ixxub - Metamath Proof Explorer

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Theorem ixxub 13497

Description: Extract the upper bound of an interval. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Jun-2014.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
ixx.1	⊢ 𝑂 = (𝑥 ∈ ℝ^, 𝑦 ∈ ℝ^ ↦ {𝑧 ∈ ℝ^* ∣ (𝑥𝑅𝑧 ∧ 𝑧𝑆𝑦)})
ixxub.2	⊢ ((𝑤 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^*) → (𝑤 < 𝐵 → 𝑤𝑆𝐵))
ixxub.3	⊢ ((𝑤 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^*) → (𝑤𝑆𝐵 → 𝑤 ≤ 𝐵))
ixxub.4	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝑤 ∈ ℝ^*) → (𝐴 < 𝑤 → 𝐴𝑅𝑤))
ixxub.5	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝑤 ∈ ℝ^*) → (𝐴𝑅𝑤 → 𝐴 ≤ 𝑤))

**Assertion**
Ref	Expression
ixxub	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ (𝐴𝑂𝐵) ≠ ∅) → sup((𝐴𝑂𝐵), ℝ^*, < ) = 𝐵)

Distinct variable groups: 𝑥,𝑤,𝑦,𝑧,𝐴 𝑤,𝑂 𝑤,𝐵,𝑥,𝑦,𝑧 𝑥,𝑅,𝑦,𝑧 𝑥,𝑆,𝑦,𝑧 Allowed substitution hints: 𝑅(𝑤) 𝑆(𝑤) 𝑂(𝑥, 𝑦, 𝑧)

**Proof of Theorem ixxub**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		ixx.1	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑂 = (𝑥 ∈ ℝ^, 𝑦 ∈ ℝ^ ↦ {𝑧 ∈ ℝ^* ∣ (𝑥𝑅𝑧 ∧ 𝑧𝑆𝑦)})
2	1	elixx1 13485	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) → (𝑤 ∈ (𝐴𝑂𝐵) ↔ (𝑤 ∈ ℝ^ ∧ 𝐴𝑅𝑤 ∧ 𝑤𝑆𝐵)))
3	2	3adant3 1150	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ (𝐴𝑂𝐵) ≠ ∅) → (𝑤 ∈ (𝐴𝑂𝐵) ↔ (𝑤 ∈ ℝ^* ∧ 𝐴𝑅𝑤 ∧ 𝑤𝑆𝐵)))
4	3	biimpa 482	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ (𝐴𝑂𝐵) ≠ ∅) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴𝑂𝐵)) → (𝑤 ∈ ℝ^* ∧ 𝐴𝑅𝑤 ∧ 𝑤𝑆𝐵))
5	4	simp1d 1160	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ (𝐴𝑂𝐵) ≠ ∅) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴𝑂𝐵)) → 𝑤 ∈ ℝ^*)
6	5	ex 418	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ (𝐴𝑂𝐵) ≠ ∅) → (𝑤 ∈ (𝐴𝑂𝐵) → 𝑤 ∈ ℝ^*))
7	6	ssrdv 3937	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ (𝐴𝑂𝐵) ≠ ∅) → (𝐴𝑂𝐵) ⊆ ℝ^*)
8		supxrcl 13445	. . 3 ⊢ ((𝐴𝑂𝐵) ⊆ ℝ^* → sup((𝐴𝑂𝐵), ℝ^, < ) ∈ ℝ^)
9	7, 8	syl 18	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ (𝐴𝑂𝐵) ≠ ∅) → sup((𝐴𝑂𝐵), ℝ^, < ) ∈ ℝ^)
10		simp2 1155	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ (𝐴𝑂𝐵) ≠ ∅) → 𝐵 ∈ ℝ^*)
11	4	simp3d 1162	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ (𝐴𝑂𝐵) ≠ ∅) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴𝑂𝐵)) → 𝑤𝑆𝐵)
12	10	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ (𝐴𝑂𝐵) ≠ ∅) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴𝑂𝐵)) → 𝐵 ∈ ℝ^*)
13		ixxub.3	. . . . . 6 ⊢ ((𝑤 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^*) → (𝑤𝑆𝐵 → 𝑤 ≤ 𝐵))
14	5, 12, 13	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ (𝐴𝑂𝐵) ≠ ∅) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴𝑂𝐵)) → (𝑤𝑆𝐵 → 𝑤 ≤ 𝐵))
15	11, 14	mpd 16	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ (𝐴𝑂𝐵) ≠ ∅) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴𝑂𝐵)) → 𝑤 ≤ 𝐵)
16	15	ralrimiva 3155	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ (𝐴𝑂𝐵) ≠ ∅) → ∀𝑤 ∈ (𝐴𝑂𝐵)𝑤 ≤ 𝐵)
17		supxrleub 13456	. . . 4 ⊢ (((𝐴𝑂𝐵) ⊆ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) → (sup((𝐴𝑂𝐵), ℝ^, < ) ≤ 𝐵 ↔ ∀𝑤 ∈ (𝐴𝑂𝐵)𝑤 ≤ 𝐵))
18	7, 10, 17	syl2anc 596	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ (𝐴𝑂𝐵) ≠ ∅) → (sup((𝐴𝑂𝐵), ℝ^*, < ) ≤ 𝐵 ↔ ∀𝑤 ∈ (𝐴𝑂𝐵)𝑤 ≤ 𝐵))
19	16, 18	mpbird 260	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ (𝐴𝑂𝐵) ≠ ∅) → sup((𝐴𝑂𝐵), ℝ^*, < ) ≤ 𝐵)
20		simprl 783	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ (𝐴𝑂𝐵) ≠ ∅) ∧ 𝑤 ∈ ℚ) ∧ (sup((𝐴𝑂𝐵), ℝ^, < ) < 𝑤 ∧ 𝑤 < 𝐵)) → sup((𝐴𝑂𝐵), ℝ^, < ) < 𝑤)
21	7	ad2antrr 739	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ (𝐴𝑂𝐵) ≠ ∅) ∧ 𝑤 ∈ ℚ) ∧ (sup((𝐴𝑂𝐵), ℝ^, < ) < 𝑤 ∧ 𝑤 < 𝐵)) → (𝐴𝑂𝐵) ⊆ ℝ^)
22		qre 13080	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑤 ∈ ℚ → 𝑤 ∈ ℝ)
23	22	rexrd 11359	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑤 ∈ ℚ → 𝑤 ∈ ℝ^*)
24	23	ad2antlr 740	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ (𝐴𝑂𝐵) ≠ ∅) ∧ 𝑤 ∈ ℚ) ∧ (sup((𝐴𝑂𝐵), ℝ^, < ) < 𝑤 ∧ 𝑤 < 𝐵)) → 𝑤 ∈ ℝ^)
25		simp1 1154	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ (𝐴𝑂𝐵) ≠ ∅) → 𝐴 ∈ ℝ^*)
26	25	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ (𝐴𝑂𝐵) ≠ ∅) ∧ 𝑤 ∈ ℚ) ∧ (sup((𝐴𝑂𝐵), ℝ^, < ) < 𝑤 ∧ 𝑤 < 𝐵)) → 𝐴 ∈ ℝ^)
27	9	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ (𝐴𝑂𝐵) ≠ ∅) ∧ 𝑤 ∈ ℚ) ∧ (sup((𝐴𝑂𝐵), ℝ^, < ) < 𝑤 ∧ 𝑤 < 𝐵)) → sup((𝐴𝑂𝐵), ℝ^, < ) ∈ ℝ^*)
28		simp3 1156	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ (𝐴𝑂𝐵) ≠ ∅) → (𝐴𝑂𝐵) ≠ ∅)
29		n0 4300	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴𝑂𝐵) ≠ ∅ ↔ ∃𝑤 𝑤 ∈ (𝐴𝑂𝐵))
30	28, 29	sylib 221	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ (𝐴𝑂𝐵) ≠ ∅) → ∃𝑤 𝑤 ∈ (𝐴𝑂𝐵))
31	25	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ (𝐴𝑂𝐵) ≠ ∅) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴𝑂𝐵)) → 𝐴 ∈ ℝ^*)
32	9	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ (𝐴𝑂𝐵) ≠ ∅) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴𝑂𝐵)) → sup((𝐴𝑂𝐵), ℝ^, < ) ∈ ℝ^)
33	4	simp2d 1161	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ (𝐴𝑂𝐵) ≠ ∅) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴𝑂𝐵)) → 𝐴𝑅𝑤)
34		ixxub.5	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝑤 ∈ ℝ^*) → (𝐴𝑅𝑤 → 𝐴 ≤ 𝑤))
35	31, 5, 34	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ (𝐴𝑂𝐵) ≠ ∅) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴𝑂𝐵)) → (𝐴𝑅𝑤 → 𝐴 ≤ 𝑤))
36	33, 35	mpd 16	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ (𝐴𝑂𝐵) ≠ ∅) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴𝑂𝐵)) → 𝐴 ≤ 𝑤)
37		supxrub 13454	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐴𝑂𝐵) ⊆ ℝ^* ∧ 𝑤 ∈ (𝐴𝑂𝐵)) → 𝑤 ≤ sup((𝐴𝑂𝐵), ℝ^*, < ))
38	7, 37	sylan 592	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ (𝐴𝑂𝐵) ≠ ∅) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴𝑂𝐵)) → 𝑤 ≤ sup((𝐴𝑂𝐵), ℝ^*, < ))
39	31, 5, 32, 36, 38	xrletrd 13291	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ (𝐴𝑂𝐵) ≠ ∅) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴𝑂𝐵)) → 𝐴 ≤ sup((𝐴𝑂𝐵), ℝ^*, < ))
40	30, 39	exlimddv 1968	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ (𝐴𝑂𝐵) ≠ ∅) → 𝐴 ≤ sup((𝐴𝑂𝐵), ℝ^*, < ))
41	40	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ (𝐴𝑂𝐵) ≠ ∅) ∧ 𝑤 ∈ ℚ) ∧ (sup((𝐴𝑂𝐵), ℝ^, < ) < 𝑤 ∧ 𝑤 < 𝐵)) → 𝐴 ≤ sup((𝐴𝑂𝐵), ℝ^, < ))
42	26, 27, 24, 41, 20	xrlelttrd 13289	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ (𝐴𝑂𝐵) ≠ ∅) ∧ 𝑤 ∈ ℚ) ∧ (sup((𝐴𝑂𝐵), ℝ^*, < ) < 𝑤 ∧ 𝑤 < 𝐵)) → 𝐴 < 𝑤)
43		ixxub.4	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝑤 ∈ ℝ^*) → (𝐴 < 𝑤 → 𝐴𝑅𝑤))
44	26, 24, 43	syl2anc 596	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ (𝐴𝑂𝐵) ≠ ∅) ∧ 𝑤 ∈ ℚ) ∧ (sup((𝐴𝑂𝐵), ℝ^*, < ) < 𝑤 ∧ 𝑤 < 𝐵)) → (𝐴 < 𝑤 → 𝐴𝑅𝑤))
45	42, 44	mpd 16	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ (𝐴𝑂𝐵) ≠ ∅) ∧ 𝑤 ∈ ℚ) ∧ (sup((𝐴𝑂𝐵), ℝ^*, < ) < 𝑤 ∧ 𝑤 < 𝐵)) → 𝐴𝑅𝑤)
46		simprr 785	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ (𝐴𝑂𝐵) ≠ ∅) ∧ 𝑤 ∈ ℚ) ∧ (sup((𝐴𝑂𝐵), ℝ^*, < ) < 𝑤 ∧ 𝑤 < 𝐵)) → 𝑤 < 𝐵)
47	10	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ (𝐴𝑂𝐵) ≠ ∅) ∧ 𝑤 ∈ ℚ) ∧ (sup((𝐴𝑂𝐵), ℝ^, < ) < 𝑤 ∧ 𝑤 < 𝐵)) → 𝐵 ∈ ℝ^)
48		ixxub.2	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑤 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^*) → (𝑤 < 𝐵 → 𝑤𝑆𝐵))
49	24, 47, 48	syl2anc 596	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ (𝐴𝑂𝐵) ≠ ∅) ∧ 𝑤 ∈ ℚ) ∧ (sup((𝐴𝑂𝐵), ℝ^*, < ) < 𝑤 ∧ 𝑤 < 𝐵)) → (𝑤 < 𝐵 → 𝑤𝑆𝐵))
50	46, 49	mpd 16	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ (𝐴𝑂𝐵) ≠ ∅) ∧ 𝑤 ∈ ℚ) ∧ (sup((𝐴𝑂𝐵), ℝ^*, < ) < 𝑤 ∧ 𝑤 < 𝐵)) → 𝑤𝑆𝐵)
51	3	ad2antrr 739	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ (𝐴𝑂𝐵) ≠ ∅) ∧ 𝑤 ∈ ℚ) ∧ (sup((𝐴𝑂𝐵), ℝ^, < ) < 𝑤 ∧ 𝑤 < 𝐵)) → (𝑤 ∈ (𝐴𝑂𝐵) ↔ (𝑤 ∈ ℝ^ ∧ 𝐴𝑅𝑤 ∧ 𝑤𝑆𝐵)))
52	24, 45, 50, 51	mpbir3and 1361	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ (𝐴𝑂𝐵) ≠ ∅) ∧ 𝑤 ∈ ℚ) ∧ (sup((𝐴𝑂𝐵), ℝ^*, < ) < 𝑤 ∧ 𝑤 < 𝐵)) → 𝑤 ∈ (𝐴𝑂𝐵))
53	21, 52, 37	syl2anc 596	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ (𝐴𝑂𝐵) ≠ ∅) ∧ 𝑤 ∈ ℚ) ∧ (sup((𝐴𝑂𝐵), ℝ^, < ) < 𝑤 ∧ 𝑤 < 𝐵)) → 𝑤 ≤ sup((𝐴𝑂𝐵), ℝ^, < ))
54	24, 27	xrlenltd 11375	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ (𝐴𝑂𝐵) ≠ ∅) ∧ 𝑤 ∈ ℚ) ∧ (sup((𝐴𝑂𝐵), ℝ^, < ) < 𝑤 ∧ 𝑤 < 𝐵)) → (𝑤 ≤ sup((𝐴𝑂𝐵), ℝ^, < ) ↔ ¬ sup((𝐴𝑂𝐵), ℝ^*, < ) < 𝑤))
55	53, 54	mpbid 235	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ (𝐴𝑂𝐵) ≠ ∅) ∧ 𝑤 ∈ ℚ) ∧ (sup((𝐴𝑂𝐵), ℝ^, < ) < 𝑤 ∧ 𝑤 < 𝐵)) → ¬ sup((𝐴𝑂𝐵), ℝ^, < ) < 𝑤)
56	20, 55	pm2.65da 829	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ (𝐴𝑂𝐵) ≠ ∅) ∧ 𝑤 ∈ ℚ) → ¬ (sup((𝐴𝑂𝐵), ℝ^*, < ) < 𝑤 ∧ 𝑤 < 𝐵))
57	56	nrexdv 3158	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ (𝐴𝑂𝐵) ≠ ∅) → ¬ ∃𝑤 ∈ ℚ (sup((𝐴𝑂𝐵), ℝ^*, < ) < 𝑤 ∧ 𝑤 < 𝐵))
58		qbtwnxr 13330	. . . . . 6 ⊢ ((sup((𝐴𝑂𝐵), ℝ^, < ) ∈ ℝ^ ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ sup((𝐴𝑂𝐵), ℝ^, < ) < 𝐵) → ∃𝑤 ∈ ℚ (sup((𝐴𝑂𝐵), ℝ^, < ) < 𝑤 ∧ 𝑤 < 𝐵))
59	58	3expia 1139	. . . . 5 ⊢ ((sup((𝐴𝑂𝐵), ℝ^, < ) ∈ ℝ^ ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) → (sup((𝐴𝑂𝐵), ℝ^, < ) < 𝐵 → ∃𝑤 ∈ ℚ (sup((𝐴𝑂𝐵), ℝ^*, < ) < 𝑤 ∧ 𝑤 < 𝐵)))
60	9, 10, 59	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ (𝐴𝑂𝐵) ≠ ∅) → (sup((𝐴𝑂𝐵), ℝ^, < ) < 𝐵 → ∃𝑤 ∈ ℚ (sup((𝐴𝑂𝐵), ℝ^, < ) < 𝑤 ∧ 𝑤 < 𝐵)))
61	57, 60	mtod 201	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ (𝐴𝑂𝐵) ≠ ∅) → ¬ sup((𝐴𝑂𝐵), ℝ^*, < ) < 𝐵)
62	10, 9, 61	xrnltled 11378	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ (𝐴𝑂𝐵) ≠ ∅) → 𝐵 ≤ sup((𝐴𝑂𝐵), ℝ^*, < ))
63	9, 10, 19, 62	xrletrid 13284	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ (𝐴𝑂𝐵) ≠ ∅) → sup((𝐴𝑂𝐵), ℝ^*, < ) = 𝐵)

Colors of variables: wff setvar class

This proof depends on syntax axioms: ¬ wn 3 → wi 4 ↔ wb 209 ∧ wa 401 ∧ w3a 1103 = wceq 1570 ∃wex 1812 ∈ wcel 2145 ≠ wne 2956 ∀wral 3077 ∃wrex 3087 {crab 3413 ⊆ wss 3899 ∅c0 4279 class class class wbr 5103 (class class class)co 7420 ∈ cmpo 7422 supcsup 9432 ℝ^*cxr 11342 < clt 11343 ≤ cle 11344 ℚcq 13075

This proof depends on axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1828 ax-4 1842 ax-5 1943 ax-6 2000 ax-7 2041 ax-8 2147 ax-9 2155 ax-10 2178 ax-11 2194 ax-12 2213 ax-ext 2733 ax-sep 5249 ax-nul 5260 ax-pow 5327 ax-pr 5391 ax-un 7751 ax-cnex 11256 ax-resscn 11257 ax-1cn 11258 ax-icn 11259 ax-addcl 11260 ax-addrcl 11261 ax-mulcl 11262 ax-mulrcl 11263 ax-mulcom 11264 ax-addass 11265 ax-mulass 11266 ax-distr 11267 ax-i2m1 11268 ax-1ne0 11269 ax-1rid 11270 ax-rnegex 11271 ax-rrecex 11272 ax-cnre 11273 ax-pre-lttri 11274 ax-pre-lttrn 11275 ax-pre-ltadd 11276 ax-pre-mulgt0 11277 ax-pre-sup 11278

This proof depends on definitions: df-bi 210 df-an 402 df-or 862 df-3or 1104 df-3an 1105 df-tru 1573 df-fal 1583 df-ex 1813 df-nf 1817 df-sb 2100 df-mo 2565 df-eu 2595 df-clab 2740 df-cleq 2753 df-clel 2836 df-nfc 2910 df-ne 2957 df-nel 3063 df-ral 3078 df-rex 3088 df-rmo 3366 df-reu 3367 df-rab 3414 df-v 3453 df-sbc 3740 df-csb 3848 df-dif 3902 df-un 3904 df-in 3906 df-ss 3916 df-pss 3919 df-nul 4280 df-if 4483 df-pw 4559 df-sn 4585 df-pr 4587 df-op 4591 df-uni 4868 df-iun 4953 df-br 5104 df-opab 5168 df-mpt 5187 df-tr 5213 df-id 5546 df-eprel 5551 df-po 5559 df-so 5560 df-fr 5604 df-we 5606 df-xp 5657 df-rel 5658 df-cnv 5659 df-co 5660 df-dm 5661 df-rn 5662 df-res 5663 df-ima 5664 df-pred 6304 df-ord 6365 df-on 6366 df-lim 6367 df-suc 6368 df-iota 6494 df-fun 6540 df-fn 6541 df-f 6542 df-f1 6543 df-fo 6544 df-f1o 6545 df-fv 6546 df-riota 7377 df-ov 7423 df-oprab 7424 df-mpo 7425 df-om 7878 df-1st 8001 df-2nd 8002 df-frecs 8299 df-wrecs 8330 df-recs 8379 df-rdg 8418 df-er 8717 df-en 8974 df-dom 8975 df-sdom 8976 df-sup 9434 df-inf 9435 df-pnf 11345 df-mnf 11346 df-xr 11347 df-ltxr 11348 df-le 11349 df-sub 11543 df-neg 11544 df-div 11974 df-nn 12336 df-n0 12607 df-z 12694 df-uz 12966 df-q 13076

This theorem is used by: ioopnfsup 14004 icopnfsup 14005 bndth 25279 ioorf 25894 ioorinv2 25896 ioossioobi 46528

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