MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ixxlb Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ixxlb 12752
Description: Extract the lower bound of an interval. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Jun-2014.) (Revised by AV, 12-Sep-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
ixx.1 𝑂 = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥𝑅𝑧𝑧𝑆𝑦)})
ixxub.2 ((𝑤 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝑤 < 𝐵𝑤𝑆𝐵))
ixxub.3 ((𝑤 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝑤𝑆𝐵𝑤𝐵))
ixxub.4 ((𝐴 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*) → (𝐴 < 𝑤𝐴𝑅𝑤))
ixxub.5 ((𝐴 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*) → (𝐴𝑅𝑤𝐴𝑤))
Assertion
Ref Expression
ixxlb ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ* ∧ (𝐴𝑂𝐵) ≠ ∅) → inf((𝐴𝑂𝐵), ℝ*, < ) = 𝐴)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑤,𝑦,𝑧,𝐴   𝑤,𝑂   𝑤,𝐵,𝑥,𝑦,𝑧   𝑥,𝑅,𝑦,𝑧   𝑥,𝑆,𝑦,𝑧
Allowed substitution hints:   𝑅(𝑤)   𝑆(𝑤)   𝑂(𝑥,𝑦,𝑧)

Proof of Theorem ixxlb
StepHypRef Expression
1 ixx.1 . . . . . . . . 9 𝑂 = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥𝑅𝑧𝑧𝑆𝑦)})
21elixx1 12739 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝑤 ∈ (𝐴𝑂𝐵) ↔ (𝑤 ∈ ℝ*𝐴𝑅𝑤𝑤𝑆𝐵)))
323adant3 1129 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ* ∧ (𝐴𝑂𝐵) ≠ ∅) → (𝑤 ∈ (𝐴𝑂𝐵) ↔ (𝑤 ∈ ℝ*𝐴𝑅𝑤𝑤𝑆𝐵)))
43biimpa 480 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ* ∧ (𝐴𝑂𝐵) ≠ ∅) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴𝑂𝐵)) → (𝑤 ∈ ℝ*𝐴𝑅𝑤𝑤𝑆𝐵))
54simp1d 1139 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ* ∧ (𝐴𝑂𝐵) ≠ ∅) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴𝑂𝐵)) → 𝑤 ∈ ℝ*)
65ex 416 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ* ∧ (𝐴𝑂𝐵) ≠ ∅) → (𝑤 ∈ (𝐴𝑂𝐵) → 𝑤 ∈ ℝ*))
76ssrdv 3924 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ* ∧ (𝐴𝑂𝐵) ≠ ∅) → (𝐴𝑂𝐵) ⊆ ℝ*)
8 infxrcl 12718 . . 3 ((𝐴𝑂𝐵) ⊆ ℝ* → inf((𝐴𝑂𝐵), ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
97, 8syl 17 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ* ∧ (𝐴𝑂𝐵) ≠ ∅) → inf((𝐴𝑂𝐵), ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
10 simp1 1133 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ* ∧ (𝐴𝑂𝐵) ≠ ∅) → 𝐴 ∈ ℝ*)
11 simprr 772 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ* ∧ (𝐴𝑂𝐵) ≠ ∅) ∧ 𝑤 ∈ ℚ) ∧ (𝐴 < 𝑤𝑤 < inf((𝐴𝑂𝐵), ℝ*, < ))) → 𝑤 < inf((𝐴𝑂𝐵), ℝ*, < ))
127ad2antrr 725 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ* ∧ (𝐴𝑂𝐵) ≠ ∅) ∧ 𝑤 ∈ ℚ) ∧ (𝐴 < 𝑤𝑤 < inf((𝐴𝑂𝐵), ℝ*, < ))) → (𝐴𝑂𝐵) ⊆ ℝ*)
13 qre 12345 . . . . . . . . . . 11 (𝑤 ∈ ℚ → 𝑤 ∈ ℝ)
1413rexrd 10684 . . . . . . . . . 10 (𝑤 ∈ ℚ → 𝑤 ∈ ℝ*)
1514ad2antlr 726 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ* ∧ (𝐴𝑂𝐵) ≠ ∅) ∧ 𝑤 ∈ ℚ) ∧ (𝐴 < 𝑤𝑤 < inf((𝐴𝑂𝐵), ℝ*, < ))) → 𝑤 ∈ ℝ*)
16 simprl 770 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ* ∧ (𝐴𝑂𝐵) ≠ ∅) ∧ 𝑤 ∈ ℚ) ∧ (𝐴 < 𝑤𝑤 < inf((𝐴𝑂𝐵), ℝ*, < ))) → 𝐴 < 𝑤)
1710ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ* ∧ (𝐴𝑂𝐵) ≠ ∅) ∧ 𝑤 ∈ ℚ) ∧ (𝐴 < 𝑤𝑤 < inf((𝐴𝑂𝐵), ℝ*, < ))) → 𝐴 ∈ ℝ*)
18 ixxub.4 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*) → (𝐴 < 𝑤𝐴𝑅𝑤))
1917, 15, 18syl2anc 587 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ* ∧ (𝐴𝑂𝐵) ≠ ∅) ∧ 𝑤 ∈ ℚ) ∧ (𝐴 < 𝑤𝑤 < inf((𝐴𝑂𝐵), ℝ*, < ))) → (𝐴 < 𝑤𝐴𝑅𝑤))
2016, 19mpd 15 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ* ∧ (𝐴𝑂𝐵) ≠ ∅) ∧ 𝑤 ∈ ℚ) ∧ (𝐴 < 𝑤𝑤 < inf((𝐴𝑂𝐵), ℝ*, < ))) → 𝐴𝑅𝑤)
219ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ* ∧ (𝐴𝑂𝐵) ≠ ∅) ∧ 𝑤 ∈ ℚ) ∧ (𝐴 < 𝑤𝑤 < inf((𝐴𝑂𝐵), ℝ*, < ))) → inf((𝐴𝑂𝐵), ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
22 simpll2 1210 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ* ∧ (𝐴𝑂𝐵) ≠ ∅) ∧ 𝑤 ∈ ℚ) ∧ (𝐴 < 𝑤𝑤 < inf((𝐴𝑂𝐵), ℝ*, < ))) → 𝐵 ∈ ℝ*)
23 simp3 1135 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ* ∧ (𝐴𝑂𝐵) ≠ ∅) → (𝐴𝑂𝐵) ≠ ∅)
24 n0 4263 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴𝑂𝐵) ≠ ∅ ↔ ∃𝑤 𝑤 ∈ (𝐴𝑂𝐵))
2523, 24sylib 221 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ* ∧ (𝐴𝑂𝐵) ≠ ∅) → ∃𝑤 𝑤 ∈ (𝐴𝑂𝐵))
269adantr 484 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ* ∧ (𝐴𝑂𝐵) ≠ ∅) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴𝑂𝐵)) → inf((𝐴𝑂𝐵), ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
27 simpl2 1189 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ* ∧ (𝐴𝑂𝐵) ≠ ∅) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴𝑂𝐵)) → 𝐵 ∈ ℝ*)
28 infxrlb 12719 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴𝑂𝐵) ⊆ ℝ*𝑤 ∈ (𝐴𝑂𝐵)) → inf((𝐴𝑂𝐵), ℝ*, < ) ≤ 𝑤)
297, 28sylan 583 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ* ∧ (𝐴𝑂𝐵) ≠ ∅) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴𝑂𝐵)) → inf((𝐴𝑂𝐵), ℝ*, < ) ≤ 𝑤)
304simp3d 1141 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ* ∧ (𝐴𝑂𝐵) ≠ ∅) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴𝑂𝐵)) → 𝑤𝑆𝐵)
31 ixxub.3 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑤 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝑤𝑆𝐵𝑤𝐵))
325, 27, 31syl2anc 587 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ* ∧ (𝐴𝑂𝐵) ≠ ∅) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴𝑂𝐵)) → (𝑤𝑆𝐵𝑤𝐵))
3330, 32mpd 15 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ* ∧ (𝐴𝑂𝐵) ≠ ∅) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴𝑂𝐵)) → 𝑤𝐵)
3426, 5, 27, 29, 33xrletrd 12547 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ* ∧ (𝐴𝑂𝐵) ≠ ∅) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴𝑂𝐵)) → inf((𝐴𝑂𝐵), ℝ*, < ) ≤ 𝐵)
3525, 34exlimddv 1936 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ* ∧ (𝐴𝑂𝐵) ≠ ∅) → inf((𝐴𝑂𝐵), ℝ*, < ) ≤ 𝐵)
3635ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ* ∧ (𝐴𝑂𝐵) ≠ ∅) ∧ 𝑤 ∈ ℚ) ∧ (𝐴 < 𝑤𝑤 < inf((𝐴𝑂𝐵), ℝ*, < ))) → inf((𝐴𝑂𝐵), ℝ*, < ) ≤ 𝐵)
3715, 21, 22, 11, 36xrltletrd 12546 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ* ∧ (𝐴𝑂𝐵) ≠ ∅) ∧ 𝑤 ∈ ℚ) ∧ (𝐴 < 𝑤𝑤 < inf((𝐴𝑂𝐵), ℝ*, < ))) → 𝑤 < 𝐵)
38 ixxub.2 . . . . . . . . . . 11 ((𝑤 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝑤 < 𝐵𝑤𝑆𝐵))
3915, 22, 38syl2anc 587 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ* ∧ (𝐴𝑂𝐵) ≠ ∅) ∧ 𝑤 ∈ ℚ) ∧ (𝐴 < 𝑤𝑤 < inf((𝐴𝑂𝐵), ℝ*, < ))) → (𝑤 < 𝐵𝑤𝑆𝐵))
4037, 39mpd 15 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ* ∧ (𝐴𝑂𝐵) ≠ ∅) ∧ 𝑤 ∈ ℚ) ∧ (𝐴 < 𝑤𝑤 < inf((𝐴𝑂𝐵), ℝ*, < ))) → 𝑤𝑆𝐵)
413ad2antrr 725 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ* ∧ (𝐴𝑂𝐵) ≠ ∅) ∧ 𝑤 ∈ ℚ) ∧ (𝐴 < 𝑤𝑤 < inf((𝐴𝑂𝐵), ℝ*, < ))) → (𝑤 ∈ (𝐴𝑂𝐵) ↔ (𝑤 ∈ ℝ*𝐴𝑅𝑤𝑤𝑆𝐵)))
4215, 20, 40, 41mpbir3and 1339 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ* ∧ (𝐴𝑂𝐵) ≠ ∅) ∧ 𝑤 ∈ ℚ) ∧ (𝐴 < 𝑤𝑤 < inf((𝐴𝑂𝐵), ℝ*, < ))) → 𝑤 ∈ (𝐴𝑂𝐵))
4312, 42, 28syl2anc 587 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ* ∧ (𝐴𝑂𝐵) ≠ ∅) ∧ 𝑤 ∈ ℚ) ∧ (𝐴 < 𝑤𝑤 < inf((𝐴𝑂𝐵), ℝ*, < ))) → inf((𝐴𝑂𝐵), ℝ*, < ) ≤ 𝑤)
4421, 15xrlenltd 10700 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ* ∧ (𝐴𝑂𝐵) ≠ ∅) ∧ 𝑤 ∈ ℚ) ∧ (𝐴 < 𝑤𝑤 < inf((𝐴𝑂𝐵), ℝ*, < ))) → (inf((𝐴𝑂𝐵), ℝ*, < ) ≤ 𝑤 ↔ ¬ 𝑤 < inf((𝐴𝑂𝐵), ℝ*, < )))
4543, 44mpbid 235 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ* ∧ (𝐴𝑂𝐵) ≠ ∅) ∧ 𝑤 ∈ ℚ) ∧ (𝐴 < 𝑤𝑤 < inf((𝐴𝑂𝐵), ℝ*, < ))) → ¬ 𝑤 < inf((𝐴𝑂𝐵), ℝ*, < ))
4611, 45pm2.65da 816 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ* ∧ (𝐴𝑂𝐵) ≠ ∅) ∧ 𝑤 ∈ ℚ) → ¬ (𝐴 < 𝑤𝑤 < inf((𝐴𝑂𝐵), ℝ*, < )))
4746nrexdv 3232 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ* ∧ (𝐴𝑂𝐵) ≠ ∅) → ¬ ∃𝑤 ∈ ℚ (𝐴 < 𝑤𝑤 < inf((𝐴𝑂𝐵), ℝ*, < )))
48 qbtwnxr 12585 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ inf((𝐴𝑂𝐵), ℝ*, < ) ∈ ℝ*𝐴 < inf((𝐴𝑂𝐵), ℝ*, < )) → ∃𝑤 ∈ ℚ (𝐴 < 𝑤𝑤 < inf((𝐴𝑂𝐵), ℝ*, < )))
49483expia 1118 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ inf((𝐴𝑂𝐵), ℝ*, < ) ∈ ℝ*) → (𝐴 < inf((𝐴𝑂𝐵), ℝ*, < ) → ∃𝑤 ∈ ℚ (𝐴 < 𝑤𝑤 < inf((𝐴𝑂𝐵), ℝ*, < ))))
5010, 9, 49syl2anc 587 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ* ∧ (𝐴𝑂𝐵) ≠ ∅) → (𝐴 < inf((𝐴𝑂𝐵), ℝ*, < ) → ∃𝑤 ∈ ℚ (𝐴 < 𝑤𝑤 < inf((𝐴𝑂𝐵), ℝ*, < ))))
5147, 50mtod 201 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ* ∧ (𝐴𝑂𝐵) ≠ ∅) → ¬ 𝐴 < inf((𝐴𝑂𝐵), ℝ*, < ))
529, 10, 51xrnltled 10702 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ* ∧ (𝐴𝑂𝐵) ≠ ∅) → inf((𝐴𝑂𝐵), ℝ*, < ) ≤ 𝐴)
534simp2d 1140 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ* ∧ (𝐴𝑂𝐵) ≠ ∅) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴𝑂𝐵)) → 𝐴𝑅𝑤)
5410adantr 484 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ* ∧ (𝐴𝑂𝐵) ≠ ∅) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴𝑂𝐵)) → 𝐴 ∈ ℝ*)
55 ixxub.5 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*) → (𝐴𝑅𝑤𝐴𝑤))
5654, 5, 55syl2anc 587 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ* ∧ (𝐴𝑂𝐵) ≠ ∅) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴𝑂𝐵)) → (𝐴𝑅𝑤𝐴𝑤))
5753, 56mpd 15 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ* ∧ (𝐴𝑂𝐵) ≠ ∅) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴𝑂𝐵)) → 𝐴𝑤)
5857ralrimiva 3152 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ* ∧ (𝐴𝑂𝐵) ≠ ∅) → ∀𝑤 ∈ (𝐴𝑂𝐵)𝐴𝑤)
59 infxrgelb 12720 . . . 4 (((𝐴𝑂𝐵) ⊆ ℝ*𝐴 ∈ ℝ*) → (𝐴 ≤ inf((𝐴𝑂𝐵), ℝ*, < ) ↔ ∀𝑤 ∈ (𝐴𝑂𝐵)𝐴𝑤))
607, 10, 59syl2anc 587 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ* ∧ (𝐴𝑂𝐵) ≠ ∅) → (𝐴 ≤ inf((𝐴𝑂𝐵), ℝ*, < ) ↔ ∀𝑤 ∈ (𝐴𝑂𝐵)𝐴𝑤))
6158, 60mpbird 260 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ* ∧ (𝐴𝑂𝐵) ≠ ∅) → 𝐴 ≤ inf((𝐴𝑂𝐵), ℝ*, < ))
629, 10, 52, 61xrletrid 12540 1 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ* ∧ (𝐴𝑂𝐵) ≠ ∅) → inf((𝐴𝑂𝐵), ℝ*, < ) = 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 209  wa 399  w3a 1084   = wceq 1538  wex 1781  wcel 2112  wne 2990  wral 3109  wrex 3110  {crab 3113  wss 3884  c0 4246   class class class wbr 5033  (class class class)co 7139  cmpo 7141  infcinf 8893  *cxr 10667   < clt 10668  cle 10669  cq 12340
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445  ax-cnex 10586  ax-resscn 10587  ax-1cn 10588  ax-icn 10589  ax-addcl 10590  ax-addrcl 10591  ax-mulcl 10592  ax-mulrcl 10593  ax-mulcom 10594  ax-addass 10595  ax-mulass 10596  ax-distr 10597  ax-i2m1 10598  ax-1ne0 10599  ax-1rid 10600  ax-rnegex 10601  ax-rrecex 10602  ax-cnre 10603  ax-pre-lttri 10604  ax-pre-lttrn 10605  ax-pre-ltadd 10606  ax-pre-mulgt0 10607  ax-pre-sup 10608
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-nel 3095  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rmo 3117  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3903  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4804  df-iun 4886  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5428  df-eprel 5433  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6120  df-ord 6166  df-on 6167  df-lim 6168  df-suc 6169  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-riota 7097  df-ov 7142  df-oprab 7143  df-mpo 7144  df-om 7565  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-er 8276  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-sup 8894  df-inf 8895  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-xr 10672  df-ltxr 10673  df-le 10674  df-sub 10865  df-neg 10866  df-div 11291  df-nn 11630  df-n0 11890  df-z 11974  df-uz 12236  df-q 12341
This theorem is referenced by:  ioorf  24180  ioorinv2  24182  ioossioobi  42141
  Copyright terms: Public domain W3C validator