Theorem xrge0infssd 33106

Description: Inequality deduction for infimum of a nonnegative extended real subset. (Contributed by Thierry Arnoux, 16-Sep-2019.) (Revised by AV, 4-Oct-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
xrge0infssd.1	⊢ (𝜑 → 𝐶 ⊆ 𝐵)
xrge0infssd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ (0[,]+∞))

Assertion

Ref	Expression
xrge0infssd	⊢ (𝜑 → inf(𝐵, (0[,]+∞), < ) ≤ inf(𝐶, (0[,]+∞), < ))

Proof of Theorem xrge0infssd

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iccssxr 13452	. . 3 ⊢ (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
2		xrltso 13161	. . . . . 6 ⊢ < Or ℝ*
3		soss 5589	. . . . . 6 ⊢ ((0[,]+∞) ⊆ ℝ* → ( < Or ℝ* → < Or (0[,]+∞)))
4	1, 2, 3	mp2 9	. . . . 5 ⊢ < Or (0[,]+∞)
5	4	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → < Or (0[,]+∞))
6		xrge0infssd.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ (0[,]+∞))
7		xrge0infss 33105	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ⊆ (0[,]+∞) → ∃𝑥 ∈ (0[,]+∞)(∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 < 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ (0[,]+∞)(𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝐵 𝑧 < 𝑦)))
8	6, 7	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ (0[,]+∞)(∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 < 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ (0[,]+∞)(𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝐵 𝑧 < 𝑦)))
9	5, 8	infcl 9445	. . 3 ⊢ (𝜑 → inf(𝐵, (0[,]+∞), < ) ∈ (0[,]+∞))
10	1, 9	sselid 3935	. 2 ⊢ (𝜑 → inf(𝐵, (0[,]+∞), < ) ∈ ℝ*)
11		xrge0infssd.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ⊆ 𝐵)
12	11, 6	sstrd 3947	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ⊆ (0[,]+∞))
13		xrge0infss 33105	. . . . 5 ⊢ (𝐶 ⊆ (0[,]+∞) → ∃𝑥 ∈ (0[,]+∞)(∀𝑦 ∈ 𝐶 ¬ 𝑦 < 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ (0[,]+∞)(𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝐶 𝑧 < 𝑦)))
14	12, 13	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ (0[,]+∞)(∀𝑦 ∈ 𝐶 ¬ 𝑦 < 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ (0[,]+∞)(𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝐶 𝑧 < 𝑦)))
15	5, 14	infcl 9445	. . 3 ⊢ (𝜑 → inf(𝐶, (0[,]+∞), < ) ∈ (0[,]+∞))
16	1, 15	sselid 3935	. 2 ⊢ (𝜑 → inf(𝐶, (0[,]+∞), < ) ∈ ℝ*)
17	5, 11, 14, 8	infssd 9450	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ inf(𝐶, (0[,]+∞), < ) < inf(𝐵, (0[,]+∞), < ))
18	10, 16, 17	xrnltled 11273	1 ⊢ (𝜑 → inf(𝐵, (0[,]+∞), < ) ≤ inf(𝐶, (0[,]+∞), < ))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 400  ∀wral 3079  ∃wrex 3089   ⊆ wss 3905   class class class wbr 5109   Or wor 5568  (class class class)co 7410  infcinf 9397  0cc0 11095  +∞cpnf 11235  ℝ^*cxr 11237   < clt 11238   ≤ cle 11239  [,]cicc 13370

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11151  ax-resscn 11152  ax-1cn 11153  ax-icn 11154  ax-addcl 11155  ax-addrcl 11156  ax-mulcl 11157  ax-mulrcl 11158  ax-mulcom 11159  ax-addass 11160  ax-mulass 11161  ax-distr 11162  ax-i2m1 11163  ax-1ne0 11164  ax-1rid 11165  ax-rnegex 11166  ax-rrecex 11167  ax-cnre 11168  ax-pre-lttri 11169  ax-pre-lttrn 11170  ax-pre-ltadd 11171  ax-pre-mulgt0 11172  ax-pre-sup 11173

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-id 5556  df-po 5569  df-so 5570  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-er 8690  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-sup 9398  df-inf 9399  df-pnf 11240  df-mnf 11241  df-xr 11242  df-ltxr 11243  df-le 11244  df-sub 11438  df-neg 11439  df-icc 13374

This theorem is referenced by:  omsmon  34688