Theorem ssxr 11406

Description: The three (non-exclusive) possibilities implied by a subset of extended reals. (Contributed by NM, 25-Oct-2005.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 19-Nov-2011.)

Assertion

Ref	Expression
ssxr	⊢ (𝐴 ⊆ ℝ* → (𝐴 ⊆ ℝ ∨ +∞ ∈ 𝐴 ∨ -∞ ∈ 𝐴))

Proof of Theorem ssxr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-pr 4591	. . . . . . 7 ⊢ {+∞, -∞} = ({+∞} ∪ {-∞})
2	1	ineq2i 4117	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∩ {+∞, -∞}) = (𝐴 ∩ ({+∞} ∪ {-∞}))
3		indi 4232	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∩ ({+∞} ∪ {-∞})) = ((𝐴 ∩ {+∞}) ∪ (𝐴 ∩ {-∞}))
4	2, 3	eqtri 2786	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∩ {+∞, -∞}) = ((𝐴 ∩ {+∞}) ∪ (𝐴 ∩ {-∞}))
5		disjsn 4672	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∩ {+∞}) = ∅ ↔ ¬ +∞ ∈ 𝐴)
6		disjsn 4672	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∩ {-∞}) = ∅ ↔ ¬ -∞ ∈ 𝐴)
7	5, 6	anbi12i 640	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∩ {+∞}) = ∅ ∧ (𝐴 ∩ {-∞}) = ∅) ↔ (¬ +∞ ∈ 𝐴 ∧ ¬ -∞ ∈ 𝐴))
8	7	biimpri 231	. . . . . 6 ⊢ ((¬ +∞ ∈ 𝐴 ∧ ¬ -∞ ∈ 𝐴) → ((𝐴 ∩ {+∞}) = ∅ ∧ (𝐴 ∩ {-∞}) = ∅))
9		pm4.56 1004	. . . . . 6 ⊢ ((¬ +∞ ∈ 𝐴 ∧ ¬ -∞ ∈ 𝐴) ↔ ¬ (+∞ ∈ 𝐴 ∨ -∞ ∈ 𝐴))
10		un00 4360	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∩ {+∞}) = ∅ ∧ (𝐴 ∩ {-∞}) = ∅) ↔ ((𝐴 ∩ {+∞}) ∪ (𝐴 ∩ {-∞})) = ∅)
11	8, 9, 10	3imtr3i 294	. . . . 5 ⊢ (¬ (+∞ ∈ 𝐴 ∨ -∞ ∈ 𝐴) → ((𝐴 ∩ {+∞}) ∪ (𝐴 ∩ {-∞})) = ∅)
12	4, 11	eqtrid 2810	. . . 4 ⊢ (¬ (+∞ ∈ 𝐴 ∨ -∞ ∈ 𝐴) → (𝐴 ∩ {+∞, -∞}) = ∅)
13		reldisj 4409	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ⊆ (ℝ ∪ {+∞, -∞}) → ((𝐴 ∩ {+∞, -∞}) = ∅ ↔ 𝐴 ⊆ ((ℝ ∪ {+∞, -∞}) ∖ {+∞, -∞})))
14		renfdisj 11396	. . . . . . . 8 ⊢ (ℝ ∩ {+∞, -∞}) = ∅
15		disj3 4410	. . . . . . . 8 ⊢ ((ℝ ∩ {+∞, -∞}) = ∅ ↔ ℝ = (ℝ ∖ {+∞, -∞}))
16	14, 15	mpbi 233	. . . . . . 7 ⊢ ℝ = (ℝ ∖ {+∞, -∞})
17		difun2 4440	. . . . . . 7 ⊢ ((ℝ ∪ {+∞, -∞}) ∖ {+∞, -∞}) = (ℝ ∖ {+∞, -∞})
18	16, 17	eqtr4i 2789	. . . . . 6 ⊢ ℝ = ((ℝ ∪ {+∞, -∞}) ∖ {+∞, -∞})
19	18	sseq2i 3942	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ ↔ 𝐴 ⊆ ((ℝ ∪ {+∞, -∞}) ∖ {+∞, -∞}))
20	13, 19	bitr4di 292	. . . 4 ⊢ (𝐴 ⊆ (ℝ ∪ {+∞, -∞}) → ((𝐴 ∩ {+∞, -∞}) = ∅ ↔ 𝐴 ⊆ ℝ))
21	12, 20	imbitrid 247	. . 3 ⊢ (𝐴 ⊆ (ℝ ∪ {+∞, -∞}) → (¬ (+∞ ∈ 𝐴 ∨ -∞ ∈ 𝐴) → 𝐴 ⊆ ℝ))
22	21	orrd 877	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ (ℝ ∪ {+∞, -∞}) → ((+∞ ∈ 𝐴 ∨ -∞ ∈ 𝐴) ∨ 𝐴 ⊆ ℝ))
23		df-xr 11374	. . 3 ⊢ ℝ* = (ℝ ∪ {+∞, -∞})
24	23	sseq2i 3942	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ* ↔ 𝐴 ⊆ (ℝ ∪ {+∞, -∞}))
25		3orrot 1108	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∨ +∞ ∈ 𝐴 ∨ -∞ ∈ 𝐴) ↔ (+∞ ∈ 𝐴 ∨ -∞ ∈ 𝐴 ∨ 𝐴 ⊆ ℝ))
26		df-3or 1104	. . 3 ⊢ ((+∞ ∈ 𝐴 ∨ -∞ ∈ 𝐴 ∨ 𝐴 ⊆ ℝ) ↔ ((+∞ ∈ 𝐴 ∨ -∞ ∈ 𝐴) ∨ 𝐴 ⊆ ℝ))
27	25, 26	bitri 278	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∨ +∞ ∈ 𝐴 ∨ -∞ ∈ 𝐴) ↔ ((+∞ ∈ 𝐴 ∨ -∞ ∈ 𝐴) ∨ 𝐴 ⊆ ℝ))
28	22, 24, 27	3imtr4i 295	1 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ* → (𝐴 ⊆ ℝ ∨ +∞ ∈ 𝐴 ∨ -∞ ∈ 𝐴))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   ∨ wo 861   ∨ w3o 1102   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ⊆ wss 3900   ∖ cdif 4048   ∩ cin 4092   ∪ cun 4152  ∅c0 4281  {csn 4588  {cpr 4590  ℝcr 11226  +∞cpnf 11367  -∞cmnf 11368  ℝ^*cxr 11369

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7775  ax-resscn 11284

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-id 5550  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-iota 6512  df-fun 6560  df-fn 6561  df-f 6562  df-f1 6563  df-fo 6564  df-f1o 6565  df-fv 6566  df-er 8745  df-en 9002  df-dom 9003  df-sdom 9004  df-pnf 11372  df-mnf 11373  df-xr 11374

This theorem is used by:  xrsupss  13466  xrinfmss  13467  xrssre  46565