3098  df-v 3387  df-sbc 3634  df-csb 3729  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-nul 4116  df-if 4278  df-pw 4351  df-sn 4369  df-pr 4371  df-op 4375  df-uni 4629  df-iun 4712  df-br 4844  df-opab 4906  df-mpt 4923  df-id 5220  df-po 5233  df-so 5234  df-xp 5318  df-rel 5319  df-cnv 5320  df-co 5321  df-dm 5322  df-rn 5323  df-res 5324  df-ima 5325  df-iota 6064  df-fun 6103  df-fn 6104  df-f 6105  df-f1 6106  df-fo 6107  df-f1o 6108  df-fv 6109  df-riota 6839  df-ov 6881  df-oprab 6882  df-mpt2 6883  df-1st 7401  df-2nd 7402  df-er 7982  df-en 8196  df-dom 8197  df-sdom 8198  df-sup 8590  df-inf 8591  df-pnf 10365  df-mnf 10366  df-xr 10367  df-ltxr 10368  df-le 10369  df-sub 10558  df-neg 10559  df-icc 12431

This theorem is referenced by:  omsmon  30876