MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ixxub Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ixxub 12747
Description: Extract the upper bound of an interval. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ixx.1 𝑂 = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥𝑅𝑧𝑧𝑆𝑦)})
ixxub.2 ((𝑤 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝑤 < 𝐵𝑤𝑆𝐵))
ixxub.3 ((𝑤 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝑤𝑆𝐵𝑤𝐵))
ixxub.4 ((𝐴 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*) → (𝐴 < 𝑤𝐴𝑅𝑤))
ixxub.5 ((𝐴 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*) → (𝐴𝑅𝑤𝐴𝑤))
Assertion
Ref Expression
ixxub ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ* ∧ (𝐴𝑂𝐵) ≠ ∅) → sup((𝐴𝑂𝐵), ℝ*, < ) = 𝐵)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑤,𝑦,𝑧,𝐴   𝑤,𝑂   𝑤,𝐵,𝑥,𝑦,𝑧   𝑥,𝑅,𝑦,𝑧   𝑥,𝑆,𝑦,𝑧
Allowed substitution hints:   𝑅(𝑤)   𝑆(𝑤)   𝑂(𝑥,𝑦,𝑧)

Proof of Theorem ixxub
StepHypRef Expression
1 ixx.1 . . . . . . . . 9 𝑂 = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥𝑅𝑧𝑧𝑆𝑦)})
21elixx1 12735 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝑤 ∈ (𝐴𝑂𝐵) ↔ (𝑤 ∈ ℝ*𝐴𝑅𝑤𝑤𝑆𝐵)))
323adant3 1124 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ* ∧ (𝐴𝑂𝐵) ≠ ∅) → (𝑤 ∈ (𝐴𝑂𝐵) ↔ (𝑤 ∈ ℝ*𝐴𝑅𝑤𝑤𝑆𝐵)))
43biimpa 477 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ* ∧ (𝐴𝑂𝐵) ≠ ∅) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴𝑂𝐵)) → (𝑤 ∈ ℝ*𝐴𝑅𝑤𝑤𝑆𝐵))
54simp1d 1134 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ* ∧ (𝐴𝑂𝐵) ≠ ∅) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴𝑂𝐵)) → 𝑤 ∈ ℝ*)
65ex 413 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ* ∧ (𝐴𝑂𝐵) ≠ ∅) → (𝑤 ∈ (𝐴𝑂𝐵) → 𝑤 ∈ ℝ*))
76ssrdv 3970 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ* ∧ (𝐴𝑂𝐵) ≠ ∅) → (𝐴𝑂𝐵) ⊆ ℝ*)
8 supxrcl 12696 . . 3 ((𝐴𝑂𝐵) ⊆ ℝ* → sup((𝐴𝑂𝐵), ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
97, 8syl 17 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ* ∧ (𝐴𝑂𝐵) ≠ ∅) → sup((𝐴𝑂𝐵), ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
10 simp2 1129 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ* ∧ (𝐴𝑂𝐵) ≠ ∅) → 𝐵 ∈ ℝ*)
114simp3d 1136 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ* ∧ (𝐴𝑂𝐵) ≠ ∅) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴𝑂𝐵)) → 𝑤𝑆𝐵)
1210adantr 481 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ* ∧ (𝐴𝑂𝐵) ≠ ∅) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴𝑂𝐵)) → 𝐵 ∈ ℝ*)
13 ixxub.3 . . . . . 6 ((𝑤 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝑤𝑆𝐵𝑤𝐵))
145, 12, 13syl2anc 584 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ* ∧ (𝐴𝑂𝐵) ≠ ∅) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴𝑂𝐵)) → (𝑤𝑆𝐵𝑤𝐵))
1511, 14mpd 15 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ* ∧ (𝐴𝑂𝐵) ≠ ∅) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴𝑂𝐵)) → 𝑤𝐵)
1615ralrimiva 3179 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ* ∧ (𝐴𝑂𝐵) ≠ ∅) → ∀𝑤 ∈ (𝐴𝑂𝐵)𝑤𝐵)
17 supxrleub 12707 . . . 4 (((𝐴𝑂𝐵) ⊆ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (sup((𝐴𝑂𝐵), ℝ*, < ) ≤ 𝐵 ↔ ∀𝑤 ∈ (𝐴𝑂𝐵)𝑤𝐵))
187, 10, 17syl2anc 584 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ* ∧ (𝐴𝑂𝐵) ≠ ∅) → (sup((𝐴𝑂𝐵), ℝ*, < ) ≤ 𝐵 ↔ ∀𝑤 ∈ (𝐴𝑂𝐵)𝑤𝐵))
1916, 18mpbird 258 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ* ∧ (𝐴𝑂𝐵) ≠ ∅) → sup((𝐴𝑂𝐵), ℝ*, < ) ≤ 𝐵)
20 simprl 767 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ* ∧ (𝐴𝑂𝐵) ≠ ∅) ∧ 𝑤 ∈ ℚ) ∧ (sup((𝐴𝑂𝐵), ℝ*, < ) < 𝑤𝑤 < 𝐵)) → sup((𝐴𝑂𝐵), ℝ*, < ) < 𝑤)
217ad2antrr 722 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ* ∧ (𝐴𝑂𝐵) ≠ ∅) ∧ 𝑤 ∈ ℚ) ∧ (sup((𝐴𝑂𝐵), ℝ*, < ) < 𝑤𝑤 < 𝐵)) → (𝐴𝑂𝐵) ⊆ ℝ*)
22 qre 12341 . . . . . . . . . . 11 (𝑤 ∈ ℚ → 𝑤 ∈ ℝ)
2322rexrd 10679 . . . . . . . . . 10 (𝑤 ∈ ℚ → 𝑤 ∈ ℝ*)
2423ad2antlr 723 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ* ∧ (𝐴𝑂𝐵) ≠ ∅) ∧ 𝑤 ∈ ℚ) ∧ (sup((𝐴𝑂𝐵), ℝ*, < ) < 𝑤𝑤 < 𝐵)) → 𝑤 ∈ ℝ*)
25 simp1 1128 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ* ∧ (𝐴𝑂𝐵) ≠ ∅) → 𝐴 ∈ ℝ*)
2625ad2antrr 722 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ* ∧ (𝐴𝑂𝐵) ≠ ∅) ∧ 𝑤 ∈ ℚ) ∧ (sup((𝐴𝑂𝐵), ℝ*, < ) < 𝑤𝑤 < 𝐵)) → 𝐴 ∈ ℝ*)
279ad2antrr 722 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ* ∧ (𝐴𝑂𝐵) ≠ ∅) ∧ 𝑤 ∈ ℚ) ∧ (sup((𝐴𝑂𝐵), ℝ*, < ) < 𝑤𝑤 < 𝐵)) → sup((𝐴𝑂𝐵), ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
28 simp3 1130 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ* ∧ (𝐴𝑂𝐵) ≠ ∅) → (𝐴𝑂𝐵) ≠ ∅)
29 n0 4307 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴𝑂𝐵) ≠ ∅ ↔ ∃𝑤 𝑤 ∈ (𝐴𝑂𝐵))
3028, 29sylib 219 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ* ∧ (𝐴𝑂𝐵) ≠ ∅) → ∃𝑤 𝑤 ∈ (𝐴𝑂𝐵))
3125adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ* ∧ (𝐴𝑂𝐵) ≠ ∅) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴𝑂𝐵)) → 𝐴 ∈ ℝ*)
329adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ* ∧ (𝐴𝑂𝐵) ≠ ∅) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴𝑂𝐵)) → sup((𝐴𝑂𝐵), ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
334simp2d 1135 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ* ∧ (𝐴𝑂𝐵) ≠ ∅) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴𝑂𝐵)) → 𝐴𝑅𝑤)
34 ixxub.5 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐴 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*) → (𝐴𝑅𝑤𝐴𝑤))
3531, 5, 34syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ* ∧ (𝐴𝑂𝐵) ≠ ∅) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴𝑂𝐵)) → (𝐴𝑅𝑤𝐴𝑤))
3633, 35mpd 15 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ* ∧ (𝐴𝑂𝐵) ≠ ∅) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴𝑂𝐵)) → 𝐴𝑤)
37 supxrub 12705 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴𝑂𝐵) ⊆ ℝ*𝑤 ∈ (𝐴𝑂𝐵)) → 𝑤 ≤ sup((𝐴𝑂𝐵), ℝ*, < ))
387, 37sylan 580 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ* ∧ (𝐴𝑂𝐵) ≠ ∅) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴𝑂𝐵)) → 𝑤 ≤ sup((𝐴𝑂𝐵), ℝ*, < ))
3931, 5, 32, 36, 38xrletrd 12543 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ* ∧ (𝐴𝑂𝐵) ≠ ∅) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴𝑂𝐵)) → 𝐴 ≤ sup((𝐴𝑂𝐵), ℝ*, < ))
4030, 39exlimddv 1927 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ* ∧ (𝐴𝑂𝐵) ≠ ∅) → 𝐴 ≤ sup((𝐴𝑂𝐵), ℝ*, < ))
4140ad2antrr 722 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ* ∧ (𝐴𝑂𝐵) ≠ ∅) ∧ 𝑤 ∈ ℚ) ∧ (sup((𝐴𝑂𝐵), ℝ*, < ) < 𝑤𝑤 < 𝐵)) → 𝐴 ≤ sup((𝐴𝑂𝐵), ℝ*, < ))
4226, 27, 24, 41, 20xrlelttrd 12541 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ* ∧ (𝐴𝑂𝐵) ≠ ∅) ∧ 𝑤 ∈ ℚ) ∧ (sup((𝐴𝑂𝐵), ℝ*, < ) < 𝑤𝑤 < 𝐵)) → 𝐴 < 𝑤)
43 ixxub.4 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*) → (𝐴 < 𝑤𝐴𝑅𝑤))
4426, 24, 43syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ* ∧ (𝐴𝑂𝐵) ≠ ∅) ∧ 𝑤 ∈ ℚ) ∧ (sup((𝐴𝑂𝐵), ℝ*, < ) < 𝑤𝑤 < 𝐵)) → (𝐴 < 𝑤𝐴𝑅𝑤))
4542, 44mpd 15 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ* ∧ (𝐴𝑂𝐵) ≠ ∅) ∧ 𝑤 ∈ ℚ) ∧ (sup((𝐴𝑂𝐵), ℝ*, < ) < 𝑤𝑤 < 𝐵)) → 𝐴𝑅𝑤)
46 simprr 769 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ* ∧ (𝐴𝑂𝐵) ≠ ∅) ∧ 𝑤 ∈ ℚ) ∧ (sup((𝐴𝑂𝐵), ℝ*, < ) < 𝑤𝑤 < 𝐵)) → 𝑤 < 𝐵)
4710ad2antrr 722 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ* ∧ (𝐴𝑂𝐵) ≠ ∅) ∧ 𝑤 ∈ ℚ) ∧ (sup((𝐴𝑂𝐵), ℝ*, < ) < 𝑤𝑤 < 𝐵)) → 𝐵 ∈ ℝ*)
48 ixxub.2 . . . . . . . . . . 11 ((𝑤 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝑤 < 𝐵𝑤𝑆𝐵))
4924, 47, 48syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ* ∧ (𝐴𝑂𝐵) ≠ ∅) ∧ 𝑤 ∈ ℚ) ∧ (sup((𝐴𝑂𝐵), ℝ*, < ) < 𝑤𝑤 < 𝐵)) → (𝑤 < 𝐵𝑤𝑆𝐵))
5046, 49mpd 15 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ* ∧ (𝐴𝑂𝐵) ≠ ∅) ∧ 𝑤 ∈ ℚ) ∧ (sup((𝐴𝑂𝐵), ℝ*, < ) < 𝑤𝑤 < 𝐵)) → 𝑤𝑆𝐵)
513ad2antrr 722 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ* ∧ (𝐴𝑂𝐵) ≠ ∅) ∧ 𝑤 ∈ ℚ) ∧ (sup((𝐴𝑂𝐵), ℝ*, < ) < 𝑤𝑤 < 𝐵)) → (𝑤 ∈ (𝐴𝑂𝐵) ↔ (𝑤 ∈ ℝ*𝐴𝑅𝑤𝑤𝑆𝐵)))
5224, 45, 50, 51mpbir3and 1334 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ* ∧ (𝐴𝑂𝐵) ≠ ∅) ∧ 𝑤 ∈ ℚ) ∧ (sup((𝐴𝑂𝐵), ℝ*, < ) < 𝑤𝑤 < 𝐵)) → 𝑤 ∈ (𝐴𝑂𝐵))
5321, 52, 37syl2anc 584 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ* ∧ (𝐴𝑂𝐵) ≠ ∅) ∧ 𝑤 ∈ ℚ) ∧ (sup((𝐴𝑂𝐵), ℝ*, < ) < 𝑤𝑤 < 𝐵)) → 𝑤 ≤ sup((𝐴𝑂𝐵), ℝ*, < ))
5424, 27xrlenltd 10695 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ* ∧ (𝐴𝑂𝐵) ≠ ∅) ∧ 𝑤 ∈ ℚ) ∧ (sup((𝐴𝑂𝐵), ℝ*, < ) < 𝑤𝑤 < 𝐵)) → (𝑤 ≤ sup((𝐴𝑂𝐵), ℝ*, < ) ↔ ¬ sup((𝐴𝑂𝐵), ℝ*, < ) < 𝑤))
5553, 54mpbid 233 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ* ∧ (𝐴𝑂𝐵) ≠ ∅) ∧ 𝑤 ∈ ℚ) ∧ (sup((𝐴𝑂𝐵), ℝ*, < ) < 𝑤𝑤 < 𝐵)) → ¬ sup((𝐴𝑂𝐵), ℝ*, < ) < 𝑤)
5620, 55pm2.65da 813 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ* ∧ (𝐴𝑂𝐵) ≠ ∅) ∧ 𝑤 ∈ ℚ) → ¬ (sup((𝐴𝑂𝐵), ℝ*, < ) < 𝑤𝑤 < 𝐵))
5756nrexdv 3267 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ* ∧ (𝐴𝑂𝐵) ≠ ∅) → ¬ ∃𝑤 ∈ ℚ (sup((𝐴𝑂𝐵), ℝ*, < ) < 𝑤𝑤 < 𝐵))
58 qbtwnxr 12581 . . . . . 6 ((sup((𝐴𝑂𝐵), ℝ*, < ) ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ* ∧ sup((𝐴𝑂𝐵), ℝ*, < ) < 𝐵) → ∃𝑤 ∈ ℚ (sup((𝐴𝑂𝐵), ℝ*, < ) < 𝑤𝑤 < 𝐵))
59583expia 1113 . . . . 5 ((sup((𝐴𝑂𝐵), ℝ*, < ) ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (sup((𝐴𝑂𝐵), ℝ*, < ) < 𝐵 → ∃𝑤 ∈ ℚ (sup((𝐴𝑂𝐵), ℝ*, < ) < 𝑤𝑤 < 𝐵)))
609, 10, 59syl2anc 584 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ* ∧ (𝐴𝑂𝐵) ≠ ∅) → (sup((𝐴𝑂𝐵), ℝ*, < ) < 𝐵 → ∃𝑤 ∈ ℚ (sup((𝐴𝑂𝐵), ℝ*, < ) < 𝑤𝑤 < 𝐵)))
6157, 60mtod 199 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ* ∧ (𝐴𝑂𝐵) ≠ ∅) → ¬ sup((𝐴𝑂𝐵), ℝ*, < ) < 𝐵)
6210, 9, 61xrnltled 10697 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ* ∧ (𝐴𝑂𝐵) ≠ ∅) → 𝐵 ≤ sup((𝐴𝑂𝐵), ℝ*, < ))
639, 10, 19, 62xrletrid 12536 1 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ* ∧ (𝐴𝑂𝐵) ≠ ∅) → sup((𝐴𝑂𝐵), ℝ*, < ) = 𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 207  wa 396  w3a 1079   = wceq 1528  wex 1771  wcel 2105  wne 3013  wral 3135  wrex 3136  {crab 3139  wss 3933  c0 4288   class class class wbr 5057  (class class class)co 7145  cmpo 7147  supcsup 8892  *cxr 10662   < clt 10663  cle 10664  cq 12336
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602  ax-pre-sup 10603
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7570  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-er 8278  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-sup 8894  df-inf 8895  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-div 11286  df-nn 11627  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-q 12337
This theorem is referenced by:  ioopnfsup  13220  icopnfsup  13221  bndth  23489  ioorf  24101  ioorinv2  24103  ioossioobi  41669
  Copyright terms: Public domain W3C validator