Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  xrge0infssd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xrge0infssd 31713
Description: Inequality deduction for infimum of a nonnegative extended real subset. (Contributed by Thierry Arnoux, 16-Sep-2019.) (Revised by AV, 4-Oct-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
xrge0infssd.1 (𝜑𝐶𝐵)
xrge0infssd.2 (𝜑𝐵 ⊆ (0[,]+∞))
Assertion
Ref Expression
xrge0infssd (𝜑 → inf(𝐵, (0[,]+∞), < ) ≤ inf(𝐶, (0[,]+∞), < ))

Proof of Theorem xrge0infssd
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iccssxr 13353 . . 3 (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
2 xrltso 13066 . . . . . 6 < Or ℝ*
3 soss 5566 . . . . . 6 ((0[,]+∞) ⊆ ℝ* → ( < Or ℝ* → < Or (0[,]+∞)))
41, 2, 3mp2 9 . . . . 5 < Or (0[,]+∞)
54a1i 11 . . . 4 (𝜑 → < Or (0[,]+∞))
6 xrge0infssd.2 . . . . 5 (𝜑𝐵 ⊆ (0[,]+∞))
7 xrge0infss 31712 . . . . 5 (𝐵 ⊆ (0[,]+∞) → ∃𝑥 ∈ (0[,]+∞)(∀𝑦𝐵 ¬ 𝑦 < 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ (0[,]+∞)(𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧𝐵 𝑧 < 𝑦)))
86, 7syl 17 . . . 4 (𝜑 → ∃𝑥 ∈ (0[,]+∞)(∀𝑦𝐵 ¬ 𝑦 < 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ (0[,]+∞)(𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧𝐵 𝑧 < 𝑦)))
95, 8infcl 9429 . . 3 (𝜑 → inf(𝐵, (0[,]+∞), < ) ∈ (0[,]+∞))
101, 9sselid 3943 . 2 (𝜑 → inf(𝐵, (0[,]+∞), < ) ∈ ℝ*)
11 xrge0infssd.1 . . . . . 6 (𝜑𝐶𝐵)
1211, 6sstrd 3955 . . . . 5 (𝜑𝐶 ⊆ (0[,]+∞))
13 xrge0infss 31712 . . . . 5 (𝐶 ⊆ (0[,]+∞) → ∃𝑥 ∈ (0[,]+∞)(∀𝑦𝐶 ¬ 𝑦 < 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ (0[,]+∞)(𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧𝐶 𝑧 < 𝑦)))
1412, 13syl 17 . . . 4 (𝜑 → ∃𝑥 ∈ (0[,]+∞)(∀𝑦𝐶 ¬ 𝑦 < 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ (0[,]+∞)(𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧𝐶 𝑧 < 𝑦)))
155, 14infcl 9429 . . 3 (𝜑 → inf(𝐶, (0[,]+∞), < ) ∈ (0[,]+∞))
161, 15sselid 3943 . 2 (𝜑 → inf(𝐶, (0[,]+∞), < ) ∈ ℝ*)
175, 11, 14, 8infssd 31674 . 2 (𝜑 → ¬ inf(𝐶, (0[,]+∞), < ) < inf(𝐵, (0[,]+∞), < ))
1810, 16, 17xrnltled 11228 1 (𝜑 → inf(𝐵, (0[,]+∞), < ) ≤ inf(𝐶, (0[,]+∞), < ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 397  wral 3061  wrex 3070  wss 3911   class class class wbr 5106   Or wor 5545  (class class class)co 7358  infcinf 9382  0cc0 11056  +∞cpnf 11191  *cxr 11193   < clt 11194  cle 11195  [,]cicc 13273
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133  ax-pre-sup 11134
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-id 5532  df-po 5546  df-so 5547  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-er 8651  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-sup 9383  df-inf 9384  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-icc 13277
This theorem is referenced by:  omsmon  32955
  Copyright terms: Public domain W3C validator