Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  xrge0infssd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xrge0infssd 30671
Description: Inequality deduction for infimum of a nonnegative extended real subset. (Contributed by Thierry Arnoux, 16-Sep-2019.) (Revised by AV, 4-Oct-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
xrge0infssd.1 (𝜑𝐶𝐵)
xrge0infssd.2 (𝜑𝐵 ⊆ (0[,]+∞))
Assertion
Ref Expression
xrge0infssd (𝜑 → inf(𝐵, (0[,]+∞), < ) ≤ inf(𝐶, (0[,]+∞), < ))

Proof of Theorem xrge0infssd
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iccssxr 12916 . . 3 (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
2 xrltso 12629 . . . . . 6 < Or ℝ*
3 soss 5472 . . . . . 6 ((0[,]+∞) ⊆ ℝ* → ( < Or ℝ* → < Or (0[,]+∞)))
41, 2, 3mp2 9 . . . . 5 < Or (0[,]+∞)
54a1i 11 . . . 4 (𝜑 → < Or (0[,]+∞))
6 xrge0infssd.2 . . . . 5 (𝜑𝐵 ⊆ (0[,]+∞))
7 xrge0infss 30670 . . . . 5 (𝐵 ⊆ (0[,]+∞) → ∃𝑥 ∈ (0[,]+∞)(∀𝑦𝐵 ¬ 𝑦 < 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ (0[,]+∞)(𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧𝐵 𝑧 < 𝑦)))
86, 7syl 17 . . . 4 (𝜑 → ∃𝑥 ∈ (0[,]+∞)(∀𝑦𝐵 ¬ 𝑦 < 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ (0[,]+∞)(𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧𝐵 𝑧 < 𝑦)))
95, 8infcl 9037 . . 3 (𝜑 → inf(𝐵, (0[,]+∞), < ) ∈ (0[,]+∞))
101, 9sseldi 3885 . 2 (𝜑 → inf(𝐵, (0[,]+∞), < ) ∈ ℝ*)
11 xrge0infssd.1 . . . . . 6 (𝜑𝐶𝐵)
1211, 6sstrd 3897 . . . . 5 (𝜑𝐶 ⊆ (0[,]+∞))
13 xrge0infss 30670 . . . . 5 (𝐶 ⊆ (0[,]+∞) → ∃𝑥 ∈ (0[,]+∞)(∀𝑦𝐶 ¬ 𝑦 < 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ (0[,]+∞)(𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧𝐶 𝑧 < 𝑦)))
1412, 13syl 17 . . . 4 (𝜑 → ∃𝑥 ∈ (0[,]+∞)(∀𝑦𝐶 ¬ 𝑦 < 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ (0[,]+∞)(𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧𝐶 𝑧 < 𝑦)))
155, 14infcl 9037 . . 3 (𝜑 → inf(𝐶, (0[,]+∞), < ) ∈ (0[,]+∞))
161, 15sseldi 3885 . 2 (𝜑 → inf(𝐶, (0[,]+∞), < ) ∈ ℝ*)
175, 11, 14, 8infssd 30632 . 2 (𝜑 → ¬ inf(𝐶, (0[,]+∞), < ) < inf(𝐵, (0[,]+∞), < ))
1810, 16, 17xrnltled 10799 1 (𝜑 → inf(𝐵, (0[,]+∞), < ) ≤ inf(𝐶, (0[,]+∞), < ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 399  wral 3054  wrex 3055  wss 3853   class class class wbr 5040   Or wor 5451  (class class class)co 7182  infcinf 8990  0cc0 10627  +∞cpnf 10762  *cxr 10764   < clt 10765  cle 10766  [,]cicc 12836
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2020  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2711  ax-sep 5177  ax-nul 5184  ax-pow 5242  ax-pr 5306  ax-un 7491  ax-cnex 10683  ax-resscn 10684  ax-1cn 10685  ax-icn 10686  ax-addcl 10687  ax-addrcl 10688  ax-mulcl 10689  ax-mulrcl 10690  ax-mulcom 10691  ax-addass 10692  ax-mulass 10693  ax-distr 10694  ax-i2m1 10695  ax-1ne0 10696  ax-1rid 10697  ax-rnegex 10698  ax-rrecex 10699  ax-cnre 10700  ax-pre-lttri 10701  ax-pre-lttrn 10702  ax-pre-ltadd 10703  ax-pre-mulgt0 10704  ax-pre-sup 10705
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2075  df-mo 2541  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2812  df-nfc 2882  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3059  df-rex 3060  df-reu 3061  df-rmo 3062  df-rab 3063  df-v 3402  df-sbc 3686  df-csb 3801  df-dif 3856  df-un 3858  df-in 3860  df-ss 3870  df-nul 4222  df-if 4425  df-pw 4500  df-sn 4527  df-pr 4529  df-op 4533  df-uni 4807  df-iun 4893  df-br 5041  df-opab 5103  df-mpt 5121  df-id 5439  df-po 5452  df-so 5453  df-xp 5541  df-rel 5542  df-cnv 5543  df-co 5544  df-dm 5545  df-rn 5546  df-res 5547  df-ima 5548  df-iota 6307  df-fun 6351  df-fn 6352  df-f 6353  df-f1 6354  df-fo 6355  df-f1o 6356  df-fv 6357  df-riota 7139  df-ov 7185  df-oprab 7186  df-mpo 7187  df-1st 7726  df-2nd 7727  df-er 8332  df-en 8568  df-dom 8569  df-sdom 8570  df-sup 8991  df-inf 8992  df-pnf 10767  df-mnf 10768  df-xr 10769  df-ltxr 10770  df-le 10771  df-sub 10962  df-neg 10963  df-icc 12840
This theorem is referenced by:  omsmon  31847
  Copyright terms: Public domain W3C validator