MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ixxlb Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ixxlb 13409
Description: Extract the lower bound of an interval. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Jun-2014.) (Revised by AV, 12-Sep-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
ixx.1 𝑂 = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥𝑅𝑧𝑧𝑆𝑦)})
ixxub.2 ((𝑤 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝑤 < 𝐵𝑤𝑆𝐵))
ixxub.3 ((𝑤 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝑤𝑆𝐵𝑤𝐵))
ixxub.4 ((𝐴 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*) → (𝐴 < 𝑤𝐴𝑅𝑤))
ixxub.5 ((𝐴 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*) → (𝐴𝑅𝑤𝐴𝑤))
Assertion
Ref Expression
ixxlb ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ* ∧ (𝐴𝑂𝐵) ≠ ∅) → inf((𝐴𝑂𝐵), ℝ*, < ) = 𝐴)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑤,𝑦,𝑧,𝐴   𝑤,𝑂   𝑤,𝐵,𝑥,𝑦,𝑧   𝑥,𝑅,𝑦,𝑧   𝑥,𝑆,𝑦,𝑧
Allowed substitution hints:   𝑅(𝑤)   𝑆(𝑤)   𝑂(𝑥,𝑦,𝑧)

Proof of Theorem ixxlb
StepHypRef Expression
1 ixx.1 . . . . . . . . 9 𝑂 = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥𝑅𝑧𝑧𝑆𝑦)})
21elixx1 13396 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝑤 ∈ (𝐴𝑂𝐵) ↔ (𝑤 ∈ ℝ*𝐴𝑅𝑤𝑤𝑆𝐵)))
323adant3 1133 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ* ∧ (𝐴𝑂𝐵) ≠ ∅) → (𝑤 ∈ (𝐴𝑂𝐵) ↔ (𝑤 ∈ ℝ*𝐴𝑅𝑤𝑤𝑆𝐵)))
43biimpa 476 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ* ∧ (𝐴𝑂𝐵) ≠ ∅) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴𝑂𝐵)) → (𝑤 ∈ ℝ*𝐴𝑅𝑤𝑤𝑆𝐵))
54simp1d 1143 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ* ∧ (𝐴𝑂𝐵) ≠ ∅) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴𝑂𝐵)) → 𝑤 ∈ ℝ*)
65ex 412 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ* ∧ (𝐴𝑂𝐵) ≠ ∅) → (𝑤 ∈ (𝐴𝑂𝐵) → 𝑤 ∈ ℝ*))
76ssrdv 3989 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ* ∧ (𝐴𝑂𝐵) ≠ ∅) → (𝐴𝑂𝐵) ⊆ ℝ*)
8 infxrcl 13375 . . 3 ((𝐴𝑂𝐵) ⊆ ℝ* → inf((𝐴𝑂𝐵), ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
97, 8syl 17 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ* ∧ (𝐴𝑂𝐵) ≠ ∅) → inf((𝐴𝑂𝐵), ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
10 simp1 1137 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ* ∧ (𝐴𝑂𝐵) ≠ ∅) → 𝐴 ∈ ℝ*)
11 simprr 773 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ* ∧ (𝐴𝑂𝐵) ≠ ∅) ∧ 𝑤 ∈ ℚ) ∧ (𝐴 < 𝑤𝑤 < inf((𝐴𝑂𝐵), ℝ*, < ))) → 𝑤 < inf((𝐴𝑂𝐵), ℝ*, < ))
127ad2antrr 726 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ* ∧ (𝐴𝑂𝐵) ≠ ∅) ∧ 𝑤 ∈ ℚ) ∧ (𝐴 < 𝑤𝑤 < inf((𝐴𝑂𝐵), ℝ*, < ))) → (𝐴𝑂𝐵) ⊆ ℝ*)
13 qre 12995 . . . . . . . . . . 11 (𝑤 ∈ ℚ → 𝑤 ∈ ℝ)
1413rexrd 11311 . . . . . . . . . 10 (𝑤 ∈ ℚ → 𝑤 ∈ ℝ*)
1514ad2antlr 727 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ* ∧ (𝐴𝑂𝐵) ≠ ∅) ∧ 𝑤 ∈ ℚ) ∧ (𝐴 < 𝑤𝑤 < inf((𝐴𝑂𝐵), ℝ*, < ))) → 𝑤 ∈ ℝ*)
16 simprl 771 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ* ∧ (𝐴𝑂𝐵) ≠ ∅) ∧ 𝑤 ∈ ℚ) ∧ (𝐴 < 𝑤𝑤 < inf((𝐴𝑂𝐵), ℝ*, < ))) → 𝐴 < 𝑤)
1710ad2antrr 726 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ* ∧ (𝐴𝑂𝐵) ≠ ∅) ∧ 𝑤 ∈ ℚ) ∧ (𝐴 < 𝑤𝑤 < inf((𝐴𝑂𝐵), ℝ*, < ))) → 𝐴 ∈ ℝ*)
18 ixxub.4 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*) → (𝐴 < 𝑤𝐴𝑅𝑤))
1917, 15, 18syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ* ∧ (𝐴𝑂𝐵) ≠ ∅) ∧ 𝑤 ∈ ℚ) ∧ (𝐴 < 𝑤𝑤 < inf((𝐴𝑂𝐵), ℝ*, < ))) → (𝐴 < 𝑤𝐴𝑅𝑤))
2016, 19mpd 15 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ* ∧ (𝐴𝑂𝐵) ≠ ∅) ∧ 𝑤 ∈ ℚ) ∧ (𝐴 < 𝑤𝑤 < inf((𝐴𝑂𝐵), ℝ*, < ))) → 𝐴𝑅𝑤)
219ad2antrr 726 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ* ∧ (𝐴𝑂𝐵) ≠ ∅) ∧ 𝑤 ∈ ℚ) ∧ (𝐴 < 𝑤𝑤 < inf((𝐴𝑂𝐵), ℝ*, < ))) → inf((𝐴𝑂𝐵), ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
22 simpll2 1214 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ* ∧ (𝐴𝑂𝐵) ≠ ∅) ∧ 𝑤 ∈ ℚ) ∧ (𝐴 < 𝑤𝑤 < inf((𝐴𝑂𝐵), ℝ*, < ))) → 𝐵 ∈ ℝ*)
23 simp3 1139 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ* ∧ (𝐴𝑂𝐵) ≠ ∅) → (𝐴𝑂𝐵) ≠ ∅)
24 n0 4353 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴𝑂𝐵) ≠ ∅ ↔ ∃𝑤 𝑤 ∈ (𝐴𝑂𝐵))
2523, 24sylib 218 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ* ∧ (𝐴𝑂𝐵) ≠ ∅) → ∃𝑤 𝑤 ∈ (𝐴𝑂𝐵))
269adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ* ∧ (𝐴𝑂𝐵) ≠ ∅) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴𝑂𝐵)) → inf((𝐴𝑂𝐵), ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
27 simpl2 1193 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ* ∧ (𝐴𝑂𝐵) ≠ ∅) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴𝑂𝐵)) → 𝐵 ∈ ℝ*)
28 infxrlb 13376 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴𝑂𝐵) ⊆ ℝ*𝑤 ∈ (𝐴𝑂𝐵)) → inf((𝐴𝑂𝐵), ℝ*, < ) ≤ 𝑤)
297, 28sylan 580 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ* ∧ (𝐴𝑂𝐵) ≠ ∅) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴𝑂𝐵)) → inf((𝐴𝑂𝐵), ℝ*, < ) ≤ 𝑤)
304simp3d 1145 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ* ∧ (𝐴𝑂𝐵) ≠ ∅) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴𝑂𝐵)) → 𝑤𝑆𝐵)
31 ixxub.3 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑤 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝑤𝑆𝐵𝑤𝐵))
325, 27, 31syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ* ∧ (𝐴𝑂𝐵) ≠ ∅) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴𝑂𝐵)) → (𝑤𝑆𝐵𝑤𝐵))
3330, 32mpd 15 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ* ∧ (𝐴𝑂𝐵) ≠ ∅) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴𝑂𝐵)) → 𝑤𝐵)
3426, 5, 27, 29, 33xrletrd 13204 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ* ∧ (𝐴𝑂𝐵) ≠ ∅) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴𝑂𝐵)) → inf((𝐴𝑂𝐵), ℝ*, < ) ≤ 𝐵)
3525, 34exlimddv 1935 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ* ∧ (𝐴𝑂𝐵) ≠ ∅) → inf((𝐴𝑂𝐵), ℝ*, < ) ≤ 𝐵)
3635ad2antrr 726 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ* ∧ (𝐴𝑂𝐵) ≠ ∅) ∧ 𝑤 ∈ ℚ) ∧ (𝐴 < 𝑤𝑤 < inf((𝐴𝑂𝐵), ℝ*, < ))) → inf((𝐴𝑂𝐵), ℝ*, < ) ≤ 𝐵)
3715, 21, 22, 11, 36xrltletrd 13203 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ* ∧ (𝐴𝑂𝐵) ≠ ∅) ∧ 𝑤 ∈ ℚ) ∧ (𝐴 < 𝑤𝑤 < inf((𝐴𝑂𝐵), ℝ*, < ))) → 𝑤 < 𝐵)
38 ixxub.2 . . . . . . . . . . 11 ((𝑤 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝑤 < 𝐵𝑤𝑆𝐵))
3915, 22, 38syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ* ∧ (𝐴𝑂𝐵) ≠ ∅) ∧ 𝑤 ∈ ℚ) ∧ (𝐴 < 𝑤𝑤 < inf((𝐴𝑂𝐵), ℝ*, < ))) → (𝑤 < 𝐵𝑤𝑆𝐵))
4037, 39mpd 15 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ* ∧ (𝐴𝑂𝐵) ≠ ∅) ∧ 𝑤 ∈ ℚ) ∧ (𝐴 < 𝑤𝑤 < inf((𝐴𝑂𝐵), ℝ*, < ))) → 𝑤𝑆𝐵)
413ad2antrr 726 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ* ∧ (𝐴𝑂𝐵) ≠ ∅) ∧ 𝑤 ∈ ℚ) ∧ (𝐴 < 𝑤𝑤 < inf((𝐴𝑂𝐵), ℝ*, < ))) → (𝑤 ∈ (𝐴𝑂𝐵) ↔ (𝑤 ∈ ℝ*𝐴𝑅𝑤𝑤𝑆𝐵)))
4215, 20, 40, 41mpbir3and 1343 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ* ∧ (𝐴𝑂𝐵) ≠ ∅) ∧ 𝑤 ∈ ℚ) ∧ (𝐴 < 𝑤𝑤 < inf((𝐴𝑂𝐵), ℝ*, < ))) → 𝑤 ∈ (𝐴𝑂𝐵))
4312, 42, 28syl2anc 584 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ* ∧ (𝐴𝑂𝐵) ≠ ∅) ∧ 𝑤 ∈ ℚ) ∧ (𝐴 < 𝑤𝑤 < inf((𝐴𝑂𝐵), ℝ*, < ))) → inf((𝐴𝑂𝐵), ℝ*, < ) ≤ 𝑤)
4421, 15xrlenltd 11327 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ* ∧ (𝐴𝑂𝐵) ≠ ∅) ∧ 𝑤 ∈ ℚ) ∧ (𝐴 < 𝑤𝑤 < inf((𝐴𝑂𝐵), ℝ*, < ))) → (inf((𝐴𝑂𝐵), ℝ*, < ) ≤ 𝑤 ↔ ¬ 𝑤 < inf((𝐴𝑂𝐵), ℝ*, < )))
4543, 44mpbid 232 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ* ∧ (𝐴𝑂𝐵) ≠ ∅) ∧ 𝑤 ∈ ℚ) ∧ (𝐴 < 𝑤𝑤 < inf((𝐴𝑂𝐵), ℝ*, < ))) → ¬ 𝑤 < inf((𝐴𝑂𝐵), ℝ*, < ))
4611, 45pm2.65da 817 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ* ∧ (𝐴𝑂𝐵) ≠ ∅) ∧ 𝑤 ∈ ℚ) → ¬ (𝐴 < 𝑤𝑤 < inf((𝐴𝑂𝐵), ℝ*, < )))
4746nrexdv 3149 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ* ∧ (𝐴𝑂𝐵) ≠ ∅) → ¬ ∃𝑤 ∈ ℚ (𝐴 < 𝑤𝑤 < inf((𝐴𝑂𝐵), ℝ*, < )))
48 qbtwnxr 13242 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ inf((𝐴𝑂𝐵), ℝ*, < ) ∈ ℝ*𝐴 < inf((𝐴𝑂𝐵), ℝ*, < )) → ∃𝑤 ∈ ℚ (𝐴 < 𝑤𝑤 < inf((𝐴𝑂𝐵), ℝ*, < )))
49483expia 1122 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ inf((𝐴𝑂𝐵), ℝ*, < ) ∈ ℝ*) → (𝐴 < inf((𝐴𝑂𝐵), ℝ*, < ) → ∃𝑤 ∈ ℚ (𝐴 < 𝑤𝑤 < inf((𝐴𝑂𝐵), ℝ*, < ))))
5010, 9, 49syl2anc 584 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ* ∧ (𝐴𝑂𝐵) ≠ ∅) → (𝐴 < inf((𝐴𝑂𝐵), ℝ*, < ) → ∃𝑤 ∈ ℚ (𝐴 < 𝑤𝑤 < inf((𝐴𝑂𝐵), ℝ*, < ))))
5147, 50mtod 198 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ* ∧ (𝐴𝑂𝐵) ≠ ∅) → ¬ 𝐴 < inf((𝐴𝑂𝐵), ℝ*, < ))
529, 10, 51xrnltled 11329 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ* ∧ (𝐴𝑂𝐵) ≠ ∅) → inf((𝐴𝑂𝐵), ℝ*, < ) ≤ 𝐴)
534simp2d 1144 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ* ∧ (𝐴𝑂𝐵) ≠ ∅) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴𝑂𝐵)) → 𝐴𝑅𝑤)
5410adantr 480 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ* ∧ (𝐴𝑂𝐵) ≠ ∅) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴𝑂𝐵)) → 𝐴 ∈ ℝ*)
55 ixxub.5 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*) → (𝐴𝑅𝑤𝐴𝑤))
5654, 5, 55syl2anc 584 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ* ∧ (𝐴𝑂𝐵) ≠ ∅) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴𝑂𝐵)) → (𝐴𝑅𝑤𝐴𝑤))
5753, 56mpd 15 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ* ∧ (𝐴𝑂𝐵) ≠ ∅) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴𝑂𝐵)) → 𝐴𝑤)
5857ralrimiva 3146 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ* ∧ (𝐴𝑂𝐵) ≠ ∅) → ∀𝑤 ∈ (𝐴𝑂𝐵)𝐴𝑤)
59 infxrgelb 13377 . . . 4 (((𝐴𝑂𝐵) ⊆ ℝ*𝐴 ∈ ℝ*) → (𝐴 ≤ inf((𝐴𝑂𝐵), ℝ*, < ) ↔ ∀𝑤 ∈ (𝐴𝑂𝐵)𝐴𝑤))
607, 10, 59syl2anc 584 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ* ∧ (𝐴𝑂𝐵) ≠ ∅) → (𝐴 ≤ inf((𝐴𝑂𝐵), ℝ*, < ) ↔ ∀𝑤 ∈ (𝐴𝑂𝐵)𝐴𝑤))
6158, 60mpbird 257 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ* ∧ (𝐴𝑂𝐵) ≠ ∅) → 𝐴 ≤ inf((𝐴𝑂𝐵), ℝ*, < ))
629, 10, 52, 61xrletrid 13197 1 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ* ∧ (𝐴𝑂𝐵) ≠ ∅) → inf((𝐴𝑂𝐵), ℝ*, < ) = 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1087   = wceq 1540  wex 1779  wcel 2108  wne 2940  wral 3061  wrex 3070  {crab 3436  wss 3951  c0 4333   class class class wbr 5143  (class class class)co 7431  cmpo 7433  infcinf 9481  *cxr 11294   < clt 11295  cle 11296  cq 12990
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-sup 9482  df-inf 9483  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-q 12991
This theorem is referenced by:  ioorf  25608  ioorinv2  25610  ioossioobi  45530
  Copyright terms: Public domain W3C validator